Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ"

Transcript

1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη, δηλδή. Έτσι π.χ. έχουµε τη κολουθί =-4, v N *. Ο λέγετι γεικός όρος ή ος όρος της κολουθίς. Ατικθιστώτς το µε τις τιµές,,, πίρουµε τίστοιχ το πρώτο, το δεύτερο, το τρίτο όρο της κολουθίς. Στο πράδειγµά µς δηλδή είι: =-4=-, =6-4=, =9-4=5, κ.λ.π. Αδροµικές κολουθίες Υπάρχου κολουθίες γι τις οποίες είι δύσκολο βρεθεί ο γεικός τους όρος ή δε υπάρχει κθόλου. Τέτοιο πράδειγµ είι η κολουθί τω πρώτω φυσικώ ριθµώ,,, 5, 7,,,. Σε µερικές περιπτώσεις όµως είι δυτό βρεθεί ές «δροµικός τύπος» όπως λέµε, δηλδή ές τύπος ο οποίος συδέει κάποιους γεικούς όρους της κολουθίς. Έτσι, δοθεί ικός ριθµός πρώτω όρω της κολουθίς, ο «δροµικός» υτός τύπος µπορεί µς δώσει τους υπόλοιπους όρους της. Η ποιο πλή µορφή δροµικού τύπου είι υτή µε γεικό τύπο : + =f( ), =. Π.χ. + = +, =. Γι = πίρουµε: = + = 5, γι =: = + =, κ.λ.π. Πρδείγµτ στις κολουθίες. Ν γράψετε τους 4 πρώτους όρους τω κολουθιώ + v i) =, ii) = (-) v. ΛΥΣΗ i) = =, = =, = =, 4 = = = =, = = 4, = = 9, = 4 = 6. ii) ( ) ( ) ( ) ( ). Ν γράψετε τους 4 πρώτους όρους τω κολουθιώ i ) = +, =, ii) = -, =. ΛΥΣΗ + + i) =, = + = 4, = 4+ = 0, 4 = 0+ =. ii ) =, = =, = = 4, = 4 = ίετι η δροµική κολουθί + = +4, =-. Ν βρεθεί ο γεικός όρος της κολουθίς. ΛΥΣΗ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

2 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 7 = +4 = +4 4 = +4 (προσθέτωκτάµέλη) = -+4 / + / + / +... = / +.../ ( ) 4 - =4-6. = ίετι η κολουθί =. Ν ορισθεί δροµικά. ΛΥΣΗ Γι = έχουµε: =. Θέτω όπου το + κι πίρω: + += = + = +. = Άρ είι:. + = + 5. Ν οριστού δροµικά οι κολουθίες: ) =-8, β) = +4, γ) = Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις κολουθίς είι S = +. Ν βρεθεί ο γεικός όρος της κολουθίς κι οριστεί δροµικά. 7. Ν βρεθεί ο γεικός όρος τω πρκάτω δροµικώ κολουθιώ: ) = κι + = -5. β) = κι + =. **************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

3 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 8 Αριθµητική - γεωµετρική πρόοδος Αριθµητική πρόοδος. Ορισµός Αριθµητική πρόοδος λέγετι µί κολουθί, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο µε πρόσθεση του ίδιου πάτ ριθµού. ηλδή: + = +ω ή + - =ω. (ω = διφορά της ριθµητικής προόδου) β. Πρότση. Ο ος όρος µις ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο κι διφορά ω είι = +(-)ω. Απόδειξη Είι: = = +ω = +ω... - = - +ω = - +ω (προσθέτω κτά µέλη) = + +ω+ +ω ω+ - +ω = +(-)ω. γ. Πρότση. Τρεις ριθµοί,β,γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι µόο : + γ β=. Απόδειξη Α ω η διφορά της ριθµητικής προόδου κι, β, γ οι διδοχικοί όροι τότε είι:ω=β- κι ω=γ-β β γ+ + γ Άρ β-=γ-β β+β=γ+ = β=. δ. Πρότση. Το άθροισµ τω πρώτω όρω ριθµητικής προόδου µε διφορά ω είι: S = ( + )= [ +(-)ω] Απόδειξη Το άθροισµ S = γράφετι: S = +( +ω)+( +ω)+ +( +ω)+( +ω)+ Προσθέτω κτά µέλη κι πίρω: S =( + )+( + )+ +( + )+( + ) S =( + ) S = ( + ) () Α θέσω = +(-)ω η σχέση () γίετι: S = [ +(-)ω] ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

4 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 9 Γεωµετρική πρόοδος. Ορισµός Γεωµετρική πρόοδος λέγετι µι κολουθί, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο µε πολλπλσισµό επί το ίδιο πάτ µη µηδεικό ριθµό. ηλδή: + =.λ ή + = λ (λ ο λόγος της Γ.Π. κι λ 0) β. Πρότση. Ο ος όρος µις γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο κι λόγο λ είι =.λ -. Απόδειξη Έχω διδοχικά: = =.λ =.λ... - = -.λ = -.λ (πολλπλσιάζω κτά µέλη) - = λ λ - λ - λ = λ λ... λ = λ - γ. Πρότση. Τρεις µη µηδεικοί ριθµοί,β,γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, κι µόο ισχύει β =.γ. Απόδειξη Έστω,β,γ διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι λ ο λόγος. Είι: β =λ κι β γ =λ. Άρ β =β γ β =γ Ατίστροφ β =.γ β.β=.γ β =β γ =λ Άρ,β,γ διδοχικοί όροι γεωµετρικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Σηµείωση: Ο β= γ, λέγετι γεωµετρικός µέσος τω ριθµώ κι γ. δ. Πρότση. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου ( ) µε λόγο λ είι: λ S = λ Απόδειξη S = S = + λ+ λ + + λ - + λ - () Πολλπλσιάζω τη () µε λ κι έχω: λs = λ+ λ + λ + + λ - + λ () Αφιρώ τη () πό τη () κτά µέλη: λs -S = λ+ λ + λ + + λ - + λ - + λ+ λ + + λ - + λ - λs -S = λ - S (λ-)= (λ (λ ) -) S = λ λ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 40 ε. Πρότση 4. (χωρίς πόδειξη) Άθροισµ πείρω όρω γεωµετρικής προόδου µε λ < Το άθροισµ τω πείρω όρω µις γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο κι λόγο λ, µε λ <, είι: S= Πράδειγµ -λ Ν υπολογιστεί το άθροισµ: S= Λύση + x (+ x ) + x (+ x Οι ριθµοί,,,... είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου µε λ <, γιτί: λ = + x = <, άρ υπάρχει το άθροισµ τω άπειρω όρω της κι είι: S= + x -λ + x = = + x - x + x + x S= + x S= x ) Πρτηρήσεις γι τις σκήσεις Ότ στ προβλήµτ ζητούµεο είι βρεθεί η πρόοδος, εοείτι ότι πρέπει βρεθού τ κι ω. Τότε εκµετλλευόµστε δύο σχέσεις κι οδηγούµστε σε σύστηµ δύο εξισώσεω µε γώστους τ κι ω. ο Πράδειγµ Ο 4 ος όρος ριθµητικής προόδου είι 5 κι ο 5 ος είι 59. Ν βρεθεί η πρόοδος. Λύση ο Πράδειγµ Σε µι γεωµετρική πρόοδο ο ος όρος είι 0 κι ο 7 ος είι 0. Ν βρεθεί η πρόοδος. Λύση Σε µι ριθµητική πρόοδο γωρίζω το άθροισµ µερικώ όρω της περιττού κι µικρού πλήθους, τότε βάζω x το µεσίο κι ω τη διφορά κι έχω: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

6 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 4 Γι τρεις όρους: x-ω, x, x+ω Γι πέτε όρους: x-ω, x-ω, x, x+ω, x+ω Σε µι ριθµητική πρόοδο γωρίζω το άθροισµ µερικώ όρω άρτιου κι µικρού πλήθους, τότε βάζω x-ω κι x+ω τους δύο µεσίους, κι ω τη διφορά τους κι έχω: Γι τέσσερις όρους: x-ω, x-ω, x, x+ω, x+ω ο Πράδειγµ Βρείτε τρεις ριθµούς διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου το άθροισµά τους είι κι το γιόµεό τους είι 5. Λύση ο Πράδειγµ Βρείτε τέσσερις ριθµούς που ποτελού ριθµητική πρόοδο το γιόµεο τω άκρω τους είι 45 κι το γιόµεο τω µέσω είι 77. Λύση Σε γεωµετρική πρόοδο γωρίζω το γιόµεο µικρού κι περιττού πλήθος όρω, τότε, πριστάω µε x το µεσίο όρο κι λ το λόγο κι έχω: Γι τρεις όρους: λ x, x, x.λ x x Γι πέτε όρους:,, x, x.λ, x.λ λ λ Σε γεωµετρική πρόοδο γωρίζω το γιόµεο µικρού κι άρτιου πλήθους όρω, τότε, πριστάω µε λ x, x.λ τους δύο µεσίους κι µε λ το λόγο κι έχω: x x Γι τέσσερις όρους:,, x.λ, x.λ λ λ ο Πράδειγµ Οι διστάσεις ορθογωίου πρλληλεπιπέδου ποτελού γεωµετρική πρόοδο. Α το άθροισµ τριώ κµώ µε κοιή κορυφή είι 6 κι ο όγκος του είι 6, βρεθού οι διστάσεις του. Λύση ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

7 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 4 ο Πράδειγµ Βρείτε τέσσερις ριθµούς διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου το γιόµεό τους είι 79 κι ο τέτρτος ισούτι µε το γιόµεο τω δύο µεσίω. Λύση - Γι δείξω ότι τρεις ριθµοί,β,γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ρκεί δείξω ότι ισχύει: β=+γ, εώ γεωµετρικής προόδου ρκεί δείξω ότι ισχύει: β =+γ. ο Πράδειγµ Α οι ριθµοί,, είι διδοχικοί όροι ριθµητική προόδου δείξτε ότι + β β+ γ γ+ κι οι β,, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Λύση ο Πράδειγµ Α οι ριθµοί,β,γ ποτελού γεωµετρική πρόοδο δειχθεί ότι: Λύση (+ β) (β+ γ) = γ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

8 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 4 Ασκήσεις Αριθµητική πρόοδος. Βρείτε το ιοστό όρο τω ριθµητικώ προόδω: 5. 0,,6,9,. β.,-,-6,.. γ.,,,. δ. -,-7,-,. Ν βρεθεί ο 5 ος όρος της ριθµητικής προόδου,7,, κι ο ος της,,,.... Ποιος όρος της ριθµητικής προόδου 9, 5,, -,. Ισούτι µε 67; Υπάρχει όρος της που ισούτι µε 000; 4. Στη ριθµητική πρόοδο,, 7,,,,.., βρείτε το ώστε = κι υπολογίσετε το άθροισµ S -. Επίσης υπολογιστεί το άθροισµ Ο ος όρος ριθµητικής προόδου είι 8 κι ο 7 ος είι 50. Ν βρεθεί η πρόοδος. 6. Ν βρεθεί ο µις ριθµητικής προόδου είι 9 =5 κι S = Σε ριθµητική πρόοδο ( ) είι 0 =5 κι 5 =45. Ν βρείτε τη πρόοδο κι το ιοστό της όρο. Επίσης υπολογίσετε το άθροισµ τω 00 πρώτω όρω της κι το άθροισµ πό το 0 µέχρι κι το Η διφορά ριθµητικής προόδου είι η µικρότερη ρίζ της εξίσωσης x -x+=0, εώ η µεγλύτερη ρίζ της εξίσωσης είι ίση µε το τρίτο όρο της. Ν βρείτε της πρόοδο κι το άθροισµ τω 00 πρώτω όρω της. 9. ) Ποιος όρος της ριθµητικής προόδου, 5, 9,. ισούτι µε 85; β) Πόσοι όροι υτής της προόδου έχου άθροισµ 9900; 0. Πόσοι όροι της ριθµητικής προόδου, 9, 5,.έχου άθροισµ 98;. Ν βρείτε τη ριθµητική πρόοδο γι τη οποί ισχύει: 8 =40 κι S 4 =55.. ίετι η ριθµητική πρόοδος (+β), +β, (-β),.. ) Ν γράψετε το πρώτο όρο της. β) Ν βρείτε το ιοστό όρο κι το άθροισµ τω 0 πρώτω όρω της.. Ν βρεθεί ριθµητική πρόοδος γωρίζω ότι το άθροισµ του ου κι 8 ου όρου είι 8, κι το άθροισµ του 5 ου κι 9 ου όρου είι Σε ριθµητική πρόοδο δίοτι ω=5, =4 κι S =567. Ν βρεθού ο κι το πλήθος τω όρω. 5. Τρεις ριθµοί είι άλογοι µε τους ριθµούς, 5, 8. Α υξηθεί ο δεύτερος κτά, τότε γίοτι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Ν βρείτε τους τρεις υτούς ριθµούς. 5 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

9 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ Α τ µήκη τω πλευρώ εός ορθογωίου τριγώου είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ποδείξετε ότι είι άλογοι µε τους ριθµούς, 4, Ν υπολογιστεί το άθροισµ: S= Ν ποδείξετε ότι: = (+ ). 9. Ν βρεθού τ κι ω µις ριθµητικής προόδου το άθροισµ τω πρώτω όρω ισούτι µε (+). 0. Σε ριθµητική πρόοδο ο ος κι ο 8 ος όρος διφέρου κτά 4, εώ το άθροισµ του 4 ου κι ου όρου είι 70. Ν βρεθεί η πρόοδος:. είι ύξουσ. β. είι φθίουσ. Ν βρεθεί η σχέση που συδέει τους, β, γ ώστε οι ριθµοί +x, β+x, γ+x ποτελού ριθµητική πρόοδο.. Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθµοί x, x 4, 4 είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου.. Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθµοί 5x-, x +7, 4x+5 είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. 4. Α οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ποδείξετε ότι το ίδιο συµβίει κι µε τους ριθµούς +β+β, +γ+γ, β +βγ+γ. 5. Α οι θετικοί ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ποδείξετε ότι το ίδιο συµβίει κι µε τους ριθµούς,,. β+ γ γ + + β 6. Α οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ποδείξετε ότι το ίδιο συµβίει κι µε τους ριθµούς x= -βγ, ψ=β -γ, z=γ -β. 7. Τρεις ριθµοί που σχηµτίζου ριθµητική πρόοδο έχου γιόµεο 000. Α ο µικρότερος είι 0, βρεθού οι άλλοι. 8. Ν βρείτε διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου µε άθροισµ 6 κι γιόµεο Ν βρείτε 4 διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου µε άθροισµ 0 κι γιόµεο Ν βρείτε 5 διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου µε άθροισµ 5 κι άθροισµ τετργώω 45.. Ν βρείτε 5 διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου µε άθροισµ 0 κι το άθροισµ τω τίστροφω τους είι 7/0.. Α οι ριθµοί, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου δειχθεί ότι: -β +γ -δ =0.. Το άθροισµ του 5 ου κι 8 ου όρου µις ριθµητικής προόδου είι, το δε άθροισµ τω κύβω τους είι 457. Ν βρεθεί η πρόοδος. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

10 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ Σε µι ριθµητική πρόοδο ο ος κι ο 5 ος όρος έχου άθροισµ 4, το δε άθροισµ τω κύβω τους είι 064. Ν βρείτε τη πρόοδο κι το άθροισµ τω όρω της που βρίσκοτι άµεσ στο 7 ο κι το ο όρο της. 5. Αάµεσ στους ριθµούς 4 κι 5 πρεµβάλετε άλλους ριθµούς έτσι, ώστε όλοι µζί ποτελού διδοχικούς όρους µίς ριθµητικής προόδου. 6. Πόσους ριθµητικούς εδιάµεσους µπορούµε πρεµβάλουµε άµεσ στους ριθµούς κι 5, ώστε ο τέτρτος εδιάµεσος προς το τελευτίο έχει λόγο /; 7. Ν ποδείξετε ότι είι ριθµητική πρόοδος η κολουθί ( ) µε γεικό όρο: ) =+5 β) =4-, v 5 γ) = κι βρείτε τ κι ω σε κάθε περίπτωση. 8. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µίς κολουθίς είι S v =. Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είι ριθµητική πρόοδος κι βρείτε τ κι ω. 9. Όµοι : ) S v = 5 - v, β) Sv = Σε µι κολουθί ( ) το άθροισµ τω πρώτω όρω της είι S = +β (,β R). Ν δείξετε ότι η κολουθί υτή είι ριθµητική πρόοδος µε πρώτο όρο +β κι διφορά ω=. 4. Α η κολουθί ( ) είι ριθµητική πρόοδος, ποδείξετε ότι γι κάθε ισχύει: + = + + κι τιστρόφως. 4. Α S, S, S είι τ θροίσµτ τω,, πρώτω όρω τίστοιχ µίς ριθµητικής προόδου, δειχθεί ότι: S =(S -S ). 4. Ν βρεθεί η κέρι τιµή του x που είι λύση της εξίσωσης x= Ν λυθεί η εξίσωση: x ++x +7+x ++ +x +5=4. Γεωµετρική πρόοδος 45. Ν βρείτε τη γεωµετρική πρόοδο, :. 4 - =4, + =6 β. 4 = 4κι. 8 = Α σε µι γεωµετρική πρόοδο είι 4 =, 6 =7 κι =9477 βρείτε το. β. Ν βρεθεί το πλήθος τω όρω µις γεωµετρικής προόδου ( ), έχουµε: =4, =97 κι S = Ν βρείτε τη γεωµετρική πρόοδο που έχει τρίτο όρο κι όγδοο όρο Α η ( ) είι γεωµετρική πρόοδος µε =6 κι 5 =048, βρείτε το 7. 6 * Ν 49. Ν βρεθεί ο ώστε οι ριθµοί 6 ηµ, συ, εφ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

11 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθµοί, x, 6-x είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. 5. Ν εξετστεί υπάρχει x, ώστε οι ριθµοί +x, +x, +x είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθµοί x, x, x+ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής 8 προόδου. 5. Σε µι γεωµετρική πρόοδο ( ) είι =x-, =x+6 κι ο ριθµητικός µέσος τω 5 κι έχει µε το λόγο. Ν βρεθεί ο x. 54. A οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξετε ότι: ) (+β+γ)(-β+γ)= +β +γ + β. β) =. β+ γ γ 55. A οι ριθµοί, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξετε ότι: (+δ)(β+γ)-(+γ)(β+δ)=(β-γ). 56. A οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξετε ότι: (β+βγ+γ) -βγ(+β+γ) = Βρείτε τρεις διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισµ 4 κι γιόµεο Βρείτε τρεις διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισµ 4 κι άθροισµ τίστροφω Βρείτε τρεις διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισµ κι άθροισµ τετργώω. 60. Βρείτε τέσσερις διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου., οι οποίοι έχου γιόµεο 6 κι άθροισµ µεσίω όρω Ν χωρίσετε το ριθµό 4 σε τρί µέρη που είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι το ο µέρος υπερβίει το ο κτά Αάµεσ στις ρίζες της εξίσωσης 6x -65x+4=0 πρεµβληθού 5 γεωµετρικοί εδιάµεσοι. 6. Μετξύ τω ριθµώ 9 κι 87 πρεµβληθού 4 ριθµοί ώστε κι οι 6 µζί είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. 64. Ν λυθεί η εξίσωση x = Σε κάθε γεωµετρική πρόοδο µ κι κ είι οι όροι µ κι κ τάξης τίστοιχ, δείξτε ότι ισχύει µ =λ µ-κ. κ, κ,µ ΙΝ. 66. Σε µι γεωµετρική πρόοδο έχουµε + 4 = +. Ν βρεθεί ο λόγος της. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

12 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ ίετι η κολουθί µε γεικό όρο =... Βρείτε το όρο +. β. είξτε ότι υτή είι γεωµετρική πρόοδος κι βρείτε το λόγο λ κι το. γ. Ποιος όρος της είι ίσος µε 07; 68. Ο ιοστός όρος µίς κολουθίς είι a v =. Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή v 5 είι γεωµετρική πρόοδος κι βρείτε το άθροισµ τω 8 πρώτω όρω της. 69.Το άθροισµ τω πρώτω όρω µίς κολουθίς είι S v = -.. Ν βρείτε το όρο S - β. Ν βρείτε το γ. Ν βρείτε το + δ. Ν δείξτε ότι είι γεωµετρική πρόοδος κι βρείτε τ λ κι. v ίετι η κολουθί µε S =( -). Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είι γεωµετρική πρόοδος κι βρείτε το πρώτο όρο κι το λόγο λ. 70. Ν υπολογίσετε το άθροισµ τω πρώτω όρω της κολουθίς µε γεικό όρο: v v + =. v 6 v Ν υπολογιστεί η τιµή της πράστσης: Κ= v 7. Ν βρείτε το γιόµεο τω 0 πρώτω όρω της γεωµετρικής προόδου µε πέµπτο όρο το κι δέκτο όρο το. 7. Ν ποδείξετε ότι:... =. Μεικτές σκήσεις vριζικά 74. Α,β,γ ποτελού διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου, τότε δείξτε ότι οι,, ποτελού διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου. β γ + β 75. Α οι ριθµοί, 5, β είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι οι,, β είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου βρεθού οι ριθµοί κι β. 76. Ν βρεθού τρεις ριθµοί, β, γ γωρίζουµε ότι οι, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, οι, γ, β είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι το άθροισµά τους είι Τρεις θετικοί ριθµοί είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι έχου άθροισµ 5.Α ο πρώτος κι ο δεύτερος υξηθού κτά κι ο τρίτος κτά 4 οι ριθµοί που προκύπτου είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Ν βρεθού οι ριθµοί υτοί. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

13 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ Ν βρείτε τρεις κέριους ριθµούς γι τους οποίους τ εξής:. Είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. β. Α υξηθεί ο δεύτερος κτά 8, η πρόοδος γίετι ριθµητική. γ. Α υξηθεί ο τρίτος κτά 64 γίετι πάλι γεωµετρική. 79. Βρείτε τρεις ριθµούς γι τους οποίους ισχύου τ εξής:. Είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. β. Έχου άθροισµ 5. γ. Α σ υτούς προσθέσουµε τους ριθµούς,4,9 τίστοιχ θ γίου διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. 80. Θεωρούµε µι ριθµητική κι µι γεωµετρική πρόοδο µε κοιούς τους δύο πρώτους όρους. Στη ριθµητική ο 4 ος υπερβίει το ο κτά 6, εώ στη γεωµετρική ο ος υπερβίει το ο κτά 5. Ν βρείτε τις δύο προόδους. 8. Βρείτε τρεις κέριους ριθµούς γι τους οποίους ισχύου τ εξής:. Είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. β. Ελττώοτς το τρίτο κτά 4 γίοτι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. γ. Ελττώοτς το δεύτερο κι το τρίτο της ριθµητικής προόδου κτά σχηµτίζετι πάλι γεωµετρική πρόοδος. ******************** Ερωτήσεις τύπου «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ». Μι κολουθί είι ριθµητική πρόοδος κι µόο ισχύει = + -ω. Ο ιοστός όρος µις ριθµητικής προόδου είι = +(-)ω.. Α, β, γ διδοχικοί όροι µις ριθµητικής προόδου τότε β-=γ-β. 4. Α β, γ, δ διδοχικοί όροι µις ριθµητικής προόδου τότε +δ=β+γ 5. Η κολουθί = είι ριθµητική πρόοδος. 6. Σε κάθε ριθµητική πρόοδο ισχύει + = +ω. 7. Α οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι µις ριθµητικής προόδου τότε οι ριθµοί γ, β, είι επίσης διδοχικοί όροι µις ριθµητικής προόδου 8. Οι ριθµοί, +4, - είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου =9/. 9. Α άµεσ στους ριθµούς 9 κι 4 πρεµβάλλουµε 9 ριθµητικούς εδιάµεσους, τότε ω=,5. 0. Α ριθµητική πρόοδος µε =8 κι ω=, τότε, ο πρώτος όρος που ξεπερά το 9 είι ο 7.. Σε κάθε ριθµητική πρόοδο ισχύει = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

14 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 49. Α οι ριθµοί, x, ψ, z, 4 ποτελού ριθµητική πρόοδο, τότε υτή η πρόοδος έχει διφορά ω=4.. Α οι ριθµοί, x, ψ, z, 4 ποτελού ριθµητική πρόοδο, τότε ψ=8. 4. Α οι ριθµοί, 4, γ, δ, ε, 6 ποτελού ριθµητική πρόοδο, τότε =. 5. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις ριθµητικής προόδου είι ω Σ =[ +(-) ]. 6. Οι ριθµοί κ, κλ,λµε κ, λ>0 ποτελού διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. 7. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου είι -λ Σ =, λ. λ- 8. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου είι λ - Σ, λ. = λ- 9. Α οι ριθµοί,, β, γ, 6 είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε β=8. 0. Α οι ριθµοί,, β, γ, 54 είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε =.. Α οι ριθµοί x, x+, x+4 είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε x=/.. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου είι S v =( -). Τότε ο είι ίσος µε.. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου είι S v =( -). Τότε ο είι ίσος µε. 4. Είι 5. Α = = τότε η είι γεωµετρική πρόοδος. +, + ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

15 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 50 Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ.Η ριθµητική πρόοδος µε τύπο =- είι: Α: γ. ύξουσ, Β: γ. φθίουσ, Γ: στθερή, : δε βγίει συµπέρσµ..γι οριστεί πλήρως µί ριθµητική πρόοδος είι πρίτητο δοθεί: Α: ο, Β: τ κι ω, Γ: το S v, : τ κι, Ε: µόο το..ο ριθµητικός µέσος τω ριθµώ κι 55 είι ο : Α: 6, Β: 7, Γ: 8, : 9, Ε: Η κολουθί µε γεικό όρο =5-8, είι: Α: Αριθµητική πρόοδος µε = κι ω=5. Β: Αριθµητική πρόοδος µε = - κι ω= -5. Γ: Αριθµητική πρόοδος µε = - κι ω=5. : ε είι ριθµητική πρόοδος. 5.Α σε ριθµητική πρόοδο είι = κι ω=-5, η τάξη του όρου είι: Α: 48, Β: 48, Γ: 50, : 5, Ε: ε είι όρος της προόδου. 6. Α οι ριθµοί,, β γ Α: είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου τότε ισχύει: ( ) +γ γ +γ β =, Β:β=, Γ: =, : = +. β +γ β γ γ 7.Α οι ριθµοί x-, x+, x+ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου τότε o x ισούτι µε: Α: 0, Β: -, Γ: 4, :, Ε: 8. Οι ριθµοί x, x 4, 4 είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου : Α: x=4 ή x= -, B: x=4 ή x=, Γ: x= -4 ή x=4, : x= - ή x=. 9.Σε ριθµητική πρόοδο είι = -+. Τότε το S v είι: Α: S v =v(-v), B: S v = (-), Γ: S v =v -v, : S v = v+. 0. Σε ριθµητική πρόοδο είι =0. Τότε το άθροισµ S= είι ίσο µε: Α: 00, Β: 00, Γ: 00, : 400, Ε: άλλο.. Ποι πό τις πρκάτω κολουθίες είι γεωµετρική πρόοδος: 4 Α: =5, Β: = +, Γ:5, :. 4- ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

16 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 5. Μι γεωµετρική πρόοδος είι γησίως ύξουσ ότ: Α: λ>, Β: λ>0, Γ: λ<, : λ<0, Ε: λ <.. Α είι γεωµετρική πρόοδος τότε είι: Α: =λ +, Β: + =λ, Γ: + = +λ., : - =+λ. 4. Α =, =0,4, =0,6 τότε γι υτή τη γεωµετρική πρόοδο είι: Α: - - =, Β: =, Γ: =, : = Α είι γεωµετρική πρόοδος µε 5 =/ κι λ=, τότε: Α: =, Β: =/, Γ: =/, : =4/, Ε: άλλο. 6. Α, β θετικοί ριθµοί κι σε µί γεωµετρική πρόοδο είι 4 = κι 6 =β, τότε: Α: β β β λ=, Β:λ=, Γ:λ=, :λ=, Ε:. β β 7. Σε µί γεωµετρική πρόοδο είι =6 κι Α: =. + Ο ιοστός όρος της είι: +, Β :, Γ :, :, Ε :. 8. Στη γεωµετρική πρόοδο x, x+, x+, ο τέτρτος όρος της είι: Α: -7, Β:, Γ:,5, : -,5, Ε: 7 9. Α οι ριθµοί, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, τότε δε ισχύει: Α: βγ=δ, Β: γ=β, Γ: γ =βδ, : βγ=δ, Ε: δ = β. γ 0. Σε γεωµετρική πρόοδο µε 0 όρους, το γιόµεο τω όρω της είι 0. Τότε το γιόµεο τω δύο µεσίω όρω της είι: Α:, Β:, Γ: 9, : 7, Ε: 8.. Στη γεωµετρική πρόοδο 6,,,...ο 5 ος όρος της ισούτι µε: Α:, Β: 6, Γ: 6, : 6 9, Ε: Σε µί γεωµετρική πρόοδο είι λ=, S v =, v>. Α ο πρώτος όρος της είι κέριος, τότε ο ισούτι µε: Α:, Β:, Γ: 4, : 5, Ε: 6. ************** ********* **** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

17 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 5 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

18 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5 - ΠΡΟΟ ΟΙ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R 64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, τοποθετημέους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ λέγετι πίκς διάστσης μ Οι ριθμοί ij λέγοτι στοιχεί του πίκ Α Ο πίκς Α μπορεί συμολιστεί ως Α[ [

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ; ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Τι οομάζετι πληθυσμός μις σττιστικής έρευς; Οομάζετι το σύολο τω τικειμέω (έμψυχω ή άψυχω γι τ οποί συλλέγοτι στοιχεί.. Τι οομάζετι άτομο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Η Έοι του Ορίου Ορισμός Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε:

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΝΑΜΕΙΣ Α είι ές πργτικός ριθός κι ές φυσικός εγλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:

Κεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες: Κεφάλιο ο Ερωτήσεις Κτόησης Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) είι σωστές ή με (Λ) είι λθσμέες: ) Γι κάθε ριθμό ισχύει + + + 4 β) Γι κάθε ριθμό ισχύει 4 γ) Οι ριθμοί (-) 6 κι - 6 είι τίθετοι δ)

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ. 1. Ορισµός. 2. Ιδιότητες από τον ορισµό. 3. Ιδιότητες. 4. εκαδικοί και Φυσικοί λογάριθµοι. 5. Ιδιότητες logθ = x

5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ. 1. Ορισµός. 2. Ιδιότητες από τον ορισµό. 3. Ιδιότητες. 4. εκαδικοί και Φυσικοί λογάριθµοι. 5. Ιδιότητες logθ = x . ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός θ λέγετι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει ν υψώσουµε τον γι ν βρούµε τον θ, δηλδή : θ θ Περιορισµοί : > 0 κι, θ > 0. Ιδιότητες πό τον ορισµό. Ιδιότητες θ θ 0 ( θθ ) θ + θ θ θ θ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου,

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου, ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ποιο είι το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β) οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) + + + + +(+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( + + + ) Ν + (+)( + +

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΘΕΜΑ Α, είι µιγδικοί ριθµοί, τότε κι κι επειδή η τελευτί σχέση ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύη ρχικική. Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ ΘΕΜΑ Όριο πολυωυµικής συάρτησης Α -... P πολυώυµο του κι R, δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρία της Α Λυκείου Η θεωρί της Α Λυκείου Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ΜΑΘΗΜΑ.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι του τοικού κρόττου Προσδιορισµός τω τοικώ κρόττω Θεώρηµ Frmat Θεωρί Σχόλι Μέθοδοι Ασκήσεις Frmat Αισώσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μι συάρτηση µε εδίο ορισµού Α, θ λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως:

, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως: ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Γωρίζουµε ότι η δευτεροάθµι εξίσωση µε ρητική δικρίουσ δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ Ειδικότερ η εξίσωση = δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ, φού

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω ακολουθιώ: α) α = + + β) α = 4 γ) α = δ) α = (-) + +. + 4 Να αποδείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας α =

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα