Poglavlje

Transcript

1 Poglavlje Ključni pojmovi kruta tijela čvrsta tijela deformacija nauka o čvrstoći Uvod Ciljevi u nauku o čvrstoći Upoznati povijesni razvoj nauke o čvrstoći Upoznati razliku između krutih i čvrstih tijela Upoznati područje djelovanja nauke o čvrstoći

2 Uvod u nauku o čvrstoći Slika.. Rimski akvadukt m e l.e Slika.. Kupola Panteona u Rimu w w w r.t h n e Slika.3. Piramida u Parizu Dosad smo se u mehanici bavili izučavanjem krutih tijela*. Kako takva tijela u stvarnosti ne postoje, vrijeme je da se u ovoj knjizi upoznamo sa proračunima vezanim uz čvrsta tijela*4 koja nas uistinu okružuju. U tim proračunima zanimat će nas svojstvo čvrstih tijela prema kojem se ona mogu deformirati*. Iskustvom stečena znanja o deformacijama i ponašanju čvrstih tijela ljudi su koristili od početka civilizacije, gradeći kuće i sustave za navodnjavanje. Ilustracija primjene takve začuđujuće vještine je akvadukt na slici.. i kupola Panteona na slici.. Kako se kamen od kojeg su te građevine izgrađene ne bi zdrobio pod silom vlastite težine, bila su potrebna znanja iz nauka o čvrstoći*3. aravno, ta znanja su bila potpuno iskustvena, bez teorijske podloge. a slici.4. je prikazan Leonhard Euler ( ), čiji je doprinos suvremenoj teoriji nauke o čvrstoći bio presudan. Koristeći se proračunima, bilo je moguće izgraditi i piramidu u Parizu prikazanu na slici.3., bez straha od pogreške. Razvojem računalne tehnologije na važnosti dobiva i proračunska metoda nauke o čvrstoći koja se naziva metoda konačnih elemenata. aravno, proračuni se zbog sigurnosti moraju ispitati i eksperimentom. Jedna od lijepih eksperimentalnih metoda je fotoelastična metoda prikazana na slici.6. w w w Slika.4. Leonhard Euler m e l.e Slika.5. Metoda konačnih elemenata r.t h n e Slika.6. Fotoelastična metoda Kruto tijelo je takvo tijelo koje se pod djelovanjem sila ne deformira*. Ono u stvarnosti ne postoji, ali se mnogi problemi iz mehanike jednostavnije mogu riješiti svodeći stvarno tijelo na kruto tijelo. * * Deformacija je promjena oblika i dimenzija tijela pod djelovanjem sila. *3 auka o čvrstoći se naziva i mehanika čvrstih tijela.*4 *4 Čvrsto tijelo je realno tijelo koje se pod utjecajem sila deformira.

3 Poglavlje Mjerne jedinice u nauci o čvrstoći Ciljevi Znati preračunati zadane mjerne jedinice u one koje se specifično koriste u nauci o čvrstoći

4 Mjerne jedinice u nauci o čvrstoći U izučavanju problema u nauci o čvrstoći koriste se mjerne jedinice međunarodnog sustava jedinica - SI sustava. S osnovnim i nekim izvedenim mjernim jedinicama ovog sustava upoznali smo se još u izučavanju statike. U nauci o čvrstoći često se koristi fizikalna veličina koja se naziva naprezanje. Mjerna jedinica za naprezanje je paskal (Pa), odnosno m, što predstavlja djelovanje sile na površinu. aprezanje od jednog paskala možemo zamisliti kao djelovanje težine tijela mase 0, kg na površinu jednog kvadratnog metra. U tehničkoj i strojarskoj praksi naprezanja su i po stotinu milijuna puta veća od jednog paskala. Tada u rješenjima obično moramo množiti potencijama. Kako bi se izbjegli takvi zapisi, u nauci o čvrstoći uobičajeno se veličina naprezanja izražava u MPa, megapaskalima. Realno naprezanje u strojarskim konstrukcijama je, npr Pa, odnosno m. Kraći zapis potencijom je ili Kako vrijednost m m predmetka mega iznosi 0 6, M = 0 6, vrijednost naprezanja možemo kraće zapisati 40 M, odnosno 40 MPa. m o, pri rješavanju zadataka moramo dobro paziti u kojim ćemo mjernim jedinicama uvrštavati ostale fizikalne veličine. Kako je MPa =, sve fizikalne veličine u kojima dolazi cm ili m prije uvrštavanja u formulu moramo pretvoriti u. Dokaz ispravnosti gornje jednakosti: MPa 0 0 m = = ( 0 3 ) 6 = 0 =. 0 6 =

