Mehanika deformabilnih tijela 8. dio 1
Tehnika mehanika = Mehanika apsolutno krutih tijela (statika) + Mehanika deformabilnih tijela 2
Mehanika deformabilnih tijela Otpornost materijala Nauka o vrstoi 3
Sadržaj 1. Uvod 2. Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 3. Temelji i potporni zidovi 4. Analiza naprezanja 5. Analiza deformacije 4
6. usobna ovisnost naprezanja i deformacija 7. Veze izmeu komponenata unutarnjih sila i komponenata tenzora naprezanja 8. Eksperimentalna metode analize naprezanja i deformacija 5
7. Osnovni naini optereenja štapa 8. Rastezanje štapa N>0 (vlak) 9. Izvijanje štapa N<0 (tlak) 10. Uvijanje štapa M t 11. isto savijanje štapa M y 12. Savijanje štapa s poprenim silama M y i T z 6
Podjela mehanike 7
Idealizacija realnog vrstog tijela u mehanici 8
Odreivanje stanja naprezanja i deformacija: a) Analitikim metodama b) Numerikim metodama c) Eksperimentalnim metodama 9
a) Analiti ka metoda: Provjera rezultata prora una: b) Numeri kim metodama c) Eksperimentom U praksi zadovoljavaju a odstupanja do 5%) 10
11
Teorijski ili matematiki pristup odreivanju naprezanja i deformacija u tijelima proizvoljnog oblika vrlo je složen, u opem sluaju zahtijeva uporabu složenog matematikog aparata i mukotrpno se dolazi do egzaktnih rješenja. 12
U svakodnevnoj praksi za rješavanje problema koristimo se inženjerskim pristupom. Uvode se pretpostavke: - o svojstvima materijala. - o deformiranju tijela, i - o raspodjeli naprezanja po presjeku tijela. 13
1. Kontinuum Statika - pretpostavke: 2. Apsolutno kruto tijelo Otpornost materijala pretpostavke: 1. Kontinuum 2. Deformabilnovrsto tijelo 14
Kontinum Kod kontinuuma je materija tijela jednoliko i neprekinuto raspodijeljena po itavom obujmu tijela. (Prirodno vrsto tijelo je diskretni sustav materijalnih toaka, t.j. sastavljeno je od malih estica molekula.) Deformabilno tijelo je vrsto tijelo koje se pod djelovanjem sila deformira, mijenja svoj oblik i obujam. 15
Pretpostavke: 1. Pretpostavka o svojstvima materijala 2. Pretpostavka o deformiranju 3. Pretpostavka o raspodjeli naprezanja po presjeku tijela 16
1. Pretpostavka - o svojstvima materijala Razmatraju se vrsta tijela idealiziranih svojstava: (Kontinuum) Homogen Izotropan Idealno elastian 17
Homogen Svojstva materijala su u svim tokama jednaka. na primjer: gustoa ρ (kg/m 3 ) homogen -elik 18
Izotropan Elastina, mehanika, toplinska i druga fiziko-mehanika svojstva materijala su u svim smjerovima. na primjer: modul elastinosti E (N/m 2 ). izotropan: elik E = E x = E y = E z E = 21.000 kn/cm 2 19
Idealno elastian materijal Tijelo od idealno elastinog materijala se nakon rastereenja vraa u prvobitno stanje poprima prvobitni oblik i obujam. na primjer elik napregnut do granice elastinosti 20
Homogen elik Heterogen beton (smjesa agregata i cementne paste) Izotropan elik E = 21.000 kn/cm 2 Anizotropno: drvo (ortotropno) E = 1.000 kn/cm 2 i E = 30 kn/cm 2 Elastino tijelo elik Plastino tijelo Viskoelastino tijelo 21
Plastino tijelo U plastinom tijelima nakon rastereenja deformacije tijela ne išeznu potpuno, ve zaostaju tzv. trajne ili plastine deformacije. na primjer: nisko-ugljini (meki) graevinski elik poslije granice elastinosti 22
Viskoelastino tijelo Viskoelastini materijali imaju svojstva elastinih tijela i viskoznih tekuina. Viskoelastina tijela karakteriziraju pojave: 1. puzanja (beton) i 2. relaksacije (polimeri) 23
Puzanje je pojava porasta deformacija tijekom vremena pri konstantnom naprezanju (na pr. beton). Relaksacije je pojava opadanja naprezanja kod konstantne deformacije tijekom vremena. (na pr. polimerni materijali, asfalt, metali pri povišenim temperaturama) 24
2. Pretpostavka - o deformiranju: 1. deformacije tijela su male u odnosu na dimenzije tijela 2. usvajamo naelo poetnih dimenzija 3. vrijedi linearna proporcionalnost izmeu optereenja i pomaka-elastino podruje 4. vrijedi zakon superpozicije - elastino podruje 25
1. deformacije tijela su male u odnosu na dimenzije tijela Progib w << a, l, b, h Popreni presjek: 2. usvajamo naelo poetnih dimenzija a, l 26
3. vrijedi linearna proporcionalnost izmeu optereenja i pomaka - elastino podruje 27
4. Zakon superpozicije: progib w k = w k1 + w k2 28
3. Pretpostavka o raspodjeli naprezanja po presjeku tijela Postoji jednoznana ovisnost izmeu naprezanja i deformacija Hookeov zakon: - za normalno naprezanje: σ = E ε - za posmino naprezanje: τ = G γ 29
Pretpostavke - ponavljanje 1. Pretpostavka o svojstvima materijala: kontinuum, homogen, izotropan i idealno elastian 2. Pretpostavka o deformiranju: sluaj malih deformacija, naelo poetnih dimenzija i zakon superpozicije 3. Pretpostavka o raspodjeli naprezanja po presjeku tijela: Hookeov zakon 30
Fizikalno-mehanike karakteristike materijala: 1. Gustoa ρ [kg/m 3 ] 2. Modul elastinosti E [kn/m 2 ] 3. Poissonov koeficijent ν [-] 4. Modul posmika G [kn/m 2 ] 5. Obujamski modul elastinosti K [kn/m 2 ] (bulk modul, modul kompresije) 6. Koeficijent linearnog toplinskog rastezanja α t [ / 0 C] 31
Otpornost materijala Prouava: 1. vrstou, 2. krutost i 3. elastinu stabilnost konstrukcija i dijelova konstrukcija. 32
vrstoa vrstoa konstrukcije je sposobnost elemenata konstrukcije prijenosa optereenja bez pojave loma, bez trajnih plastinih deformacija ili ošteenja (pukotine). 33
vrstoa Uvjet vrstoe za: Normalno naprezanje Posmino naprezanje σ < σdop τ < τdop 34
vrstoa Najvea naprezanja u elementima konstrukcije ne smiju biti vea od neke normativne vrijednosti - dopuštenog naprezanja se odreuju normiranim ispitivanjima na ispitnim uzorcima (epruvetama) od tog materijala. Ispitivanja se obavljaju u ovlaštenom laboratoriju. 35
Krutost Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije prema deformiranju (t.j. promjeni oblika i dimenzija pod optereenjem). Uvjet krutosti: Progib nosaa kod savijanja w w dop Kut uvijanja ϑ ϑ dop 36
Krutost Pri zadanom optereenju deformacije ne smiju biti vee od dopuštenih, jer bi moglo doi u pitanje iskorištavanje elementa ili itave konstrukcije u primjeni wk w dop 37
Elastina stabilnost Elastina stabilnost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da kod optereivanja zadrži poetni ravnotežni oblik Izvijanje ravnog štapa 38
Elastina stabilnost Gubitak elastine stabilnosti ravnog štapa zovemo izvijanje. Dugi i vitki štapovi podvrgnuti velikom osnom optereenju na sabijanje mogu izgubiti svoj prvobitni pravocrtni oblik. Eksperimentalna i teorijska ispitivanja pokazuju da pojava nestabilnog ravnotežnog oblika elementa ili konstrukcije neizbježno vodi do potpunog uništenja (kolapsa) konstrukcije. 39
40 Tenzori 2. reda Tenzor naprezanja Tenzor deformacija = z zy zx yz y yx xz xy x ij σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = z zy zx yz y yx xz xy x ij ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
Naprezanja naprezanje = unutarnja sila u poprenom presjeku geometrijska karakteristika poprenog presjeka 1. Normalno naprezanje σ 2. Posmino naprezanje τ 41
42 Tenzori 2. reda Tenzor naprezanja Tenzor deformacija σ τ τ τ σ τ τ τ σ = σ z zy zx yz y yx xz xy x ij = z zy zx yz y yx xz xy x ij ε γ γ γ ε γ γ γ ε ε 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Tenzor naprezanja σ i, j { i normala ravnine presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanja j koordinatna os s kojom je komponenta naprezanja paralelna 43
Sustav mjernih jedinica SI Naziv veliine Naziv jedinice duljina metar m masa kilogram kg vrijeme sekunda s sila, težina njutn N naprezanje, tlak paskal Pa 44
Jedinica za naprezanje: 1 Pa = 1 N/m 2 Vea jedinica je megapaskal 2 1MPa = 1 N/mm 10 MPa = 1kN/cm 2 45
Normalno naprezanje σ Normalno naprezanje σ uzrokuju promjenu obujma t.j. utjee na promjenu duljina: l l 1 l 1 = 46
Posmino naprezanje τ Posmino naprezanje τ utjeu samo na promjenu oblika tijela. 47
Duljinska deformacija ε Duljiska deformacija ε je relativna promjena neke duljine tijela koje se deformira ε = l l l 1 = 48
Kutna deformacija tijela γ Kutna deformacija γ je promjena pravog kuta (π/2) tijela koje se deformira (promjena oblika). 49
Kutna deformacija tijela γ Kutna deformacija γ javlja se kod uvijanja štapa kao zakreti presjeka štapa uslijed djelovanja momenta uvijanja M t 50
Povijest - otpornosti materijala Leonardo da Vinci Galileo Galilei Robert Hooke Jakob Bernoulli L. Euler C. A. Coulomb T. Young L. Navier A. L. Cauchy i drugi. 51
1. Leonardo da Vinci - eksperimentalna istraživanja proste grede i konzole 2. Galileo Galilei mehanika deformabilnih tijela 3. Robert Hooke - mehanika elastinih tijela 4. Jakob Bernoulli - hipoteza ravnih presjeka 5. L. Euler - stabilnost pritisnutih štapova 6. C. A. Coulomb - uvijanje okruglog štapa 7. T. Young - posmino naprezanje, modul E 8. L. Navier - ope jednadžbe ravnoteže 9. A. L. Cauchy - zakon o uzajamnosti posminih naprezanja 52
Leonardo da Vinci (1452-1519) bavio se prouavanjem vrstoe tehnikih konstrukcija, eksperimentalnim istraživanjima proste grede i konzole. Galileo Galilei (1564-1642) prvi je primjetio da mehanika krutih tijela nije dovoljna za rješavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija te da se moraju uzeti u obzir fizikalna svojstva materijala. Njegova publikacija "Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorio a due nuove scienze" prva je na podruju znanosti o otpornosti materijala i oznaava poetak povijesnog razdoblja mehanike deformabilnih tijela. 53
Robert Hooke (1635-1703) prouava elastina svojstva materijala. Eksperimentalnim ispitivanjima na oprugama, žicama i drvenim konzolama pronalazi Zakon o linearnoj ovisnosti optereenja i deformacija pri rastezanju, na kojoj je kasnije izgraena mehanika elastinih tijela. Jakob Bernoulli (1654-1705) prouavao je oblik savijene grede i postavio jednu od važnijih hipoteza u znanosti o otpornosti materijala - hipotezu ravnih presjeka. 54
L. Euler (1700-1783) istraživao je stabilnost pritisnutih štapova. C. A. Coulomb (1785-1806) prouava meu prvima torziju okruglog štapa, mehanika svojstva materijala, odredio granicu elastinosti za neke materijale, dao tono rješenje savijanja konzole. 55
T. Young (1773-1829) dao je matematiku formulaciju Hookeovog zakona i uveo pojam modula elastinosti E pri rastezanju i pritisku, koji se naziva Youngovim modulom. Uvodi i pojam posminog naprezanja. Prvi je poeo prouavanje djelovanje dinamikog optereenja. 56
L. Navier (1785-1836) izdaje 1862. prvi udžbenik o otpornosti materijala. Za razliku od ostalih istraživaa, koji su tražili optereenje koje dovodi do rušenja konstrukcije, on je tražio optereenje do kojeg se konstrukcija ponaša potpuno elastino bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulirao ope jednadžbe ravnoteže. A. L. Cauchy (1789-1857) uvodi pojam glavnih naprezanja i glavnih deformacija te dokazuje zakon o uzajamnosti posminih naprezanja. 57
Ostali istraživai su: Poisson (koeficijent ν), Lame (koeficijenti λ i µ), Mohr (kružnice naprezanja), Saint-Venant (teorija plastinosti), Huber, Mises, Hencky (HMH teorija loma), Rankin, Maxwell, Clapeyron, Castiglian, Betti, Prandtl, Timošenko, Mushelšvilia, Ostrogradski i drugi. 58