CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II. Utiizarea transformării Lapace Să considerăm probema hiperboică de forma a x + b x + c + d = f(t, x), (t, x) [, + ) [, ], (, x) = ϕ(x), (C.I.) (, x) = ψ(x), x [, ], () α (C.L.) x (t, ) + β (t, ) + γ (t, ) = g(t), α x (t, ) + β (t, ) + γ (t, ) = h(t), t [, + ), nde f : [, + ) [, ] R este contină şi t f(t, x) este origina Lapace, fncţiie ϕ, ψ : [, ] R, g, h : [, + ) R snt contine, g, h snt fncţii origina, iar α i, β i, γ i, i =,, snt constante reae. Dorim să rezovăm probema în casa fncţiior origina în variabia t. Dacă admitem că t (t, x) este origina şi notăm L t operator transformării Lapace în raport c t, considerând pe x drept o constantă, ptem scrie L t [(t, x)] (s) = U(s, x). Din teorema de derivare a originai, avem [ ] L t (t, x) (s) = s U(s, x) (, x) = su(s, x) ϕ(x), [ ] L t (t, x) (s) = s U(s, x) s(, x) (, x) = s U(s, x) sϕ(x) ψ(x). Foosind proprităţie integraeor c parametr ptem scrie [ ] + st L t (t, x) (s) = e (t, x) dt = x x x şi, anaog + = x L t [(t, x)] (s) = U x (s, x) = U x(s, x), [ ] L t (t, x) (s) = U (s, x). x x e st (t, x) dt
Daniea Roş Notăm L t [f(t, x)] (s) = F (s, x), L t [g(t)] (s) = G(s), L t [h(t)] (s) = H(s). Prin apicarea transformatei aspra ecaţiei şi aspra condiţiior a imită (CL), găsim ecaţia a U x (s, x) bu x(s, x) + ( s cs d)u(s, x) + F (s, x) + (c + s)ϕ(x) + ψ(x) =, () şi condiţiie { α U x(s, ) + (sβ + γ )U(s, ) β ϕ() = G(s) α U x(s, ) + (sβ + γ )U(s, ) β ϕ() = H(s). Ecaţia () este o ecaţie diferenţiaă iniară de ordin doi neomogenă c coeficienţi constanţi în variabia x, privind pe s ca n parametr. Soţia acestei ecaţii, care satisface condiţiie (3) este imaginea Lapace a soţiei probemei () care se determină apoi foosind metodee cnoscte de a transformarea Lapace. (3) Prin aceeaşi metodă operaţionaă se determină şi soţia probemei paraboice: a x + b x + c + d = f(t, x), (t, x) [, + ) [, ], (C.I.) (, x) = ϕ(x), x [, ], (4) α (C.L.) x (t, ) + γ (t, ) = g(t) α x (t, ) + γ (t, ) = h(t), t [, + ), nde f : [, + ) [, ] R este contină şi t f(t, x) este origina Lapace, fncţiie ϕ : [, ] R, g, h : [, + ) R snt fncţii contine, g, h snt fncţii origina, iar α i, γ i, i =,, snt constante reae. Exemp.. Să se determine soţia probemei: [ x = 4x + 8et cos x, (t, x) [, + ), π ], (C.I.) (, x) = cos x, [ (, x) = x, x, π ], (t, ( ) = e t e t 3te t, (C.L.) t, π ) = πt, t [, + ). Soţie. Apicăm transformarea Lapace în raport c variabia t, considerând pe x drept parametr. Avem
(t, x) U(s, x) Metoda operaţionaă 3 (t, x) su(s, x) (, x) = su(s, x) cos x (t, x) s U(s, x) s(, x) (, x) = s U(s, x) s cos x x (t, x) x U x (s, x), şi obţinem ecaţia diferenţiaă de ordin doi, c coeficienţi constanţi şi neomogenă, în variabia x (s se consideră parametr constant) U x (s + s)u = (s + s + 6) (s + ) cos x x. (5) s s Soţia ecaţiei omogene asociată U x (s + s)u = este U o (s, x) = C (s)e s +s x + C (s)e s +s x. Cătăm o soţie particară a ecaţiei neomogene de forma U p (s, x) = A(s) cos x + B(s) sin x + C(s)x + D(s). Avem d dx U p(s, x) = A(s) cos x B(s) sin x. Impnem ca U p să satisfacă ecaţia neomogenă (5) şi găsim deci Atnci A(s) = (s + s + 6) (s )(s + ), B(s) =, C(s) =, D(s) =, s U p (s, x) = (s + s + 6) (s )(s + ) cos x + s x. U(s, x) = C (s)e s +s x + C (s)e s +s x + (s + s + 6) (s )(s + ) cos x + x. (6) s Apicăm transformarea Lapace aspra condiţiior a imită (C.L.) şi găsim U(s, ) = s s + 3 (s + ) = s + s + 6 ( (s )(s + ) U s, π ) = π s. Impnem ca fncţia U(s, x) dată de (6) să satisfacă aceste condiṭii şi obţinem C = C =. Reztă deci, U(s, x) = (s + s + 6) (s )(s + ) cos x + s x. Determinăm origina. Are oc descompnerea în fracţii simpe (s + s + 6) (s )(s + ) = s s + 3 (s + )
4 Daniea Roş şi atnci obţinem origina (t, x) = (e t ( + 3t)e t ) cos x + tx, (t, x) [, + ) Exemp.. Să se determine soţia probemei: [, π ]. a =, (t, x) [, + ) [, ], a > x (C.I.) (, x) = sin πx, x [, ], { (t, ) =, (C.L.) (t, ) = πt, t [, + ). Soţie. Avem (t, x) U(s, x) (t, x) x U (t, x) su(s, x) (, x) = su(s, x) sin πx x (s, x). Dacă apicăm transformarea Lapace aspra ecaţiei date, atnci obţinem rmătoarea ecaţie diferenţiaă de ordin doi, c coeficienţi constanţi şi neomogenă, în variabia x, (s se consideră constant): U x s a U = πx sin a. (7) Ecaţia omogenă asociată U x s U = are soţia a s U o (s, x) = C (s)e a x + C (s)e s a x. Cătăm o soţie particară a ecaţiei neomogene de forma U p (s, x) = A(s) cos πx πx + B(s) sin. Avem d ( ) π ( ) dx U πx π p(s, x) = A(s) cos B(s) πx sin. Impnem ca U p să satisfacă ecaţia neomogenă (7) şi găsim deci iar A(s) =, B(s) = U p (s, x) = s + ( πa s + ( πa ), ) sin πx, s U(s, x) = C (s)e a x + C (s)e s a x + s + ( πa ) sin πx.
Metoda operaţionaă 5 Transformarea Lapace apicată aspra condiţiior a imită (C.L.) ne condce a U(s, ) =, de nde reztă C = C = deci U(s, x) = U (s, ) = π s, s + π a Origina corespnzător reprezintă soţia probemei date şi are expresia (t, x) = e a π t sin πx. sin πx, (t, x) [, + ) [, ].
6 Daniea Roş. Utiizarea transformării Forier Exemp.. Să se determine soţia probemei propagării cădrii într-o bară infinită x =, x R, t (x, ) = (x) în ipotezee, x, snt fncţii absot integrabie pentr orice t. x are pe orice interva [, T ] n majorant Φ Φ(x), Φ(x)dx <. R integrabi adică, Soţie. Apicăm transformata Forier fncţiei reativ a variabia x, pentr orice t. F[(x, t)](ω) = Derivatee parţiae se transformă astfe (x, t)e jωx dx = U(ω, t). [ ] (x, t) F (ω) = (jω) U(ω, t) [ x ] (x, t) U(ω, t) F (ω) =. Redcem astfe a probema Cachy care are soţia U(ω, t) = ω U(ω, t) U(ω, ) = F[ ] U(ω, t) = C(ω)e ωt, x iar constanta reztă a fi C(ω) = F[ ]. Dar e ωt = F πt e 4t şi reamintind că n prods de transformate Forier este transformata Forier a ni prods de convoţie obţinem (x, t) = y e 4t (x y)dy. πt Exemp.. Apicând transformata Forier prin sins determinaţi soţia probemei c condiţiie a x = ϕ(x, t) (8)
Metoda operaţionaă 7 (x, ) =, x (, t) =, t im (x, t) =, t x (x, t) =, t. x im x (9) Soţie. [ ] F s (x, t) (ω) = [ ] F s (x, t) (ω) = x = π (x, t) sin xωdx = F s[(x, t)](ω). ( π x (x, t) sin xω (x, t) sin xωdx = π x ) ω cos xωdx = x = π ω ( (x, t) cos xω + +ω [ ] Deci F s x (x, t)](ω) = ω F s [(x, t) (ω). Dedcem ecaţia diferenţiaă iniară c parametr ω ) (x, t) sin xωdx a ω F s [(x, t)](ω) = F s[(x, t)](ω) + F s [ϕ(x, t)](ω). Notăm U(ω, t) = F s [(x, t)], iar ecaţia devine Soţia ecaţiei omogene este U + a ω U = F s [ϕ(x, t)]. U (ω, t) = C (ω)e a ω t. Soţia particară o găsim prin metoda variaţiei constanteor. Cătăm U p = C(ω, t)e a ω t şi pnând condiţia să fie soţie avem de nde C(ω, t) = ( U(ω, t) = U + U p = C (ω) C = ωt ea F s [ϕ(x, t)] t t Din U(ω, ) = dedcem C (ω) =. Atnci e a ω F s [ϕ(x, )]d. Soţia este atnci ) e a ω F s [ϕ(x, )]d e a ω t.., de nde dedcem t U(ω, t)= e a ω t e a ω F s [ϕ(x, )]d
8 Daniea Roş (x, t) = π t e a ω F s [ϕ(x, )]de a ω t sin ωxdω. Exemp.3. Apicând transformata Forier cosins determinaţi soţia probemei c condiţiie a x =, x, t () (x, ) =, x x (, t) = µ, µ R t. () Soţie. Procedând ca în Exemp precedent, prin apicarea transformatei Forier prin cosins, se obţine ecaţia iniară în U(ω, t) = F c [x, t)](ω) U = π a µ a ω U(ω, t), de nde U(ω, t) = C(ω)e a ω t. Deoarece U(ω, ) =, reztă că soţia coincide c cea particară, determinată de exemp prin variaţia constanteor; deci reztă µ U(ω, t) = π ω ( ωt e a ). Apicând transformata inversă găsim (x, t) = µ π e a ω t cos ωxdω. ω