5 Tehnička mehanika 3 Primjer. Koliko je naprezanje od 0 8 Pa izraženo u MPa? Rješenje: 0 8 Pa = Pa = 00 MPa. Primjer. eka fizikalna veličina iznosi 0 GPa. Koliko je to MPa? Rješenje: Kako predmetak - giga - G znači 0 9, možemo pisati: 0 GPa = Pa, i dalje: Pa = Pa = Primjer 3. aprezanje je 0 4. Koliko je to u MPa? cm Rješenje: Prvo moramo cm pretvoriti u kako bismo dobili = MPa : Primjer m 4 treba pretvoriti u 4. Rješenje: cm = 0 cm = 0 = MPa. 0 4 = cm = Ovdje moramo znati da je m = 0 3 : m 4 = ( (0 3 m) = m 4 = 0 3 ( ) = 3 0 = = 00 MPa.

6 Poglavlje Ključni pojmovi osnove nauke o čvrstoći opterećenje naprezanje deformacija utjecaj utora zamor materijala 3 auka o čvrstoći materijala Ciljevi Upoznati se s osnovama nauke o čvrstoći Upoznati se s pojmom opterećenja Ovladati pojmovima naprezanja i deformacije

7 3 auka o čvrstoći materijala Slika 3.. Pod djelovanjem težine opruga će se skraćivati dok se ne uspostavi ravnoteža vanjske sile i sile u opruzi Dosad smo proučavali kruta tijela. Podsjetimo se: Kruto tijelo je takvo tijelo koje pod djelovanjem opterećenja * ne mijenja svoj oblik niti dimenzije. Također, kruto se tijelo pod opterećenjem neće slomiti. aravno, u praksi takva tijela ne postoje. Realno, svako tijelo pod utjecajem opterećenja mijenja svoj oblik i dimenzije. Te se promjene nazivaju deformacije. Deformacije ovise o veličini vanjskih sila, načinu opterećenja i karakteristikama materijala opterećenog tijela. S obzirom na deformabilnost, tijela se dijele na elastična i plastična te na žilava i krhka. Elastična tijela pod opterećenjem poprimaju samo elastične deformacije te se nakon rasterećenja vraćaju u svoj prvobitni oblik i veličinu. Plastična tijela pod opterećenjem poprimaju, uz elastične, i plastične ili trajne deformacije. akon rasterećenja tijelo ostaje deformirano. Žilava tijela pod opterećenjem mogu akumulirati, odnosno zadržati u sebi veliku energiju prije loma, što im omogućuje njihova velika deformabilnost. Krhka tijela pucaju bez prethodnih trajnih deformacija. Vanjsko opterećenje prenosit će se kroz tijelo i uspostavit će se ravnoteža vanjskih i unutarnjih sila *. Ako zamislimo neki presjek tijela, u njemu će se pojaviti naprezanje, odnosno djelovanje unutarnjih sila na tom presjeku. Primjer uravnoteženja vanjske i unutarnje sile prikazan je na slici 3.. Opruga će se skraćivati dok se unutarnja sila u njoj ne izjednači s vanjskom. 3.. Statika deformabilnih tijela Grana mehanike koja proučava posljedice vanjskog opterećenja - deformacije i naprezanja - naziva se nauka o čvrstoći ili statika deformabilnih tijela. Čvrstoća se definira kao sposobnost prenošenja opterećenja bez pojave loma. auka o čvrstoći bavi se određivanjem utjecaja vanjskih sila (opterećenja) na naprezanje i deformacije opterećenog tijela. * Opterećenje je djelovanje vanjskih sila na tijelo. * U nauci o čvrstoći, unutarnje sile su one sile kojima se čestice tijela odupiru djelovanju opterećenja.

