Τεχνικές αριστοποίησης
|
|
- Θήρα Ακρίδας
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Τεχνικές αριστοποίησης Εισαγωγή Τα µοντέλα αριστοποίησης, ευρέως γνωστά ως µοντέλα µαθηµατικού προγραµµατισµού, είναι αναµφίβολα η δηµοφιλέστερη τεχνική λήψης αποφάσεων στο χώρο της Επιχειρησιακής Έρευνας. Τα µοντέλα αριστοποίησης χρησιµοποιούνται κυρίως για την άριστη κατανοµή πόρων µεταξύ εναλλακτικών δραστηριοτήτων, κάτω από συνθήκες βεβαιότητας. ηλαδή, τα µοντέλα αριστοποίησης επικεντρώνονται στον εντοπισµό του άριστου προγράµµατος, µε το οποίο κατανέµονται κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο οι περιορισµένοι διαθέσιµοι πόροι ή µέσα µιας οικονοµικής µονάδας στις ανταγωνιστικές δραστηριότητές της, ώστε να ικανοποιούνται οι προκαθορισµένοι στόχοι της. Χαρακτηριστικά προβλήµατα απόφασης αυτής της µορφής είναι τα ακόλουθα: Η κατανοµή σε διάφορες παραγωγικές διαδικασίες του εργατικού δυναµικού, του τεχνολογικού εξοπλισµού και των πρώτων υλών. Η κατανοµή του κεφαλαίου σε διάφορα επενδυτικά σχέδια. Ο προγραµµατισµός της διακίνησης των προϊόντων µιας επιχείρησης προς τους πελάτες της. Η κατανοµή υδατικών πόρων σε διάφορες ανταγωνιστικές χρήσεις. Το επιδιωκόµενο αποτέλεσµα αυτών των αποφάσεων µπορεί να αφορά τη µεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους από πωλήσεις, την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους παραγωγής, την ελαχιστοποίηση των αρνητικών επιπτώσεων στο περιβάλλον, κ.λ.π. Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί µια εισαγωγή στις τεχνικές αριστοποίησης. Εξετάζονται ορισµένα χαρακτηριστικά προβλήµατα αριστοποίησης,
2 198 Κεφάλαιο 9 παρουσιάζεται ο τρόπος χειρισµού τους στο περιβάλλον του Excel και δίνεται έµφαση στη χρήση του ισχυρού εργαλείου «Επίλυση» (Solver) που παρέχει το Excel για την ανεύρεση της άριστης λύσης. Θεωρητικές έννοιες Ένα µοντέλο αριστοποίησης αποτελείται από µια αντικειµενική συνάρτηση και από ένα σύνολο περιορισµών. Η αντικειµενική συνάρτηση εκφράζει το στόχο που επιχειρείται να µεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί και είναι µια σχέση µεταξύ µιας ή περισσοτέρων µεταβλητών που ονοµάζονται µεταβλητές απόφασης. Οι περιορισµοί (δυναµικότητας, διαθεσιµότητας πόρων, τεχνολογίας, κ.λ.π.) εκφράζουν τους περιορισµούς του περιβάλλοντος στο οποίο αναπτύσσεται η δραστηριότητα. Κάθε συνδυασµός τιµών που µπορούν να λάβουν οι µεταβλητές απόφασης ονοµάζεται λύση του προβλήµατος. Όταν οι τιµές αυτές ικανοποιούν τους περιορισµούς του προβλήµατος, η λύση ονοµάζεται εφικτή λύση. Ανάλογα µε τη µορφή της αντικειµενικής συνάρτησης και των περιορισµών, ο µαθηµατικός προγραµµατισµός διακρίνεται στις ακόλουθες κατηγορίες: Γραµµικός προγραµµατισµός, όπου τόσο η αντικειµενική συνάρτηση όσο και οι περιορισµοί είναι γραµµικές σχέσεις. Ακέραιος προγραµµατισµός, όπου οι µεταβλητές απόφασης µπορούν να πάρουν µόνο ακέραιες τιµές ή αναπαριστούν αποφάσεις «λογικής» και όχι φυσικά µεγέθη. Μη γραµµικός προγραµµατισµός, όπου κάποιες από τις συναρτήσεις του προβλήµατος (αντικειµενική συνάρτηση, περιορισµοί) είναι µη-γραµµικές. Παραδοσιακά, τα προβλήµατα αριστοποίησης παρουσιάζονται µε τη µορφή αλγεβρικών µοντέλων, όπου η αντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί διατυπώνονται ως αλγεβρικές εξισώσεις και ανισώσεις µεταξύ των µεταβλητών απόφασης. Ο χειρισµός προβληµάτων αριστοποίησης µε τη βοήθεια του Excel απαιτεί ένα διαφορετικό τρόπο διατύπωσης. Αντί της χρήσης µαθηµατικών συµβόλων για την αναπαράσταση των µεταβλητών απόφασης και αλγεβρικών σχέσεων για τον καθορισµό της αντικειµενικής συνάρτησης και των περιορισµών, ένα µοντέλο αριστοποίησης στο Excel στηρίζεται αποκλειστικά στη χρήση κελιών ενός υπολογιστικού φύλλου και κατάλληλων τύπων που εισάγονται σ αυτά. Για την επίλυση του µοντέλου και την ανεύρεση της βέλτιστης λύσης, το Excel διαθέτει ένα ισχυρό εργαλείο, το Solver.
3 Τεχνικές αριστοποίησης 199 Επίλυση προβληµάτων αριστοποίησης µε το Excel Εξετάζεται ένα απλό πρόβληµα παραγωγής και παρουσιάζεται ο τρόπος κατάστρωσης και επίλυσής του µε τη βοήθεια του Excel. Προβλήµατα του τύπου αυτού εµφανίζονται συχνά όταν µια σειρά πόρων (πρώτες ύλες, εργατικά, κλπ.) καταναλώνονται για την παραγωγή ενός αριθµού προϊόντων. Με την εφαρµογή µεθόδων αριστοποίησης είναι δυνατό να καθοριστεί ο βέλτιστος συνδυασµός πόρων που οδηγεί σε µεγιστοποίηση του κέρδους ή ελαχιστοποίηση του κόστους παραγωγής. Μία βιοτεχνία επίπλων κατασκευάζει τέσσερα είδη τραπεζιών. Κάθε τραπέζι απαιτεί έναν αριθµό ωρών λειτουργίας της µηχανής παραγωγής, έναν αριθµό ανθρωποωρών και έναν αριθµό µονάδων ξύλου. Στον πίνακα 9.1 παρουσιάζονται οι απαιτήσεις αυτές και το κέρδος (σε ) από την πώληση κάθε τραπεζιού. Για την επόµενη εβδοµάδα, η βιοτεχνία διαθέτει 400 ώρες λειτουργίας της µηχανής, 600 ανθρωποώρες και µονάδες ξύλου. Η αγορά θέτει ορισµένους περιορισµούς σχετικά µε το µέγιστο αριθµό τραπεζιών που µπορούν να πουληθούν. Συγκεκριµένα, είναι αδύνατο να πουληθούν πάνω από 100 τραπέζια τύπου 1, 200 τραπέζια τύπου 2, 50 τραπέζια τύπου 3 και 100 τραπέζια τύπου 4. Το πρόβληµα είναι η ανεύρεση του αριθµού των τραπεζιών κάθε τύπου που πρέπει να παραχθούν ώστε να µεγιστοποιηθεί το κέρδος της βιοτεχνίας. Πίνακας 9.1 Απαιτήσεις πόρων και µοναδιαία κόστη τραπεζιών. Τύπος Τραπεζιού Ώρες Μηχανής Ανθρωποώρες Μονάδες Ξύλου Μοναδιαίο Κέρδος Τραπέζι Τραπέζι Τραπέζι Τραπέζι Αλγεβρική διατύπωση Πριν παρουσιαστεί ο τρόπος επίλυσης του προβλήµατος µε το Excel, δίνεται η κλασική διατύπωσή του σε αλγεβρική µορφή. Αν µε x, 1 x και 2, x3 x 4 συµβολιστεί ο αριθµός των παραγόµενων τραπεζιών κάθε τύπου, το πρόβληµα διατυπώνεται ως ακολούθως:
4 200 Κεφάλαιο 9 Να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: Υπό τους περιορισµούς: 50 x x2 + 36x3 + 25x 4 (9.1) 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 400 (ώρες µηχανής) (9.2) 4x1 + 2x2 + x3 + 2x x1 + 2x2 + x3 + 2x (ανθρωποώρες) (9.3) (µονάδες ξύλου) (9.4) x1 100 (πωλήσεις τραπεζιού 1) (9.5) x2 200 (πωλήσεις τραπεζιού 2) (9.6) x3 50 (πωλήσεις τραπεζιού 3) (9.7) x4 100 (πωλήσεις τραπεζιού 4) (9.8) x,x,x,x (µη-αρνητικοί περιορισµοί) (9.9) Η σχέση (9.1) αντιπροσωπεύει το συνολικό κέρδος από την πώληση των τραπεζιών και είναι η αντικειµενική συνάρτηση. Οι µεταβλητές x, 1 x 2, x3 και x 4 αποτελούν τις µεταβλητές απόφασης. Οι υπόλοιπες ανισότητες αντιπροσωπεύουν τους περιορισµούς του προβλήµατος. Στάδια επίλυσης Η επίλυση ενός προβλήµατος αριστοποίησης µε τη βοήθεια του Excel περιλαµβάνει τα ακόλουθα στάδια: 1. Κατάστρωση του µοντέλου. Αφορά στην εισαγωγή, µε κατάλληλο τρόπο, των δεδοµένων εισόδου του προβλήµατος, των δοκιµαστικών τιµών των µεταβλητών απόφασης και των τύπων που υπολογίζουν την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης και των περιορισµών. Η διευθέτηση των στοιχείων αυτών στο φύλλο εργασίας δεν είναι απαραίτητο να ακολουθεί τον τρόπο αλγεβρικής διατύπωσης του προβλήµατος. 2. Χρήση του Solver. Ορίζονται, το κελί που αντιπροσωπεύει την αντικειµενική συνάρτηση, τα κελιά που αντιπροσωπεύουν τις µεταβλητές σχεδιασµού και οι περιορισµοί του προβλήµατος. Ο
5 Τεχνικές αριστοποίησης 201 Σχήµα 9.1 Το µοντέλο του προβλήµατος παραγωγής τραπεζιών. Solver υπολογίζει τις βέλτιστες τιµές των µεταβλητών σχεδιασµού και τις αντικαθιστά στα αντίστοιχα κελιά. Το στάδιο αυτό είναι συνήθως απλό, προϋποθέτει όµως τη σωστή κατάστρωση του µοντέλου στο πρώτο στάδιο. Κατάστρωση του µοντέλου Στο σχήµα 9.1 παρουσιάζεται το µοντέλο του προβλήµατος διάθεσης πόρων που παρουσιάστηκε παραπάνω (αρχείο BLEND.XLS). Συνίσταται από τα ακόλουθα στοιχεία: εδοµένα εισόδου. Στην περιοχή Β5:Ε8 εισάγονται οι απαιτήσεις πόρων για κάθε τραπέζι και τα αντίστοιχα µοναδιαία κέρδη. Στην περιοχή Β14:Ε14 εισάγονται οι τιµές ζήτησης κάθε τραπεζιού. Τέλος, στα κελιά D18:D20 εισάγονται οι διαθέσιµες ποσότητες για κάθε πόρο. Επίπεδα παραγωγής. Στα κελιά Β12:Ε12 εισάγονται τυχαίες τιµές για τις µεταβλητές απόφασης (αριθµός παραγόµενων τραπεζιών κάθε τύπου). Μπορούν να χρησιµοποιηθούν οποιεσδήποτε τιµές, ακόµη και
6 202 Κεφάλαιο 9 αν δεν ικανοποιούνται οι περιορισµοί του προβλήµατος. Ο Solver θα υπολογίσει τις βέλτιστες τιµές. Χρήση πόρων. Στο κελί Β18 εισάγεται ο τύπος: =SUMPRODUCT(B5:E5;$B$12:$E$12) και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Β20. Ο παραπάνω τύπος υπολογίζει το συνολικό αριθµό ωρών λειτουργίας της µηχανής που απαιτείται για το τρέχον επίπεδο παραγωγής. Αντίστοιχα, οι τύποι στα κελιά Β19 και Β20 υπολογίζουν το συνολικό αριθµό ανθρωποωρών και µονάδων ξύλου. Κέρδη. Στο κελί Β24 εισάγεται ο τύπος =B8*B12 και αντιγράφεται προς τα δεξιά µέχρι το κελί Ε24. Οι τύποι αυτοί υπολογίζουν τα κέρδη για κάθε τύπο τραπεζιού. Επίσης, στο κελί F24 υπολογίζεται το συνολικό κέρδος, εισάγοντας τον τύπο: =SUM(B24:E24) Η τιµή που προκύπτει αντιπροσωπεύει την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης για το τρέχον επίπεδο παραγωγής. Μετά την κατάστρωση του µοντέλου είναι δυνατή (και χρήσιµη) η µεταβολή των τιµών των µεταβλητών απόφασης και η εξέταση των αλλαγών που επιφέρουν αυτές οι µεταβολές. Η πρακτική αυτή στοχεύει τόσο στην κατανόηση της συµπεριφοράς του µοντέλου όσο και στον έλεγχο της ορθότητάς του. Για παράδειγµα, µπορεί να επιχειρηθεί η ανεύρεση της βέλτιστης λύσης µε δοκιµή και σφάλµα. Για το λόγο αυτό, στα κελιά Β12:Ε12, που αντιστοιχούν στις µεταβλητές απόφασης, δίνονται αρχικές τιµές ίσες µε 0. Προφανώς, όταν η συνολική παραγωγή είναι µηδενική θα είναι µηδενικά και τα συνολικά κέρδη. Επειδή τα τραπέζια τύπου 1 επιφέρουν το µεγαλύτερο κέρδος ανά µονάδα, είναι λογικό να προτιµηθούν έναντι των υπολοίπων. Έτσι στο κελί Β12 εισάγεται η τιµή 100, όση είναι η µεγαλύτερη ποσότητα που µπορεί να παραχθεί. Από τις τιµές των κελιών Β18:Β20 προκύπτει ότι κανένας από τους πόρους δεν έχει ακόµη εξαντληθεί. Ο επόµενος τύπος τραπεζιού µε το µεγαλύτερο περιθώριο κέρδους είναι ο τύπος 3. Έτσι, στο κελί D12 εισάγεται η τιµή 50 (η µέγιστη δυνατή ποσότητα που µπορεί να παραχθεί). Οι διαθέσιµοι πόροι δεν έχουν ακόµη εξαντληθεί, εποµένως είναι δυνατή η παραγωγή µερικών τραπεζιών τύπου 4 (του επόµενου τύπου µε το µεγαλύτερο περιθώριο κέρδους). Τώρα όµως, ο µέγιστος αριθµός τραπεζιών που µπορεί να παραχθεί είναι 25, επειδή έτσι εξαντλούνται πλήρως οι
7 Τεχνικές αριστοποίησης 203 Σχήµα 9.2 Προσπάθεια επίτευξης βέλτιστης λύσης µε δοκιµή και σφάλµα. διαθέσιµες ώρες µηχανής. Η λύση αυτή παρουσιάζεται στο σχήµα 9.2, απ όπου φαίνεται ότι το συνολικό κέρδος είναι ίσο µε Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν η παραπάνω λύση, η οποία προέκυψε µε δοκιµή, είναι η βέλτιστη. Όπως θα φανεί στη συνέχεια, η απάντηση είναι όχι. Ακόµη και σε ένα απλό πρόβληµα όπως το συγκεκριµένο, είναι δύσκολη η ανεύρεση της βέλτιστης λύσης διαισθητικά. Η αιτία για την αποτυχία της παραπάνω προσπάθειας βρίσκεται στο γεγονός ότι τα τραπέζια µε το µεγαλύτερο περιθώριο κέρδους µπορεί να καταναλώνουν µεγάλα ποσά πόρων τα οποία θα µπορούσαν να διατεθούν για την παραγωγή άλλων λιγότερων κερδοφόρων αλλά και µε λιγότερες απαιτήσεις πόρων τραπεζιών. Ο µόνος σίγουρος τρόπος ανεύρεσης της βέλτιστης λύσης είναι µε τη χρήση του Solver. Χρήση του Solver Ο Solver ενεργοποιείται από το µενού Tools και την επιλογή Solver. Το βασικό πλαίσιο διαλόγου του εργαλείου παρουσιάζεται στο σχήµα 9.3. Για
8 204 Κεφάλαιο 9 Σχήµα 9.3 Το πλαίσιο διαλόγου του Solver για το πρόβληµα παραγωγής τραπεζιών. την ανεύρεση της άριστης λύσης στο συγκεκριµένο πρόβληµα εισάγονται οι ακόλουθες πληροφορίες: Set Target Cell. Εισάγεται το κελί που αντιστοιχεί στην αντικειµενική συνάρτηση, η τιµή του οποίου πρόκειται να µεγιστοποιηθεί: F24 Equal To. Επιλέγεται το είδος της αριστοποίησης (µεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση). Στο συγκεκριµένο παράδειγµα επιθυµείται η µεγιστοποίηση του κόστους και για το λόγο αυτό ενεργοποιείται η επιλογή Max. By Changing Cells. Εισάγονται τα κελιά που αντιστοιχούν στις µεταβλητές απόφασης: B12:E12 Subject to the Constraints. Εισάγονται οι περιορισµοί του προβλήµατος. Πατώντας το κουµπί Add εµφανίζεται ο διάλογος εισαγωγής περιορισµών, µε τη βοήθεια του οποίου καταστρώνονται οι περιορισµοί του προβλήµατος: B12:E12 <= B14:E14 B18:B20 <= D18:D20 Η πρώτη ανισότητα αντιστοιχεί στους περιορισµούς της ζήτησης (σχέσεις 9.5 έως 9.8) ενώ η δεύτερη στους περιορισµούς διάθεσης των πόρων (σχέσεις 9.2 έως 9.4). Στο σχήµα 9.4 παρουσιάζεται το πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής των περιορισµών.
9 Τεχνικές αριστοποίησης 205 Σχήµα 9.4 Το πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής περιορισµών. Options. Με το κουµπί αυτό εµφανίζεται ένα πλαίσιο διαλόγου µέσω του οποίου ορίζονται οι παράµετροι επίλυσης (σχήµα 9.5). Για το συγκεκριµένο πρόβληµα ενεργοποιούνται οι επιλογές Assume Linear Model και Assume Non-Negative. Με την πρώτη επιλογή πληροφορείται ο Solver ότι το πρόβληµα είναι γραµµικό (στην πράξη, το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσµα τη χρήση του πολύ αποδοτικού αλγορίθµου simplex). Με τη δεύτερη επιλογή εξασφαλίζεται ότι τα κελιά που αντιστοιχούν στις µεταβλητές σχεδιασµού δεν θα πάρουν αρνητικές τιµές (περιορισµοί 9.9). Σχήµα 9.5 Το πλαίσιο διαλόγου των παραµέτρων του Solver. Μετά την εισαγωγή των απαραίτητων πληροφοριών και πατώντας το κουµπί Solve, ο Solver επιλύει το πρόβληµα εφαρµόζοντας µια επαναληπτική µαθηµατική διαδικασία και εµφανίζει το ακόλουθο µήνυµα:
10 206 Κεφάλαιο 9 Σχήµα 9.6 Το µήνυµα του εργαλείου Solver για την ανεύρεση της βέλτιστης λύσης. Ενεργοποιώντας την επιλογή Keep Solver Solution, τα κελιά που αντιστοιχούν στις µεταβλητές απόφασης παίρνουν τις βέλτιστες τιµές. Τα τελικά αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα 9.7. Σχήµα 9.7 Η τελική µορφή του φύλλου εργασίας µε τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος παραγωγής τραπεζιών.
