LINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO. Zrinka Franu²i, Juraj iftar

LINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO Zrinka Franu²i, Juraj iftar

Sadrºaj 1 Vektorski prostori 2 11 Osnovne algebarske strukture 4 111 Binarna operacija Grupoid 4 112 Grupa 6 113 Prsten Polje 15 12 Denicija i osnovna svojstva vektorskog prostora Primjeri 16 13 Linearna ljuska Sustav izvodnica Linearna nezavisnost 21 14 Baza vektorskog prostora Dimenzija 26 15 Potprostori 31 16 Presjek i suma potprostora 35 2 Matrice 40 21 Denicija matrice Vektorski prostor M mn (F) 40 22 Neke posebne matrice 42 23 Mnoºenje matrica 46 24 Elementarne transformacije i elementarne matrice 51 25 Rang matrice 55 26 Inverzna matrica Grupa regularnih matrica 58 3 Sustavi linearnih jednadºbi 63 31 Osnovni pojmovi i denicije 63 32 Rje²ivost sustava Kriterij jednozna nosti rje²enja 66 33 Homogen sustav Struktura skupa rje²enja 67 34 Postupak rje²avanja sustava Gaussova metoda 68 4 Determinante 72 41 Denicija determinante Grupa permutacija 72 42 Osnovna svojstva determinante Binet-Cauchyjev teorem 77 43 Laplaceov razvoj Inverzna matrica Cramerov sustav 82 44 Dodatak - svojstva permutacija i simetri ne grupe 86 1

Poglavlje 1 Vektorski prostori Preliminarni pojmovi i oznake Po nimo s pregledom osnovnih pojmova, oznaka i vaºnijih injenica elementarne matematike, posebice iz elementarne teorije skupova Skup je osnovni matemati ki pojam koji se ne denira To je mnoºina (kolekcija, familija, ) elemenata (objekata) koje odlikuju neka zajedni ka svojstva Naj e² e ih ozna avamo velikim tiskanim slovima (A, B,, X) Glavni skupovi brojeva s njihovim oznakama su skup prirodnih brojeva, N skup cijelih brojeva, Z skup racionalnih brojeva, Q skup realnih brojeva, R skup kompleksnih brojeva, C Skupove uglavnom zadajemo tako da navedemo sve njihove elemente ili pomo u karakteristi nog svojstva Na primjer, A = {x, y, z} i B = {x : x 2 4, x Z} Za prazan skup (to jest skup bez ijednog elementa) rabit emo oznaku Ukratko emo navesti osnovne skupovne relacije i operacije te njihove pripadne oznake Peanova relacija: a A ('a je element skupa A'), b A ('b nije element skupa A') Podskup skupa: A B ( x A povla i x B) Jednakost skupova: A = B (ako A B i B A) Presjek skupova: A B = {x : x A i x B} Unija skupova: A B = {x : x A ili x B} Razlika skupova: A\B = {x : x A i x B} Simetri na razlika skupova : A B = (A\B) (B\A) Komplement skupa: A S, A c = S\A 2

Partitivni skup: za A, P(A) je skup svih podskupova od A Kartezijev produkt skupova: A B = {(x, y) : x A, y B} (skup svih ureženih parova pri emu je prvi lan iz skupa A a drugi iz B), A A = A 2 Neka su X, Y skupovi i f pravilo po kojem se svakom elementu skupa X pridruºuje jedan element skupa Y Urežena trojka (X, Y, f) naziva se preslikavanje ili funkcija skupa X u skup Y koju obi no zapisujemo kao f : X Y Skup X naziva se podru je denicije ili domena, skup Y podru je vrijednosti ili kodomena, a f pravilo ili zakon preslikavanja Elementu x X je po pravilu f pridruºen element f(x) i pi²emo x f(x) Kaºemo da je f(x) slika elementa x ili vrijednost funkcije f u varijabli (to ki, argumentu) x Slika preslikavanja f je skup f(x) = {f(x) : x X} Ponekad se jo² ozna ava sa S(f) ili Im(f) Jasno je da vrijedi da je f(x) Y Analogno, moºemo denirati i sliku bilo kojeg podskupa A X, f(a) Za B Y skup svih elemenata iz X ija slika pripada skupu B naziva se praslika podskupa B i ozna ava se Posebno, za y Y i B = {y} pi²emo f 1 (B) = {x X : f(x) B} f 1 (y) = {x X : f(x) = y} i kaºemo da je f 1 (y) X praslika elementa y Primijetimo da praslika nekog elementa ili podskupa moºe biti prazan skup Naglasimo da se oznaka f 1 (B), odnosno f 1 (y) ne odnosi na inverznu funkciju f 1 od f, koja ne mora postojati (ako f nije bijekcija) Dvije funkcije f : X Y i f : X Y su jednake ako su im domene jednake, to jest X = X i f(x) = f (x) za sve x iz X Tada pi²emo f = f Neka su f : X Y i g : Y Z preslikavanja i neka vrijedi da je f(x) = Y Tada je jedinstveno denirano preslikavanje h : X Z, h(x) = g(f(x)), x X Preslikavanje h nazivamo kompozicijom funkcija f i g, te ga ozna avamo s g f Jednostavnom provjerom denicije moºemo ustanoviti da je komponiranje funkcija zadovoljava svojstvo asocijativnosti, to jest za dana preslikavanja f : X Y, g : Y Z 3

i h : Z V (uz uvjete da je f(x) = Y i g(y ) = Z) kompozicije (h g) f, h (g f) : X V su jednake Komponiranje funkcija nije op enito komutativno, to jest op enito g f f g Na kraju ovog preliminarnog dijela ponovimo jo² tri vaºna svojstva koja moºe imati funkcija Kaºemo da je f : X Y injekcija ili injektivno preslikavanje ako x 1, x 2 X, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Injektivnost se naj e² e ispituje kori²tenjem ekvivalentne tvrdnje: f je injekcija ako za x 1, x 2 X f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 Funkcija f e biti injektivna ako i samo se praslika svakog elementa iz Y, f 1 (y), sastoji od najvi²e jednog elementa Iz tog razloga se injektivna preslikavanja jo² nazivaju 1-1 preslikavanjima Kaºemo da je f : X Y surjekcija ili surjektivno preslikavanje ako je slika domene jednaka kodomeni, f(x) = Y Zbog toga se za surjekciju jo² rabi termin preslikavanje na Funkcija f : X Y je bijekcija ako je injekcija i surjekcija Vrijedi, da je f bijektivno preslikavanje ako i samo ako za svaki y Y postoji jedinstven x X takav f(x) = y Iz prethodnog se lako zaklju uje da je dobro denirano preslikavanje g : Y X takvo da je g(y) = x za svaki y Y Preslikavanje g naziva se inverzom ili inverznim preslikavanjem i ozna ava s f 1 Lako se vidi da je f 1 f = 1 X, f f 1 = 1 Y, gdje su 1 X, 1 Y identitete na skupovima X, odnosno Y ( 1 X : X X, 1 X (x) = x za sve x X) 11 Osnovne algebarske strukture 111 Binarna operacija Grupoid Denicija 111 Neka je S neprazan skup Preslikavanje θ : S S S naziva se binarna operacija na skupu S Binarna operacija θ svakom ureženom paru (x, y) S S pridruºuje element z = θ(x, y) S Ureženi par (S, θ) naziva se grupoid, odnosno kaºemo da binarna operacija θ odrežuje na skupu S algebarsku strukturu grupoida Navedimo primjere nekih binarnih operacija Zbrajanje i mnoºenje na skupovima brojeva (N, Z, Q, R, C) nazivamo standardno zbrajanje i standardno mnoºenje Dakle, (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), su grupoidi 4

Oduzimanje je binarna operacija na Z, Q, R i C, ali nije na N Presjek, unija, razlika, simetri na razlika su binarne operacije na partitivnom skupu od S, P(S) Vektorsko mnoºenje ( ) je binarna operacija na vektorskom prostoru V 3 Na skupu svih funkcija f : S S standardnu binarnu operaciju predstavlja kompozicija funkcija (u oznaci ) Binarnu operaciju moºemo i sami denirati Na primjer, a b = a + b ab za a, b Z Uo imo da je (Z, ) grupoid, ali (N, ) to nije Napomenimo da emo u daljnjem izlaganju binarnu operaciju θ zbog jednostavnosti ozna avati znakom, to jest θ(x, y) = x y = xy, pri emu ne emo nuºno misliti na standardno mnoºenje Denicija 112 Neka je (S, ) grupoid Elementi x, y S komutiraju ako vrijedi xy = yx Ukoliko svaka dva elementa iz S komutiraju onda kaºemo da je binarna operacija komutativna, odnosno da je (S, ) komutativan grupoid Standardno zbrajanje i standardno mnoºenje su komutativne operacije, dok vektorsko mnoºenje to nije Denicija 113 Neka je (S, ) grupoid Binarna operacija je asocijativna ako je x(yz) = (xy)z, za sve x, y, z S Grupoid s asocijativnom binarnom operacijom naziva se polugrupa Ukoliko je binarna operacija i komutativna, grupoid se naziva komutativna polugrupa Neki primjeri polugrupa: Skupovi brojeva N, Z, Q, R, C s obzirom na standardno zbrajanje i standardno mnoºenje su komutativne polugrupe Binarna operacija oduzimanja na Z nije asocijativna Kompozicija funkcija je asocijativna pa je ({f : S S}, ) polugrupa, no op enito nekomutativna Komutativne polugrupe su (P(S), ) i (P(S), ), ali (P(S), \) nije polugrupa jer razlika skupova nije asocijativna Denicija 114 Neka je (S, ) grupoid Kaºemo da je e S neutralni element ili jedinica binarne operacije ako je ex = xe = x, za sve x S Ukoliko je binarna operacija asocijativna i dopu²ta neutralni element, onda se (S, ) naziva monoid Ako je operacija jo² i komutativna, onda govorimo o komutativnom monoidu Ponekad se monoid jo² naziva polugrupa s jednicom 5

Lako se pokazuje da ukoliko u grupoidu postoji neutralan element tada je on jedinstven Zaista, ako pretpostavimo suprotno da su e, e S neutralni elementi onda mora vrijediti da je ee = e i ee = e pa je e = e Navedimo primjere nekih monoida Skupovi brojeva Z, Q, R, C s obzirom na standardno zbrajanje i standardno mno- ºenje su komutativni monoidi Neutralni element zbrajanja je 0, a mnoºenja je 1 Uo imo da je (N, ) komutativni monoid, ali da (N, +) to nije Funkcija identiteta (id(x) = x, x S) predstavlja neutralni element kompozicije funkcija i stoga je ({f f : S S}, ) monoid (P(S), ) i (P(S), ) su komutativni monoidi Neutralni elementi su redom S i U nekomutativnim strukturama mogu e je imati samo jednostranu jedinicu, lijevu ili desnu Na primjer grupoid (P(S), \) ima samo desnu jedinicu ( ) No, ukoliko postoje i desna i lijeva jedinica tada su one nuºno jednake 112 Grupa Denicija 115 Neka je (S, ) grupoid i neka je e njegov neutralni element Ako za x S postoji y S takav da vrijedi xy = yx = e, onda kaºemo da je element x invertibilan, a element y zovemo inverz elementa x U nekim nekomutativnim strukturama pojavljuju se jednostrani inverzi, lijevi (ako je yx = e) ili desni(ako je xy = e) Ako u monoidu (S, ) neki element x ima lijevi inverz y L i desni inverz y D, onda oni su nuºno jednaki Zaista, y L = y L e = y L (xy D ) = (y L x)y D = ey D = y D Nadalje, ukoliko je element x monoida (S, ) invertibilan, onda je njegov inverz jedinstven Ta se tvrdnja pokazuje posve analogno prethodnoj Inverz elementa x ozna avamo s x 1 ako je na²a binarna operacija "multiplikativnog tipa" Kod operacije "aditivnog tipa" inverz se e² e naziva suprotni element i ozna ava s x U grupoidu (N, ) invertibilan je samo element 1 U (Z, +), (Q, +), (R, +) su svi elementi invertibilni, to jest svaki x ima suprotni element x iz pripadnog skupa U (Q, ), (R, ) su invertibilni svi elementi osim 0 (Z, ) su 1 i 1 Jedini invertibilni elementi u U ({f f : S S}, ) invertibilni elementi su bijektivna preslikavanja Propozicija 116 Neka je (G, ) monoid 6

(a) Ako je x G invertibilan element onda je i x 1 invertibilan, te vrijedi ( x 1 ) 1 = x (b) Ako su x, y G invertibilni elementi, onda je i xy invertibilan, te vrijedi (xy) 1 = y 1 x 1 Dokaz (a) Tvrdnja slijedi iz xx 1 = x 1 x = e i injenice da je inverz jedinstven (b) Zbog asocijativnosti vrijedi (xy)(y 1 x 1 ) = (yy 1 )x 1 = xex 1 = xx 1 = e, te analogno (y 1 x 1 )(xy) = e, pa slijedi tvrdnja Korolar 117 Podskup svih invertibilnih elemenata u monoidu ini grupu Uo imo da je podskup svih invertibilnih elemenata u monoidu neprazan jer sadrºi barem neutralni element Vaºan primjer grupe invertibilnih elemenata u monoidu je skup svih bijekcija u monoidu ({f f : S S}, ) Denicija 118 Monoid u kojem su svi elementi invertibilni naziva se grupa Ako je binarna operacija komutativna onda govorimo o komutativnoj ili Abelovoj grupi Za po etak ustanovimo koji skupovi brojeva s obzirom na standardne operacije zbrajanja i mnoºenja ine Abelove grupe (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) su Abelove grupe (N, +) je komutativna polugrupa Uo imo da niti jedna od struktura (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ), (C, ) nije grupa no nekima od njih nedostaje "malo" da to postanu Svi elementi razli iti od 0 u Q, R i C su invertibilni Stoga promotrimo te iste skupove bez nule, to jest Q = Q\{0}, R = R\{0}, C = C\{0} Bitno je ustanoviti da su svi ovi skupovi "zatvoreni" na operaciju mnoºenja (a 0, b 0 povla i ab 0) pa su (Q, ), (R, ), (C, ) Abelove grupe Pritom "zatvoreni" ovdje zna i da se rezultat binarne operacije primijenjene na podskup nekog grupoida takožer nalazi u tom podskupu Op enito, svojstvo "zatvorenosti" zapravo zna i da je na skupu S S zadano preslikavanje ija je slika sadrºana u S Skup parnih brojeva 2Z je Abelove grupa u odnosu na zbrajanje Uo imo da skup neparnih brojeva nije niti zatvoren s obzirom na zbrajanje Skup G = {x} u odnosu na neku binarnu operaciju je grupa je grupa ako i samo ako x = e Jedan od ishoda predmeta Linearna algebra 1 jest nau iti rje²avati sustave linearnih jednadºbi Ako linearnu jednadºbu s jednom nepoznanicom rje²avamo u ambijentalnom skupu koji ima strukturu grupe, onda e ta jednadºba imati jedinstveno rje²enje O toj vaºnoj injenici govori sljede a propozicija 7

