Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti dokažite da je P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). (c) (4 boda) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji takvi da je P(A B) = 0.8, P(A B) = 0.2 i P(B c ) = 0.6. Izračunajte P(A) i P(B). (d) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i (A n ) n 1 niz događaja iz F takvih da je P(A n ) 2 n za sve n 1. Izračunajte ( ) P A k. Sve svoje tvrdnje obrazložite. n=1 k=n Rješenje: (a) σ-algebra događaja na nepraznom skupu Ω je familija F podskupova od Ω koja zadovoljava sljedeća tri svojstva: (i) Ω F; (ii) Ako je A F, tada je i A c F; (iii) Ako je A n F za svaki n N, tada je i n=1a n F. (b) Iz aksioma vjerojatnosti slijedi da je P konačno aditivna (ne treba dokazati, ali treba jasno navesti rezultat). Budući da je konačna aditivnost od P daje A B = A (B \ A), A (B \ A) =, B = (A B) (B \ A), (A B) (B \ A) =, P(A B) = P(A) + P(B \ A), P(B) = P(A B) + P(B \ A). Iz druge jednakosti imamo P (B \ A) = P(B) P(A B), što uvrštavanjem u prvu daje traženu formulu.
(c) Vrijedi: P(B) = 1 P(B c ) = 1 0.6 = 0.4. Iz formule u (b) čitamo da je P(A) = P(A B) P(B) + P(A B) = 0.8 0.4 + 0.2 = 0.6. (d) Stavimo B n = k=n A k. Zbog σ-subaditivnosti vjerojatnosti P je P(B n ) P(A k ) k=n 2 k = 2 n+1. Niz događaja (B n ) n 1 je nerastući, pa po neprekidnosti vjerojatnosti na nerastuće nizove događaja imamo ( ) 0 P A k = P( n=1b n ) = lim P(B n ) lim 2 n+1 = 0. n n n=1 k=n Slijedi da je tražena vjerojatnost jednaka 0. k=n
Zadatak 2. (a) (4 boda) Precizno iskažite formulu potpune vjerojatnosti. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor te neka je B F takav da je P(B) > 0. Funkcija P B : F [0, 1] definirana je sa P B (A) = P(A B). Dokažite da je P B vjerojatnost na (Ω, F). (c) (5 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor te neka su A, B F takvi da je P(A B) = 0, P(A B) = p za neki p [0, 1]. Odredite P(A) i P(B). Odredite, ako postoji, vrijednost p tako da su A i B nezavisni. (d) (5 bodova) Student odlazi na razgovor za praksu, ali u žurbi nasumce oblači cipele (jednu lijevu, jednu desnu), a posjeduje 4 različita para. Ako dođe na razgovor u rasparenim cipelama, vjerojatnost da dobije praksu je 0.5. Ako je obukao uparene cipele, ta vjerojatnost je 0.8. (d1) Odredite vjerojatnost da je student obukao uparene cipele. (d2) Ako znate da je student dobio praksu, odredite vjerojatnost da je obukao rasparene cipele. (a) Neka su H 1, H 2,... H n F takvi da je H i H j = za i j, n i=1h i = Ω te P(H i ) > 0 n za sve i. Tada za svaki A F vrijedi P(A) = P(A H i )P(H i ). (b) Trebamo dokazati tri svojstva iz definicije vjerojatnosti. (i) P B (A) = P(A B) = (ii) P B (Ω) = P(Ω B) = P(A B) P(B) P(Ω B) P(B) i=1 0 vrijedi za sve A F jer je P vjerojatnost. = P(B) P(B) = 1. (iii) Neka je (A n ) n N niz u parovima disjunktnih događaja iz F. Tada su i događaji A n B, n N međusobno disjunktni pa vrijedi: P B ( i=1a n ) = P (( i=1a n ) B) = 1 P(B) P(B) P ( i=1(a n B)) = 1 P(A n B) P(A n B) = = P B (A n ). P(B) P(B) i=1 i=1 i=1
(c) P(A B) = P(A \ B) + P(B \ A) = 0 P(A \ B) = P(B \ A) = 0. P(A B) = P(A B) P(A B) = p. P(A) = P(A B) + P(A \ B) = p, P(B) = P(A B) + P(B \ A) = p. Ako su A i B nezavisni, vrijedi P(A)P(B) = P(A B), odnosno p 2 = p, što vrijedi samo za p = 0 ili p = 1. (d) (d1) Ako parove cipela označimo brojevima 1 4, možemo zapisati: H 1 = {cipele su uparene} = {(x, y) : x, y {1, 2, 3, 4}, x = y}, H 2 = {cipele su rasparene} = {(x, y) : x, y {1, 2, 3, 4}, x y}. Tada je tražena vjerojatnost P(H 1 ) = 4 4 4 = 1 4. (d2) Označimo A = {student je dobio praksu}. Uz oznake kao prije, imamo P(H 2 ) = 3 4, P(A H 1 ) = 0.8, P(A H 2 ) = 0.5 i vrijedi P(H 2 A) = 1 P(A H 2 )P(H 2 ) P(A H 1 )P(H 1 ) + P(A H 2 )P(H 2 ) = 2 3 4 4 1 + 1 3 5 4 2 4 = 15 23 = 0.652.
