UVOD U TEORIJU ELASTIČNOSTI
|
|
- Διδώ Κουβέλης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. UVOD U TEORIJU EASTIČNOSTI Uvod Naprezanje i deformacija. Modul elastičnosti Mikroskopski opis elastičnosti Elastičnost - makroskopski prikaz Istezanje - naprezanje na vlak Anizotropnost materijala Poissonov broj (omjer) Tlačno naprezanje - naprezanje na tlak Veza izmedu Youngovog i volumnog modula elastičnosti Smicanje - torzijsko naprezanje (smik) Veze izmedu modula elastičnosti Energija pri elastičnom naprezanju Dodaci poglavlju 1 DP1.1 Torzija žice i torzijska konstanta Pregled 1. poglavlja Novi fizikalni pojmovi Nove relacije (formule) Pitanja
2
3 1.1 Uvod 1. UVOD U TEORIJU EASTIČNOSTI Čvrsta tijela pri djelovanju sile(na prvi pogled) ne mijenjaju svoj oblik. Pažljivo proučavanje i mjerenje pokazuje medutim, da (uvijek) postoji deformacija, odnosno promjena oblika tijela zbog djelovanja sile. Ako je ta deformacija mala u odnosu na dimenzije tijela, govorimo o čvrstom ili, ponekad, krutom tijelu i problem djelovanja sile na kruto tijelo rješavamo pomoću jednadžbi gibanja (2. Newtonov aksiom). Nas će ovdje zanimati deformacije krutog tijela, koliko god one bile male, nastale zbog djelovanja vanjskih sila. Za potpuno razumijevanje deformacije, nužno je istražiti mikroskopsku strukturu tvari. S druge strane, pojave deformacije mogu se dobro opisati preko makroskopskih veličina (modula elastičnosti i relativnih deformacija) bez ulaženja u mikroskopsku pozadinu tog ponašanja, a to je i pristup koji ćemo ovdje slijediti. Ta situacija može podsjetiti na opis toplinskih pojava koje proučava termodinamika, odnosno kinetičko-molekularna teorija topline. Termodinamika dobro opisuje procese prelaženja topline te rad toplinskih strojeva i toplinskih pumpi, koristeći za opis promatranog toplinskog sustava tlak p i temperaturu T. Tlak i temperatura su parametri o kojima saznajemo iz očitavanja njihovih vrijednosti s barometra i termometra, bez ulaženja u stvarnu fizikalnu suštinu i porijeklo tih parametara. Medutim, za potpuno razumijevanje tlaka i temperature moramo otići na mikroskopsku razinu i tamo, pomoću molekularno kinetičke teorije opisati njihovo pravo porijeklo. Time termodinamika postaje tzv. efektivna teorija fundamentalne teorije koju zovemo kinetičko-molekularna teorija. U ovom ćemo poglavlju opisati pojave deformacije materijala (krutih tijela i tekućina) koje nestaju kada nestaje i uzrok koji ih je izazvao. Materijale koji imaju to svojstvo zovemo elastičnim materijalima, a područje istraživanja je teorija elastičnosti. Područje teorije elastičnosti je golemo i po sadržaju i po važnosti za fiziku materijala, kao i za tehnologiju materijala. Mi ćemo ovdje tek skicirati pojedine osnovne aspekte teorije elastičnosti pa ćemo opisati elastične deformacije nastale zbog naprezanja (1) na vlak - tzv. vlačno naprezanje, (2) na tlak - tlačno naprezanje i (3) na smik (smicanje i torzija).
