Capitolul 1 CONICE ŞI CUADRICE 1.1 Conice pe ecuaţii reduse 1.1.1 Elipsa Definiţia 1.1 Elipsa este locul geometric al punctelor din plan cu proprietatea că suma distanţelor la două puncte fie, F şi F (numite focare), este constantă şi egală cua, a R +. MF + MF =a, a > fiat. Rezultă p ( c) + + p ( + c) + =a. Prin calcul şi dacă notăm c = a b dacă a>b,sau c = b a dacă b>a,şi obţinem a + 1=. (1.1) b Ecuaţia (1.1) reprezintă ecuaţia elipsei de semiae a şi b. e = c a,e<1(a>c), în cazul elipsei (a >cdeoarece MF + MF > FF ). Dreaptele de ecuaţie = ± a se numesc drepte directoare ale elipsei. Elipsa are e două dreptedirectoarede ecuaţii = a e şi = a iar punctele elipsei se găsesc între e aceste drepte, a> a e şi a<a e (a e = a c >a). 147
148 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE Observaţia 1.1 Aa O intersectează elipsa în punctele ( a, ) şi (a, ) numite vârfurile elipsei. Aa O intersectează elipsa tot în vârfuri, (,b), (, b). Aele O şi O sunt ae de simetrie pentru elipsă. Punctul (, ) numit centrul elipsei este centru de simetrie. Reprezentarea grafică a elipsei: Deoarece elipsa este simetrică faţă de aele de coordonate e suficient să reprezentăm grafic funcţia f :[,a] [,b] f() = a b a, f () = b a a <, f ab () = (a ) <, a 1 1 3 1-3 - -1 1 3-1 - Tangenta la elipsă a + 1=. (1.) b Ecuaţia (1.) a tangentei la elipsă dusă printr-un punct (, ) de pe elipsă seobţine prin dedublare. Reprezentarea ½ paramertică a elipsei: = a cos t,t [, π). = b sin t Eerciţiul 1.1 Fieelipsadeecuaţie 6 + 3 1=.
1.1. CONICE PE ECUAŢII REDUSE 149 Să se determine: vârfurile elipei, semiaele elipsei, focarele elipsei, ecuaţiile dreptelor directoare, ecentricitatea elipsei, ecuaţiile paramerice ale elipsei, ecuaţiile tangentelor la elipsă prinpunctelem,,n(1, 3). Vîrfurile A( 6, ),A ( 6, ),B(, 3),B (, 3), a =6 a = 6,b =3,b= 3,c= a b = 3, focarele F 3,,F 3,, ecentricitatea e = 3 6 = 1,= ± 3ecuaţiile dreptelor directoare. Verificăm dacă punctul M, se găseştepeelipsă. 6 + 3 1=. Deducem tangenta la elipsă printr-un punct al ei prin dedublare: + 1=. 6 3 Verificăm dacă punctul N (1, 3) se găseşte peelipsă. 1 6 + 9 1 6=. 3 Ducem tangenta la elipsă printr-un punct eterior ei. Intersectăm dreapta 3=m ( 1) cu elipsa şi punem condiţia ca să intersecteze elipsa într-un singur punct 3=m ( 1) 6 + 3 1= (m +1) +4 (3m m )+m 1m +1= =1m +1m 1 1m +1m 1 =, m 1 39 3, ª 1 39 3 3= 1 39 3 ( 1), 3= 1 39 3 ( 1). Proprietatea optică a elipsei: reflectă luminaşi undele sonore. Orice rază delumină sau semnal care porneşte dintr-un focar este reflectat în celălalt focar. 1.1. Hiperbola Definiţia 1. Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea că diferenţa distanţelor la două punctefie, F şi F (numite focare), este constantă şi egală cua, a R +.