11 Τεχνικές αριστοποίησης 207 Το βέλτιστο πρόγραµµα αντιστοιχεί στην παραγωγή 100 τραπεζιών τύπου 1, 80 τραπεζιών τύπου 2, 40 τραπεζιών τύπου 3 και κανενός τραπεζιού τύπου 4. Το συνολικό κέρδος που αντιστοιχεί στο παραπάνω επίπεδο παραγωγής είναι ίσο µε Επίσης, για την παραγωγή των τραπεζιών καταναλώνονται όλες οι διαθέσιµες ώρες µηχανής και οι ανθρωποώρες. Όµως, απαιτούνται µόνο 800 µονάδες ξύλου από τις διαθέσιµες. Αριστοποίηση παραγωγής διυλιστηρίου Το παράδειγµα που εξετάζεται στη συνέχεια αποτελεί ένα σύνθετο πρόβληµα παραγωγής και αναφέρεται στην αριστοποίηση του προγράµµατος παραγωγής ενός διυλιστηρίου πετρελαίου. Ένα διυλιστήριο παράγει τρεις τύπους βενζίνης (Βενζίνη 1, Βενζίνη 2 και Βενζίνη 3). Για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης χρησιµοποιείται ένα διαφορετικό µίγµα από τρεις τύπους αργού πετρελαίου (Αργό 1, Αργό 2 και Αργό 3). Στον πίνακα 9.2 δίνονται οι τιµές πώλησης κάθε βαρελιού βενζίνης ενώ στον πίνακα 9.3 το κόστος αγοράς, ο αριθµός οκτανίων και η περιεκτικότητα σε θείο κάθε τύπου αργού πετρελαίου. Οι τρεις τύποι βενζίνης που παράγονται διαφέρουν στον αριθµό οκτανίων και στην περιεκτικότητα σε θείο. Συγκεκριµένα, το µίγµα αργού πετρελαίου που χρησιµοποιείται για την παρασκευή βενζίνης τύπου 1 πρέπει να έχει µέση τιµή αριθµού οκτανίων τουλάχιστον ίση µε 10 και να περιέχει το πολύ 1% θείο. Το µίγµα αργού πετρελαίου που χρησιµοποιείται για την παρασκευή βενζίνης τύπου 2 πρέπει να έχει µέση τιµή αριθµού οκτανίων τουλάχιστον ίση µε 8 και να περιέχει το πολύ 2% θείο. Το µίγµα αργού πετρελαίου που χρησιµοποιείται για την παρασκευή βενζίνης τύπου 3 πρέπει να έχει µέση τιµή αριθµού οκτανίων τουλάχιστον ίση µε 6 και να περιέχει το πολύ 1% θείο. Η µετατροπή κάθε βαρελιού αργού πετρελαίου σε βενζίνη κοστίζει 4. Οι πελάτες του διυλιστηρίου είναι σε θέση να απορροφήσουν το πολύ βαρέλια βενζίνης τύπου 1, βαρέλια βενζίνης τύπου 2 και βαρέλια βενζίνης τύπου 3 την ηµέρα. Επίσης, το διυλιστήριο µπορεί να προµηθευτεί το πολύ βαρέλια την ηµέρα από κάθε είδος αργού πετρελαίου. Ζητείται το ηµερήσιο πρόγραµµα παραγωγής του διυλιστηρίου που µεγιστοποιεί τα συνολικά κέρδη.
12 208 Κεφάλαιο 9 Πίνακας 9.2 Τιµές πώλησης βενζίνης. Τύπος Βενζίνης Τιµή Βαρελιού Βενζίνη 1 62 Βενζίνη 2 53 Βενζίνη 3 44 Πίνακας 9.3 Κόστος και χαρακτηριστικά αργού πετρελαίου. Τύπος Αργού Κόστος Βαρελιού Αριθµός Οκτανίων Περιεχόµενο Θείο Αργό ,5% Αργό ,0% Αργό ,0% Λύση Το βέλτιστο πρόγραµµα παραγωγής βενζίνης είναι αυτό που µεγιστοποιεί τα καθαρά κέρδη υπό τους περιορισµούς της ζήτησης σε βενζίνη, της διαθεσιµότητας σε αργό και της ποιότητας του µίγµατος αργού σε αριθµό οκτανίων και περιεχόµενο θείο. Οι µεταβλητές απόφασης του προβλήµατος είναι ο αριθµός των βαρελιών κάθε τύπου αργού πετρελαίου που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Κατά συνέπεια, ο συνολικός αριθµός των µεταβλητών απόφασης είναι εννιά. Θεωρείται ότι η ποιότητα (αριθµός οκτανίων και περιεκτικότητα σε θείο) ενός µίγµατος αργού πετρελαίου είναι γραµµική συνάρτηση της ποιότητας των τύπων αργού που χρησιµοποιούνται (γραµµική συνάρτηση ανάµιξης). Το µοντέλο του προβλήµατος βρίσκεται στο αρχείο REFINERY.XLS και παρουσιάζεται στο σχήµα 9.8. Στηρίζεται στα ακόλουθα στοιχεία: εδοµένα εισόδου. Στην περιοχή Β5:D7 εισάγονται τα στοιχεία που αφορούν στους τρεις τύπους αργού πετρελαίου, σύµφωνα µε τον πίνακα 9.3. Στην περιοχή Β10:D10 εισάγονται οι τιµές πώλησης κάθε τύπου βενζίνης σύµφωνα µε τον πίνακα 9.2. Στο κελί Β12 εισάγεται το µοναδιαίο κόστος µετατροπής του αργού σε βενζίνη. Στις περιοχές B27:D27 και G22:G24 εισάγονται τα επίπεδα ζήτησης βενζίνης και διαθεσιµότητας αργού πετρελαίου αντίστοιχα. Τέλος, στις περιοχές
13 Τεχνικές αριστοποίησης 209 Σχήµα 9.8 Το µοντέλο του προβλήµατος παραγωγής διυλιστηρίου. B33:D33 και B37:D37 εισάγονται οι περιορισµοί που αφορούν στον αριθµό οκτανίων και στην περιεκτικότητα σε θείο του µίγµατος αργού που χρησιµοποιείται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Επίπεδα παραγωγής. Στην περιοχή B22:D24 εισάγονται οι µεταβλητές απόφασης, δηλαδή ο αριθµός των βαρελιών από κάθε
14 210 Κεφάλαιο 9 τύπο αργού που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Αρχικά στα κελιά αυτά εισάγονται κάποιες τυχαίες τιµές. Μοναδιαία κέρδη. Στην περιοχή B16:D18 υπολογίζονται τα καθαρά κέρδη που αντιστοιχούν στη µετατροπή ενός βαρελιού από κάθε τύπο αργού πετρελαίου για την παραγωγή ενός βαρελιού κάθε τύπου βενζίνης. Το µέγεθος αυτό είναι συνάρτηση του κόστους κάθε βαρελιού αργού πετρελαίου, της αξίας κάθε βαρελιού βενζίνης και του κόστους µετατροπής. Στο κελί Β16 εισάγεται ο τύπος: =B$10-$B5-$B$12 και αντιγράφεται µέχρι το κελί D18. Κατανάλωση αργού πετρελαίου. Στην περιοχή Ε22:Ε24 υπολογίζονται οι συνολικές καταναλισκόµενες ποσότητες από κάθε τύπο αργού πετρελαίου. Στο κελί Ε22 εισάγεται ο τύπος: =SUM(B22:D22) και αντιγράφεται µέχρι το κελί Ε24. Παραγωγή βενζίνης. Στην περιοχή B25:D25 υπολογίζονται οι συνολικές παραγόµενες ποσότητες από κάθε τύπο βενζίνης. Στο κελί Β25 εισάγεται ο τύπος: =SUM(B22:B24) και αντιγράφεται µέχρι το κελί D25. Αριθµός οκτανίων. Στην περιοχή B31:D31 υπολογίζονται οι αριθµοί οκτανίων των τριών µιγµάτων αργού πετρελαίου που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Στο κελί Β31 εισάγεται ο τύπος: =SUMPRODUCT(B22:B24;$C$5:$C$7)/B25 και αντιγράφεται µέχρι το κελί D31. Περιεκτικότητα σε θείο. Στην περιοχή B35:D35 υπολογίζονται οι περιεκτικότητες σε θείο των τριών µιγµάτων αργού πετρελαίου που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Στο κελί Β35 εισάγεται ο τύπος: =SUMPRODUCT(B22:B24;$D$5:$D$7)/B25 και αντιγράφεται µέχρι το κελί D35. Συνολικά κέρδη. Υπολογίζονται στο κελί Β40 µε τον τύπο: =SUMPRODUCT(B22:D24;B16:D18)
15 Τεχνικές αριστοποίησης 211 Σχήµα 9.9 Το πλαίσιο διαλόγου του Solver για το πρόβληµα αριστοποίησης της παραγωγής του διυλιστηρίου. Η αριστοποίηση της παραγωγής επιτυγχάνεται ενεργοποιώντας το Solver και εισάγοντας τα στοιχεία που φαίνονται στο σχήµα 9.9. Τα αποτελέσµατα είναι αυτά που παρουσιάζονται στο σχήµα 9.8. Συγκεκριµένα, για την παραγωγή βαρελιών βενζίνης τύπου 1 χρησιµοποιείται ένα µίγµα βαρελιών αργού τύπου 1, 167 βαρελιών αργού τύπου 2 και 500 βαρελιών αργού τύπου 3. Επίσης, για την παραγωγή βαρελιών βενζίνης τύπου 2 χρησιµοποιείται ένα µίγµα 800 βαρελιών αργού τύπου 1 και βαρελιών αργού τύπου 3. Τέλος, για την παραγωγή βαρελιών βενζίνης τύπου 3 χρησιµοποιείται ένα µίγµα 667 βαρελιών αργού τύπου 1 και 333 βαρελιών αργού τύπου 2. Τα συνολικά ηµερήσια κέρδη για το διυλιστήριο ανέρχονται σε Επιλογή επενδυτικού σχεδίου Μια ιδιαίτερα σηµαντική κατηγορία προβληµάτων αριστοποίησης είναι αυτά στα οποία οι µεταβλητές απόφασης µπορούν να πάρουν µόνο ακέραιες τιµές και είναι γνωστά ως προβλήµατα ακέραιου προγραµµατισµού. Μια ειδική περίπτωση προβληµάτων ακέραιου προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα στα οποία η απόφαση µπορεί να είναι µόνο της µορφής «ΝΑΙ» ή «ΟΧΙ». Για την αντιµετώπιση τέτοιων προβληµάτων ορίζεται για κάθε απόφαση µια λογική µεταβλητή που µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές 0 (αν η απόφαση είναι «ΝΑΙ») ή 1 (αν η απόφαση είναι «ΟΧΙ»). Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα τυπικό παράδειγµα αυτής της µορφής. Μια εταιρεία ενδιαφέρεται να επενδύσει σε τέσσερις επιχειρηµατικές δραστηριότητες. Στον πίνακα 9.4 παρουσιάζονται οι ετήσιες χρηµατοροές
16 212 Κεφάλαιο 9 (σε χιλιάδες ) και τα διαθέσιµα κεφάλαια για τα επόµενα τέσσερα χρόνια. Αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 15%, σε ποιες δραστηριότητες πρέπει να επενδύσει; Πίνακας 9.4 Χρηµατοροές των τεσσάρων επενδυτικών σχεδίων και διαθέσιµα κεφάλαια (σε χιλιάδες ). Επένδυση Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Σχέδιο Σχέδιο Σχέδιο Σχέδιο ιαθέσιµα Κεφάλαια Λύση Το κριτήριο για την επιλογή των επενδυτικών σχεδίων που θα υιοθετήσει η εταιρεία είναι η µεγιστοποίηση της καθαρής παρούσας αξίας. Το σηµαντικό στοιχείο στο πρόβληµα αυτό είναι ότι αν η εταιρεία αποφασίσει να επενδύσει σε ένα σχέδιο, είναι υποχρεωµένη να το υιοθετήσει συνολικά. εν µπορεί δηλαδή να επενδύσει κατά ένα ποσοστό σε κάποιο από τα επενδυτικά σχέδια. Το µοντέλο για το πρόβληµα αυτό παρουσιάζεται στο σχήµα 9.10 (αρχείο INVESTMENT.XLS). Η απόφαση επένδυσης ή όχι σε κάποιο σχέδιο αντιπροσωπεύεται από τέσσερις λογικές µεταβλητές (επίπεδα) οι οποίες µπορούν να πάρουν µόνο τις τιµές 0 ή 1 και οι οποίες δηλώνουν απόρριψη ή υιοθέτηση του επενδυτικού σχεδίου αντίστοιχα. Το µοντέλο καταστρώνεται ως εξής: εδοµένα εισόδου. Στο κελί C4 εισάγεται η τιµή του επιτοκίου προεξόφλησης. Στην περιοχή C8:F11 εισάγονται οι χρηµατοροές των τεσσάρων σχεδίων. Τέλος, στην περιοχή C22:F22 εισάγονται τα διαθέσιµα κεφάλαια. Επίπεδα επένδυσης. Στα κελιά G16:G19 εισάγονται τυχαίες τιµές για τις µεταβλητές απόφασης. Καθαρές παρούσες αξίες επενδυτικών σχεδίων. Στο κελί Β8 εισάγεται ο τύπος:
17 Τεχνικές αριστοποίησης 213 Σχήµα 9.10 Το µοντέλο του προβλήµατος επιλογής επένδυσης. =C8+NPV($C$4;D8:F8) και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Β1. Απαιτούµενα κεφάλαια. Στο κελί C16 εισάγεται ο τύπος: =IF(C8<0;ABS(C8);0)*$G16 και αντιγράφεται στην περιοχή C16:F19. Επίσης στο κελί C20 εισάγεται ο τύπος: =SUM(C16:C19) και αντιγράφεται προς τα δεξιά µέχρι το κελί F20. Καθαρή παρούσα αξία επένδυσης. Στο κελί Β16 εισάγεται ο τύπος: =B8*G16 και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Β19. Τέλος, στο κελί Β24 υπολογίζεται η συνολική καθαρή παρούσα αξία, εισάγοντας τον τύπο:
18 214 Κεφάλαιο 9 =SUM(B16:B19) Στη συνέχεια ενεργοποιείται ο Solver και εισάγονται οι πληροφορίες που φαίνονται στο σχήµα Ο περιορισµός G16:G19 = binary περιορίζει τις τιµές των αντίστοιχων µεταβλητών απόφασης στο σύνολο (0, 1) Σχήµα 9.11 Το πλαίσιο διαλόγου του Solver για το πρόβληµα επιλογής επένδυσης. Τα αποτελέσµατα της αριστοποίησης είναι αυτά που παρουσιάστηκαν στο σχήµα Συγκεκριµένα, η βέλτιστη απόφαση είναι αυτή της επένδυσης στις δραστηριότητες 1, 3 και 4. Στην περίπτωση αυτή η καθαρή παρούσα αξία είναι ίση µε Επισηµάνσεις Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισµένες ενδιαφέρουσες παραλλαγές του παραπάνω προβλήµατος και ο τρόπος µε τον οποίο µπορούν να µοντελοποιηθούν. Έστω ότι δε γίνεται να επιλεγούν πάνω από 2 επενδυτικά σχέδια. Η περίπτωση αυτή αντιµετωπίζεται εισάγοντας ένα νέο περιορισµό σύµφωνα µε τον οποίο το άθροισµα των λογικών µεταβλητών δεν πρέπει να υπερβαίνει την τιµή 2. Έτσι, σε κάποιο κελί (π.χ. το κελί G20) υπολογίζεται το άθροισµα των λογικών µεταβλητών µε τον τύπο =SUM(G16:G19) και στο πλαίσιο διαλόγου του Solver εισάγεται ο περιορισµός G20<=2. Έστω ότι το επενδυτικό σχέδιο 1 προϋποθέτει το σχέδιο 2, δηλαδή, αν επιλεγεί το σχέδιο 1 πρέπει απαραίτητα να επιλεγεί και το 2. Στην περίπτωση αυτή εισάγεται ένας νέος περιορισµός, σύµφωνα µε τον οποίο η λογική µεταβλητή του σχεδίου 2 είναι µεγαλύτερη ή ίση από
19 Τεχνικές αριστοποίησης 215 τη λογική µεταβλητή του σχεδίου 1 (G17>=G16). Ο περιορισµός αυτός αφαιρεί από το σύνολο των λύσεων την περίπτωση επιλογής του σχεδίου 1 (G16=1) χωρίς να έχει επιλεγεί το σχέδιο 2 (G17=0). Έστω ότι κάποιο από τα επενδυτικά σχέδια 1 ή 3 (ή και τα δύο) πρέπει απαραίτητα να επιλεγεί. Η περίπτωση αυτή αντιµετωπίζεται εισάγοντας ένα νέο περιορισµό σύµφωνα µε τον οποίο το άθροισµα των λογικών µεταβλητών των σχεδίων 1 και 3 πρέπει να είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 1. Έτσι, σε κάποιο κελί (π.χ. το κελί G20) υπολογίζεται το άθροισµα των λογικών µεταβλητών των σχεδίων 1 και 3 µε τον τύπο =G16+G18 και στο πλαίσιο διαλόγου του Solver εισάγεται ο περιορισµός G20>=1. Αριστοποίηση χαρτοφυλακίου Σε πολλά προβλήµατα αριστοποίησης, η αντικειµενική συνάρτηση ή οι περιορισµοί δεν είναι γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών απόφασης. Τα προβλήµατα αυτά είναι γνωστά ως προβλήµατα µη-γραµµικού προγραµµατισµού. Στη συνέχεια εξετάζεται ένα τυπικό παράδειγµα αριστοποίησης χαρτοφυλακίου. Ένας επενδυτής έχει σκοπό να επενδύσει ένα ποσό σε τρεις µετοχές. Οι αποδόσεις των µετοχών κατά τα τελευταία 10 χρόνια φαίνονται στον πίνακα 9.5. Επιδίωξη του επενδυτή είναι επιτύχει απόδοση τουλάχιστον 12%, µειώνοντας ταυτόχρονα το ρίσκο της επένδυσης. Ποια είναι τα ποσοστά των χρηµάτων που πρέπει να επενδύσει σε κάθε µετοχή; Πίνακας 9.5 Ετήσιες αποδόσεις των µετοχών. Έτος Μετοχή ,5 15,3 11,5 1,6-3,6 8,4 6,8 11,9 6,1 11,5 2 6,7 9,2 11,3 17,7 7,4 13,0 19,5 15,1 19,4 15,2 3 15,1 27,8 38,6 12,0 5,9 12,7 2,1 12,8 36,8 22,7 Λύση Τα κριτήρια µε τα οποία ο επενδυτής επιλέγει το χαρτοφυλάκιο είναι η µεγιστοποίηση της απόδοσης και η ελαχιστοποίηση του ρίσκου. Μέτρο του ρίσκου είναι η διασπορά των ετησίων αποδόσεων. Ο πιο κοινός τρόπος αντιµετώπισης του προβλήµατος ύπαρξης δύο αντικειµενικών συναρτήσεων
20 216 Κεφάλαιο 9 είναι ο καθορισµός µιας ελάχιστης επιθυµητής απόδοσης και στη συνέχεια η ελαχιστοποίηση της διασποράς των αποδόσεων. Στη γενική περίπτωση n µετοχών, η αναµενόµενη απόδοση και η διασπορά του χαρτοφυλακίου ορίζονται ως: n ( ) ( ) E P E X w = i i i= 1 n n 1 n = i i + ij i j i= 1 i= 1 j= i+ 1 σ σ w 2 σ ww (9.10) (9.11) όπου wi είναι το ποσοστό επένδυσης στη µετοχή i (µεταβλητές απόφασης), 2 E( X i ) είναι η αναµενόµενη απόδοση της µετοχής i, σ i είναι η διασπορά της µετοχής i (υπολογίζεται µε τη συνάρτηση VAR) και σij είναι η συνδιασπορά των µετοχών i και j (υπολογίζεται µε τη συνάρτηση COVAR). Είναι φανερό από τη σχέση (9.11) ότι η αντικειµενική συνάρτηση είναι µηγραµµική. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, καταστρώνεται το µοντέλο του σχήµατος 9.12 (αρχείο PORTOFOLIO.XLS), το οποίο αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία: εδοµένα εισόδου. Στην περιοχή B6:D15 εισάγονται οι ετήσιες αποδόσεις των τριών µετοχών και στο κελί D24 η ελάχιστη επιθυµητή µέση απόδοση. Ποσοστά επένδυσης. Εισάγονται τυχαίες τιµές για τις µεταβλητές σχεδιασµού στα κελιά B20:D20. Επίσης, στο κελί Ε20 υπολογίζεται το άθροισµα των ποσοστών ως: =SUM(B20:D20) Πίνακας διασποράς. Στο κελί G6 εισάγεται ο τύπος: =VAR(B$6:B$15) και αντιγράφεται στα κελιά H7 και Ι8. Στο κελί G7 εισάγεται ο τύπος: =COVAR($B$6:$B$15;$C$6:$C$15) και αντιγράφεται στο κελί H6. Στο κελί G8 εισάγεται ο τύπος: =COVAR($B$6:$B$15;$D$6:$D$15)
21 Τεχνικές αριστοποίησης 217 Σχήµα 9.12 Το µοντέλο του προβλήµατος διαχείρισης χαρτοφυλακίου. και αντιγράφεται στο κελί Ι6. Τέλος, στο κελί Η8 εισάγεται ο τύπος: =COVAR($C$6:$C$15;$D$6:$D$15) και αντιγράφεται στο κελί Ι7. Αναµενόµενη απόδοση χαρτοφυλακίου. Υπολογίζεται στο κελί Β24 µε τον τύπο: =SUMPRODUCT(B20:D20;B16:D16) ιασπορά και τυπική απόκλιση χαρτοφυλακίου. Η διασπορά υπολογίζεται στο κελί C27 µε τον τύπο: =SUMPRODUCT(MMULT(B20:D20;G6:I8);B20:D20) ενώ η τυπική απόκλιση στο κελί C28 ως: =SQRT(C27) Η συνάρτηση MMULT περιγράφεται παρακάτω.
22 218 Κεφάλαιο 9 Στη συνέχεια ενεργοποιείται ο Solver και εισάγονται οι πληροφορίες που φαίνονται στο σχήµα Ο πρώτος περιορισµός (Β24>=D24) αφορά στην ικανοποίηση της ελάχιστα αποδεκτής αναµενόµενης απόδοσης, ενώ ο δεύτερος (E20=1) επιβάλλει τα ποσοστά επένδυσης να αθροίζονται στο 100%. Προσοχή δίνεται ώστε να µην είναι ενεργοποιηµένη η επιλογή Assume Linear Model ενώ ενεργοποιείται η επιλογή Assume Non-Negative. Σχήµα 9.13 Το πλαίσιο διαλόγου του Solver για το πρόβληµα αριστοποίησης χαρτοφυλακίου. Τα αποτελέσµατα της αριστοποίησης είναι αυτά που παρουσιάστηκαν στο σχήµα Συγκεκριµένα, η βέλτιστη απόφαση είναι η επένδυση του 24,6% των χρηµάτων στη µετοχή 1, του 73,7% στη µετοχή 2 και του 1,7% στη µετοχή 3. Στην περίπτωση αυτή επιτυγχάνεται αναµενόµενη απόδοση ίση µε 12% και διασπορά ίση µε 0, (τυπική απόκλιση ίση µε 3,76%). ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ MMULT Η συνάρτηση MMULT είναι µια διανυσµατική συνάρτηση η οποία υπολογίζει το γινόµενο δύο πινάκων. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: = MMULT(range1;range2) όπου range1, range2 είναι οι περιοχές κελιών οι οποίες περιέχουν τις τιµές των πινάκων. Ο αριθµός των στηλών του πίνακα range1 πρέπει να είναι ίσος µε τον αριθµό των γραµµών του πίνακα range2. Το αποτέλεσµα της συνάρτησης είναι ένας πίνακας µε αριθµό γραµµών όσο και ο range1 και αριθµό στηλών όσο και ο range2.
23 Τεχνικές αριστοποίησης 219 Βιβλιογραφία Albright, S.C., Winston, W.L, and Zappe, C. (1999) Data Analysis & Decision Making with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Barlow, F.G. (1999) Excel Models for Business and Operations Management, John Wiley & Sons, Chichester, Sussex. Gottfried, B.S (1998) Spreadsheet Tools for Engineers, McGraw-Hill, Singapore. Monks, J.G. (1987) Operations Management, Mc-Graw Hill, USA. Orvis, J.W. (1996) Excel for Scientists and Engineers, Sybex, USA. Williams, H.P. (1999) Model Building in Mathematical Programming, John Wiley & Sons, Chichester, Sussex. Οικονόµου, Γ.Σ., και Γεωργίου, Α.Κ. (1999) Ποσοτική Ανάλυση για τη Λήψη ιοικητικών Αποφάσεων, Εκδόσεις Ευγ. Μπένου, Αθήνα. Πραστάκος, Γ. (2000) ιοικητική Επιστήµη: Λήψη Επιχειρηµατικών Αποφάσεων στην Κοινωνία της Πληροφορίας, Εκδόσεις Αθαν. Σταµούλης, Αθήνα. Σίσκος, Γ. (1998) Γραµµικός Προγραµµατισµός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα.
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότερα1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER 4.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την "Επίλυση", µπορείτε να βρείτε τη βέλτιστη τιµή για τον τύπο ενός κελιού το οποίο ονοµάζεται κελί προορισµού σε ένα φύλλο εργασίας. Η "Επίλυση" λειτουργεί
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραCase 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ
Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL
ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL 1. Στο Tools menu, click Solver. 2. Εάν η επιλογή Solver δεν είναι διαθέσιµη στο Tools menu, πρέπει να το
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Φουτσιτζή Γεωργία-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Περιεχόμενα Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότερα2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ
2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση χρονοσειρών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ανάλυση χρονοσειρών Εισαγωγή Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συµβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συµπεριφοράς µιας µεταβλητής και επιτρέπουν
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200
ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραCase 04: Επιλογή Χαρτοφυλακίου IΙ «Null Risk Securities» ΣΕΝΑΡΙΟ
Case 04: Επιλογή Χαρτοφυλακίου IΙ «Null Risk Securities» ΣΕΝΑΡΙΟ εκαετές πρόγραµµα επενδύσεων Οκτώ επενδυτικές ευκαιρίες Έντοκα γραµµάτια δηµοσίου, κοινές µετοχές εταιρειών, οµόλογα οργανισµών κ.ά. H επένδυση
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση: Γραμμικός Προγραμματισμός (Αλγόριθμος Simplex). Λύση δυο προβλημάτων με χρήση της μεθόδου simplex και το excel.
Παρουσίαση: Γραμμικός Προγραμματισμός (Αλγόριθμος Simplex). Λύση δυο προβλημάτων με χρήση της μεθόδου simplex και το excel. Γκούμας Στράτος. Πτυχιούχος Οικονομολόγος. MSc Εφαρμοσμένη Οικονομική και Χρηματοοικονομική
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες
Διαβάστε περισσότεραΤο µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα
Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήµατα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)
Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΕπενδυτικός κίνδυνος
Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης
Διαβάστε περισσότεραΕιδικές κατανοµές πιθανότητας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ειδικές κατανοµές πιθανότητας Εισαγωγή Οι κατανοµές πιθανότητας που εξετάστηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο έχουν γενική µορφή και δεν εµφανίζουν κάποια τυποποιηµένη συµπεριφορά. Στο κεφάλαιο αυτό
Διαβάστε περισσότεραCase 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)
Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις
Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Στέλλα Σοφιανοπούλου Καθηγήτρια Πειραιάς 2012 Ενότητα 6.1 2 Τυπικά δεδομένα Ενότητα 6.3 Δοκιμή με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση
Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Β. ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Διάλεξη #2 Παραδείγματα Μοντελοποίησης Γραμμικού Προγραμματισμού
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Διάλεξη #2 Παραδείγματα Μοντελοποίησης Γραμμικού Προγραμματισμού Ερμηνεία Λύσεων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Παραδείγματα Που στοχεύει ο Γραμμικός Προγραμματισμός;
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραCase 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1)
Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Οι στρατηγικές χρηματοοικονομικής δομής αναφέρονται στην επιλογή των μέσων χρηματοδότησης επενδυτικών προγραμμάτων, λειτουργιών της παραγωγής και
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχοι υποθέσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Εισαγωγή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Έλεγχοι υποθέσεων Εισαγωγή Οι έλεγχοι υποθέσεων µαζί µε τα διαστήµατα εµπιστοσύνης είναι τα δύο σηµαντικότερα εργαλεία της στατιστικής συµπερασµατολογίας. Αντικείµενο του κλάδου αυτού της στατιστικής
Διαβάστε περισσότεραΒ. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5.
Άλυτες Ασκήσεις ΓΠ Α. Μέρη ενός προβλήματος ΓΠ - Λυμένο πρόβλημα 1, Άσκηση 1. Β. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5. Γ. Διατύπωση μαθηματικού
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Νίκος Λαγαρός
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 4 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από
Διαβάστε περισσότεραΑναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20
Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής
Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ένα παραγωγικό σύστημα χρησιμοποιεί δύο διαδικασίες, τις D1 και D2, κάθε μία από τις οποίες συμπαράγει δύο προϊόντα Α και Β σε διαφορετικές αναλογίες, χρησιμοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize
Διαβάστε περισσότεραo AND o IF o SUMPRODUCT
Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότεραΜίγμα προϊόντων (product mix)
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2 Μίγμα προϊόντων (product mix) Σε τέτοιου είδους προβλήματα, ο στόχος της βελτιστοποίησης είναι να βρεθεί η πιο κερδοφόρα λύση με βάση περιορισμένους πόρους εν συγκρίσει επιθυμητών
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Διανομής και Δικτύων
Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία
Διαβάστε περισσότεραCase 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)
Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασία μετατροπής σε τυπική μορφή
ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας -Τμήμα Διοίκησης επιχειρήσεων- Μάθημα: Ποσοτικές μέθοδοι στη διοίκηση επιχειρήσεων- ΣΤ Εξάμηνο Ημερομηνία: Τρίτη 25 ΑΠΡ 2017, 1 η γραπτή Πρόοδος Εκπαιδευτής: Βασίλειος Ισμυρλής,
Διαβάστε περισσότεραCase 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ
Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία
Διαβάστε περισσότεραCase 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)
Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής
Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή
Διαβάστε περισσότερασει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.
Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκησης Επιχειρήσεων. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ eμβα ΚΩΔ. ΤΜΗΜΑ ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΕΠ5 ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Credits 6 ΕΞΑΜΗΝΟ 3 ος κύκλος ΟΝΟΜ/ΝΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΟΣ
ΤΜΗΜΑ Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ eμβα ΚΩΔ. ΤΙΤΛΟΣ Επιχειρησιακή ΔΙΕΠ5 ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Έρευνα Credits 6 ΕΞΑΜΗΝΟ 3 ος κύκλος ΟΝΟΜ/ΝΟ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΟΣ Βασίλης Αγγελής Ε-ΜAIL v.angelis@aegean.gr ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 5 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)
Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 5 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Βελτιστοποίηση ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ σε διάφορα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Εφαρμογές και Λογισμικό Γραμμικού Προγραμματισμού
Επιχειρησιακή Έρευνα Εφαρμογές και Λογισμικό Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.
Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...
Διαβάστε περισσότεραΆριστες κατά Pareto Κατανομές
Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή
Διαβάστε περισσότεραΠαραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Μεταφοράς
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραFermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807
Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100)
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μέρος ΙΙ Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Μαθηματικά Μοντέλα Εισαγωγή Μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότερα