Θεωρία Οµάδων. Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης

Transcript

1 Θεωρία Οµάδων Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης

2 2

3 Περιεχόµενα 1 ράση οµάδων ράση οµάδας σε σύνολο Μετάθεση-Αναπαράσταση Λήµµα Burnside ράση οµάδας σε οµάδα Ηµιευθύ γινόµενο ιεδρική οµάδα Ολόµορϕο Ασκήσεις Αβελιανές Οµάδες Ελεύθερη αβελιανή οµάδα Αλγόριθµος για πίνακες Ταξινόµηση αβελιανών οµάδων Παραδείγµατα Ασκήσεις Θεώρηµα Sylow ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήµατος Ταξινόµηση Μικρών Οµάδων Οµάδες τάξης Οµάδες τάξης Οµάδες τάξης Ασκήσεις Επιλύσιµες οµάδες Ανώτερη κεντρική σειρά. Οµάδα µεταθέτης Κανονικές και Συνθετικές Σειρές

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.3 Παράγουσα σειρά. Επιλύσιµες Οµάδες

5 Κεϕάλαιο 1 ράση οµάδων 1.1 ράση οµάδας σε σύνολο Εστω G µία οµάδα και X ένα µη κενό σύνολο. Θα λέµε ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο X (ή ότι η G µεταθέτει τα στοχεία του X) αν σε κάθε στοιχείο g G και σε κάθε στοιχείο x X υπάρχει ένα µοναδικό στοιχείο gx X τέτοιο, ώστε για όλα τα x X και g 1, g 2 G, ισχύουν οι συνθήκες : (i) (g 1 g 2 )x = g 1 (g 2 x) και (ii) 1x = x. Ουσιαστικά, έχουµε µία απεικόνιση από το G X στο X που στέλνει το (g, x) στο gx για όλα τα g G και x X. υικά µπορούµε να ορίσουµε την έννοια η οµάδα G δρα από δεξιά πάνω στο X. Από εδώ και στο εξής όταν αναϕερόµαστε σε δράση οµάδας πάνω σε σύνολο ϑα εννοούµε αριστερή δράση. ιαϕορετικά ϑα λέµε σαϕώς ποια δράση χρησιµοποιούµε. Παραδείγµατα 1 (i) Εστω X ένα µη κενό συνολο και G µία υποοµάδα της Sym(X). Τότε η G δρα πάνω στο X. Στη περίπτωση αυτή gx = g(x), όπου g(x) είναι η εικόνα του x µέσω της απεικόνισης g, για κάθε g G και x X. Η δράση αυτή ονοµάζεται φυσική δράση της G στο X. (ii) Εστω V ένας F-διανυσµατικός χώρος. Τότε η οµάδα των αντιστρέψιµων στοιχείων F δρα πάνω στο σύνολο V. Εστω ότι η οµάδα G δρα πάνω στο X. Τότε µπορούµε να πάρουµε µία δεξιά δράση της G πάνω στο X ορίζοντας xg = g 1 x 5

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ για όλα τα g G και x X. Το g 1 χρησιµοποιείται για να επαληθεύονται οι συνθήκες της δεξιάς δράσης. 1.2 Μετάθεση-Αναπαράσταση Το παρακάτω αποτέλεσµα µας δίνει την σχέση µεταξύ δράσης οµάδας σε σύνολο και αναπαράστασης. Οδηγεί στην έννοια µετάθεση-αναπαράσταση της οµάδας. Η απόδειξη του είναι απλή και αϕήνεται στον αναγνώστη ως άσκηση. Θεώρηµα 1 Εστω G µία οµάδα και X ένα µη κενό σύνολο. (i) Εστω ότι η G δρα πάνω στο X. Τότε σε κάθε στοιχείο g G αντιστοιχεί µία απεικόνιση ρ g : X X µε τύπο ρ g (x) = gx. Η ρ g είναι µετάθεση για κάθε g G. Η απεικόνιση ρ : G Sym(X) που στέλνει το g στο ρ g είναι οµοµορϕισµός. Ο οµοµορϕισµός ρ ονοµάζεται µετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην δράση της G στο X. (ii) Εστω σ ένας οµοµορϕισµός από τη G στη Sym(X). Τότε η G δρα πάνω στο X, gx = σ(g)(x) για κάθε g G και x X. Η µετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί σε αυτή τη δράση είναι η σ. Ετσι όταν ϑεωρούµε δράση οµάδων πάνω σε µη-µηδενικό σύνολο X, δεν περιοριζόµαστε µόνο στις υποοµάδες της Sym(X), αλλά στους οµοµορϕισµούς των οµάδων στη Sym(X). Στη περίπτωση που ο οµοµορϕισµός ρ του Θεωρήµατος 1 είναι µονοµορϕισµός, λέµε ότι η G δρα πιστά στο X. 1.3 Λήµµα Burnside Υποθέτουµε ότι η G δρα πάνω στο X. Ορίζουµε µία σχέση πάνω στο X (δηλαδή, X X) ως εξής : αν x, y X τότε x y αν και µόνο αν υπάρχει

7 1.3. ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 7 g G έτσι ώστε gx = y. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η είναι σχέση ισοδυναµίας. Οι κλάσεις ισοδυναµίας ονοµάζονται τροχιές (orbits). Ετσι Θέτουµε orb(x) = {gx : g G}. Stab G (x) = {g G : gx = x}. Είναι απλό να διαπιστώσουµε ότι το Stab G (x) είναι υποοµάδα της G που ονοµάζεται σταθεροποιητής του x στην οµάδα G. Η σχέση που συνδέει την µετάθεση-αναπαράσταση ρ της οµάδας G µε τους σταθεροποιητές είναι η εξής : Kerρ = x X Stab G (x). Εστω H G. Τότε η H δρα πάνω στο σύνολο G µε αριστερό πολλαπλασιασµό, δηλαδή, σε κάθε h H και g G αντιστοιχούµε το hg G. Χρησιµοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα και την ιδιότητα του ουδετέ- ϱου στοιχείου, είναι εύκολο να δειχθεί ότι η παραπάνω ορισθείσα αντιστοιχία ορίζει δράση της H πάνω στο G. Για g G, Stab H (g) = {h H : hg = g} = {1}. Με άλλα λόγια, η δράση είναι πιστή. Επίσης, η τροχιά του g είναι το σύνολο orb H (g) = {hg : h H} = Hg, το δεξιό σύµπλοκο της H στην G που περιέχει το g. Εποµένως, τα διαϕορετικά δεξιά σύµπλοκα της H στην G είναι ξένα µεταξύ τους. Χρησιµοποιώντας τον δεξιό πολλαπλασιασµό παίρνουµε δεξιά δράση της H στην G και εποµένως την κατασκευή των αριστερών συµπλόκων. Αποδεικνύοντας ότι Hg = gh για κάθε g G, µπορούµε να συµπεράνουµε το Θεώρηµα Lagrange. Αν H = G, τότε αποδεικνύεται το Θεώρηµα Cayley. Το επόµενο αποτέλεσµα αναϕέρεται στο µήκος της τροχιάς ενός στοιχείου στην G και είναι το κλειδί σε πολλές εϕαρµογές. Λήµµα 1 Εστω ότι η G δρα πάνω στο µη-κενό σύνολο X και έστω x X. Τότε orb(x) = G : Stab G (x). Απόδειξη. Γράϕουµε X 1 = orb(x), H = Stab G (x) και Y το σύνολο των αριστερών συµπλόκων της H στη G. Ορίζουµε την απεικόνιση µ : X 1 Y

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ µε τύπο µ(gx) = gh. Ισχυριζόµαστε ότι η µ είναι 1 1 και επί. Πρώτα από όλα ϑα δείξουµε ότι η µ είναι καλά-ορισµένη. Εστω g 1, g 2 G. Πρέπει να δείξουµε ότι αν g 1 x = g 2 x τότε g 1 H = g 2 H. Χρησιµοποιώντας τα αξιώµατα του ορισµού της δράσης ϐλέπουµε ότι αν g 1 x = g 2 x τότε (g 1 2 g 1)x = g 1 2 (g 1 x) = g 1 2 (g 2 x) = (g 1 2 g 2)x = 1x = x. Ετσι, g 1 2 g 1 Stab G (x) = H. Συνεπώς g 1 H = g 2 H. Αν g 1 H = g 2 H τότε g 1 2 g 1 H, εποµένως (g 1 2 g 1)x = x και έτσι g 1 x = (g 2 (g 1 2 g 1))x = g 2 x. Άρα η µ είναι 1 1. Είναι εύκολο να δούµε ότι η µ είναι και επί. Συνεπώς παίρνουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. Εστω V ένα µη κενό πεπερασµένο σύνολο µε V = n. Μία οµάδα συµµετριών (permutation group) πάνω στο V είναι εξ ορισµού µία υποοµάδα της Sym(V). Εστω G Sym(V). Τότε η G δρα πάνω στο V ως εξής : gv = g(v) για όλα τα v V, όπου g(v) συµβολίζει την εικόνα του v µέσω της µετάθεσης g. Ως άµεση συνέπεια του Λήµµατος 1 και του Θεωρήµατος Lagrange είναι το παρακάτω αποτέλεσµα που είναι γνωστό στην ϐιβλιογραϕία ως Λήµµα τροχιά-σταθεροποιητής. Λήµµα 2 (Τροχιά-Σταθεροποιητής) Εστω G µία οµάδα συµµετριών που δρα πάνω στο πεπερασµένο σύνολο V και έστω v V. Τότε Stab G (v) orb(v) = G. Το επόµενο αποτέλεσµα µας λέει ότι οι σταθεροποιητές δύο στοιχείων της ίδιας τροχιάς µιας οµάδας G είναι συζυγείς. Λήµµα 3 Εστω G µία οµάδα συµµετριών που δρα πάνω στο σύνολο V και έστω v V. Αν g G, τότε gstab G (v)g 1 = Stab G (gv). Απόδειξη. Εστω h Stab G (gv). Τότε (hg)v = gv και συνεπώς g 1 hg Stab G (v), δηλ., h gstab G (v)g 1. Αντίστροϕα, έστω h gstab G (v)g 1. Τότε h = gh g 1 µε h Stab G (v). Ετσι h = g 1 hg Stab G (v) και εποµένως (g 1 hg)v = v. Άρα h Stab G (gv). Πριν διατυπώσουµε και αποδείξουµε το Λήµµα Burnside χρειαζόµαστε έναν ορισµό. Για κάθε µετάθεση σ του V, fix(σ) είναι το σύνολο όλων των v V που είναι σταθερά κάτω από την δράση της σ, δηλ., fix(σ) = {v V : σ(v) = σv = v}.

9 1.3. ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9 Λήµµα 4 (Burnside) Εστω G µία οµάδα συµµετριών που δρα πάνω στο πεπε- ϱασµένο σύνολο V. Τότε ο αριθµός t των τροχιών της G πάνω στο V ισούται µε σ G fix(σ). 1 G Απόδειξη. Εστω T = {(σ, v) G V : σv = v}. Μετράµε µε δύο τρόπους τα στοιχεία του T. Σταθεροποιούµε το v V και παίρνουµε όλα τα σ τέτοια, ώστε σv = v. Τότε T = Stab G (v). v V Για κάθε τέτοιο σ, ο αριθµός των v για τα οποία σv = v είναι ίσος µε το fix(σ). Ετσι αθροίζοντας πάνω από όλα τα σ έχουµε ότι T = fix(σ). Ετσι σ G Stab G (v) = fix(σ). v V ιαµελίζουµε το V µε την ϐοήθεια της δράσης σε τροχιές Τότε t σ G V = orb(v 1 ) orb(v t ). i=1 s orb(v i ) Από το Λήµµα 3, αν s orb(v i ), τότε όπου σv i = s. Συνεπώς, όπου s orb(v i ). Ετσι Stab G (s) = fix(σ). σ G Stab G (s) = σstab G (v i )σ 1, Stab G (v i ) = Stab G (s), t orb(v i ) Stab G (v i ) = fix(σ). i=1 σ G

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ Από το λήµµα (τροχιά-σταθεροποιητής), t G = fix(σ) σ G και έτσι παίρνουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. Θα δώσουµε δύο ενδιαϕέρουσες εϕαρµογές των εννοιών που αναπτύχθηκαν παραπάνω. Εϕαρµογή 1 (Ασυµµετρικά γραϕήµατα) Εστω V ένα µη-κενό πεπερασµένο σύνολο µε V = n. Εστω G Sym(V). Η G δρα πάνω στο V ως εξής : gv = g(v) για όλα τα v V. Η δράση της G πάνω στο V επάγει και δράση πάνω στα υποσύνολα του V ως εξης : αν S είναι ένα υποσύνολο του V, τότε g S = {gs : s S} είναι πάλι ένα υποσύνολο του V. Ετσι κάθε στοιχείο της G καθορίζει µία µετάθεση των υποσυνόλων του V και έτσι έχουµε µία δράση της G πάνω στο δυναµοσύνολο P(V) του V. Παρατηρούµε ότι g S = S. Ετσι για σταθερό k η δράση της G πάνω στο V επάγει µία δράση της G πάνω στα k-υποσύνολα (δηλαδή, υποσύνολα του V µε k στοιχεία) του V. Οµοια η δράση της G πάνω στο V επάγει µία δράση της G πάνω στις διατεταγµενες k-άδες στοιχείων του V. Αν Γ είναι ένα γράϕηµα µε σύνολο κορυϕών το V, τότε µπορούµε να ϑεωρήσουµε κάθε αυτοµορϕισµό σαν µία µετάθεση του V και έτσι Aut(Γ) είναι οµάδα συµµετριών. Εστω F V το σύνολο των διαϕορετικών γραϕηµάτων µε σύνολο κορυϕών το V και έστω K V το πλήρες γράϕηµα µε σύνολο κορυϕών το V. Τότε υπάρχει µία προς µία αντιστοιχία µεταξύ των γραϕηµάτων µε) σύνολο κορυϕών το V και των υποσυνόλων του E(K V ). Αϕού το K V έχει ακµές, ο αριθµός των διαϕορετικών γραϕηµάτων είναι 2 2) (n. οθέντος ενός γραϕήµατος Γ, το σύνολο των γραϕηµάτων που είναι ισόµορϕο µε το Γ ο- νοµάζεται η ισοµορϕική κλάση του Γ. Οι ισοµορϕικές κλάσεις διαµελίζουν το σύνολο των γραϕηµάτων µε σύνολο κορυϕών το V. ύο τέτοια γραϕή- µατα Γ 1 και Γ 2 είναι ισόµορϕα αν υπάρχει µία µετάθεση του Sym(V) που να στέλνει το σύνολο των ακµών του Γ 1 πάνω στο σύνολο των ακµών του Γ 2. Συνεπώς, µία ισοµορϕική κλάση δεν είναι τίποτα άλλο από µία τροχιά της δράσης της Sym(V) πάνω στο δυναµοσύνολο του E(K V ). Εϕαρµόζοντας το λήµµα τροχιά-σταθεροποιητής παίρνουµε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσµα. Ο πληθικός αριθµός της ισοµορϕικής κλάσης που περιέχει το δοθέν γράϕηµα Γ είναι n! Aut(Γ). ( n 2

11 1.3. ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 11 Εϕαρµογή 2 (Μεταβατική δράση) Εστω ότι η οµάδα G δρα πάνω στο µη κενό σύνολο X. Η δράση λέγεται µεταβατική (transitive) αν έχει µόνο µία τροχιά. (Για παράδειγµα, έστω n ϑετικός ακέραιος αριθµός και έστω X = {1,..., n}. Τότε η κανονική δράση της S n πάνω στο X είναι µεταβατική.) Εστω H G και έστω X το σύνολο των αριστερών συµπλόκων της H στην G. Τότε είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X µε αριστερό πολλαπλασιασµό : σε κάθε g G και κάθε xh X αντιστοιχούµε το σύµπλοκο gxh. Επίσης, η δράση είναι µεταβατική. Πράγµατιν αν x 1 H και x 2 H είναι δύο δεξιά σύµπλοκα, τότε (x 1 x 1 2 )x 2H = x 1 H. Παρατηρούµε ότι stab G (xh) = xhx 1. Από το Λήµµα 1, G : xhx 1 = X = G : H. Ασϕαλώς το συµπέρασµα αυτό έπεται από το Θεώρηµα Lagrange αν η G είναι πεπερασµένη. Εστω ρ H η µετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση. Τότε Kerρ H = x G xhx 1 = H G. ( ηλαδή, ο core της H στην G.) Οταν G : H <, µπορούµε να ταυτίσουµε την Sym(X) µε την S G:H. Τότε ρ H είναι οµοµορϕισµός της G στην S G:H και από το πρώτο Θεώρηµα ισοµορϕισµού παίρνουµε το παρακάτω αποτέλεσµα. Πρόταση 1 Αν H είναι υποοµάδα της G µε πεπερασµένο δείκτη, τότε G/H G µπορεί να εµϕυτευθεί στην S G:H. Ως συνέπεια έχουµε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσµα. Πόρισµα 1 Αν H είναι υποοµάδα µε πεπερασµένο δείκτη µιας άπειρης οµάδας G τότε υπάρχει κανονική υποοµάδα K της G τέτοια, ώστε K H και G/K είναι πεπερασµένη. Πρόταση 2 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και ότι ο p είναι ο µικρότερος πρώτος διαιρέτης της τάξης της G. Αν H είναι µία υποοµάδα της G µε δείκτη p, τότε H G. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι H G µε G : H = p. Τότε G : H G = G/H G = p H : H G. Ισχυριζόµαστε ότι H : H G = 1. Εστω ότι H : H G > 1 και q ένας πρώτος διαιρέτης του H : H G. Τότε από το Θεώρηµα Lagrange, το q διαρεί την τάξη της G. Από την υπόθεση µας το q p. Από την άλλη πλευρά, G/H G διαιρεί το p!. Εποµένως, pq διαιρεί (p 1)!p και έτσι το q διαιρεί το (p 1)!. Αλλά ο q είναι πρώτος, εποµένως q < p, άτοπο. Άρα H : H G = 1 και έτσι παίρνουµε το επιθυµητό αποτέλεσµα.

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ Παραδείγµατα 2 (I) ( ράση οµάδας στον εαυτόν της µε συζυγία) Εστω G µία οµάδα. Για κάθε g, x G, g x = gxg 1 (το συζυγές στοιχείο του x.) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόν της ως εξής : g x = g x = gxg 1 για κάθε x, g G. Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση µε συζυγία. Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x. (Μερικές φορές ονοµάζεται και κλάση συζυγίας του x.) Επίσης, Stab G (x) = C G (x) (δηλαδή, ο κεντροποιητής του x στην G). Η αντίστοιχη µετάθεση-αναπαράσταση είναι η απεικόνιση τ : G Sym(G) µε τύπο τ(g) = τ g : x gxg 1. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι Kerτ = x G C G (x) = Z(G). Εϕαρµόζοντας το Λήµµα 1, orb(x) = G : C G (x) για κάθε x G. Ενα ενδιαϕέρον αποτέλεσµα είναι η εξίσωση κλάσεων: Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα µε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x 1,..., x s στοιχεία της G ένα από κάθε κλάση συζυγίας, τότε G = s G : C G (x i ). i=1 (II) ( ράση οµάδας στον δυναµοσύνολο της µε συζυγία) Εστω G µία οµάδα και P(G) το δυναµοσύνολο του G. Για κάθε g G και για κάθε µη κενό υποσύνολο U του G, το g µεταϕέρει το U στο σύνολο g U = gug 1 = {gug 1 : u U} που ονοµάζεται συζυγές του U. Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο P(G). Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η δράση αυτή αποτελεί γενίκευση της δράσης του Παραδείγµατος 2 (Ι). (Αρκεί να περιοριστούµε στα υποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο.) Για κάθε U P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U, δηλαδή, orb(u) = {gug 1 : g G},

13 1.3. ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 13 που ονοµάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G. Ο σταθεροποιητής Stab G (U) = {g G : gug 1 = U}, που ονοµάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συµβολίζεται N G (U). Με- ϱικές φορές χρησιµοποιούµε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούµε H N G (U). Το Λήµµα 1 στη περίπτωση γράϕεται Πόρισµα 2 Για κάθε µη κενό υποσύνολο U της G, orb(u) = G : N G (U). Με άλλα λόγια, G : N G (U) είναι ο αριθµός των διαϕορετικών συζυγών του U στην G. Για κάθε H G, N G (H) είναι η µεγαλύτερη µοναδική υποοµάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοµάδα. Για κάθε µη κενό υποσύνολο U της G, ορίζουµε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι C G (U) = u U C G (u) G. Παρατηρήστε ότι C G (U) = G αν και µόνο αν U Z(G). Μερικές φορές λέµε ότι H κεντροποιεί το U και εννούµε ότι H C G (U). Γενικά, C G (U) N G (U). Λήµµα 5 Για κάθε H G, C G (H) N G (H) και N G (H)/C G (H) µπορεί να εµϕυτευθεί στην Aut(H). Απόδειξη. Αϕού H N G (H), g h H για κάθε h H και g N G (H). Τότε είναι προϕανές ότι ο N G (H) δρα πάνω στο H µε συζυγία. Εστω σ η µετάθεσηαναπαράσταση του N G (H). Τότε για κάθε g N G (H), σ(g)(h) = g h για όλα τα h H. Επίσης, Kerσ = C G (H) (αϕού C G (H) N G (H).) Από το 1ο ϑεώρηµα ισοµορϕισµού, C G (H) N G (H) και Imσ N G (H)/C G (H). Για κάθε g N G (H), σ(g) είναι µετάθεση του H. Επιπλέον σ(g) είναι αυτοµορϕισµός της H. Εποµένως Imσ είναι υποοµάδα της Aut(H), έτσι N G (H)/C G (H) µπορεί να εµϕυτευθεί στην Aut(H). Αν η H είναι πεπερασµένη οµάδα τότε, προϕανώς, Aut(H) είναι πεπερασµένη οµάδα. Από το Λήµµα 5, έχουµε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσµα. Πόρισµα 3 Εστω G µία άπειρη οµάδα. Τότε για κάθε πεπερασµένη κανονική υποοµάδα H της G, G/C G (H) είναι πεπερασµένη. Συγκεκριµένα, αν η G δεν έχει µη-τετριµµένα πεπερασµένα πηλίκα, τότε κάθε πεπερασµένη κανονική υποοµάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G.

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ Εϕαρµογή 3 (Γραϕήµατα Cayley) Ενα γράϕηµα Γ λέγεται µεταβατικό αν η οµάδα αυτοµορϕισµών του δρα µεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του. ηλαδή, για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήµατος υπάρχει αυτοµορϕισµός που τα συνδέει. Ενα ενδιαϕέρον παράδειγµα µεταβατικών γραϕηµάτων είναι οι k-κύβοι Q k. Το σύνολο κορυϕών είναι V(Q k ) = Z k 2. ηλαδή, το σύνολο κορυϕών V(Q k ) αποτελείται από τις 2 k k-άδες που σχη- µατίζονται µε 0 ή 1. ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και µόνο αν αυτές διαϕέρουν ακριβώς σε µία συνιστώσα. Το να αποδείξουµε ότι το Q k είναι µεταβατικό δουλεύουµε ως εξής : έστω v µία σταθερή k-άδα. Τότε η απεικόνιση ρ v : x x + v (όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z 2 ) είναι µετάθεση των κορυϕών του Q k. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρ v είναι αυτοµορϕισµός. Υπάρχουν 2 k τέτοιοι αυτοµορϕισµοί και µάλιστα σχηµατίζουν µία υποοµάδα H. Η υποοµάδα H δρα µεταβατικά πάνω στο σύνολο V(Q k ). Πράγµατι, έστω x, y V(Q k ). Τότε ο αυτοµορϕισµός ρ x+y απεικονίζει το x στο y. Η οµάδα H είναι γνήσια υποοµάδα της Aut(Q k ). Μία οποιαδήποτε µετάθεση των συνιστωσών µιας k- άδας είναι αυτοµορϕισµός του Q k. ηλαδή, αν π S k και (x 1,..., x k ) V(Q k ) τότε η απεικόνιση π k : (x 1,..., x k ) (x π(1),..., x π(k) ) είναι αυτοµορϕισµός του Q k. (Παρατηρήστε ότι η S k δρα στο V(Q k ) από δεξιά.) Εστω K το σύνολο των π k για π S k. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι K Aut(Q k ) και K S k. Συνεπώς η Aut(Q k ) περιέχει το σύνολο HK. Αλλά HK = H K H K. Επειδή H K = {1}, έχουµε ότι Aut(Q k ) 2 k k!. Οι k-κύβοι είναι ειδική περίπτωση των γραϕηµάτων Cayley. Εστω G µία οµάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ως προς τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο. Τότε το γράϕηµα Cayley X(G, C) είναι το γράϕηµα µε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακµών E(X(G, C)) = {gh : hg 1 C}.

15 1.4. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ Α 15 Ισχυριζόµαστε ότι το γράϕηµα Cayley είναι µεταβατικό. Πράγµατι, για κάθε g G, έστω η απεικόνιση ρ g : x gx για κάθε x G. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρ g είναι αυτοµορϕισµός του X(G, C). Το σύνολο των µεταθέσεων ρ g αποτελεί υποοµάδα της Aut(X(G, C)) που είναι ισόµορϕη µε την G. Η υποοµάδα αυτή δρα µεταβατικά πάνω στις κορυϕές του γραϕήµατος. Πράγµατι, η ρ hg 1 απεικονίζει το g στο h. 1.4 ράση οµάδας σε οµάδα Μία οµάδα µπορεί να δρα πάνω και σε άλλα µαθηµατικά αντικείµενα (εκτός συνόλων). Οταν αυτό συµβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώµατα της δράσης πάνω σε ένα σύνολο να προσθέσουµε επιπλέον αξιώµατα τέτοια, ώστε η δράση να διατηρεί τη δοµή του συγκεκριµένου µαθηµατικού αντικειµένου. Παραδείγµατος χάριν, οι δράσεις οµάδων πάνω σε διανυσµατικούς χώρους µας οδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οµάδων. Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι- σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουµε αποτελέσµατα για τις οµάδες. Εδώ δεν ϑα ασχοληθούµε µε την δράση οµάδων πάνω σε διανυσµατικούς χώρους, αλλά µε τη δράση οµάδων σε οµάδες. Εστω G και H οµάδες. Λέµε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οµάδα H αν, για κάθε g G και για κάθε h H υπάρχει µοναδικό στοιχείο gh H έτσι ώστε (i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και (ii) g(h 1 h 2 ) = (gh 1 )(gh 2 ) για όλα τα g G και h 1, h 2 H. Οµοια µπορού- µε να ορίσουµε δεξιά δράση πάνω σε οµάδα. Παραδείγµατα 3 (i) Εστω R δακτύλιος µε µονάδα 1 R, U(R) η οµάδα των αντιστρέψιµων στοιχείων του R και R + = (R +, +) η προσθετική οµάδα του R. Τότε η U(R) δρα πάνω στην R + ως εξής : Για κάθε g U(R), α R +, g α = gα. (ii) Εστω G Aut(H). Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής : Για ϕ G και h H, ϕ h = ϕ(h). (iii) Εστω K G. Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οµάδα) µε συζυγία. ηλαδή, g k = gkg 1 για κάθε g G, k K. Θεώρηµα 2 Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H. Τότε για κάθε g G η απεικόνιση ϕ g : H H µε ϕ g (h) = g h είναι αυτοµορϕισµός

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ της H. Επιπλέον, η απεικόνιση ϕ : G Aut(H) µε τύπο ϕ(g) = ϕ g είναι οµοµορϕισµός. Αντίστροϕα, έστω ϕ : G Aut(H) οµοµορϕισµός οµάδων. Τότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής : Για κάθε g G, h H, g h = ϕ g (h) όπου ϕ g = ϕ(g). Απόδειξη. Εστω g G. Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουµε ότι η G δρα πάνω στο σύνολο H και έτσι η ϕ g είναι µετάθεση του H. Αλλά για h 1, h 2 H, ϕ g (h 1 h 2 ) = g(h 1 h 2 ) = (g h 1 )(g h 2 ) = ϕ g (h 1 )ϕ g (h 2 ). Εποµένως ϕ g Aut(H). Αντίστροϕα, αϕού Aut(H) Sym(H) και ϕ : G Aut(H) είναι οµοµορϕισµός, η G δρα πάνω στο σύνολο H. Επιπλέον, g (h 1 h 2 ) = ϕ g (h 1 h 2 ) = ϕ g (h 1 )ϕ g (h 2 ) = (g h 1 )(g h 2 ) για όλα τα g G, h 1, h 2 H. Εποµένως, η G δρα πάνω στην H. 1.5 Ηµιευθύ γινόµενο Εστω G και H οµάδες. Υποθέτουµε ότι η G δρα πάνω στην H. Επειδή η G και H είναι οµάδες µπορούµε να κατασκευάσουµε µία νέα οµάδα µε την ϐοήθεια της δράσης. Η νέα οµάδα που ϑα κατασκευάσουµε περιέχει υποοµάδες που είναι ισόµορϕες µε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείται στη νέα δοµή. Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεται σαν άσκηση στον αναγνώστη. Πρόταση 3 Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οµάδα). Τότε το σύνολο των διατεταγµένων Ϲευγών (h, g) µε g G και h H δοµείται σε οµάδα µε την εξής πράξη : (h 1, g 1 )(h 2, g 2 ) = (h 1 (g 1 h 2 ), g 1 g 2 ) για κάθε g 1, g 2 G και h 1, h 2 H. Η οµάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοµάζεται ηµιευθύ γινόµενο των G και H και συµβολίζεται H ϕ G (έχοντας στο µυαλό µας το Θεώρηµα 2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H. Στη περίπτωση που η G δρα τετριµµένα πάνω στην H τότε έχουµε την ειδική περίπτωση του ευθέως

17 1.5. ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 17 γινοµένου των H και G. Υποθέτουµε ότι η G δρα στην H µε δράση ϕ και έστω Γ ϕ = H ϕ G. Για κάθε g G, ταυτίζουµε το g µε το στοιχείο (1 H, g) και, για κάθε h H, ταυτίζουµε το h µε το στοιχείο (h, 1 G ). Εστω G ϕ = {(1 H, g) : g G} και H ϕ = {(h, 1 G ) : h H}. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι G ϕ και H ϕ είναι υποοµάδες της Γ ϕ. Επιπλέον, H ϕ Γ ϕ, Γ ϕ /H ϕ G ϕ, Γ ϕ = H ϕ G ϕ και G ϕ H ϕ = {1}. Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις µας οδηγούν στο να κάνουµε χρήση του συµβολισµού hg, µε g G και h H, στη περίπτωση που έχουµε ηµιευθύ γινόµενο Γ g = H ϕ G ιεδρική οµάδα Η διεδρική οµάδα D n είναι η οµάδα των συµµετριών ενός επίπεδου n-κανονικού πολυγώνου. Οι συµµετρίες προσδιορίζονται πλήρως µε το τρόπο που οι κο- ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους. Η D n έχει τάξη 2n και έχει «παράσταση», µε γεννήτορες και «σχέσεις», την D n = c, b : c n = b 2 = 1, bc = c 1 b. Επίσης, D n = HK, όπου H = c είναι κανονική υποοµάδα της D n µε δείκτη 2 και K = b υποοµάδα της D n µε τάξη 2. Εχουµε ότι H K = {1}. Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις η D n είναι το ηµιευθύ γινόµενο των K και H, όπου η K δρα από αριστερά στην H (ως οµάδα) ως εξής : ορίζουµε τον οµοµορϕισµό φ : K Aut(H) µε φ(b) = θ, όπου θ είναι ο αυτοµορϕισµός της H µε θ(c) = c Ολόµορϕο Εστω G µία οµάδα. Για κάθε a G, ϑεωρούµε την απεικόνιση l a : G G, όπου l a (g) = ag g G. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι l a Sym(G). Εχουµε ότι l ab (g) = (ab)g = a(bg) = l a (bg) = l a l b (g) και l a l a 1(g) = g για όλα τα g G. Εποµένως l ab = l a l b, l a 1 l(g) = {l a : a G}. = l 1 a. Εστω Λόγω των παραπάνω σχέσεων l(g) είναι υποοµάδα της Sym(G). Θεωρούµε την απεικόνιση l : G Sym(G) µε τύπο l(a) = l a για κάθε a G. Είναι

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ απλό να διαπιστώσουµε ότι η l είναι µονοµορϕισµός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G. Η l ονοµάζεται αριστερή κανονική αναπαράσταση της G. Θεωρώντας την απεικόνιση r a : G G, όπου r a (g) = ga 1 για κάθε g G είναι εύκολο να δειχθεί ότι r a Sym(G) και ότι r a είναι ενδοµορϕισµός της G. Εστω r(g) = {r a : a G}. Οµοια επιχειρήµατα όπως προηγουµένως αποδεικνύεται ότι η r(g) Sym(G) και η απεικόνιση r : G Sym(G) µε τύπο r(a) = r a για κάθε a G. Η r είναι µονοµορϕισµός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G. Η αναπαράσταση r της G ονοµάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G. Επειδή (r a l a )(x) = axa 1 = τ a (x) για κάθε x G και Aut(G) Sym(G), έχουµε ότι l(g), Aut(G) = r(g), Aut(G). Η προαναϕερθείσα υποοµάδα της Sym(G) ονοµάζεται ολόµορϕο της G και συµβολίζεται µε Hol(G). Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουµε τη δοµή της Hol(G). Εστω α Aut(G) και g G. Τότε α r g α 1 = r α(g) 1 και α l g α 1 = l α(g) και έτσι r(g), l(g) είναι κανονικές υποοµάδες της Hol(G) και Hol(G) = r(g)hol(g) = l(g)hol(g). Αϕού r και l είναι κανονικές, r(g) Aut(G) = l(g) Aut(G) = {1}. Συνεπώς το ολόµορϕο είναι ένα ηµιευθύ γινόµενο Hol(G) = r(g) Aut(G) = l(g) Aut(G), όπου ένας αυτοµορϕισµός α της G επάγει στην r(g) (αντ., l(g)) τον αυτο- µορϕισµό α(r g ) = r α(g) 1 (αντ., α(l g ) = l α(g) ). Ετσι, αν α Aut(G), τότε η απεικόνιση l g l α(g), για κάθε g G, είναι ένας αυτοµορϕισµός της l(g) και αντίστροϕα, λόγω του ισοµορϕισµού l : G l(g), κάθε αυτοµορϕισµός της l(g) είναι αυτής της µορϕής. Συνεπώς, κάθε αυτοµορϕισµός της l(g) ε- πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοµορϕισµό της Hol(G). Συµπεραίνουµε από την παραπάνω διαδικασία ότι

19 1.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19 Μπορούµε να εµϕυτεύσουµε µια δοθείσα οµάδα G σε µία κατάλληλη ο- µάδα H, που εξαρτάται από την G, έτσι ώστε όλοι οι αυτοµορϕισµοί της G να λαµβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοµορϕισµούς της H. Αλλά, ποιά σχέση συνδέει τις οµάδες r(g) και l(g); Οι δύο υποοµάδες συνδέονται µε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεται στην επόµενη πρόταση. Πρόταση 4 Οι ισότητες C Hol(G) (r(g)) = l(g) και C Hol(G) (l(g)) = r(g) ισχύουν σε οποιαδήποτε οµάδα G. Απόδειξη. Εστω C = C Hol(G) (r(g)) και ζ C. Τότε r a ζ = ζ r a για κάθε a G. Θέτουµε ζ (1) = s. Τότε r a (ζ (1)) = r a (s) = sa 1 και ζ (r a (1)) = ζ (a 1 ). Εποµένως, ζ (a 1 ) = sa 1 a G, και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a G. Άρα ζ = l s l(g). Αντίστροϕα, έστω l s l(g). Τότε και r a (l s (g)) = r a (sg) = (sg)a 1 l s r a (g) = l s (ga 1 ) = s(ga 1 ). Εποµένως, r a l s = l s r a για κάθε a G και έτσι l s C. Συνεπώς C Hol(G) (r(g)) = l(g). Εϕαρµόζοντας ανάλογα επιχειρήµατα, µπορούµε να δείξουµε ότι C Hol(G) (l(g)) = r(g). 1.6 Ασκήσεις 1. Αποδείξτε την Πρόταση 3. (Υπόδειξη. Επαληθεύστε τα αξιώµατα του ορισµού της οµάδας.) 2. Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο µη-κενό σύνολο X. Για κάθε g G και x X ορίζουµε xg = g 1 x. είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιά δράση της G πάνω στο X. 3. είξτε ότι αν H G, τότε H G = H g : g G και H G = g G H g. (Υπόδειξη. είτε και εϕαρµογή 2.) 4. είξτε ότι αν H είναι υποοµάδα της G µε πεπερασµένο δείκτη n, τότε H G έχει πεπερασµένο δείκτη που διαιρεί n!.

20 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ (Υπόδειξη. είτε εϕαρµογή 2.) 5. Μία οµάδα λέγεται απλή αν οι µόνες κανονικές υποοµάδες της είναι οι τετριµµένες. Εστω G µια άπειρη απλή οµάδα. είξτε ότι η G δεν µπορεί να έχει γνήσια υποοµάδα µε πεπερασµένο δείκτη. (Υπόδειξη. Εϕαρµόστε την άσκηση 4.) 6. Εστω G µία οµάδα και X ένα µη-κενό σύνολο. Το σύνολο X ονοµάζεται G-σύνολο, αν η G δρα στο X. Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y X, τότε το Y είναι G-υποσύνολο αν gy Y για κάθε g G και y Y. Το κενό σύνολο ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο. Ενα µη-κενό G-σύνολο καλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα µόνα G-υποσύνολα του X είναι και X. Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοµάζεται G-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g G και x X. (6α) Εστω X ένα µη-κενό G-σύνολο. Τότε οι τροχιές της δράσης της G στο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X, και είναι τα µόνα ανάγωγα G- υποσύνολα του X. Συγκεκριµένα, το X είναι ανάγωγο αν και µόνο αν η δράση της G πάνω στο X είναι µεταβατική. (6ϐ) Εστω X ένα µη-κενό G-σύνολο και έστω {X r : r R} το σύνολο των αναγώγων G-υποσυνόλων του X. είξτε ότι για κάθε µη-κενό G-υποσύνολο Y του X υπάρχει µη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = s S X s. (6γ) Εστω µία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολο Y. Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y. Επιπλέον, για κάθε G-υποσύνολο W του U, το {x X : ϕ(x) W} είναι ένα G-υποσύνολο του X. (6δ) Εστω ϕ µία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G- σύνολο Y. Τότε, για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ W ή W Imϕ =. (6ϸ) Αν X είναι ένα µη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείται από όλες τις G-απεικονίσεις X X που είναι αµϕιέσεις είναι υποοµάδα Sym G (X) της Sym(X). Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο, τότε Sym G (X) X. (6ζ ) Αν H G και X είναι το σύνολο των αριστερών συµπλόκων της H στην G µε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασµό, τότε το X είναι ανάγωγο G-σύνολο και Sym G (X) N G (H)/H. (Υπόδειξη. Εϕαρµογή των ορισµών και σχετικών προτάσεων.) 7. Εστω G µία οµάδα και x, y G. είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγή. Επιπλέον, να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη. (Λύση. Παρατηρούµε ότι yx = x 1 (xy)x. Εστω x, y G συζυγή στοιχεία,

21 1.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21 δηλ., x = g 1 yg για κάποιο g G. Υποθέτουµε ότι οι τάξεις των x, y είναι n, m, αντίστοιχα. Χρησιµοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισµό της τάξης στοιχείου έχουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα.) Θυµίζουµε ότι: Για κάθε µη κενό υποσύνολο U της οµάδας G, orb(u) = G : N G (U). ηλαδή, G : N G (U) είναι ο αριθµός των διαϕορετικών συζυγών του U στην G. Ετσι, το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και µόνο αν G : N G (U) = n. Στη περίπτωση που το U = {s} τότε N G (U) = C G (s) και το s έχει G : C G (s) συζυγή στην G. Επίσης, για κάθε H G, N G (H) είναι η µεγαλύτερη µοναδική υποοµάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοµάδα. 8. Εστω H µία υποοµάδα της οµάδας G µε πεπερασµένο δείκτη. Να δείξετε ότι η H περιέχει υποοµάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασµένο δείκτη στη G. (Λύση. Ασϕαλώς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την άσκηση 4, αλλά ϑα ακολουθήσουµε µία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιας του κανονικοποιητή. Θυµίζουµε ότι αν G είναι οµάδα και K H G, τότε G : K = G : H H : K. Η υποοµάδα H περιέχεται στην N G (H). Επειδή η H έχει πεπερασµένο δείκτη στην G, η H έχει πεπερασµένο πλήθος συζυγών και έστω H = H 1, H 2,..., H m τα συζυγή του στην G. Αϕού G : H i = G : H για κάθε i εϕαρµόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά για H 1, H 1 H 2,..., H 1 H 2 H m έχουµε ότι όλες οι προηγούµενες υποοµάδες έχουν πεπερασµένο δείκτη στην G. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η H 1 H 2 H m έχει δείκτη G : H m. Μένει να δείξουµε ότι η K = H 1 H 2 H m είναι κανονική. Παρατηρούµε ότι K = a G a 1 Ha. Εστω x K και g G. Τότε x a 1 Ha για κάθε a G και εποµένως g 1 xg g 1 a 1 Hag για κάθε a G. Αλλά για κάθε b G υπάρχει ένα a G ώστε ag = b. Εποµένως g 1 xg b 1 Hb για κάθε b G και εποµένως g 1 xg K. Άρα K G.) 9. Εστω G µία οµάδα τέτοια, ώστε κάθε υποοµάδα της έχει πεπερασµένο αριθµό συζυγών στην G. είξτε ότι για κάθε υποοµάδα H της G, η H x 1 Hx έχει πεπερασµένο δείκτη στην H για κάθε x G. (Λύση. Εστω X = x. Επειδή η X έχει πεπερασµένο πλήθος συζυγων στην G, έχουµε ότι G : N G (X) <. Παρατηρούµε ότι N H (X) = H N G (X). Τότε

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ έχουµε ότι H : N H (X) <. (Θυµίζουµε ότι αν G είναι οµάδα και K H G, τότε G : K = G : H H : K.) Προϕανώς, C H (X) H x 1 Hx και έτσι µένει να δείξουµε ότι C H (X) έχει πεπερασµένο δείκτη στην N H (X). Θα δείξουµε ότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν X = n <. Εστω y N H (X). Τότε y 1 xy = y 1 Xy = X και άρα y 1 xy παράγει την X. Επιπλέον, αν y 1,..., y r είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικών δεξιών πλευρικών κλάσεων της C H (X) στην N H (X), τότε y i y 1 j C H (X) για τυχαία i j και έτσι, y 1 i xy i (i = 1,..., r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες της X. Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν X = n.) 10. Εστω G µία οµάδα τέτοια, ώστε κάθε υποοµάδα της έχει πεπερασµένο αριθµό συζυγών στην G. είξτε ότι κάθε υποοµάδα H της G περιέχει µία κανονική υποοµάδα N της G τέτοια, ώστε η N έχει πεπερασµένο δείκτη στην H. (Υπόδειξη. Εστω H = H 1, H 2,..., H r οι συζυγείς οµάδες της H στην G. Χρησιµοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρµόζοντας επαγωγή στο κ αποδεικνύουµε ότι κ i=1 H i έχει πεπερασµένο δείκτη στην H για k = 1,..., r. Τότε η N = r i=1 H i έχει τις απαιτούµενες ιδιότητες.) 11. Εστω G οµάδα και H και K συζυγείς υποοµάδες της G. είξτε ότι N G (H) και N G (K) είναι συζυγείς στην G. (Λύση. Υποθέτουµε ότι K = x 1 Hx. Ισχυριζόµαστε ότι N G (K) = x 1 N G (H)x. Εστω a N G (K). Για να δείξουµε ότι a x 1 N G (H)x αρκεί να δείξουµε ότι xax 1 N G (H). Εστω h H και ϑεωρούµε το (xax 1 ) 1 hxax 1 = xa 1 x 1 hxax 1. Τώρα x 1 hx = k K αϕού x 1 Hx = K και a 1 ka = k K αϕού a N G (K). Ετσι (xax 1 ) 1 hxax 1 = xk x 1 = h H αϕού xkx 1 = H.) 12. είξτε ότι δύο µεταθέσεις στην S n είναι συζυγείς αν στην παράσταση τους ως γινόµενο κύκλων ξένων µεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθος k-κύκλων για κάθε k. (Υπόδειξη. Εστω σ S n. Γράϕουµε την σ ως γινόµενο κύκλων ξένων

23 1.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 23 µεταξύ τους ανά δύο. Εστω π S n. Τότε πσπ 1 έχει το ίδιο γινόµενο κύκλων ξένων µεταξύ τους ανά δύο.) 13. είξτε ότι το κέντρο της S n, µε n 3, είναι τετριµµένο. (Λύση. Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συµπίπτει µε όλα τα συζυγή του. Από την άσκηση 12 έπεται αµέσως ότι η ταυτοτική µετάθεση συµπίπτει µε όλες τις συζυγείς της όταν n 3.) 14. είξτε ότι η µόνη πεπερασµένη κλάση συζυγίας σε µια άπειρη απλή οµάδα είναι η {1}. (Λύση. Εστω C µια κλάση συζυγίας στην G και C = n > 1. Αν c C τότε G : N G (c) = n και η N G (c) είναι γνήσια υποοµάδα πεπερασµένου δείκτη. Άρα η G έχει µια γνήσια κανονική υποοµάδα πεπερασµένου δείκτη. Αυτό είναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει µόνο την τετριµµένη ως γνήσια κανονική υποοµάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη.) 15. Εστω H υποοµάδα της G και έστω ρ : G H οµοµορϕισµός τέτοιος, ώστε ρ(h) = h για κάθε h H. Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και Kerρ H = {1}. (Ο οµοµορϕισµός ρ ονοµάζεται ανάκληση. Παρατηρήστε ότι η H δρα απο αριστερά ως οµάδα στην Kerρ µε συζυγία. Ετσι έχουµε οµοµορϕισµό από την H στην Kerρ. Γενικά, αν έχουµε έναν οµοµορϕισµό ϑ : G 1 Aut(G 2 ), τότε η G 1 µπορεί να δρα ως οµάδα στην G 2 και από αριστερά και από δεξιά ως εξής : g x = ϑ g (x) για κάθε g G 1 και για κάθε x G 2 (αριστερά) ή x g = ϑ 1 g (x) για κάθε g G 1 και για κάθε x G 2 (δεξιά).) 16. είξτε ότι το ολόµορϕο της οµάδας Klein είναι η οµάδα S 4. (Λύση. Θεωρούµε V = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} την υποοµάδα της S 4 (Η οµάδα Klein). Θυµίζουµε ότι S 3 S 4, S 3 V = {1}, S 3 V/V S 3 και S 3 V = S 4. Αλλά Aut(V) S 3, όπου η S 3 παράγεται από τις µεταθέσεις α = (12)(34), ϐ = (13)(24), γ = (14)(23). Η οµάδα r(v) είναι η οµάδα Klein, r(v) = {(1), (1α)(ϐγ), (1ϐ)(αγ), (1γ)(αϐ)}. Άρα Hol(V) = r(v) S 3 S 4.)

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ

25 Κεϕάλαιο 2 Αβελιανές Οµάδες 2.1 Ελεύθερη αβελιανή οµάδα Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιµοποιούµε στη µελέτη των αβελιανών οµάδων είναι το ευθύ γινόµενο οµάδων. Οταν αναϕερόµαστε στο ευθύ (εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόµενο ϑα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό H K. Εστω H 1,..., H m υποοµάδες µιας οµάδας G. Θυµίζουµε ότι η οµάδα G είναι το ευθύ γινόµενο των H 1,..., H m, συµβολίζεται H 1 H m, αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες : (i) H i G, για κάθε i = 1,..., m. (ii) G = H 1,..., H m και (iii) H i H 1, H 2,..., H i 1, H i+1,..., H m = {1} για κάθε i = 1,..., m. Σε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέµε οµάδα ϑα εννοούµε αβελιανή οµάδα (διαφορετικά ϑα το τονίζουµε). Για τη µελέτη των οµάδων ϑα χρησιµοποιήσουµε τη προσθετική γραϕή. Αυτό επιϕέρει µερικές αλλαγές. Πρώτα από όλα το ουδέτερο στοιχείο ϑα συµβολίζεται 0 G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεται g και ϑα ονοµάζεται συµµετρικό του g. Επίσης η τετριµµένη υποοµάδα της G ϑα ονοµάζεται µηδενική. Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιµοποιήσουµε το ευθύ άθροισµα των αβελιανών οµάδων. Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροίσµατος ορίζουµε την ελεύθερη αβελιανή οµάδα και αποδεικνύουµε ότι κάθε πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα δηµιουργείται από κυκλικές ο- µάδες. Μία οµάδα A λέµε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα αν η A είναι το ευθύ άθροισµα άπειρων κυκλικών οµάδων. Ετσι µία οµάδα A είναι ελεύθερη αβελιανή αν και µόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g A µπορεί 25

26 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ ΕΣ να γραϕεί µε ένα και µοναδικό τρόπο ως g = a a n, µε a i U i όπου U i είναι άπειρη κυκλική. Θυµίζουµε ότι U i (Z, +) και ότι U i παράγεται από ένα στοιχείο u i. Αν η A είναι το ευθύ άθροισµα n άπειρων κυκλικών οµάδων τότε λέµε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες. Ο αριθµός n αποδεικνύεται ότι είναι µοναδικός και ονοµάζεται η ϐαθµίδα (rank) της A. Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθµίδα n και A = u 1,..., u n τότε λέµε ότι το σύνολο {u 1,..., u n } είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A. Τις περισσότερες φορές ονοµάζεται ϐάση της A. Σηµειώνουµε ότι έχουµε δώσει τον ορισµό µόνο της ελεύθερης αβελιανής οµάδας µε πεπερασµένη ϐαθµίδα. Ο ορισµός µπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οµάδες µε άπειρη ϐαθµίδα. Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισµα από άπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οµάδων που οδηγεί στην κατασκευή του περιορισµένου ευθέως αθροίσµατος (restricted direct sum). Τα επόµενα δύο αποτελέσµατα αναϕέρονται στη δοµή των υποοµάδων ελεύθερης αβελιανής οµάδας µε πεπερασµένη ϐαθµίδα. Το Θεώρηµα 3 επεκτείνει το κλασικό αποτέλεσµα για άπειρη κυκλική οµάδα. Επίσης ϑυµίζει το ϑεώρηµα διάστασης στους διανυσµατικούς χώρους. Θεώρηµα 3 Εστω A = u 1,..., u n µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας n. Τότε κάθε µη τετριµµένη υποοµάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε ϐαθµίδα m και m n. Απόδειξη. Εστω A = u 1,..., u n µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας n. Θα αποδείξουµε το ϑεώρηµα µε επαγωγή στη ϐαθµίδα n. Εστω n = 1. Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόµορϕη µε την (Z, +). Αλλά κάθε µη τετριµµένη υποοµάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποµένως παράγεται από ένα στοιχείο. Ετσι m = 1 και m n. Υποθέτουµε ότι το ϑεώρηµα ισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οµάδες µε ϐαθµίδα µικρότερη του n. Εστω H µία µη τετριµµένη υποοµάδα της A. Αν η H παράγεται από τα u 1,..., u n 1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u 1,..., u n 1, αϕού το σύνολο {u 1,..., u n 1 } είναι Z-γραµµικά ανεξάρτητο. Εποµένως αν η H είναι υποοµάδα της u 1,..., u n 1 τότε, από την επαγωγική µας υπόθεση, η H είναι ελεύθερη µε ϐαθµίδα µικρότερη του n. Συνεπώς υποθέτουµε ότι υπάρχει στοιχείο h H που έχει την µορϕή h = a 1 u a n 1 u n 1 + a n u n

27 2.1. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ Α 27 µε a n 0. Εστω S το σύνολο αποτελούµενο από τα a n > 0 για h H. Επειδή το S είναι µη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθµών έχει ελάχιστο στοιχείο µ n. Τότε a n = bµ n + r, b Z και 0 r < µ n. Από τον τρόπο κατασκευής του S έπεται ότι a n bµ n S. Λόγω της επιλογής του µ n έχουµε ότι r = 0. Εστω (Από την κατασκευή του S.) Τότε v = µ 1 u µ n u n H. h bv = γ 1 u γ n 1 u n 1. Εστω N η υποοµάδα της H µε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεται ως Z-γραµµικός συνδυασµός των u 1,..., u n 1. Η N είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα, αϕου είναι µη τετριµµένη υποοµάδα της ελεύθερης αβελιανής οµάδας µε n 1 γεννήτορες. Εστω N = v 1,..., v m 1 και έτσι m 1 n 1. Ισχυριζόµαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή µε ϐαθµίδα m. Συγκεκριµένα ϑα δείξουµε ότι H = N v. Οµως h bv N και N = v 1,..., v m 1. Εποµένως H N + v. Επειδή N H και v H έχουµε ότι N + v H. Ετσι H = N + v = v 1,..., v m 1, v. Υποθέτουµε ότι b 1 v b m 1 v m 1 + b m v = 0 µε b m 0. Επειδή τα v 1,..., v m 1 είναι Z-γραµµικός συνδυασµός των u 1,..., u n 1, έχουµε ότι b m µ n = 0 µε µ n 0. Άρα b m = 0 που είναι άτοπο. Επειδή τα v 1,..., v m 1 είναι γραµµικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N, έχουµε ότι τα v 1,..., v m 1, v είναι Z γραµµικά ανεξάρτητα. Εποµένως η H είναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v 1,..., v m 1, v. Το Θεώρηµα 3 µας δίνει µια σηµαντική πληροϕορία για τις υποοµάδες ελεύθερης αβελιανής οµάδας. Σε αντίθεση µε τους διανυσµατικούς χώρους είναι δυνατόν r(h) = r(a) και H A. Ο λόγος είναι πολύ απλός. Στη περίπτωση των διανυσµατικών χώρων δουλεύουµε πάνω από σώµα ενώ στις ελεύθερες αβελιανές οµάδες πεπερασµένης διάστασης πάνω από το Z. Ετσι r(z) = r(2z) = 1 και Z 2Z. Το φαινόµενο αυτό µας οδηγεί στην έννοια της προβολικότητας. Μία αβελιανή οµάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιµορφισµού ε : K H και οµοµορϕισµού α : G H, για κάποιες αβελιανές οµάδες H και K, υπάρχει οµοµορϕισµός ϐ : G K έτσι ώστε εϐ = α. (Η ταξινόµηση των προβολικών αβελιανών οµάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

28 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ ΕΣ ως εξής : Μία αβελιανή οµάδα G είναι προβολική αν και µόνο αν η G είναι ελεύθερη αβελιανή.) Η επόµενη πρόταση δείχνει την έννοια της «προβολικότητας» (projectivity) της ελεύθερης αβελιανής οµάδας. Πρόταση 5 Αν G είναι µία αβελιανή οµάδα, N υποοµάδα της G και G/N είναι ελεύθερη αβελιανή πεπερασµένης ϐαθµίδας n, τότε υπάρχει µία ελεύθερη υποοµάδα A ϐαθµίδας n της G έτσι ώστε A G/N και G = A N. Απόδειξη. Εστω g 1,..., g n G µε G/N = n g i + N. (1) i=1 Θέτουµε A = g i : i = 1,..., n. Αν k 1 g k n g n = 0, τότε k 1 (g 1 + N) + + k n (g n + N) = N (2) λόγω της (1), έχουµε ότι k 1 = = k n = 0. Άρα A = n g i=1 i G/N. Αν g G τότε έχουµε ότι g+n = (k 1 g 1 + +k n g n )+N ή g (k 1 g 1 + +k n g n ) = b για κάποιο b N και G = A+N. Αν g A N τότε g = k 1 g 1 + +k n g n N και παίρνουµε µία σχέση της µορϕής (2) από όπου προκύπτει k 1 = = k n = 0 και g = 0. Εποµένως G = A N. Στο επόµενο ϑεώρηµα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοµάδας σχετικά µε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οµάδας. Θεώρηµα 4 Εστω A µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα πεπερασµένης ϐαθµίδας n και H µη τετριµµένη υποοµάδα της A. Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανή µε ϐαθµίδα m n και υπάρχει µία ϐάση {u 1,..., u n } της A και µία ϐάση {v 1,..., v m } της H έτσι ώστε v i = γ i u i, γ i Z, i = 1,..., m και γ j γ j+1, j {1,..., m 1}. Απόδειξη. Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θεώρηµα 3. Εστω A = {f 1,..., f n } µία τυχαία ϐάση της A και H = {h 1,..., h m } µία τυχαία ϐάση της H. Τότε h i = n a ij f j, j=1

29 2.1. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ Α 29 a ij Z, i = 1,..., m. Ετσι συµβολικά γράϕουµε Γ = f 1 f 2 Π. f n = όπου Π = (a ij ) είναι ένας m n µε i = 1,..., m και j = 1,..., n. Με «στοιχειώδεις πράξεις» ϑα µετατρέψουµε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα της µορϕής γ γ h 1 h 2. h m γ m µε γ i γ i+1, i = 1,..., m 1. Ο πίνακας Γ ονοµάζεται κανονική µορϕή του Π. Για να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουµε τη ϐάση της A και τη ϐάση της H. Πρώτα από όλα παρατηρούµε τα εξής. α) Εναλλαγή δύο στοιχείων f r, f s της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r και s στηλών του πίνακα Π. Εναλλαγή δύο στοιχείων h µ, h ν της H αντιστοιχεί στην εναλλαγή των µ και ν γραµµών του πίνακα Π. ϐ) Αντικαθιστούµε το f j µε το f j + λf s, µε λ 0 και s j. Αν το λ > 0, τότε η έκϕραση των h i γίνεται h i = a i1 f 1 + a i2 f a ij (f j + λf s ) (a is λa ij )f s a in f n. Η «πράξη» αυτή ισοδυναµεί (ή αντιστοιχεί) µε το να αϕαιρέσουµε την λ j- στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π. Αν το λ < 0, τότε η έκϕραση των h i γίνεται h i = a i1 f 1 + a i2 f a ij (f j λf s ) (a is + λa ij )f s a in f n. Η «πράξη» αυτή ισοδυναµεί (ή αντιστοιχεί) µε το να προσθέσουµε την λ j- στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Π. γ) Αντικαθιστούµε το h r µε το h r + λh s (s r). Τότε, h r + λh s = n (a rj + λa sj )f j. j=1

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ ΕΣ Ετσι η r-γραµµή του πίνακα M µετατρέπεται στην a r1 + λa s1,..., a rn + λa sn που προκύπτει «προσθέτοντας» την λ s-γραµµή στην r-γραµµή του πίνακα Π. δ) Αντικαθιστούµε το f r µε το f r ή αντικαθιστούµε το h i µε το h i. Με άλλα λόγια πολλαπλασιάζουµε την r στήλη ή την i γραµµή του πίνακα Π µε το 1. Σηµειώνουµε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A και H µετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση A της A και τη ϐάση H σε ϐάση H της H. Ετσι µπορούµε να κατασκευάσουµε καινούργιες ϐάσεις για την A και την H µετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική µορϕή Γ εϕαρµόζοντας τις παρακάτω τέσσερις «στοιχειώδεις πράξεις». Εναλλαγή γραµµών ή στηλών. Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο µιας στήλης σε µία άλλη. Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο µιας γραµµής σε µία άλλη. Πολλαπλασιάζουµε µία γραµµή ή µία στήλη µε το 1. Για να αποδείξουµε το ϑεώρηµα ϑα πρέπει να µετασχηµατίσουµε τον πίνακα Π στην κανονική του µορϕή Γ χρησιµοποιώντας τις παραπάνω πράξεις. Επειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρµόζεται για οποιοδήποτε πίνακα µε ακέραια στοιχεία, ϑα παρουσιάζουµε στην επόµενη παράγραϕο έναν αλγόριθµο για πίνακες. Παράδειγµα 1 (Εναλλαγή γραµµών ή στηλών) Εστω a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 M 3 4(R). a 31 a 32 a 33 a 34 Συµβολίζουµε µε Γ A,i, i = 1, 2, 3, την i-γραµµή του πίνακα A και µε Σ A,j, j = 1, 2, 3, 4, την j-στήλη του πίνακα A. Σηµειώνουµε ότι οι γραµµές του A µπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσµατικού χώρου M 1 4 (R) και οι στήλες του A µπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσµατικού χώρου M 3 1 (R). Τον πίνακα A µπορούµε να τον γράϕουµε και ως εξής Γ A,1 A = Γ A,2 Γ A,3 αν δουλεύουµε µε γραµµές ή A = ( Σ A,1 Σ A,2 Σ A,3 Σ A,4 )

31 2.1. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ Α 31 αν δουλεύουµε µε στήλες. Εστω I 3 και I 4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και 4, αντίστοιχα. Ο I 3 δίνει εναλλαγές στις γραµµές του πίνακα A και ο I 4 δίνει εναλλαγές στις στήλες του πίνακα A. Ετσι γράϕουµε τον και τον Εστω I 3 = Γ 3,1 Γ 3,2 Γ 3,3 I 4 = ( Σ 4,1 Σ 4,2 Σ 4,3 Σ 4,4 ). Γ 2 3 = Γ 3,1 Γ 3,3 Γ 3,2 ο πίνακας που προκύπτει από τον I 3 αλλάζοντας τις γραµµές Γ 3,2 και Γ 3,3. Τότε ο πίνακας Γ 2 3 A αλλάζει την 2-γραµµή µε την 3-γραµµή του πίνακα A. ηλαδή, Γ A,1 Γ 2 3 A = Γ A,3. Γ A,2 Αλλάζοντας την 2-στήλη µε την 4-στήλη του πίνακα I 4, παίρνουµε τον πίνακα Σ 2 4. Τότε ο πίνακας AΣ 2 4 = ( Σ A,1 Σ A,4 Σ A,3 Σ A,2 ) αλλάζει την 2-στήλη µε την 4-στήλη του πίνακα A. Λόγω του ότι ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασµό πινάκων έχουµε ότι (Γ 2 3 A)Σ 2 4 = Γ 2 3 (AΣ 2 4 ). Για την πράξη της µορϕής λγ A,i + Γ A,j µε λ R, i j. ηλαδή, προσθέτουµε ϐαθµωτό πολλαπλάσιο της Γ A,i στην Γ A,j. Π.χ. η πράξη λγ A,2 + Γ A,3 επιτυγχάνεται ως εξής Γ 3,1 Γ 3,2 λγ 3,2 + Γ 3,3 A = Γ A,1 Γ A,2 λγ A,2 + Γ A,3 Τέλος, για την πράξη της µορϕής µσ A,i + Σ A,j µε λ R, i j. ηλαδή, προσθέτουµε ϐαθµωτό πολλαπλάσιο της Σ A,i στην Σ A,j. Π.χ. η πράξη µσ A,2 + Σ A,4 επιτυγχάνεται ως εξής ( ) A Σ4,1 Σ 4,2 Σ 4,3 µσ 4,2 + Σ 4,4 = ( ) Σ A,1 Σ A,2 Σ A,3 µσ A,2 + Σ A,4..

32 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ ΕΣ 2.2 Αλγόριθµος για πίνακες Εστω Π ένας r s πίνακας µε ακέραια στοιχεία. Στη παρούσα παράγραϕο, κάνοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραµµές και στις στήλες του πίνακα Π, ϑα περιγράψουµε έναν αλγόριθµο µε τον οποίο ϑα µετατρέψου- µε τον πίνακα Π στην κανονική µορϕή D = diag(d 1,..., d k ), k = min(r, s), d i N {0}, 1 i k, d i d i+1, 1 i k 1. Να σηµειώσουµε εδώ ότι η συνθήκη διαιρετότητας µας λέει ότι αν υπάρχουν 1 µεταξύ των d i είναι στην αρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος. Ο αλγόριθµος, ουσιαστικά, ϑα αποδεικνύει την παρακάτω πρόταση. Πρόταση 6 Εστω Π ένας πίνακας µε ακέραια στοιχεία. Τότε υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQ 1 να είναι σε κανονική µορϕή. Για λόγους συµβολισµού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πράξεις πάνω στις γραµµές και στήλες είναι: P (permuting): Μετάθεση γραµµών (ή στηλών), M (multiplying): Πολλαπλασιασµός µιας γραµµής (ή στήλης) µε 1, και A (adding): Πρόσθεση σε γραµµή (ή στήλη) ένα ϐαθµωτό πολλαπλάσιο µιας άλλης γραµµής (ή στήλης). Τα ϐήµατα του αλγορίθµου είναι τα εξής: (Να παρατηρήσουµε εδώ ότι η διαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιµακωτής µορϕής ενός πίνακα.) Γράϕουµε Π = (m ij ), µε m ij Z, i = 1,..., r, j = 1,..., s και υποθέτουµε ότι Π είναι µη-µηδενικός. 1. Εστω E Π = { m ij : i = 1,..., r, j = 1,..., s}. Επειδή ο Π είναι µη- µηδενικός, το σύνολο E Π περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο µικρότερος. ιαλέγουµε ένα στοιχείο, έστω d, του πίνακα Π τέτοιο, ώστε κ = d. Μεταϕέρουµε τον d στη ϑέση (1, 1) Χρησιµοποιώντας τις P-πράξεις. 2. Χρησιµοποιούµε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούµε ότι το d > Κάνουµε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2, 1) µε το d. Κάνοντας χρήση µιας A-πράξης αντικαθιστούµε το στοιχείο αυτό µε το b, 0 b < d. Στη περίπτωση που s = 1, µεταϕερόµαστε στο ϐήµα Αν το b = 0, µεταϕερόµαστε στο ϐήµα 6. Αν b 0 αλληλοµεταθέτουµε τις γραµµές 1 και 2 και επανερχόµαστε στο ϐήµα 3 µε b στη ϑέση του d. 5. Επαναλαµβάνουµε τα ϐήµατα 3 και 4 µέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2, 1) να είναι µηδέν.

33 2.2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ Εκτελούµε τα ϐήµατα 3 5 στις υπόλοιπες γραµµές µέχρι το µόνο µη-µηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1, 1). 7. Εκτελούµε τα ϐήµατα 3 6 στις στήλες µέχρι κάθε στοιχείο της πρώτης γραµµής να είναι µηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1, 1). 8. Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα, τότε πηγαίνουµε στο ϐήµα 11. Αν όχι, κάνοντας χρήση µίας P και µίας A φέρνουµε το b στη ϑέση (2, 1) µε d b. 9. Επαναλαµβάνουµε τα ϐήµατα 3 5 µέχρι το µόνο µη-µηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1, 1). Τότε επιστρέϕουµε στο ϐήµα 7 µε το νέο d. 10. Επαναλαµβάνουµε τα ϐήµατα 8 και 9 µέχρι το στοιχείο d = d 1 της ϑέσης (1, 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα. 11. Εϕαρµόζουµε τα ϐήµατα 1 10 στον πίνακα που πήραµε αποµακρύνοντας την πρώτη γραµµά και στήλη για να πάρουµε ένα d 2 στη ϑέση (1, 1) που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d 1 ). 12. Επαναλαµβάνουµε το ϐήµα 11 µέχρι είτε οι γραµµές είτε οι στήλες είτε τα µη-µηδενικά στοιχεία αποµακρυνθούν. Παραθέτουµε ένα αναλυτικό παράδειγµα εϕαρµογής του αλγορίθµου. Παράδειγµα 2 Εστω ο πίνακας Π = Θα εϕαρµόσουµε τον παραπάνω αλγόριθµο για να γράψουµε τον Π στην κανονική του µορϕή. Γράϕουµε E Π = {2, 3, 4, 6} και κ = 2. ιαλέγουµε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2, 1). Ετσι µε το ϐήµα 1 αλλάζουµε την πρώτη γραµµή µε την δεύτερη και έχουµε Γ 5, Γ 5, Γ 5,3 Π = Γ 5, Γ 5,

34 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ ΕΣ Εκτελούµε τα ϐήµατα 2 6 (τέσσερις φορές εϕαρµόζουµε πράξεις τύπου A και παίρνουµε Γ 5,1 ( 3)Γ 5,1 + Γ 5,2 ( 1)Γ 5,1 + Γ 5,3 Γ 5,1 + Γ 5,4 ( 2)Γ 5,1 + Γ 5, = Το ϐήµα 7 µας δίνει Σ 4,1 Σ 4,2 ( 1)Σ 4,1 + Σ 4,3 Σ 4,1 + Σ 4,4 T = , όπου µε B T συµβολίζουµε τον ανάστροϕο του πίνακα B. Θέτουµε Π 1 = Για το ϐήµα 8, αλλάζουµε τις γραµµές 2 και 4 και µετά προσθέτουµε την τρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουµε Γ 5,1 Γ 5,4 Γ 5,3 Γ 5,2 Γ 5,5 Π 1 Σ 4,3 + Σ 4,1 Σ 4,2 Σ 4,3 Σ 4,4 T = Θέτουµε Γ Π1 = Γ 5,1 ( 2)Γ 5,1 + Γ 5,2 Γ 5,3 Γ 5,4 Γ 5,5 Γ 5,2 Γ 5,1 Γ 5,3 Γ 5,4 Γ 5,5 Γ 5,1 Γ 5,1 + Γ 5,2 Γ 5,3 Γ 5,4 Γ 5,5

35 2.2. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 35 και Π 2 = Με το ϐήµα 9 προσθέτουµε τη γραµµή 1 στη γραµµή 2 µετά αλλάζουµε τις δύο πρώτες γραµµές κατόπιν αϕαιρούµε δύο φορές την γραµµή 1 από την γραµµή 2 και τέλος `καθαρίζουµε την πρώτη γραµµή (µε το ϐήµα 7) : Γ Π1 Π 2 Σ 4,1 ( 2)Σ 4,1 + Σ 4,2 Σ 4,1 + Σ 4,3 ( 2)Σ 4,1 + Σ 4,4 T = Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα, εϕαρµόζουµε το ϐήµα 11 και παίρνουµε T Σ 4,1 Σ 4, Σ 4,3 Σ 4, = Σ ,2 2Σ T 4,2 + Σ 4, Σ 4,4 2Σ 4,2 + Σ 4, Τέλος, το ϐήµα 12 µας δίνει Γ 5, Γ 5, Γ 5, ( 1)Γ 5,3 + Γ 5, ( 1)Γ 5,3 + Γ 5, Σ 4,1 Σ 4,2 Σ 4,3 ( 1)Σ 4,3 + Σ 4,4 και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική µορϕή D = T = µε d 1, d 2, d 3, d 4 να ισούται µε 1, 2, 6, 0 αντίστοιχα. Συνεπώς υπάρχουν πίνακες T και Q έτσι, ώστε TΠQ 1 = D.