ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η Έννοια της συνάρτησης. Γραφική παράσταση συνάρτησης 4. Ισότητα πράξεις συναρτήσεων.4 Σύνθεση συναρτήσεων 5.5 Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης 8.6 Συνάρτηση "-" Αντίστροφη συνάρτηση Κεφάλαιο ο ΟΡΙΑ. Όριο συνάρτησης στο 4. Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης 6. Όριο συνάρτησης στο άπειρο 7 Κεφάλαιο ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Συνέχεια συνάρτησης 9. Θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων 5 Κεφάλαιο 4ο ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 4. Η έννοια της παραγώγου 7 4. Παράγωγος συνάρτησης κανόνες παραγώγισης 5 4. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης Ρυθμός Μεταβολής Θεώρημα Rolle Θεώρημα Μέσης Τιμής Συνέπειες Θ.Μ.Τ. μονοτονία Συνάρτησης Ακρότατα Κυρτότητα σημεία καμπής Κανόνας Del ' Hospital 98 Κεφάλαιο 5ο ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 5. Αόριστο Ολοκλήρωμα 9 5. Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Ορισμένο Ολοκλήρωμα Η συνάρτηση f ( t) dt 9 γ 5.6 Θ.Μ.Τ. Ολοκληρωτικού Λογισμού Εμβαδόν επίπεδου χωρίου 4 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

2

3 Ανδρεσάκης Δημήτρης

4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

5 .. H έννοιια της συνάρτησης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Μια διαδικασία μεταξύ δυο συνόλων Α και Β με την οποία ένα στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του Β ονομάζεται συνάρτηση. Γράφουμε τότε f: A B. Για να συμβολίσουμε μια συνάρτηση χρησιμοποιούμε τα γράμματα f,g,h, φ, κτλ Αν Α R και Β = R τότε η συνάρτηση f λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Αν f : A R,μια συνάρτηση A και το αντιστοιχίζεται στο Α τότε συμβολίζουμε y = f () o Το y λέγεται εικόνα μέσω της f του ή τιμή της f στο o Το ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή. o Το y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. Αν f : A R μια συνάρτηση, επειδή κάθε Α πρέπει να έχει μια ακριβώς τιμή στο R, πεδίο ορισμού (Π.O.) της f ονομάζουμε το ευρύτερο υποσύνολο του R για το οποίο το f() έχει νόημα πραγματικού αριθμού και το συμβολίζουμε με D f. Για την εύρεση του Π.Ο μιας f μας χρησιμεύει ο παρακάτω πίνακας ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( D(f) ) Πολυωνυμικές f() =a v v + a v- v- + a a D(f) = R f()= P ( ) D(f)={ R/ Q() } Ρητές Q ( ) f() = v P ( ),όπου Ρ() D(f) = { R / P() } πολυώνυμο του Άρρητες f() = P ( ) P( ) v D(f)={ R/ και Q() } Q ( ) Q( ) Εκθετικές f() = p() s() D(f) = { R / p() >,p() } Λογαριθμικές k() = log s() f() D(k) ={ R /s()>, s(), f() >} f() = ημ, f() = συν D(f) = R Τριγωνομετρικές f() = εφ f() = σφ D(f) = { R / kπ+ π, k Z} D(f) = { R / kπ, k Z} Πολλαπλού τύπου Τότε το ΠΟ της f θα είναι ή ένωση των Π.Ο των κλάδων της f Συνδυασμένες Για την εύρεση του Π.Ο μιας συνάρτησης της οποίας ο τύπος αποτελεί συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων λαμβάνουμε υπόψη όσες από αυτές χρειάζονται και το ΠΟ προκύπτει από την τομή όλων των επιμέρους ΠΟ της κάθε περίπτωσης Ανδρεσάκης Δημήτρης

6 Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές που παίρνει η f για όλα τα Α, λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(α) η R(f). Είναι δηλαδή f(α) = { y R / υπάρχει κάποιο A με y = f () } Έστω μια συνάρτηση f : Α - > R. Αν o για κάθε A και το - Α o f ( - ) = f ( ) τότε η συνάρτηση f λέγεται άρτια Έστω μια συνάρτηση f : Α - > R. Αν o για κάθε A και το - Α o f ( - ) = - f ( ) τότε η συνάρτηση f λέγεται περιττή Έστω μια συνάρτηση f : Α - > R και Τ >. Αν o για κάθε A και το +Τ Α o f ( +Τ ) = f ( T )= f () τότε η συνάρτηση f λέγεται περιoδική με περίοδο Τ Ασκήσεις Α Ομάδας... Αν f() = + να βρείτε τα f (), f (), f (-4), f ( ). π π... Αν f(θ) = συνθ- ημθ να βρείτε τα f (), f ( ), f ( ).... Αν f(t) = lnt+lnt να βρείτε τα f ( e ), f (), f ( e )...4. Αν f(t) = e e να βρείτε τα f (ln), f (), f ( ln4 )...5. Έστω η συνάρτηση f () = +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (), f (-), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h), όπου, t, h R..6. Αν f() = +λ + 4 να βρεθεί το λ R λ αν f ( - ) =...7. <, Δίνεται η συνάρτηση f() = Nα βρεθούν τα f(),f(), f(-),f(5), καθώς και το πεδίο ορισμού της. 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

7 ..8. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f() = β) f() = 4 γ) f() = δ) f() = ε) f() = 5 + στ) f() = Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f() = β) f() = + γ) f() = 4 δ) f() = ε) f() = 7 + στ) f() =... Όμοια για τις παρακάτω συναρτήσεις α) ƒ() =ln ( - ) β) ƒ() = ln(-) γ) ƒ() =ln ( ) δ) ƒ() = log ε) ƒ() = ln( +-) στ) ƒ() = log ( -) ζ) f() = η) f() = ( ) θ) f() = ( )... Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f() = β) f() = 5 γ) f() = ε) f() = 4 + δ) f() = + στ) f() = + 7 ζ) f () = + η) f() = θ) f() = ι) f() = Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων α) ƒ(χ) = β) ƒ(χ) = ( )( 9 ) ( 4)( + ) 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

8 γ) ƒ(χ) = δ) ƒ(χ) = ε) ƒ(χ) = + στ) ƒ(χ) = + ln +... Όμοια για τις παρακάτω συναρτήσεις α) ƒ() = (-) / β) ƒ() = ln( ) 5 γ) ƒ()= ( ) δ) ƒ() = e ε) ƒ() = ln( ) στ) ƒ() = log(- log ) ζ) f() = ( + ) η) f() = θ) f() = (ln) ημ ι) f() = ln ln 5 + 4ln..4. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) β) f () = γ) f () = δ) f () = ε) f () = log ( + - ) + log + - στ) f () = συν ημ - + εφ -, [, π] ζ) f () = e ln..5. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε εάν είναι οι συναρτήσεις άρτιες ή περιττές α) f() = + β) f() = +7 γ) f() = e συν δ) f() = ln( + ) ε) f() = στ) f() = +ημ + ζ) f() = 4 - η) f() = 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

9 ..6. Δίνεται η συνάρτηση f() = e e e + e α) Να δείξετε ότι είναι περιττή β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της..7. Δίνεται η συνάρτηση f : R R α) Να δείξετε ότι η g() = [ f()+f(-)] είναι άρτια β) Να δείξετε ότι η h() = [ f()-f(-)] είναι περιττή γ) Η f γράφεται σαν άθροισμα μια άρτιας και μιας περιττής δ) Να γράψετε την συνάρτηση Κ() = ημ+ ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης Δίνεται η συνάρτηση f () = log +. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f + β) Να αποδείξετε ότι f ( ) + f ( ) = f για κάθε, του πεδίου + ορισμού της Αν f()= να δείξετε ότι f(+) f( )= f()... Αν f()= -4+6 να δείξετε ότι f ( ) = f( + )... Αν f()= + να δείξετε ότι f( ) = f ()... Αν f( +) = να βρεθούν τα f(), f(), f ( +) 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

10 Ασκήσεις Β' ομάδας... Δίνεται ότι για την συνάρτηση f ισχύει f( y ) = f()+f(y) για κάθε,y R*. Να αποδείξετε ότι α) f()= β) f( ) = f (), για γ) f( y )= f() f (y), για, y δ) f( )= f() για..4. Δίνεται ότι για την συνάρτηση f ισχύει f(+y)+f( y) = f()f(y) για κάθε,y R. Να αποδείξετε ότι f() = ή..5. Δίνεται ότι για την συνάρτηση f ισχύει f(+y) = f()+f(y) για κάθε,y R. Να αποδείξετε ότι α) f()= β) f( ) = f () γ) f περιττή δ) f(-y)=f()-f(y) ε) f(v)=vf()..6. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f :R->R με την ιδιότητα f ( ) f () = Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = k +(k +k+) +(k -k+)-k -k- διέρχεται,καθώς το k διατρέχει το R, από σταθερό σημείο...8. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f : R->R με την ιδιότητα f()+ f(+)..9. Για μια συνάρτηση f ισχύει f() + f ( ) = - για κάθε,να βρεθεί ο τύπος της. a + β... Δίνεται η συνάρτηση f() = + έχει σύνολο τιμών το [, ].Να βρείτε τους α και β ώστε η f() να... Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(+y)+f( y) = f() f(y ) χ,y R. Να δείξετε ότι η f είναι άρτια... Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(+y) f( y ) = f () f (y ) χ,y R. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

11 ... Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f()+f(+)+ f(+) = χ R. Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική..4. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f() f ( ) = f () R. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή a + β..5. Να βρεθούν τα α, β R ώστε η f() = + να έχει σύνολο τιμών το [ -,]..6. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f() = f( ) +συν R. Να δείξετε ότι είναι άρτια και να βρεθεί ο τύπος της..7. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f () - f ( ) =,, να βρείτε το f (). Προβλήματα..8. Οι μηνιαίες αποδοχές δυο υπαλλήλων Α και Β δίνονται από τους τύπους 5 5 Α(t)= t + και Β(t)= t + 5 αντίστοιχα σε χιλιάδες δραχμές όπου 6 6 t [,8] ο χρόνος σε έτη α) Βρείτε για πόσο χρόνο ο Α έπαιρνε περισσότερα από τον Β β) Βρείτε ποιο χρονικό διάστημα οι δυο έπαιρναν τα ίδια χρήματα και ποιο ήταν το ποσό αυτό..9. Μια αποθήκη έχει ύψος μικρότερο κατά 4 μέτρα από το πλάτος της και και πλάτος μικρότερο κατά μέτρο από το ύψος της.αν χ είναι το πλάτος της αποθήκης να εκφράσετε τον όγκο V ως συνάρτηση του χ. Ποιο το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης;..4. Να εκφραστεί το μήκος λ της χορδής ενός κύκλου ακτίνας cm ως συνάρτηση της απόστασής της από το κέντρο του κύκλου. Ποιο το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης; 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

12 ..4. Μια μπάλα πέφτει από την ταράτσα ενός κτιρίου. Το ύψος της σε μέτρα ύστερα 9 από t sec δίνεται από τον τύπο f(t) = t + 7. α) Σε ποίο ύψος θα φτάσει η μπάλα μετά από sec; β) Ποίο το ύψος του κτιρίου ; γ) Πότε θα φτάσει η μπάλα στο έδαφος ;..4. Η μια κάθετη πλευρά ενός ορθογωνίου είναι και η περίμετρός του. Να εκφράσετε την υποτείνουσα σαν συνάρτηση του...4. Ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 5. Αν ΑΒ = να εκφράσετε το εμβαδόν και την περίμετρο του ορθογωνίου σαν συνάρτηση του..44. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ = α και ύψος ΑΔ = h. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ είναι εγγεγραμμένο Α h στο ΑΒΓ, όπως δείχνει το σχήμα Ν α) Να εκφράσετε την περίμετρο L του ορθογωνίου ως συνάρτηση του ύψους του. Β Κ Δ β) Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. α Λ Μ Γ..45. Δύο κινητά διασταυρώνονται σε ένα σημείο Α και το πρώτο κατευθύνεται βόρεια του Α με σταθερή ταχύτητα υ = 6 km/h, ενώ το δεύτερο κατευθύνεται ανατολικά του Α με σταθερή ταχύτητα υ = 8 km/h. α) Να εκφράσετε την απόσταση s των κινητών ως συνάρτηση του χρόνου t. Με πόση ταχύτητα απομακρύνεται το ένα από το άλλο; S(t) Α S(t) β) Αν Μ το μέσον της απόστασης s να εκφράσετε την απόσταση ΑΜ σαν συνάρτηση του t. γ) Πόσο πρέπει να ελαττωθεί η ταχύτητα του δεύτερου κινητού, ώστε μετά από 4 ώρες το Μ να απέχει από το Α 8 km;..46. Μια μπάλα πετιέται κατακόρυφα από το έδαφος με ταχύτητα m/s. Το ύψος h από το έδαφος στο οποίο φθάνει η μπάλα είναι συνάρτηση του χρόνου t και δίνεται από τον τύπο h = f (t) = t - 5t. Ανδρεσάκης Δημήτρης

13 α) Να βρείτε το ύψος στο οποίο φθάνει η μπάλα τις χρονικές στιγμές: s, s, s, 7 s, s, 4 s. β) Ποιο είναι το μεγαλύτερο ύψος στο οποίο φθάνει η μπάλα; γ) Ύστερα από πόσο χρόνο η μπάλα θα φθάσει σε ύψος f (t) - f () δ) Να βρείτε το λόγο υ (t) =, t. t Το τμήμα παραγωγής μιας αυτοκινητοβιομηχανίας λειτουργεί ώρες ημερησίως και ο αριθμός των αυτοκινήτων που παράγει κάθε μέρα μετά από t ώρες λειτουργίας είναι N (t) = t - 5t. Το ημερήσιο κόστος K () σε χιλιάδες μονάδες εύρο για την παραγωγή αυτοκινήτων είναι K () = α) Να βρείτε το ημερήσιο κόστος Κ ως συνάρτηση του χρόνου λειτουργίας του τμή ματος παραγωγής. β) Πόσες ώρες μπορεί να λειτουργεί το τμήμα παραγωγής ώστε το ημερήσιο κόστος παραγωγής να μην υπερβαίνει τα,885 εκατομμύρια εύρο ; 6 9 m;..48. Το εισιτήριο του τρένου που συνδέει δύο πόλεις κοστίζει δρχ. για παιδιά μικρότερα των ετών,.5 δρχ. για παιδιά από τριών ετών και άνω αλλά μικρότερα των ετών και 6. δρχ. για κάθε άτομο από ετών και άνω. α) Να εκφράσετε την τιμή του εισιτηρίου ως συνάρτηση της ηλικίας. β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση Στο θερμόμετρο του σχήματος μπορούμε να έχουμε τη θερμοκρασία ενός χώρου σε βαθμούς Κελσίου (C), αλλά και σε βαθμούς Φαρενάιτ (F). Θεωρούμε δεδομένο ότι η σχέση που συνδέει τις τιμές της θερμοκρασίας σε C με τις τιμές σε F είναι γραμμική (η γραφική της παράσταση είναι ευθεία). α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης η οποία μετατρέπει τους βαθμούς C σε βαθμούς F. C o F o β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης η οποία μετατρέπει τους βαθμούς F σε βαθμούς C.γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει θερμοκρασία που να εκφράζεται με τον ίδιο αριθμό και στις δύο κλίμακες...5. Σε πείραμα σχετικό με την εκπαίδευση των ζώων, χρησιμοποιήθηκε ένας ποντικός, τον οποίο ανάγκασαν να διασχίσει πολλές φορές κάποιο λαβύρινθο σ ένα εργαστήριο. Ο χρόνος σε λεπτά, που ο ποντικός χρειάζεται για να διασχίσει 4 το λαβύρινθο, δίνεται από τη συνάρτηση f () = 4 +, όπου ο αριθμός των δοκιμών. Ανδρεσάκης Δημήτρης

14 α) Πόσο χρόνο χρειάστηκε ο ποντικός κατά την 7η δοκιμή; β) Από ποια δοκιμή και μετά θα χρειαστεί 5 λεπτά ή και λιγότερο; γ) Θα μπορέσει ποτέ να κάνει λιγότερο από 4 λεπτά..5. ; Από μετρήσεις διαπιστώθηκε ότι η καρδιά της γυναίκας μπορεί να φθάσει τους 6 το πολύ σφυγμούς ανά λεπτό σε ηλικία 5 ετών και τους 96 το πολύ σε ηλικία 5 ετών. Αν ο μέγιστος αριθμός των σφυγμών ως συνάρτηση της ηλικίας είναι της μορφής y = α + β, τότε: α) να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης β) να υπολογίσετε το μέγιστο αριθμό των σφυγμών ανά λεπτό στα 7 χρόνια μιας γυναίκας...5. Σε έτη από τώρα, ο πληθυσμός μιας κοινότητας θα είναι 6 f () = - χιλιάδες. Να βρείτε: + α) πόσος θα είναι ο πληθυσμός σε 7 χρόνια από τώρα β) πόσο θα αυξηθεί ο πληθυσμός κατά τη διάρκεια του 7ου χρόνου γ) τι θα συμβεί, αν το αυξάνεται απεριόριστα ;..5. Για μικρές μεταβολές της θερμοκρασίας ο τύπος που δίνει το μήκος! μιας μεταλλικής ράβδου, ως συνάρτηση της θερμοκρασίας t F, είναι:! -! = αt (t - t ) όπου:! είναι το αρχικό μήκος της ράβδου σε θερμοκρασία t F και α σταθερά που εξαρτάται από τον τύπο του μετάλλου. α) Αν το αρχικό μήκος της ράβδου είναι cm σε θερμοκρασία 6 F και α = -5, να γράψετε την εξίσωση που δίνει το μήκος! της ράβδου ως συνάρτηση της θερμοκρασίας t F. β) Σε ποια θερμοκρασία το μήκος της ράβδου είναι ίσο με, cm;..54. α) Να εκφράσετε ως συνάρτηση της γωνίας rad όπου π το εμβαδόν Ε του διπλανού κυκλικού τμήματος. β) Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε του μεικτογράμμου τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση της γωνίας rad, όπου < π. B A Γ E..55. Σε τρεις ασθενείς έχει δοθεί αντιπυρετικό φάρμακο και οι θερμοκρασίες τους σε βαθμούς C, ως συναρτήσεις του χρόνου σε ώρες, δίνονται από τους παρακάτω τύπους, οι οποίοι ισχύουν μέχρι την αποκατάσταση της φυσιολογικής θερμοκρασίας: Ανδρεσάκης Δημήτρης

15 f () = 4 - f () = 9 - f () = 8 - Σε τέταρτο ασθενή έχει δοθεί διαφορετικό αντιπυρετικό, και η συνάρτηση της θερμοκρασίας του ως προς το χρόνο είναι η: f 4 () = f - () +. α) Να βρείτε τη χρονική στιγμή, κατά την οποία οι θερμοκρασίες των τριών πρώτων ασθενών συμπίπτουν. β) Ποιο αντιπυρετικό είναι πιο αποτελεσματικό έως τη δεδομένη αυτή στιγμή;..56. α) Το μέσο Μ μιας χορδής ΑΒ της καμπύλης μιας συνάρτησης f y βρίσκεται πάνω από το αντίστοιχο σημείο της καμπύλης. Να εκφράσετε με τη βοήθεια μιας M B ανισότητας την παραπάνω πρόταση. A β) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f () = ισχύει η παραπάνω ιδιότητα. γ) Ομοίως για τη συνάρτηση g () = e. + Ανδρεσάκης Δημήτρης

16 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ.. Γραφιική Παράσταση Συνάρτησης Αν f : A R,μια συνάρτηση και Οy ένα σύστημα συντεταγμένων. Το σύνολο των σημείων Μ(, y ) με y =f(), δηλαδή το σύνολο των σημείων Μ (, f() ) με Α, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C f. Για να είναι η γραφική παράσταση μιας γραμμής του επιπέδου, γραφική παράσταση συνάρτησης θα πρέπει : κάθε ευθεία κάθετη στον ( παράλληλη στον yy' ) να την τέμνει το πολύ σε ένα σημείο γραφική παράσταση συνάρτησης ΟΧΙ γραφική παράσταση συνάρτησης Η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f : A R σαν γραμμή του επιπέδου έχει εξίσωση y = f() Έστω η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f : A - >R. τότε το σημείο Μ (,y ) ανήκει στην C f αν και μόνο αν y = f ( ) y =f( ) Αν μας δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f : A - >R τότε o Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της C f ( η προβολή της C f στον ' ) o Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της C f ( η προβολή της C f στον yy ' ) f (A) D f 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

17 Tα σημεία στα οποία η C f μιας συνάρτησης f : A - > R τέμνει τον ' βρίσκονται λύνοντας την εξίσωση f() =, A. Άν,,, v οι λύσεις της f() = τότε τα σημεία τα ζητούμενα θα είναι τα (,), (, ),., ( v, ) 4 Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δυο συναρτήσεων f :A -> R και g :B->R βρίσκονται από την λύση της εξίσωσης f () = g(), A B. Άν,,, v οι λύσεις της f() = g() τότε τα σημεία τα ζητούμενα θα είναι τα (, f( )), (, f( )),, ( v, f( v )) C f C g Για να βρούμε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων δυο συναρτήσεων f :A -> R και g :B->R μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς δ() = f() g(), A B. Αν δ() > για κάθε Δ A B τότε η C f βρίσκεται ψηλότερα από την C g στο Δ Αν δ() < για κάθε Δ A B τότε η C g βρίσκεται ψηλότερα από την C f στο Δ Για να βρούμε πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται πάνω ( αντ. κάτω ) από τον αξονα λύνουμε την ανίσωση f() > ( αντ. f()< ) 4 f() > για (, ) (, 4 ), f() < για ( -, ) (, ) ( 4, + ) Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον yy', ενώ η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Έστω η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f : A - >R. τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική με την C f ως προς τον άξονα ' η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f που βρίσκονται πάνω από τον ' και από τα συμμετρικά ως προς ' των τμημάτων της f που βρίσκονται κάτω από τον '. 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

18 C f C f C f Έστω η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f : A - >R. τότε o Η γραφική παράσταση της g() = f( +α ) προκύπτει με την μεταφορά της C f κατά!" α μονάδες δεξιά αν α <!" α μονάδες αριστερά αν α > o Η γραφική παράσταση της g() = f( ) + κ προκύπτει με την μεταφορά της C f κατά!" κ μονάδες κάτω αν κ <!" κ μονάδες πάνω αν κ > f() f(+5) f(-) -4 f()- 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

19 Ασκήσεις Α Ομάδας... Αν f() = +λ +6 να βρεθεί το λ R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(, 8).... Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ +συν +. Να εξετάσετε ποιο από τα παρακάτω σημεία Α (,), Β( π,), Γ ( π,), Δ ( π, ) ανήκουν στην γραφική παράσταση της f.... Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = α + β + γ διέρχεται από τα σημεία (, ), (, ) και (, )...4. Να βρεθούν τα κοινά σημεία κάθε μιας συνάρτησης με τους άξονες + α) f() = - β) f() = γ) f() = + δ) f() =, >, ε) f() = + ζ) f() = η) f() = ln(+) στ) f() = Για ποιες τιμές του χ R η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα όταν α) f() = + β) f() = +9 γ) f() = 4 e δ ) f() = + z) f() = ε) f() = στ) f() = (-) η) f() = e θ) f() = Να βρεθούν οι τιμές του χ για τις οποίες η C f βρίσκεται πάνω από την C g, όταν α) f() = +- και g() = - β) f() = +- και g() = +- γ) f() = και g() = - δ) f() = και g() = - 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

20 ..7. Δίνονται οι f() = -5 g()= +-, h() = α) Να βρεθούν τα κοινά σημεία κάθε μιάς συνάρτησης με τους άξονες β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C h, C g..8. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C f, C g ; όταν f() = -5+4, g() =..9. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και κατόπι η σχετική τους θέση α) f() = και g()= β) f() = - και g()= - γ) f() = + και g()= - δ) f() = + και g()= Δίνεται η συνάρτηση f () = -, [-, ]. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α) f () = f () + β) f () = f () γ) f () = - f () δ) f 4 () = f ()... Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = + β) f() = 4 γ) f() = δ) f() = ε) f() =... Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = β) f() = - + γ) f() = 4 ( ) δ) f() = ε) f() = ( + ) στ) f() = 4... Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = β) f() = γ) f() = δ) f() = ε) f() = 4 (+) στ) f() = Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = δ) f() = β) f() = + γ) f() = ε) f() = στ) f() = 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

21 ..5. Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο [,π] α) f() = ημ β) f() = ημ ( ) γ) f() = συν δ) π f() = συν + ε) π f() = συν στ) f() = εφ +π..6. Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων α) f() =, β) f() = -, γ) f() =, δ) f() = - ε) f() = -, ζ) f() = + η) f() = --. θ) f() = e..7. Να σχεδιάσετε πρόχειρα τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f() = log, β) f() = log, γ) f() = log, δ) f() = log / ε) f() = log (+) +, ζ) f() = log / ( ). η) f() = ln θ) f() = ln..8. Να σχεδιάσετε πρόχειρα τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f() = β) f() = γ) f() = δ) f() = ε) f() = Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις και να βρείτε το σύνολο τιμών της f όταν α) f() =,, < + γ) f() = + + ε) f() = + + β) f() = 4 +, δ) f() =, < 4 +, < ι) f() =( -) + ια) f() = ιβ) f() = +... Δίνεται η συνάρτηση f() =(λ-) +(λ-)+λ+5, λ Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε α) Να τέμνει τον σε σημεία β) Να τέμνει τον σε σημείο ( να εφάπτεται) 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

22 γ) Να μην τέμνει τον δ) Να αποδείξετε ότι όταν το λ διατρέχει το R-{} τότε η C f διέρχεται από σταθερό σημείο.... Nα βρεθούν οι αριθμοί α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = (α-) +b+ και g() = = και στον άξονα ψψ' a b ( b + ) + να τέμνονται πάνω στην ευθεία,... Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= + a, < < αν +, γνωρίζετε ότι διέρχεται από την αρχή των αξόνων.... Να κατασκευάσετε την παραβολή y=αχ άν είναι γνωστό ότι το σημείο της με τετμημένη απέχει από την αρχή των αξόνων μονάδες..4. Δίνεται η συνάρτηση f() = a +b+ α) Να βρεθούν τα a,b ώστε τα σημεία (,) και (,) να ανήκουν στην γραφική της παράσταση β) Να βρεθούν τα για τα οποία η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από την αρχή των αξόνων...5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f με τύπο: f () =, [-,] ( - κ), [κ -, κ + ], κ θετικός ακέραιος ( + κ), [- κ -, - κ + ] στο διάστημα [-, 5]. Τι παρατηρείτε; Ανδρεσάκης Δημήτρης

23 Ασκήσεις Β Ομάδας..6. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) =..7. Μια περιττή συνάρτηση f: R->R έχει την ιδιότητα f() α) να δείξετε ότι f()= β) να βρείτε τον τύπο της f γ) να γίνει γραφική παράσταση της g() = f(-)..8. Μια συνάρτηση f: (, ) R έχει την ιδιότητα f( ) ln f()- e α) να βρείτε τον τυπο της f β) να γίνει γραφική παράσταση της f()..9. Δίνεται η συνάρτηση f : R* R με την ιδιότητα f() = y f() f(y) 4. Να βρείτε τον τύπο της f... Δίνονται οι συναρτήσεις f() = 4 +, g() = + 8. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C f,cg και έπειτα να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από την Cg,... Δίνεται η συνάρτηση f() = +, α) να αποδείξετε ότι η f() είναι περιττή β) να γίνει γραφική παράσταση της f()... Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο R με f() = f( ) +συν α) Να δείξετε ότι είναι άρτια β) Να βρεθεί ο τύπος της γ) Να γίνει η γραφική της παράσταση Ανδρεσάκης Δημήτρης

24 .. Ισότητα Πράξειις Συναρτήσεων ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν o έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και o f() = g() για κάθε Α ( δηλαδή έχουν τον ίδιο τύπο ) Αν f : A R και g: Β R και Γ Α Β. Αν f() = g() για κάθε Γ τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ Προσοχή : Οι συναρτήσεις f () = + και g() = D f = R, ενώ D g = R- {} =, δεν είναι ίσες αφού Αν f : A - > R και g: Β - > R τότε ορίζονται οι παρακάτω πράξεις των συναρτήσεων o Η συνάρτηση f+g με πεδίο ορισμού το Γ = Α Β και τύπο (f+g)() = f()+g() o Η συνάρτηση f g με πεδίο ορισμού το Γ = Α Β και τύπο (f g)() = f() g() o Η συνάρτηση f g με πεδίο ορισμού το Γ = Α Β και τύπο (f g)() = f()+g() o Η συνάρτηση g f με πεδίο ορισμού το Γ = { Α Β \ g() } και τύπο f g f ( ) () = g( ) o Η συνάρτηση f v με πεδίο ορισμού το A και τύπο (f v )() = f() v o Η συνάρτηση λ f με πεδίο ορισμού το A και τύπο (λ f )() = λ f() Ασκήσεις Α Ομάδας... Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε εάν είναι ίσες οι συναρτήσεις και σε όσες δεν είναι να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο Ε στο οποίο αυτές είναι ίσες, α) f() = ( ) και g() = + β) f() = + και g() = + γ) f() = και g() = + δ) f() = και g() = 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

25 ε) f() = + + και g() = + στ) f() = ln και g() = ln ζ) f() = 5+ και g() = Δίνεται η συνάρτηση f () = +. α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση f. f () = - f () = f () = ( + ) f 4 () = ( + ) f5 () = lne + ln (+) f 6 () = e β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες.... Δίνονται οι συναρτήσεις f () = - + f () = + f () = - + f 4 () = ( -) - f 5 () = f 6 () = - + α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης. β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων. γ) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες...4. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να ορίσετε και να βρείτε ( εφόσον ορίζονται) τις συναρτήσεις f+g, f-g, f g, f/g, f ( =f f) α) f() = και g() = β) f() = και g() = + γ) f() = - και g() = + δ) f() = και g() = ( )( + ) ε) f() = ζ) f() = 5 και g() = 4 +, 4 και g() =, 4< 6, < στ) f() = +, < 7, + 4, < 7 και g() = Ανδρεσάκης Δημήτρης

26 ..5. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f() = + + και g() = είναι ίσες..6. Δίνονται οι συναρτήσεις +, ln, f () = και g () =, > - +, f Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) f + g β) f g γ) g < <..7. Δίνονται οι συναρτήσεις f : R R και g : R R. Να αποδείξετε ότι α) Αν f, g περιττές τότε f+g περιττή και f g άρτια β) Αν f, g άρτιες τότε f-g άρτια και αν g f / g άρτια γ) Αν f άρτια και g περιττή τότε f g περιττή Ασκήσεις B' Ομάδας..8. Αν f,g Α R και f()>, g() > R με f () -g () = να δείξετε ότι f = g...9. Αν f,g, h R R * + και f()> με f () +g ()+ h () =f()g()h() Nα δείξετε ότι f = g=h... Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:r->r με την ιδιότητα (f +g )( ) (f+g)() για κάθε χ R. Nα δείξετε ότι f = g... Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: R->R με την ιδιότητα (f+g) (f g) 4 (f+g)() [( f+g)() ] να δείξετε ότι f=g... Να βρεθεί ο α R ώστε οι a + a ( a ) + a 8 f ( ) =, g( ) = να είναι ίσες + a + + a + + α + α... Δίνονται οι συναρτήσεις f () =, g () =, α R, >. - ( -) α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g β) Για ποια τιμή του α ισχύει f = g; 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

27 ..4 Σύνθεση συναρτήσεων ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού D f και D g αντίστοιχα : α) Η σύνθεση f " g είναι μια συνάρτηση με Πεδίο Ορισμού : D f " g = { D g / f () D f } Τύπο : (f " g ) () = f(g()) g f β) Η σύνθεση g " f είναι μια συνάρτηση με Πεδίο Ορισμού : D g " f = { D f / f () D g } Τύπο f : (g " f ) () = g(f()) g Οι συναρτήσεις g " f και f " g (εφόσον ορίζονται ) δεν είναι κατ' ανάγκη ίσες. Αν f, g, h τρείς συναρτήσεις τότε f " ( g " h) = (f " g) " h (εφόσον ορίζονται οι συνθέσεις ) Ασκήσεις Α Ομάδας.4.. Να γραφούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως σύνθεση δυο ή τριών συναρτήσεων α) ƒ() = ημ(-) β) ƒ() = συν(/) γ) ƒ() = εφ( + ) δ) ƒ() = + ε) ƒ() = ημ ( (+) + ln -) στ) ƒ() = e ζ) ƒ() = ημ ( ln( +4)).4.. Έστω f() = και g() =. να βρεθεί το (g ο f)(). 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

28 .4.. Αν f() = (ημ + συν) ημ και g() = να βρείτε τον αριθμό (g " f ) ().4.4. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = +, g()= 4+9. Να βρεθούν οι f ο g και g ο f και να εξετασθεί είναι ίσες.4.5. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = - [ -,] και g() = 5 -, [,7]. Να οριστούν οι συναρτήσει ς f " g και g " f.4.6. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = + [ -, ] και g() = +, [-,]. Να οριστούν οι συναρτήσει ς f " g και g " f.4.7. Αν f() = να βρεθεί η f " f.4.8. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το (,7) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h () = ( f " g)() όταν g() = Αν f(+) = - χ R να βρείτε τα f(), f().4.. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [, ]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f ( ) β) f ( - 4) γ) f (ln).4.. Αν D f = (-,) να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων α) g() = f() β) h()= f ( -) γ) s() = f(- ) Δίνονται οι συναρτήσεις: f () =, g () = - +. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους. β) Να βρείτε τις συναρτήσεις f + g, f g. γ) Χρησιμοποιώντας τις f, g να δικαιολογήσετε ότι (gof) () g () f (). δ) Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις f, g οι συναρτήσεις fog και gof είναι ίσες..4.. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = και (f ο g) + και g() = +, Να βρείτε τις (g ο f).4.4. Να προσδιορίσετε τις f " g και g " f για κάθε ένα από τα παρακάτω ζευγη συναρτήσεων α) f() = 5χ+4 και g()= 6 β) f() = - και g()= + γ) f() = και g()= + δ) f() = και g()= 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

29 Ασκήσεις B' Ομάδας.4.5. Να βρεθεί η g " f αν g() = με χ 4 και f()=, <,.4.6. Να βρεθεί η g " f αν g() = χ- και f()=, +, <.4.7. Έστω f: R R και g:r R με f() =+ και (g " f)() = 4 +.Nα βρεθεί ο τύπος της f Έστω f: R R και g:r R με g() = και (f " g)() = ++. Nα βρεθεί ο τύπος της f Έστω f: R R και g:r R με f() =+ και (f " g)() = e + +.Nα βρεθεί ο τύπος της g..4.. Έστω f:r R. Αν για οποιαδήποτε σταθερή συνάρτηση g είναι g " f = f " g να δείξετε ότι η f είναι ταυτοτική ( I : R-> R με I() = ).4.. Αν f() =, g () =, h() = ln() να ορίσετε την h " (f " g).4.. Αν f() =, g () = ημ, h() = να ορίσετε την (f " g) " h.4.. Αν f() = 4, g () = ημ να προσδιορίστε τις f " g, g " f, f " f, g " g.4.4. Άν f() = α+β, g() = - να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των α, β ώστε g " f = f " g.4.5. Έστω f:r R και g:r R. Να αποδειχθούν οι παρακάτω προτάσεις α) Αν f,g περιττές τότε f " g, g " f περιττές β) Αν f άρτια και g περιττή τοτε f " g άρτια γ) Αν f άρτια τότε g " f άρτια δ) Αν f περιττή και g " f περιττή τότε g περιττή.4.6. Έστω f:r R με (f " f " f)()= R. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.4.7. Έστω f:r R με (f " f)()= -+ R. Να δείξετε ότι η f()=.4.8. Έστω f:r R με (f " f " f)()= -+4 R. Να δείξετε ότι η f()=.4.9. Έστω f:r R με (f " f " f)()= R. Να δείξετε ότι η f()=.4.. Ποια καμπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g () = f (f (f ())), αν f () = ; - 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

30 ..5 Μονοτονίία Ακρότατα συνάρτησης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Μια συνάρτηση f ορισμένη στο σύνολο Δ λέγεται o γνησίως αύξουσα στο Δ όταν για κάθε, A < f( ) <f( ) o γνησίως φθίνουσα στο Δ όταν για κάθε, A < f( ) >f( ) o αύξουσα στο Δ όταν για κάθε, A < f( ) f( ) o φθίνουσα στο Δ όταν για κάθε, A < f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ή γνησίως φθίνουσα στο Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ Αν η f: Α R είναι γνησίως μονότονη στο Α τότε η εξίσωση f() = έχει το πολύ μια ρίζα στο Α ( απόδειξη με εις άτοπο απαγωγή! ) Μια συνάρτηση f μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα (ή φθίνουσα ) στα διαστήματα Δ και Δ αλλά να μην είναι γνησίως αύξουσα (ή φθίνουσα ) στο Δ Δ ( Παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης είναι η f() = ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (ή φθίνουσα ) στα (α,β] και [ β, γ) τότε είναι γνησίως αύξουσα (ή φθίνουσα ) στο (α,γ). Για να μελετήσω μια συνάρτηση f :A->R ως προς τα ακρότατα ( στο παρών στάδιο) ξεκινώ με, A, < και προσπαθώ στα μέλη να κατασκευάσω την συνάρτηση. Στην επίλυση εξισώσεων της μορφής f() = k, k R θέτω g() = f() - k και εξετάζω αν η g() είναι γνησίως μονότονη. Αν είναι τότε βρίσκω μια ρίζα της g() " με το μάτι " έστω η οποία είναι και μοναδική αφού γ γνησίως μονότονη. Οπότε είναι g( ) = f( ) - k = f( ) = k =. Στην επίλυση ανισώσεων της μορφής f (A()) > k, κ R με f γνησίως μονότονη και κ = f( ) είναι f( A()) > k f( A()) > f( ), f γν αυξ. Α() >. f( A()) > k f( A()) > f( ), f γν φθ. Α() <. 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