4 Str. 1-2 D. Horvat: izika II 1.2 Naprezanje i deformacija. Modul elastičnosti Mikroskopski opis elastičnosti Na početku razmatranja teorije elastičnosti pogledat ćemo ipak mikroskopsku razinu koja odreduje makroskopsku elastičnost. Na slici 1.1 prikazana je potencijalna energija molekule/atoma u kristalnoj rešetci elastičnog tijela. Ta potencijalna energija rezultat je medudjelovanja atoma sa svim svojim susjedima, a prikazana krivulja odredena je empirijski. Krivulja ima minimum u točki r = r 0 ( dubok V 0 ). To je stabilni položaj atoma u kristalu. Pomak čestice iz položaja ravnoteže uzrokuje sile koje djeluju prema ravnotežnom položaju. Oblik (matematički zapis) te sile moguće je dobiti iz funkcije V(r). S obzirom na to da je oblik krivulje takav da daje stabilni minimum, onda možemo razviti funkciju V(r) u Taylorov red u okolini minimuma r = r 0. V(r) O V 0. r 0.. Slika Potencijalna energija atoma u kristalu V(r) V(r 0 )+ 1 dv (r r 0 )+ 1 1! dr r=r0 2! d 2 V dr 2 r=r0 (r r 0 ) (1-1) No kako potencijal ima minimum za r = r 0, onda je dv/dr = 0 za r = r 0 pa ostaje V(r) = V(r 0 )+ 1 d 2 V r=r0 2! dr 2 (r 2 2rr 0 +r0) = V(r 0 )+ 1 d 2 V 2 dr 2 r2 d2 V dr 2 r 0r+... = k 1 +k 2 r+k 3 r 2. r (1-2)
5 Iz tog izraza možemo naći silu 1. Uvod u teoriju elastičnosti Str. 1-3 = V(r) = ˆr d dr V(r) = ˆrk 2 ˆr(2k 3 )r, (1-3a) odnosno, dio sile ovisan o r je = ˆrkr, (1-3b) gdje je k pozitivna konstanta. Dakle, u okolini minimuma potencijala djeluje harmonijska sila, tj. sila koja linearno ovisi o pomaku iz položaja ravnoteže i koja daje harmonijsko titranje, a odgovara elastičnoj sili opruge. Ta sila vraća tijelo (atom, molekulu) u položaj ravnoteže. Konstanta k ovisi o mikroskopskim parametrima materijala: o konstanti kristalne rešetke, o naboju atoma, o njihovom prostornom rasporedu, o gradi atomskog elektronskog oblaka, itd. Makroskopski efekt - učinak elastičnosti je kolektivni efekt (mikroskopske) harmonijske sile koja se javlja pri deformaciji (pomaku atoma iz položaja r = r 0 u kristalnoj rešetki). Još potpuniji opis zahtijevao bi primjenu rafiniranih metoda kvantne mehanike. Zato se dalje priklanjamo makroskopskom opisu elastičnosti! Elastičnost - makroskopski prikaz Ako definiramo fizikalnu veličinu naprezanje σ kao iznos sile podijeljen površinom S, odnosno σ S, (1-4) onda na osnovi pokusa možemo opisati ovisnost(unutarnjeg) naprezanja o deformaciji prema slici 1.2. Deformacija δ je u stvari relativna deformacija, tj. omjer promijenjene dimenzije i originalne dimenzije, odnosno δ = promjena (1-5a) original Ovdje u biti govorimo o dva naprezanja - o naprezanju koje nastaje zbog djelovanja vanjske sile i o naprezanju koje nastaje u materijalu kao reakcija na djelovanje vanjske sile. U ravnoteži su ta dva naprezanja po iznosu jednaka pa ne radimo razliku izmedu njih. Tako ovisnost naprezanja (unutarnjeg) o deformaciji moramo shvatiti tako da deformaciju shvatimo kao posljedicu vanjskog naprezanja, a (unutarnje) naprezanje, prikazano na ordinati grafa na slici 1.2, posljedica je deformacije nastale vanjskim naprezanjem. σ 0 A. B. C. Slika Ovisnost naprezanja σ o (relativnoj ) deformaciji δ (vidi napomenu u tekstu). D δ
