Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μηχανική του Συνεχούς Μέσου"

Πατρίκιος Καλάρης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Εισαγωγή Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ÊåöÜëáéï 1 ÅéóáãùãÞ 1.1 Ç õðüèåóç ôïõ óõíå ïýò óþìáôïò Óå áõôü ôï ìüèçìá èá ðñïóðáèþóïõìå íá óõæçôþóïõìå êáé íá êáôáíïþóïõìå ôéò óçìáíôéêüôåñåò Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò. ÐñÝðåé áðü ôçí áñ Þ íá êüíïõìå äéüêñéóç ìåôáîý ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Õëéêïý Óçìåßïõ, ìå ôéò âáóéêýò Ýííïéåò ôçò ïðïßáò åßìáóôå åîïéêåéùìýíïé, êáé ôçò Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò. Ãéá ôçí ðñþôç, ôüóï ç êéíçìáôéêþ üóï êáé ïé èåìåëéþäåéò áñ Ýò ôçò áöïñïýí óå Ýíá õëéêü óçìåßï ôï ïðïßï, åî' ïñéóìïý, Ý åé ìçäåíéêü üãêï êáé åöïäéüæåôáé ìå ìéá ðåðåñáóìýíç (ìç{ìçäåíéêþ) ìüæá. Êáôüðéí åßíáé äõíáôüí íá åðåêôáèïýìå óå Ýíá óýóôçìá õëéêþí óçìåßùí ðïõ ìðïñåß íá ðñïóïìïéüóåé ôï óôåñåü óþìá. ¼ìùò, óå Ýíá ôýôïéï óôåñåü óþìá äåí åßíáé äõíáôüí íá ïñéóôåß ç Ýííïéá ôçò ðõêíüôçôáò ôçò ìüæáò óå Ýíá óçìåßï ãéáôß óôï ðçëßêï ìüæá ðñïò üãêï ï ðáñáíïìáóôþò ìçäåíßæåôáé. ÅðïìÝíùò, îåêéíþíôáò áðü ôéò èåìåëéþäåéò Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Õëéêïý Óçìåßïõ äå ìðïñåß íá öôüóåé êáíåßò óôçí Ýííïéá ôçò ðõêíüôçôáò ìüæáò óå Ýíá óçìåßï, ç ïðïßá üìùò åßíáé áðáñáßôçôç üôáí äéáðñáãìáôåõüìáóôå ðñïâëþìáôá ìå óôåñåü óþìóôá Þ ñåõóôü. ÄçëáäÞ óå üëá ó åäüí ôá ðñïâëþìáôá Ìç áíéêïý. Áíôßèåôá, ç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò îåêéíü áîéùìáôéêü áðü ôçí õðüèåóç ôçò óõíå ïýò êáôáíïìþò ôçò ýëçò. ôóé, äå üìáóôå ôçí ýðáñîç ôïõ óõíå ïýò óþìáôïò åðß ôïõ ïðïßïõ ïñßæåôáé ç ðõêíüôçôá ìüæáò, êáèþò êáé ïðïéáäþðïôå Üëëç ðõêíüôçôá (ð.. ðõêíüôçôá åíýñãåéáò). Åßíáé óáöýò üôé ìå áõôü ôïí ôñüðï ôï õëéêü óçìåßï ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Õëéêïý Óçìåßïõ åßíáé äéáöïñåôéêü áðï ôï áíôßóôïé ï õëéêü óçìåßï ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò. Ôï ðñþôï Ý åé ìç{ìçäåíéêþ ìüæá åíù óôï äåýôåñï ç ìüæá ôïõ åßíáé åî' ïñéóìïý ìçäåíéêþ. ÖõóéêÜ, ç õðüèåóç ôïõ óõíå ïýò Ýñ åôáé óå åõèåßá áíôßèåóç ìå ôçí ðñáãìáôéêþ äïìþ ôçò

4 6 ÅéóáãùãÞ ýëçò, ç ïðïßá üðùò åßíáé ãíùóôü óå üëïõò åßíáé äéáêñéôþ äçëáäþ áðïôåëåßôáé áðü Üôïìá êáé ìüñéá. ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå üôé ç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò äåí áðïôåëåß ìéá èåùñßá êáôüëëçëç ãéá íá äéåñåõíþóïõìå ôç äïìç ôçò ýëçò, áëëü ãéá íá êáôáíïþóïõìå êáé íá ðñïâëýøïõìå ôçí êßíçóç ôçò ýëçò óôï ìáêñïóêïðéêü (öáéíïìåíïëïãéêü) åðßðåäï. Óå áõôü ôï åðßðåäï áêüìç êáé óå Ýíá ðïëý ìéêñü êïììüôé ôçò ýëçò (áò ðïýìå ôçò ôüîçò ôùí mm 3 ) õðüñ åé Ýíáò ôåñüóôéïò áñéèìüò 1 ìïñßùí ðïõ áðïèáññýíåé ïðïéáäþðïôå óêýøç íá áíáëõèåß ç êßíçóç ìå âüóç ôç îå ùñéóôþ óõìðåñéöïñü ôùí åðéìýñïõò ìïñßùí ðïõ óõãêñïôïýí ôï óþìá. Áðü ôçí Üëëç ðëåõñü, ç õðüèåóç ôçò óõíý åéáò ôçò ýëçò, üðùò êáé êüèå Üëëç åðéóôçìïíéêþ õðüèåóç, áðïôåëåß ìéá åîéäáíßêåõóç ôçò ðñáãìüôéêüôçôáò ç ïðïßá, óå ôåëåõôáßá áíüëõóç, åëýã åôáé áðü ôï ðåßñáìá. ëëùóôå ðñýðåé íá ìüèïõìå íá äéáêñßíïõìå ôéò Ýííïéåò Þ ôá åííïéïëïãéêü ó Þìáôá, ðïõ åéóüãïíôáé óõíþèùò áîéùìáôéêü, áðü ôá öõóéêü áíôéêåßìåíá Þ ôéò äéåñãáóßåò ðïõ ðñïóðáèïýí (áôåëþò) íá ðåñéãñüøïõí. ÏðïéïäÞðïôå èåùñçôéêü ó Þìá êáé üðïéáäþðïôå åðéóôçìïíéþ èåùñßá âñßóêïíôáé êüðïõ ìýóá óôï ìõáëü ìáò, äçëáäþ áíþêïõí óôïí êüóìï ôùí éäåþí, åíþ ôá öõóéêü öáéíüìåíá âñßóêïíôáé Ýîù áðü åìáò, óôçí áíôéêåéìåíéêþ ðñáãìáôéêüôçôá Ç Ýííïéá ôçò ðõêíüôçôáò ìüæáò Áò óõæçôþóïõìå ëåðôïìåñýóôåñá ôþñá ãéá ôçí ðõêíüôçôá ìüæáò. ¼ðùò ãíùñßæïõìå üëïé ç ìýóç ðõêíüôçôá åíüò ôìþìáôïò Ω óå Ýíá óþìá B ïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôçò ìüæáò ðïõ ðåñéý åôáé óå áõôü ôï ôìþìá ôïõ óþìáôïò ðñïò ôïí áíôßóôïé ï üãêï, äçëáäþ (Ω) = m(ω) V (Ω) ; (1.1) üðïõ ìå m(ω) êáé V (Ω) óõìâïëßæïíôáé ç ìüæá êáé üãêïò ôïõ Ω, áíôéóôïß ùò. Óôç Ìç áíéêþ ôïõ óõíå ïýò áîéþíïõìå íá õðüñ åé ç ðõêíüôçôá ùò óõíüñôçóç ôçò èýóçò. ÄçëáäÞ íá õðüñ åé ìéá óõíå Þò óõíüñôçóç ôçò èýóçò ðïõ íá ìáò äßíåé ôçí ðõêíüôçôá óå êüèå óçìåßï ôïõ óþìáôïò. Ðñïöáíþò áõôü åßíáé áäýíáôï íá ãßíåé ìå ôç ó Ýóç (1.1). Ìðïñïýìå ùóôüóï íá ïñßóïõìå ôçí ðõêíüôçôá óôç èýóç x ùò ìéá ïñéáêþ äéáäéêáóßá ðïõ íá ó åôßæåôáé ìå ôï ðçëßêï (1.1). Áò ðüñïõìå ôï ðçëßêï (1.1) ãéá ìéá óöáßñá Ω å ìå êýíôñï ôï óçìåßï x (óôï ïðïßï èýëïõìå íá ïñßóïõìå ôçí ðõêíüôçôá) êáé áêôßíá å. Tüôå ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ç ðõêíüôçôá óôï x ìðïñåß íá ðñïóåããéóôåß áðü ôç ìýóç ðõêíüôçôá ôçò óöáßñáò, äçëáäþ å (x) = m(ω å) V (Ω å ) : (1.2) 1 ÓÝ 1 mm 3 åíüò ìïíïáôïìéêïý êñõóôáëëéêïý õëéêïý õðüñ ïõí ðåñßðïõ Üôïìá. 2 Ãéá üóïõò âýâáéá áðïäý ïíôáé ôçí ýðáñîç ôçò "áíôéêåéìåíéêþò ðñáãìáôéêüôçôáò". Ãéá ðáñüäåéãìá, ï åðßóêïðïò Berkeley ðïõ Üóêçóå äñéìåßá êñéôéêþ óôïí Áðåéñïóôéêü Ëïãéóìü ôïõ Íåýôùíá äåí ôç äå üôáí. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

5 1.2 Ç Ýííïéá ôçò ðõêíüôçôáò ìüæáò 7 Ðñïöáíþò, ôï ðçëßêï (1.2) åîáñôüôáé áðü ôï å. Åðßóçò åßíáé öáíåñü üôé üóï ðéï ìéêñþ åßíáé ç áêôßíá ôçò óöáßñáò ôüóï ðéï êáëü èá ðñïóåããßæåé ôçí ðõêíüôçôá óôï óçìåßï x. Áí ìðïñïýìå íá åëáôôþíïõìå ôçí áêôßíá üóï èýëïõìå ùñßò ðåñéïñéóìü "öôüíïõìå" óôçí Ýííïéá ôïõ ïñßïõ. ÅðïìÝíùò, ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ôçí ðõêíüôçta ìüæáò óôï óçìåßï x ùò ôï üñéï m(ω å ) (x) = lim å 0 V (Ω å ) ; (1.3) üðïõ óôçí ðáñáðüíù Ýêöñáóç ôï Ω å äåí åßíáé ðëýïí óöáßñá áëëá Ýíá ïðïéïäþðïôå óõíåêôéêü õðïóýíïëï ôïõ óþìáôïò ðïõ ðåñéý åé õðï ñåùôéêü ôï óçìåßï x (äçë. x Ω å ; å) êáé åßíáé Ýíá áñáêôçñéóôéêü ìýãåèïò ôïõ, ð.. ç äéüìåôñïò ôïõ. Áí ìðïñïýìå íá íá ïñßóïõìå ôçí ðõêíüôçôá ìüæáò ãéá êüèå óçìåßï ôïõ óþìáôïò, ôüôå èá Ý ïõìå óôç äéüèåóç ìáò ìéá óõíüñôçóç ðïõ èá ïñßæåôáé óå ïëüêëçñï ôï óþìá (x); x B: (1.4) ôóé, Ýíá ïðïéïäþðïôå ôìþìá ôïõ óþìáôïò Ω, èá Ý åé ìüæá: m(ω) = (x)dx; (1.5) üðïõ ôï óýìâïëï óçìáßíåé ïëïêëþñùóç åðß ôïõ ùñßïõ Ω. Ìðïñåß äçëáäþ íá óçìáßíåé Ω ôñéðëü, äéðëü Þ ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá áíüëïãá ìå ôï áí ôï Ω åßíáé õðïóýíïëï ôïõ ÉR 3, ôïõ ÉR 2 Þ ôïõ ÉR. Óôçí ó Ýóç (1.5), ìå äåäïìýíï üôé ôï óþìá ìáò åßíáé ôñéóäéüóôáôï, ôï ïëïêëþñùìá áõôü óçìáßíåé: (x)dx = (x 1 ; 2 ; 3 )dx 1 dx 2 dx 3 : Ω Ω Ω Áí ÝíÜ óþìá Ý åé ïìïãåíþ êáôáíïìþ ðõêíüôçôáò, äçëáäþ áí ç ðõêíüôçôá åßíáé ìéá óôáèåñþ óõíüñôçóç ((x) = 0 ), ôüôå ôï ïëïêëþñùìá (1.5) ãßíåôáé m(ω) = 0 dx = 0 dx = 0 V (Ω); Ýíá áðïôýëåóìá ãíùóôü áðü ôá ËõêåéÜêá ìáèþìáôá. Ω Õðåíèõìßæïõìå üôé ôï üñéï (1.3) ðïõ ïñßæåé ôçí ðõêíüôçôá áðïôåëåß ìéá ìáèçìáôéêþ åîéäáíßêåõóç. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, áí êüðïéïò åðé åéñþóåé íá ðñáãìáôïðïéþóåé ôçí ïñéáêþ äéáäéêáóßá ôçò (1.3) óå Ýíá ðñáãìáôéêü õëéêü, ôüôå èá ðñïêýøåé Ýíá áðüôåëåóìá ðïõ åîáñôüôáé Ýíôïíá áðü ôçí ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ å, üðïùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 1.1. Ôáõôü ñïíá üìùò èá ðáñáôçñþóåé üôé õðüñ åé Ýíá äéüóôçìá üðïõ ç ðõêíüôçôá ãßíåôáé áíåîüñôçôç áðü ôï å, ãåãïíüò ðïõ äéêáéïëïãåß ôçí óýãêëéóç ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôï üñéï Ω ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

6 8 ÅéóáãùãÞ Ó Þìá 1.1. Ç äéáêýìáíóç ôçò ìýóçò ðõêíüôçôáò ìüæáò óå ó Ýóç ìå ôï áñáêôçñéóôéêü ìþêïò å. (1.3). Táõôü ñïíá üìùò èýôåé Ýíá "êüôù üñéï" ãéá ôçí éó ý ìéáò èåùñßáò ðïõ âáóßæåôáé óôçí õðüèåóç ôïõ óõíå ïýò. Ôï üñéï áõôü ó åôßæåôáé ìå ôéò äéáôïìéêýò áðïóôüóåéò ðïõ óôá óôåñåü åßíáé ôçò ôüîçò ôïõ m. Áí ðëçóéüóïõìå Þ ðïëý ðåñéóóüôåñï áí äéáó ßóïõìå áõôü ôï üñéï ìðáßíïõìå óôï "âáóßëåéï" ôçò äéáêñéôþò ýëçò êáé ç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò äåí áðïôåëåß ðëýïí Ýãêõñï áíáëõôéêü åñãáëåßï. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

7 Τέλος Ενότητας

8 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

9 Σημειώματα

10 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. id=1296.

11 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης. «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου. Εισαγωγή». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=1296.

12 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] by-sa/4.0/.

Σχετικά έγγραφα

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá