5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare şi f : A R fucţie derivabilă pe A. Defiiţia IV.5. Fie f : A R fucţie derivabilă pe A cu f : A R. ] Dacă f : A R este fucţie derivabilă pe A, pri defiiţie tat f = f A se umeşte derivata de rdi II a fucţiei f pe (, A. 2] Î md recursiv, dacă derivata de rdi ( -, f ( : A R; este fucţie derivabilă pe A, pri defiiţie:: ( tat ( f = f, A se umeşte derivata de rdi a fucţiei f pe A. 3] Fucţia f este de clasă pe A, tat f C ( A, sau f de clasă C pe A, dacă eistă f, f...,f (, f ( pe A şi f ( este fucţie ctiuă pe A. 4] Fucţia f este de clasă ifiit sau f este fucţie ifiit derivabilă pe A, tat f C ( A, dacă f este de clasă C petru N {+ }. Terema IV.9. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare şi f : A R. Fucţia f este de clasă C pe A (f C (A, dacă şi umai dacă, A V V( cu V A a. î. f A C (V. 253
Demstraţie: Petru = aplicăm prprietatea: eistă f ( V V( a. î. ( f A V ( eistă şi avem f ( = ( f ( dearece derivata î puct este limita raprtului Petru > se aplică metda iducţiei. f f. A V, Terema IV.2 Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare şi f, g : A R. Dacă f şi g sut fucţii derivabile de ri î A, atuci f + g, λf (λ R, f g sut fucţii derivabile de ri î şi au lc frmulele de calcul: (( f + g = f + g ( 2 ( λ f =λ f ( 3 fg = f g + C f g +... + ( ( k k k + C f g +... + C f g iducţiei. (Frmula lui Leibiz. Demstraţie: Frmulele ( şi (2 se deduc, pri metda (3 Fie P(: k ( k ( k k = fg = C f g şi pri iducţie avem: P(:( fg ( f ( g( f ( g ( = + adevărată. Petru k presupuem P(k adevărată, deci: ( ( ( k k = k + k k k + K + k fg f g C f g C f g şi calculăm pri derivare: k+ k ( k k ( k fg = fg = f g +... + Ck f g ( + k k + C f g = f g + C f g + + k+ k+ k k+... 254
( k + k + + Ck + f g ude s-a flsit relaţia cuscută: j j j C,,2,, k + Ck = Ck+ j = K k şi deci P(k+ este adevărată, î ccluzie P( adevărată petru rice. Cseciţa IV.. Fie A R care îşi cţie puctele de acumulare şi f, g : A R. Dacă f, g C ( A cu N { } +, λf C ( A ( λ R şi fg C ( A f g C A. +, atuci: Observaţii:. Di defiiţia IV.5 şi terema IV.2 rezultă că di puct de vedere algebric mulţimea C (A are structură de iel cmutativ cu elemet uitate, î raprt cu peraţiile uzuale de aduare şi îmulţire a fucţiilr f, g : A R cu A mulţime deschisă. 2. Di defiiţia IV.5 rezultă că C ( A C ( A icluziui: = şi are lc şirul de 2 K K C A C A C A C A C A C A 3. Pri iducţie se pt calcula derivatele de rdi petru fucţii elemetare şi avem: π = + R, N 2 ( si si ; π = + R, N 2 ( 2 cs cs ; + ( ( (! 3 l = ; >, N ( 4 l ; R, N; a = a a a >, a 255
5 m m = m m K m + ; R, m N α ( α =α( α K ( α + ; >, α R, N ( π = ( ( + = 2 (! π = si arctg + ; R, N 2 6 arctg!cs arctg si arctg 2 2 ( + ( + =α α K α + + > α R, N α α 7 ; ; = R, N ( R 8 cu şi impar f f C k ( k ( K ( k+ ; k =, K, ; R f = ; k + ( ( R f = f = L = f = f C ; avem: ( - ( - ( f ( =!şi ( f ( =+! f f C s d ( R 4. Vm euţa uele tereme petru fucţiile derivabile care se geeralizează petru f C (A. TeremaIV. 2. Fie f : [a, b] R derivabilă de ri petru care eistă puctele a < < K < = b astfel îcât f ( = cuk {,, K, }, atuci eistă ( c a, b a.î. f c =. Demstraţie: Se aplică terema lui Rlle şi rezultă că f" se aulează î cel puţi pucte disticte c ( k, i i i cu i =,...,. Î aceste cdiţii se aplică lui f terema lui Rlle şi rezultă că f " se aulează 256
