Základy technckej mechanky krptá doc. Ing. Karol emrád, PhD. 017
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH Letecká fakulta ZÁKLADY TECHNICKEJ MECHANIKY doc. Ing. Karol emrád, PhD. Košce 017 1
doc. Ing. Karol EMRÁD, PhD. 017 Katedra leteckého nžnerstva, Letecká fakulta TU v Košcach Recenzent: doc. Ing. Rudolf Zahradníček, Cc. Katedra leteckej technckej prípravy, Letecká fakulta TU v Košcach doc. Ing. Oskár Ostertág, PhD. Ústav konštrukčného a procesného nžnerstva, Katedra aplkovanej mechanky a strojného nžnerstva, trojnícka fakulta TU v Košcach Za odbornú a jazykovú stránku tohto vysokoškolského učebného textu zodpovedá autor. Rukops neprešel redakčnou an jazykovou úpravou.
1. Mechanka a jej rozdelene Mechanka je pôvodnou (najstaršou) časťou všeobecnej vedy o prírode, ktorú Gréc nazýval fyzka. Postupom času, ako s človek rozšroval obzor svojho poznana, rozdella sa všeobecná veda o prírode na menše celky. Najskôr sa od nej oddella bológa a fyzka, ktorá tak zostala náukou o nežvej prírode. Ďalej sa dferencovala na mechanku, astronómu, termku, akustku, náuku o elektrne a magnetzme, optku, atómovú fyzku atď. Mechanka (z gréckeho mechané stroj, mechanzmus) je náuka o rovnováhe a mechanckom pohybe teles. Zaoberá sa pôsobením síl a skúmaním ch účnkov na jednotlvé telesá alebo sústavu teles; zsťuje podmenky rovnováhy a pohyb teles, prtom s však nevšíma molekulárne a elektrcké velčny. Teoretcké základy mechanky vytvorl Isack Newton (1643-177). Mechanku založenú na Newtonových zákonoch pohybu označujeme termínom klascká mechanka. Klascká mechanka už dnes nepostačuje na rešene problémov, ktoré prnesla atómová fyzka a mechanka vesmíru. Pohyb elementárnych častíc a pohyb teles, ktorý už Newtonove zákony pohybu nevysvetľujú, sa zakladá na prncípoch relatvstckej a kvantovej mechanky. Relatvstcká mechanka (Albert Ensten, 1879-1955) sa zaoberá telesam pohybujúcm sa veľm vysokým rýchlosťam v prestoroch neatomckých rozmerov. Kvantová mechanka (Max Planck, 1858-1947) opsuje pohyby v atomckých prestoroch. Podľa toho, ktoré zo základných pojmov (prestor, čas, hmota a sla) sa v mechanke používajú, člení sa mechanka zvyčajne na statku, knematku a dynamku. tatka (z gréckeho statos rovnováha) sa zaoberá skúmaním takých prípadov pohybu, pr ktorých sú sly pôsobace na skúmané teleso v rovnováhe. Základné pojmy sú prestor a sla. Knematka (z gréckeho kneo pohybuje sa) sa zaoberá opsom časového prebehu pohybu teles bez ohľadu na sly, ktoré tento pohyb vyvolal. Pohyb sa sleduje ba po geometrckej stránke, nezávsle od jeho príčn (síl). Preto sa pre knematku používa aj názov geometra pohybu. Základné pojmy sú prestor a čas. Dynamka (z gréckeho dynams sla) sa zaoberá pohybom teles pr pôsobení síl. Základné pojmy sú prestor, čas, hmota (hmotnosť) a sla. 3
Podľa skupenstva látok sa mechanka delí na mechanku tuhých teles (stereomechanku), mechanku kvapalín (hydromechanku), mechanku látok premenlvého charakteru (kombnáca tuhých látok a plynov). Okrem toho sa mechanka delí na a) teoretckú mechanku (raconálnu, exaktnú), ktorá zsťuje všeobecné zákony pohybu bez ohľadu na ch praktcké použte, na špecálne vlastnost rôznych materálov ap., b) aplkovanú mechanku (technckú, nžnersku), ktorá sa špecfcky zamerava na techncky významné problémy súvsace s praktckou čnnosťou človeka, c) termomechanku, ktorá sa zaoberá mechanckým zmenam stavu teles, vyvolaným zmenou teploty. V prax sa často používajú názvy strojnícka a stavebná mechanka. Ich obsah, ak sa do nch zahrne aj náuka o pružnost a pevnost, sa zhoduje so statkou strojových a stavebných konštrukcí. Náuka o pružnost a pevnost zsťuje, aké veľké a ako rozdelené sú vnútorné sly vyvolané pôsobením vonkajších síl a aké môžu byť deformáce (zmeny tvarov) tuhých látok. Vysvetľuje, ako navrhnúť rozmery konštrukčného prvku, aby bezpečne vzdoroval vonkajším slám (prevádzkovému zaťaženu). Uvedené náuky (dscplíny) sa navzájom prelínajú a ch obsah sa s rozvojom nových poznatkov upravuje. 1.1 Mechancké velčny Mechancký pojem sa stáva velčnou, ak je daný (stanovený) predps na určene jeho veľkost, na jeho merane. Velčna je pojem, ktorým možno kvaltatívne a kvanttatívne opísať javy, stavy a vlastnost rôznych hmotných objektov. Mechancké velčny sú te, ktoré sa používajú v mechanke. Keď velčny možno exaktne fyzkálne defnovať, t.j. vyjadrť fyzkálnym vzťahm, de o fyzkálne velčny (energa, teplo, sla, hmotnosť, elektrcký potencál, žarvosť, dynamcká vskozta ap.). V prax sa však stretávame aj s velčnam, ktoré ne sú defnované vzťahom k ným velčnám, ale odvodzujú sa z určtého expermentálneho predpsu. V technckej prax sú však natoľko významné, že ch exstencu rešpektujeme a snažíme sa ju kvanttatívne vyjadrť. 4
Teto velčny sa súhrnne nazývajú techncké velčny (tvrdosť, drsnosť povrchu, húževnatosť, ohýbateľnosť ap.). Značky velčín a ch názvy predpsujú štátne normy. Na kvanttatívne stanovene velčny je potrebná vhodná jednotka. Jednotka velčny je jej vhodne zvolená a presne defnovaná hodnota (veľkosť), ktorá umožňuje porovnane (merane) velčín rovnakého druhu. Číselná hodnota velčny je číslo, ktoré určuje, koľkokrát je velčna väčša (menša) ako zvolená jednotka velčny. Podľa medznárodnej sústavy jednotek (ysteme Internatonal d Untes) s medznárodne prjatou značkou I, sa merace jednotky fyzkálnych a technckých velčín dela na skupny: A. Hlavné jednotky. B. Vedľajše jednotky. A. Hlavné jednotky sa rozdeľujú na 1. základné jednotky (tab.1.1),. doplnkové jednotky (tab.1.), 3. odvodené jednotky (tab.1.3), 4. násobné a podelové jednotky (tab.1.4). Defníce základných a doplnkových jednotek I: Meter (m) - je dĺžka rovnajúca sa počtu 1 650 763,73 vlnových dĺžok žarena šíraceho sa vo vákuu, ktorý zodpovedá prechodu medz hladnam p 10 a 5d 5 atómu kryptónu 86. Klogram (kg) sa rovná hmotnost medznárodného prototypu klogramu uloženého v Medznárodnom úrade pre váhy a mery v evres (Francúzsko). ekunda (s) je čas trvana 9 19 631 770 peród žarena, ktorý zodpovedá prechodu medz dvoma hladnam veľm jemnej štruktúry základného stavu atómu césa 133. Ampér (A) je stály elektrcký prúd, ktorý pr pretoku dvoma rovnobežným, nekonečne dlhým pramkovým vodčm zanedbateľného kruhového prerezu, umestneným vo vákuu vo vzájomnej vzdalenost 1 meter, vyvolá medz týmto vodčm slu rovnajúcu sa.10-7 newtona na 1 meter dĺžky. Kelvn (K) je 73,16 časť termodynamckej teploty trojtého bodu vody. Mól (mol) je látkové množstvo sústavy, ktoré obsahuje práve toľko elementárnych jedncov (entít), koľko je atómov v 0,01 kg uhlíka 1. 5