8 Tehnička mehanika 7 Zadaci statike deformabilnih tijela su: ) DIMEZIOIRAJE Pri dimenzioniranju je potrebno odrediti dimenzije opterećenog tijela ako su poznati opterećenje, oblik i materijal tijela. ) ODREĐIVAJE OSIVOSTI Ako je u potpunosti poznato opterećeno tijelo, treba odrediti veličinu opterećenja koje tijelo može nositi. 3) PROVJERA APREZAJA Ako su u potpunosti poznati opterećenje i tijelo, odnosno oblik i materijal, provjerava se može li tijelo izdržati zadano opterećenje. 4) PROVJERA KRUTOSTI Provjerom krutosti kontrolira se jesu li deformacije opterećenog tijela ostale u dozvoljenim granicama. 5) PRORAČU STABILOSTI Stabilnost je sposobnost tijela, odnosno konstrukcije ili nekog elementa da pod opterećenjem zadrži prvobitnu elastičnu ravnotežu. Provjera stabilnosti posebno je nužna kod tankih štapova opterećenih tlačno uzdužno. U zadacima nauke o čvrstoći isprepliću se tri osnovna čimbenika: ) dimenzije konstrukcije, ) opterećenje, 3) svojstva materijala. Dva su čimbenika uvijek poznata, a treći se određuje metodama nauke o čvrstoći. Kao posljedicu utjecaja ovih triju čimbenika, statika deformabilnih tijela izučava naprezanja i deformacije. Pazite! aizgled se čini da se jednostavnim povećanjem dimenzija elemenata konstrukcije naprezanja mogu dovoljno smanjiti. Tada bi bili zadovoljeni uvjeti čvrstoće, krutosti i stabilnosti. o, takvo jednostavno rješenje najčešće nije moguće. aime, povećanje dimenzija povećava vlastitu težinu elemenata i inercijalne sile. Povećanje težine, nadalje, negativno utječe na nosivost vozila, brodova i aviona. Uz to, veća težina konstrukcije povećava utrošak materijala i pogonske energije. Konačno, osnovni je zadatak nauke o čvrstoći iznalaženje optimalnih oblika i dimenzija koje će zadovoljiti uvjete čvrstoće, krutosti i stabilnosti Vanjske sile Kao što je već rečeno, djelovanje vanjskih sila na tijelo naziva se opterećenje.

9 8 auka o čvrstoći materijala O Slika 3.. Statičko - mirno opterećenje Slika 3.3. Jednosmjerno - promjenjivo opterećenje O O I. II. III. Slika 3.4. Izmjenično - promjenjivo opterećenje S obzirom na smjer djelovanja vanjskih sila na tijelo, opterećenje se dijeli na:. aksijalno opterećenje (vlak, tlak),. smicanje, 3. uvijanje, 4. savijanje, 5. složeno opterećenje. Svako od gore navedenih opterećenja detaljno ćemo obraditi u sljedećim poglavljima. S obzirom na narav i trajanje, odnosno promjenu djelovanja vanjskih sila, opterećenja se dijele na:. STATIČKO - MIRO (slika 3..) Statičko opterećenje tijekom vremena ne mijenja svoj iznos, što znači da je stalno jednako. Obično je to vlastita težina nosača.. JEDOSMJERO - PROMJEJIVO (slika 3.3.) Jednosmjerno - promjenjivo opterećenje se mjenja od nule do neke vrijednosti i ponovno se vraća na nulu. ajbolji primjer za to je uže dizalice. a slici 3.3.(I) užetom je podignut neki teret koji dizalica prenosi na drugo mjesto. Uže je opterećeno vlačno - pozitivno. Po ispuštanju tereta, opterećenje užeta je jednako nuli. akon toga dizalica podiže teret veče težine (II), pa je opterećenje užeta veće. 3. IZMJEIČO - PROMJEJIVO (slika 3.4.) U strojarskoj praksi najčešće je izmjenično - promjenjivo opterećenje, koje se ciklički mjenja od pozitivne u negativnu vrijednost. Elementi koji su ovako opterećeni su vratila, osovine, rotori turbina i klipne poluge motornih mehanizama. Dimenzioniranje ne ovisi samo o smjeru i veličini djelovanja opterećenja, nego i o naravi i trajanju opterećenja Materijali i tijela u nauci o čvrstoći U nauci o čvrstoći moramo uvesti neke pretpostavke koje će znatno olakšati rješavanje problema, a zbog kojih nećemo bitno pogriješiti pri izračunima. Ove se pogreške kreću u granicama do oko 5 % u odnosu na stvarne vrijednosti. Idealizirano čvrsto tijelo ima sljedeća svojstva:. HOMOGEOST Tijelo je homogeno ako je konstantne (stalne) mikrostrukture i gustoće ( ρ = = konst.). m V

10 Tehnička mehanika 9 Slika 3.5. Pomaci točaka, promjena udaljenosti i kuta kod deformacije Slika 3.6. Deformacija membrane. IZOTROPOST Izotropna tijela imaju jednaka svojstva u svim smjerovima. To su većinom metali, beton i neke plastike. Drvo je anizotropno, tj. nije izotropno jer zbog svoje vlaknaste strukture nema jednaka svojstva u svim smjerovima. 3. EPREKIUTOST (KOTIUIRAOST) Bez obzira što se sva tijela sastoje od atoma i molekula te su najvećim dijelom ispunjena prazninama, nauka o čvrstoći pretpostavlja da je tvar jednoliko raspoređena u tijelu bez ovih praznina. 4. ELASTIČOST Tijela se smatraju elastičnima do određenog iznosa naprezanja. Pritom postoji točno određena ovisnost među deformacijama i naprezanjima Deformacija Deformacija je promjena oblika i dimenzija kao posljedica opterećenja. Pod opterećenjem se čestice tijela pomiču u nove položaje. Prema slici 3.5. deformacija se očituje kao:. pomak točaka, Slika 3.7. Rotacija nosača ABC zbog djelovanja sile F Slika 3.8. Zbog realno malog pomaka točke C u C uzimamo da se točka C pomaknula vertikalno. promjena dužina između točaka, 3. promjena kutova između dužina koje povezuju tri točke. Deformacije mogu biti apsolutne i relativne, a mogu se podijeliti i na elastične i plastične. Apsolutna deformacija je izmjerena promjena dužine na nekom pravcu (Δl). Relativna deformacija je odnos apsolutne deformacije i početne dužine između dviju mjerenih točaka: ε = l. l Elastične deformacije nakon rasterećenja u potpunosti nestaju. Kod plastičnih deformacija nakon rasterećenja ostaje neka trajna deformacija. Pri izučavanju deformacija u nauci o čvrstoći moramo usvojiti tri osnovne pretpostavke.. Deformacije su zanemarive veličine u odnosu na dimenzije opterećenog tijela. Ova pretpostavka znači da se zbog deformacije opterećenog tijela neće promijeniti hvatišta sila. a slici 3.7. vidimo nosač ABC učvršćen nepomičnim osloncem u A i štapom BD. Pod djelovanjem sile F nosač će zarotirati oko oslonca A, a hvatište sile F će se pomaknuti u točku C i približiti osloncu A za veličinu x. Kako je x u realnim metalnim konstrukcijama uistinu malen, uzimamo da se točka C pomaknula u C vertikalno (slika 3.8.).

11 0 auka o čvrstoći materijala Slika 3.9. Dvostruko povećanje sile uzrokovat će dvo- CC = CC struko veći pomak točke C ( ) Slika 3.0. Opterećeno tijelo je u statičkoj ravnoteži Slika 3.. ormalno i tangencijalno naprezanje u presjeku opterećenog tijela. Deformacije su proporcionalne opterećenju Ovu je pretpostavku još krajem 7. stoljeća izložio Robert Hooke i to za elastična tijela. Pomaci točaka elastičnog tijela linearno ovise o veličini opterećenja. To znači da ako silu povećamo puta, i pomak će se povećati puta (slika 3.9.). Za povećanje sile od 5 puta i pomak točaka će biti 5 puta veći. 3. eovisnost djelovanja sila eovisnost djelovanja sila pretpostavlja da će naprezanje i deformacije biti jednake, neovisno o redoslijedu djelovanja sila na tijelo aprezanje aprezanje je unutarnja sila podijeljena s površinom na kojoj djeluje: gdje je: p - ukupno naprezanje, MPa F u - unutarnja sila, F p = u, A A - površina presjeka na kojoj djeluje unutarnja sila,. Mjerna jedinica za naprezanje u SI sustavu je paskal, Pa. Ravnoteža unutarnjih i vanjskih sila se uspostavlja postupno, ne u trenutku opterećenja. Djelovanjem opterećenja na tijelo, djelići tijela se pomiču i odupiru vanjskim silama dok se ne uspostavi ravnoteža vanjskih i unutarnjih sila. Po uspostavi ravnoteže, svaki je dio opterećenog tijela u stanju statičke ravnoteže (slika 3.0.). Ako promotrimo jedan presjek tog tijela (slika 3..), djelovanje unutarnjih sila na tom presjeku čini naprezanje. Ukupno naprezanje p vektorski je zbroj naprezanja i τ : p = + +τ. Iznos naprezanja p može se izračunati prema Pitagorinu poučku: τ p = +. je normalno naprezanje (okomito na površinu presjeka). Može biti pozitivno (vlačno) i negativno (tlačno). Vlačno naprezanje izaziva udaljavanje čestica tijela, a tlačno približavanje čestica tijela. τ je tangencijalno (posmično) naprezanje. Djeluje u ravnini presjeka.

12 Tehnička mehanika Dopušteno naprezanje i faktor sigurnosti U tijelu pod opterećenjem ne smije doći do naprezanja koja izazivaju trajne deformacije. Vidljive trajne deformacije kod mekih materijala nastaju na granici tečenja, dok lom tvrdih materijala nastaje pri maksimalnoj čvrstoći bez vidljivo izraženih trajnih deformacija. Kako bismo osigurali da ne dođe do trajnih deformacija, pripadajuća ćemo naprezanja opterećenog dijela zbog određene sigurnosti u proračunima smanjiti. Takva naprezanja su dopuštena naprezanja i ona proračunski predstavljaju maksimalna naprezanja koja opterećeni dio smije trpjeti. Dopušteno se naprezanje za različite materijale računa prema izrazu dop e = R S - meki materijali m dop = R - tvrdi materijali S gdje pojedine veličine predstavljaju: - dop - dopušteno normalno naprezanje, - R e - normalno naprezanje na granici tečenja (slika 3..), Slika 3.. Karakteristična naprezanja za meki i tvrdi čelik (R e i R m ) - R m - maksimalna vlačna čvrstoća (slika 3..), Vrijednosti faktora sigurnosti za metale obično su sljedeći: S =, 5, 5, za meke materijale s izraženom granicom tečenja, S = 3 5, za tvrde materijale. avedene vrijednosti faktora sigurnosti se uzimaju za statička opterećenja dok se za dinamička uzima veća sigurnost. Iznos dopuštenog naprezanja za pojedine vrste materijala ovisno o smjeru i naravi djelovanja vanjskih sila možemo naći u Tablici prilog 3. na kraju udžbenika. Zbog potrebe izračunavanja dopuštenog naprezanja za različite čvrstoće materijala u zadacima iz radne bilježnice uz ovaj udžbenik pokazat ćemo njegovo izračunavanje metodom linearne interpolacije.

13 auka o čvrstoći materijala Pogled u matematiku Linearna interpolacija zasniva se na sličnosti trokuta. Kod izračunavanja dopuštenog naprezanja za zadanu čvrstoću KX potrebno je pronaći vrstu materijala u čijem se intervalu zadanih čvrstoća nalazi zadana, te za taj interval očitati, ovisno o naravi opterećenja, interval dopuštenog naprezanja. a taj način dobivamo dvije točke koje u koordinatnom sustavu K dop imaju sljedeće koordinate: ( dop,, K ) i ( dop, K ). dop K Dinamičko opterećenje i zamor materijala dop, Spajanjem tih točaka dobijemo duljinu, na kojoj se nalazi i točka X čiju koordinatu KX znamo, a koordinatu dopx trebamo izračunati. a crtežu možemo formirati dva slična trokuta čiji je kut α zajednički pa je, prema tome, i tangens tog kuta isti K K K X K tgα = = iz čega slijedi da je traženo dopušteno naprezanje: dopx = dop + dopx dop dop dop ( K X K ) ( dop ) dop dop K K Svako opterećenje koje se mijenja nazivamo dinamičkim. Već smo upoznali dinamička - promjenjiva opterećenja: jednosmjerno i izmjenično. Još je u drugoj polovini 9. stoljeća Wöhler ustanovio da se materijal opterećen dinamički lomi pri znatno manjim naprezanjima nego kod statičkog opterećenja. Zbog toga su i faktori sigurnosti dinamički opterećenih metalnih elemenata znatno veći nego oni za statičko opterećenje (tablica 3.). Posebno je opasno promjenjivo izmjenično opterećenje. Za dimenzioniranje elemenata opterećenih promjenjivo koristi se dinamička izdržljivost, D. To je ono najveće promjenjivo naprezanje koje materijal može izdržati uz praktički beskonačan broj promjena.

14 Tehnička mehanika 3 Slika 3.3. Wöhlerova krivulja Slika 3.4. Konstantno naprezanje okruglog štapa stalnog poprečnog presjeka Slika 3.5. Povećanje naprezanja u području utora Ispitivanje dinamičke izdržljivosti provodi se na specijalnim strojevima - pulzatorima, a rezultati se prikazuju Wöhlerovim krivuljama (slika 3.3.). a osi apscisa nanosi se - broj promjena, a na osi ordinata - naprezanja. Za = 0 naprezanje je jednako maksimalnoj vlačnoj čvrstoći. Povećanjem broja promjena ( ) naprezanje pri kojem dolazi do loma se smanjuje ( ). Ako se ispitivani uzorak ne slomi ni nakon 5 milijuna promjena (5 0 6 ), uzima se da se neće slomiti niti nakon beskonačno mnogo promjena. aprezanje pri kojem je materijal izdržao promjena se naziva dinamička izdržljivost. Pri dinamičkom opterećenju posebno su opasni tzv. koncentratori naprezanja: utori, neravnomjernost mikrostrukture (uključci, mjehuri) i ostaci grube strojne obrade (risevi). S vremenom se na tim mjestima počinju pojavljivati mikropukotine koje s povećanjem broja promjena rastu i time slabe nosivu površinu. Konačno dolazi do loma Utjecaj utora na koncentraciju naprezanja Ako je poprečni presjek tijela stalno jednak, naprezanje će po njemu biti jednoliko raspoređeno, što je prikazano za okrugli štap na slici 3.4. Izrada utora na ovako opterećenom štapu uzrokuje znatno povećanje naprezanja u području utora (slika 3.5.). Ovo povećanje može biti i do 5 puta veće od naprezanja u štapu konstantnog presjeka. Zbog toga je utor koncentrator naprezanja. a veličinu naprezanja u presjeku utora utječu polumjer utora r i omjer t dubine utora i promjera štapa, d. Za pravilno dimenzioniranje elemenata s utorom koristi se formula: gdje je β K Vmaks = β K V < dop, β - konstruktivni faktor (faktor) ovisan o specifičnostima utora. Kod najnepovoljnijih utora konstruktivni faktor β K iznosi i do 6,5.

15 4 auka o čvrstoći materijala Pitanja za ponavljanje:. Kako se definira čvrstoća materijala?. Koja je razlika između statike krutih i statike deformabilnih tijela? 3. Koji su osnovni zadaci statike deformabilnih tijela? 4. Kako se dijele opterećenja s obzirom na smjer djelovanja vanjskih sila na tijelo? 5. Kako se definira deformacija? 6. Što je naprezanje? 7. Koja je razlika između normalnog i tangencijalnog naprezanja? 8. Kako utori utječu na veličinu naprezanja? 9. Što je dinamička izdržljivost? 0. Objasnite Wöhlerovu krivulju.