Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić TEHNIČKA MEHANIKA 2 Predavanja Akad. god. 2008/09

Transcript

1 Prof. dr. sc. Vedrana Koulić EHNČK EHNK Predavanja kad. god. 008/09

2 OPORNOS ERJL Otpornost materijala je grana tehničke mehanike koja proučava probleme čvrstoće, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova nosivih konstrukcija od čvrstog deformabilnog materijala. Čvrstoća - sposobnost prenošenja opterećenja be pojave loma Krutost - otpornost na deformiranje (promjenu oblika i volumena) Stabilnost - sposobnost adržavanja prvobitnog oblika prilikom djelovanja opterećenja Proračun čvrstoće Proračun krutosti - određivanje najmanjih dimenija pojedinih dijelova konstrukcija a da pod djelovanjem adanog opterećenja ne dođe do pojave loma. - određivanje deformacija konstrukcija pod djelovanjem adanog opterećenja koje moraju ostati u dopuštenim granicama. Proračun stabilnosti - određivanje opterećenja pod kojim konstrukcija i njeini elementi još adržavaju prvobitni oblik elastične ravnoteže. Skup proračuna čvrstoće, krutosti i stabilnosti naiva se dimenioniranje elemenata konstrukcije. Zadaća otpornosti materijala: odabiranje vrste materijala a konstrukciju i njene elemente, određivanje minimalnih dimenija koje će adovoljiti uvjete čvrstoće, krutosti i stabilnosti, u uvjete sigurnosti moraju biti adovoljeni i uvjeti ekonomičnosti konstrukcije. Vedrana Koulić ehnička mehanika

3 GEOERJSKE KRKERSKE POPREČNOG PRESJEK ŠP Poprečni presjek štapa definiran je atvorenom krivuljom u ravnini okomitoj na udužnu os štapa. Karakteristike poprečnog presjeka: površina težište statički moment površine na os ili os S ; momenti tromosti (momenti inercije) ; ; S Površina poprečnog presjeka d d Element površine: d d d d Površina presjeka: d (m ) Vedrana Koulić ehnička mehanika 3

4 Površine poprečnih presjeka nekih jednostavnih oblika: b v r a a a b a v d r π d π Površina složenog poprečnog presjeka: 3 Općenito: i Dva štapa jednakih površina poprečnog presjeka opterećenjem na savijanje, raličito se deformiraju: b h, opterećena jednakim F F f f b h h f < f b Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike ravnih presjeka, i to: statički momenti površine, momenti tromosti i momenti otpora ravnih presjeka. Vedrana Koulić ehnička mehanika

5 Statički momenti površine presjeka d d Statički momenti površine s obirom na osi i definirani su iraima: ds ds d d S S d d d Dimenija statičkog momenta je (m 3 ). ežište poprečnog presjeka o je točka a koju je statički moment površine jednak nuli obirom na bilo koju os koja prolai kro tu točku. Na osnovi teorema o jednakosti momenta sile i momenata njeinih komponenata mogu se dobiti irai a koordinate težišta presjeka i : ρ d S S d d d d O Statički moment presjeka s obirom na bilo koju os jednak je produktu površine presjeka i pripadajuće koordinate težišta. Za bilo koju težišnu os (os koja prolai težištem presjeka) statički moment presjeka jednak je nuli. Vedrana Koulić ehnička mehanika 5

6 Položaj težišta jednostavnih presjeka: a/ a b/ b b/3 b b/3 h/3 h/3 h r r Položaj težišta složenog presjeka: d i i i i i d i i i i i a) b) a) 3 b) Vedrana Koulić ehnička mehanika 6

7 omenti tromosti (inercije) poprečnog presjeka ksijalni momenti tromosti (inercije) presjeka s obirom na osi i su integrali: d ρ d d O Centrifugalni moment tromosti (inercije) presjeka s obirom na osi i : d Polarni moment tromosti (inercije) presjeka s obirom na pol O: omenti tromosti imaju dimeniju (m ). p ρ d Budući je ρ, slijedi: ( ) d d d p p O Zbroj aksijalnih momenata tromosti presjeka s obirom na dvije međusobno okomite osi jednak je polarnom momentu tromosti s obirom na pol u sjecištu tih osi. ksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su poitivne veličine: > 0, > 0, p > 0 Centrifugalni moment tromosti može biti poitivan, negativan ili jednak nuli, ovisno o položaju promatranog presjeka u odnosu na koordinatni sustav. Vedrana Koulić ehnička mehanika 7

8 Promjena momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustava Ponati su momenti tromosti presjeka s obirom na koordinatne osi i koje prolae težištem presjeka : d, d, d reba odrediti momente tromosti s obirom na koordinatne osi i koje su paralelne s težišnim osima i : d, d, d b O d b a a O d ( a) d d a d a d a d ( b) d d b d b d b d ( b) ( a) d d a b d a d b d a b d 0 i d 0 (jer su to statički momenti presjeka u odnosu na težišne osi) Vedrana Koulić ehnička mehanika 8

9 Steinerovo pravilo a momente tromosti s obirom na paralelne osi: a ; b ; a b Steinerovo pravilo a aksijalne momente tromosti glasi: ksijalni moment tromosti presjeka s obirom na adanu os jednak je broju momenta tromosti s obirom na paralelnu težišnu os i produkta površine presjeka s kvadratom udaljenosti adane i težišne osi. Steinerovo pravilo a centrifugalni moment tromosti glasi: Centrifugalni moment tromosti presjeka s obirom na adani pravokutni koordinatni sustav jednak je broju centrifugalnog momenta tromosti s obirom na paralelni težišni koordinatni sustav i produkta površine presjeka s koordinatama težišta presjeka u adanome pravokutnom koordinatnom sustavu. Napomene: Koordinate težišta a i b u gornjim iraima ulae sa svojim prednacima tako da pri translaciji koordinatnog sustava može doći do uvećanja ili smanjenja centrifugalnog momenta tromosti. Od svih momenata tromosti s obirom na skup paralelnih osi, najmanju vrijednost ima moment tromosti s obirom na os koja prolai težištem poprečnog presjeka. Vedrana Koulić ehnička mehanika 9

10 Promjena momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava Za presjek površine i koordinatni sustav O ponate su vrijednosti momenata tromosti: d, d, d reba odrediti momente tromosti presjeka s obirom na novi koordinatni sustav O koji nastaje rotacijom koordinatnih osi, oko ishodišta O a kut ϕ: d, d, Uima se da je poitivan smjer rotacije suprotno od smjera gibanja kaaljke na satu. d cosϕ sinϕ O ϕ cosϕ sinϕ sin ϕ cos ϕ cosϕ sin ϕ cosϕ sin ϕ Napomena: Pri rotaciji koordinatnog sustava broj momenata tromosti je stalna veličina. Vedrana Koulić ehnička mehanika 0

11 Glavne osi i glavni momenti tromosti Kod rotacije koordinatnoga sustava postoji takav kut ϕ pri kojemu jedan od aksijalnih momenata tromosti ima maksimum, a drugi minimum. Ekstremne vrijednosti aksijalnih momenata tromosti ovu se glavni momenti tromosti presjeka, a pripadne osi glavne osi tromosti presjeka. Glavne osi tromosti onačavaju se s u i v, a pripadajući kut koji određuje njihov položaj s. ϕ 0 Centrifugalni moment tromosti u odnosu na glavne osi tromosti jednak je nuli: sin ϕ0 cosϕ 0 uv 0 tgϕ 0 π Odavde se dobivaju dvije vrijednosti a kut ϕ 0 koje se ralikuju a : v. O ϕ 0 u π ϕ 0 - određuje položaj glavne osi tromosti u π ϕ 0 - određuje položaj glavne osi tromosti v Veličine glavnih momenata tromosti: ma ( ) ( ) min ( ) ( ) ko je ko je, v min < u min, v ma > u ma Napomena: Za simetričan poprečni presjek je centrifugalni moment tromosti jednak nuli i čega slijedi da su osi simetrije ujedno i glavne osi tromosti tog presjeka. Vedrana Koulić ehnička mehanika

12 omenti tromosti jednostavnih presjeka Pravokutni presjek: Osi i su osi simetrije presjeka - to su glavne središnje osi tromosti presjeka. h h h 3 b h 3 h b b/ b b/ 0 Kružni presjek: Radi simetrije presjeka: r, 0 πr πd 6 Presjek oblika kružnog prstena: πr v πr u π (r v r u ) π 6 (d v d u ) r v r u v πd 6 d d u v 0 Vedrana Koulić ehnička mehanika

13 rokutni presjek: 3 bh 36 h h 3 b/3 b 3 h b 36 b h 7 omenti tromosti a složeni presjek Za složeni presjek površine brajanjem: K momenti tromosti dobivaju se n d d d K n d () () K (n) n (i) i d d d K n d () () K (n) n (i) i d d d K d n () () K (n) n (i) i oment tromosti složenog presjeka u odnosu na neku os jednak je algebarskom broju momenata tromosti pojedinih njegovih dijelova u odnosu na tu istu os. Vedrana Koulić ehnička mehanika 3

14 omenti otpora poprečnog presjeka ksijalni moment otpora presjeka s obirom na adanu glavnu središnju os je kvocijent: W ma ma - najveća udaljenost točke konture presjeka od adane osi () ma () ma ko adana glavna središnja os nije os simetrije presjeka, postoje dva momenta otpora presjeka: W W ma () ma () oment otpora presjeka ima dimeniju (m 3 ). a) Pravokutni presjek W b h ; h 6 W b h b 6 b) Kružni presjek W W r πr 3 3 πd 3 c) Presjek oblika kružnog prstena W W d v π 3 d v (d v d u ) 3 v πd 3 d d u v Vedrana Koulić ehnička mehanika

15 NPREZNJ Napreanje se može definirati kao sila koja djeluje na element konstrukcije podijeljena s površinom na koju djeluje. Dimenija napreanja: sila/površina, jedinica mjere je Paskal (Pa), ( Pa N m ) Napreanje se obično mjeri u megapaskalima: 6 Pa 0 Pa 0 N m N 6 mm Jednoosno stanje napreanja: djeluje samo aksijalna sila F F F Normalna napreanja () - djeluju okomito na plohu. F Komponente napreanja imaju dva indeksa: prvi indeks - smjer vanjske normale ravnine na koju napreanje djeluje drugi indeks - smjer napreanja Vedrana Koulić ehnička mehanika 5

16 Posmična napreanja (τ) - djeluju u ravnini plohe. - djeluje i sila F u ravnini poprečnog presjeka F τ F F F τ F τ - posmično napreanje u smjeru koje djeluje u ravnini s normalom (ravnina poprečnog presjeka štapa) Komponenta unutrašnje sile u presjeku F prourokovat će posmično napreanje: τ F Vedrana Koulić ehnička mehanika 6

17 Prostorno stanje napreanja: d d τ τ d τ τ τ τ Ukupno ima 9 komponenata napreanja: 3 normalne 6 posmičnih Onake normalnih napreanja: Onake posmičnih napreanja: τ,, τ, τ,, τ, τ τ, Ravninsko stanje napreanja: τ τ uvjeta ravnoteže momenata s obirom na os kro težište elementa slijedi: d τ τ τ d τ akođer, vrijedi: τ τ, τ τ Vedrana Koulić ehnička mehanika 7

18 Ravninsko stanje napreanja sva napreanja djeluju u ravnini (- ravnina) RSN je određeno s tri komponente napreanja ( τ τ 0 ) najčešća primjena u analii tankih ploča r ogu se odrediti komponente napreanja u bilo kojoj ravnini čija normala n atvara s osi kut ϕ. n τ O ϕ τ τ n τ v τ d O ϕ d τ τ uv. ds u u a) b) Korištenjem uvjeta ravnoteže sila (crtež b) dobivaju se jednadžbe transformacija napreanja: τuv ( ) sin ϕ τ cos ϕ cos ϕ sin ϕ τ sin ϕ u normalno napreanje i posmično napreanje τ u bilo kojem smjeru u odnosu na originalna napreanja U ravnini presjeka s normalom n r 0 koja se poklapa s osi v (kut β 90 ϕ) dobio bi se sljedeći ira a normalno napreanje: sin ϕ cos ϕ τ sin ϕ v Vedrana Koulić ehnička mehanika 8

19 oguće je naći smjerove u kojima normalna napreanja imaju ekstremne vrijednosti (maksimalno odnosno minimalno normalno napreanje). n τ u τ τ. u τ τ v O ϕ 0 τ Ekstremne vrijednosti normalnih napreanja dobit će se i uvjeta: u 0 ϕ τ τ uv 0 tgϕ 0 Ravnine u kojima ne djeluje posmično napreanje naivaju se glavne ravnine. Normalna napreanja koja djeluju na tim ravninama imaju ekstremne vrijednosti i naivaju se glavna napreanja. Pravci glavnih napreanja naivaju se glavne osi napreanja (,), a određene su π kutovima ϕ0 i ϕ0. Veličine glavnih napreanja:, ± ( ) τ Onake: - maksimalno glavno napreanje - minimalno glavno napreanje ( ) Vedrana Koulić ehnička mehanika 9

20 KSLN POSČN NPREZNJ τuv ( ) sin ϕ τ cos ϕ Smjer normale na ravninu na kojoj djeluje maksimalno posmično napreanje dobiva se i uvjeta: τ uv 0 ϕ : ( ) cosϕ τ sin ϕ 0 ϕ ϕ tgϕ τ τ π π tgϕ tgϕ0 ϕ ϕ0 ϕ ϕ0 ko su osi, glavne osi napreanja,: ϕ 0 0, ϕ π τ ma ( ) sin ϕ τ cos ϕ ; sin ϕ, τ 0 τ ma ( ) Čisti posmik: stanje napreanja kod kojega na stranicama elementa postoje samo posmična napreanja, a normalna napreanja su jednaka nuli. Vedrana Koulić ehnička mehanika 0

21 OHROV KRUŽNC NPREZNJ. U promatranoj točki napregnutog tijela adane su komponente napreanja, i τ. Vrijedi: τ τ. U koordinatnom sustavu, τ odredi se točka N s koordinatama, τ ) i točka N s koordinatama, ). ( τ ( 3. Dužina N N je promjer na kojemu se konstruira ohrova kružnica napreanja.. Konstrukcijom ohrove kružnice napreanja određena je veličina i smjer glavnih napreanja. Sjecišta ohrove kružnice s apscisom određuju veličine i tj. glavna napreanja. τ N 0 S τ ϕ 0 ϕ 0 τ N Vedrana Koulić ehnička mehanika

22 DEFORCJE Pod djelovanjem vanjskih sila tijela se deformiraju: mijenjaju svoj oblik i dimenije, pojedine točke mijenjaju svoj položaj u prostoru. Deformacija se može definirati kao promjena dimenije elementa urokovana opterećenjem podijeljena s ivornom dimenijom. a) b) δ l l l h a) Štap pod djelovanjem aksijalne vlačne sile Normalna deformacija mijenja se duljina štapa, osnovni oblik štapa ostaje nepromijenjen ε l l Normalna deformacija je bedimenionalna veličina najčešće iražena u %. Poitivna vrijednost onačuje produljenje, a negativna skraćenje dužine. b) anka pravokutna ploča oslonjena na donjem rubu i opterećena posmičnom silom na suprotnom rubu Posmična deformacija mijenja se oblik elementa, dimenija elementa ostaje nepromijenjena Promjena pravog kuta imeđu dvije linije (imeđu rubova ploče): δ γ tan γ (radi se o maloj promjeni kuta) h Posmična deformacija iražava se u radijanima. Poitivnoj vrijednosti odgovara smanjenje pravog kuta, a negativnoj povećanje. Vedrana Koulić ehnička mehanika

23 Komponente pomaka točke u prostoru (pomaci u smjeru koordinatnih osi,,): u u (,,), v v (,,), w w (,,) Vee imeđu komponenata deformacija i komponenata pomaka u ravnini: D C d C D β v d v O u α d B u u B d Normalne deformacije: ε u u d u d u ; ε v Posmična deformacija: γ tan α tanβ tan α d v u d d v ε γ v, ε v u << ; u tanβ atematički irai a deformacije u prostoru: u v w ε, ε, ε, u v v w γ, γ, γ w u Vedrana Koulić ehnička mehanika 3

24 VEZE ZEĐU NPREZNJ DEFORCJ Eksperimentalni podaci o vei imeđu napreanja i deformacija Napreanja se javljaju kao unutarnje sile uajamnosti među česticama tijela nastale bog promjene ramaka imeđu tih čestica. Napreanja i deformacije veani su funkcionalnom veom: f ( ε ) ; ε f ( ) ij ij Ova vea ovisi o vrsti materijala a određuje se eksperimentalno (uorak materijala određenih dimenija i oblika rasteže se udužnom silom F i pri tome prati produljenje l na mjernoj dužini uorka l 0 ). Dijagram rasteanja F l a građevinski čelik: ij ij imeđu točaka O i P: dijagram je pravac (sila F i produljenje l linearno su ovisni) do točke E: nakon točke E: u točki : deformacije su elastične (potpuno iščeavaju nakon rasterećenja) u uorku se, osim elastičnih, javljaju i trajne ili plastične deformacije nastaje tečenje (popuštanje) materijala - deformacije rastu be povećavanja opterećenja nakon točke : nakon stanja tečenja dolai do ojačanja materijala (materijal ponovno dobiva sposobnost da se opire djelovanju opterećenja) do točke : nakon točke : sila se povećava sve do točke, povećava se deformacija uorka. U točki sila prima maksimalnu vrijednost F ma nastaje iscrpljenost materijala, produljenje uorka raste u smanjenje sile F u točki L: raskid uorka. rajno produljenje uorka nakon raskida l L naiva se apsolutno produljenje pri raskidu Uorak se u udužnom smjeru produlji a l l l0, a u poprečnom smjeru sui a d d d0. Vedrana Koulić ehnička mehanika

25 Da bi se dobio dijagram koji karakteriira mehanička svojstva materijala neovisno o apsolutnim dimenijama uorka, dijagram rasteanja F l transformira se u koordinatni sustav ε. Stvarno napreanje je F ( je površina poprečnog presjeka uorka koja odgovara sili F). Računsko ili nominalno napreanje: F ( je početna površina poprečnog presjeka uorka) 0 Relativna dužinska deformacija: 0 l ε l 0 Dijagram napreanja f ( ε) ima isti oblik kao i dijagram rasteanja: P - granica proporcionalnosti - granica elastičnosti E - granica tečenja ili granica popuštanja (granica ravlačenja ili velikih iduženja) - vlačna ili rastena čvrstoća materijala - prijelomno napreanje L L - čvrstoća pri raskidu Ukupna deformacija je: ε e ε δ ε ε e ε - elastična ili povratna deformacija - trajna ili plastična deformacija - relativno produljenje pri raskidu uorka (karakteriira plastičnost materijala): ll l δ 0 00 % l0 δ > 5% - duktilni (rasteljivi, žilavi) materijali: meki čelik, bakar itd. δ < 5% - krti materijali: kamen, staklo, lijevano željeo itd. Vedrana Koulić ehnička mehanika 5

26 Hookeov akon. Konstante elastičnosti materijala. Ramatra model idealnoga elastičnog tijela u kojega su vee imeđu napreanja i deformacija linearne. akvo tijelo se naiva Hookeovo tijelo (Robert Hooke 678). dijagrama ε vidi se da je: ε E tg α E ε E ε - Hookeov akon a idealno elastično tijelo E - modul elastičnosti ili Youngov modul (Pa): koeficijent proporcionalnosti imeđu napreanja i deformacija Pri ispitivanju uorka na rasteanje, promjer se smanjio a d d d0 (kontrakcija presjeka). Relativna dužinska deformacija: Relativna poprečna deformacija: l ε l 0 d ε p d U području u kojemu vrijedi Hookeov akon, imeđu relativne poprečne i relativne udužne deformacije postoji konstantan odnos: ν ε p ε 0 - Poissonov koeficijent Udužne i poprečne deformacije uvijek su suprotnog prednaka: građevinski materijali: ν ε p ν ε Hookeov akon pri posmiku: τ G γ G - Coulombov modul ili modul posmika ili modul klianja (Pa) 0.33 E G 0.5 E Konstante elastičnosti materijala koje karakteriiraju elastična svojstva materijala su: Poissonov koeficijent ν, modul elastičnosti E i modul posmika G. Određuju se eksperimentalno. među njih postoji ovisnost: G E ( ν) Vedrana Koulić ehnička mehanika 6

27 Konstante elastičnosti i koeficijent linearnog toplinskog rasteanja ERJL E G ν α 0 5 Pa 0 5 Pa 0-5 / K ugljični čelik legirani čelik aluminij drvo uduž vlakana drvo poprečno na vlakna staklo beton Vedrana Koulić ehnička mehanika 7

28 VEZE ZEĐU UNURNJH SL NPREZNJ Prikaan je dio napregnutog štapa s komponentama unutarnjih sila. F F 3 τ F τ d O N t Komponente sile df r koja djeluje na promatrani element površine d su: d, τ d i τ d Sumiranjem projekcija svih elementarnih sila po površini poprečnog presjeka dobivaju se udužna sila N i poprečne sile i : N d, τ d, τ oment u odnosu na os daju sile na os je: d τ d τ d i τ d. Elementarni moment u odnosu d τ d Sumiranjem po čitavoj površini presjeka dobiva se moment torije : t ( τ omente s obirom na osi i daju sile τ ) d, d d. omenti savijanja su: d Vedrana Koulić ehnička mehanika 8

29 ksijalno opterećenje štapa vanjske sile usmjerene su uduž osi štapa u poprečnom presjeku djeluje samo udužna sila N, ostale komponente unutarnjih sila su jednake nuli ko je N>0 (udužna sila je u smjeru vanjske normale): štap opterećen na rasteanje ili vlak ko je N<0 (udužna sila je usmjerena suprotno od smjera vanjske normale): štap opterećen na pritisak ili tlak F F F l d N F uvjeta ravnoteže F 0 dobiva se: d N F Vedrana Koulić ehnička mehanika 9

30 Pod djelovanjem adane sile štap duljine l se deformira. F F l l l Pri deformiranju štapa vrijedi hipotea ravnih poprečnih presjeka: poprečni presjeci štapa i nakon deformacije ostaju ravni i okomiti na os štapa Slijedi da je relativna udužna deformacija ε konst. Prema Hookeovu akonu a jednoosno stanje napreanja je E ε Slijedi: d N Eε d Eε d Eε N N N normalna napreanja u poprečnom presjeku štapa su raspodijeljena jednoliko ε E Relativna udužna deformacija štapa: Ukupno produljenje štapa: N E E aksijalna krutost štapa ε l l l N l E Pri dimenioniranju štapa moraju biti ispunjeni uvjet čvrstoće: i uvjet krutosti: F F l l E l dop dop Vedrana Koulić ehnička mehanika 30

31 Savijanje štapa Savijanje nastaje kada se opterećeni štap deformira u akrivljeni oblik, jedan rub štapa se skraćuje a drugi se produljuje: Napreanja i deformacije više nisu konstantne vrijednosti po poprečnom presjeku. ijenjaju se od tlačnih na jednom rubu do vlačnih na drugom rubu štapa. ogu nastati dva slučaja savijanja štapa: poprečno savijanje ili savijanje silama - ako se u poprečnom presjeku štapa pojavljuju poprečna sila i moment savijanja čisto savijanje - ako se u poprečnim presjecima štapa pojavljuje samo moment savijanja Primjeri čistog savijanja štapa: F F F F L a L a a c a čisto savijanje čisto savijanje čisto savijanje Kod čistog savijanja, ravnina poprečnog presjeka štapa ostaje ravnina. Vedrana Koulić ehnička mehanika 3

32 Čisto savijanje Vrijedi a elemente iložene savijanju oko i/ili osi kojima je poprečni presjek simetričan s obirom na barem jednu od tih osi. Ravni štap konstantnog poprečnog presjeka savija se oko osi: dϕ L ρ Neutralni sloj Uima se da je deformacija štapa u obliku kružnog luka. Gornja vlakanca se skraćuju, donja se produljuju. Sloj vlakana koja ne mijenjaju duljinu prilikom savijanja čine neutralni sloj. Presječnica neutralnog sloja i ravnine poprečnog presjeka naiva se neutralna os presjeka. Udaljenost od neutralnog sloja do središta kružnog luka ove se radijus akrivljenosti (ρ). Posmična napreanja su u presjeku jednaka nuli. Na element površine presjeka d djeluje samo unutarnja sila d. Vedrana Koulić ehnička mehanika 3

33 Deformacija elementa štapa: dϕ ρ n m n m B N.S. 0 0 B n d m B 0 N.S. 0 B n m Relativno produljenje vlakna B na udaljenosti od neutralnog sloja: B B ε ; B B 0 B0 d 0' B0' ρ dϕ ; B ( ρ ) dϕ ( ρ ) dϕ ρ dϕ ε ε ρ dϕ ρ Normalna napreanja: E ε E ρ Pri čistom savijanju su normalna napreanja konstantna po širini presjeka (a konst. ), a po visini poprečnog presjeka mijenjaju se ramjerno udaljenosti od neutralne osi (po linearnom akonu). U točkama presjeka na neutralnoj osi je 0. Vedrana Koulić ehnička mehanika 33

34 Za dio štapa se mogu postaviti tri uvjeta ravnoteže: ) ) 3) F uvjeta ravnoteže ) slijedi: N d 0 d d 0 E E d 0 d 0 ρ ρ d 0 S 0 neutralna os prolai težištem presjeka uvjeta ravnoteže 3) slijedi: E d d 0 d 0 ρ 0 osi i su glavne središnje osi tromosti poprečnog presjeka uvjeta ravnoteže ) slijedi: E d d ρ E d ρ κ ρ ρ E - akrivljenost neutralnog sloja nosača (akrivljenost elastične linije ili progibne linije štapa) E - fleksijska krutost (krutost presjeka pri savijanju) Vedrana Koulić ehnička mehanika 3

35 Normalna napreanja u svakoj točki poprečnog presjeka su: Raspodjela normalnih napreanja u presjeku ne ovisi o obliku poprečnog presjeka: h h h N.O. min ma Ekstremne vrijednosti normalnih napreanja su u krajnjim vlaknima. Za presjeke s h horiontalnom osi simetrije, ekstremne vrijednosti su u ± : h h ma i min W h ma, W ma min W min W ko poprečni presjek nema horiontalnu os simetrije (neutralna os presjeka ne prolai sredinom visine presjeka): ma h i min h ma h i min h h W, W h ma ma, W min min W Vedrana Koulić ehnička mehanika 35

36 Zakrivljenost osi štapa veana je na uajamno aokretanje poprečnih presjeka: dϕ ρ d d d ϕ dϕ ρ d E ϕ Kut aokreta imeđu krajnjih presjeka štapa konstantne krutosti duljine l: l ϕ d E E 0 l l Normalno napreanje a slučaj djelovanja momenta savijanja oko osi : Vedrana Koulić ehnička mehanika 36

37 Opće savijanje (savijanje silama) Poprečne sile ( ) djeluju ajedno s momentima savijanja ( ): q L/ L/ B 3L/8 L/ U presjeku štapa osim normalnih napreanja napreanja τ. pojavljuju se i posmična Normalno napreanje određuje se kao i kod čistog savijanja: Vedrana Koulić ehnička mehanika 37

38 Promatra se dio štapa duljine d: d P C d B C D d B E τ D P b E τ Površina τ τ τ d d P P d d d Uvjet ravnoteže svih sila u smjeru osi : τ bd P P 0 Uvrštavanjem gornjeg iraa a ( P P ) slijedi: Budući je τ d bd d d 0 τ d d d S - statički moment površine s obirom na neutralnu os d, τ τ d b, dobiva se ira a posmično napreanje: τ S b gdje je: moment tromosti čitavog poprečnog presjeka, b - širina presjeka u visini točke u kojoj se traži posmično napreanje. Vedrana Koulić ehnička mehanika 38

39 U rubnim vlaknima posmična napreanja su jednaka nuli (jer je S 0 ). jesto maksimalnog posmičnog napreanja τ dobiva se i uvjeta: dτ d ko je b konst., slijedi: d d d S d b d S d b d d S d b d b d d aksimalna posmična napreanja pojavljuju se u visini neutralne osi. 0 Vedrana Koulić ehnička mehanika 39

40 Raspodjela posmičnih napreanja u poprečnom presjeku ovisi o obliku presjeka štapa. a) Pravokutni presjek 3 b h b () b konst. S h d b d b h S 6 τ h b 3 b h τ Posmična napreanja po visini pravokutnog presjeka raspodijeljena su po akonu kvadratne parabole. h τ τ ma b h b) Kružni presjek π r b() r S r d r r b d d 3 3 ( r ) τ S b 3 π r ( r ) Posmična napreanja τ po visini presjeka raspodijeljena su po akonu kvadratne parabole. r τ 0 Vedrana Koulić ehnička mehanika 0

41 c) -presjek 0 τ 3 π r 3 ma Vedrana Koulić ehnička mehanika

42 Savijanje i aksijalno opterećenje Štap je istodobno opterećen momentom savijanja i udužnom silom N. oment savijanja Napreanje od udužne sile je: urokuje normalna napreanja: '' N ' Ukupno napreanje u nekoj točki presjeka jednako je: ' '' N h min N h N h h 0 neutralna os težišna os h N ma Napreanja u rubnim vlaknima inose: () () ma min N N h h N W N W ko je poprečni presjek simetričan s obirom na os : ( ( ) ) ma min N ± W Položaj neutralne osi dobiva se i uvjeta: N N N i ko je udužna sila tlačna, ona ulai u gornje irae s prednakom minus. Vedrana Koulić ehnička mehanika

43 Koso savijanje Ravnina djelovanja momenta savijanja ne poklapa se ni s jednom od glavnih središnjih osi tromosti presjeka. U tom slučaju se ravnina savijanja štapa ne podudara s ravninom djelovanja momenta savijanja. čisto koso savijanje - u poprečnom presjeku štapa pojavljuje se samo moment savijanja poprečno koso savijanje ili koso savijanje silama u poprečnom presjeku štapa pojavljuju se poprečna sila i moment savijanja F F Vedrana Koulić ehnička mehanika 3

44 Čisto koso savijanje U bilo kojem presjeku štapa ravnina djelovanja momenta savijanja m-m prolai težištem poprečnog presjeka i s glavnom osi tromosti atvara kut α: m ϕ n n m α α. O N.O. () oment savijanja može se rastaviti na komponente: cosα sin α Čisto koso savijanje: istodobno savijanje štapa u dvjema glavnim ravninama i () () Normalno napreanje od momenta savijanja koje djeluje u ravnini : Normalno napreanje od momenta savijanja koje djeluje u ravnini : Ukupno normalno napreanje u točki (,) poprečnog presjeka: Jednadžba neutralne osi dobit će se i uvjeta 0 : cosα sin α 0 Kut ϕ što ga neutralna os atvara s osi : tgϕ tgα tgα cosα sinα Vedrana Koulić ehnička mehanika

45 Koso savijanje s aksijalnim opterećenjem (ako ravnina djelovanja momenta savijanja atvara s glavnom osi tromosti kut α) N N O N.O. () () m m. α α () a a Normalno napreanje u nekoj točki presjeka: N Jednadžba neutralne osi ima oblik: 0 N pa su odsječci neutralne osi na glavnim osima tromosti,: 0 0 i N N a i N N a Vedrana Koulić ehnička mehanika 5

46 Ekscentrično opterećenje o je ajedničko djelovanje čistog kosog savijanja i aksijalnog opterećenja (vlaka ili tlaka). Primjer: lačna sila F djeluje u točki gornjeg poprečnog presjeka stupa F e O e F α e ( e,e) O. α e e F. e e ma () N.O. (B) min () ϕ a O a B Hvatište sile F: pol sile F Udaljenost e pola od težišta poprečnog presjeka: ekscentričnost sile F U nekom presjeku štapa postoji udužna sila N F i moment savijanja F e. Ravnina djelovanja momenta s glavnom osi tromosti atvara kut α. oment savijanja može se rastaviti na komponente: cosα F e cosα F e sin α F e sin α F e Vedrana Koulić ehnička mehanika 6

47 ko je udužna sila tlačna: ekscentrični pritisak ko je udužna sila vlačna: ekscentrično rasteanje Normalno napreanje u nekoj točki B(,) poprečnog presjeka je: Slijedi: F e i ± e i N ± ; ± i, i 3 polumjeri tromosti Jednadžba neutralne osi dobit će se i uvjeta 0: e e 0 i i i i e e a a Neutralna os ne prolai kro težište poprečnog presjeka (ishodištem koordinatnog sustava). Odsječci neutralne osi na koordinatnim osima, su: a i e, a i e Neutralna os n-n s poitivnim smjerom osi atvara kut ϕ : a tgϕ a i e e i i i tgα tgα Vedrana Koulić ehnička mehanika 7

48 Smicanje (odre) vanjske sile mogu se reducirati na dvije jednake sile suprotnog smjera okomite na os štapa s malim ramakom među pravcima djelovanja u poprečnom presjeku djeluje samo poprečna sila, ostale komponente unutarnjih sila su jednake nuli uvjeta ravnoteže promatranog dijela štapa: F U poprečnom presjeku djeluju samo posmična napreanja. U pretpostavku da su napreanja Prema Hookeovu akonu pri posmiku je: τ τd jednoliko raspodijeljena po čitavom poprečnom presjeku: τd τ d τ τ τ G γ F Slijedi: γ posmična deformacija (prosječni kut klianja poprečnog presjeka) G modul posmika: G E ( ν) γ τ G ; G posmična krutost štapa G Vedrana Koulić ehnička mehanika 8

49 Pojava smicanja najčešće se susreće kod elemenata kojima se spajaju pojedini dijelovi konstrukcije (akovice, klinovi, avareni spojevi). Spoj dviju ploča spojenih akovicama: Opterećenje je raspodijeljeno jednoliko na sve akovice. Jednoj akovici pripada sila: F F ; n broj akovica (ovdje n ) n Zakovica je opterećena na smicanje u presjeku -: F τ d π Na trup akovice djeluje bočni površinski pritisak kao posljedica djelovanja sile F : 0 Zbog rasteanja ploče, u presjeku oslabljenom s rupama a akovice javlja se normalno napreanje: F ; m broj rupa u promatranom presjeku (ovdje m ) t (b md) U krajnjem dijelu ploče, imeđu njeina kraja i akovice, može doći do smicanja: F τ ; c udaljenost od kraja ploče do težišta akovice ( c d )t F d t Vedrana Koulić ehnička mehanika 9

50 orija (uvijanje) štapa štap je opterećen momentima koji djeluju u ravnini okomitoj na os štapa u poprečnom presjeku djeluje samo moment torije, ostale komponente unutarnjih sila su jednake nuli Karakter deformacija štapa pri toriji ovisi o obliku poprečnog presjeka. ri su grupe štapova: štapovi kružnog, neokruglog (pravokutnog, eliptičnog, trokutnog itd.) i tankostijenog presjeka. Hipotea ravnih poprečnih presjeka primjenjuje se samo a štapove kružnog presjeka. orija štapova kružnog presjeka Štap je na jednom kraju upet, a na drugome opterećen momentom torije t. U ravnini poprečnog presjeka djeluju samo posmična napreanja τ. ϕ kut uvijanja ili kut torije Promatra se diferencijalni element pravog štapa opterećenog momentom torije: R γ B B r dϕ τ τ(r) r τ d d Dijagram raspodjele napreanja uvjeta ravnoteže promatranog dijela štapa se dobiva: t r τ d Kut aokreta ivodnice diferencijalnog elementa: γ BB' d ; duljina ivodnice BB' dϕ R Specifičan kut aokreta poprečnog presjeka oko osi štapa: ϑ dϕ d (kut uvijanja na jedinicu duljine štapa) Kut klianja: γ R ϑ Posmično napreanje u poprečnom presjeku: τ ( r) G ϑ r Vedrana Koulić ehnička mehanika 50

51 Veličina najvećeg posmičnog napreanja: τ G γ G ϑ R oment torije u presjeku inosi: r τ(r) d G ϑ r d G ϑ orijska konstanta je funkcija poprečnog presjeka štapa. Za poprečni presjek kružnog oblika radijusa R torijska konstanta jednaka je polarnom momentu tromosti presjeka: Relativni kut uvijanja je: ϑ G p p π R G p torijska krutost štapa Raspodjela napreanja u poprečnom presjeku štapa je prema tome: aksimalno napreanje se pojavljuje na rubu poprečnog presjeka: τ ma r R ma p p τ ma τ W p p r Kut aokreta krajnjih presjeka štapa duljine l: ϕ l 0 ϑ d l G 0 p l d G p orija štapova neokruglog presjeka Hipotea ravnih poprečnih presjeka ne vrijedi a štapove neokruglog presjeka. Za štapove pravokutnog poprečnog presjeka širine b i visine h ( b h ), torijska konstanta može se odrediti pomoću iraa: hb b b hb β 3 h h 3 Vrijednosti koeficijenta β a raličite odnose visine i širine presjeka date su u tablici: h b β h b β h b β Vedrana Koulić ehnička mehanika 5

52 Relativni kut torije štapa: ϑ G Kut aokreta krajnjih presjeka štapa duljine l: ϕ l G Dijagram posmičnih napreanja a štap pravokutnog presjeka: Najveće posmično napreanje: τ τma ; τ B η τma α h b Vrijednosti koeficijenta α i η a raličite odnose visine i širine presjeka date su u tablici: h b α η h b α η Vedrana Koulić ehnička mehanika 5

53 orija štapova s tankim stijenkama otvorenog profila Otvoreni presjek konstantne debljine stijenke b: Raspodjela napreanja u poprečnom presjeku određuje se membranskom analogijom. toga slijedi da je napreanje u promatranom otvorenom profilu približno jednako kao i u uskom pravokutnom presjeku kojemu je duljina stranice jednaka ravijenoj središnjoj liniji profila s. τ ma ; s b 3 ϑ 3 s b ko je tankostijeni presjek sastavljen od dijelova raličite debljine: 3 G Za svaki pravokutni dio presjeka gdje je b i debljina a s i duljina ( s i >> b i ), dobiva se: t i 3 ϑ G si b 3 i ; oment torije u presjeku: n t n t ϑ G s i 3 i n τ i i i 3 b t i si bi 3 i G ϑ 3 t si bi - torijski moment tromosti 3 i čitavog poprečnog presjeka t Relativni kut torije: ϑ t G aksimalno napreanje u presjeku: gdje je t ma t t b ma t W t torijski moment otpora poprečnog presjeka. b ma τ τ ma W t t Vedrana Koulić ehnička mehanika 53