Kandela (cd) je svetvosť černeho telesa v kolmom smere k povrchu, ktorého veľkosť je 1/600 000 m pr teplote tuhnuta platny pr tlaku 101 35 pascalov. Radán (rad) je rovnný uhol zovretý dvoma polopramkam, ktoré na kružnc opísanej z ch začatočného bodu vytínajú oblúk dĺžky rovnajúcej sa jej polomeru. teradán (sr) je prestorový uhol s vrcholom v strede gule, ktorý na jej povrchu vytína plochu s obsahom rovnajúcm sa druhej mocnne polomeru tejto gule. Základné jednotky Tabuľka 1.1 Velčna Dĺžka Hmotnosť Čas Elektrcký prúd Termodynamcká teplota Látkové množstvo vetvosť názov meter klogram sekunda ampér kelvn mol kandela Jednotka značka m kg s A K mol cd Doplnkové jednotky Tabuľka 1. Velčna Rovnný uhol Prestorový uhol názov radán steradán Jednotka značka rad sr Vybrané odvodené jednotky Tabuľka 1.3 Velčna Jednotka Vzťah názov značka rozmer k jednotkám I Plošný obsah Objem Hustota Merný (špecfcký) objem la, taž Moment sly (dvojce síl) štvorcový meter kubcký meter klogram na kub.m. kubcký meter na kg newton newton meter A, V V F, G M m m 3 kg.m -3 m 3.kg -1 N N.m m m 3 kg.m -3 m 3.kg -1 m.kg.s - m.kg.s - Tlak, mechancké napäte pascal p, Pa=N.m - m -1.kg.s - Kmtočet (frekvenca) hertz f Hz Hz=s -1 Rýchlosť Zrýchlene meter za sekundu meter za sek. na druhú v, c a, g m.s -1 m.s - m.s -1 m.s - Uhlová rýchlosť radán za sekundu rad.s -1 rad.s -1 Uhlové zrýchlene radán za sek. na druhú, rad.s - rad.s - Energa (práca, teplo) joule A, W J m.kg.s - Elektrcké napäte volt V V m.kg.s -3.A -1 Výkon watt P W m.kg.s -3 6
Predpony pre násobné jednotky I Tabuľka 1.4a Predpona klo mega gga tera peta exa Značka k M G T P E Význam 10 3 10 6 10 9 10 1 10 15 10 18 Predpony pre podelové jednotky I Tabuľka 1.4b Predpona ml mkro nano pko femto atto Značka m n p f a Význam 10-3 10-6 10-9 10-1 10-15 10-18 Vedľajše jednotky Tabuľka 1.5 Čas Velčna Vedľajša jednotka Vzťah k jednotkám I názov značka mnúta mn mn = 60 s hodna h h = 60 mn = 3600 s deň d d = 4 h = 86400 s Uhol (rovnný) stupeň mnúta sekunda grad (gon) 1 1 1 g (gon) 1 = /180 rad (radán) 1 = 1/60 = /10800 rad 1 = 1/60 = /648000 rad 1 g = /00 rad Objem lter l l = 1 dm 3 = 10-3 m 3 Hmotnosť tona t t = 10 3 kg Teplota Celsov stupeň C T = t + 73,15 K Plošný obsah hektár ha ha = 10000 m = 10 4 m Ostatné jednotky sú odvodené zo základných, príp. doplnkových jednotek pomocou príslušných fyzkálnych, resp. geometrckých závslostí. Podľa potreby sa uvádzajú v ďalšom texte. Odvodené jednotky I sa odvodzujú pomocou defnčných vzťahov zo základných, príp. doplnkových jednotek. Odvodené jednotky sú vzhľadom na základné, resp. doplnkové jednotky koherentné (súvslé). Prehľad odvodených jednotek, ktoré sa v technckej mechanke najčastejše používajú, uvádza tabuľka 1.3. Odvodené jednotky I so špecfckým názvam sú teto: coulomb, farad, henry, hertz, joule, lumen, lux, newton, ohm, pascal, semens, tesla, volt, watt a weber. Násobné a podelové jednotky I sa tvora pomocou normalzovaných predpôn z východskových jednotek I (okrem hmotnost: pr násobkoch hmotnost sa vychádza z gramu, teda ne z jednotky I klogramu). Predpona sa spája s názvom jednotky do jedného slova, bez spojovníka (tab.1.4a, b). 7
B. Vedľajše jednotky Okrem uvedených jednotek I sa trvalo povoľujú používať vedľajše merace jednotky. V bežnej prax de zvyčajne o vedľajše merace jednotky, ktoré sa uvádzajú v tabuľke 1.5. 1. Základné konštrukčné pojmy Konštrukca č konštrukčný systém sa spravdla skladá z nosných a nenosných konštrukčných častí. Nosné konštrukčné čast sú určené na prenášane taže ných, spravdla vyšše položených častí konštrukce a ného zaťažena, pre ktoré sa navrhujú. Porušene alebo odstránene týchto častí má za následok ohrozene celej konštrukce, porušene stablty. Nenosné konštrukčné čast sú také, ktoré s vyžadujú určté druhy konštrukcí pre vlastnú prevádzku (vozovka na moste, podlaha na strope, ochranný alebo krycí plech pr strojoch ap.). Základné konštrukčné prvky majú podľa svojho tvaru a podľa spôsobu pôsobena zaťažena rôzne názvy (prút, trám, stĺp, doska, stena, hradeľ, páka ap.). Podľa tvaru konštrukčných prvkov a ch rozmerov sa nosné prvky rozdeľujú na dve skupny: 1. Prútové konštrukčné prvky (prút, trám, nosník, stĺp, páka, hradeľ ap.). Plošné konštrukčné prvky (doska, stena, škrupna ap.) Prútové konštrukčné prvky. Prút je konštrukčný prvok, ktorého jeden rozmer (zvyčajne dĺžka, resp. výška) značne prevláda nad ďalším prerezovým rozmerm. Ak zaťažene pôsobí na pozdĺžnu os prúta kolmo, de o prút namáhaný na ohyb. Pre takéto prúty sa používa názov trám alebo nosník. Ak zaťažene, resp. jeho výslednca pôsobí v os prúta a prevažne kolmo na prerez, de o namáhane tlakom. Takýto konštrukčný prvok sa označuje termínom stĺp. Prút vznkne, keď sa ťažsko uzavretého rovnného obrazca pohybuje po čare tak, že stále zostáva v jej normálovej rovne. Ide o tzv. lneárny konštrukčný útvar. Radaca čara (spojnca ťažísk prečnych prerezov) je strednca prúta. V prax je to najčastejše rovnná prama úsečka, lomená alebo krvá čara. Podľa toho sú prúty a nosníky prame, lomené alebo krvé (oblúkové). trednca prameho prúta je os prúta, pr plošných konštrukcách strednca. Plošné konštrukčné prvky. ú to konštrukčné prvky, pr ktorých jeden z rozmerov (zvyčajne hrúbka) je oveľa menší ako ďalše dva (šírka, dĺžka, resp. výška). Ak zaťažene pôsobí kolmo alebo škmo na stredncovú plochu, de o dosku, ak pôsobí po stredncovej ploche alebo rovnobežne s ňou, de o stenu. 8
Nosný systém, ktorý pozostáva z jednotlvých prútov spojených medz sebou tak, že je schopný prenášať zaťažene, sa nazýva prútová sústava. V nektorých prípadoch technckej mechanky sa často hovorí naraz o všetkých typoch konštrukcí. Vtedy sa použje spoločný termín teleso. Každé teleso s možno predstavť ako sústavu hmotných častíc, tzv. hmotných bodov. Mechanzmus je umelo vytvorená sústava navzájom vazaných hmotných bodov, ktorá má vykonávať predpísaný pohyb. Tvary a schématcké označena vo výpočtoch uvedených základných nosných prvkov sa uvádzajú na obr.1.1. Tvar a schematcké označene nektorých nosných prvkov: a - prút b - doska c - stena d - oblúk e - lomená konštrukca f - prútová (prehradová) konštrukca g - mechanzmus Obr. 1.1 1.3 tatcký výpočet a výpočtové predpoklady Požadovaná pevnosť, tuhosť a stablta konštrukce (so zreteľom na hospodárnosť) sa musí preukázať statckým výpočtom. To znamená, že zo zvoleného materálu a pr predpokladanom zaťažení sa musa určť dmenze (rozmery) konštrukce tak, aby sa v žadnom prereze neprekročla dovolená medza namáhana, ale zároveň tak, aby skutočné namáhane prvku nebolo hlboko pod dovoleným, t.j. aby konštrukca nebola zbytočne predmenzovaná. Okrem toho pretvorene (deformáca) konštrukce nesme prekročť dovolené medze a konštrukca ako celok jednotlvé jej čast musa byť stablné. 9