1 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE Deducerea ecuaţiei hiperbolei. MF MF =a, a > fiat, dacă MF > MF sau MF MF =a, dacă MF > MF. Rezultă p douăecuaţii cărora le corespund cele două ramurialehiperbolei, ( + c) + p ( c) + =a şi p ( c) + p ( + c) + =a. Notăm c = a + b şi obţinem: a 1=. (1.3) b Ecuaţia (1.3) reprezintă ecuaţia hiperbolei de semiae a şi b. Notăm e = c, numită ecentricitatea hiperbolei. Observăm că e>1, în cazul a hiperbolei (a <cdeoarece MF MF < FF ). Hiperbola are două dreptedirectoarede ecuaţii = a e şi = a iar punctele e hiperbolei se găsesc în eteriorul acestor drepte, a< a şi a> a( a = a <a). e e e c Observaţia 1. Aa O intersectează hiperbola în punctele ( a, ) şi (a, ) numite vârfurile hiperbolei. Aa O se numeşte aă transversă. Aa O nu intersectează hiperbola. Aele O şi O sunt ae de simetrie pentru hiperbolă. Punctul (, ) numit centrul hiperbolei este centru de simetrie. Reprezentarea grafică ahiperbolei: Din ecuaţia (1.3) a hiperbolei obţinem: = b a a sau = b a a. Deoarece hiperbola este simetrică faţă de aele de coordonate e suficient să reprezentăm grafic funcţia f :[,a] [,b] f() = a b a, f () = b a >, a f ab () = ( a ) <. a Dreptele = ± b sunt asimptote. a
1.1. CONICE PE ECUAŢII REDUSE 11 f() Într-adevăr, m =lim = b µ a şi b n = lim (f() m) = lim a a b a =. Dreptele = ± b se numesc asimptotele hiperbolei. a 6 4 4 6 8 1 6 4-1 - 1 - -4-6 Tangenta la hiperbolă a 1=. (1.4) b Ecuaţia (1.4) a tangentei la hiperbolă dusă printr-un punct (, )depehiperbolăse obţine prin dedublare. Observaţia 1.3 Hiperbola a +1=. (1.) b este numită şi hiperbola conjugată hiperbolei (1.3). Are aceleaşi asimptote, aceleaşi ae. Eemplu de hiperbolă conjugată: 3 +1=
1 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE 4-4 - 4 - -4 Dacă a = b, hiperbola se numeşte echilateră şi are ecuaţia = a. Asimptotele sale sunt bisectoarele aelor, = şi =. Eemplu de hiperbolă echilateră: =1 4-4 - 4 - -4 Tot hiperbolă echilateră este = ±a. În acest caz asimptotele hiperbolei sunt aele de coordonate. Eemple: = (roşu) şi respectiv = (verde). - -4-3 - -1 1 3 4 - -1 ½Reprezentarea paramertică ahiperbolei: = a ch t,t R. = b sh t 1.1.3 Parabola Definiţia 1.3 Parabola este locul geomertic al punctelor din plan egal depărtate de un punct fi, F, numit numit focar, şi o dreaptă dată, numită dreaptă directoare. Deducerea ecuaţiei parabolei.
1.1. CONICE PE ECUAŢII REDUSE 13 Pentru a deduce ecuaţia parabolei alegem un reper preferenţial: originea O areperului se alege în vârful parabolei, versorul i este versorul vectorului OF iar versorul j se alege perpendicular pe i în O. Din felul în care am ales reperul R deducem că OF = p i şi dreapta directoare de ecuaţie = p. Trebuie săavem + p r = ( p ) + + p + p 4 = p + p 4 + =p. (1.6) Tangenta la parabolă = p( + ). (1.7) Ecuaţia (1.7) a tangentei la parabolă dusă printr-un punct (, ) de pe parabolă se obţine prin dedublare. Observaţia 1.4 Ecentricitatea parabolei este e = 1. Razele care pornesc din focar sunt reflectate de parabolă într-un fascicul paralel cu aa O a parabolei. Această proprietate este folosită la construcţia farurilor. O reprezentare parametrică a parabolei este = t, = t /(p). Aceste curbe se mai numesc conice nedegenerate (focarul nu aparţine dreptei directoare).
14 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE Conicele degenerate sunt: 1. Conice pe ecuaţii generale Fie reperul R =(, i, j )într-un plan (π). Definiţia 1.4 Conica este locul georetric (Γ) al punctelor M din planul (π) ale căror coordonate (, ),în raport cu reperul ortonormat R, satisfac ecuaţia: (Γ) :f(, ) :=a 11 +a 1 + a +a 1 +a + a =, unde a 11 + a 1 + a 6=,a ij R,i,j {, 1, }. (1.8) Matriceal, ecuaţia conicei se scrie: µ µ a 11 a 1 + µ a a 1 a 1 a + a = Utilizând rotaţia şi translaţia realizămoschimbaredereperdelareperulr =(, i, j ) la un reper adecvat orientat pozitiv, numit reper canonic, faţă de care conica(1.8) să aibă cea mai simplă formă posibilă, numită forma canonică. 1..1 Algoritmul de aducere la forma canonică a unei conice. Pasul I. Se realizează rotaţia sistemului de ae, R =(O, i, j ) R =(O, e 1, e ), astfel: µ a11 a Fie A = 1. a 1 a
1.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 1 Calculăm ecuaţia caracteristică a11 λ a 1 a λ = a 1 λ (a 11 + a )λ + a 11 a a 1 =. (1.9) Corespunzător valorilor proprii λ 1 şi λ avem vectorii proprii ( u 1, u ). Fie e 1 = 1 k u 1 k u1, e = 1 k u k u versorii vectorilor proprii. ( e 1, e )daudirecţiile noilor ae O şi respectiv O. Dacă e 1 = a 1 i + a j, e = b 1 i + b j atunci matricea de rotaţie R = µ a1 b 1 a b trebuie să indeplinească condiţiacadetr = 1(avemîn vedere posibilitatea înlocuirii unuia din versori prin opusul său sau renumerotarea acestora) pentru a fi la fel orientată cubaza canonică. Facem schimbarea de coordonate µ µ µ a1 b = 1 a b Ecuaţia conicei după rotaţie devine λ 1 + λ +a 1 +a + a =. Observăm căîn urmarotaţiei dispare termenul în. Pasul II. Efectuăm translaţia reperului, R =(O, e 1, e ) R =(C, e 1, e ). Dacă λ 1 λ 6=conicavafi oconică cu centru. Restrângem pătratele şi efectuăm o translaţie µ µ λ 1 + a 1 +( a 1 ) + λ λ 1 λ 1 µ µ λ 1 + a 1 + λ + a λ 1 λ Notăm X = + a 1 λ 1 Y = + a λ + a λ +( a λ ) + a (a 1) λ 1 (a ) λ = + a (a 1) λ 1 (a ) λ = şi obţinem: λ 1 X + λ Y + a 1) (a (a ) = care reprezintă forma canonică a λ 1 λ conicei. Centrul conicei va fi = a 1 λ 1 = a λ în reperulr =(O, e 1, e ). Coordonatele centrului conicei raportate la reperul iniţial,
16 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE µ a1 b = 1 a b µ a 1 λ 1 a reprezintă origineareperuluir =(C, e 1, e ),C(, ) Discuţia tipului conicei λ λ 1 λ a 1) (a (a ) λ 1 λ Tipul conicei + + + elipsă imaginară + + - elipsă reală + - hiperbolă + + hiperbolă + + un punct + - două drepteconcurente - + două drepteconcurente Desenăm graficul conicei în noul sistem de ae. (eemplele 1.1,1.). Algoritmul se opreşte. Pasul III Dacă λ 1 λ =. În acest caz o valoare proprie este nulă deoarece.(ambele valori proprii nu pot fi nule). Presupunem că λ 6=. Vom obţine λ ( ) +a 1 +a + a =. Restrângem pătratele şi efectuăm o translaţie à µ! λ + a a + = (a ) a a λ λ λ 1 µ! λ + a = a 1 à + a a λ λ a 1 Notăm Y = + a λ X = + a a λ a 1 iar forma canonică vafi: λ Y = a 1X Y = a 1 X. λ Dacă a 1 = conica se reduce la două drepte confundate. Dacă a 1 6= conica este o parabolă. Vîrful parabolei va fi şi originea noului reper. Coordonatele originii în sistemul rotit vor fi: = a, = a λ rotaţia: a λ a 1. În sistemul iniţial coordonatele originii se obţin aplicînd
1.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 17 µ a1 a = z b 1 b µ a λ a a λ a 1. Se desenează parabola. Algoritmul se opreşte. (Eemplul 1.3) 1.. Eemple Eemplul 1.1 Să seaducălaformacanonicăconica +8 + 18 18 +9= şi să se reprezinte grafic. Rezolvare: Matriceal, ecuaţia conicei se scrie µ µ 4 9 9 µ +9= 4 µ 4 Matricea formei pătratice este. 4 Ecuaţia caracteristică esteλ 1λ +9= λ 1 =1,λ =9. ½Vectorii proprii se obţin rezolvând sistemele: 41 +4 = 4 1 +4 = u 1 = i j ³ e 1 = i 1 j ½ 41 +4 = 4 1 4 = u = i + j ³ e = 1 i + j. Matricea à de rotaţie! este: 1 1 R =, det R =1. 1 1 Transformarea µ à coordonatelor! este dată de 1 µ 1 = 1 1 Ã! 1 µ 1 à 4 1 1 1 1 1 4 9 9 à 1 1 1 1 1! µ +9=! µ ( ) +9( ) 18 +9= ( ) +9 ( ) + 9= ( ) +9( ) 9= Conica este o elipsă. Notăm ½ X = Y =. Forma canonică estex +9Y 9= X 9 + Y 1=. Originea reperului în care conica are forma canonică este
18 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE µ Ã = 1 1 1 1! µ µ 1 = 1 Trasarea graficului: -rotaţia sistemului de ae: reperulr =(O; i, j ) trece în reperul R =(O; e 1, e ). Sensul aelor (O,O )estedatdevectorii ³ e 1 = i 1 j, ³ e = i 1 + j. R =(O; i, j ) R =(O, e 1, e ) Figura 8.7. -translaţiasistemuluideae:reperulr =(O, e 1, e ) trece înreperulr =(C, e 1, e ) unde C(1, 1) în acest ultim reper trasăm graficul elipsei:
1.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 19 Fig. 8.8 Eemplul 1. Să seaducălaformacanonicăconica 3 4 +4 3= şi să se traseze graficul. Rezolvare: Matriceal, ecuaţia conicei se scrie µ µ 3 + 1 µ 3= µ 3 Matricea formei pătratice este. Ecuaţia caracteristică esteλ 3λ 4= λ 1 = 1,λ =4. ½Vectorii proprii se obţin rezolvând sistemele: 41 = 1 + = u 1 = i + j ³ e 1 = 1 i +j ½ 1 = 1 4 = u = i + j ³ e = 1 i + j à 1 R =, det R =1. 1! Transformarea µ à coordonatelor! este dată de 1 µ = 1 Ã! 1 µ 3 1 + 1 Ã! 1 µ 1 3= 4( ) ( ) + 6 + 8 3= Ã! 1 µ 1 +
16 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE 4 ( ) + + 1 ( ) 6 + 9 = ³ 4 + ³ + 3 =. Conica este o hiperbolă. Notăm ( X = 3 Y = +. Forma canonicăeste4y X = X +Y 1=. Originea reperului în care conica are forma canonică este µ Ã = Trasarea graficului:!ã 1 3 1! µ 1 = 1 -rotaţia sistemului de ae: reperulr =(O; i, j ) trece în reperul R =(O, e 1, e ). Sensul aelor (O,O ) este dat de vectorii ³ e 1 = i 1 +j şi e = 1 ³ i + j. R =(O; i, j ) R =(O, e 1, e ) -translaţia sistemului de ae: reperul R = (O, e 1, e ) trece în reperul R = (C, e 1, e ).unde C(1, 1) în acest ultim reper trasăm graficul:
1.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 161 4-4 - 4 - -4 Eemplul 1.3 Să se aducă la forma canonică şi să se deseneze conica: 4 +4 6 + +1= Rezolvare: Matriceal, ecuaţia conicei se scrie µ µ 1 + 3 1 µ +1= 4 µ 1 Matricea formei pătratice este. 4 Ecuaţia caracteristică esteλ λ = λ 1 =,λ =. Vectorii ½ proprii se obţin rezolvând sistemele: pentru λ 1 = 1 = 1 +4 = u 1 = i + j ³ e 1 = 1 i + j pentru ½ λ = 41 = 1 1 = u = i j ³ e = 1 i j Ã! 1 R =, det R = 1 1, deci ma- Pentru ca det R =1schimbăm sensul vectorului e, e = 1 ³ i + j tricea deã rotaţie va fi 1 R =. 1! Transformarea µ Ã coordonatelor! este dată de 1 µ = 1 Ã! 1 µ 1 4 1 Ã! 1 µ 1 + + 3 1 Ã! 1 µ 1 +1= ( ) + ³ +1= ( ) + + 1 =
16 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE ³ + 1 =. Notăm ½ X = Y = + 1. Forma canonicăestey X = Vârful parabolei va fi în punctul C(, 1/ ), coordonatele punctului fiind în sistemul rotit. În sistemul iniţial coordonatele vârfului parabolei vor fi µ Ã! 1 µ µ = 1 1 1 = C( 1, ) Trasarea graficului: -rotaţia sistemului de ae: reperulr =(O; i, j ) trece în reperul R =(O, e 1, e ). Sensul aelor (O,O ) este dat de vectorii e 1 = 1 ³ i + j, ³ e = i 1 j. R =(O; i, j ) R =(O, e 1, e ) -translaţia sistemului de ae: reperul R = (O, e 1, e ) trece în reperul R = (C, e 1, e ), unde C va fi vârful parabolei. în acest ultim reper trasăm graficul parabolei:
1.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 163 4-4 - 4 - -4 Eemplul 1.4 Să se aducă la forma canonică şi să se deseneze conica: + + + + 3= Rezolvare: Matriceal, ecuaţia conicei se scrie µ µ 1 1 + 1 1 µ 3= 1 1 µ 1 1 Matricea formei pătratice este 1 1 λ 1 =,λ =. Vectorii proprii se obţin rezolvând sistemele: pentru λ 1 = ½ 1 + = 1 + = u 1 = i j ³ e 1 = i 1 j pentru ½ λ = 1 + = u = i + j ³ e = i 1 + j R = 1 Ã = 1 1 1 1!, det R =1 Transformarea µ Ã coordonatelor! este dată de 1 µ 1 = 1 1 Ã! 1 µ 1 Ã 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Ecuaţia caracteristică esteλ λ = 1! µ 3=,! µ + + 1 1 Ã 1 1 1 1 + 3= + +1 4= +1 4= 1 +3 = conica reprezintă douădrepte paralele µ Ã! 1 µ 1 µ = 1 1 1 = 1 1 + 1 1= ( 1 + 1 ) = + 1
164 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE +3= ( 1 + 1 ) +3= + +3= = 3, =1 6 4-4 - 4 - -4-6 -8 1.3 CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE Numim cuadrice nedegenerate suprafeţele: sfera, elipsoidul, hiperboloidul cu o pânză, hiperboloidul cu două pânze, paraboloidul eliptic şi paraboloidul hiperbolic. Deoarece ele admit într-un reper ortonormat reprezentări analitice pe ecuaţii algebrice de gradul doi, ele sunt suprafeţe algebrice de ordinul al doilea. 1.3.1 Sfera Fie reperul R =(O; i, j, k )şi punctele M i ( i, i,z i ),i = 1,, 3. Reamintim formula distanţei dintre două puncte: dist(m 1,M )= p ( 1 ) +( 1 ) +(z z 1 ). Definiţia 1. Locul geometric al punctelor din spaţiu M(,, z) cu proprietatea cădistanţa lor la un punct fi M (,,z ) este constantă senumestesferă (suprafaţă sferică). Dacă r respectiv r sunt vectorii de poziţie ai punctelor M şi M, atunci kr r k = R. (1.1) M (,,z ) se numeşte centrul sferei, iar r este raza sferei. Teorema 1.1 Punctul M(,, z) aparţine sferei de centru C(,,z ) şi rază R dacă şi numai dacă ( ) +( ) +(z z ) = R. (1.11) Demonstraţie. M sferei km Mk = R kr r k = R p ( ) +( ) +(z z ) = R ( ) +( ) +(z z ) = R.
1.3. CUADRICEPEECUAŢII REDUSE 16 Observaţia 1. Ecuaţia (1.1) se numeşte ecuaţia vectorială a sferei. (1.11) se numeşte ecuaţia carteziană implicită a sferei. Ecuaţia Ecuaţia sferei este un polinom de grad doi în,, z,termenuldegraddoifiind + +z. Aceasta ne sugerează să cercetăm ecuaţia + + z +a +b +cz + d = şi să stabilim în ce caz ea reprezintă ecuaţia unei sfere. Această ecuaţiesemaipoatescrie de forma ( + a) +( + b) +(z + c) = a + b + c d. De aici observăm că dacă a) a + b + c d>ecuaţia reprezintă osferă de centru ( a, b, c) şi rază R = a + b + c d. b) a + b + c d = ecuaţia reprezintă un punct de coordonate ( a, b, c); c) a + b + c d< ecuaţia reprezintă osferă imaginară. Ecuaţia + + z +a +b +cz + d =cua + b + c d> reprezintă ecuaţia carteziană generală a sferei. Ecuaţia sferei cu centru în origineşi de rază R este + + z = R. Observaţia 1.6 Sfera este o mulţime mărginită şi închisă, deci compactă. Punctele de pe suprafaţa sferică sunîn interiorul unui pătrat deoarece din ecuaţia ( ) +( ) + (z z ) = R rezultă că( ) R R + R. Analog şi pentru şi z. Ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul în M (,,z ): = + R cos ϕ sin ψ h = + R sin ϕ sin ψ,ϕ [, π),ψ π, π i. z = z + R cos ψ 1.3. Elipsoidul Definiţia 1.6 Locul geometric al punctelor M(,, z) din spaţiu care satisfac ecuaţia a + b + z c =1,a,b,c R +, (1.1) se numeşte elipsoid.
166 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE Studiem forma acestei suprefeţe plecând de la ecuaţia (1.1). Deoarece coordonatele,, z apar în ecuaţia (1.1) la pătrat, rezultă cădacă punctul M(,, z) aparţine elipsoidului, atunci şi punctele M 1 (,, z),m (,, z),m 3 (,, z) aparţin elipsoidului. Dar aceste puncte sunt simetricele punctului M faţă de planele de coordonate. Deci planeledecoordonate(o, Oz, Oz) sunt plane de simetrie ale suprafeţei. Analog şi punctele M 4 (,, z),m (,, z),m 6 (,, z), simetricele faţă deaeledecoordonate ale punctului M, aparţin elipsoidului, deci acesta admite trei ae de simetrie. Punctul M 7 (,, z), simetricul faţă de origine a punctuluim, se află pesuprafaţă, deci elipsoidul admite un centru de simetrie. În concluzie elipsoidul admite -trei plane de simetrie, -trei ae de simetrie şi -un centru de simetrie. Punctele în care aele de coordonate intersectează suprafaţa se numesc vârfurile elipsoidului şi ele sunt: A(a,, ), A ( a,, ), B(,b,), B (, b, ), C(,,c), C (,,c). Numerele a, b, c se numesc semiaele elipsoidului. Pentru a ne da seama de forma acestei suprafeţe, o intersectăm cu planele de coordonate şi cu plane paralele cu planele de coordonate. Intersecţiile elipsoidului cu planele de coordonate sunt elipse şi anume: a + b =1, z = b + z c =1, = a + z c =1. = Intersectând elipsoidul cu plane paralele cu O obţinem elipse: a + z =1 b c pentru k [ c, c]. z = k Analog cu plane paralele cu Oz, Oz, b + z =1 c a, = k a + z =1 c b. = k
1.3. CUADRICEPEECUAŢII REDUSE 167 Teorema 1. Elipsoidul este o mulţime mărginită şi închisă, deci compactă. Demonstraţie. Din ecuaţia elipsoidului rezultă z 1, 1, 1 a a, b b, c z c a b c toate punctele elipsoidului sunt cuprinse în interiorul unui paralelipiped cu laturi de lungimi finite. Ecuaţia planului tangent la elipsoid printr-un punct al elipsoidului se obţine prin dedublare. Fie M (,,z ) un punct de pe elipsoidul de ecuaţie (1.1). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este a + b + zz c =1 O reprezentare parametrică a elipsoidului se obţine de forma: = a cos ϕ sin ψ h = b sin ϕ sin ψ,ϕ [, π),ψ π, π i. z = c cos ψ Suprafaţa reprezentată prin ecuaţia: a + b + z c +1=,a,b,c> se numeşte elipsoid imaginar. 1.3.3 Hiperboloidul cu o pânză Definiţia 1.7 Locul geometric al punctelor M(,, z) din spaţiu care satisfac ecuaţia a + b z c 1=,a,b,c R +, (1.13) se numeşte hiperboloid cu o pânză. Numerele a, b, c se numesc semiaele hiperboloidului. Observaţia 1.7 Tot hiperboloizi cu o pânză reprezintă ecuaţiile: a b + z c 1=, a + b + z c 1=.
168 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE Hiperboloidul cu o pânză are aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul. Are patru vârfuri, A(a,, ), A ( a,, ), B(,b,),B (, b, ). Intersecţiile cu planele =şi =sunt hiperbole, b z c =1 respectiv = a z c =1 iar cu planul z =intersecţia este = oelipsă a + b =1. z = Intersecţiile cu plane paralele cu O, z = k, sunt elipse reale, oricare ar fi k R: a + b =1+z c. z = k Intersecţiile cu plane paralele cu planele Oz şi respectiv Oz sunt hiperbole, a z k =1 c b, = k b z k =1 c a. = k Rezultă că hiperboloidul cu o pânză este o suprafaţă nemărginită. Dacă a = b elipsele de intersecţie ale suprafeţei cu plane paralele cu planul O sunt cercuri. Cuadrica a + b z =senumeşte conul asimptotic al hiperboloidului cu o pânză. c Ecuaţia planului tangent la hiperboloidul cu o pânză printr-un punct al său se obţine prin dedublare. Fie M (,,z ) un punct de pe hiperboloidului cu o pânză de ecuaţie (1.13). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este a + b zz c =1. O reprezentare parametrică a hiperboloidului cu o pânză este: = a cos ϕ cos ψ = b sin ϕ ³,ϕ [, π),ψ π cos ψ, π. z = c tg ψ
1.3. CUADRICEPEECUAŢII REDUSE 169 O a doua reprezentare parametrică ahiperboloiduluicuopânză seobţine, ţinînd seama că 1+sh ψ =ch ψ, luând z = c sh ψ. Avem: = a cos ϕ ch ψ = b sin ϕ ch ψ,ϕ [, π),ψ R. z = c sh ψ 1.3.4 Hiperboloidul cu două pânze Definiţia 1.8 Locul geometric al punctelor M(,, z) din spaţiu care satisfac ecuaţia a b + z c 1=,a,b,c R + (1.14) se numeşte hiperboloid cu două pânze. Numerele a, b, c se numesc semiaele hiperboloidului. Observaţia 1.8 Tot hiperboloizii cu o pânză reprezintă ecuaţiile: a + b z 1=, c a b + z 1=, c a b z c 1=, - a + b + z +1=, c a + b z 1=, c a + b z c +1=, a b + z +1=, c a + b + z c +1=. Hiperboloidul cu două pânze are aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul. Are două vârfuri C(,,c),C (,,c). Intersecţiile cu planele =şi =sunthiperbole a b =1, z = a z c =1. = Intersecţiile cu plane paralele cu Oz, = k, sunt elipse: z c + b = z a 1,k (,a] [a, ). = k Intersecţiile cu plane paralele cu planele O şi Oz sunt hiperbole
17 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE a b =1+k c, z = k a z c =1+k b. = k Hiperboloidul cu două pânze este o mulţime nemărginită. Cuadrica a b z =senumeşte conul asimptotic al hiperboloidului cu două c pânze. Ecuaţia planului tangent la hiperboloidul cu două pânze printr-un punct al său se obţine prin dedublare. Fie M (,,z ) un punct de pe hiperboloidului cu două pânze de ecuaţie (1.14). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este a b zz c =1. O reprezentare parametrică a hiperboloidului cu două pânze este: = a cos ϕ sh ψ = b sin ϕ sh ψ,ϕ [, π),ψ R +. z = c ch ψ 1.3. Paraboloidul eliptic Definiţia 1.9 Locul geometric al punctelor M(,, z) din spaţiu care satisfac ecuaţia se numeşte paraboloid eliptic. a + =z, a, b > (1.1) b Observaţia 1.9 Tot paraboloizi eliptici reprezintă ecuaţiile: b + z =, c a + z c =. Planele de coordonate Oz şi Oz sunt plane de simetrie, iar aa Oz este aă de simetrie asuprafeţei. Paraboloidul eliptic nu are centru de simetrie. Din relaţia (1.1) rezultă că z, deci paraboloidul eliptic esta situat deasupra planului O. Intersecţiile cu planele z = k, k, sunt curbele a + b =z z = k
1.3. CUADRICEPEECUAŢII REDUSE 171 care reprezintă pentru k > elipse reale ale căror semiae cresc odată cuk. Pentru k = obţinem = = z =, adică originea reperului. Punctul O este singurul vârf al suprafeţei. Intersecţiile cu celelalte plane de coordonate sunt parabole. Intersecţiile cu plane paralele cu Oz şi Oz sunt parabole k =z a b = k, =z b a = k Ecuaţia planului tangent la paraboloidul eliptic printr-un punct al său se obţine prin dedublare. Fie M (,,z ) un punct de pe paraboloidului eliptic de ecuaţie (1.1). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este a + b = z + z. O reprezentare parametrică a paraboloidului eliptic se obţine luând z = v : = aψ cos ϕ = bψ sin ϕ z = 1, (u, v) [, π) [, ). ψ 1.3.6 Paraboloidul hiperbolic Definiţia 1.1 Locul geometric al punctelor M(,, z) din spaţiu care satisfac ecuaţia a =z,a,b > (1.16) b se numeşte paraboloid hiperbolic. Observaţia 1.1 Tot paraboloizi hiperbolici reprezintă ecuaţiile: b z =, c a z c =. PlaneledecoordonateOz şi Oz suntplanedesimetrie,iaraaoz este aă de simetrie a suprafeţei. Paraboloidul hiperbolic nu are centru de simetrie.
17 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE Intersecţiile cu planele z = k sunt curbele a b =z z = k care reprezintă hiperbole. Pentru k =obţinem a =, adică o pereche de drepte b secante prin origine. Punctul O este singurul vârf al suprafeţei. Intersecţiile suprafeţei cu plane paralele cu planul Oz sunt parabole = b z + b z a, = k iar intersecţiile suprafeţei cu plane paralele cu planul Oz sunt parabole =a z + a z b = k Ecuaţia planului tangent la paraboloidul hiperbolic printr-un punct al său se obţine prin dedublare. Fie M (,,z ) un punct de pe paraboloidului hiperbolic de ecuaţie (1.16). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este a b = z + z. O reprezentare parametrică a paraboloidului eliptic se obţine luând: = aϕ = bψ z = 1, (u, v) R. (ϕ ψ ) 1.4 Cuadrice degenerate Numim cuadrice degenerate următoarele suprafeţe: suprafaţa determinată de o pereche de plane, cilindrul pătratic, conul pătratic. 1.4.1 Cilindri pătratici Cilindrii pătratici sunt de trei tipuri: a) cilindrul eliptic are ecuaţia canonică a + 1=,a,b>. (1.17) b Intersectând această suprafaţă cu plane paralele cu planul O, z = k, obţinem elipsele de semiae a şi b, pentru orice k R a + b 1=. z = k
1.4. CUADRICE DEGENERATE 173 Observaţia 1.11 Tot cilindrii eliptici au ecuaţiile a + z c 1=,a,c>.z c + b 1=,c,b>. b) cilindrul hiperbolic are ecuaţia canonică a 1=,a,b>. (1.18) b Intersectând această suprafaţă cu plane paralele cu planul O, z = k, obţinem hiperbole de semiae a şi b, pentru orice k R a b 1=. z = k Tot cilindrii hiperbolici sunt a z z 1=,a,c>; c c b 1=,c,b>. c) cilindrul parabolic are ecuaţia canonică =p. (1.19) Intersectând această suprafaţă cu plane paralele cu planul O, z = k, obţinem parabolele, pentru ½ orice k R =p. z = k Tot cilindrii parabolici sunt z =p, =pz, =p, =pz, z =p. 1.4. Conul pătratic Conul pătratic este suprafaţa de ecuaţie a + b z c =,a,b,c R +. (1.) Intersectând această suprafaţă cu plane paralele cu planul O, z = k, obţinem elipsele pentru orice k R
174 CAPITOLUL 1. CONICE ŞI CUADRICE a + b k c =. z = k Observaţia 1.1 Tot conuri pătratice reprezintă ecuaţiile a b + z =,a,c>. c a + z c + b =,a,b,c>.