.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π], φ[, π], A 4 sin θ cos φ, B 4 sin θ sin φ, 4sinθcosθ. Notând [, π] [, π] şi plicând formul din observţi... obţinem: dd dd dd (sin cos 4sin cos sin sin 4sin sin cos 4sin cos )dd Eerciţiul... ă se clculee 8 (sin cos sin sin sin cos ) dd 8 (sin sin cos ) dd 8 8 π sind 8 π π dd dd ( ) dd pe fţ superioră suprfeţei () definită prin +, +. oluţie. Ţinând sem de observţi... c) reultă că sin dd i j k n 4 4 u formul din teorem... reducem problem l clculul unei integrle de suprfţă de primul tip: I dd dd ( ) dd [ ( )] d 4 4 Notând {(, ): + } obţinem integrl: I [( )( ) ( )] dd ( )( )dd Trecând l coordonte polre, notând * [, ] [, π], obţinem I r ( r ) rdrdt ( r r ) drdt * * 4 6 r r ( r r ) dr π 4 4 6 6
Eerciţiul... lculţi direct şi folosind formul lui Green-Riemnn ( ) d ( ) d, unde γ este triunghiul cu vârfurile A(,), B(,), (,), prcurs o dtă în sens poitiv. oluţie. γ este reuniune segmentelor AB, B, A, unde: AB:, [, ] B: 4, [, ] A:, [, ] B Atunci ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d + ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d B A AB [ ( ) ( ) ] d [( (4 ) ) ( 4 ) ] d + [ ( ) ( ) ]d 8 d (4 6 6)d ( ) d (4 6 6) d + 4 6 6 A 4 Aplicând cum formul Green-Riemnn obţinem: ( ) d ( ) d (( ) ) (( )) dd [ ( ) 4] dd ( ) dd 4 d 4 ( 8 8) d ( ) dd 4 Eerciţiul..4. Folosind integrl curbilinie de speţ II-, să se clculee ri figurii limittă de curb de ecuţie, >. oluţie.
- urb de ecuţie Fr Ari s este A d d cos t sin t cos t sin cos (stroid) re ecuţiile prmetrice t ( cos cos t sin t (sin t cos t) dt sin 8 ( cos 4t) dt 6 6 8 Eerciţiul... ă se clculee t sin t) dt tdt sin t, t[, π]. t dd dd dd pe fţ eterioră semisferei + + R,. oluţie. onsiderăm Ω {(,, ), + + R, }, cre este un domeniu compct elementr. - Frontier s este reuniune două suprfeţe vând imginile: () {(,, ), + + R, } ( ) {(,, ), + R } Aplicând formul Guss-Ostrogrdski, obţinem: dd dd dd + dd dd dd r dd dd dd şi ( ) ddd ( ) ddd [, R] [, ] [, ] sind dd
4 R ( cos ) 6R. Reultă că dd dd dd 6R - 6R Eerciţiul... ă se clculee folosind formul lui tokes circulţi câmpului V ( - ) i + ( - ) j + ( + ) k pe elips () obţinută prin intersecţi cilindrului + cu plnul +, prcursă în sens direct. oluţie. () () În cest c rot V - i - j - k. Alegem drept suprfţă ce re bordur orienttă (), porţiune din plnul +, limittă de cilindrul +. u E re ecuţi v, unde {(u, v) u + v }. v,( u, v) in formul lui tokes reultă : )d ( )d ( )d (dd dd ( dd) - dudv -4ri() ( ) () -4π Eerciţiul..6. ă se demonstree că: V (,, ) i + j - ( + ) k este solenoidl în R. oluţie. Punând V (,, ), V (,, ), V (,, )- ( + ) pentru orice (,, ) R, vem div V V V V () + ( + ) Prin urmre V este solenoidl în R. Eerciţiul..7. ă se demonstree că fluul câmpului vectoril: V (,, ) i + j - ( + ) k, (,, ) R prin forntier închisă oricărui domeniu compct elementr din R este nul oluţie. Notând V (,, ), V (,, ), V (,, ) - ( + ), vem:
div V V V V + ( + ) pentru orice (,, ) R. eci câmpul V este solenoidl în R. in teorem..4.. reultă firmţi. Eerciţiul..8. ă se demonstree că: V (,, ) i + j - ( + ) k, (,, ) R este un câmp de rotori în R şi să se determine un potenţil vector pentru V. oluţie. âmpul V este solenoidl în R (eerciţiul..9). in teorem..4.. reultă că V este, locl, un câmp de rotori în R. ăutăm un potenţil vector de o formă prticulră: Eglitte rot W V conduce l : W (,, ) W (,, ) i + W (,, ) j W (,, ) V,, t) dt (, ) dt ( (, ) ( ) + φ (, ) W (,, ) - V,, t) dt (, ) dt ( (, ) - ( - ) + φ (, ) unde (,, ) R este fit, rbitrr, ir φ şi φ se leg stfel c: V(,, ), dic: - ( + ) Putem lege, de eemplu, φ (, ), φ (, ) - eci: W (,, ) + W (,, ) - + ir câmpul vectoril ( - ) - + ( - ) W (,, ) W (,, ) i + W (,, ) j este un potenţil vector pentru V într-o sferă cu centrul în (,, ). e verifică imedit că eglitte rot W V este devărtă în întreg R, deci W este un potenţil V în R. um R este mulţime deschisă şi steltă, reultă că orice lt potenţil vector pentru vector pentru form W + grd U, unde U este un câmp sclr de clsă în R. Eerciţiul..9. ă se determine fluul câmpului vectoril: V (,, ) i + j - ( + ) k prin fţ eterioră emisferei + +,. oluţie. âmpul V este solenoidl în R (vei eerciţiul..9.), ir V este de
6 W (,, ) i - j este un potenţil vector pentru V (în eerciţiul.. m considert ). Ţinând sem de observţi..4.. fluul căutt este: V n d W d r unde () este emisfer + +,, ir () este bordur s orienttă, dică cercul poitiv. Ecuţiile prmetrice le cercului () fiind cos t, sin t,, t[, π], reultă: prin urmre fluul căutt este nul. Eerciţiul... ă se clculee: W d r d d, dd dd dd orientt unde () este fţ inferioră porţiunii de prboloid + ( - ) cuprinsă în cilindrul +. oluţie. Este evident că V (,, ) - i + j + k este solenoidl în R şi că, de eemplu W (,, ) i + ( + ) j este un potenţil vector l său. Notând cu () bordur orienttă suprfeţei (), cest este curb dtă de: ( ) prcursă în sens invers trigonometric, când se priveşte din origine şi re repreentre prmetrică: cos t, sin t, cos t + (sin t - ), t[, π] Ţinând sem de observţi..4.. vem: dd dd dd d ( ) d [ ( sin t)sin t ( cos t sin t)cos t] dt ( sin t sin t cos t sin t) dt cos t cos t cos t sin t dt sin t t