úborné spracovane všetkých uvedených požadavek na konkrétnu konštrukcu sa vyjadruje termínom statcký výpočet. Pr výpočtoch konštrukčných prvkov a konštrukcí sa reša teto základné úlohy: 1. Návrh konštrukce. Na základe nektorých známych rozmerov konštrukce (napr. vzdalenosť podper, výška, dĺžka konštrukčného prvku ap.) a na základe predpokladaného zaťažena treba najskôr určť vnútorné (prerezové) sly vznkajúce v ľubovoľne zvolenom prereze konštrukce a potom podľa zásad náuky o pružnost a pevnost určť ostatné rozmery pr súčasnom hospodárnom využtí konštrukčného materálu tak, aby konštrukca bezpečne odolávala prevádzkovému zaťaženu.. Posúdene konštrukce. Ak je konštrukca určená všetkým rozmerm, posúdením sa zsťuje, č je schopná bezpečne odolávať predpokladanému (prevádzkovému) zaťaženu. 3. Určene únosnost. Pr konštrukcách, ktorých všetky rozmery sú známe, de o zstene zaťažena, ktoré môže konštrukca pr danej mere bezpečnost ešte bezpečne unesť. 4. Výpočet deformáce konštrukce. Určujú sa zmeny tvaru spôsobené zaťažením a ným vonkajším vplyvm (napr. prehyb, skrátene, príp. predĺžene prúta, stlačene ap.). Ceľom výpočtu je optmálne navrhnúť konštrukcu tak, aby bezpečne prenesla statcké dynamcké zaťažene a spĺňala všetky súčasné krtérá hospodárnost. tatcký výpočet možno zhrnúť do týchto základných častí: Zstene účnkov zaťažena pôsobaceho na danú konštrukčnú časť. Pr stanovení zaťažena konštrukcí sa postupuje vždy od podporných častí k podoperajúcm častam. Zo zaťažena sa odvoda vonkajše sly a ch účnky (ohybové momenty, prečne a normálové sly, osové sly ap.). Určene rozmerov jednotlvých konštrukčných prvkov. Podľa najväčších účnkov vonkajších síl sa navrhnú rozmery vyrábaných nosných častí a to vždy so zreteľom na rozmery používané v technckej prax. Ide teda o dmenzovane nosnej konštrukce, t.j. určene jej tvaru a jej rozmerov. Kvalta potrebného materálu sa volí tak, aby konštrukca pr pôsobení predpokladaného zaťažena mala vo všetkých častach potrebnú bezpečnosť a tuhosť, aby vyhovovala zamýšľanému účelu a aby bola hospodárna. Posúdene konštrukce z hľadska bezpečnost a tuhost. Pr statckom výpočte treba rešpektovať predpsy a normy pre príslušnú konštrukcu. Výpočet sa môže vypracovať 10
analytcky alebo grafcky. Na jeho uľahčene sa používajú osvedčené pomôcky (tabuľky, dagramy, výpočtová technka ap.). tatcký výpočet má čo najlepše vysthnúť skutočné statcké pomery konštrukce. Musí sa prhladať na spôsob a postup vyhotovena konštrukce, na jej funkcu a vplyvy, ktoré na ňu pôsoba, alebo na ňu bežne môžu pôsobť v rôznych štádách jej vznku po celý čas jej používana. Pr skúmaní prírodných javov a objektov je nevyhnutné vždy dealzovať, t.j. brať do úvahy všetko, čo je pre podstatu skúmaného javu na určtej úrovn dôležté alebo menej dôležté. Vlastnost, ktoré ne sú dôležté, sa zanedbávajú. Idealzácou je napr. pojem dokonale tuhé teleso, ktoré sa nedeformuje, t.j. pr pôsobení extrémnych síl nemení tvar an veľkosť. Iná dealzáca je pojem hmotný bod. Hmotný bod je bezrozmerný bod, ktorému sa prsudzuje hmotnosť určtej veľkost. Tuhé teleso, hmotný bod, resp. systém hmotných bodov sa zahŕňa pod pojem hmotný objekt. kutočné konštrukce však ne sú dokonale tuhé. ú poddajné a pr ch skúmaní treba prhladať k pretvorenu (deformác) konštrukce. Idealzáca konštrukce je vždy prvým, veľm dôležtým krokom pr príprave statckého výpočtu. Idealzácou nosnej konštrukce sa vytvára tzv. statcký model nosnej konštrukce. tatcký výpočet, ktorý tvorí súčasť návrhu konštrukce, má byť taký podrobný, aby sa podľa neho mohl vypracovať všetky výkresy konštrukce a jej detaly. V statckom výpočte sa majú uvesť predovšetkým teto údaje: označene konštrukce, ktorej sa výpočet dotýka, zoznam norem a predpsov, podľa ktorých sa výpočet vypracoval, všeobecný pops konštrukce (zo statckého hľadska), doplnený podľa potreby jej schémou a vysvetlením spôsobu označovana alebo číslovana jednotlvých častí, spôsob výroby konštrukce, ak má vplyv na jej dmenzovane, zaťažene, rozhodujúce pre statcký výpočet, navrhované materály, ch druh a akosť, dovolené normové namáhane materálu, dovolené najmenše mery bezpečnost, ktoré sa použl ako základ statckého výpočtu, ak sa odlšujú od hodnôt stanovených v normách a predpsoch, druh a fyzkálno-mechancké vlastnost materálov, 11
presné označena prameňov a úradne uznávaných pomôcok, ktoré sa vo výpočte použl (statcké tabuľky, dagramy, spôsoby rešena, vzorce ap.). tatcký výpočet sa musí vypracovať úplne a zostavť prehľadne, aby sa pramo a bez dodatočných rešení a výpočtov mohol sledovať celkový postup a dosahnuté výsledky sa dal preverť dostupným počítacím pomôckam alebo strojm. Menej bežné grafcké metódy, ktoré sa vo výpočte použl, treba jasne, podrobne a prehľadne opísať. Vzorce je potrebné aspoň pr prvom použtí v statckom výpočte uvesť najskôr vo všeobecnej forme a až potom s dosadeným číselným hodnotam. V statckom výpočte sa má pr jednotlvých velčnách používať všeobecné označene podľa platných norem. Odchýlky od všeobecného označena podľa norem sú dovolené len v osobtne odôvodnených prípadoch. Význam znakov, ktoré sa v normách neuvádzajú, alebo ktoré sa odlšujú od označení podľa norem, treba osobtne vysvetlť, najlepše súborne, na začatku alebo na konc celého výpočtu, resp. jeho jednotlvých častí. Výsledky výpočtu velčín je potrebné uvádzať s označením rozmerov, napr. m (mm), m (mm ), N, kn, knm, MPa, ap. Pr výpočte jednotlvých prvkov konštrukce sa musa uvesť ch statcké schémy, rozmery, zaťažene, musa sa presne označť jednotlvé podpory, styčníky, prúty atď. Podľa potreby sa uvádza aj ops prvku. Označene konštrukčných prvkov v statckom výpočte a v podrobných výkresoch konštrukce má byť jednotné. Pr každom prvku sa uvede aj odkaz na príslušné podrobné výkresy, jednoznačne (spravdla číselne) označené. Všetky konštrukčné kóty, ktoré tvora podklad statckého výpočtu, musa byť zrejmé už z príslušných podrobných výkresov konštrukce alebo z prpojených schématckých náčrtov. Úlohy sa reša prevažne analytcky. Exstujú aj grafcké spôsoby rešena, výhodné svojou názornosťou a ľahšou pochopteľnosťou problému. ú však menej presné ako analytcké metódy. Použjú sa len vtedy, keď je analytcké rešene pracnejše. Analytcké výpočtové metódy sú v súčasnej prax výhodnejše aj preto, že sa pr nch môže použť dostupná výpočtová technka. 1
. tatka tatka je náuka o výpočtoch nosných konštrukcí. Každá nosná konštrukca musí bezpečne prenášať predpokladané zaťažene, nesme sa porušť, an nadobúdať väčše tvarové zmeny a prtom musí byť stablná. tatka sa zaoberá určovaním vnútorných síl nosných konštrukcí vystavených účnkom stáleho alebo pohyblvého zaťažena, príp. účnkom teploty, zmršťovana, poklesu podpôr a dotvarovana. tatka v užšom slova zmysle je náuka, ktorá sa zaoberá podmenkam rovnováhy vonkajších a vnútorných síl pôsobacch na nosné konštrukce nosné prvky. Všetky vety a rovnce v statke sú odvodené z nekoľkých axóm (základných prncípov), ktoré sa matematcky nedokazujú. Axómy statky predstavujú všeobecné formuláce, získané ako výsledok mnohých expermentov a pozorovaní. a) Axóma o rovnováhe dvoch síl (nulový systém) Dve sly môžu byť v rovnováhe vtedy a len vtedy, ak sú rovnako veľké, opačného zmyslu a pôsoba na spoločnej pramke. Z toho vyplýva veta, že účnok sly na tuhé teleso sa nezmení, ak sa jej pôsobsko posune ľubovoľne v smere jej pôsobena. Toto tvrdene dokazuje príklad na obr..1. K danej sle F pôsobacej na tuhé teleso v bode A, možno prpojť dve rovnako veľké sly +F a -F, pôsobace v tom stom smere, ale v pôsobsku B. Prpojené sly, ktoré sú rovnako veľké ako pôvodná sla F, spĺňajú axómu o rovnováhe dvoch síl. Účnok danej sly F sa nezmení, pretože ak sa vplyv síl F a F, ktoré taksto spĺňajú axómu o rovnováhe dvoch síl spočíta, zostane sla +F, ktorá sa rovná Obr..1 pôvodnej sle F, ale pôsobí v bode B. b) Axóma o rovnobežníku síl Dve rôznobežné sly F 1, F pôsobace na teleso v jednom bode M (pôsobsku) možno nahradť jednou výsledncou F pôsobacou v tom stom bode. Jej veľkosť, smer, zmysel (orentácu) určuje uhloprečka slového rovnobežníka, ktorého strany predstavujú veľkost daných síl F 1 a F (obr.. vľavo). Namesto slového rovnobežníka možno zostrojť tzv. zložkový trojuholník (obr.. vpravo), ktorý predstavuje grafcké zobrazene vektorového súčtu. 13
Vektor výslednce má v zložkovom trojuholníku opačný zmysel ako vektory jednotlvých síl. F F (.1) 1 F F F1.1 Pojem sly Obr.. Pojem sly bol vytvorený abstrakcou človeka, ktorý námahou svojch svalov musel prekonať taž a odpor pr premesťovaní teles. la vznká vzájomným pôsobením hmotných teles. Je prejavom hmoty, príčnou zmeny pohybového stavu čo do veľkost a smeru, príčnou deformáce. la je velčna, ktorá charakterzuje prenášane pohybu. Podľa druhého pohybového Newtonovho zákona sa sla defnuje ako vektor F, ktorý je súčnom hmotnost m a vektora zrýchlena a, teda: F ma. (.) Bežným príkladom sly je taž telesa G, t.j. sla, ktorou Zem teleso prťahuje (pôsobením zemskej príťažlvost). Jej veľkosť určuje súčn hmotnost telesa m a gravtačného zrýchlena g: G m. g (.3) la sa vyjadruje rôznym znakm: F (G, N, P, R, T, Q,... ). Jednotkou sly je N (newton) alebo jeho násobky, najčastejše kn (10 3 N), MN (10 6 N). Newton (N) je sla, ktorá dáva voľnému hmotnému bodu s hmotnosťou 1kg zrýchlene 1m.s - (1N = kg.m.s - ). Účnok sly môže byť: a) statcký sly sa navzájom ruša, nevznká pohyb, ale nastáva pretvorene (deformáca) telesa, b) dynamcký sly uvedú teleso do pohybu, prčom pohyb môže byť: 14
posuvný a to buď kladný (+), alebo záporný (-), podľa toho, aká orentáca sa zavede v pravouhlej súradncovej sústave (obr..3), otáčavý, kladný - pravotočvý (+), záporný - ľavotočvý (-). Obr..3 la je vektor a preto na jej úplné (jednoznačné) určene treba poznať štyr charakterstky: 1. pôsobsko mesto, v ktorom sla bezprostredne pôsobí (možno ho ľubovoľne v smere sly posúvať; 1. axóma),. smer t.j. pramka (trajektóra bodu), v ktorej sa sla môže pohybovať, 3. zmysel orentáca smeru na pramke (znamenko +, -, grafcká šípka), 4. veľkosť množstvo slových jednotek. la je smerová č vektorová velčna. Grafcky sa znázorňuje úsečkou vo vhodne zvolenej merke, ktorá sa označuje termínom určovací úsek sly AB (obr..4). Obr..4 15
. tatcký moment sly Pod statckým momentom sly sa rozume jej otáčavý účnok okolo určtého bodu (momentového stredu). Matematcky sa tento účnok sly vyjadruje rovncou: M F. r Nm, knm, MNm (.4) Rovnca sa číta takto: tatcký moment sly M sa rovná súčnu sly F a kolmej vzdalenost (ramena) r od zvoleného momentového stredu. Môže byť kladný alebo záporný (obr..5). Obr..5 Momentová (Vargnonova) veta Ak v rovne pôsobí vac síl (slová sústava), potom výsledný statcký moment jednotlvých síl k spoločnému momentovému stredu sa rovná algebrackému súčtu momentov všetkých síl k tomuto bodu (obr..6). F. r F. r M 1 1 F. r F. r M 1... F. r... M n n n n 1 n 1 M F. r (.5) Rovnce (.5) vyjadrujú momentovú Vargnonovu (Varňon) vetu: tatcký moment výslednce k určtému bodu v rovne sa rovná algebrackému súčtu statckých momentov jednotlvých síl k tomuto bodu. F výsledná sla r rameno výslednej sly F Obr..6 16
.3 Podmenky rovnováhy síl v rovne Ak pôsobí v rovne vac síl ako dve, de o sústavu síl. Podmenky rovnováhy slových sústav možno vyjadrť analytcky alebo grafcky. Analytcké podmenky rovnováhy síl: F F x y M 0 H V 0 0 (.6) Prvé dve podmenky rovnováhy sú súčtové. Keď sú splnené obdve súčtové podmenky rovnováhy, nenastane posun an vo vodorovnom an vo zvslom smere (horzontálne zložky F x alebo H a podobne aj vertkálne zložky F y alebo V sa navzájom ruša). Ak je splnená aj treta podmenka, že súčet momentov k určtému bodu sa musí rovnať nule, otáčane nenastane. Treta podmenka je momentová podmenka rovnováhy. Grafcké podmenky rovnováhy síl: 1. Aby nenastal posun an vo vodorovnom an vo zvslom smere, musí byť zložková čara uzavretá. Táto grafcká podmenka rovnováhy nahrádza dve súčtové analytcké podmenky rovnováhy.. Aby nenastalo otáčane, musí byť výsledncová čara uzavretá. Táto grafcká podmenka nahrádza tretu momentovú podmenku rovnováhy. Dve sústavy síl sú navzájom ekvvalentné (rovnocenné), keď majú pr pôsobení na tuhé teleso rovnaký účnok a keď sa môžu navzájom nahrádzať. Rovnováha nastane vtedy, keď sa obrát zmysel všetkých síl jednej z oboch navzájom ekvvalentných sústav..4 ly pôsobace v rovne skladane síl Podľa toho, ako sly pôsoba v rovne, rozlšujú sa teto charakterstcké prípady: sly pôsobace v jednej pramke, dve sly pôsobace v jednom bode (pôsobsku), ale rôznym smerom, sústava síl pôsobacch v jednom bode (centrálny slový systém), všeobecná slová sústava, rovnobežné sly (dve sly, dvojca síl, sústava síl). Základnou úlohou pre sly pôsobace v rovne je nájsť výsledncu F (R) skladane síl, alebo nájsť zložky výslednce, ak sú známe smery rozklad síl. 17
ly pôsobace v jednej pramke ústavu síl pôsobacch v jednej pramke možno rešť ako sústavu, ktorej všetky sly pôsoba v jednom bode. Výslednca F sústavy síl F 1, F,... F n pôsobacch v jednej pramke sa určí ako ch algebracký súčet: n F F1 F... F n F (.7) Grafcky sa úloha reš pomocou zložkovej čary, v ktorej sa sly prraďujú v ľubovoľnom poradí a to tak, že ku koncu jedného určovaceho úseku jednej sly sa prradí začatok určovaceho úseku ďalšej sly. Takto sa získa grafcký obraz súčtu síl, tzv. zložková čara. Veľkosť výslednce nezávsí od porada skladana jednotlvých určovacích úsekov síl. Určuje ju začatok prvého a konec posledného určovaceho úseku (obr..7). 1 F 1 F F 3 F 1 F F 3 Obr..7 F Dve sly pôsobace v jednom bode Pr grafckom rešení platí axóma o rovnobežníku síl (obr..8). Podľa kosínusovej vety a obr..8b sa analytckým rešením určí veľkosť výslednce: F F 1 F 1. F. F.cos Po zavedení vzťahu: cos 180 cos bude výslednca: F F F. F..cos (.8) 1 1 F mer výslednce (uhy 1, ) sa urča z vyznačených trojuholníkov (obr..8b) pomocou sínusovej vety: F : F 1 sn : sn F z čoho: sn 1.sn 1... F F1 sn.sn F... 18
a) Obr..8 b) Pr analytckom rešení sa môže postupovať aj tak, že sa sla, resp. jednotlvé sly rozloža do vodorovného a zvslého smeru pravouhlej súradncovej sústavy. la F pôsobaca v bode 0 je odklonená od vodorovnej os o uhol. Bodom 0 sa preloží pravouhlá súradncová sústava (os X, Y) a určovací úsek sly premetne do osí X a Y. Tým sa stanova určovace úseky F x a F y (obr..9). Analytcky sa veľkosť jednotlvých zložek určí zo vzťahov: F x F.cos Fy F.sn (.9) Pretože = 90- platí, že cos = sn. Teda: F y F.sn Obr..9 Obr..10 Teto základné vzťahy (.9) sa pr všeobecných slových sústavách aplkujú tak, že jednotlvé sly sa rozloža na vodorovné zložky F x a na zvslé zložky F y. počítaním zložek sa stanova výslednce v jednotlvých osach: F F x y n 1 n 1 F F x y n 1 n 1 F.cos F.sn (.10) 19
Dve sly pôsobace v jednom bode môžeme zložť do výslednce aj so zreteľom na pravouhlú súradncovú sústavu. Vysvetlene: známe sú veľkost síl F 1, F a ch uhly 1,. Treba určť veľkosť výslednce F síl F 1, F a uhol, ktorý výslednca F zvera s osou X. Úloha sa vyreš najskôr grafcky pomocou rovnobežníka síl a premetnutím síl F 1 a F do súradncových osí. Výslednca týchto premetov do os X sa označí ako F x a do os Y ako F y (obr..10). Z vyznačených pravouhlých trojuholníkov M, M x, M (M, M, M y ) vyplývajúce rovnce: F F x y F.cos F F.sn F 1x 1y F F x y F.cos F.cos 1 1 1 1 F.sn F.sn (.11) Veľkosť výslednce: F (.1) F x F y Veľkosť uhla : F y F sn cos x... (.13) F F Podobným spôsobom možno nájsť výsledncu F aj pre vac síl pôsobacch v jednom bode (centrálny slový systém). Z uvedeného rešena vyplýva všeobecná veta: účet premetov síl rovnnej sústavy pôsobacej na jeden bod do ľubovoľného smeru sa rovná premetu výslednce sústavy pôsobacej do toho stého smeru. Podľa súčtu premetov možno teda vyjadrť aj podmenku rovnovážnost alebo nulovost sústavy a vyslovť vetu: Aby rovnná sústava síl pôsobaca v jednom bode bola rovnovážna, treba a stačí, aby sa súčty premetov síl do dvoch rozlčných smerov ležacch v rovne sústavy rovnal nule. Z uvedenej vety vyplývajú dve podmenkové rovnce, ktoré musa platť, ak má byť sústava rovnovážna: n F x F x 0 F y F y 0 (.14) 1 n 1 ústava síl pôsobaca v jednom bode (centrálny slový systém) Ľubovoľný počet síl F 1, F... F n pôsobí v spoločnom pôsobsku M (obr..11). Výslednca F tejto slovej sústavy sa získa buď postupným skladaním vždy dvoch síl pomocou rovnobežníkov síl, alebo sa na tento účel použje osobtne narysovaný slový obrazec. Pre jednoduchosť a prehľadnosť s zvoľme ba tr sly F 1, F, F 3 (obr..11), ktoré pôsoba v bode M. Treba nájsť výsledncu týchto troch síl. 0
a) Obr..11 b) Pomocou rovnobežníka síl najskôr sa zloža sly F 1 a F do výslednce F 1, a táto so slou F 3 doplnením do rovnobežníka síl do výslednce F (obr..11a). Pomocou zložkovej čary v osobtnom obrazc sa vynesú jednotlvé sly (ch určovace úseky) za sebou, v poradí ch ndexov, pr zachovaní smerov a veľkostí síl, prčom začatok určovaceho úseku nasledujúcej sly sa vždy položí na konec určovaceho úseku predchádzajúcej sly. pojnca začatku určovaceho úseku prvej sly s koncom určovaceho úseku poslednej sly je určovacím úsekom výslednce F=13. Tým vznkne mnohouholník, pre ktorý sa používa termín zložkový obrazec alebo slový mnohouholník (obr..11b). ústava síl pôsobaca všeobecne ly, ktoré pôsoba v rovne rôznym smerm (nemajú spoločné pôsobsko), vytvárajú tzv. všeobecnú sústavu síl. Treba zstť, ako sústava pôsobí, č ju možno nahradť ekvvalentne jednou slou, resp. č je sústava rovnovážna. Obr..1 1
Analytcké rešene všeobecnej slovej sústavy možno zhrnúť do nasledujúcch bodov: sly F 1 až F 4 (obr..1) sa pomocou uhlov zorentujú k pravouhlým súradncovým osam X a Y, na ch smeroch sa zvola pôsobská A 1 až A 4 (ak už nevyplývajú z konštrukce), v pôsobskách sa jednotlvé sly rozloža na zložky do smeru os X (vodorovné) a do smeru os Y (zvslé): F x F.cos Fy F.sn vodorovné zložky sa zloža do výslednce F x a zvslé do výslednce F y : F x Fx F y výslednca všetkých síl sa určí podľa rovnce (.1), pôsobsko výslednce. Podľa momentovej vety bude mať výslednca F vzhľadom k začatku súradncovej sústavy súradnce: F y x. F x F x x y F F y. y y (.15) úradnce x, y (sú vynesené na obr..1), sa pretínajú v bode A, ktorým zároveň prechádza výslednca F. Rovnobežné sly Dve rovnobežné sly rôznych veľkostí a rovnakého zmyslu ly F 1, F (obr..13) sa pretínajú v nevlastnom bode (v nekonečne), preto výslednca F prechádzajúca ch presečníkom je s nm rovnobežná a má rovnaký smer a zmysel. Veľkosť výslednce sa rovná súčtu obdvoch síl, čže F=F 1 +F. Poloha výslednce F, t.j. vzdalenost r 1 a r, ak vzdalenosť obdvoch síl je r, sa stanoví výpočtom podľa momentovej vety k bodu na lúč sly F 1 : F. r F r F. r1 F1.0 F. r r1 Podobne: r F. 1 F (.16) Výslednca leží vždy medz slam a vždy blžše k väčšej sle. Vzdalenost výslednce od obdvoch síl sú v obrátenom pomere ch veľkostí, teda: r1 / r F / F1 / r1 F1 / F r (.17)
Obr..13 Obr..14 Dve rovnobežné sly rôznej veľkost, ale opačného zmyslu Podľa obr..14 de o dve sly F 1 a F, ktoré sú rovnobežné, ale opačného zmyslu (F 1 F ). Výslednca F má smer obdvoch síl, zmysel väčšej sly a leží po jej vonkajšej strane. Veľkosť výslednce sa rovná rozdelu obdvoch síl F=F 1 -F. Poloha výslednce sa určí podobne ako v predchádzajúcom prípade podľa momentovej vety, napr. k bodu : F. r F. r1 F1.0 F. r r1 (.18) F Dvojca síl O dvojcu síl de len vtedy, keď v rovne pôsoba dve rovnako veľké a navzájom rovnobežné sly, ktoré majú opačný zmysel (obr..15). Dvojca síl je osobtný prípad dvoch rovnobežných síl opačného zmyslu a charakterzuje sa takto: Dvojca síl nemá spoločné pôsobsko, nemožno ju nahradť jednou výslednou slou nemá výsledncu a tým an posuvný účnok (R=F-F=0). Má ba otáčavý účnok má moment a preto nemôže byť v rovnováhe. Obr..15 Obr..16 3
Dvojca síl spôsobuje určtý slový moment, ktorého veľkosť závsí od veľkost týchto síl a od ch kolmej vzdalenost r, tzv. ramena dvojce. Veľkosť otáčavého účnku dvojce síl je daná momentom M d, ktorý sa rovná súčnu jednej sly a vzdalenost r medz oboma slam: M d F. r (.19) Otáčavý účnok dvojce síl môže byť kladný alebo záporný a nkdy nezávsí od zvoleného momentového stredu. lová dvojca sa v rovne môže ľubovoľne posúvať, na jej veľkost (účnku) sa tým nč nemení, to znamená, že jej moment je vzhľadom ku každému bodu rovny rovnaký. Ku zvolenému momentovému stredu je potrebné vypočítať účnok dvojce síl (obr..16). Z momentovej vety k bodu : r1 r F r M d F. r1 F. r F.. (.0) Vaceré slové dvojce možno nahradť jednou výslednou dvojcou, ktorej veľkosť sa rovná algebrackému súčtu momentov jednotlvých dvojíc, t.j.: M d n 1 n F. r M (.1) 1 d Vlastnost slových dvojíc sa môžu zhrnúť takto: Dvojca síl je určená: rovnou, prčom nezáleží na jej polohe v rovne a taksto an na polohe momentového stredu, veľkosťou, ktorá je daná momentom M d, zmyslom, prčom za kladný sa považuje pravotočvý smer pohybu. lová dvojca sa môže v jej rovne ľubovoľne posunúť, pootočť, redukovať (t.j. dvojca s momentom M d =F.r nahradť dvojcou s rovnako veľkým momentom M d ). Nekoľko dvojíc v tej stej rovne možno nahradť dvojcou, ktorej moment sa rovná algebrackému súčtu momentov jednotlvých dvojíc. Rovnováha nastane vtedy, keď algebracký súčet momentov všetkých dvojíc sa bude rovnať nule. ústava rovnobežných síl Je to sústava síl, ktoré pôsoba na teleso v jednej rovne v rovnobežných lúčoch, teda nemajú spoločné pôsobsko (spájajú sa v nekonečne). 4
.5 ly pôsobace v rovne rozkladane síl Rozkladane síl predstavuje opak úlohy skladana síl. Pr rozkladaní síl je známa výslednca a zsťuje sa, ktoré a aké veľké zložky ju vytvárajú. Grafcké rešene. Známa výsledná sla F sa rozloží na dve zložky. Vo vhodne zvolenej merke dĺžok sa zakreslí schéma konštrukce. Tým sa zsta smery všetkých síl (výslednce jej zložky), čže schéma vlastne predstavuje hlavný obrazec síl (obr..17a). V merke síl sa zakreslí určovací úsek (obr..17b) sly F a rovnobežkam so smerm 1 a sa doplní na slový rovnobežník, prípadne sa zostrojí slový trojuholník (teda polovca slového rovnobežníka) a to tak, že zo začatku a konca určovaceho úseku sly F sa vedú rovnobežky so smerm 1 a, prčom sa zachováva sled síl v smere hodnovej stupnce. Veľkosť síl 1 a sa zstí odmeraním ch určovacích úsekov v merke síl (obr..17b). a) Obr..17 b) c) Analytcké rešene. V podstate de o rešene trojuholníka (obr..17c). Najskôr sa zo schémy konštrukce vypočíta uhol, napr. tg=h/l. Pomocou uhla sa stanova ostatné uhly v slovom trojuholníku (=90-=, =180--) a pomocou gonometrckých funkcí, najčastejše sínusovej vety, sa vypočítajú hľadané sly. V našom rešení F/sn= 1 /sn a vtedy: 1 F. sn sn sn F. (.) sn Podobne sa môže zstť, akou osovou slou bude namáhané oceľové ťahadlo a drevená vzpera na vyznačenej konštrukc, ak je konštrukca namáhaná slou F (obr..18). 5
Obr..18 Pr grafckom rešení sa vo zvolenej merke vynese určovací úsek sly F. Koncovým bodm tohto úseku sa vedú rovnobežky so smerm hľadaných síl 1,. Získa sa tak slový trojuholník, v ktorom sa odmeraním úsekov zložek 1 a zsta ch veľkost. Ak by bol v konštrukc (obr..18) sly 1 a rovnako veľké a pôsobl rovnakým smerom, ale opačným zmyslom, bola by konštrukca v rovnovážnom stave. Z toho vyplýva, že tr rovnovážne sly sa pretínajú v jednom bode a zložková čara je trojuholník. Toto pravdlo sa využíva pr rozkladaní sly F do dvoch zložek, z ktorých je pr jednej, napr. pr známy aj smer, kým pr druhej 1 ba pôsobsko A (obr..19). Úloha sa reš tak, že sa zstí presečník P známeho smeru zložky so smerom danej výslednej sly F a tak sa určí spoločný bod P pre všetky tr sly. a) Obr..19 b) pojnca AP je hľadaný smer zložky 1. Jej veľkosť sa určí podľa už známych postupov z rovnobežníka síl, alebo z trojuholníka síl (obr..19b). 6
Pr nahrádzaní rovnnej sústavy síl jednou slou a dvojcou síl sa postupuje takto: Známa je výsledná sla F rovnnej slovej sústavy a ľubovoľne zvolený bod M (obr..0a). V bode M budú pôsobť dve sly rovnakého smeru ako sla F, ale opačných zmyslov (+F, -F), čže zavede sa nulový slový systém. Pr pôsobení všetkých troch síl sa v podstate sla F nahradla slou F pôsobacou v hmotnom bode M a dvojcou síl F a F s momentom M=F.r (obr..0b). Na základe uvedeného možno uvesť všeobecnú vetu: Každá sla v rovne sa môže nahradť jednou slou a dvojcou síl. a) Obr..0 b).6 Podoprene nosných konštrukcí - výpočet reakcí v podperách Ak vonkajše zaťažene konštrukce ne je v rovnováhe, spôsobí jej pohyb. Tomuto pohybu možno zabránť podopretím konštrukce. Teleso (konštrukca) sa v rovne môže premesťovať trom základným spôsobm: posunom vo vodorovnom smere, posunom vo zvslom smere, otáčaním okolo zvoleného bodu. Teleso má v rovne tr stupne voľnost. Podopretím telesa (konštrukce) v nektorom bode možno znemožnť určtý druh jeho premestňovana alebo zabránť aj všetkým trom uvedeným možnostam pohybu telesa (konštrukce). V mestach podopreta nosnej konštrukce sa prenášajú sly medz ňou a podporou. Nosná konštrukca prenáša do každej podpory určtú časť svojho zaťažena slu, ktorá sa nazýva akca. Podpora pôsobí na konštrukcu výslednou slou, ktorá sa nazýva reakca. Akca a reakca sú rovnako veľké, ale opačného smeru, teda sú v rovnovážnom stave. Podrobným popsom rovnného podopreta telesa (v aplkác na nosníky) a výpočtom reakcí v podporách sa zaoberá kaptola 1.1 Vonkajše statcké účnky na nosníku. 7
.7 tatcky určté prútové sústavy Najčastejše de o strešné, mostové, žeravové a m podobné nosné konštrukce. Prútové sústavy pozostávajú z prútov (1,, 3...), ktoré važu body A, B, C... medz sebou. Body A, B, C... v ktorých sa prúty stýkajú, sú styčníky (uzly). Podľa počtu prútov stýkajúcch sa v uzle sa rozlšujú dvojté uzly, trojté uzly atď. pojene jednotlvých prútov v uzle (styčníku) môže byť podľa konštrukčného materálu svorníkové, klncové, ntové, lepené, zvárané a. pojene prútov sa predpokladá kĺbové, centrcké a bez trena. Os prútov, ktoré sa pretínajú v príslušných uzloch, tvora geometrcký obrazec, tzv. osový mnohostran. pojením nekoľkých styčníkov ležacch na spoločnej pramke alebo oblúku prútm vznkne tzv. pás. Podľa polohy môže byť pás horný a spodný. Prúty medz pásm sú výplňové (medzpásové) a sú buď zvslé (zvslce), alebo škmé (dagonály). Bežne používané prútové sústavy sa teda skladajú z pásov a medzpásových prútov. Prútové sústavy z dvoch pásov a medzpásových prútov sa nazývajú aj prehradové konštrukce (nosníky). Názvy jednotlvých častí prútovej sústavy, ako aj označena styčníkov a jednotlvých osí prútov sú na obrázku.1. a) Obr..1 b) Prútové sústavy: a) 1-horný pás, -dolný pás, 3-zvslé prúty, 4-škmé prúty, 5-styčníky (uzly), 6-prehrada, b) 1,, 3... označene jednotlvých prútov, A, B, C... styčníky (uzly). Pásy prehradového nosníka sú buď prame, alebo lomené. Podľa toho sa rozlšujú prehradové nosníky pramopásové, parabolcké atď. (obr.. Príklady prútových sústav). Ako nosné konštrukce prenášajú prútové sústavy zaťažene vyplývajúce z ch vlastnej taže a užtočné (náhodné) zaťažene, t.j. zaťažene snehom, vetrom, ľuďm, vozdlam ap. Zaťažene, okrem vlastnej taže, sa považuje za známe. Ak pôsobí v os mnohostranu a len v styčných bodoch (tzv. styčné zaťažene), vyvolá v jednotlvých prútoch vnútorné sly, tzv. osové sly. Osová sla je v celom prúte konštantná a jej účnok je buď tlakový (tlak; (-)), 8
ak pôsobí do styčného bodu, alebo ťahový (ťah; (+)), ak pôsobí od styčného bodu. mer pôsobena osovej sly sa vyznačuje šípkou. Obr.. Na hospodárne určene rozmerov prútov sústavy je potrebné zstť veľkosť sly, ktorá pôsobí v ľubovoľnom prúte konštrukce, čže zstť tzv. osové sly pôsobace v jednotlvých prútoch sústavy. Prútové sústavy sú nosné konštrukce, ktoré prenášajú zaťažene do podpôr. Podpory reagujú opačným slam, reakcam, ktoré sú v rovnováhe so zaťažením: jedna podpora býva spravdla pevná, druhá posuvná. Pr tomto spôsobe uložena sa prútová sústava správa voč vonkajšemu zaťaženu ako jednoduchý nosník, čo znamená, že reakce možno určť z troch základných podmenok rovnováhy síl. 9
.8 Rešene prútových sústav Pr rešení prútových sústav sa predpokladá splnene týchto podmenok: 1. Kĺbové spojene prútov v styčníkoch (bez trena).. Centrcké spojene prútov v styčníkoch. Os prútov sa pretínajú v jednom bode. 3. Zaťažene sa prenáša len do styčníkov. 4. Podoprete predpokladáme v dvoch styčníkoch (jedna podpora pevná, druhá posuvná). Ak na prútovú sústavu pôsobí zaťažene len v uzloch, vyvolá v jednotlvých prútoch vnútorné tlakové alebo ťahové sly. Za predpokladu, že sa zo sústavy odstrána všetky prúty, prčom každý prút (jeho účnok) sa nahradí dvoma rovnako veľkým slam, ale opačného smeru, získa sa slová sústava so smerm totožným so stranam osového mnohostranu. Ak sa uvolna aj obe podpory a ch účnok sa nahradí príslušným zložkam reakcí (obr..1b), nájde sa toľko slových sústav pôsobacch v jednom bode (centrálne slové systémy), koľko je uzlov (styčníkov). Pr počte uzlov bude podmenok rovnováhy, pretože v každom uzle plata súčtové podmenky rovnováhy. Rovnováha musí byť nelen v styčnom (uzlovom) bode, ale aj celá prútová sústava musí byť v rovnováhe. To znamená, že v rovnováhe musí byť zaťažene (prmárne sly) s vyvolaným reakcam (sekundárne sly) rovnováha vonkajších síl. Vyplýva to aj z toho, že dve rovnaké sly opačného zmyslu nahradzujúce prút sa navzájom ruša (nulový systém síl). Pre vonkajše sly (zaťažene a reakce) plata 3 podmenky rovnováhy. Prútová sústava je statcky určtá, keď možno všetky neznáme osové sly, ktorých je, aj zložky reakcí, ktorých je, určť z podmenok rovnováhy. Musí teda platť vzťah:. (.3) ústavu možno rešť len vtedy, keď počet podmenkových rovníc sa rovná počtu neznámych osových síl a počtu zložek reakcí. ústavy, pr ktorých je táto podmenka splnená, sú statcky určté. Ak:. (.4) je sústava statcky neurčtá (tvarovo je preurčtá má aj prebytočné prúty). Zo vzťahu pre statckú určtosť sústavy vyplýva potrebný počet prútov:. (.5) Ak má sústava jeden podporný bod pevný a druhý posuvný, počet zložek reakcí =+1=3 a rovnca (.5) má tvar =.-3. 30
Postup rešena: 1. Určí sa geometrcký tvar prútovej konštrukce (vypočítajú sa dĺžky jednotlvých prútov a uhly medz nm). Príklady prútových sústav sú na obr.... Určí sa druh a veľkosť zaťažena. Osamelé sly v styčníkoch, zaťažene snehom, vetrom alebo ch kombnáce. 3. Vypočítajú sa podporové reakce podľa kap.1.1. 4. tanova sa veľkost osových síl v jednotlvých prútoch podľa nasledujúceho postupu: V praktckých výpočtoch sa najčastejše používa metóda styčných bodov. Každý styčník (uzol) sa považuje za centrálny slový systém, v ktorom môžu pôsobť vonkajše sly F a osové sly (obr..3). Obr..3 V každom styčníku sa zavede pravouhlý súradncový systém a od jeho vodorovnej os sa vyznača smerové uhly k jednotlvým slám. Predpokladá sa, že neznáme osové sly sú ťahové (+), teda pôsoba od styčníka. V každom uzle sú vonkajše sly F a osové sly v rovnováhe. Neznáme osové sly a zložky reakcí sa urča zo súčtových podmenok rovnováhy, uvedených pre všetky styčné body. ymbolm a sa označa osové sly prútov a ch smerové uhly, symbolm F a vonkajše sly a ch smerové uhly v ľubovoľnom styčnom bode M (obr..3). Ak sa všetky sly pôsobace napr. v styčníku M rozloža na zložky v smere osí X a Y, potom: F x x.cos F.cos F y y.sn F.sn (.6) 31
Ak sly v styčníku M majú byť v rovnováhe, musí sa súčet ch zložek v smere os X a v smere os Y rovnať nule:.cos F.cos 0.sn F.sn 0 (.7) Rešením týchto dvoch rovníc sa vypočítajú dve neznáme osové sly. Znamenko bude buď kladné (+), teda podľa predpokladu, alebo záporné (-) a potom sa v prúte tlak aj smer (šípka) musa zmenť smerom do styčníka. Metóda styčných bodov sa môže aplkovať ba v tom styčníku, v ktorom sú maxmálne dve neznáme osové sly, lebo de o dve súčtové podmenky rovnováhy. Potom sa postúp do ďalšeho uzlového bodu, v ktorom sú opäť najvac dve neznáme osové sly. Príklad.1 Rešte metódou styčných bodov osové sly v prútoch strešného väzníka podľa obr..4a. Rešene: tatcká určtosť väzníka podľa rovnce (.3) je.=+,.7=11+3, teda 14=14, to znamená, že väzník je statcky určtý. Označene uzlov a číslovane prútov je na obr..5. Podporové reakce pr symetrcky rozloženom zaťažení možno vypočítať zo súčtovej podmenky rovnováhy V=0: F.30.60 RA RB FA FB 90kN Výpočet osových síl: Do rovníc sa dosadzujú sly v absolútnych hodnotách. Pr zostavovaní rovníc sa rešpektuje orentáca známych síl podľa zavedených šípok a len pr neznámych osových slách sa predpokladá vždy najprv ťah (pôsobene od styčníka). Ak vyjde opačné znamenko, orentáca sly (šípky) sa zmení. Uzol C (obr..4b): F 4 V 0 1 7 H 0 4 0.cos 0 7 4 F 0 1 30kN Uzol A (obr..4c): 10 V 7 0 R A 10 7 R sn 33.sn A 10 0 30 90 0,545 10 110,10kN 3
1 1 H 0 10 10.cos 10.cos33 0 110,10.0,839 1 9,37kN Obr..4 33
34 Uzol D (obr..4d): kn F F V kn H 30,89 60 97,44.0,317 110,10.0,545 30.sn18.sn 33 0.sn.sn 0 97,44 0,948 110,10.0,839 30 cos18.cos33 0.cos.cos 0 5 10 8 8 8 5 5 10 10 10 5 5 5 5 10 10 Uzol F (obr..4e): kn H kn V 187,44 99,37.0,951 9,37.cos 0.cos 0 99,97 0,309 30,89 sn18 0.sn 0 11 11 1 11 11 1 8 11 11 11 11 8 Uzol G (obr..4f): kn H V 187,44 0 0 0 0 3 3 9 Obr..5
.9 Príklady zo statky 1.) Betónový stĺp kruhového prerezu je uložený na kváder a zaťažený slou F = 0 kn podľa obr..6. Určte tlačnú slu R pôsobacu na základ a reakcu podložky N, ak objemová hmotnosť betónu = 300 kg.m -3, d = 600 mm, a = 800 mm, l 1 = m, l = 0,5 m. Obr..6 Obr..7 Obr..8.) K stožaru lanovky o výške h je prpojené lano AB, ktoré je v bode B, vo vzdalenost l od os stožaru prpevnené k zem. V bode A pôsoba na stožar ešte dve laná, ležace v rovne ABC, obr..7. ly v lanách sú N 1 a N. Vypočítajte, aká veľká sla musí vznknúť v lane AB, aby výslednca R pôsobaca na stožar bola zvslá. Dané: N 1 = 10 kn, N = 0 kn, l = 6 m, h = 8 m, α = 5, β = 40. 3.) K stožaru sú prpevnené dve laná v jednej rovne. Lano 1 zvera s vodorovnou rovnou uhol α = 0, lano uhol β = 35. ly v lanách sú N 1 = 50 kn a N = 70 kn. Určte veľkosť a smer výslednej sly R zo síl N 1 a N, pôsobacej na stožar (obr..8). 4.) Na hladkej naklonenej rovne, ktorá zvera s vodorovným smerom uhol γ = 40, sa nachádza guľa taže G = 30 kn. V rovnováhe je udržavaná pomocou lana, ktoré je prpevnené k stene v meste B (obr..9). Určte veľkost väzbových reakcí ak β = 60. 5.) Tr prúty konštrukce podľa obr..30, ktoré sú prpevnené na kovovú dosku tak, že ch os sa pretínajú v jednom bode, prenášajú sly F 1 = 30 kn, F = 33 kn a F 3 = 30 kn. Zstte veľkosť a smer výslednce R pôsobacej na ťahadlo. 35
Obr..9 Obr..30 6.) Tyč AB je otočne uložená v kĺbe A a v bode B je držaná lanom, ktoré je prevlečené cez kladku zanedbateľných rozmerov a zaťažené slou F (obr..31). Tyč je zaťažená bremenom taže G = 30 N. Vypočítajte slu F a osovú slu v tyč N AB pr rovnováhe v danej polohe. Hmotnosť tyče zanedbajte. Dané: α = 0, β = 45. Obr..31 Obr..3 7.) Teleso AB upevnené dvoma prútm a posuvným lôžkom je zaťažené slou F = 300 N (obr..3). Určte reakce vo všetkých väzbách, ak a = 1 m, α = 45, β = 60. 8.) Žerav dvíha bremeno taže G = 500 N. Vypočítajte reakce vo väzbách pr troch druhoch vonkajších väzeb podľa obr..33, ak l = 1,8 m, h =,4 m, α = 60. 9.) Teleso AB daných rozmerov je zaťažené slam F 1 = 00 N, F = 00 N, F 3 = 400 N podľa obr..34. Teleso je upevnené k rámu kĺbom A a posuvným lôžkom B. Vypočítajte reakce vo väzbách. 36
Obr..33 10.) Určte reakce vo väzbách A a B, ak teleso znázornené na obr..35 je zaťažené vodorovnou slou veľkost F = 4 kn, momentom M = kn.m, rovnomerným spojtým zaťažením o ntenzte q = 3 kn/m a trojuholníkovým o ntenzte q 0 = kn/m. Obr..34 Obr..35 11.) Teleso znázornené na obr..36, dĺžky 6a je zaťažené slam F 1 = 00 N, F = 500 N a spojtým zaťažením o ntenzte q = 500 N/m. Zstte, č musí vznknúť pr danom zaťažení horzontálna zložka reakce A? Vypočítajte reakce v meste A a B, ak a = 1 m. Obr..36 Obr..37 37
1.) Na obr..37 je znázornený zalomený nosník, zaťažený osamelým slam F 1 = 600 N, F = 100 N a rovnomerným spojtým zaťažením o ntenzte q = 100 N/m. Zstte reakce vo väzbách A a B, keď a = 1 m. 13.) Rovnný rámový nosník, znázornený na obr..38, je tvorený časťam AC = h = 3 m a BC = 3a, a = 1 m. Na časť AC pôsobí rovnomerné spojté zaťažene q = 30 N/m a na časť BC pôsobí sústava dvoch rovnobežných síl F 1 = 0 N a F = 40 N. Určte reakce A a B. Obr..38 Obr..39 14.) Na pravouhlo zalomený rámový nosník AB pôsobí sústava dvoch osamelých síl F 1, F a spojté zaťažene rovnomerné a trojuholníkové podľa obr..39. Určte horzontálnu a vertkálnu zložku reakce A, ak F 1 = 600 N, F = 100 N, q 0 = 100 N/m, a = 1 m. 15.) Nosník dĺžky 4a upevnený kĺbom A a posuvným lôžkom B je zaťažený slou F 1 = 600 N, pôsobacou pod uhlom α = 60, zvslou slou F = 900 N a spojtým zaťažením trojuholníkovým o ntenzte q 0 = 50 N/cm (obr..40). Zstte, č kĺb A je možné nahradť posuvným lôžkom, ak áno, aká veľká je reakca v bode B. Obr..40 Obr..41 38
16.) Rovnná sústava teles znázornená na obr..41 je zaťažená zvslou slou F = 600 N. Vypočítajte reakce vo všetkých väzbách, ak a = 1,5 m, b = 0,75 m, c = 0,5 m. Obr..4 Obr..43 17.) Nosník AB je v meste A prpevnený kĺbom k zvslej stene (obr..4). Vo vodorovnej polohe je držaný prútm CD, DH a DE, prčom prút DH je vo vodorovnej polohe a prút DE v zvslej polohe. Určte osovú slu N DE v prúte DE, ak je nosník zaťažený slou F = kn a momentom M = 4 kn.m, prčom a = 3 m, b = 6 m, α = 30. Vlastnú taž nosníka zanedbajte. 18.) Rovnná sústava teles znázornená na obr..43 je zaťažená slou F = 400 N. Zstte, aké reakce vyvodí dané zaťažene v jednotlvých väzbách, ak a = m, b = 1 m. 19.) Jednoduchá vzpera znázornená na obr..44 je tvorená rovnnou prútovou sústavou, pozostávajúcou z patch prútov a je zaťažená zvslou slou F = 5000 N. Určte reakce vo väzbách A a B, ako aj osové sly v jednotlvých prútoch, ak l = 4 m, h = 3 m. Obr..44 Obr..45 0.) Jednoduchá rovnná prútová sústava podľa obr..45 je vazaná k základu kĺbom A a posuvným lôžkom B a je zaťažená slam F 1 = 500 N, F = 400 N. Určte vonkajše väzbové reakce a osové sly vo všetkých prútoch, ak a = 1 m, α = 30. 39