2 î cel puţi ( - pucte disticte c (, i ci ci, i = 2, 3, şi î md iductiv se bţie ccluzia teremei. Terema IV.22. Fie I, J R itervale şi f : I J, f C (I, atuci f este C difemrfă, dacă şi umai dacă, f (, I şi f este surjectivă. Demstraţie: S-a demstrat că f este difemrfă, dacă şi umai dacă, f (, I şi f este surjectivă (terema IV.5. Dacă f (, I şi f C (I atuci f f este fucţie ctiuă şi cum ( f ( y =, y J rezulta că f ( f ( f ( y este ctiuă şi atuci f este C difemrfism. Dacă f (, I şi f C 2 (I atuci f este de clasă C (I deci f C (J şi f f este de clasă C, ca cmpuere de fucţii de clasă C şi di frmula de calcul petru ( f rezulta ca f este de clasă C, deci f este de clasă C 2 şi atuci f este u C 2 difemrfism. Petru 2 se bţie afirmaţia di teremă pri iducţie. Terema IV.23.(Terema lui Cauchy. Fie I R iterval, I şi f, g : I R.Dacă sut îdepliite cdiţiile: ] f = g = ; 2 ] f şi g sut derivabile de ri î ; { } 3 k k ] f = g =, k,, K, ; 4 ] ( g atuci eistă lim ( ( ( f f = g g 257
Terema IV.24. (Terema lui LHspital Fie ab, R cu a< bşi I R iterval, iar ( ab, I [ ab, ], ( ab, şi { } f, g: I R fucţii cu prprietăţile: f, g derivabile de ri şi 2 ( k ( k ( { } g I lim f = lim g = (respectiv {,, K, } k = 3 eistă lim f g lim g ( k (, = + petru ( ( = l ( l R sau l =± atuci g(, I { } ( (respectiv eistă V V( cu g(, V I { } lim f ( g cu lim f ( g = l. şi eistă Demstraţie: Cfrm teremei LHspital dacă (, { } g I se arată că (, petru { } g I (respectiv eistă V V( a. î. ( g (, V I { } şi atuci lim f g ( ( ( ( = l. Se ctiuă acelaşi raţiamet petru derivatele de rdi ( -,..., pâă se bţie î md iductiv ccluzia teremei. 4. Frmula lui Taylr. Aplicaţii ale frmulei Taylr. Fie I R iterval, f : I R fucţie derivabilă î I, dacă eistă: ( f f f lim = ; csiderâd fucţia 258
f f f ; I α ( = ; =, { }, atuci : f = f + f + α I ude ( ( lim α = =α. Deci, dacă f este derivabilă î I, atuci f este aprimativ egală cu fucţia de gradul uu: f ( ( f ( f f,, V + f V I V. + : Di cele de mai sus, vm dvedi că eisteţa derivatei de rdi a fucţiei f î I, atreează faptul că f este aprimativ egală cu u plim î ( de gradul cu ceficieţi reali pe V I, V V (, f = T + R V I ude fucţia R ( are prprietatea deci:, R ( ( lim = f T V I. Răspusul va fi dat pri şi:, frmula luii Taylr care este geeralizare a frmulei lui Lagrage (IV.: f ( b f ( a f ( c( b a ; c ( a, b =. Defiiţia IV.6. Fie A R mulţime deschisă, A, f : A R fucţie derivabilă de ri î puctul A. ] Plimul: ( IV.2 ( ; ( T = f + f + f ( + L! 2! ( ( f ( L + se umeşte plim Taylr de grad asciat lui f! şi puctului. 2] Fucţia 259 2
IV.3 R ; = f T ;, A se umeşte rest Taylr de rdi asciat fucţiei f şi puctului. IV.4 f = T + R, A se umeşte frmula 3] Idetitatea: lui Taylr, iar membrul II di (IV.4 se umeşte dezvltarea Taylr de rdi a fucţiei f î puctul A. Terema IV.25. Fie I R iterval deschis, I şi f : I R fucţie derivabilă de ri î, atuci f pate fi eprimată pe I pri frmula Taylr: ( IV.4 ( 2 f f f f = + + + L! 2! ( ( L + f + R ;, I.! ude fucţia R (, are prprietatea: R ( ; ( IV.5 lim =. Demstraţie: Frmula (IV.4 revie la a dvedi egalitatea (IV.5 şi csiderăm: ( t ( R ( ; = f ( f ( f ( L f = F,!! I şi G =, I. Fucţiile F şi G sut derivabile de ri î I, cu: ( k ( k =, = petru k {, 2, K, } F G şi ( k ( k F =, G =!. După terema lui Cauchy cu f şi g derivabile de ri î I, avem: ( ; ( ( ( R F F F lim = lim = lim = K = lim = G G G 26
( ( ( ( ( F F = lim = = = tcmai egalitatea (IV.5. G G! Csecita IV.. Dacă f este derivabilă de ri î I, atuci are lc frmula Maclauri: 2 ( IV.6 f = f + f + f + L + f + R (! 2!! R ( cu lim = (IV.6. Î cdiţii echivalete sau mai restrictive, decât cele specificate î terema IV.25 care cţie frmula Taylr (IV.4, restul R (; pate fi eprimat î mduri diferite. Terema IV.26 (Frmula lui Taylr cu rest Pea Dacă f : I R este derivabilă de ri î I cu I iterval deschis di R, atuci eistă fucţie α : I R ctiuă şi ulă î astfel îcât: ( IV.3 ;, R = α I(restul Pea! Demstraţie: Flsid relaţia (IV.5 verificată de fucţia R (; defiim : R, R (,! ; I α I α = ; = { } şi α este fucţia cerută de teremă. Terema IV.27. (Frmula lui Taylr cu rest Schlömilch - Rche Fie I R, f: I R derivabilă de ri î I. Dacă eistă I cu şi f ( este fucţie ctiuă pe segmetul de etremităţi şi, atuci eistă ξ situat ître şi a. î.: 26
(IV.3" ( ; p + p ( ( ξ ( + R = f ξ p! (rest Schlömilch - Rche egalitatea: ude p + şi p N*. Demstraţie: Fie, I fiaţi şi csiderăm K R defiit pri (* ( ( p L şi!! f = f + f + + f + K csiderăm fucţia ϕ: J R, (J este segmetul de etremităţi şi dată pri: (** ( ( ( ( t ( ( t p ϕ t = f t + f t + L + f t + K t.!! Fucţia ϕ satisface cdiţiile di terema Rlle pe J şi atuci eistă ξ ître şi a. î. ϕ(ξ =. Avem di (**:! f t t f t! ϕ ( t = f ( t ( + ( + L ( ( p ( + p ( ξ ( ( t ( f ( t! ( ξ ( t + f t Kp t ϕ ξ = = f!! + + p + Kp ξ K = f ξ p! + ξ şi îlcuid K î (* se bţie R (; de frma (IV.3" umit restul Schlömilch-Rche di frmula Taylr ude ξ depide de,, şi p. Cseciţa IV.2. (Frmula lui Taylr cu rest Cauchy Î cdiţiile di terema precedetă (Frmula lui Taylr cu restul Schlömilch-Rche eistă ξ ître şi astfel îcât: (IV.3 ( ; ( ( ξ ( + R =! f ξ (restul Cauchy. 262
Demstraţia se bţie di (IV.3" petru p = ude ξ depide de,,. Cseciţa IV.3 (Frmula lui Taylr cu rest Lagrage Î cdiţiile di terema precedetă (Frmula lui Taylr cu restul Schlömilch-Rche eistă ξ ître şi astfel îcât: (IV.3 (, ( ( + + ( + R = f ξ! (restul Lagrage. Demstraţia se bţie di (IV.3" petru p = + ude ξ depide de,,. Observaţii:. Restul Lagrage dat pri (IV.3 este cel mai mult flsit datrită frmei simetrice faţă de ceilalţi termei di frmula Taylr şi avem: (IV.4 ( ( + ( ( f = f + f + L + f!! + ( + + f ξ, I (frmula Taylr cu rest Lagrage.! 2. Puctul ξ situat ître şi care apare î tate frmulele petru restul R (, dat pri (IV.3 se pate eprima astfel: + ξ= +θhcu θ, şi h= ( < ξ< sau < ξ< <ξ < h sau h<ξ < ξ < < =θ<. Atuci frmula Taylr cu rest Lagrage se h scrie sub frma: k + h ( k h f + h = f + f ( + f +θh k = k!! (IV.4" (<θ<. ( + ( + 263
3. Frmula Maclaurim (IV.6 are următarele frme după mdul de eprimare al restului: (IV.6 k + p + ( θ f = f + f k! p! ( k ( + ( ( θ cu <θ< şi k = restul Schlmilch-Rche. (IV.6 lui Cauchy. (IV.6 k + ( θ ( k ( + ( ( θ cu <θ< şi restul f = f + f k!! k= k + f = f + f k! ( +! ( k ( + ( ( θ cu <θ< şi restul lui k = Lagrage. 4. Petru = di frmula lui Taylr cu rest Pea (IV.3 se bţie f f = f +α I care idetitatea:, caracterizează pri defiiţie fucţiile reale f difereţiabile î I. 5. Petru = di frmula lui Taylr cu rest Lagrage (IV.4 se bţie: f f = f ξ care este frmula Lagrage petru f pe [, ] sau [, ] cu ξ ître şi. 6. Di frmula Taylr (IV.4 ude fucţia rest are prprietatea (IV.5, rezultă că pe veciătate suficiet de mică V V (, fucţia f pate fi aprimată pri plimul Taylr de di, deci: f T,, V I. Aprimaţia este cu atât mai buă cu cât este mai mare şi veciătatea V este mai mică. 7. Flsid frmula Taylr cu rest Lagrage scrisă sub frma (IV.4 se pu următarele prbleme de aprimare: 264
I Daţi h şi, să se determie erarea pe care facem îlcuid f ( cu T ( ; ude E ( f ( T ( ; =. II Fiid dat şi cerâdu se aumită erare E să se determie h, adică V = ( h, + h I pe care apare erare mai mică decât E câd îlcuim f cu ( ; T pe V I. III Fiid dat h şi cerâdu-se aumită erare mai mică decât (, E = f T, să se determie gradul ( N* al lui T (; a.î. îlcuid f ( cu T (; î ( h, + h I = V I să se bţiă erare mai mică decât E. Vm prezeta aceste situaţii î terema următare: Terema IV.28 (Terema de aprimare a fucţiilr pri pliame. Fie I R iterval deschis, f : I R cu f C (I şi ( T şirul pliamelr Taylr, (R şirul resturilr Taylr crespuzătare lui f î I, atuci au lc afirmaţiile: (i Dacă petru fiecare I fiat şirul resturilr (R ( cverge la zer, deci: R ( lim =, î fiecare I, atuci şirul pliamelr Taylr (T ( cverge la f (, deci: = î fiecare I şi f ( T ( limt f pe I puctual. (ii Dacă I este u iterval mărgiit di R şi eistă u şir de umere reale pzitive (a cverget la zer a.î. R a I şi N, atuci şirul pliamelr Taylr (T ( cverge la f ( î I şi erarea E ( f ( T ( = cmisă pri aprimarea lui f pri T este mai mică sau egală cu a, deci: E = f T = R a, 265
I lim T = f, I şi f T pe I. (iii Dacă I este iterval mărgiit de lugime l = lug (I > şi eistă M R cu M > a.î. (, şi N f M I, atuci şirul pliamelr (T cverge la f şi erarea cmisă E pri aprimarea lui f + cu T este mai mică sau egală cu umărul ( + Ml, deci +! + l E( = f ( T( = R( M şilimt = f!, I. Demstraţie: (i Fie cetru itervalului I şi după frmula Taylr cu rest Lagrage (IV.4, avem: (IV.7 E ( f ( T ( R ( = = î fiecare I. Dacă I este fiat şi eistă lim R ( = f ( T ( lim[ ] = = ( î fiecare I fiat şi atuci: f ( T ( f limt I (puctual. (ii Di (IV.7 şi ipteză, avem: I şi N cu lim a limt ( î fiecare E = f T = R a, = = f î rice I. (iii Di ipteză şi di frmula Taylr cu rest Lagramge (IV.4, avem: + ( + E = f T = R = f ( ξ M + l = +! +! ( ( l R = Mb +. Şirul umeric b = (b este descrescătr şi mărgiit iferir! de zer cu lim b = şi atuci rezultă că eistă: lim T = f, I şi f T, I. 266