Propozicija 119 Neka je (G, ) grupa Jednadºbe ax = b, ya = b imaju jedinstveno rje²enje za svaki izbor elemenata a, b G Dokaz Mnoºenjem s lijeva jednadºbe ax = b s inverzom elementa a, a 1 dobivamo Zbog asocijativnosti je pa je rje²enje jednadºbe ax = b dano s Na sli an na in, rje²enje jednadºbe ya = b a 1 (ax) = a 1 b (a 1 a)x = ex = x, x = a 1 b y = ba 1 Jedinstvenost se lako pokazuje Iz pretpostavke da su x 1 i x 2 rje²enja slijedi ax 1 = ax 2 pa ponovo mnoºenjem s lijeva s a 1 dobivamo da je x 1 = x 2 Korolar 1110 Neka je (G, ) grupa Jednadºba ima jedinstveno rje²enje x = e x x = x U Deniciji 118 grupa je denirana kao monoid u kojem je svaki element invertibilan Ekvivalentno, grupa se moºe denirati tako da se navedu sva pojedina svojstva koja grupoid treba ispunjavati kako bi bio grupa, odnosno Abelova grupa, s obzirom na zadanu operaciju Neka G i operacija na G Ureženi par (G, ) je grupa ako vrijede sljede a svojstva: (1) x y G za sve x, y G, (zatvorenost ) (2) (xy)z = x(yz) za sve x, y, z G, (asocijativnost ) (3) Postoji e G takav da je ex = xe = x za sve x G, (neutralni element ) (4) Za svaki x G postoji y G takav da je xy = yx = e (inverzni element ) Ako vrijedi i svojstvo (5) xy = yx za sve x, y G, (komutativnost ) 8

onda je (G, ) je komutativna ili Abelova grupa U konkretnom primjeru ili zadatku, svojstva grupe uobi ajeno je dokazivati upravo u redoslijedu kako su iskazana Pritom, primarno je provjeriti zatvorenost, a jasno je da (4) ima smisla samo ako vrijedi (3) Svojstvo komutativnosti (5) moºe dokazati ili opovrgnuti nezavisno od ostalih svojstava U sljede ih nekoliko primjera detaljno emo pokazati kako se provjerava grupovnost Napomenimo da se u pojedinim primjerima moºe dosta razlikovati teºina provjere nekog svojstva Primjerice, svojstvo asocijativnosti katkad se moºe provjeriti rutinskim ra unom, ali ponekad je znatno zahtjevnije za provjeru Primjer 1 Grupa ostataka modulo m Neka je m N i m > 1 Deniramo skup Z m = {0, 1, 2, m 1} Prije nego ²to deniramo operaciju na Z m prisjetimo se ²to kaºe Teorem o dijeljenju s ostatkom: ako su a, b Z i b 0 onda postoje jedinstveni q Z i r Z m takvi da je a = bq + r Broj r je jedinstveni ostatak broja a pri dijeljenju s b Sada, na skupu Z m deniramo binarnu operaciju koja svakom ureženom paru (x, y) Z m Z m pridruºuje ostatak pri dijeljenju broja x + y brojem m Ova operacija se naziva zbrajanje modulo m i ozna ava s + m Pi²emo x + m y = z, pri emu je x + y = mq + z za neki q Z i z Z m Krenimo redom ispitati svojstva grupe Svojstvo (1) vrijedi prema samoj deniciji (5) Operacija + m je o ito komutativna (2) Svojstvo asocijativnosti nije sasvim jednostavno za pokazati Neka je gdje je (x + m y) + m z = r + m z = s, x + y = km + r, (11) r + z = lm + s, (12) za k, l Z i r, s Z m Nadalje, neka je y + m z = t, to jest y + z = pm + t, (13) za p Z i t Z m Ako zbrojimo jednakosti (11), (12) i (13) pomnoºenu s 1 dobit emo x + t = (k + l p)m + s, odnosno x + m t = s pa je ²to je i trebalo pokazati x + m (y + m z) = x + m t = s, 9

(3) 0 je neutralni element (4) Suprotni element (inverz) od x Z m \{0} je m x, a element 0 je sam sebi inverz Zaklju ujemo da je (Z m, + m ) Abelova grupa koja je poznata pod nazivom grupa ostataka modulo m S njom emo se susretati na jo² nekim predmetima na ovom studiju, na primjer na Elementarnoj teoriji brojeva Za konkretnu vrijednost broja m, na primjer m = 4 rezultat operacije na svakom ureženom paru zapisujemo u tablici: + 4 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 Nije rijetko da upravo tabli no deniramo binarnu operaciju na nekom kona nom skupu Tu tablicu binarne operacije nazivamo Cayleyeva tablica Prirodno je analogno denirati i operaciju mnoºenja modulo m, u oznaci m i pitati se je li (Z m, m) isto Abelova grupa Odgovor je ne No, situaciju moºemo 'popraviti' u ovisnosti o tome je li broj m prost ili sloºen Promotrimo tablicu za m = 4: 4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Moºe pokazati da su zadovoljena svojstva komutativnosti, asocijativnosti (- ne lako!), i da je 1 neutralni element, no jasno je da elementi 0 i 2 nemaju multiplikativni inverz Stoga je (Z 4, 4) komutativni monoid Za m = 5 imamo sljede u tablicu 5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 Nakon pomnijeg istraºivanja tablice moºemo zaklju iti da je (Z 5, 5) komutativni monoid i da jedino 0 nema inverz Ukoliko iz skupa Z 5 izbacimo nulu, Z 5 = Z 5 \{0}, struktura se 'popravila' i (Z 5, 5) je Abelova grupa Primjer 2 Na kolegiju Analiti ka geometrija pokazalo se da operacija zbrajanja vektora na V 1, V 2 i V 3 zadovoljava sva svojstva Abelove grupe 10

Primjer 3 Grupa polinoma Neka je n N 0 i a 0, a 1,, a n R, a n 0 Preslikavanje p : R R zadano s p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n (realni) polinom stupnja n Polinome zbrajamo tako da im zbrojimo koecijente uz odgovaraju e potencije Neka je P n skup svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog n Lako je za ustanoviti da je (P n, +) Abelova grupa Za razliku od toga mnoºenje polinoma ak nije ni binarna operacija u P n (osim u trivijalnom slu aju n = 0) Nadalje, ako s P ozna imo skup svih polinoma, to jest P = n 0 P n, tada je (P, +) takožer Abelova grupa, a (P, ) je komutativni monoid Primjer 4 Grupa n-tih korijena jedinice Za n N deniramo K n = {z C : z n = 1} Skup K n predstavlja skup svih rje²enja jednadºbe z n 1 = 0 u skupu kompleksnih brojeva Tih rje²enja u C ima to no n i zovu se n-ti korijeni jedinice (ili korijeni jedinice stupnja n) Skup moºemo i eksplicitno zapisati kao K n = {cos 2kπ n 2kπ + i sin n : k = 0, 1, 2,, n 1} Ispitajmo koju algebarsku strukturu ini ovaj skup s obzirom na operaciju standardnog mnoºenja (1) Neka su z 1, z 2 K n Tada vrijedi pa je i z 1 z 2 K n (z 1 z 2 ) n = z n 1 z n 2 = 1 1 = 1, (2) Standardno mnoºenje u K n je asocijativno (3) Postoji neutralni element 1 K n (4) Svaki z K n ima inverz z 1 u C (jer je o ito z 0) Provjerimo da je z 1 K n : (5) Standardno mnoºenje je komutativno (z 1 ) n = (z n ) 1 = 1 1 = 1 Zaklju ujemo da je (K n, ) Abelova grupa a nazivamo ju grupa n-tih korijena jedinice Navedimo primjere za prvih nekoliko vrijednosti broja n: K 1 = {1}, K 2 = {1, 1}, K 3 = {1, 1 + i 3 2, 1 i 3 }, K 4 = {1, i, 1, i}, 2 Lako moºemo uo iti da elemente grupe K n moºemo shvatiti u kompleksnoj ravnini i kao vrhove pravilnog n-terokuta upisanog u jedini nu kruºnicu 11

Primjer 5 Grupa Q( 2) Neka je Q( 2) = {a + b 2 : a, b Q} Uz standardno zbrajanje lako se ustanovljava da (Q( 2), +) ima strukturu Abelove grupe Zaista, provjerit emo sve aksiome grupe (1) Zbrajanje je zatvoreno u Q( 2), to jest (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 Q( 2), a, b, c, d Q, jer a + c, b + d Q (2) Standardno zbrajanje je asocijativno (Jo² kaºemo da se naslježuje iz R jer je Q( 2) R) (3) Postoji neutralni element 0 Q( 2) jer 0 Q (4) Svaki a + b 2 Q( 2) ima suprotni element (inverz) a b 2 Q( 2) (5) Standardno zbrajanje je komutativno Sada ispitajmo koju strukturu ini Q( 2), odnosno Q( 2) = Q( 2)\{0} s obzirom na standardno mnoºenje (1) Mnoºenje je zatvoreno u Q( 2), to jest (a + b 2) (c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 Q( 2), a, b, c, d Q, jer ac + 2bd, ad + bc Q (2) Standardno mnoºenje je asocijativno (3) Postoji neutralni element 1 Q( 2) (4) Svaki a + b 2 Q( 2) ima inverz (a + b 2) 1 = a a 2 2b b 2 Q( 2) 2 a 2 2b 2 Uo imo da je a 2 2b 2 0 za a, b Q i a 2 + b 2 0, te (5) Standardno mnoºenje je komutativno a b, a 2 2b 2 a 2 2b 2 Q Dakle, (Q( 2), ) je Abelova grupa Napomena 1111 Uo imo da u primjerima 4 i 5 nismo morali dokazivati svojstvo asocijativnosti i komutativnosti budu i da ta svojstva vrijede na 've im' skupovima C i R koji sadrºavaju K n i Q( 2) ovi²e, u Primjeru 4 pokazali smo da je skup K n jedna podgrupa Abelove grupe (C, ), a u Primjeru 5 da je Q( 2) jedna podgrupa Abelove grupe (R, +) Op enito, kaºemo da je podskup H grupe G podgrupa od G, ako je H 12

grupa s obzirom na binarnu operaciju uz koju je G grupa Pi²emo, H G Lako se moºe ustanoviti da je H G ako i samo ako vrijedi x y H, x 1 H, za sve x, y H Odnosno, H G ako i samo x y 1 H, za sve x, y H Napominjemo da je suvi²no pokazivati da je neutralni element operacije, e, sadrºan u H, zato ²to pretpostavke da je x H i x 1 H impliciraju da je e = x x 1 H Primjer 6 Struktura s eksplicitno zadanom novom operacijom Zadan je skup G = {x R : x > 0, x 1} i operacija Ispitujemo redom aksiome grupe x y = x log y, x, y G (1) Za x, y G je z = x y = x log y > 0 Provjerimo da je z 1 Zaista, ako z = 1, onda je log y = 0 pa je y = 1 ²to je u proturje ju s injenicom y G Dakle, z G i operacija je je jedna binarna operacija na G, to jest ispunjeno je svojstvo zatvorenosti (2) Asocijativnost moramo provjeriti raspisivanjem Za x, y, z G vrijedi (x y) z = (x log y ) z = (x log y ) log z = x log y log z, x (y z) = x (y log z ) = x log(ylog z) = x log z log y = x log y log z (5) Operacija je komutativna jer je x y = x log y = (10 log x ) log y = 10 log x log y = 10 log y log x = (10 log y ) log x = y log x = y x (3) Pitamo se postoji li e G takav da je x e = x za sve x G, to jest x log e = x a to vrijedi ako i samo ako je e = 10 Zbog komutativnosti imamo sljede e x 10 = 10 x = x, x G (4) Neka je x G i y takav da je x y = 10 Tada je x log y = 10 i slijedi da je y = 10 1 log x = 10 log x 10 Vrijedi da je y > 0 i y 1, pa je y = x 1 G (Provjerite jo² jednom direktnim uvr²tavanjem da je x y = y x = 10) Pokazali smo, eksplicitno provjeravaju i sve aksiome grupe, da je (G, ) Abelova grupa 13

Napomena 1112 U Primjeru 6 svojstva asocijativnosti komutativnosti nisu nipo²to o ita ni nasljedna budu i se radilo 'novoj' operaciji Ta smo svojstva morali provjeriti eksplicitno - raspisivanjem po deniciji same operacije Primjer 7 Simetri na grupa stupnja n Neka je S n skup svih bijektivnih preslikavanja f : {1, 2,, n} {1, 2,, n} Pokaºimo da je S n grupa s obzirom na operaciju komponiranja funkcija Vrijede sljede e tvrdnje (1) Kompozicija bijekcija je bijekcija Dakle, je binarna operacija na S n (2) Komponiranja funkcija je asocijativno (3) Identiteta je bijekcija (4) Svaka bijektivna funkcija ima inverz f 1 i on je bijekcija Komponiranja funkcija op enito nije komutativno Pokazali smo da je S n grupa koja se naziva simetri na grupa stupnja n Bijekciju f : {1, 2,, n} {1, 2,, n} jo² nazivamo permutacija i ozna avamo s f = ( 1 2 3 n f(1) f(2) f(3) f(n) Konkretno, za n = 4 i za permutacije f, g S 4 ( ) ( 1 2 3 4 1 2 3 4 f =, g = 3 1 4 2 2 3 1 4 njihove kompozicije su Inverz od f je f g = ( 1 2 3 4 1 4 3 2 f 1 = ) ), ) ( 1 2 3 4, g f = 1 2 4 3 ( 1 2 3 4 2 4 1 3 Jednostavno moºemo ustanoviti da S n ima kona no mnogo elemenata i to njih n! Pi²emo S n = n! Kao ilustraciju navedimo sve elemente grupe S 3 : ( 1 2 3 S 3 = { 1 2 3 ), ( 1 2 3 1 3 2 ), ( 1 2 3 2 1 3 ), ) ( 1 2 3 2 3 1 ), ) ( 1 2 3 3 1 2 ) ( 1 2 3, 3 2 1 ) } 14

113 Prsten Polje Denicija 1113 Neka je R neprazan skup na kojem su denirane dvije binarne operacije + i Kaºemo da je urežena trojka (R, +, ) prsten ako vrijedi (i) (R, +) je Abelova grupa, (ii) (R, ) je polugrupa (to jest operacija je asocijativna), (iii) svojstvo distributivnosti operacije obzirom na operaciju +: x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, za sve x, y, z R Neutralni element grupe (R, +) naziva se nula i ozna ava s 0 Ukoliko postoji neutralni element strukture (R, ) onda se on naziva jedinica i ozna ava s 1, a (R, +, ) se tada naziva prsten s jedinicom Ukoliko je operacija komutativna, onda govorimo o komutativnom prstenu Sljede a propozicija nam pokazuje da u prstenu neutralni element zbrajanja, nula, ne moºe imati multiplikativni inverz Propozicija 1114 Neka je (R, +, ) prsten Tada je a 0 = 0 a = 0 za sve a R Dokaz Vrijedi a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0 Pribrajanjem suprotnog elementa od a 0 jednakosti a 0 = a 0 + a 0 slijedi tvrdnja (Ovo posljednje slijedi i prema Korolaru 1110 primijenjenom na grupu (R, +)) Propozicija 1115 Neka je (R, +, ) prsten i neka su elementi a, b R invertibilni Tada je ab 0 Dokaz Pretpostavimo suprotno ab = 0 Mnoºenjem s lijeva inverzom od a dobivamo b = a 1 0, pa prema Propoziciji 1114 slijedi b = 0, a to je u proturje ju da je b invertibilan Prethodne dvije propozicije 'sugeriraju' da je smisleno promatrati strukturu deniranu na sljede i na in Denicija 1116 Komutativni prsten s jedinicom (R, +, ) kojem je svaki element x R\{0} invertibilan naziva se polje Polje se esto ozna ava s F Na drugi na in moºemo re i da je (F, +, ) polje ako vrijedi (i) (F, +) je Abelova grupa, (ii) (F, ) je Abelova grupa (F = F\{0}), (iii) svojstvo distributivnosti operacije s obzirom na operaciju + 15

Koriste i tvrdnje i primjere iz prethodnog poglavlja moºemo zaklju iti sljede e (Z, +, ) je komutativni prsten s jedinicom (Q, +, ), (R, +, ) i (C, +, ) su polja (Z m, + m, m) je komutativni prsten s jedinicom koji se naziva prsten cijelih brojeva modulo m (Z m, + m, m) je polje ako i samo ako je m = p prost broj Z p je vaºan primjer tzv kona nog polja, to jest polja s kona no mnogo elemenata (P, +, ) je komutativni prsten s jedinicom (e(x) = 1 za sve x) ƒesto se P naziva prsten polinoma Nadalje, za prstene polinoma jo² se koriste oznake Z[x], Q[x], R[x] u ovisnosti u tome iz kojeg od skupova se uzimaju koecijenti polinoma ( Z, Q ili R) (Q( 2), +, ) je polje Op enito, ako je d N broj koji nije potpuni kvadrat onda je (Q( d), +, ) je polje Naziv mu je kvadratno polje 12 Denicija i osnovna svojstva vektorskog prostora Primjeri Denicija 121 Neka je (V, +) Abelova grupa, zatim F polje Ako postoji preslikavanje : F V V koje zadovoljava sljede a svojstva: (1) α (β a) = (αβ) a, za sve α, β F, a V, (kvaziasocijativnost) (2) (α + β) a = α a + β a, za sve α, β F, a V, (3) α (a + b) = α a + α b, za sve α F, a, b V, (4) 1 a = a, za sve a V, (distributivnost operacije u odnosu na zbrajanje u F) (distributivnost operacije u odnosu na zbrajanje u V ) tada se urežena trojka (V, +, ) naziva vektorski ili linearni prostor nad poljem F Ako je F = R onda govorimo o realnom vektorskom prostoru, a ako je F = C onda o kompleksnom vektorskom prostoru Elemente skupa V zovemo vektorima, a elemente polja F skalarima Neutralni element (nulu) Abelove grupe (V, +) zovemo nulvektor i ozna avamo s 0 V Operaciju nazivamo mnoºenje vektora skalarom i umjesto α a esto pi²emo αa Skup koji se sastoji samo od nulvektora, {0 V } takožer je vektorski prostor, a nazivamo ga trivijalni prostor Primjer 8 Vektorski prostori V 1, V 2 i V 3 Na kolegiju Analiti ka geometrija prou avali smo skup vektora, to jest klasu usmjerenih (orijentiranih) duºina na pravcu (V 1 ), u ravnini (V 2 ) i u prostoru (V 3 ) U onom ²to slijedi pi²emo samo V 3, a sve tvrdnje se odnose i na V 1 i V 2 Na skupu V 3 smo denirali zbrajanje vektora pomo u pravila trokuta na odgovaraju im predstavnicima, a + b = [ AB] + [ BC] = [ AC] 16

Budu i da smo pokazali da je ovako zadana binarna operacija asocijativna i komutativna, zatim da postoji neutralni element 0 = [ AA], te je svakom vektoru a = [ AB] suprotan [ BA] = a, zaklju ujemo da je (V 3, +) Abelova grupa Operacija mnoºenja vektora skalarom ureženom paru (α, a), α R\{0}, a V 3 \{ 0}, pridruºuje vektor α a iji je modul α a, smjer isti kao smjer vektora a i orijentacija ista kao a ako je α > 0, odnosno suprotna ako α < 0 U trivijalnom slu aju (α = 0 ili a = 0) je α a = 0 Pokazali smo da su zadovoljena svojstva (1) do (4) Denicije 121, pa je (V 3, +, ) vektorski prostor Na sli an na in se ustvržuje da je i skup radijvektora V 3 (0) vektorski prostor Navedimo nekoliko napomena o na inu ozna avanja Vektorski prostor (V, +, ) kratko ozna avat emo s V Elemente vektorskog prostora V, vektore, ozna avat emo s a, b,, x, y, v (dakle bez strelice!) Ponekad, gdje je iz konteksta nedvosmisleno, nulvektor 0 V ozna ava se samo s 0 Skalare polja F ozna amo malim slovima gr kog alfabeta α, β, Propozicija 122 Vrijedi (i) 0 a = 0 V, za sve a V, (ii) α 0 V = 0 V, za sve α F Dokaz (i) S jedne strane je a = a + 0 V a s druge a = (1 + 0)a = 1 a + 0 a = a + 0 a Stoga je a + 0 V = a + 0 a, pa pribrajanjem suprotnog vektora a prethodnoj jednakosti slijedi 0 a = 0 V (ii) Iz αa = 0 V + αa a s druge αa = α(0 V + a) = α0 V + αa je 0 V + αa = α0 V + αa Pribrajanjem suprotnog vektora αa prethodnoj jednakosti slijedi α0 V = 0 V Uo imo da smo u vektorskom prostoru V 3 (odnosno V 1 i V 2 ) denirali da je α 0 = 0 i 0 a = 0 pa Propoziciju 122 nismo trebali dokazivati Propozicija 123 α a = 0 V ako i samo ako je α = 0 ili a = 0 V Dokaz Dovoljnost slijedi iz Propozicije 122 Pokaºimo nuºnost Pretpostavimo da je α a = 0 V Ako je α = 0, onda smo pokazali tvrdnju Stoga, pretpostavimo da α 0 Stoga postoji inverz α 1 F Vrijedi da je ²to je i trebalo pokazati Propozicija 124 Vrijedi za sve α F i a V a = (α 1 α)a = α 1 (αa) = α 1 0 V = 0 V, ( α)a = (αa) = α( a), 17

Dokaz Kako je ( α)a + αa = ( α + α)a = 0 a = 0 V, slijedi da je suprotan vektor od αa, to jest (αa) jednak vektoru ( α)a Prethodna propozicija posebno kaºe da je suprotan vektor od a jednak umno²ku vektora a skalarom 1, to jest a = ( 1)a U nizu primjera koji slijede, pokazat emo da mnogi matemati ki objekti (urežene n-torke, polinomi, funkcije, ) imaju 'karakter' vektora Primjer 9 Koordinatni prostor R n Neka je n N i R n skup svih ureženih n-torki realnih brojeva, odnosno R n = R R R = {(x 1, x 2,, x n ) : x 1, x 2,, x n R} Uz prirodno denirano zbrajanje po koordinatama (ili koordinatno zbrajanje), (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ), je (R n, +) Abelova grupa Mnoºenje urežene n-torke realnim brojem α denira se takožer koordinatno, α (x 1, x 2,, x n ) = (αx 1, αx 2,, αx n ) Budu i da su obje operacije denirane koordinatno, lako se moºe ustanoviti da je (R n, +, ) realan vektorski prostor koji se ponekad naziva realan n-dimenzionalni koordinatni prostor Op enito, svaki skup ureženih n-torki elemenata iz nekog polja F, F n, uz koordinatno denirane operacije zbrajanja i mnoºenja (iz polja) bit e vektorski prostor nad poljem F U skladu s ovom opaskom, istaknimo vektorski prostor (Z n p, + p, p) s kona no mnogo elemenata (p n ) Posebno, za n = 1 dobivamo da je polje F vektorski prostor nad samim sobom Pri tome, elementi polja imaju dvostruku ulogu - oni su i vektori i skalari, a operacija mnoºenja iz polja predstavlja operaciju mnoºenja skalarom Primjer 10 Kompleksni brojevi Kao ²to smo vidjeli u prethodnom primjeru, polje kompleksnih brojeva C moºemo shvatiti i kao vektorski prostor nad samim sobom No, moºemo ga shvatiti i kao vektorski prostor nad poljem R, odnosno kao realan vektorski prostor U tom slu aju koristimo oznaku C R Op enito, svaki vektorski prostor nad C je ujedno vektorski prostor nad R Primjer 11 Prostor nizova Neka je R N = {(x i ) : x i R} skup svih nizova realnih brojeva Uz koordinatno zbrajanje i mnoºenje skalarom (x i ) + (y i ) = (x i + y i ), α(x i ) = (αx i ), R N je realan vektorski prostor 18

Primjer 12 Prostor polinoma Neka je n N S P n smo ozna ili skup svih polinoma u jednoj varijabli s realnim koecijentima stupnja manjeg ili jednakog n, P n = {p : st(p) n} U prethodnom odsje ku ustanovili smo da je P n uz uobi ajeno zbrajanje polinoma Abelova grupa Mnoºenje polinoma p realnim brojem α deniramo prirodno, αp : R R je polinom deniran s (αp)(x) = α(p(x)) = (αa i )x i, x R, pri emu je p(x) = n i=0 a ix i Odmah se vidi da je uz ove operacije P n realan vektorski prostor Analogno, skup svih polinoma u jednoj varijabli s realnim koecijentima P je takožer realan vektorski prostor Primjer 13 Prostor funkcija Prethodni primjer moºemo generalizirati na skup realnih funkcija realne varijable, i=0 R R = {f : R R} Operacije zbrajanja i mnoºenja funkcija realnim brojem deniramo po to kama f, g R R i α R Za f + g : R R, (f + g)(t) = f(t) + g(t), t R αf : R R, (αf)(t) = αf(t), t R Kako su operacije zadane po to kama, svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti vrijede jer vrijede u polju R Neutralni element zbrajanja je funkcije n(t) = 0, za sve t R Svaka funkcija f ima svoju suprotnu f, ( f)(t) = f(t), t R Stoga je R R realan vektorski prostor Primjer 14 Prostor matrica reda 2 Urežena etvorka (a, b, c, d) R 4 zapisana u kvadratnu shemu ( ) a b c d naziva se realna matrica reda 2 Uobi ajno je matrice ozna avati velikim tiskanim slovima A, B,, te njezine elemente s a ij gdje indeks upu uje na poloºaj elementa u matrici - a ij se nalazi na presjeku i-tog retka i j-tog stupca Dakle, ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 Skup svih realnih matrica reda 2 ozna avamo s M 2 (R) 19

Na skupu M 2 (R) zbrajanje je denirano po elementima ( ²to upravo odgovara koordinatnom zbrajanju), ( ) ( ) ( ) a11 a A + B = 12 b11 b + 12 a11 + b = 11 a 12 + b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22 Stoga je ova binarna operacija o ito komutativna i asocijativna Neutralni element zbrajanja je matrica iji su svi elementi jednaki 0, ( ) 0 0, 0 0 a zovemo ju nulmatrica Svaka matrica A ima suprotnu matricu A danu s ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 Prema svemu navedenom za zaklju iti je da je (M 2 (R), +) Abelova grupa Operacija mnoºenja skalarom takožer se denira prirodno, po elementima (odnosno koordinatno) Za α R i A M 2 (R) je αa = α ( ) a11 a 12 = a 21 a 22 ( ) αa11 αa 12 αa 21 αa 22 Jasno je da M 2 (R) realan vektorski prostor Na isti na in, moºemo ustanoviti da je skup svih matrica reda 2 iji su elementi kompleksni brojevi, odnosno kompleksnih matrica reda 2, u oznaci M 2 (C) kompleksan vektorski prostor U skladu s napomenom iz Primjera 10, skup M 2 (C) emo ponekad shva ati kao realan vektorski prostor i prema tome ozna avati s M 2 (C) R Primjer 15 'Egzoti an' vektorski prostor Neka je V = R + = {a R : a > 0} Za a, b V i α R deniramo 'neobi ne' operacije zbrajanja i mnoºenja vektora skalarom na sljede i na in: a b = ab, α a = a α Prvo provjerimo da je (V, ) Abelova grupa Zaista, operacija je zatvorena na V jer je ab > 0 za a, b > 0, to jest a b V za sve a, b V Operacija je asocijativna i komutativna jer standardno mnoºenje u R ima ta svojstva Neutralni element je 1 V, a inverz od a V je a 1 = 1 a V Sada provjeravamo potrebna svojstva operacije Zatvorenost vrijedi jer je a α > 0 za sve a > 0 i α R Ispitujemo kvaziasocijativnost i distributivnosti Neka su α, β R i a, b V Vrijedi Nadalje, te α (β a) = α a β = ( a β) α = a βα = a αβ = (αβ) a (α + β) a = a α+β = a α a β = a α a β = (α a) (β a), α (a b) = α (ab) = (ab) α = a α b α = a α b α = (α a) (β a) Kona no, jer je 1 a = a 1 = a, moºemo zaklju iti da je (V,, ) jedan realan vektorski prostor 20

13 Linearna ljuska Sustav izvodnica Linearna nezavisnost Denicija 131 Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te k N Za α 1,,α k F i a 1,, a k V vektor oblika α 1 a 1 + + α k a k nazivamo linearna kombinacija vektora a 1,, a k s koecijentima α 1,,α k Neka je S V Skup svih linearnih kombinacija vektora iz S naziva se linearna ljuska ili linearni omota skupa S i ozna ava [S] Dakle, [S] = {α 1 a 1 + + α n a n : n N, a 1,, a n S, α 1,, α n F} Ako je S = {a 1,, a k }, onda pi²emo [S] = [a 1,, a k ] = {α 1 a 1 + + α k a k : α 1,, α k F}, te skup [a 1,, a k ] nazivamo linearnom ljuskom ili linearnim omota em vektora a 1,, a k Propozicija 132 Neka je V vektorski prostor nad poljem F, S i S V Onda je [S] vektorski prostor nad poljem F obzirom na iste operacije zbrajanja i mnoºenja skalarom koje su denirane u prostoru V Dokaz Neka su x, y [S] Tada su vektori x i y linearna kombinacije vektora iz S pa je to i vektor x + y Stoga je zbrajanje vektora binarna operacija na [S] Svojstva asocijativnosti i komutativnosti naslježuju se jer je [S] V Neutralni element zbrajanja vektora, nula je iz [S] jer je 0 V a S = 0 a za bilo koji Za x [S], postoje a 1,, a k S i α 1,,α k F takvi da je x = α 1 a 1 + + α k a k Suprotni vektor od x je x = ( α 1 )a 1 + + ( α k )a k pa je x [S] Sada moºemo zaklju iti da je ([S], +) Abelova grupa Ustanovimo da vrijede i ostala svojstva vektorskog prostora Neka je x = α 1 a 1 + + α k a k [S] Onda je λx = (λα 1 )a 1 + + (λα k )a k [S] za sve λ [S] Kvaziasocijativnost i distributivnosti se naslježuju iz vektorskog prostora V Dakle, [S] je vektorski prostor nad poljem F obzirom na operacije iz V Denicija 133 Neka je V vektorski prostor nad poljem F i G V Ako je V = [G], odnosno ako se svaki vektor iz V moºe prikazati kao linearna kombinacija (kona no mnogo) vektora iz G, onda kaºemo da je G sustav izvodnica ili generatora za prostor V, odnosno skup izvodnica ili generatora za V Jo² se moºe re i da skup G razapinje ili generira prostor V 21

Ako je V = [G], onda za svaki x V postoje vektori a 1,, a k G i skalari α 1,, α k F takvi da se x prikazuje kao x = α 1 a 1 + + α k a k = k α i a i i=1 Za po etak se pitamo postoji li za svaki vektorski prostor V sustav izvodnica i zaklju ujemo da postoji jer itav prostor V moºemo shvatiti kao sustav izvodnica, to jest G = V Nadalje, ako G generira prostor V, onda ga generira i svaki njegov nadskup Stoga je prirodno poku²ati odrediti najmanji mogu i (minimalan) skup koji predstavlja sustav izvodnica No, prije toga promotrimo primjere nekih sustava izvodnica Ako je a V 1 i a 0, onda { a} generira V 1 Neka su a i b u V 2 nekolinearni vektori U kolegiju prethodniku, Analiti ka geometrija, pokazali smo da za svaki c V 2 postoje (jedinstveni) skalari α, β R takvi da je c = α a + β b Dakle, moºemo zaklju iti da skup koji se sastoji od bilo koja dva nekolinearna vektora predstavlja sustav izvodnica za V 2 Analogno, skup od bilo koja tri nekomplanarna vektora predstavlja sustav izvodnica za V 3 Neka je x = (x 1, x 2 ) proizvoljan vektor iz R 2 Tada je x = x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1) Zaklju ujemo da se svi x = (x 1, x 2 ) R 2 mogu zapisati kao linearna kombinacija vektora e 1 = (1, 0) i e 2 = (0, 1) pa je stoga {e 1, e 2 } sustav izvodnica za R 2 Op enito, R n = [e 1, e 2,, e n ], gdje je e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0),,e n = (0, 0,, 1) Neka je S = {(1, 0), (1, 1), (1, 1)} R 2 Lako se vidi da vrijedi jednakost (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 )(1, 0) + x 2 (1, 1), za sve (x 1, x 2 ) R 2 Stoga je skup {(1, 0), (1, 1)} sustav izvodnica za R 2 pa je to i njegov nadskup S Nadalje, vrijedi da je (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 2t)(1, 0) + (x 2 + t)(1, 1) + t(1, 1), za sve (x 1, x 2 ) R 2 te proizvoljan t R Zna i, prikaz proizvoljnog vektora iz R 2 kao linearne kombinacije vektora skupa S nije jednozna an Za razliku od toga, vektor iz R 2 se jednozna no prikazuje kao linearna kombinacija vektora (1, 0) i (1, 1) Neka je {p 0, p 1,, p n } P n pri emu je p i (x) = x i za i = 0, 1,, n Kako je za p P n p(x) = a i x i = a i p i (x), x R, i=0 22 i=0

to jest p = n i=0 a ip i, slijedi da je {p 0,, p n } sustav izvodnica za P n Skup {p 0, p 1, p 2, } P razapinje vektorski prostor P Uo imo da je {p 0, p 1, p 2, } beskona an skup Kompleksan broj z je oblika z = α + iβ za neke α, β R Ako polje C shvatimo kao realan vektorski prostor, C R, onda je skup {1, i} o ito njegov sustav izvodnica Skup {1} ili {z} za z 0 predstavlja sustav izvodnica za C - kompleksan vektorski prostor Denicija 134 Vektorski prostor je kona nogeneriran ako sadrºi bar jedan kona an sustav izvodnica Iz gore navedenih primjera moºemo zaklju iti da su prostori V 1, V 2, V 3, R 2, P n kona nogenerirani, dok je P primjer prostora koji nije kona nogeneriran Na ovom predmetu emo se baviti samo kona nogeneriranim vektorskim prostorima Propozicija 135 Neka je V vektorski prostor nad poljem F i G V skup izvodnica prostora V Ako se vektor a G moºe prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora iz G, onda je G\{a} takožer skup izvodnica prostora V Dokaz Proizvoljan vektor iz V moºe se prikazati kao linearna kombinacija nekih vektora iz G pa pretpostavimo da je x = αa + β i b i, za b 1,, b n G\{a} i α, β 1,, β n F Nadalje, a G se moºe prikazati kao linearna kombinacija vektora iz G\{a}, pa postoje b 1,, b k G\{a} i β 1,, β k F takvi da je i=1 a = k β jb j j=1 Stoga je k k x = α( β jb j) + β i b i = (αβ j)b j + j=1 i=1 j=1 odnosno x je linearna kombinacija vektora iz G\{a} β i b i, i=1 Ve smo spomenuli da nas zanima odrediti ²to je mogu e manji sustav izvodnica Propozicija 135 nam kaºe kako operativno smanjiti skup izvodnica kona nogeneriranog vektorskog prostora Dakle, svaki vektor koji je linearna kombinacija preostalih vektora izbacujemo iz sustava izvodnica i na taj na in dobijemo novi sustav izvodnica kojem se kardinalitet smanji za jedan (uz pretpostavku da smo krenuli od kona nog skupa izvodnica) Ponavlju i postupak do i emo do minimalnog skupa izvodnica, to jest do skupa u kojem se niti jedan vektor ne moºe prikazati kao linearna kombinacija preostalih U onom ²to slijedi vidjet emo da je takav skup karakteriziran svojstvom linearne nezavisnosti 23

Denicija 136 Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka je S = {a 1,, a k } njegov podskup Kaºemo da je S linearno nezavisan skup vektora ako se nulvektor 0 V moºe na jedinstven na in prikazati pomo u vektora iz S, to jest ako iz α 1 a 1 + α 2 a 2 + α k a k = 0 V (14) slijedi da je α 1 = α 2 = = α k = 0 U suprotnom, to jest ako postoji izbor skalara α 1,, α k takav da je bar jedan skalar α i 0 i da vrijedi (14), onda kaºemo da je skup S linearno zavisan ƒesto kaºemo da S linearno nezavisan ako je prikaz nulvektora u (14) trivijalan, odnosno ako je (14) mogu samo za trivijalan izbor skalara α 1,, α k, odnosno da su svi α i jednaki nuli S je linearno zavisan ako u (14) imamo netrivijalan prikaz, odnosno ako je postoji netrivijalan izbor skalara α 1,, α k za koje vrijedi (14) Napomenimo da se Denicija 136 odnosi samo na kona ne skupove, a mi emo samo takve i promatrati Beskona an skup je linearno nezavisan samo ako je svaki njegov kona an podskup linearno nezavisan, odnosno linearno zavisan ako postoji bar jedan kona an podskup koji je linearno zavisan Prisjetimo se nekih primjera linearno nezavisnih skupova vektora o kojima je bilo rije i u Analiti koj geometriji Neka su a, b u V 2 (ili u V 3 ) nekolinearni Onda je skup { a, b} linearno nezavisan Neka su a, b, c u V 3 nekomplanarni Onda je skup { a, b, c} linearno nezavisan Neka su e 1 = (1, 0) i e 2 = (0, 1) iz R 2 Tada je skup {e 1, e 2 } linearno nezavisan Zaista, iz αe 1 + βe 2 = 0 V, slijedi α = 0 i β = 0 Op enito, skup {e 1, e 2,, e n } u R n je linearno nezavisan Skup {p 0, p 1,, p n } je linearno nezavisan u prostoru P Zaista, iz α i p i = 0 P, i=0 pri emu smo s 0 P ozna ili nulpolinom, slijedi da je α i p i (x) = 0, za sve x R, a to je jedino mogu e za α 0 = = α n = 0 i=0 Propozicija 137 Jedno lan skup, S = {a}, linearno je nezavisan ako i samo ako je a 0 V 24

Dokaz Pokazujemo nuºnost: ako je {a} je linearno nezavisan, onda je a 0 V Obrat po kontrapoziciji te tvrdnje kaºe: ako je a = 0 V, onda je {a} je linearno zavisan Zaista, prema Propoziciji 123 jednakost α a = α 0 V = 0 V vrijedi za sve α F, pa je ispunjena netrivijalno (npr za α = 1) Obratno, pretpostavimo da a 0 V Prema Propoziciji 123 jednakost αa = 0 V povla i da je α = 0 (jer a 0 V ) Stoga je S = {a} linearno nezavisan Korolar 138 Jedno lan skup, S = {a}, linearno je zavisan ako i samo je a = 0 V Propozicija 139 (i) Podskup linearno nezavisnog skupa je linearno nezavisan (ii) Nadskup linearno zavisnog skupa je linearno zavisan Dokaz (i) Neka je S = {a 1, a 2,, a n } linearno nezavisan skup, te S 1 neki njegov pravi podskup Bez smanjenja op enitosti pretpostavimo da se S 1 sastoji od prvih 1 k < n vektora skupa S, S 1 = {a 1, a 2,, a k } Nadalje, pretpostavimo suprotno da je S 1 linearno zavisan Tada postoje skalari α 1,, α k takvi da je barem jedan α j 0, 1 j k i k α i a i = 0 V Stavimo da α j = 0 za sve j = k + 1,, n i ustanovimo da je i=1 α i a i = i=1 k k α i a i + 0 a i = 0 V i=1 i=k+1 jedan netrivijalan prikaz nulvektora pomo u vektora iz S Dakle, S je linearno zavisan ²to je u proturje ju s po etnom pretpostavkom Zna i, S 1 je linearno nezavisan (ii) Sli no kao u (i), za linearno zavisan skup S = {a 1,, a k } i njegov nadskup S 2 = {a 1,, a k, b 1,, b n } vrijedi da postoji netrivijalan izbor skalara α 1,, α k, te β 1 = = β n = 0 takvi da vrijedi k α i a i + i=1 β i b i = 0 V, i=1 pa je i S 2 linearno zavisan skup Budu i da smo ustanovili da je skup {0 V } linearno zavisan, imamo sljede u posljedicu prethodne propozicije Korolar 1310 Svaki skup koji sadrºi nulvektor je linearno zavisan Propozicija 1311 Skup od barem dva vektora je linearno zavisan ako i samo ako se barem jedan vektor iz S moºe prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora iz S 25

Dokaz Pretpostavimo da je S = {a 1,, a n } linearno zavisan i n > 1 Postoje skalari α 1,, α n takvi da je α i 0, za neki i {1,, n} i n i=1 α ia i = 0 V Odatle je α i a i = ( α 1 )a 1 + + ( α i 1 )a i 1 + ( α i+1 )a i+1 + + ( α n )a n, pa mnoºenjem cijelog izraza s α 1 i (²to je mogu e jer α i 0) slijedi da je a i = ( α 1 α 1 i )a 1 + + ( α i 1 α 1 i )a i 1 + ( α i+1 α 1 i )a i+1 + + ( α n α 1 i )a n, odnosno a i je linearna kombinacija preostalih vektora iz S Obratno, bez smanjenja op enitosti pretpostavimo da se vektor a n moºe prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora iz S, to jest svojih prethodnika Tada postoje skalari α 1,, α n 1 za koje vrijedi Otuda je a n = α 1 a 1 + + α n 1 a n 1 0 V = α 1 a 1 + + α n 1 a n 1 + ( 1)a n, jedan netrivijalan prikaz nulvektora (jer je α n = 1 0), pa je skup S linearno zavisan Prethodna propozicija pokazuje se vrlo korisnom pri ispitivanju linearne (ne)zavisnosti konkretnog skupa Primjer 16 Ispitat emo linearnu (ne)zavisnost sljede ih skupova u R 4, (a) {(1, 0, 1, 3), ( 1, 0, 0, 2)} (b) {(1, 1, 2, 2), ( 1, 2, 1, 2), ( 2, 1, 3, 0)} (c) {(1, 1, 0, 0), (3, 3, 0, 0), (1, 0, 0, 4), (0, 0, 1, 2)} (b) {(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 2), (2, 1, 0, 0)} 14 Baza vektorskog prostora Dimenzija Denicija 141 Podskup B vektorskog prostora V je baza prostora V ako je B sustav izvodnica za V i linearno nezavisan skup u V U prethodnom odsje ku smo za neke skupove ve ustanovili da su sustavi izvodnica i linearno nezavisni u konkretnim vektorskim prostorima Skup { a} V 1 za a 0 je baza prostora V 1 Neka su a i b nekolinearni vektori u V 2 Skup { a, b} je baza za V 2 Neka su a, b i c nekomplanarni vektori u V 3 Skup { a, b, c} je baza za V 3 Skup {e 1, e 2,, e n } je baza za R n Ta se baza naziva kanonska ili standardna 26

Skup {p 0, p 1,, p n } je baza za P n Skup {1} je baza polje F kojeg shva amo kao vektorski prostor nad samim sobom Op enito, je i svaki skup {a}, a 0 je baza za F Skup {1, i} je baza za realan vektorski prostor C R Prvo pitanje koje nam se prirodno name e jest postoji li u svakom netrivijanom vektorskom prostoru baza Odgovor na to pitanje je potvrdan, a mi emo ga obrazloºiti za kona nogenerirane vektorske prostore Dakle, u onom ²to slijedi na²a je pretpostavka da prostor V kona nogeneriran i netrivijalan, to jest da postoji skup G = {a 1,, a n } V takav da je [G] = V Teorem 142 Neka je V kona nogeneriran i netrivijalan vektorski prostor Ako je G = {a 1,, a n } V sustav izvodnica za V, onda G sadrºi podskup koji je baza za V Dokaz Ako je G linearno nezavisan skup u V, onda je prema deniciji skup G baza prostora V Pretpostavimo da je G linearno zavisan skup Tada prema Propoziciji 1311 postoji vektor a i G koji se moºe prikazati kao linearna kombinacija vektora iz G\{a i } No, prema Propoziciji 135 skup G 1 = G\{a i } je takožer sustav izvodnica za V Ukoliko je G 1 linearno nezavisan skup, onda je i baza za V pa smo gotovi s dokazom U protivnom, ponavljamo postupak i u kona no mnogo koraka l n 1 dolazimo do skupa G l koji je sustav izvodnica za V i linearno nezavisan, to jest baza za V Korolar 143 Svaki V netrivijalan kona nogeneriran vektorski prostor ima kona nu bazu Denicija 144 Vektorski prostor koji ima kona nu bazu naziva se kona nodimenzionalan U protivnom je beskona nodimenzionalan Trivijalan prostor V = {0 V } je kona nodimenzionalan Korolar 145 Neka V netrivijalan vektorski prostor samo ako je kona nodimenzionalan V je kona nogeneriran ako i Sljede e pitanje koje se name e u vezi s bazom jest sastoji li svaka baza kona nodimenzionalnog prostora od istog broja vektora, odnosno jesu li svake dvije baze prostora jednakobrojne ili ekvipotentne I ovaj put je odgovor potvrdan U dokazu te tvrdnje koristit emo se sljede om pomo nom tvrdnjom koja je varijanta Propozicije 1311 Lema 146 Neka S = {a 1,, a k } linearno zavisan skup vektora i a 1 0 V Onda se bar jedan vektor iz S moºe zapisati kao linearna kombinacija svojih prethodnika Dokaz Uo imo najprije da je k > 1 Kako je S linearno zavisan skup, postoji netrivijalan izbor skalara α 1,, α k takvih da je α 1 a 1 + + α k a k = 0 V Neka je α i zadnji koecijent koji je razli it od nule, to jest α i 0 i α i+1 = = α k = 0 ako i < k ili α k 0 ako i = k Jasno je da je i > 1 jer je a 1 0 V Zaista, u protivnom 27

iz α 1 a 1 = 0 V i α 1 0 slijedi a 1 = 0 V ²to je u kontradikciji s pretpostavkom Kona no, mnoºenjem jednakosti α 1 a 1 + + α i 1 a i 1 + α i a i = 0 V s α 1 i 0 dobivamo da je Dakle, a i [a 1,, a i 1 ] a i = ( α 1 i α 1 )a 1 + + ( α 1 i α i 1 )a i 1 Teorem 147 (Steinitz) Neka je V netrivijalan kona nodimenzionalan vektorski prostor Svake dvije baze prostora V su jednakobrojne (ekvipotentne) Dokaz Prema pretpostavci V ima kona nu bazu Nadalje, neka je B = {b 1,, b n } X = {x α : α A} jo² jedna baza za V pri emu je s A ozna en skup indeksa pomo u kojih su indeksirani vektori iz X Treba pokazati da je B = X Najprije pretpostavimo da je B X = Za neki x α1 X promotrimo skup S 1 = {x α1, b 1,, b n } Ovaj skup sadrºi bazu prostora pa je sigurno sustav izvodnica za V S 1 je i linearno zavisan jer je x α1 [b 1,, b n ] pa stoga prema Lemi 146 postoji vektor iz S 1 koji se moºe prikazati kao linearna kombinacija svojih prethodnika Uo imo da to ne moºe biti x α1 nego neki od vektora b 1,, b n Ako vektor b i1, i {1,, n} zadovoljava to svojstvo tada ga izbacimo iz skupa S 1, a skup S 1 \{b i1 } je takožer sustav izvodnica za V prema Propoziciji 135 Nastavljamo postupak tako ²to skupu S 1 \{b i1 } priklju ujemo neki vektor iz X, to jest x α2 X\{x α1 } Novonastali skup je S 2 = {x α2, x α1, b 1,, b i1,, b n }, gdje oznaka b i1 zna i da smo vektor b i1 izostavili iz nabrajanja, odnosno izbacili iz skupa Kako je S 2 nadskup sustava izvodnica S 1 \{b i1 }, to je i S 2 sustav izvodnica Nadalje, iz istog razloga se vektor x α2 moºe prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora, pa slijedi da je S 2 linearno zavisan Stoga prema Lemi 146 postoji vektor iz S 2 koji se moºe prikazati kao linearna kombinacija svojih prethodnika No, to ne moºe biti ni x α1, ni x α2 jer je skup {x α1, x α2 } linearno nezavisan (kao podskup baze) Dakle, postoji neki b i2 koji je linearna kombinacija svojih prethodnika u S 2 Sada iz skupa S 2 izbacimo vektor b i2 i nadopunimo ga vektorom x α3 X\{x α1, x α2 } pa dobivamo skup S 3 = {x α3, x α2, x α1, b 1,, b i1,, b i2,, b n } Analognim zaklju ivanjem jasno je da S 3 sustav izvodnica i linearno zavisan (jer se x α3 moºe prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora iz S 3 ) Nastavljaju i 28