x x0 x x x x dx dx είναι εσωτερικό σηµείο ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της f, τότε: Η f είναι παραγωγίσιµη στο x

Transcript

1

2 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΩΡΙΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέµε ότι είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του ( ) ( ) πεδίου ορισµού της, αν υπάρχει το lim και είναι πραγµατικός αριθµός Το όριο αυτό ονοµάζεται παράγωγος της στο και συµβολίζεται µε ( ) ( ) ( ) ηλαδή: ( ) = lim ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: ( ) ( ) Αν στην ισότητα ( ) = lim θέσουµε = + h, ( + h) ( ) τότε έχουµε τον ισοδύναµο ορισµό ( ) = lim h h Πολλές φορές το h = συµβολίζεται µε, ενώ το ( + h) ( ) = ( + ) ( ) συµβολίζεται µε ( ), ( ) οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: ( ) = lim Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συµβολίσει την d ( ) d ( ) παράγωγο στο µε ή = Ο συµβολισµός ( ) d d είναι µεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrange Είναι φανερό ότι, αν το είναι εσωτερικό σηµείο ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της, τότε: Η είναι παραγωγίσιµη στο, αν και µόνο αν υπάρχουν στο R τα ( ) ( ) ( ) ( ) όρια lim, lim και είναι ίσα + Η στιγµιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγµή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης = S( t) τη χρονική στιγµή t ηλαδή, είναι: υ ( t) = S ( t) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

3 ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω µια συνάρτηση και A(, ( )) ένα σηµείο της C Αν ( ) ( ) υπάρχει το lim και είναι ένας πραγµατικός αριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφαπτοµένη της C στο σηµείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ηλαδή την y ( ) = ( ) ευθεία µε εξίσωση : ( ) ΣΧΟΛΙΑ Την κλίση ( ) της εφαπτοµένης ε στο A(, ( )) θα τη λέµε και κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Αν µια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιµη στο τότε δεν ορίζουµε εφαπτοµένη της C στο σηµείο A(, ( )) Κατακόρυφη εφαπτοµένη (Είναι εκτός ύλης) ΘΕΩΡΗΜΑ Αν µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό ΑΠΟ ΕΙΞΗ ( ) ( ) Για έχουµε ( ) ( ) = ( ), οπότε ( ) ( ) lim[ ( ) ( )] = lim ( ) ( ) ( ) = lim lim( ) = ( ) =,(αφού η είναι παραγωγίσιµη στο ) Εποµένως, lim ( ) = ( ), δηλαδή η είναι συνεχής στο ΣΧΟΛΙΑ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει δηλαδή µια συνάρτηση µπορεί να είναι συνεχής σε ένα σηµείο και να µην είναι παραγωγίσιµη Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

4 Ισχύει όµως η αντιθετοαντιστροφή του παραπάνω θεωρήµατος δηλαδή : αν µια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σηµείο, τότε δεν µπορεί να είναι παραγωγίσιµη στο ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α Θα λέµε ότι: H είναι παραγωγίσιµη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιµη, όταν είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο A Η είναι παραγωγίσιµη σε ένα ανοικτό διάστηµα ( α, β ) του πεδίου ορισµού της, όταν είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο ( α, β ) Η είναι παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [ α, β ] του πεδίου ορισµού της, όταν είναι παραγωγίσιµη στο ( α, β ) και επιπλέον ισχύει lim α + ( ) ( α) R α και lim β ( ) ( β ) R β Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α και A τo σύνολο των σηµείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιµη Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο ( ), ορίζουµε τη συνάρτηση : A R ( ), η οποία ονοµάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της H πρώτη παράγωγος της συµβολίζεται και µε d d που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y = ( ) θα τη συµβολίζουµε και µε y = ( ( )) Αν υποθέσουµε ότι το Α είναι διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων, τότε η παράγωγος της, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συµβολίζεται µε Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της, µε ν, και ( ) συµβολίζεται µε ν ( ν ) ( ν ) ηλαδή = [ ], ν Παράγωγος µερικών βασικών συναρτήσεων Εστω η σταθερή συνάρτηση ( ) παραγωγίσιµη στο R και ισχύει ( ) = c, c R Η συνάρτηση είναι c = =, δηλαδή ( ) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

5 4 Απόδειξη: Πράγµατι, αν είναι ένα σηµείο του R, τότε για ( ) ( ) c c ( ) ( ) ισχύει: = = Εποµένως lim =, δηλαδή ( c ) = Έστω η συνάρτηση ( ) R και ισχύει ( ) = Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο = =, δηλαδή ( ) Απόδειξη: Πράγµατι, αν είναι ένα σηµείο του R, τότε για ( ) ( ) ( ) ( ) ισχύει: = = Εποµένως lim = lim=, δηλαδή ( ) = Έστω η συνάρτηση ( ) ν =, ν N {,} Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει v v =, δηλαδή ( ) ( ) ν ν = v Απόδειξη: Πράγµατι, αν είναι ένα σηµείο του R, τότε για ισχύει: ν ν ν ν ν ( ) ( ) ( )( ) = = = + + +, οπότε ( ) ( ) ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν lim = lim( ) = = ν ν ν ν, δηλαδή ( ) = Έστω η συνάρτηση ( ) στο (, + ) και ισχύει = Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη ( ) =, δηλαδή ( ) = Απόδειξη: Πράγµατι, αν είναι ένα σηµείο του (, + ), τότε για ισχύει: ( )( + ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = = = + + = + οπότε, Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

6 5 ( ) ( ) lim = lim = +, δηλαδή ( ) = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: η ( ) = δεν είναι παραγωγίσιµη στο Έστω συνάρτηση ( ) = ηµ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει ( ) = συν, δηλαδή ( ηµ ) = συν (Χωρίς απόδειξη) Έστω η συνάρτηση ( ) = συν Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει ( ) = ηµ, δηλαδή ( συν ) = ηµ (Χωρίς απόδειξη) ΣΧΟΛΙΟ Τα όρια ηµ lim =, συν lim =, τα οποία χρησιµοποιήσαµε για να υπολογίσουµε την παράγωγο των συναρτήσεων ( ) = ηµ, g( ) = συν είναι η παράγωγος στο = των συναρτήσεων, g αντιστοίχως, αφού ηµ ηµ ηµ lim = lim = () συν συν συν lim = lim = g () Έστω η συνάρτηση ( ) = e Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει ( ) = e, δηλαδή ( e ) = e (Χωρίς απόδειξη) Έστω η συνάρτηση ( ) = ln Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιµη στο (, + ) και ισχύει ( ) =, δηλαδή (ln ) = ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση + g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ( + g) ( ) = ( ) + g ( ) Απόδειξη: Για, ισχύει: Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

7 6 ( + g)( ) ( + g)( ) ( ) + g( ) ( ) g( ) ( ) ( ) = = + g( ) g( ) Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο, έχουµε: ( + g)( ) ( + g)( ) ( ) ( ) g( ) g( ) lim = lim + lim = ( ) + g ( ), δηλαδή ( + g) ( ) = ( ) + g ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες σ ένα διάστηµα, τότε για κάθε ισχύει: ( + g) ( ) = ( ) + g ( ) Το παραπάνω θεώρηµα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις ηλαδή, αν,,, k, είναι παραγωγίσιµες στο, ( ) ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) τότε k ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο, τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει: ( g) ( ) = ( ) g( ) + ( ) g ( ) Απόδειξη: (Εκτός ύλης) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες σ ένα διάστηµα, τότε για κάθε ισχύει: ( g) ( ) = ( ) g( ) + ( ) g ( ) Το παραπάνω θεώρηµα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Έτσι, για τρεις παραγωγίσιµες συναρτήσεις ισχύει: ( ( ) g( ) h( )) = [( ( ) g( )) h( )] = ( ( ) g( )) h( ) + ( ( ) g( )) h ( ) = [ ( ) g( ) + ( ) g ( )] h( ) + ( ) g( ) h ( ) = ( ) g( ) h( ) + ( ) g ( ) h( ) + ( ) g( ) h ( ) Αν είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση σ ένα διάστηµα και c R, επειδή ( c ) =, σύµφωνα µε το θεώρηµα () έχουµε: ( c ( )) = c ( ) k Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

8 7 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο και g( ), τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g = [ g( )] Η απόδειξη παραλείπεται (Εκτός ύλης) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες σ ένα διάστηµα και για κάθε ισχύει g( ), τότε για κάθε έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g = [ g( )] Χρησιµοποιώντας τις προηγούµενες προτάσεις µπορούµε τώρα να βρούµε τις παραγώγους µερικών ακόµη βασικών συναρτήσεων Έστω η συνάρτηση ( ) παραγωγίσιµη στο ν ( ) = ν ν = ν, * R και ισχύει * ν N Η συνάρτηση είναι ( ) = ν, δηλαδή ν * Απόδειξη: Πράγµατι, για κάθε R έχουµε: ν ν ν ν () ( ) ν ( ) = ν ν = = = ν ν ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Είδαµε, όµως, πιο πριν ότι ν ν ν = ν, για κάθε φυσικό ( ) Εποµένως, αν κ Z {,}, τότε Έστω η συνάρτήση ( ) κ κ = κ ( ) ν > = εφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη ( ) =, δηλαδή συν στο R = R { συν = } και ισχύει ( εφ) = συν Απόδειξη: Πράγµατι, για κάθε R έχουµε: Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

9 8 ηµ ( ηµ ) συν ηµ ( συν ) συν συν + ηµ ηµ ( εφ) = = = συν συν συν συν + ηµ = = συν συν Έστω η συνάρτηση ( ) = σφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη ( ) =, δηλαδή ηµ στο R = R { ηµ = } και ισχύει ( σφ) = ηµ ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο και η είναι παραγωγίσιµη στο g( ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ( g) ( ) = ( g( )) g ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Γενικά, αν µια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και η είναι παραγωγίσιµη στο g( ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ( ( g( ))) = ( g( )) g ( ) ηλαδή, αν u = g( ), τότε ( ( u)) = ( u) u Με το συµβολισµό του Leibniz, αν y = ( u) και u = g( ), έχουµε dy dy du τον τύπο = που είναι γνωστός ως κανόνας της d du d αλυσίδας ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Το σύµβολο dy δεν είναι πηλίκο Στον κανόνα της αλυσίδας απλά d συµπεριφέρεται ως πηλίκο, πράγµα που ευκολύνει την αποµνηµόνευση του κανόνα Άµεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήµατος είναι τα εξής: Η συνάρτηση ( ) και ισχύει = α, α R Z είναι παραγωγίσιµη στο (, + ) ( ) = α, δηλαδή α α ( ) = α α Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

10 9 α α ln Απόδειξη: Πράγµατι, αν y = = e και θέσουµε u = α ln, τότε u u u α ln α α α έχουµε y = e Εποµένως, y = ( e ) = e u = e α = = α Η συνάρτηση ( ) = α, α > είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει ( ) = α lnα, δηλαδή ( α ) = α lnα Απόδειξη: Πράγµατι, αν έχουµε y u = e Εποµένως, Η συνάρτηση ( ) = ln, ισχύει (ln ) = = = και θέσουµε u = lnα, τότε ln y α e α y e e u e α α α α u u ln = ( ) = = ln = ln * R είναι παραγωγίσιµη στο * R και Απόδειξη: Πράγµατι αν >, τότε (ln ) = (ln ) =, ενώ αν <, τότε ln = ln( ), οπότε, αν θέσουµε y = ln( ) και u =, έχουµε y = ln u Εποµένως, y = (ln u) = u = ( ) = u και άρα (ln ) = Ανακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση u = ( ) είναι παραγωγίσιµη, τότε έχουµε: α α ( u ) = αu u ( εφu) = u συν u ( u) = u ( σφu) = u u ηµ u ( ηµ u) = συνu u u u ( e ) = e u ( συνu) = ηµ u u u u ( α ) = α lnα u (ln u ) = u u Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

11 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Αν δύο µεταβλητά µεγέθη, y συνδέονται µε τη σχέση y = ( ), όταν είναι µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο, τότε ονοµάζουµε ρυθµό µεταβολής του y ως προς το στο σηµείο την παράγωγο ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Η στιγµιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγµή t, είναι ο ρυθµός µεταβολής της συνάρτησης θέσης = S( t) τη χρονική στιγµή t ηλαδή, είναι: υ ( t) = S ( t) Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή t είναι η παράγωγος υ ( t), της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγµή t Η παράγωγος υ ( t) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγµή t και συµβολίζεται µε α ( t) Είναι δηλαδή α ( t) = υ ( t) = S ( t) Στην οικονοµία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόµενου προϊόντος Έτσι, η παράγωγος Κ ( ) παριστάνει το ρυθµό µεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα, όταν = και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) Αν µια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ α, β ] παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( α, β ) και ( α) = ( β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε: ( ξ ) = Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτοµένη της C στο M ( ξ, ( ξ )) να είναι παράλληλη στον άξονα των y Μ(ξ,(ξ)) Α(α,(α)) Β(β,(β)) O α ξ ξ β Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

12 ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιµής ιαφορικού Λογισµού ΘΜΤ) Αν µια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ α, β ] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα ( α, β ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε: ( β ) ( α) ( ξ ) = β α Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της στο σηµείο M ( ξ, ( ξ )) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ y Ο M(ξ,(ξ)) A(a,(a)) a ξ ξ β Β(β,(β)) Συνέπειες του Θεωρήµατος της Μέσης τιµής ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αρκεί να αποδείξουµε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει ( ) = ( ) Πράγµατι Αν =, τότε προφανώς ( ) = ( ) Αν <, τότε στο διάστηµα [, ] η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής Εποµένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) = ( ) ( ) () Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σηµείο του, ισχύει ( ξ ) =,οπότε, λόγω της (), είναι ( ) = ( ) Αν <, τότε οµοίως αποδεικνύεται ότι ( ) = ( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι ( ) = ( ) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

13 ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συναρτήσεις, g ορισµένες σε ένα διάστηµα Αν οι, g είναι συνεχείς στο και ( ) = g ( ) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε ΑΠΟ ΕΙΞΗ ( ) = g( ) + c Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και για κάθε εσωτερικό σηµείο ισχύει ( g) ( ) = ( ) g ( ) = Εποµένως, σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρηµα, η συνάρτηση g είναι σταθερή στο Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε ( ) g( ) = c, οπότε ( ) = g( ) + c ΣΧΟΛΙΟ να ισχύει: να ισχύει Το παραπάνω θεώρηµα καθώς και το πόρισµά του ισχύουν σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων Μονοτονία συνάρτησης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστηµα Αν ( ) > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Αν ( ) < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αποδεικνύουµε το θεώρηµα στην περίπτωση που είναι ( ) > Έστω, µε < Θα δείξουµε ότι ( ) < ( ) Πράγµατι, στο διάστηµα [, ] η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ ( ) ( ) Εποµένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) =, οπότε έχουµε: ( ) ( ) = ( ξ )( ) y y=g()+c y=g() O Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

14 Επειδή ( ξ ) > και >, έχουµε ( ) ( ) >, οπότε ( ) < ( ) Στην περίπτωση που είναι ( ) < εργαζόµαστε αναλόγως ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει ηλαδή, αν η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

15 4 ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράγωγος συνάρτησης µε τη βοήθεια του ορισµού 5+ 6, ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( ) = είναι +, > παραγωγίσιµη στο σηµείο = ) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης (αν υπάρχει) συν, ( ) = στο σηµείο =, = ) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης (αν υπάρχει) ηµ, ( ) = στο σηµείο = + ηµ, > 4) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης (αν υπάρχει) 5+ 6, ( ) = στο σηµείο = +, > 5) Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη η συνάρτηση ( ), = + e στο σηµείο =, = 6) Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη η συνάρτηση ηµ, > ( ) = στο σηµείο =, ln, < 7) ίνεται η συνάρτηση ( ) =, =, να αποδείξετε ότι, = η είναι συνεχής και ότι ( ) = 8) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης συν, ( ) = στο =, = Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

16 5 9) Να βρείτε (αν υπάρχει) την παράγωγο της συνάρτησης στο σηµείο, όταν i) ( ) =, = ii) ( ) =, = + +, < iii) ( ) =, = iv) ( ) =, = +, ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + +, R Να εξετάσετε αν η είναι α) συνεχής στο σηµείο =, β) παραγωγίσιµη στο σηµείο = ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = +, R Να εξετάσετε αν η είναι α) συνεχής στο σηµείο =, β) παραγωγίσιµη στο σηµείο = για τον αριθµό α που βρήκατε να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = ) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) = + ηµ στο σηµείο = ) Για ποιες τιµές του α R, η συνάρτηση + + α, < ( ) = i) είναι συνεχής, ii) είναι παραγωγίσιµη στο + α +, σηµείο = ; 4) Να βρείτε τις τιµές των α, β ώστε η συνάρτηση α +, ( ) = να είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = β +, > 5) Να βρείτε τις τιµές των α, β ώστε η συνάρτηση + α +, ( ) = να είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = + α + β, > 6) Να βρείτε τις τιµές των λ, µ ώστε η συνάρτηση λ + µ, < ( ) = να είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο =, α + e, 7) Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ln, > α) Να βρείτε τον αριθµό α ώστε η να είναι συνεχής στο = β) Για το α που βρήκατε να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

17 6 + λ, 4 8) Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = 8+ 4, > 4 α) Να βρείτε τον αριθµό λ ώστε η να είναι συνεχής στο = β) Για το α που βρήκατε να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = 9) Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων:, < ηµ, < i) ( ) = ii) ( ) =,,, <, / iii) ( ) = iv) ( ) 4 =,, > / ) Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων: +, < + ηµ, i) ( ) = ii) ( ) = + 6,, > ) Έστω η συνάρτηση η οποία είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα και παραγωγίζεται στο Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) lim = ( ) ( ) ) Αν η συνάρτηση : R R είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο ( ) α ( α) = α τότε να αποδείξετε ότι lim = ( α) + α ( α) α α ) Έστω η συνάρτηση η οποία είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα και παραγωγίζεται στο Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) lim = ( ) ( ) 4) Αν µία συνάρτηση : R R είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο α e ( ) e ( α) α = α, να αποδείξετε ότι lim = e ( ( α) + ( α)) α α 5) Έστω η συνάρτηση η οποία είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα και παραγωγίζεται στο Να αποδείξετε ότι : ( h) ( ) α) lim = ( h ), h ( + h) ( h) β) lim = ( ) h h Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

18 7 + h = h h, να 5 αποδείξετε ότι α) ( ) =, β) ( ) = 4 7) Αν για µία συνάρτηση ισχύει ( + h) = + h+ h + h, για κάθε h R, να αποδείξετε ότι: i) () = ii) () = 6) Αν για τη συνάρτηση ισχύει ( ) 8) Αν για τη συνάρτηση ισχύει ( h) h ηµ h ( h) να αποδείξετε ότι ( ) = + = + +, h h + h + h, να 9) Αν για τη συνάρτηση ισχύει ( ) 4 6 αποδείξετε ότι ( ) ( ) = = ) Έστω µια συνάρτηση :R R η οποία είναι συνεχής στο σηµείο 4 = και για κάθε R ισχύει ( ) ηµ Να αποδείξετε ότι : α) ()= β) ()= ) Αν + ( ) + +, για κάθε R, να αποδείξετε ότι: ( ) () i) () = ii) +, για < και ( ) () +, για > iii) () = +, για ) Αν για τη συνάρτηση :R R ισχύει ( ) κάθε R Να αποδείξετε ότι : α) ()= β) ()= ) Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής στο σηµείο = και για 4 4 κάθε R ισχύει: ηµ ( ) ηµ + να αποδείξετε ότι i) () = ii) () = 4) Έστω µια συνάρτηση :R R παραγωγίσιµη στο = µε ()= και ()= Αν για κάθε R ισχύει + g + +, να αποδείξετε ότι g ()= ( ) ( ) ( ) 5) Έστω µια συνάρτηση :R R µε ( ), για κάθε R Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = 6) Έστω µια συνάρτηση :R R µε ( ) ( ) ( ) y y, για κάθε,y R Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο R µε ()= για κάθε R 7) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = ( ) είναι παραγωγίσιµη στο 8) Έστω, g δύο συναρτήσεις παραγωγίσιµες στο σηµείο = για τις οποίες υποθέτουµε ότι : ()=g()= και () g() για κάθε R Να αποδείξετε ότι ()=g () Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

19 8 9) Έστω, g δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού το R, παραγωγίσιµες στο σηµείο = για τις οποίες υποθέτουµε ότι : ( ( )) ( ) ( ) + g = ηµ για κάθε R Να αποδείξετε ότι : α) ()=g()=, β) ( ) ( ) ( g ( )) + = 4) Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R, παραγωγίσιµη στο =, για την οποία υποθέτουµε ότι: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ηµ Να αποδείξετε ότι : α) ( ) =, β) ( ) + = για κάθε R = 4) Έστω, g δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού το R, παραγωγίσιµες στο σηµείο = για τις οποίες υποθέτουµε ότι : ( ( )) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) + g + = + g για κάθε R Να αποδείξετε ότι : g ()= ()= 4) Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R, παραγωγίσιµη στο σηµείο = για την οποία υποθέτουµε ότι : ( ( )) ( ) + = + για κάθε R Να υπολογίσετε την ()= 4) Έστω συνάρτηση :R R συνεχής στο σηµείο =, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g µε g()=()ηµ, είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = 44) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις, g παραγωγίσιµες στο σηµείο που να ικανοποιούν τις σχέσεις : ()=g()= και ()g()=ηµ για κάθε R 45) Έστω συνάρτηση :R R συνεχής στο σηµείο Αν g()= -α (), να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι = α, α R παραγωγίσιµη στο σηµείο = α αν και µόνο αν (α)= 46) Έστω συνάρτηση : R R συνεχής στο =, µε ()= Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: h = ηµ στο = 47) Έστω συνάρτηση συνεχής στο σηµείο = για την οποία α) g( ) = ( ) στο =, β) ( ) ( ) ( ) + + υποθέτουµε ότι : lim = Να δείξετε ότι : α) ()=-, β) ()=4 Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

20 9 48) Έστω συνάρτηση :R R για την οποία ισχύουν ()= ()=Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : α) g( ) = ( ) + ηµ στο =, β) h( ) = ( ) + στο = 49) Aν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και αποδείξετε ότι: i) () = ii) () = 4 ( ) ( ) lim = 4, να 5) Έστω συνάρτηση :R R η οποία είναι συνεχής στο = ( ) Αν ισχύει lim = 999 Να αποδείξετε ότι : α) ()=, β) ()= 5) Έστω συνάρτηση :R R, παραγωγίσιµη στο = µε : ( ) lim = Να βρείτε τα : α) (), β) () 5) Έστω συνάρτηση :R R, η οποία είναι συνεχής στο = ( ) µε : lim = 4 Να αποδείξετε ότι : α) ()=, β) ()= ) Έστω συναρτήσεις, g :R R παραγωγίσιµες στο σηµείο =, µε ()=g()= Αν για κάθε R ισχύει : g ηµ = g + ( ) = ( ) +, να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 54) Έστω συνάρτηση :R R παραγωγίσιµη στο = για την α+ β = α συνβ + β συνα για κάθε οποία υποθέτουµε ότι : ( ) ( ) ( ) α, β R Να αποδείξετε ότι: = συν για κάθε R α) ()=, β) ( ) ( ) 55) ίνεται συνάρτηση :R R για την οποία υποθέτουµε ότι : + y = + y + y+ y για κάθε, y R Να αποδείξετε ότι η ( ) ( ) είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο = + 56) ίνεται συνάρτηση : R R παραγωγίσιµη στο σηµείο = µε α+ β = α + β για κάθε α, β µε ( ) ()= Υποθέτουµε ότι ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) R Να αποδείξετε ότι : α) ()=, β) R lim =, γ) )= για κάθε 57) ίνεται συνάρτηση : R Rτέτοια ώστε ( + y) = ( ) ( y) για κάθε, y R Έστω επίσης συνάρτηση g µε lim g( ) = και Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

21 ()=+g(), για κάθε R Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο και ισχύει ( ) = ( ) 58) Στο παρακάτω σχήµα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσεως τριών κινητών που κινήθηκαν πάνω στον άξονα στο χρονικό διάστηµα από sec έως 8sec Να βρείτε: =S(t) κινητό Γ κινητό Α O t (sec) κινητό Β i) Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης; ii) Ποιο κινητό κινήθηκε µόνο προς τα δεξιά; iii) Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγµή t= sec, ποιο τη χρονική στιγµή t= 4 sec και ποιο τη χρονική στιγµή t= 5sec; iv) Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστηµα από sec έως 4sec; v) Ποιο κινητό τερµάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης; vi) Ποιο κινητό διάνυσε το µεγαλύτερο διάστηµα; Κανόνες Παραγώγησης 59) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σηµείο 4 όταν: i) ( ) =, = ii) ( ) =, = 9 π iii) ( ) = συν, = iv) ( ) = ln, = e 6 v) ( ) = e, = ln 6) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : α) ( ) = + +, β) ( t) = t lnt+ συνt, ηµ e 4 γ) ( ) = α +, δ) ( ) = α + β, = συν + εφ ε) ( ) = + ln, στ) ( ) ln θ = ηµθ συνθ + εφω ζ) ( t) = t + σφt, η) ( ) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

22 6) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : α) ( ) = ln, β) ( ) ln = + e, =, γ) ( ) ( ) = (µε >) δ) ( ) = ( )( + ln ), ε) ( ) ηµ στ) ( ) = e, ζ) ( ) = ηµ η) ( ) = συν θ) ( ) = ηµ συν ι) ( ) = eηµ ια) ( ) = ln ιβ) ( ) = ηµ ln ιγ) ( ) = σφ ιδ) ( ) = 4 ιε) ( ) ln = e 6) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : = e + 5, β) ( ) = ηµ + e, α) ( ) γ) ( ) = συν ln, δ) ( ) 4 ε) ( ) ηµ ( συν ) εφ = ηµ συν, = στ) ( ) = ( + )( 4 + ) ζ) ( ) = ηµ συν e η) ( ) = σφ + εφ 6) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : α) ( ) = e ηµ, β) ( ) = ηµ ln, γ) ( ) = συν ln e 64) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : e ηµ συν α) ( ) = β) ( ) = γ) ( ) = δ) ( ) = + ε) ( ) = + ln σ τ) ( ) = ζ) ( ) = ηµ +συν + ηµ ln ηµ θ) ( ) = ι) ( ) = ια) ( ) = + συν e ιβ) ( ) = + + ιγ) ( ) = ln ιδ) ( ) ln = + 65) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : α ) ( ) = ( ) 8 β) ( ) ( ) 5 = γ) ( ) ( ) 5 = δ) ( ) = ηµ ε) ( ) = ηµ στ) ( ) = συν ζ) ( ) = εφ η) ( ) = συν θ) ( ) = σφ ι) ( ) ln = 66) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : α) ( ) = β) ( ) = ηµ + γ) ( ) = δ) ( ) = e ε) ( ) = e + 5 στ) ( ) = e + η) ( ) = e ηµ ζ) ( ) = συν θ) ( ) = ηµ ι) ( ) = συν ια) ( ) = ηµ 4 ιβ) ( ) = ln ιγ) ( ) = ln(+ ) ιδ) ( ) = ln( ηµ ) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

23 67) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : α) ( ) συν = + β) ( ) = ln ( + e ) γ) ( ) = ( + ) ln ln ln + ln δ) ( ) = συν ε) ( ) = e + στ) ( ) = ηµ ln ζ) ( ) ηµ = η) ( ) ( ) ηµ = = + θ) ( ) ln ln ι) ( ) = ια) ( ) + = ιβ) ( ) = e ιγ) ( ) = ( ηµ ) συν ιδ) ( ) = ηµ ( συν ) ιε) ( ) = 68) Να παραγωγίσετε τις συναρτήσεις : g ηµ g = α) ( ) = ( + ) β) ( ) ( ) g = + g ηµ γ) ( ) ( ) δ) g( ) = ηµ ( ) ( ) = η) ( ) ( ) ε) ( ) = ( ) στ) g( ) = ln + ( ) ( ) ζ) g( ) ( ) e g = e 69) Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων 9 i) ( ) = ( + 5) ii) g( ) = e + iii) h( ) = ln + 7) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων 7 4 i) ( ) = + 6 ii) ( ) = + ln 4 iii) ( ) = + 4 iv) ( ) = συν ηµ + ln 7) Οµοίως των συναρτήσεων: i) ( ) = ( )( ) ii) ( ) = eηµ ηµ + συν iii) ( ) = iv) ( ) = v) ( ) = ηµ συν + + συν 7) Οµοίως των συναρτήσεων: e i) ( ) = ii) ( ) = εφ+ σφ ln ηµ + iii) ( ) = iv) ( ) = e + 7) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: 4 i) ( ) = ( + 4 ) / ii) ( ) = ( ) iii) ( ) = ηµ + iv) ( ) = ln v) ( ) = e Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

24 74) Nα βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σηµείο όταν: i) ( ) = +, = ii) / / = +, = 4 ( ) ( ) ( ) + iii) ( ) = ηµ ( π ), = iv) ( ) = 6 75) Nα βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: ln 5 i) ( ) = ii) ( ) = i ii) ( ) = (ln ), > iv) ( ) = ηµ e συν, = ( + ) + 76) Aν ( ) = και g( ) = +, να βρείτε τις + συναρτήσεις, g Ισχύει = g ; ln 77) Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης ( ) = 78) Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της y συνάρτησης του διπλανού σχήµατος 4 O y 4 6 y=() 9 79) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση :[,8] R, η οποία είναι συνεχής, µε () =, και της οποίας η παράγωγος παριστάνεται γραφικά στο διπλανό σχήµα O 4 y= () 8 Ασκήσεις τύπου : να αποδείξετε ότι 8) ίνεται η συνάρτηση ( ) = e α) Να βρείτε την ()και την () = για κάθε R β) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) 8) ίνεται η συνάρτηση ( ) =Α συνω+β ηµω α) Να βρείτε την ()και την () β) Να αποδείξετε ότι : ( ) + ω ( ) = για κάθε R 8) Aν ( ) = ηµ, να αποδείξετε ότι ( ) + 4 ( ) = p p 8) ίνεται η συνάρτηση ( ) = αe + βe α) Να βρείτε την ()και την () = p για κάθε R β) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) 84) ίνεται η συνάρτηση ( ) = eηµ α) Να βρείτε την ()και την () + = για κάθε R β) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

25 4 85) ίνεται η συνάρτηση ( ) ασυν συν = + = για κάθε R Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) εφ ηµ 86) ίνεται η συνάρτηση ( ) = e µ Να βρεθεί ο αριθµός µ ώστε να ισχύει ( ) ( ) ( ) κάθε R 87) ίνεται η συνάρτηση ( ) e µ = + = για Να βρεθεί ο αριθµός µ ώστε να ισχύει ( ) ( ) ( ) 4 = για κάθε R 88) ίνεται η συνάρτηση ( ) = ln α) Να βρείτε την ()και την () β) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) + = για κάθε R = α) Να βρείτε την ()και την () + = για κάθε R 89) ίνεται η συνάρτηση ( ) ηµ ( ln ) β) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις µε υπολογισµό παραγώγων (πρώτων και δεύτερων) άγνωστων συναρτήσεων 9) Να βρείτε ένα πολυώνυµο P() δευτέρου βαθµού τέτοιο ώστε για κάθε R, τέτοιο ώστε P( ) P ( ) = ) Να βρείτε πολυώνυµο P() τρίτου βαθµού τέτοιο ώστε να ισχύει : P()=-, P ()=5, P ()= και P ( ) = 9) Να βρείτε πολυώνυµο τρίτου βαθµού τέτοιο, ώστε () = 4, ( ) =, () = 4 και () () = 6 9) Να βρείτε πολυώνυµο P() τρίτου βαθµού τέτοιο ώστε να ισχύει ( : P()=-, P()=-4, P (-)=- και P ) ( 5) = 94) Να βρείτε πολυώνυµο P() µε P()=4 και ( ) ( ) ( ) ( ) 8P = P P για κάθε R 95) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση να αποδείξετε ότι : α) αν η είναι άρτια τότε η είναι περιττή β) αν η είναι περιττή τότε η είναι άρτια 96) Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και περιττή συνάρτηση να αποδείξετε ότι ( ) ( ) = = 97) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη και άρτια συνάρτηση να = αποδείξετε ότι ( ) 98) Έστω µια συνάρτηση είναι άρτια και παραγωγίσιµη στο R και g = + + 8, για κάθε R, ισχύει ( ) ( ) ( ) α) να αποδείξετε ότι ( ) = β) να αποδείξετε ότι ( ) g = 8 Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

26 5 99) ίνεται µια συνάρτηση g που είναι παραγωγίσιµη στο R και g + + g + + = g, για κάθε R, να αποδείξετε ισχύει ( ) ( ) ( ) ότι g ( ) = ) ίνεται µια συνάρτηση g που είναι δύο φορές παραγωγίσιµη g = 7 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση στο R και ισχύει ( ) ( ) ( ) g( 5) R, και να βρείτε την ( ) =,είναι δύο φορές παραγωγίσιµη για κάθε ) ίνεται µια συνάρτηση :R R µε ()= ()=6 g g Αν ( ) = ( ) να βρείτε την ( ) ) ίνεται µια συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει ( ) + = ηµ ( π ) για κάθε να βρείτε την ( ) ) ίνεται µια συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει = ( ) + ( ) + = για κάθε R, να δείξετε ότι ( ) 4) ίνεται µια συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει 8 = ( ) + ( ) + = για κάθε R, να δείξετε ότι ( ) 5) ίνεται µια συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει ( ηµ ) + ( ) = + για κάθε R, βρείτε την ( ) 6) ίνεται µια συνάρτηση ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ) Αν για τη g = ln για κάθε ισχύει ότι g ( ) < να συνάρτηση ( ) ( ) αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) > 7) ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις, g : R R για τις ( ) + g( ) g = e R Να αποδείξετε ότι οποίες ισχύει ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) g ( ) ( ) g( ) + = + Εξίσωση Εφαπτοµένης ηµ, 8) Έστω η συνάρτηση ( ) =, να βρεθεί η, > εξίσωση εφαπτοµένης της συνάρτησης στο σηµείο = ( ) ηµ, 9) Έστω η συνάρτηση ( ) =, να βρεθεί η, = εξίσωση εφαπτοµένης της συνάρτησης στο σηµείο = Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

27 6 ) Έστω η συνάρτηση ( ) ηµ, =, να βρεθεί η, > εξίσωση εφαπτοµένης της συνάρτησης στο σηµείο = 999, < 999 ) Έστω η συνάρτηση ( ) =, να βρεθεί η 999, 999 εξίσωση εφαπτοµένης της συνάρτησης στο σηµείο = 999 α + β, < ) Έστω η συνάρτηση ( ) = γ, να βρείτε τους, αριθµούς α, β και γ έτσι ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σηµείο Μ(, ()) να έχει κλίση 4, < ) Αν ( ) =, να αποδείξετε ότι ορίζεται ηµ +, εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης στο σηµείο A (,) και σχηµατίζει µε τον άξονα των γωνία 4 π 4) Να βρείτε τις τιµές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση ηµ, < π ( ) =, είναι παραγωγίσιµη στο = π α + β, π 5) Έστω η συνάρτηση ( ) = + να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης στο σηµείο = 6) Να βρεθεί το σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = ln, στο οποίο η εφαπτοµένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων 7) Nα βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της, στα οποία οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες στον άξονα των, όταν 4 + i) ( ) = + ii) ( ) = iii) ( ) = e 8) Έστω η συνάρτηση ( ) = ln να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης στο σηµείο = e = + ηµ να βρεθεί η εξίσωση της 9) Έστω η συνάρτηση ( ) π εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης στο σηµείο = Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

28 7 ) Έστω µια συνάρτηση : R R παραγωγίσιµη για την οποία υποθέτουµε ότι ( e ) = e για κάθε R Να βρείτε την εξίσωση εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σηµείο Α(,()) ) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R για την οποία υποθέτουµε ότι ( ln ) = e, > Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της συνάρτησης στο σηµείο Α(,()) ) Αν ( ) = α + β + +, να βρείτε τις τιµές των α και β ώστε η κλίση της συνάρτησης στο σηµείο Α(-,) είναι ίση µε 8 ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = α ln + β +, > και το σηµείο της Α(,()) Αν η ευθεία y=+4, είναι η εφαπτοµένη της c στο σηµείο Α, να βρείτε τις τιµές των α και β R 4) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + α + β + γ Αν η ευθεία y=+β είναι εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης στο σηµείο Α(,) Να βρείτε τις τιµές των αριθµών α, β και γ 5) Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = + και g( ) = + έχουν κοινή εφαπτοµένη στο κοινό τους σηµείο A (,) και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης αυτής α 6) ίνονται οι συναρτήσεις ( ) = και g( ) =, α Για ποια τιµή του α η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της στο σηµείο Α(,()) είναι εφαπτόµενη και στην γραφική παράσταση της g σε κάποιο σηµείο της Β(, ( )) 7) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτοµένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ()= και g( ) = 8) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = που σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία π 4 9) Έστω οι συναρτήσεις ( ) = α + β και g( ) e = Αν οι γραφικές παραστάσεις έχουν στο κοινό τους σηµείο Α(, y ) κοινή εφαπτοµένη, να βρείτε τους αριθµούς α και β Ποια είναι τότε η κοινή τους εφαπτοµένη Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

29 8 ) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ( ) = και g( ) = + στο κοινό σηµείο τους A (,), είναι κάθετες α + α * ) ίνεται η συνάρτηση ( ) =, α R Να βρείτε τις + α τιµές του α, για τις οποίες η κλίση της C στο σηµείο της A (,) είναι ίση µε ) Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = + 5, στα οποία η εφαπτοµένη είναι: i) παράλληλη προς την ευθεία y= 9+ ii) κάθετη προς την ευθεία y= ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της ( ) = η οποία άγεται από το σηµείο A(, ) 4) ίνεται η συνάρτηση ( ) = α + β + γ, α, β, γ R Να βρείτε τις τιµές των α, β, γ R για τις οποίες η C, διέρχεται από το σηµείο A (,) και εφάπτεται της ευθείας y= στην αρχή των αξόνων 5) Nα αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = και g( ) = + έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, στο οποίο οι εφαπτοµένες τους είναι κάθετες 6) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y= έχει µε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = δύο κοινά σηµεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σηµεία αυτά 7) ίνονται οι συναρτήσεις ( ) = α + β + και g( ) = Να βρείτε τα α, β R για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο µε τετµηµένη = 8) ίνονται οι συναρτήσεις ( ) = e και g( ) = Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο σηµείο A (,) εφάπτεται και στην C g 9) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο δεύτερου βαθµού του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών y= + και y= στα σηµεία A (,) και B (,) αντιστοίχως Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

30 9 4) Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = ηµ ηµ, [, π ], στα οποία η εφαπτοµένη της είναι παράλληλη στον άξονα των 4) Nα αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σηµεία της παραβολής y= στα οποία οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης να είναι µεταξύ τους παράλληλες Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = ; 4) Έστω µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει () = και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα g( ) = ( + + ), R Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο A(, ()) εφάπτεται της C g στο B(, g ()) 4) Έστω µια παραγωγίσιµη συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ηµ ) = eσυν, για κάθε R i) Να βρείτε την () ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο σηµείο A(, ()) σχηµατίζει µε τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 44) Έστω οι συναρτήσεις ( ) = e και g( ) = ln Αν η γραφική παράσταση της τέµνει τον άξονα y y στο Α και η γραφική παράσταση της g τέµνει τον στο Β, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι η κοινή εφαπτοµένη των δύο γραφικών y παραστάσεων 45) Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε και ε είναι οι Β εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = ηµ στα σηµεία O (,) και O(,) Aπ (,) αντιστοίχως Να βρεθούν: ε i) Οι εξισώσεις των ε και ε ii) Το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζουν οι ε, ε και ο άξονας των 46) Έστω η συνάρτηση ( ) = και το σηµείο A( ξ, ( ξ )), ξ της γραφικής παράστασης της Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α ( ξ, ( ξ )) και Β( ξ,) εφάπτεται της C στο Α 47) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ( ) = σε οποιοδήποτε σηµείο της M ( α, α ), α έχει µε αυτήν και άλλο κοινό σηµείο Ν εκτός του Μ Στο σηµείο Ν η κλίση της C είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ A(π,) ε Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

31 48) Έστω ε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = σε ένα σηµείο της M ξ, ξ Αν ΑΒ, είναι τα σηµεία στα οποία η ε τέµνει τους άξονες και y y αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι i) Το Μ είναι µέσο του ΑΒ ii) Το εµβαδόν του * τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ R Ρυθµός Μεταβολής 49) Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε µία λίµνη προκαλεί κυκλικό κυµατισµό Μία συσκευή µέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγµή t που η ακτίνα r του κυµατισµού είναι 5 cm, ο ρυθµός µεταβολής της r είναι cm/sec Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού Ε που περικλείεται από το κυκλικό κύµα, τη χρονική στιγµή t 5) Aν το συνολικό κόστος παραγωγής µονάδων ενός βιοµηχανικού προϊόντος είναι Κ () και η συνολική είσπραξη από την πώλησή τους είναι E (), τότε P( ) = E( ) K( ) είναι το συνολικό κέρδος και K ( ) K µ ) ( = είναι το µέσο κόστος i)να αποδείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους µηδενίζεται όταν ο ρυθµός µεταβολής του κόστους και ο ρυθµός µεταβολής της είσπραξης είναι ίσοι ii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής του µέσου κόστους µηδενίζεται όταν το µέσο κόστος είναι ίσο µε το οριακό κόστος 5) Mια σφαιρική µπάλα χιονιού αρχίζει να λυώνει Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο r= 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου 4 V = r ) V της µπάλας, όταν t = sec (Θυµηθείτε ότι E= 4πr και π 5) Ο όγκος V ενός σφαιρικού µπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται µε ρυθµό cm /sec Με ποιο ρυθµό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγµή t, που αυτή είναι ίση µε 9cm;To κόστος παραγωγής, K (), και η τιµή πώλησης, Π (), µονάδων ενός βιοµηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις K ( ) = + 6+ και Π( ) = 4αντιστοίχως Να βρείτε πότε ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους, P( ) = Π( ) K( ), είναι θετικός 5) ύο πλοία Π και Π αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιµάνι Λ Το πλοίο Π κινείται ανατολικά µε ταχύτητα 5km/h και το Π βόρεια µε ταχύτητα km/h i) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των Π και Π ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = ( Π Π ) των δυο πλοίων αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό τον οποίο και να προσδιορίσετε Π Βορράς d=d(t) Λ Π Ανατολή Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

32 54) Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται y=, 4 κατά µήκος της καµπύλης Σε ποιο σηµείο της καµπύλης ο ρυθµός µεταβολής της τετµηµένης του Μ είναι ίσος µε το ρυθµό µεταβολής της τεταγµένης του y, αν υποτεθεί ότι ( t) > για κάθε t 55) Αν η επιφάνεια µιας σφαίρας αυξάνεται µε ρυθµό cm /sec, να βρείτε το ρυθµό µε τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r = 85 cmέστω Τ το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σηµεία O(,), A (,) και B (,ln ), µε > Αν το µεταβάλλεται µε ρυθµό 4cm/sec, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού Τ, όταν = 5 cm 56) Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράµπα του διπλανού σχήµατος και το κουτί κινείται µε ταχύτητα m/s Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθµό µεταβολής του y s y 5m 57) Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση m από έναν παρατηρητή Π µε ταχύτητα 5m/min Με ποιο ρυθµό αυξάνεται η γωνία θ που σχηµατίζει η ΑΠ µε το έδαφος τη χρονική στιγµή κατά την οποία το µπαλλόνι βρίσκεται σε ύψος m θ Π m A h Φ 58) Mία γυναίκα ύψους,6m αποµακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8m µε ταχύτητα,8m/s Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της; 8 Ο,6 Π Κ s Σ 59) Ένα περιπολικό Α κινείται κατά µήκος της καµπύλης y=, πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εµπρός (Σχήµα) Αν ο ρυθµός µεταβολής της τετµηµένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο α ( t) = α ( t) να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τετµηµένης του σηµείου Μ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγµή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετµηµένη y= a A( a, ) B M Ακτή y Ο Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

33 6) Μία σκάλα µήκους m είναι τοποθετηµένη σ έναν τοίχο Το κάτω µέρος της σκάλας γλυστράει στο δάπεδο µε ρυθµό,m/sec Τη χρονική στιγµή t, που η κορυφή της σκάλας απέχέι από το δάπεδο,5m, να βρείτε: i)το ρυθµό µεταβολής της γωνίας θ (Σχήµα) ii) Την ταχύτητα µε την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας A y Ο m θ Β 6) Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά µε εξίσωση + y = Καθώς περνάει από το σηµείο A,, η τεταγµένη y ελαττώνεται µε ρυθµό µονάδες το δευτερόλεπτο Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τετµηµένης τη χρονική στιγµή που το κινητό περνάει από το Α Θεώρηµα Rolle 6) Nα αποδειχτεί ότι: * i) Η συνάρτηση ( ) = λ + ( λ+ ), λ R, ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [, ] * ii) Η εξίσωση λ + ( λ+ ) =, λ R έχει µια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστηµα (,) 6) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση ()=+συν στο διάστηµα [,π] εφαρµόζεται το θεώρηµα Rolle, αν εφαρµόζεται να βρείτε τα ξ (,π) για τα οποία (ξ)= 64) Nα εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα που αναφέρεται, και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα ξ ( α, β) για τα οποία ισχύει ( ξ ) = π i) ( ) = +, [,] ii) ( ) = ηµ,, iii) ( ) = + συν, [, π ] iv) ( ) =, [,] 4 65) ίνεται η συνάρτηση ( ) = 5 + i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει µια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστηµα (,) και µια, τουλάχιστον, στο διάστηµα (,) ii)να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει µια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστηµα (,) 66) i) ίνεται µια συνάρτηση µε ( ) για κάθε R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει το πολύ µια πραγµατική ρίζα ii)να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ = αληθεύει µόνο για = Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

34 67) ίνεται η συνάρτηση ()=(-)ηµ Να αποδείξετε ότι: α) Εφαρµόζετε το θεώρηµα Rolle για την στο διάστηµα [,] β) Η εξίσωση +εφ= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (,) 68) Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [,] και ισχύει ()=+()Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) µε (ξ)=-ξ κ λ 69) Αν κ, λ, µ R µε + + µ =, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5 4 κ + λ + µ = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (,) 7) Έστω µια συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [α,β], παραγωγίσιµη στο (α,β) και (α)=(β)= ίνεται η συνάρτηση λ g( ) = e ( ), λ R Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R υπάρχει (α,β) µε ( ) + λ ( ) = 7) Έστω η άρτια και παραγωγίσιµη στο [-,] συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) g e ( ) = είναι επίσης άρτια και παραγωγίσιµη στο διάστηµα[-,] β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (-,) για το οποίο να ξ = 4ξ ξ ισχύει ( ) ( ) 7) Έστω συνάρτηση συνεχής στο [,] και παραγώσιµη στο (,) µε +()=() α) Να βρείτε την τιµή του λ R ώστε να ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος Rolle για τη συνάρτηση g( ) = ( ) λ στο [,] β) Για την τιµή του λ που βρήκατε να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ (,) ώστε (ξ)=ξ 7) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R, για την οποία υποθέτουµε ότι υπάρχουν α, β, γ R µε α<β<γ ώστε (α)<<(β) και (α)(γ)> Αποδείξτε ότι η έχει µια τουλάχιστον εφαπτοµένη C παράλληλη προς τον άξονα χ χ 74) Έστω δύο συναρτήσεις, g µε τις εξής ιδιότητες : α) είναι συνεχείς στο διάστηµα [α,β] και παραγωγίσιµες στο διάστηµα (α,β) β) g() για κάθε [α,β] και g () για κάθε (α,β) γ) (β)g(α)-(α)g(β)= Να δείξετε ότι : ο ( ) Για τη συνάρτηση F( ) = εφαρµόζεται το θεώρηµα του Rolle g( ) στο [α,β] ο ( ) ( ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο ώστε = g g ( ) ( ) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

35 4 75) Έστω µια συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [α,β] και παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α,β) Αν (α)=β, (β)=α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της C στο σηµείο Μ(,( )) να είναι κάθετη στη διχοτόµο της πρώτης και τρίτης γωνίας του συστήµατος συντεταγµένων 76) Αν α, β µε α<β είναι δύο ρίζες της εξίσωσης eηµ =, να αποδείξετε ότι η εξίσωση eσυν = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (α,β) 77) ίνεται η συνάρτηση ()=συν Να αποδείξετε ότι : α) Η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θ Rolle στο διάστηµα [- π/,π/] β) Η εξίσωση εφ= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (-π/,π/) 78) Έστω µια συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστηµα [,e] και παραγωγίσιµη στο (,e) και (e)-()=να δείξετε ότι : α) Η συνάρτηση g( ) = ( ) ln ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ Rolle στο διάστηµα [,e] β) Η εξίσωση ()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (,e) 79) Έστω συνάρτηση µε τις εξής ιδιότητες : α) είναι συνεχής στο διάστηµα [α,β] και παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α,β) µε <α<β β)β (α)-α(β)= Να δείξετε ότι : ο ( ) Για τη συνάρτηση F( ) = εφαρµόζεται το θεώρηµα του Rolle στο [α,β] ο ( ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο ώστε ( ) = ο Η εφαπτοµένη της C στο Α(,( )) διέρχεται απ την αρχή των αξόνων 8) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο διάστηµα ( 999) ( ) [999,] Αν ισχύει = να αποδείξετε ότι η 999 εξίσωση ()-()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (999,) 8) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R για την οποία ( ) υποθέτουµε ότι = e Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ()=() ( 999) έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (999,) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

36 5 8) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R Αν η εξίσωση ()= έχει ακριβώς µια ρίζα στο R, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ()= δεν µπορεί να έχει τρεις ρίζες διαφορετικές ανά δύο στο R 8) Έστω συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιµη στο (α,β) Αν () για κάθε (α,β), να δείξετε ότι (α) (β) 7 84) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + + µ, R όπου µ σταθερός πραγµατικός αριθµός Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ()= δεν µπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο διάστηµα (,) 85) Έστω δύο συναρτήσεις, g µε τις εξής ιδιότητες : α) είναι συνεχείς στο διάστηµα [α,β] και παραγωγίσιµες στο διάστηµα (α,β) β) g () για κάθε (α,β) γ) (α)=g(α)= Να δείξετε ότι : ο g(β) ο Για τη συνάρτηση F( ) = g( β) ( ) ( β) g( ) εφαρµόζεται το θεώρηµα του Rolle στο [α,β] ο Υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο ώστε ( ξ) ( ξ) ( β) ( β) = g g 86) Να αποδείξετε µε το θεώρηµα του Rolle ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = και g( ) = + + έχουν ακριβώς δυο κοινά σηµεία τα A (,), B (,) Θεώρηµα Μέσης Τιµής 87) Να αποδειχτεί ότι για τη συνάρτηση ( ) = α + β + γ, α και για οποιοδήποτε διάστηµα [, ], ο αριθµός (, ), που ικανοποιεί το συµπέρασµα του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής, είναι το + κέντρο του διαστήµατος [, ], δηλαδή είναι = 88) Να εξετάσετε, ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής στο διάστηµα που αναφέρεται και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει το θεώρηµα, να ( β ) - ( α) βρείτε όλα τα ξ ( α, β) για τα οποία ισχύει ( ξ ) = β -α π i) ( ) = +, [,4] ii) ( ) = ηµ,, +, iii) ( ) =, [,], > Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

37 6 89) Έστω η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,], παραγωγίσιµη στο (,) για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύουν : ()= και - () για κάθε (,) Να αποδείξετε ότι () 7 9) i) Να αποδείξετε ότι +, για κάθε R ii) Aν είναι µία συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R, µε ( ) =, + να αποδείξετε ότι για όλα τα α, β R ισχύει: ( β ) ( α) β α 9) Έστω µια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [,4] και ισχύει ( ) 5 για κάθε (,4) Αν () =, να αποδείξετε ότι 9 (4) 9) Έστω µια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [,] και ισχύει ( ) για κάθε (,) Αν ( ) = και () =, να αποδείξετε ότι () =, εφαρµόζοντας το ΘΜΤ για την σε καθένα από τα διαστήµατα [,] και [,] 9) Ένα αυτοκίνητο διήνυσε µία διαδροµή χιλιοµέτρων σε,5 ώρες Να αποδειχθεί ότι κάποια χρονική στιγµή, κατά τη διάρκεια της διαδροµής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 8 χιλιόµετρα την ώρα 94) Αν α<β να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ()=ηµ ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστηµα [α,β] και στην συνέχεια δείξτε ότι ηµβ-ηµα β-α 95) Αν <α<β< π να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ()=εφ ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστηµα [α,β] και στην α β α β συνέχεια δείξτε ότι εφα εφβ συν β συν α lnα lnβ 96) Αν <α<β να αποδείξετε ότι β β α α β α α e e β 97) Αν α<β να αποδείξετε ότι e < < e β α + 98) Να αποδείξετε ότι για κάθε χ> είναι : ln + 99) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R τέτοια ώστε ()= και η () είναι γνησίως φθίνουσα στο R Να αποδείξετε ότι ()<()< () ) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστηµα [α,β], παραγωγίσιµη στο (α,β), (α)=β (β)=α, να αποδείξετε ότι: Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

38 7 α) υπάρχει γ (α,β) τέτοιο ώστε (γ)=γ, β) υπάρχουν κ, λ (α,β) τέτοια ώστε (κ) (λ)= ) ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : [,] [,] µε ()= και ()= Να αποδείξετε ότι : α) υπάρχει γ (,) τέτοιο ώστε (γ)=-γ, β) υπάρχουν α, β [,] µε α β τέτοια ώστε (α) (β)= ) Έστω µια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α,β] για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύουν (α)=(β) και (α)= (β)= Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία, (α,β) τέτοια ώστε ( )= ( )= ) Αν <α<β, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ()=(-) e ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ ΜΤ στο διάστηµα [α,β] και στη συνέχεια να δείξετε ότι : e β + αe α < βe β + e α 4) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α,β] µε (α)>(β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τουλάχιστον ένα (α,β) τέτοιος ώστε ( )< 5) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R της οποίας η είναι γνησίως φθίνουσα στο R Να αποδείξετε ότι : (999)+()<()+() 6) Έστω µια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο R Αν οι αριθµοί (), (4), (6) είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον (,6) τέτοιος ώστε ( )= 7) Έστω µια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο [,], και ισχύει ()-()=()-()Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον (,) τέτοιος ώστε ( )= 8) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [α,β] µε ()> για κάθε [α,β] Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g()=ln() ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστηµα [α,β] και µετά να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( ) ( ξ) α β ( ξ) α β e = Θεώρηµα Σταθερής Συνάρτησης 9) Έστω µια συνάρτηση τέτοια ώστε : ()= και ()=() για κάθε RΝα αποδείξετε ότι η συνάρτηση g()=() (-) είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της ) ίνεται µία συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ) = ( ) για κάθε R Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

39 8 ( ) i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση φ ( ) = είναι σταθερή και e ii) Να βρεθεί ο τύπος της, αν δίνεται επιπλέον ότι () = ) α) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R Να αποδείξετε ( ) ότι αν ισχύει ()=(), για κάθε R, τότε η συνάρτηση F( ) = είναι σταθερή στο R και αντιστρόφως β) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση g για την οποία ισχύουν : g()=, π π και g ()συν+g()ηµ=g()συν,, ) Αν για τις συναρτήσεις, g ισχύουν: ( ) = g( ) και g ( ) = ( ) για κάθε R, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ) Έστω δύο συναρτήσεις και g τέτοιες ώστε : α) ( ) g( ) = και g ( ) + ( ) = για κάθε R β) ()= και g()= φ ( ) = [ ( )] + [ ( )] είναι σταθερή Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( g( ) ) + = για κάθε R 4) Έστω δύο συναρτήσεις και g τέτοιες ώστε : α) ( ) = g ( ) και g ( ) + ( ) = για κάθε R β) ()=g()=, ()=, g()= Να αποδείξετε ότι ( ) = g( ) + για κάθε R 5) Έστω µια συνάρτηση τέτοια ώστε ()= ()=667 και ()+()= για κάθε RΝα αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) g = + + ηµ + συν είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της 6) Έστω µια συνάρτηση τέτοια ώστε ()=, ()= και ()+()= για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( ( )) g = + είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της β) Να αποδείξετε ότι ()= για κάθε R 7) Έστω δύο συναρτήσεις και g τέτοιες ώστε : g g e g = e για κάθε R Να ( ) = ( ) + ( ) και ( ) ( ) ( ) αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ ( ) ( ) g( ) ( ) g ( ) = είναι σταθερή για κάθε R 8) Αν για µία συνάρτηση που είναι ορισµένη σ όλο το R ισχύει ( ) ( y) ( y) για όλα τα, y R, να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

40 9 ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ): 9) Να βρείτε τη συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R αν ( ) = 6+ για κάθε R, η γραφική παράσταση της διέρχεται απ το σηµείο Α(, ) και η εφαπτοµένη της C στο Α έχει κλίση 4 ) Έστω συνάρτηση ορισµένη στο R και δύο φορές παραγωγίσιµη µε ( ) = 6 4για κάθε R, και η παρουσιάζει στο = τοπικό ακρότατο το 4, να βρεθεί ο τύπος της ) Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ) = , για κάθε R, και η C στο σηµείο της Α(-, ) έχει κλίση ) Να βρείτε συνάρτηση ορισµένη στο R, για την οποία ισχύουν = για κάθε R ()>, για κάθε R, ()=e, και ( ) ( ) ) Να βρείτε συνάρτηση ορισµένη στο R, για την οποία ισχύουν = e + για κάθε R, και ()= ( ) ( ) 4) Να βρείτε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το διάστηµα (, + ) ( ) e = + για κάθε χ> και η C έχει κλίση στο σηµείο της Α(,()) 5) Έστω παραγωγίσιµη και θετική συνάρτηση µε ()= και + ( ) = για κάθε R,να βρεθεί ο τύπος της ( ) 6) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη µε + + = e, για κάθε R, µε ()=, να αποδείξετε φια την οποία ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ότι ( ) = e +, R 7) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη µε ( ) ( ) =, για κάθε e R, µε ()=, να βρεθεί ο τύπος της 8) Να βρείτε συνάρτηση ορισµένη στο(, + ), για την οποία ισχύουν ()>, για κάθε >, και ( ) + ( ) =, για >, και η γραφική παράσταση της διέρχεται απ το σηµείο Α(, ) 9) Να βρεθεί συνάρτηση ορισµένη στο R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + =,για κάθε R, και ()= ()= Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

41 4 ) Να βρεθεί συνάρτηση : (, + ) R µε ()= και = για κάθε χ> ( ) ( ) Μονοτονία- Ακρότατα- Σύνολο Τιµών-Πλήθος Ριζών- Ανισότητες ) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας των συναρτήσεων: i) ( ) = + 4 ii) ( ) = iii) ( ) = + 4, ) Oµοίως των συναρτήσεων: i) ( ) = +, > ii) ( ) = ) Oµοίως των συναρτήσεων: i) ( ) = ii) ( ) = ln e iii) ( ) = ηµ + ηµ, 4) H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι ( ) = ( ) ( ) ( ) Για ποιές τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο; 5) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τις, +, < συναρτήσεις: i) ( ) = ii) g( ) = e, > 4+, 6) Nα µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) ( ) = e ii) ( ) =, > 5 7) ίνονται οι συναρτήσεις ( ) = + 5 6και g( ) = + i)να αποδείξετε ότι oι, g είναι γνησίως αύξουσες ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών τους 5 iii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: + 5 6= και + = έχουν ακριβώς µία ρίζα την = 8) i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = + α είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [,] ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα [, ] iii) Αν < α <, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς µία λύση στο διάστηµα (,) α + = 9 9) Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση ( ) = είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

42 4 και να βρείτε το σύνολο των τιµών της σε καθένα από τα διαστήµατα αυτά ii) H εξίσωση α 9+ α = είναι ισοδύναµη µε την ( ) = α και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγµατικές ρίζες για κάθε α R * 4) Να βρείτε τις τιµές του α R για τις οποίες η συνάρτηση ( ) = α είναι γνησίως αύξουσα στο R 4) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = 4) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = + + α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = 4) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = + α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = 44) ίνεται η συνάρτηση : ( ) 4 = α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = 45) ίνεται η συνάρτηση : ( ) 4 = + 4 α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = 4 46) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = + 5ορισµένη στο διάστηµα [-,] α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης 47) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = συν ορισµένη στο διάστηµα [,π] Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

43 4 α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συν=- έχει ακριβώς µια ρίζα στο διάστηµα [,π] 48) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συν= έχει ακριβώς µια ρίζα στο διάστηµα (,π) 49) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο διάστηµα [,e] για την οποία υποθέτουµε ότι <()< για κάθε [,e] και ()> για κάθε (,e) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) + ln = έχει ακριβώς µια λύση στο διάστηµα (,e) = 5) ίνεται η συνάρτηση : ( ) e α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = 5) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = ln α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της β) Να βρεθούν τα τοπικά και ολικά ακρότατα (αν υπάρχουν) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) =, 5) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = Να µελετηθεί η e, > συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της 5) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = 6 Να µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της +, < 54) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = Να µελετηθεί 4+, η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της + 4, ή 4 55) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = Να 4,< < 4 µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

44 4 56) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = + 5 Να µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της 57) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = + Να µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της 58) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = Να µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της 9 59) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = Να µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της e 6) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = Να µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της ln 6) ίνεται η συνάρτηση : ( ) = + Να µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολο τιµών της 6) α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = e + ln( + ) είναι γνησίως αύξουσα β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e = ln( + ) έχει ακριβώς µια λύση την χ= 6) α) Να αποδείξετε ότι: e + > για κάθε R* β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e + = + έχει ακριβώς µια λύση την χ= 64) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e ln( ) = έχει ακριβώς µια λύση την χ= 65) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + + ln = έχει ακριβώς µια λύση 5 66) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e + e = έχει ακριβώς µια λύση 67) α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη = ηµ +, [,π] συνάρτηση ( ) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

45 44 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ = έχει ακριβώς µια ρίζα στο (, π) 68) α) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση ( ) = ln + και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσηµό της β) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση φ ( ) = ln + 4+ γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( ) = ln και h( ) = + έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο στο οποίο έχουν κοινή εφαπτοµένη 69) Να αποδείξετε ότι : π α) ηµ συν > για κάθε, ηµ π β) Η συνάρτηση ( ) = είναι γνησίως φθίνουσα στο, π ηµα α γ) αν : <α<β τότε > ηµβ β 7) Να αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει i) α) e > + β) ηµ > 6 ii) α) συν > β) e > + + ν ν ν ( ν ) iii) α) ( + ) > + ν, ν N µε ν β) ( + ) > + ν +, ν N µε ν 7) Να αποδείξετε ότι : π α) Η συνάρτηση ( ) = ηµ + εφ,, είναι γνησίως αύξουσα π β) ηµ + εφ για κάθε, 7) Να αποδείξετε ότι : π α) > ηµ συν για κάθε, Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

46 45 β) Η συνάρτηση ( ) π εφα α γ) αν : <α<β< τότε < εφβ β εφ π = είναι γνησίως αύξουσα στο, 7) Να αποδείξετε ότι : ηµ για κάθε 6 π 74) Να αποδείξετε ότι : εφ + για κάθε, π 75) Να αποδείξετε ότι : ηµ + συν για κάθε, 76) Να αποδείξετε ότι : ln( + ) για κάθε > 77) Έστω η συνάρτηση ( ) = ln α) Να µελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα β) Να αποδείξετε ότι ln -, για κάθε χ> γ) Να λύσετε την εξίσωση +ln= 78) Έστω η συνάρτηση ( ) = e α) Να µελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα β) Να αποδείξετε ότι e +, για κάθε χ R γ) Να λύσετε την εξίσωση e = + 79) Έστω η συνάρτηση ( ) = e α) Να µελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα e β) Να αποδείξετε ότι e, για κάθε χ> ln 8) ίνεται η συνάρτηση ( ) =, > α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της e β) Να αποδείξετε ότι e για κάθε χ> a γ) Να αποδείξετε ότι a + ( a+ ) a για κάθε α>e 8) Έστω µια συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) < για κάθε χ α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης g( ) µε χ β) Αν g()=, να δείξετε ότι ( ) e > για κάθε χ> = ( ) e Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

47 46 8) Να αποδείξετε ότι, αν για µια συνάρτηση, που είναι παραγωγίσιµη στο R, ισχύει ( ) + 6 ( ) = + 6+, τότε η δεν έχει ακρότατα 8) Να αποδείξετε ότι, αν για µια συνάρτηση, που είναι παραγωγίσιµη στο R, ισχύει ( ) ( ) ( ) e ( ) + = +, τότε η δεν έχει ακρότατα 84) Να αποδείξετε ότι, αν για µια συνάρτηση, που είναι παραγωγίσιµη στο R, ισχύει ( ) ( ) ( ) + = e + + 7, τότε η δεν έχει ακρότατα 85) Να αποδείξετε ότι, αν για µια συνάρτηση, που είναι παραγωγίσιµη στο R, ισχύει ( ) ( ) ( ( )) = e + + 9, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο R 86) Να αποδείξετε ότι, αν για µια συνάρτηση, που είναι παραγωγίσιµη στο R, ισχύει ( ) + ( ( ) ) = ( ) e, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο R 87) ίνεται η συνάρτηση ( ) = α + β +, µε α,β R Αν η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σηµεία = και = να βρεθούν οι τιµές των α και β και να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων 88) ίνεται η συνάρτηση ( ) = α ln + β + 6+, µε α,β R Αν η παρουσιάζει στο σηµείο = τοπικό ακρότατο το 6 τότε: Α) Να βρείτε τις τιµές των α και β Β) Για τις τιµές των α και β που βρήκατε να µελετήσετε τη µονοτονία και τα τοπικά ακρότατα της 89) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + α + β, µε α,β R Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σηµείο = και η γραφική παράστασή της διέρχεται απ το σηµείο Α(,) να βρεθούν οι τιµές των α και β 9) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = ( α) ( β ) ( γ ), µε α< β < γ έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά µέγιστα 9) Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγµή t 4 δίνεται από τη συνάρτηση: = S( t) = t 8t + 8t 6t+ 6, t 5 Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού και στη συνέχεια να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήµατα: i) Πότε το κινητό έχει ταχύτητα µηδέν; Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

48 47 ii) Πότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά; iii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόµενη και πότε επιβραδυνόµενη; 9) Η τιµή V (σε χιλιάδες δραχµές) ενός προϊόντος, t µήνες µετά την παραγωγή του, δίνεται από τον τύπο 5t V = 5 Να αποδείξετε ότι το προϊόν συνεχώς υποτιµάται ( t+ ) χωρίς, όµως, η τιµή του να µπορεί να γίνει µικρότερη από το µισό της αρχικής τιµής του y 9) Nα βρεθεί το [, ] έτσι, ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓ του διπλανού σχήµατος να έχει µέγιστο εµβαδό Γ B(,) O A(,) y= 94) Μία βιοµηχανία καθορίζει την τιµή πώλησης Π ( ) κάθε µονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους των µονάδων παραγωγής, σύµφωνα µε τον τύπο Π ( ) = 4 6 Το κόστος παραγωγής µιας µονάδας είναι 4 δρχ Αν η βιοµηχανία πληρώνει φόρο δρχγια κάθε µονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσες µονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιοµηχανία, ώστε να έχει το µέγιστο δυνατό κέρδος 95) Να αποδείξετε ότι, από όλα τα οικόπεδα σχήµατος ορθογωνίου µε εµβαδό 4m, το τετράγωνο χρειάζεται τη µικρότερη περίφραξη 96) Με συρµατόπλεγµα µήκους 8m θέλουµε να περιφράξουµε οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν 97) Μία ώρα µετά τη λήψη mgr ενός αντιπυρετικού, η µείωση της θερµοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση T ( ) =, 4 < < Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθµός µεταβολής της µείωσης της θερµοκρασίας ως προς, να γίνει µέγιστος 98) ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήµατος µε H πλευρά cm Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓ, i)να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ Ε() Θ συναρτήσει του ii) να βρείτε το έτσι, ώστε το εµβαδόν E( ) του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο A Ε 99) Το κόστος της ηµερήσιας παραγωγής µονάδων ενός Γ Ζ B Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

49 48 βιοµηχανικού προϊόντος είναι K( ) = + 6+ χιλιάδες δραχµές, 5 Η είσπραξη από την πώληση των µονάδων είναι E( ) = 4 χιλιάδες δραχµές Να βρεθεί η ηµερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται µέγιστο ) Στο διπλανό σχήµα έχουµε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεων, g σ ένα διάστηµα [ α, β ] Το σηµείο ξ ( α, β ) είναι το σηµείο στο οποίο η καρακόρυφη y απόσταση ( ΑΒ ) µεταξύ των C και C παίρνει τη µεγαλύτερη τιµή Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες των C και C στα σηµεία A( ξ, ( ξ )) και Β ( ξ, g( ξ )) είναι g παράλληλες ) Με ένα σύρµα µήκους 4m κατασκευάζουµε ένα g ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς m και ένα τετράγωνο πλευράς y m i) Να βρείτε το άθροισµα των εµβαδών των δύο σχηµάτων συναρτήσει της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνουii) Για ποια τιµή του το εµβαδόν γίνεται ελάχιστο 9 ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = και το σηµείο A, i) Να βρείτε το σηµείο Μ της C που απέχει από το σηµείο Α τη µικρότερη απόσταση ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο Μ είναι κάθετη στην ΑΜ ) Όπως γνωρίζουµε, ο στίβος του κλασικού αθλητισµού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο E() ηµικύκλια Αν η περίµετρος του στίβου είναι 4m, να βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου µέρους να γίνει µέγιστο 4) Η ναύλωση µιας κρουαζιέρας απαιτεί συµµετοχή τουλάχιστον ατόµων Αν δηλώνουν ακριβώς άτοµα, το αντίτιµο ανέρχεται σε χιλιάδες δραχµές το άτοµο Για κάθε επιπλέον άτοµο το αντίτιµο ανά άτοµο µειώνεται κατά 5 δρχ Πόσα άτοµα πρέπει να δηλώσουν συµµετοχή, ώστε να έχουµε τα περισσότερα έσοδα 5) Έστω Ε το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήµατος Υποθέτουµε οτι τη χρονική στιγµή r t= είναι r = cm και r = 5cm και ότι για t> η r ακτίνα r αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό,5cm/s, ενώ η ακτίνα r αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό,4 cm/s Να βρείτε: (ξ) g(ξ) O Α Β C C g α ξ β Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

50 49 i) πότε θα µηδενιστεί το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii) πότε θα µεγιστοποιηθεί το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου 6) Θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα κανάλι του οποίου η κάθετη διατοµή ΑΒΓ φαίνεται στο διπλανό m σχήµα θ i) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν της διατοµής ΑΒΓ είναι Α ίσο µε E= 4 ηµθ ( + συνθ ) ii) Για ποια τιµή του θ το εµβαδόν της κάθετης διατοµής µεγιστοποιείται; 7) Ένας κολυµβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα t () µακριά από το πλησιέστερο σηµείο Α µιας ευθύγραµµης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται t µακρυά από το σηµείο Α Υποθέτουµε ότι ο κολυµβητής µπορεί να κολυµβήσει µε ταχύτητα t/s και να τρέξει στην ακτή µε ταχύτητα 5t/s i) Να αποδείξετε οτι για να διανύσει τη διαδροµή ΚΜΣ του διπλανού ii) Για ποια τιµή του o κολυµβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του; 8) Ένας εργολάβος επιθυµεί να χτίσει ένα σπίτι στο δρόµο που συνδέει δύο εργοστάσια E και E τα οποία βρίσκονται σε απόσταση km και εκπέµπουν καπνό µε παροχές Ρ και 8P αντιστοίχως Αν Ε η πυκνότητα του καπνού σε µια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της παροχής καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση από το εργοστάσιο E πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση (Παροχή καπνού µιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέµπεται από την καπνοδόχο στη µονάδα του χρόνου) Θεώρηµα FERMAT t a 9) Αν <α και για κάθε χ> ισχύει α, να αποδείξετε ότι α=e ) Αν <α και για κάθε χ R ισχύει α +, να αποδείξετε ότι α=e ) Να βρεθεί ο θετικός αριθµός α, για τον οποίο ισχύει : α για κάθε χ R A Κ m M θ Β t Γ m Σ Ε km Σ () t =,48 cm Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

51 5 ) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R για την οποία υποθέτουµε ότι ( ) + e + ηµ για κάθε χ R Να αποδείξετε ότι ()= ) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο διάστηµα (,+ ) για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύει ()=e και ( ) e + για κάθε χ> Να αποδείξετε ότι : ()=e- 4) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύουν ()= και ( ) e για κάθε χ RΝα αποδείξετε ότι : ()=- 5) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R για την οποία ( ) ισχύουν ()= και e για κάθε χ RΝα αποδείξετε ότι ()= 6) ίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο (,+ ) µε ()= και, για κάθε χ> Αποδείξτε ότι ()= ( ) ln 7) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο (-,) µε (-)=- και + e ( ) για κάθε χ< α) Να βρεθεί η (-) β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης στο σηµείο Α(-,-) 8) Έστω παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει : e ( ) e, για κάθε χ R Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται απ το σηµείο Α(,) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο σηµείο αυτό 9) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύει ()= και ( ) ηµ για κάθε χ R Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο σηµείο Α(,()) ) Αν για την παραγωγίσιµη συνάρτηση : (,+ ) R ισχύει : ( ( ) ) ( ) + = και στο σηµείο > παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, να βρεθεί το Κυρτότητα Σηµεία Καµπής 4 ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = να µελετηθεί ως προς τα κοίλα και τα κυρτά της η συνάρτηση, και να βρεθούν τα σηµεία καµπής της (αν υπάρχουν) 4 ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = να µελετηθεί ως προς τα κοίλα και τα κυρτά της η συνάρτηση, και να βρεθούν τα σηµεία καµπής της (αν υπάρχουν) Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

52 5 ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = να µελετηθεί ως προς τα κοίλα και τα κυρτά της η συνάρτηση, και να βρεθούν τα σηµεία καµπής της (αν υπάρχουν) 4) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής των γραφικών τους παραστάσεων i) 5 4 ( ) = 5 + ii) g( ) = 5) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής των γραφικών τους παραστάσεων i) ( ) = e ii) g( ) = (ln 5) iii) h( ) + <, = + +, 6) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής των γραφικών τους παραστάσεων i) ( ) = e π π ii) g( ) = εφ,,, < iii) h( ) = iv) φ ( ) = v) ψ ( ) =, 7) Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου µίας συνάρτησης στο διάστηµα [,] Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα στα οποία η είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σηµείων καµπής - y O y= () =S(t) 8) Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση C της συνάρτησης θέσεως = S( t) ενός κινητού που κινείται πάνω σε έναν άξονα Αν η C παρουσιάζει καµπή τις χρονικές στιγµές t και t, να βρείτε: O t i) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά t t =S(t) t Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

53 5 ii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόµενη και πότε επιβραδυνόµενη 9) Να βρείτε τα σηµεία καµπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: ( ) = και να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι + συµµετρικά ως προς το τρίτο ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: ( ) e α = έχει για κάθε τιµή του α R, ακριβώς ένα σηµείο καµπής που βρίσκεται στην παραβολή y= + ) Να αποδείξετε ότι για κάθε α (,) η συνάρτηση 4 ( ) = α είναι κυρτή σε όλο το R ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + i) Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ένα τοπικό µέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σηµείο καµπής ii) Aν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και η θέση του σηµείου καµπής, να αποδείξετε ότι τα σηµεία A(, ( )), B(, ( )) και Γ (, ( )) είναι συνευθειακά ) ίνεται η συνάρτηση ( ) = e να µελετηθεί ως προς τα κοίλα και τα κυρτά της η συνάρτηση, και να βρεθούν τα σηµεία καµπής της (αν υπάρχουν) 4) ίνεται η συνάρτηση ( ) = e να µελετηθεί ως προς τα κοίλα και τα κυρτά της η συνάρτηση, και να βρεθούν τα σηµεία καµπής της (αν υπάρχουν) 6 +, < 5) ίνεται η συνάρτηση ( ) = να µελετηθεί +, ως προς τα κοίλα και τα κυρτά της η συνάρτηση, και να βρεθούν τα σηµεία καµπής της (αν υπάρχουν) +, 6) ίνεται η συνάρτηση ( ) = να µελετηθεί ως, > προς τα κοίλα και τα κυρτά της η συνάρτηση, και να βρεθούν τα σηµεία καµπής της (αν υπάρχουν) 7) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + α) Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ένα τοπικό ελάχιστο ένα τοπικό µέγιστο και ένα σηµείο καµπής β) Να αποδείξετε ότι τα τρία παραπάνω σηµεία είναι συνευθειακά 8) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + lnα, α> α) Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ένα τοπικό ελάχιστο ένα τοπικό Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

54 5 µέγιστο και ένα σηµείο καµπής β) Να αποδείξετε ότι τα τρία παραπάνω σηµεία είναι συνευθειακά = α + β + α + β + 8 9) ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) Να βρείτε τις τιµές των α, β R για τις οποίες το σηµείο Α(-,) είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η δεν έχει τοπικά ακρότατα 4 4) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + ( µ ) µ Να βρείτε τα σηµεία καµπής της γραφικής παράστασης της Για ποια τιµή του µ οι εφαπτοµένες της γραφικής παράστασης στα σηµεία καµπής της είναι κάθετες; = 4 µ µ, R 4) ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) Να βρείτε τις τιµές του µ για τις οποίες η στρέφει τα κοίλα άνω στο R Για τη µεγαλύτερη τιµή του µ που βρήκατε, να µελετήσετε τη µονοτονία και τα ακρότατα της 4) ίνεται η συνάρτηση ( ) = α + 9β + 54 β Να βρείτε τις τιµές των α, β R για τις οποίες το σηµείο Α(,()) είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης, και η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης στο σηµείο Α είναι κάθετη στην ευθεία +45y+= 4) Έστω µια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( ) + = e +, R Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση δεν έχει σηµείο καµπής 44) Έστω µια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιµη στο [, ], για την οποία ισχύει ( ) ( ) + = Να αποδείξετε ότι η δεν έχει σηµεία καµπής 45) Έστω µια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει: ( ) ισχύει: ( ) ( ) ( g( ) ) ( ) = + 7, R Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση δεν έχει σηµείο καµπής 46) Έστω, g δύο φορές παραγωγίσιµες στο R για τις οποίες =, g ( ) = ( ), και ( ) >, R Να αποδείξετε ότι η στρέφει τα κοίλα άνω στο R Ασύµπτωτες της Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 47) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = + 48) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της ln συνάρτησης ( ) = Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

55 54 49) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = 5) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = + 4e 5) ίνεται η συνάρτηση ( ) = + Να αποδειχτεί ότι: e + i) Η ευθεία y= + είναι ασύµπτωτη της C στο ii) Η ευθεία y= - είναι ασύµπτωτη της C στο + 5) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της π π συνάρτησης ( ) = εφ,, 5) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της + συνάρτησης ( ) = 54) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της + συνάρτησης ( ) = 4 55) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της e συνάρτησης ( ) = 56) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = ln 57) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της ln + συνάρτησης ( ) = ln α + β + 58) ίνεται η συνάρτηση ( ) = Αν η ευθεία y=-+ είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης στο +, να βρείτε τις τιµές των α και β ( α ) 59) ίνεται η συνάρτηση ( ) + β + = Αν η ευθεία y=+ είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης στο +, να βρείτε τις τιµές των α και β 6) Έστω, g συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού το R για τις οποίες υποθέτουµε ότι: lim ( ) + g( ) = 996 Αν η ευθεία y=- + Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

56 55 είναι ασύµπτωτη της cgστο +,να βρείτε την ασύµπτωτη της + c στο ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 6) Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση 4 ( ) = 4 + 6) Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση + 4 ( ) = 6) Nα µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: + 4 i) ( ) = 9+ ii) ( ) = iii) ( ) = 64) Nα µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) ( ) = + ii) ( ) = 65) Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ( ) = + ηµ στο διάστηµα [ π, π ] ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 66) i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = και g( ) = +, (, + ) έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο A (,) ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των C και C g στο διάστηµα (, + ) 67) Αν, g είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο R, µε () = g() και ( ) > g ( ) για κάθε R, να αποδείξετε ότι ( ) < g( ) στο (,) και ( ) > g( ) στο (, + ) 68) Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο µε ακτίνα Αν θ είναι η γωνία µεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του είναι E= ( + συνθ ) ηµθ Να βρείτε την τιµή της γωνίας θ (, π ) για την οποία εµβαδόν του τριγώνου µεγιστοποιείται 69) Ένα σύρµα µήκους m διατίθεται για την περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήµατος κυκλικού θ r τοµέα Να βρείτε την ακτίνα r του κύκλου, αν επιθυµούµε να έχουµε τη µεγαλύτερη δυνατή Ο επιφάνεια του κήπου m 7) ύο διάδροµοι πλάτους m τέµνονται Α κάθετα (Σχήµα ) Να βρείτε το µεγαλύτερο δυνατό µήκος µιας σκάλας που µπορεί, αν µεταφερθεί θ Γ Ο θ Β m Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

57 56 οριζόντια, να στρίψει στη γωνία Υπόδειξη: π i) Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒ συναρτήσει της γωνίας θ, < θ < ii) Να αποδείξετε ότι ( ΑΒ ) = + = ( θ ) ηµθ συνθ iii) Να βρείτε την τιµή της γωνίας θ, για την οποία το ΑΒ γίνεται ελάχιστο 7) i) Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη ln συνάρτηση ( ) = α α ii) Να αποδείξετε ότι α + > ( α+ ) για κάθε α > e iii) Να αποδείξετε ότι για > ισχύει στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση ακριβώς λύσεις, τις =, = 4 = = και ( ) () = έχει δύο 7) i) Αν α, β > και για κάθε R ισχύει α + β, να αποδείξετε ότι αβ = ii) Αν α > και για κάθε R ισχύει α +, να αποδείξετε ότι α = e 7) i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) = e είναι κυρτή, ενώ η g( ) = ln είναι κοίλη ii) Να βρείτε την εφαπτοµένη της C στο σηµείο A (,) και της C g στο B (,) iii) Να αποδείξετε ότι: α) e +, R β) ln, (, + ) Πότε ισχύουν οι ισότητες; iv) Η C βρίσκεται πάνω από την C g 74) i) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης ( ) = e λ, λ> ii) Να βρείτε τη µεγαλύτερη τιµή του λ> για την οποία ισχύε e λ, για κάθε R iii) Για την τιµή του λ που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι η ευθεία y= λ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g( ) = e 75) ίνεται η συνάρτηση ηµ, ( ) = Να αποδείξετε ότι, = i) Η είναι παραγωγίσιµη στο = και στη y= y O y= Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

58 57 συνέχεια ότι η ευθεία y= (ο άξονας ) είναι η εφαπτοµένη της C στο O (,) ii) Ο άξονας έχει µε την C άπειρα κοινά σηµεία, παρόλο που εφάπτεται της C C στο + και στο iii) Η ευθεία y= είναι ασύµπτωτη της 76) A Έστω µια συνάρτηση φ τέτοια, ώστε () φ =, φ () = και φ ( ) + φ( ) = για κάθε R () Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση ψ ( ) = [ φ ( )] + [ φ( )] είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της ii) φ ( ) = για κάθε R Β Έστω δύο συναρτήσεις και g τέτοιες ώστε: () =, () = και ( ) + ( ) = για κάθε R, g () =, g () = και g ( ) + g( ) = για κάθε R Να αποδείξετε ότι: i) Οι συναρτήσεις φ( ) = ( ) ηµ και ψ ( ) = g( ) συν ικανοποιούν τις υποθέσεις () του ερωτήµατος Α ii) ( ) = ηµ και g( ) = συν για κάθε R 77) Στο διπλανό σχήµα ο κύκλος έχει ακτίνα cm και η ε εφάπτεται σε αυτόν στο σηµείο Α Το τόξο ΑΜ είναι θ rad και το ευθ τµήµα ΑΝ είναι θ cm Η ευθεία ΜΝ τέµνει τον άξονα στο σηµείο P(,) Να δείξετε ότι: i) θσυνθ ηµθ P(,) = = ( θ ) ii) lim ( θ ) = θ ηµθ θ y Ο θ Μ N(,θ) Α(,) 78) Ένας πεζοπόρος Π ξεκινάει από ένα σηµείο Α και βαδίζει γύρω από µια κυκλική λίµνη ακτίνας ρ= km µε ταχύτητα υ= 4 km/h Aν S είναι το µήκος του τόξου ΑΠ και l το µήκος της απόστασης ΑΠ του πεζοπόρου από το σηµείο εκκίνησης τη χρονική στιµή t: A) Να αποδείξετε ότι: i) S θ θ = και l = 4ηµ, ii) S= 4t, θ = t και l = 4ηµ t Β) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της απόστασης l Ποιος είναι ο ρυθµός µεταβολής της απόστασης l, όταν π 4π α) θ =, β) θ = π και γ) θ = ; 79) Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να µαζέψουν 5 κιλά ντοµάτες Κάθε εργάτης µαζεύει 5 κιλά την ώρα και πληρώνεται 8 δρχ την ώρα Για το συντονισµό και επιστασία των εργατών ο αγρότης θα προσλάβει και έναν επιστάτη τον οποίο θα πληρώνει δρχ την ώρα Ο αγρότης, επιπλέον, θα πληρώσει στο σωµατείο των εργατών εισφορά δρχ για τον επιστάτη και κάθε εργάτη Να βρείτε πόσους εργάτες πρέπει να 4 km/h Π l θ Ο km s Α Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

59 58 προσλάβει ο αγρότης για να του κοστίσει το ελάχιστο δυνατόν και ποιο θα είναι το ελάχιστο κόστος Λύκειο Νεστορίου - Γιώργος Καραφέρης- ΠΕ Μαθηµατικός

60 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος - Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου