Φ1 : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 Φ1 : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α -ΘΕΩΡΙΑ -ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ -ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ο ΓΕΛ Ν ΣΜΥΡΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ

2 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 8

3 ΘΕΜΑ Α-ΘΕΩΡΙΑ 1 Πώς ορίζεται το διάνυσμα; Πότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό; u uu u uu Τι λέγεται μέτρο ενός διανύσματος AB και πως συμβολίζεται; Πότε το διάνυσμα AB λέγεται μοναδιαίο; u uu uuu Τι λέμε φορέα του διανύσματος AB ; Τι θεωρούμε ως φορέα του μηδενικού διανύσματος AA ; 4 Πότε δυο διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά; u uu u uu 5 Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα AB και GD λέγονται ομόρροπα; u uu u uu 6 Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα AB και GD λέγονται αντίρροπα; u uu u uu 7 Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα AB και GD λέγονται ίσα; u uu u uu 8 Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα AB και GD λέγονται αντίθετα; 9 Έστω δυο μη μηδενικά διανύσματα και b Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα uuu u uu OA= και OB= b Τι ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων και b και τι τιμές παίρνει; 10 Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω ισοδυναμίες ( αν, æ b ¹ 0και, b ö ç = q ): è ø b Û q = Û sunq = b Û q = Û sunq = P b Û q = Û sunq = ^b Û q = Û sunq = 11 Έστω δυο μη μηδενικά διανύσματα και b uuu Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα OA= uuuu και στη συνέχεια με αρχή το Α παίρνουμε διάνυσμα AM = b i Τι λέγεται άθροισμα των διανυσμάτων και b ; ii Αποδείξτε ότι το άθροισμα των και b είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο 1 Πως προσθέτουμε δυο διανύσματα με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλογράμμου; 1 Αν, b, g τρία διανύσματα να αποδείξετε ότι: i + b = b + ii æ + b ö + g = + æ b + g ö ç ç è ø è ø 14 Πως ορίζουμε τη διαφορά - b δυο διανυσμάτων και b ; 15 Να λυθεί η εξίσωση: x + = b 16 Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου και έστω Μ ένα σημείο του χώρου Τι ονομάζουμε διανυσματική ακτίνα του Μ; Πώς λέγεται το σημείο Ο; ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 8

4 17 Να αποδείξετε ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής 18 Να αποδείξετε ότι: - b + b + b Πότε ισχύει + b = + b και πότε + b = - b ; 19 Έστω l Î R με l ¹ 0 και ¹ 0 Τι ονομάζουμε γινόμενο του l με το ; 0 Να γράψετε τις ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα 1 Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δυο διανυσμάτων και b u ; Να αποδείξετε ότι αν u u και b δυο διανύσματα με b ¹ 0 τότε: // u u u b Û = lb, lî R uuu uuu uuu uuuu OA + OB Έστω ένα διάνυσμα AB, Μ μέσο του ΑΒ και σημείο αναφοράς το Ο Δείξτε ότι: OM= 4 Πότε λέμε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy στο επίπεδο; Γιατί το ονομάζουμε ορθοκανονικό; 5 Αποδείξτε ότι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων και αντίστροφα ότι σε κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών αντιστοιχεί μοναδικό σημείο του επιπέδου 6 Έστω τυχαίο διάνυσμα του επιπέδου, το οποίο είναι εφοδιασμένο με ένα σύστημα αξόνων Οxy Να αποδείξετε ότι το γράφεται και μάλιστα με μοναδικό τρόπο, στη μορφή = xi + yj, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων 7 Πότε διανύσματα είναι ίσα; 8 Συμπληρώστε τα κενά παρακάτω: i 0 = (,), i = (,), j = (,) u u u ii Αν = ( x1, y1) και b = ( x, y) τότε: = b Û = και = u iii Για ένα διάνυσμα = ( xy, ) έχουμε: u = i+ j u = 0 Û x= 0 y = 0 u ¹ 0Û x¹ 0 y ¹ 0 u // xx Û = 0 u // yy Û = 0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 8

5 9 Αν = ( x1, y1) και b = ( x, y) να αποδείξετε ότι : u u i + b = ( x1+ x, y1+ y), u ii l = ( lx1, ly1), l Î u u l + mb = ( lx + mx, ly + my ) iii 1 1 lmî, 0 Αν A( x1, y1) και B( x, y) είναι σημεία του επιπέδου, να αποδείξετε ότι: x1+ x y 1+ y i για τις συντεταγμένες ( xy, ) του μέσου Μ του ευθ τμήματος ΑΒ ισχύει: x = και y = uuu ii οι συντεταγμένες ( x, y ) του διανύσματος AB δίνονται από τις σχέσεις: x= x - x1 και y = y - y1 1 Έστω = (, ) xy ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου Να αποδείξετε ότι: u = x + y Αν A( x1, y1) και B( x, y) είναι σημεία του επιπέδου, να αποδείξετε ότι η απόσταση των Α και Β είναι uuu ίση με : ( AB) = AB = ( x - x ) + ( y - y ) Να αποδείξετε ότι αν = ( x, y ) και b = ( x, y ) τότε: u u b Û x y x y = 1 1 // 0 u 4 Τι ονομάζουμε γωνία ενός διανύσματος ¹ 0 με τον άξονα xxκαι ' ποιες τιμές παίρνει η γωνία αυτή; 5 Έστω = ( xy, ) με x ¹ 0 ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου i Τι ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης του u ; ii Τι γίνεται στις περιπτώσεις όπου x = 0 ή y = 0 ; = ( x, y ) και b = ( x, y) δυο διανύσματα με συντελεστή διεύθυνσης l, u u b Û l = l 6 Έστω 1 1 Να αποδείξετε ότι: // b l b αντίστοιχα 7 Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δυο μη μηδενικών διανυσμάτων u και b u ; 8 Να γράψετε με τι ισούται το εσωτερικό γινόμενο δυο μη μηδενικών διανυσμάτων u και b u,όταν αυτά είναι κάθετα, ομόρροπα ή αντίρροπα 9 Να δείξετε ότι το εσωτερικό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι ίσο με το τετράγωνο του μέτρου του διανύσματος 40 Αν Οxy ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων εφοδιασμένο με τα μοναδιαία διανύσματα i και j, τότε: i j = j i = i = και j = 41 Να δείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους u 4 Αν, u b και g είναι διανύσματα και l Î R να δείξετε ότι: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 8

6 u u u u u u i ( l ) b = ( lb) = l ( b) u u u u u ii ( b + g) = b + g,, u iii Έστω u και b δυο διανύσματα με συντελεστή διεύθυνσης lu, lu αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι: b u u ^ b Û l u l u =-1 u 4 Αν = ( x1, y1) δείξετε ότι:, b u b = ( x, y ) δυο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία q να sunq = xx + yy 1 1 x + y x + y i) Έστω και b u δυο διανύσματα του επιπέδου με ¹ 0 Τι λέγεται προβολή του b στο και πως συμβολίζεται; ii) Να δείξετε ότι: u u 45 Αν b = 0 u b = pob b u u τότε: είτε = 0, b = 0 u u είτε, b ¹ 0 και u u u u 46 Η προσεταιριστική ιδιότητα ( b g) ¹ ( b) g u u u 47 Αν = b Þ g = b g Ισχύει το αντίστροφο; Τι ισχύει; δεν ισχύει γενικά Γιατί; ΘΕΜΑ Α - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ uuu uuu uuu 1 Αν AB + BG = AG, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Αν α = β, τότε α = β uuu uuu uuu uuu Αν AB + BG + GD = 0, τότε AD = 0 4 Αν α = λ β, τότε α // β uuu uuu uuu 5 Αν AB = BA, τότε AB = 0 6 Τα διανύσματα ΑΒ και ΟΑ - ΟΒ είναι ίσα 7 Αν u = (x 1, - y 1 ) και 8 Το διάνυσμα = (-,) ν = (- x1, y 1 ), τότε u = - v 9 Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα είναι παράλληλο με το b = (, -) 10 Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετους συντελεστές διευθύνσεως ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 8

7 =- 11 Αν b, τότε: ( α, Ù β ) + ( β, Ù α ) = π 1 Αν το α + β είναι συγγραμμικό του α, τότε το α + β είναι συγγραμμικό του β 1 Αν α + β = α + β, τότε τα α και β είναι πάντα συγγραμμικά 14 Αν α = κ β + λ γ και κ, λ > 0, τότε τα α, β, γ είναι συγγραμμικά 15 Στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy το διάνυσμα OA uuu = λ i + λ j, λ Î R βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας xoy 16 Αν α β > 0, τότε ( α, Ù β ) είναι οξεία 17 Το ( α β ) γ παριστάνει διάνυσμα 18 Το (λ α ) β, λ Î R παριστάνει διάνυσμα 19 Το ( α λ) β, λ Î R παριστάνει διάνυσμα 0 Για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει: α + β α + β 1 Για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει: α - β α + β Για τα ομόρροπα διανύσματα α, β ισχύει: α - β = α + β Το διάνυσμα λ α, λ Î R και λ < 0 είναι συγγραμμικό του α 4 Αν λ α = 0, λ Î R τότε οπωσδήποτε α = 0 5 Η ισότητα λα = λ α ισχύει για κάθε λ Î R 6 Αν κ α = λ α, τότε κ = λ για κάθε διάνυσμα α 7 Ισχύει η ισοδυναμία: AM uuuu uuu uuu = ΜΒ Û Μ μέσο του AB 8 Αν κ α = λ β, κ, λ Î R και α, β μη συγγραμμικά, τότε λ = κ = 0 9 Αν λ α + μ β = 0 και α, β μη συγγραμμικά, τότε λ = μ = 0 0 Με πλευρές οποιαδήποτε διανύσματα α, β, γ τέτοια ώστε α + β + γ = 0 ορίζεται τρίγωνο 1 Αν ΑΜ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε AM uuuu = uuu uuu AB + AΓ Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 8

8 Αν Μ Α = Μ Β όπου Α, Β σταθερά σημεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η μεσοκάθετη ευθεία του ΑΒ 4 Μπορούμε να γράφουμε: α ( β γ ) = ( α β ) γ 5 Αν α = (, 5) και β = ( 1, ) τότε α ^ β 6 Αν α β ¹ 0 τότε είναι πάντα ( α, Ù β ) ¹ π 7 Τα διανύσματα α = i + j και β = - i + j είναι κάθετα 8 Δυο διανύσματα με ίσους συντελεστές διευθύνσεως είναι ομόρροπα 9 Αν α = (1, - ), β = (- 1, - ) και γ = (, - 6) είναι α - β = γ 40 Τα ζεύγη α, β και - α, -β των διανυσμάτων έχουν ίσα εσωτερικά γινόμενα 41 Αν είναι ( α, Ù β ) > π, τότε α β < 0 4 Όταν οι συντελεστές δυο διανυσμάτων είναι αντίστροφοι αριθμοί τότε τα διανύσματα είναι κάθετα 4 Αν α β = α γ τότε είναι β = γ 44 Υπάρχουν x Î R τέτοια ώστε τα διανύσματα α = (x + 1, ) και β = (x, 1) να είναι κάθετα 45 Υπάρχουν θ Î R τέτοια ώστε τα διανύσματα α ( 46 Ισχύει α δ = α προβδ α 47 Αν u =-b, τότε l u l=-lb l 48 Αν u μη μηδενικό διάνυσμα, τότε το - 1 u u έχει μέτρο Αν u μη μηδενικό διάνυσμα, τότε το 1 συνθ, 1 ημθ ) και β (ημθ, συνθ) να είναι κάθετα u u 1 u - u έχει αντίθετη φορά από το - u uuu uuu 50 Αν (ΑΒ)=(ΒΓ), τότε AB = BG 51 Αν uuu 1 uuu AB= AG, τότε το Γ βρίσκεται μεταξύ των Α και Β uuu uuu uuu 5 Ισχύει AB + BG= 5AG ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 8

9 5 Ο 0 u - 1 b δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των u και b uuu uuu 54 Αν A B = DG τότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο 55 Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ,ΓΔ τα τμήματα ΒΕ = ΔΖ Να χαρακτηρίσετε τους παρακάτω ισχυρισμούς με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) u uu uuu α) BE = DZ uuu uuu β) DZ AE uuu uuu γ) AD BG uuu uuu δ) DG = BA uuu uuu ε) AB = -GD στ) uuu uuu E A = GZ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 56 Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και GE P BD Να σημειώσετε ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες λάθος (Λ) uuu uuu uuu uuu i) AG+BD = AD+ BG uuu uuu uuu uuu uuu ii) AB + BG + GD = A B+ GE uuu uuu uuu iii) AD-EG= BA uuu uuu uuu uuu uuu uuu iv) AG+ BD+GB=D B+GE+BG Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Α Β Δ Γ Ε 57 Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) Α uuu uuu α) AB = -GD uuu uuu β) AO ^ OD uuu uuu γ) OB = OD uuu uuu δ) (AB, AG ) = (A uuu uuuu D $, AG) Β Ο Δ Γ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 9 από 8

10 ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1 Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = α uuu, AD = β α) Το διάνυσμα ΑΓ ισούται με Α α - β Β β - α Γ β) Το διάνυσμα ΒΔ ισούται με Α α + β α + β Β Γ α + β α - β Δ α + β Ε Δ β - α α - β Ε β - α Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ το Μ είναι μέσο της ΑΒ Αν AD = α και ΔΓ = β, τότε: α) Το διάνυσμα ΔΜ ισούται με α + β β - α Α Β β) Το διάνυσμα ΜΓ ισούται με Α α - 1 β Β 1 γ) Με α + β ισούται το διάνυσμα α + β Γ 1 Γ - α + 1 β Δ α + 1 α - β Δ α + 1 Α ΑΒ Β ΒΔ Γ ΔΒ Δ ΓΑ Ε ΑΓ δ) Με α - β ισούται το διάνυσμα Α ΑΓ Β ΓΑ Γ ΒΑ Δ ΔΒ Ε ΒΔ β Ε 1 β Ε α + β α + β Στο διπλανό σχήμα το διάνυσμα x ισούται με Α α - β - γ - δ Β α + β + γ - δ Γ α - β + γ - δ Δ α + β - γ - δ Ε α - β - γ + δ 4 Για κάθε τετράδα σημείων Α, Β, Γ, Δ ισχύει : Α ΑΔ + ΑΓ= ΒΓ + ΒΔ Β ΑΔ+ ΒΓ = ΑΓ Γ ΑΔ+ ΒΔ = ΑΓ+ ΒΓ Δ ΑΔ+ ΒΓ = ΑΓ+ ΒΔ Ε ΑΔ- ΑΓ= ΒΓ + ΒΔ 5 Αν α, β ομόρροπα διανύσματα, κ, λ Î R* διάφοροι του ± 1 και κ α + λ β = 0, τότε Α κ, λ θετικοί Β κ, λ αρνητικοί Γ κ, λ αντίστροφοι Δ κ, λ ετερόσημοι Ε κανένα από τα προηγούμενα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 10 από 8

11 6 Στο κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι Α ΑΓ= ΑΕ Β ΑΓ= - ΕΑ Γ ΑΓ= - α Δ ΑΓ= - 4α Ε ΑΓ= ΖΔ 7 Αν ισχύει: κ α + λβ = 0, κ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός, τότε ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σε κάθε περίπτωση σωστή; Α Τα α, β έχουν την ίδια φορά Β Τα α, β είναι κάθετα Γ Τα α, β είναι αντίρροπα Δ Τα α, β έχουν το ίδιο μέτρο Ε Τα α, β έχουν την ίδια διεύθυνση 8 Το διάνυσμα α = (λ - λ - 4, λ - ) είναι μηδενικό με Α λ = Β λ = 1 Γ λ = - 4 Δ λ = 0 Ε για κανένα πραγματικό αριθμό λ 9 Το διάνυσμα α = (ημθ, συνθ) είναι το μηδενικό με Α θ = κπ Β θ = κπ + π 4 Γ θ = κπ + π Δ θ = κπ + π Ε καμία τιμή του θ 10 Είναι α = (ημθ, συνθ), θ Î R και κ Î Ζ Το α είναι παράλληλο στον άξονα x x με Α θ = κπ Β θ = κπ + π 4 Γ θ = κπ + π Δ θ = κπ + π Ε θ = κπ - π 11 Το διάνυσμα α = (ημθ, συνθ), είναι παράλληλο στο β = (συνθ, ημθ) με Α θ = 0 Β θ = π 4 Γ θ = π Δ θ = π Ε θ = π 1 Τα διανύσματα α = (1, λ), και β = (4, - λ) είναι παράλληλα με Α λ = - 1 Β λ = 0 Γ λ = 1 Δ λ = 4 Ε λ = Τα διανύσματα α = (λ, 1 λ ) και β = (- 1, 8 ) είναι κάθετα με λ Α λ = - 1 Β λ = 0 Γ λ = 1 Δ λ = Ε λ = 8 14 Με α = (1, - ) και β = (- 1, - ) και γ = (0, - 6) ισχύει Α α + β = γ Β α - β = γ Γ β + γ = α Δ α + β + γ = 0 Ε α - γ = β 15 Δίνονται τα διανύσματα α = (, - ), β = (1, - 1) και γ = ( 1, - 1 ) Σωστή είναι η σχέση Α α = β Β α γ = β Γ α // β // γ Δ α ^ γ Ε α = β - γ 16 Τα διανύσματα α = (λ, 4) και β = (λ - 4, 1) είναι κάθετα Ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με Α 0 Β - Γ Δ 4 Ε 1 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 11 από 8

12 17 Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΒΕ είναι διάμεσος Το άθροισμα ΒΑ + ΒΓ ισούται με Α ΒΕ Β ΓΑ Γ ΕΒ Δ ΒΕ Ε ΑΓ 18 Τα διανύσματα α = (λ, λ) και β = (1, - ) είναι παράλληλα (λ ¹ 0) Ο λ ισούται με Α - Β - 1 Γ Δ 1 Ε 19 Δίνονται τα διανύσματα α = (-, 4) και β = (, - ) Η σχέση α + κ β = 0 ισχύει με Α κ = Β κ = - Γ κ = - Δ κ = Ε κανένα κ Î R 0 Δίνεται το διάνυσμα α = (, - ) Παράλληλο προς το διάνυσμα α είναι το Α x = (-, ) Β y = ( 1, ) Γ z = (-, ) Δ ω = (1, - ) Ε v = (, - ) 1 Αν κ =, ν =, κ ν = - και 0 θ = ( κ, Ù ν ) < π, τότε η γωνία θ ισούται με Α 0 Β 0 Γ 60 Δ 10 Ε 150 Σύμφωνα με το σχήμα, το α β ισούται με Α α β Β - α β Γ 0 Δ 1 α β Ε - 1 α β Σύμφωνα με το σχήμα, το α β ισούται με Α 0 Β α β Γ - α β Δ α β Ε - α β 4 Σύμφωνα με το σχήμα, το α β ισούται με Α α β Β 1 Δ - 1 α β Γ α β Ε - α β α β 5 Στο σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 4 cm Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Α ΑΒ ΓΒ = 0 Β ΑΟ ΑΒ = 8 Γ ΑΒ ΑΓ = 16 Δ ΑΒ ΓΔ = - 16 Ε ΟΒ ΒΑ = 8 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 1 από 8

