5.7 Modulaţia cu diviziun în frcvnţă ortogonală Transmisiuna datlor cu dbit mar prin modulaţia multinivl a unui purtător, p un canal cu distorsiuni d amplitudin şi d fază, st afctată d intrfrnţa simbolurilor. Micsorara acstui fct d intrfrnţă ncsită galizara adaptivă a canalului. Dacă în acst scop s folosşt un galizor liniar, opraţia d galizar st însoţită d o rducr a raportului smnal/zgomot. Pntru a vita ncsitata galizării s poat folosi thnica împărţirii bnzii d frcvnt a canalului utilizat în mai mult subbnzi şi a transmitrii fluxului srial d dat, d mar vitză, ca un st d fluxuri d dat d vitză mică, multiplxat, modulând un st d purtători plasaţi dcalat în bandă.
Dacă un canal st împărţit în mai mult subcanal, variaţia atnuării şi a timpului d propagar d grup în ficar subbandă st mult mai mică. În flul acsta, intrfrnţa simbolurilor în ficar subcanal st mult mai mică şi nu mai st nvoi d galizar. Thnica multiplxării cu diviziun în frcvnţă, utilizată d mult timp în sistml tlgrafic clasic d transmisiun parallă a datlor, vită suprapunra spctrală a canallor multiplxat (Fig. 5.3 a), pntru a limina intrfrnţa într canal, având însă, drpt conscinţă, o ficinţă spctrală scăzută. Pntru a îmbunătăţi ficinţa spctrală, în thnica multiplxării cu diviziun în frcvnţă ortogonală (Orthogonal Frquncy Division Multiplxing OFDM) canall multiplxat s suprapun în frcvnţă (Fig. 5.3 b) dar, aşa cum s va arăta, impunând ca acst canal să fi distanţat in frcvnţă cu un cart gal numric cu vitza d smnalizar, s vită intrfrnţa într canal. Canal Canal Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal 6 (a) Frcvnţă (b) Frcvnţă Fig. 5.3 Thnica multiplxării cu diviziun în frcvnţă, clasică (a) şi ortogonală (b). Thnica OFDM przintă avanta şi pntru transmisiunil p canal radio, cu propagar multical, prmiţând vitara intrfrnţi simbolurilor produs d disprsia timpilor d propagar p divrsl căi. Spr xmplu, prsupunând o transmisiun TV digitală cu dbitul d 4 Mb/s, cu modulaţi 4-PSK p un singur purtător, durata unui simbol va fi d,5 µs. Dacă difrnţa d drum într căil d propagar ca mai lungă şi ca mai scurtă st d 3 m, difrnţa într timpii d propagar p acst căi va fi d 3. 3 m/3. 8 m/s = µs şi, datorită disprsii timpilor d propagar, răspunsul pntru ficar simbol s dilată cu intrval d simbol, având astfl ca fct, pntru ficar simbol, o intrfrnţă d la alt d simboluri. Dacă s-ar utiliza thnica OFDM, cu d subpurtători, durata ficărui simbol ar fi d d ori mai mar, dvnind astfl gală cu
µs, şi cum dilatara răspunsului la ficar simbol rămân acaşi ca şi la sistmul cu un singur purtător, µs, intrfrnţa s rduc la ca produsă d un singur simbol. În cl c urmază vor fi przntat două variant al thnicii OFDM, una utilizând filtr trc os la misi şi la rcpţi, pntru a limita suprapunra spctrală doar la canall adiacnt, calaltă variantă nutilizând filtr şi prmiţând o ralizar practică mai puţin complxă, folosind transformata Fourir rapidă. 5.7. Thnica OFDM cu filtr Schma bloc convnţională a sistmului d transmisiun OFDM cu filtr st przntată în fig. 5.4. Dat CS/P Codor Codor Codor F(ω) T/ F(ω) T/ F(ω) F(ω) F(ω) T/ F(ω) cosω t sinω t cosω t sinω t cosω 3 t sinω 3 t Σ Canal d transmisiun H(ω) cosω t F(ω) F(ω) T/ sinω t F(ω) T/ cosω t sinω t F(ω) F(ω) T/ cosω 3 t sinω 3 t F(ω) Codor T/ F(ω) F(ω) cosω t sinω t F(ω) T/ cosω t sinω t F(ω) Fig. 5.4 Schma bloc a unui sistm OFDM cu filtr trc os Fluxul srial al datlor st împărţit în fluxuri parall, ficar dintr acsta fiind transmis p un subcanal prin modulaţi d amplitudin în cuadratură. Frcvnţa d simbol p ficar subcanal st acaşi, f s = T. Spctrul smnallor d dat în banda d bază, d p ficar subcanal, st limitat la o bandă gală cu cl mult dublul bnzii minim ncsar pntru a asigura lipsa intrfrnţi simbolurilor transmis p subcanalul rspctiv. La o frcvnţă d simbol f s, banda minimă (yquist) st f s /, dci spctrul d frcvnţ al smnalului modulator st limitat la cl mult f s. Pntru gnralitat vom considra că purtătorii subcanallor adiacnt sunt distanţaţi la f unul d altul şi spctrl d frcvnţ al smnallor transmis p acst subcanal s suprapun cl mult ca în fig. 5.3b, fiind îndplinită condiţia Δ f f. s
Est vidnt că la rcpţi, p ficar subcanal vor apăra, după filtrul postdtcţi F(ω), smnal prturbatoar provnit din subcanall infrior şi suprior, în fază şi în cuadratură. Astfl, spr xmplu, pntru subcanalul cu purtătorul cosω t, vom ava smnal prturbatoar provnit din subcanalul infrior, cu purtătorii cos( ω ) t, în fază şi sin( ω ) t, în cuadratură şi din subcanalul suprior, cu purtătorii cos( ω + )t, în fază şi sin( ω + ) t, în cuadratură. În continuar s vor dtrmina xprsiil smnallor prurbatoar şi condiţiil ca acsta să nu influnţz dciziil car sunt luat la momntl d sondar. a) Influnţa subcanalului infrior în fază. Să considrăm prturbat subcanalul cu purtător cosω t. Pntru un simbol la misi p subcanalul infrior cu purtător cos( ω ) t, rprzntat printr-un impuls Dirac pondrat în amplitudin, smnalul corspunzător la intrara rcptorului va ava transformata Fourir d forma: [ F ω ω + ) + F( ω + ω ) ] H ( ) / ( ω. După dmodular cu purtătorul local cosω t în rcptorul subcanalului prturbat, transformata Fourir a smnalului prturbator va fi [ F ω ω + ) + F( ω ) ] H ( ω ω ) / 4 + [ F( ω + ) + F( ω + ω ) ] H ( ω + ) / 4 ( ω După filtrul postdtcţi, car limină componntl d frcvnţă înaltă, cntrat p ω, smnalul prturbator va ava transformata Fourir [ F( ω ) H ( ω ω ) + F( ω + ) H ( ω ω )] F( ) / 4 R a ( ω) = + ω (5.9) Prsupunând că funcţia d transfr H(ω) nu przintă distorsiuni d amplitudin şi d timp d propagar d grup, ipotză susţinută d banda foart îngustă alocată ficărui subcanal, să considrăm H(ω) =. Rzultă: cu rprzntara grafică din fig. 5.5. [ F( ω ) + ( ω + Δ )]/ 4 R a ( ω) = F( ω) F ω, (5.) F(ω+ ω) F(ω) R a (ω) F(ω- ω) ω/ ω ω Fig. 5.5 Transformata Fourir R a (ω) Smnalul prturbator r a (t) corspunzător st dat d rlaţia
ωt ra ( t) = Ra ( ω) dω = Ra ( ω)cosωtdω (5.) π π în car s-a ţinut sama d simtria pară a funcţii R a (ω). Cu schimbara d variabilă ω = ω si rvnind apoi la vcha notati a variabili, s obţin sau ra ( t) = Ra ( ω + )cos( ω + ) tdω (5.) π t t ra ( t) = cos Ra ( ω ) cosωtdω sin R π + π a ( ω + ) sin ωtdω (5.3) Intgrala a doua din rlaţia (5.3) st nulă doarc intgrandul st o funcţi impară şi, prin urmar, t ra ( t) = cos R π Δ a ω ( ω + ) cosωtdω. (5.4) Pntru ca influnţa smnalului prturbator r a (t) să fi nulă la momntl d sondar t + nt st ncsar ca r a ( t + nt) =, (5.5) ca c implică, ţinând sama d (5.4), cos ( t + nt) = (5.6) sau π ( t + nt) = ( + ) şi Δft + ΔfnT = +, (5.7) rlaţi îndplinită pntru ΔfT = şi t = Δf. Rzultă condiţiil T Δ f = şi t =, (5.8) T car s obţin prin dcalara datlor p cl două subcanal (prturbator şi prturbat) cu T/ unl faţă d altl şi un cart Δ f = / T într purtătorii subcanallor adiacnt. b) Influnţa subcanalului infrior în cuadratură, cu purtătorul sin( ω ) t.
Asmănător modului în car s-a ddus R (ω ), pntru R (ω ), transformata Fourir a smnalului prturbator provnit din acst subcanal, s obţin xprsia cu rprzntara grafică din fig. 5.6. a [ F( ω + ) F( ω Δ )]/ R b ( ω) = F( ω) ω 4, (5.9) b R b (ω) - ω/ ω/ ω Fig. 5.6 Transformata Fourir R b (ω) Smnalul prturbator r b (t) st dat d rlaţia ωt rb ( t) = Rb ( ω) dω = Rb ( ω)sin ωtdω. (5.3) π π Cu acaşi schimbar d variabilă d mai sus s obţin sau rb ( t) = Rb ( ω + )sin( ω + ) tdω (5.3) π t rb ( t) = cos π t Rb ( ω + )sin ωtdω + sin π Rb ( ω + ) cosωtdω. (5.3) Prima intgrală din rlaţia (5.3) st nulă doarc intgrandul st o funcţi impară în raport cu variabila ω. Rzultă astfl: t rb ( t) = sin Rb ( ω + )cosωtdω. (5.33) π Pntru ca smnalul prturbator r b (t) să fi nul la momntl d sondar t + nt st ncsar ca sin ( t + nt) =, (5.34) ca c implică ( t + nt) = π, (5.35) rzultând condiţiil Δ f = şi T t = (5.36)
şi, prin urmar, într datl transmis p cl două subcanal nu trbui să xist nici un dcala (t = ). În mod similar s dduc influnţa subcanalului în fază suprior, [ F( ω + ) + ( ω Δ )]/ 4 R c ( ω) = F( ω) F ω (5.37) şi ca a subcanalului în cuadratură suprior, [ F( ω ) F( ω + Δ )]/ R d ( ω) = F( ω) ω 4. (5.38) Cum R ( ω) = R ( ω) şi R ( ω) = R ( ω), rzultă aclaşi condiţii ca şi în cazul c a d b canallor infrioar adiacnt. Rzumând, pntru ca intrfrnţa produsă d subcanall adiacnt să fi nulă la momntl d sondar st ncsar ca, la misi, p subcanall adiacnt cu purtători d aclaşi tip (în cosinus, spr xmplu) datl să fi dcalat cu T/, iar p subcanall adiacnt cu purtători d tipuri difrit (cosinus şi sinus, spr xmplu) datl să fi în fază, ca c în fig. 5.4 st sugrat prin circuitl car indică o întârzir T/. D fapt, acst dcala s asigură prin utilizara unor tact d simbol în antifază, atât la misi, cât şi la rcpţi. - Formara spctrală a smnallor În ficar subcanal pot apăra două fluri d întrfrnţă a simbolurilor: intrfrnţa produsă d simboluril transmis p subcanalul rspctiv, datorită limitării spctrului d frcvnţ (intrfrnţa intracanal) şi intrfrnţa produsă d simboluril transmis p subcanall adiacnt, datorită suprapunrii spctral (intrfrnţa intrcanal). Tortic, pntru a nu ava intrfrnţa intracanal, caractristica spctrală globală a ficărui subcanal trbui să îndplinască condiţiil corspunzătoar primului critriu yquist. La o frcvnţă d simbol f s banda minimă ncsară pntru transmisiuna fără intrfrnţa simbolurilor st f s. Având în vdr cartul f s într purtători, lărgima spctrului d frcvnţ al smnalului d p ficar subcanal poat fi maximum f s, rzultând un coficint d xcs d bandă cu valoara maximă gală cu. Lărgima bnzii d frcvnţ ncsar pntru sistmul multicanal st ( + ) f s, faţă d banda minimă ncsară f s, în cazul unui sistm monocanal MAQ chivalnt (cu o frcvnţă d simbol f s ), ca c conduc la un coficint d xcs d bandă global α = f / f = s s /, mult mai mic dcât cl corspunzător ficărui subcanal în part. În ca c privşt intrfrnţa intrcanal, condiţiil pntru lipsa acsti intrfrnţ, stabilit mai sus, nu implică rfriri la alura funcţiilor d transfr al filtrlor trc os d misi şi d rcpţi, ci doar să fi idntic.
5.7. Thnica OFDM folosind transformata Fourir discrtă Thnica d modulaţi przntată în paragraful antrior, ncsitând filtr, modulatoar şi dmodulatoar sparat pntru ficar subcanal, st foart complxă din punct d vdr al implmntării practic a unui astfl d sistm. În cl c urmază va fi przntată o thnică d modulaţi asmănătoar, cu purtători multipli, dar car poat fi implmntată mult mai simplu utilizând transformata Fourir discrtă (DFT - Discrt Fourir Transform) şi transformata Fourir discrtă invrsă (IDFT Invrs DFT). Să prsupunm că ficărui subcanal i s asociază un purtător p ( t) = sin πf t, =,,...,, (5.39) f fiind frcvnţa cntrală a subcanalului. Algând vitza d smnalizar ( v s = ) p T ficar subcanal astfl încât să fi gală numric cu cartul d frcvnţă dintr doi purtători alăturaţi, purtătorii vor fi ortogonali p un intrval d simbol T, indifrnt d dfazal dintr i, adică T sin( π f + Φ )sin(πf + Φ ) dt =, (5.4) în car f f = n/t, n =,,..., pntru oric Φ şi Φ. Cu acastă condiţi avm multiplxar cu diviziun în frcvnţă ortogonală. Pntru a înţlg mai uşor cum poat fi folosită transformata Fourir discrtă în sistml OFDM, în cl car urmază vor fi przntat, sumar, dfiniţia şi câtva proprităţi al acsti transformat. Fi o scvnţă formată din numr complx: x, x,..., x. Ea st transformată într-o scvnţă d alt numr complx,,..., prin DFT: = n= x n πn, =,,...,. (5.4) Transformata Fourir discrtă invrsă (IDFT - Invrs Discrt Fourir Transform) st dată d rlaţia x n = = πn, n =,,...,. (5.4) S obsrvă că transformata Fourir discrtă a uni scvnţ finit x [ st priodică, cu prioada, adică [] = [+]. La fl, transformata Fourir discrtă invrsă st priodică, rprzntând o vrsiun xtinsă priodic a scvnţi finit: = n+].
Lgătura dintr transformata Fourir discrtă şi transformata Fourir în timp continuu poat fi stabilită după cum urmază. Transformata Fourir în timp continuu pntru o funcţi x(t) st dată d xprsia πft = x( t) dt ( f ) (5.43) Eşantioanl funcţii x(t), luat la intrval T, s pot xprima prin xdt = x( t) T ( t) = δ x( nt) δ ( t nt) (5.44) n= Transformata Fourir a şantioanlor x(t)δt(t) poat fi xprimată, în funcţi d transformata Fourir a funcţii continu, prin produsul d convoluţi = DT ( f ) = ( f ) δ ( f ) = ( f ), (5.45) T T T T = δ ( f ) fiind transformata Fourir a funcţii dlta priodic δ T (t). Din xprsia T T (5.45) s obsrvă că transformata Fourir a şantioanlor funcţii x(t) st rptara priodică, cu prioada f s =, a transformati Fourir a funcţii continu. P d altă part, T transformata Fourir a şantioanlor funcţii x(t) poat fi calculată folosind formula d dfiniţi a transformati Fourir: DT ( f ) = x( nt) δ ( t nt) n= πft n= = dt = x( nt) δ ( t nt) πft dt = = n= otând x n = x(nt) şi ω = πft = π f fs, s obţin x πfnt ( nt) (5.46) DT ωn xn n= ( ω ) =, (5.47) ca c rprzintă transformata Fourir în timp discrt (DTFT - Discrt-tim Fourir Transform) a scvnţi şantioanlor [x n ]. f fs ar smnificaţia uni frcvnţ normat la frcvnţa d şantionar f s, iar ω st o frcvnţă unghiulară normată, măsurată în radiani ω p intrvalul d şantionar T. Din (5.47) s obsrvă uşor că ( ) ar prioada ω = π sau f =. f s Pntru prlucrări numric st ncsară, p d o part, discrtizara frcvnţi ω şi, p d altă part, trunchira scvnţi [x n ] la o lungim finită. Considrând un număr d DT
ω şantioan al transformati ( ) p ficar prioadă ω = π, scvnţa ~ ω DT şantioanlor, notată ( ) sau [], în car ω = π, st priodică. Prin urmar şi smnalul în timp discrt corspunzător, notat ~ x [ n ], st priodic, rzultând prin rptara priodică a scvnţi [x n ], cu prioada dpndntă d frcvnţa d şantionar a transformati Fourir în timp discrt ω ( ). Din analiza smnallor în timp discrt priodic rzultă rlaţiil: [ ] = n= ~ x [ π n DT şi ~ x [ = = π n o [ ] (5.48) Dacă scvnţa [x n ] st limitată şi ar lungima L=, atunci fnomnul d alir nu s manifstă în scvnţa ~ x [ n ] şi, în conscinţă, [x n ] şi ~ x [ n ] sunt idntic pntru n (,,..., ). În acst caz, în rlaţiil (5.48), scvnţa ~ x [ n ] poat fi înlocuită cu [x n ], rzultând rlaţiil car dau transformatl Fourir discrtă (5.4) şi invrsă (5.4). Dacă s urmărşt o rzoluţi mai fină în şantionara transformati Fourir în timp discrt şi, în aclaşi timp, s dorşt a s bnficia d avantaul algoritmului FFT (Fast Fourir Transform - transformata Fourir rapidă), s vor dtrmina un număr (putr a lui ) d şantioan p o prioadă π mai mar, > L. Eşantioanl x n, pntru n, vor fi considrat gal cu zro. Dintr proprităţil DFT vor fi mnţionat cl car urmază.. Convoluţia circulară - Fi două scvnţ [x n ] şi [h n ] d acaşi lungim, cu n (,,..., ). Convoluţia circulară în punct a clor două scvnţ st dfinită prin rlaţia y [ = h[ = h[ = h[ ] n ], (5.49) în car [ n ] însamnă [ n ] modulo sau, altfl spus, [ n ] rprzintă o vrsiun priodică, cu prioada, a scvnţi n ]. S poat vrifica uşor că scvnţa y[ st priodică, cu acaşi prioadă. Din dfiniţia DFT s poat arăta că transormata Fourir discrtă a convoluţii circular în timp a clor două scvnţ st dată d produsul în frcvnţă DFT { y[ = h[ } = [ i] H[ i], i (5.5) Considrând că rprzintă şantioanl unui smnal la intrara canalului al cărui răspuns la impulsul unitat ar şantioanl h[, dacă răspunsul canalului ar fi convoluţia circulară h[ şi dacă h[ s-ar cunoaşt, atunci s-ar puta dtrmina
calculând transformata Fourir discrtă invrsă a scvnţi Y [ i]/ H[ i], i. Dar răspunsul canalului nu st convoluţia circulară, ci convoluţia liniară h[. Totuşi, s poat obţin, în răspunsul canalului, convoluţia circulară a clor două scvnţ dacă scvnţi d intrar i s adaugă un prfix, numit prfixul ciclic. Prfixul ciclic. Să considrăm scvnţa, d lungim şi un canal discrt în timp cu răspunsul la impulsul unitat finit, h[ = h[], h[],..., h[m], d lungim M + = T m /T s, T m fiind durata răspunsului şi T s fiind intrvalul d şantionar asociat scvnţi în timp discrt. Prfixul ciclic pntru scvnţa constă din ultiml M valori al acsti scvnţ şi st: M],..., ]. otăm noua scvnţă, d lungim + M, alcătuită din prfix şi scvnţa, cu ~ x [ n ], M n, und ~ M ],..., ~ ] = M ],..., x [ ], x [],..., x [ ], ca în figura 5.7. Prfix ciclic Scvnţa originală, d lungim x [ M ] M + ]... ] ] ]... M ] M ] M + ]... ] Fig. 5.7 Scvnţa cu prfixul ciclic Dacă la intrara canalului s aplică scvnţa ~ x [ n ], răspunsul canalului va fi convoluţia ~ liniară h[ n ], adică scvnţa y[ M ],..., y [ ], y [], y [],..., y [ ], y [],..., y [ + M ], (5.5) în car y[ M ] = h[] M ]..... y[ ] = h[] ] + h[] ] +... + h[ M ] M ] y[ ] = h[] ] + h[] ] +... + h[ M ] M ]..... (5.5) y [ ] = h[] ] + h[] ] +... + h[ M ] M ] y[ ] = h[] ] + h[] ] +... + h[ M ] M ]..... y [ + M ] = h[ M ] ]
Faţă d scvnţa d intrar ~ x [ n ], d lungim + M, scvnţa d işir st dilatată, având lungima + M. S poat obsrva că parta din răspunsul canalului rprzntată d y[, n, st chiar convoluţia circulară h[, aşa încât, dacă h[ st cunoscută, scvnţa poat fi dtrminată din y[. În afară d avantaul obţinrii, în răspunsul canalului, a convoluţii circular h[, utilizara prfixului ciclic prmit vitara intrfrnţi într blocuril d dat la işira din canal. Datorită dilatării cu M şantioan a răspunsului la ficar bloc d dat, răspunsuril canalului la blocuri succsiv s suprapun, dar şantioanl car rprzintă convoluţia circulară nu sunt afctat d acastă suprapunr (fig. 5.8). Intrar canal M Prfix Dat Prfix Dat Prfix Dat Işir canal IS Conv. circ. IS Conv. circ. IS Conv. circ. IS M M Fig. 5.8 Intrfrnţa simbolurilor într blocuri succsiv la işira din canal Intrar dat Modulator MAQ Convrtor sriparall [] [] [-] IFFT ] ] -] Adăugar prfix ciclic Convrsi parallsri cos ω Ral ~ c t x [ n ] D/A Imag ~ x [ n FTB ] D/A sin ω c t Transmiţător cos ω c t y[] Y[] FTB FTJ FTJ A/D A/D Eliminar prfix Convrsi sriparall y[] y[-] FFT Y[] Y[-] Convrsi parallsri Y Dmodulator MAQ sin ω c t Rcptor Fig. 5. Sistm OFDM ralizat cu IFFT/FFT
P baza acsti proprităţi a transformati Fourir discrt s poat labora o schmă a sistmului d transmisiun OFDM ca în figura 5.9. Datl d intrar comandă un modulator MAQ, rzultând, p un intrval d simbol T, simboluril complx,,...,, corspunzând clor subpurtători. Acst simboluri rprzintă componntl în frcvnţă discrtă al smnalului s(t) d la işira modulatorului OFDM. Pntru a gnra smnalul s(t), acst componnt din domniul frcvnţă sunt convrtit în şantioan din domniul timp, şantioan al smnalului s(t), prin fctuara transformati Fourir discrt invrs asupra clor simboluri, implmntată ficint utilizând IFFT. Rzultă scvnţa = ], ],..., ], d lungim, cu i= = [ i] Scriind xponnţiala din sumă sub forma πni /, n. (5.53) πi T. n T πni / πint / T = = s obsrvă că scvnţa corspund şantioanlor unui smnal multipurtător complx, cu purtătorii având frcvnţl nt/. f i = i T, i =,,...,, şantioan luat la intrval După dtrminara scvnţi s adaugă prfixul ciclic, s fac convrsia parall-sri şi apoi convrsia digital-analogică, atât pntru parta rală cât şi pntru parta imaginară al şantioanlor smnalului complx. Dacă transmisiuna st d tip trc bandă, spr xmplu p un canal radio cu frcvnţa cntrală f c, cl două părţi al smnalului complx s vor transmit, prin modulaţi d amplitudin în cuadratură, p componnt, în sinus şi în cosinus, al purtătorului d frcvnţă f c. La rcpţi, după dmodular şi filtrara trc os pntru liminara componntlor d frcvnţă înaltă postdtcţi, făcând abstracţi d zgomot, s obţin smnalul în banda d bază y( t) = ~ x ( t) h( t), rzultat al convoluţii liniar a smnalului ~ x ( t ) cu funcţia pondr h(t) a canalului trc os chivalnt canalului trc bandă. După convrsia A/D s obţin părţil rală şi imaginară al şantioanlor y[ = ~ x [ h[, M n. S limină prfixul lui y[ constând din priml M şantioan, iar cl şantioan car rămân rprzintă convoluţia circulară y[ = h[, n. Transformata Fourir discrtă a acstor şantioan st Y [ i] = H[ i] [ i] şi s calculază, utilizând FFT, după convrsia sri-parall a şantioanlor y[. Ca c s obţin, Y[i], rprzintă vrsiunil multiplicat cu H i] = H ( f ) al simbolurilor mis [i]. H(f i ) rprzintă funcţia [ i d transfr a canalului la frcvnţa f i, frcvnţa cntrală a subcanalului i. Scvnţa Y[i]
obţinută folosind FFT st aplicată unui convrtor parall-sri şi apoi dmodulatorului MAQ pntru a rconstitui datl mis. În sistml d transmisiuni p linii cu fir mtalic (cablu cu prchi răsucit) s dorşt transmitra şantioanlor al smnalului OFDM s(t) în banda d bază, fără o modulaţi suplimntară. În acst caz însă st posibil să s transmită doar simboluri ral şi nu complx, cum sunt. Acastă problmă poat fi rzolvată, ţinând sama d alt proprităţi al DFT, przntat în continuar, prin adăugara la scvnţa originală [ a unor simboluri suplimntar, complx conugatl simbolurilor din scvnţa originală.. Torma dplasării - Dacă x n st înmulţit cu π nm, m fiind un întrg, st înlocuit cu m, ca c însamnă o dplasar circulară în DFT originală, corspunzătoar scvnţi {x n }, indicl m fiind intrprtat modulo. În mod similar, uni dplasări circular cu m poziţii a scvnţi {x n } îi corspund o înmulţir cu π m { } atunci a DFT. Altfl spus, dacă scvnţi {x n } îi corspund, prin DFT, scvnţa { x n } { }, πnm πm xn { m} şi { xn m}. 3. DFT rală - Dacă x, x,..., x sunt numr ral, cum adsa s întâmplă în aplicaţiil practic (şantioanl unui smnal ral, spr xmplu), DFT st simtrică, adică =, * în car stluţa (*) însamnă complx conugata. Rzultă că DFT pntru o scvnţă {x n } rală st p umătat rdundantă, informaţia compltă (dspr DFT) obţinându-s luând numai umătat din scvnţa { }. În acst caz lmntul d "curnt continuu" st ral πn. ( = xn = n= asmna ral: n= x n = ral ), iar pntru par lmntul "yquist" / st d * = = *.
Avm dci, ca ncunoscut rprzntând DFT, şi /, ral şi,...,, complx, însmnând un număr total d ncunoscut gal cu + ( ) =. Rvnind acum la sistmul OFDM, car folosşt p ficar subcanal modulaţia d amplitudin în cuadratură, că considrăm un intrval d simbol oarcar, în car p ficar din cl subcanal s transmit un punct din constlaţia bidimnsională a smnalului modulat asociată subcanalului. Clor punct transmis l asocim, într-o primă tapă, simboluri complx, d informaţi,,,..., -, al căror părţi ral şi imaginar rprzintă coordonatl punctlor. Fi { }, =,,,, scvnţa acstor simboluri. Cu acst simboluri crăm o altă scvnţă, formată din simboluri, { } =,,,, în flul următor: oua scvnţă st, astfl, =, =,,..., * * = = ( ), =,,,,,... -,, = R[ ] (5.43) Im[ ] =, *, *,...,, * (5.44) S obsrvă că simbolul d informaţi a fost sparat în două părţi, ficar rală. otăm noua scvnţă d simboluri, din (5.44), cu { } Fourir discrtă invrsă a scvnţi { } =, =,,...,. Transformata, în punct, st: πn xn =, n =,,...,. (5.45) Pntru =,,,, grupăm trmnii din suma (5.45) în prchi d forma πn + πn( ) şi ţinând sama d (5.43), rzultă x n = πn + + = în car simboluril d informaţi sunt πn cos + θ (5.46) θ =. Scvnţa { x n, n } corspund şantioanlor smnalului OFDM constând din subpurtători, car poat fi pus sub forma
πn x( t) = + + = πt cos + θ T t T (5.47) nt în car T st intrvalul d simbol şi x n = x( ), n =,,, -. S obsrvă că simbolul d informaţi, rprzntat în rlaţia (5.47) prin şi, corspund componnti d curnt continuu (f = ). Punând = smnalul OFDM, fără componntă d curnt continuu, va ava xprsia