31 Αν ζητείται εύρεση μονοτονίας σε δίκλαδη συνάρτηση πρώτα εξετάζω κάθε κλάδο χωριστά και έπειτα παίρνω από τον ένα κλάδο και από τον δεύτερο κλάδο και εξετάζω την μονοτονία. Για τις πράξεις με μονότονες συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ, ισχύουν τα ακόλουθα ( χρειάζονται απόδειξη! ) o Αν f γνησίως. αύξουσα στο Δ - f γνησίως φθίνουσα. στο Δ o Αν f, g γνησίως. αύξουσες στο Δ f +g γνησίως. αύξουσα στο Δ o Αν f, g γνησίως φθίνουσες στο Δ f +g γνησίως φθίνουσα στο Δ o Αν f, g γνησίως. αύξουσες στο Δ και f() και g() για κάθε Δ f g γνησίως. αύξουσα στο Δ o Αν f, g γνησίως φθίνουσες. στο Δ και f() και g() για κάθε Δ f g γνησίως φθίνουσα. στο Δ Έστω η συνάρτηση f :A R o Λέμε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο όταν υπάρχει A με f() f( ) για κάθε Α o Λέμε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο όταν υπάρχει A με f() f( ) για κάθε Α Το ελάχιστο και το μέγιστο της f, αν υπάρχουν ονομάζονται ακρότατα της f,και τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο ( μέγιστο ) στο το f ( ) Μια συνάρτηση μπορεί να μην έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο ( Παραδείγματα τέτοιας συνάρτησης είναι η f() = και η f() = ) Αν μια για μια συνάρτηση f : A R τα m και Μ είναι το μέγιστο και το ελάχιστο αντίστοιχα το [ m, M] είναι τα σύνολο τιμών της. Άρα ένας τρόπος για να βρίσκω τα ακρότατα συνάρτησης είναι να βρίσκω το σύνολο τιμών της.. Για να μελετήσω μια συνάρτηση ως προς τα ακρότατα ( στο παρών στάδιο) ξεκινώ από βασικές παραδοχές όπως,, f() v και " κατασκευάζω" στο αριστερό μέλος την συνάρτηση. Αν για μια συνάρτηση f : A->R ισχύει f() Μ, για κάθε Α δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το Μ είναι μέγιστο της συνάρτησης f. Για να είναι μέγιστο πρέπει να υπάρχει A με Μ = f ( )( ανάλογα συμπεράσματα ισχύουν για το ελάχιστο ) M M = f( ) 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

32 Ασκήσεις Α' Ομάδας.5.. Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις α) f() = α+β, α> β) f() = α +β, α< γ) f() = α, α< δ) f() = α, α< ε) f() = α, α > στ) f() = α, α < ζ) f() = α +β+γ,α > η) f() = α +β+γ, α < ι) α f() =, α > ια) α f() =, α < ιβ) f() = α, >α > ιγ) f() = α, α > ιδ) f() = log α, >α > ιε) f() = log α, α >.5.. Μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και f () f(8) <. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της..5.. Μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και f ( ) f( 4 ) >. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f() = 4+ και g() = - είναι γνησίως αύξουσες.5.5. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f() = 4 + και g() = 5 είναι γνησίως φθίνουσες.5.6. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις α) f() = + β) f() = f() = γ) f() = - δ) f() = - ε) f() = - στ) f() =ln Να αποδείξετε ότι η f() = ++ είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ).5.8. Να αποδείξετε ότι η f() = + είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) και γνησίως φθίνουσα στο (,+ ) αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη στο R* a.5.9. Να βρεθούν οι τιμές του α R ώστε η συνάρτηση f ( ) = ( ) να είναι a + α) γνησίως αύξουσα β) γνησίως φθίνουσα.5.. Να εξετάσετε ως προς τα ακρότατα τις συναρτήσεις α) f() = β) f() = - + γ) f() = 4 ημ δ) f() = συν - ε) f() = e στ) f() = Να εξετάσετε ως προς τα ακρότατα τις συναρτήσεις α) f() = + 4 β) f() = - 4 γ) f() = 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

33 δ) f() = ε) f() = στ) f() = ++ ζ) f() = -+ η) f() = Να εξετάσετε ως προς τα ακρότατα τις συναρτήσεις α) f() = -, [,8] β) f() = ln+5, [,e], γ) f() =, [ -,] δ) f() = +, [ -,).5.. Μια συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το [ -, ] (, + ). Έχει ακρότατα και ποια;.5.4. Αν f() 5 τότε η f έχει ελάχιστο το - 5 και μέγιστο το 5 ;.5.5. Έστω f() = Να αποδείξετε ότι το 6 είναι ελάχιστο της f Ασκήσεις B' Ομάδας.5.6. α) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g () = f () + f (-) είναι άρτια. β) Αν μια συνάρτηση f είναι περιττή και παρουσιάζει μέγιστο για =, να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για = α) Για κάθε α >, να δείξετε ότι α + α. β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f () = + με > Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες). α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα. β) Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog. γ) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f () = ln [ln ()], > Να αποδείξετε ότι Αν f, g γνησίως. αύξουσες στο R f οg, gof γνησίως. αύξουσες στο R Αν f γνησίως. αύξουσα στο R και g γνησίως φθίνουσα στο R f οg, gof γνησίως. φθίνουσες στο R.5.. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές για κάθε Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση + είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. f g.5.. Έστω f() = α) να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) να λυθεί η εξίσωση = Ανδρεσάκης Δημήτρης

34 .5.. Έστω f() = 5 α) να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) να λυθεί η ανίσωση 5 < Έστω f() = e α) να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) να λυθεί η ανίσωση f() >.5.4. Έστω f() = ln α) να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) να λυθεί η ανίσωση f() <.5.5. Nα λυθούν οι εξισώσεις α) = 5 β) e - + ln + = γ) + 4 = Nα λυθούν οι ανισώσεις α) ( ) + < ( ) β) e - +ln+ > γ) + 4 < 5 6 δ) > Αν f : R->R είναι περιττή συνάρτηση και έχει ελάχιστο να αποδείξετε ότι έχει και μέγιστο. α + β.5.8. Να βρεθούν τα α, β R έτσι ώστε η συνάρτηση να έχει ελάχιστο το + και μέγιστο το Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων + 4 α) f() = β) f() = ,.5.. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = είναι γνησίως αύξουσα, > +,.5.. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = είναι γνησίως +, > αύξουσα.5.. Αν η συνάρτηση f : R->R έχει την ιδιότητα f( +y) = f()+f(y) για κάθε,y R και f() > για κάθε > να αποδείξετε ότι α) f() = β) f περιττή γ) f γνησίως αύξουσα.5.. Αν η συνάρτηση f : R->R έχει την ιδιότητα f( ) + + f(+) για κάθε R α) Να βρεθεί ο τύπος της f β) Να βρεθεί το ελάχιστο της f και που το παρουσιάζει αυτό Έστω f: R R με (f of ) () = χ R και f γνησίως αύξουσα.να αποδείξετε ότι f() = Ανδρεσάκης Δημήτρης

35 ..6 Συνάρτηση "-",, Αντίίστροφη συνάρτηση ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Μια συνάρτηση f : A -> R λέγεται "-" ( ένα προς ένα) όταν για κάθε, A με είναι f( ) f( ) Μια συνάρτηση f : A -> R λέγεται "-" επίσης αν και μόνο αν για κάθε, A με f( ) = f( ) είναι = Αν μια συνάρτηση f : A -> R είναι " " τότε κάθε ευθεία παράλληλη στον yy' ( δηλαδή της μορφής y = k ) τέμνει τη C f το πολύ σε ένα σημείο. συνάρτηση - συνάρτηση όχι - Αν μια συνάρτηση f : A -> R είναι " " τότε η εξίσωση y = f() με y f(a) έχει μια μοναδική λύση. Αν μια συνάρτηση f : A -> R είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και " " Προσοχή : το αντίστροφο δεν ισχύει.( π.χ η f() =/ ) Οι συναρτήσεις f() = α+β, f() = α, f() = α /, f() = αe + β, f() = αln+β είναι "-" Η συνάρτηση f() = α + β + γ δεν είναι "-" Αν μια συνάρτηση f : A -> R είναι " " τότε ορίζεται η συνάρτηση f : f(α) - > R από τη σχέση f() = y f (y) = H f ονομάζεται αντίστροφη της f A f f (A) = f - (y) y=f() f - Ανδρεσάκης Δημήτρης

36 Με βάση τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης για την αντίστροφη της συνάρτησης f : A ->R έχουμε D o f = f (A) o To σύνολο τιμών της f είναι το πεδίο ορισμού A της f o Για κάθε y f(a) είναι f () = y f (y) = Αν μια συνάρτηση f : A -> R είναι αντιστρέψιμη τότε o f ( f ()) = o f ( f (y)) = y,, A y f(a) o (f ) = f Αν Μ(,y) C f f() =y f (y) = N( y,) C f. Άρα οι C f και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = ( την διχοτόμο του ου και ου τεταρτημορίου.) f ( ) = f () = f ( ) = f() f () = μόνον όταν f είναι γνησίως αύξουσα. Αν για μια συνάρτηση f : A -> R θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρω την f τότε o Δείχνω ότι η f είναι " " ή μονότονη o Λύνω την f() =y ως προς και στην πορεία παίρνω περιορισμούς για το y., δηλαδή βρίσκω το f(a) o Στην σχέση που βρήκα παραπάνω για το, αντικαθιστώ τα με y και αυτός είναι ο τύπος της f και f : f(a) - > A Αν για μια συνάρτηση f : A -> R θέλουμε να αποδείξουμε ότι δεν είναι " ", και άρα όχι αντιστρέψιμη, βρίσκω, A με και f( ) = f( ) 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

37 Ασκήσεις Α' Ομάδας.6.. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι "-" α) f() = β) f() = γ) f() = + δ) f() = ε) f() = ln + στ) f() = e Να δειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι "-" α) f() = ( )( +6 ) + β) f() = + γ) f() = 4 δ ) f() = Να εξεταστεί εάν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι "-" α) f() = β) f() = ln ( +) γ) f() = +4 δ ) f() =( ) ε) f() = ( ) 5 ( 5 ) Αν f (f()) = να αποδείξετε ότι η f είναι "-".6.5. Αν f = + + να αποδείξετε ότι η f δεν είναι "-".6.6. Nα ορισθεί ( εφ'όσον ορίζεται ) η αντίστροφη της συνάρτησης f όταν α) f() = 5 β) f() = ln ( ) γ) f() = + δ ) f() = e ε) f() = στ) f() = z) f() = - η) f() = Nα ορισθεί ( εφ'όσον όρίζεται ) η αντίστροφη της συνάρτησης f όταν α) f() = ln- β) f() = γ) f() = 4 δ) f() =.6.8. Δίνεται η συνάρτηση f () = 6 ε) f() = + στ) f() = +. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι -. β) Να βρείτε την f -. Ασκήσεις Β' Ομάδας.6.9. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln α) να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα β) να λύσετε την εξίσωση f () = f () γ) να λύσετε την ανίσωση + ln > 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

38 .6.. Δίνεται η συνάρτηση f() = e + + α) να αποδείξετε ότι η f είναι " " β) να λύσετε την εξίσωση f () = 4 γ) να λύσετε την ανίσωση e + >.6.. Μια συνάρτηση f : R - >R έχει την ιδιότητα (f o f) ()+ f() =. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη..6.. Η γραφική παράσταση μιας μονότονης συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α( 5, 9) και Β(,) α) να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) να λυθεί η εξίσωση f ( + f ( +)) = Η γραφική παράσταση μιας μονότονης συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α( 5, 9) και Β(, ) α) να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β) να λυθεί η εξίσωση f ( + f ( +)) = 9 γ) να λυθεί η ανίσωση f ( f ( 8 )) <.6.4. Έστω f,g : R - > R συναρτήσεις "- ".Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις fof, fog, gof, gog είναι "-".6.5. Έστω f : A - > R και g f(a):- >R. Αν η gof είναι "-" να αποδείξετε ότι α) η f είναι "-" β) η g είναι "-".6.6. Έστω f,g : A - > R με (gof ) () = +, για κάθε R. Να λυθεί η εξίσωση g ( ) = g ( ).6.7. Να λυθεί η εξίσωση ( e + ) 5 +( e + ) +e + =.6.8. Αν f : R -> R είναι "-" να δείξετε ότι η g() = λ f ( )+μ είναι "-".6.9. Αν f (f()) = f()+ να αποδείξετε ότι η f είναι "-".6.. Αν f (f()) = f()+ α) να αποδείξετε ότι η f είναι "-" β) να αποδείξετε ότι f() =.6.. Αν f (f()) = και f αντιστρέψιμη να αποδείξετε ότι f = f.6.. Δίνεται η f : R-> R με f(f()) = -+ α) να αποδείξετε ότι f() = β) να αποδείξετε ότι η g() = f()+ δεν είναι "-".6.. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = α -, <α< είναι "-" λ 6λ 5λ β) Αν <α< να βρεθεί το λ R ώστε a α =λ λ Nα ορισθεί ( εφ'όσον ορίζεται ) η αντίστροφη της συνάρτησης f όταν, α) f() = β) f() = 8, <.6.5. Αν f : R-> R και ορίζεται η (fof) να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

39 .6.6. Αν f,g,h: R-> R, η f είναι "-" και fog = foh να αποδείξετε ότι g = h.6.7. Αν f() = -5 και g() = - να ορίσετε τις (fog) και g of.6.8. Να βρεθούν τα λ, β ώστε η συνάρτηση f() = λ+β να είναι αντιστρέψιμη με f - = f.6.9. Δίνεται η συνάρτηση ƒ με ƒ ( ) ƒ(α) ƒ(α ). Nα αποδείξετε ότι h ƒ δεν αντιστρέφεται..6.. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = και h () = + ορισμού το διάστημα Δ = (, + ). με κοινό πεδίο Α. α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε fog = h. β) Να βρείτε μια συνάρτηση φ ώστε φof = h. B. α) Να βρείτε τις f -, g - h - (αντίστροφες των f, g, h). β) Να βρείτε τις f - og - και g - of -. γ) Να εξετάσετε αν g - of - = h - (δικαιολογήστε την απάντησή σας). 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

40 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

41 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

42 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

43 ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΟΡΙΩΝ l οπότε μορφή f()= l ρητή συνάρτηση παραγοντοποίηση με ριζικά συζυγή παράσταση με απόλυτα διώχνω τα απόλυτα εξετάζοντας το πρόσημο της παράστασης μέσα σε αυτά μορφή a τριγωνομετρικές ημa συν = a, = ημ, συν, και κριτήριο παρεμβολής αλλαγή μεταβλητής o παρονομαστής πάντα θετικός η πάντα αρνητικός κοντά στο οπότε g( ) ± π( ) μορφή a o παρονομαστής αλλάζει πρόσημο κοντά στο οπότε παίρνω πλευρικά όρια και Δεν υπάρχει το όριο ± πολυωνυμική ρητή το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου το όριο του πηλίκου των μεγιστοβάθμιων όρων με ριζικά Βγάζω " κοινό "παράγοντα μέσα στις ρίζες την μεγαλύτερη δύναμη του και έπειτα από όλη την παράσταση. Αν καταλήξω σε μορφή γυρίζω στην αρχή και και κάνω συζυγή παράσταση 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

44 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΛΛΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΟΡΙΩΝ!"Ασκήσεις με κριτήριο παρεμβολής Αν h() f() g() και h() = a a όπου α R ή ±, λ R ή ± g() = λ τότε a f() = λ,!"ασκήσεις με σχέση ορίου Όταν δίνεται μια σχέση ορίου μέσα στην οποία υπάρχει η συνάρτηση f() και ζητείται το όριο της f() τότε την σχέση την ονομάζω g(), λύνω ως προς f() και παίρνω όρια.!"όριο κλαδωτής συνάρτησης Αν ζητείται το όριο στο και το σημείο αλλαγής τύπου τότε παίρνω πλευρικά όρια!"παραμετρικές Α) παραμετρικές της μορφής α f Ζητείται το όριο της μορφής h () = (λ, ), κάνω το g ( ) σπάσιμο f (λ, ) και εξετάζω το όριο της f(λ) = f () για g ( ) τις διάφορες τιμές του λ Αν f(λ) (f(λ) > ή f(λ) < ) τότε h() = ± ή με πλευρικά όρια το h() δεν υπάρχει Αν f(λ) = λ=.. και αντικαθιστώ Β) παραμετρικές στο ± Ζητείται το όριο της μορφής h ( λ,) όπου η h() περιέχει ριζικά ± Βγάζω κοινό παράγοντα την μεγαλύτερη δύναμη του οπότε h() = k (... ±... ) ± g(λ) Αν g(λ) (g(λ) > ή g (λ) < ) h ( λ,) = ± ± Αν g(λ) = λ = αντικαθιστώ και κάνω συζυγή παράσταση στην αρχική 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

45 .. Όριιο συνάρτησης στο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ f() f() f() l=f( ) f( ) l l f() f() f() σχήμα σχήμα σχήμα!"όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε ένα πραγματικό αριθμό!, καθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο τον πραγματικό αριθμό, τότε γράφουμε f() =! και διαβάζουμε o το όριο της f() όταν το τείνει στο είναι! ή o το όριο της f() στο είναι!!"όταν f() ="!" τότε μπορεί o! = f( ) (σχήμα ) δηλαδή το όριο το όριο της f() στο είναι "ίσο με την τιμή της f στο. (Τότε όπως θα δούμε η συνάρτηση θα λέγεται συνεχής στο ) o! f( ) (σχήμα ) δηλαδή το όριο το όριο της f() στο δεν είναι "ίσο με την τιμή της f στο. o Nα μην ορίζεται η f στο (σχήμα )!" Επομένως για να μιλήσουμε για όριο στο δεν είναι ανάγκη η συνάρτηση να ορίζεται στο αρκεί η συνάρτηση να ορίζεται "κοντά " στο δηλαδή σε ένα διάστημα της μορφής ( α, ) (, β ) ή ( α, ) ή (, β ) 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

46 !"Τι γίνεται όμως όταν θέλουμε να υπολογίσουμε το f() και η f ορίζεται μόνο σε ένα διάστημα της μορφής ( α, ) ή (, β ) ή η f προσεγγίζει άλλον αριθμό καθώς το κινείται προς το από μικρότερες τιμές άλλον αριθμό καθώς το κινείται προς το από μικρότερες τιμές και Τότε μιλάμε για τα πλευρικά όρια!" l l l l l l o Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε ένα πραγματικό αριθμό! καθώς το τον πραγματικό αριθμό από μικρότερες τιμές ( < ) τότε γράφουμε f() =! και λέμε ότι το αριστερό όριο της f στο είναι! o Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε ένα πραγματικό αριθμό! καθώς το τον πραγματικό αριθμό από μεγαλύτερες τιμές ( > ) τότε γράφουμε f() =! και λέμε ότι το δεξί όριο της f στο είναι! + o Το αριστερό και το δεξιό όριο της f() στο όταν υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί λέγονται πλευρικά όρια της f() στο. o Όταν τα πλευρικά όρια της f() στο υπάρχουν και είναι ίσα τότε υπάρχει και το όριο της f() στο. Δηλαδή f() =! f() = + f() =! o Όταν μια συνάρτηση δεν ορίζεται δεξιά του ( δηλ ορίζεται σε διάστημα της μορφής ( α, ),τότε οι έννοιες όριο στο και αριστερό όριο στο συμπίπτουν. ( αντίστοιχα για το δεξιό όριο ) 44 Ανδρεσάκης Δημήτρης

47 o Αν f() =! και + f() =! με! "! τότε δεν υπάρχει το όριο της f στο!"αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο τότε αυτό είναι μοναδικό.!"ισχύει ότι c = c = f() =!" " ( f() -!) = f() =!" " f( + h ) =! h h f( + h ) =!" "" h + f() = " " f() = f( + h ) = f() =!" "" [- f() ] = -!" h f( + h ) =!!"Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν f ( ) =! και g( ) =! όπου! και! πραγματικοί αριθμοί, τότε αποδεικνύεται ότι: ( f ( ) + g( )) =! +! ( kf ( )) = k! ( f ( ) g( )) =!! f ( )! = ( ) g! ν ( ( )) =! ν f ν f ( ) = ν! f ( ) =!!"Πρόταση,!, εφόσον f() κοντά στο. Αν P() και Q() είναι πολυώνυμα τότε P() = P( ) P( ) P( ) =, εφόσον Q() κοντά στο. Q( ) Q ( ) 45 Ανδρεσάκης Δημήτρης

48 !"Απροσδιόριστες μορφές Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο μορφή τότε κάνουμε τα παρακάτω f() το οποίο καταλήγει σε P( ) Αν η f είναι της μορφής. f() = με P() και Q() είναι Q( ) πολυώνυμα και P( ) = Q( ) = τότε κάνοντας παραγοντοποίηση (σχήμα Ηorner, ταυτότητες, ) προσπαθούμε να εμφανίσουμε σε αριθμητή και παρονομαστή παράγοντες κοινό παράγοντα το - και να κάνουμε έτσι την λεγόμενη άρση της απροσδιοριστίας. Αν η f() είναι ρητή όπου ο αριθμητής ή ο παρονομαστής περιέχει ριζικά. τότε κάνουμε χρήση των σχέσεων!"πρόταση Αν a b a b a b =, a + b = a + b a b a b a + b a b = a + b = a + ab + b a ab + b v v a b a b = v v v v a + a b ab + b ανάλογα αν έχουμε ριζικά ης, ης ή ν ης τάξης. Αν f() > τότε f() > κοντά στο. f() < τότε f() < κοντά στο. H παραπάνω πρόταση είναι χρήσιμη όταν έχουμε όρια με απόλυτες τιμές.!"πρόταση Αν f() g() κοντά στο και οι f,g έχουν όριο στο τότε f() g()!"πρόταση 4 ( ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ) Αν h () f() g() κοντά στο και τότε f() =!"" h() = g() =!" 46 Ανδρεσάκης Δημήτρης

49 H πρόταση αυτή είναι πολύ σημαντική και η χρήση της γίνεται συχνά σε συνδυασμό με τις γνωστές ιδιότητες : f() k - k f() k ημ(ότι θέλεις ), συν(ότι θέλεις ),!"Τριγωνομετρικά όρια Για κάθε R ισχύει ημ o το ίσον ισχύει για = o αν > τότε ημ > o αν < τότε ημ < ημ() = ημ ( ) συν() = συν ( ) ημ =, = συν Για τον υπολογισμό τριγωνομετρικών ορίων πολύ συχνά κάνουμε χρήση του κριτηρίου παρεμβολής!"'οριο σύνθετης συνάρτησης Για να υπολογίσουμε το όριο f(g()) κάνουμε τα εξής Αν u=g() g() = u f(u) =!"" u u g() u, κοντά στο τότε f(g()) = f(u) =!" u u!"'οριο συνάρτησης με ριζικά Στις ασκήσεις που περιέχονται, συνήθως θέτω u = οπότε = u. Αν η άσκηση περιέχει ριζικά διαφόρων τάξεων π.χ. k, λ,... τότε θέτω u = ν όπου ν = EKΠ ( κ, λ, ) 47 Ανδρεσάκης Δημήτρης

50 Aσκήσεις Α' Ομάδας... Να αποδείξετε ότι μία συνάρτηση f δεν μπορεί να έχει όριο στο όταν: α) f () = 4 και f () = λ( λ) με λ R, + + β) f () = κ + και f () = κ 5κ + με κ R.... α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, αν ισχύουν f () = λ + και f () = λ +. + β) Για μία συνάρτηση f ισχύουν f () = + και f () + + = Να βρείτε το όριο της f στο σημείο R, 4 + αν είναι γνωστό ότι αυτό υπάρχει.... Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f. Να βρείτε το f( ) καθώς και το f (), αν υπάρχουν, στην περίπτωση που το είναι ίσο με: α), β) 5, γ) 6, δ) 7, ε) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f. Να βρείτε το f( ) καθώς και το f (), αν υπάρχουν, στην περίπτωση που το είναι ίσο με: α), β), γ), δ) 4, ε) 5, ζ) 6, η) 7, θ) Για τις παρακάτω συναρτήσεις να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις και με την βοήθειά τους να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το f () :, >, α) f() = και =, β) f() = 9 και =,, <, > γ) f() = και =, δ) f() = και =, ε) f() = και =, ζ) f() = + και =. 48 Ανδρεσάκης Δημήτρης

51 ***..6. Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α) ( 5 + ), β) γ) ( ), δ) ε) (εφπ ln + 7), ζ), + ημ, π ν ( + 5), ν Ν *, η) ημ + συν, θ) ημ + συν Οι συναρτήσεις f και έχουν πεδίο ορισμού το R και ισχύει f() 5 για κάθε R. Αν f () = 5 και g() =, να υπολογίσετε τα όρια: α) f () + g() f () f () +, β) 4 f () 4f () 5. f () Αν f () = 4 και f() 4 για κάθε R, να βρείτε τα όρια: α) f () + f () 7f () 4, β), f () 6 γ) f () f () 4, δ) f () f. () 6 ***..9. α) Να βρεθεί το β) Να βρεθεί το + + 6, ± 4... Αν f() =, να βρείτε τα όρια: 5, = 4 α) f (), β) f (), γ) f (), δ) f () ,... Δίνεται η συνάρτηση: f() = + 6, <. Να βρείτε, εφόσον, < < 5 υπάρχουν, τα όρια: α) f (), β) f (), γ) f (), δ) f (), ε) f (), ζ) f (), η) f (), θ) f () Ανδρεσάκης Δημήτρης

52 ... Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια των παρακάτω συναρτήσεων στα σημεία = και =., <, α) f() =, β) g() =. 5, 8, > 4, β... Δίνεται η συνάρτηση f() =. Αν οι αριθμοί α και β ( + α) +, > β είναι ακέραιοι, να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο αυτής της συνάρτησης στο σημείο = β. α +, >..4. Αν f() =, να βρείτε την τιμή του α R, ώστε να υπάρχει το + α, < όριο της συνάρτησης f στο σημείο =. + α, >..5. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε τις τιμές του α R + α, < για τις οποίες ισχύει f () = 4. + α, <..6. Δίνεται η συνάρτηση: f() = α +, <. Να βρείτε τις τιμές του α α, R οποίες η συνάρτηση f έχει όριο στο όχι όμως και στο. + β,..7. Αν f() =, να υπολογίσετε τους α, β R, ώστε να υπάρχει το + α, < όριο της συνάρτησης f στο σημείο = και να ισούται με 8. α +, <..8. Αν f() = + β, <, να βρείτε τις τιμές των α και β για τις + 4α > οποίες υπάρχουν τα f () και f ()...9. Δίνεται η συνάρτηση f() = + +,. Να εξετάσετε αν, > f () f () υπάρχει το όριο της συνάρτησης g() = στο σημείο =. 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

53 ,... Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε, εφόσον, = υπάρχουν, τα όρια της f στα σημεία = και =. ***... Να βρείτε τα όρια: 4 α), β) δ), ε) η) , θ) 7, 6 γ) +, 8 ζ) ( + 4) 7. ( + 6) , 9 +, 6... Να βρείτε τα όρια: α) +, β) 8 9, γ) 4 4 +, δ), ε) α 4 + 4, α, ζ). α + α... Να βρείτε τα όρια: α) , + β) γ) ν ν, ν Ν *, δ) 6 + 5, + ν (ν + ) + ν +, ν Ν *. ***..4. Να βρείτε τα όρια: α) 4, 6 6 β) δ) 8, + ε), γ) , ζ) 9 + +, Ανδρεσάκης Δημήτρης

54 η) κ) , θ), ι), , ια) π ημ + συν ημ +. συν..5. Να βρείτε τα όρια: α) +, 4 6 β) γ) 5 4, δ) , Να βρείτε τα όρια: α) γ) +, β) , δ) 4 +., ***..7. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) +, β) συν συν, + γ) +, δ) Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) , β), 4 γ) , δ) Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) +, β), + +, δ), , ζ). + 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

55 ... Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α), β).... Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) , β), 4 4 γ) , δ), ε) , ζ), + + η) + 4 συν, θ) π συν 5συν +... Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) + + 5, β), γ) , δ), ε) η), ζ) + 7 ( ) , θ), ημ ημ.... α) Αν f() να βρεθεί το f ( ) και το f() β) Αν f() +5, για κάθε να βρεθεί το f ( ) γ) Αν f() -, για κάθε να βρεθεί το f ( )..4. α) Αν f() +5, για κάθε να βρεθεί το f ( ) β) Αν f() ημ, για κάθε να βρεθεί το f ( )..5. α) Να βρεθεί το ημ β ) Να βρεθεί το ημ + ημ 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

56 ..6. Να αποδείξετε ότι : α) 5 ημ = β) + συν 4 π = γ) συν 4 =..7. α) Αν για κάθε R ισχύει f() ( 5), να δείξετε ότι: f () = = f(5). 5 β) Αν για κάθε R ισχύει f() λ ρ( κ), όπου λ, κ, ρ σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι: f () = λ = f(κ). κ..8. α) Αν για κάθε R ισχύει 5 ( 5)f() 5, να βρείτε το f () β) Αν για κάθε R ισχύει ( )f() + 4, να 8 βρείτε το f (). γ) Αν για κάθε R ισχύει ημ f() ημ, να βρείτε το f ()...9. Αν η συνάρτηση f : R->R πληροί τη συνθήκη f() - να αποδείξετε ότι f ( ) = συν χ ημ 4 χ..4. Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει 6 f() + 9, για κάθε R. Να βρείτε τα όρια: f () 8 f () 8 α) f (), β), γ), 8 f () 8 f () δ), ε) Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει f() +, για κάθε. Να βρείτε τα όρια: f () 6 α) f (), β), γ) f () f () + δ), ε), ζ) 9 f () 6, f () Να υπολογίσετε τα όρια: 4 4 α) ( 9) ημ 6, β) 5 ( 9) ημ Ανδρεσάκης Δημήτρης

57 5 5 γ) ( + 6)ημ, δ) ( + 6) + 5 ημ +. + ***..4. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: ημα ημα εφ α), β), γ), δ) α εφα α..44. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) ημ, β), ημ + + γ) δ) ημ ημ5 ημ, ε) ( 8, ημ ζ) η) ημ5 ημ θ). + 4 ημ 4 4 ημ, 8 ημ ημ,..45. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: ημ(α+ ) ημ(α ) α), β) ( σφ ), γ) δ) ημ εφ εφ ημ, ε). 4 5 ημ 5εφ,..46. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: α) συν συν6, β) συνα, γ), 4 δ) ημ εφ συν + ημ συν συν5, ε), ζ), η) συν συν Να υπολογίσετε τα όρια: συν συν συν συν α), β) Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια: ημπ εφπ α), β), γ) ημ4π 5 5 δ) ημ α ημα α ε) ημπ, ζ) + ( α)εφ α ημ( ), + π α, 55 Ανδρεσάκης Δημήτρης

58 η) ημ( + ) ημ(ημ ), θ). ημ( ) ***..49. Αν (f() 5) = 7, να βρεθεί το f()...5. Αν ισχύει ( f ( ) + + ) = - 4, να υπολογίσετε το f ( )...5. α) Αν ισχύει (f () + 5) 4 =, να υπολογίσετε το f (). 4 5 f () β) Αν ισχύουν f() κοντά στο και = 4, να βρείτε το 5 f () f ()...5. Αν (f () g()) = 7 και (g() 7f ()) f () και g(). + =, να βρείτε τα..5. Αν ( f () + g()) = 4 και (f () + g() + )) εφόσον υπάρχουν, τα f () και g(). =, να βρείτε,..54. Αν α) f () = και (g() + ) = 5, να βρείτε τα: + g (), β) f () 5 g () f () Αν ισχύουν (f () + g ()) = 4 και (f () g ()) = 6, να βρείτε τα όρια: α) (f () g ()), β) (f () + g ()),γ) (f () + 5g ()) α) Αν β) Αν f () f () = 5, να βρείτε τα όρια f () και, 9 9 f () f () =, να δείξετε ότι και 9 = Ανδρεσάκης Δημήτρης

59 f ()..57. α) Αν = και β) Αν [f ()( 8)] g() f (). + = 6, να βρείτε το g() f () g(). = 4 και [g()( + )] = 5, να βρείτε το..58. Δίνονται δύο συναρτήσεις f και g με κοινό πεδίο ορισμού το R, για τις g()ημ f () g()ημ + f () οποίες ισχύουν = 5 και =. g() Να βρείτε τα f () και Δίνεται συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε βρείτε το f (). f ()ημ + συν4 4 + = 4. Να f ()..6. Αν f: R R συνάρτηση με =, να υπολογίσετε τα όρια: ημ f () + f ()ημ + f () f () α), β). 5ημ f () + f ()ημ + ***..6. Αν f( 5+h) =, να βρεθεί το h ( f() ). 5 f ()..6. α) Αν β) Αν f: R R συνάρτηση με f () + f ( )ημ. ημ = d R, να δείξετε ότι f() f (α) = α d για κάθε α R *. =, να βρείτε το f() α) Αν = και για κάθε R ισχύει f() = f( ), να βρείτε το f() f() β) Αν = 4 και για κάθε R ισχύει f() = f( ), να βρείτε το f()..64. Δίνεται μία άρτια συνάρτηση f. Να βρείτε: 57 Ανδρεσάκης Δημήτρης

60 α) το f() αν f() = d R, β) το f () αν (f () + 5) = 4, 4 γ) το f () + + αν f () + 4 = Δίνεται μία περιττή συνάρτηση f. Να βρείτε: α) το f() αν f() = d R, β) το f () αν (f () + ) = 5, 6 γ) το f () + + αν f () 9 = Έστω μία περιττή συνάρτηση f: R R. α) Αν f () =, να βρείτε το (f ( ) f ( )). f () f () f () f ( ) β) Αν = 4, να βρείτε το. + ***..67. Να βρεθούν τα α, β R έτσι ώστε a (β + ) + α + β = Να βρεθεί το α R έτσι ώστε το όριο + ( a ) + 5a να είναι πραγματικός αριθμός Να βρεθούν τα α, β R έτσι ώστε a + β a + β α) = 4 β) = Ασκήσεις Β Ομάδας..7. Με βάση το διπλανό σχήμα, να υπολογίσετε τα όρια: β α) (α β), β) (α β ), γ). π π π α θ θ θ 58 Ανδρεσάκης Δημήτρης

61 ..7. Να αποδείξετε ότι: α) ( + ) κ = κ, κ Ν *, β) ( + ) κ λ = λ κ, κ, λ Ν *...7. Να αποδείξετε ότι: ημ + ημ + ημ + # α) 4 συν β) = 8 + ημν = ν + ν, ν Ν *,..7. Αν f(λ) είναι ο βαθμός του πολυωνύμου Ρ() = (4 λ ) + (λ ) + λ +, να εξετάσετε αν υπάρχει το f (λ). λ..74. Να υπολογιστούν, για τις διάφορες τιμές του α R, τα όρια: α α α), β). α α α α..75. Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση f: R R, τέτοια ώστε να ισχύουν f () = και f() = ημ για κάθε R Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει f( + y) = f()ημy + f(y)ημ για κάθε, y R. Αν f () = 5, να βρείτε το f (), όπου α R. α..77. Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει f( + y) = f() + f(y) για κάθε, y R. α) να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή β) Αν f ( ) = f (α) για κάποιο συγκεκριμένο α R να βρείτε το α f ( ), R..78. α) Αν κοντά στο ισχύει f() g() και g() ότι και f () =. β) Αν f () γ) Αν f () =, να δείξετε ότι και f () =, να δείξετε ότι και f () =. =. =, τότε να δείξετε δ) Αν κοντά στο είναι f() και g() και ισχύει (f () + g()) =, τότε να δείξετε ότι f () = g() =. 59 Ανδρεσάκης Δημήτρης

62 ε) Αν (f () + g ()) =, τότε να δείξετε ότι f () = g() =..79. Αν κοντά στο ισχύει g() Φ, όπου Φ R, και τότε να δείξετε ότι (f () g()) =. f () g() =,..8. α) Αν (f () 4f ()) = 9, τότε να δείξετε ότι f () =. β) Αν για κάθε R ισχύει f () f(), να υπολογίσετε το f ()...8. Αν για κάθε R ισχύει f () + g () + f() 4g() + 5, να υπολογίσετε τα f () και g()...8. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες στο R και ισχύει f () g () + =, να αποδείξετε ότι f () = g() =. ημ..8. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες στο R και ισχύουν (f () + g()) = και (f ()g()), τότε να αποδείξετε ότι f () g() =. =..84. Να βρείτε τα όρια: α) γ) ε) η) ι) ( ) , β) , δ) + 4, +, ζ), 64 +, θ) 4 ( ) 4( ) , 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

63 .. Μη πεπερασμένο όριιο συνάρτησης στο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ f() σχήμα σχήμα!"όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f μεγαλώνουν συνεχώς καθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο τον πραγματικό αριθμό, τότε γράφουμε f() = + και διαβάζουμε o το όριο της f() όταν το τείνει στο είναι + ή o το όριο της f() στο είναι +! (σχήμα )!" Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f μεγαλώνουν συνεχώς καθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο τον πραγματικό αριθμό, τότε γράφουμε f() = - και διαβάζουμε o το όριο της f() όταν το τείνει στο είναι + ή o το όριο της f() στο είναι -! (σχήμα )!"Για να μιλήσουμε το όριο f() f() = + δεν είναι ανάγκη η συνάρτηση να ορίζεται στο αρκεί η συνάρτηση να ορίζεται "κοντά " στο δηλαδή σε ένα διάστημα της μορφής ( α, ) (, β ) ή ( α, ) ή (, β )!"Όταν μια συνάρτηση δεν ορίζεται δεξιά του ( δηλ ορίζεται σε διάστημα της μορφής ( α, ),τότε οι έννοιες όριο στο και αριστερό όριο στο συμπίπτουν. ( αντίστοιχα για το δεξιό όριο )!"Όταν τα πλευρικά όρια της f() στο υπάρχουν και είναι ίσα τότε υπάρχει και το όριο της f() στο. Δηλαδή :, αντίστοιχα για - f() = + f() = + f() = + 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

64 !"Ιδιότητες o Αν o Αν o Αν o Αν f() = + τότε f() >, κοντά στο f() = - τότε f() <, κοντά στο f() = + τότε f() = - τότε [ -f() ] = - [ -f() ] = + o Αν f() = και f() > κοντά στο τότε! + + o Αν o o f() = και f() < κοντά στο τότε! f() = + ή - τότε f f ) ( ) f() = + τότε o Αν f() g(), κοντά στο τότε!"αν!"αν v f() = + τότε g() = - τότε ( = + f ( ) = ± g() = + f() = f ( ) = + = - o = +, = v + v, = + + v+!"για τον υπολογισμό των απείρων ορίων χρησιμοποιούμε τις παρακάτω ιδιότητες f() α R α R g() (f()+g() ?????? f() α> α> α< α< f() f() g() ?????? Ανδρεσάκης Δημήτρης

65 !"Οι μορφές + - (+ ), (- ) (- ),, ±,,,, ± λέγονται απροσδιόριστες μορφές. Εάν ένα όριο έχει μια από τις παραπάνω μορφές αυτό δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι δεν υπάρχει αλλά για να το βρούμε (αν υπάρχει ) πρέπει να μετασχηματίσουμε την συνάρτηση!"όρια τα οποία καταλήγουν στην μορφή a, α είτε δεν υπάρχουν είτε ισούνται με +, ή -. Σε αυτές τις περιπτώσεις εξετάζουμε το πρόσημο του παρονομαστή.!"γενικός τρόπος αντιμετώπισης ορίων στο Μου ζητούν το f(). Βρίσκουμε το f( ) οπότε l οπότε f()= l f( ) μορφή a μετασχηματισμός αριθμ/ παρονομ. και άν πρέπει πλευρικά όρια + ή - α μορφή μετασχηματισμός αριθμ/ παρονομ. και άν πρέπει πλευρικά όρια Δεν υπάρχει το όριο l R Δεν υπάρχει το όριο μορφή a 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

66 Ασκήσεις A Ομάδας... Έστω f μία συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα ακόλουθα όρια: α) f (), β) f (), f (, γ) f (), δ) ) ε) f ().... Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να σχεδιάσετε την γραφική της + παράσταση και να βρείτε από αυτή, εφόσον υπάρχει, το f ().... Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α), β) ( ), γ) δ) 4 +, ε) , Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α) + 4, β), γ) 5 + 6, 4 δ) 4 4, ε), ζ) Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: + α), β), γ) + δ), δ) ,..6. Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: + α), β), γ) π + συν συν 4 5 δ), ε), ζ) π ημ ημ, συν 4. ημπ..7. Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: 64 Ανδρεσάκης Δημήτρης

67 α) σφ, β) σφ, γ) εφ, δ) εφ, ε) π π σσφ ημ. + π εφ 4 π Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α), β), γ) π ημ π συν δ), ε) π σφ ημ +. π ημ 4, π εφ..9. Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: + + α), β), ημ γ), δ) Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α), β), γ) 4, δ) ε) ,... Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α), β) + 4 ( ), δ) γ) +, + 4, 5 ( ) 6 ε) + + ), ζ) 5 ( ( ), η) 8, θ). ( Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α), β), γ) Ανδρεσάκης Δημήτρης

68 ... Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α) +, β), γ) δ), ε), ζ), η).,, Δίνεται η συνάρτηση f() = +, υπάρχουν, τα f () και f (). <. Να βρείτε, εφόσον..5. Δίνεται η συνάρτηση f() = το f (). +, + 5, ( + ) >. Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, < Ασκήσεις Β Ομάδας ***..6. Αν = + f ( ) f ( )..7. Αν = + 5 +, να βρεθεί το f ( ), να βρεθεί το f ( ) 5 f ()..8. α) Αν ) = και f () = d R *, να αποδείξετε ότι d <. ( β) Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν f () = +, g() = d R * και (f () g()) =, να αποδείξετε ότι d <...9. Αν f () = +, να υπολογίσετε τα όρια: 66 Ανδρεσάκης Δημήτρης

69 α) ( f ( )), β) 9, γ) f () f () 5f (). f () +... Αν για κάθε R ισχύει f () g() = 4 και f () όρια: α) g(), β) g () +, γ) g() =, να βρείτε τα g() f ().... Να υπολογίσετε το f (), εφόσον υπάρχει, αν: α) = +, β) [f ()( + )] f () γ) ( f () ημ(π) ) =. =,... Να υπολογίσετε το f (), εφόσον υπάρχει, όταν: f () α) =, β) [( + )f () + 5] γ) =. f () = +,... Για την συνάρτηση f υποθέτουμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R και ότι η C f + βρίσκεται ολόκληρη κάτω από τον άξονα. Αν =, να βρείτε f () τα όρια: f () α) f (), β). f ()..4. Αν ισχύουν ( f () g() ) = και ( f () g() ) τα όρια: α) f () και g(), β) (f () g()) + =, να βρείτε, γ) ( f () + g ())..5. Αν f ( + h) =, να υπολογίσετε τα όρια: h ημ(ημ( h)) α) ( f ( + h) f ( h) h ), β). h f ( h)...6. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R και ισχύει f () α f (α) αποδείξετε ότι = +, όπου α <. *** f () = +, να 67 Ανδρεσάκης Δημήτρης

70 f ()..7. α) Αν g() f () =. β) Αν f () g() g() =. f () γ) Αν g() d g() = d. = d R και g() = + ή και f () = + ή και f () =, να δείξετε ότι θα είναι και = d R, να δείξετε ότι = d R, να δείξετε ότι..8. α) Αν ν Ν * ν, να αποδείξετε ότι αν = 8, τότε ν = 5. β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες υπάρχει στο R το (α + ) + 8 α και στην συνέχεια να υπολογίσετε το όριο. γ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε να ισχύει + 4α + α = 9. + α..9. α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες ισχύει = α 4 + α +. + β) Να βρείτε τους κ, λ R, ώστε η συνάρτηση f() = να έχει κ λ μη πεπερασμένα πλευρικά όρια στα σημεία = και =.... Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α, β για τις οποίες ισχύει: α) + + α + β = 4, β) 5 + α + β = 7, γ) α β =. συν... Αν + + a + =+ να βρεθεί η τιμή του α. f ()... Αν f () = και =, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς ν (f ()) αf() + β α και β για τους οποίους ισχύει: =, ν Ν *. 68 Ανδρεσάκης Δημήτρης

71 4 + β,... Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε για ποιες τιμές + α 4, < των α, β R υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο = και είναι πραγματικός αριθμός. + α + β, <..4. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε τις τιμές των α, + 4, > β R ώστε να υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο = και να είναι πραγματικός αριθμός. α + 4, <..5. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε τις τιμές των α, β + γ +, > β, γ R ώστε να υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο = και να είναι πραγματικός αριθμός. + α +, <..6. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε τις τιμές των α, β + γ, > β, γ R, για τις οποίες υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο = και είναι πραγματικός αριθμός. α,..7. Δίνεται η συνάρτηση f() = γ, + 8 δ, β( ) < =. Να βρείτε τις τιμές των α, > β, γ και δ R * για τις οποίες υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο σημείο = και ισχύει f () = f(). 69 Ανδρεσάκης Δημήτρης

72 *** λ..8. α) Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του λ R, το f (). λ 6 β) Δίνεται η συνάρτηση f() = +. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του λ R, για την οποία η συνάρτηση f να έχει όριο στο σημείο = πραγματικό αριθμό...9. Δίνεται η συνάρτηση f() = του λ R, το f (). + λ λ. Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές λ..4. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του λ R, το f ( ). λ Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές 4 του λ R, το f ( )...4. Αν α, β R, να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα ακόλουθα όρια: 6 + α α), β) α α α α + β α + β γ) α α + α...4. Αν α, β R, να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα ακόλουθα όρια: α + β ασυν + ηµ β α), β) Αν α, β R, να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα ακόλουθα όρια: α) + α α, β), + β β γ) δ) α α, ε). β 4 β + β, α α Δίνεται η συνάρτηση f() = α. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

73 του α R το f () Δίνεται η συνάρτηση f() = τιμές του α R το f (). α α + α α α. Να βρείτε για τις διάφορες..47. Δίνεται η συνάρτηση f() = των α, β R * το f (). β + α + α. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές β Δίνεται η συνάρτηση f() =.Να βρείτε τα α, β R έτσι ώστε α + β + f() = + και f() = Αν f() = + να βρεθεί το όριο a a f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) Δίνεται η συνάρτηση f() = R ώστε f ( ) R a + (β + ) Να βρεθούν οι τιμές των α, β..5. Δίνεται η συνάρτηση f() = (λ + ) διάφορες τιμές των λ, μ το f ( ) (λ + μ) + μ ( ). Να βρεθεί για τις..5. Δίνεται η συνάρτηση f() = τιμές του λ,το f ( ) λ λ Να βρεθεί για τις διάφορες 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

74 .. Όριιο συνάρτησης στο άπειιρο!"'οριο στο + Έστω μια συνάρτηση f που ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, + ) Τότε: f() l f() f() + +!"Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν τον πραγματικό αριθμό l καθώς το μεγαλώνει συνεχώς, τότε γράφουμε f() = l +!"Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f αυξάνονται συνεχώς, καθώς το μεγαλώνει συνεχώς, τότε γράφουμε f() = + +!"Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f ελαττώνονται συνεχώς, καθώς το μεγαλώνει συνεχώς, τότε γράφουμε f() = - +!"'Οριο στο Έστω μια συνάρτηση f που ορίζεται σε διάστημα της μορφής (-, α) Τότε: f() l f() f()!"όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν τον πραγματικό αριθμό l καθώς το ελαττώνεται συνεχώς, τότε γράφουμε f() = l!"όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f αυξάνονται συνεχώς, καθώς το ελαττώνεται συνεχώς, τότε γράφουμε f() = +!"Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f ελαττώνονται συνεχώς, καθώς το ελατώνεται συνεχώς, τότε γράφουμε f() = - 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

75 Ιδιότητες. Άν λ θετικός ρητός τότε l i m + χ λ = +, και + λ = πχ + =+, =+, + =, + =. Άν λ θετικός ακέραιος τότε χ λ = - + αν λ αρτιος - αν λ περιττος και - λ = π.χ - = +, = =, - 5 =. Τό όριο κάθε πολυωνυμικής συνάρτησης στο άπειρο ισούται με το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου της στο άπειρο ± π.χ - (α ν ν + α ν- ν- + α ν- ν α +α )= (α ν ν ) α ν ± + (5 ++8) = + ( ) = - (5 )= 5 (+ )= + ( - 9 ) = (-9) (- )= + 4. Τό όριο κάθε ρητής συνάρτησης στο άπειρο ισούται με με το όριο του λόγου των μεγιστοβάθμιων όρων της στο άπειρο ( ± ν ν- ν- α ν χ + α ν- χ + α ν- χ +...+α χ+α κ κ- κ- β χ + β χ + β χ +...+β χ+β κ κ- κ- )= ± ν α ν χ α ν β κ κ β κ χ π.χ l i m = = l i m = - = - 7 = 7 = = (- )=+ 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

76 5. Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα. 6. Για το όριο στο ± ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες του ορίου στο χ με την διαφορά ότι εδώ το " κοντά στο χ " αντικαθίσταται από διάστημα της μορφής ( α, + ) ή (-,α ) 7. Άν + Άν + Άν + Άν + f() = l > τότε ξ > τω f(ξ) > f() = l < τότε ξ > τω f(ξ) < f() = + τότε ξ > τω f(ξ) > f() = - τότε ξ > τω f(ξ) < Άν f() = l > τότε ξ < τω f(ξ) > - Άν f() = l < τότε ξ < τω f(ξ) < - Άν f() = - τότε ξ < τω f(ξ) < - Άν f() = + τότε ξ < τω f(ξ) > - 8. Για την εύρεση του ορίου στο άπειρο κλάσματος με ρίζες βγάζουμε κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη δύναμη του χ στα υπόριζα και έτσι το κλάσμα γράφεται σαν γινόμενο συναρτήσεων όπου η μία έχει όριο άπειρο και η άλλη πραγματικό αριθμό Στην περίπτωση όμως που καταλήξουμε σε κάποια απροσδιόριστη μορφή τότε χρησιμοποιώ συζυγή παράσταση 9. Στις τριγωνομετρικές χρησιμοποιώ το κριτήριο παρεμβολής και τις βασικές τριγωνομετρικές που μάθαμε στο όριο στο χ καθώς και τις: ημχ χ = + [ημ( ± )]= ( =u άρα όταν ± τότε u και άρα [ημ( )]= (ημu)=ημ()= ± u 9. Όρια Εκθετικής Λογαριθμικής Αν α> α =, α = +, l i m log α =, - + Αν <α< α = +, α =, l i m log α = +, + log α = + log α = - 74 Ανδρεσάκης Δημήτρης

77 Ασκήσεις A Ομάδας... Έστω η συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α) f (), β) f (), + γ) f (), δ) f (), ε) f (), ζ) f () Να υπολογίσετε τα όρια: α) 4 6 5, β), γ), + + δ) 4 7, ε), ζ), + + η) 4, θ), ι), + κ) / / + 4, κα) 5, κβ), κγ) Να υπολογίσετε τα όρια: α) ( + + ), β) ( ), γ) ( ), δ) ( ) Να υπολογίσετε τα όρια: α) 4 + 4, β) γ) , + + δ) ε) 4 +, + 4 ζ) η) 5 +, ± 4 θ) , , , ± Δίνεται η συνάρτηση f() = +. Να εξετάσετε αν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου της συνάρτησης αυτής καθώς: α) +, β), γ), δ), ε)...6. Να υπολογίσετε τα όρια: α) 5, β) +, + 75 Ανδρεσάκης Δημήτρης

78 4 γ) , δ) + +, ε), ζ) η), θ) ,..7. Να υπολογίσετε τα όρια: 4 α) ( ), + 4 β) ( ), γ) ( + + ), δ) ( 4 + ), ε) ( ), + ζ) ( ), η) Να υπολογίσετε τα όρια: α) ( ), β) ( ), γ) ( + ), δ) ( ), + ε) ( ) + 5 η) ( ), θ) ι) ζ) ( + 5 ), , Να υπολογίσετε τα όρια: α) +, β) ( ), + + γ) + 4, δ) + +, ε) ( + + 5), ζ) ( ), + η) ( ), θ) ι) ,... Δίνεται η συνάρτηση f()= Να βρεθούν τα όρια της f στο + και Ανδρεσάκης Δημήτρης

79 ... Να υπολογίσετε τα όρια: α) , β) + +, + γ) ( ν ν + ν ), ν, δ) ( ), ε) , ζ) Να υπολογίσετε τα όρια των ακολουθιών: α) α ν = 4 5ν + ν 5, 4 5ν ν + β) α ν = 4 ν 5ν ν, γ) α ν = ν ν + ν 6 + ν 5 ν 4 + ν, δ) α ν = ν 5ν + ν + 5, ε) α ν = 5ν ν + ν ν ν + 5ν, ζ) α ν =. 6 4 ν ν + ν ***... Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: α) γ) + 4 5, β) ε) ( + ) + η) ( + ) +, δ), ζ), θ) 6 +, 4 4 +, , ***..4. Να αποδείξετε ότι..5. Να αποδείξετε ότι ημ = + ημ = + χ 77 Ανδρεσάκης Δημήτρης

80 ..6. Να βρεθεί το όριο ημ + + συν..7. Να βρεθεί το όριο + ημ συν Αν f() = ( 9 + )ημ Να βρεθούν τα όρια της f στο + και Έστω f : R - > R και για κάθε > είναι (+ 4 ) f() 4 +. Nα βρεθεί το όριο της f στο Να αποδείξετε ότι α) ημ = + + συν β) = γ) + ημ Να υπολογίσετε τα όρια: α) ημ, β) 4 ημ, γ) ημ, + + δ) 5 συν ημ, ε) ημ. στ) ζ) συν η) ημ +... Να υπολογίσετε τα όρια: α) ( ) συν, β) εφ, + γ) ημ + συν, δ) Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ. Να βρείτε τα όρια: + α) f (), β) f (), γ) f () Ανδρεσάκης Δημήτρης

81 Ασκήσεις Β Ομάδας..4. Να υπολογίσετε τα όρια: α) + e β) + ε) ln(e + ) ln(ln) γ) + e δ) ln( ) Να υπολογίσετε τα όρια: α) π, β) + e π, γ) e + δ), ε) log, ζ) log, π π + η) log, θ) log, ι) ln, κ) /e + log π e, κα) π ημ 4 log π 4. +,..6. Να υπολογίσετε τα όρια: α) (5 4 ), β) ( ), + γ) 4 5, δ), ε) 6 4, ζ), η) (log ln ), θ) (log log ), + ι) (log log ), κ) (log log ) Να υπολογίσετε τα όρια: α) e + e + + e, β), e + γ) ln + + ln ln, δ), + ln + 4 ln ε) + + e + e +, ζ), + + e + + e + η) log α + ln + log, θ). + log ln log β..8. Να υπολογίσετε τα όρια: 79 Ανδρεσάκης Δημήτρης

82 α) ( + 5 ), β) +, γ), δ) ( + log ), ε) (log + 5 ), ζ) log +, + η) (e + 7), θ) ι) ( + e ), κ) 5 e log log( ),..9. Να υπολογίσετε τα όρια: + + α) e, β) e +, γ) e, δ) + +, ε) + e ημ.... Να υπολογίσετε τα όρια: α) log(ln ), β) log (ln ), + + γ) (ln ln( ) ), δ) (ln() ln( + ) ), + + ε) (ln ln( + ) ), ζ) (ln( + ημ) ln ). + + ln... Να υπολογίσετε τα όρια: + α) ( e ), β) ( ), γ) ( 5 + e ), + δ) + ln +, ε) ( ln() ), + + ζ) ( ln( + e )), η) (ln( + e ) ) Να υπολογίσετε τα όρια: + α) +, β) +, γ) ***... Δίνεται μία συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: ( )f() + f( ) =, για κάθε R. Να βρείτε: 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

83 α) τον τύπο της f, β) το γ) το f () + f (), δ) το f ()ημ. +,..4. Αν + α) f() = γ) f() = f () = λ, να βρείτε το (f () λ) + όταν: +, β) f() = 9, Αν α) f() = f () = λ, να βρείτε το (f () λ) όταν: +, β) f() = + + +, γ) f() = Έστω f: R R μία συνάρτηση για την οποία ισχύει f () δείξετε ότι (f ( + ) f ( + ) + f ()) =. + + = d R. Να..7. Αν ισχύει f () = +, να υπολογίσετε τα όρια: + α) [f () (f ()) ], β) + (f ()) f (), + (f ()) + 4f () + 5 (f ()) f () + γ), δ) ( 4(f ()) + f () f ()). + f () α) Αν ισχύει 4 f () =, να υπολογίσετε το f (). + 5 β) Αν ισχύει (f () ) =, να υπολογίσετε το f () Αν ισχύει (f ()) =, να βρείτε τα όρια: α) + + f (), β) ( f ()), γ) + + f (). + + f ()..4. Αν ισχύει (f () 5) =, να υπολογίσετε τα όρια: + 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

84 + f () α) (f () ), β) + + f ()...4. Αν (f () ) =, να βρείτε τα όρια: + α) f (), β) (f () ), γ) ε) + + f () 4, δ) ( f () ), + + f () f () Δίνεται μία περιττή συνάρτηση f: R R, τέτοια ώστε ( )f () + ημ =. Να βρείτε τα όρια: + α) f (), β) + (f ()) + f (). (f ()) + f ()..4. Δίνεται μία άρτια συνάρτηση f: R R, τέτοια ώστε για κάθε > να ισχύει: f (). + + Να υπολογίσετε τα όρια: f () α), β) f ()ημ Αν f () = g() = και για κάθε > α R ισχύει f() > και + + g() >, να δείξετε ότι: f () + g () f ()g() α) =, β) =, + f () + g() + f () + g() f () + g () γ) =. + (f () + g()) ***..45. α) Αν (g()f ()) = d R και g() = ±, να δείξετε ότι f () =. ± ± ± β) Να βρείτε τις τιμές του α R, για τις οποίες το ( 9 + α ) είναι πραγματικός αριθμός. + 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

85 ..46. Να βρείτε τις τιμές των α, β R, για τις οποίες: + α) α + β =, β) + (α β) + + = Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες: α) ( 4 + α β) =, β) ( + + α β) + γ) ( α β) =, δ) ( 4 + β + 5 α 7 + 4) = =,..48. Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες: α α) =, β) β 6 + (α + β) + + = Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες: 5 α) ( α β) =, 6 + β) ( α β) =, γ) ( + α + β) =. + δ) ( α + β) = Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ R για τις οποίες: 4 α) ( (α + β + γ)) = 4, 4 β) ( α + β γ) = Να βρείτε τις τιμές του ν Ν για τις οποίες το πραγματικός μη μηδενικός αριθμός. ν+ + + ν+ 4 + είναι..5. Να υπολογίσετε για τις διάφορες τιμές του λ R τα όρια: α) (λ ) + + [(λ 6) λ + ], β), γ) λ + λ( + ) ( + ), δ). (λ ) + + λ 4( + ) + 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

86 ..5. Δίνεται η συνάρτηση f() = (α ) 4 + (α ) + (α + ) (β + ) Να βρείτε: α) το f () + για τις διάφορες τιμές των α, β R, β) τις τιμές των α, β R για τις οποίες f () = Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές των α R και ν Z *, το όριο ν (α + + ). + ν ν Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές των α, β, γ R και ν Ν *, το ν α + β + γ α) Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του α R, το ( + + α). + β) Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του α, το ( + α ). 6 γ) Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του α R, το ( + + α ). δ) Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές των κ, λ Ν *, το ( + κ + λ + ) Δίνεται η συνάρτηση f() = 4 + ημα, α [, π]. Να βρείτε: α) το f () για τις διάφορες τιμές του α, + β) τις τιμές του α για τις οποίες f () = Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές των κ, λ R, τα όρια: κ + 5 α) e, β) e + λ + + κ + 5 λ 4, γ) e Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές των α, β >, τα όρια: α) α, β) + α, γ) + α β α + e, (α, β ), δ). + + α + e 84 Ανδρεσάκης Δημήτρης

87 ..6. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του ν N * τα όρια: α) ν ν ημ, β) ημ. + ***..6. Σε μία μονάδα καθαρισμού νερού με βιολογικό φίλτρο, ο λόγος των βλαβερών ουσιών που υπάρχουν στο νερό πριν την διαδικασία καθαρισμού προς τις βλαβερές ουσίες που υπάρχουν μετά τον καθαρισμό, δίνεται από την + k σχέση τ() =, όπου k μία σταθε-ρά και ο ρυθμός ροής του νερού μέσα από το φίλτρο. Να βρείτε πόσο αποδοτική είναι η λειτουργία της συγκεκριμένης μονάδας για υψηλό ρυθμό ροής του νερού μέσα από το φίλτρο...6. Το κόστος C (σε χιλιάδες δραχμές) ανά μονάδα παραγωγής, για να παραχθούν μονά-δες ενός προϊόντος, δίνεται από την σχέση C() = Να βρείτε το κόστος ανά μονάδα παραγωγής του προϊόντος σε μεγάλη κλίμακα...6. Ο πληθυσμός P(t) των ψαριών ενός ποταμού t έτη μετά από τον καθαρισμό (t ) + του, δίνεται από την συνάρτηση Ρ(t) = P, όπου Ρ ο αρχικός (t ) + πληθυσμός των ψα-ριών. Να βρείτε και να ερμηνεύσετε τα όρια: P(t) t, P(t), P(t), P(t). t t t Προεκτείνουμε την ακτίνα ΟΑ ενός κύκλου προς το Α και έστω Μ τυχόν σημείο στην προέκταση. Από το Μ φέρνουμε την εφαπτομένη στον κύκλο και έστω Τ το σημείο επαφής. Από το Τ φέρουμε την κάθετο στην ΟΑ και έστω Ν το ίχνος της καθέτου. Αν το Μ κινείται προς το Α να δείξετε ότι ΑΝ ΑΜ..65. Σε ένα σχολείο άρχισε να κυκλοφορεί μεταξύ των μαθητών μια φήμη για την πενθήμερη εκδρομή του σχολείου. Ο αριθμός Ν (t) των μαθητών που άκουσαν τη φήμη βρέθηκε ότι μεταβάλλεται σύμφωνα με τον τύπο: 85 Ανδρεσάκης Δημήτρης

88 Ν (t) = M ( - e -,5t ) όπου M ο συνολικός αριθμός των μαθητών του σχολείου και t ο χρόνος σε ημέρες (από τη στιγμή που πρωτοακούστηκε η φήμη). Ένας μαθητής υποστήριξε τελικά ότι όλοι οι συμμαθητές του θα ακούσουν τη φήμη. Πώς το σκέφτηκε αυτό;..66. Το ποσοστό της ανεργίας σε μια χώρα είναι % και εκτιμάται ότι σε έτη από τώρα θα δίνεται από τον τύπο f () =. + α) Να αποδείξετε ότι: f () = β) Να εξηγήσετε γιατί η ανεργία δεν θα πέσει ποτέ κάτω από το 8%. γ) Μετά από αρκετά χρόνια, ποιο θα είναι περίπου το ποσοστό ανεργίας;..67. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της ευθείας (ε) με εξίσωση y = + και το σημείο της Μ με τετμημένη. Η απόσταση από το σημείο Ο δίνεται από τη συνάρτηση f () = (OM) για κάθε R. α) Για ποια τιμή του ισχύει f () = ; β) Για ποια τιμή του η απόσταση γίνεται ελάχιστη; y=+ f() M γ) Να βρείτε τα όρια: γεωμετρικά (στο σχήμα). δ) Να αποδείξετε ότι f (), + f () και να εξηγήσετε τα αποτελέσματα (f () - ( + )) = Ανδρεσάκης Δημήτρης

89 88 Ανδρεσάκης Δημήτρης

90 89 Ανδρεσάκης Δημήτρης

91 .. Συνέχειια Συνάρτησης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ f() l=f( l l f(!"μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο, του πεδίου ορισμού της αν f() =f( )!!"H f θα είναι συνεχής στο Α f αν και μόνο αν f()= f() = f() = f( )! +!"ΠΡΟΣΟΧΗ! Για να μιλήσω για συνέχεια στο πρέπει το να είναι σημείο του πεδίου ορισμού της.!"για να μην είναι μια συνάρτηση f συνεχής θα πρέπει, είτε α) f() f( ), ή β) f() = f() δηλαδή να μη υπάρχει το όριο της f στο. + Τότε λέμε ότι η f είναι α σ υ ν ε χ ή ς στο.!"αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, τότε λέγεται απλά συνεχής συνάρτηση και υπονοούμε στο πεδίο ορισμού της.!"οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς Πολυωνυμικές, ρητές, f() = ημ, f() = συν, f() = α, f() = log α!"αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο, τότε και οι συναρτήσεις f+g, f g, f g, f / g, f, v f είναι συνεχείς στο, με την προϋπόθεση ότι ορίζονται στο.!"αν η f είναι συνεχής στο και η g συνεχής στο g( ) τότε και η g f, θα είναι συνεχής στο 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

92 !"Για να εξετάσουμε ή να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση η οποία εκατέρωθεν του αλλάζει τύπο είναι συνεχής στο, εξετάζουμε ή αποδεικνύουμε αν f() = f() = f( )! +!"Σε μερικές ασκήσεις δίνεται κάποια σχέση για την συνεχή στο συνάρτηση f και ζητείται το f( ), A f. Τότε λόγω συνέχειας αρκεί να βρούμε το f()!"από τα όρια είναι χρήσιμο να θυμόμαστε τα εξής Για μια συνεχή συνάρτηση f είναι f() =f( ) [] όμως f() = f( ) f( +h) = f( ), [] h ακόμη Αν λh = - τότε αν, h οπότε η [] γίνεται f() =f( ) f( + λ h) =f( ) [] h ακόμη Αν h = τότε αν, h οπότε η [] γίνεται f() =f( ) f( h) =f( ) [4] h 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

93 Ασκήσεις A Ομάδας... Έστω f μία συνάρτηση, της οποίας η γραφική παρά-σταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρείτε: α) το σύνολο των σημείων στα οποία η f είναι συνε χής, β) τα σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία η f είναι συνεχής.... Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια οι συναρτήσεις: ημ ημ α) f () =, β) f () =, γ) f () = +, ημ δ) f 4 () =, ε) f 5 () = + 5, ζ) f 6 () = 4 9, η) f 7 () = εφ, θ) f 8 () = ln 5 e, ι) f 9 () = e ln.... Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια οι συναρτήσεις: α) f () = ημ( 6), β) f () = 5συν(6 ) +, γ) f () = ημ +, δ) f 4 () = ημ(ημ) + e +, ε) f 5 () = e ημ ημ, ζ) f 6 () = ln( + + ), e η) f 7 () =, θ) f 8 () = +. συν( + ) ***..4. Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις και να χαράξετε την γραφική τους παράσταση: α) f () = 5,, β) f () =, >, 6, =, < +, <, < γ) f () =, <, δ) f 4 () = +,., 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

94 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης..5. Αν είναι f() = και g() = =,,, τότε να εξετάσετε ως προς την συνέχεια την συνάρτηση f g " και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση...6. Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = > = <, 9, 5,, β) f () = >,,, γ) f () = >, 5,, δ) f 4 () = < + = > +, ,, 6, ε) f 5 () = = + +,,, ζ) f 6 () = = +,,...7. Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = <, συν, συν, β) f () = < + = >, α,, ημ, γ) f () = > +, συν,, δ) f 4 () = = = =, ή,,,} { R \, ln...8. Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = =,, e 4 -,β) f () = >,,,γ) f () = <,,.

95 ..9. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f() + για κάθε R, να αποδείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής στο, f () β) η συνάρτηση g() = είναι συνεχής στο, 4 f (), γ) η συνάρτηση h() = είναι συνεχής στο., =... Δίνεται μία συνεχής συνάρτηση f: [α, β] R. Να αποδείξετε ότι η f (α), < α συνάρτηση g με τύπο g() = f (), α β, είναι συνεχής. f (β), > β... Αν οι συναρτήσεις f, g: R R είναι συνεχείς στο και φ() = f(), <, να αποδείξετε ότι η φ είναι συνεχής στο σημείο αν και g(), μόνο αν γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε αυτό το σημείο.... Δίνεται μία συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [, ] με f() = f(). Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: f (), f(), < α) f () =, β) f () = f ( ), <. f ( ), 4 f ( ), < ***... Να βρείτε τις τιμές του α R, για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι 4 +, συνεχείς. α) f () =, + α, > (α ) + α,, β) f () =, γ) f () =. α, = =, 94 Ανδρεσάκης Δημήτρης

96 95 Ανδρεσάκης Δημήτρης..4. Να βρείτε τις τιμές του α R, για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς. α) f () = > +,, α, β) f () = = > + α,,, γ) f () = = α,, 4 ημ, δ) f 4 () = + + < 4 π, α 4 π, ημ ημ(α)...5. Να βρείτε τις τιμές του α R, για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς. α) f () = < π, ) ημ( α, α, β) f () = + + < + 8, ) (α, ημ ) ημ(α 5, γ) f () = + < + π, α π, π συν...6. Να βρείτε τις τιμές του α R, για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς. α) f () = + + <, α,, β) f () = > α, e,, ln ln...7. Να βρείτε τις τιμές του α R, για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς. α) f () = = + +,, α α α, β) f () = + > α, α, συν, γ) f () = + > α ), )( ( α, ημ ) (.

97 ..8. Έστω μία συνάρτηση f: R R, τέτοια ώστε f() 5 ( ) 4 για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =. β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f() 5, g() = είναι συνεχής στο =. α, =..9. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ R, για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς. α + β +, α ημ β, < π α) f () = α + β, <, β) f () = 4συν + β, <, α > π αημ,, < γ) f () = + α, <. β +, + (α + ), <... Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε τις 4 (α + β + ) α, τιμές των α, β R, ώστε η f να είναι συνεχής και η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Α(, ). α + β, <... Δίνεται η συνάρτηση f() =, <. Να βρείτε τις τιμές των 4 α + β, 9 α, β R, ώστε η f να είναι συνεχής στο σημείο και ασυνεχής στο σημείο.... Δίνεται η συνάρτηση f() = β α α +, + β +, <. Αν α, β R, να βρείτε την μέγιστη τιμή του γινομένου α β ώστε η f να είναι συνεχής. 96 Ανδρεσάκης Δημήτρης

98 ... Να βρείτε τις τιμές των α, β R, για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς. + β + + α, α) f () = + +, <, β) f () =, α, = β + α, α + β α, γ) f () =, <, δ) f 4 () =. = 9, + β + α,..4. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ R, για τις οποίες είναι συνεχείς οι συναρτήσεις: α +, < +, < α) f () = γ, =, β) f () = γ, =, β( + ) α +, >, > + β β 5 + α + β + γ α + β + γ,, ( ) + γ) f () =, δ) f 4 () =. 7, = γ +, = ***..5. Αν f : R R τέτοια ώστε για κάθε R να ισχύει f(), να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =..6. Αν f : R R τέτοια ώστε για κάθε R να ισχύει f() - ημ, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =..7. Αν f() ημ για κάθε R και η f είναι συνεχής στο να βρεθεί το f()..8. Αν ( ) f() = + για κάθε R και η f είναι συνεχής στο να βρεθεί το f()..9. Αν ( ) f() + για κάθε R και η f είναι συνεχής στο να βρεθεί το f() 97 Ανδρεσάκης Δημήτρης

99 ... Αν f συνεχής στο = και f() ημ 4 για κάθε R να βρεθεί το f()... Αν f συνεχής στο και έχει την ιδιότητα f() -ημ 4 ημ ( ) R *. Να βρεθεί το f()... Αν f : R R και υπάρχει θ (,) με f() - f(y) θ -y, y R να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής... Έστω f ορισμένη στο R τέτοια ώστε f() - f(y) ½ -y για κάθε, y R να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R..4. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση g() = f() συν + είναι συνεχής στο, τότε και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,..5. α) Δίνεται μία συνάρτηση f ορισμένη στο R και συνεχής σε αυτό. Αν για κάθε R ισχύει ( )f() = 5 + 6, να βρείτε το f(). β) Δίνεται συνάρτηση f τέτοια ώστε f() + = ( + ) ν, για κάθε R *. Αν η f είναι ορισμένη και συνεχής στο, τότε βρείτε την τιμή της για =. γ) Δίνεται η συνάρτηση f με f() = σφ, για. Αν η f είναι ορισμένη και συ-νεχής στο, τότε βρείτε τo f()...6. Δίνεται μία συνάρτηση f: [, + ) R, τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f() = + συν. Αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, να βρείτε τον τύπο της...7. α) Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει f() για κάθε. Αν η f είναι συνεχής στο, τότε να βρείτε το f(). β) Δίνεται μία συνάρτηση f τέτοια ώστε ( )f(), για κάθε R. Αν η f είναι συνεχής στο σημείο =, τότε να βρείτε το f(). γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει ( 4) f() 6 για κάθε R, τότε να βρείτε το f(4)...8. α) Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f() ημ για κάθε R και η f είναι συνεχής στο, τότε να βρείτε το f(). 98 Ανδρεσάκης Δημήτρης

100 4 ημ + 4 β) Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f() κάθε R * και η f είναι συνεχής στο, τότε να βρείτε το f(). για..9. Δίνεται συνάρτηση f: R R, συνεχής στο σημείο =. Αν για κάθε R ισχύει ( ) f() ημπ π( ), να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(, )...4. Έστω μία συνάρτηση f: [, + ) R, συνεχής στο =, τέτοια ώστε για κάθε (, + ) να ισχύει f() e. α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. f () β) Να βρείτε το...4. α) Αν για μία συνάρτηση f ισχύει 5 f() 6 + 4, για κάθε R, να αποδεί-ξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο =. β) Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f() + 5 ( + ) 4, για κάθε R, να αποδεί-ξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο =...4. Έστω f, g: R R δύο συναρτήσεις, τέτοιες ώστε για κάθε R να ισχύει η σχέση: f() συν g(). Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο =...4. Για τις συναρτήσεις f και g ισχύει f() + g(), για κάθε R. Να δείξετε ότι οι f και g είναι συνεχείς στο σημείο. ***..44. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = α και f ( ) f (α) αποδείξετε ότι =. α α h f (α + h h) = να..45. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και h f ( + h h) = 5 να βρείτε το όριο f ( ) f () α. 99 Ανδρεσάκης Δημήτρης

101 ..46. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και το h f ( h + ) h f ( ) = 4, να βρείτε Ασκήσεις Β Ομάδας..47. Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: *, με ν Ν α) f () = ν, με κ Ζ, β) f () = κ *, = με ν Ν, = με κ Ζ ν κ * *., N..48. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να αποδείξετε ότι:, N α) η f είναι συνεχής στο, β) η f είναι ασυνεχής στο Ν *, γ) η f είναι συνεχής στο R\N * Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ma{7, 5 + }, β) f () = min{,, 5}, γ) f () = ma{ημ, συν}, π π,, δ) f 4 () = min{ημ, συν, ημ }, π π,...5. Δίνεται η συνάρτηση f() = min{,,, }. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο =...5. Δίνεται η συνάρτηση f(α) = α α +, α >. α α) Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς την συνέχεια. γ) Να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. t e Δίνεται η συνάρτηση f() =, R. t t + e α) Να βρείτε τον τύπο της f. Ανδρεσάκης Δημήτρης

102 β) Να μελετήσετε την f ως προς την συνέχεια. γ) Να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. t κ( + )e + e..5. Δίνεται η συνάρτηση f() = t t t e + e t, R. α) Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να βρείτε τις τιμές του κ R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι συνεχής Αν η συνάρτηση h() = f() συν ( + ημ )g() είναι συνεχής στο σημείο, ενώ η συνάρτηση g είναι ασυνεχής στο, τότε και η συνάρτηση f είναι ασυνεχής στο Δίνονται δύο συναρτήσεις f και g με κοινό πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ και σημείο Δ. Να δείξετε ότι: α) αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο σημείο και η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο, τότε και η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο, β) αν οι συναρτήσεις f + g και f g είναι συνεχείς στο, τότε οι συναρτήσεις f και g είναι επίσης συνεχείς στο, γ) αν οι συναρτήσεις h() = f() g() και v() = f() + g() είναι συνεχείς στο διάστημα Δ, τότε και οι συναρτήσεις f + g και f g είναι συνεχείς στο Δ Να αποδείξετε ότι: α) αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε και η συνάρτηση g() = + ημ(f()) είναι συνεχής στο, β) αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση g() = + f(συν) είναι συνεχής στο Αν α < < β και για κάθε (α, ) (, β) είναι f() = g() και f( ) g( ), να δείξετε ότι δεν είναι δυνατόν να είναι συνεχείς στο και οι δύο συναρτήσεις f και g. *** Ανδρεσάκης Δημήτρης

103 f () α) Δίνεται μία συνάρτηση f συνεχής στο σημείο =. Αν 4 =, να βρείτε την τιμή της f για =. f () β) Δίνεται μία συνάρτηση f: R R, τέτοια ώστε η συνάρτηση g() = f ()ημ + συν4 να είναι συνεχής στο σημείο =. Αν ισχύει = 4, 4 + να βρείτε την τιμή της συνάρτησης g για =. f () Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και =, 4 τότε: α) να αποδείξετε ότι το σημείο Α(, ) ανήκει στην γραφική παράσταση f () f () της f, β) να βρείτε το...6. α) Δίνεται μία περιττή συνάρτηση f: R R, συνεχής στο σημείο =, f () 5 f () f ( ) για την οποία ισχύει =. Να βρείτε το. + f ( + h) β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ισχύει = 4, h h f () f () να βρείτε το...6. Δίνονται δύο συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι συνεχείς σε κάποιο f ()g() = ανοικτό διάστημα Δ και σημείο του Δ. Αν ( ) ν [( f ()) ( g() ) ] =, με ν N *, να βρείτε τα f( ) και g( ). ***..6. Δίνεται μία συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύουν f() = f() και = d R. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο =. f() f () f() f ()..6. Αν f: ( α, α) R και ισχύουν = d και + όπου d, m R, να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο. = m,..64. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο R, για την οποία ισχύουν Ανδρεσάκης Δημήτρης

104 f() εφ = 5 και f() =. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =. f() f() β) Να βρείτε τα και α) Μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R και ισχύει ( ) 4 f() + =, για κάθε. Να εξετάσετε αν αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο =. β) Δίνεται μία συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει f()( 48) =. Να εξετάσετε αυτή την συνάρτηση ως προς την 4 6 συνέχεια στο σημείο = Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είναι συνεχής στο 5 και για κάθε R * ισχύει ( 5)f() = 5. Να δείξετε ότι: α) η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(5, ), β) η f δεν είναι συνεχής στο σημείο Δίνονται δύο συναρτήσεις f, g: R R, για τις οποίες ισχύει, για κάθε R, η σχέση: (f()) + (g()) = 4 +. Να δείξετε ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς στα σημεία = και = Δίνονται δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, για τις οποίες ισχύει, για κάθε R, η σχέση: (f()) + (g()) (f() + g()) + = συν. Να δείξετε ότι και οι δύο συναρ-τήσεις είναι συνεχείς στo σημείο = π Έστω f και g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο R για τις οποίες ισχύει, για κάθε R, (f()) + (g()) + = (f() ημ + g() συν). Να αποδείξετε ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς στο R. ***..7. α) Δίνεται μία συνάρτηση f: R R συνεχής στο σημείο. Να δείξετε ότι αν η f είναι άρτια ή περιττή, τότε θα είναι συνεχής και στο σημείο...7. Έστω μία συνάρτηση f: R R, τέτοια ώστε για κάθε, y R να ισχύει: Ανδρεσάκης Δημήτρης

105 f( + y) = f() f(y). Να αποδείξετε ότι η f θα είναι συνεχής σε ολόκληρο το R, αν είναι συνεχής: α) στο σημείο, β) σε ένα σημείο α R...7. Έστω μία συνάρτηση f: R R, τέτοια ώστε για κάθε, y R να ισχύει: f( + y) = f() + f(y). Να αποδείξετε ότι η f θα είναι συνεχής σε ολόκληρο το R, αν είναι συνεχής: α) στο σημείο, β) σε ένα σημείο α R...7. Έστω μία συνάρτηση f: R R, τέτοια ώστε για κάθε, y R να ισχύει: f( y) = f() f(y). Να αποδείξετε ότι η f θα είναι συνεχής σε ολόκληρο το R, αν είναι συνεχής: α) στο σημείο, β) σε ένα σημείο α R Έστω μία συνάρτηση f: R * R, τέτοια ώστε για κάθε, y R * να ισχύει: f(y) = f() + f(y). Να αποδείξετε ότι η f θα είναι συνεχής σε ολόκληρο το R *, αν είναι συνεχής: α) στο σημείο, β) σε ένα σημείο α R * Έστω μία συνάρτηση f: R * R, τέτοια ώστε για κάθε, y R * να ισχύει: f = f() f(y). Να αποδείξετε ότι η f θα είναι συνεχής σε ολόκληρο το y R *, αν είναι συνεχής: α) στο σημείο,β) σε ένα σημείο α R *. 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

106 .. Θεωρήματα Συνεχών Συναρτήσεων. ΘΕΩΡΗΜΑ ΒOLZANO Διατύπωση Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [α,β]. Άν ισχύει ότι f(α) f(β) < (Δηλαδή τα f(α) f(β) είναι ετερόσημα ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( μπορεί να υπάρχουν και περισσότερα ) ξ (α,β) για το οποίο είναι f(ξ)=. (Δηλαδή το ξ είναι ρίζα της εξίσωσης f(χ) = ) Γεωμετρική Ερμηνεία f(β) f(β) f(α) α f(α) β α β Παρατηρήσεις f συνεχής στο [α,β]. Θυμηθείτε : τουλάχιστο ένα ξ (α,β) τω f(ξ) = f(α) f(β) <. Το υπάρχων ξ εφόσον τηρούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος ανήκει στο (α,β).άρα δεν γίνεται ξ=α ή ξ=β αφού τότε σε οποιαδήποτε περίπτωση θα ήταν f(β) f(α) =.. Προσοχή όμως άν f(α) f(β) τότε μπορεί να είναι f(α) f(β) = άρα ξ = α ή ξ=β ( Δηλαδή η ζητούμενη ρίζα να είναι η α ή η β ). ή f(α) f(β) < άρα ξ ( α,β) Άρα σε αυτήν την περίπτωση θα είναι ξ [α,β]. 4. Άν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β) > τότε η f() = δέν είναι αναγκαίο ότι δεν έχει ρίζα στο (α,β) (σχήμα ) 5. Το αντίστροφο του Θ. Βolzano «έν γένει» δέν ισχύει. Δηλαδή άν η f είναι συνεχής στο [α,β] και υπάρχει ξ (α,β) τ.ω. f(ξ) = αυτό δεν σημαίνει ότι f(α) f(β) <. Για παράδειγμα η εξίσωση 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

107 ημ = χ [- π, π ] όπου f() =, ( - π, π ) αλλά f (- π ) f ( π ) = > 6. Το Θ. Βolzano εφόσον τηρούνται οι προϋποθέσεις του μας εξασφαλίζει την ύπαρξη τουλάχιστον μιας ρίζας σ ε κάποιο διάστημα αλλά δεν μας λέει ούτε ποια είναι αυτή η ρίζα ούτε και πώς θα τη βρούμε!!! 7. Όταν σε μια άσκηση ζητείται η απόδειξη της ύπαρξης ενός ξ (α,β) ώστε να ισχύει μια σχέση τότε κατ αρχάς χρησιμοποιούμε το Θ. Bolzano βρίσκοντας μια βοηθητική συνάρτηση που να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος στο [α,β]. Την βοηθητική αυτή συνάρτηση τη βρίσκουμε ως εξής : α) Αλλάζουμε το ξ ( ή ) στη δοσμένη σχέση και στη θέση του βάζουμε το. Φέρνουμε όλους τους όρους στο ο μέλος το οπoίο και το θέτουμε ίσο με f(). Στην f () εξετάζω άν εφαρμόζεται το Θ. Bolzano κτλ β) Προσοχή στην περίπτωση που η f δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα α, β, οπότε διώχνω τους ανεπιθύμητους όρους πολλαπλασιάζοντας την αρχική εξίσωση με τέτοιο όρο ώστε να φύγουν ( απαλοιφή παρονομαστών ). 8. Άν ζητείται η ύπαρξη περισσοτέρων από ένα σημείων - έστω ν- που είναι ρίζες μια εξίσωσης - ή ικανοποιούν μια δοσμένη σχέση - τότε εφαρμόζω ν φορές το Θ Bolzano, σε ν διαστήματα που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία. 9. Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει επίσης ότι : α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σ' αυτό τότε η f ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ. Με άλλα λόγια η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ β) Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα ανοικτά υποδιαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Έτσι το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f βρίσκεται ως εξής # Βρίσκουμε τις ρίζες της f αν υπάρχουν $ Κατασκευάζουμε πίνακα με τις ρίζες της f % Βάζουμε ως πρόσημο σε κάθε ανοικτό υποδιάστημα του πεδίου ορισμού το πρόσημο της f σε ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του υποδιαστήματος αυτού. Αν ζητείται ύπαρξη μοναδικής ρίζας τοτε δείχνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια με Bolzano και την μοναδικότητα την δείχνουμε συνήθως με την μονοτονία της f στο διάστημα αυτό.. Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

108 . ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ( Θ.Ε.Τ.) Διατύπωση Έστω f συν άρτηση συνεχής στο [α,β].άν ισχύει ότι f(α) f(β) τότε για κάθε κ ( f(α), f (β) ) υπάρχει τουλάχιστον ένα ( μπορεί να υπάρχουν και περισσότερα ) ξ (α,β) για το οποίο είναι f(ξ)=k. (Δηλαδή η f παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f,(α),f (β) ) Γεωμετρική Ερμηνεία f(α) η =f(ξ) α ξ β α β f(β) Παρατηρήσεις. Το ΘΕΤ προκύπτει άμεσα από το Θεώρημα Bolzano για την εξίσωση f() = k. Θυμηθείτε : f συνεχής στο [α,β] f(α) f(β) τουλ. ένα ξ (α,β) τω f(ξ) = k κ (f(α), f(β)). Σύμφωνα με το ΘΕΤ κάθε ευθεία y = k με κ (f(a), f(b)) ή κ ( f(b), f(a)) τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο. 4. Άμεση συνέπεια του ΘΕΤ είναι ότι η εικόνα ενός διαστήματος Δ ( δηλαδή το f(δ) ) μέσω μιάς μιας συνεχούς και μή σταθερής συνάρτησης f είναι επίσης διάστημα. Στην περίπτωση που η f είναι σταθερή τότε το f(δ) είναι μονοσύνολο ( προφανώς) Έτσι 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

109 Άν f [a,b]-> R γνησίως άυξουσα και συνεχής συνάρτηση τότε έχει σύνολο τιμών το [ f(α),f(β)] ενώ Άν f [a,b]-> R γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση τότε έχει σύνολο τιμών το [ f(β),f(α)] ενώ Άν f (a,b)-> R γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση τότε έχει σύνολο τιμών το f(), ( b a + f()) ενώ Άν f (a,b)-> R γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση τότε έχει σύνολο τιμών το ( f(), a + b f()) 5. Ακόμη αν f : Δ -> R και f(δ) = ( α,β) με (α,β) τότε η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β ) 6. Τέλος αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής στο διάστημα Δ τότε προφανώς υπάρχει η f - η οποία μάλιστα είναι και συνεχής στο διάστημα f(δ). ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ( Θ.Μ.Ε.Τ.) Διατύπωση Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [α,β]. Τότε υπάρχουν χ ε, χ μ [ α, β ] για τα οποία ισχύει f(χ ε ) f() f(χ μ ) για κάθε χ [α,β] (Δηλαδή η f παίρνει στο [α,β] μεγίστη και ελάχιστη τιμή Γεωμετρική Ερμηνεία f( μ ) ε α μ β f( ε ) 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

110 Ασκήσεις A Ομάδας... Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (,)... Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (,),... Nα εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = ικανοποιεί τις ln, > προϋπόθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στα (,e), ( e, e ), ( -,) +,..4. Nα εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = ημ, > προϋπόθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο (, π). ικανοποιεί τις..5. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων, τέμνουν τον άξονα τουλάχιστον σε ένα σημείο. α) f () = 4 5 +, β) f () = Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημ(συν) =, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (,π)..7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = συν έχει μια τουλάχιστον πραγματική π π ρίζα στο (, ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () = και g () = συν τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του (, 4 π )...9. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ημ +συν) (+συν ) = ημ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, π )... Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = ημ + συν έχει τουλάχιστο μια ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-π,) και (, π) 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

111 ... Να αποδείξετε ότι: α) η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = εφ +, τέμνει τον π άξονα τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη στο διάστημα,, 4 β) οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = συν και g() = π π, τέμνονται τουλάχιστον σε ένα σημείο στο διάστημα, Δίνεται η συνεχής f : [, ] (,). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (,)... α) Δίνεται η συνεχής στο [,] συνάρτηση f με f() για κάθε [,]. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = - έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο [,] β) Έστω f συνεχής στο [-,] και ισχύει f() -. να αποδείξετε ότι υπάρχει στο [-,] τέτοιο ώστε f( ) = γ) Έστω f συνεχής συνάρτηση με f : [-α,α] [-α,α]. Nα δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο ένα σημείο της C f που ανήκει στη ευθεία y =. Σε ποιο διάστημα ανήκει αυτό το σημείο ;..4. Να δείξετε ότι: α) η εξίσωση ( + ) + = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (-, ) β) η εξίσωση = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (-, )...5. Να αποδείξετε ότι: + α) η εξίσωση π,, 6 β) η εξίσωση (, ), γ) η εξίσωση π π, 6 4. ημ + + =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 6 π =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα + εφ σφ + 6 π 4 π =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα..6. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = εφ Ανδρεσάκης Δημήτρης

112 , τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη π στο διάστημα,...7. Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση 5 + =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ), β) η εξίσωση e = - + 5, έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα...8. Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε ξ 4 = ξ, β) οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = 4 + και g() =, έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο...9. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να αποδείξετε ότι η f έχει μόνο μια ρίζα στο [, e ]... Δίνεται η συνάρτηση f() = ++ α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να αποδείξετε ότι η f έχει μόνο μια ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα [,], [ ½,], [ ½, ¾ ]... Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση ημ + π =, έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα,, β) η συνάρτηση f() =, τέμνει τον άξονα σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη στο διάστημα (, ), γ) οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = και g() = 5, έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο Μ με τετμημένη M [, ]. ***... Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση + = α +, έχει για κάθε α, τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (, ), Ανδρεσάκης Δημήτρης

113 β) η εξίσωση α 4 + β = β, έχει για κάθε α, β R, μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [, ].... Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση + συνα = συν + π, έχει για κάθε α R, μία τουλάχιστον π ρίζα στο διάστημα, π, β) αν f() = + συνπ +, τότε για κάθε α [, ] υπάρχει [, ] τέτοιο ώστε f( ) = α...4. Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση = κ, έχει μοναδική λύση στο διάστημα [, ], για κάθε κ [, 6] β) οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = και g() = + α, τέμνονται ακριβώς σε ένα σημείο στο διάστημα [, ], για κάθε α [, 5]...5. Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση + κ + λ =, όπου λ > και κ + λ <, έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα (, ), β) η εξίσωση α + β =, όπου β > και β + 8 < 4α, έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα (, )...6. α) Αν α, β >, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ασυν + β = έχει τουλάχιστον μία θετική πραγματική ρίζα, η οποία δεν υπερβαίνει τον αριθμό α + β. β) Έστω η συνάρτηση f() = ( + )( α) + ( ημ)( β). Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο...7. α) Έστω η συνάρτηση f() = ( α)( β) + 4( β)( γ) + 9( α)( γ). Εάν α < β < γ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. β) Αν α, β, γ π π συνα συνβ συνγ,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες. Ανδρεσάκης Δημήτρης

114 ..8. α) Αν α, β, γ > και λ < μ < ν, να δείξετε ότι η εξίσωση α β γ + + λ μ ν = έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση =, δεν έχει ακέραια ρίζα...9. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση στο διάστημα (. π ) ημχ + συν χ συνχ = + έχει τουλάχιστο μια ρίζα ημ χ ξ + ξ +... Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε + = ξ - α ξ -β 6 ημα ημβ ημγ... Άν α, β, γ (,π) να δείξετε ότι η εξίσωση + + = έχει χ - χ - χ - ακριβώς ρίζες στο (,)... Θεωρούμε την εξίσωση: κ + λ + + μ =, κ, λ, μ - α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (-, ). β) Αν οι δύο ρίζες είναι οι ρ, ρ, να δείξετε ότι: *** μ - λ + = ρ ρ κ.... Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = a ημ + b a,b > έχει τουλάχιστο μια θετική ρίζα που δέν είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό a+b..4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = ημ + α, α > έχει τουλάχιστο μια θετική ρίζα που δέν είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό α Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α η εξίσωση ( α 4 +7) 6 - α 5 + (α ) α =, έχει μια τουλάχιστο θετική ρίζα μικρότερη του. *** Ανδρεσάκης Δημήτρης

115 ..5. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g που είναι συνεχείς στο [ α,β],. Αν f(α) > g (α) και f (β) < g (β) να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ) = g (ξ)..6. Αν f συνεχής στο [α,β] με f(α) =α, f(β) =β να αποδείξετε ότι υπάρχει στο (α,β) με +f ( ) =α +β..7. Αν f, g συνεχείς στο [,] με f() = g (), f() = g(), g() g() να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) ώστε f(ξ) = g(ξ)..8. Δίνονται f,g [,] -> [,] και συνεχείς με g()=, g() =. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει [,] ώστε f ( ) = g( )..9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [a,b] -> [α,β] με αβ> Nα αποδείξετε ότι υπάρχει γ [a,b] με γ f(γ)= αβ..4. Αν f συνεχής στο [,] με f(), f(β) =β να αποδείξετε ότι υπάρχει στο [,] με f( ) +f ( ) = Έστω f : [-,] [-,] που είναι συνεχής. να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [-,] τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ..4. Έστω f : [-α,α] [-α,α] που είναι συνεχής. να αποδείξετε ότι υπάρχει β [-α,α] τέτοιο ώστε f(β) + β =..4. Έστω f,g συνεχείς στο R. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί με α<β και f(α)+f(β) = g (α)+g (β) να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = g() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [ α, β ]..44. Δίνονται f,g [α,β] -> [α,β] και συνεχείς με g(α)= α, g(β) =β. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει [α,β] ώστε f ( ) = g( )..45. Έστω f που είναι συνεχής στο [ α,β] και γ+δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει γ [α,β] τέτοιο ώστε f(γ)= γ f (α) + δ f (β)..46. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο διάστημα [α, β] και f(α) > g(α), f(β) < g(β), να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (α, β), 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

116 στο οποίο οι f και g λαμβάνουν την ίδια τιμή Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο διάστημα [α, β] και f(α) + f(β) = g(α) + g(β), να αποδείξετε ότι υπάρχει (α, β) στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις των f και g Δίνεται μία συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α, β], τέτοια ώστε να ισχύει κf(α) + λf(β) =, όπου κ λ >. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα τουλάχιστον σε ένα σημείο Αν για την συνάρτηση f ισχύει f () + β f () +γ f () = , β <γ να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στι διάστημα (,)..5. α) Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [, ], για την οποία ισχύει f() < και f() > 4. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() =, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα [, ]. β) Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [, ]. Αν το σύνολο τι-μών της f είναι το διάστημα (, ), τότε να αποδείξετε ότι η C f τέμνει, σε ένα τουλάχιστον σημείο, την υπερβολή y =. γ) Έστω f: [, ] (, ) μία συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι η γραφική παρά-σταση της f τέμνει την παραβολή y =. ***..5. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [a,b] -> R με f() για κάθε [a,b]. Nα αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [a,b]..5. α) Έστω μία συνάρτηση f συνεχής στο [, ], με μοναδικές ρίζες στο διάστημα αυτό τους αριθμούς και 7. Αν υπάρχει (, 7) τέτοιο ώστε f( ) <, τότε να δείξετε ότι f() < για κάθε (, 7). β) Έστω μία συνεχής συνάρτηση f: [α, β] R, με f(α)f(β) >. Αν υπάρχει μοναδικό (α, β) με f( ) =, τότε να αποδείξετε ότι f()f(α) για κάθε [α, β]...5. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω συναρτήσεων: 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

117 α) f () = ημ + συν, [ π, π], β) f () = ημ ημ, [, π], γ) f () = ημ συν, [, π], δ) f 4 () = ημ + συν, [π, π] α) Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα Δ = (, ), για την οποία ισχύει + (f()) = 4 για κάθε Δ. Αν f() =, να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ και να βρείτε τον τύπο της. β) Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα Δ = (, 5), για την ο-ποία ισχύει + f () = 5 για κάθε Δ. Αν f() =, να δείξετε ότι η f έχει σταθερό πρόσημο στο Δ και να βρείτε τον τύπο της Έστω f συνεχής με χ [-,] και + [ f(χ) ] -8 =.Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο (-,)..56. Έστω f συνεχής με χ [- π, π ] και ημ + [ f(χ) ] =.Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο (- π, π ) ***..57. Να συμπληρώσετε τον πίνακα Πεδίο Ορισμού Μονοτονία Σύνολο τιμών [,) (, + ) (-, + ) [5, + ) (-, 4] [-,7] [5, 8] (, 7] (-,+ ) (-,) 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

118 ..58. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) f () = e + ln, [, ], β) f () = ln, (, ), π π γ) f () = ημ + σφ,,, δ) f 4 () = εφ + ημ, π π, 4, π π ε) f 5 () = εφ ημ, 4,. στ) f 5 () = e + ln, Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) f () = +, (, ], β) f 6 () = 8 +, (, ], γ) f () = 9 4, [, ), δ) f 4 () = +, [, ),..6. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων α) f() = , [-,] β) f() = γ) f() = ημ +εφ, [. π/4 ] δ) f() = ε) f () = 4, [,], [ -,] 9, [, ]..6. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων α) φ() = - -, [,4] β) φ() = 6, [,4] γ) φ() = συν( π ημ), [, π ] δ) φ() = χ+ 4 χ, [,]..6. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μόνο μία πραγματική ρίζα: α) + + =, β) e = γ) f() = 5 ++ δ) f() = ln Να αποδείξετε ότι η εξίσωση # n + e = έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (, ). ***..64. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = + ημ π + συνπ +, με [, ], παίρνει την τιμή Έστω η συνάρτηση f () =. 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

119 α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών στα διαστήματα [, ], [, ]. β) Με τη βοήθεια του πρώτου ερωτήματος να δικαιολογήσετε ότι ο αριθμός βρίσκεται στο διάστημα (, ), ενώ ο στο (, ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,π) τέτοιο ώστε ημξ -συνξ = -5/..67. Αν η f είναι συνεχής στο [ α, β] με f(α) f ( β) να αποδείξετε ότι υπάρχει f ( α) + f (β) ξ (α,β) με f(ξ) =..68. Αν η f είναι συνεχής στο [, ] και γνησίως αύξουσα σε αυτό με f() = και f() = 5 να δείξετε ότι α) η ευθεία y = τέμνει την γραφική παράσταση τη f σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημέμη (,) 4 f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) β) υπάρχει μοναδικό α (,) με f (α) = Αν η f είναι συνεχής στο [, ] και, [,]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον [,] με f ( ) + f ( ) = f( )..7. Αν η f είναι συνεχής στο [, 5] και,, [,5]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον [,5 ] με f ( ) + f ( ) + f( )=6f( ) Ασκήσεις B Ομάδας..7. Έστω f : [-π,π] [-π,π] που είναι συνεχής. να αποδείξετε ότι ότι υπάρχει ξ [-π,π] τέτοιο ώστε f(ημξ)+f (συνξ)+ξ =..7. α) Έστω f: [α, β] R μία συνεχής συνάρτηση με f(α) f(β) και κ, λ θετικοί πραγ-ματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι υπάρχει (α, β), τέτοιο ώστε κf(α) + λf(β) f( ) =. κ + λ β) Έστω f: [α, β] R μία συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι αν α < κ < λ < β και μ, ν θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε υπάρχει (α, β) 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

120 τέτοιο ώστε f( ) = μf(κ) + νf(λ). μ + ν..7. Δίνονται δύο συναρτήσεις f και g, ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [, ], τέτοιες ώστε f() =, g() = και f() < g() για κάθε [, ]. Αν < κ < λ, τότε να από-δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο f (ξ) κ λ ξ ώστε =. g(ξ) κ λ f(ξ)..74. α) Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [, ]. Αν f(), f() (, ), τότε να δείξετε ότι η εξίσωση + f () = f(), έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). β) Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [, ]. Αν f([, ]) (, ), τότε να δείξετε ότι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f ( ) + f( ) = Έστω f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα Δ = [, 4], της οποίας η γραφική παράσταση C περιορίζεται μέσα στο ορθο-γώνιο ΟΑΒΓ που φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος. Να αποδείξετε ότι η C έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με κα-θεμία από τις διαγώνιες ΟΒ και ΑΓ του ορθογωνίου Έστω μία συνάρτηση f συνεχής και αντιστρέψιμη στο διάστημα [α, β]. Αν f(α), f(β) (α, β), τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της f, το οποίο βρίσκεται πάνω στην διχοτόμο του ου και ου τεταρτημορίου Έστω δύο συναρτήσεις f και g, ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [α, β], τέτοιες ώστε f([α, β]) = g([α, β]) = [α, β]. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα, τότε να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν ένα μοναδικό κοινό σημείο Δίνεται μία συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β], τέτοια ώστε f(α) = α + β f(β). Να από-δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα α,, τέτοιο 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

121 ώστε f( ) = β α f Έστω f μία συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [, α], όπου α >, τέτοια ώστε f() = f(α) f(α). Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει τουλάχιστον ένα (, α), τέτοιο ώστε f( ) = f( + α), β) υπάρχουν t, z (, α) με z t = α, τέτοια ώστε f(t ) = f(z )...8. Έστω f: [, ] [, ] μία συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι υπάρχει π τουλάχιστον ένα,, τέτοιο ώστε f(συν ) = συν...8. Έστω δύο συναρτήσεις f, g, ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [α, β], τέτοιες ώστε f([α, β]) = g([α, β]) = [α, β]. Αν f(α) = α και f(β) = β, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ [α, β], τέτοιο ώστε f(ξ) = g(f(ξ)) + g(ξ)...8. Έστω δύο συναρτήσεις f, g, ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [, ], τέτοιες ώστε f([, ]) = g([, ]) = [, ]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ [, ], τέτοιο ώστε f(f(ξ)) + g(g(ξ)) = ξ...8. Έστω δύο συναρτήσεις f, g, ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [ α, α], τέτοιες ώστε η f να είναι περιττή και η g γνησίως φθίνουσα με g(α) = α και g( α) = α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α, α), τέτοιο ώστε f(g( )) + f( ) + g( ) = Αν για την συνάρτηση f: [, ] R ισχύουν f([, ]) = [, ] και f() f(y) y για κάθε, y [, ], τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα [, ] Η f συνεχής στο [α,β] και για κάθε χ [α,β] f() Nα αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α,β ] καί ότι εάν <α<β τότε υπάρχει f(γ) α β τουλάχιστον ένα γ (α,β) τέτοιο ώστε = + γ α - γ β - γ..86. Έστω f : R (-,), g : R (,+ ) συνεχείς.αν υπάρχουν ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί α, β με f (α) = α, g (β) = β, α < β να αποδείξετε ότι Ανδρεσάκης Δημήτρης

122 υπάρχει στο (α,β) τέτοιο ώστε f( ) g( ) =..87. Έστω f συνεχής τέτοια ώστε f : [,] -> R και f() = f() f(). να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) ώστε f(ξ) = f(ξ+)..88. Έστω f συνεχής στο [α,β] και ισχύει f (α) + f (α) f (β) =. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) με f ( ξ) =..89. Έστω f συνεχής στο [,] και f ()= f(). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () =f(+ ) έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [,]..9. Έστω f συνεχής στο [,π] και f ()= f(π). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () =f(+π) έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [,π)..9. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:, < α) f () =, <, β) f () =, [, 5].,..9. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln + e -. α) να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f γ) Να λυθεί η εξίσωση ln + e - =..9. Δίνεται η συνάρτηση f () = ln ( - ln). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα όρια της f στα άκρα του D f. γ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο D f. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f αφού πρώτα αποδείξετε ότι είναι συνεχής..94. Δίνεται η συνάρτηση f () = α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Ανδρεσάκης Δημήτρης

123 γ) Να εξετάσετε την f ως προς τη συνέχεια. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό έτσι ώστε f ( ) =..95. Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f () = 5 + +, [-, ]. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (-, )..96. α) Έστω f: [ ] R μία συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει + (f()) = 9 για κάθε [, ]. Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει f () = 5 4 για κάθε R Αν για τον μιγαδικό z = + i f() ισχύει z = για κάθε D f, να δείξετε ότι: α) το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολα του διαστήματος [, ] β) η f διατηρεί σταθερό πρόσημο αν D f = (, ) Δίνεται η συνάρτηση f() = 4 +. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να λύσετε την ανίσωση f() < Δίνεται το πολυώνυμο P() = α ν ν + α ν ν + + α + α. Να αποδείξετε ότι: α) αν ο βαθμός του P() είναι περιττός, τότε το P() έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα, β) αν ισχύει α ν α <, τότε το Ρ() έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα.... Δίνεται η συνάρτηση f() = + + λ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f() και να αποδείξετε ότι η εξίσωση y = f() έχει, για κάθε y R, μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Ανδρεσάκης Δημήτρης

124 ... Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] με f() =, f()= 4, f() = - 4, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = 9,.... Δίνεται η συνάρτηση f: [, + ) R με f() = e + e +. f () α) Να βρείτε τα όρια και ( f () ). + β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει τουλάχιστον μία ρίζα.... Ο Πέτρος ξεκίνησε από το σημείο Α, στους πρόποδες ενός βουνού, στις 7.π.μ. και έφτασε στο σημείο Β, στην κορυφή του βουνού, στις 6.μ.μ.. Μετά την σχετική ξεκούραση, άρχισε στις 7.π.μ. της επόμενης μέρας την επιστροφή του από το Β στο Α, ακολουθώντας τον ίδιο ακριβώς δρόμο και έφτασε στο Α στις 6.μ.μ. (Πήγαινε βέβαια ταχύτερα αλλά έκανε μεγαλύτερες στάσεις για να χαρεί το τοπίο.) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σημείο του δρόμου που ακολούθησε ο Πέτρος, στο οποίο βρίσκο-νταν την ίδια ώρα και τις δύο ημέρες...4. Ένας ορειβάτης αρχίζει να κινείται την χρονική στιγμή t =, από το σημείο Α του υψώματος που φαίνεται στο σχήμα και το οποίο βρίσκεται σε υψόμετρο 57m από τους πρόποδες του υψώματος. Μετά από ώρες ο ορειβάτης φθάνει στη κορυ-φή του υψώματος, υψομέτρου 555m, όπου και ξεκουράζεται για ώρες. Στην συνέχεια αρχίζει να κατεβαίνει το ύψωμα για να φτάσει στο σημείο Β, το οποίο βρίσκεται στο ίδιο υψόμετρο με το Α, μετά από ώρες. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος χρονικών στιγμών που διαφέρουν κα-τά ώρες και κατά τις οποίες ο ορειβάτης βρίσκονταν στο ίδιο υψόμετρο από τους πρόποδες του υψώματος. Ανδρεσάκης Δημήτρης

125 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

126 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

127 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

128 4.. Η Έννοιια της Παραγώγου A. Oρισμός Παραγώγου Δίνεται μια συνάρτηση f Λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της αν υπάρχει το όριο f ( ) f ( ) και είναι πραγματικός αριθμός. o Το όριο αυτό το ονομάζουμε παράγωγο αριθμό της f στο και συμβολίζεται με f ' ( ). Δηλαδή f ( ) f ( ) f '( ) = o [] Προφανώς η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της αν f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) υπάρχουν τα όρια, είναι πραγματικοί + αριθμοί και είναι ίσα Παρατηρήσεις. Αν στην [] Θέσω όπου = + h τότε έχω τον ισοδύναμο ορισμό f ( + h) f ( ) f '( ) = h h []. Αν στην [] Θέσω όπου = h τότε έχω τον ισοδύναμο ορισμό f ( ) ( ) ( ) h f f ' = h h [ ' ]. Αν στην [] Θέσω f( + h ) f( ) = Δ f( ) και Δ = - τότε είναι f Δf ( ) '( ) = Δ Δ [] 4. Eπίσης ισχύει ο συμβολισμός του Leibniz f df ( ) df ( ) '( ) = = d = d [4] 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

129 5. Η παράγωγος του διαστήματος ενός κινητού κατά την χρονική στιγμή t = t είναι η ταχύτητα, και η παράγωγος της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση. δηλαδή S ' (t ) = u (t ) και u ' (t ) = a(t ) [5] Αν (t) είναι η συνάρτηση που μου δίνει το διάστημα που διανύει ένα κινητό συναρτήσει του χρόνου τότε Η μέση ταχύτητα του κινητού στο διάστημα [t, t] είναι ( t ) ( t ) t t 6. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο σημείο της (, f( )) είναι ίσος με την παράγωγό της f στο. Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y f( ) = f'( )( ) [6] Σημ : το f '( ) ονομάζεται και κλίση της f στο Β. Παραγωγισιμότητα και συνέχεια Θεώρημα :Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση στο χ είναι και συνεχής σε αυτό. Παρατηρήσεις. Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Κλασικό αντιπαράδειγμα η f() = η οποία είναι συνεχής στο = αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό.. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο δεν είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό. ( Γιατί αν ήταν παραγωγίσιμη στο σύμφωνα με το θεώρημα θα ήταν και συνεχής σε αυτό, άτοπο!!!! ). Αν ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων ώστε μια συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο, το οποίο είναι σημείο αλλαγής τύπου τότε απαιτούμε α) Η f να είναι συνεχής στο f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) β) = R + 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

130 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Να εξετάσετε αν η f() = είναι συνεχής και στη συνέχεια αν είναι παραγωγίσιμη στο Είναι f() = +, +, < Εξετάζουμε πρώτα την συνέχεια στο και έχουμε f ( ) + f ( ) = = + = + = και f () = Άρα η f είναι συνεχής στο Για την παραγωγισιμότητα στο είναι ( + )( ) f ( ) f () + = = = = ( ) και ( + )( ) f ( ) f () + = = = 5 f ( ) f () f ( ) f () Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο αφού +. Να εξετάσετε αν η f() = ηµ είναι παραγωγίσιμη στο Είναι Α= [,+ ) και το είναι άκρο του πεδίου ορισμού άρα, αναζητώ αν υπάρχει το όριο + f ( ) f () = + ηµ ηµ = = + + ηµ = + - = +. Αρα δεν υπάρχει η παράγωγος της f στο. Να βρεθούν τα α,β ώστε η f() = παραγωγίσιμη στο - α + 5a +, β +, > να είναι 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

131 Απαιτούμε f παραγωγίσιμη στο - f f συνεχής στο - παραγωγίσιµη στο - οπότε + ( + f ( ) = f ( ) = f ( ) β + ) = ( a + 5a + ) = α + α + = β α β = - α= β- ( Ι ) Ακόμη f ( ) f ( ) β + (α + ) β + ( β + ) = = ( + )( + 6) = = = 4 ( ΙΙ ) και f ( ) f ( ) α + 5α + (α + ) α + a = = = α( + ) = a (Ι Ι Ι) + (ΙΙ) και (ΙΙΙ) α = 4 οπότε (Ι) 4 = β - β = Δίνεται η συνάρτηση f με την ιδιότητα 5ηµ f ( ) 5ηµ + (I). Αν η f είναι συνεχής στο, να δείξετε ότι η f παραγωγίσιμη στο. Για να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο αναζητούμε το όριο f ( ) f () ( ΙΙ ) Πρέπει επομένως να υπολογίσουμε το f() Όμως f συνεχής στο άρα f() = f ( ). Πρέπει επομένως να υπολογίσουμε το f ( ). Αν > η (Ι) γίνεται ηµ ηµ 5ηµ f ( ) 5ηµ + ηµ ηµ Όμως 5ηµ = 5 = και 5ηµ = άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε f ( ) = (ΙΙI) + ηµ ηµ Αν < η (Ι) γίνεται 5ηµ f ( ) 5ηµ + ηµ ηµ Όμως 5ηµ = και 5ηµ = άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε Ανδρεσάκης Δημήτρης

132 f ( ) = (ΙV) Από (ΙΙ) και (ΙV) f ( ) =. Όμως f συνεχής στο άρα f() = f ( ) = f ( ) Έτσι το ζητούμενο όριο (ΙI) γίνεται. Για να υπολογίσουμε αυτό το όριο διαιρούμε την (Ι) με χ > και έχουμε ηµ ηµ 5 f ( ) 5 + ηµ ηµ Όμως (5 ) = 5 = και (5 + ) = 5 = άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε f ( ) = f () = 5 5. Δίνεται η συνάρτηση f με την ιδιότητα ημ - f() ημ + ( I ). Nα δείξετε ότι η f παραγωγίσιμη στο. Από την (Ι) για χ= παίρνουμε f() f() = Για να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο αναζητούμε το όριο f ( ) f () f ( ) = ηµ f ( ) ηµ Αν > η (Ι) γίνεται + ηµ ηµ Όμως = = και + = = f ( ) Επομένως από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε = + ηµ f ( ) ηµ Αν < η (Ι) γίνεται + ηµ ηµ Όμως = = και + = = f ( ) Επομένως από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε = f ( ) Έτσι τελικά έχουμε f '() = = Ανδρεσάκης Δημήτρης

133 f ( ) 6. Αν = 4 στο, και f συνεχής στο, να δείξετε ότι η f παραγωγίσιμη Για να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο αναζητούμε το όριο f ( ) f () ( Ι ) Πρέπει επομένως να υπολογίσουμε το f() f ( ) Για θέτουμε g ( ) = f ( ) = g( )( ), και άρα f ( ) = g( )( ) = 4 = Όμως f συνεχής στο άρα f() = f ( ) = Έτσι το ζητούμενο όριο (Ι) γίνεται f ( ) f () f ( ) f ( = = ) = 4 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R με g() = f() για κάθε χ R. Αν η g είναι παραγωγίσιμη στο χ = να δείξετε ότι και f είναι παραγωγίσιμη στο χ = g( ) g() Αφού η g είναι παραγωγίσιμη στο άρα = g () (I) Αναζητούμε το όριο g( ) g( ) g() g() f ( ) f () ( ) () = = g g = (ΙI) ( ) Στον αριθμητή της (ΙΙ) προσθαφαιρούμε το g() ώστε να εμφανιστεί ο λόγος (Ι), και έχουμε g( ) g() g( ) g() + g() g() g( ) g() + g()( ) = = = ( ) ( ) ( ) g( ) g() g()( ) g( ) g() + = g() = g'() g() = g'() g() ( ) ( ) Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () = g () Ανδρεσάκης Δημήτρης

134 Ασκήσεις A Ομάδας 4... Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιχο α) f()=, =, β) f() =, = γ) f()= + + 5, = -,δ) f() =, = 4... Δίνεται συνάρτηση f με την ιδιότητα f (+h) = -h+h h, h R. Nα βρείτε την f ' () Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = είναι παραγωγίσιμη στο = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = είναι παραγωγίσιμη στο = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = είναι παραγωγίσιμη στο =. ημ( ),χ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() =, είναι. χ = παραγωγίσιμη στο = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = 5, είναι παραγωγίσιμη στο = Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() =, είναι συνεχής στο = άλλα όχι παραγωγίσιμη σ ' αυτό Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = - -, είναι συνεχής στο = άλλα όχι παραγωγίσιμη σ ' αυτό Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = στο =., + e, είναι παραγωγίσιμη, = 4... Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = στο = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() = στο =. e, <, = e, > ημ, < +,,είναι παραγωγίσιμη, είναι παραγωγίσιμη Ανδρεσάκης Δημήτρης

135 4... Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = παραγωγίσιμη στο σημείο = , +, >, είναι a + β, < Να βρεθούν τα α, β R ώστε η συνάρτηση f() = να είναι, παραγωγίσιμη στο =. [ Aπ : α =, β = - 6 ] *** Δίνεται η συνάρτηση f : R R με - f () + για κάθε R. α) να δείξετε ότι f ( ) = β) να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο = με f ' () = Δίνεται η συνάρτηση f : R R με + f() + + για κάθε R. Να δείξετε ότι α) f () = και β) f ' () = Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f (). Να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο = Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f () ημ 4 για κάθε R. Αν η f είναι συνεχής στο = να δείξετε ότι α) f ()= και β) f ' () = Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο = και ισχύει να δείξετε ότι f ' () =. f ( ) =, 4... Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ισχύει δείξετε ότι f ' () =. f ( ) = να 4... Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ισχύει να δείξετε ότι f ' ( ) =. h f ( + h) =, h 4... Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο = α να δείξετε ότι α) α f ( α) αf ( ) = f (α) f ' (α) α a β) α f ( α) α f ( ) = α f (α) α f ' (α) a 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

136 Ασκήσεις Β Ομάδας 4... Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f (+y) = f ()+f (y) για κάθε, y R. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο = να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε R με f ' ( ) =f ' ( ) Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(+y) = f () f (y) για κάθε, y R και f(). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο = να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε R με f ' ( ) =f ' ( ) f ( ) Δίνεται η συνάρτηση f : (,+ ) R με f ( y) = f ()+f (y) για κάθε, y >. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο = να δείξετε ότι η α) f ()=. β) είναι παραγωγίσιμη σε κάθε > με f ' ( ) =f ' ( ) Δίνεται η συνάρτηση f : (,+ ) R με f ( y) = f () f (y) για κάθε, y >. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο = να δείξετε ότι η είναι f ( ) παραγωγίσιμη σε κάθε > με f ' ( ) =f ' ( ) 4.. Παράγωγος συνάρτησης Κανόνες Παραγώγιισης Παράγωγος συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α.Λέμε τότε ότι!"η f είναι παραγωγίσιμη στο Α εάν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Α.!"η f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) εάν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε (α,β)!" η f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] εάν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε (α,β) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) και επίσης τα, είναι πραγματικοί αριθμοί. β α+ Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και το σύνολο Α ={ A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη }. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε A αντιστοιχίζεται στο f ( + h) f ( ) f ( ) =. h h 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

137 την οποία ονομάζουμε πρώτη παράγωγο της f η σκέτα παράγωγο της f και συμβολίζεται με df f ' ή ( συμβολισμός Leibniz) d Ορίζουμε ακόμη την δεύτερη παράγωγο της f ως την παράγωγο της f και την συμβολίζουμε f '' Τέλος επαγωγικά ορίζουμε την ν-οστή παράγωγο της f και συμβολίζουμε με f ( v) την f ( v) = [f (v-) ]', ν Παράγωγοι Βασικών συναρτήσεων - Κανόνες Παραγώγισης Παράγωγοι Βασικών συναρτήσεων. ( c ) =. ( ) =. ρ ρ ( ) = ρ 4. ( ) = 5. ( ημ) = συν 6. ( συν) = ημ 7. ( e ) = e 8. (! n) = 9. ( εφ)' = συν. ( σφ)' = ημ Κανόνες Παραγώγισης. ( cf ( )) = cf ( ). ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g ( ). ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) 4. f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) = g( ) ( g( )) 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

138 Αποδεικνύεται ότι για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει: ( f ( g( )) ) = f ( g( )) g ( ) d df ( g( ) dg( ( f ( g( )) = ) d dg( ) d (f(u))' = f ' (u) u' dy = d dy du du d Δηλαδή για να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση f ( g( )), σε πρώτη φάση παραγωγίζουμε την f σαν να έχει ανεξάρτητη μεταβλητή την g() και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της g.. ρ ρ ( f ( ) ) = ρf ( ) f '( ). ( f ( )) = f '( ) f ( ). ( ημf( )) = συνf( ) f '( ) 4. ( συνf( )) = ημf( ) f '( ) 5. f ( ) f ( ) ( e ) = e f '( ) 6. (ln( f ( ) )) = f '( ) f ( ) 7. ( εφ f ( χ))' = f '( ) συν f ( ) 8. ( σφf ( ))' = f '( ) ημ f ( ) 9. ( a )' = ( e lna )' = e lna ( ln a)' = a ln a f ( ) f ( )lna. a = a f '( ).. g( ) ln f ( ) g( ) f ( ) = e = g e ( )ln f ( ) 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

139 Ασκήσεις A Ομάδας 4... Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = β) f() = + γ) f() = ημ συν δ) f() = +e +ln +999 ε) f() = + 5 στ) f() = +log 6 z) f() = εφχ -σφχ 4... Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = συν β) f() = e γ) f() = e ln δ) f() = + 4 ημ ε) f() = συν στ) f() = (+) (+) 4... Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = e ημ δ) f() = + συν z) f() = + β) f() = ln ε) f() = + ln η) f() = γ) f() = v 5 στ) f() = ημ Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = β) f() = e ln γ) f() = e e + ημ δ) f() = ε) f () = 5 στ) f() = +ln + 5 συν Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = (-) β) f() = ημ γ) f() = δ) f() = συν (5) ε) f() = στ) f() = e + 4 z) f() = ln ( +5+4 ) η) f() = e θ) f() = ημ(αχ+β) συν(αχ+β) Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = ( +e + ) β) f() = εφ γ) f() = ln (ln) δ) f() = ημ ( συν) ε) f() = e συν στ) f() = ln( ) z) f() = ln ( +5+4 ) η) f() = ημ (ημ) συν (συν) 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

140 4..7. Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = ημ (συν (+)) β) f() = ημ ( +) γ) f() = ln (ln( +e )) δ) f() = ln ( + + ) ε) f() = e στ) f () = z) f() = ln ( ημ ( 5χ+) ) η) f() = ημ (ln ( συν(+4))) θ) f() = e Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = β) f() = ημ γ) f() = ημ ( ) ln δ) f() = ( + ) ε) f() = ( + ) στ) f () = ( + ) z) f() = ln ( ημ ( ) ) η) f() = +ln e Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = β) f() = γ) f() = + δ) f() = - ε) f() = ( ημ συν ), χ στ) f () = χ χ z) f() = ln ( ημ ( ) ),, χ = *** 4... Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ (α+β ). Να δείξετε ότι f ' ' ()+α f ' () = 4... Να βρεθεί το όριο e ln e 4... Δίνεται η συνάρτηση f() = α + β α) Να δείξετε ότι f ' ' () = f () β) Να βρείτε τα α, β ώστε f () = και f ' () = 4... Αν f () = ln( ) να δείξετε ότι + df d ( ) f ( ) + = e Nα βρεθούν τα α,β, γ R ώστε η συνάρτηση f () = να είναι παραγωγίσιμη στο R. a + β + γ,, χ > + e Αν f () = α e +β e +γ ημ +δσυν να δείξετε ότι f (4) ()= f() Αν f () = να βρεθεί το f ' (8) και το το f ' ( - 8 ). 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

141 4..7. Nα βρεθούν τα α,β, γ R ώστε η συνάρτηση f () = να είναι παραγωγίσιμη στο R. γ + a, < + β + α, χ Αν f () = ημ ν συν (v) να δείξετε ότι f ' () = v ημ ν- συν ((v+) ) α) Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R είναι άρτια να δείξετε ότι η f ' είναι περιττή. β) Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R είναι περιττή να δείξετε ότι η f ' είναι άρτια. γ) Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R είναι περιοδική να δείξετε ότι η f ' είναι επίσης περιοδική. δ) Αν μια περιττή συνάρτηση f: (-α, α ) R είναι δυο φορές παραγωγίσιμη να δείξετε ότι η f ' ' () =. ε) Αν f: R R μια παραγωγίσιμη, άρτια συνάρτηση και μια συνάρτηση g με g () = ( + ) f () + ημ. Nα δείξετε ότι η g ' ( ) =. Ασκήσεις Β Ομάδας 4... Έστω συνάρτηση f : (, + ) R με f (y) = f ()+f(y),, y (, + ). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) να δείξετε ότι f ' () = y f ' (y) Έστω συνάρτηση f :R R με f (+y) = f () f(y),,y R. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R να δείξετε ότι f (y) f ' () = f () f ' (y) 4... Έστω συνάρτηση f :R R με f (+y) +f(-y) = f () f(y),,y R. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R να δείξετε ότι f (y) f ' ' () = f () f ' ' (y) 4... Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R με f (+y) +f (-y) = f () και f ' ()=,,y R.Nα δείξετε ότι f ' () = Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της f με f () = ln δίνεται από τον v ( v) ( ) ( v )! τύπο f ( ) = v Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της f με f () = ημ δίνεται από τον ( v) νπ τύπο f ( ) = ημ( χ + ) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της f με f () = α ν ν + α ν- ν- + α ν- ν- +..α +α δίνεται από τον τύπο ( v) f ( ) = ν! α ν 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

142 4.. Εφαπτομένη γραφιικής παράστασης Παρατηρήσεις Μεθοδολογία στις ασκήσεις παραγώγων f( ) ω [.] Σε όλα τα θέματα με εφαπτομένες θεωρούμε το σημείο επαφής Α (, f( )) είτε αυτό δίνεται είτε όχι [.] Αν ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α (, f( )), ω η γωνία που σχηματίζει αυτή με τον άξονα ' και λ ε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης αυτής τότε ισχύει πάντα λ ε = f ' ( ) = εφω [.] Θυμηθείτε ότι εφω = ω = 4 π =45 π εφω = - ω = 4 =5 π π εφω = ω = = 6 εφω = - ω = = εφω = π 5π ω = = εφω = - ω = 6 6 = 5 [ 4.] Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α (, f( )) δίνεται από τον τύπο y = f ' ( ) +β όπου το β βρίσκεται από το γεγονός ότι το σημείο Α (, f( )) ανήκει στην γραφική παράσταση της f.δηλαδή επαληθεύει την εξίσωσή της, άρα f( ) = f ' ( ) +β β = f( ) f ' ( ) [ 5.] Αν η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α (, f( )) είναι παράλληλη στον ' τότε f ' ( ) = [ 6.] Αν η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α (, f( )) είναι παράλληλη στην ευθεία η τότε f ' ( ) = λ ε = λ η [ 7.] Αν η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α (, f( )) είναι κάθετη στην ευθεία η τότε f ' ( ) λ η = - ή λ ε λ η = - 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

143 [ 8.] Αν αναζητώ σημεία (, f( )), (, f( )) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες τότε πρέπει f ' ( ) = f ' ( ) [ 9.] Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α (, f( )) διέρχεται από το σημείο Μ( κ, λ ),τότε αυτό επαληθεύει την εξίσωσή της, άρα λ = f ' ( ) k +β [.] Αν ζητείται να βρεθεί η ευθεία y = k+λ ώστε αυτή να εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο Α (, f( )) τότε πρέπει k = f ' ( ) και f( ) = k +λ [.] Αν ζητείται να ελέγξουμε η να βρούμε αν οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων g, f έχουν κοινή εφαπτομένη σε ένα κοινό τους σημείο Α (, f( )) τότε πρέπει f ( ) = g( ) και f ' ( ) = g ' ( ) [.] Αν ζητείται να βρεθούν οι οριζόντιες εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, ψάχνω να βρω εκείνες που έχουν συντελεστή διεύθυνσης Έτσι λύνω την εξίσωση f ' () = και τα που βρίσκω είναι τα σημεία επαφής, οπότε ανάγομαι στην περίπτωση [ 4 ]. [.] Αν ζητείται να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, η οποία διέρχεται από σημείο Β (, y ) τότε συνήθως το Β (, y ) είναι διάφορο του σημείου επαφής Α (, y ) ( αυτό το βρίσκω αν f ( ) = y ) Αν λοιπόν Α (, y ) το σημείο επαφής ( έστω και αν δεν το ξέρω ) τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = f ' ( ) +β () Όμως f( ) = f ' ( ) +β β = f( ) f ' ( ) () Άρα () y = f ' ( ) + f( ) f ' ( ) () Αλλά η εφαπτομένη διέρχεται από το Β (, y ) οπότε y = f ' ( ) + f( ) f ' ( ) (4) Από την (4 ) βρίσκω ένα η περισσότερα και από την () τις ζητούμενες εφαπτομένες 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

144 Ασκήσεις A Ομάδας 4... Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο αντίστοιχο α) f() = 5 +7+, = β) f() =, = 9 γ) f() = ( + ), = ln δ) f() =, = e ε) f() = +, = στ) f() = -, = z) f() = e, = Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f()= στα σημεία Μ (,f( )) με f ( ) = f ' ( ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f() = +- που είναι κάθετη στην ευθεία y = Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f () = στα σημεία τομής της με την ευθεία y = Έστω f : R R με f () = ++α. Να βρεθεί σημείο της C f όπου η εφαπτομένη της f σε αυτό το σημείο είναι α) Παράλληλη στον χχ β) Παράλληλη στην y = + γ) Κάθετη στην +y+ = Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f () = στα σημεία τομής της με τους άξονες Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f () = 5+6 που διέρχεται από το Μ(,-) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f () = 4 που σχηματίζει γωνία π/ με τον χχ, Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f () = που σχηματίζει γωνία π/4 με τον χχ, 4... Αν Α(,-), Β(, 5) δυο σημεία της C f της f() = να βρεθεί σημείο M(, f( )) της C f ώστε η εφαπτομένη στο Μ να είναι παράλληλη στο ΑΒ 4... Να βρεθούν τα α, β ώστε η ευθεία y =+5 να είναι εφαπτομένη της f() = +α+β στο σημείο με = 4... Να βρεθούν τα α, β ώστε οι f () = +α + και g()= +β+ να έχουν κοινή εφαπτομένη στο =. 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

145 4... Να βρεθεί ο α R ώστε η εφαπτομένη της C f της f() = ( a ) σε ένα 9 κοινό σημείο της f με τον ' να σχηματίζει γωνία 45, με τον αξονα αυτό Δίνεται η συνάρτηση f () = k /, k R. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α( κ,5), με τον άξονα ' Δίνεται η συνάρτηση f () = /. Να βρεθεί το εμαβδό που σχηματίζει η η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α( α,/α) και τους άξονες ' και yy'. Ασκήσεις Β Ομάδας Έστω f() = κ + λ και g() = ln(ημ). Αν (, π ] να βρεθούν τα κ, λ ώστε οι f, g να τέμνονται στο Α(, ) και οι εφαπτομένες των f, g στο Α να ταυτίζονται Να αποδείξετε ότι το τμήμα που περιέχεται μεταξύ των αξόνων και την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο τυχαίο σημείο της f() = α/ διχοτομείται από το σημείο επαφής. + ln Έστω f()=. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη για την οποία ισχύει ότι α) διέρχεται από το Ο(, ) β) είναι παράλληλη στον οριζόντιο άξονα Να δείξετε ότι η y = + εφάπτεται στην y = e και στην συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση e = + έχει μόνο μια πραγματική ρίζα Έστω f : (, + ) με f( ) = +. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο = Έστω f : (, + ) με f(ln) =. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο = 4... Έστω f με f( e ) = ln ( +). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο = 4... Έστω f() = + και τα σημεία Α, Β,Γ της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες = -, =, = 5/.Να αποδείξετε ότι οι κάθετες στις εφαπτομένες της f στα σημεία Α, Β, Γ διέρχονται από το ίδιο σημείο. 44 Ανδρεσάκης Δημήτρης

146 4..4 Ρυθμός μεταβολής ΟΡΙΣΜΟΣ Για δυο μεταβλητές και y που συνδέονται με την σχέση y = f() και η f είναι παραγωγίσιμη ορίζουμε!"ρυθμός μεταβολής του y ως πρός λέγεται η παράγωγος συνάρτηση dy = f ' ( ) d!"ρυθμός μεταβολής του y ως πρός στο σημείο λέγεται η παράγωγος της f στο dy = f ' ( ) d = Έτσι από το ρυθμό μεταβολής στο ελέγχουμε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ή ελαττώνεται ένα μέγεθος Αν ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός τότε σημαίνει τάση για αύξηση ενώ αν είναι αρνητικός σημαίνει τάση για ελάττωση της μεταβλητής Χρήσιμοι τύποι Μήκος κύκλου L = π r Εμβαδόν κύκλου Ε = π r 4 Όγκος σφαίρας V = π r Επιφάνεια σφαίρας Ε = 4πτ Κλασικά παραδείγματα ρυθμού μεταβολής από την Γεωμετρία και την φυσική είναι τα παρακάτω. Ο ρυθμός μεταβολής του όγκου της σφαίρας V ως προς την ακτίνα r είναι το εμβαδόν E της επιφάνειάς της dv ( r) 4 = ( π r )' = 4πτ = E dr. Ο ρυθμός μεταβολής του όγκου της σφαίρας V ως προς τον χρόνο t είναι dv ( t) dv dr 4 = = ( π r ( t))' = 4πr ( t) r' ( t) dt dr dt. Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε κύκλου ως προς την ακτίνα του r είναι το μήκος L της περιφέρειάς του de = ( πr )' = πr = L dr 4. Ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης S(t) ενός κινητού ως προς το χρόνο είναι η στιγμιαία ταχύτητα u( t ) του κινητού ds( t) = u( t) dt 5. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας u(t) ενός κινητού ως προς το χρόνο είναι η στιγμιαία επιτάχυνση γ( t ) του κινητού 45 Ανδρεσάκης Δημήτρης

147 du( t) dt = γ ( t) Βέβαια σε μια άσκηση μπορεί να ζητηθεί ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους ως προς οποιοδήποτε άλλο μέγεθος Παράδειγμα Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου της σφαίρας ως προς το εμβαδό της dv επιφάνειάς του δηλαδή ζητείται το de Πρώτα βρίσκω τη συνάρτηση που συνδέει τα V,E. είναι 4 E V = πr και Ε = 4π r r = οπότε V 4π Και 4 = π( Ε ) 4π dv 4 Ε = [V(Ε)]' = 4 4 π [( ) ]' = π ( E )' = π de 4π 4π 4π E Γενικότερα ακολουθώ τα εξής βήματα!"κατασκευάζουμε ένα αντιπροσωπευτικό σχήμα!"γράφουμε τα δεδομένα και προσέχω ποιούς ρυθμούς μεταβολής έχω γνωστούς και ποιους ζητάω!"παίρνω από το σχήμα τις βασικές σχέσεις των μεγεθών και εκφράζω ( θεωρώντας ένα μεταβλητό μέγεθος του σχήματος ) τα μεγέθη που εμφανίζονται στην άσκηση με τους τύπους του σχήματος ( ΠΥΘ. ΘΕΩΡΗΜΑ,ΟΓΚΟΙ ΣΤΕΡΕΩΝ, ΤΥΠΟΙ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ, ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ)!"Κατασκευάζουμε ένα αντιπροσωπευτικό σχήμα κατά την χρονική στιγμή t κατά την οποία ζητούνται οι ρυθμοί μεταβολής διαφόρων μεγεθών.!"όλα τα συμβολίζω με συμβολισμό Leibniz Ασκήσεις A Ομάδας Το μήκος ενός ορθογωνίου αυξάνεται με ρυθμό 5cm/sec, ενώ το πλάτος του μειώνεται με ρυθμό cm/sec. Να βρεθούν : α) Ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου του ορθογωνίου. β) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου όταν το μήκος του είναι cm και το πλάτος του είναι cm Δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f και g συνδέονται με τη σχέση: f(t) = 4(g(t)) + 5. Αν είναι g(4) = και g / (4) =, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της f όταν t = Η πλευρά ενός τετραγώνου μειώνεται με ρυθμό cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου του την χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι 5μ. 46 Ανδρεσάκης Δημήτρης

148 Η ακτίνα ενός μπαλονιού πού ξεφουσκώνει μειώνεται με ρυθμό /π cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου την χρονική στιγμή t που η ακτίνα του είναι 5cm Τα άκρα Α και Β ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ = cm ολισθαίνουν επι των ημιαξόνων Ο και Οy αντίστοιχα. Αν τη χρονική στιγμή t, που το σημείο Α απέχει από την αρχή των αξόνων 6 cm, η ταχύτητα του είναι 4 cm/sec. Να βρεθεί : α) Η ταχύτητα του σημείου Β β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ συναρτήσει του μήκους της πλευράς ΟΑ γ) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή t Οι πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ ελαττώνονται με ρυθμό cm / sec κα 4 cm / sec αντίστοιχα, ενώ η γωνία Α μειώνεται με ρυθμό rad/ sec. Να βρείτε α) Μια σχέση που συνδέει τις πλευρές του τριγώνου με την γωνία Α. β) Το είδος του τριγώνου την χρονική στιγμή t, όπου AB =6 cm ΑΓ = 8cm, ΒΓ = cm, γ) Το ρυθμό μεταβολής της πλευράς ΒΓ την χρονική στιγμή t Ο όγκος ενός σφαιρικού μπαλονιού αυξάνεται με ρυθμό π cm /sec.να βρείτε : α) Την ακτίνα του μπαλονιού την χρονική στιγμή t που η επιφάνειά του είναι 6 π cm β) Τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η ακτίνα του την χρονική στιγμή t που η επιφάνειά του είναι 6 π cm Σε έναν κατακόρυφο τοίχο βρίσκεται στερεωμένη πλάγια σκάλα μήκους 5μ. Το κάτω μέρος της σκάλας αρχίζει να γλιστρά με ρυθμό μ/sec. Τη χρονική στιγμή t που το κάτω μέρος της σκάλας απέχει από τον τοίχο μ να βρείτε: α) Σε τι ύψος είναι στερεωμένη η σκάλα β) Με τι ρυθμό πέφτει το πάνω μέρος της σκάλας γ) Με τι ρυθμό μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου, που σχηματίζεται από την σκάλα, τον τοίχο και το έδαφος δ) Με τι ρυθμό μεταβάλλεται η γωνία θ που σχηματίζει η σκάλα με το ν τοίχο. Ασκήσεις Β Ομάδας Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ =6 cm, μεταβάλλεται με ρυθμό 5cm/ sec. Αν την χρονική στιγμή t που το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ 6cm να βρεθούν α) Ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών β) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ Ένα σημείο Μ(,y) κινείται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = -+.Αν τη χρονική στιγμή t η κλίση της f στο σημείο Μ είναι 5 και η τετμημένη του σημείου Μ αυξάνεται με ρυθμό cm / sec να βρεθούν 47 Ανδρεσάκης Δημήτρης

149 α) Η τετμημένη του σημείου Μ, β) Ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η τεταγμένη του σημείου Μ Ένα σημείο Μ(,y) κινείται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = -+. H τετμημένη του σημείου Μ είναι θετική και απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων cm / sec να βρεθούν α) Ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ, με τον άξονα ', όταν αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία y + =,καθώς και η τετμημένη του σημείου Μ, την στιγμή εκείνη Το μήκος ενός κύκλου αυξάνεται με ρυθμό cm / sec. Την χρονική στιγμή κατά την οποία το εμβαδόν του κύκλου είναι π cm να βρείτε α) Την ακτίνα του κύκλου β) Το ρυθμό μεταβολής της ακτίνας του κύκλου, γ) Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του κύκλου Δυο πλοία που κινούνται το ένα ανατολικά και το άλλο βόρεια με ταχύτητες u A = km /h, u B = 8 km /h, αντίστοιχα διήλθαν από ένα φάρο στις μμ και μμ αντίστοιχα. Να βρείτε α) την απόσταση των δυο πλοίων στις μμ β) το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των δυο πλοίων στις μμ Ένας άνδρας με ύψος m διέρχεται μπροστά από προβολέα που βρίσκεται στο έδαφος. Ο προβολέας φωτίζει ένα κτίριο που απέχει m από τον προβολέα. 'Αν ο άνδρας βαδίζει με ταχύτητα m/sec και κατευθύνεται προς το κτίριο τότε α) Να εκφραστεί το ύψος της σκιάς που ρίχνει ο άνδρας στο κτίριο ως συνάρτηση της απόστασής του από τον προβολέα. β) Να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται το ύψος της σκιάς που ρίχνει ο άνδρας στο κτίριο την στιγμή που ο άνδρας βρίσκεται 5m από τον τοίχο του κτιρίου Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει σταθερή περίμετρο cm. Αν είναι το μήκος μίας εκ των ίσων πλευρών του: α) να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του και να βρείτε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης, β) να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ως προς το.την χρονική στιγμή που = cm γ) να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ως προς το.την χρονική στιγμή που το εμβαδόν του είναι 5 cm Ένας μαθητής στέκεται 5μ μακριά από ένα σημείο και παρατηρεί ένα αερόστατο να απογειώνεται κατακόρυφα με ταχύτητα 65 μ / λεπτό. Έστω y(t) το ύψος που βρίσκεται το αερόστατο και d(t) η απόστασή του από τον μαθητή κάθε χρονική στιγμή t. α ) Να γράψετε την σχέση που συνδέει τα y(t), d(t) β) Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο απομακρύνεται το αερόστατο από τον μαθητή όταν βρίσκεται σε ύψος μ. 48 Ανδρεσάκης Δημήτρης

150 4..5 Θεώρημα Rolllle Θεώρημα Μέσης Τιιμής Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι!"συνεχής στο [α,β]!"παραγωγίσιμη στο (α,β)!"f(α) = f (β) f(α)= f(β) α ξ β τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f ' (ξ) = Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ(,y) της C f τέτοιο ώστε η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο να είναι παράλληλη στον '. ακόμη!"αν η f έχει κ ρίζες στο (α,β) η f ' έχει τουλάχιστον κ- τουλάχιστον ρίζες στο (α,β) Θεώρημα Μέσης Τιμής ( Θ.Μ.Τ ) Β Αν μια συνάρτηση f είναι!"συνεχής στο [α,β]!"παραγωγίσιμη στο (α,β) f (β) f (α) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f ' (ξ) = β α f (β) f (α) Επειδή λ ΑΒ = και f ' (ξ) = λ εφ το Θ.Μ.Τ γεωμετρικά σημαίνει ότι β α υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ(,y) της C f τέτοιο ώστε η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο να είναι παράλληλη στην χορδή ΑΒ. Α α ξ ξ β Θεώρημα Rolle και εύρεση ριζών μιας εξίσωσης Αν ζητείται να δειχθεί ότι α) Η εξίσωση f() = έχει τουλάχιστον μια () ρίζα στο (α,β) τότε!"εφαρμόζω Θεώρημα Bolzano στο (α,β) ή!"εφαρμόζω Θ. Rolle για μια αρχική της f() [ F ' () =f()] ή!"δείχνω ότι f(a) δηλαδή στο σύνολο τιμών του Α!"βρίσκω με το μάτι "προφανής " ρίζα!"κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο R ( αυτό ισχύει όταν (α,β)= R, και απαιτεί απόδειξη ) 49 Ανδρεσάκης Δημήτρης

151 β) Η εξίσωση f() = έχει τουλάχιστον (κ) ρίζες στο (α,β) τότε εφαρμόζω τα παραπάνω σε κ - το πλήθος- κατάλληλα διαστήματα του (α,β) γ) Η εξίσωση f() = έχει το πολύ μια () ρίζα στο (α,β) τότε!"υποθέτω ότι έχει ρίζες ρ, ρ με ρ < ρ Τότε το θεώρημα Rolle δίνει για την f ' μια ρίζα ξ (ρ, ρ ). Το αποτέλεσμα αυτό θα οδηγεί σε άτοπο ή!"δείχνω ότι είναι γνησίως μονότονη στο (α,β) δ) Η εξίσωση f() = έχει το πολύ κ ρίζες στο (α,β) τότε!"υποθέτω ότι έχει κ+ ρίζες ρ, ρ,,ρ κ+ με ρ < ρ < < ρ κ+. Τότε το θεώρημα Rolle σε κάθε ένα από τα διαστήματα [ ρ, ρ ], [ρ, ρ ],, [ρ κ, ρ κ+ ] δίνει για την f ' κ ρίζες ξ (ρ, ρ ), ξ (ρ, ρ ),., ξ (ρ κ, ρ κ+ ). Το αποτέλεσμα αυτό θα οδηγεί σε άτοπο. Αν όχι τότε εφαρμόζω Rolle στα [ ξ, ξ ], [ξ, ξ ],, [ξ κ-, ξ κ ] και δίνει για την f '' κ- ρίζες. Αν χρειαστεί συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο μέχρι να καταλήξουμε σε άτοπο.!"δείχνω ότι είναι γνησίως μονότονη σε κ - το πλήθος- κατάλληλα διαστήματα του (α,β) ε) Η εξίσωση f() = έχει ακριβώς μια () ρίζα στο (α,β) τότε!"δείχνω ότι έχει τουλάχιστον μια και ότι έχει το πολύ μια ή!"δείχνω ότι έχει τουλάχιστον μια και ότι είναι μονότονη στο (α,β) στ) Η εξίσωση f() = έχει ακριβώς κ ρίζες στο (α,β) τότε!"δείχνω ότι έχει τουλάχιστον -κ - και ότι έχει το πολύ - κ - ή!"δείχνω ότι έχει τουλάχιστον κ - και ότι είναι μονότονη στα κ - το πλήθος- κατάλληλα διαστήματα του (α,β) Θεώρημα Rolle και υπαρξιακά Θέματα ( Θεωρητικά θέματα) Σε αυτή την κατηγορία συναντάμε ασκήσεις που ζητούν ". να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ή ξ (a,b) έτσι ώστε <συνθήκη>.." Τότε στην <συνθήκη> βάζω όπου ή ξ το και φέρνω στο ένα μέλος όλους τους όρους. Θεωρώ την προκύπτουσα συνάρτηση ως g() και εφαρμόζω Rolle σε μια αρχική της g() την G(). [ G ' () = g() ] π. χ α) ". να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (a,b) έτσι ώστε f ''( ) ( - κ ) = f ' ( ) Είναι f ''( ) (k - ) = f '( ) χ=χ f ' ' () (k -χ) = f '() f ' ' () (k -χ) - f'() = [ f'() (k-)]' = άρα εφαρμόζω Rolle για την g() = f '() (k-) στο (α,β) 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

152 β) ". να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (a,b) έτσι ώστε f'(ξ) = ν ξ ν- Είναι f '(ξ) = νξ ν- χ=ξ f '() = νχ ν- f '() - νχ ν- = ( f() v )' = άρα εφαρμόζω Rolle για την g() = f() - v στο (α,β) γ) ". να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (a,b) έτσι ώστε f'(ξ) +k f( ξ )= Είναι f'(ξ) +k f( ξ )= ξ= f'(χ) +k f( χ )= f'(χ) -k f( χ )= f'(χ)e k +k f( χ ) e k = ( f() e k )'= άρα εφαρμόζω Rolle για την g() = f() e k στο (α,β) Θεώρημα Μέσης τιμής και ανισότητες.!"βρίσκω την κατάλληλη συνάρτηση f ( φαίνεται συνήθως από την ανισότητα)!"βρίσκω το κατάλληλο διάστημα [α,β ] που μπορεί να είναι π.χ και της μορφής [,] ή [,+] ή [,]!"Εφαρμόζω ΘΜΤ για την f στο (α,β) οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) f (β) f (α) τέτοιο ώστε f ' (ξ) = β α!"μετά βρίσκω κατασκευαστικά τον τύπο της f από την σχέση ξ (α,β) α < ξ < β η ζητούμενη σχέση!"έπειτα βρίσκω την μονοτονία της f ' οπότε αν π.χ f ' τότε f (β) f (α) α < ξ<β f '(α) < f '(ξ) < f '(β) f '(α) < < f '(β) που είναι η β α αποδεικτέα σχέση Παράδειγμα ln 5 ln Να αποδείξετε ότι < < 5 Έστω f() = ln και εφαρμόζω ΘΜΤ στο [,5] άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ln 5 ln ln 5 ln ξ (,5) τέτοιο ώστε f ' (ξ) = = 5 Είναι f '() = οπότε f'(ξ)= και f'() ( αφού f '' () = ) στο [,5] άρα ξ ξ (,5) <ξ<5 f '() > f '(ξ) >f '(5) f '(5) <f '(ξ) <f '() ln 5 ln ln 5 ln f '(5) < <f '() < < 5 Θεώρημα Μέσης τιμής και υπαρξιακά Θέματα!"Σε αυτή την κατηγορία συναντάμε ασκήσεις που ζητούν ". να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ή ξ (a,b) έτσι ώστε <συνθήκη>.." όπου δουλεύουμε όπως στα υπαρξιακά Θέματα του Rolle!"Σε αυτή την κατηγορία συναντάμε ασκήσεις που ζητούν ". να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ,.., ξ ν (a,b) έτσι ώστε <συνθήκη>.." Τότε χωρίζουμε το διάστημα σε ν ίσα (ή σπανιότερα άνισα διαστήματα) και στο καθένα από αυτά εφαρμόζω ΘΜΤ 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

153 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Να εξεταστεί αν εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση f() = στο διάστημα [ -,] Η f είναι παραγωγίσιμη και συνεχής σε όλο το R άρα και στο [-,], ως πολυωνυμική f(-) = - 8 f() = 7 Άρα αφού f(-) f() δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. Να εξεταστεί αν εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση f() = στο διάστημα [ -,] Η f δεν ορίζεται στο και άρα δεν είναι συνεχής στο [ -,], άρα δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. Να εξεταστεί αν εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση f() = - στο διάστημα [ -4,4]. Είναι f() =, +, < Εξετάζουμε την συνέχεια Η f είναι συνεχής στο [-4,) ως πολυωνυμική Η f είναι συνεχής στο (,4] ως πολυωνυμική Στο χ = έχουμε f ( ) + f ( ) = + = + = Εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα + = και f()=, οπότε f συνεχής στο Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-4,) ως πολυωνυμική Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,4) ως πολυωνυμική Στο χ = έχουμε + f ( ) f () = + = + ( ) = f ( ) f () = + = + ( + ) = Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο και επομένως δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

154 4. α) Να αποδείξετε ότι εφαρμόζεται το Θεώρημα Μέσης τιμής για την +, συνάρτηση f() = στο διάστημα [ -,]., > β) Να βρείτε τα ξ πού το επαληθέυουν Εξετάζουμε την συνέχεια Η f είναι συνεχής στο [-,-) ως πολυωνυμική Η f είναι συνεχής στο (-,] ως πολυωνυμική Στο χ = - έχουμε + f ( ) f ( ) = + = + = ( ) Εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα ( ) = = + = και f(-)=, οπότε f συνεχής και στο - Η f είναι παραγωγίσιμη στο (--,-) ως πολυωνυμική Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-,) ως πολυωνυμική Στο χ = - έχουμε f ( ) f ( ) ( )( + ) = = = f ( ) f ( ) + = = + + Άρα η f παραγωγίσιμη και στο - ( + ) = + + f( -) = ( - ) + = - 4 f( ) = - = 6 Άρα από το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( -,) με f () f ( ) 6 ( 4) f (ξ ) = = = = ( ) 5 5, Όμως f (χ) =, > και για χ < - f (χ) = χ ( -, --] για χ > - f (χ) = χ = χ= + ( δεκτή ) ή χ= - (απορρίπτεται) Τελικά τα ζητούμενα ξ είναι ξ (-,-] { } 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

155 5. Να βρείτε τα α, β, γ ώστε να εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle για την + a + β, < συνάρτηση f() = στο διάστημα [ -,]. γ , Η f ως πολυωνυμική είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο [-,) (,] Απαιτούμε να είναι συνεχής στο Είναι f ( ) γ = 4 + f ( ) = + = f() = 4 Οπότε πρέπει β = 4 + a + β = β Απαιτούμε να είναι παραγωγίσιμη στο f ( ) f () + α ( + α) = = = α f ( ) f () γ ( γ + 4) = = = Οπότε πρέπει α = 4 Απαιτούμε f(-) =f() = γ +4+4 γ= Αν f() = ( + 5 ) (4 )( ) ( 4 ) να βρεθεί πόσες πραγματικές ρίζες έχει η εξίσωση f () = H f(),είναι πολυωνυμική (άρα παραγωγίσιμη και συνεχής στο R ), και μηδενίζεται στα 5, 4,, 4 Άρα f( - 5 ) = f( ) = f( 4 ) = f(4) = Αν εφαρμόσουμε το Θ. Rolle σε καθένα από τα διαστήματα [-5, 4 ], [ 4, ], [,4] τότε η f () = έχει τουλάχιστον ρίζες. Όμως η f() είναι πολυωνυμική 4 ου βαθμού άρα η f () θα είναι ου βαθμού, και επομένως θα έχει το πολύ ρίζες. Άρα τελικά θα έχει ακριβώς ρίζες στο R 54 Ανδρεσάκης Δημήτρης

156 7. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση χ 6χ -χ +4 = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) Το θέμα αυτό «μυρίζει» Θεώρημα Bolzano, και έτσι έχει αντιμετωπισθεί σε προηγούμενο κεφάλαιο. Όμως, δυστυχώς, ενώ η f είναι συνεχής στο [,] η δεύτερη συνθήκη του Bolzano, δεν ικανοποιείται αφού f() = 4, f() =, και άρα f()f()>. Τι κάνουμε λοιπόν τώρα ; Ψάχνουμε να βρούμε μια αρχική F της f ( δηλαδή μια συνάρτηση που αν την παραγωγίσουμε να μας δώσει την f, F () = f() ) Μια τέτοια είναι η F () = (*) με F () = f() Εφαρμόζουμε Θεώρημα Rolle στην F, πράγματι F παραγωγίσιμη( και συνεχής) στο [,] ως πολυωνυμική F () = F () = Άρα από θεώρημα Rolle η εξίσωση F ( ) =, δηλαδή η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,) (*) Στην πραγματικότητα η f δεν έχει μόνο αυτήν την F για αρχική άλλα έχει άπειρες αρχικές τις F() = c, c R, αλλά σε αυτού του είδους τις ασκήσεις εμείς θα επιλέγουμε αυτήν την αρχική με c =. 8. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση e - e + = έχει μοναδική ρίζα την χ=. Έστω f() = e - e + Αφού έχει την χ = έχει τουλάχιστον ρίζα (την χ= ) Έστω ότι έχει και άλλη, διαφορετική, ρίζα την ρ ( ρ ). H f είναι παραγωγίσιμη και άρα και συνεχής στο [,ρ] F() =f(ρ) = ( αφού και οι είναι ρίζες ) Άρα από θεώρημα Rolle η εξίσωση f () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,ρ) ( Ι ) Όμως f () = e + e - e = e και άρα f () > στο (,ρ), δηλαδή στο (,ρ) η f (χ) δεν έχει καμιά ρίζα. Επομένως η πρόταση (Ι) δεν ισχύει. Άρα αυτό που υποθέσαμε, ότι δηλαδή η f() και άλλη ρίζα εκτός του, είναι άτοπο. Έτσι τελικά ή εξίσωση e - e + έχει μοναδική ρίζα την χ= 55 Ανδρεσάκης Δημήτρης

157 9. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση χ - χ + = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα ( -, ). Έστω f () = - + Πρώτα θα δείξουμε ότι έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,) f συνεχής στο (-,) f() = - f(-) = Άρα από Θεώρημα Bolzano η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-,) Τώρα θα δείξουμε ότι έχει μια το πολύ ρίζα στο (-,) Έστω ότι έχει ρίζες στο (-,), τις ρ, ρ, με <ρ <ρ < και f(ρ )=f(ρ )= (αφού ρ, ρ ρίζες της f ) f συνεχής στο [ρ, ρ ] f παραγωγίσιμη στο (ρ, ρ ), ως πολυωνυμική f(ρ )=f(ρ )= Άρα από Θεώρημα Rolle η εξίσωση f () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ στο διάστημα (ρ, ρ ) (I) Όμως f () = = ( -), και άρα η εξίσωση f () = ( -) = -= = έχει ρίζες τις = ή = - Επομένως η πρόταση (Ι) δεν ισχύει αφού ξ (ρ, ρ ) (-,) δηλαδή ξ ±. Άρα αυτό που υποθέσαμε, ότι δηλαδή η f() έχει ρίζες, είναι άτοπο. Άρα η f έχει το πολύ ρίζα. Τελικά λοιπόν η f έχει μια το πολύ ρίζα και μια τουλάχιστον ρίζα,άρα ακριβώς ρίζα.. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5 ] και παραγωγίσιμη στο (,5), με f ( ) = 6, f(5) =7 να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,5) τέτοιο ώστε f (ξ) = ξ. Και αυτό το θέμα «μυρίζει» Θεώρημα Bolzano. Όμως, δυστυχώς, Η συνθήκη που ζητείται να αποδείξουμε περιέχει την f για την οποία δεν γνωρίζουμε τίποτα. Τι κάνουμε λοιπόν τώρα ; Έστω g() = f () g() = f () ( ) = ( f() ), και άρα G ( ) = f() μια αρχική της, με G ()= g() Εφαρμόζουμε Θεώρημα Rolle στην G, πράγματι G παραγωγίσιμη στο (,5) G συνεχής στο [,5] ως πολυωνυμική G () = f() = 6-4 = G (5) = f(5) 5 = 7 5 = Άρα από θεώρημα Rolle υπάρχει ξ (,5) με G ( ξ ) = g(ξ) = f (ξ) - ξ = f (ξ) = ξ. 56 Ανδρεσάκης Δημήτρης

158 . Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση χ 4 +5 χ +χ + = έχει το πολύ πραγματικές ρίζες. Έστω f() = χ 4 +5 χ +χ + Έστω ότι έχει ρίζες στο, τις ρ, ρ, ρ, με ρ <ρ < ρ και f(ρ )=f(ρ ) = f(ρ ) = (αφού ρ, ρ, ρ ρίζες της f ) f συνεχής στο [ρ, ρ ] f παραγωγίσιμη στο (ρ, ρ ), ως πολυωνυμική f(ρ )=f(ρ )= Άρα από Θεώρημα Rolle η εξίσωση f () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ στο διάστημα (ρ, ρ ), άρα f (ξ ) = f συνεχής στο [ρ, ρ ] f παραγωγίσιμη στο (ρ, ρ ), ως πολυωνυμική f(ρ )=f(ρ )= Άρα από Θεώρημα Rolle η εξίσωση f () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ στο διάστημα (ρ, ρ ), άρα f (ξ ) = ρ ξ ρ ξ ρ Είναι f () = Δεν φαίνεται να καταλήγουμε σε κάποιο άτοπο ( θα μπορούσε π.χ η f () = να έχει Δ < και να είναι αδύνατη ) Όμως f συνεχής στο [ξ, ξ ] f παραγωγίσιμη στο (ξ, ξ ), ως πολυωνυμική f (ξ )=f (ξ )= Άρα από Θεώρημα Rolle η εξίσωση (f ()) = f (χ)= έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ στο διάστημα (ξ, ξ ),, άρα f (ξ) = (I) Αλλά f () = + οπότε η f (χ)= δεν έχει καμία ρίζα στο R. Επομένως η πρόταση (Ι) δεν ισχύει αφού δεν υπάρχει τέτοιο ξ Άρα αυτό που υποθέσαμε, ότι δηλαδή η f() έχει ρίζες, είναι άτοπο. Άρα η f έχει το πολύ ρίζες. 57 Ανδρεσάκης Δημήτρης

159 . Έστω g συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο (α, β ) με g( a) g( β ) = [] και γ (α,β). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα γ β γ β ξ (α,β) με g (ξ) ( γ ξ ) = g (ξ ). Έστω φ(χ) = g() (γ χ ) Είναι φ(χ) συνεχής στο [α,β] φ(χ) παραγωγίσιμη στο (α,β) φ(α) = g(α) (γ α ) φ(β) = g(β) (γ β ) Λόγω όμως της [] g(α) (γ α ) = g(β) (γ β ) άρα φ(α) =φ(β) Πρόχειρο g (ξ) ( γ ξ ) = g (ξ ) βάζω όπου ξ το χ g () ( γ ξ ) = g () μεταφέρω στο ο μέλος g (χ) ( γ χ ) - g (χ) = g (χ) ( γ χ ) + g (χ) (γ - χ) = ( g() ( γ χ) ) = Άρα από θεώρημα Rolle υπάρχει ξ (α,β) με φ ( ξ ) = [] Όμως φ (χ) = ( g() ( γ χ) ) = g (χ) ( γ χ ) + g (χ) (γ - χ) = g (χ) ( γ χ ) - g (χ) Οπότε η [] δίνει φ ( ξ ) = g (ξ) ( γ ξ ) - g (ξ ) = g (ξ) ( γ ξ ) = g (ξ ) δηλαδή το ζητούμενο. Έστω g συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο (α, β ) με g(α)= g(β)=. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) με g ( ξ ) + g( ξ ) =. Πρόχειρο g ( ξ ) + g( ξ ) = βάζω όπου ξ το χ g ( χ ) + g( χ ) = πολλ/ζω με e g ( χ ) e + g( χ ) e = g ( χ ) e + g( χ ) (e ) = Έστω φ(χ) = g() e Είναι φ(χ) συνεχής στο [α,β] φ(χ) παραγωγίσιμη στο (α,β) φ(α) = g(α) e α = φ(β) = g(β) e α = Άρα από θεώρημα Rolle υπάρχει ξ (α,β) με φ ( ξ ) = () Όμως φ (χ) = ( g() e ) = g ( χ ) e + g( χ ) (e ) = g ( χ ) e + g( χ ) e = e (g ( χ ) + g( χ)) Οπότε η () δίνει φ ( ξ ) = e ξ (g ( ξ ) + g( ξ)) = g ( ξ ) + g( ξ)= (αφού e ξ ), δηλαδή το ζητούμενο 58 Ανδρεσάκης Δημήτρης

160 4. Έστω g συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) με g()= 4 g(). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) με ξ g ( ξ ) = g( ξ ). Πρόχειρο ξ g ( ξ ) = g( ξ ) βάζω όπου ξ το χ χ g ( χ ) = g( χ) πολλ/ζω με χ χ g ( χ ) = χ g( χ) μεταφέρω στο ο μέλος g( ) Έστω φ(χ) = Είναι φ(χ) συνεχής στο [,] φ(χ) παραγωγίσιμη στο (,) g() φ() = = g() g() 4g() φ() = = = g() 4 Άρα από θεώρημα Rolle υπάρχει ξ (α,β) με φ ( ξ ) = () χ g ( χ ) - χ g( χ) χ g ( χ ) - (χ ) g( χ) διαιρώ με χ ( χ αφού χ Όμως (,) ' g'( ) ( )' g( ) g( ) g'( ) ( = φ (χ) = = 4 4 ' g( ) g'( ) g( ) = 4 = Οπότε η () δίνει ξ g' ( ξ ) ξg( ξ) φ ( ξ ) = = (αφού ξ ) 4 ξ g (ξ) ξ g(ξ) = ξ g (ξ) g(ξ) =, δηλαδή το ζητούμενο )' g( ) = 5. Να αποδείξετε ότι ln 5 ln < <. 5 Έστω f() = ln και εφαρμόζω ΘΜΤ στο [,5] άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ln 5 ln ln 5 ln (,5) τέτοιο ώστε f ' (ξ) = = = () ξ 5 ( Είναι f '() = οπότε f'(ξ)= ξ ) Όμως : ξ (,5) <ξ<5 > > ξ 5 5 < < ξ [] 5 < ln 5 ln < 59 Ανδρεσάκης Δημήτρης

161 6. Να αποδείξετε ότι αν χ> είναι χ+ < e < e +. Επειδή > έχουμε e χ+ < e < e + χ < e - < e e e < < e e < < e Έστω f() = e και εφαρμόζω ΘΜΤ στο [,χ ] άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,5) e e e τέτοιο ώστε f ' (ξ) = e ξ = = [] Όμως < ξ < χ και αφού η e είναι γνησίως αύξουσα άρα e < e ξ < e χ [] e < < e χ < e - < e χ+ < e < e +, δηλαδή το ζητούμενο. 7. Να αποδείξετε ότι αν χ [, π/] είναι συνχ+χημχ. Έστω f() = συνχ + χημχ - ( τα πήγαμε όλα στο πρώτο μέλος ) και εφαρμόζω ΘΜΤ στο [,χ ] άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,5) τέτοιο ώστε f ( ) f () f ( ) f ' (ξ) = = f() = f ' (ξ) = χ( ξ συνξ) [] Όμως χ > f ' (ξ) = ξ συνξ >, αφού ξ (,χ) (, π/ ) Άρα : [] f() > συνχ + χημχ - > συνχ + χημχ >, δηλαδή το ζητούμενο. To = ισχύει όταν χ = 8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,6] και παραγωγίσιμη στο (,6) και f() =, f(6) = 4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, (,6 ) ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Α(ξ, f(ξ)), να είναι κάθετη στην ευθεία 4y +5= Αρκεί να δείξω ότι ότι υπάρχει ξ, (,6 ) ώστε f (ξ ) = - Για την f ισχύουν οι συνθήκες του ΘΜΤ στο διάστημα [,6] και άρα άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,5) τέτοιο ώστε f (6) f () 4 8 f ' (ξ) = = = = δηλαδή το ζητούμενο. 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

162 9. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) και f() + 5= f(). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (,) με f (ξ ) + f (ξ ) = Για την f ισχύουν οι συνθήκες του ΘΜΤ στα διαστήματα [,7] και [7,] άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,7) τέτοιο ώστε f ( 7) f () f (7) f () f ' (ξ ) = = 7 5 υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (7,) τέτοιο ώστε f ( ) f (7) f () f (7) f ' (ξ ) = = 7 5 Επομένως υπάρχουν ξ, ξ (,) με f (ξ )+f (ξ ) = f ( ) f () 5 = =, δηλαδή το ζητούμενο. 5 5 f ( 7) f () f () f (7) =. Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και f( - ) = α+β, f( ) = α+β, f() = α+β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ R με f (ξ) = Είναι f συνεχής στο [-, ] f παραγωγίσιμη στο (-, ) Άρα από ΘΜΤ υπάρχει ξ (-,) με f ( ) f () α + β a β f (ξ ) = = ( ) = α Ακόμη f συνεχής στο [, ] f παραγωγίσιμη στο (, ) Άρα από ΘΜΤ υπάρχει ξ (,) με f ( ) f () α + β α β f (ξ ) = = = α Τέλος f συνεχής στο [ξ, ξ ] f παραγωγίσιμη στο (ξ, ξ ) f (ξ )=f (ξ )=α Άρα από Θεώρημα Rolle η εξίσωση (f ()) = f (χ)= έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ στο διάστημα (ξ, ξ ),, άρα f (ξ) = 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

163 Ασκήσεις Nα εξετάσετε αν εφαρμόζεται το Θ. Rolle για τις συναρτήσεις α) f() = +4-7-, στο [-,] β) f() = +ημ, στο [, π] π π γ) f() = ln ( συν ), στο [, ] δ) f() =, στο [, ] +, η) f() =, στο [-,] θ) f() = ln, στο [,e], > ι) f() =, στο [-,] Να προσδιορίσετε τα α,β R ώστε για την συνάρτηση ( + β) + ( + γ), [,) f () = να εφαρμόζεται το θeώρημα Rolle ( a ) + ( + ) γ, [,] στο [-,] και έπειτα να βρεθεί το αντίστοιχο ξ. Rolle και ρίζες Αν f() = ( +4) (- ) ( ) ( 6 ) να βρείτε πόσες ρίζες έχει η f ' ()= και σε ποια διαστήματα ανήκουν Να δείξετε ότι η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (,) Να δείξετε ότι η εξίσωση + + = έχει μια το πολύ ρίζα στο R Να δείξετε ότι η εξίσωση λ = ρίζα στο (,), για κάθε λ R, λ R έχει μια το πολύ k λ Αν κ, λ, μ R και + + µ = να αποδείξετε ότι η εξίσωση k 4 +λ+μ= 5 έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (,) Αν α = β - γ να δείξετε ότι η εξίσωση α β+γ= έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (,) Να δείξετε ότι η εξίσωση ++λ = δεν μπορεί να έχει πραγματικές ρίζες στο (,) Να δείξετε ότι η εξίσωση v +a +b = ( v N*, a,b R ) έχει το πού δυο πραγματικές ρίζες. 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

164 Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 +α + β +γ = με α > έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 +α + β =, έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες Να δείξετε ότι η εξίσωση = έχει μια ακριβώς ρίζα στο (,) Να δείξετε ότι η εξίσωση = ημ + συν έχει μόνο δύο ρίζες,.στα (-π,) και στο (,π ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 5 +α + β +γ = έχει μια ακριβώς ρίζα στο R (α,β > ) Να δείξετε ότι η εξίσωση e = + έχει μια μόνο πραγματική ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση ln = - έχει μια μόνο πραγματική ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση συν = έχει μια μόνο πραγματική ρίζα στό (, π/) Να δείξετε ότι η εξίσωση α = -β, <α < έχει μόνο μια πραγματική ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση α =, <α <, έχει μόνο μια πραγματική ρίζα. στο (,) Αν α,β,γ R με α < β, να αποδείξετε ότι η εξίσωση +α + β +γ = έχει μια μόνο πραγματική ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) = 4 5 έχει μια μόνο πραγματική ρίζα. Υπαρξιακά θέματα στο Rolle Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν η εξίσωση f ' () = έχει ακριβώς μια ρίζα στο (α,β) να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει το πολύ ρίζες στο [α,β] Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) με f()- f() =. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ' () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α)- f(β) = α - β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε f ' (ξ) =ξ Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α)- f(β) = α - β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε f ' (ξ) =ξ 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

165 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Να f (α) f (γ) αποδείξετε ότι υπάρχει γ (α,β) ώστε f ' (γ) = γ β Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) με f() f (γ) =f(). Να αποδείξετε ότι υπάρχει γ (,) ώστε f ' (γ) = γ Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) = β και f(β) = α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε f ' (ξ) = Δίνεται συνάρτηση f : R - >R φορές παραγωγίσιμη με f '' () για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η f() = έχει το πολύ ρίζες Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) = α και f(β) = β και f(γ) = γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε f '' (ξ) = Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = και g() = έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (,) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [,α] και παραγωγίσιμη στο (,α) με f()=α και f (α) =. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,α) ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Κ( ξ, f(ξ)) να είναι κάθετη στην ευθεία y = Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με f (e) = f(4)ln4.να δείξετε ότι η f ( ) εξίσωση + ln f '( ) = έχει μια ρίζα στο (e,4) Έστω η συνάρτηση φ() = f() e λ όπου f παραγωγίσιμη στο [α,β] και f(α) =f(β) = Να δείξετε ότι για κάθε λ R υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) με f ' (ξ) +λ f( ξ) = g ( ) Έστω η συνάρτηση φ() = f ( ) e όπου f,g παραγωγίσιμες στο [α,β] και f(α) =f(β) = Να δείξετε ότι η εξίσωση f ' () +f() g' () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) Έστω f παραγωγίσιμη στο [α,β] με f(α) f(β) = ημα ημβ, να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) με f ' (ξ) = συν ξ Έστω f παραγωγίσιμη στο (e, e ) και συνεχής στο[e, e ] με f(e ) = f(e), να δείξετε ότι υπάρχει ξ (e,e ) με f ' (ξ) lnξ ξ = f(ξ) Έστω f,g παραγωγίσιμες στο [,] με f() g() για κάθε (,) και f '( ) g'( ) f() =g() =.Να δείξετε ότι η + = έχει μια ρίζα στο (,). f ( ) g( ) 64 Ανδρεσάκης Δημήτρης

166 Έστω f: [a,b] R συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b) με f(a)=f(b) = Να δείξετε ότι. α) Για την g() = f ( ) c, c [a,b], υπάρχει ξ με g' (ξ) =. β) Υπάρχει (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστα σης της f να διέρχεται από το σημείο Μ(c,) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g οι οποίες έχουν τις εξής ιδιότητες : α) Συνεχείς στο [a,b] και παραγωγίσιμες στο (a,b) β) Για κάθε χ [a,b] είναι g() και για κάθε χ (a,b) είναι g '() γ) f(b)g(a) = f(a)g(b). να δείξετε ότι f ( ) α) Για την Φ() = εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle στο [a,b]. g( ) f '( ξ) f ( ξ) β)υπάρχει ξ (a,b) Τέτοιο ώστε = g'( ξ) g( ξ) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στοr, με f ' () g() - f() g ' (). Να δείξετε ότι μεταξύ δυο ριζών της f βρίσκεται μια ρίζα τουλάχιστον της g Δίνονται οι συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στοr. Να δείξετε ότι μεταξύ δυο ριζών της f βρίσκεται μια ρίζα τουλάχιστον της f '() +f() g' () Δίνονται οι συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο [α,β] με f(α)g(α) = f(β)g(β). να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α,β) τέτοιο ώστε f ' (ξ) g(ξ) + f(ξ) g' (ξ) = Έστω f δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] R * + με f(α) =f(β) = να δείξετε ότι : α) Η εξίσωση f' () = f () έχει μια τουλάχιστον ρίζα χ στο (α,β) β) Αν f '' () για κάθε χ (α,β) τότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική. γ) Η εφαπτομένη της C f στο (,f( )) περνά από την αρχή των αξόνων. Θεώρημα Μέσης Τιμής Nα εφαρμόσετε ο ΘΜΤ για τις συναρτήσεις α) f() = - στο [-,] β) f() = ln στο [,e] 65 Ανδρεσάκης Δημήτρης

167 γ) f() = στο [-, ] Δίνεται η f() = +. Να βρεθεί ξ (,) τέτοιο ώστε f ( ) f () f ' (ξ) = + κ, [,) Δίνεται η f() = Nα βρεθούν τα κ, λ R ώστε για + + λ, [,] την f() να ισχύει το ΘΜΤ στο [-,]. α β β Αν β>α> δείξτε ότι : < ln < και στην συνέχεια να δείξετε ότι β α α < ln,5 5 < Αν > να δείξετε ότι < ln( + ) < Αν > να δείξετε ότι < ln( + ) < Αν << να δείξετε ότι + < e < +e Δίνεται f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [-,] τέτοια ώστε f () + f ( ) f () =, να δείξετε ότι υπάρχει ξ [-,] με f'' (ξ) = Έστω συνεχής f : [,λ] -> R με f() = και f (λ) = λ. α) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,λ) με f (ξ) = λ ξ. β) Αν επιπλέον η φ είναι παραγωγίσιμη στο (.λ), να δείξετε ότι υπάρ χουν ξ, ξ (, λ) με <ξ <ξ < λ τέτοιοι ώστε f ' (ξ )f ' (ξ ) = Αν <α< να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει (+) α <+α π α β α β Αν <β δείξτε ότι εφα εφβ συν α συν β Να δείξετε τα παρακάτω α) e >e, > β) εφ >, (, π ) γ) συν+χ ημ χ [, π ] δ) ln -, > ε) a εφα π >, <a<b< b εφb στ) <ln(+)<,> ζ) < 8 < 66 Ανδρεσάκης Δημήτρης

168 Αν αe > βe > να αποδείξετε ότι α α >β β Αν f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) =f(β) να δείξετε ότι υπάρχουν, (α,β) με f '( )+f ' ( ) = Αν f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ, ξ (α,β), ξ ξ τέτοια ώστε f '(ξ) = f '(ξ ) + f '(ξ ) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α)=β και f (β) = α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Κ( ξ, f(ξ)) να είναι κάθετη στην ευθεία y + = Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) με f()= και f () = 6. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σημείο της C f στο οπίο η εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων Αν f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) και a + β a + β f(α) =f(β). Mε ΘΜΤ στα διαστήματα [ a, ],[,β] να δείξετε ότι υπάρχουν, (α,β) με f '( )+f ' ( ) = Αν f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) να δείξετε ότι υπάρχουν,, (α,β) με f ( β) f ( a) f '( )+f ' ( )+ f ' ( )= β α Αν f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και f(α) =α και φ(β) = β να δείξετε ότι υπάρχει γ ( α,β ) με f(γ) = α+β-γ. Αν επιπλέον η f είναι και και παραγωγίσιμη στο (α,β) να δείξετε ότι υπάρχουν, (α,β) με f '( ) f ' ( ) = Αν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [,] τέτοια ώστε f () = και για κάθε [,] να ισχύει f ' (). Nα αποδείξετε ότι για κάθε (,) είναι <f()< Δίνεται η f παραγωγίσιμη στο (,4) με f ' '() ημα, α R, χ [,4]. Αν η f έχει ακρότατο στο (,4) να δείξετε ότι f '() +f' (4) Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ότι υπάρχει (α,β) ώστε f ( ) = f ( a) + f ( β ) f ( ) να δείξετε 67 Ανδρεσάκης Δημήτρης

169 4..6 Συνέπειιες Θεωρήματος Μέσης Τιιμής Μονοτονίία συνάρτησης Θεώρημα Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και!"f συνεχής στο Δ!"f () = σε κάθε εσωτερικό του Δ Τότε η συνάρτηση f θα είναι σταθερή στο διάστημα Δ Παρατηρήσεις. Το παραπάνω θεώρημα ισχύει μόνο για διάστημα και όχι για ένωση, > διαστημάτων. π.χ για την f ( ) = είναι f '() = στο, < (-,) (,+ ) αλλά f() oχι σταθερή σε αυτό.. Στα κλειστά άκρα του Δ δεν μας ενδιαφέρει κάν η ύπαρξη παραγώγου. Έτσι για να αποδείξω ότι μια f είναι σταθερή αρκεί να αποδείξω ότι f ' () = για κάθε Δ Θεώρημα Έστω συναρτήσεις f, g ορισμένες στο διάστημα Δ και!"f, g συνεχείς στο Δ!"f () = g ' () σε κάθε εσωτερικό του Δ Τότε υπάρχει c R ώστε f() = g() +c, δηλαδή οι f, g διαφέρουν κατά μια σταθερά c Βασική εφαρμογή Δίνεται η f : R R είναι f ' () = f () f() =c e ευθύ " " e f ' ()e f ' () = f () f ' () - f () = ' f ' ( ) e f ( ) e f ( ) = = ( e ) e - e f () = f ( ) = c e αντίστροφο " " Αν f () = ce τότε f '() = (ce )' = ce. Άρα f '() = f() e / f ( ) = ce 68 Ανδρεσάκης Δημήτρης

170 Θεώρημα Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σε διάστημα Δ!"Αν f '() > σε κάθε εσωτερικό του Δ τότε η f() είναι γνησίως αύξουσα στο Δ!"Αν f '() < σε κάθε εσωτερικό του Δ τότε η f() είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Παρατηρήσεις. Είναι Δ = [α,β] ή Δ = [α,β) ή Δ = (α,β] ή Δ = (α,β) ή Δ = [α,+ ) ή Δ = ( -, β ] ή Δ = (-, + ) = R. Τονίζουμε ότι στα άκρα του Δ δεν μας ενδιαφέρει ούτε το πρόσημο της f ' ούτε κάν η ύπαρξή της. Το μόνο που μας ενδιαφέρει είναι η συνέχεια της f στα άκρα του Δ εφόσον βέβαια κάποιο από αυτά είναι κλειστό.. Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει ( f στο Δ f ' ()>). Πράγματι αφενός μπορεί η f να είναι μονότονη στο Δ αλλά να μην είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, αλλά και να είναι παραγωγίσιμη παλι δεν ισχύει. π.χ η f() = / Δ = [-,] είναι στο Δ αλλά f '() = 9 και όχι f ' () > 4. Γενικότερα αν f '() στο Δ τότε f απλά αύξουσα αν f '() στο Δ τότε f απλά φθίνουσα ακόμη αν f '() > στο (α,β) { } αλλά f συνεχής στο τότε f γνησίως αύξουσα αν f '() < στο (α,β) { } αλλά f συνεχής στο τότε f γνησίως φθίνουσα 5. Αν αντί για διάστημα Δ έχουμε Δ = Δ Δ στο οποίο η f είναι συνεχής και η f ' διατηρεί σταθερό πρόσημο στα Δ, Δ τότε η f είναι μονότονη κατά διαστήματα. 6. Στον πίνακα μονοτονίας βάζουμε!"τις τιμές στις οποίες η f δεν ορίζεται!"τις ρίζες της f '!"Τα άκρα διαστημάτων του πεδίου ορισμού της f 7. H μονοτονία μιας συνάρτησης μας βοηθά στην επίλυση εξισώσεων και στην εύρεση του πλήθους των πραγματικών ριζών μιας εξίσωσης Θυμίζουμε ότι i. Αν f γνησίως μονότονη τότε η f()= έχει το πολύ μια ρίζα στο Δ. Έτσι αν f(α)=, α Δ τότε η f έχει μοναδική ρίζα το α, Την ρίζα α συνήθως την βρίσκουμε " με το μάτι" (προφανής ) 69 Ανδρεσάκης Δημήτρης

171 ii. Αν f στο (α, β] και f στο [β,γ) και f(β) =, τότε το β μοναδική ρίζα της f στο (α,γ) iii. Αν f είναι γνησίως μονότονη τότε η f είναι "-" Αυτό μας βολεύει στις ασκήσεις που θέλουμε να λύσουμε εξισώσεις της μορφής f(g()) = f(h()) ( αφού f "-") g() =h() iv. Άν μια άσκηση μας ζητά την εύρεση του πλήθους των ριζών μιας εξίσωσης f ()= τότε :. Κατασκευάζουμε τον πίνακα μονοτονίας της f και βρίσκουμε τα διαστήματα Δ, Δ,..Δ ν στα οποία η f είναι γνησίως μονότονη.. Βρίσκουμε τα σύνολα τιμών f(δ ), f(δ ),..f(δ ν ) των παραπάνω διαστημάτων. Αν f(δ i ), i =,,.., v τότε η f()= έχει μοναδική ρίζα στο f(δ i ) Προσοχή όμως αν ένα κοινό άκρο των διαστημάτων Δ i, Δ i+ είναι ρίζα το μετράμε μόνο μια φορά για αυτό είναι καλό να ορίζουμε τα διαστήματα (Δ i, Δ i+ ]. 8. Η μονοτονία μας χρησιμεύει και στην απόδειξη ανισοτήτων : f : α < β f(α) < f(β) f : α < β f(α) > f(β) 9. Σε αρκετές ασκήσεις που ζητείται η μονοτονία της f ή η απόδειξη μιας ανισότητας βρίσκουμε την f ' και το πρόσημό της δεν είναι προφανές. Σε αυτήν την περίπτωση βρίσκουμε f '',αν χρειαστεί f ''' κ.τ.λ εώς ότου το πρόσημο να είναι προφανές Παράδειγμα Να δειχθεί ότι e > + +, για > Έστω f() = e - Είναι f '() = e. Το πρόσημό της όμως δεν είναι προφανές οπότε βρίσκω την f ''.Είναι f ''() = e και f '' () > e > >. Άρα για > είναι f ''()> [f '()]' > δηλαδή η f ' () > δηλαδή f γνησίως αύξουσα για > Ακόμη f ' () = e = = και f() = Έτσι > f ' () > f ' () f '() > άρα f γνησίως αύξουσα για > Οπότε > f() >f() e - > e > + +, για > 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

172 Ασκήσεις A Ομάδας Σταθερή συνάρτηση Nα βρεθεί η συνάρτηση f όταν α) f ' () = ++5 και f() = β) f ' () = συν - ημ και f(π) = γ) f '' () = 4 e + 6+ και f() = f ' () = δ) f ' () =, f() = ln + ε) f ' () = ( συν ημ ),f(π) = στ) συν ημ f ' () =, f() = e z) f'() = ημ, f() = Nα βρεθεί η συνάρτηση f όταν α) f ''' () = 4+ και f() = f ' () = f '' () = β) f ' () = ημ + συν και f( ) = - / γ) f ' () = e + f() = e δ) f ' () = e (ln+ ), > και f() = ημ συνχ π 5π ε) f ' () =, χ κπ, f ( )= ημ Nα βρεθεί η συνάρτηση f όταν f ' () = και f (-) = Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ημ 6 + συν 6 - ( ημ 4 + συν 4 ) είναι σταθερή στο R και να βρείτε την τιμή της Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ημ 6 + συν 6 + ημ συν είναι σταθερή στο R και να βρείτε την τιμή της Δίνεται η f : R R με. Να αποδείξετε ότι f ' () = - f () f() =c e Nα βρεθεί η συνάρτηση f όταν (-) f ' () = 5+ για χ R και f () = Nα βρεθεί η συνάρτηση f όταν f ' () = για χ R και f (-) = Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f και g με f()=, g()=. Αν ισχύει f '() = g () και f () + g'() =, να αποδείξετε ότι α) η συνάρτηση φ() = f () +g () είναι σταθερή στο R β) f () +g () = για κάθε χ R 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

173 4.6.. Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f και g με f()=, g()=. Αν ισχύει f '() = g () και f() + g'() =, να αποδείξετε ότι α) η συνάρτηση φ() = f () +g () είναι σταθερή στο R β) f () +g () = για κάθε χ R Δίνεται η f : R R με f ' () = f (-). Να αποδείξετε ότι α) f ' ( - ) = f () β) η φ() = f ()+f (-) είναι σταθερή Δίνεται η f : R R με f ' ' ()+ f () = και f ()=f '()=. Να αποδείξετε ότι α) η φ() = [f () ] + [ f ' ()] είναι σταθερή. β) Να βρεθεί η φ() Δίνεται η f : R R με f ' ' ()+ f () = και f ()=, f '()=. Να αποδείξετε ότι α) η φ() = [f () ] + [ f ' ()] είναι σταθερή. β) f() = συν + ημ Δίνεται η f : R R με f ' ' () - f() = και f () = f '(). Να αποδείξετε ότι α) η φ() = [f () ] - [ f ' ()] είναι σταθερή. β) f() = f ' () γ) f() = c e Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f και g με f '() g() = f() g' (). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() = σταθερή. f ( ) g( ) είναι Δίνεται η f : R R με f ' () - f() = και f () =. Να βρεθεί ο τύπος f Αν για την συνάρτηση f είναι f ' ( ++) = + για χ και f() =,να αποδείξετε ότι f() = Αν για την συνάρτηση f είναι f ' ( ) = + για χ R και f() =,να βρεθεί ο τύπος της f Δίνεται η f : R R* παραγωγίσιμη στο με f(+y) = f()f(y) για κάθε,y R. α) Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίσιμη σε όλο το R β) Να βρεθεί ο τύπος της f Δίνεται η f : R R παραγωγίσιμη στο με f ' ()= και f(+y) = f()+f(y) για κάθε,y R. α) Να αποδείξετε ότι f() = β) f ' () = για χ R γ) Να βρεθεί ο τύπος της f. 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

174 4.6.. Δίνεται η f : R R με f ' ' ( ) = 6 για κάθε R. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη είναι y = +, να βρεθεί ο τύπος της f f ' ( ) Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(, + ) R αν + ln =, f ( ) για χ > και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη e είναι κάθετη στην ευθεία - y = Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f και g με f() = g() και f '' () = g''() για κάθε χ R. Να αποδείξετε ότι α) f() = g()+c, c R β) Αν ρ, ρ με ρ < <ρ είναι ρίζες της g() = τότε η f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [ ρ, ρ ] Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :( - π, π ) R με f()= και f ' () συν = f() ( συν ημ ) για ( - π, π ). Να αποδείξετε ότι f() = e συν Δίνεται η f : R R με f '' () = f() και f()= f '()=. Να αποδείξετε ότι α) f '() +f() = e β) f() = e Να βρεθεί παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f() = και f ' () e f() =, για R. π π Να βρεθεί η συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο ( -, ) όταν π π g() =99 και g '() συν + g() ημ = g() συν για ( -, ) ( θέμα πανελληνίων 99) Μ ο ν ο τ ο ν ί α Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() = - +- β) f() = γ) f() = δ) f() = (-) (+) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: + α) f() = β) f() = γ) f() = Ανδρεσάκης Δημήτρης

175 4.6.. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() = - ln β) f() = e -+ γ) f() = e δ) f() = Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() =, β) f() = ln( -4+5), γ) f() =ln + +, δ) f() = +e Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() = (ln )- 8(ln ). β) f() = + e ( ημ +συν ) ημ, -π < < π Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις , < α) f () = , ( + ) e, β f() = 9 + 4, < Να βρεθούν οι τιμές του α R ώστε η f() = 4 α ++ να είναι γνησίως αύξουσα στοr. *** Να βρεθούν οι τιμές του α R ώστε η f() = (α ) +6(-α)+ να είναι γνησίως αύξουσα στοr Να βρεθούν οι τιμές του α R ώστε η f() = (α+) α +9α+4 να είναι γνησίως φθίνουσα στοr. *** Να λυθούν οι εξισώσεις α) + + ln = β) 4 + = 5 γ) = 9 δ) e = Να λυθούν οι εξισώσεις α) e e = e β) e =+ln(+) γ) e + = + δ) = 5 6 ε) 4 ++ln = 4 στ) e +e = ζ) +ln = η) + συν = Να λυθεί η εξίσωση = +4, > Να λυθεί η εξίσωση 5 + = Να λυθεί η εξίσωση συν = 74 Ανδρεσάκης Δημήτρης

176 Να λυθεί η εξίσωση ln(+) = α) Να λυθεί η εξίσωση + + = β) Να λυθεί η εξίσωση ( +) = Να λυθεί η εξίσωση ln( e ) = Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = (6ln ) - και g () = + 6- έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = e και g () = +e έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης + = Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης += Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης = Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει 4 ακριβώς πραγματικές ρίζες, δυο θετικές και αρνητικές α) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης =(-)(ln-) β) Να αποδείξετε ότι (-)(ln-) Αν α, β Rμε α + α = β + β να αποδείξετε ότι α = β *** ημ π Δίνεται η συνάρτηση f() =, (, ). Να αποδείξετε ότι π α) ημ συν > για κάθε (, ) β) η f είναι γνησίως φθίνουσα. γ) αν < α <β < π να αποδείξετε ότι β ημα > αημβ και β <πημβ δ) να αποδείξετε ότι εφ>, (, π ) Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ +εφ, [, π ). α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι ημ +ημ συν, [, π ). 75 Ανδρεσάκης Δημήτρης

177 Να αποδείξετε ότι ημ +συν >, (, π ) Να αποδείξετε ότι ημ -, [, + ) Να αποδείξετε ότι συν -, [, + ) Nα αποδείξετε ότι 4 >4 συν Nα αποδείξετε ότι ln(+) < Να αποδείξετε ότι e +e +, R. π συνα εφα Αν < α <β < να αποδείξετε ότι > συνβ εφβ ln α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f () ln( ) β) Αν α>β>e να αποδείξετε ότι α β <β α γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς και Να αποδείξετε ότι α) e e, για > β) e > + +, για > Αν α,β (,) να αποδείξετε ότι α α (-β) < β β (-α) α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f () = α +, α > β) Να λυθεί η ανίσωση a a +, α > α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f () = α -, <α < 4 β) Να λυθεί η εξίσωση a a 4 ( ), < α < Nα αποδείξετε ότι (-) e, R. ln Δίνεται η συνάρτηση f () =, > α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να αποδείξετε ότι e π > π e γ) Να αποδείξετε ότι e > e, > δ) Να αποδείξετε ότι α α+ > (α+) α, για α e. 76 Ανδρεσάκης Δημήτρης

178 Ασκήσεις Β Ομάδας Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με α) f, g συνεχείς στο [α,β] β) f(α) = g (α) γ) f '() > g ' () για κάθε [a,b] Να αποδείξετε ότι για κάθε (a,b) ισχύει f() >g() Αν για κάθε R είναι f' () < και g '() > να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο Έστω η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν (α,β) με f ' ()< για ( α, ) και f ' () > για (, β) να αποδείξετε ότι f ' ( ) = ( χρήση Fermat ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β], α> και η f ' αύξουσα σε αυτό το διάστημα να αποδείξετε ότι α) Η συνάρτηση g() = f '() f() είναι αύξουσα στο [α,β]. f ( ) β) Αν f (α) = f ' (α) = τότε η h() = είναι αύξουσα στο [α,β] Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και f(α) = f(β) = και f '' () > για κάθε [α,β], να αποδείξετε ότι f() < για κάθε (α,β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f '' () < για κάθε R να αποδείξετε ότι f() f '(α) (-α) +f(α), α R Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και f(α) = f(β) = και f '' () < για κάθε [α,β], να αποδείξετε ότι f() > για κάθε (α,β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [,] και f() = f() = και f '' () > για κάθε [,], να αποδείξετε ότι f() < για κάθε (,) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [,e] και < f() < και f ' () για κάθε [, e] να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό γ (,e) τέτοιο ώστε f(γ) + γlnγ = γ Αν f :R R παραγωγίσιμη με f() = και η f ' είναι γνησίως φθίνουσα, να f ( ) αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() =, > είναι γνησίως φθίνουσα Έστω συνάρτηση f φορές παραγωγίσιμη με f() =f '' () = f '''() = και f '''() > για κάθε R α) να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να δείξετε ότι οι εξισώσεις f '() = και f() = έχουν μοναδική ρίζα. 77 Ανδρεσάκης Δημήτρης

179 Έστω f : R R με f() = και f() =.Να αποδείξετε ότι f ( ) α) Η συνάρτηση g() = είναι γνησίως αύξουσα όταν f() <f ' (). e β) Υπάρχει ξ R ώστε f ( ξ ) f ' (ξ) Έστω η συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο [, + ) τέτοια ώστε f() = και f '' () > για κάθε (,+ ). Να αποδείξετε ότι α) Υπάρχει ξ > τέτοιος ώστε f() = f '(ξ) για > f ( ) β) Η συνάρτηση g() =, > είναι γνησίως αύξουσα Έστω f,g συναρτήσεις δυο φορές παραγωγίσιμες στο R τέτοιες ώστε f() = g(), f() =g() + και f '' () = g '' () για R. Να αποδείξετε ότι α) g() = f()+. β) Αν ρ, ρ με ρ < < ρ, ρίζες της f() τότε η g έχει μια ρίζα στο (ρ, ρ ) γ) Αν, με <, ρίζες της g() τότε η εξίσωση f ' () + = έχει μια ρίζα στο (, ) Έστω f,g συναρτήσεις δυο φορές παραγωγίσιμες στο R τέτοιες ώστε f() = g(), f() =g() + και f '' () = g '' () για R. Να αποδείξετε ότι α) f () g() = -+. β) Αν ρ, ρ με ρ < < ρ, ρίζες της f() τότε η g έχει μια ρίζα στο (ρ, ρ ) γ) Αν, με <, ρίζες της g() τότε η εξίσωση f ' () - = έχει μια ρίζα στο (, ) Έστω οι συναρτήσεις f () = ln + και g () = (-ln) α) Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία β) Να δείξετε ότι για > ισχύει ln - ln γ) Να βρεθεί το ln Έστω οι συναρτήσεις f () = ln(+) και g () = - - ln(+) α) Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία στο (, + ) β) Να δείξετε ότι για > ισχύει - γ) Να βρεθεί το ln( + ) ln(+) 78 Ανδρεσάκης Δημήτρης

180 . Έστω f με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ και έστω Δ 4..7 Τοπιικά ακρότατα f( ) f() f() f( ) +δ -δ. Λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Δ τοπικό μέγιστο ( Τ.Μ.) το f ( ) όταν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε f () f ( ) για κάθε Δ ( - δ, +δ ).. Αν f () f ( ) για κάθε Δ, τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο ολικό μέγιστο, το f( ). Λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Δ τοπικό ελάχιστο ( Τ.Ε.) το f ( ) όταν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε f () f ( ) για κάθε Δ ( - δ, +δ ). 4. Αν f () f ( ) για κάθε Δ, τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο, το f( ) 5. Τα τοπικά μέγιστα και τα τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα. 6. Τα ολικά μέγιστα και τα ολικά ελάχιστα της f λέγονται ολικά ακρότατα. Παρατηρήσεις. Κάθε ολικό ακρότατο της f είναι και τοπικό ακρότατο. Το αντίστροφο δεν ισχύει.. Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο.. Αν Δ = [α,β] τότε μπορεί το ακρότατο να παρουσιάζεται σε κάποιο άκρο του διαστήματος.. Θεώρημα Fermat +δ -δ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ με!" εσωτερικό του Δ!" η f παραγωγίσιμη στο!" η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο Τότε f ' ( ) =. Δηλαδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(,f ( )), είναι παράλληλη στον άξονα '. 79 Ανδρεσάκης Δημήτρης

181 Παρατηρήσεις. Η f δεν είναι απαραίτητο ούτε να είναι παραγωγίσιμη ούτε συνεχής σε άλλα σημεία εκτός του.. To αντίστροφο του Θεωρήματος Fermat δεν ισχύει.για παράδειγμα η f() = παραγωγίζεται στο και μάλιστα f ' () = αλλά το δεν είναι τοπικό ακρότατο.. Η πρώτη απαίτηση του Θεωρήματος Fermat είναι ουσιαστική. Δηλαδή το θεώρημα εφαρμόζεται μόνο για εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ. Πράγματι Η συνάρτηση f() = +, Δ = [-,] έχει ακρότατο στο το f() = αλλά f ' () = Φυσικά όταν Δ = (α,β) δηλαδή ανοικτό τότε η λέξη εσωτερικό περιττεύει. 4. Κ ρ ί σ ι μ α ονομάζονται τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f α) Είτε δεν είναι παραγωγίσιμη είτε β) είναι παραγωγίσιμη και f '( ) = ( Σ τ ά σ ι μ α σ η μ ε ί α ) 5. Που λοιπόν αναζητώ τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης f ; Γενικά τα αναζητώ α) στα κλειστά άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της β) στα σημεία όπου f '() = γ) στα σημεία όπου η f δεν παραγωγίζεται. Ειδικότερα Α) Αν Δ = (α,β) και f παραγωγίσιμη στο (α,β) τότε τα τοπικά ακρότατα τα αναζητώ εκεί οπού μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος, f '( ) =. B) Αν Δ = [α,β] και f συνεχής στο (α,β) τότε τα τοπικά ακρότατα τα αναζητώ α) στα άκρα α και β β) στα εσωτερικά σημεία του (α,β) όπου f '() = γ) στα εσωτερικά σημεία του (α,β) όπου η f δεν παραγωγίζεται. Γ) Αν Δ =R και f συνεχής στο R τότε τα τοπικά ακρότατα τα αναζητώ α) στα σημεία όπου f '() = β) στα σημεία όπου η f δεν παραγωγίζεται. Δ) Αν Δ =R και f παραγωγίσιμη στο R τότε τα τοπικά ακρότατα τα αναζητώ στα σημεία όπου f '() = 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

182 . Κριτήριο πρώτης παραγώγου Για την εύρεση τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f, με την βοήθεια του πρόσημου της f ' χρησιμοποιούμε το εξής Θεώρημα. Έστω συνάρτηση f π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο (α, β),με εξαίρεση ίσως ένα σημείο (α,β) στο οποίο όμως είναι συνεχής. Τότε!"Αν f ' () > στο (α, ) και f '( ) < στο (, β) το f( ) είναι μέγιστο της f στο (α,β) α β f '() + - f ()!"Αν f ' () < στο (α, ) και f '( ) > στο (, β) το f( ) είναι ελάχιστο της f στο (α,β) α β f '() + f ()!"Αν η f διατηρεί σταθερό το πρόσημό της στο (α, ) (, β) το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β). Eπομένως για να είναι το Θέση τοπικού ακροτάτου πρέπει να είναι συνεχής στο και να αλλάζει πρόσημο η f' εκατέρωθεν του Παράδειγμα Έστω f() = 4 +, < Να μελετηθεί ως προς τα ακρότατα , Επειδή όλο το R + f() = f() = f() = 7, η f είναι συνεχής και στο =, άρα σε Αν <, f '() = 6 6- = 6( +)(-) f '() = = -, = (απορ) Αν >, f '() = = 4( - )(-)(+) f '() = =, = - (απορ), = 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

183 Στο = δεν παραγωγίζεται,όμως αυτό καθόλου δεν μας ενδιαφέρει γιατί είναι η f συνεχής σε αυτό. Είναι μάλιστα και τοπικό ακρότατο αφού όπως φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα η f ' αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του. - f '() + - f '() f '() f () TM TE TM TE 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

184 Ασκήσεις A Ομάδας Nα βρεθούν τα κρίσιμα σημεία των συναρτήσεων α) f() = β) f() = + +, γ) f() = 5 4 δ) f() = +, <, < ε) f() = 6, Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων α) f() = β) f() = (+) (-) γ) f() = Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων α) f() = e β) f() = ln γ ) f() = e δ) f() = ε) f() = e στ) f() = (+) e Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων ln α) f() = 4 β) f() = γ) f() = Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων + α) f() = ln (ln) ln β) f() = + ln( ) γ) f() = δ) f() = e - ε) f() = + ( ) Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων ( Κριτήριο ας παραγώγου ) α) f() = ημ + συν β) f() = συν( ) Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων +, 4, < α) f() = 4, < β) f() = + 8, < , 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

185 γ) f() = +, e, > δ) f() =,, < Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων ( + )( ), < α) f() = β) f() = ημ, [ π,) ( 4 + ), συν, [,π] Να βρεθούν τα ( ολικά) ακρότατα,καθώς και το σύνολο τιμών των συναρτήσεων α) f() = στο Δ = [-,], β) f() = ημ, Δ = (- π, π ) e γ) f() =, Δ = [,] δ) f() =, [ + e ε) f() = συν +ln (- συν) (,π), ] Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f() = e +συν + e ( παραγωγίστε 4 φορές ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f() = (- ln ) 6 (-ln) a + ln Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρεθεί το α αν γνωρίζουμε ότι παρουσιάζει Τοπικό ακρότατο στο = *** Δίνεται η συνάρτηση f() = 7 +α+ +. Να βρεθεί το α αν γνωρίζουμε 4 ότι παρουσιάζει Τοπικό ακρότατο στο = Δίνεται η συνάρτηση f() = α +β -. Να βρεθούν τα α, β αν γνωρίζουμε ότι παρουσιάζει Τοπικά ακρότατα στα =, = - 5/ Δίνεται η συνάρτηση f() = +β + α ln +4. Να βρεθούν τα α, β αν γνωρίζουμε ότι παρουσιάζει Τοπικά ακρότατα στα =, = 84 Ανδρεσάκης Δημήτρης

186 Δίνεται η συνάρτηση f() = e a. Να βρεθεί το α > αν γνωρίζουμε ότι παρουσιάζει Τοπικό ακρότατο στο = e Δίνεται η συνάρτηση f() = α. α) Να αποδείξετε ότι έχει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο β) Να βρείτε την τιμή του α ώστε το τοπικό μέγιστο να είναι πλάσιο του τοπικού ελαχίστου. + a + β Αν f() =, και το f( -) = είναι τοπικό ακρότατο της f να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα Αν f() = α ++4α, να βρεθεί το α, ώστε η f να μην έχει τοπικά ακρότατα. *** Αν > και ισχύει α α, να αποδείξετε ότι α = e ( <α ) Αν α > και ισχύει α ( v a ) ν, για κάθε >, v N*, να αποδείξετε ότι α = e Αν > και ισχύει α +, να αποδείξετε ότι α = e ( <α ) Αν > και ισχύει α α+ e ln, να αποδείξετε ότι α = e ( <α ) Αν ισχύει α + β,για κάθε R να αποδείξετε ότι αβ = ( α,β>) Αν ισχύει α + β +4 γ 9,για κάθε R να αποδείξετε ότι α β γ 4 = ( α,β,γ>) Αν ισχύει (αβ) + β + (β γ) β,για κάθε R να αποδείξετε ότι οι α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ( α,β,γ>) Έστω f() = α ln + β, με α, β θετικούς και α+β = 5, >. Αν f(), να βρεθούν τα α, β Έστω f() = α + α + + α v, με α, α, α ν >. Αν f() ν, να αποδείξετε ότι α α α v = *** Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία 85 Ανδρεσάκης Δημήτρης

187 β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ε) Να αποδείξετε ότι τα τοπικά ακρότατα της f και το σημείο Ο(,) είναι συνευθειακά Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Δίνεται η συνάρτηση f() = + α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Δίνεται η συνάρτηση f () = - eln α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να αποδείξετε ότι π e < e π δ) Να λύσετε την εξίσωση f() = Δίνεται η συνάρτηση f () = e - ln(+).να βρεθούν οι f ', f '' και έπειτα: α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να αποδείξετε ότι e +ln(+), > - δ) Να λύσετε την εξίσωση f() = ε) Αν α +ln(+), >-, να αποδείξετε ότι α = e Δίνεται η συνάρτηση f () = ln α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να αποδείξετε ότι ln e <, > e δ) Να αποδείξετε ότι e, > a ε) Αν a για > να αποδείξετε ότι α = e Δίνεται η συνάρτηση f () = ln α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να αποδείξετε ότι e e, > 86 Ανδρεσάκης Δημήτρης

188 Δίνεται η συνάρτηση f() = e e - e. Να βρεθούν οι f ', f '' και έπειτα: α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Δίνεται η συνάρτηση f() = e + e α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Δίνεται η συνάρτηση f με f () = e + - α) Nα εξετάσετε αν η f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο Α (,f()) β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία της. γ) Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία της. δ) Να αποδείξετε ότι e Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να δείξετε ότι ισχύει ln, για e κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f α) Να αποδείξετε ότι για κάθε (,) ισχύει ( ) β) Αν α,β (,), να αποδείξετε ότι α α (-α) α + β β (- β) -β γ) Αν α (,) και α+β =, να αποδείξετε ότι α α β β *** Να αποδείξετε ότι α) e + β) ln γ) e < ++, < δ) - συν, > Να αποδείξετε ότι α) e - + β) e e, Να αποδείξετε ότι α) < 6 β) + +, 87 Ανδρεσάκης Δημήτρης

189 Να αποδείξετε ότι για κάθε > είναι α α α ( <α<) Να αποδείξετε ότι για κάθε R και ν Ν* ισχύει (+) v +(-) v Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β με α>. Να αποδείξετε ότι lnα α +e β αβ *** Να προσδιοριστεί σημείο της παραβολής y = τέτοιο ώστε η απόστασή του από το σημείο Α(6,) να είναι η ελάχιστη δυνατή. Ποια είναι τότε η απόσταση ; Να προσδιοριστεί σημείο της υπερβολής y - = 4 τέτοιο ώστε η απόστασή του από το σημείο Α(,) να είναι η ελάχιστη δυνατή. Ποια είναι τότε η απόσταση ; Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν 5 ποιο είναι εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα ; Σε κύκλο να εγγράψετε ορθογώνιο με μέγιστο εμβαδόν Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου +y = 4 που σχηματίζουν με του άξονες τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού Τρείς πόλεις Α,Β,Γ απέχουν ανα απόσταση km. Από τις Α και Β αναχωρούν ταυτόχρονα δυο αυτοκίνητα με ταχύτητες 6km /h και 8 km/h αντίστοιχα. Μετά από πόσο χρόνο η απόσταση των αυτοκινήτων θα είναι ελάχιστη; Αν Α, Α' είναι σημεία της γραφικής παράστασης της f() = και Β, Β' + οι προβολές τους στον '. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια β) Να βρείτε τις θέσεις των τεσσάρων αυτών σημείων ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΑ'Β Β να είναι μέγιστο Να προσδιοριστεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(,) και σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού Σε ημικύκλιο να γραφεί ορθογώνιο με το μέγιστο εμβαδόν Οι πλευρές ΑΒ,ΒΓ ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι ανίστοιχα και 8 μέτρα. Αν Μ το μέσο της ΒΓ να εγγράψετε παραλληλόγραμμο με πλευρά παράλληλη στην ΑΜ, που να έχει το μέγιστο εμβαδόν Ένα μεγάλο τυπογραφείο θέλει να εκτυπώσει. πανομοιότυπες αφίσες για τους Ολυμπιακούς αγώνες. Για τον σκοπό αυτό ενοικιάζει μηχανές, που η κάθε μια εκτυπώνει αφίσες την ώρα. Τα πάγια έξοδα ενοικίασης και εγκατάστασης κάθε μηχανής ανέρχονται σε χιλιάδες δραχμές. Επιπλέον το τυπογραφείο, για κάθε ώρα εκτύπωσης,έχει πρόσθετα 5 χιλιάδων δραχμών. α) Να αποδείξετε ότι τα συνολικά έξοδα εκτύπωσης ως συνάρτηση του αριθμού των εκτυπωτικών μηχανών που θα χρησιμοποιηθούν είναι 88 Ανδρεσάκης Δημήτρης

190 5 Ε() = (+ ) χιλιάδες δραχμές. β) Να βρείτε το πλήθος των μηχανών που πρέπει να τεθούν σε λειτουργία, ώστε η εκτύπωση να έχει το ελάχιστο κόστος. γ) Να βρεθεί το ελάχιστο δυνατό κόστος Για την παραγωγή μονάδων ενός προϊόντος την εβδομάδα μια εταιρεία έχει κόστος K() = (5+5) δρχ.τις μονάδες την εβδομάδα τις διαθέτει στην τιμή Τ() = ( ) δρχ την κάθε μια α) Να δείξετε ότι τα κέρδη της εταιρείας δίνονται από την συνάρτηση P() = 5 5., > β) Για ποιο επίπεδο παραγωγής η εταιρεία έχει μέγιστο κέρδος; γ) Ποια είναι η τιμή πώλησης όταν η εταιρεία έχει μέγιστο κέρδος ; δ) Ποιο είναι το μέγιστο κέρδος της εταιρείας ; ε) Αν επιβληθεί επιπλέον φόρος δρχ ανα μονάδα προϊόντος, ποια πρέπει να είναι η τιμή πώλησης, ώστε η εταιρεία να έχει μέγιστο κέρδος ; Οι πορείες δυο αυτοκίνητων Π και Π που κινούνται με την ίδια ταχύτητα μέτρου k m /h τέμνονται στο σημείο Ο. Στις μμ το πρώτο κινείται ανατολικά και απέχει 6km από το Ο και το δεύτερο νότια και απέχει km από το Ο. α) να εκφραστεί η απόσταση d των δυο πλοίων συναρτήσει του χρόνου που παρήλθε μετά τις μμ. β) Τι ώρα απέχουν τα πλοία μεταξύ τους ελάχιστη απόσταση; γ) Πόση είναι η ελάχιστη απόσταση που απέχουν μεταξύ τους τα πλοία; Κάθε σελίδα ενός βιβλίου πρόκειται να έχει εμβαδόν 84cm. Τα περιθώρια του κειμένου πάνω και κάτω είναι cm και δεξιά και αριστερά cm. Ποιες διαστάσεις πρέπει να έχει η σελίδα ώστε να μεγιστοποιηθεί ο χώρος που έχουμε για το κείμενο; Δίνεται η ευθεία y = + 4 και το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oy α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες και yy. β) Αν Μ(, y) είναι ένα σημείο της παραπάνω ευθείας και φέρουμε από το Μ τις ΜΑ και ΜΒ κάθετες στους άξονες και yy αντίστοιχα, να βρείτε το σημείο Μ ώστε το ΟΑΜΒ να έχει μέγιστο εμβαδόν Έχουμε ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου με πλευρά μήκους 8cm. Από τις γωνίες αυτής της λαμαρίνας κόβουμε τέσσερα μικρά και ίσα τετράγωνα πλευράς και στην συνέχεια διπλώνουμε τα φύλλα που προκύπτουν προς τα πάνω, σχηματίζοντας έτσι ένα κουτί ανοικτό από την πάνω πλευρά του. Να βρείτε την τιμή του ώστε ο όγκος του κουτιού που προκύπτει να είναι ο μέγιστος δυνατός Η ενέργεια Ε που καταναλώνει ένας μικροοργανισμός που κινείται μέσα στο αίμα ενός ασθενούς με ταχύτητα υ, προσεγγίζεται από την σχέση: Ε (υ) = υ [ (υ 5) + 75]. Να βρείτε με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί 89 Ανδρεσάκης Δημήτρης

191 ο μικροοργανισμός για να καταναλώσει τη μι-κρότερη ενέργεια και πόση είναι αυτή Το κόστος παραγωγής ενός αυτοκινήτου και η τιμή πώλησής του συναρτήσει του χρόνου t σε ώρες δίνεται από τις σχέσεις Κ(t) = t 5 και E(t) = ( - ) σε χιλιάδες δραχμές. t α) Να βρεθεί το κέρδος από την πώληση ενός αυτοκινήτου ως συνάρτηση του χρόνου που απαιτείται για την παραγωγή του. β) Πόσες ώρες απαιτούνται για την κατασκευή του ώστε το κέρδος να είναι μέγιστο ; γ) Να υπολογιστεί το μέγιστο κέρδος Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές και y. και περίμετρο m. α) Να προσδιορίσετε τα και y ώστε η διαγώνιος του ορθογωνίου να έχει ελάχιστο μήκος β) Να προσδιορίσετε τα και y ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να είναι ελάχιστο Το συνολικό κόστος για την παραγωγή ( ) προϊόντων είναι K ( ) = + + ( σε χιλιάδες δρχ). Αν κάθε προϊόν πωλείται προς δρχ να βρείτε πόσα προϊόντα πρέπει να παραχθούν ώστε τα κέρδη να μεγιστοποιηθούν Το συνολικό κόστος για την παραγωγή ( ) προιόντων είναι Κ() = ( σε χιλιάδες δρχ).. Nα βρείτε πόσα προιόντα πρέπει να παραχθούν ώστε to κόστος του ενός προϊόντος να ελαχιστοποιηθεί Ένας γεωργός έχει ένα χωράφι 8m σχήματος ορθογωνίου, το οποίο θέλει να το περιφράξει και να το χωρίσει σε ίσα τμήματα με συρματόπλεγμα, όπως φαίνεται στο σχήμα. α) Να βρείτε τις διαστάσεις του χωραφιού ώστε ο γεωργός να χρησιμοποιήσει το μικρότερο δυνατό μήκος σύρματος. β) Αν το κόστος περίφραξης ανά μέτρο για τα εσωτερικά χωρίσματα, είναι 4 φορές μικρότερο από το κόστος ανά μέτρο της εξωτερικής περίφραξης, να βρείτε τις διαστάσεις του χωραφιού για τις οποίες το συνολικό κόστος περίφραξης είναι το μικρότερο δυνατό. Ασκήσεις B Ομάδας Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R ->R η οποία για κάθε R ικανοποιεί την σχέση f () +f() = ++e. Να αποδείξετε ότι δεν έχει 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

192 κρίσιμα σημεία Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R ->R η οποία για κάθε R ικανοποιεί την σχέση f () + f() = e -. Να αποδείξετε ότι α) e - >, για κάθε R* β) H f δεν έχει τοπικά ακρότατα Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (,+ ) ->R η οποία για κάθε > ικανοποιεί την σχέση f () + = f(). Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο α να αποδείξετε ότι α= Αν, είναι κρίσιμα σημεία της f () = α + β + γ +δ, α να αποδείξετε ότι β α) + = α β) f '' ( )+ f ''( ) = Έστω f,g :R ->R με f(α) = g(α) και f()+ g() + α για κάθε χ R, α R Αν οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο α να αποδείξετε ότι f '(α) g' (α) = -α Δίνεται η συνάρτηση f() = α - (lnα) +, α.να βρεθεί για ποια τιμή του α το ελάχιστο της f ελαχιστοποιείται Δίνεται η συνάρτηση f() = λ, λ >.Να βρεθεί για ποια τιμή του λ το e μέγιστο της f ελαχιστοποιείται Να βρεθεί ο α R ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης +( α ) α =, να είναι ελάχιστο Έστω f ορισμένη στο [,] με f() = e α) Να μελετηθεί ως προς μονοτονία β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς μια ρίζα στο (,/) Έστω η συνάρτηση f() = α ημ + β συν, α > β. α) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f στο [,π] β) αν αβ< να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, π/) τέτοιος ώστε συν α ξ = α β Έστω f : [α,β] R με f'' () > για [ α,β ] και f(α) =f(β). Να αποδείξετε ότι f '(α) f ' (β) < 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

193 4..8 Κυρτότητα -- Σημείία καμπής!"μια συνάρτηση f συνεχής στο Δ λέγεται κ υ ρ τ ή ή ότι στρέφει τα κοίλα άνω όταν είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και η f ' γνησίως αύξουσα στο Δ. Δηλαδή f '' () > για κάθε Δ Κοίλες κυρτές συναρτήσεις Αν μια f είναι κυρτή στο Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε Δ, βρίσκεται πάντα κάτω από την γραφική παράσταση της f.!"μια συνάρτηση f συνεχής στο Δ λέγεται κ ο ί λ η ή ότι στρέφει τα κοίλα κάτω όταν είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και η f ' γνησίως φθίνουσα στο Δ. Δηλαδή f '' () < για κάθε Δ Αν μια f είναι κοίλη στο Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε Δ, βρίσκεται πάντα πάνω από την γραφική παράσταση της f.!"σημειώνουμε ότι είτε η f είναι κυρτή είτε κοίλη στο διάστημα Δ δεν μας ενδιαφέρει καν η ύπαρξη παραγώγου στα άκρα του Δ, αν φυσικά αυτό είναι κλειστό, παρά μόνο η συνέχεια.!"επομένως ΘΕΩΡΗΜΑ αν f συνεχής στο διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ τότε i. Αν f '' () > για κάθε εσωτερικό του Δ f κυρτή στο Δ ii. Αν f '' () < για κάθε εσωτερικό του Δ f κοίλη στο Δ!"To αντίστροφο του Θεωρήματος δεν ισχύει π.χ η f() = 4 είναι κυρτή στο Δ αλλά f '' () = 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

194 !"Ένα σημείο Μ(, f( )) με (α,β) όπου (α,β) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, λέγεται σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς της f όταν α) Η f αλλάζει κοίλα εκατέρωθεν του β) Ορίζεται εφαπτομένη της C f στομ(, f( )).!"Στο σημείο δεν είναι απαραίτητο να παραγωγίζεται η f.είναι όμως απαραίτητο να παραγωγίζεται στο (α, ) (,β)!"στα σημεία καμπής η εφαπτομένη διαπερνά την καμπύλη της C f!"έστω Μ(, f( )) σημείο καμπής της f. Τότε ισχύει ότι f '' ( ) = ή ότι δεν υπάρχει η δεύτερη παράγωγος της f στο. (Για τα φετινά δεδομένα όμως υπάρχει η f ' ( ))!"Επομένως οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής της C f σε ένα διάστημα Δ είναι τα εσωτερικά σημεία του Δ όπου o Η f '' μηδενίζεται ή o δεν υπάρχει η f '' ( αλλα ορίζεται η f ' ) και o Η f '' αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

195 Ασκήσεις A Ομάδας Δίνεται η συνάρτηση f() = ln, > 4 α) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της f β) Να μελετηθεί ώς προς τα κοίλα γ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα Δίνεται η συνάρτηση f() = ln - ln+ α) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της f β) Να μελετηθεί ώς προς τα κοίλα γ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. δ) Να μελετηθεί ώς προς τα σημεία καμπής Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = α) Να μελετηθεί ως προς την καμπυλότητα β) Να βρείτε τα σημεία καμπής της f Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = α) Να μελετηθεί ως προς την καμπυλότητα β) Να βρείτε τα σημεία καμπής της f Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Να μελετηθεί ως προς την καμπυλότητα β) Να βρείτε τα σημεία καμπής της f Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Να μελετηθεί ως προς την καμπυλότητα β) Να βρείτε τα σημεία καμπής της f Δίνεται η συνάρτηση f() = Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία καμπής της είναι κάθετες μεταξύ τους Δίνεται η συνάρτηση f() = + 5. Να αποδείξετε ότι τα δυο τοπικά ακρότατα και το σημείο καμπής που παρουσιάζει είναι συνευθειακά Δίνεται η συνάρτηση f() = ln α) Να αποδείξετε ότι f''() = 4(-)+ln β) Να βρείτε το f '' () γ) Να αποδείξετε ότι f'''() > δ) Να λυθεί η εξίσωση f '' () = ε) Να μελετηθεί ως προς την καμπυλότητα στ) Να βρείτε τα σημεία καμπής της f Ανδρεσάκης Δημήτρης

196 4.8.. Να μελετηθούν ως προς τα κοίλα και να βρεθούν τα σημεία καμπής των συναρτήσεων α) f() = 4ln( +8) β) f() = (+ )e γ) e e f() = δ) f() = Να μελετηθούν ως προς τα κοίλα και να βρεθούν τα σημεία καμπής των συναρτήσεων , +, α) f ( ) = β) f ( ) = , < ( ) +, > *** α) Να μελετηθεί ως προς την καμπυλότητα η f() = +e β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο τομής της με τον yy' γ) Να αποδείξετε ότι +e - + *** Για ποιές τιμές του κ R η συνάρτηση f() = 4 +k + + είναι κυρτή για κάθε χ R; Για ποιές τιμές του κ R η συνάρτηση f() = 4 +k είναι κυρτή για κάθε χ R; Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = 4 +α +6α +β+γ είναι κυρτή στο R λ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = α) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της f β) Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η f να είναι κυρτή Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) = 4 +4k + ( k 4k+5) + k +, k R δεν έχει σημεία καμπής Να βρείτε τις τιμές των α,β R ώστε η συνάρτηση f() = α + β να έχει στο = τοπικό ακρότατο και να έχει σημείο καμπής στο σημείο Μ (, f ( )) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = α + β +γ+ δ, α, β = αγ, δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη Αν η γραφική παράσταση της f() = 5 +5α 4 +β + ++ παρουσιάζει τρία σημεία καμπής να αποδείξετε ότι α > β Αν η γραφική παράσταση της f() = 4 +α +β ++ παρουσιάζει σημεία καμπής να αποδείξετε ότι α >8 β 95 Ανδρεσάκης Δημήτρης

197 Ασκήσεις B Ομάδας Μια συνάρτηση f:r->r είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθε χ R ισχύει (f ' ()) + (f ' ()) +f ' () = e +. Να αποδείξετε ότι α) Υπάρχει ακριβώς ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f με οριζόντια εφαπτομένη β) Η f είναι κυρτή στο R Μια συνάρτηση f:r -> R είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθε χ R ισχύει f() + e f() = + - e.να αποδείξετε ότι α) Η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής β) Η f έχει ακριβώς ένα κρίσιμο σημείο τοπικού ακροτάτου Μια συνάρτηση f:r -> R είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο R και για κάθε χ R ισχύει f ' () + [ f '' ( ) ] = συν +e.να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Αν f() = f '() =,να αποδείξετε ότι f() για κάθε R Έστω συνάρτηση f θετική και φορές παραγωγίσιμη στοr. Αν η συνάρτηση g() = ln(f()) έχει θετική δεύτερη παράγωγο να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο R και α< β να αποδείξετε ότι f() f(β) + (-α) f ' (α), για κάθε [α,β] Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R και α< β να αποδείξετε ότι f() - f(α) (-α) f ' (β), για κάθε [α,β] Μια συνάρτηση f:r -> R είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και f ''( ) < για κάθε R.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = e f () είναι κυρτή στο R Μια συνάρτηση f:r -> R είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( ++ ) f ''() +e f() = για κάθε R.Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής Έστω f παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ. α + β Να αποδείξετε ότι f(α) + f(β) f ( ) για κάθε α, β Δ Η συνάρτηση f : R ->R ικανοποιεί την σχέση f() +f(-) = ++ α) Να βρεθεί ο τύπος της. 96 Ανδρεσάκης Δημήτρης

198 β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα H συνάρτηση f είναι φορές παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f' () = f() + για (,+ ), f(e)= e α) Να βρεθεί ο τύπος της. β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα H συνάρτηση f : (,+ ) R είναι φορές παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f ''(). ;Αν η f είναι κυρτή και το διάγραμμά της περνάει από το Α(,), να αποδείξετε ότι f(4)+f() > 6 97 Ανδρεσάκης Δημήτρης

199 4..9 Ασύμπτωτες -- κανόνας De '' L Hospiittall!"Θεώρημα De ' L Hospital Αν f() = ( ή ± ) και R { -, + } και υπάρχει το όριο άπειρο ) τότε f ( ) = g ( ) ( ) g() = ( ή ± ) όπου f '( ) g ' f '( ) (πεπερασμένο ή g ' ( )!"Το θεώρημα De ' L Hospital επομένως εφαρμόζεται αν έχουμε μορφή ± ή ±!"Το θεώρημα De ' L Hospital μπορεί να εφαρμοστεί περισσότερες από μια φορές για την εύρεση ορίου μιας συνάρτησης!"το θεώρημα De ' L Hospital ισχύει και για πλευρικά όρια.!"άλλες απροσδιόριστες μορφές που λύνονται με το θεώρημα De ' L Hospital f() g() = τότε f g = f ή f g = g g f ± ( οπότε καταλήγω σε ή ± ) Τότε Αν είναι κλασματικές οι f, g κάνω τα κλάσματα ομώνυμα ή ( f() - g() ) = - f g = f ( - f g ) ή f g = g ( - g f ) f() g() = ή ή τότε g g ln f g ln f f = e = e 98 Ανδρεσάκης Δημήτρης

200 !"H ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f όταν τουλάχιστον ένα από τα όρια f(), f() ισούται με + ή -. + Η C f μπορεί να έχει παραπάνω από μια κατακόρυφες ασύμπτωτες Τις κατακόρυφες ασύμπτωτες τις αναζητώ στα άκρα του πεδίου ορισμού της f στα οποία η f δεν ορίζεται ή στα σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία δεν είναι συνεχής!"μια ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο + ( αντίστοιχα στο - ) όταν f() = l (αντίστοιχα f() = l ) + Για να αναζητήσω οριζόντια ασύμπτωτη στο + (αντίστοιχα στο - ) πρέπει η f να ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,+ ) ( αντίστοιχα σε (-,β) ) Η C f μπορεί να έχει διαφορετική οριζόντια ασύμπτωτη στο + από ότι στο - ) Η C f μπορεί να έχει το πολύ οριζόντιες ασύμπτωτες.!"η ευθεία με εξίσωση y = λ +β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της C f στο + ( αντίστοιχα στο - ) όταν [ f() (λ +β)] = ( αντίστοιχα ΘΕΩΡΗΜΑ + [ f() (λ +β)] = )!"Αν λ = f ( ) και β = (f() λ) τότε η ευθεία με εξίσωση + + y = λ +β είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +!"Αν λ = f ( ) και β = (f() λ) τότε η ευθεία με εξίσωση y = λ +β είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο -!" Αν η C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + τότε στο + δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη και αντίστροφα. Ανάλογα για το - Η C f μπορεί να έχει το πολύ οριζόντιες ασύμπτωτες ή το πολύ πλάγιες ασύμπτωτες. 99 Ανδρεσάκης Δημήτρης

201 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν έχουν ούτε οριζόντιες ούτε πλάγιες ασύμπτωτες.!"ασύμπτωτες πολυωνυμικών ρητών Αν f() = k σταθερή τότε έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y = k και στο + και στο -,ενώ δεν έχει άλλες ασύμπτωτες. Αν f() = α+β, α έχει πλάγια ασύμπτωτη την y = α +β και στο + και στο -. Αν f() πολυωνυμική με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του δεν έχει ασύμπτωτες P( ) Αν f() = ρητή συνάρτηση τότε Q( ) o Αν deg(p()) = deg(q())+ τότε έχει πλάγια ασύμπτωτη, την ίδια, και στο + και στο -. o Αν deg(p()) > deg(q())+ τότε δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη o Αν deg(p()) < deg(q()) τότε έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y = και στο + και στο -. Ανδρεσάκης Δημήτρης

202 Ασκήσεις Να βρεθούν τα όρια α) συν β) e + e ` Del'Hospital Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: e ημ ln( + ημ) α) β) ημ / δ) [ ( e ) ] + ε) + εφ γ) ( ln ) + + στ) ( e e ) + ζ) η) ( ) / e Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: + 4 α) συν δ) π συν5 e ζ) + β) e e ε) εφ η) + ln(ημ) ln(εφ). ln γ) στ) + ln Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: ημ e α) β) 6 γ) ln δ) e Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: + α) β) γ) e + (ημ) δ) + + ζ) σφ η) ( ) σφ + + ε) + συν θ) + στ) ι) εφ συν ημ e e. ln Να βρεθούν τα όρια α) + e β) e ln + Ανδρεσάκης Δημήτρης

203 Να βρεθούν τα όρια α) [ ln + ] β) + π π [ ( )εφ] Να βρεθούν τα όρια α) ( - + e ) β) + + ln Να βρεθούν τα όρια α) + ημ β) Να βρεθούν τα όρια α) γ) e συν ( ) * β) δ) ημ συν + ημ e Να βρεθούν τα όρια α) ln( + ) + ln( + ) β) e Να βρεθούν τα όρια α) e β) e Να υπολογιστεί το όριο ( συν e ) ημ Να αποδείξετε ότι ln + ln + = ln Να αποδείξετε ότι + ln = + + ln Να υπολογιστούν τα όρια α) e e Να υπολογιστούν τα όρια α) + e β) β) ημ ημ ( e + - ) Ανδρεσάκης Δημήτρης

204 Να υπολογιστούν τα όρια α) + ημ ln β) π ( ) εφ( ) Να υπολογιστούν τα όρια α) + ln(ημ) ln β) + ln( e + e ) Να αποδείξετε ότι Να αποδείξετε ότι + + ( ημ )= 6 ( e )= Να υπολογιστούν τα όρια ημ α) ( ) β) + + (εφ) ημ Να υπολογιστούν τα όρια α) ln β) ln ln Να αποδείξετε ότι α) ln = σφ β) γ) εφχ ημχ = χ ημχ δ) ε) ζ) = χσυνχ ημχ χημχ ημ = 6 στ) η) εφ = συν + ημχ συνχ = ημ χ ln = + ln ημ = Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων, ln( + ), < α) f() = β) f() = ln, < <, > e, e Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β ώστε το όριο + ae + + β + 4 να είναι πραγματικός αριθμός Ανδρεσάκης Δημήτρης

205 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ ώστε ae + βe + γ = 4 ημ ae, Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η f() = ημ + βσυν, > να είναι παραγωγίσιμη στο. ln, < e Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η f() = να a + β, > e είναι παραγωγίσιμη. + αημ +, < Δίνεται η συνάρτηση f() = 4 β + α ln( + ), α) Να βρεθούν οι α, β ώστε η f() να είναι παραγωγίσιμη. β) Για α= και β= να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να λυθεί η εξίσωση f() =. Ασύμπτωτες Να βρεθούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων + + α) f() = β) f() = γ) f() = Να βρεθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων α) f() = β) f() = e e + γ) f() = δ) f() = + e + e Να βρεθούν οι πλάγιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων α) f() =-+ β) f() = ++ γ) f() = + 9 e Να βρεθούν οι πλάγιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες τών συναρτήσεων e α) f() = β) f() = ++ + e ημ Να βρεθούν οι πλάγιες ασύμπτωτες της f() = Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων α) f() = β) f() = + γ) f()= + + δ) f()= Ανδρεσάκης Δημήτρης

206 Εστω ότι η y = +5 ασύμπτωτη της f στο +. I) Να βρεθούν τα όρια α) f ( ) β) [ f() ] + + II) Nα βρεθεί ο μ ώστε μf ( ) + 4 = + f ( ) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ, ώστε οι ευθείες = -, y = 4 να είναι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( a ) + β γ + f() = + γ Να βρεθεί το α R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης a + 6 f() = να έχει μόνο μια κατακόρυφη ασύμπτωτη Αν η ευθεία ε: +y β = είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της (α + ) a + f() = να αποδείξετε ότι α=5 και β= Αν η ευθεία ε: y = + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της a + β + 5 f() = να βρείτε τα α,β Αν η ευθεία ε: y = +4 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f() στο + να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε μf ( ) f ( ) = Αν η ευθεία ε: y = + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f() στο + να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε 9 + f ( ) + μ + 4 = 4 f ( ) Αν για την συνάρτηση f : R->R ισχύει + f() για κάθε R*. Να εξετασθεί αν η γραφική παράσταση της f έχει πλάγια ασύμπτωτη Έστω f() = ln ln+ α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των πραγματικών ριζών της f() = γ) Nα εξετάσετε αν η f έχει ασύμπτωτες δ) f ( ) Να υπολογίσετε το όριο ( ) 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

207 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

208 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

209 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

210 5.. Αόριιστο Ολοκλήρωμα Αρχική συνάρτηση Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και αναζητούμε μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη στο Δ τέτοια ώστε για κάθε χ Δ να ισχύει F ()=f(). H ζητούμενη F ονομάζεται αρχική συνάρτηση της f ή παράγουσα αυτής Αποδεικνύεται ότι!"κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό.!"αν υπάρχει μια αρχική της f στο Δ τότε υπάρχουν άπειρες και αυτές είναι οι F+c, c R!"(a F) =a f και (F +G) = f+g, όπου G αρχική της g στο Δ Αόριστο Ολοκλήρωμα Το σύνολο των αρχικών συναρτήσεων μιας f στο Δ το ονομάζουμε αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ και συμβολίζεται f()d δηλαδή άμεση συνέπεια είναι ότι και ότι f()d = F()+c f ()d = f()+ c, c R λ f()d = λ f() d (f()+g())d = f()d + g()d (Γραμμικότητα του αόριστου ολοκληρώματος) 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

211 Ο υπολογισμός μιας αρχικής μιας f σε ένα διάστημα Δ ή του ολοκληρώματος f()d γίνεται σε πρώτο στάδιο, με την βοήθεια των παρακάτω τύπων που προέρχονται απο τους κανόνες παραγώγισης. α d = α +c, v d = a + β + v + c, d = ln +c v + d = ln α+β +c α d = +c ημ(α)d = - συν(α) + c a συν(α)d = ημ(α) + c a συν (α) d = εφ(α) + c a ημ (α) d = - σφ(α) + c a e d = e +c e α+ β d = a e α+ β +c α d = ln α α +c α λ d = λ ln α α λ +c Πολλές φορές όμως προκύπτουν πιο δύσκολοι τύποι συναρτήσεων πρός ολοκλήρωση ( που περιέχουν σύνθετες συναρτήσεις ) οπότε κάνουμε χρήση των παρακάτω κατηγοριών Κατηγορία η ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν τα ολοκληρώματα της μορφής P() d. Εδώ κάνουμε χρήση της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και κατόπι χρήση της ιδιότητας v v + d = + c. v + μ + ν ν μ Επίσης μην ξεχνάτε ότι : d = d = + c μ + ν Κατηγορία η ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΗΛΙΚΟΥ μ ν!" [ f ' () g() + g ' ()f() ] d = ( f() g() ) ' d = f() g() +c f '( ) g( ) g' ( ) f ( ) f ( ) f ( )!" d = [ ]' d = + c g ( ) g( ) g( ) Ανδρεσάκης Δημήτρης

212 Κατηγορία η ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ!" f k () f ' () d = k + ( f k+ ()) ' d =!" ημk συν d = ημ k+ +c k +!" συνk ημ d = - συν k+ + c k + k + f k+ () +c Κατηγορία 4 η ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΡΙΖΑ ΣΤΟΝ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ!" f '( ) d f ( ) = ( f () )' d = f ( ) + c Κατηγορία 5 η ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΗΛΙΚΟΥ f ' / f!" f '( ) d f ( ) = [ln ( f() ) ] ' d = ln ( f() ) + c Κατηγορία 6 η ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ!" e f () f ' () d = ( e f () ) ' d = e f () + c!" k f () f ' () d = ln k ( k f () ) ' d = k f() + c, < k ln k Κατηγορία 7 η ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ!"Κάνουμε χρήση της κατηγορίας ή!" ημ(f ()) f '() d = - συν (f()) +c!" συν(f ()) f '() d = ημ (f()) +c!"ή τέλος κάνουμε χρήση τών τύπων ημ - συνα α =, συν + συνα α = Κατηγορία 8 η ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ Διακρίνουμε τις εξής δυο περιπτώσεις P( ) Α) d με deg(p())<deg ((Q(). Q( ) Παραγοντοποιώ ( εάν γίνεται ) το Q() και το αναλύω σε άθροισμα απλών κλασμάτων ώς εξής k + λ = [ + ( a)( β) ( a) ( A B ] d β) = A ln α + Β ln β Ανδρεσάκης Δημήτρης

213 όπου τα Α, Β τα βρίσκω απο την ισότητα των πολυωνύμων : κ+λ = Α( β) + Β ( α ) Γενικότερα A σε κάθε παράγοντα του Q() της μορφής α+β αντιστοιχεί ένα κλάσμα a + β σε κάθε παράγοντα του Q() της μορφής ( ρ ) μ αντιστοιχεί το άθροισμα A A Aμ ρ μ ( ρ) ( ρ) A B Γ έτσι π.χ = + + ( ) ( )( + ) ( + ) ( + ), P( ) Β) d με deg(p()) deg ((Q()) Q( ) Κάνω την διαίρεση P():Q() και P()=Q()Π()+U() άρα θα είναι P( ) U ( ) = Π(χ)+ με deg(u())<deg ((Q() και καταλήγω στην προηγούμενη Q( ) Q( ) περίπτωση Ασκήσεις A Ομάδας 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = ( ) d B = d Γ = ( 4+ ) d Δ = (e ημ + συν+ / )d E = d 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα ΣΤ = d A = ( ) d B = ( ημ + συν Γ = ( ) d Δ = d 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα A = ημ () d B = συν (+) d Γ = e+ d Δ = 5 d E = ημ ( + ) Ζ = d + 5 H = + I = ημ (-+9 ) d IA = )d d ΣΤ = + 8 d d Θ = d 9 + συν (8+6) d Ανδρεσάκης Δημήτρης

214 5..4. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα A = ημ +( )συν d ημ + συνχ ημ + χ συν d B = e (συν+ημ) d Γ = Δ = e (συν ημ ) d ln ΣΤ = E = d Ζ = e d d Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα A = ( +5) (4+5) d B = ln () d, > Γ = ημ συν d Δ = ( ) E = (5 +) 4 d ΣΤ = 8συν5 ημ d Ζ = ημ () συν() d d Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα A = Γ = E = Ζ = e k + e ημ + συν a + b e + e e d, k R B = + d, d Δ = ημ d ΣΤ = d συν d Η= ln d d Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα ημ A = d B = d, > + συν ln Γ = d Δ = d E = εφ d ΣΤ = σφ d e + Z = d Z = d e ημ ημ H = d Θ = + συν d 5 + συν ημ 4 Ι = d ΙΑ = + συν ημ e d Ανδρεσάκης Δημήτρης

215 5..8. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα e A = ημ d B = e ημ d Γ = d Δ = + ( + ) e d Ε = + d Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα A = ημ d B = συν d Δ = εφ d Ε = σφ d Γ = συν d ΣΤ = ημ d Ζ = ημ συν d H = ημ συν d Θ = ημ ( + 4 π ) d I = συν ημ d ΙΑ = ημ d ΙΒ = συν( ) d 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα 5 A = d B = 5 6 d Γ = d Δ = 7 + d Ε = d ΣΤ = d Z = d + 5 H = 4 8 d ( )( + 4)( ) Θ = d ( ) ( ) *** 5... Να βρεθεί η συνάρτηση f στις παρακάτω περιπτώσεις α) f () =-συν με f()= και f '() = 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

216 β) f ' () = και f()= γ) f ' () = ( + ) + και f()= 5 δ) f ' () = e + συν ημ και f()=. ε) f ' () = +, και η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β( -, ) 5... Να βρεθούν οι συναρτήσεις f() για τις οποίες ισχύει f ' ( )=+4 με f()= Να βρεθεί συνάρτηση f :R->R, αν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο = με τιμή 4 και f '' () = Να βρεθεί συνάρτηση f (,+ ) -> R, αν η γραφική της παράσταση έχει 4 ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = +4 και f '' () = Αν f :R->R και f()e d = e + c, να βρεθεί η f Αν f :R->R και f ' () = e f (), να βρεθεί η f,αν επίσης γνωρίζουμε ότι διέρχεται από την αρχή των αξόνων Αν η συνάρτηση f έχει άρτια παράγουσα,να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα Να βρεθούν οι συναρτήσεις f() για τις οποίες ισχύει f ()συν+f()ημ=f()συν με f()= [- π, π ] Έστω η f () = + e.nα βρεθούν οι α, β R ώστε η b F() = a e + να είναι αρχική της f στο R* 5... Αν η πολυωνυμική f είναι γν. αύξουσα με f()= και + 4f ( ) (+f '()) f ' = R να αποδείξετε ότι f() = 6 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

217 5... Αν για την παραγωγίσιμη f ισχύουν f() =, f '() =f(-) R να βρεθεί ο τύπος της f 5... Δίνονται τα ολοκληρώματα Ι ν = εφ v d και J ν = σφ v d (, π ). Nα αποδείξετε ότι ν ν α) Ι ν = εφ Iv, v β) J ν = σφ Jv, v ν ν 5... Ένα κινητό κινείται πάνω σε άξονα και η επιτάχυνσή του σε m /sec την χρονική στιγμή t είναι a(t)= t-, t. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κινητού συναρτήσει του t αν την χρονική στιγμή t = το αυτοκίνητο έχει ταχύτητα m/sec β) Να βρείτε πότε το κινητό κινείται σε θετική και πότε σε αρνητική κατεύθυνση. γ) Αν την χρονική στιγμή t = η θέση του κινητού είναι () =, να βρείτε την θέση του κινητού την στιγμή t = 5sec δ) Να υπολογίσετε το συνολικό διανυθέν διάστημα από t = εώς και t = sec Ένα κινητό κινείται πάνω σε άξονα και η επιτάχυνσή του σε m /sec την χρονική στιγμή t είναι a(t)= t- 5, t. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κινητού συναρτήσει του t αν την χρονική στιγμή t = το αυτοκίνητο έχει ταχύτητα 4m/sec β) Να βρείτε πότε το κινητό κινείται σε θετική και πότε σε αρνητική κατεύθυνση. γ) Αν την χρονική στιγμή t = η θέση του κινητού είναι () = m, να βρείτε την θέση του κινητού την στιγμή t = sec δ) Να υπολογίσετε το συνολικό διανυθέν διάστημα από t = εώς και t = sec Από την πώληση ( 5) μονάδων ενός προϊόντος μιας εταιρίας τα έσοδα Ε() μεταβάλλονται με ρυθμό Ε ' ()= 5 χιλάδες ευρώ ανα μονάδα προϊόντος. Ο ρυθμός μεταβολής του κόστους παραγωγής είναι ευρώ ανα μονάδα προϊόντος. Να βρεθεί το κέρδος από την πώληση μονάδων προϊόντος Ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού N(t) μιας κοινωνίας βακτηριδίων είναι t Ν'(t)= 5 e χιλιάδες ανα λεπτό. Να βρείτε τον πληθυσμό Ν(t) αν ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είναι.. βακτηρίδια Μια γεώτρηση έχει ρυθμό αντλησης ρ'(t) = 5+ t κυβικά μέτρα ανά 4 ώρα. Πόσα κυβικά μέτρα νερού θα έχουν αντληθεί τις 4 πρώτες ώρες; t 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

218 5..8. Σε ένα ορνιθοτροφείο διατίθενται για κατανάλωση 4 κιλά τροφής τις πρωινές ώρες και ο ρυθμός κατανάλωσης είναι Κ' (t) = -,6 t κιλά τροφή ανά λεπτό. Να βρείτε α) Την ποσότητα της τροφής που υπάρχει στο ορνιθοτροφείο ως συνάρτηση του χρόνου. β) Σε πόσο χρόνο η τροφή θα εξαντληθεί Το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος αυξάνεται με ρυθμό Ε ' (t) = 4t+5, t. Αν την χρονική στιγμή t = είναι Ε= να βρεθεί το εμβαδόν ως συνάρτηση του χρόνου. 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

219 5.. Μέθοδοιι Ολοκλήρωσης α. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες f()g ()d = [f()g()] - f '()g () d Κατηγορίες Παραγοντικής Ολοκλήρωσης. P(χ) eλ +μ d = P() ( e λ+μ ) d = = λ λ P() (e λ+μ ) d P() αλ+μ d = P() ( α λ+μ ) d = λlnα λlnα P() (αλ+μ ) d. P() ημ(λ+κ) d = - λ P()(συν(λ+κ)) d P() συν(λ+κ) d= λ P()(ημ(λ+κ)) d. P() ln(f()) d= P () ln(f()) d 4. ek ημ(γ+δ) d = ( e k )' ημ(γ+δ) d k ek συν(γ+δ) d = ( e k ) ' συν(γ+δ) d k Σημειώσεις. Για όλα τα παραπάνω μπορεί P() =, οπότε () = P(). Η εφαρμογή του τύπου της παραγοντικής ολοκλήρωσης μπορεί να γίνει πολλές φορές ώστε να καταλήξω σε πιο απλό ολοκλήρωμα π.χ στα ολοκληρώματα P() eλ+μ d, P() ημ(λ+κ) d, P() συν(λ+κ) d ο τύπος, εφαρμόζεται ν φορές όπου ν ο βαθμός του πολυωνύμου. Στα ολοκληρώματα ek ημ(γ+δ) d ek συν(γ+δ) d ο τύπος εφαρμόζεται φορές και έτσι δημιουργείται εξίσωση με άγνωστο το αρχικό ολοκλήρωμα 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

220 β. ολοκλήρωση με αντικατάσταση f(g()g'()d = f(u)du με u = g() και du = g ' ()d Κατηγορίες Ολοκλήρωσης με Αντικατάσταση. ( -p) d k Θέτω t = g()= p και διακρίνω δυο περιπτώσεις A) κ τότε ( -p) d= k ( -p) (χ-p) d= dt k t = t k+ k k + + c B) κ= ( -p) d = k dt t =ln t +c. P() d, απλά διαιρώ το P() με το χ και καταλήγω σε εύκολο k ολοκλήρωμα. P() d Θέτω t = p και φτάνω στην προηγούμενη μορφή k ( -p) 4. f ( k + m d q + n, d k + m,..., q + n dk k + m )d q + n Θέτω k + m q + n =t v όπου ν = ΕΚΠ(d,d,...,dk) 5. f( eα )d Θέτω t= e α, όπου α ο μικρότερος εκθέτης του e και καταλήγω σε ολοκλήρωση ρητής. 6. Πολλές φορές για την εύρεση του b a u = a+b- f ( ) d χρήσιμη είναι η αντικατάσταση 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

221 7. α a β d θέτω = ημt β 8. a ± β d θέτω a ± β = t a 9. a + β + γ d με α> θέτω a + β + γ = t - α. a + β + γ d με α < και Δ< τότε το τριώνυμο μετασχηματίζεται στην μορφή κ (λχ+μ) οπότε θέτω λχ+μ= κt. Α) a d ή Β) a + d ή Γ) a Α) a θέτω = a ημu a u Β) a + θέτω χ= a εφ u a Γ ) a θέτω χ= συνu u a u a Κατηγορίες Ολοκλήρωσης Τριγωνομετρικών. R(ημχ,συνχ)d ρητή# t=εφ( ) οπότε dt=d(εφ ) dt=[ εφ( )] d dt= d συν d = συν dt d = d d = dt + εφ + t εφ Ακόμη ημχ = ημχ= εφ t και συνχ = + εφ + t + εφ συνχ= t + t Με την παραπάνω αντικατάσταση λύνονται σχεδόν όλες οι τριγωνομετρικές επειδή όμως καταλήγουμε σε πολύπλοκες συναρτήσεις (και για αυτό καταφεύγουμε σε αυτήν όταν δεν έχουμε τίποτα άλλο να κάνουμε) ας δούμε κάποιες τεχνικές ανάλογα με την δύναμη στην οποία είναι υψωμένος ο τριγωνομετρικός αριθμός Ανδρεσάκης Δημήτρης

222 .. R(ημχ,συνχ)d περιττή ώς προς ημχ # t =συνχ R(ημχ,συνχ)d περιττή ως προς συνχ # t =ημχ 4. R(ημχ,συνχ)d άρτια ώς προς ημχ, συνχ # t =εφχ εφ χ t οπότε ημ χ = = συν χ = = και + εφ χ + t + εφ χ + t dt = d συν χ 5. ημαχσυνβχd ή συναχσυνβχd ή ημαχημβχ d τότε ημαχσυνβχ d= [ημ(α+β)χ+ημ(α-β)χ] συναχσυνβχ d= [συν(α+β)χ+συν(α-β)χ] ημαχημβχ d= [συν(α-β)χ-ημ(α+β)χ] 6 ημ κ χ συν λ χ d ή ημ κ χ d ή συν λ χ d τότε Α) Άν κ περιττός κ=ρ+ ημ κ χ συν λ χ d = ημ ρ+ συνν λ χ d = ημ ρ χ ημχ συν λ χ d = - [ημ χ] ρ (συνχ) συν λ χ d=- [-συν χ] ρ (συνχ) συν λ χ d και θέτω t = συνχ... Β) Άν λ περιττός λ=ρ+ όμοια έχω... ημ κ χ συν λ χ d = [-ημ χ] ρ (ημχ) ημ κ χ d και θέτω t=ημχ... Σχόλιο γι τις Α, Β : Γενικά σπάω τον περιττό εκθέτη σε ζυγό και τα εκφράζω όλα βάσει του ενός τριγωνομετρικού αριθμού ημχ ή συνχ Γ ) Άν κ, λ άρτιοι τότε χρησιμοποιώ τους τύπους ημ χ= συν συν + συν χ= ημχσυνχ= ημχ Ανδρεσάκης Δημήτρης

223 Ασκήσεις A Ομάδας Παραγοντική ολοκλήρωση 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = (-)e- d B = e d Γ = ( +5) d E = e d Z = d Δ = e - d ΣΤ = 4 e - d H = d 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα συν( 5 π)d B = ( -) συν d Α = Γ = (+)ημ(-)d Ε = ( 5+6) ημ ( )d 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Δ = συν( )d ΣΤ = συν( )d Α = e ημ d B = e συν(+)d Γ = e συν d Ε = e ημ(+) d Δ = e συν (-4)d ΣΤ = e συν d Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = ln d B = ln d Γ = ln d Δ = (-5) ln(+) d Ε = ln - ln d ΣΤ = d Z = (+) ln( +) d H = ln d Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = d B = d συν ημ Γ = d Δ = d ημ συν Ανδρεσάκης Δημήτρης

224 5..6. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα A= e - d Δ = B = ln e/ d Ε = (+) e d Γ = (+) e + + d ΣΤ = + d Ζ = ln ( + e + )d H = ( + ln ) d d Θ = ημ ln(+ημ)d I = συν ln(+συν)d Αντικατάσταση Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = e συν e d Β = 4 + Δ = d d Ε = εφd a + b Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα d Γ= ΣΤ = σφd 4 + d μ μ + ν Α = νμ ν dd σφ( ++5) (+) d Β = = = μ εφ ( ) d + e Γ = d Δ = συν ημ d Ε = d ΣΤ = d + ημ Ζ = d Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = d Β = d ln Γ = d Δ = d 4 + Ε = (-) 8 d ΣΤ = ( +) 7/ d 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα e Α = d Β = d e Γ = συν ( ln) d Δ = ημ ( ln) d Ανδρεσάκης Δημήτρης

225 Ε = ημ( ) d ΣΤ = e d e + e Z = d H = d e + e e + ημ Θ = d Ι = συν ln ( ημ) d συν + 5συν + 6 e IA = d IB = e + d e Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = d + 5 Γ = Ε = συν 5 Β = ln d + ln d Δ = d ημ d ΣΤ = συν d 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = 9 4 d Β = 6 9 d Γ = d Δ = d Ε = + d ΣΤ = 9 d Ζ = 5 + d Η = 4 d Τριγωνομετρικές 5... Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = ημ d Γ = συν 4 d Β = συν d Δ = ημ d Ε = συν d ΣΤ = συν d Z = εφ d Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Θ = σφ d Α = ημ συν 4 d Γ = συν 4 d Β = ημ συν d Δ = ημ συν d 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

226 Ε = ημ συν ημ d ΣΤ = d συν συν συν Z = d H= d ημ ημ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα Α = ημσυνd Γ = συν ημd Ε = ημ4ημ5d Z = συν d ημ Β = συν4συνd Δ = ημ συνd ΣΤ = συν4ημ d 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

227 Οριισμένο Ολοκλήρωμα Αν f() για κάθε [ a, b ] και f συνεχής στο [ a, b ] τότε το ολοκλήρωμα Ι = b f ( ) d εκφράζει γεωμετρικά το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται a από την C f, τον άξονα και τις κατακόρυφες ευθείες με εξισώσεις =a, = b. E = a = b Τα a και b ονομάζονται άκρα ολοκλήρωσης Ιδιότητες του ολοκληρώματος Αν f(), g() είναι συνεχείς στο [a,b] τότε a I. f ( ) d = II. a b b f ( ) d = - f ( ) d a III. ( f ( ) + g( )) d = f ( ) d + g( ) d IV. a b λ f()d = λ a a b a b b a f() d V. Αν f() για κάθε [a,b], τότε b a b b a f() d > VI. Αν f() g() [a,b] τότε f() d > g() d (Απόδειξη) a a VII. Αν a, b, γ Δ ( χωρίς να έχει σημασία η διάταξη ) τότε : b VIII. f() d a a γ b f()d = f()d + f()d a a b b f() dχ γ b 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

228 Παρατηρήσεις b. Το ορισμένο ολοκλήρωμα f ( ) d είναι πραγματικός αριθμός σε αντίθεση με a το αόριστο ολοκλήρωμα που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων, και δεν εξαρτάται από το γράμμα που παριστάνει την ανεξάρτητη μεταβλητή της f.έτσι b f ( ) d = f ( t) dt = f ( u) du =... a b a b b a. Στην έκφραση f ( ) d το είναι μια μεταβλητή και μπορεί να a αντικατασταθεί από οποιοδήποτε άλλο γράμμα,π.χ f ( ) d. Αποδεικνύεται ότι cd = c( b a) b a b = b a a f ( t) dt. Ειδικότερα αν c> τότε το b a cd εκφράζει το εμβαδόν του ορθογωνίου με βάση b a και ύψος c Ασκήσεις A Ομάδας Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο R. Nα γραφούν στην μορφή b f ( ) d οι παραστάσεις a α) Α= f ) d + f ( ) d ( f ( ) d β) Β = f ) d f ( ) d + 6 ( f ( ) d γ) Γ = ( ) ( ( ) + 6 f d f ) d Αν f ( ) d = και 5 f ( ) d = - 8 και f ( ) d = 4, να 8 υπολογιστούν τα ολοκληρώματα α) Α= 5 f ( u) du β) Β = f ( t) dt 6 5 γ) Γ = 5 f ( ) d δ) Δ = 8 f ( ) d ε) Ε = 8 5 f ( u) du Αν f ( ) d = και g ( ) d = να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα α) Α= 5 5 ( f() g()) d B = 5 (f()- g())d 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

229 + d Nα αποδείξετε ότι = Να υπολογίσετε την τιμή του κ ώστε k 4 d + 4 k 8 d = d + 5, av < Δίνεται η συνάρτηση f() =, av < < 4, av 4 < 6 Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα ορίζονται A = f ) d, B = f ( ) d, Γ = f ( ) d,δ = f ( ) d, Ε = 4 ( f ( ) d, 5 9 Ασκήσεις Β Ομάδας Αν < α< β, να αποδείξετε ότι β α f ( ) d Να αποδειχθεί η πρόταση (VI) Να αποδείξετε ότι α) d d + β) d ( 5 6) d Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5] και 5 f ( ) d < 8 να αποδείξετε ότι υπάρχει [,5] τέτοιο ώστε f( ) < Αν m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της συνεχούς f στο [ α,β] να αποδείξετε ότι m( β α) f ( ) d M (β a) α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f() = β) Να αποδείξετε ότι f ( ) d e 4 e Να αποδείξετε ότι π π / π α) d 5 5 συν 4 π π / 4 β) d ( + συνt) 76 b α 4 π e, [,] 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

230 Η συνάρτηση ff(tt)dtt γ Θεώρημα Αν f() είναι ορισμένη και συνεχής στο [a,b] τότε η συνάρτηση F με F()= γ f(t)dt και γ [α,b] είναι παραγωγίσιμη στο [α, b] και μάλιστα F ()=f() Δ Συνεπώς ισχύει ( γ f(t)dt ) = f() Ειδικές Περιπτώσεις Έστω f συνεχής στο Δ Τότε για τις παρακάτω συναρτήσεις ισχύουν $ Αν G() = στο Δ με % Αν G() = f(t)dt = - γ G () = ( f(t)dt ) ' = -( γ g () γ γ f(t)dt = - F() τότε η G()= -F() είναι παραγωγίσιμη γ f(t)dt) = - F () = - f() Δ f(t)dt με g παραγωγίσιμη στο A με g(α) Δ και γ Α τότε η G()= F(g()) είναι παραγωγίσιμη στο A με G ()= ( g () γ f(t)dt ) ' = F (g())g' () = f(g())g' () A & Αν G() = τότε G()= γ h () g () h () f(t)dt με g, h παραγωγίσιμες στο Α με g(a) h(a) Δ και γ Α g() h() f(t)dt + f(t)dt = - f(t)dt + γ γ είναι παραγωγίσιμη στο Α με G ()= ( γ h () g() f(t)dt + γ g() γ f(t)dt =F(g()) - F(h()) πού f(t)dt)' = f (g())'g()- f (h())h'() Δ 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

231 Παρατηρήσεις. Η συνάρτηση F() = γ f(t)dt ονομάζεται και συνάρτηση οριζόμενη από ολοκλήρωμα ή ολοκλήρωμα μεταβλητού άκρου. Οι ασκήσεις πάνω σε τέτοιας μορφής ολοκληρώματα παρουσιάζουν μεγάλη συγγένεια με τις ασκήσεις και τις τεχνικές των παραγώγων. Σχεδόν πάντα θα χρειαστεί να τις παραγωγίζουμε χρησιμοποιώντας τις παραπάνω περιπτώσεις. Από το παραπάνω Θεώρημα προκύπτει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f έχει αρχικές στο Δ.. Το πεδίο ορισμού της F() = f(t)dt γ Αν η f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα Δ και γ Δ τότε και Α F =Δ Αν η f έχει πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α που είναι ένωση διαστημάτων και γ Α τότε η F έχει ως πεδίο ορισμού εκείνο το υποδιάστημα του Α που περιέχει το γ. Γενικά το πεδίο ορισμού της F είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της f. 4. Για να κάνουμε σωστή παραγώγιση συναρτήσεων οριζόμενων από ολοκλήρωμα είναι αναγκαίο να κατανοήσουμε την διαφορά της μεταβλητής παραγώγισης ( που είναι η μεταβλητή της συνάρτησης )από την μεταβλητή ολοκλήρωσης. Γενικά η μεταβλητή της συνάρτησης (άρα και της παραγώγισης ) είναι αυτή που βρίσκεται στο άκρο ολοκλήρωσης f() = g( t) dt Έτσι για παράδειγμα Αν f(t) = t tg( ) d τότε η μεταβλητή παραγώγισης είναι το t και η οποία μέσα στο ολοκλήρωμα θεωρείται ως σταθερά άρα είναι f(t) = f ' (t) = ( t t t t g( ) d, οπότε g( ) d ) ' = (t) ' t g( ) d + t ( t g( ) d ) ' = t g( ) d +t g(t) dt 5. Προσοχή u [ ( f ( t) dt) du]' = [ (φ( u ) du]' = φ() = f ( t) dt a b a b (Θέτω φ(u)= u b f ( t) dt ) Ανδρεσάκης Δημήτρης

232 Θεώρημα ( Θ.Θ.Ο.Λ Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού ) Αν f() είναι ορισμένη και συνεχής στο Δ και α, b Δ τότε αν F είναι μια παράγουσα της f στο [α,β] τότε b f() d = F(b)-F(a)=[F()] b a a Με βάση το παραπάνω Θεώρημα μπορούμε να βρίσκουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα κάνοντας χρήση των τεχνικών που μάθαμε στην εύρεση του αορίστου ολοκληρώματος : α. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες b f()g ()d = [f()g()] a b - a b f '()g()d a β. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση b f(g()g ()d = a b f(u)du με u = g() και du = g ' ()d Μέθοδος a. Κάνω την αντικατάσταση g() = t, dt = g '()d. Mετα από αυτόν το μετασχηματισμό θα πρέπει να εμφανίζεται μόνο το γράμμα t, όχι το. Υπολογίζω τα νέα άκρα ολοκλήρωσης απο την σχέση t = g() για =α t =g(a) για =b t =g(b). Eίναι b f(g())g'()d= f(g())d(g())= a ( μέ F (t) = f(t)) b a t f(t)dt =[F(t)] t t t 4. Επαναφέρω την μεταβλητή Ανδρεσάκης Δημήτρης

233 Ασκήσεις A Ομάδας Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων α) f() = ημ tdt β) f() = t dt γ) f() = dt δ) f() = t dt ln t Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων 5 α) f() = ημ t dt β) f() = 8 t γ) f() = + t 4tdt δ) f() = dt t ε) f() = dt ε) f() = t + ln t Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων tdt α) g() = β a γ) g(β) = β a ε) g(α) = β a f(t)dt β) g(φ) = β a 6t dt δ) g(t) = β a 6t dκ f(t)dt 6t d Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων α) g() = γ) g() = ε) g() = ημ(t )dt β) g() = ημ(φ )dt δ) g() = t ημ( )dt ημ(φ )dρ ημ(u)dt στ) g() = u συν(t)dφ Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων α) g() = t + t t γ) g() = dt t e + dt β) g() = lnt dt ln( + t δ) g() = + t ε) g() = (συν t t) dt στ) g() = u συν(t)dφ ) dt Ανδρεσάκης Δημήτρης

234 Nα βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων των ασκήσεων 5.5. και Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων α) g() = t e dt β) g() = συνχ lnt dt γ) g() = (συν t t) dt δ) g() = ( + ) dt Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων χ t 6+ α) g() = dt β) g() = ln( + t t + + συνχ γ) g() = dt ημχ e t δ) g() = ημχ e t dt + e ) dt *** Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα α) ( + ) d β) e ln d γ) π ημd δ) d ε) 9 + (5 +) 4 d στ) π π + ημ d ζ) d η) εφ d + συν θ) π / π 6 ημ d ι) π π / συν d Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d, Δίνεται η συνάρτηση f() =. Nα υπολογίσετε (εφ'όσον, < ορίζονται ) τα ολοκληρώματα f ) d, f ( ) d, ( f ( ) d Ανδρεσάκης Δημήτρης

235 Έστω f : (,+ ) R με τύπο f() = ln(+ ) α) Να βρεθεί η f ' d β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα H γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(-,) και Β(,5). Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f '( ) d Αν f() = ( t t + ) dt να υπολογίσετε το f ' ' ( ) d Αν η f είναι συνεχής και για > είναι f ( t) dt = e Να υπολογίστε τα f ( t) dt και f() Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα (Ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης) α) 5 / d β) d γ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα (Παραγοντική ολοκλήρωση) d α) γ) ε) π π / 4 e d β) π / e ημd δ) ln d e συνd στ) π / συν()d e ημ d z) π / 4 συν Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα ( Με αλλαγή μεταβλητής) α) e d β) ln( + 9) d γ) d 5 π δ) d ε) e ημ( ) d στ) d e + 8 ζ) ( ) d Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα ( Τριγωνομετρικές) π / α) ημ d β) π ημ συν π / 4 ημ d γ) d συν π / 6 συν δ) d ε) ημ π ημ d + ημ 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

236 Ασκήσεις Β Ομάδας Nα βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων α) f()= ημ tdt ημ tdt β) f() = ημtdt tdt γ) f()= ημtdt ημtdt u tdt y ημ δ) f() = ( + t 5 8 δ) f() = ( ημ tdt) du ε) f() = u 5 t 5 dt) dy ududt Αν f() = ημ ( t ) dt Nα βρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f() = ( t t) dt Αν f() = ημ ( t dt να βρείτε ) α) το f ' (). β) το f() Αν f() = tdt τετμημένη =. να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο με Nα μελετηθεί η συνάρτηση f() = ακρότατα. t dt t e ως προς την μονοτονία και τα Nα μελετηθεί η συνάρτηση f() = (ln t t + ) dt ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα στο (, + ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στοr να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g() = + λ e f ( t) dt είναι γνησίως αύξουσα. dt 4 t + α) Να βρείτε την f ' β) Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή γ) Να βρείτε τον τύπο της f Δίνεται η συνάρτηση f() = +, > dt 4 t + 5 Ανδρεσάκης Δημήτρης

237 5.5.. Να μελετήσετε ως προς την κοιλότητα και τα σημεία καμπής την ln t συνάρτηση f() = dt, > t Έστω f συνεχής και θετική συνάρτηση στο R και η συνάρτηση g με g() = ( t) f ( t) dt α) Να βρείτε την g' β) Να αποδείξετε ότι η g είναι κυρτή στο R. / ln t dt Να βρεθεί το όριο t ημt Να βρεθεί το όριο dt t Να βρεθεί το όριο ημ(t) e t dt Έστω f :R -> R με f '() = και f() =. f ( t) dt Να αποδείξετε ότι = ημ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και άρτια στο [-,] να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = + f (ημπt) dt είναι σταθερή στο R Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f() = π / f ( t)συνd dt να αποδείξετε ότι είναι σταθερή Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(t)dt = f() -e Nα βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει + f(t)dt e t = ( +) e Nα βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f ορισμένη στο [,π/] για την οποία χ ισχύει f ( t) dt = συν. Ποια είναι η τιμή του α; a Nα βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει + f(t)dt = ( ++)e 6 Ανδρεσάκης Δημήτρης

238 Nα βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει e συν+ e t f(t) dt = +e f() α) Να υπολογίσετε το Ι(α) = ( + ) e d β) Να βρεθεί το I( a) a α) Να υπολογίσετε το Ι(α) = ( ln( )) d a + β) Να βρεθεί το I( a) + a t Δίνεται η συνάρτηση f() = ln udu dt, > e α) Να υπολογίσετε τις f ', f'' β) Να βρεθεί το σημείο καμπής της f. *** Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων α) g( ) = f ( t) dt β) g( ) = f ( t) dt γ) = + g ( ) f ( t) dt δ) g ( ) = f ( t) dt συναρτήσει των f, f ' Αν η συναρτήσεις f, g έχουν συνεχή δεύτερη παράγωγο και f(α)=f(β)=g(α)=g(β) = να αποδείξετε ότι β a g()f ''()d = β a a f()g''()d Έστω η συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο [, π ] και ισχύει η σχέση π / [ f '() ημ +f()συν] =.Nα βρεθεί το f( π ) Έστω η συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [,π] και ισχύει η σχέση π [f()+f ''()] ημd = 5με f(π)=. Nα βρεθεί το f() Έστω η συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο [,π] και ισχύει η σχέση π [ f '() e - f() e ] =.Nα βρεθεί το f(π ), αν f() = Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [,] και ισχύει η σχέση f ' ()d = 4 - f()d να βρεθεί το f(). 7 Ανδρεσάκης Δημήτρης

239 Αν μια συνάρτηση f είναι περιττή να αποδείξετε ότι f ( ) d =, α> Αν η συνάρτηση f είναι άρτια και συνεχής στο [-α,α] να αποδείξετε ότι α f ( ) d = a α f ( ) d, a > Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-α,α] να αποδείξετε ότι a f ( ) d = a f ( ) d a a Να αποδείξετε ότι k ( -) λ d = λ ( -) k d, k, λ N* Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [, π ] να αποδείξετε ότι π / f(ημ)d = π / f(συν)d Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [,π] να αποδείξετε ότι π π f(ημ)d = f(ημ)d π Nα βρείτε την συνάρτηση f : (- π, π ) R με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύουν f() = 4, f '()= και + f '' ( t)συνtdt = συν + f '( t)ημtdt Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α,β] και με f περιττή c R να αποδείξετε ότι β f ( ) d = a c β c a f ( ) d Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α,β] να αποδείξετε ότι β f ( ) d = ( β a ) f ((β α) + α) d a Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και ισχύει ότι f ( α+β ) = f() να β α + β β αποδείξετε ότι f ( ) = f ( ) d a α π / ν Να αποδείξετε ότι ημ d = π / συν ν d Αν Ι v = e d ν = e ln d να αποδείξετε ότι α) Ι ν = e vi v v β) Κ ν +νκ ν = e v 8 Ανδρεσάκης Δημήτρης

240 Αν Ι ν = v + e v e d, ν Ν* να αποδείξετε ότι Ι ν = + v( v + ) Iv Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f ( t) dt 5 + 6, να βρείτε το f() Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και f ( t) dt = να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε ξ f ( t) dt =e ξ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ > τέτοιο ώστε f ( t) dt = ξf ( ξ ) ξ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f() 4 για κάθε R να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( t) dt =- έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα στο [5,] Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και f() < για κάθε [,] να αποδείξετε ότι η εξίσωση - f ( t) dt = έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα στo (,) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ξ τέτοιο ώστε ( ) + ( ) = + β a e Να λυθεί η ανίσωση dt ln. t f t dt ξ β t f Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και f ( ) d = να t dt a ξ π αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f(ξ) = ημ(πξ). 9 Ανδρεσάκης Δημήτρης

241 Θεώρημα Μέσης Τιιμής Ολοκληρωτιικού Λογιισμού Θεώρημα Αν f() είναι συνεχής στο [a,b] και μ, Μ είναι αντίστοιχα η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f στο [a, b] τότε μ(β-α) b a f() d Μ(β-α) Θεώρημα Αν f() είναι συνεχής στο [a,b] τότε υπάρχει ξ [a,b] τέτοιο ώστε b a f() d = f(ξ)(b-a) 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

242 Εμβαδόν επίίπεδου χωρίίου.. Εμβαδόνν που ορίίζζεεταιι από μιια συννάρτηση Έστω Ε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f, τον άξονα ' και τις ευθείες = α και = β. Τότε Α. Αν f() στο [α,β] είναι Ε = β f ( ) d a Ε =α =β y Β. Αν f()< στο [α,β]είναι Ε = - β f ( ) d a 4 =α Ε =β -4 Γ. Αν η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ α,β] τότε βρίσκουμε τα υποδιαστήματα στα οποία η f διατηρεί σταθερό πρόσημο λύνοντας την ανίσωση f()> στο [ α,β] + =α =β Έτσι, για παράδειγμα το εμβαδόν του παραπάνω σχήματος είναι Ε = f ( ) d f ( ) d + f ( ) d f ( ) d + a 4 β 4 f ( ) d 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

243 .. Εμβαδόνν που ορίίζζεεταιι από δυο συνναρτήσεειιςς Έστω Ε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση δυο συνεχών συναρτήσεων f,g, τον άξονα ' και τις ευθείες = α και = β. Τότε A. Αν f() g() για κάθε [α,β] τότε Ε = β a ( f ( ) g( )) d f() g() α β Β Αν η διαφορά f() g() δεν έχει σταθερό πρόσημο στο [α,β] τότε βρίσκουμε τα υποδιαστήματα στα οποία η f()>g() λύνοντας την ανίσωση f() >g() στο [ α,β] είναι δηλαδή Ε = β a f ( ) g( ) d γ α β g() Έτσι, για παράδειγμα το εμβαδόν του παραπάνω σχήματος είναι E = γ ( g( ) f ( )) + ( f ( ) g( )) a β γ 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

244 .. Ειιδιικέέςς πεεριιπτώσεειιςς Α Αν θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης και τον άξονα, και δεν μα δίνονται τα άκρα ολοκλήρωσης δηλαδή τα α, β τότε θα πρέπει να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα ' λύνοντας την εξίσωση f() = και βρίσκοντας το πρόσημο της f() στα διαστήματα μεταξύ των ριζών της f λύνοντας την ανίσωση f()> f() Για παράδειγμα στο παραπάνω σχήμα αν λύσουμε την f() = βρίσκουμε τις ρίζες =, =, =4 οπότε Ε = f ) d + 4 ( f ( ) d Β. Αν θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις δυο συνεχών συναρτήσεων και τον άξονα, και δεν μα δίνονται τα άκρα ολοκλήρωσης δηλαδή τα α, β τότε θα πρέπει να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g λύνοντας την εξίσωση f() =g() και βρίσκοντας την σχετική τους θέση στα διαστήματα μεταξύ των ριζών λύνοντας την ανίσωση f()>g() μ f() κ λ g() Για παράδειγμα στο παραπάνω σχήμα αν λύσουμε την f() = g() βρίσκουμε τις ρίζες =κ, =λ, =μ οπότε Ε = ( ( ) ( )) + ( ( ) λ k f g d μ λ g f ( )) d 4 Ανδρεσάκης Δημήτρης

245 Γ f() Ε Ε α β γ Δ Ε =Ε +Ε = β a γ f ( ) d + g( ) d, β ρίζα της f()=g() στο [ α,γ] β f() g() Ε Ε α β γ Ε = (Ε+Ε ) Ε = γ g ) d γ a ( f ( ) d β 44 Ανδρεσάκης Δημήτρης

246 Ασκήσεις Α Ομάδας Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = +,του άξονα ' και των ευθειών = και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = (+4) e,του άξονα ' και των ευθειών = - και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = -,του άξονα ' και των ευθειών = και = e Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() =,του άξονα ' και των ευθειών = - και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = -, του άξονα ' και των ευθειών = και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = συν, του άξονα ' και των ευθειών = 4 π και = π Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = - +, του άξονα ' και των ευθειών = και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = , του άξονα ' και των ευθειών = και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = -ημ, του άξονα ' και των ευθειών = - π και = π Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() =, του άξονα ' και των 9 ευθειών = και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = e, του άξονα ' και των 45 Ανδρεσάκης Δημήτρης

247 ευθειών = - και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = +, του άξονα ' και των ευθειών = - π και = π Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = +, g() = - + και των ευθειών = και = 4. *** Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() =, g() = -- και των ευθειών = και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() =, g() = και των ευθειών = - και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() =, g() = + και των ευθειών = - και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = 5, g() = 4 και των ευθειών α) = - και =. α) = - και = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = 4-, και τον άξονα ' Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() =, και τον άξονα ' Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = +, και τον άξονα '. *** Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = ln, τον άξονα ' και την = e. *** Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = ημ, g() = συν, [,π] 46 Ανδρεσάκης Δημήτρης

248 5.7.. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = +5, g() = Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = e +, g() = +e Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = - + και της ευθείας 4-y+= Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = -, g() = f() Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = e, g() = e και την = , < Δίνεται η συνάρτηση f() =, α)να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής β) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() και των ευθειών I) y =, = και =. IΙ) y =, = - και = Σε κάθε ένα από τα παρακάτω σχήματα η καμπύλη είναι παραβολή.να υπολογίσετε τα γραμμοσκιασμέννα εμβαδα Στο διπλανό σχήμα α) Να υπολογίσετε το (ΑΒ'Δ') β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου 47 Ανδρεσάκης Δημήτρης