6 Str. 1-4 D. Horvat: izika II Na slici 1.2 vidimo nekoliko područja krivulje koja opisuje ovisnost naprezanja o deformaciji. U području elastičnosti OA naprezanje (materijala) σ je linearno proporcionalno relativnoj deformaciji δ naprezanje relativna deformacija σ δ. tj. (1-5b) To je područje koje će nas najviše zanimati, a teorija elastičnosti vrlo ga dobro opisuje. Područje krivulje AB takoder je područje elastičnosti, ali ne (nužno) i linearne proporcionalnosti izmedu naprezanja i deformacije. Točku B možemo smatrati granicom elastičnosti, nakon koje dolazi područje plastičnosti, odnosno pri deformaciji koja daje naprezanje preko točke B deformacija je stalna (pa i unutarnje naprezanje), tj. tijelo ostaje trajno deformirano. Granica elastičnosti za različite materijale dana je u tablici 1.2. Dalja deformacija vodi od točke C na krivulji, koja predstavlja granicu popuštanja materijala, do točke D gdje dolazi do kidanja materijala. Vidimo da se izmedu točke C i D naprezanje vrlo malo mijenja s deformacijom. Točka C odreduje tzv. maksimalnu čvrstoću, odnosno maksimalno naprezanje materijala koje materijal može izdržati (bez popuštanja). (Podaci o maksimalnoj čvrstoći dani su u tablici 1.2.) Većina se čvrstih materijala ponaša prema krivulji sa slike 1.2, a kod metala je područje OA relativno veliko. Relativnu deformaciju za različite oblike naprezanja ((1)-(3)) označit ćemo već prema karakterističnoj promjeni pri naprezanju, tako da za vlačno (1), tlačno (2) i torzijsko (3) naprezanje imamo: δ δ δ V δ φ za (1) tj. + za (2) tj. V V + V za (3) tj. φ φ+ φ. (1-5c) U području linearne veze naprezanja i deformacije možemo tu proporcionalnost napisati kao jednakost, ako uvedemo jednu konstantu proporcionalnosti koja će su sebi sadržavati svojstvo materijala s obzirom na odgovarajuće naprezanje. Tu konstantu zovemo modul elastičnosti i pišemo: modul elastičnosti = naprezanje rel. deformacija = σ δ i = /S δ i, (i =, V, φ). (1-6) (Svaka vrsta naprezanja (1) - (3) dobit će svoj modul elastičnosti koji će u dobro opisati makroskopska elastična svojstva nekog materijala s obzirom na vrstu naprezanja!) 1.3 Istezanje - naprezanje na vlak Razmotrimo šipku duljine i površine presjeka S, načinjenu od elastičnog materijala. Ako je šipka učvršćena na jednom kraju, a na drugom djeluje sila u takvom
7 1. Uvod u teoriju elastičnosti Str Slika Istezanje šipke originalne duljine i površine presjeka S smjeru da šipku rasteže, govorimo o vlačnom naprezanju ili naprezanju na vlak (v. sliku 1.3). Pri tome je naprezanje σ, prema (1-4) sila na jedinicu površine šipke. Relativna deformacija δ je omjer promjene (povećanja) duljine štapa i duljine štapa, δ. (1-7) Zanima nas, kao što smo naglasili, područje OA iz slike 1.2, tj. područje linearne elastičnosti za koje je σ δ, tj. S. (1-8a) Deformacija materijala ovisi i o vrsti materijala pa će gornja proporcionalnost postati jednakost ako uvedemo konstantu, tzv. Youngov modul elastičnosti E, koja je karakteristična za pojedini materijal (v. tablicu 1.1). Dakle E = /S / S (1-8b) Red veličine Youngovog modula elastičnosti je oko N/m 2. Izraz (1-8b) mogućeje napisati takoda u njemu prepoznamohookeov zakon, kojije ranijeuveden i opisan u mehanici, a koji će igrati važnu ulogu u teoriji periodičkih gibanja- titranja. Dakle, /S = E / ili = (ES/) = k. Ako formalno zamijenimo produljenje s pomakom x, dobijemo Hooke-ov zakon = kx. Konstanta k predstavlja karakteristiku materijala i tijela (površina presjeka, duljina, modul elastičnosti itd.). Vrlo su korisni i podaci o granici elastičnosti te o maksimalnoj vlačnoj čvrstoći, prikazani u tablici 1.2. Primjer 1.1 Čelična šipka duljine 2,00 m i promjera 2,00 cm pričvršćena je s gornje strane. Na nju je obješen teret od 9,50 t. Ako je Youngov modul elastičnosti E = MN/m 2, koliko će se produljiti šipka? Kolika je relativna deformacija? Thomas Young ( ) - britanski fizičar, liječnik i egiptolog Robert Hooke ( ) - engleski fizičar i pronalazač
