Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I

Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I

Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I 007

c RNDr Rudolf Blaško, PhD, 007 beerb@frcatelfriunizask

Obsah Základné pojm 3 Logika 3 Výrazavýrok 3 Logickéoperácie 3 3 Výrokovéform 4 4 Niektorédôležitétautológie 5 5 Kvantifikátor 5 Cvičenia 6 Základnéprvkmatematickejteórie 8 Priamdôkaz 8 Nepriamdôkaz 8 3 Dôkazmatematickouindukciou 9 4 Poznámkakdôkazom 0 5 Sumačnáasúčinovásmbolika Cvičenia 3 Množin 3 3 Množinaapodmnožina 3 3 Operáciesmnožinami 4 33 Zobrazeniemnožín 5 34 Mohutnosťmnožín 8 Cvičenia 9 Reálne čísla 3 Algebraickévlastnostireálnchčísel 3 Úvodnépoznámk 3 Aiómreálnchčísel 3 3 Dôsledkaiómreálnchčísel 4 Cvičenia 30 Topologickéametrickévlastnostireálnchčísel 3 Okoliebodu 3 Otvorenéauzavretémnožin 33 3 Metrickévlastnostičísel 35 Cvičenia 37 3 Postupnostireálnchčísel 37 3 Základnépojm 37 3 Limitapostupnosti 38 33 Prehľadzákladnýchtvrdení 40 Cvičenia 47 4 Číselnérad 49 4 Základnépojm 49 4 Vlastnostikonvergentnýchradov 53 43 Číselnéradsnezápornýmičlenmi 55 44 Absolútna,relatívnakonvergenciaaalternujúcerad 60 45 Prerovnanieradovaradspredpísanýmsúčtom 63

MAI S 46 Súčinčíselnýchradov 66 Cvičenia 68 3 Reálne funkcie reálnej premennej 73 3 Reálnefunkcie 73 3 Základnévlastnostifunkcií 76 3 Operáciesfunkciami 8 33 Elementárnefunkcie 84 Cvičenia 9 3 Limitafunkcie 94 3 Základnévlastnosti 95 3 Limitavzhľadomnamnožinuajednostrannélimit 00 33 Asmptotickévlastnosti 0 34 Riešenépríklad 03 Cvičenia 07 33 Spojitosťfunkcie 09 33 Spojitosťfunkcievbode 09 33 Spojitosťfunkcienamnožineabodnespojitosti 333 Vlastnostispojitýchfunkciínaintervale 3 Cvičenia 8 4 Diferenciáln počet reálnej funkcie 4 Deriváciareálnejfunkcie 4 Definíciaderiváciefunkcieajejzákladnévlastnosti 4 Jednostrannéderivácieaderivácianamnožine 3 43 Základnévetprevýpočetderivácií 5 44 Derivovanieelementárnchfunkcií 8 Cvičenia 9 4 Diferenciálfunkcieaderivácievššíchrádov 3 4 Diferenciáladiferencovateľnosťfunkcie 3 4 Vužitiediferenciálunapribližnévýpočt 34 43 Derivácievššíchrádov 36 44 Pojemdiferenciáluvššiehorádu 37 Cvičenia 38 43 Aplikáciediferenciálnehopočtu 39 43 Vetostrednejhodnotefunkcie 39 43 L Hospitalovopravidlo 4 433 Neurčitévýraz 45 434 Talorovpolnóm 46 435 Všetrovaniepriebehufunkcie 5 436 Derivácia funkcie zadanej parametrick, implicitne a derivácia funkcie zadanej v polárnch súradniciach 64 Cvičenia 69 Výsledkcvičení 77 Register 8 Literatúra 83 beerb@frcatelfriunizask http://frcatelfriunizask/ beerb/

Kapitola Základné pojm Logika Predmetom skúmania logik sú mšlienk Logika sa zaoberá štúdiom formálnch vlastností mšlienk a stanovuje pravidlá správneho, tj logického usudzovania Preto je potrebné sa oboznámiť so základnými logickými pojmami, ktoré sa používajú v matematike a nielen v matematike Výraz a výrok Na vjadrenie mšlienok používame jazk, ktorý sa skladá z výrazov Výraz je základom prejavu mšlienk, je základnou mšlienkou jazkového prejavu Výraz sú jednoduché alebo zložené, ktoré sa tvoria z jednoduchých pomocou sntaktických pravidiel jazka V živom jazku sú výrazmi slová a vet Na ich označenie sa okrem latinskej(slovenskej) abeced používa tiež abeceda grécka α A alfa a η H éta é ν N ný n τ T tau t β B beta b ϑ Θ théta th ξ Ξ ksí(í) υ Υ psilon γ Γ gama g ι I ióta i o O omikron o ϕ Φ fí f δ delta d κ K kappa k π Π pí p χ X chí ch ε E epsilon e λ Λ lambda l ρ P ró r ψ Ψ psí ps ζ Z dzéta dz µ M mí m σ Σ sigma s ω Ω omega ó Tab : Grécka abeceda V logike sa výraz rozdeľujú na konštant a premenné Konštant sú výraz, ktoré majú nemenný(tj konštantný) význam Premenné sú výraz, ktoré zastupujú konštant Premenné môžeme v prípade potreb nahradiť konštantami(tým sa mslí jednoduchými aj zloženými konštantami) Je zrejmé, že nemá význam dosadzovať všetk konštant, ale iba tie, ktoré dajú danému výrazu zmsel Výrok je výraz, ktorý vjadruje pravdivú alebo nepravdivú mšlienku Výrok delíme na pravdivé a nepravdivé, pričom kritériom pravdivostijezhodasoskutočnosťougramatickjevýrokobčajne(alenievžd)oznamovaciaveta Prevýrokjepodstatné,čimožno o ňom tvrdiť, že je pravdivý alebo nepravdivý Výrok nemôže bť zároveň pravdivý a zároveň nepravdivý Výraz, ktoré obsahujú premenné, nazývame nesamostatné výraz alebo form Ak dosadíme do danej form za všetk premenné konštant z oboru úvah, potom môžeme dostať výrok vted hovoríme o výrokovej forme Výroková forma nie je výrok! Z výrokovej form vznikne výrok dosadením prípustných konštánt za všetk premenné Príklad Výrokovéformsúnapríklad: +3=, Akplatítvrdenie,potomplatítvrdenie Výrokmisúnapríkladvýraz: Pesjedomácezviera, +3=4, Prekaždéreálnečíslo platí 0, Trabantjeauto Logické operácie Ako sme už spomenuli, výrok je výraz, ktorý vjadruje pravdivú alebo nepravdivú mšlienku Preto je vhodné zaviesť pojem pravdivostná, resp logická hodnota výroku Pre pravdivý výrok(tj výrok, ktorý je platný) definujeme pravdivostnú hodnotu pravda a vjadrujeme ju smbolom P Pre nepravdivý výrok(tj neplatný výrok) definujeme pravdivostnú hodnotu nepravda a vjadrujemejusmbolom N Pravdivostnú hodnotu výroku p budeme označovať p Výrokový počet sa zaoberá pravdivostnou hodnotou zložených výrokov, ktoré sú vtvorené z iných výrokov pomocou logických operácií Základné logické operácie sú negácia výroku, konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia výrokov Negácia výroku OdgramatickejvetjenutnéodlišovaťmatematickúvetuJetopravdivývýrokomatematickýchobjektochavzťahochmedzinimi,ktorýjedokázaný (naprbinomickáveta,ptagorovaveta, Tiežsapoužíva, A(áno), T(true), Y (es),resp0, N(nie), F(false), N(no) 3

LOGIKA MAI S Negáciavýroku psatvorívýrazmi niejepravda,že p, niejepravda,žeplatí p,prípadne ne-pnegáciuvýroku poznačujeme p(niekedtiež p,resp p )ačítame nie p, niejepravda,že p, non papodobne Výrok a jeho negácia majú opačné pravdivostné hodnot Ďalej je zrejmé, že negáciou negácie výroku p je pôvodný výrok p,tj(p)=p Konjunkcia výrokov Konjunkciavýrokov paqsatvorípomocouspojk a,označujemeju p q,prípadne p&qačítame paq, pasúčasne q, pkonjunkcia q, konjunkciavýrokov paq, pet qapodobne Konjunkcia dvoch výrokov je pravdivá iba v prípade, ak sú pravdivé obidva výrok Takže na dokázanie nepravdivosti zloženého výroku stačí ukázať nepravdivosť jedného z výrokov(tabuľka ) Poznámka Ak použijeme na označenie pravdivostnej hodnot smbol 0 a, potom pravdivostná hodnota konjunkcie dvoch výrokov sa rovná násobkupravdivostnýchhodnôtjednotlivýchvýrokov,tj =, 0=0,0 =0,0 0=0 Disjunkcia výrokov Disjunkciavýrokov paqsatvorípomocouspojk alebo,označujemeju p q(skratkazlatinskéhovel alebo)ačítame p alebo q, pvel q, disjunkciavýrokov p, qapodobne 3 Disjunkcia je pravdivá, ak je pravdivý aspoň jeden z výrokov(tabuľka ) Implikácia výrokov Implikáciavýrokov paqsatvorívzťahom Ak(platí),potom(platí),označujemeju p qačítame Z pvplýva q, ppotom q, Akplatí p,potomplatí q, pjenutnápodmienkapre q, qjepostačujúcapodmienkapre p Výrok p sa nazýva podmieňujúci(predpoklad) a výrok q sa nazýva podmienený výrok(záver) Implikácia je nepravdivá iba v prípade pravdivého predpokladu a nepravdivého záveru(tabuľka ) Ekvivalencia výrokov Ekvivalenciavýrokov paqsatvorípomocouvzťahu (platí)právevted,ak(platí),označujemeju p qniekedsa tiežoznačuje p q,resp p q Ekvivalenciuvýrokov paqčítame p(platí)právevted,ak(platí) q, pplatívtedalenvted,akplatí q, Z pvplýva qa naopakzqvplýva p, pjenutnápodmienkaasúčasnepostačujúcapodmienkapre qapodobne Ekvivalencia je pravdivá v prípade, že majú obidva výrok(z ktorých je zložená) rovnakú pravdivostnú hodnotu(tabuľka ) Ekvivalenciu p qmôžemenahradiťzloženýmvýrokom(p q) (q p) p q p p p q q p p q q p p q q p p q q p P P N P P P P P P P P P P N N N P P N P N N N P P N N N P P P N N N N N N N N N P P P P Tab : Pravdivostné hodnot zložených výrokov 3 Výrokové form V zásade nemá zmsel hovoriť o pravdivosti alebo nepravdivosti výrokovej form, pretože obsahuje premenné Ale má zmsel uvažovať, pre aké hodnot premenných sa z nej stáva pravdivý, resp nepravdivý výrok Dôležité sú dve výrokové form, ktoré sa nazývajú tautológia a kontraindikácia Tautológia(zákon) je výroková forma, ktorá po nahradení všetkých premenných konštantami dá vžd pravdivý výrok To znamená, že ak použijeme prípustné konštant s ľubovoľnými pravdivostnými hodnotami, dostaneme pravdivý výrok Kontraindikácia(spor) je výroková forma, ktorá po nahradení všetkých premenných konštantami dá vžd nepravdivý výrok Pravdivostné hodnot výrokov najčastejšie zisťujeme pomocou tabuľkovej alebo deduktívnej metód, prípadne tieto metód kombinujeme Tabuľková metóda na zisťovanie pravdivostných hodnôt Zapíšeme danú výrokovú formu a jednotlivé premenné, z ktorých je zložená, do tabuľk pravdivostných hodnôt Najprv ohodnotíme pravdivostnými hodnotami jednotlivé premenné a potom určíme príslušné pravdivostné hodnot výrokovej form(tabuľka 3) Deduktívna metóda na zisťovanie pravdivostných hodnôt 3 Vliteratúresamôžemestretnúťajsnázvomalternatíva beerb@frcatelfriunizask 4 http://frcatelfriunizask/ beerb/

LOGIKA MAI S p q p q q p p q (p q) (q p) [p q] [(p q) (q p)] P P P P P P P P N N P N N P N P P N N N P N N P P P P P Tab3:Tautológia[p q] [(p q) (q p)] Nazačiatkuvchádzamezaióm 4 atautológií,ktorýchpravdivosťjedokázanáalebopravdivosťktorýchpoznámepotompomocou pravidiel odvodzovania z nich dedukujeme nové tautológie i) Pravidlo substitúcie: Ak v tautológii T dosadíme za nejakú premenú(na každom mieste, kde sa vsktuje) ľubovoľnú výrokovú formu(nemusí bť tautológia), dostaneme opäť tautológiu ii) Pravidlá odlúčenia(modus ponens a tollens): Modus ponens(hpoteticko kategorický kladný úsudok): Nech p qjepravdiváimplikáciaakjepravdivé p,potomjepravdivéaj q Modus tollens(hpoteticko kategorický záporný úsudok): Nech p qjepravdiváimplikáciaakjenepravdivé q,potomjenepravdivéaj p Platnosť pravidiel odlúčenia vplýva z tabuľk Ukážeme platnosť modusu ponens(modus tollens sa ukáže analogick) Predpoklad pjepravdivýzáver qjebuďpravdivýaimplikácia p qjetiežpravdivá,alebozáver qjenepravdivýaimplikácia p q je nepravdivá Lenže druhá možnosť nemôže nastať, pretože predpokladáme platnosť implikácie p q 4 Niektoré dôležité tautológie Zákondvojitejnegácie: p p Výrok a negácia jeho negácie majú rovnakú pravdivostnú hodnotu Zákonvlúčeniatretieho: p p Buď platí výrok alebo jeho negácia Zákonsporu: p p Výrok nemôže bť pravdivý a zároveň nepravdivý, tj nikd neplatí p p demorganovezákon: p q (p q), resp p q (p q) Pritvorenínegáciekonjunkcie,respdisjunkciesamení ana alebo,resp alebona aanegujúsajednotlivévýrok Zákonhpotetickéhoslogizmu: [(p q) (q r)] (p r) Je obdobou tranzitívneho zákona Zákontranspozície: (p q) (q p) Implikácia p q a obrátená implikácia q p majú rovnakú pravdivostnú hodnotu(schéma nepriameho dôkazu) Komutatívnezákon: (p q) (q p), (p q) (q p) Asociatívnezákon: [(p q) r] [p (q r)], [(p q) r] [p (q r)] Prejednoduchosťzátvorkvnechávame,tjpíšeme p q r,resp p q r Distributívnezákon: p (q r) [(p q) (p r)], p (q r) [(p q) (p r)] Ekvivalenciaaimplikácie:[p q] [(p q) (q p)] Negáciaimplikácie: p q (p q) Táto tautológia sa najčastejšie vužíva pri dôkaze sporom(str ) 5 Kvantifikátor V matematike často skúmame, či je nejaký výrok pravdivý všeobecne, tj platný pre všetk prvk z oboru úvah, alebo iba pre niektoré prvk, prípadne iba pre práve jeden prvok Na druhej strane nás nieked zaujíma, či eistuje aspoň jeden prvok, pre ktorý je 4 Aiómajezákladnétvrdenie,oktoromsapredpokladá,žeplatíanedokazujesa beerb@frcatelfriunizask 5 http://frcatelfriunizask/ beerb/

CVIČENIA MAI S tento výrok pravdivý Hovoríme, že výrok kvantifikujeme Všeobecný kvantifikátor Ak danú vlastnosť alebo daný vzťah spĺňajú všetk prvk z oboru úvah, kvantifikujeme daný výrok všeobecným kvantifikátoromoznačujemehosmbolom avjadrujemehoslovami každý, všetk, žiadnapodobne Eistenčný kvantifikátor Ak danú vlastnosť alebo daný vzťah spĺňa aspoň jeden prvok z oboru úvah, kvantifikujeme výrok eistenčným kvantifikátoromoznačujemehosmbolom avjadrujemehoslovami eistuje, jestvuje, niektoré, aspoňjedenapodobne Smbolom! vjadrujeme skutočnosť, že danú vlastnosť alebo daný vzťah spĺňa práve jeden prvok z oboru úvah(tj aspoň jeden a najviac jeden prvok) Označme smbolom F() skutočnosť, že prvok má vlastnosť F Kvantifikácia sa vžd vzťahuje k oboru kvantifikácie, tj k množine premenných prvkov Ak použijeme kvantifikátor, potom viažeme premennú na túto množinu premenných a z výrokovej form F()sastávavýrok: F() Prevšetk,prektoréplatívlastnosť F(), F() Eistuje,ktoréspĺňavlastnosť F() Uveďme teraz príklad výrokov vtvorených pomocou kvantifikátorov: F() Každé mávlastnosť F F() Niejepravda,žekaždé mávlastnosť F,tj Niekaždé mávlastnosť F,tj Eistujeaspoňjedno,ktorénemá vlastnosť F F() Niekaždé mávlastnosť F,tj Eistujeaspoňjedno,ktorénemávlastnosť F F() Prekaždé platí,ženemávlastnosť F,tj Každé nemávlastnosť FVhovorovejrečipoužijemedvojitúnegáciu: Žiadne nemávlastnosť F F() Niekaždé nemávlastnosť F,tj Neplatí,žekaždé nemávlastnosť F F() Eistujeaspoňjedno,ktorémávlastnosť F F() Niejepravda,žeeistuje,ktorémávlastnosť F,tj Neeistuje,ktorémávlastnosť F,tj Každé nemá vlastnosť F F() Neeistuje,ktorémávlastnosť F,tj Každé nemávlastnosť F F() Eistujeaspoňjedno,ktorénemávlastnosť F F() Neeistuje,ktorénemávlastnosť F Poznámka Zpredchádzajúcehovplýva,že F()a F(),resp F()a F()vjadrujútenistývýrok,tjnegáciakvantifikátoruje ekvivalentná negácii kvantifikovaného výroku F() F() F(), F() F() F() Ďalej sa pri negácii výroku menia kvantifikátor navzájom a výroková forma sa mení na svoju negáciu Namiesto označenia sa používa Cvičenia Vtvorte negáciu a rozhodnite, ktorý z výrokov je pravdivý: a) Všetciľudiavediaplávať, b) Rovnica =4mákladnýkoreň, c) Aspoňdvečíslasúkladné, d) NajmenejtretinakrajínpatrídoOSN, e) Právedvečíslasúkladné, f) Každéčíslotvaru n, n Njepárne Vtvorte negácie nasledujúcich výrokov: a) R: sin <, b) R: sin <, c)! R: sin <, d) R: sin <, e) R: sin >, f) R: sin >, g)! R: sin >, h) R: sin >, i) R: sin =, j) R: sin =, k)! R: sin =, l) R: sin = 3 Napíšte tabuľk pravdivostných hodnôt pre nasledujúce výrok: a) p q, b) p q, c) p (q p), d) (p q) (p q), e) p q, f) p q, g) p q q, h) (p q) q p, i) p q p, j) p q q, k) (p q) p, l) (p q) (p q) beerb@frcatelfriunizask 6 http://frcatelfriunizask/ beerb/

CVIČENIA MAI S 4Utvortevýrok p q, p qaurčte,vktorýchprípadochsúpravdivé: a) p: Danýtrojuholníkjepravouhlý, q: Danýtrojuholníkjerovnoramenný, b) p: Celéčíslo kjepárne, q: Celéčíslo kjedeliteľnétromi, c) p: Danánerovnicaplatípre 4, q: Danánerovnicaneplatípre, d) p: Danákvadratickárovnicanemáreálneriešenie, q: Danákvadratickárovnicamáabsolútnčlensopačnýmznamienkom akoznamienkokvadratickéhočlena 5Ku p qa p qnájditeekvivalentnéform,ktoréobsahujúibanegáciua: a) konjunkciu, disjunkciu, b) konjunkciu, c) disjunkciu 6Utvortevýrok p q, q p, p qaurčte,ktoréznichsúpravdivévprípadepravdivejimplikácievtvortepomocouzákona transpozície obrátenú implikáciu a) p: Danéčíslo <0, q: Danéčíslo <3, b) p: BolsomvPrahe, q: BolsomvČechách, c) p: Nemámpeniaze, q: Nepôjdemdokina, d) p: Pricesterastiečakanka, q: Pricesterastietráva, e) p: Prídemnastanicuvčas, q: Nezmeškámvlak, f) p: Predanéčísla, platí =, q: Predanéčísla, platí =, g) p: sin >0, q: (0; π), h) p: Danédvekružnicenemajúspoločnébod, q: Danédvekružnicesúsústredné, i) p: Trojuholník ABCjepravouhlý, q: Prestrantrojuholníkaplatí a + b = c, j) p: Kvadratickúrovnicumôžemepísaťvtvare( )( )=0, q: Kvadratickárovnicamákorene,, k) p: Danéčíslo >0, q: Predanéčíslo platísin >0, l) p: Dverôznepriamk p, p ležiacevrovinesúrovnobežné, q: Dvepriamk p, p ležiacevrovinenemajúspoločnýbod 7 Zistite, ktoré z nasledujúcich výrokových foriem sú tautológie: a) [(p q) (p r)] [p (q r)], b) [(q p) (r p)] [(q r) p], c) [(p q) (q p)] [(p q) p], d) [(q r) p] [(q p) (r p)], e) [(p q) r] [r (q p)], f) [(p q) r] [r (q p)] g) [(p q) (p r)] [p (q r)], h) [(p q) (p r)] [p (q r)], i) [((p q r) p) (r (p q))] [(p r) (p q)], j) [p (q r)] {[(p q) r] [(p r) q]} 8 Dokážte, že nasledujúce výrokové form sú tautológie: a) p p, b) p p, c) p (q p), d) [(p q) (q r)] (p r) 9 Určte, ktoré z nasledujúcich výrazov sú výrok a svoje tvrdenie odôvodnite: a) 4 =5, b) 5 4, c) +=3, d) (+)=+, e) Koľkojehodín?, f) Pomoc!, g) Nebezpečenstvoúrazu, h) Prší, i) Včerapršalo, j) Zajtrabudepršať, k) Včerapršalo?, l) Pršíaneprší 0Zvýrokovýchforiem p: jedeliteľnédvomi, q: jedeliteľnétromi, r: jedeliteľnéšiestimivtvortevslovnomznení zloženéform F(), F(): a) F(): (p q) r, b) F(): (p q) r, c) F(): p q (p q), d) F(): (p q) p r, e) F(): (p q) (p q), f) F(): (p r) (p q) Zistite, ktoré z výrokových foriem F() z príkladu 0 sú tautológie Zameňmevpríklade0výrokovúformu rnatvar jedeliteľnépiatimiktorézvýrokovýchforiem F()sútautológie v tomto prípade? 3 Nech výroková forma t je tautológia a výroková forma k je kontraindikácia Zistite, ktoré z nasledujúcich výrokových foriem sú tautológie a ktoré kontraindikácie: a) t, b) k, c) t k, d) k t, e) (t k) t k, f) t k, g) t k, h) t k, i) t k, j) (t k) k t 4Kvýrokovejforme p q (r s)nájditeekvivalentnúformu,ktoráneobsahujesmbol,, 5 Zjednodušte výraz tak, ab v nich bol čo najmenší počet smbolov negácie: a) p q r s, b) p q r s, c) p q r s 6Nech p, qsúvýrokovéformtaké,že p qjetautológiadokážte,žeaj p qjetautológia beerb@frcatelfriunizask 7 http://frcatelfriunizask/ beerb/

ZÁKLADNÉ PRVKY MATEMATICKEJ TEÓRIE MA I S 7Dokážte,ževýrokováforma p q r p q rjetautológiapreľubovoľnévýrokovéform p, q, r 8Uvažujmevýrokovúformu F(): 3=Ktorézvýrokovsúpravdivé: a) R (0; ): F(), b) R (0; ): F(), c) R (0; ): F(), d) R (0; ): F(), e) (0; ) R: F(), f) (0; ) R: F() 9 Vtvorte negáciu a rozhodnite, ktorý z výrokov je pravdivý: a) R: sin +cos =, b) R: sin cos =, c) R: cos= sin, d) R: cos= sin, e) R: 4 < 3, f) R R: + >0, g) R n N: n+3 < n, h) n N R: n+3 < n Základné prvk matematickej teórie Hlavným znakom súčasnej matematik je, že svoje jednotlivé disciplín buduje aiomatick Na začiatku sú najjednoduchšie pojm (tzv primitívne, nedefinované pojm) a súbor viet(tzv aióm), o ktorých predpokladáme, že platia a nedokazujeme ich Výber sstému primitívnch pojmov a aióm nie je úplne ľubovoľný, ale je ovplvnený rôznmi podmienkami a hlavne účelom, pre ktorý sa disciplína buduje Najdôležitejšia je ale podmienka bezspornosti sstému To znamená, že v stéme nemôžeme odvodiť výrok a zároveň jeho negáciu Na tomto základe definujeme pomocou definícií nové pojm a pomocou už dokázaných(tj platných) viet formulujeme a dokazujeme vet nové Štruktúru matematik môžeme charakterizovať trojicou základných kameňov, ktoré nazývame definícia, veta adôkaz Definícia určuje význam zavádzaného pojmu, pomocou už známch pojmov Veta(poučka, tvrdenie) je pravdivý výrok o matematických objektoch a vzťahoch medzi nimi, ktorý je dokázaný, resp nie sú o ňom pochbnosti Pravidlom nazývame občajne vetu, ktorá obsahuje návod na ďalší postup(napr výpočet, konštrukciu nových objektov) pri budovaní sstému V matematike sa nieked používajú pomocné vet(lem), ktoré majú(už podľa názvu) pomocný význam pri dokazovaní iných viet Dôkaz vet, resp daného tvrdenia je logický proces, ktorého cieľom je ukázať pravdivosť tvrdenia pomocou aióm, definícií a už predtým dokázaných viet Dôkaz môžu mať rôzmu formu, najznámejšie druh dôkazov sú priam dôkaz, nepriam dôkaz a dôkaz matematickou indukciou Priam dôkaz Jetospôsob,ktorýsapoužívapridokazovaníplatnostiviet,ktorémajúvovšeobecnostitvarvýroku p q(akplatívýrok p,potom platí výrok q) Priamm dôkazom sa dokazuje platnosť pôvodnej implikácie p q Predpokladáme, že výrok p je pravdivý, potom pomocou definícií,aiómauždokázanýchvietukážeme,žeplatívýrok qpraktickzostrojímekonečnúpostupnosťpravdivýchvýrokov p, p, p k,ktorúmôžemesmbolickzapísať p p p p k q Nepriam dôkaz Nepriam dôkaz sa podobne ako priam dôkaz používa pri dokazovaní platnosti viet tvaru p q Pri nepriamom dôkaze sa nedokazuje platnosť pôvodného výroku p q, ale platnosť nejakého ekvivalentného výroku Druhá možnosť je, že budeme predpokladať pravdivosť negácie pôvodného výroku, tj pravdivosť výroku p q, resp p q a dokážeme nepravdivosť tejto negácie Dôkaz pomocou obrátenej implikácie Pôvodnú implikáciu p q nahradíme ekvivalentnou obrátenou implikáciou q p(zákon transpozície, str 5) a potom ju dokážeme pomocou priameho dôkazu Dôkaz sporom Budeme predpokladať platnosť negácie výroku p q, tj platnosť výroku p q a ukážeme jeho nepravdivosť Praktick to znamená, že pri dokazovaní dospejeme k sporu Najčastejšie sa zvkne dospieť k týmto sporom: a) p q p, z predpokladu pravdivosti p ukážeme nepravdivosť p b) p q q, z predpokladu nepravdivosti q ukážeme pravdivosť q c) p q r r, kde rjeľubovoľnývýrok(zákonsporu,str5) d) p q r, kde rjeľubovoľnýznámpravdivývýrok beerb@frcatelfriunizask 8 http://frcatelfriunizask/ beerb/

ZÁKLADNÉ PRVKY MATEMATICKEJ TEÓRIE MA I S Príklad Dokážemetvrdenie: Akjeprirodzenéčíslo ndeliteľné4,potomjedeliteľné Toznamená,žemámedokázaťplatnosťvýroku: n N: 4 n n Priamdôkaz: 4 n n n N: 4 n k N: n=4k= k=(k) n Obrátená implikácia: n 4 n n N: n ( ) n,tj4 n Dôkazsporom: 4 n n spor n N: 4 n n [ k N: n=4k=(k)] n n n, tj spor 3 Dôkaz matematickou indukciou Matematická indukcia je dôležitý prostriedok na dokazovanie tvrdenia, že prvk nejakej množin majú určitú vlastnosť Pomocou matematickejindukciesadokazujepravdivosťvýrokovtvaru n N, n n 0 : F(n),kde n 0 jedanéprirodzenéčíslo Nech F je nejaké tvrdenie, ktoré závisí od množin prirodzených čísel Chceme ukázať, že tvrdenie F(n) platí pre prirodzené čísla n=n 0, n 0 +, n 0 +, Dôkaz matematickou indukciou pozostáva z krokov, a záveru: Krok Ukážeme,žejetvrdenie Fsplnenépreprvýprvok n=n 0,tjžeplatí F(n 0 ) Krok Predpokladáme,žedanétvrdenie F platíprenejaképrirodzenéčíslo n=k n 0 a(zatohtopredpokladu)dokážeme,žeplatípre nasledujúce prirodzené číslo n = k+ Takže ukážeme, že z platnosti F(k) vplýva platnosť F(k+) Záver Vkrokusmeukázali,žeplatí F(n 0 )Lenžezkrokuvplývaplatnosť F(n 0 +) Ztohtoopäťnazákladekrokuvplývaplatnosť F(n 0 +), F(n 0 +3),atď Potomjetvrdenie Fsplnenéprevšetkprirodzenéčísla n n 0 Príklad Dokážte,žeprevšetkprirodzenéčísla nplatívzťah+3+5+ +(n )=n Riešenie Označme F(n)=+3+5+ +(n )Takžemámeukázaťrovnosť F(n)=n Krok F()= Vzťahjesplnenýtriviálne,pretože F()== Krok F(k)=k F(k+)=(k+) Akpredpokladáme,žeplatí F(k)=k,potom F(k+)=+3+ +(k )+(k+)=f(k)+(k+)=k +k+=(k+) Na základe matematickej indukcie vplýva z krokov a dané tvrdenie Príklad 3 Dokážte,žepre n N, n 5platínerovnosť n > n Riešenie Nerovnosť dokážeme pomocou matematickej indukcie Krok Pre n=5platí3= 5 >5 =5 Krok k > k k+ >(k+) Pre k 5,tjpre k 4platí(k ) =k k+ 4 =6 Ztohodostávame k k+5 >k+potomplatí Tým pádom je tvrdenie príkladu dokázané k+ = k >k = k + k > k +k+=(k+) Príklad 4 Dokážte,žepreľubovoľnéceléčíslo nječíslo n + ndeliteľnédvomi Riešenie Označme F(n)=n + n Pretožeplatí Z={,, 3, } {0} {,,3, },dôkazrozdelímenatričasti a)pre n=0platí F(0)=0,tj F(0) beerb@frcatelfriunizask 9 http://frcatelfriunizask/ beerb/

ZÁKLADNÉ PRVKY MATEMATICKEJ TEÓRIE MA I S b)pre n {,,3, }použijemematematickúindukciu Krok : F(),pretože F()=+= Krok k N: F(k)=k +k F(k+)=(k+) +k+ Na základe predpokladu platí F(k+)=(k+) +k+=k +k++k+= F(k)+(k+) Akuvážime,že F(k)a (k+),potom F(k+) c)pre n {,, 3, }dokážemevzťahtiežmatematickouindukciou Krok n= : F( ),pretožeplatí F( )= =0 Krok k {,, 3, }: F(k)=k +k F(k )=(k ) +k Na základe predpokladu platí F(k )=(k ) +k =k k++k = F(k) k Poslednýsúčetjedeliteľnýdvomi,pretože F(k)a k Zkrokuvplýva F( ),zkrokuvplýva,že F( ), F( 3)atď Tým je dôkaz daného tvrdenia ukončený Iné riešenie Riešenie sa od predchádzajúceho bude líšiť iba v časti c) Položme m= n,potom m Na F(n)=F( m)=( m) m=m m Takžemôžemepôvodnýproblémtransformovaťnaproblémdokázať,žeprevšetk m Nječíslo m mdeliteľnédvomi(dokážeme matematickou indukciou) 4 Poznámka k dôkazom Nie všetk tvrdenia sa dajú dokázať uvedenými spôsobmi Nieked potrebujeme zistiť, či eistuje nejaký objekt, potrebujeme zostrojiť konkrétn objekt s danými vlastnosťami alebo na druhej strane chceme ukázať, že nejaká vlastnosť neplatí pre dané prvk Na dokázanie pravdivosti výroku, ktorý má tvar F(), nám stačí nájsť aspoň jeden prvok z oboru úvah, pre ktorý je vlastnosť F splnená Preto sa takýmto dôkazom zvkne hovoriť eistenčné dôkaz Nadokázaniepravdivostivýroku F(),jenutnéukázať,ževlastnosť Fjesplnenáprevšetkprvk zoboruúvahzekvivalencie F() F() F() vplýva, že ak chceme ukázať nepravdivosť pôvodného výroku, stačí nájsť jeden prvok, pre ktorý vlastnosť F splnená nie je Takýto prvok nazývame kontrapríklad Často v matematike potrebujeme zostrojiť(skonštruovať) nejaký objekt s danými vlastnosťami, preto takýto postup nieked nazývame konštruktívn dôkaz Príklad 5 Dokážte,že n N:++3+ +n= n j= j= n(n+) Riešenie Postupnosť {,,3,, n}je n-člennákonečnáaritmetickásdiferenciou d=,prvýmčlenom a =aposlednýmčlenom a n = npre jej súčet platí ++3+ +n= (a + a n )n Iné riešenie Akoznačíme++3+ +n=s,potomzrejme n+(n )+(n )+ +=s Ak napíšeme tieto súčt pod seba a spočítame po jednotlivých členoch, dostaneme = (+n)n + + 3 + + n = s n + n + n + + = s (n+) + (n+) + (n+) + + (n+) = n(n+) Ztohovplývas=n(n+),tj s=++3+ +n=(n+)n/ Iné riešenie Najprv spočítame počet dvojprvkových podmnožín množin {,,, n+} Usporiadajme tieto podmnožin nasledujúcim spôsobom: {, n+}, {, n+}, {3, n+}, {n, n+}, npodmnožín, {, n}, {, n}, {3, n}, {n, n}, n podmnožín, {, n },{, n },{3, n }, {n, n }, n podmnožín, {,3}, {,3}, podmnožin, {, }, podmnožina beerb@frcatelfriunizask 0 http://frcatelfriunizask/ beerb/

CVIČENIA MAI S Ztohovplýva,žedvojprvkovýchpodmnožínje n+(n )+(n )+ + Teraz sa pozrieme na tento počet z druhej stran Každýzprvkov,,, n, n+sanachádzavndvojprvkovýchpodmnožinách Takže dostávame celkovo(n+)n dvojprvkových podmnožín Lenže v tomto počte je každá podmnožina započítaná dvakrát(za každý jej prvok raz) To znamená, že počet dvojprvkových podmnožín je(n+)n/ Ak to zhrnieme, dostávame tvrdenie vet ++3+ +n = n(n+)/ Iné riešenie Dokážemematematickouindukciou,žeprevšetk n Nplatí F(n)=G(n),pričom F(n)=++ +n, G(n)= n(n+) KrokTvrdenie F()=G()platí,pretože F()=, G()= (+) = Krok k N: F(k)=G(k) F(k+)=G(k+) Keďžeprevšetk k Nplatí F(k)=++ +k=g(k)= k(k+),potom F(k+)=++ +k+(k+)=[++ +k]+(k+)=f(k)+(k+)= = k(k+) [ ] k +(k+)=(k+) + =(k+) k+ = (k+)[(k+)+] = G(k+) Tým je dané tvrdenie na základe princípu matematickej indukcie dokázané 5 Sumačná a súčinová smbolika Znak (veľkégréckepísmenosigma)sapoužívanazjednodušeniezápisusúčtusmnohýmisčítancamisúčetskonečnýmpočtom sčítancov a s, a s+,, a n asúčetsnekonečnýmpočtomsčítancov a s, a s+,, a n, a n+,,kde s, nsúceléčísla,zapisujeme n a j = a s + a s+ + +a n, a j = a s + a s+ + +a n + a n+ + j=s j=s Tietozápisčítamesuma(súčet) a j pre j= saž nasuma(súčet) a j pre j= saždonekonečna 5 Písmeno jnazývame sčítacíinde,písmeno spodznakomsumsanazývadolnáhranicapresčítanieapísmeno n,respsmbol nadznakomsum nazývame horná hranica pre sčítanie Za j dosadzujeme postupne celočíselné hodnot od dolnej hranice po hornú hranicu(vrátane hraníc) Dolnou hranicou s a hornou hranicou n môžu bť vo všeobecnosti ľubovoľné celé čísla, musí bť ale splnená podmienka s n Nekonečné sum sa nazývajú číselné rad a budeme sa nimi podrobne zaoberať neskoršie Nazjednodušeniesúčinupoužívameznak (veľkégréckepísmenopí)súčinskonečnýmpočtomčiniteľov a s, a s+,, a n asúčin snekonečnýmpočtomčiniteľov a s, a s+,, a n, a n+,kde s, nsúceléčísla,potomzapisujeme n a j = a s a s+ a n, a j = a s a s+ a n a n+ j=s j=s ačítamesúčin(produkt) a j pre j= saž nasúčin(produkt) a j pre j= saždonekonečnapísmeno jnazývamenásobiaci inde, písmeno s pod znakom produktu sa nazýva dolná hranica pre násobenie a písmeno n, resp smbol nad znakom produktu nazývame horná hranica pre násobenie Príklad 6 Prevšetk n N, a Rplatí n!= n j= 3 n, a n = j= n a=a a a a j= Nech n N,potomsúčin n!= 3 nnazývamefaktoriálčísla načítame nfaktoriálšpeciálnepre n=0definujeme0!= Cvičenia Dokážte rôznmi spôsobmi nasledujúce tvrdenia: a) Prevšetkreálnečísla a, bplatí a + b ab b) Súčin dvoch nepárnch čísel je číslo nepárne c) Súčin dvoch párnch čísel je číslo párne d) Súčindvochčísel,zktorýchjeaspoňjednopárne,jepárn 5 Niekedsanamiestozápisu n a j používazápis j=s j=s,s+,,n a j, resp j {s,s+,,n} a j beerb@frcatelfriunizask http://frcatelfriunizask/ beerb/

CVIČENIA MAI S e) Súčet dvoch nepárnch čísel je číslo párne f) Súčet dvoch párnch čísel je číslo párne g) Súčet párneho a nepárnch čísla je číslo nepárne Dokážte,že 7jeiracionálnečíslo 3Dokážte: a, b R: a b a + b >ab 4Dokážterôznmispôsobmi,žeprevšetk n Nplatí: 3 n 3 (n ) 5 Dokážte priamo a potom matematickou indukciou, že pre všetk n N platí: a) (n n), b) 3 (n 3 + n), c) 5 (n 5 n), d) 6 (n 3 n), e) 6 (n 3 +3n +n), f) 6 (n 7 n), g) 7 (n 7 n), h) 7 (6 n 8), i) (3n +5)pre nnepárne, j) 8 (n +n)pre npárne 6 Dokážte priamo a potom matematickou indukciou, že pre všetk n N platí: n a) j(j+) = n n n+, b) (j )(j+) = n n+, c) j= n j= (3j )(3j+) = n (3n+), j= d) n j= (4j 3)(4j+) = n 4n+ 7 Dokážte pomocou matematickej indukcie, že pre všetk n N platí: n n a) j= n(n+), b) (j )=n, c) d) g) j= n j= j 3 = n (n+), e) 4 n j = n, h) j=0 j= n j = n+, f) j=0 n j= (j )(j+)= (n )(n+)(n+3)+3 6 8 Dokážte pomocou matematickej indukcie, že pre všetk n N platí: n n a) ( ) j (j )=( ) n n, b) ( ) j j= ( )n (n+), 4 c) e) g) j= n j= n j= n j= j = n(n+)(n+), d) 6 (j ) = n(4n ) 3, f) j(j+)= n3 +3n +n, h) 3 j= n j= n j= n j= ( ) j j = ( )n n(n+) ( ) j (j ) = ( )n (4n ), n j= n j=0 j(j+)(j+)= n(n+)(n+)(n+3) 4, j n 9Dokážtepomocoumatematickejindukcie,žeprevšetk n N, n platí: a) + + + + > n, b) 3 n n+ + n+ + + n >3 4, c) 3 5 n < 4 6 n n+, d)!4!6! (n)! >[(n+)!] n 0Dokážte,žeprevšetk n N, n 9platí n >(n ) (n ) Dokážte,žeprevšetk n Nplatí: a) 4 [n +(n+) ], b) 9 [n 3 +(n+) 3 +(n+) 3 ] ( ) n Prevšetk k, n N {0}, k ndefinujemekombinačnéčíslo nnad kpredpisom = ( ) ( ) k n n,, tvoria postupne prvk n-tého riadku tzv Pascalovho trojuholníka(obr ) n Dokážte priamo a matematickou indukciou: = n, 3 j = 3n+, n! k!(n k)! Kombinačnéčísla ( ) n, 0 beerb@frcatelfriunizask http://frcatelfriunizask/ beerb/

3 MNOŽINY MAI S a) Prevšetk k, n N {0}, k n platí ( ) ( ) n+ n = + k+ k+ n b) Prevšetk n N, a, b Rplatíbinomickáveta (a+b) n = c) Prevšetk n Nplatí n k=0 ( ) n = n, k n ( ) n ( ) k =0 k k=0 k=0 ( n k ( n k ) ) a n k b k d) Prevšetk n N, R, platíbernoullihonerovnosť (+) n +n ( n+ 0 ( 0 ( 0) ) ( ( 0 ) ) ( ) ( ( 0 ) 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 3) ( n ( 0) n ( n ) ( n ( k ) k k+) n ) ) ( n n+ ) ( n+ ) ( n+ ) ( k n+ n+ n ) ( n+ n+ Obr : Pascalov trojuholník ) 3 3 4 6 4 5 0 0 5 3Dokážte,žeprevšetk n N: a) 73 ( 3n 3 4n ), b) 3 (5 n+ +6 n ) 4 Predpokladajme, že eistujú trojhalierové a päťhalierové mince Dokážte, že každý nákup s cenou viac ako 7 halierov môžeme zaplatiť týmito mincami 5 Dokážte pomocou matematickej indukcie: a) Vpuklý n-uholník má(n 3)n/ uhlopriečok b) Súčet vnútorných uhlov vpuklého n-uholníka je(n )π c) Súčet vnútorných uhlov ľubovoľného n-uholníka je(n )π d) n priamok prechádzajúcich jedným bodom delí rovinu na n častí e) n rovín prechádzajúcich jednou rovinou delí priestor na n častí f) n rovín prechádzajúcich jedným bodom, z ktorých žiadne tri nemajú spoločnú priamku, delí priestor na n(n )+ častí 3 Množin 3 Množina a podmnožina Pod pojmom množina rozumieme neusporiadaný súbor(skupinu, súhrn) predmetov(vecí, pojmov, čísel,), ktoré nazývame prvk množin Množin sa obvkle označujú veľkými písmenami a ich prvk sa ohraničujú zloženými zátvorkami { } Ak prvok patrí do danej množin, vjadrujeme to smbolom a ak nepatrí do danej množin, vjadrujeme to smbolom / Množinupovažujemezadanúvted,akokaždompredmetejeurčené,čidodanejmnožinpatríalebonepatrí,tjčijealebo nie je prvkom danej množin Formáln zápis A={; podmienkpre } predstavuje množinu A všetkých bodov, ktoré spĺňajú dané podmienk Príklad 3 Označme Amnožinuvšetkýchprirodzenýchčísel,prektoréplatívzťah3 < n <7 Množinu A môžeme vjadriť rôznmi spôsobmi, napr A={4,5,6}={n; n N n <7 n >3}={n N: 3 < n <7} Ak má množina konečný počet prvkov, nazýva sa konečná množina Ak nie je konečná, nazýva sa nekonečná množina Hovoríme,žemnožina Ajepodmnožinoumnožin Bak,každýprvokmnožin Apatríajdomnožin B 6 azapisujeme A B 7 Ak neplatí, že množina A je podmnožinou množin B, potom hovoríme množina A nie je podmnožinou množin B a zapisujeme A B 6 AnalogickmôžemedefinovaťpojemnadmnožinaHovoríme,žemnožina Bjenadmnožinoumnožin A,ak Ajepodmnožinoumnožin BOznačujeme B A 7 Vzťah jepodmnožinaa jenadmnožinazvknemenazývaťinklúziamnožín beerb@frcatelfriunizask 3 http://frcatelfriunizask/ beerb/

3 MNOŽINY MAI S Hovoríme,žemnožin AaBsarovnajú(sútotožné),akmajútieistéprvk,tjakkaždýprvokmnožin Apatrídomnožin Bazároveňkaždýprvokmnožin Bpatrídomnožin A,píšeme A=BTakžemnožina Asarovnámnožine Bprávevted,ak A B azároveň B A Akneplatí,žesamnožin AaBrovnajú,hovoríme,žemnožin AaBsúrôzne(nerovnajúsa),vtedpíšeme A BTakže množin AaBsúrôzne,akeistujeaspoňjedenprvok,ktorýpatrídojednejzmnožínanepatrídodruhejZtohovplýva,žeukázať rovnosť A=Bznamenáukázaťobidveinklúzie A Ba B A Niekedsapoužívajúoznačenia A Balebo A B,absmezdôraznili,žemôžeplatiť A=Banaopakoznačenia A B,resp A B,absmevlúčilimožnosť A=B Množinu, ktorá neobsahuje žiadne prvk, nazývame prázdna množina a označujeme ju, prípadne {} Musíme si ale uvedomiť, že smbol { } vjadruje jednoprvkovú množinu, ktorá ako prvok obsahuje prázdnu množinu Ďalej si treba uvedomiť, že prázdna množina je podmnožinou každej množin a že je konečnou množinou Môže sa stať, že prvkami množin sú opäť množin, sú to tzv sstém množín Špeciáln význam má množina všetkých podmnožín danejmnožin A,ktorúnazývame(potenčnámnožinamnožin A)aoznačujeme A,tj A = {B; B A} Príklad 3 Potenčnoumnožinoumnožin X= {0,,}jemnožina X = {A; A X}={, {0}, {}, {}, {0,}, {0,}, {,}, X} 3 Operácie s množinami Prienik dvoch množín Prienikommnožín AaBnazývamemnožinu,ktoráobsahujevšetkprvkpatriacedomnožin Aazároveňdomnožin B,tj A B= {; A B} Akpremnožin A, Bplatí A B=,potomichnazývamedisjunktné Zjednotenie dvoch množín Zjednotením(súčtom) množín A a B nazývame množinu, ktorá obsahuje všetk prvk patriace do množin A alebo do množin B,tj A B= {; A B} Rozdiel dvoch množín Rozdielom množín A a B nazývame množinu, ktorá obsahuje všetk prvk patriace do množin A a zároveň nepatriace do množin B,tj A B= {; A / B} Smetrický rozdiel dvoch množín Smetrickýmrozdielommnožín AaBnazývame(A B) (B A),tjmnožinu Doplnok množin A B=(A B) (B A)={; (A B) (B A)} Nech pre množin A, X platí A X, potom doplnkom(doplnkovou množinou, komplementom, komplementárnou množinou)množin Adomnožin Xnazývamemnožinu A = X ANiekedsazvknedoplnoktiežoznačovať A c, A,resp A X (ab sa zdôraznil doplnok do množin X) Množin AaA sanazývajúdoplnkové(komplementárne)vzhľadomnamnožinu XSmbolickmôžemepísať A = X A= {; X / A}={ X; / A} Poznámka 3 Zuvedenéhovplýva,žekaždýprvok Xpatrídoprávejednejzmnožín A, A Nech X, A X, B X,potom A B= A B (obr3)vplývatozovzťahov (A B) ( A / B) ( A B ) (A B ) Karteziánsk súčin množín Usporiadanádvojica[; ]prvkov ajedvojicaprvkov a,vktorejzáležínaichporadíusporiadanédvojice[ ; ]a [ ; ]sarovnajú,akplatí =, = Podobnepre n Nnazývameprvok[ ; ; ; n ]usporiadaná n-tica Karteziánskm súčinom množín A a B nazývame A B = {[; ]; A, B}Analogickdefinujemekarteziánsk súčinommnožín A, A,A n akomnožinu A A n = {[ ; ; n ]; A,, n A n } Pre A = A = =A n = Azjednodušenepíšeme A A A=A n Množinové operácie(prienik, zjednotenie,) majú podobné vlastnosti ako logické operácie(konjunkcia, disjunkcia,) beerb@frcatelfriunizask 4 http://frcatelfriunizask/ beerb/

3 MNOŽINY MAI S A A B B A A B B A A B B A A B B X A A = X A Obr 3: Prienik, zjednotenie, rozdiel, smetrický rozdiel a doplnok množín Veta 3 Prevšetkmnožin Aplatí: a) A =A, b) A =, c) A= Dôkaz Tvrdenia sú zrejmé a vplývajú priamo z definície A ={; A }={; A}=A, A ={; A }={; }=, A={; / A}={; }= Veta 3 Nech A, B, Csúľubovoľnémnožin,potomplatí: a) A B= B A, A B= B A, A B= B A, b) A (B C)=(A B) C, A (B C)=(A B) C, c) A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C) Dôkaz a) Vplýva z definície b)zasociatívnchzákonovpre a vplýva [A (B C)] [ A ( B C)] [( A B) C] [(A B) C], [A (B C)] [ A ( B C)] [( A B) C] [(A B) C] c)zdistributívnchzákonovpre a vplýva [A (B C)] [ A ( B C)] [( A B) ( A C)] [(A B) (A C)], [A (B C)] [ A ( B C)] [( A B) ( A C)] [(A B) (A C)] Veta 33 Nechmnožina X anech A, B XOznačme(A ) = A,potomplatí: a) (A B) = A B, (A B) = A B, b) X =, = X, c) A = A Dôkaz a) Tieto rovnosti nazývame de Morganove zákon a vplývajú zo vzťahov: (A B) non( A B) / A / B A B (A B ) (A B) non( A B) / A / B A B (A B ) b)vplývazovzťahov X / X a / X c)zpoznámk3vplýva (A ) / A A Poznámka 3 Prekonečnýsstémmnožín A, A,, A n, n Naprenekonečnýsstémmnožín A, A, A 3,majúdeMorganovezákontvar: [ n ] [ n n ] [ n ] [ ] A k = A k, A k = A k, A k = A k, A k = A k k= k= k= k= k= k= k= k= 33 Zobrazenie množín Nech A, B súmnožinbinárnourelácioumedzimnožinami AaBnazývamekaždúpodmnožinukarteziánskeho súčinu A BSlovobinárnasavpraičastovnechávaAkoznačímetútoreláciu T,potomskutočnosť,žeprvok[; ]patrídorelácie T,zapisujemevzťahmi[; ] T,resp T Medzinajdôležitejšiebinárnereláciepatríreláciaekvivalencie 8 Hovoríme,žebinárnarelácia T A Ajereláciouekvivalencie namnožine A,akjerefleívna,smetrickáatranzitívnanamnožine A,tjakplatí: a) A: [; ] T (refleívnosť), b), A: [; ] T [; ] T (smetria), c),, z A:[[; ] T [; z] T] [; z] T (tranzitívnosť) 8 Jepotrebnéjuodlišovaťodlogickejoperácieekvivalencie beerb@frcatelfriunizask 5 http://frcatelfriunizask/ beerb/

3 MNOŽINY MAI S Poznámka 33 Ak použijeme označenie T, môžeme tieto vlastnosti smbolick zapísať v tvare:,, z A: a) T, b) T T, c)[t Tz] Tz Jedným zo základných pojmov v matematike je pojem zobrazenia(v matematickej analýze sa uprednostňuje názov funkcia) Nech A, B súmnožinzobrazením(funkciou)zmnožin Adomnožin Bnazývamekaždúreláciu f A Bsvlastnosťou, žeprekaždé Aeistujenajviacjedno Btaké,že[; ] f Prvok Asanazývavzorapríslušné =f()sanazývaobrazprvku vzobrazení f,resphodnotazobrazenia fvbode Často, najmä ak hovoríme o reálnch funkciách, vzor nazývame nezávislou premennou a obraz závislou premennou, resp funkčnou hodnotou v bode Množinu D(f)všetkýchvzorov A,prektoréeistuje = f() B,nazývamedefiničnýoborzobrazenia fmnožinu H(f) všetkýchobrazov B,prektoréeistujevzor Ataký,že =f(),nazývameoborhodnôtzobrazenia ftoznamená,že D(f)={ A; B: [; ] f}, H(f)={ B; D(f): [; ] f} Namiestozápisu[; ] fsačastejšiepoužívajúzápis f:,resp =f(),resp = f(): D(f) B Akkukaždému Aeistujeobraz B,tjak D(f)=A,potomzobrazenie fnazývamezobrazeniemnožin Adomnožin B(zobrazeniezobrazujúcemnožinu Adomnožin B)aoznačujeme = f(): A B,resp f: A B Nech C D(f),potommnožinu f(c)={f(); C}nazývameobrazmnožin Cvzobrazení f Poznámka 34 Akmámezobrazeniezadanéibapredpisom,napr =f(),potompodpojmom D(f)rozumiememnožinuvšetkých,prektoréeistuje =f()(tjmaimálnumožnúmnožinuvzorov)oborhodnôtjemnožina H(f)={f(); D(f)},takžezápis =f(), D(f)a zápis =f(): D(f) H(f)súekvivalentné Príklad 33 a)relácia f= {[; ] R ;sin = }niejezobrazenie,pretože[0;0] f,[0; π] ftoznamená,žejedenvzor =0mádvaobraz =0a= π b)relácia f= {[; ] R ; + = }jezobrazenie,pretože f= a R Usporiadanádvojica[; ]sdanýmivlastnosťami neeistuje, tj každému vzoru je priradený najviac jeden obraz Injektívne, surjektívne a bijektívne zobrazenie Hovoríme,žezobrazenie f: A Bjeinjektívne(injekcia,prostézobrazenie),akdvarôznevzorzmnožin Amajúrôzne obraz z množin B, tj ak rovnaké obraz majú rovnaké tiež príslušné vzor(obrátená implikácia) Smbolick to môžeme vjadriť, A: f( ) f( ), tj, A: f( )=f( ) = Hovoríme, že zobrazenie f: A B je surjektívne(surjekcia, zobrazenie na množinu B), ak ku každému obrazu z množin Beistujevzorzmnožin A,tjak f(a)=btoznamená,ak B A: = f() Hovoríme, že zobrazenie f: A B je bijektívne(bijekcia, prosté zobrazenie na množinu B, jednojednoznačné zobrazenie), ak je injektívne a zároveň surjektívne Príklad 34 a)nech A={a, b, c}, B={p, q, r, s}zobrazenie f = {[a; q],[b; r],[c; p]}jeinjekcia,aleniejesurjekcia,pretože snemávzor (obr 33) b)nech A={a, b, c, d}, B= {p, q, r}zobrazenie f = {[a; q],[b; r],[c; p]}jesurjekcia,aleniejeinjekcia(dnemáobraz) c)nech A={a, b, c, d}, B= {p, q, r}zobrazenie f 3 = {[a; q],[b; r],[c; p],[d; q]}jesurjekcia,aleniejeinjekcia(a, dmajúrovnaký obraz) d)nech A={a, b, c}, B= {p, q, r}zobrazenie f 4 = {[a; q],[b; r],[c; p]}jebijekcia(injekciaasúčasnesurjekcia) f p q r a b c s f p q r a b c d f 3 p q r a b c d Obr33:Injekcia f,sujekcie f, f 3 abijekcia f 4 zpríkladu34 f 4 p q r a b c beerb@frcatelfriunizask 6 http://frcatelfriunizask/ beerb/

3 MNOŽINY MAI S Príklad 35 Uvažujmezobrazeniedanépredpisom f()= Jehodefiničnýmoboromjemnožina D(f)= 0; )aoboromhodnôtmnožina H(f)= 0; )Zobrazeniejebijekciaamôžemehozapísaťvtvare f()=, 0; ),resp f()= : 0; ) 0; ) Teraz uvažujme rôzne množin vzorov a obrazov: f: R R Zobrazenieniejeinjektívneanisurjektívne(= nemáobraz, = nemávzor) f: 0;4 0; Zobrazenieniejeinjektívne,jesurjektívne(=3nemáobraz) f: 0; 0;4 Zobrazeniejeinjektívne,niejesurjektívne(=3nemávzor) f: 0;4 0; Zobrazeniejebijektívne Rovnosť zobrazení Zobrazenia sú množin usporiadaných dvojíc, takže ich rovnosť musíme chápať ako rovnosť množín Inými slovami f = g práve vted,akplatí: [; ] f [; ] g Aktozhrniemeprezobrazenia f(), D(f)ag(), D(g),dostávame,žezobrazenie fsarovnázobrazeniu gprávevted, ak D(f)=D(g)aprevšetk D(f)platí f()=g() Nech M D(f) D(g),potomzobrazenie f, D(f)sarovnázobrazeniu g, D(g)namnožine Mprávevted,akpre všetk Mplatí f()=g() Príklad 36 a)zobrazenia f()=, g()= sarovnajúnamnožine R,pretože D(f)=D(g)=Raprevšetk Rplatí = b)zobrazenia f()=, g()= Zložené zobrazenie sanerovnajú,pretože D(f)=R, D(g)=R {0} Nechsúdanézobrazenia f: A B, g: C D,pričom H(f) CPotomzobrazenie F: A Dktorékaždému Apriradí hodnotu z=g() D,kde =f(),nazývamezloženézobrazenie(kompozícia,respzloženie)zobrazení fa gzloženézobrazenie zapisujeme F= g(f)=f g,resp F()=g[f()]=[f g](), D(f) Zobrazenie f sa nazýva vnútorná zložka a zobrazenie g vonkajšia zložka zloženého zobrazenia g(f) Príklad 37 Nech A={a, b, c, d}, B= {p, q, r, s, t}, C= {,, z}súmnožinnájditezloženézobrazenie F= g[f]: A C,akzobrazenia f: A B, g: B C(obr34)súdefinovanépredpismi f={[a; p],[b; p],[c; r],[d; t]}ag={[p; ],[q; z],[r; ],[s; ],[t; ]} Riešenie Zloženézobrazenie F= {[a; ],[b; ],[c; ],[d; ]},pretože F(a)=g[f(a)]=g(p)=, F(b)=g[f(b)]=g(p)=, F(c)=g[f(c)]=g(r)=, F(d)=g[f(d)]=g(t)= d c b a t s r q 3 p f t z s r q 3 p g t z d s c r b q 3 a 3 p f g Obr34:Zloženézobrazenie F= g(f)zpríkladu37 z d c 3 b a 3 F= g(f) Príklad 38 Ak f()= 3 : R R, g()=sin : R ;,potom f[g()]=[g()] 3 =sin 3 : R ;, g[f()]=sin f()=sin 3 : R ; Veta 34 Aksú f: A B, g: B Cbijekcie,potomjebijekcioutiež F= g[f]: A C Dôkaz Injekcia Zobrazenia f, gsúinjektívne,tjprevšetk, A,, Bplatí = =f( ) =f( ) = z =g( ) z =g( ) ztohovplýva z =g( )=g[f( )]=F( ) z =g( )=g[f( )]=F( ) Surjekcia Zobrazenia g, fsúsurjektívne,tj z C B: z= g()a B A: = f() Aktospojíme,dostávame z C A: z= g()=g[f()]=f() beerb@frcatelfriunizask 7 http://frcatelfriunizask/ beerb/

3 MNOŽINY MAI S Inverzné a identické zobrazenie Akjezobrazenie = f(): A Bbijektívne,tjak [ ; ],[ ; ] f: = =, B A: [; ] f, potomeistujezobrazenie =g(): B Ataké,žeplatí[; ] f [; ] gtotozobrazeniesanazývainverznýmzobrazením kzobrazeniu faoznačujesa f Poznámka 35 Akjezobrazenie f: D(f) H(f)injektívne,potomjezároveňajsurjektívne(tjjebijektívne),pretožeplatí f[d(f)]=h(f) Inverznoufunkcioukf jebijekcia f : H(f) D(f)taká,žeprevšetk D(f)platí = f(),respprevšetk H(f)platí =f ()Jezrejmé,že D(f)=H(f ), H(f)=D(f ) Príklad 39 a)ak f()=: R R,tj[; ] f,potom[; ] f,tj f ()=: R R b)ak f()=+3: R R,tj[;+3] f,potom[; ]=[+3; ] f Zrovnosti =+3vplýva =( 3)/,tj[;( 3)/] f c)ak f()=cotg : (0; π) R,potom f ()=arccotg : R (0; π) Veta 35 Nechzobrazenie f: A Bjebijektívne,potomplatí: a) f : B Ajebijektívne, b) (f ) = f, c) B: f[f ()]=, d) A: f [f()]= Dôkaz a) Vplýva z definície b)zobrazenia f: A B, f : B Asúbijektívne,tjprevšetk A, Bplatí [; ] f [; ] f, [; ] f [; ] (f ), Ztohovplýva[; ] f [; ] (f ),tj f=(f ) c)ak B,potomeistuje Ataké,že[; ] f,[; ] f,tj =f ()Potom [; ]= [ f (); ] f, tj = f[f ()] d)ak A,potomeistuje Btaké,že[; ] f,[; ] f,tj =f()potom [; ]=[f(); ] f, tj =f [f()] Identickým zobrazením(identitou) nazývame zobrazenie, v ktorom sa každý obraz zhoduje so svojím vzorom, tj zobrazenie f()=, D(f)Jezrejmé,žeidentickézobrazeniejeinjektívneazároveňsurjektívne,tjbijektívne Postupnosť Postupnosťou nazývame ľubovoľné zobrazenie f s definičným oborom N, tj f= {[n; f(n)];n N}={[; f()],[; f()],[3; f(3)],,[n; f(n)], } Prejednoduchosťoznačíme f(n)=a n, n Napostupnosť fbudemezapisovať {f(), f(), f(3),, f(n), }={a, a, a 3,, a n, }={a n } Hodnot a n, n Nnazývamečlenmipostupnosti {a n } Každýčlen a npredstavujeusporiadanúdvojicu[n; a n ]Toznamená,že vzorčlena a n jeurčenýjehoporadím Oborhodnôt H(f),tjmnožinuhodnôt,ktorénadobúdajúčlen a, a, a 3,,nazývamemnožinahodnôtpostupnosti {a n } 34 Mohutnosť množín Hovoríme, že množina A je ekvivalentná s množinou B, ak eistuje bijektívne zobrazenie f: A B Tento vzťah označujeme A BSkutočnosť,žemnožin AaBniesúekvivalentné,označujeme A B Aksúmnožin AaB ekvivalentné,hovorímetiež,žemnožin A a B majú rovnakú mohutnosťvprípade,žeeistuje injektívne zobrazenie A B, ale neeistuje bijektívne zobrazenie A B, hovoríme, že množina A má menšiu mohutnosť ako množina B Príklad 30 a)premnožin A={,,3}, B={a, b, c}platí A BBijekcioujenapríkladzobrazenie f={[; a],[; b],[3; c]} b)premnožinprirodzenýchacelýchčíselplatí N ZDokazujetobijekcia f: N Zdefinovanávzťahmi f(n)=n/pre n N párneaf(n)= (n )/pre n Nnepárne c) N R,pretoženeeistujebijekcia N R(Nmámenšiumohutnosťako R) d)( π; π) R,pretožezobrazenie f()=tg : ( π; π) Rjebijekcia beerb@frcatelfriunizask 8 http://frcatelfriunizask/ beerb/

CVIČENIA MAI S Množina Asanazývanekonečnespočítateľná,akjeekvivalentnásmnožinouprirodzenýchčísel,tjak A NAkjemnožina A nekonečne spočítateľná alebo konečná, potom ju nazývame spočítateľná V opačnom prípade, tj ak nie je spočítateľná, ju nazývame nespočítateľná a hovoríme, že má mohutnosť kontinua Poznámka 36 Množina A môže bť konečná alebo nekonečná, resp na druhej strane spočítateľná alebo nespočítateľná(viď tab 34) Množina Ajekonečnáprávevted,akjeprázdna(tj A= )alebojekonečnespočítateľná(tj A {,,,n},kde n N)Keďnie je konečná, potom je nekonečne spočítateľná(tj A N ={,, 3, }) alebo je nespočítateľná { prázdna {konečná konečne spočítateľná množina { nekonečnespočítateľná nekonečná nespočítateľná } spočítateľná } množina Tab 34: Konečná, nekonečná, spočítateľná, nespočítateľná množina Príklad 3 a) Množina celých čísel Z je spočítateľná Vplýva to z príkladu 30 b)množinapárnchprirodzenýchčíseljespočítateľná,tj {n; n N} NDanoubijekcioujenapríkladzobrazenie f: N {n; n N}danépredpisom f(n)=n c)množinahodnôtľubovoľnejpostupnosti {a n } jespočítateľná Veta 36 Aksúmnožin A, Bspočítateľné,potomsúspočítateľnétiežmnožin A B, A Bakaždápodmožina C A Príklad 3 a)množin N N= {[n ; n ];n, n N}, Q={m/n; m Z, n N}súspočítateľné Bijekciou F: N N Qjenapríklad F([n ; n ])=f(n )/n,pričom f(n )=n /pre n párneaf(n )= (n )/pre n nepárne b)nespočítateľnésúnapríklad(a; b), a; b),(a; b, a; b, R, R 3, I=R Q Cvičenia 3Nech X Dokážte,žepreľubovoľnémnožin A, B, C Xplatí: a) [(A C) B] [(A B) C]={[A B] [C (A B)]} [B (C A)], b) [(A C) B] [(A B) C] (A B) (A C) 3Nech A={,,3,4}, B= {,,3,4,5}Nájditepotenčnémnožin A a B 33Nech n Nanech A n = {,,, n}koľkoprvkovakoľkopodmnožínmajúmnožin A n, A n, A3 n,, Ak n,kde k N? 34Nech X anech A, B, C XKtorézuvedenýchvzťahovsúpravdivé: a) A (A B), b) A (A B), c) (A B) A, d) (A B) B, e) (A B) B= B, f) (A B) B= B, g) (A B) A=A, h) (A B) A=A, i) (A B) B= A, j) (A B) B= A, k) (A B) A=B, l) (A B) B= 35Nech X anechpremnožin A, B, C, D Xplatiavzťah A B C,(A B) D=A BZistite,ktorézmnožín A C, B (D A), D (A C),(D B) súzatohtopredpokladuviazanévzťahominklúziealeborovnostimnožín 36Nech X anech A, B, C XOznačme P=[A (B C )] (A B), Q=[A (B C)] (B C) a R=[A (B C) ] (B C) Zistite, či eistuje medzi niektorými z množín P, Q, R vzťah inklúzie alebo rovnosti 37Nech X anechpre A, B, C, D Xplatí(A B) (C D),(A D ) [A (C D)]= Čomôžemetvrdiťovzájomných vzťahochmedzimnožinami A B, B D a A C? 38Nech A={,,3,4}, B= {a, b, c}, C= {,5, a, b, h}napíštevšetkprvkmnožín A B, A C, A B C beerb@frcatelfriunizask 9 http://frcatelfriunizask/ beerb/

CVIČENIA MAI S 39Nech A={: N, <6}anech A, A 3, A 5 Asútaké,že A obsahujevšetkpárnečísla, A 3 obsahujevšetkčísladeliteľné tromiaa 5 obsahujevšetkčísladeliteľnépiatimiurčtenasledujúcemnožin: a) A A 3, A A 5, A 3 A 5, b) A 3 A, A 5 A, A 5 A 3, c) A A 3, A A 5, A 3 A 5, d) A A 3, A A 5, A 3 A 5, e) A A 3 A 5, A A 3 A 5, f) A A 3, A A 5, A 3 A 5, g) (A A 3 ) A 5, (A A 3 ) A 5, h) (A A 5 ) A 3, (A A 5 ) A 3, i) (A 3 A 5 ) A, (A 3 A 5 ) A, j) (A 3 A 5 ) A, (A 3 A 5 ) A, k) (A A 5 ) (A 3 A 5 ), l) (A A 3 ) (A 3 A ), m) (A A 3 ) (A A 3 ), n) (A A 3 ) (A 3 A 5 ) 30 Grafick znázornite množin a) n) z príkladu 39 3Nech X Dokážte,žeprevšetk A, B, C, D Xplatí: a) A B A B= B, b) A B A B= A, c) A B A B=, d) A (A B), (A B) A, e) A C, B D (A B) (C D), f) A C, B D (A B) (C D), g) A C, B C (A B) C, h) A B, A C A (B C), i) A B (C B) (C A), j) A B (A C) (B C) 3Nech X Dokážte,žeprevšetk A, B, C Xplatí: a) A B=(A B) (A B), b) A (B C)=(A B) (A C), c) A (B C)=(A B) C, d) A (A B)=A B, 33Nech X anech A, B, C, D XZistite,ktorézrovnostísúpravdivé: a) (A B) (C D)=(A C) (B D), b) (A B) (C D)=(A C) (B D) 34Uvažujmemnožin A={,,3,5,7}, B={,3,7,9}Rozhodnite,čimnožin: a) f ={[;],[;3],[3;]}, b) f ={[;3],[3;],[;7],[7;9]}, c) f 3 ={[;],[3;3],[7;7],[7;9]}, d) f 4 ={[;],[;3],[;7],[;9]} súreláciamimedzi AaB,resp Ba AZistite,vktorýchprípadochsúzobrazením 35Uvažujmereláciu f={[; ] R R; 4 =0}Rozhodnite,ktorézusporiadanýchdvojíc[;],[;],[;],[ ;],[ ;], [; ],[; ],[ ;],[ ; ]patriadorelácie f 36Nechjedanámnožina A={a, b, c, d, e}definujtereláciu f A tak,abbola: a) refleívna, smetrická a tranzitívna, b) refleívna, smetrická, nie tranzitívna, c) refleívna, tranzitívna, nie smetrická, d) smetrická, tranzitívna, nie refleívna 37 Nech A je množina všetkých priamok v rovine Určte, či sú ekvivalenciami relácie: a) rovnobežnosť dvoch priamok, b) kolmosť dvoch priamok 38 Dokážte, že platia nasledujúce ekvivalencie množín: a) (0;) (0;, b) (0; 0;, c) (0;) ( ;, d) (0;) R 3, e) (0; 0;), f) (0;) 0;, g) R I, h) R R 39 Rozhodnite, ktoré z množín sú spočítateľné a ktoré nespočíateľné: a) (0;) Q, b) (0;) I, c) 0; {0,}, d) 0; Q 30Nech Ajespočítateľnámnožina,akúmohutnosťmámnožinavšetkýchjejpodmnožín A? 3Dokážte,žemnožina {a 0 + a +a + +a n n ; a 0, a,, a n Q},tjmnožinavšetkýchpolnómovstupňanajviac n (n N) s racionálnmi koeficientami, je spočítateľná Tati,bilatěněkdtvojemaminka? Ne,jenomtvoje úrvokzfilmuslunce,senoapárfacek Miřekni,prosímtě,conatomchlastumáš? Jatitořeknuatzačnešchlastattak úrvokzfilmuslunce,senoapárfacek beerb@frcatelfriunizask 0 http://frcatelfriunizask/ beerb/