Zadatak 3. (a) (5 bodova) Neka je X Poissonova diskretna slučajna varijabla s parametrom λ > 0. Precizno izvedite formulu za matematičko očekivanje slučajne varijable X. (b) (5 bodova) Neka je X slučajna varijabla s geometrijskom[ razdiobom ] s parametrom 1 p (0, 1), tj. P(X = k) = (1 p) k 1 p, k N. Odredite E. X (c) (4 boda) Neka je X apsolutno neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Precizno definirajte matematičko očekivanje slučajne varijable X. (d) (6 bodova) Košarkaš gađa slobodna bacanja s uspješnošću od 80%, a sva bacanja su međusobno nezavisna. Koliko najmanje puta treba gađati koš na treningu da bi s vjerojatnošću od barem 0.95 pogodio koš barem 100 puta? Rješenje: λ λk (a) X P (λ) P(X = k) = e k!, k N {0}. E X = kp(x = k) = k=0 λ λk ke k! = λe λ (b) Označimo q = 1 p. Integriranjem reda Sada imamo: E [ ] 1 = X 1 k qk 1 p = p q k=0 λ k 1 (k 1)! = λe λ k=0 q k = 1 1 q slijedi λ k k! = λe λ e λ = λ. q k k q k k = p p ln p ln(1 q) = q 1 p. (c) Neka je X apsolutno neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Ako vrijedi x f(x)dx <, tada X ima matematičko očekivanje dano sa E X = xf(x)dx. = ln(1 q).
(d) Označimo s X broj uspješno pogođenih bacanja iz n pokušaja. Tada je X B(n, 0.8). Korištenjem centralnog graničnog teorema, tražimo najmanji n takav da vrijedi: ( ) ( ) X 0.8n 100 0.8n 100 0.8n 0.95 P(X 100) = 1 P 1 Φ n 0.8 0.2 n 0.8 0.2 0.4. n ( ) 100 0.8n Dakle, tražimo najmanji n takav da je Φ 0.4 0.95. n 100 0.8n Iz tablice izjednačavamo 0.4 1.65 odnosno 0.8n 0.66 n 100 0. n Rješavanjem kvadratne jednadžbe slijedi n 11.6 odnosno n 135.
Zadatak 4. (20 bodova) (a) (4 boda) Neka su X i Y diskretne slučajne varijable. Definirajte kovarijancu od X i Y. (b) (4 boda) Neka su X i Y diskretne slučajne varijable. Precizno iskažite Cauchy-Schwartzovu nejednakost. (c) (12 bodova) Neka je (X, Y ) diskretan slučajan vektor s distribucijom zadanom na sljedeći način: { c(2x + y), (x, y) {0, 1, 2} {0, 1, 2}; P(X = x, Y = y) = 0, inače. (c1) Izračunajte vrijednost konstante c i odredite tablicu razdiobe slučajnog vektora (X, Y ). (c2) Jesu li X i Y nezavisne slučajne varijable? Obrazložite. (c3) Izračunajte P(X 1, Y < 2). Rješenje: (a) Neka su X i Y diskretne slučajne varijable td. postoje EX 2 < i EY 2 <. Kovarijanca od X i Y definira se kao Cov(X, Y ) := E[(X EX)(Y EY )]. (b) Neka su X i Y diskretne slučajne varijable. Ako je EX 2 < i EY 2 <, tada vrijedi (E(XY )) 2 (EX 2 )(EY 2 ). (c) (c1) Distribucija slučajnog vektora (X, Y ) dana je tablicom X\Y 0 1 2 f X 0 0 c 2c 3c 1 2c 3c 4c 9c 2 4c 5c 6c 15c f Y 6c 9c 12c 1 iz čega sljedi da je 6c + 9c + 12c = 1 c = 1 27. Dakle, tablica razdiobe slučajnog vektora (X, Y ) je
(c2) Nisu nezavisne jer npr. X\Y 0 1 2 f X 1 2 1 0 0 27 27 9 2 1 4 1 1 27 9 27 3 4 5 6 15 2 27 27 27 27 2 1 4 f Y 1 9 3 9 P(X = 0, Y = 0) = 0 1 9 2 9 = P(X = 0) P(Y = 0). (c3) P(X 1, Y < 2) = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1) + P(X = 2, Y = 0)+ + P(X = 2, Y = 1) = 2 27 + 1 9 + 4 27 + 5 27 = 14 27.
Zadatak 5. (20 bodova) (a) (4 boda) Neka je (X n ) n 1 niz slučajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (ΩF, P). Definirajte konvergenciju po vjerojatnosti niza slučajnih varijabli (X n ) n 1 prema slučajnoj varijabli X. (b) (4 boda) Iskažite slabi zakon velikih brojeva. (c) (6 bodova) Dokažite slabi zakon velikih brojeva. (d) (6 bodova) Broj dnevnih telefonskih poziva službi korisnika je slučajna varijabla s očekivanjem 150 i varijancom 35. Pokažite da je vjerojatnost da će broj poziva u jednom danu biti između 141 i 159 (uključivo) veća ili jednaka 13/20. (Uputa: Čebiševljeva nejednakost) Rješenje: (a) Niz slučajnih varijabli (X n ) n 1 konvergira po vjerojatnosti slučajnoj varijabli X ako za svaki ɛ > 0 vrijedi lim n P( X n X > ɛ) = 0. (b) Neka je (X n ) n 0 niz nezavisnih slučajnih varijabli sa zajedničkim očekivanjem µ i zajedničkom varijancom σ 2. Tada je (P) lim n X 1 + + X n n = µ. (c) Neka je ɛ > 0 proizvoljan. Budući da je E (X 1 + +X n ) = nµ i Var(X 1 + +X n ) = nσ 2 (nezavisnost), po Čebiševljevoj nejednakosti vrijedi ( ) X 1 + + X n P µ n > ɛ 1 ( ) ɛ Var X1 + + X n = n 2 n ɛ 2 n = 1 2 nɛ 2 što teži prema 0 kad n. (d) Neka X označava slučajan broj poziva. Po Čebiševljevoj nejednakosti je Zato je P( X 150 10) = P( X E X 10) Var(X) 10 2 = 35 100 = 7 20. P(141 X 159) = 1 P( X 150 10) 1 7 20 = 13 20.