13 6 Αν α είναι μη μηδενικό διάνυσμα και β ένα οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα, τότε το γινόμενο α β ισούται με Α α προβ β α Β α προβ α β Γ β προβ α β Δ α προβ α β Ε β προβ β α 7 Τα διανύσματα α και β είναι μη μηδενικά Το συν ( α, Ù β ) ισούται με α β α β αβ Α Β Γ αβ α β α β αβ αβ Δ Ε α + β α + β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ uuu Για να αποδείξουμε ότι δυο σημεία Κ και Λ ταυτίζονται αρκεί να αποδείξουμε ότι KL= 0 Για να δηλώσουμε ότι δυο σημεία Κ και Λ ταυτίζονται γράφουμε KºL Για να προσδιορίσουμε σημείο Μ που ικανοποιεί μια σχέση, προσπαθούμε από τη σχέση μας να uuuu καταλήξουμε σε μια σχέση της μορφής MC= 0, όπου Χ κάποιο από τα γνωστά σημεία μας Άρα MºC Η σχέση b = b ισχύει μόνον όταν τα, b είναι συγγραμμικά Η σχέση ( ) b = b ισχύει μόνον όταν τα, b είναι συγγραμμικά Αν κ = λ b κ, λ Î R και, b μη συγγραμμικά τότε κ = λ = 0 Αν λ + μ b = 0, λ, μ Î R και, b μη συγγραμμικά τότε λ = μ = 0 Αν δύο διανύσματα είναι μη συγγραμμικά τότε είναι μη μηδενικά Για να δείξουμε ότι δύο μη μηδενικά διανύσματα, b είναι παράλληλα αρκεί να δείξουμε ότι: α) = λ b, λî R β) det (, b )= 0 γ) l = l όπου b l, l οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων b Για να δείξουμε ότι δύο μη μηδενικά διανύσματα, b είναι ομόρροπα αρκεί να δείξουμε ότι: α) = λ b, λî R και λ >0 β) + b = + b γ) b = b ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 1 από 8

14 Για να δείξουμε ότι δύο μη μηδενικά διανύσματα, b είναι αντίρροπα αρκεί να δείξουμε ότι: α) = λ b, λî R και λ < 0 ή β) + b = - b ή γ) b = - b Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β,Γ είναι συνευθειακά δείχνουμε ότι δύο από τα διανύσματα ¾¾ ¾¾ ¾¾ AB, BG, AG είναι παράλληλα Για να δείξουμε ότι δύο μη μηδενικά διανύσματα, b είναι κάθετα, δείχνουμε ότι το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν Για να υπολογίσουμε το μέτρο ενός διανύσματος που δίνεται ως γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων υπολογίζουμε το τετράγωνο του μέτρου χρησιμοποιώντας τον τύπο = Για να δείξουμε ισότητες ή ανισότητες με μέτρα διανυσμάτων, υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, χρησιμοποιούμε τον τύπο = και γνωστές ταυτότητες Για να αναλύσουμε ένα διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες, θέτουμε τις συνιστώσες με άγνωστες συντεταγμένες και δημιουργούμε από τα δεδομένα σχέσεις με τις οποίες υπολογίζουμε τους αγνώστους αυτούς Όταν καταλήγουμε σε μια σχέση της μορφής συνθ+συνφ = ή συνθ+συνφ=- τότε επειδή ισχύει -1 sunw 1 συμπεραίνουμε ότι συνθ =1 και συνφ =1 από την πρώτη σχέση και συνθ=-1 και συνφ=- 1 από τη δεύτερη Όταν μας δίνουν το μέτρο α, ενός διανύσματος n =( χ, ψ) και ότι αυτό είναι κάθετο σε ένα διάνυσμα u =(κ, λ) τότε βρίσκουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος n λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων: χ + ψ = α και κχ+λψ=0 Αν μας δίνουν τη σχέση + b + g = 0 και θέλουμε να βρούμε τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων π χ των, b τότε γράφουμε + b = -g και υψώνουμε τη σχέση στο τετράγωνο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 14 από 8

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β1 Έστω τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε Να συμπληρώσετε τις ισότητες: uuu uuu i) AB+BG= uuu uuu iii) AB-GB= uuu uuu v) AB-AD= uuu uuu ii) BG + = BD uuu uuu uuu iv) BA+AG+GB= uuu uuu uuu uuu vi) AG+GD+ BA-BD= Β Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Να συμπληρώσετε τις ισότητες: uuu uuu i) AB+AD= uuu uuu iii) AB+GD= uuu uuu v) DO + = DG uuu uuu ii) AB-AD= uuu uuu iv) O A +OG= uuu uuu vi) A B - = DB Δ Α Ο Γ Β Β Στο διπλανό σχήμα είναι (ΒΔ)=(ΔΕ)=(ΕΓ)Να αποδείξετε ότι 1 u 1 u x = ( +b ) και ψ = ( + b) Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τις ισότητες: u i) το c+y είναι ομόρροπο με το διάνυσμα u ii) c-y = ) Β α χ Α Δ ψ Ε β Γ Β4 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και έστω ΒΕ και ΓΔ τα ύψη του Φέρουμε τα διανύσματα uuu uuu uuu uuu EH= B A και DZ=GA Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΗΖ είναι ισοσκελές Β5 Πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα και uuu uuuu uuu uuu γράφουμε τα διανύσματα GE = A M και AZ = GN Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΕΝ είναι παραλληλόγραμμο Β6 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του Να βρείτε τις γωνίες : uuu α) ( AB $ uuu, GA) β) (B uuu A, uuu $ BG ) uuu γ) ( BG $ uuu, DA) δ)( uuu BA, uuu $ AD ) uuu uuu uuu uuu Β7 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να αποδείξετε ότι AB+DG= AG+DB uuu uuu uuuu uuu uuuu uuu K + L + GM = K + M + GL Β8 Έστω τα σημεία Α,Β,Γ και Κ,Λ,Μ Να αποδείξετε ότι: A B B A uuu uuu uuu uuu uuu Β9 Έστω τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε Να αποδείξετε ότι: AE-GD = BG+DE-BA ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 15 από 8

16 uuuu uuuu uuu uuu Β10 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΑΒ Να αποδείξετε ότι: MG+MD= AG-DB uuuu uuuu uuu uuu B-DG Β11 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΑΓ Να αποδείξετε ότι: MB+MD= A uuu uuu uuu uuu Β1 Αν ισχύει η σχέση AB +GA=KB+GL, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ και Λ συμπίπτουν uuu uuu uuu uuu Β1 Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο Ο για το οποίο ισχύει: AG + BO = BD -GD Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ο και Α συμπίπτουν Β14 Αν ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο, να βρεθεί σημείο Μ, τέτοιο ώστε: uuuu uuuu uuu uuu i) M A + MB+ MG = MD uuu uuu uuu uuuu ii) AG+ DB = AB+MB uuu uuu uuu uuu Β15 Έστω Α,Β,Γ,Δ,Ε σημεία μη συνευθειακά ανά τρία, για τα οποία ισχύει η σχέση AD+ED-BD-GD= 0 Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είναι παραλληλόγραμμο Β16 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ Ορίζουμε το σημείο Μ από τη σχέση uuu uuu uuu uu RM= AR+R B+RG Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο Β17 Να αποδείξετε ότι: u u u u u i) -b -b +b και ii) -b -b uuu uuu Β18 Να εκφράσετε ως συνάρτηση των AB και AG τις παραστάσεις: uuu 1 i) AB - iii) 5 ( AB uuu -5 BG AG uuu uuu + BG = ii) BA uuu + G uuu uuu A - BG = uuu uuu )+ GA = iv) ( M uuuu uuu uuu uuu A - AG )+ MB-MG = Β19 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να προσδιοριστεί σημείο Μ τέτοιο ώστε να ισχύει η σχέση: uuu uuuu uuu uuu AG + BM = B D - GD uu uuuu uuu uuu uuu Β0 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ Να δείξετε ότι το διάνυσμα u= M A+ MB-MG - 4MD είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του σημείου Μ uuu uuu uuu uuu uuuu Β1 Αν για τα σημεία Α,Β,Κ,Λ,Μ ισχύει η σχέση: AK+ BK-B A = BL+ AM, να δείξετε ότι τα σημεία Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά uuuu uuuu uuu uuu uuu Β Αν για τα σημεία Α,Β,Κ,Λ,Μ ισχύει η σχέση: AM + 5BM -BK = AK + 4BL, να δείξετε ότι τα σημεία uuuu uuuu Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά και ότι MK LM Β Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Αν ισχύει η σχέση: uuuu uuu uuu uuu uuu uuuu uuuu AK + MA = KB - AB + B L, να αποδείξετε ότι: K L KM ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 16 από 8

17 Β4 Δίνονται τα τμήματα ΑΒ,ΓΔ και τα μέσα τους Κ,Λ αντιστοίχως Τότε να δείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις: uuu A G+ uuu B D uuu A B KL= και KL= D+ uuu uuu uuu G Β5 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά αν: i) 9O uuu A-7O uuu B-OG= uuu 0 uuu uuu uuu ii)1o A + 8BO+ 4GO= 0 uuu uuu uuu uuu uuu iii) AK-LG+L A = BK-LA Β6 Θεωρούμε τα διανύσματα b, να δείξετε ότι: κ = λ = 0 u u u τα οποία δεν είναι συγγραμμικά Αν ισχύει η σχέση k+lb= 0 Β7 Θεωρούμε τα διανύσματα b, u u u i u = k + b και v = -kb δεν είναι συγγραμμικά ii u u = - b u και u u u u τα οποία δεν είναι συγγραμμικά να αποδείξετε ότι τα διανύσματα : 1u 1u = - b 4 v είναι συγγραμμικά Β8 Αν b, διανύσματα τα οποία δεν είναι συγγραμμικά, βρείτε l Î ώστε τα διανύσματα u u u u u = l + l+ 1 b και = ( l+ ) + ( l+ 5) b ( ) v να είναι συγγραμμικά Β9 Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u 4 u v = -b+ g και u = - b+g 4 είναι συγγραμμικά Β0 Αν Κ, Λ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ δείξτε : AK uuu uuu + AL = AG uuu Β1 Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και σημεία Ε, Μ τέτοια ώστε Να δείξετε ότι: Ε, Μ, Β συνευθειακά uuu Β Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με DA= x να δείξετε ότι αυτό είναι τραπέζιο και uuu DG= u y uuu 1 uuu uuuu AE = AD, AM = 1 4 uuu u y ισχύει: DB= x+ uuu AG Β Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο στο διπλανό σχήμα είναι τραπέζιο α Α β Β α+β uu Β4 Δίνονται τα διανύσματα bg,, Δ και τα σημεία Ο, Α, Β, Γ Αν ισχύουν : Γ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 17 από 8

18 uuu u u OA = + b + g uuu u u, OB= 5 + b + 4g uuu u u, OG= 1 + 7b + 10g δείξτε πως τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά u Β5 Για ποιες τιμές των λ και μ το διάνυσμα: = ( l+ m, l- m + 8) είναι ίσο με 0 ; u Β6 Για ποιες τιμές του λ το διάνυσμα: = (l- 8,l+ 6) είναι: i u // xx ii u // yy u Β7 Για ποιες τιμές των λ και μ τα διανύσματα: = ( l+ m) i+ ( l- m+ 1) j u b = (m+ 5) i+ (4l+ m-1) j είναι ίσα; u Β8 Αν = (,4) u και b = (-5,6) u u Β9 Να εξετάσετε αν // b όταν : u u i Αν = (-1, ) και b = (, -6) u u ii Αν = (,) και b = (5,0) τότε να υπολογίσετε τα: u u + b, u, - b και u u u u u, 4 + 9b, 5 Β40 Δίνονται τα σημεία A- (,6) και B (7,8) Να βρεθεί το μέσο Μ του ΑΒ u Β41 Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων: = (,4), b = 6 i-8 j, g = ( hmq, sunj), d = xyi-( y -x ) j u Β4 Αν = (1, ) u, b = (, -7) και g = (-,5) u u να βρεθούν τα διανύσματα: - b + g u u και + b -8g Β4 Είναι τα σημεία Α(1,) Β(0,4) και Γ(-1,5) συνευθειακά; u u Β44 Να βρείτε για ποιες τιμές του x τα = ( x, -1) και b = (-9, x) είναι αντίρροπα Β45 Να βρείτε για ποιες τιμές του x τα σημεία Α(1,x+), Β(x,8) και Γ(-4,-10) είναι συνευθειακά Β46 Να γράψετε το g = (0,1) Β47 Δίνονται τα σημεία A- (,5) και B (4,9) u ως γραμμικό συνδυασμό των = (1, -1) u και b = (-,) uuu Να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος AB Β48 Τα σημεία Α(,1), Β(5,0) είναι δυο κορυφές παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με κέντρο το Κ(4,) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του u Β49 Να βρείτε τα διανύσματα που είναι παράλληλα στο = (-6,8) και έχουν μέτρο 5 u Β50 Να βρεθεί διάνυσμα με μέτρο αντίρροπο στο = (, -) u Β51 Αν = (,) u, b = (-1,1) και g = (-,) u u να υπολογιστούν τα : - b + g και b b g g u u u u ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 18 από 8

19 Β5 Τα μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Δ(,9), Ε(1,4) και Ζ(,1) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β5 Για τα διανύσματα u u u u u και b ισχύουν οι σχέσεις : + b = (4, -) και - b = (-7,8) u u Να αποδείξετε ότι = (-1, ) και b = (, -) Β54 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού Α του Α(1,) ως προς το Β(,5) Β55 Διάνυσμα με αρχή την αρχή των συντεταγμένων, έχει τετμημένη - και συντελεστή διεύθυνσης -1 Να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο ανήκει το πέρας του Β56 Δίνονται τα σημεία Α(,0) και Β(,)Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Γ, ώστε τα Α,Β,Γ και η αρχή των αξόνων, να σχηματίζουν παραλληλόγραμμο Β57 Δίνονται τα διανύσµατα = (1,) και b = (,) i Να βρείτε το μέτρο του διανύσµατος g = 5 - b ii Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το g µε τον άξονα x x Β58 Έστω Α ένα γνωστό σταθερό σημείο Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου uuuu αν : AM= 7 u Β59 Αν είναι γνωστό ότι = 6,να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων Ποιο είναι το μέτρο του διανύσματος l αν - l ; u u Β60 Να υπολογιστεί το γινόμενο b u i = 1 u ii = u, b = u, b = 1 Ùu p και (, b) = 6 Ùu και (, b ) = 15 o στις παρακάτω περιπτώσεις: 1, -, - Β61 Αν u =(-1,) και β =(1,), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: i u b ii (- u )(b ) iii u iv ( u -b )( u +b ) Β6 Έστω = (,) και b = (-1, ) Να υπολογίσετε τη γωνία q u των u και b Β6 Αν u =(1,-7) και β =(-,λ) και (, ) uu b = 15 0, να βρείτε το λ Β64 Αν u =(-1,), β =(0,1), AB uuu = u -b uuu u uuu και AG = - b, να υπολογίσετε το BG ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 19 από 8

20 Β65 Αν το διάνυσμα u είναι μοναδιαίο, b= uu και ( p, b ) = να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: i u b ii ( u -b )( u -b ) iii ( u -b ) Β66 Αν u =1, b= v = -b+g u Β67 Αν =, g =4 και (, b ) = uu, b=, g= 6 και (, ) p uu b =, ( u g, ) = διανύσματος: v = u - b + γ Β68 Αν b=, u = και Β69 Αν b= uu (, b ) = uu uu u uu ( g, ) = ( g, b ) = 60 0, να βρείτε το μέτρο του διανύσματος: p 6 uu, 5p ( g, b ) =, να βρείτε το μέτρο του 6 p u u, να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος: v =( b ) b + -b u uu = 5 και (, b ) = 10 0 και v = u +b, να υπολογίσετε: i το v ii τις γωνίες ( b u,v) και ( uu,v) Β70 Αν v = u -b, w uu = u + b, v ú =, w uu ú = 4, ( v, w uu ) = p u u να βρείτε τα μέτρα των, b και το συν(, b ) Β71 Για τα διανύσματα u, b, γ ισχύει u +b - 7, γ = 0 και u = g =1, b= και τον lî ώστε: γ ^ λ u +b uu Να βρείτε τη γωνία ( b, ) Β7 Αν τα διανύσματα u, b, γ είναι μοναδιαία και ισχύει u -b + γ = 0, να υπολογίσετε την παράσταση: Α= u b +b γ + u γ Β7 Να προσδιορισθεί η pobu b όταν u =(,-4) και β =(,1) u Β74 Να προσδιορισθεί η pobu ( b-) όταν u =(1,-1) και β =(,4) Β75 Το διάνυσμα β =(8,1) να αναλυθεί σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το u =(,-) Β76 Αν είναι u =(,), β =(1,-1), γ =(0,) και d= Β77 Αν =(-1,), u u u u u b =(4,) και v = ( b) -b u + b - γ να δειχθεί ότι pobd b = b να βρείτε την pob u v uuu uuu uuuu Β78 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί σημείο Μ, τέτοιο ώστε AB + AG + AM = 0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 0 από 8

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ1 Να εξετάσετε αν ισχύουν πάντα οι παρακάτω σχέσεις: i b = b b g = b g iii ( ) ( ) b = b ii ( ) Γ Έστω u και b τα διανύσματα θέσεως δύο σημείων Α και Β ως προς σημείο Ο Να βρείτε το διάνυσμα θέσεως g του σημείου Γ όταν: uuu uuu uuu uuu i) AG = GB ii) AG = GB uuu uuu iii) 5AG = -BG Στη περίπτωση (iii) ποια είναι η θέση του Γ ως προς τα σημεία Α και Β; Να σχεδιάσετε το αποτέλεσμα Γ Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Α(1,4), Β(6,5) και Γ(,) Να βρείτε: i Τις συντεταγμένες της κορυφής Δ, ii Το κέντρο Κ του παραλληλογράμμου, uuu uuu uu uu iii Το σημείο Ρ για το οποίο ισχύει R A +R B +RG+RD= 0 uuu uuu uu Γ4 Να βρείτε σημείο Ρ στο επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ, τέτοιο ώστε : RA + RB + RG = 0 Στη συνέχεια να κάνετε το διανυσματικό διάγραμμα uuu uuu uuu Γ5 α) Έστω το διάνυσμα v= ko A+ lo B+ mog με κ+λ+μ=0 Να δείξετε ότι το v είναι ανεξάρτητο του σημείου Ο uuu uuu uuu β) Αν ισχύει ko A+ lo B+ mog =0 με κ+λ+μ=0 και k+l+m¹ 0 να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Γ6 Αν u =6 και τα διανύσματα b, g είναι μοναδιαία, να αποδείξετε ότι: u +b - g ¹ 0 Γ7 Να εξετάσετε αν τα παρακάτω σημεία Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά: Κ(α+β, α-β), Λ(α,-β) και Μ(α+β,α-β) uuuu uuu Γ8 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημεία Μ, Ν ώστε AM = AB Να αποδείξετε πως τα σημεία Μ, Ν, Δ είναι συνευθειακά uuu uuu και 4AN = AG Γ9 Έστω το διάνυσμα u = (λ +λ-, λ +5λ+6) Να βρεθούν οι lî, ώστε : α) u = 0 β) u ¹ 0 και u P xx γ) u ¹ 0 και u P yy ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 1 από 8

22 Γ10 Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος æ + ö για το οποίο ισχύει η σχέση: = ç -, è ø u u Γ11 Αν είναι = 7, b= 005 και +b³ 01, να αποδείξετε ότι τα u και b είναι ομόρροπα u u Γ1 Δίνονται τα διανύσματα = ( x,8) και b = (, x) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες : u u i είναι // b, u u ii είναι b, u u iii Το διάνυσμα u = + b έχει μέτρο 6 uuu uuu uuu Γ1 Αν Α (1,1), Β(4, ) και Γ(,0) βρείτε τα διανύσματα AB, AG και BG και τις αποστάσεις (ΑΒ), (ΑΓ) και (ΒΓ) Να αποδείξετε πως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Γ14 Αν Α(-, 6), Β(1, -) και Γ(5, -8) οι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ να βρείτε : uuu uuu uuu i τους συντελεστές διεύθυνσης των AB, AG, BG uuu uuu ii τα μέσα Κ, Λ των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα και να δείξετε : KL // BG Γ15 Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β και Γ τα οποία 1 uuu uuu uuu ορίζονται από τις ισότητες j = OA, OB=-i-j και BG= 10i+ j i Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ ii Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του ΒΓ iii Να βρείτε τις συντεταγμένες του Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο uuu uuu uuu iv Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του σημείου Ε για το οποίο ισχύει: 4BE = B G - AB v Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ,Ε είναι συνευθειακά Γ16 Δίνονται τα διανύσματα u = (x+1,) και b = (x,x+1), x Î i Να δείξετε ότι τα διανύσματα u και b δεν είναι συγγραμμικά για κάθε x Î ii Για x = - να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το u με τον άξονα x x iii Για x = - 1 να γράψετε το διάνυσμα g= i ως γραμμικό συνδυασμό των u και b iv Για x = - να βρείτε ένα διάνυσμα αντίρροπο του u και να έχει μέτρο 10 Γ17 Δίνονται τα διανύσματα u= x + y + ( 1, 1) και v = ( y, x) Αν u = v, να βρείτε: i Τις τιμές των x και y, ii Τον συντελεστή διεύθυνσης του u, iii Τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα u και -u με τον άξονα xx ' ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 8

23 Γ18 Δίνονται τα διανύσματα = ( m, m+ ) με * mî, και b= ( 6,8) i Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος b, ii Αν το διάνυσμα έχει συντελεστή διεύθυνσης l =, να βρείτε: Τον αριθμό μ Τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα g=-b με τον άξονα x x Τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα d=-7+ 5b με τον άξονα x x Γ19 u Δίνονται τα διανύσματα u Ùu p u και b με (, b) = Αν = 6 u u u u i b και + b u u u u ii ( + b) και + b u u u u iii (+ b) (4-5 b) u και b = να βρεθούν: Γ0 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα uuu uuuu uuu uuuu οποία ισχύει: AB AM + AG AM= 0 Γ1 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του αν : uuuu uuu uuu AM = (1- l) AB + lag και το λ μεταβάλλεται στο Γ Έστω ΑΒΓΔ ένα τετράπλευρο Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα uuu uuu uuuu uuuu οποία ισχύει: MA+ MB = MG+ M D u u u Γ Να αποδείξετε ότι: +b +b + -b u Γ4 Αν ισχύει = u b = u u + b u u u να δείξετε ότι: - b = Γ5 u Θεωρούμε τα διανύσματα u, b,g u u με + b + g = 0 Αν = u u u u υπολογίστε το: b + b g + g u, b = Γ6 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα u,b, γ ισχύει u +b + γ = 0 u b g και = = 11 i b ii b γ και g = 5, να αποδείξετε ότι: Γ7 Αν ισχύουν b = b και = b να αποδείξετε ότι =b ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 8

24 Γ8 Αν = ( 1,) και b = (,4) = p + ii p b i q u να βρεθούν τα διανύσματα p και q ώστε να ισχύουν συγχρόνως: u u P iii q ^ b Γ9 Δίνονται τα σημεία Α(1, 1), Β(μ + 1, λ ), Γ(4, 0) και Μ(, ), όπου Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και μ, λ Î IR i Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β ii Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα GM uuuu και AB uuu είναι κάθετα uuu uuu iii Να αποδείξετε ότι ισχύει: GA = GB Γ0 Να αναλύσετε το διάνυσμα v = ( 16,1) = (-4,6) και μια παράλληλη με το b = ( ) Γ1 Να αναλυθεί το διάνυσμα n = (4,7) u u = (-1, ) και μιας κάθετης προς το σε δυο συνιστώσες, μια παράλληλη με το διάνυσμα 6, σε δυο συνιστώσες, μιας παράλληλης προς το διάνυσμα u Γ Αν = 1, u 1 b = 1 u pob b = 4 και η γωνία που σχηματίζουν τα u και b u είναι p να δείξετε ότι: u u Γ Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος + b + g και g = ( u, g μη συγγραμμικά) u Ù u Ù p u αν (, b) = ( bg, ) = και = 4 u, b = u Γ4 Αν = u, b = Ùu, (, b ) = 45 o u Ù να βρείτε τη γωνία ( b -, ) u u u Γ5 Αν ^ b, ( + b) ^( - b) u u και - b = u να δείξετε ότι: = u και b = 1 Γ6 Αν u = και b= uu και ( p, b ) = 4 να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων u - b,b Γ7 Αν τα διανύσματα u b είναι μοναδιαία και (, ) v = u -b και u = u +4 b uu b = 10 0 να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων: Γ8 Αν είναι ( +1) u = b + γ με u ¹ 0 και b= u g = τότε, τα διανύσματα b, γ είναι κάθετα - 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 8

25 Γ9 Να δειχθεί ότι η προβολή του διανύσματος b στο μη μηδενικό διάνυσμα u είναι: pobu b= Γ40 Δίνονται τα σημεία A( 011, - ), ( 014,) uuu u p AB = (, ) Να βρείτε: i Τις συντεταγμένες του διανύσματος AB uuu u ii Το εσωτερικό γινόμενο AB iii Το μέτρο του διανύσματος B και το διάνυσμα u τέτοιο ώστε = uuu uuu u v = AB- 5 uuu iv Τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο τα διανύσματα AB συγγραμμικά uuu u v Το pobuuu ( - b ) u AB AB,αν b = (,1) και u = ( l, -) είναι u ( b ) u u και uuu uuu Γ41 Αν AB = (, 1 ), BG = ( -5, ) και Α (, -7) να βρεθεί το σημείο Γ Γ4 Nα αποδείξετε ότι: 4hm x- sun x 5 Γ4 Έστω Α και Β δυο σταθερά σημεία Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου uuu uuu uuu uuuu για τα οποία ισχύει: 4MA + 5MB = 4MA -5M B ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 8

26 Δ1 Για τα διανύσματα α, β i Να δείξετε ότι = (-1,) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ ισχύουν οι σχέσεις α β = (4,- ) και και b = (, -) + α -β = (-7,8) ii Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός k, ώστε τα διανύσματα kα + β και α + β να είναι κάθετα iii Να αναλυθεί το διάνυσμα γ = (,-1) σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα v Δ Για τα διανύσματα α, β v v v Ùu p δίνεται ότι α = 1, β = και (, b) = v u = α + β, v = α - β Να υπολογίσετε: α v το εσωτερικό γινόμενο α β v β τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u και v α γ το εσωτερικό γινόμενο u v δ το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Έστω τα διανύσματα Δ Δίνονται τα διανύσματα = (1, ) και b = (, ) ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 001 ΘΕΜΑ ο Α Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος g = 5 - b Β Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το g µε τον άξονα x x Γ Να βρείτε τον αριθμό k Î, ώστε το διάνυσμα = ( k - k, k) ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004 ΘΕΜΑ ο u να είναι κάθετο στο Δ4 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα u,b ισχύει ότι pobu = b b και pob b = u 1 4 uu να βρείτε τη γωνία ( b, ) Δ5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A( -,4), B( -,-1) και G ( 7,5) ισχύει M uuu uuuu G= BM i Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ ii Να βρείτε, αν υπάρχει, τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος AB Θεωρούμε σημείο Μ για το οποίο iii Να βρείτε σημείο Ν στον άξονα yy ώστε στο Ν το τρίγωνο ΑΝΒ να είναι ορθογώνιο uuu ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 8

27 Δ6 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα u,b ισχύει ότι i Να αποδείξετε ότι: u = uu ( ii Να βρείτε τη γωνία b, ) u b pobu = b b και pob b = u 4 Δ7 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα u,b, γ ισχύει u +b + γ = 0 u b g και = = 4 i b = u ii u γ, να αποδείξετε ότι: Δ8 Αν =(4,-), u u u b =(1,-) να βρείτε το pobu ( - b) Δ9 Αν =(1,), u u u 4 u b =(4,-) και ισχύει: pobu ( l + b ) = b, να βρείτε το λ 5 Δ10 Αν τα διανύσματα u, b, γ είναι μοναδιαία με άθροισμα 0, να αποδείξετε ότι: Δ11 Αν ισχύει v 1 pob u + pob b + pobug = 0 b g, να δείξετε ότι: ( ) 1- u u + v 1 Δ1 Μια περιοχή που πρόκειται να αναμορφωθεί αποτυπώνεται στο τοπογραφικό σχέδιο ενός εργολάβου με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Oxy Τα σημεία Α(0,7), Β(4,) και Γ(6,1) παριστάνουν τρία χωριά i Να αποδείξετε ότι ο εργολάβος μπορεί να χαράξει έναν ευθύγραμμο δρόμο που να συνδέει τα τρία χωριά Α, Β και Γ ii Να βρείτε σε ποιο σημείο του άξονα xx πρέπει να σχεδιάσει ένα πρατήριο βενζίνης Π, το οποίο να ισαπέχει από τα χωριά Α και Γ iii Στο σημείο Μ(,λ) θέλει να τοποθετήσει έναν στύλο παροχής ηλεκτρικού ρεύματος προς τα χωριά Β και Γ, ώστε το άθροισμα των μηκών των καλωδίων να είναι ελάχιστο Να βρείτε το σημείο Μ Δ1 Δίνονται διανύσματα u,b για τα οποία ισχύουν = 1, b = 0 και (, b ) > 90 x + b = έχει μια διπλή ρίζα, να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο b εξίσωση Δ14 Δίνονται διανύσματα u,b με ^ b u και = u, b = 5 να γράψετε το g σαν γραμμικό συνδυασμό των u, b u Δ15 Αν για το σημείο (, ) x+ 4y 5, g =, u p ( g, ) =, 6 u ( g, b ) = Αν η uuuu M xy ισχύει OM = 7, όπου O η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι: p ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 8

28 Δ16 i) Να δείξετε ότι ισχύει: - b b b ii)αν x + y = 0 να υπολογίσετε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης: Α = x 4y Χωρίς φιλοδοξία δεν ξεκινά τίποτα Χωρίς δουλειά δεν τελειώνει τίποτα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 8