ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις"

Παιάν Αναγνώστου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i, το οποίο οοµάζουµε. Το σύολο I τω Φαταστικώ αριθµώ Πολλαπλασιάζοτας το i µε πραγµατικούς αριθµούς δηµιουργούµε έους αριθµούς Π. χ i, 3 i, 5i κ. λ. π Ταυτόχροα δεχόµαστε ότι 0i 0. Έτσι δηµιουργούµε έα έο σύολο αριθµώ, καθέας της µορφής β i, β R, που το συµβολίζουµε Ι και το οοµάζουµε σύολο τω Φαταστικώ αριθµώ. ηλαδή Ι { βi όπου β R }. 3. Το σύολο C τω Μιγαδικώ αριθµώ Προσθέτοτας πραγµατικούς αριθµούς α µε φαταστικούς β i δηµιουργούµε έους αριθµούς. Π. χ + 3i, 4i κ. λ. π Έτσι δηµιουργούµε έα έο σύολο αριθµώ καθέας της µορφής α + βi, α, β R, που το συµβολίζουµε C και το οοµάζουµε σύολο τω Μιγαδικώ αριθµώ. ηλαδή C { α+βi ό που α, β R }. 4. Τα σύµβολα Re(z) και Im(z) Έστω z α + βi κάποιος µιγαδικός αριθµός, δηλαδή z C. Ο αριθµός α λέγεται πραγµατικό µέρος του z και συµβολίζεται Re(z). Έχουµε, λοιπό, Re(z) α Ο αριθµός β λέγεται φαταστικό µέρος του z και συµβολίζεται Im(z). Έχουµε, λοιπό, Im(z) β Άρα και z Re( z) ( ) + Im z i.

2 5. R C και Ι C Κάθε πραγµατικός αριθµός α είαι και µιγαδικός αφού αα+ 0i. Κάθε φαταστικός αριθµός είαι και µιγαδικός αφού β i 0+β i. 6. Ισχύου οι ισοδυαµίες i) α + β i γ + δ i α γ και β δ ii) α + β i 0 α 0 και β 0 7. Εικόα και διαυσµατική ακτία µιγαδικού Έστω ο µιγαδικός zα+β i. Στο επίπεδο τω αξόω ο z παριστάεται µε δύο τρόπους : i) µε το σηµείο Μ(α, β), το οποίο λέγεται εικόα του z και συµβολίζεται Μ(z) ii) µε το διάυσµα ΟΜ (όπου Ο η αρχή τω αξόω) το οποίο λέγεται διαυσµατική ακτία του z. Ότα δουλεύουµε µε τις εικόες τω µιγαδικώ, χρησιµοποιούµε Ααλυτική Γεωµετρία (συτεταγµέες). Ότα δουλεύουµε µε τις διαυσµατικές ακτίες τω µιγαδικώ, χρησιµοποιούµε ιαυσµατική Γεωµετρία. Προτιµάµε τη Ααλυτική. 8. Πρόσθεση : (α + βi ) + ( γ + δi ) ( α + γ ) + ( β + δ )i 9. Αφαίρεση : (α + βi ) ( γ + δi ) ( α γ ) + ( β δ )i 0. Πολλαπλασιασµός : (α + βi ) ( γ + δi ) ( α γ β δ ) + ( α δ + β γ )i. ιαίρεση : α+βi γ+δi µε γ + δi 0 Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παραοµαστή µε το συζυγή γ δi του παραοµαστή.

3 3. ύαµη µιγαδικού : z z.z.....z φορές, όπου φυσικός αριθµός Η δύαµη 0 0 δε έχει όηµα 0 z, z 0 z όπου φυσικός αριθµός και z 0 z ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ. Ύπαρξη του i Συχά διατυπώεται µια κάποια αµφιβολία για τη ύπαρξη του αριθµού i, µε βάση το οποίο δηµιουργήσαµε τους µιγαδικούς αριθµούς. Η απάτηση είαι «όσο υπάρχει ο αριθµός, άλλο τόσο υπάρχει και ο αριθµός i». Επιόηση είαι και ο αριθµός και ο αριθµός i.. Ο αριθµός i σα ρίζα εξίσωσης Να παρατηρήσουµε ότι, ο αριθµός i είαι ρίζα της εξίσωσης επαληθεύει : i x + 0, αφού τη 3. Ισχύου οι ισοδυαµίες i) α + β i γ + δ i α γ ή β δ ii) α + β i 0 α 0 ή β 0 4. Οι µιγαδικοί σα διώυµα α + βx Στις πράξεις, οι µιγαδικοί αριθµοί λειτουργού όπως τα διώυµα α + βx. 5. Μόο ακέραιοι εκθέτες Στις δυάµεις τω µιγαδικώ αριθµώ ο εκθέτης έχει τη δυατότητα α είαι µόο ακέραιος. Οι γραφές α+β i, ( i) α+β, ( ) 3 α+β i είαι χωρίς όηµα και απαγορεύοται.

4 4 6. Οι ταυτότητες στους µιγαδικούς Στους µιγαδικούς ισχύου όλες οι γωστές ταυτότητες. ( ) α+β i α + αβ i+ ( β i) α + αβi β Προσέξτε τη παραγοτοποίηση : ( i) i ( i) α β α αβ + β Προσέξτε τη παραγοτοποίηση: ( α+β i) ( α β i) ( i) α β Προσέξτε τη παραγοτοποίηση: α + αβi β ( α+β i) α αβi β α αβi β ( α β i) α +β 3 ( i) 3 i 3 ( i) ( i) 3 3 α +β ( i) α+β ( α β i) α+β α + α β + α β + β ( i) 3 i 3 ( i) ( i) 3 3 α β α α β + α β β ε υπάρχει αισωτική σχέση µεταξύ µιγαδικώ αριθµώ Η γραφή z > z δε έχει όηµα και απαγορεύεται. 8. Ισχύει η ισοδυαµία : zz 0 z 0 ή z 0 9. Ισχύει η ισοδυαµία : zz 0 z 0 και z 0 0. Προσοχή στο λάθος : zz zz z z (Ισχύει µε τη προϋπόθεση z 0 ) Το σωστό είαι: zz zz z z zz 0 ( ) z z z 0 z 0 ή z z 0 z 0 ή z z

5 5. Προσοχή στο λάθος : z + z 0 z 0 και z 0 (Ισχύει µόο ότα z, z R ) Το σωστό είαι : z + z 0 z i z 0 z ( ) iz 0 ( )( ) z iz z + iz 0 z iz 0 ή z+ iz 0 z iz ή z iz. Ο ατίστροφος µιγαδικού z 0 Α z α +βi 0, τότε z α α +β + β α +β i ΑΣΚΗΣΕΙΣ i + 4i 0 Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) Προτειόµεη λύση α + βi i α + βi i(β αi) 4 + i i 4 + i i( 4i) (4 + i ) 00 i 00 ( 4i ) 00 () Αλλά i i 4 (( ) 50 i i ( ) () (4 + i ) 00 ( 4i i + 4i 0 ) ( ) ( )

6 6. Να βρείτε τους, Προτειόµεη λύση i + i α+β i. α β R, ότα ( ) ( ) Είαι ( + i ) + i i Άρα ( i) [( + i) ] (i ) i Είαι ( i ) i i Άρα ( i) 008 [( i) ] ( i ) i Η υπόθεση ( ) ( ) + i + i α+β i γίεται + α + βi α + βi 005 α + βi α 005 και β 0 3. Για κάθε N, α αποδείξετε ότι ( i) ( i) Προτειόµεη λύση ος τρόπος Είαι + i i + i i ( i ) Άρα ( ) 4 + i [i ( i ) ] i ( i) 4 ( ) 4 ( ) 4 i i ος τρόπος Ακολούθησε τη άσκηση 3 ος τρόπος Αρκεί α αποδείξουµε ότι Είαι Άρα + i (+ i)(+ i) i ( i)(+ i) + i i i i 4 (+ i) i + i + α + βi i α + βi i(β αi) i i

7 7 4. Να αποδείξετε ότι ( i) ( i) Υπόδειξη Ακολούθησε τη άσκηση , όπου N 5. Για τις διάφορες τιµές του Προτειόµεη λύση * N α βρείτε τη τιµή της παράστασης Π ( i) ( i) +. Είαι ( i ) i i και ( + i ) + i i Άρα Π ( i ) (i ) ( ) i i [( ) ] i Για 4ρ, Π [( 4 ) ρ Για 4ρ +, Π [( 4 ) ρ + Για 4ρ +, Π [( 4 ) ρ + Για 4ρ + 3, Π [( 4 3 ) ρ+ 6. Α, 4 ρ ] i 4ρ ρ + ] i 4 ρ + [ 4 ρ + 4 ρ + ] i ( 4 ρ + ) i 4 ρ + i 4 + ρ ] i 4ρ+ 0 ( ) ρ+ ] 4 3 i ρ+ [ 4 ρ+ 3 4 ρ+ 3 ] ( i) ( 4 ρ+ 3 ) ( i) 4 ρ+ 4 ( i) α β R, α αποδείξετε ότι ( ) ( ) Προτειόµεη λύση α+β i + β α i 0. Είαι α + βi i α + βi α + βi i(β αi) ( α+β i) i (β αi ) 00 ( α+β i) 00 (β αi ) 00 ( α+β i) 00 + (β αi ) ρ+ i

8 i 4 i Να αποδείξετε ότι i + 4i Προτειόµεη λύση Είαι 3 + i i 3 + i 3 + i i( 3i) 3+ i i 3i 0 3+ i 3i i 0 () Είαι 4 i 4 i i 4 i i ( + 4i) 4 i i + 4i () + () 0 4 i + 4i 3+ i 4 i + 0 3i + 4i ( i ) () i 4 i Να βρείτε όλες τις δυατές τιµές του αθροίσµατος +, ότα N. 3i + 4i Υπόδειξη Όπως στη άσκηση 7 και 4κ + υ, υ 0,,, 3

9 Να βρείτε τη τιµή της παράστασης Π ( + i ) ( i ) 33 4( + i) Προτειόµεη λύση. i i i i ( + i ) ( i ) 4 [ i ( + i ) ] 4 i ( + i ) 4 + i i + i i ( + i) ( + i ) 33 [i ( + i) ] 33 i ( + i ) 33 ( + i ) i ( + i ) Π 33 4i( + i) 49 4 Αλλά ( + i ) + i i ( + i ) 4 (i ) 4 ( + i ) 8 ( 4 ) 6 ( + i ) 6 () Π i.6 4i 49 4 ( + i ) + i ( + i ) 33 4i( + i) 56+ 3i 4i 64+ 8i i 6 8 ( + i ) + i ( + i ) 8 64i 4i () 0. Να βρείτε το Προτειόµεη λύση * N, για το οποίο ισχύει η ισότητα 3i 4+ 5i + 3+ i 5 4i i i 3i 3i i (3 + i) 3i i 3+ i 3i 3+ i ( i ) 4 + 5i 4 i + 5i 4 + 5i i (5 4i) 4+ 5i i 5 4i Η εξίσωση γίεται ( ) 4+ 5i 5 4i i ( ) () Ότα περιττός, η () ( ) Ότα άρτιος, η () i ( ) αδύατη ή 4

10 0. Να βρείτε το Προτειόµεη λύση * N, για το οποίο ισχύει ( ) ( ) ( ) Είαι 4 3i 4 i 3i i (3 + 4i) 4 + 3i 4 i + 3i i(3 + 4i) 3+ 4i + 4 3i i 0. Η δοσµέη εξίσωση γίεται ( 3+ 4i) + ( i ) ( 3+ 4i) + i ( ) ( 3+ 4i) [ + ( i ) + i ] 0 + ( i ) + i 0 () 3+ 4i 0 Ότα 4ρ, η () αδύατη Ότα 4ρ +, η () + ( i) + i 0 0 αδύατη Ότα 4ρ +, η () + ( i ) + i 0 Ότα 4ρ + 3, η () + ( i ) 3 + i αδύατη ( i) i 0 + i i 0 0 αδύατη Άρα, η δοσµέη εξίσωση είαι αδύατη. Α α+βi 0 α βρείτε το ( ) ( ) ( ) α+ β i + β+α i + β α i 0 Προτειόµεη λύση Είαι β + αi β i + αi i(α + βi) β αi βi αi i(α + βi) * N ώστε α ισχύει α+β i + β+α i + β α i 0 Η δοσµέη εξίσωση γίεται ( ) ( ) ( ) Ότα 4ρ, η () Ότα 4ρ +, η () Ότα 4ρ +, η () Ότα 4ρ + 3, η () (α + βi ) + i (α + βi ) + ( i ) (α + βi ) 0 + i + ( i ) 0 () 4 ρ αδύατη 4 ρ + i i 0 αδύατη 4 ρ+ + i + i 0 4 ρ+ 0 4 ρ+ 4ρ + ρ 0 άρα 4 ρ+ + 3 i + ( i ) ρ+ i + i 0 αδύατη

11 3. Η παράσταση Π µορφή κ + λi.. Προτειόµεη λύση α βi β αi * * +, όπου α,β R και N, α γραφεί στη β+αi α+βi Είαι α βi α i βi i(β + αi) Άρα Π β αi βi αi i(α + βi) i( β+αi) β+αi + i( α+βi) α+βi ( i ) + ( i ) ( i ) () Ότα 4ρ, η () Π + 0i Ότα 4ρ +, η () Π ( i) 0 i Ότα 4ρ +, η () Π ( ) + 0i Ότα 4ρ + 3, η () Π (i) 0 + i 4. ίεται ( ) ( ) f z 5 z + 4z όπου z C. Να βρεθού όλες οι δυατές τιµές του N για τις οποίες ισχύει f( i) + f( i) 0. Προτειόµεη λύση f( i) 5( i ) 4i f ( i) ( ) + 5( + ) 4i 4i 5 ( i) + 4( i) 5( + ) + 4i 4i. Η δοσµέη ισότητα γίεται ( 4i ) + (4i ) 0 4 ( i ) + 4 i 0 ( i ) + i 0 () Ότα 4ρ, η () + 0 άτοπο Ότα 4ρ +, η () i + i 0 ισχύει Ότα 4ρ +, η () 0 άτοπο Ότα 4ρ + 3, η () ( i) + ( i) 0 ισχύει Άρα οι ζητούµεες τιµές του είαι 4ρ + ή 4ρ + 3

12 5. Α z φαταστικός µε z i α αποδείξετε ότι ο 3 i z w είαι θετικός i+ z πραγµατικός. Προτειόµεη λύση Έστω z βi µε β w i ( βi) i+βi < 0 άρα το τριώυµο i+ iβ i 3 3 +β i +β +β β + β β β + R β β + είαι οµόσηµο του α, δηλαδή θετικό

Σχετικά έγγραφα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις