ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
|
|
- Ελπιδιος Βλαχόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 30
2 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé ðáñüìåôñïò. Ç êáìðýëç ðïõ ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü ìðïñåß íá åêöñáóôåß êáé óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Åðßóçò ìðïñïýìå íá ãñüöïõìå r = r(t), üðïõ r(t) êáëåßôáé äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç. Ïé ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò x(t), y(t), z(t) êáëïýíôáé óõíéóôþóåò óõíáñôþóåéò ôçò r(t). Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò r(t) åßíáé ôï óýíïëï ôùí åðéôñåðïìýíùí ôéìþí ôçò ðáñáìýôñïõ t. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(t) = cos ti + t 2j + ln tk. Âñßóêïõìå üôé ç óõíüñôçóç x(t) = cos t Ý åé ðåäßï ïñéóìïý t IR, ç óõíüñôçóç y(t) = t 2 Ý åé ðåäßï ïñéóìïý t 2 êáé ç óõíüñôçóç z(t) = ln t Ý åé ðåäßï ïñéóìïý t > 0. Ôþñá, ç ôïìþ ôùí ðéï ðüíù äéáóôçìüôùí ìáò äßíåé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò r(t). ÄçëáäÞ, t 2. Áò õðïèýóïõìå üôé ôï äéüíõóìá r Ý åé áñ éêü óçìåßï ôï O êáé ôåëéêü óçìåßï ôï P. Êáëïýìå åðßóçò ôï r äéáíõóìáôéêþ áêôßíá Þ äéüíõóìá èýóçò ôïõ P. 31
3 32 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÝôñï Þ íüñìá ôïõ r(t): Áí r(t) åßíáé ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç, ôüôå ôï ìýôñï r(t) åßíáé ìéá ðñáãìáôéêþ óõíüñôçóç. 2.2 Áðåéñïóôéêüò ëïãéóìüò äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí Åðåéäç ïé óõíéóôþóåò óõíáñôþóåéò ôïõ r(t) åßíáé ðñáãìáôéêýò, áðü ôç èåùñßá ôùí ðñáãìáôéêþí óõíáñôþóåùí Ý ïõìå ôá ðéï êüôù áðïôåëýóìáôá ðïõ éó ýïõí ãéá ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k: (i) (ii) (iii) (iv) lim r(t) = t a ( ) lim x(t) i + t a ( ) lim y(t) j + t a ( ) lim z(t) k t a r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k ( ) ( ) ( ) r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ( b ) ( b ) ( b ) b r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k a a Óôï (i) áí êüðïéï üñéï ôùí óõíéóôùóþí óõíáñôþóåùí äåí õðüñ åé, ôüôå ëýìå üôé ôï üñéï ôçò r(t) äåí õðüñ åé. Óôï (ii) ëýìå üôé ç r(t) åßíáé ðáñáãùãßóéìç áí üëåò ïé óõíéóôþóåò óõíáñôþóåéò åßíáé ðáñáãùãßóéìåò. Èåþñçìá (Êáíüíåò ðáñáãþãéóçò): óôù üôé r(t), r 1 (t) êáé r 2 (t) åßíáé äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò óôïí IR 3, f(t) åßíáé ðñáãìáôéêþ óõíüñôçóç, k IR êáé c åßíáé óôáèåñü äéüíõóìá. Ôüôå éó ýïõí ïé ðéï êüôù êáíüíåò ðáñáãþãéóçò: (i) d [c] = 0 (ii) d dr [kr(t)] = k (iii) d [r 1(t) ± r 2 (t)] = dr 1 ± dr 2 (iv) d [f(t)r(t)] = f(t)dr + df r(t) Åðßóçò Ý ïõìå ôï ðéï êüôù èåþñçìá. Èåþñçìá: Áí r(t) IR 3, ôüôå r (t) = lim h 0 r(t + h) r(t) h ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé ôï üñéï õðüñ åé. Áðüäåéîç: ïõìå r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. ñá r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k = x(t + h) x(t) y(t + h) y(t) z(t + h) z(t) lim i + lim j + lim k h 0 h h 0 h h 0 h a a
4 2.2. Áðåéñïóôéêüò ëïãéóìüò äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí 33 [x(t + h)i + y(t + h)j + z(t + h)k] [x(t)i + y(t)j + z(t)k] = lim h 0 h r(t + h) r(t) = lim h 0 h Èåþñçìá (Êáíüíåò ïëïêëþñùóçò): óôù üôé r(t), r 1 (t) êáé r 2 (t) åßíáé äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò óôïí IR 3 êáé k IR. Ôüôå éó ýïõí ïé ðéï êüôù êáíüíåò ïëïêëþñùóçò: (i) kr(t) = k r(t) (ii) [r 1 (t) ± r 2 (t)] = r 1 (t) ± r 2 (t) Óçìåßùóç: Ïé ðéï ðüíù éäéüôçôåò éó ýïõí êáé ãéá ïñéóìýíá ïëïêëçñþìáôá. Ãíùñßæïõìå üôé ãéá ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò éó ýåé d [ ÁíÜëïãá, éó ýåé d [ ] f(t) = f(t). ] r(t) = r(t). Ôþñá, áí R(t) åßíáé áíôéðáñüãùãïò ôçò r(t), äçëáäþ, R (t) = r(t), ôüôå r(t) = R(t) + c, üðïõ c åßíáé áõèáßñåôï óôáèåñü äéüíõóìá. Åðßóçò éó ýåé b a r(t) = R(t) b a = R(b) R(a). ÐáñÜäåéãìá: Äßíåôáé üôé r (t) = e 2t i + cos tj k, êáé r(0) = 3j + 2k. Íá âñåèåß ç r(t).
5 34 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôïõ ïñßïõ: Áí r(t) åßíáé äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç óôïí IR 3, ôüôå lim r(t) = L t a áí êáé ìüíï áí ç äéáíõóìáôéêþ áêôßíá r = r(t) ðñïóåããßæåé ôï äéüíõóìá L êáé óå ìþêïò êáé óå êáôåýèõíóç üôáí t a. ËÝìå üôé ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(t) åßíáé óõíå Þò óôï t 0 áí r(t 0 ) ïñßæåôáé êáé lim r(t) = r(t 0 ). t t 0 Ìðïñåß íá äåé èåß üôé ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(t) åßíáé óõíå Þò óôï t 0 áí êáé ìüíï áí êüèå óõíéóôþóá óõíüñôçóç åßíáé óõíå Þò. ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôçò ðáñáãþãïõ: ÕðïèÝôïõìå üôé C åßíáé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò r(t) IR 3 êáé üôé r (t) õðüñ åé êáé åßíáé ìç ìçäåíéêþ ãéá äïóìýíç ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ t. Áí ôï äéüíõóìá r (t) Ý åé ùò áñ éêü óçìåßï ôï ôåëéêü óçìåßï ôïõ r(t), ôüôå ôï r (t) åßíáé åöáðôüìåíï óôç êáìðýëç C êáé äåß íåé ðñïò ôç êáôåýèõíóç üðïõ áõîüíåôáé ç ðáñüìåôñïò. Ãéá íá åîçãþóïõìå êáëýôåñá ôçí ðéï ðüíù åñìçíåßá, Ýóôù ôï äéüíõóìá r(t+h) r(t) ãéá (i) h > 0 êáé (ii) h< 0.
6 2.2. Áðåéñïóôéêüò ëïãéóìüò äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí 35 Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ç äéáöïñü r(t + h) r(t) óõìðßðôåé ìå ôç ôýìíïõóá ðïõ åíþíåé ôá ôåëéêü óçìåßá ôùí äéáíõóìüôùí r(t) êáé r(t + h). ÅðåéäÞ h åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, ôï äéüíõóìá r(t + h) r(t) h åðßóçò ôáõôßæåôáé ìå ôçí ßäéá ôýìíïõóá. Ðáñáôçñïýìå üôé áí h< 0, ôüôå ôï ðéï ðüíù äéüíõóìá Ý åé áíôßèåôç êáôåýèõíóç ìå ôï r(t + h) r(t) êáé áí h > 0, ôüôå Ý åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç. Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ôï ðéï ðüíù äéüíõóìá äåß íåé óôçí êáôåýèõíóç üðïõ áõîüíåôáé ç ðáñüìåôñïò. Ôþñá, ðáßñíïíôáò ôï üñéï r(t + h) r(t) lim h 0 h (õðïèýôïõìå üôé õðüñ åé), ôüôå ïé ôýìíïõóåò ðïõ åíþíïõí ôá ôåëéêü óçìåßá ôùí äéáíõóìüôùí r(t) êáé r(t + h) ôåßíïõí óôçí åöáðôïìýíç óôçí êáìðýëç C. ñá ôï äéüíõóìá r (t) = lim h 0 r(t + h) r(t) h åßíáé åöáðôüìåíï óôç êáìðýëç C óôï ôåëéêü óçìåßï ôïõ äéáíýóìáôïò r(t) êáé äåß íåé ðñïò ôç êáôåýèõíóç üðïõ áõîüíåôáé ç ðáñüìåôñïò. ñçóéìïðïéþíôáò ôá ðéï ðüíù Ý ïõìå: Ïñéóìüò: óôù üôé P åßíáé Ýíá óçìåßï ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò r(t) êáé Ýóôù üôé r(t 0 ) åßíáé ç äéáíõóìáôéêþ áêôßíá áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí óôï P. Áí r (t 0 ) õðüñ åé êáé r (t 0 ) 0, ôüôå êáëïýìå ôï r (t 0 ) åöáðôüìåíï äéüíõóìá ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôçò r(t) óôï r(t 0 ). Ç åõèåßá ãñáììþ ðïõ åßíáé ðáñüëëçëç ìå ôï äéüíõóìá r (t 0 ) êáé äéýñ åôáé áðü ôï P êáëåßôáé åöáðôüìåíç åõèåßá ãñáììþ êáé Ý åé åîßóùóç r(t) = r(t 0 ) + tr (t 0 ) ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ç åöáðôïìýíç ôçò r(t) = sin ti + cosh tj + tan 1 tk óôï óçìåßï P (0, 1, 0). Ëýóç:
7 36 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐáñÜãùãïò åóùôåñéêïý êáé åîùôåñéêïý ãéíïìýíïõ: Åßíáé åýêïëï íá äåé èåß üôé (i) d [r 1(t) r 2 (t)] = r 1 (t) dr 2 + dr 1 r 2(t) (ii) d [r 1(t) r 2 (t)] = r 1 (t) dr 2 + dr 1 r 2(t) Ãíùñßæïõìå üôé ç åöáðôïìýíç ãñáììþ óå êýêëï ôýìíåôáé êüèåôá ìå ôçí áêôßíá. Ôï ðéï êüôù èåþñçìá ãåíéêåýåé áõôü ôï áðïôýëåóìá. Èåþñçìá: Áí r(t) åßíáé äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç óôïí IR 3 êáé ôï ìýôñï r(t) åßíáé óôáèåñü ãéá êüèå ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ t, ôüôå r(t) r (t) = 0. ÄçëáäÞ ôá äéáíýóìáôá r(t) êáé r (t) åßíáé ïñèïãþíéá t. Áðüäåéîç: ÐáñÜäåéãìá: Íá õðïëïãéóôåß d [ r ].
8 2.3. ÁëëáãÞ ðáñáìýôñïõ - ÌÞêïò ôüîïõ ÁëëáãÞ ðáñáìýôñïõ - ÌÞêïò ôüîïõ ËÝìå üôé r(t) åßíáé ðáñáìåôñéêü ïìáëþ Þ üôé åßíáé ïìáëþ óõíüñôçóç ôïõ t áí ç r (t) åßíáé óõíå Þò êáé r (t) 0 t. ñá óôïí IR 3, ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k åßíáé ïìáëþ óõíüñôçóç ôïõ t áí ïé ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò x (t), y (t) êáé z (t) åßíáé óõíå åßò êáé äåí õðüñ åé ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ t ãéá ôçí ïðïßá íá ìçäåíßæïíôáé üëåò ïé ðáñáãþãïé. ÁëëáãÞ ôçò ðáñáìýôñïõ: Ç áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ óå ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(t) åßíáé ìéá áíôéêáôüóôáóç t = f(τ) ç ïðïßá äßíåé ìéá íýá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç r(f(τ)). Èåþñçìá (Êáíüíáò áëõóßäáò): óôù üôé r(t) åßíáé äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç óôïí IR 3 ç ïðïßá åßíáé ðáñáãùãßóéìç ùò ðñïò t. Áí t = f(τ) åßíáé ìéá áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ óôçí ïðïßá ç óõíüñôçóç f åßíáé ðáñáãùãßóéìç ùò ðñïò τ, ôüôå ç r(f(τ)) åßíáé ðáñáãùãßóéìç ùò ðñïò τ êáé Áí df dτ dr dτ = dr dτ = dr df dτ. åßíáé óõíå Þò êáé äéáöïñåôéêþ ôïõ ìçäåíüò êáé ç r(t) åßíáé ïìáëþ, ôüôå ç dr dτ åßíáé óõíå Þò êáé ìç-ìçäåíéêþ. Óå áõôþ ôç ðåñßðôùóç ëýìå üôé Ý ïõìå ïìáëþ áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ. ÏìáëÞ áëëáãþ ãéá ôçí ïðïßá dτ êáé üôáí dτ > 0 τ êáëåßôáé èåôéêþ áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ < 0 τ êáëåßôáé áñíçôéêþ áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ. ÌÞêïò ôüîïõ: Ãíùñßæïõìå áðü ôéò åöáñìïãýò ôùí ïëïêëçñùìüôùí üôé ôï ìþêïò ôüîïõ êáìðýëçò ðïõ ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü, äßíåôáé áðü ôïí ôýðï L = b a (dx ) 2 + ( ) dy 2. ÁíÜëïãá óôïí IR 3, ìéá êáìðýëç ðïõ ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü x = x(t), y = y(t), z = z(t), a t b Ý åé ìþêïò ôüîïõ L = b a (dx ) 2 + Ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå L = b a dr. ( ) dy 2 + ( ) dz 2.
9 38 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐáñÜäåéãìá: Íá âñåèåß ôï ìþêïò ôüîïõ ôçò êáìðýëçò r(t) = t 3 i + tj t 2 k, 1< t< 3. Ëýóç:
10 2.3. ÁëëáãÞ ðáñáìýôñïõ - ÌÞêïò ôüîïõ 39 ÌÞêïò ôüîïõ ùò ðáñüìåôñïò: ÁñêåôÝò öïñýò åßíáé âïçèçôéêü íá ñçóéìïðïéïýìå ôï ìþêïò ôüîïõ, s, ùò ðáñüìåôñï. Áõôü ìðïñåß íá ãßíåé ùò áêïëïýèùò: (i) ÅðéëÝãïõìå Ýíá áõèáßñåôï óçìåßï ôçò êáìðýëçò ùò óçìåßï áíáöïñüò. (ii) Áñ ßæïíôáò áðü ôï óçìåßï áíáöïñüò, åðéëýãïõìå ìéá êáôåýèõíóç êáôü ìþêïò ôçò êáìðýëçò ùò èåôéêþ êáé ôçí Üëëç ùò áñíçôéêþ. ñá óôïí IR 3 Ý ïõìå P (x(s), y(s), z(s)). ÐáñÜäåéãìá: óôù ï êýêëïò x 2 + y 2 = a 2, ï ïðïßïò ðáñáìåôñéêü ãñüöåôáé x = a cos t, y = a sin t. ñçóéìïðïéþíôáò ùò óçìåßï áíáöïñüò ôï óçìåßï (a, 0), íá ãßíåé áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ t óå s. Ëýóç:
11 40 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÓõíÞèùò ç äéáäéêáóßá áëëáãþò ôçò ðáñáìýôñïõ óå s, äåí åßíáé ôüóï áðëþ üðùò óôï ðéï ðüíù ðáñüäåéãìá. Ôï ðéï êüôù èåþñçìá ìáò äßíåé ìéá ãåíéêþ ìýèïäï ãéá íá ãßíåé áõôþ ç äéáäéêáóßá áëëáãþò. Èåþñçìá: óôù C ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ìéáò ðáñáãùãßóéìçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò r(t) êáé Ýóôù r(t 0 ) åßíáé Ýíá óçìåßï ôçò C. Ôüôå ï ðéï êüôù ôýðïò ïñßæåé ìéá èåôéêþ áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ t óå s, üðïõ r(t 0 ) åßíáé ôï óçìåßï áíáöïñüò. s = t t 0 dr du du. ÐáñÜäåéãìá: Íá ãßíåé áëëáãþ ôçò ðáñáìýôñïõ áðü t óå s ôçò åõèåßáò x = 2t + 1, y = 3t 2, z = t + 1 ç ïðïßá Ý åé ùò óçìåßï áíáöïñüò ôï (1,-2,1). Ëýóç:
12 2.3. ÁëëáãÞ ðáñáìýôñïõ - ÌÞêïò ôüîïõ 41 Èåþñçìá: Áí r(t) åßíáé ðáñáãùãßóéìç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç êáé s åßíáé ìéá ðáñüìåôñïò ìþêïõ ôüîïõ, ôüôå Áðüäåéîç: dr ds = 1, s.
13 42 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.4 Ìïíáäéáßá åöáðôüìåíá êáé êüèåôá äéáíýóìáôá ïõìå äåé üôé áí r(t) åßíáé ðáñáãùãßóéìç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç, ôüôå ôï äéüíõóìá r (t) åßíáé åöáðôüìåíï ôçò êáìðýëçò r(t). Áí r (t) 0, ôüôå ôï äéüíõóìá T(t) = r (t) r (t) êáëåßôáé ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá. ïõìå äåé óå ðñïçãïýìåíï èåþñçìá üôé áí r(t) =óôáèåñü, ôüôå r(t) r (t) = 0. ÄçëáäÞ, ôï äéüíõóìá r(t) åßíáé êüèåôï ðüíù óôï r (t). ñá áöïý T(t) = 1 ôï äéüíõóìá T (t) åßíáé êüèåôï ðüíù óôï T(t). Áí T (t) 0, ïñßæïõìå ùò ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá, ôï N(t) = T (t) T (t). Ôþñá, óôç ðåñßðôùóç üðïõ ç êáìðýëç åêöñáóôåß ùò ðñïò ôç ðáñüìåôñï s (ìþêïò ôüîïõ), ôá åöáðôüìåíá äéáíýóìáôá Ý ïõí ìþêïò ßóï ìå 1 (ðñïçãïýìåíï èåþñçìá). ÅðåéäÞ dr ds = 1 dr dr áðü ôçí áðüäåéîç ôïõ ðñïçãïýìåíï èåùñþìáôïò, Ý ïõìå T(s) = r (s). Åðßóçò âñßóêïõìå üôé N(s) = r (s) r (s). Ïñßæïõìå ôï êüèåôï äéüíõóìá B(t) ùò B(t) = T(t) N(t). ÐáñÜäåéãìá: óôù r(t) = 3 sin ti + 3 cos tj + 4tk. Íá âñåèïýí: T(t), N(t) êáé B(t). Ëýóç:
14 2.5. Êáìðõëüôçôá Êáìðõëüôçôá Ïñéóìüò: Áí C åßíáé ìéá ïìáëþ êáìðýëç (ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ç ïðïßá ôçí ðåñéãñüöåé åßíáé ïìáëþ) óôïí IR 3 êáé áí s åßíáé ìéá ðáñüìåôñïò ìþêïõò ôüîïõ ôçò C, ôüôå ç êáìðõëüôçôá ïñßæåôáé ùò κ = dt ds. ÐáñÜäåéãìá: Óå ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá Ý ïõìå äåé üôé ï êýêëïò ãñüöåôáé ðáñáìåôñéêü óõíáñôþóåé ôçò ðáñáìýôñïõ s, ÅðåéäÞ ñá r(s) = a cos ( s a) i + a sin T(s) = r (s) T (s) = r (s) T (s) = 1 a κ = dt ds = 1 a. [ ( ( ] s s cos i + sin j a) a) ( s a) j, 0 s 2πa. ÄçëáäÞ, ï êýêëïò Ý åé óôáèåñþ êáìðõëüôçôá, 1 a. Óôéò ðéï áðëýò ðåñéðôþóåéò ç êáìðýëç ïñßæåôáé óõíáñôþóåé ôçò ðáñáìýôñïõ t êáé åðïìýíùò ñåéáæüìáóôå êüðïéï ôýðï ãéá ôçí êáìðõëüôçôá óõíáñôþóåé ôïõ t. Èåþñçìá: Áí r(t) åßíáé ìéá ïìáëþ äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç óôïí IR 3, ôüôå ãéá êüèå ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ t, ãéá ôçí ïðïßá T (t) êáé r (t) õðüñ ïõí, ç êáìðõëüôçôá κ ìðïñåß íá åêöñáóôåß ùò (i) κ = T (t) r (t) (ii) κ = r (t) r (t) r (t) 3 Áðüäåéîç:
15 44 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐáñÜäåéãìá: óôù ç äéáíõóìáôéêþ åîßóùóç r = 2 cos ti + 3 sin tj, 0 t< 2π ç ïðïßá ðáñéóôüíåé ìéá Ýëëåéøç. Íá âñåèåß ç êáìðõëüôçôá ôçò Ýëëåéøçò óôá Üêñá ôùí áîüíùí. Ëýóç:
16 2.5. Êáìðõëüôçôá 45 ïõìå äåé üôé ï êýêëïò Ý åé êáìðõëüôçôá ßóç ìå 1 a, üðïõ a åßíáé ç áêôßíá ôïõ êýêëïõ. ñá óôï ðñïçãïýìåíï ðáñüäåéãìá, ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ç êáìðõëüôçôá ôçò Ýëëåéøçò óôá Üêñá ôïõ ìéêñïý Üîïíá åßíáé ßóç ìå áõôþ åíüò êýêëïõ ìå áêôßíá 9 2 êáé ç êáìðõëüôçôá óôá Üêñá ôïõ ìåãüëïõ Üîïíá åßíáé ßóç ìå áõôþ åíüò êýêëïõ ìå áêôßíá 4 3. ÃåíéêÜ, áí ìéá êáìðýëç C óôï 2-äéÜóôáôï þñï Ý åé ìç-ìçäåíéêþ êáìðõëüôçôá, óå Ýíá óçìåßï P, ôüôå õðüñ åé êýêëïò ìå áêôßíá ρ = 1 κ (äçëáäþ, Ý ïõí ôçí ßäéá êáìðõëüôçôá óôï P) ðïõ Ý åé êïéíþ åöáðôïìýíç ìå ôç êáìðýëç C óôï P êáé ôï êýíôñï ôïõ âñßóêåôáé óôçí êïßëç ðëåõñü ôçò C. Ç ðïóüôçôá ρ = 1 κ êáëåßôáé áêôßíá êáìðõëüôçôáò. ïõìå äåé üôé N(s) = dt ds dt ds
17 46 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ êáé üôé ñá κ = dt ds. dt ds = κn(s). Ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá T óõíáñôþóåé ôçò ãùíßáò φ, üðùò öáßíåôáé óôï ó Þìá. ÄçëáäÞ, T = cos φi + sin φj. Ðáñáãùãßæïõìå ùò ðñïò φ, dt dφ = sin φi + cos φj. Áðü ôïí êáíüíá áëõóßäáò, dt ds = dt dφ dφ ds êáé åðïìýíùò ñá dt ds = dt dφ dφ ds = dφ ds ( sin φ) 2 + (cos φ) 2 = dφ ds. κ = dφ ds. ÄçëáäÞ, ç êáìðõëüôçôá ìðïñåß íá èåùñçèåß êáé ùò ç áðüëõôç ôéìþ ôïõ ñõèìïý ìåôáâïëþò ôçò ãùíßáò φ ùò ðñïò s. Ãéá ðáñüäåéãìá, áðü ôï ó Þìá ðáñáôçñïýìå üôé ç åõèåßá Ý åé êáìðõëüôçôá ßóç ìå ìçäýí.
18 2.6. Êßíçóç êáôü ìþêïò ìéáò êáìðýëçò Êßíçóç êáôü ìþêïò ìéáò êáìðýëçò Ç ôá ýôçôá åíüò óùìáôéäßïõ ïñßæåôáé ùò v(t) = ds T(t). Ôþñá, Ý ïõìå äåé üôé ñá T(t) = r (t) r (t) êáé ds = r (t). v(t) = r (t). ÄçëáäÞ, ç ôá ýôçôá åßíáé ßóç ìå ôï ñõèìü ìåôáâïëþò ôïõ äéáíýóìáôïò èýóçò ùò ðñïò ôï ñüíï t. Åðßóçò ç åðéôü õíóç åßíáé ßóç ìå ôï ñõèìü ìåôáâïëþò ôçò ôá ýôçôáò ùò ðñïò ôï ñüíï t. ôóé Ý ïõìå: Ïñéóìüò: Áí Ýíá áíôéêåßìåíï êéíåßôáé êáôü ìþêïò ìéáò êáìðýëçò C Ýôóé þóôå íá Ý åé äéüíõóìá èýóçò r(t) ôç ñïíéêþ óôéãìþ t, ôüôå ç óôéãìéáßá ôá ýôçôá ïñßæåôáé ùò v(t) = dr êáé ç óôéãìéáßá åðéôü õíóç ïñßæåôáé ùò a(t) = dv = d2 r 2. ÐáñÜäåéãìá: íá áíôéêåßìåíï êéíåßôáé ìå ôá ýôçôá v(t) = i + tj + t 2 k ôç ñïíéêþ óôéãìþ t. ÊáôÜ ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0, ôï áíôéêåßìåíï åß å óõíôåôáãìýíåò ( 1, 2, 4). Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ áíôéêåéìýíïõ üôáí t = 1. Ëýóç:
19 48 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ Èåþñçìá: Ç ôá ýôçôá êáé ç åðéôü õíóç åíüò áíôéêåéìýíïõ ðïõ êéíåßôáé ðüíù óå ìéá êáìðýëç ìðïñïýí íá åêöñáóôïýí êáé ùò v = ds T ( ) a = d2 s ds 2 2 T + κ N, üðïõ s åßíáé ðáñüìåôñïò ìþêïõò ôüîïõ, T åßíáé ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá, N åßíáé ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá êáé κ åßíáé ç êáìðõëüôçôá. Áðüäåéîç:
20 2.6. Êßíçóç êáôü ìþêïò ìéáò êáìðýëçò 49 ( ) 2 Ç a T = d2 st êáëåßôáé åöáðôïìåíéêþ åðéôü õíóç êáé ç a 2 N = κ ds N êáëåßôáé êüèåôç åðéôü õíóç. óôù θ ç ãùíßá ìåôáîý a êáé a T, üðùò öáßíåôáé óôï ó Þìá. Ôüôå, a T = a cos θ, a N = a sin θ a T = v a cos θ v a sin θ, a N = v v a T = v a v, a N = v a v ÐáñÜäåéãìá: Íá äåé èåß üôé Ëýóç: κ = v a v 3.
21 50 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐáñÜäåéãìá: íá óùìáôßäéï êéíåßôáé ðüíù óå ìéá êáìðýëç êáé ôï äéüíõóìá èýóçò ôç ñïíéêþ óôéãìþ t åßíáé ßóï ìå r(t) = ti + t 2 j + t 3 k. Íá âñåèïýí: (i) ôï ìýôñï ôçò åöáðôïìåíéêþò êáé ôçò êüèåôçò åðéôü õíóçò ôç ñïíéêþ óôéãìþ t, (ii) ôï ìýôñï ôçò åöáðôïìåíéêþò êáé ôçò êüèåôçò åðéôü õíóçò ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 1, (iii) ç åöáðôïìåíéêþ êáé ç êüèåôç åðéôü õíóç ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 1, (iv) ç êáìðõëüôçôá óôï óçìåßï óôï ïðïßï âñßóêåôáé ôï óùìáôßäéï ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 1. Ëýóç:
22 2.6. Êßíçóç êáôü ìþêïò ìéáò êáìðýëçò 51 ÂïëÞ: íá óùìáôßäéï ìüæáò m åêôïîåýåôáé áðü ãíùóôü óçìåßï ìå ãíùóôþ ôá ýôçôá. ÈÝëïõìå íá âñïýìå ôç ôñï éü ôçò êßíçóçò. Èá êüíïõìå ôñåéò õðïèýóåéò: (i) Ç ìüæá ôïõ óùìáôéäßïõ åßíáé óôáèåñþ. (ii) Ç ìüíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ðüíù óôï óùìáôßäéï åßíáé ç äýíáìç ðïõ ïöåßëåôáé óôç âáñýôçôá ôçò ãçò (âüñïò ôïõ óùìáôéäßïõ). (iii) Ôï óùìáôßäéï êáôü ôçí êßíçóç ôïõ, âñßóêåôáé áñêåôü êïíôü óôç Ãç Ýôóé þóôå íá õðïèýóïõìå üôé ç âáñýôçôá ôçò ãçò åßíáé óôáèåñþ. Èá ñçóéìïðïéþóïõìå ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Newton, F = ma, üðïõ F åßíáé ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ðüíù óôï óùìáôßäéï, a åßíáé ç åðéôü õíóç ôïõ êáé m åßíáé ç ìüæá ôïõ. óôù üôé ôï óùìáôßäéï åêôïîåýåôáé áðü ôï óçìåßï ðïõ Ý åé äéüíõóìá èýóçò, r 0 = hj êáé ìå áñ éêþ ôá ýôçôá v 0 ðïõ ó çìáôßæåé ãùíßá θ ìå ôçí ïñéæüíôéá. Ç ìüíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ðüíù óôï óùìáôßäéï åßíáé ôï âüñïò ôïõ. ñá F = mgj, üðïõ g åßíáé ç åðéôü õíóç ôçò âáñýôçôáò êáé g 32 ft/sec m/sec 2. ÅðïìÝíùò áðü ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Newton, âñßóêïõìå ma = mgj a = gj Þ dv = gj.
23 52 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ Ïëïêëçñþíïõìå v(t) = gtj + c 1, üðïõ c 1 åßíáé óôáèåñü äéüíõóìá. ¼ôáí t = 0, v(t) = v 0 = v 0 cos θi + v 0 sin θj (v 0 = v 0 ). ñá c 1 = v 0 cos θi + v 0 sin θj êáé åðïìýíùò Þ v(t) = v 0 cos θi + (v 0 sin θ gt)j dr = v 0 cos θi + (v 0 sin θ gt)j Ïëïêëçñþíïõìå r(t) = v 0 t cos θi + (v 0 t sin θ 1 2 gt2 )j + c 2. ¼ôáí t = 0, r = hj. ñá c 2 = hj êáé åðïìýíùò r(t) = v 0 t cos θi + (h + v 0 t sin θ 1 2 gt2 )j, ôï ïðïßï åßíáé ôï äéüíõóìá èýóçò ôïõ óùìáôéäßïõ óå ïðïéáäþðïôå ñïíéêþ óôéãìþ. Áí èýóïõìå r = xi + yj, ôüôå x = v 0 t cos θ, y = h + v 0 t sin θ 1 2 gt2. Áðáëåßöïõìå ôï t áðü áõôýò ôéò äýï åîéóþóåéò, ãéá íá âñïýìå ( y = h + (tan θ)x g 2v 2 0 cos2 θ ) x 2 ç ïðïßá åßíáé åîßóùóç ðáñáâïëþò êáé åßíáé ç åîßóùóç ôçò ôñï éüò ôïõ óùìáôéäßïõ. ÐáñÜäåéãìá: íá óùìáôßäéï åêôïîåýåôáé áðü óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé óôï Ýäáöïò ìå áñ éêþ ôá ýôçôá 60 m/sec ðïõ ó çìáôßæåé ãùíßá 30 o ìå ôçí ïñéæüíôéá. Íá âñåèïýí: (i) ï ñüíïò ðïõ ñåéüóôçêå ôï óùìáôßäéï ãéá íá öèüóåé óôï ìýãéóôï ýøïò, (ii) ôï ìýãéóôï ýøïò, (iii) ï ñüíïò ðïõ ñåéüæåôáé ôï óùìáôßäéï ãéá íá åðéóôñýøåé óôï Ýäáöïò, (iv) ç ïñéæüíôéá áðüóôáóç ðïõ äéüíõóáé ôï óùìáôßäéï. [g = 10 m/sec 2 ] Ëýóç:
24 2.7. Ïé íüìïé ôïõ Kepler Ïé íüìïé ôïõ Kepler Ïé íüìïé ôïõ Kepler áíáöýñïíôáé óôç êßíçóç ôùí ðëáíçôþí. Ðñþôïò íüìïò (Íüìïò ôùí ôñï éþí): ÊÜèå ðëáíþôçò êéíåßôáé óå åëëåéðôéêþ ôñï éü Ý ïíôáò ôïí Þëéï ùò ìéá åóôßá. Äåýôåñïò íüìïò (Íüìïò ôùí åìâáäþí): Ôï äéüíõóìá èýóçò ôïõ ðëáíþôç (ùò ðñïò ôïí Þëéï) óáñþíåé ßóá åìâáäü óå ßóïõò ñüíïõò. Ôñßôïò íüìïò (Íüìïò ôùí ðåñéüäùí): Ôï ôåôñüãùíï ôçò ðåñéüäïõ åíüò ðëáíþôç (ï ñüíïò ðïõ ñåéüæåôáé ï ðëáíþôçò ãéá ìéá ðëþñç ðåñéóôñïöþ ãýñù áðü ôïí Þëéï) åßíáé áíüëïãï ìå ôïí êýâï ôïõ ìþêïõò ôïõ ìåãüëïõ çìéüîïíá ôçò Ýëëåéøçò. ÊåíôñéêÝò äõíüìåéò: ÕðïèÝôïõìå üôé ðüíù óôï ðëáíþôç áóêåßôáé ìéá äýíáìç ðïõ Ý åé êáôåýèõíóç áðü ôïí ðëáíþôç ðñïò ôïí Þëéï. ÃåíéêÜ, ìéá äýíáìç ðïõ Ý åé êáôåýèõíóç ðñïò óôáèåñü óçìåßï, êáëåßôáé êåíôñéêþ äýíáìç. óôù üôé Ýíá óùìáôßäéï êéíåßôáé êüôù áðü ôçí åðßäñáóç ìéáò êåíôñéêþò äýíáìçò F. Áðü ôïí äåýôåñï íüìï ôïõ Newton, Ý ïõìå F = ma. ñá ç åðéôü õíóç a Ý åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôçí F êáé åðïìýíùò a êáé r åßíáé áíôßèåôá äéáíýóìáôá. Óõíåðþò Ôþñá, r a = 0. ñá d dv (r v) = r + dr v = r a + v v = = 0. r v = b, üðïõ b åßíáé óôáèåñü äéüíõóìá. Áõôü ìáò äåß íåé üôé ôï r åßíáé êüèåôï óå óôáèåñü äéüíõóìá b. ÅðïìÝíùò ôï óùìáôßäéï êéíåßôáé óå åðßðåäï ðïõ Ý åé ùò êüèåôï äéüíõóìá ôï óôáèåñü äéüíõóìá b. ñá êüèå óùìáôßäéï óôï ïðïßï áóêåßôáé êåíôñéêþ äýíáìç, êéíåßôáé óå åðßðåäï. Óôç óõíý åéá èá áðïäåßîïõìå ôïõò íüìïõò ôïõ Kepler. Äåýôåñïò íüìïò ôïõ Kepler
25 54 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ óôù üôé ç êßíçóç ãßíåôáé óôï xy-åðßðåäï êáé åðïìýíùò ôï óôáèåñü äéüíõóìá b åßíáé êáôü ìþêïò ôïõ Üîïíá z. ÃñÜöïõìå r = ru, üðïõ r = r êáé u = cos θi + sin θj åßíáé ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá êáôü ìþêïò ôïõ r. ïõìå Ôþñá, v = dr = d du (ru) = r + dr u. b = r v = ru ( r du + dr u ) = r 2 u du + r dr u u = r 2 u du Áðü ôïí êáíüíá áëõóßäáò, du = du dθ dθ êáé åðïìýíùò ñá u du = ( sin θi + cos θj)dθ = (cos θi + sin θj) ( sin θi + cos θj)dθ = dθ k b = r 2 dθ k êáé åðåéäþ b åßíáé óôáèåñü äéüíõóìá, Ý ïõìå r 2 dθ = óôáèåñü óôù üôé ç ôñï éü ôïõ P ðåñéãñüöåôáé óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ, r = f(θ). Ôüôå ôï åìâáäüí ðïõ óáñþíåé ôï äéüíõóìá èýóçò áðü ìéá áñ éêþ èýóç θ 0 ìý ñé ìéá ãåíéêþ èýóç θ åßíáé ßóï ìå A = 1 2 θ θ 0 [f(φ)] 2 dφ.
26 2.7. Ïé íüìïé ôïõ Kepler 55 ñá da dθ = 1 2 [f(θ)]2. Ôþñá, áðü ôïí êáíüíá áëõóßäáò da = da dθ dθ = 1 dθ 2 [f(θ)]2 = 1 dθ r2 2 ñá, áöïý r 2 dθ =óôáèåñü, da = óôáèåñü ÅðïìÝíùò ôï åìâáäüí óáñþíåôáé ìå óôáèåñü ñõèìü. Ðñþôïò íüìïò ôïõ Kepler: Óýìöùíá ìå ôï íüìï ôçò ðáãêüóìéáò Ýëîçò Ýíá óùìáôßäéï ìüæáò m 1 Ýëêåé Ýíá Üëëï óùìáôßäéï ìüæáò m 2 ðïõ âñßóêåôáé óå áðüóôáóç r, ìå ìéá äýíáìç F = Gm 1m 2 r 2 u, üðïõ u åßíáé ôï ìïíáäéáßï äéüíõóìá áðü ôï ðñþôï ðñïò ôï äåýôåñï óùìáôßäéï êáé G åßíáé ìéá óôáèåñü ðïõ êáëåßôáé ðáãêüóìéá óôáèåñü ôçò âáñýôçôáò. ñá ç êåíôñéêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé áðü ôïí Þëéï ðüíù óôïí ðëáíþôç åßíáé ßóç ìå F = GmM r 2 u, üðïõ m åßíáé ç ìüæá ôïõ ðëáíþôç êáé M åßíáé ç ìüæá ôïõ Þëéïõ. ÅðïìÝíùò áðü ôïí äåýôåñï íüìï ôïõ Newton, Ý ïõìå a = GM r 2 u óôù üôáí t = 0, r = r 0 i, v = v 0 j. Ôþñá, üôáí t = 0, v = r v = r 0 i v 0 j = r 0 v 0 k
27 56 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ êáé áðü ðñïçãïõìýíùò b = r 2 dθ k. ñá r 2 dθ = r 0v 0. Åðßóçò ñá a b = GM r 2 dθ u r2 k = GM dθ (cos θi + sin θj) k = GM( sin θi + cos θj) dθ = GM du dθ dθ a b = GM du Ôþñá, = GM du d db (v b) = v + dv du b = 0 + a b = GM Ïëïêëçñþíïõìå v b = GMu + c, üðïõ c åßíáé óôáèåñü äéüíõóìá. ¼ôáí t = 0, v = v 0 j, u = i êáé br 0 v 0 k. ñá c = (r 0 v 2 0 GM)i êáé åðïìýíùò v b = GMu + (r 0 v 2 0 GM)i Ðáßñíïõìå åóùôåñéêü ãéíüìåíï ìå ôï äéüíõóìá r = ru, ãéá íá âñïýìå, r (v b) = GMr u + (r 0 v 2 0 GM)r i (r v) b = GMru u + (r 0 v 2 0 GM)ru i b b = GMr + (r 0 v 2 0 GM)r cos θ, åðåéäþ v v = b, u u = u 2 = 1, u i = cos θ. Ôþñá, b b = b 2 = r 2 0 v2 0 êáé åðïìýíùò r 2 0v 2 0 = GMr + (r 0 v 2 0 GM)r cos θ.
28 2.7. Ïé íüìïé ôïõ Kepler 57 Ëýíïõìå ùò ðñïò r, r = r 2 0 v2 0 r2 GM + (r 0 v0 2 = GM) cos θ 0 v2 0 GM 1 + ( r0 v 2 0 GM 1 ) cos θ üðïõ r = d 1 + ɛ cos θ, d = r2 0 v2 0 GM, êáé ɛ = r 0v 2 0 GM 1. Ç ðéï ðüíù åîßóùóç åßíáé ç åîßóùóç ôçò êùíéêþò ôïìþò. Ç óôáèåñü ɛ êáëåßôáé åêêåíôñüôçôá. Áí ɛ = 0, ôüôå ç êùíéêþ ôïìþ åßíáé êýêëïò. Áí 0< ɛ< 1 åßíáé Ýëëåéøç, áí ɛ = 1 åßíáé ðáñáâïëþ êáé áí ɛ > 1, ôüôå åßíáé õðåñâïëþ. Ôñßôïò íüìïò ôïõ Kepler óôù üôé a åßíáé ï ìåãüëïò çìéüîïíáò êáé b åßíáé ï ìéêñüò çìéüîïíáò. Ôï åìâáäüí ôçò Ýëëåéøçò åßíáé ßóï ìå πab êáé áðü ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Kepler âñßóêïõìå πab = 1 dθ r2 2 T, üðïõ T åßíáé ï ñüíïò ðïõ ñåéüæåôáé Ýíáò ðëáíþôçò ãéá ìéá ðëþñç ðåñéóôñïöþ. Ôþñá, r 2 dθ = r 0v 0 êáé åðïìýíùò πab = 1 2 r 0v 0 T.
29 58 ÊåöÜëáéï 2. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ¼ôáí θ = 0, Ý ïõìå ôçí åëü éóôç áðüóôáóç ôïõ ðëáíþôç áðü ôïí Þëéï êáé üôáí θ = π Ý ïõìå ôç ìýãéóôç áðüóôáóç. ñá Ôþñá, r min = d 1 + ɛ, r max = d 1 ɛ. 2a = r min + r max = a = d 1 ɛ 2 Ãéá ôçí Ýëëåéøç éó ýåé b 2 = a 2 (1 ɛ 2 ) êáé åðïìýíùò b 2 = a 2 d a = ad = ar2 0 v2 0 GM. Áðü ðéï ðüíù d 1 + ɛ + d 1 ɛ = 2d 1 ɛ 2 T 2 = 4π2 a 2 b 2 r 2 0 v2 0 = 4π2 a 2 ar2 0 v2 0 GM r0 2v2 0 = 4π2 GM a3 T 2 a 3 = 4π2 GM. ñá ï ëüãïò T 2 a 3 åßíáé óôáèåñüò.
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότερα10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç
0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ;
63 63 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðïéá áðü ôá óþìáôá ðïõ öáßíïíôáé óôçí åéêüíá êéíïýíôáé A. Ùò ðñïò ôç Ãç B. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï. 5. íá êéíçôü ìåôáôïðßæåôáé áðü ôç èýóç Ì 1 óôç èýóç Ì 2. Íá ó åäéüóåôå
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò
ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÇ áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò
ÊåöÜëáéï 4 Ç áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò åíýñãåéáò 4.1 Ôï Ýñãï óôù ìéá óôáèåñþ äýíáìç F äñü åðß åíüò óùìüôéïõ ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 4.1. Ôï Ýñãï ðïõ ðáñüãåé (Þ êáôáíáëþíåé) ç äýíáìç êáôü
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότερα2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç
2.6 Áðüëõôç Þ ðñáãìáôéêþ ðßåóç Ç ðßåóç ðïõ åîáóêåß Ýíá õãñü Þ Ýíá áýñéï óôï þñï ðïõ âñßóêåôáé, õðïëïãßæåôáé ìå Ýíá üñãáíï ôï ïðïßï ïíïìüæåôáé ìáíüìåôñï. Áí ïñßóïõìå, ëïéðüí, ùò áðüëõôç ðßåóç, ôçí ðñáãìáôéêþ
Διαβάστε περισσότεραÃËÙÓÓÁÑÉ. ÃëùóóÜñé. Áëëçëåðßäñáóç: ÏíïìÜæåôáé ç äéáäéêáóßá Üóêçóçò äõíüìåùí ìåôáîý äýï óùìüôùí.
291 c m y k ÃëùóóÜñé 291 ÃËÙÓÓÁÑÉ Á ÁäñÜíåéá Þ áäñüíåéá ôùí óùìüôùí Þ áäñüíåéá ôçò ýëçò ïíïìüæåôáé ç éäéüôçôá ðïõ Ý ïõí ôá óþìáôá íá áíôéóôýêïíôáé óôç ìåôáâïëþ ôçò êéíçôéêþò ôïõò êáôüóôáóçò. ÁäñáíåéáêÞ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá;
ÊåöÜëáéï 2 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôá åðüìåíá êåöüëáéá, ç Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé áðáñáßôçôç ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ìåñéêýò, íýåò ãéá ìáò, Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò, ïðùò ãéá
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική του Συνεχούς Μέσου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Τανυστικός Λογισμός Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα8. ÁÂÅÂÁÉÏÔÇÔÁ (ÓÖÁËÌÁ) ÌÅÔÑÇÓÇÓ. 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò. Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò
Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 31 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò Óôç äéüôáîç ôçò åéêüíáò 7.5.1 ï ìéêñïûðïëïãéóôþò ìðïñåß íá ìåôñþóåé ôï ñïíéêü äéüóôçìá ðïõ ñåéüæåôáé ãéá íá äéáíýóåé ôï áìáîßäéï ôçí
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραÏé Íüìïé êßíçóçò ôïõ Newton
ÊåöÜëáéï 3 Ïé Íüìïé êßíçóçò ôïõ Newton Óå áõôü ôï êåöüëáéï èá åîåôüóïõìå ôéò ó Ýóåéò ìåôáîý ôùí äõíüìåùí êáé ôïõ áðïôåëýóìáôoò ðïõ áõôýò ðñïêáëïýí, äçëáäþ ôçí êßíçóç. Ïé ó Ýóåéò áõôýò ðïõ áðïôåëïýí èåìåëéþäåéò
Διαβάστε περισσότεραÇëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç
êåöüëáéï Çëåêôñéêü Ðåäßï - Íüìïé & ÂáóéêÜ ÌåãÝèç Ç ëýîç çëåêôñéóìüò óõíþèùò ìáò ìåôáöýñåé óå åéêüíåò ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óýã ñïíç ôå íïëïãßá, üðùò öþò êáé çëåêôñéêþ åíýñãåéá, êéíçôþñåò, çëåêôñïíéêü êõêëþìáôá
Διαβάστε περισσότερα6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x
Διαβάστε περισσότεραÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ:  ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:
ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí
Διαβάστε περισσότεραÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. ÄõíáìéêÞ óå ìßá äéüóôáóç. 1. Íá áíáöýñåôå ðáñáäåßãìáôá áðü ôá ïðïßá íá öáßíåôáé üôé ç äýíáìç åßíáé äéáíõóìáôéêü
101 c m y k ÄõíáìéêÞ óå ìßá äéüóôáóç 101 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðáñáäåßãìáôá áðü ôá ïðïßá íá öáßíåôáé üôé ç äýíáìç åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìýãåèïò. 2. ÐåñéãñÜøôå áðëü ðåßñáìá áðü ôï ïðïßï íá öáßíåôáé
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραËÕÓÇ ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÙÍ ÁÐÅÉÑÏÓÔÉÊÏÕ ËÏÃÉÓÌÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇ ÔÏÕ MAPLE
ËÕÓÇ ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÙÍ ÁÐÅÉÑÏÓÔÉÊÏÕ ËÏÃÉÓÌÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇ ÔÏÕ MAPLE . Ôï åã åéñßäéï áõôü Ý åé åôïéìáóôåß áðü ôç ñéóôßíá Ôóáïýóç óôá ðëáßóéá ôïõ åñåõíçôéêïý Ýñãïõ ìå ôßôëï "Áóýã ñïíç ôçëåêðáßäåõóç Áíþôåñùí Ìáèçìáôéêþí
Διαβάστε περισσότεραÅõèýãñáììç êßíçóç. 1.1 Åõèýãñáììç êßíçóç
33 c m y k Åõèýãñáììç êßíçóç 33 1.1 Åõèýãñáììç êßíçóç c m y k 34 34 Åõèýãñáììç êßíçóç Ðþò èá ìðïñïýóå íá ðåñéãñáöåß ç êßíçóç åíüò áãùíéóôéêïý áõôïêéíþôïõ; Ðüóï ãñþãïñá êéíåßôáé ç ìðüëá ðïõ êëþôóçóå Ýíáò
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
Διαβάστε περισσότεραÓåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:
ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Óõìðëçñþóôå ìå ôç óùóôþ Þ ôéò óùóôýò ðñïôüóåéò ôçí ðáñáêüôù öñüóç: Ç çëåêôñéêþ ðçãþ
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραà ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ. ÈÅÌÁ 1ï
1 Ã ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ ÈÅÌÁ 1ï Óôéò åñùôþóåéò 1 4 íá ãñüøåôå óôï ôåôñüäéü óáò ôïí áñéèìü ôçò åñþôçóçò êáé äßðëá ôï ãñüììá ðïõ áíôéóôïé åß óôç óùóôþ áðüíôçóç. 1.
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότερα