ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α A Να απνδείμεηε όηη αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο ζε έλα δηάζηεκα Δ θαη f () g () γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ππάξρεη ζηαζεξά c ηέηνηα ώζηε γηα θάζε f() g() c, λα ηζρύεη Α Πόηε κηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ Α ιέγεηαη - ; (4 κνλάδεο) Α3 Έζηω f κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Δ Τη νλνκάδνπκε αξρηθή ζπλάξηεζε ή παξάγνπζα ηεο f ζην Δ; (4 κνλάδεο) Α4 Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ηελ έλδεημε Σωστό ή Λάθος δίπια ζηνλ αξηζκό πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε Αλ z, z είλαη κηγαδηθνί αξηζκνί, ηόηε ηζρύεη z z z z Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο ζην, ηόηε ε ζπλάξηεζε f g είλαη ζπλερήο ζην 3 Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη ηζρύεη f () γηα θάζε [, ], ηόηε ε f δηαηεξεί πξόζεκν ζην [α,β] 4 Αλ f, g, h ζπλαξηήζεηο θαη νξίδεηαη ε h (g f ), ηόηε νξίδεηαη θαη ε ( h g) f θαη ηζρύεη h (g f ) (h g) f 5 Αλ ε f παξνπζηάδεη αθξόηαην ζην ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, ηόηε ηζρύεη f () ΘΔΜΑ Β ( κνλάδεο) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f, g νη νπνίεο είλαη παξαγωγίζηκεο ζην [α,β] κε g() γηα θάζε [, ] Έζηω ν κηγαδηθόο f ( ) if ( ) z κε z R g( ) ig( ) Β Να απνδείμεηε όηη f( )g( ) f( )g( ) Β Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, ) ηέηνην ώζηε f ()g( ) f ()g ( ) (8 κνλάδεο) Β3 Αλ νη f, g είλαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκεο ζην [α,β] θαη ηζρύεη f ()g() f()g () γηα θάζε [, ], λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη ζηαζεξά c R ηέηνηα ώζηε f () cg() γηα θάζε [, ]

2 ( κνλάδεο) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε F () dt t 4 43 Γ Να απνδείμεηε όηη F (), γηα θάζε R Γ Να απνδείμεηε όηη F ( ) dt F (), γηα θάζε [, ) t 4 Γ3 Να βξεζεί ην lim dt t 4 Γ4 Να ππνινγηζηεί ην F ()d (5 κνλάδεο) (6 κνλάδεο) Γ Έζηω ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f ζην [α,β] κε f () γηα θάζε [, ] Αλ ηζρύεη f ()d λα απνδείμεηε όηη f () γηα θάζε [, ] Γ Έζηω ε ζπλάξηεζε f :[,] R, κε f ζπλερή ζην [,] θαη f () Αλ ηζρύεη f () d f () d f (), ηόηε: (5 κνλάδεο), α Να απνδείμεηε όηη f () f (), γηα θάζε [, ] β Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f γ Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη κνλαδηθό (, ), ηέηνην ώζηε f ( ) (8 κνλάδεο) (5 κνλάδεο)

3 Α Π Α Ν Τ Η Σ Δ Ι Σ ΘΔΜΑ Α Α Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 5 Α Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 5 Α3 Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33 Α4 Λάζνο, Λάζνο, 3 Σωζηό, 4 Σωζηό, 5 Λάζνο ΘΔΜΑ Β f ( ) if ( ) Β g( ) ig( ) f ( ) if ( ) g( ) ig( ) g( ) ig( ) g( ) ig( ) f ( )g( ) if ( )g( ) if ( )g( ) i g ( ) g ( ) z f ( )g( ) f ( )g( ) f ( )g( ) f ( )g( ) i g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) f ( )g( ) f ( )g( ) f ( )g( ) R Im(z) f ( )g( ) f ( )g( ) f ( )g( ) f ( )g( ) g ( ) g ( ) z Β Αξθεί λα απνδείμω όηη ε εμίζωζε f ()g() f()g () έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην (α,β) f ()g() f()g () f ()g() f()g () f ()g() f ()g(), g() g () f () g() f () Έζηω ε ζπλάξηεζε h(), [, ] g() ε h είλαη ζπλερήο ωο πειίθν ζπλερώλ ζην [α,β] f ()g() f ()g() ε h είλαη παξαγωγίζηκε ζην (α,β) κε h () g () f ( ) f ( ) Είλαη f ( )g( ) f ( )g( ) h( ) h( ) g( ) g( ) Άξα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, ) ηέηνην ώζηε f ( )g( ) f ( )g ( ) h( ) f ( )g( ) f ( )g( ) g ( ) 3

4 f () Β3 Αξθεί λα απνδείμω όηη ε ζπλάξηεζε ( ) είλαη ζηαζεξή ζην [α,β] g() f ()g() f ()g() Η θ είλαη παξαγωγίζηκε ζην [α,β] κε ( ) g () Έζηω ε ζπλάξηεζε t() f ()g() f()g (), [, ] Η t είλαη παξαγωγίζηκε ζην [α,β] κε t () f ()g() f ()g () f ()g () f()g () f ()g() f()g () Άξα t (), νπόηε ππάξρεη c R ηέηνηα ώζηε t() c γηα θάζε [, ] Είλαη t() f ( )g( ) f ()g ( ), άξα t() γηα θάζε [, ] Οπόηε ( ) γηα θάζε [, ] f () Επνκέλωο ππάξρεη c R ηέηνηα ώζηε ( ) c γηα θάζε [, ], άξα c f () cg() g( Γ Έζηω ε ζπλάξηεζε f (t) Οπόηε F () f (t)dt t 4 Η f είλαη νξηζκέλε θαη ζπλερήο ζην R νπόηε ε F νξίδεηαη γηα θάζε R Είλαη F () f (), R Άξα F () 4 4 Έζηω ε ζπλάξηεζε g(), R 4 4 g (), R 4 ( 4) 4 g () Τν πξόζεκν ηεο g θαη ε κνλνηνλία ηεο g πεξηγξάθνληαη ζηνλ δηπιαλό πίλαθα: Η g παξνπζηάδεη κέγηζην γηα, ην g() Άξα γηα θάζε R είλαη 43 g() g() F () 4 t Γ Είλαη f (t), t R (t 4) t 4 Γηα θάζε t (, ) είλαη t, αθνύ Άξα f (t) γηα θάζε t [, ] Οπόηε ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην [, ] Επνκέλωο γηα θάζε t [, ] είλαη t f() f(t) f( ) 4

5 Άξα γηα θάζε t [, ] είλαη f() f(t) f() f (t) Οπόηε f () f (t) dt f ()dt f (t)dt f ()dt Επίζεο f(t) f( ) f(t) f( ) Οπόηε f (t) f ( ) dt f (t)dt f ( )dt f (t)dt f (t)dt f ( )dt Άξα f ( )dt f ( ) t f ( ) f (t)dt f (t)dt f () f ()dt f ( ) t f (t)dt f () F ( ) dt f ( )( ) f (t)dt f () dt F() t 4 dt f (t)dt f ()( ) Γ3 Είλαη F ( ) ( ) dt F() t 4 4 dt t 4 4 lim ( ) 4 Άξα lim dt t 4 θαη lim 4 Γ4 F ()d () F()d F() F ()d F() F() dt t 4 ( 4) d 4 d 4 d 4 d 4 d Γ Έζηω όηη f () γηα θάζε [, ] θαη ε f δελ είλαη παληνύ κεδέλ ζην [α,β] Οπόηε f ()d Απηό όκωο είλαη αδύλαην Άξα ε f είλαη παληνύ κεδέλ ζην [α,β], δειαδή f () γηα θάζε [, ] Γ α f () d f () d f () f () d f () d f () f () 5

6 f () d f () d f () f () d f () f() d f () d f ()f ()d f() f ()f () f () f () f () d Είλαη f () f () γηα θάζε [, ] d θαη ε ζπλάξηεζε ζην [,], άξα ζύκθωλα κε ην εξώηεκα Δ ηζρύεη f () f () Οπόηε f () f () γηα θάζε [, ] f ()f ()d d y f () f () είλαη ζπλερήο γηα θάζε [, ] β Γηα θάζε [, ] είλαη f () f () e f () e f () e f () c Οπόηε ππάξρεη c R ηέηνηα ώζηε e f () c, [, ] Άξα f () e c Είλαη f () c Οπόηε f (), [, ] e γ Θα δείμω όηη ε εμίζωζε f () έρεη κνλαδηθή ξίδα ζην (,) Γηα θάζε (, ), είλαη f () e e e Έζηω ε ζπλάξηεζε g() e e, R Η g ζπλερήο ζην [,] g() θαη g(), νπόηε g() g() Άξα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ (, ) ηέηνην ώζηε g( ) Είλαη g () e e e e Γηα θάζε (, ) είλαη e g () Άξα ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [,], νπόηε ππάξρεη κνλαδηθό (, ) ηέηνην ώζηε g ( ) f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΛΤΒΑ ΠΗΛΙΟ ΚΑΣΑΝΑ ΓΙΩΡΓΟ ΠΑΠΑΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟΠΟΤΛΟΤ ΕΛΕΝΑ - ΠΑΠΑΩΣΗΡΙΟΤ ΠΤΡΟ 6