Κεφάλαιο 1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. 1.1 Χώρος αγαθών. a = (3, 4, 2), a = (0, 2, 0).

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων 1.1 Χώρος αγαθών Αρχίζουµε τη µελέτη πρώτα µε πεπερασµένες οικονοµίες. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πεπερασµένο πλήθος αγαθών (m αγαθά) που αριθµούνται κατά σειρά µε τους αριθµούς 1, 2,,..., m και αναφέρονται ως το πρώτο, το δεύτερο,..., το m αγαθό. Υποθέτουµε επίσης ότι σε όλες τις πράξεις της οικονοµίας τα αγαθά εµφανίζονται πάντοτε ως διανύσµατα όπου οι συντεταγµένες του διανύσµατος είναι ο αριθµός των µονάδων του αντίστοιχου αγαθού. Κάθε τέτοιο διάνυσµα ονοµάζεται διάνυσµα α- γαθών ή δέσµη αγαθών. ηλαδή, υποθέτουµε ότι σε κάθε οικονοµική πράξη λαµβάνουν µέρος όλα τα αγαθά της οικονοµίας, αλλά όσα δεν επιλέγονται εµφανίζονται µε µηδενικές συντεταγµένες. Ετσι αν υποθέσουµε ότι έχουµε τρία αγαθά, το διάνυσµα a = (3, 4, 2), είναι µια δέσµη αγαθών που περιέχει τρεις µονάδες από το πρώτο αγαθό, τέσσερεις από το δεύτερο και δύο από το τρίτο. Αν σε µια πράξη κατανάλωσης επιλεγούν µόνον δύο µονάδες από το δεύτερο αγαθό ϑα λέµε ότι ο καταναλωτής επέλεξε το διάνυσµα αγαθών a = (0, 2, 0). 1

2 2 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Τα διανύσµατα αγαθών είναι στοιχεία του R m και ο R m ονοµάζεατι χώρος αγαθών. Το σύνολο όλων των δεσµών αγαθών που µπορεί να εµφανιστούν στην οικονοµία είναι ένα κυρτό υποσύνολο του X του R m το οποίο ονοµάζεται σύνολο κατανάλωσης. Συνήθως το σύνολο κατανάλωσης X είναι κυρτό υποσύνολο του ϑετικού κώνου R m + = {x R m x i 0 για κάθε i} του R m που στις περισσότερες περιπτώσεις είναι ακριβώς ο R m +. Η υπό- ϑεση ότι το X είναι κυρτό σηµαίνει προφανώς ότι αν οι δέσµες αγαθών a και b είναι διαθέσιµες (ανήκουν στο X) τότε κάθε κυρτός συνδυασµός τους ta + (1 t)b, είναι επίσης διαθέσιµος. Η κυρτότητα του συνόλου κατανάλωσης είναι µιά από τις ϐασικές υποθέσεις της οικονοµίας. Σε οικονοµία µε άπειρα αγαθά υποθέτουµε οτι ο χώρος αγαθών είναι απειροδιάστατος χώρος E συνήθως χώρος µε norm ή χώρος Banach. Κάθε στοιχείο x του E είναι ενα διάνυσµα (δέσµη) αγαθών. Συνήθως υποθέτουµε επίσης οτι ο E είναι µερικά διατεταγµένος και η διάταξη του E χρησιµεύει στη σύγκριση των διανυσµατικών αγαθών. Το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνολο του E και συνήθως υποθέτουµε ότι X = E +. Το σύνολο κατανάλωσης µε την επαγόµενη τοπολογία είναι µετρικός χώρος και d(x, y) = x y για κάθε x, y X. είναι η επαγόµενη µετρική στο X. Οι τιµές απαιτούµε να είναι γραµµικές και συνεχείς, έτσι ως χώρος τιµών ϑεωρείται ο τοπολογικός δυϊκός E του E. Υπενθυµίζουµε οτι E είναι το σύνολο των γραµµικών και συνεχών απεικονίσεων p : E R. Αν υποθέσουµε οτι X = E + και p E είναι διάνυσµα τιµών απαιτούµε συνήθως p(x) 0 για κάθε x X, δηλαδή υποθέτουµε οτι δεν έχουµε αγαθά µε αρνητικές τιµές. Ετσι υποθέτουµε συνήθως οτι τα διανύσµατα τιµών είναι στοιχεία του ϑετικού κώνου E+ του E. Αν υποθέσουµε επίσης οτι δεν έχουµε ελευθερα αγαθά απαιτούµε p(x) > 0 για κάθε x E + µε x 0, άρα οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά και συνεχή γραµµικά συναρτησιακά

3 1.2. Σχέσεις Προτίµησης 3 του E. Στο κεφάλαι αυτό υποθέτουµε ότι ο χώρος αγαθών είναι χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνλο του E. 1.2 Σχέσεις Προτίµησης Υποθέτουµε ότι κάθε καταναλωτής συγκρίνει τα αγαθά σύµφωνα µε κάποια σχέση προτίµησης που συµβολίζεται µε και είναι µιά διµελής σχέση που ορίζεται στο σύνολο κατανάλωσης X. Ετσι αν x, y X και σύµφωνα µε αυτή την σχέση η δέσµη αγαθών x είναι προτιµότερη από την την δέσµη αγαθών y, γράφουµε x y ή y x και διαβάζουµε το x είναι προτιµότερο ή ίδιο του y ή το y είναι χειρότερο ή ίδιο του x, αντίστοιχα. Η σχέση προτίµησης ονοµάζεται ανακλαστική, αν x x για κάθε x X, πλήρης, αν για κάθε x, y X ισχύει x y ή y x, µεταβατική αν για κάθε x, y, z X έχουµε : x y και y z συνεπάγεται x z. Αν η είναι πλήρης, έχουµε ότι x x για κάθε x X, εποµένως κάθε πλήρης σχέση είναι και ανακλαστική. Αν η σχέση προτίµησης είναι πλήρης και µεταβατική, ονοµάζεται λογική. Αν x y και δεν ισχύει y x, δηλαδή y x, γράφουµε x y ή y x και λέµε ότι το x είναι γνησίως προτιµότερο του y ή ότι το y είναι γνησίως χειρότερο του x. Αν x y και y x γράφουµε x y και λέµε ότι το x είναι αδιάφορο ή ισοδύναµο του y. Η πληρότητα δηλώνει ότι το άτοµο (καταναλωτής) έχει µια τελείως καθορισµένη προτίµηση µεταξύ δυο οποιονδήποτε δεσµών αγαθών. Η µεταβατικότητα είναι µια ισχυρή υπόθεση και δηλώνει ότι υπάρχει ενιαία λογική που καθορίζει την προτίµηση µεταξύ των αγαθών και και ότι στις διάφορες επιλογές δεν υπεισέρχονται ανεξάρτητα ατοµικά κριτήρια. Για παράδειγµα αν καταναλωτής προτιµά το αγαθό A από το B επειδή στην επιλογή µεταξύ των αγαθών A και B ο συγκεκριµένος καταναλωτής

4 4 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων επιδοτείται αν επιλέξει το A και µεταξύ των B και Γ προτιµά το B εξαιτίας π.χ. της γεύσης του, αν κληθεί να επιλέξει µεταξύ των A και Γ δεν είναι σίγουρο ότι ϑα επιλέξει το A δεδοµένου ότι η επιδότηση δεν ισχύει όταν αυτό αντιπαρατίθεται µε το Γ. Οµως η αρχή της µεταβατικότητας είναι µία λογική υπόθεση την οποία δεχόµαστε ότι ισχύει. Αν δεν δεχθούµε την αρχή της µεταβατικότητας ένα µεγάλο µέρος της ϑεωρίας που ϑα αναφέρουµε παρακάτω δεν ισχύει. Η σχέση ονοµάζεται µονότονη αν για κάθε x, y X, x y συνεπάγεται x y. Αν για κάθε x, y X, x > y συνεπάγεται x y η σχέση ονοµάζεται αυστηρά µονότονη. Στούς δυό παραπάνω ορισµούς µονοτονίας υποθέτουµε ϕυσικά ότι είναι σχέση µερικής διάταξης στον E. Η σχέση ονοµάζεται τοπικά µη κορεσµένη αν για κάθε x X, και για κάθε ɛ > 0 υπάρχει y X, τέτοιο ώστε y x < ɛ και y x. Το διάνυσµα v X ονοµάζεται άκρως επιθυµητό (ως προς την σχέση προτίµησης ) αν για κάθε πραγµατικό αριθµό λ > 0 και για κάθε x X ισχύουν : x + λv X και x + λv x. Η σχέση προτίµησης ονοµάζεται οµοθετική αν για κάθε x, y X ισχύει η συνεπαγωγή : x y έπεται ότι αx αy για κάθε α R +. Τέλος, αν E = R m, η σχέση προτίµησης ονοµάζεται σχεδόν γραµ- µική ως προς το αγαθό i αν ισχύουν x y = (x + αe i ) (y + αe i ), για κάθε α R ώστε x + αe i, y + αe i X και x + αe i x για κάθε x X και κάθε α > 0 ώστε x + αe i X. Εστω η σχέση προτίµησης και έστω ότι x X. Το σύνολο των σ- τοιχείων του X τα οποία είναι προτιµότερα ή αδιάφορα του x ϑα ονοµάζεται σύνολο των προτιµότερων ή ίδιων στοιχείων του x και ϑα συµ- ϐολίζεται µε P (x) και το σύνολο των στοιχείων του X που είναι γνησίως προτιµότερα του x ϑα ονοµάζεται σύνολο των γνησίως προτιµοτέρων στοιχείων του x και ϑα συµβολίζεται µε P (x). ηλαδή

5 1.3. Κυρτές Σχέσεις Προτίµησης 5 P (x) = {y X y x}, P (x) = {y X y x}. Ανάλογα ορίζουµε τα P (x) και P (x), δηλαδή P (x) = {y X y x}, P (x) = {y X y x}. Επίσης για κάθε x X το σύνολο των στοιχείων που είναι αδιάφορα του x (προτιµούνται εξίσου µε το x) ϑα συµβολίζεται µε P (x), δηλαδή P (x) = {y X y x}. Αν η σχέση προτίησης είναι πλήρης, τα σύνολα P (x) και P (x), είναι συµπληρωµατικά υποσύνολα του X. Επίσης στη περίτωση αυτή τα σύνολα P (x) και P (x), είναι συµπληρωµατικά υποσύνολα του X. Αυτό ισχύει γιατί για κάθε y X, έχουµε y x ή y x, εποµένως η ένωση των P (x), P (x) είναι το X. Επίσης η τοµή των συνόλων αυτών είναι το κενό, γιατί δεν υπάρχει y X τέτοιο ώστε y x και y x. 1.3 Κυρτές Σχέσεις Προτίµησης Η σχέση προτίµησης ονοµάζεται κυρτή αν το σύνολο P (x) είναι κυρτό για κάθε x X. ηλαδή γιά κάθε x, y, z X ισχύει η συνεπαγωγή : y x και z x, έπεται ότι λy + (1 λ)z x για κάθε λ [0, 1].

6 6 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων αυστηρά κυρτή αν γιά κάθε x, y, z X µε y z ισχύει η συνεπαγωγή : y x, z x, έπεται ότι λy + (1 λ)z x για κάθελ (0, 1). Στη περίπτωση όπου E = R 2 και X = R 2 +, το παρακάτω σχήµα είναι ένα παράδειγµα κυρτής και αυστηρά κυρτής σχέσης προτίµησης. y x 1 λx 1 + (1 λ)x 2 P (x) y x 1 P (x) λx 1 + (1 λ)x 2 x 2 x x x x 2 x Κυρτή σχέση προτίµησης Αυστηρά κυρτή σχέση προτίµησης 1.4 Συναρτήσεις Χρησιµότητας Στην οικονοµία, οι προτιµήσεις των καταναλωτών εκφράζονται συχνά µε συναρτήσεις που σε κάθε δέσµη αγαθών x αντιστοιχίζεται ένας πραγ- µατικός αριθµός u(x) που είναι η ϐαθµολογία του καταναλωτή για το διάνυσµα αγαθών x σύµφωνα µε τις προτιµήσεις και τις ανάγκες του. Ετσι η δέσµη αγαθών x είναι προτιµότερη της δέσµης αγαθών y αν u(x) u(y). Ειδικότερα η συνάρτηση ορίζει τη σχέση u : X R,

7 1.4. Συναρτήσεις Χρησιµότητας 7 x y αν και µόνο αν u(x) u(y), στο X και λέµε ότι η σχέση αναπαρίσταται ή ορίζεται από τη συνάρτηση u. Μια σχέση προτίµησης µπορεί να αναπαρίσταται από περισσότερες από µια συναρτήσεις. Για παράδειγµα η σχέση προτίµησης (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) αν και µόνο αν x 1 + x 2 y 1 + y 2, του R 2 +, αναπαρίσταται από τις συναρτήσεις : u(x, y) = x + y, v(x, y) = x + y + c, w(x, y) = (x + y) 3. Εύκολα αποδεικνύεται ότι Πρόταση 1.1. Αν η σχέση προτίµησης ορίζεται από συνάρτηση, τότε η είναι λογική. Εστω ότι η σχέση προτίµησης ορίζεται από την συνάρτηση u. Τότε οι ισοσταθµικές της u, ονοµάζονται σύνολα αδιαφορίας της ή της u. Υπενθυµίζουµε ότι για κάθε ρ R, η ρ-ισοσταθµική της u είναι το σύνολο {x X u(x) = ρ}. Ετσι για κάθε x X το σύνολο των στοιχείων που είναι αδιάφορα του x 0 είναι η u(x 0 )-ισοσταθµική της u, δηλαδή P (x 0 ) = {y X u(y) = u(x 0 )}. Παράδειγµα 1.2. Υποθέτουµε ότι E = R 2 και το σύνολο κατανάλωσης X = R 2 +. Η συνάρτηση u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 ορίζει την σχέση προτίµησης (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) αν και µόνο αν x 1 + x 2 x 1 + x 2. Τα στοιχεία (x 1, x 2 ) R 2 + που είναι αδιάφορα του (1, 2) είναι εκείνα που ϐρίσκονται στην ευθεία x 1 + x 2 = 3 και τα προτιµότερα ή ίδια του (1, 2) εκείνα που ϐρίσκονται στην τοµή του ϑετικού ηµίχωρου x 1 + x 2 3 µε τον R 2 +.

8 8 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων y y P (1, 2) P (x) x (1, 2) u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 x u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 x Η συνάρτηση u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 ορίζει την σχέση προτίµησης (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) αν και µόνο αν x 1 x 2 x 1 x 2. Τα σύνολα αδιαφορίας της είναι οι ισοσταθµικές καµπύλες της u. Το είδος της συνάρτησης (κυρτή, κοίλη) συνδέτεται µε το είδος της σχέσης προτίµησης που αναπαριστά. Στούς παρακάτω ορισµούς υποθέτουµε πάντοτε ότι το X είναι κυρτό. Η συνάρτηση u : X R ονοµάζεται κυρτή αν για κάθε x, y X και για κάθε λ (0, 1) ισχύει u(λx + (1 λ)y) λu(x) + (1 λ)u(y), και ότι η u ονοµάζεται αυστηρά κυρτή αν για κάθε x, y X µε x y και για κάθε λ (0, 1) ισχύει u(λx + (1 λ)y) < λu(x) + (1 λ)u(y). Επίσης η συνάρτηση u ονοµάζεται κοίλη αν η u είναι κυρτή και αυστηρά κοίλη αν και η u είναι αυστηρά κυρτή. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση u είναι κυρτή αν και µόνο αν το επιγράφηµά της

9 1.5. Συνέχεια σχέσεων προτίµησης 9 {(x, a) X R u(x) a}, είναι κυρτό σύνολο και ότι η συνάρτηση u είναι κοίλη αν και µόνο αν το υπογράφηµά της {(x, a) X R u(x) a}, είναι κυρτό σύνολο. Η συνάρτηση u ονοµάζεται σχεδόν κυρτή αν για κάθε x, y X και για κάθε λ (0, 1) ισχύει u(λx + (1 λ)y) max{u(x), u(y)} και η u ονοµάζεται αυστηρά σχεδόν κυρτή αν u(λx + (1 λ)y) < max{u(x), u(y)}, γιά κάθε x, y X µε x y και λ (0, 1). Η u ονοµάζεται σχεδόν κοίλη αν η u είναι σχεδόν κυρτή και αυστηρά σχεδόν κοίλη αν η u είναι αυστηρά σχεδόν κυρτή. ηλαδή η συνάρτηση u είναι σχεδόν κοίλη αν για κάθε x, y X και για κάθε λ (0, 1) ισχύει u(λx + (1 λ)y) min{u(x), u(y)}, και η u είναι αυστηρά σχεδόν κοίλη αν u(λx + (1 λ)y) > min{u(x), u(y)}, γιά κάθε x, y X µε x y και λ (0, 1). 1.5 Συνέχεια σχέσεων προτίµησης Η σχέση προτίµησης ονοµάζεται : άνω ηµισυνεχής αν για κάθε x X το σύνολο P (x) είναι κλειστό υποσύνολο του X.

10 10 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων κάτω ηµισυνεχής αν για κάθε x X το σύνολο P (x) είναι κλειστό υποσύνολο του X. συνεχής αν είναι άνω ηµισυνεχής και κάτω ηµισυνεχής. Επειδή τα σύνολα P (x) και P (x) είναι συµπληρωµατικά, η σχέση προτίµησης είναι άνω ηµισυνεχής αν και µόνο αν για κάθε x X το σύνολο P (x) είναι ανοικτό υποσύνολο του X. Επίσης έχουµε ότι η είναι κάτω ηµισυνεχής αν και µόνο αν για κάθε x X το σύνολο P (x) είναι ανοικτό υποσύνολο του X. Σηµειώνουµε ότι στούς παραπάνω ορισµούς, το σύνολο X είναι εφοδιασµένο µε την επαγόµενη τοπολογία. Θεώρηµα 1.3. Εστω η συνάρτηση u : X R και έστω ότι η είναι η σχέση προτίµησης που ορίζεται από την u. Τότε (i) για κάθε x, y X ισχύει : x y αν και µόνο αν u(x) = u(y), (ii) η είναι µονότονη (αντίστοιχα αυστηρά µονότονη) αν και µόνο αν η u είναι µονότονη (αντίστοιχα αυστηρά µονότονη), (iii) αν η u είναι άνω ηµισυνεχής (αντίστοιχα κάτω ηµισυνεχής, συνεχής) τότε η είναι άνω ηµισυνεχής (αντίστοιχα κάτω ηµισυνεχής, συνεχής), (iv.) η είναι κυρτή αν και µόνο αν η u είναι σχεδόν κοίλη, (v) η είναι αυστηρά κυρτή αν και µόνο αν η u είναι αυστηρά σχεδόν κοίλη. Απόδειξη. (i) Από τον ορισµό της έχουµε ότι x y αν και µόνο αν x y και y x. Επειδή η u αναπαριστά την έχουµε ότι x y αν και µόνο αν u(x) u(y) και u(y) u(x), δηλαδή u(x) = u(y). (ii) Εστω ότι x, y X. Αν η σχέση είναι µονότονη, τότε x y έπεται ότι x y, άρα u(x) u(y). Εποµένως και η συνάρτηση u είναι µονότονη. Γιά το αντίστροφο υποθέτουµε ότι η u είναι µονότονη. Τότε x y έπεται ότι u(x) u(y), εποµένως x y, άρα η σχέση είναι µονότονη. Για αυστηρά µονότονες σχέσεις προτίµησης η απόδειξη είναι ανάλογη. (iii) Εστω ότι η u είναι άνω ηµισυνεχής. Τότε γιά κάθε x X έχουµε

11 1.5. Συνέχεια σχέσεων προτίµησης 11 P (x) = u 1 [u(x), ), που είναι κλειστό, εποµένως η είναι άνω ηµισυνεχής. Ανάλογα αποδεικνύονται και τα άλλα δύο µέρη της (iii). (iv) Υποθέτουµε ότι η είναι κυρτή, x, y X και λ (0, 1). Θα δείξουµε ότι u(λx + (1 λ)y) min{u(x), u(y)}. Επειδή u(x), u(y) είναι πραγµατικοί αριθµοί ϑα έχουµε u(x) u(y) ή u(y) > u(x). Εστω ότι u(x) u(y). Τότε ϑα έχουµε ότι x y, από όπου έπεται ότι λx + (1 λ)y y γιατί η είναι κυρτή. Επειδή η αναπαρίσταται από την u έχουµε u(λx + (1 λ)y) u(y) = min{u(x), u(y)}. Αν υποθέσουµε ότι u(y) > u(x) έχουµε επίσης ότι u(λx + (1 λ)y) u(x) = min{u(x), u(y)}, εποµένως η συνάρτηση u είναι σχεδόν κοίλη. Γιά το αντίστροφο υποθέτουµε ότι η συνάρτηση u είναι σχεδόν κοίλη. Τότε γιά κάθε x, y, z X ώστε y, z x και λ (0, 1) έχουµε u(λz + (1 λ)y) min{u(z), u(y)} = u(x), εποµένως λz + (1 λ)y x. Άρα η είναι κυρτή. Η (v) αποδεικνύεται ανάλογα µε την (iv). Το αντίστροφο της (iii) δεν ισχύει πάντοτε όπως ϕαίνεται στο επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα 1.4. Εστω η συνάρτηση u : R + R ώστε u(x) = x αν 0 x 4 και u(x) = x + 1 αν x > 4. Τότε η u δεν είναι άνω ηµισυνεχής ενώ η σχέση προτίµησης που ορίζεται από τη u στόν R είναι άνω ηµισυνεχής.

12 12 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων 1.6 Αναπαράσταση σχέσεων προτίµησης Αρχίζουµε τη παράγραφο αυτή µε ένα παράδειγµε σχέσης προτίµησης που δεν είναι συνεχής και επίσης δεν αναπαρίσταται από συνάρτηση χρησιµότητας Παράδειγµα 1.5 (Η Λεξικογραφική Σχέση Προτίµησης). Υποθέτουµε ότι E = X = R 2. Η σχέση (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) αν και µόνο αν x 1 > y 1 ή x 1 = y 1 και x 2 y 2 ονοµάζεται λεξικογραφική. Η σχέση αυτή είναι πλήρης και µεταβατική δηλαδή είναι λογική σχέση προτίµησης. Αν (x 1, x 2 ) R 2 + µε x 1, x 2 > 0 το σύνολο P (x 1, x 2 ) = {(y 1, y 2 ) (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 )}, δεν είναι κλειστό γιατί για κάθε n N έχουµε (x 1 + 1, 0) (x n 1, x 2 ) και (x 1 + 1, 0) (x n 1, 0) για το οποίο ισχύει (x 1, x 2 ) (x 1, 0). Αρα η λεξικογραφική σχέση προτίµησης δεν είναι άνω ηµισυνεχής. Ανάλογα έχουµε ότι δεν είναι κάτω ηµισυνεχής. Θα δείξουµε µε την µέθοδο της εις άτοπον απαγωγής ότι η λεξικογραφική σχέση προτίµησης δεν αναπαρίσταται από συνάρτηση χρησιµότητας. Υποθέτουµε ότι η u : R 2 + R, αναπαριστά την λεξικογραφική σχέση προτίµησης. Τότε γιά κάθε x R έχουµε (x, 2) (x, 1), εποµένως u(x, 2) > u(x, 1). Αρα για κάθε x υπάρχει ϱητός αριθµός r(x) τέτοιος ώστε : u(x, 2) > r(x) > u(x, 1). Αν υποθέσουµε ότι x, x R και x x, τότε αν x > x έχουµε : u(x, 2) > r(x) > u(x, 1) > u(x, 2) > r(x ) > u(x, 1), εποµένως r(x) > r(x ). Ανάλογα αν x > x έχουµε r(x ) > r(x), εποµένως η συνάρτηση r(x) είναι αµφιµονοσήµαντη. Εποµένως υπαρχει αµφιµονοσήµαντη απεικόνιση του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών στο σύνολο Q των ϱητών, άρα το R είναι αριθµήσιµο, που όπως γνωρίζουµε είναι άτοπο.

13 1.6. Αναπαράσταση σχέσεων προτίµησης 13 y (x, y) (x 1, y 1 ) y 1 x 1 (x n, 0) x Σχήµα 1.1: Λεξικογραφική σχέση Προτίµησης Θα δείξουµε τώρα σαν άσκηση ένα µερικό αποτέλεσµα του γενικού ϑεωρήµατος που αναφέρουµε στο τέλος του κεφαλαίου. Ασκηση 1.6. Εστω η λογική σχέση προτίµησης που ορίζεται στο R m +. Αν η είναι συνεχής και µονότονη, αναπαρίσταται από συνεχή συνάρτηση χρησιµότητας. Απόδειξη. Εστω η = (1, 1,..., 1). Γιά κάθε x R m + υπάρχει α R ώστε αη x, εποµένως αη x. Ορίζουµε την συνάρτηση u : R m + R ως εξής u(x) = inf{α R + αη x}. Θα δείξουµε ότι u(x)η x. Επειδή η είναι συνεχής το σύνολο {y R m + y x} είναι κλειστό, άρα u(x)η x. Αρκεί να δείξουµε ότι x u(x)η. Αν u(x) = 0, τότε u(x)η = 0 και από την µονοτονία της έχουµε ότι x u(x)η. Αν u(x) > 0, τότε από τον ορισµό του u(x) έχουµε ότι για κάθε ɛ > 0 ισχύει x (u(x) ɛ)η εποµένως x (u(x) ɛ)η για κάθε ɛ > 0. Παίρνοντας όρια όταν ɛ 0 έχουµε x u(x)η, άρα x u(x)η. Θα δείξουµε τώρα ότι η u αναπαριστά την δηλαδή ϑα δείξουµε ότι y x αν και µόνο αν u(y) u(x), γιά κάθε x, y R m +.

14 14 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Υποθέτουµε ότι y x. Για κάθε α R ώστε αη y έχουµε ότι αη x, άρα από τον ορισµό της u έχουµε u(y) u(x). Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι u(y) u(x). Τότε, όπως αποδείξαµε παραπάνω ισχύει y u(y)η και x u(x)η. Επειδή u(y) u(x) έχουµε u(y)η u(x)η, εποµένως y x. Αρα η u αναπαριστά την σχέση. Θα δείξουµε τώρα ότι η u είναι συνεχής. Από τον ορισµό της u έχουµε ότι το πεδίο τιµών της u είναι το διάστηµα [0, + ). Γιά κάθε a [0, + ) έχουµε u 1 [a, ) = {y R m + y aη}, που είναι κλειστό υποσύνολο του R m +, άρα η u είναι άνω ηµισυνεχής. Ανάλογα έχουµε ότι η u είναι κάτω ηµισυνεχής, και η u είναι συνεχής. Θεώρηµα 1.7. Αν ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος και συνεκτικός, κάθε λογική και συνεχής σχέση προτίµησης του X αναπαρίσταται από συνεχή συνάρτηση χρησιµότητας. Αποδεικνύουµε τα παρακάτω λήµµατα. Στά λήµµατα αυτά διατηρούµε τισ υποθέσεις του ϑεωρήµατος, δηλαδή υποθέτουµε ότι ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος και συνεκτικός, και είναι λογική και συνεχής σχέση προτίµησης του X. Λήµµα 1.8. Αν D X αριθµήσιµο και πυκνό στον X, για κάθε x, y X έχουµε : x y = x z y γιά ένα τουλάχιστο z D. Απόδειξη. Θα δείξουµε πρώτα ότι F = {w X x w y} =. υποθέσουµε ότι F =, έχουµε : Αν P (x) = P (y) και P (y) = P (x). Άρα έχουµε X = P (y) P (y) = P (y) P (x). Επίσης τα σύνολα P (y), P (x) είναι ανοικτά και ξένα γιατί P (x) P (y) = F =. Άρα

15 1.6. Αναπαράσταση σχέσεων προτίµησης 15 το X είναι ένωση δυό ανοικτών και ξένων υποσυνόλων του, άτοπο γιατί το X είναι συνεκτικό. Εποµένως F. Επίσης το F είναι ανοικτό σαν τοµή των ανοικτών P (x), P (y). Άρα υπάρχει w F και περιοχή U του w που περιέχεται στο F. Επειδή το D είναι πυκνό στο F τουλάχιστον ενα στοιχείο z του D ανήκει στην U, εποµένως z F. Άρα υπάρχει z D µε x z y. Λήµµα 1.9. Εστω D X αριθµήσιµο και πυκνό στον X, και (α, ϐ) µη κενό διάστηµα του R. Αν D είναι το σύνολο που προκύπτει απο το D αν αφαιρέσουµε το σύνολο των µέγιστων και το σύνολο των ελάχιστων στοιχείων του D, ως προς τη, αν τέτοια στοιχεία υπάρχουν και G είναι το σύνολο των ϱητών του διαστήµατος (α, ϐ), τότε υπάρχει συνάρτηση u : D G του D επί του G που αναπαριστά τη σχέση στο D, δηλαδή γιά κάθε x, y D έχουµε x y u(x) u(y). Απόδειξη. Εστω οτι D = {x n n N}. Αριθµούµε το σύνολο των ϱητών G του διαστήµατος (α, ϐ) και έστω G = {r n n N} µια αρίθµηση του G. Προκειµένου να ορίσουµε µια απεικόνιση του D στο G ορίζουµε την απεικόνιση f : N N ως εξής : Θέτουµε f (1) = 1 και u(x 1 ) = r f (1) = r 1. Για να προχωρήσουµε στο x 2 εξετάζουµε αν x 2 x 1, αν x 2 x 1 ή αν x 2 x 1. Αν x 2 x 1 ϑέτουµε αν x 2 x 1 ϑέτουµε και αν x 2 x 1 ϑέτουµε f (2) = f (1), f (2) = min{k N r k < r 1 }, f (2) = min{k N r k > r 1 } και στη συνέχεια ϑέτουµε u(x 2 ) = r f (2). ηλαδή στους παραπάνω ορισµούς παίρνουµε τον ϱητό µικρότερης τάξης που είναι µικρότερος ή µεγαλύτερος του r 1. Από τους παραπάνω

16 16 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων ορισµούς έχουµε ότι η διάταξη του συνόλου {r f (1), r f (2) } αντιστοιχεί µε τη διάταξη της σχέσης προτίµησης στο σύνολο {x 1, x 2 }, αφού x 1 x 2 r f (1) = r f (2), x 1 x 2 r f (1) > r f (2), x 2 x 1 r f (2) > r f (1). Παρατηρούµε επίσης οτι ο πληθικός αριθµός του συνόλου {f (1), f (2)} µας δείχνει το πλήθος των στοιχείων του {x 1, x 2 } που ανά δύο, δεν είναι αδιάφορα. Συνεχίζουµε επαγωγικά ως εξής. Υποθέτουµε οτι έχουµε ορίσει τα f (1), f (2),..., f (µ) ώστε για κάθε i, j {1, 2,..., k} ισχύει : x i x j r f (i) = r f (j), x i x j r f (i) < r f (j). Θα ορίσουµε το f (µ + 1). Αν x µ+1 x i για κάποιο i = 1, 2,..., µ ϑέτουµε f (µ +1) = f (i). Εστω k ο πληθάριθµος του συνόλου {f (1),..., f (µ)}. Τότε ακριβώς k απο τα x 1,..., x µ δεν είναι αδιάφορα (ισοδύναµα) ανά δύο και αριθµούµε εκ νέου τα στοιχεία αυτά ώστε να έχουµε Αν x µ+1 x µ1 ϑέτουµε x µ1 x µ2... x µk. f (µ + 1) = min{i N r i < r f (µ1 )}, αν x µl x µ+1 x µl+1 ϑέτουµε f (µ + 1) = min{i N f (µ l ) < r i < f (µ l+1 )}, αν x µ+1 x µk ϑέτουµε f (µ + 1) = min{i N r i > f (µ k )}. Αφού ορίσουµε το f (µ + 1) ϑέτουµε u(x µ+1 ) = r f (µ+1). Εποµένως η f ορίζεται γιά κάθε n και η απεικόνιση u ορίζεται για κάθε στοιχείο x n του D. Θα δείξουµε ότι η u είναι επί του G. Εχουµε ορίσει f (1) = 1 και u(x 1 ) = r f (1) = r 1. Ο επόµενος ϱητός r 2 είναι εικόνα µέσω της u κάποιου x k. Πραγµατικά αν r 2 < r 1 έχουµε : Επειδή το D δεν έχει ελάχιστα στοιχεία, έχουµε x k x 1 για ένα τουλάχιστον k. Αν k = min{k x k

17 1.6. Αναπαράσταση σχέσεων προτίµησης 17 x 1 } τότε x k είναι το πρώτο στη τάξη στοιχείο του D ώστε x k x 1 και σύµφωνα µε τον ορισµό της f έχουµε f (k ) = 2, άρα u(x k ) = r f (k ) = r 2. Ανάλογα αν r 2 > r 1 επειδή το D δεν έχει µέγιστα στοιχεία έχουµε x k x 1 για ένα τουλάχιστον k. Αν k = min{k x k x 1 }, τότε f (k ) = 2 και u(x k ) = r f (k ) = r 2. Στο επόµενο ϐήµα αποδεικνύουµε ανάλογα οτι ο r 3 είναι εικόνα κάποιου x k και συνεχίζοντας έχουµε οτι η απεικόνιση u είναι επί. Μετά από τα παραπάνω λήµµατα προχωρούµε στην απόδειξη του Θεωρήµατος. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι D X είναι αριθµήσιµο και πυκνό στον X. Υποθέτουµε επίσης ότι (α, ϐ) είναι µη κενό διάστηµα του R. Εστω D είναι το σύνολο που προκύπτει απο το D, αν αφαιρέσουµε το σύνολο των µέγιστων και το σύνολο των ελάχιστων στοιχείων του D, αν τέτοια στοιχεία υπάρχουν. ηλαδή αν d D, ώστε d x για κάθε x D είναι ελάχιστο στοιχείο του D και d D µε d x για κάθε x D, είναι µέγιστο στοιχείο του D, τότε D = D \ ({x D x d} {x D x d }). Εστω D = {x n n N}, έστω G = {r n n N} µια αρίθµηση του συνόλου των ϱητών G του διαστήµατος (α, ϐ) και έστω u : D G η συνάρτηση του προηγούµενου λήµµατος που αναπαριστά τη σχέση στο D. Αν υπάρχει d D, ώστε d x για κάθε x D, τότε για κάθε z D µε z d, ϑέτουµε u(z) = α. Αν υπάρχει d D µε d x για κάθε x D ϑέτουµε u(z) = ϐ για κάθε z D µε z d. Ετσι έχουµε ορίσει τη συνάρτηση u : D [α, ϐ]. Θα επεκτείνουµε τώρα τη συνάρτηση u απο το D στο X και ϑα συµ- ϐολίσουµε τη νέα συνάρτηση πάλι µε u. Για κάθε ελάχιστο στοιχείο (αν υπάρχει) x του X ϑέτουµε u(x) = α και για κάθε µέγιστο στοιχείο (αν υπάρχει) x του X ϑέτουµε u(x) = ϐ. Για κάθε x X που δεν είναι ούτε ελάχιστο ούτε µέγιστο στοιχείο του X ορίζουµε την u(x) ως εξής : Από το πρώτο λήµµα και την υποθεση ότι το x δεν είναι ούτε ελάχιστο ούτε µέγιστο X, έχουµε ότι υπάρχουν x, x D ώστε x x x. Εστω S(x) = inf{u(y) y D, y x},

18 18 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων και s(x) = sup{u(y) y D, y x} u(x ). Επειδή u(y) > u(x ) α για κάθε y D µε y x έχουµε ότι S(x) u(x ). Ανάλογα έχουµε οτι s(x) S(x) u(x ) ϐ. Αν υποθέσουµε οτι S(x) > s(x) τότε υπάρχει ϱητός r k G ώστε S(x) > r k > s(x). Εποµένως υπάρχει x i D ώστε u(x i ) = r k. Επειδή η σχέση είναι ολική, έχουµε ότι x i x ή x i x, οπότε ϑα έχουµε u(x i ) = r k s(x) ή u(x i ) = r k S(x), άτοπο. Εποµένως S(x) = s(x). Θέτουµε u(x) = s(x). Αν x D τότε προφανώς u(x) = inf {u(y) y D, y x i }, άρα η u είναι επέκταση της u στον X. Θα δείξουµε τώρα οτι η u αναπαριστά τη σχέση προτίµησης. Εστω x, y X. Αν x y τότε {z D z x} = {z D z y}, εποµένως απο τον ορισµό της u έχουµε οτι u(x) = u(y). Αντίστροφα αν u(x) = u(y) έχουµε ότι x y. Πραγµατικά αν υποθέσουµε ότι x, y δεν είναι αδιάφορα(ισοδύναµα) τότε x y ή y x. Αν x y υπάρχει z D µε y z x., εποµένως υπάρχουν z, z D µε y z z z x. Τότε απο τον ορισµό του u έχουµε οτι u(x) u(z ) > u(z) και u(y) u(z ) < u(z), άρα u(y) < u(z), άτοπο. Άρα έχουµε x y και ανάλογα καταλήγουµε σε άτοπο. Άρα έχουµε ότι y x. Εποµένως έχουµε x y u(x) = u(y). Εστω x y. Οπως προηγουµένως υπάρχουν z, z, z D ώστε y z z z x, από όπου έχουµε οτι u(x) > u(y). Αντίστροφα αν υποθέσουµε οτι u(x) > u(y) αποδεικνύεται ότι x y ως εξής : Αν x y, όπως αποδείχθηκε προηγουµένως u(x) = u(y), άτοπο. Αν x y υπάρχουν z, z, z D ώστε x z z z y, από όπου επεται ότι u(x) < u(y), άτοπο. Άρα έχουµε οτι x y. Εποµένως η u αναπαριστά την. Θα δείξουµε τώρα οτι η u είναι συνεχής. Ειδικότερα ϑα δείξουµε οτι η u είναι άνω ηµισυνεχής και κάτω ηµισυνεχής, άρα συνεχής. Για

19 1.7. Ασκήσεις 19 να δείξουµε οτι είναι άνω ηµισυνεχής, αρκεί να δείξουµε οτι για κάθε δ R, u 1 [δ, + ) = {x X u(x) δ} είναι κλειστό υποσύνολο του X (στην επαγόµενη τοπολογία του X). Αν δ α, τότε u 1 [δ, + ) = X, κλειστό και αν δ > ϐ, u 1 [δ, + ) =, κλειστό. Ετσι υποθέτουµε οτι α < δ ϐ. Τότε υπάρχει γνησίως αύξουσα ακολουθία ϱητών {r ik } του διαστήµατος (α, δ) που συγκλίνει στο δ. Επειδή η απεικόνιση u είναι επί, για κάθε k υπάρχει x jk ώστε u(x jk ) = r ik. Θα δείξουµε ότι u 1 [δ, + ) = k=1{x X x x jk }, οπότε το u 1 [δ, + ) είναι κλειστό σαν άπειρη τοµή κλειστών συνόλων. Εστω x u 1 [δ, + ) τότε u(x) δ, άρα u(x) > r ik = u(x jk ) για κάθε k, έχουµε x x jk για κάθε k γιατί η u αναπαριστά την, άρα x k=1{x X x x jk }. Αντίστροφα, αν υποθέσουµε οτι x x jk για κάθε k, εποµένως δ = lim k r jk u(x), άρα x u 1 [δ, + ). Εποµένως τα σύνολα είναι ίσα και το u 1 [δ, + ) είναι κλειστό. Ανάλογα αποδεικνύεται οτι και το σύνολο u 1 (, δ] είναι κλειστό, άρα η u ειναι συνεχής. 1.7 Ασκήσεις Ασκηση Εστω η σχέση προτίµησης που ορίζεται από τη συνάρτηση χρησιµότητας u : R m + R και έστω x 0 R m +. Υποθέτουµε ότι για κάθε x x 0 η εξίσωση u(x) = u(x 0 ) λύνεται ως προς µία µεταβλητή της, για παράδειγµα την m, και έστω x m = f (x 1,..., x m 1 ) η λύση. Αν το επιγράφη- µα της f και το σύνολο P (x 0 ) συµπίπτουν, δείξτε ότι το σύνολο P (x 0 ) είναι κυρτό αν και µόνο άν η f είναι κυρτή. Απόδειξη. Επειδή η f είναι κυρτή αν και µόνο αν το επιγράφηµά της είναι κυρτό, ισχύει η ισοδυναµία. Ασκηση είξτε ότι η σχέση προτίµησης που ορίζεται από την u(x, y) = xy είναι κυρτή. Απόδειξη. Εστω (x 0, y 0 ) R 2. Θα δείξουµε ότι το σύνολο P (x 0, y 0 ) = {(x, y) u(x, y) u(x 0, y 0 )}

20 20 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων είναι κυρτό. Αν x 0 = 0 ή y 0 = 0 τότε u(x 0, y 0 ) = 0 και P (x 0, y 0 ) = R 2 + που είναι κυρτό. Εστω u(x 0, y 0 ) = ρ > 0. Τότε το P (x 0, y 0 ) συµπίπτει µε το επιγράφηµα της f (x) = ρ, x > 0. Η f είναι κυρτή, άρα το επιγράφηµα x της f είναι κυρτό σύνολο. Επµένως P (x 0, y 0 ) είναι κυρτό σύνολο για κάθε (x 0, y 0 ) R 2 + και η σχέση προτίµησης είναι κυρτή. Ασκηση είξτε ότι κάθε κοίλη συνάρτηση είναι σχεδόν κοίλη. Ισχύει το αντίστροφο ; Απόδειξη. Εστω u : X R κοίλη συνάρτηση, όπου X κυρτό. Για κάθε x, y X, a (0, 1) έχουµε u(ax + (1 a)y) au(x) + (1 a)u(y). Οµως au(x) amin{u(x), u(y)} και (1 a)u(y) (1 a)min{u(x), u(y)}, εποµένως au(x)+(1 a)u(y) min{u(x), u(y)}. Άρα u(ax +(1 a)y) min{u(x), u(y)}, εποµένως η u είναι σχεδόν κοίλη. Η συνάρτηση f : [0, + ) R µε f (x) = x 2, δεν είναι κοίλη γιατί f ( 4+2) = 9 2 < 10 = 1 2 f (4) + 1 f (2). Η f είναι σχεδόν κοίλη γιατί γιά κάθε 2 0 x < y και a (0, 1) έχουµε f (ax + (1 a)y) = [ax + (1 a)y] 2 = a 2 x 2 + 2a(1 a)xy + (1 a) 2 y 2 > x 2 [a 2 + 2a(1 a) + (1 a) 2 ] = x 2 = min{f (x), f (y)}. Εποµένως δεν ισχύει το αντίστροφο. Ασκηση είξτε ότι κάθε σχέση προτίµησης στο R l + µε άκρως επι- ϑυµητό στοιχείο είναι τοπικά µη κορεσµένη. Επίσης δώστε παράδειγµα τοπικά µη κορεσµένης σχέσης προτίµησης που δεν είναι αυστηρά µονότονη. Απόδειξη. Εστω e 0 άκρως επιθυµητό στοιχείο της. Για κάθε ɛ > 0 και κάθε x R l + υπάρχει στοιχείο y Rl + µε y x και y x < ɛ. Πραγµατικά, το στοιχείο y = x+ ɛe ικανοποιεί αυτήν την ιδιότητα επειδή 2 e το e είναι άκρως επιθυµητό στοιχείο της. Εστω η σχέση προτίµησης του R 2 + που ορίζεται από τη συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y) = min{x, y}. Η είναι τοπικά µη κορεσµένη γιατί το (1, 1) είναι άκρως επιθυµητό στοιχείο της. Πράγµατι για κάθε δ > 0

21 1.7. Ασκήσεις 21 έχουµε u(x + δ, y + δ) = u((x, y) + δ(1, 1)) = min{x + δ, y + δ} = δ + min{x, y} = δ + u(x, y) > u(x, y). Οµως η δεν είναι αυστηρά µονότονη, γιατί (2, 1) > (1, 1) και u(2, 1) = 1 = u(1, 1). Ασκηση είξτε ότι το πεπερασµένο άθροισµα κοίλων συναρτήσεων είναι κοίλη συνάρτηση. Απόδειξη. Αρκεί να δειχθεί ότι το άθροισµα δύο κοίλων συναρτήσεων είναι κοίλη συνάρτηση. Εστω u, v : X R κοίλες συναρτήσεις, όπου X κυρτό. Τότε για κάθε x, y X, a (0, 1) έχουµε u(ax +(1 a)y) au(x)+(1 a)u(y), v(ax +(1 a)y) av(x)+(1 a)v(y), άρα (u+v)(ax +(1 a)y) a(u + v)(x) + (1 a)(u + v)(y). Ασκηση Εστω E χώρος µε norm και X E. Αν συνεχής σχέση προτίµησης που ορίζεται στο X και y 0 συνοριακό σηµείο του συνόλου P (x 0 ) = {x X x x 0 } (στην επαγόµενη τοπολογία του X) δείξτε ότι y 0 x 0. Απόδειξη. Για κάθε n N υπάρχει x n P (x 0 ) και x n / P (x 0 ) ώστε x n y 0 < 1 n, x n y 0 < 1 n. Τότε x n y 0 και x n x 0 άρα από τη συνέχεια της σχέσης προτίµησης, έχουµε y 0 x 0. Επίσης x n / P (x 0 ) άρα x 0 x n και x n y 0, εποµένως από τη συνέχεια της έπεται ότι x 0 y 0. Άρα y 0 x 0. Ασκηση Εστω E χώρος µε norm και X E, κυρτό και έστω συνεχής σχέση προτίµησης που ορίζεται στο X και x 0 X τέτοιο ώστε P (x 0 ). Αν y 0 x 0, και το σύνολο P (x 0 ) είναι αυστηρά κυρτό, δηλαδή x x 0, y x 0, x y τότε λx + (1 λ)y x 0 για κάθε λ (0, 1), δείξτε ότι y 0 είναι συνοριακό σηµείο του P (x 0 ). Απόδειξη. Εστω z X ώστε x 0 z. Αν υποθέσουµε ότι το y 0 δεν είναι συνοριακό σηµείο του P (x 0 ), υπάρχει σφαίρα B(y 0, ɛ) του y 0 µε κέντρο y 0 και ακτίνα ɛ > 0 που περιέχεται στο P (x 0 ). Εστω w 0 = inf {w (0, 1) z + t(y 0 z) x 0 για κάθε t [w, 1]}. Εστω z 0 = z + w 0 (y 0 z).

22 22 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Τότε z 0 x 0. Επίσης για κάθε n N υπάρχει t n (w 0 1, w n 0) ώστε z + t n (y 0 z) x 0. Επειδή z n = z + t n (y 0 z) z 0 και η είναι συνεχής έχουµε ότι x 0 z 0. Άρα z 0 x 0. Επίσης υπάρχει t 0 > 1 ώστε d = z + t 0 (y 0 z) B(y 0, ɛ). Άρα d x 0. Οµως y 0 = λz 0 + (1 λ)d για κάποιο λ (0, 1), και από την αυτηρή κυρτότητα έπεται ότι y 0 x 0, άτοπο διότι υποθέσαµε ότι y 0 x 0. Ασκηση Εστω E χώρος µε norm και X E, κυρτό και έστω συνεχής σχέση προτίµησης που ορίζεται στο X. Αν το σύνολο P (x 0 ) είναι αυστηρά κυρτό και P (x 0 ), δείξτε ότι intp (x 0 ) = P (x 0 ). Απόδειξη. Εστω y 0 P (x 0 ). Αν για κάθε n N υπάρχει x n B(y 0, 1) n P (x 0 ) τότε x n y 0 και επειδή η είναι συνεχής, ισχύει ότι y 0 x 0 άτοπο. Άρα B(y 0, 1) P n (x 0 ) για κάποιο n και άρα y 0 intp (x 0 ) εποµένως P (x 0 ) intp (x 0 ). Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι y 0 intp (x 0 ). Αν υποθέσουµε ότι y 0 x 0 τότε y 0 x 0 και από τη προηγού- µενη άσκηση έχουµε ότι το y 0 είναι συνοριακό σηµείο του P (x 0 ) που είναι άτοπο. Εποµένως y 0 x 0 άρα intp (x 0 ) P (x 0 ).