8 Str. 1-6 D. Horvat: izika II Materijal E/10 9 Nm 2 G/10 9 Nm 2 B/10 9 Nm 2 aluminij bakar beton čelik drvo duž vlakna 10 na vlakna 1 kost kvarcna nit mramor staklo željezo Tablica Moduli elastičnosti: E - Youngov modul elastičnosti, G - modul smicanja i volumni modul elastičnosti B Materijal Granica elast. Maksimalna vlačna Maksimalna čvrstoća /10 8 Nm 2 čvrstoća /10 8 Nm 2 smicanja /10 8 Nm 2 aluminij 1,4 1,4 1,4 bakar 1,6 4,1 čelik 2,4 4,8 3,8 drvo duž vlakna 0,2 0,69 0,04 mesing 3,5 4,5 željezo 1,7 3,2 2,7 Tablica Elastična svojstva različitih materijala Materijal Al Beton Guma Kvarcna Čelik Ag nit Poissonov omjer 0,33 0,1 0,46 0,17 0,25 0,37 Tablica Poissonovi omjeri za razne materijale Rješenje Naprezanje σ je /S, odnosno σ = mg/s = , π N/m2
9 1. Uvod u teoriju elastičnosti Str. 1-7 Tekućina pa je produljenje jednako Volumni modul rastezanja B/10 9 Nm 2 benzen 1,0 etilni alk. 0,9 glicerin 3,9 petrolej 1,3 ulje 1,8 voda 2,3 živa 26,2 Tablica Volumni moduli elastičnosti B tekućina (na 20 0 C) = σ = 2,97mm. E Relativna deformacija je / = 1, Primjer 1.2 Čelična žica promjera d = 1mm razapeta je u horizontalnom smjeru izmedu dvije čvrste točke A i B (v. sliku 1.4) koje su udaljene = AB = 4m. Za koliko će se spustiti središnja točka (izmedu A i B) ako se na žicu objesi predmet mase m = 3kg? (Napomena: zanemarimo težinu žice. Valja se sjetiti da debela žica (primjerice lanac) zauzima posve odreden oblik ( oblik lančanice ) ako se uzme u obzir masa. unkcija koja opisuje taj oblik je funkcija hiperbolnog kosinusa (v. DH: izika I, str. 3-58).). A C. B. α α 1 2 α α D G Slika Uz primjer 1.2 Rješenje Težina G obješenog tijela uravnotežena je dvjema (po iznosu) jednakim silama 1 i 2 koje se zbog elastičnosti javljaju u dijelovima žice. Horizontalne komponente tih sila medusobno se dokidaju ( 1cosα 2cosα = 0), a zbroj vertikalnih komponenti je po iznosu jednak težini, odnosno 1sinα+ 2sinα = ( 1 + 2)sinα = 2 1sinα = G. (1)
10 Str. 1-8 D. Horvat: izika II Sila 1 (npr.) natežežicu duljine/2 = AC i produljujeju uduljinuad. Dakle, prema definiciji Youngovog modula elastičnosti imamo, uz cos α = AC/AD 1 pa uz jednadžbu (1) imamo: S AD AC = E = E 1 cosα AC cosα G = 2SEsinα 1 cosα = 2SE(tgα sinα). (3) cosα Gornja jednadžba (za nepoznati kut α) vodi na jednadžbu četvrtog stupnja (u sinα) pa je rješavamo numerički, uz oznaku γ G/2SE = 9, Jednostavnim uzastopnim pokušajima lociranja nultočke funkcije f(α) = tg α sinα γ pomoću džepnog računala, dobićemo rezultat α 0 = 0, = ,49. Iztogrezultatadobićemodase žicaza h = CD spustilausrednjem dijelu, odnosno h = tgα = 11,45cm. 2 Zadatak 1.1 Bakrena žica duljine = 10,00m pričvršćena je na jednom kraju, a na drugom je opterećena silom od 200,00N pa se zato produljila za = 0,40cm. Kolika je relativna kontrakcija ( stisnuće ) žice δ x, a koliki je bio početni polumjer žice? Rješenje: δ x = 0,00016; r 0 = 1,129mm Zadatak 1.2 Čelična žica duljine 50m slobodno vertikalno visi pričvršćena na jednom (gornjem) kraju. Za koliko se žica produljila zbog vlastite težine? Gustoća željeza je 7800kg/m 3. Rješenje: δ = 0,48mm Anizotropnost materijala Za neke materijale nije svejedno u kojem smjeru djeluje sila, odnosno materijal ima različita svojstva u različitim smjerovima. Takve materijale koji općenito imaju različita svojstva (optička, toplinska, električna) u različitim smjerovima, zovemo anizotropnim materijalima, za razliku od izotropnih materijala. Za anizotropne materijale, sa stanovišta naprezanja, veličina σ ovisit će o smjeru djelovanja sile. Primjerice, ako sila djeluje u proizvoljnom smjeru, možemo je rastaviti na normalnu komponentu N i na paralelnu komponentu P pa možemo definirati odgovarajuća naprezanja σ N = N /S = cosα/s σ P = P /S = sinα/s. (1-9) Vidimo da u tom najjednostavnijem slučaju naprezanje može imati dvije različite komponente σ = (σ N,σ P ). Općenito je naprezanje za anizotropne materijale veličina koja ima više komponenata i takva veličina zove se tenzor. Njegove komponente stavljamo u odgovarajuću matricu, čija dimenzija ovisi o broju komponenata. Tako su i vektori u stvari tenzori prvog reda (s 3 1 komponenti). Pravi tenzori imaju (2)
11 1. Uvod u teoriju elastičnosti Str = 9 komponenti ili 3 3 = 27 komponenti itd. (Skalar je tenzor nultog reda s 3 0 = 1 komponenti!) Tipični anizotropni materijal je drvo: iz iskustva znamo da će drveni stup bolje držati ako ga opteretimo u smjeru njegovih vlakana, a da pri naprezanju drveta okomito na smjer vlakana do izražaja dolazi elastičnost drveta. To je iskazano i u podacima u tablicama 1.1 i 1.2. Poissonov broj (omjer) Eksperimentalno je utvrdeno, a intuitivno i za očekivati, da se materijal zbog rastezanja u duljinu steže u svim smjerovima okomito na smjer rastezanja. Ako se radi o longitudinalnom rastezanju, javlja se, dakle, lateralno stezanje. Veličina koja opisuje lateralno stezanje (kontrakciju) zove se Poissonov broj i definiran je ovako: x µ = δ x = x, (1-10) δ gdje je δ x relativna deformacija u lateralnom smjeru, odnosno u smjeru okomitom na produljenje (v. sliku 1.5). Očigledno je µ pozitivna veličina, jer je x < 0. S x + Slika Vlačno naprezanje i lateralno (poprečno) stezanje (kontrakcija) štapa U idealnoj je situaciji, odnosno u situaciji kad možemo zamisliti da nema promjene volumena zbog istovremenog produljenja u jednom i stezanja u drugom smjeru, Poissonov broj dan slijedećim razmatranjem: neka je predmet - valjak polumjera r i duljine, napregnut na vlak (kao na slici 1.5). Njegov je volumen (prije deformacije) jednak V = r 2 π pa je V +dv = r 2 π+2rπdr +r 2 πd = V! Prema tome je što nakon dijeljenja s r 2 π daje dv = 0 2rπdr = r 2 πd, 2 dr r = d tj. µ = 1 2. Podaci za Poissonov broj µ za neke materijale dani su u tablici Tlačno naprezanje - naprezanje na tlak (1-11a) (1-11b) Neka je od materijala koji razmatramo napravljena kocka i neka na stranice sa svih strana (v. sliku 1.6) djeluju jednake sile. (Najjednostavnije je zamisliti predmet Siméon Denis Poisson ( ) - francuski fizičar i matematičar
12 Str D. Horvat: izika II - kocku u ovom slučaju - koji se nalazi u kompresijskoj komori, odnosno u prostoru u kojem je moguće postići visoki tlak koji predstavlja upravo situaciju sa slike 1.6. Situacija je analogna tlaku na tijelo uronjeno u fluid.) Zbog naprezanja σ doći će do deformacije koja predstavlja promjenu (smanjenje) volumena. Prema jednadžbi (1-1) uvodimo volumni modul elastičnosti B koji je, dakle, jednak B = σ = /S δ V V/V. (1-12) Negativan predznak ispred razlomka javlja se zato što je uobičajeno definirati module elastičnosti tako da su oni pozitivni, a kako je V < 0 (volumna kontrakcija tijela), negativni predznak rezultira u pozitivnom modulu B, čije su vrijednosti za neke materijale dane u tablici 1.1. Slika Naprezanje na tlak (tlačno naprezanje) Naprezanje na tlak češće se razmatra kod tekućina (vidi tablicu 1.4) (i plinova), gdje se, medutim, često uvodi i veličina kompresibilnost κ, koja je jednaka κ 1 B = 1 V V p, (1-13) odnosno kompresibilnost opisuje promjenu volumena (fluida, najčešće) kao posljedicu tlaka kojem je izvrgnut fluid. Podaci o volumnom modulu elastičnosti za neke materijale dani su u tablici 1.1. Veza izmedu Youngovog modula elastičnosti E i volumnog modula elastičnosti B Razmotrimo li promjenu volumena tijela zbog djelovanja naprezanja na tlak, onda možemo ukupno djelovanje (promjenu volumena) prvo rastaviti na tri pojedinačna na taj način da promotrimo kontrakciju jedne stranice - a npr. (modul elastičnosti E) ali i dilataciju (produljenje) drugih dviju stranica - b i c, prema Poissonovom omjeru,
13 1. Uvod u teoriju elastičnosti Str tj. (vidi sliku 1.7 na kojoj je prikazan suprotan efekt: zbog rastezanja jedne stranice l došlo je do kontrakcije drugih dviju) V + V a = (a+ a)(b+ b)(c+ c) ( = (a+ a) b bµ a )( c cµ a ) a a = abc a σ E bc acbµ a a abµc a a, (1-14a) gdje smo zanemarili(vrlo male) umnoške poput a b itd. Sredivanjem gornjih izraza dobićemo ( σ V + V a = V V E E) 2µσ = V V σ (1 2µ). (1-14b) E Zbog kontrakcije u b smjeru, dolazi do napuhavanja u a i c smjeru, a isto tako i kod kontrakcije u c smjeru. Ukupna promjena volumena je jednaka što nakon dijeljenja s V vodi na izraz V = V a + V b + V c = 3V σ E (1 2µ), V V = σ B = 3σ E (1 2µ), E = 3B(1 2µ) ili (1-15a) (1-15b) što je tražena veza izmedu Youngovog modula elastičnosti E (1-8b), volumnog modula elastičnosti B (1-12) i Poissonovog omjera (1-10). a b Slika Promjena cjelokupnog oblika tijela zbog naprezanja na vlak. l
14 Str D. Horvat: izika II 1.5 Smicanje - torzijsko naprezanje (smik) Naprezanje na smicanje nastaje kada je sila usmjerena tangencijalno jednoj površini, dok je druga, njoj paralelna površina, učvršćena (v. sliku 1.8). h x α Slika Smicanje - donja je površina učvršćena Relativnu deformaciju pri smicanju definiramo kao odnos pomaka gornje stranice (površine S) na koju djeluje sila (paralelno s površinom S) i debljine materijala h, odnosno razmaka izmedu donje i gornje površine. Dakle, (prema (1-5c) uz δ φ δ x ) S δ x = x h pa modul smicanja G možemo opisati na slijedeći način (1-16) napr. na smicanje G = rel. deformacija = /S x/h. (1-17) Veličine modula smicanja za različite materijale dane su u tablici 1.1. Maksimalna čvrstoća materijala s obzirom na smicanje dana je u tablici 1.2. Može se uočiti da je modul torzije G oko tri puta manji od Youngovog modula elastičnosti E, odnosno G E/3. Do smicanja (torzije u užem smislu) dolazi i pri zakretanju valjkastog tijela (okruglog štapa, žice i sl.) kada je jedna baza valjka učvršćena, a par sila djeluje svojim momentima na površinu paralelnu učvršćenoj. I u tom slučaju dolazi do relativnog pomaka slojeva štapa, slojeva paralelnih učvršćenoj bazi. Pri tom se naprezanju javlja unutarnji moment elastičnih sila, koji je po iznosu jednak M = GπR4 φ Dφ, (1-18) 2 gdje je G modul smicanja, R polumjer valjka (žice, štapa), visina valjka (duljina žice), a φ je kut zakreta (vidi dodatak poglavlju 1. za izvod tog izraza). Konstanta proporcionalnosti izmedu momenta i kuta zakreta zove se konstanta torzije, a simbol D podsjeća na stari (i suštinski pogrešan) naziv direkcijska sila.
15 1.6 Veze izmedu modula elastičnosti 1. Uvod u teoriju elastičnosti Str Pri naprezanju na smicanje dolazi do promjene oblika tijela, a djelovanje sila prikazano je na slici 1.9. Slika Ravnoteža sila i momenata i smjerovi naprezanja pri torzijskom naprezanju Vanjska sila (koja djeluje na gornju površinu i daje torzijsko naprezanje) uzrokuje istovremeno rastezanje tijela duž jedne dijagonale (kvadrata na slici), odnosno stezanje duž druge dijagonale. Promjena oblika tijela - kvadrata stranice, prikazana je na slici 1.10, iz koje možemo izvesti dilataciju dijagonale duljine 2. Produljenje δ jednako je α/ 2, za mali kut α/2. Relativna deformacija jednaka je δ = δ 2 = α 2, (1-19) a ona je, s druge strane, ovako povezana s Poissonovim omjerom (prema (1-14b), ali ovdje sa suprotnim predznakom zbog produljenja u samo jednom smjeru) = α 2 +µσ E = σ E +µσ E = σ E (1+µ) = σ (1-20) 2G, što, uz (1-15b) daje dvije veze izmedu modula elastičnosti E = 2G(1+µ) G = (1 2µ)3B/[2(1+µ)] (1-21a) α 2 Slika Promjena oblika tijela pri torzijskom naprezanju α α α 2
16 Str D. Horvat: izika II Sredivanjem gornjeg izraza(eliminacijom Poissonovog omjera), dolazimo do sljedeće veze izmedu Youngovog modula elastičnosti E, volumnog modula elastičnosti B i modula torzije G. 1 E = 1 3G + 1 (1-21b) 9B 1.7 Energija pri elastičnom naprezanju Za deformaciju predmeta valja izvršiti rad koji odgovara djelovanju sile koja daje naprezanje na putu koji predstavlja produljenje predmeta, odnosno možemo napisati da je za naprezanje na vlak sila u materijalu jednaka pa je izvršeni (infinitezimalni) rad jednak W = SE 0 ( ) = SE dw = ( )d( ), d( ) = SE σ/e 0 odnosno d( ) = SE 2 ( )2, (1-22) (1-23) a taj je rad (nasuprot elastične sile u materijalu) jednak potencijalnoj energiji ( spremljenoj u materijalu) E p = SE 2 ( )2 = σ2 S (1-24) 2E i ako uvedemo gustoću energije E kao omjer ukupne(potencijalne) energije i volumena, dobićemo E = E p V = E p 3 = 1 ( ) σ 2. (1-25) 2 E Vidimo da gustoća energije E ne ovisi o dimenziji predmeta, nego samo o njegovim elastičnim svojstvima! Primjer 1.3 Dječak ima praćku koja je napravljena od (dviju) okruglih gumenih traka duljine 25,0 cm, promjera (2r) 4,00 mm i Youngovog modula elastičnosti E = 7, N/m 2. Koliko jako mora rastegnuti gumene trake praćke, ako želi puknuti kamen mase 10,0 g brzinom od 150 km/h? (Zanemarite uzdužnu promjenu dimenzije gume!) Rješenje Iz definicije Youngovog modula elastičnosti E: naprezanje E = relativna deformacija = σ δ = /S l/l
17 1. Uvod u teoriju elastičnosti Str dobiva se sila ovisna o udaljenosti (primjerice x) = ES ES l (x) = l l x. (x) je sila kojom djeluje jedna gumena traka kada se produlji od l za x. Pri rastezanju praćke izvrši se rad (jedna traka) W 1 = (x)dx = ES 2l ( x)2, a za dvije trake W 2 = (ES/l)( x) 2. Taj se rad prvo pretvori u potencijalnu energiju rastegnutih gumenih traka, a ta se potencijalna energija pretvori u kinetičku energiju kamena: W 2 = E p = ES l ( x)2 = 1 2 mv2 pa je ml x = v 2ES = 15,7cm.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Διαβάστε περισσότεραRad, energija i snaga
Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):
Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRotacija krutog tijela
Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραšupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)
šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje
7. itranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje IRANJE Općenito je titranje mijenjanje bilo koje mjerne veličine u nekom sustavu oko srednje vrijednosti. U tehnici titranje podrazumijeva takvo gibanje
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραRAD I ENERGIJA. Poglavlje 5. kinetičke energije slobodnog tijela. 5.1 Rad sile i promjena Definicija rada i kinetičke energije
Poglavlje 5 RAD I ENERGIJA Proučavajući drugi Newtonov zakon upoznali smo učinak sile koja u nekom vremenskom intervalu djeluje na slobodno tijelo. Produkt sile i intervala vremena uzrokuje promjenu količine
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραDimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότεραTEHNIČKA TERMODINAMIKA
UVOD TEHNIČKA TERMODINAMIKA dr. sc. Dražen Horvat, dipl.ing. Zagreb, ožujak 2006. TERMODINAMIKA = znanost o energiji ENERGIJA = sposobnost da se izvrši rad ili mogućnost da se uzrokuju promjene PRINCIP
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότερα