ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Π Α Ρ Α Δ Ο Σ Ε Ι Σ Γ Ι Α Τ Ο Μ Α Θ Η Μ Α ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΑΓΓΕΛΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Π.Θ. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 6

2 Κεφάλαιο Εισαγωγή-Βασικές έννοιες-σφάλµατα.. Ιστορικά στοιχεία Οι αριθµητικές διαδικασίες έχουν τις ρίζες τους στην πρώιµη ανάπτυξη των αριθµών. Μερικές από τις πρώτες αριθµητικές µεθόδους χρησιµοποιήθηκαν για την εύρεση των τιµών του π καθώς και για τον υπολογισµό εµβαδών και όγκων. Παραδείγµατα πρώιµης χρήσης αριθµητικών µεθόδων µπορεί κανείς να βρει στους Βαβυλώνιους που φαίνεται ότι χρησιµοποιούσαν το εµβαδόν ενός τραπεζίου για τον υπολογισµό πολύπλοκων εµβαδών και στον Βρύσονα, έναν από τους µαθητές του Πυθαγόρα, που χρησιµοποιούσε γύρω στα 5π.Χ. µία µέθοδο προσέγγισης καµπυλών, αυξάνοντας σταδιακά τον αριθµό των πλευρών ενός εγγεγραµµένου πολυγώνου. Στα δύο αυτά παραδείγµατα φαίνεται ένα κλασικό τέχνασµα της αριθµητικής ανάλυσης, δηλαδή η διαίρεση µίας περιοχής σε µικρότερες µε γνωστό εµβαδόν. Ο Αρχιµήδης το 5π.Χ. µε µια τέτοια µέθοδο έδωσε την προσέγγιση > π >. Ο Kepler το 65, σε µία διαφωνία που είχε µε έναν έµπορο κρασιών, 7 7 χρησιµοποίησε µια παρόµοια µέθοδο, προσεγγίζοντας τον όγκο ενός βαρελιού µε µία σειρά από αβαθείς κυλίνδρους. Η εµφάνιση του Λογισµού εισήγαγε τις έννοιες του ορίου και της παραγώγου, οι οποίες στη συνέχεια αφού µεταφράστηκαν σε διαδικασίες σε διακριτούς χώρους, αναπτύχθηκαν σε αριθµητικές τεχνικές. Εξαιτίας της δυσκολίας των υπολογισµών, πολλές από τις ανακαλύψεις παρέµειναν ανεφάρµοστες όταν πρωτοεµφανίστηκαν και η σηµασία τους έγινε φανερή µόνο πρόσφατα. Για παράδειγµα, ο Newto το 686 ερεύνησε την λύση µιας τριτοβάθµιας εξίσωσης αλλά στην ουσία έδωσε µια γενικότερη µέθοδο επίλυσης µηγραµµικών εξισώσεων. Ένα άλλο παράδειγµα είναι τα πολυώνυµα του Chebyshev τα οποία ήταν γνωστά από το 87 αλλά µόνο στα 96 συσχετίστηκαν µε προσεγγιστικούς αλγόριθµους. Η αριθµητική ανάλυση δεν θα µπορούσε να αναπτυχθεί χωρίς τη βοήθεια των υπολογιστών. Η ανάγκη για γρήγορους υπολογισµούς έδωσε τεράστια ώθηση στην ανάπτυξη υπολογιστικών συστηµάτων από τους πρώτους κυλιόµενους κανόνες του Delm 6 και του Oughtred 6 µέχρι την κατασκευή της πρώτης προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής ENIAC 96 και τέλος την πρόσφατη ανάπτυξη υπολογιστικών συστηµάτων µε παράλληλους επεξεργαστές που µπορούν να επιλύουν σύνθετα αριθµητικά προβλήµατα σε ελάχιστο χρόνο. Παράλληλα µε την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, αναπτύχθηκε και η παραγωγή κατάλληλου λογισµικού για την επίλυση αριθµητικών προβληµάτων. Σήµερα υπάρχουν πολλές βιβλιοθήκες µε πακέτα αριθµητικής ανάλυσης που θεωρούνται αρωγή στην µαθηµατική σκέψη. Μία τέτοια παραδοσιακή βιβλιοθήκη είναι η NAG η οποία περιέχει µεγάλη συλλογή από προγράµµατα για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήµατος αριθµητικής ανάλυσης. Τα τελευταία χρόνια χρησιµοποιούνται ευρύτατα ειδικά προγράµµατα µαθηµατικών όπως τα MATAB, Mthemtc, DERIVE, MAPE και S-plus. Η χρήση τους είναι αρκετά εύκολη και έχουν µεγάλες δυνατότητες σε πολύπλοκους υπολογισµούς, συµβολικές πράξεις και γραφικές παραστάσεις. Εδώ πρέπει να τονίσουµε ότι σε καµία περίπτωση η "τυφλή" χρήση των προγραµµάτων αυτών δεν µπορεί να αντικαταστήσει την -.-

3 θεωρητική γνώση αφού σε περιπτώσεις αδυναµίας επίλυσης ενός προβλήµατος, ο χρήστης πρέπει να γνωρίζει τις προϋποθέσεις και τους περιορισµούς κάθε µεθόδου που εφαρµόζει... Σκοπός της Αριθµητικής Ανάλυσης Η αριθµητική ανάλυση είναι ένα πεδίο των µαθηµατικών που έχει σκοπό την κατασκευή και ανάλυση υπολογιστικών µεθόδων για την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων. Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήµατος µε µια αριθµητική µέθοδο είναι δυνατό να περιγραφεί συνοπτικά στα παρακάτω στάδια:. ιατύπωση του προβλήµατος: Στο στάδιο αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το πρόβληµα που αντιµετωπίζουµε, αναµένεται να λυθεί µε τη βοήθεια υπολογιστή. Πρέπει λοιπόν να καθοριστούν συγκεκριµένοι στόχοι και κατάλληλα δεδοµένα, να γίνουν οι απαραίτητοι έλεγχοι και να γίνει πρόβλεψη του τύπου και της ποσότητας των αποτελεσµάτων.. Ανάπτυξη κατάλληλου αλγορίθµου: Στο στάδιο αυτό πρέπει να γίνει µια προκαταρκτική ανάλυση του αναµενόµενου σφάλµατος και στη συνέχεια να καθοριστεί µια σειρά από διαδικασίες που θα οδηγήσουν στην επίλυση του προβλήµατος. Σε σύνθετα προβλήµατα, είναι πιθανόν να χρειαστούν περισσότεροι από έναν αλγόριθµοι. Αφού αποφασιστεί ο αλγόριθµος, είναι αναγκαία η εξέταση όλων των δυνατών πηγών σφάλµατος που θα µπορούσαν να επηρεάσουν τα αποτελέσµατα. Πρέπει λοιπόν κανείς να καθορίσει πόση ακρίβεια απαιτείται, να εκτιµήσει το µέγεθος των σφαλµάτων στρογγυλοποίησης, να καθορίσει το κατάλληλο µέγεθος βήµατος και τον αριθµό των επαναλήψεων που χρειάζεται. Πρέπει ακόµη να εφοδιάσει τον αλγόριθµο µε κατάλληλους ελέγχους ακρίβειας και διορθωτικές ενέργειες σε περιπτώσεις απόκλισης.. Προγραµµατισµός: Ο προγραµµατιστής πρέπει να µεταφράσει τον αλγόριθµο σε µια σειρά από σαφείς οδηγίες προς τον υπολογιστή. Το στάδιο του προγραµµατισµού περιλαµβάνει περιγραφή του αλγορίθµου µε διαγράµµατα ροής flow chrts, και την ανάπτυξη του προγράµµατος είτε σε µία από τις γνωστές γλώσσες προγραµµατισµού, όπως FORTRAN, PASCA, C, ή ακόµα και σε µια από τις γλώσσες που παρέχουν τα σύγχρονα µαθηµατικά προγράµµατα όπως MATAB, Mthemtc, S-plus. Η αριθµητική ανάλυση συγκεντρώνει προβλήµατα από όλους τους άλλους κλάδους των µαθηµατικών, προβλήµατα στα οποία παρουσιάζεται η ανάγκη για αριθµητικούς υπολογισµούς. Μερικά παραδείγµατα δίνονται παρακάτω: Από το σχολείο ακόµη, οι µαθητές διδάσκονται την επίλυση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων µε µεθόδους όπως αυτή της απαλοιφής. Όσο όµως ο αριθµός των εξισώσεων αυξάνεται, η επίλυση µε τη µέθοδο αυτή γίνεται εξαιρετικά δύσκολη και χρονοβόρα. Σε τέτοια περίπτωση, απαιτείται η ανάπτυξη ενός προγράµµατος σε υπολογιστή που θα προσοµοιώνει την διαδικασία της απαλοιφής. Για τις µη-γραµµικές εξισώσεις συνήθως δεν υπάρχει διαθέσιµη αλγεβρική λύση. Για παράδειγµα, η εξίσωση e δεν µπορεί να λυθεί χωρίς τη βοήθεια µιας αριθµητικής µεθόδου. Συχνά, τα αόριστα ολοκληρώµατα δεν µπορούν να εκφραστούν µε αναλυτική µορφή. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ο υπολογισµός ορισµένων ολοκληρωµάτων όπως το πρέπει να γίνει µε µία αριθµητική προσεγγιστική µέθοδο. d y Η λύση διαφορικών εξισώσεων όπως η y δεν µπορεί να δοθεί σαν συνδυασµός d στοιχειωδών συναρτήσεων. Και σε αυτές τις περιπτώσεις είναι αναγκαία η εφαρµογή κάποιας αριθµητικής διαδικασίας. -.- π / s d,

4 Στα επόµενα, θα ασχοληθούµε µε την αριθµητική επίλυση γνωστών µαθηµατικών προβληµάτων, δίνοντας σε κάθε ευκαιρία τον αλγόριθµο επίλυσης και την ανάπτυξή του στο MATAB. Παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την τετραγωνική ρίζα του µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. Ένας από τους αρκετούς αλγόριθµους που βασίζονται στις τέσσερις θεµελιώδεις αριθµητικές πράξεις είναι ο εξής:, Ο αλγόριθµος αυτός µπορεί να εξηγηθεί εύκολα αν λάβουµε υπόψη ότι η παραπάνω αναδροµική ακολουθία θετικών όρων, έχει όριο τον αριθµό. Υπολογίζοντας τους διαδοχικούς όρους της ακολουθίας έχουµε τις ακόλουθες προσεγγίσεις,, 7, οι οποίες αν στρογγυλοποιηθούν σε δεκαδικά ψηφία δίνουν διαδοχικά:.,. 5,. 67,. Μια απλή συνάρτηση στο MATAB που υπολογίζει τον -στό όρο της παραπάνω ακολουθίας είναι: fucto yum f y; else y/*um-/um-; ed Πράγµατι, εκτελώντας τις παρακάτω εντολές παίρνουµε διαδοχικές προσεγγίσεις του :» um s» um s.5» um s » um s » um5 s.56769» um6 s.5679» um7 s

5 » sqrt s Υπολογιστικά Σφάλµατα Οι περισσότεροι αριθµητικοί υπολογισµοί περιέχουν κάποιο ποσοστό σφάλµατος είτε γιατί υπάρχουν σφάλµατα στα εισαγόµενα δεδοµένα στα οποία στηρίζονται οι υπολογισµοί, είτε γιατί τα σφάλµατα εµφανίζονται στην µετέπειτα ανάλυση των δεδοµένων. Στα επόµενα, θα υποθέσουµε ότι σε οποιαδήποτε αριθµητική διαδικασία που περιγράφουµε δεν υπάρχουν απρόβλεπτα λάθη τα οποία δηµιουργούνται είτε από ανθρώπινη απροσεξία είτε από µηχανικές βλάβες gross errors και η µελέτη τους είναι αντικείµενο στατιστικής ανάλυσης. Αντίθετα, θα εξετάσουµε ποια σφάλµατα δηµιουργούνται από την αριθµητική προσέγγιση της λύσης ενός προβλήµατος. Σφάλµατα στρογγυλοποίησης roudoff errors: Είναι τα σφάλµατα τα οποία εµφανίζονται σαν συνέπεια της χρησιµοποίησης ενός αριθµού µε δεκαδικά ψηφία για να προσεγγίσουµε έναν αριθµό που στην ακριβή µορφή του χρειάζεται περισσότερα από ψηφία στη γενική περίπτωση άπειρα ψηφία για να οριστεί. Τέτοια σφάλµατα εµφανίζονται συχνά στα εισαγόµενα δεδοµένα είτε γιατί τα δεδοµένα είναι εµπειρικά και µόνο τα ψηφία τους είναι γνωστά, είτε γιατί, παρόλο που είναι γνωστά, στρογγυλοποιούνται σκόπιµα για λόγους ευκολίας και λειτουργικότητας. Τέτοια σφάλµατα αναφέρονται συχνά και σαν έµφυτα σφάλµατα heret errors. Σφάλµατα στρογγυλοποίησης εµφανίζονται και κατά τη διάρκεια των υπολογισµών είτε λόγω ηθεληµένης στρογγυλοποίησης, είτε επειδή ο κάθε υπολογιστής έχει περιορισµένη δυνατότητα παράστασης αριθµών σε αριθµητικές πράξεις. Παράδειγµα. Παρατηρείστε στις παρακάτω πράξεις µε ποιον τρόπο δηµιουργείται σφάλµα στρογγυλοποίησης στην πρόσθεση δύο αριθµών. Η συνάρτηση vp,d του MATAB υπολογίζει την έκφραση µε ακρίβεια d ψηφίων.» 9.99*^;b9.99*^-;» vpb,6 s 999.» vpb, s Στον υπολογισµό του αθροίσµατος µε 6 ψηφία, το b δεν έχει απολύτως καµία επίδραση. Σφάλµατα αποκοπής tructo errors: Είναι τα σφάλµατα που εµφανίζονται κατά τη διάρκεια της αριθµητικής διαδικασίας και δεν ανήκουν στην προηγούµενη κατηγορία. Τα σφάλµατα αυτά εµφανίζονται δηλαδή ακόµα και σε ιδανικές υποθετικές καταστάσεις όπου όλα τα δεδοµένα είναι ακριβή και στους υπολογισµούς χρησιµοποιούνται άπειρα ψηφία. Συχνά, δηµιουργούνται από αποκοπή tructo µιας διαδικασίας µετά από πεπερασµένο αριθµό βηµάτων, ενώ η ίδια διαδικασία θα µπορούσε να δώσει ακριβές αποτέλεσµα αν εκτελούνταν σε άπειρο αριθµό βηµάτων. -.5-

6 Παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την τιµή του e, > χρησιµοποιώντας τον τύπο e! Η προσέγγιση που γίνεται από το πολυώνυµο Tylor -βαθµού είναι: e! Το σφάλµα αποκοπής είναι: ξ e, <!!!! < ξ Όσο αυξάνουµε τον αριθµό των όρων της προσέγγισης, δηλαδή όταν, το σφάλµα αποκοπής τείνει στο µηδέν και τα µερικά αθροίσµατα συγκλίνουν στην πραγµατική τιµή του e. Η παρακάτω συνάρτηση δίνει ένα διάνυσµα µε τιµές των απόλυτων σχετικών σφαλµάτων που προκύπτουν από διαδοχικές προσεγγίσεις του e µε πολυώνυµα βαθµών,,, και στη συνέχεια δηµιουργεί γραφική παράσταση του διανύσµατος. Η συνάρτηση απαιτεί να καθορίσουµε το και το. Σαν απόλυτο σχετικό σφάλµα µίας προσέγγισης ~ της ~ πραγµατικής τιµής ορίζουµε την ποσότητα. fucto relerrum, term; sum; resultep; for : term*term/; sumsumterm; errorbsresult-sum; ed relerrerror/result; plot:,relerr,'*-'; Τα τέσσερα πλαίσια στο Σχήµα. δηµιουργούνται από την εκτέλεση των παρακάτω εντολών:» subplot,,» um.5,;» subplot,,» um,;» subplot,,» um5,;» subplot,,» um,; -.6-

7 Σχήµα.: Σχετικό σφάλµα διαδοχικών προσεγγίσεων της τιµής e.5,, 5, από πολυώνυµα Tylor βαθµού,,. Παράδειγµα. Ένα άλλο παράδειγµα σφάλµατος αποκοπής είναι ο υπολογισµός τιµών της παραγώγου µιας συνάρτησης f µε τη βοήθεια του θεωρήµατος Tylor: h h f h f hf f!! f h h f h f hf f!! f Αφαιρώντας τις δύο παραπάνω εξισώσεις και διαγράφοντας τους όρους µε παίρνουµε: h,,k f h f h hf ή f f h f h h Σαν παράδειγµα µπορούµε να δούµε στο Σχήµα. α προσεγγίσεις των τιµών της s h f h συνάρτησης f cos στο διάστηµα [, π] από τον τύπο cos h όπου h. Έχουµε δηλαδή θεωρήσει ότι η συνάρτηση cos είναι παράγωγος της s. Η προσέγγιση µπορεί να βελτιωθεί µε κατάλληλη επιλογή του h. Στο β του ίδιου σχήµατος, µπορούµε να δούµε την βελτίωση της προσέγγισης παίρνοντας h.5. h

8 .8.6 cos Appromto.8.6 cos Appromto Παράδειγµα.5 α β Σχήµα.: Προσεγγίσεις των τιµών της συνάρτησης cos θεωρώντας την παράγωγο της συνάρτησης s. Στο α h και στο β h.5 Ο υπολογισµός του ορισµένου ολοκληρώµατος µιας συνάρτησης b f d άθροισµα τραπεζίων µε σταθερό ύψος είναι µία ακόµη περίπτωση σφαλµάτων αποκοπής Σχήµα.. f από τον τύπο: Σχήµα.: Προσέγγιση ολοκληρώµατος από άθροισµα τραπεζίων σταθερού ύψους -.8-

9 Γενικά, µπορούµε να πούµε ότι η εξαγωγή των σωστών λύσεων στα περισσότερα προβλήµατα είναι είτε αδύνατη, είτε ασύµφορη από την άποψη του κόστους. Για τον λόγο αυτόν καταφεύγουµε σε προσεγγιστικές λύσεις των προβληµάτων. Βέβαια το θέµα είναι κατά πόσο µία προσέγγιση µπορεί να θεωρηθεί αποδεκτή. Μία λύση είναι αποδεκτή όταν η τιµή που έχει προκύψει από τους υπολογισµούς διαφέρει από την ακριβή τιµή λιγότερο από ένα προκαθορισµένο όριο ανοχής σφάλµατος error tolerce, δηλαδή όταν προσέγγιση ακριβής λύση όριο ανοχής. Το όριο ανοχής είναι ένα µέρος των προδιαγραφών του αλγόριθµου. Σαν σφάλµα error προσέγγισης ~ της πραγµατικής τιµής ορίζουµε την ποσότητα σφάλµα ~ ενώ σαν σχετικό σφάλµα reltve error την ποσότητα ~ σχετικό σφάλµα. Ισχύει ~ σχετικό σφάλµα Συχνά εργαζόµαστε µε τις απόλυτες τιµές των σφαλµάτων και των σχετικών σφαλµάτων. Πολλές φορές επίσης πολλαπλασιάζουµε το σχετικό ή το απόλυτα σχετικό σφάλµα µε για να το εκφράσουµε µε ένα % ποσοστό... ιάδοση σφαλµάτων Η παράσταση φυσικών ποσοτήτων συνοδεύεται από σφάλµατα που οφείλονται στην αριθµητική πεπερασµένης ακρίβειας των υπολογιστών. Οι υπολογισµοί που βασίζονται επάνω σε εσφαλµένα δεδοµένα επιφέρουν πρόσθετα σφάλµατα στρογγυλοποίησης και αποκοπής. Έτσι, σε κάθε βήµα µιας υπολογιστικής διαδικασίας, εµφανίζονται σφάλµατα τα οποία συσσωρεύονται αθροιστικά κατά την διάρκεια της διαδικασίας. Στο Σχήµα. φαίνεται µε ποιον τρόπο το αρχικό σφάλµα δεδοµένων ~ προκαλεί ένα σφάλµα µεγέθους ε στον υπολογισµό της f όταν η συνάρτηση υπολογίζεται ακριβώς. Αν τώρα ο υπολογισµός των τιµών της συνάρτησης είναι προσεγγιστικός και εποµένως επιρρεπής σε υπολογιστικά σφάλµατα, τότε µπορεί να εµφανιστεί ένα πρόσθετο σφάλµα υπολογισµού, µεγέθους ε. ηλαδή έχουµε: Σφάλµα δεδοµένων: ~ Σφάλµα διάδοσης: ε ~ f f Σφάλµα υπολογισµών: ~ ε ~ ~ f f Συνολικό σφάλµα: ~ ε ε f ~ f -.9-

10 Σχήµα.: ιάδοση σφαλµάτων δεδοµένων στους υπολογισµούς Παράδειγµα.6 Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την πλευρά c του τριγώνου στο Σχήµα.5 όταν οι άλλες πλευρές είναι, b και η γωνία θ. o θ Σχήµα.5: Υπολογισµός πλευράς τριγώνου Γνωρίζουµε ότι c bcosθ b bs bsθ θ b bcosθ -.- b b s θ

11 και εποµένως ένας τύπος υπολογισµού της πλευράς είναι θ c b bs Αν υποθέσουµε ότι στα δεδοµένα εισάγεται σαν προσέγγιση του, η τιµή ~. πιθανώς από προηγούµενες πράξεις, τότε µπορούµε να δούµε εύκολα ότι ένα απόλυτα ~ σχετικό σφάλµα δεδοµένων τάξης %.%, προκαλεί ένα απόλυτα σχετικό σφάλµα τάξης.% στο τελικό αποτέλεσµα. Πράγµατι, Πραγµατική τιµή Προσέγγιση Απόλυτα σχετικό σφάλµα %..% b.9 % b.8 9% b s / % θ c % c.9.97.% Η γραφική παράσταση στο Σχήµα.6 δείχνει την καµπύλη του απόλυτα σχετικού σφάλµατος στα δεδοµένα για διαδοχικές προσεγγίσεις του από. έως.9 και το αντίστοιχο απόλυτα σχετικό σφάλµα που προκύπτει στο τελικό αποτέλεσµα. Είναι φανερό ότι µια γραµµική αύξηση του σφάλµατος των δεδοµένων προκαλεί εκθετική αύξηση σφάλµατος στα αποτελέσµατα. / Abs. Rel. Error dt % Abs. Rel. Error results % Σχήµα.6. Σύγκριση ανάµεσα στο απόλυτα σχετικό σφάλµα δεδοµένων και στο αντίστοιχο σφάλµα στα αποτελέσµατα Παράδειγµα.7 Στην εύρεση των ριζών του πολυωνύµου p z z z z z z z! αν αντικαταστήσουµε τον συντελεστή µε, µερικές από τις ρίζες του νέου πολυωνύµου είναι µιγαδικές. Πράγµατι, µε την παρακάτω ακολουθία εντολών στο

12 MATAB, ορίζουµε τη συµβολική µεταβλητή z και στη συνέχεια δηµιουργούµε τα πολυώνυµα p_e το αρχικό και p_ew αυτό που προκύπτει µε την αλλαγή του συντελεστή. Η εντολή solve υπολογίζει τις ρίζες των δύο πολυωνύµων. Βλέπουµε ότι στην δεύτερη περίπτωση οι πρώτες ρίζες είναι προσεγγίσεις των ριζών,, αλλά οι υπόλοιπες είναι µιγαδικές.» syms z» pz-*z-*z-*z-*z-5*z-6*... z-7*z-8*z-9*z-*z-*z-*z-*... z-*z-5*z-6*z-7*z-8*z-9*z-;» p_eepdp;» p_ewp_e^-7*z^9;» solvep_e s [ ] [ ] [ ] [ ] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9] [ ]» solvep_ew s [.865] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ *] [ *] [ *] [ *] [ *] [ *] [ *] [ *] [ *] [ *] Τα παραπάνω παραδείγµατα µας δείχνουν ότι µικρές αλλαγές στα δεδοµένα µπορούν να προκαλέσουν απρόβλεπτα µεγάλες αλλαγές στα αποτελέσµατα. Γενικά, ορίζουµε σαν -.-

13 ευαισθησία ενός προβλήµατος την σχετική εξάρτηση των σφαλµάτων στα αποτελέσµατα από τα σφάλµατα των δεδοµένων. Πιο αυστηρά, ορίζουµε σαν δείκτη κατάστασης ενός προβλήµατος codto umber: σχετικό σφάλµα αποτελεσµάτων είκτης κατάστασης προβλήµατος σχετικό σφάλµα δεδοµένων Ένα πρόβληµα µε µικρό δείκτη κατάστασης θεωρείται πρόβληµα σε καλή κατάσταση wellcodtoed και δεν επηρεάζεται σηµαντικά από σφάλµατα δεδοµένων. Ένα πρόβληµα µε δείκτη κατάστασης πολύ µεγαλύτερο από θεωρείται πρόβληµα σε κακή κατάσταση llcodtoed και παρουσιάζει µεγάλη ευαισθησία σε σφάλµατα των δεδοµένων. Παράδειγµα.8 ιάδοση σφαλµάτων στις βασικές αριθµητικές πράξεις Αξίζει να εξετάσουµε µε ποιον τρόπο γίνεται η διάδοση των σφαλµάτων στα δεδοµένα κατά τη διάρκεια των βασικών πράξεων της αριθµητικής. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι οι αριθµοί και b που θα συµµετέχουν στις πράξεις προσεγγίζονται από τους αριθµούς ~ ~ και b όπου ~ η και ~ b b η b. Το σχετικά σφάλµατα των προσεγγίσεων είναι αντίστοιχα: ~ ~ η b b ηb ε και ε b. b b Εποµένως ισχύει: ~ ~ ε και b b ε b. Ας εξετάσουµε τώρα τη διάδοση των παραπάνω σφαλµάτων στις βασικές πράξεις εκφράζοντας κάθε φορά το σφάλµα που προκύπτει από τους υπολογισµούς σαν συνάρτηση των σχετικών σφαλµάτων στα δεδοµένα. Έτσι έχουµε: α Πρόσθεση Το σχετικό σφάλµα του αποτελέσµατος της πρόσθεσης θα είναι: ~ b ~ b ε b εb b b ε b ε εb b b b b Αν λοιπόν b, το ε µπορεί να γίνει µεγάλο. Για παράδειγµα, αν τότε b 8.99 µε ε 6 και b 8. µε 6, ε b. Το φαινόµενο που παρουσιάζεται σε αυτές τις περιπτώσεις, ονοµάζεται καταστροφική ακύρωση σηµαντικών ψηφίων ctstrophc ccellto αφού το άθροισµα που υπολογίζεται έχει µόνο σηµαντικά ψηφία. β Πολλαπλασιασµός Το σχετικό σφάλµα του αποτελέσµατος του πολλαπλασιασµού θα είναι: b ~~ b b ε ε b b ε b ε ε b ε ε b ε ε b b b αφού ε ε b. γ ιαίρεση Το σχετικό σφάλµα του αποτελέσµατος της διαίρεσης θα είναι: -.- ε b

14 ~ ~ / b / b / b[ ε / ε b ] / b ε ε b / b / b ε b Αλλά από τη γεωµετρική σειρά ισχύει: / ε b ε b ε b ε Άρα, θεωρώντας και πάλι ότι ε ε b ε ε ε ε / b b b ε b. Παράδειγµα.9 Αποφυγή της καταστροφικής ακύρωσης Ας εξετάσουµε µια περίπτωση όπου η καταστροφική ακύρωση σηµαντικών ψηφίων µπορεί να αποφευχθεί αλλάζοντας τον τρόπο υπολογισµού. Ας θεωρήσουµε τον παρακάτω υπολογισµό: y δ για και δ. µε την προϋπόθεση ότι στον υπολογισµό των τετραγωνικών ριζών χρησιµοποιούµε αριθµητική δύο δεκαδικών ψηφίων. Τότε θα έχουµε: δ οπότε ~ y και εποµένως ~ y y σχετικό σφάλµα ή %. y Η κατάσταση µπορεί να διορθωθεί αν αλλάξουµε τον τύπο υπολογισµού. Συγκεκριµένα, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ισοδύναµη σχέση δ δ y δ. δ δ Χρησιµοποιώντας αριθµητική δύο δεκαδικών ψηφίων, το αποτέλεσµα του υπολογισµού είναι ~. y.5 και εποµένως το απόλυτα σχετικό σφάλµα είναι σχετικό σφάλµα.6 ή.6% Ένας άλλος τρόπος υπολογισµού της παραπάνω ποσότητας y βασίζεται στο ανάπτυγµα Tylor µιας συνάρτησης f γύρω από το : δ f δ f δ f f! Αν θέσουµε λοιπόν f, f, f και χρησιµοποιήσουµε µόνο τους τρεις πρώτους όρους του παραπάνω αναπτύγµατος, θα έχουµε: δ f δ f δ f f! -.-

15 ηλαδή µε αριθµητική δύο δεκαδικών δ δ.. δ Υπολογισµοί κινητής υποδιαστολής Ένας θετικός ακέραιος N µπορεί να γραφεί σε ένα αριθµητικό σύστηµα βάσης β µε τη µορφή: N β β β P β, δηλαδή µε τη µορφή ενός πολυωνύµου P β βαθµού µε συντελεστές,,, K,, µηαρνητικούς ακέραιους µικρότερους από β. Για παράδειγµα στο δεκαδικό σύστηµα β και 9, ενώ στο δυαδικό σύστηµα β και. Ένας κλασµατικός αριθµός z < µπορεί να παρασταθεί στο αριθµητικό σύστηµα µε βάση β µε τη µορφή: z β β β j δηλαδή µε τη µορφή µιας σειράς απείρων όρων η οποία πάντοτε συγκλίνει. Παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι στο δεκαδικό σύστηµα β όλοι οι συντελεστές της παραπάνω σειράς είναι ίσοι µε 9, δηλαδή 9, j,,.... Τότε, j j j j j j β 9 j j j j ηλαδή z Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε και αν θεωρήσουµε στο δυαδικό σύστηµα β όλους τους συντελεστές της σειράς ίσους µε. Στο σηµείο αυτό αξίζει να υπενθυµίσουµε τους τύπους που µας δίνουν το άθροισµα των όρων της γεωµετρικής σειράς ω j ω ω και το άθροισµα των άπειρων όρων της j ω ω j j j β µε την προϋπόθεση ότι ω <. j -.5-

16 Παράδειγµα. - Μετατροπή δυαδικού ακέραιου σε δεκαδικό Στην µετατροπή ενός αριθµού από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστηµα, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον κανόνα του Horer για τα πολυώνυµα ο οποίος είναι ιδιαίτερα χρήσιµος στον υπολογισµό τιµών πολυωνύµων. Ας τον δούµε µε ένα πολυώνυµο ου βαθµού: P Ο αλγόριθµος λοιπόν για τη µετατροπή ενός δυαδικού σε δεκαδικό στηρίζεται επάνω στον κανόνα αυτόν. Ο δυαδικός αντιµετωπίζεται σαν πολυώνυµο βαθµού, µε, που έχει γραφεί στη µορφή Horer και οι υπολογισµοί γίνονται µε βάση τη σειρά των παρενθέσεων από µέσα προς τα έξω. Αναλυτικά ο αλγόριθµος είναι: b for,,, b b ed Σαν εφαρµογή, θα µετατρέψουµε στο δεκαδικό σύστηµα τον δυαδικό ακέραιο N. Στον παρακάτω πίνακα βλέπουµε τα βήµατα του αλγόριθµου όπου και b Τελικά προκύπτει N 8 Παράδειγµα. - Μετατροπή δεκαδικού ακέραιου σε δυαδικό Στην περίπτωση αυτή, παρατηρούµε ότι αν τότε: N αν ο Ν είναι άρτιος αν ο Ν είναι περιττός Χρησιµοποιώντας αυτή την παρατήρηση θα µετατρέψουµε τον δεκαδικό ακέραιο N 8 στο δυαδικό σύστηµα. Έχουµε: N 8 N N 9 N N -.6-

17 Όλα τα βήµατα της διαδικασίας αυτής δίνονται στον παρακάτω πίνακα: N Εποµένως, N 8. Παράδειγµα. - Μετατροπή κλασµατικού αριθµού στο δυαδικό σύστηµα Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µετατρέψουµε τον κλασµατικό αριθµό δυαδικό σύστηµα. Ο αλγόριθµος µε τον οποίο γίνεται η µετατροπή είναι: z. στο z z for,,,. f z f z z z ed < Πράγµατι, αρκεί να παρατηρήσουµε εδώ ότι αν τότε z z. z Οπότε το θα είναι πλέον το ακέραιο µέρος του z. Συγκρίνοντας το z µε το βρίσκουµε το. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για z z, κ.ο.κ. Αν εκτελέσουµε τον αλγόριθµο, θα πάρουµε: z. z. < z z. z. < z z. z.8 < z 5 z 6 z5 5 z.8 z.6 > z.6 z 5. > 5 z. z 6. < 6 κ.ο.κ. Παρατηρούµε λοιπόν ότι η διαδικασία επαναλαµβάνεται χωρίς να τερµατίζεται δίνοντας έναν δυαδικό κλασµατικό αριθµό µε άπειρα ψηφία -.7-

18 z.. {{{.... Το αποτέλεσµα µπορούµε να το επαληθεύσουµε και θεωρητικά ως εξής: Είναι φανερό ότι όταν ένας κλασµατικός αριθµός έχει αντιπροσώπευση µε άπειρα δυαδικά ψηφία, αναγκαζόµαστε κάποτε να τον τερµατίσουµε. ηµιουργείται τότε ένα σφάλµα τερµατισµού άπειρου δυαδικού κλάσµατος. Για παράδειγµα, αν z.. τότε ~ z και σχετικό σφάλµα.9 Οι υπολογισµοί στις µηχανές γίνονται µε αριθµητική κινητής υποδιαστολής flotg-pot rthmetc. Με τον όρο αυτόν αναφερόµαστε σε ένα αριθµητικό σύστηµα το οποίο χρησιµοποιεί πεπερασµένο αριθµό ψηφίων για να προσεγγίσει το σύστηµα των πραγµατικών αριθµών. Έστω ένας πραγµατικός αριθµός τον οποίον πάντοτε µπορούµε να γράψουµε µε τη µορφή ±. ddd... όπου d 9 και d 9 για,,... Η παράσταση κινητής υποδιαστολής µε t δεκαδικά ψηφία του είναι: όπου E E fl ±. dd... dt d 9 και d 9 για,,..., t Η συνθήκη d εξασφαλίζει ότι ο αριθµός κινητής υποδιαστολής είναι κανονικοποιηµένος ormlzed. To E ονοµάζεται απλά εκθέτης epoet και το dd... dt ονοµάζεται κλασµατικό µέρος mtss / frcto. Οι τιµές που µπορεί να πάρει ο εκθέτης είναι περιορισµένες. Αν υποθέσουµε ότι N E M, τότε στην περίπτωση που οι υπολογισµοί καταλήξουν σε εκθέτη E < N, έχουµε το φαινόµενο της υπεκχείλισης uderflow ενώ όταν E > M έχουµε υπερχείλιση overflow. Ο παραπάνω ορισµός µπορεί εύκολα να γενικευτεί σε οποιαδήποτε βάση β: όπου E fl ± β. dd... dt d β και d β για,,..., t -.8-

19 Αυτό που πρέπει να τονιστεί εδώ είναι ότι οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής αποτελούν ένα πεπερασµένο αριθµητικό σύστηµα ρητών αριθµών που χρησιµοποιείται για να προσεγγίσει το άπειρο σύνολο των πραγµατικών αριθµών..6. Κατάσταση προβληµάτων Ευστάθεια αλγορίθµων Σε προηγούµενη παράγραφο είδαµε ότι σε ορισµένα προβλήµατα που επιλύονται µε αριθµητικές µεθόδους µπορεί να καταλήξουµε σε πολύ άσχηµα αποτελέσµατα από την άποψη της ακρίβειας. Τέτοια αποτελέσµατα είναι δυνατό να οφείλονται είτε στη φύση του προβλήµατος είτε στον αλγόριθµο που χρησιµοποιούµε. Συγκεκριµένα, το πρόβληµα µπορεί να είναι σε κακή κατάσταση, δηλαδή µικρές διαταράξεις στα εισαγόµενα δεδοµένα να προκαλούν µεγάλες αλλαγές στα αποτελέσµατα ή ο αλγόριθµος να έχει προβλήµατα στη δοµή του, δηλαδή να είναι ασταθής. Παράδειγµα. Ας θεωρήσουµε το γραµµικό σύστηµα το οποίο έχει ακριβή λύση. Θα υπολογίσουµε τη λύση του χρησιµοποιώντας αριθµητική δεκαδικών ψηφίων µε περικοπή choppg δηλαδή τα αποτελέσµατα των πράξεων θα παριστάνονται από δεκαδικούς από τους οποίους κρατάµε µόνο τα δεκαδικά ψηφία διώχνοντας τα υπόλοιπα χωρίς στρογγυλοποίηση. Σύµφωνα µε τα όσα προαναφέραµε για την αριθµητική κινητής υποδιαστολής, αυτό σηµαίνει ότι αν τότε όπου E ±. dddd... E fl ±. δδ δ δ d για,,. Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση µε.78 m fl fl και προσθέτοντας στη δεύτερη, παίρνουµε fl[.56 fl ] fl[.7 fl.5.85] ή fl[.56.56] fl[.7.6] οπότε.. και τελικά ~. Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση παίρνουµε:.9 fl απ' όπου προκύπτει -.9-

20 ~ fl.5 /.9.. Παρατηρούµε δηλαδή ότι η λύση που υπολογίσαµε µε αυτόν τον τρόπο είναι ~. ~ και δεν συµφωνεί µε την ακριβή λύση ούτε στα πρόσηµα. Έχουµε δηλαδή ένα πρόβληµα το οποίο είναι ήδη σε κακή κατάσταση αφού οι εξισώσεις του συστήµατος παριστούν ευθείες που σχεδόν ταυτίζονται και το αντιµετωπίζουµε µε αριθµητική που ακυρώνει τα σηµαντικά ψηφία και τελικά παραποιεί σε µεγάλο βαθµό το αποτέλεσµα. Η κατάσταση διορθώνεται αν χρησιµοποιήσει κανείς αριθµητική 6 δεκαδικών ψηφίων. Παράδειγµα.5 Θα υπολογίσουµε τώρα την µικρότερη ρίζα της δευτεροβάθµιας εξίσωσης χρησιµοποιώντας αριθµητική δεκαδικών ψηφίων µε στρογγυλοποίηση roudg. Αυτό σηµαίνει ότι αν τότε E ±. ddddd5... E fl ±. δδ δ δ µε δδ δ δ dddd. d5 για,,. όπου µε y συµβολίζουµε τον µεγαλύτερο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον y. Για παράδειγµα για να στρογγυλοποιήσουµε το κλασµατικό µέρος.6795 θα υπολογιστεί το οπότε θα πάρουµε Από τον γνωστό τύπο των ριζών της δευτεροβάθµιας εξίσωσης b c b ± b θα υπολογίσουµε την µικρότερη ρίζα από τη σχέση ~ ρ c ρ u v w y z όπου φαίνεται και η σειρά µε την οποία θα γίνουν οι πράξεις. Συγκεκριµένα: Βήµα : u fl[.6].8 -.-

21 Βήµα : v fl[. *.97].79 Βήµα : w fl u v fl[.8.79] fl[.8 Βήµα : y fl w.6.79] Βήµα 5: z fl.6.6. ~ Βήµα 6: ρ fl z /..5. Η ακριβής τιµή της µικρότερης ρίζας είναι ~ ρ.7, δηλαδή η προσέγγιση ρ αποτυγχάνει να συµφωνήσει µε την πραγµατική τιµή από το δεύτερο σηµαντικό ψηφίο του κλασµατικού µέρους. Εποµένως και εδώ παρουσιάζεται το φαινόµενο της καταστροφικής ακύρωσης σηµαντικών ψηφίων αλλά από διαφορετική αιτία και συγκεκριµένα από τη δοµή του αλγορίθµου ο οποίος είναι ασταθής. Η δυσκολία µπορεί να αποφευχθεί αν αλλάξουµε τον αλγόριθµο, δηλαδή τον τύπο υπολογισµού: b b c b b c b b c b Πράγµατι, αν υπολογίσουµε τη µικρότερη ρίζα από τη σχέση: *.97 ρ *.97 Θα έχουµε διαδοχικά: Βήµα : Βήµα : Βήµα : p fl[. * q y.6.97].895 ο αριθµητής c b c το y υπολογίστηκε στον προηγούµενο αλγόριθµο r fl[.6.6].86 ~ ο παρονοµαστής Βήµα : ρ fl p / r fl[.895 /.86].7 ηλαδή θα πετύχουµε συµφωνία µε την πραγµατική τιµή στα σηµαντικά ψηφία του κλασµατικού µέρους. Γενικά, ένας ευσταθής αλγόριθµος για να υπολογίζουµε τις δύο ρίζες ρ και ρ της δευτεροβάθµιας εξίσωσης b c είναι: b sg b * b c ρ και c ρ * ρ.7. Μέτρηση της κακής κατάστασης ενός προβλήµατος Η κακή κατάσταση ενός προβλήµατος µετράται από έναν αριθµό K P ο οποίος ονοµάζεται δείκτης κατάστασης codto umber ενός προβλήµατος P. Όσο µεγαλύτερος είναι ο δείκτης K P, τόσο κακή είναι η κατάσταση ενός προβλήµατος. Έστω λοιπόν ότι P είναι ένα πρόβληµα υπολογισµού της τιµής f σε ένα σηµείο. Τότε µπορούµε να δείξουµε ότι -.-

22 f K P f Παράδειγµα 5.6 Θεωρούµε το σύστηµα δύο εξισώσεων b, b > b y του οποίου η ακριβής λύση είναι b και y b b Είναι φανερό ότι το πρόβληµα είναι σε κακή κατάσταση όταν το b είναι πολύ κοντά στο. Ο δείκτης κατάστασης για τον υπολογισµό µόνο του b είναι: b * b b b K P b * * b b b b Παρατηρούµε δηλαδή ότι όταν b ο δείκτης παίρνει πολύ µεγάλες τιµές φανερώνοντας κακή κατάσταση του προβλήµατος όταν b είναι πολύ κοντά στο. Αν θεωρήσουµε τώρα το πρόβληµα του υπολογισµού της z b y b τότε ο δείκτης κατάστασης είναι b * z b b K P b * * b z b b b δηλαδή το πρόβληµα είναι σε καλή κατάσταση. -.-

23 Κεφάλαιο Ρίζες µη γραµµικών εξισώσεων Το πρόβληµα µε το οποίο θα ασχοληθούµε στο κεφάλαιο αυτό, είναι η εύρεση ριζών µη γραµµικών εξισώσεων. Αν λοιπόν δίνεται µια µη γραµµική συνάρτηση f, αναζητούµε τιµή r, b για την οποία ισχύει f r. Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, καθιστά απαραίτητη την εφαρµογή µιας αριθµητικής µεθόδου. Στη συνέχεια περιγράφουµε τις πιο γνωστές από τις µεθόδους αυτές... Η µέθοδος τη διχοτόµησης Είναι η πιο απλή µέθοδος για την εύρεση µιας ρίζας της συνάρτησης f στο διάστηµα, b για το οποίο είναι γνωστό ότι ισχύει f f b <. Ας θεωρήσουµε µια συνάρτηση σαν αυτή στο Σχήµα. η οποία έχει µία µόνο ρίζα στο διάστηµα, b. Σχήµα.: Ρίζα συνάρτησης στο, b και µέθοδος διχοτόµησης Η µέθοδος της διχοτόµησης bsecto method διαιρεί το, b σε δύο ίσα υποδιαστήµατα και στη συνέχεια επιλέγει αυτό που περιέχει τη ρίζα. Το υποδιάστηµα αυτό διαιρείται και πάλι σε δύο µισά και η διαδικασία επαναλαµβάνεται µε τον ίδιο τρόπο. Μετά από αρκετά βήµατα, το διάστηµα που περιέχει τη ρίζα ελαττώνεται τόσο ώστε το µήκος του να γίνει µικρότερο από ένα προκαθορισµένο όριο ανοχής tolerce. Σαν προσέγγιση της ρίζας θεωρείται το µέσον του µικρότερου διαστήµατος που έχει πετύχει η µέθοδος. Στο Σχήµα. βλέπουµε τα πρώτα βήµατα της µεθόδου. Η ρίζα βρίσκεται στο,b το οποίο και διαιρείται -.-

24 b σε δύο ίσα διαστήµατα, c και c, b όπου c. Στη συνέχεια ελέγχεται το πρόσηµο του f c το οποίο είναι αντίθετο από αυτό του f b και εποµένως η ρίζα βρίσκεται στο διάστηµα c, b. Το νέο διάστηµα υποδιαιρείται στα c, c και c, b όπου c b c και η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Η µέθοδος µπορεί να περιγραφεί από τον παρακάτω αλγόριθµο: Αλγόριθµος διχοτόµησης Βήµα : f f b < b Βήµα : c Βήµα : f sg [ f c] sg[ f ] the c else b c ed f Βήµα : f b < ε the else ed f b r stop go to Βήµα Αξίζει να τονίσουµε ότι το όριο ανοχής ε είναι προκαθορισµένη παράµετρος του αλγορίθµου. Η µέθοδος συγκλίνει γραµµικά στη ρίζα και αυτό σηµαίνει ότι αν e r c είναι το απόλυτο σφάλµα στην επανάληψη, ο λόγος Παράδειγµα. e / e είναι σταθερός. Να βρεθεί µε τη µέθοδο της διχοτόµησης η ρίζα της εξίσωσης e στο διάστηµα, b,. Η διαδικασία να σταµατήσει όταν b <.. Αρχικά ορίζουµε τη συνάρτηση της οποίας τη ρίζα θέλουµε να υπολογίσουµε: f e Τα βήµατα µέχρι την επίλυση είναι: Παρατηρούµε ότι f < και f.6 >, εποµένως υπάρχει ρίζα στο,. Μέσον διαστήµατος, : c.5. Έχουµε: f >, sg[ f.5] sg[ f ], εποµένως η ρίζα βρίσκεται στο,.5. b. 5 >., άρα συνεχίζουµε. Μέσον διαστήµατος,.5 : c.5. Έχουµε: f <, sg [ f.5] sg[ f ], εποµένως η ρίζα βρίσκεται στο. 5,.5. b. 5 >., άρα συνεχίζουµε. -.-

25 Μέσον διαστήµατος.5,.5 : c. 75. Έχουµε: f >, sg [ f.75] sg[ f.5], εποµένως η ρίζα βρίσκεται στο.5,.75. b.5 >., άρα συνεχίζουµε. Μέσον διαστήµατος.5,.75 : c. 5. Έχουµε: f.5.66 <, sg [ f.5] sg[ f.5], εποµένως η ρίζα βρίσκεται στο.5,.75. b.65 >., άρα συνεχίζουµε. Μέσον διαστήµατος.5,.75 : c. 75. Έχουµε: f.75.6 <, sg [ f.75] sg[ f.5], εποµένως η ρίζα βρίσκεται στο.75,.75. b.5 <., άρα η διαδικασία σταµατά και σαν ρίζα αναφέρεται η ~ r Η µέθοδος Newto Ενώ η µέθοδος της διχοτόµησης δηµιουργεί µία ακολουθία διαστηµάτων τα οποία περικλείουν τη ρίζα, η µέθοδος Newto παράγει µια ακολουθία σηµείων τα οποία κάτω από κάποιες ευνοϊκές συνθήκες συγκλίνουν προς τη ρίζα. Αρχικά, δίνεται µια προσέγγιση της ρίζας και στη συνέχεια παράγεται µια αναδροµική ακολουθία από σηµεία,,, K τα οποία αναµένεται να βελτιώσουν τις προσεγγίσεις της ρίζας. Στην επανάληψη, η επόµενη προσέγγιση της ρίζας υπολογίζεται φέροντας την εφαπτοµένη της f στο σηµείο, f και βλέποντας σε ποιο σηµείο τέµνει τον -άξονα. Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y f f και για να βρούµε σε ποιο σηµείο τέµνει τον -άξονα y θέτουµε f f οπότε προκύπτει f. f Η τελευταία σχέση χρησιµοποιείται για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης. Αλγόριθµος Newto Έστω µια αρχική εκτίµηση της ρίζας for,, f f ed for f f ε stop Στο Σχήµα. βλέπουµε τον τρόπο µε τον οποίο δηµιουργείται η ακολουθία των σηµείων που βελτιώνουν την προσέγγιση της ρίζας. -.-

26 εφαπτοµένη Σχήµα.: Μέθοδος Newto Παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού. Το πρόβληµα µπορεί να αναχθεί στην εύρεση ρίζας της συνάρτησης f. Σύµφωνα µε τη µέθοδο Newto σχηµατίζουµε την ακολουθία των σηµείων: f f τα οποία µας δίνουν διαδοχικές προσεγγίσεις της ρίζας. Για παράδειγµα, αν παίρνουµε:, 5 5 8, 5, κ.ο.κ. Η διαδικασία υπολογισµού της τετραγωνικής ρίζας µε τη µέθοδο Newto φαίνεται γραφικά στο Σχήµα. Παράδειγµα. Με το ίδιο τρόπο θα υπολογίσουµε τώρα τον αντίστροφο ενός αριθµού πρόβληµα εκφράζεται σαν πρόβληµα εύρεσης ρίζας της συνάρτησης f. Η µέθοδος Newto για τον υπολογισµό του αντίστροφου είναι:. Και εδώ το -.-

27 f f. Για παράδειγµα, αν,, 6 5, κ.ο.κ. Η διαδικασία υπολογισµού του αντίστροφου αριθµού µε τη µέθοδο Newto φαίνεται γραφικά στο Σχήµα. Σχήµα.: Υπολογισµός τετραγωνικής ρίζας µε τη µέθοδο Newto Σχήµα.: Υπολογισµός αντίστροφου αριθµού µε τη µέθοδο Newto -.5-

28 Η µέθοδος Newto παρουσιάζει προβλήµατα σε αρκετές περιπτώσεις. Στο Παράδειγµα. αν επιλέγαµε, η µέθοδος θα αποτύγχανε αφού f. Όµοια, αν στο Παράδειγµα. θέσουµε /, θα πάρουµε όπου f. Ένα πολύ σηµαντικό θεώρηµα το οποίο αναφέρεται στη σύγκλιση της µεθόδου Newto είναι το παρακάτω: Αν r είναι µια ρίζα της συνάρτησης f, δηλαδή f r, τέτοια ώστε f r, και f είναι συνεχής συνάρτηση, τότε υπάρχει ένα ανοιχτό διάστηµα που περιέχει τη ρίζα τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε στο διάστηµα αυτό η µέθοδος Newto να συγκλίνει στη ρίζα r. Παράδειγµα. Θα δούµε τώρα ορισµένες προβληµατικές περιπτώσεις εφαρµογής της µεθόδου Newto. α Σύγκλιση υπό συνθήκη Υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις που ο αλγόριθµος, κάτω από συγκεκριµένες συνθήκες, εισέρχεται σε µία ακολουθία κυκλικών επαναλήψεων από όπου δεν µπορεί να αποδράσει. Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση f µε παράγωγο f Στην περίπτωση που ισχύει, ο αλγόριθµος θα εγκλωβιστεί σε κυκλικές επαναλήψεις ανάµεσα στα δύο αυτά σηµεία Σχήµα.5. Για να συµβεί αυτό πρέπει να ισχύσει: ή οπότε,, -.6-

29 Σχήµα.5: Κυκλικές επαναλήψεις β Απόκλιση της µεθόδου Σε κάποιες περιπτώσεις, ο αλγόριθµος αποκλίνει, δηλαδή αποµακρύνεται από τη ρίζα. Μια τέτοια περίπτωση την βλέπουµε γραφικά στο Σχήµα.6. Σχήµα.6: Απόκλιση της µεθόδου Newto γ Εγκλωβισµός σε τοπικό ελάχιστο Στο Σχήµα.7 φαίνεται µια περίπτωση όπου ο αλγόριθµος παγιδεύεται στην περιοχή ενός τοπικά ελάχιστου σηµείου. Σχήµα.7: Εγκλωβισµός της µεθόδου Newto σε τοπικό ελάχιστο -.7-

30 .. Η µέθοδος της τέµνουσας Η µέθοδος Newto απαιτεί υπολογισµό της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης σε κάθε επανάληψη µαζί µε τον υπολογισµό της συνάρτησης. Συχνά όµως συµβαίνει η συνάρτηση να µην έχει παράγωγο ή να είναι πολύ δύσκολο και ασύµφορο να υπολογιστεί αυτή. Το µειονέκτηµα αυτό της µεθόδου Newto, έδωσε το κίνητρο για την ανάπτυξη της µεθόδου της τέµνουσας όπου ουσιαστικά η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης προσεγγίζεται µε αριθµητική παραγώγιση. Σε αντικατάσταση λοιπόν της αναδροµικής σχέσης της µεθόδου Newto f, f η µέθοδος της τέµνουσας sect method υπολογίζει σε κάθε επανάληψη προσεγγίσεις της ρίζας µε τη σχέση f f [, ] όπου f [, ] είναι µια προσέγγιση στην τιµή της πρώτης παραγώγου f και δίνεται από τη σχέση, ] f f f [ f f. και εδώ για ευκολία συµβολίζουµε Το νέο σηµείο που υπολογίζεται σε κάθε επανάληψη είναι το σηµείο που συναντά τον -άξονα η τέµνουσα ευθεία της f η οποία ορίζεται από τα σηµεία, f και, f. Επειδή η αναδροµική σχέση που ορίζει το είναι ης τάξης, δηλαδή το κάθε σηµείο υπολογίζεται από τα δύο προηγούµενα, η µέθοδος της τέµνουσας πρέπει να αρχίζει από δύο αρχικά σηµεία, και. Στο Σχήµα.8 φαίνεται µε ποιον τρόπο υπολογίζεται κάθε φορά η νέα προσέγγιση της ρίζας. Σχήµα.8: Η µέθοδος της τέµνουσας -.8-

31 Παράδειγµα.5 Θα υπολογίσουµε την τετραγωνική ρίζα του µε τη µέθοδο της τέµνουσας. Θεωρούµε σαν αρχικά σηµεία και για την προσέγγιση της ρίζας της συνάρτησης f. Θα έχουµε λοιπόν τα παρακάτω διαδοχικά βήµατα: :, f :, f f f : f [, ], f , f, ] [ f. f f : f [, ] , f.777 f [, ] f.659 Συνεχίζουµε µε αυτόν τον τρόπο µέχρι να πάρουµε ικανοποιητική προσέγγιση της ρίζας, δηλαδή το να πλησιάσει αρκετά στο µηδέν. f Ένα θεώρηµα που αναφέρεται στη σύγκλιση της µεθόδου της τέµνουσας είναι το παρακάτω: Αν r είναι µια ρίζα της συνάρτησης f, δηλαδή f r, τέτοια ώστε f r, και f είναι συνεχής συνάρτηση, τότε υπάρχει ένα ανοιχτό διάστηµα που περιέχει τη ρίζα τέτοιο ώστε οποιαδήποτε και στο διάστηµα αυτό, να παράγουν ακολουθία µε τη µέθοδο της τέµνουσας, ώστε r όταν. Στα δύο πλαίσια του Σχήµατος.9 βλέπουµε δύο περιπτώσεις όπου η µέθοδος της τέµνουσας αποτυγχάνει να συγκλίνει. Σχήµα.9: Αποτυχίες της µεθόδου της τέµνουσας -.9-

32 .. Μέθοδος επαναλήψεων συνάρτησης Η µέθοδος αυτή fucto tertos εφαρµόζεται στην επίλυση εξισώσεων οι οποίες µπορούν να πάρουν τη µορφή f g. Η µέθοδος δηµιουργεί µια αναδροµική ακολουθία σηµείων g,,,,... η οποία κάτω από ορισµένες προυποθέσεις συγκλίνει στη ρίζα της εξίσωσης r gr. Η ρίζα αυτή είναι γνωστή και σαν σταθερό σηµείο fed pot της g και είναι το σηµείο τοµής της καµπύλης y gκαι της ευθείας y Σχήµα.. Σχήµα.: Η ρίζα της f g r Σχήµα.: ιαδοχικές προσεγγίσεις της ρίζας µε τη µέθοδο των επαναλήψεων συνάρτησης Είναι φανερό, ότι η µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί µε επιτυχία σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση g ορίζεται σε όλα τα σηµεία ενός διαστήµατος, δεν παρουσιάζει ασυνέχειες, και δεν έχει πολλαπλές ρίζες στο ίδιο διάστηµα. Το παρακάτω θεώρηµα καθορίζει σαφώς τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η µέθοδος συγκλίνει στη ρίζα. -.-

33 Αν η συνάρτηση g ικανοποιεί τις παρακάτω υποθέσεις:. Ορίζεται σε ένα διάστηµα [, b]. g b. είναι συνεχής στο [, b]. g < σε όλο το [, b] τότε: α Υπάρχει µία και µόνο µία ρίζα r gr στο [, b]. β Για κάθε [, ] όλοι οι όροι της αναδροµικής ακολουθίας g βρίσκονται b στο [, b] και ισχύει lm r. Η διαδικασία παραγωγής των όρων της αναδροµικής ακολουθίας g φαίνεται στο Σχήµα. Παράδειγµα.6 Η εξίσωση f µελετήθηκε το 5 από τον eordo of Ps ο οποίος έδωσε τη λύση Η µέθοδος που χρησιµοποίησε παραµένει άγνωστη αλλά το αποτέλεσµα θεωρείται αξιοσηµείωτο για την εποχή εκείνη. Θα λύσουµε την εξίσωση µε τη µέθοδο των επαναλήψεων συνάρτησης γράφοντας την εξίσωση στη µορφή, θεωρώντας δηλαδή g. Αν πάρουµε σαν αρχικό σηµείο το και σχηµατίσουµε την αναδροµική ακολουθία, θα έχουµε τις εξής προσεγγίσεις της ρίζας:

34 Παρατηρούµε δηλαδή ότι χρειαζόµαστε επαναλήψεις για να φτάσουµε στην λύση που έδωσε ο eordo. Όπως µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε εδώ ισχύουν όλες οι συνθήκες του θεωρήµατος ακόµα ότι g < για όλα τα και εποµένως η µέθοδος συγκλίνει. Αντίθετα, αν γράψουµε την εξίσωση στη µορφή 9 θα διαπιστώσουµε ότι η µέθοδος αποκλίνει. Στην περίπτωση αυτή ισχύει g > για όλα τα. Όπως παρατηρούµε και από το Παράδειγµα.6, η σύγκλιση της µεθόδου είναι αργή. Αυτό τεκµηριώνεται και θεωρητικά αφού, όπως αποδεικνύεται, ισχύει για το σφάλµα e r : e g r e Όσο λοιπόν πιο κοντά στο είναι το g, τόσο πιο αργή είναι η σύγκλιση µηδενισµός του σφάλµατος. -.-

35 Κεφάλαιο Γραµµικά συστήµατα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε την επίλυση γραµµικών συστηµάτων της µορφής A b όπου A είναι ο πίνακας συντελεστών, είναι το διάνυσµα των αγνώστων και b είναι ένα διάνυσµα σταθερών. Πριν προχωρήσουµε στις µεθόδους επίλυσης των γραµµικών συστηµάτων, θα αναφέρουµε συνοπτικά κάποιες χρήσιµες βασικές έννοιες της γραµµικής άλγεβρας... Βασικές έννοιες Πίνακας mtr ονοµάζεται µια διάταξη m στοιχείων σε m γραµµές και στήλες. Κάθε στοιχείο αναγνωρίζεται από το ζεύγος, j που παριστά τους αριθµούς της γραµµής και της στήλης όπου αυτό εµφανίζεται. Οι πίνακες που µας ενδιαφέρουν στο κεφάλαιο αυτό είναι τετραγωνικοί, δηλαδή έχουν τον ίδιο αριθµό γραµµών και στηλών. Τέτοιοι πίνακες έχουν την µορφή: A [ j ] M M M, j,, K, ιανύσµατα στήλης colum vectors ονοµάζουµε ουσιαστικά τους πίνακες που αποτελούνται από στοιχεία τοποθετηµένα σε µια µόνο στήλη: b b M και b M b Ο ανάστροφος trspose ενός πίνακα A συµβολίζεται µε A και προκύπτει αν µετατρέψουµε τις γραµµές του A σε στήλες και τις στήλες σε γραµµές. Ανάλογα λοιπόν ορίζονται τα διανύσµατα γραµµής row vectors: και b b b b Σαν εσωτερικό γινόµενο er product δύο διανυσµάτων ορίζουµε: b b b b αριθµός M b -.-

36 Σαν εξωτερικό γινόµενο outer product δύο διανυσµάτων ορίζουµε: b b b b b b b b b b πίνακας M M M M b b b Πολλαπλασιασµός πινάκων: Αν A ] είναι ένας m r πίνακας και B b ] ένας [ j πίνακας, ορίζουµε σαν γινόµενό τους τον m πίνακα C A B c ] όπου c j r b j [ j,,,..., m, j,,..., [ j r Ο αντίστροφος verse ενός πίνακα A συµβολίζεται µε και είναι ο πίνακας µε την ιδιότητα A A A A I όπου µε I συµβολίζουµε τον µοναδιαίο detty πίνακα τάξης δηλαδή τον πίνακα µε διαγώνια στοιχεία µονάδες και µη διαγώνια στοιχεία µηδενικά. A Παράδειγµα.: Ειδικές µορφές πινάκων και αλγόριθµοι κατασκευής τους Πίνακας Hlbert τάξης ονοµάζεται ένας πίνακας A του οποίου τα στοιχεία δίνονται από τη σχέση: j j Ένας αλγόριθµος στο MATAB που κατασκευάζει έναν τέτοιο πίνακα είναι: Azeros,; for : for j: A,j/j-; ed ed Αξίζει να σηµειωθεί εδώ ότι πρέπει να εκµεταλλευόµαστε τις ιδιαίτερες ιδιότητες των πινάκων για να κερδίζουµε σε πράξεις. Εδώ λοιπόν αν παρατηρήσουµε ότι οι πίνακες Hlbert είναι συµµετρικοί, θα µπορούσαµε να τροποποιήσουµε τον προηγούµενο αλγόριθµο ως εξής: Azeros,; for : for j: A,j/j-; Aj,A,j; ed ed -.-

37 Σηµειώστε ότι το MATAB έχει δική του συνάρτηση κατασκευής τέτοιων πινάκων. Θα µπορούσαµε δηλαδή να είχαµε κατασκευάσει τον πίνακα A µόνο µε την εντολή Ahlb Ένα άλλο παράδειγµα κατασκευής πίνακα µε αναδροµικό τρόπο είναι το παρακάτω: Pzeros,; P:,oes,; for : for j: P,jP-,j-P-,j; ed ed dspp Για 5 το πρόγραµµα αυτό θα δηµιουργήσει τον πίνακα: 6 Ένας πίνακας µπορεί να δηµιουργηθεί από ένα διάνυσµα µε συγκεκριµένο αναδροµικό τύπο. Θα δούµε δύο τέτοιες ειδικές περιπτώσεις πινάκων: Πίνακες Vdermode: Αν δοθεί το διάνυσµα στήλης M τότε ο πίνακας V M M µπορεί να κατασκευαστεί µε τον εξής αλγόριθµο: M legth; V:,oes,; for j: V:,j.*V:,j-; ed -.-

38 Κυκλικοί crcult πίνακες: Αν δοθεί το διάνυσµα στήλης M τότε ο πίνακας M M M C µπορεί να κατασκευαστεί µε τον εξής αλγόριθµο: legth; C,:'; for : C,:[C-, C-,:-]; ed Παράδειγµα.. οµή ενός πίνακα Ορισµένες κατηγορίες πινάκων χαρακτηρίζονται από τη δοµή των µη µηδενικών στοιχείων τους. Μερικές από τις πιο συνηθισµένες δοµές δίνονται παρακάτω µε σχηµατικό τρόπο. Το σύµβολο * δείχνει ότι δεν έχουµε στη θέση εκείνη εξ' ορισµού µηδενικό στοιχείο: ιαγώνιος πίνακας: * * * * * Σηµειώστε ότι αν δοθεί το διάνυσµα d d d d, η εντολή στο MATAB Ddgd κατασκευάζει αµέσως έναν διαγώνιο πίνακα µε τα στοιχεία του διανύσµατος στην κύρια διαγώνιο. d Τριδιαγώνιος πίνακας: * * * * * * * * * * * * * -.-

39 Κάτω τριγωνικός πίνακας: * * * * * * * * * * * * * * * Άνω τριγωνικός πίνακας: * * * * * * * * * * * * * * * Παράδειγµα.. Νόρµες για διανύσµατα και πίνακες Ένα πρόβληµα που αντιµετωπίζουµε στην επίλυση γραµµικών συστηµάτων είναι η µέτρηση του σφάλµατος όταν προσεγγίζουµε το διάνυσµα των πραγµατικών λύσεων µε ένα διάνυσµα προσεγγιστικών λύσεων. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα ότι τα διανύσµατα... ˆ και. ~ είναι προσεγγίσεις του διανύσµατος. Το ερώτηµα λοιπόν που τίθεται είναι αν µπορούµε να αποφασίσουµε ποιο από τα δύο διανύσµατα αποτελεί καλύτερη προσέγγιση. Για τον λόγο αυτόν, υπολογίζουµε τα σφάλµατα των προσεγγίσεων µε τη µορφή διανυσµάτων:... ˆ ˆ ε και. ~ ~ ε Η νόρµα orm ενός διανύσµατος είναι µία απεικόνιση που αντιστοιχεί σε κάθε διάνυσµα έναν µη-αρνητικό πραγµατικό αριθµό. Συγκεκριµένα µπορούµε να πούµε ότι η νόρµα είναι µια γενίκευση της απόλυτης τιµής των πραγµατικών αριθµών. Μία τέτοια απεικόνιση είναι η νόρµα µεγίστου mmum orm ή νόρµα απείρου fty orm ενός διανύσµατος που ορίζεται σαν η µέγιστη απόλυτη τιµή όλων των στοιχείων του διανύσµατος, δηλαδή m Στο MATAB η νόρµα αυτή υπολογίζεται µε την εντολή orm,f. Στο παράδειγµά µας έχουµε ˆ. ε και ~. ε. -.5-

40 Χρησιµοποιώντας λοιπόν τη νόρµα απείρου σαν κριτήριο, µπορούµε να πούµε ότι το διάνυσµα ˆ είναι η καλύτερη προσέγγιση του. Είναι φανερό ότι αν χρησιµοποιήσουµε διαφορετική νόρµα, το συµπέρασµα µπορεί να είναι τελείως διαφορετικό. Οι νόρµες µπορούν να οριστούν και για τους πίνακες µε ανάλογο τρόπο. Η νόρµα µεγίστου ή απείρου για πίνακες ορίζεται σαν το µεγαλύτερο άθροισµα γραµµής των απολύτων τιµών του πίνακα: A m j Στο MATAB η νόρµα υπολογίζεται µε την εντολή ormα,f. j Για παράδειγµα, αν A, τότε A m{,}. Μερικές ακόµη γνωστές νόρµες για διανύσµατα και πίνακες είναι: j A m A A F m A j j j / Οι νόρµες έχουν κάποιες κοινές ιδιότητες: > αν και µόνο αν y y A > A αν και µόνο αν A A A A A A B A B Θα περιγράψουµε τώρα κάποιες αριθµητικές µεθόδους επίλυσης γραµµικών συστηµάτων. Η βασική µέθοδος είναι η απαλοιφή Guss ενώ όλες οι άλλες που θα αναφέρουµε εδώ αποτελούν παραλλαγές της µεθόδου αυτής. Η περιγραφή των µεθόδων θα γίνεται µε συγκεκριµένα παραδείγµατα αλλά και γενικά. -.6-

41 .. Επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε την απαλοιφή Guss... Η απαλοιφή Guss µε τη µορφή εξισώσεων Θα περιγράψουµε τη µέθοδο µε ένα παράδειγµα. Ας θεωρήσουµε το σύστηµα των γραµµικών εξισώσεων: Εξ 5 Εξ Εξ Η µέθοδος που είναι γνωστή σαν απαλοιφή Guss Guss elmto αποτελείται από δύο στάδια. Την προς τα εµπρός απαλοιφή και την προς τα πίσω αντικατάσταση. ο Στάδιο: Προς τα εµπρός απαλοιφή. Στο στάδιο αυτό χρησιµοποιούµε διαδοχικά τις εξισώσεις µε αρίθµηση έως για να απαλείψουµε τους αγνώστους,, K από τις εξισώσεις µε αρίθµηση έως. Η διαδικασία ολοκληρώνεται σε - βήµατα. Στο σύστηµα του παραδείγµατος έχουµε τα παρακάτω βήµατα: Βήµα : Χρησιµοποιούµε την Εξ για να απαλείψουµε το από τις Εξ και Εξ. Συγκεκριµένα εκτελούµε τις παρακάτω πράξεις ανάµεσα στις εξισώσεις: Εξ -/*ΕξΕξ Εξ -/*ΕξΕξ όπου το σύµβολο σηµαίνει αντικατάσταση της εξίσωσης στο αριστερό µέλος από την εξίσωση που προκύπτει από τις πράξεις του δεξιού µέλους. Το νέο σύστηµα που προκύπτει είναι: Εξ 8 Εξ Εξ Βήµα : Χρησιµοποιούµε τη νέα Εξ για να απαλείψουµε το Συγκεκριµένα εκτελούµε την εξής πράξη: Εξ -*ΕξΕξ Το σύστηµα που προκύπτει τώρα είναι: Εξ 8 Εξ Εξ από την Εξ. Γενικά, στο τέλος του σταδίου της προς τα εµπρός απαλοιφής, η Εξ έχει µόνο τους αγνώστους,k,, δηλαδή ο πίνακας των συντελεστών του τελικού συστήµατος είναι άνω τριγωνικός. ο Στάδιο: Προς τα πίσω αντικατάσταση. Από το τελευταίο "τριγωνικό" σύστηµα στο οποίο έχουµε καταλήξει, µπορούµε να βρίσκουµε σε βήµατα τις τιµές των αγνώστων. Στο παράδειγµά µας έχουµε καταλήξει στο σύστηµα -.7-

42 6 Βήµα : Από την Εξ βρίσκουµε. 9 8 Βήµα : Από την Εξ βρίσκουµε. 8 9 Εξ Εξ Εξ Βήµα : Από την Εξ βρίσκουµε Εποµένως η λύση που παίρνουµε µε την ολοκλήρωση της παραπάνω διαδικασίας είναι:... Η απαλοιφή Guss µε τη µορφή πινάκων Η διαδικασία που περιγράψαµε παραπάνω µπορεί να εκτελεστεί µε τη βοήθεια πινάκων. Το σύστηµα γράφεται ή A b όπου A 5, και b Οι πράξεις που γίνονται κατά τη διάρκεια της προς τα εµπρός απαλοιφής µπορούν να παρασταθούν µε τη µορφή πινάκων που πολλαπλασιάζονται µε τον A. Γενικά, συµβολίζουµε µε A b το σύστηµα που έχουµε στην αρχή του Βήµατος και µε M τον πίνακα που θα πολλαπλασιαστεί µε το σύστηµα για να µας δώσει το νέο σύστηµα A b στο τέλος του Βήµατος. Η όλη διαδικασία περιγράφεται ως εξής: ο Στάδιο: Προς τα εµπρός απαλοιφή. Βήµα : Στην αρχή του πρώτου βήµατος έχουµε το γραµµικό σύστηµα A b όπου A A και b b. Ο µετασχηµατισµός του συστήµατος στο βήµα αυτό δίνεται από τη σχέση M A Mb όπου M /. / -.8-

43 Εκτελώντας τις πράξεις 9 / / / / καταλήγουµε στο σύστηµα ή b A Βήµα : Ο µετασχηµατισµός του συστήµατος στο βήµα αυτό δίνεται από τη σχέση b M A M όπου M. Εκτελώντας τις πράξεις καταλήγουµε στο σύστηµα ή b A Παρατηρούµε ότι ο πίνακας είναι ένας άνω τριγωνικός πίνακας και το αντίστοιχο σύστηµα λύνεται στη συνέχεια µε προς τα πίσω αντικατάσταση. A... Η γενική µορφή της απαλοιφής Guss Υποθέτουµε λοιπόν ότι έχουµε το γραµµικό σύστηµα b A όπου ο είναι µη ιδιάζων πίνακας ενώ και είναι διανύσµατα. Η προς τα εµπρός απαλοιφή αποτελείται από βήµατα που έχουν τελικό στόχο την µετατροπή του πίνακα σε άνω τριγωνικό πίνακα. Αν χρησιµοποιήσουµε τον πολλαπλασιασµό πινάκων για να περιγράψουµε τη διαδικασία της προς τα εµπρός απαλοιφής, τότε ο αντίστοιχος αλγόριθµος θα µπορούσε να περιγραφεί συνοπτικά ως εξής: A A b A A ;b b for,,, - b M A M [ ] ; b M b A M A ed -.9-

44 Η προς τα πίσω αντικατάσταση χρησιµοποιείται για την επίλυση του άνω τριγωνικού συστήµατος A b στο οποίο καταλήγει η προς τα εµπρός απαλοιφή. Αυτό που µένει να δούµε τώρα είναι η µορφή των πινάκων M,,,,. Έστω λοιπόν A A M M M Τον ίδιο τρόπο συµβολισµού χρησιµοποιούµε και για όλη την ακολουθία των πινάκων που δηµιουργείται κατά τη διάρκεια της προς τα εµπρός απαλοιφής: j A [ ],,,,. Προς τα εµπρός απαλοιφή Βήµα : Ο πίνακας της πρώτης στήλης κάτω από το όπου Ο µετασχηµατισµένος πίνακας όπου j j M M σε µηδενικά, είναι: m m M m m A A M A M M O,,..., M j έχει τη µορφή: M ο οποίος µετατρέπει όλα τα στοιχεία M M m,,..., και j,..., Αξίζει να παρατηρήσουµε ότι η πρώτη γραµµή του πίνακα παραµένει αµετάβλητη. Προς τα εµπρός απαλοιφή Βήµα : Ο πίνακας της δεύτερης στήλης κάτω από το M σε µηδενικά, είναι: ο οποίος µετατρέπει όλα τα στοιχεία -.-

45 όπου M M m m m m M M M O,,..., M Ο µετασχηµατισµένος πίνακας A M A έχει τη µορφή: όπου j A j M j M M O M m,,..., και j,..., Και εδώ πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η πρώτη και η δεύτερη γραµµή του προηγούµενου πίνακα παραµένουν αµετάβλητες. Προς τα εµπρός απαλοιφή Βήµα : Συνεχίζοντας τη διαδικασία µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο, στην αρχή του Βήµατος θα έχουµε τον πίνακα µε την ακόλουθη µορφή: A M M M M M M O A M M M ενώ ο πίνακας ο οποίος µετατρέπει όλα τα στοιχεία της -στήλης κάτω από το σε µηδενικά, είναι: M -.-