Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Καταστατικές Σχέσεις Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ÊåöÜëáéï 5 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ðñïçãïýìåíï êåöüëáéï áíáöåñèþêáìå óôïõò ãåíéêïýò íüìïõò ôçò Ìç áíéêþò üðùò áõôïß åöáñìüæïíôáé óå Ýíá óõíå Ýò ìýóï. Áðü áõôýò ôéò ãåíéêýò áñ Ýò êáôáëþîáìå óå Ýíá óýíïëï áðü äéáöïñéêýò åîéóþóåéò (êáé óõíïñéáêýò óõíèþêåò) ðïõ äéýðïõí ôçí êßíþóç Þ ôçí éóïññïðßá üëùí áíåîáéñýôùò ôùí õëéêþí, áíåîáñôþôùò áí ðñüêåéôáé ãéá ñåõóôü Þ óôåñåü. Áò áíáêåöáëáéþóïõìå üìùò áõôýò ôéò ãåíéêýò åîéóþóåéò: ÄéáôÞñçóç + div( v) = (5.1) Éóïæýãéï ïñìþò div ô + ñb ñ v = 0; (5.2) ÄéáôÞñçóç åíýñãåéáò ñ Då De + div q ô : ñh = 0: Dt Dt (5.3) ÎÝñïõìå üìùò üôé Ýíá ñåõóôü óõìðåñéöýñåôáé ðïëý ðéï äéáöïñåôéêü áðü üôé Ýíá óôåñåü. Áêüìç êáé äýï äéáöïñåôéêü óôåñåü õëéêü, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá ôï áëïõìßíéï êáé ï Üëõâáò, áíôéäñïýí äéáöïñåôéêü óôéò ßäéåò åîùôåñéêýò öïñôßóåéò. ÅðïìÝíùò ïé åîéóþóåéò ðïõ Ý ïõìå ðáñüãåé ìý ñé ôþñá åßíáé áñêåôü ãåíéêýò êáé äåí ìðïñïýí íá ðåñéãñüøïõí ôç óõìðåñéöïñü äéáöïñåôéêþí õëéêþí. ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå üôé ç ôñßôç åîßóùóç (ç åî, (5.3)) ó åôßæåôáé êõñßùò ìå ôá öáéíüìåíá ìåôáöïñüò èåñìüôçôáò. Ãé' áõôü óõ íá üôáí ïé èåñìéêïß ðáñüãïíôåò äåí ðáßæïõí éäéáßôåñá óçìáíôéêü ñüëï áãíïåßôáé. Ãéá íá êüíïõìå ôá ðñüãìáôá áðëïýóôåñá, áò õðïèýóïõìå üôé äåí õðüñ ïõí èåñìéêýò äéåñãáóßåò (ãéá ðáñüäåéãìá üëåò ïé äéáäéêáóßåò ëáìâüíïõí þñá óå óôáèåñþ êáé ìïéüìïñöç óå üëï ôï óþìá èåñìïêñáóßá) êáé üôé üëá ôá öáéíüìåíá åßíáé áíôéóôñåðôü. Ó' áõôþ ôçí ðåñßðôùóç, ç åîßóùóç ôçò åíýñãåéáò áðïôåëåß ìéá

4 108 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò ôáõôüôçôá ãéá ôçí üðïéá ëýóç, åðïìýíùò äåí ñåéüæåôáé íá ôçí ëüâïõìå õðüøç ìáò, ìå ôçí Ýííïéá üôé üðïéá ëýóç âñïýìå èá ãíùñßæïõìå åê ôùí ðñïôýñùí üôé èá ðëçñåß åðßóçò êáé ôçí åî. (5.3). ôóé èá Ý ïõìå íá åðéëýóïõìå Ýíá óýóôçìá ðïõ èá áðïôåëåßôáé ìüíï áðü ôéò äõï ðñþôåò, äçëáäþ ôçí åîßóùóç óõíý åéáò (åî. (5.1)) êáé ôçí åîßóùóç ôçò êßíçóçò (åî. (5.2)). Áêüìç êáé óå áõôþ ôçí áðëþ ðåñßðôùóç èá ðñýðåé íá õðïëïãßóïõìå ôéò ôüóåéò (Ýîé Üãíùóôåò óõíáñôþóåéò), ôéò ôá ýôçôåò (ôñåéò Üãíùóôåò óõíáñôþóåéò) êáé ôçí ðõêíüôçôá (ìéá óõíüñôçóç). Ïé ìáæéêýò äõíüìåéò b Ý ïõí ó Ýóç ìå ôçí åðßäñáóç ôïõ åîùôåñéêïý ðåñéâüëëïíôïò åðß ôïõ óþìáôïò, åðïìýíùò èá åßíáé óôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò. Åðßóçò, ìå ôçí åðßäñáóç ôïõ åîùôåñéêïý ðåñéâüëëïíôïò ó åôßæåôáé ç öüñôéóç 1 p åðß ôçò åîùôåñéêþò åðéöüíåéáò ôïõ óþìáôïò. ñá èá ðñýðåé êáé áõôþ íá äßíåôáé åî áñ Þò. Áò ðáñáôçñþóïõìå åðßóçò üôé ç åî. (5.2) Ý åé Ýîé óõíéóôþóåò (äçëáäþ ïõóéáóôéêü ðñüêåéôáé ãéá Ýîé åîéóþóåéò). ÅðïìÝíùò Ý ïõìå íá åðéëýóïõìå Ýíá óýóôçìá åðôü åîéóþóåùí ãéá íá õðïëïãßóïõìå 10 Üãíùóôåò óõíáñôþóåéò. ÁöÞíïíôáò, ãéá ôçí þñá, êáôü ìýñïò ôéò óõíïñéáêýò Þ áñ éêýò óõíèþêåò ðïõ ïõóéáóôéêü ó åôßæïíôáé ìå ôç ìïíáäéêüôçôá ôçò ëýóçò, ìðïñïýìå åê ôïõ áóöáëïýò íá éó õñéóôïýìå üôé ôï óýóôçìá (5.1){(5.2) äåí åðéëýåôáé. Ãßíåôáé ëïéðüí öáíýñï üôé ñåéáæüìáóôå åðéðëýïí ó Ýóåéò ðïõ èá êáèéóôïýí ôï óýóôçìá åðéëýóéìï. Åßíáé åýëïãï ïé åîéóþóåéò (5.1){(5.3) íá ìç ìðïñïýí íá äéáêñßíïõí ìåôáîý ôùí äéáöüñåôéêþí õëéêþí ãéáôß ðñüêåéôáé ãéá ãåíéêýò áñ Ýò ðïõ äéýðïõí ôçí êßíçóç Þ ôçí éóïññïðßá ôçò ýëçò üôáí ôç èåùñïýìå óõíå Þ. Ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ôç óõìðåñéöïñü åíüò óõãêåêñéìýíïõ õëéêïý èá ðñýðåé íá ðñïóèýóïõìå êáé Üëëåò ðëçñïöïñßåò üðùò ãéá ðáñüäåéãìá áí ðñüêåéôáé ãéá áýñéï Þ õãñü. Áí åßíáé áýñéï, ôüôå ìðïñïýìå íá éó õñéóôïýìå üôé üëåò ïé äéáôìçôéêýò óõíéóôþóåò ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò åßíáé ìçäåíéêýò ãéáôß Ýíá áýñéï äåí ìðïñåß íá áíôéóôáèåß óå äéüôìçóç. Êáé Ýíá õãñü èá ìðïñïýóå íá Ý åé ìçäåíéêýò äéáôìçôéêýò ôüóåéò áí åßíáé ëåðôüñåõóôï üðùò ãéá ðáñüäåéãìá ôï íåñü. Áí üìùò åßíáé ðá ýñåõóôï, ôüôå üôáí âñßóêåôáé óå êßíçóç ïé äéáôìçôéêýò ôüóåéò èá åßíáé ìç{ìçäåíéêýò. Ðïëý ìåãüëõôåñåò äéáôìçôéêýò ôüóåéò èá áíáðôýóïõí ôá óôåñåü ðïõ áíôéóôýêïíôáé éó ýñá óôç äéüôìçóç áêüìç êáé óôçí éóïññïðßá. ¼ëá ôá ðáñáðüíù äåß íïõí üôé, åêôüò áðü ôéò ãåíéêýò áñ Ýò ôçò Ìç áíéêþò ðïõ äéýðïõí ôá óõíå Þ ìýóá, ñåéüæïìáóôå åðéðëýïí ðëçñïöïñßåò ðïõ ó åôßæïíôáé ìå ôï óõãêåêñéìýíï õëéêü, ôçí êßíçóç ôïõ ïðïßïõ èýëïõìå íá ðåñéãñüøïõìå. ÁõôÝò ïé åðéðëýïí ó Ýóåéò áöåíüò èá áñáêôçñßæïõí ôá åðéìýñïõò õëéêü êáé áöåôýñïõ èá "êëåßíïõí" ôï Ýëëåéìá ìåôáîý ôïõ áñéèìïý ôùí åîéóþóåùí êáé ôùí áãíþóôùí óõíáñôþóåùí ðïõ ðåñéãñüøáìå ðáñáðüíù. Èá êáèéóôü äçëáäþ ôï óýóôçìá (5.1){(5.2) åðéëýóéìï. 1 Aí êáé äåí åìöáíßæïíôáé åäþ! Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

5 5.2 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò Ó' áõôþ ôçí ðáñüãáöï èá åéóüãïõìå ôéò åðéðëýïí õðïèýóåéò ðïõ èá ó åôßæïíôáé ìå ôéò éäéüôçôåò ôùí åðéìýñïõò õëéêþí. ¼ëåò áõôýò ïé åðéðëýïí ó Ýóåéò èá ôéò áðïêáëïýìå êáôáóôáôéêýò ó Ýóåéò Þ õðïèýóåéò. ñçóéìïðéïýìå ôïí üñï êáôáóôáôéêýò õðïèýóåéò ãéá íá õðïãñáììßóïõìå ôï ãåãïíüò üôé óôçí ðñáãìáôéêüôçôá áöïñïýí õðïèåôéêü Þ éäáíéêü õëéêü. Ôá ðñáãìôéêü õëéêü äåí äéýðïíôáé ðëþñùò áðü ôéò êáôáóôáôéêýò ó Ýóåéò, áëëü áñáêôçñßæïíôáé áðü áõôýò óå ìåãáëýôåñï Þ ìéêñüôåñï âáèìü êüôù áðü óõãêåêñéìýíåò óõíèþêåò öüñôéóçò, èåñìïêñáóßáò êôë. íá ðñáãìáôéêü õëéêü ìðïñåß ãéá êüðïéåò öõóéêýò óõíèþêåò íá áñáêôçñßæåôáé áðü ìéá êáôáóôáôéêþ ó Ýóç êáé ãéá êüðïéåò Üëëåò áðü Üëëç. Ïé êáôáóôáôéêýò õðïèýóåéò áöïñïýí åßôå óôéò êéíçìáôéêýò ìåôáâëçôýò (ìåôáôïðßóåéò, ôñïðýò, ôá ýôçôåò) åßôå óôéò ôüóåéò Þ ôåëüò, óôéò ó Ýóåéò áíüìåóá óôéò ôüóåéò êáé ôéò êéíçìáôéêýò ìåôáâëçôýò. ôóé ìðïñïýìå íá äéáêñßíïõìå ôñéþí åéäþí êáôáóôáôéêýò õðïèýóåéò: (i) Ðåñéïñéóìïß åðß ôùí êéíçìáôéêþí ìåôáâëçôþí. íá ôýôïéï ðáñüäåéãìá åßíáé ç õðüèåóç ôïõ áðüëõôá óôåñåïý óþìáôïò, óýìöùíá ìå ôçí ïðïßá ïé áðïóôüóåéò ìåôáîý ôùí õëéêþí óçìåßùí ôïõ óþìáôïò ðáñáìýíïõí óôáèåñýò. íá äåýôåñï ðáñüäåéãìá áðïôåëåß ç ëåãüìåíç õðüèåóç ôçò áóõìðéåóôüôçôáò, óýìöùíá ìå ôçí ïðïßá ï üãêïò ôïõ óþìáôïò óôçí áðáñáìüñöùôç êáé óå ïðïéáäþðïôå ðáñáìïñöùìýíç êáôüóôáóç ðáñáìýíåé ßäéïò. ôóé, ìüíï åêåßíåò ïé ðáñáìïñöþóåéò ðïõ äéáôçñïýí ôïí üãêï ôïõ óþìáôïò åßíáé áðïäåêôýò. ÁõôÞ ç õðüèåóç åßíáé êáôüëëçëç ãéá ðïëëü õãñü ðïõ óå ó åôéêü áìçëýò öïñôßóåéò ìðïñïýí íá èåùñçèïýí áóõìðßåóôá. (ii) Ðåñéïñéóìïß óôç ìïñöþ ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôüóåùí. Áò ìç îå íïýìå üôé ï ôáíõóôþò ôüóçò åêöñáæåé ôéò äõíüìåéò óõíï Þò ðïõ ïöåßëïíôáé óôéò ìïñéáêýò äõíüìåéò åêáôýñùèåí ìéáò åðéöüíåéáò óôï åóùôåñéêü ôïõ óþìáôïò 2. ÅðïìÝíùò, ç éäéáßôåñç öýóç åíüò óþìáôïò, äçëáäþ ôï åßäïò ôùí äéáìïñéáêþí äõíüìåùí ìðïñåß íá èýóåé ðåñéïñéóìïýò óôç ìïñöþ ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò. íá ôýôïéï ðáñüäåéãìá áðïôåëåß ç õðüèåóç ôùí éäáíéêþí ñåõóôþí, óýìöùíá ìå ôçí ïðïßá ï ôáíõóôþò ôüóçò åßíáé Ýíáò éóïôñïðéêüò ôáíõóôþò, äçëáäþ åßíáé ôçò ìïñöþò ô ij = ðä ij. (iii) ÊáôáóôáôéêÝò ó Ýóåéò ìåôáîý ôùí ôüóåùí êáé ôùí êéíçìáôéêþí ìåôáâëçôþí. Ï íüìïò ôïõ Hooke ðïõ óõíäýåé ôéò ôüóåéò ìå ôéò ôñïðýò óôçí ãñáììéêþ åëáóôéêüôçôá åßíáé ßóùò ôï ðéï êëáóóéêü ðáñüäåéãìá êáôáóôáôéêþò ó Ýóçò áõôþò ôçò êáôçãïñßáò. ÐñÝðåé íá óçìåéùóïõìå üôé üëåò ïé êáôáóôáôéêýò õðïèýóåéò ðñïýñ ïíôáé áðü ôçí åìðåéñßá 3, äçëáäþ áðü ôï ðåßñáìá. Ïé êáôáóôáôéêýò õðïèýóåéò áöïñïýí åßôå óå êáôçãïñßåò õëéêþí 2 Ãéá ðåñéóóüôåñåò ëåðôïìýñåéåò âëýðå "ÊåöÜëáéá Ìç áíéêþò Ñåõóôþí êáé Óôåñåþí", Ç.. ÁûöáíôÞ, Åêäüóåéò Áñéóôïôåëåßïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Èåóóáëïíßêçò, Èåóóáëïíßêç, Ôéò ôåëåõôáßåò äåêáåôßåò õðþñîáí ðïëý áîéüëïãåò ðñïóðüèåéåò íá ðáñá èïýí èåùñçôéêü êáôáóôáôéêýò ó Ýóåéò ìå ôçí åðßêëçóç ãåíéêþôåñùí áñ þí üðùò åßíáé ãéá ðáñüäåéãìá ç áñ Þ ôçò áíôéêåéìåíéêüôçôáò ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

6 110 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò åßôå óå Ýíá óõãêåêñéìåíü õëéêü. Ãéá ðáñüäåéãìá ìéá êáôçãïñßá õëéêþí 4 äéýðåôáé áðü ìéá êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôéò ôñïðýò ìå ôéò ôüóåéò êáé Ý åé ôç ìïñöþ e ij = 1 + í Å ô ij í Å ô kkä ij ; (5.4) äéýðåé ìéá ïëüêëçñç êáôçãïñßá óôåñåþí õëéêþí ðïõ áñáêôçñßæïíôáé ùò ãñáììéêü, åëáóôéêü õëéêü. Ôá Å êáé í åßíáé óôáèåñýò ðïõ áñáêôçñßæïõí ôï êüèå îå ùñéóôü ãñáììéêü åëáóôéêü õëéêü, ãé' áõôü ïíïìüæïíôáé õëéêýò óôáèåñýò. Ãéá ðáñüäåéãìá, ï áëêüò êáé ï Üëõâáò ðïõ ìý ñé åíüò ïñßïõ óõìðåñéöýñïíôáé ùò ãñáììéêü åëáóôéêü êáé éóüôñïðá õëéêü áñáêôçñßæïíôáé áðï ôéò áêüëïõèåò ôéìýò ãéá ôéò õëéêýò óôáèåñýò: Áëïõìßíéï Å = 100 GPa; í = 0:33; Üëõâáò Å = 300 GPa; í = 0:28: ÐáñÜäåéãìá Ãéá íá áíôéëçöèïýìå êáëýôåñá ôï íüçìá ôçò êáôáóôáôéêþò õðüèåóçò áò èåùñþóïõìå Ýíá Üëêéíï êáëþäéï ìþêïõò 10 m. Áãíïþíôáò ôï âüñïò, íá õðïëïãéóôåß ç äýíáìç ðïõ ðñýðåé íá áóêþóïõìå þóôå ôï êáëþäéï íá åðéìçêõíèåß êáôü 5 cm. Ìå ôç âïþèåéá ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò 2 ôçò ÐáñáãñÜöïõ 3.2 åýêïëá óõìðåñáßíïõìå üôé ç áðåéêüíéóç ôçò ðáñáìüñöùóçò åßíáé x 1 = 1:005 X 1 : ÅðïìÝíùò ôï äéüíõóìá ôçò ìåôáôüðéóçò áðü ôç ó Ýóç (3.10) ãßíåôáé u 1 = x 1 X 1 = 1:005 X 1 1 = 0:005 1 ; u 2 = 0; u 3 = 0: Ç ìïíáäéêþ ìç{ìçäåíéêþ ôñïðþ õðïëïãßæåôáé áðü ôç ó Ýóç (3.29) e = 0:005: ÅðåéäÞ ôï ðñüâëçìá åßíáé ìïíïäéüóôáôï éó ýåé ô 22 = ô 33 = 0: (objectivity). Ãéá ðåñéóóüôåñåò ðëçñïöïñßåò âëýðå "Continuum Mechanics. Concise Theory and Problems", P. Chadwick, George Allen & Unwin Ltd, London, Ãéá ðåñéóüôåñåò ëåðôïìýñåéåò ðáñáðýìðïõìå óôçí ðáñüãñáöï ðïõ Ýðåôáé. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

7 5.2 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò 111 Ó Þìá 5.1. Ôï Üëêéíï êáëþäéï åðéìçêýíåôáé õðü ôçí åðßäñáóç áîïíéêþò äýíáìçò. ÅðéóôÝöïõìå ôþñá óôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.4), ç ïðïßá ãéá ôï ìïíïäéüóôáôï ðñüâëçìá ðïõ åîåôüæïõìå ãßíåôáé: e 11 = 1 + í Å ô 11 í Å ô kkä 11 = 1 + í Å ô 11 í Å (ô 11 + ô 22 + ô 33 ) = 1 + í Å ô 11 í Å ô 11 e 11 = 1 Å ô 11: (5.5) Ç ðáñáðüíù ó Ýóç äéýðåé üëá ôá ìïíïäéüóôáôá ãñáììéêü åëáóôéêü óþìáôá. Åìåßò åíäéáöåñüìáóôå ãéá Ýíá êáëþäéï áðü áëêü, Üñá èá áíôéêáôáóôþóïõìå ôçí êáôüëëçëç ôéìþ ôçò óôáèåñüò Å óôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.5): ô 11 = Åe 11 = 100 0:005 GPa = 0:5 GPa: Óçìåéþíïõìå üôé åðåéäþ ôï ðñüâëçìá åßíáé ìïíïäéüóôáôï ïõóéáóôéêü ç ïñèþ ôüóç ô 11 èá ôáõôßæåôáé ìå ôçí áîïíéêþ äýíáìç êáôü ìþêïò ôïõ 1. ÅðïìÝíùò, ç æçôïýìåíç äýíáìç ðïõ ðñïêüëåóå ôçí åðéìþêõíóç åßíáé 0: Í. Ðïéá èá Þôáí ç äýíáìç óôï ßäéï ðñüâëçìá áí ôï êáëþäéü Þôáí êáôáóêåõáóìýíï áðü Üëõâá; ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

8 112 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò ÓôåñåÜ êáé ñåõóôü Ãåíéêþò ôüóï óôá óôåñåü üóï êáé óôá ñåõóôü ìýóá, ç ó åôéêþ èýóç ìåôáîý äýï õëéêþí óçìåßùí ìðïñåß íá ìåôáâëçèåß õðü ôçí åðßäñáóç åîùôåñéêþí äõíüìåùí. Ôá óôåñåü äéáèýôïõí åóùôåñéêþ äïìþ áíüëïãá ìå ôçí ïðïßá áñáêôçñßæïíôáé ùò êñõóôáëëéêü, ðïëõìåñþ Þ êåñáìéêü õëéêü. ÈåùñçôéêÜ, üôáí ôï óþìá åßíáé óå çñåìßá ùñßò ôçí åðßäñáóç åîùôåñéêþí äõíüìåùí áõôþ ç åóùôåñéêþ äïìþ ðñïóäßäåé óôï óþìá ôï ó Þìá ôïõ ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò (ÂëÝðå Ðáñáãñáöï 3.2.2). Ôá óôåñåü áíôéäñþíôáò óôéò åîùôåñéêýò äõíüìåéò ðñïóðáèïýí, óôï âáèìü ðïõ äåí áóôï ïýí, íá äéáôçñþóïõí ôç äïìþ ôïõò. ôóé, ìý ñé ó' Ýíá óõãêåêñéìýíï åðßðåäï åîùôåñéêþò öüñôéóçò, ôá óôåñåü ðáñáìïñöþíïíôáé üóï ç åóùôåñéêþ ôïõò äïìþ ôï åðéôñýðåé. Ì' áõôü ôïí ôñüðï ç ó åôéêþ èýóç ìåôáîý äýï óçìåßùí ìðïñåß êáôü ôç êßíçóç ôïõ óôåñåïý íá ìåôáâëçèåß åíôüò ôïõ ðëáéóßïõ ðïõ åðéôñýðåé ç åóùôåñéêþ äïìþ ôïõ. Áíôßèåôá ìå ôá óôåñåü, óôá ñåõóôü ç èýóç ìåôáîý äýï óçìåßùí ìðïñåß íá ìåôáâëçèïýí óçìáíôéêü äåäïìýíïõ üôé äåí ðåñéïñßæåôáé áðü êüðïéá åóùôåñéêþ äïìþ. Ìå ìéá Ýííïéá, ï ó çìáôéóìüò áíáöïñáò ôïõ ñåõóôïý êáèïñßæåôáé áðü ôéò åîùôåñéêýò äõíüìåéò ðïõ äñïõí åðüíù ôïõ ãé' áõôü êáé ðáßñíïõí ôï ó Þìá áðü ôï äï åßï óôï ïðïßï ðåñéý ïíôáé. Åßíáé ãíùóôü áðü ôçí åìðåéñßá ìáò üôé ôá ñåõóôü äåí ìðïñïýí íá áíôéóôáèïýí óå äéáôìçôéêýò ôüóåéò, ìå ôçí Ýííïéá üôé Ýóôù êáé ìéá ìéêñþ äéáôìçôéêþ äýíáìç ðñïêáëåß êßíçóç êáé óõíáêüëïõèá ðáñáìüñöùóç ôïõ ñåõóôïý. Èá ìðïñïýóáìå íá ïñßóïõìå ùò ñåõóôü êüèå óõíå Ýò ìýóï ðïõ õðü ôçí åðßäñáóç ìéáò äéáôìçôéêþò ôüóçò êéíåßôáé (ðáñáìïñöþíåôáé) óõíå þò. Ôüôå, ðñïöáíþò öôüíïõìå óôï óõìðýñáóìá üôé áí Ýíá ñåõóôü âñßóêåôáé óå éóïññïðßá, ôüôå ïé äéáôìçôéêýò ôïõ ôüóåéò åßíáé ìçäåíéêýò. 5.3 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá óôåñåü ÉäáíéêÜ åëáóôéêü ìýóá Áðü ôçí êëáóóéêþ ìç áíéêþ ãíùñßæïõìå üôé ç äýíáìç ðïõ äñü åðß åíüò åëáôçñßïõ åîáñôüôáé ìüíï áðü ìåôáâïëþ ôïõ ìþêïõò ôïõ åëáôçñßïõ êáèþò åðßóçò üôé áí ç äýíáìç áñèåß ôï åëáôþñéï èá åðáíýëèåé óôçí áñ éêþ ôïõ (öõóéêþ) êáôüóôáóç. Ìðïñïýìå íá ãåíéêåýóïõìå áõôýò ôéò Ýííïéåò ìå ôïí áêüëïõèï ïñéóìü Ïñéóìüò Åíá óôåñåü èá áðïêáëåßôáé éäáíéêü åëáóôéêü ìýóï áí åðáíáêôü ðëþñùò ôçí áñ éêþ ôïõ ìïñöþ üôáí ïé äõíüìåéò ðïõ ôï ðáñáìïñöþíïõí áñèïýí êáé áí ç åíôáôéêþ ôïõ êáôüóôáóç ðñïóäéïñßæåôáé ìïíïóþìáíôá áðü ôçí ðáñáìüñöùóôéêþ ôïõ êáôüóôáóç êáé Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

9 5.3 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá óôåñåü 113 áíôéóôüöùò ç ðáñáìïñöùôéêþ ôïõ êáôüóôáóç ðñïóäéïñßæåôáé ìïíïóþìáíôá áðü ôçí åíôáôéêþ ôïõ êáôüóôáóç. Ôï ðñþôï ìýñïò ôïõ ïñéóìïý ìáò åîáóöáëßæåé üôé ôá åëáóôéêü ìýóá Ý ïõí ìéá öõóéêþ áðáñáìüñöùôç êáôüóôáóç ðïõ óõíþèùò ôçí ôáõôßæïõìå ìå ôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò. Ç äåýôåñç áðáßôçóç ôïõ ïñéóìïý ìáò åîáóöáëßæåé üôé õðüñ åé ìéá áìöéìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç ìåôáîý ôïõ ôáíéóôþ ôùí ôüóåùí ðïõ ðåñéãñüöåé ôçí åíôáôéêþ êáôüóôáóç êáé ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí ðïõ ðåñéãñüöåé ôçí ðáñáìïñöùôéêþ êáôüóôáóç. Ì' Üëëá ëüãéá õðüñ åé ìéá áíôéóôñýøéìç óõíüñôçóç f (Þ f ij ) ôýôïéá þóôå Þ ô = f(e) (5.6) ô ij = f ij (e kl ) (5.7) Ðñïöáíþò ç (5.6) áðïôåëåß ìéá êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôéò ôüóåéò ìå ôéò ôñïðýò. Ç ïõóßá ôçò âñßóêåôáé óôï ãåãïíüò üôé áí ãíùñßæïõìå ôéò ôüóåéò óå ìéá ïðïéáäþðïôå ñïíéêþ óôéãìþ ìðïñïýìå íá ðñïóäéïñßóïõìå ðëþñùò ôçí ðáñáìüñöùóç ôïõ óþìáôïò, áíåîáñôþôùò ôùí ðñïãåíåóôýñùí ðáñáìïñöùôéêþí êáôáóôüóåùí ðïõ Ý åé Þäç õðïóôåß ôï óþìá. ÄçëáäÞ ç åíôáôéêþ êáôüóôáóç êáé ç ðáñáìüñöùóç ôïõ ìýóïõ äåí åîáñôüôáé áðü ôçí éóôïñßá ôçò ðáñáìüñöùóçò (Þ ôçò öüñôéóçò). ÖõóéêÜ óôá ðñáãìáôéêü õëéêü ðáñïõóéüæïíôáé öáéíüìåíá ðïõ äåí êáëýðôïíôáé áðü ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.6). ÔÝôïéá ðáñüäåéãìáôá åßíáé ôï öáéíüìåíï ôïõ åñðõóìïý õðü óôáèåñþ ôüóç, äçëáäþ ç ìåôáâïëþ ôçò ðáñáìüñöùóçò ùñßò áíôßóôïé ç ìåôáâïëþ ôçò ôüóçò êáèþò êáé ôï öáéíoìýíï ôçò áëüñùóçò, äçëáäþ ç ìåßùóç ôçò ôüóçò õðü óôáèåñþ ðáñáìüñöùóç Ôá ãñáììéêü åëáóôéêü ìýóá Óôçí ðñüîç óôá ðåñéóóüôåñá õëéêü êáé éäéáßôåñá óôá ìýôáëëá Þ óôá êåñáìéêü åßíáé áñêåôü íá èåùñþóïõìå üôé ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.7) åßíáé ãñáììéêþ. Ç ðéï ãåíéêþ ãñáììéêþ ó Ýóç ìåôáîý ôáíõóôéêþí ìåãåèþí (åí ðñïêåéìýíù ïé ôáíõóôýò ôüóåùí êáé ôñïðþí) èá åßíáé ôçò ìïñöþò ô ij = c ijkl e kl : (5.8) Ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.8) áíáöýñåôáé ùò ãåíéêåõìýíïò íüìïò ôïõ Hooke. ÅðåéäÞ ïé ô ij êáé e kl åßíáé ôáíõóôýò 2çò ôüîçò ï c ijkl èá åßíáé õðï ñåùôéêü ôáíõóôþò 4çò ôüîçò. Ðñïöáíþò ï c ijkl èá ó åôßæåôáé ìå ôéò éäéüôçôåò ôïõ åðéìýñïõò õëéêïý, äçëáäþ ïé óõíéóôþóåò ôïõ áðïôåëïýí ôéò õëéêýò óôáèåñýò { áíáöýñïíôáé åðßóçò êáé ùò åëáóôéêýò óôáèåñýò { ðïõ áñáêôçñßæïõí ôï êüèå îå ùñéóôü õëéêü. Åðßóçò, åðåéäþ ôüóï ï ôáíõóôþò ôùí ôüóåùí üóï êáé ï ôáíõóôþò ôùí ôñïðþí åßíáé óõììåôñéêïß, ï ôáíõóôþò c ijkl èá åßíáé åðßóçò óõììåôñéêüò ùò ðñïò ôïõ äåßêôåò ij êáé kl, áíôéóôïß ùò. ÄçëáäÞ èá éó ýïõí ïé ó Ýóåéò c ijkl = c jikl êáé c ijkl = c ijlk : (5.9) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

10 114 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò ôóé ï ôáíõóôþò c ijkl èá Ý åé 36 áíåîüñôçôåò óõíéóôþóåò áíôß ãéá 81. Åðßóçò, ç (5.8) ìðïñåß íá áíáëõèåß óå Ýîé ó Ýóåéò (áíôß ãéá åííéü) ùò áêïëïýèùò ô 1 c 11 c 12 c 13 c 14 c 15 c 16 e 1 ô 2 c 21 c 22 c 23 c 24 c 25 c 26 e 2 ô 3 ô 4 = c 31 c 32 c 33 c 34 c 35 c 36 e 3 c 41 c 42 c 43 c 44 c 45 c 46 e 4 ; (5.10) ô 5 c 51 c 52 c 53 c 54 c 55 c 56 e 5 ô 6 c 61 c 62 c 63 c 64 c 65 c 66 e 6 üðïõ ïé Ýîé äéáöïñåôéêýò óõíéóôþóåò ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ ôüóçò êáé ôñïðþí Ý ïõí äéáôá èåß óå äéáíýóìáôá ìå Ýîé óõíéóôþóåò. Ç áñßèìçóç ôùí ôüóåùí óôçí ðáñáðüíù ó Ýóç ó åôßæïíôáé ìå ôéò áíôßóôïé åò óõíéóôþóåò ôùí ôáíõóôþí ùò åîþò: ô 1 = ô 11 ô 2 = ô 22 ô 3 = ô 33 ô 4 = ô 23 ô 5 = ô 13 ô 6 = ô 12 e 1 = e 11 e 2 = e 22 e 3 = e 33 e 4 = 2e 23 e 5 = 2e 13 e 6 = 2 12 (5.11) Ì' áõôü ôïí ôñüðï ïé õëéêýò óôáèåñýò óõãêåíôñþíïíôáé óå Ýíá 6 6 ìçôñþï ðïõ èá ôïí áíáöýñïõìå ùò ìçôñþï ôùí õëéêþí óôáèåñþí. Ì' Üëëá ëüãéá èá ðñýðåé íá ãíùñßæïõìå 36 äéáöïñåôéêýò õëéêýò óôáèåñýò ãéá íá ðñïóäéïñßóïõìå ðëþñùò ôç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç åíüò ãñáììéêïý åëáóôéêïý õëéêïý. íá õëéêü ìå 36 õëéêýò óôáèåñýò åßíáé Ýíá ðëþñùò áíéóïôñïðéêü õëéêü, äçëáäþ Ýíá õëéêü ðïõ ðáñïõóéüæåé äéáöïñåôéêþ óõìðåñéöïñü óå êüèå äéåýèõíóç. Ì' áëëü ëüãéá óå Ýíá ðåßñáìá ìïíïáîïíéêïý åöåëêõóìïý ôï õëéêü èá áíáðôýóåé äéáöïñåôéêþ ôüóç ãéá ôçí ßäéá ôñïðþ áíüëïãá ìå ôç äéåýèõíóç, ìýóá óôï õëéêü, ðïõ åðéëýãïõìå ãéá íá ðñáãìáôïðïßçóïõìå ôï ðåßñáìá. Ï áñéèìüò ôùí õëéêþí óôáèåñþí ìðïñåß íá ìåéùèåß áí õðüñ ïõí åðßðåäá óõììåôñßáò ó' Ýíá õëéêü. Ãéá ðáñüäåéãìá, áí õðüñ åé Ýíá åðßðåäï óõììåôñßáò óôï õëéêü ï áñéèìüò ôùí õëéêþí óôáèåñþí õðïâéâüæåôáé óå 20 êáé ôï ìçôñþï ôùí õëéêþí óôáèåñþí ðáßñíåé ôç ìïñöþ c 11 c 12 c c 16 c 21 c 22 c c 26 c 31 c 32 c c c 44 c c 54 c 55 0 c 61 c 62 c c 66 : (5.12) ÐáñáôçñÞóôå üôé áí Ýíá ãñáììéêü åëáóôéêü õëéêü Ý åé Ýíá åðßðåäï óõììåôñßáò, äçëáäþ áí ç óõìðåñéöïñü ôïõ áñáêôçñßæåôáé áðü ôï ìçôñþï ôùí õëéêþí óôáèåñþí (5.12), ìðïñåß íá áíáðôýîåé ïñèýò ôüóåéò áêüìá êáé óôçí ðåñßðôùóç ôçò êáèáñü äéáôìçôéêþò ðáñáìüñöùóçò. Ãéá ðáñüäåéãìá, áò õðïèýóïõìå üôé óå ìéá ðáñáìïñöùôéêþ êáôüóôáóç üëåò óõíéóôþóåò ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí åßíáé ìçäýí åêôüò áðü ôçí e 12. Ôüôå èá áíáðôõ èåß ç ïñèþ ôüóç ô 11 óýìöùíá ìå ôéò ó Ýóåéò (5.11{5.12) êáé ìüëéóôá èá åßíáé ßóç ìå ô 11 = 2c 16 e 12 : (5.13) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

11 5.3 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá óôåñåü 115 Áí Ýíá õëéêü Ý åé ôñßá åðßðåäá óõììåôñßáò èá ëýãåôáé ïñèïôñïðéêü õëéêü êáé ï áñéèìüò ôùí åëáóôéêþí óôáèåñþí ôïõ ðåñéïñßæåôáé óôéò 12. Ôï ìçôñþï ôùí õëéêþí óôáèåñþí èá Ý åé ôç ìïñöþ c 11 c 12 c c 21 c 22 c c 31 c 32 c c c c 66 : (5.14) Ôá ãñáììéêü éóïôñïðéêü åëáóôéêü ìýóá Ç ðéï åíäéáöýñïõóá ßóùò ðåñßðôùóç åßíáé áõôþ ôçò éóïôñïðéêþò óõììåôñßáò. íá ãñáììéêü åëáóôéêü ìýóï èá ëýãåôáé éóïôñïðéêü áí ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç åßíáé áíåîüñôçôç ôçò äéåýèõíóçò. Áõôü óçìáßíåé üôé êüèå åðßðåäï åßíáé åðßðåäï óõììåôñßáò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ü ôáíõóôþò ôùí åëáóôéêþí óôáèåñþí c ijkl èá åßíáé éóïôñïðéêüò. Ïñéóìüò íáò ôáíõóôþò ëýãåôáé éóïôñïðéêüò áí ïé óõíéóôþóåò ôïõ ðáñáìýíïõí ßäéïé óå ïðïéïäþðïôå ïñèïãþíéï ìåôáó çìáôéóìü ôïõ (êáñôåóéáíïý) óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. Ðñïöáíþò ï ðáñáðüíù ïñéóìüò ðåñéïñßæåé ðüñá ðïëý ôçí êëüóç ôùí éóïôñïðéêþí ôáíõóôþí. Ãéá ðáñüäåéãìá ìðïñåß íá áðïäåé èåß üôé Ýíáò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò åßíáé éóïôñïðéêüò áí êáé ìüíï áí áðïôåëåß Ýíá áðëü ðïëëáðëüóéï ôïõ ìïíáäéáßïõ ôáíõóôþ. ÄçëáäÞ Ýíáò éóïôñïðéêüò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò Á ij èá ãñüöåôáé ðüíôïôå óôç ìïñöþ üðïõ k Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò. Á ij = kä ij ; (5.15) Ìðïñåß íá áðïäåé èåß åðßóçò üôé Ýíáò ôáíõóôþò 4çò ôüîçò åßíáé éóïôñïðéêüò áí Ý åé ôç ìïñöþ Á ijkl = ëä ij ä kl + ì(ä ik ä jl + ä il ä jk ) í(ä ik ä jl ä il ä jk ); (5.16) üðïõ ë; ì êáé í åßíáé óôáèåñýò ðïõ Ý ïõí ôçí ßäéá ôéìþ óå üëá ôá óõóôþìáôá óõíôåôáãìýíùí. Ãéá íá åßíáé ëïéðüí ï ôáíõóôþò ôùí åëáóôéêþí óôáèåñþí éóïôñïðéêüò ðñýðåé íá ãñüöåôáé óôçí ðáñáðüíù ìïñöþ. Áí åðéðëýïí ëüâïõìå õðüøç üôé ï c ijkl åßíáé óõììåôñéêüò ùò ðñïò ôá ij êáé kl, áíôéóôïß ùò ìðïñïýìå íá ôïí ãñüøïõìå ùò c ijkl = ëä ij ä kl + ì(ä ik ä jl + ä il ä jk ): (5.17) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

12 116 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò Áí åéóüãïõìå ôçí (5.17) óôçí ãåíéêþ êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.8) èá ðüñïõìå ô ij = [ëä ij ä kl + ì(ä ik ä jl + ä il ä jk )]e kl = ëä ij ä kl e kl + ìä ik ä jl e kl + ìä il ä jk e kl = ëä ij e kk + ìe ij + ìe ji ô ij = ëe kk ä ij + 2ìe ij : (5.18) Ç (5.18) áðïôåëåß ôçí èåìåëßùäç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ãéá ôá ãñáììéêü, éóïôñïðéêü åëáóôéêü õëéêü êáé áíáöýñåôáé ùò íüìïò ôïõ Hooke. Ïé åëáóôéêýò óôáèåñýò ë êáé ì áíáöýñïíôáé ùò óôáèåñýò ôïõ Lame. ÐñáêôéêÜ ãéá íá äéáôõðþóïõìå ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ãéá Ýíá ãñáìéêêü,åëáóôéêü êáé éóüôñïðï õëéêü ñåéáæüìáóôå íá ðñïóäéïñßóïõìå ìüíï äýï óôáèåñýò ôïõ õëéêïý. Ï ðñïóäéïñéóìüò áõôüò ãßíåôáé ìå ôç âïþèåéá êáôüëëçëùí ðåéñáìüôùí. Õðåíèõìßæïõìå üôé ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.18) áðïôåëåß ìéá åéäéêþ ðåñßðôùóç ôçò ãåíéêþò êáôáóôáôéêþò ó Ýóçò (5.7). Óôçí ÐáñÜãñáöï áíáöýñáìå üôé ç ó Ýóç (5.7) áðïôåëåß ìéá áìöéìïíïóþìáíôç óõíüñôçóç ìåôáîý ôçò ôüóçò ô ij êáé ôçò ôñïðþò e kl. Áõôü óçìáßíåé üôé áõôþ ç ó Ýóç áíôéóôñýöåôá. Áò äïýìå ëïéðüí ôçí áíôßóôñïöç ôçò ó Ýóçò (5.18). Ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ôüóåùí{ôñïðþí ãéá ôá ãñáììéêü, åëáóôéêü, éóïôñïðéêü õëéêü Îåêéíïýìå áðü ôç óõóôïëþ ôçò ó Ýóçò (5.18) ÅéóÜãïõìå ôþñá ôç ó Ýóç (5.19) óôçí (5.18) ô ii = ëe kk ä ii + 2ìe ii = (3ë + 2ì)e kk e kk = ô ii (3ë + 2ì) = ô kk (3ë + 2ì) : (5.19) ô ij = ëä ij (3ë + 2ì) ô kk + 2ìe ij ëä ij e ij = 2ì(3ë + 2ì) ô kk + 1 2ì ô ij: (5.20) Ç (5.20) åßíáé öõóéêü éóïäýíáìç ìå ôçí (3.18). Ïé óôáèåñýò ôïõ Lame ë êáé ì óõíäýïíôáé ìå ôéò õëéêýò óôáèåñýò ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé óôç Ôå íéêþ Ìç áíéêþ. ÁõôÝò åßíáé ç óôáèåñü äéüôìçóçò G, ç óôáèåñü ôïõ Young E êáé ï ëüãïò ôïõ Poisson í. Ïé ôåëåõôáßåò óõíäýïíôáé ìå ôéò óôáèåñýò ôïõ Lame ìýóù ôùí ó Ýóåùí ì = G; ì = E 2(1 + í) ; êáé ë = íe (1 + í)(1 2í) : (5.21) Áí ñçóéìïðïéþóïõìå ôéò ó Ýóåéò (5.21) ìðïñïýìå íá áíôéêáôáóôþóïõìå ôéò óôáèåñýò ôïõ Lame áðü ôç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.20) ðïõ ðáßñíåé ôç ìïñöþ e ij = í Å ô kkä ij í Å ô ij: (5.22) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

13 5.3 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá óôåñåü 117 ÐáñáôçñÞóôå üôé ç ðáñáðüíù ó Ýóç äåí åßíáé ôßðïôá Üëëï áðü ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.4) ðïõ Ý ïõìå Þäç ñçóéìïðïéþóåé óôçí ðñïçãïýìåíç ðáñüãñáöï. ÐáñáôÞñçóç Ç óôáèåñü ôïõ Young, üðùò åßíáé ãíùóôü áðü ôçí Ôå íéêþ Ìç áíéêþ, óõíäýåôáé ìå ôçí ó Ýóç áíüìåóá óôçí ïñèþ ôüóç êáé ôçí áíôßóôïé ç äéáìþêç ôñïðþ. Áíôßóôïé á, ôï ìýôñï äéüôìçóçò óõíäýåôáé ìå ôç ó Ýóç áíüìåóá óôç äéáôìçôéêþ ôüóç êáé ôç äéáôìçôéêþ ôñïðþ. Êáé ïé äýï áõôýò óôáèåñýò Ý ïõí äéáóôüóåéò ôüóçò, äçëáäþ "äýíáìçò áíü ìïíüäá åðéöüíåéáò". Ï ëüãïò Poisson ìå ôç óåéñü ôïõ óõíäýåôáé ìå ôç ó Ýóç ìåôáîý ôçò ïñèþò ôüóçò ðïõ áóêåßôáé êüèåôá óå ìéá äéáôïìþ ìéáò êõëéíäñéêþò äïêïý ìå ôçí áíôßóôïé ç ìåôáâïëþ ôçò äéáôïìþò. Ðñïöáíþò, áí ç ïñèþ ôüóç åßíáé èëéðôéêþ èá ðñïêëýóåé äßïãêùóç ôçò äéáôïìþò, áíþ áí åßíáé åöåëêõóôéêþ èá ðñïêáëýóåé óìßêñõíóþ ôçò. Ï ëüãïò ôïõ Poisson åßíáé áäéüóôáôç óôáèåñü, ì' Üëëá ëüãéá ðñüêåéôáé ãéá Ýíá êáèáñü áñéèìü ðïõ ïé ôéìýò ôïõ, áíüëïãá ìå ôï õëéêü, êåéìýíïíôáé áðü ôï 0 Ýùò ôï 1= Ôá õðåñåëáóôéêü ìýóá êáé ôï åëáóôéêü äõíáìéêü Ï Green Þäç áðü ôï 1839 åéóþãáãå ìéá äéáöïñåôéêþ ðñïóýããéóç ãéá íá ïñßóåé ôï åëáóôéêü ìýóï óõíäýïíôáò ôï ìå ôç ëåãüìåíç óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò åíýñãåéáò ðáñáìüñöùóçò. Ðéï óõãêåêñéìýíá, èåþñçóå üôé õðüñ åé ìéá âáèìùôþ óõíüñôçóç W ðïõ åîáñôüôáé áðü ôçí ðáñáìüñöùóç ôïõ óþìáôïò êáé "ìåôñü" ôçí åíýñãåéá ðïõ áðïèçêåýåôáé óôï óþìá ëüãù ôçò ðáñáìüñöùóçò ôïõ. Áí èõìçèïýìå üôé, ãéá ìáò, ôï ìýôñï ôçò ðáñáìüñöùóçò åßíáé ï ôáíõóôþò ôùí ôñïðþí, ç ðáñáðüíù õðüèåóç óçìáßíåé üôé ç W åîáñôüôáé áðü ôïí e ij, äçëáäþ W = W (e ij ): (5.23) ÅðéðëÝïí, èåþñçóå üôé áõôþ ç óõíüñôçóç ðáßæåé ôï ñüëï ôïõ åëáóôéêïý äõíáìéêïý äçëáäþ ç êëéóç áõôþò ôçò óõíüñôçóçò äßíåé ôçí ôüóç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá óôç ÊëáóóéêÞ Ìç áíéêþ ç êëéóç ôïõ äõíáìéêïý ó' Ýíá óõíôçñçôéêü ðåäßï äßíåé ôç äýíáìç 5 (ìå áñíçôéêü ðñüóçìï). ÄçëáäÞ ç õðüèåóç Green óõíßóôáôáé óôçí ýðáñîç ôçò óõíüñôçóçò (5.23) êáé åðéðëýïí óôçí éó ý ôçò ó Ýóçò ô ij : ij Ïñéóìüò Ôá õëéêü ãéá ôá ïðïßá èåùñïýìå üôé éó ýåé ç õðüèåóç ôïõ Green èá ôá áðïêáëïýìå õðåñåëáóôéêü õëéêü. Ìå ôïõò äéêïýò ìáò üñïõò ç óõíüñôçóç áõôþ èá ó åôßæåôáé ìå ôçí åóùôåñéêþ åíýñãåéá ðïõ åéóáãüãáìå óôçí ÐáñÜãñáöï 4.8. ÏõóéáóôéêÜ ç õðüèåóç ôïõ Green éóïäõíáìåß ìå ôï íá 5 íá Üëëï êëáóóéêü ðáñüäåéãìá Ýñ åôáé áðü ôçí çëåêôñïóôáôéêþ üðïõ ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ðåäßïõ óõíäýåôáé ìå ôçí êëéóç ôïõ çëåêôñéêïý äõíáìéêïý. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

14 118 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò õðïèýóïõìý üôé ç åóùãôåñéêþ åíýñãåéá å åßíáé óõíüñôçóç ôçò ôñïðþò e ij, äçëáäþ å = å(e ij ): (5.25) ôóé ç åîüñôçóç ôçò åóùôåñéêþò åíýñãåéáò áðü ôï ñüíï èá ðñïêýðôåé áðü ôç óýíèåóç å(t) = å(e ij (t)) (5.26) êáé óõíåðþò ç ñïíéêþ ðáñüãùãïò ôçò å èá õðïëïãßæåôáé ìå ôç âïþèåéá ôçò áëõóéäùôþò ðáñáãþãéóçò ùò åîþò @e ij ė ij (5.27) Áò åðéóôñýøïõìå ôþñá óôçí åîßóùóç ôçò åíýñãåéáò ðïõ äßíåôáé áðü ôçí (4.107). Áò èåùñþóïõìå Ýíá õðåñåëáóôéêü õëéêü êáé åðéðëýïí áò áðïêëåßóïõìå ôá èåñìéêü öáéíüìåíá þóôå íá ðåñéïñéóôïýìå áðïêëåéóôéêü óôá ìç áíéêü öáéíüìåíá. Ôüôå ç åîßóùóç (4.107) ìå ôç âïþèåéá ôçò (5.27) ìáò äßíåé Þ éóïäýíáìá ñ å = ô ij ė ij ė ij = ô ij ė ij (5.28) ( ô ij ) ė ij = 0: ij ÅðåéäÞ ôüóï ç ñ@å=@e ij üóï êáé ç ô ij äåí åîáñôþíôáé áðü ôçí ė ij, áðü ôçí (5.29) åîüãåôáé üôé ïëüêëçñç ç ðïóüôçôá ðïõ âñßóêåôáé ìýóá óôçí ðáñýíèåóç óôï áñéóôåñü Üêñï ôçò åîßóùóçò èá åßíáé õðï ñåùôéêü ìçäýí, äçëáäþ ô ij ij : (5.30) Áí èåùñþóïõìå üôé ç ðõêíüôçôá åßíáé óôáèåñþ ôüôå ç ó Ýóç (5.30) ãñüöåôáé ô ij : (5.31) Óõãêñßíïíôáò ôçí (5.24) ìå ôçí (5.31) êáôáëþãïõìå óôï óõìðýñáóìá W = ñå; (5.32) äçëáäþ ç åóùôåñéêþ åíýñãåéá áíü ìïíüäá üãêïõ ðáßæåé ôï ñüëï ôçò óõíüñôçóçò åíýñãåéáò ðáñüìüñöùóçò. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

15 5.3 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá óôåñåü ÃñáììéêÜ õðåñåëáóôéêü õëéêá Ä ðåñßðôùóç Ãéá íá äéåõêïëýíïõìå ôçí áíüëõóç ìáò èá ðåñéïñéóôïýìå, ðñïò ôï ðáñüí, ó' Ýíá ìïíïäéüóôáôï ðñüâëçìá Ýôóé þóôå ç ìïíáäéêþ óõíéóôþóá ôçò ôüóçò íá åßíáé ç ô 11 = ô êáé ç ìïíáäéêþ ôñïðþ ç e 11 = e. Ôüôå ç óõíüñôçóç åíýñãåéáò ðáñáìüñöùóçò èá åßíáé ìüíï óõíüñôçóç ôïõ e êáé ïé ó Ýóåéò (5.23) êáé (5.24) èá ãßíïõí áíôßóôïé á W = W (e) êáé ô = dw de : (5.33) Ðñïöáíþò ãéá êüèå åðéìýñïõò õðåñåëáóôéêü õëéêü èá ðñýðåé íá âñïýìå ìå êüðïéï ôñüðï ôç óõíüñôçóç åíýñãåéáò ðáñáìüñöùóçò W. Êáôüðéí åßíáé åýêïëï íá ðñïóäéïñßóïõìå áðü ôç ó Ýóç (5.33â) ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ðïõ äéýðåé áõôü ôï õëéêü. Ìéëþíôáò ãåíéêü áò õðïèåóüõìå üôé ç óõíüñôçóç åíýñãåéáò ðáñáìüñöùóçò åßíáé áíáëõôéêþ êáé ãñüöåôáé ùò óåéñü W (e) = c 0 + c 1 e + c 2 2 e2 + c 3 3 e3 + (5.34) Áí ðåñéïñéóôïýìå óôç ëåãüìåíç ãñáììéêþ èåùñßá óçìáßíåé üôé áðïäå üìáóôå ôï ðëáßóéï ôùí "ìéêñþí ðáñáìïñöþóåùí". ÄçëáäÞ ðñáêôéêü ìéëïýìå ãéá ôñïðýò ôçò ôüîçò ôïõ 10 2 êáé êüôù. ôóé ìéá ðñïóýããéóç ôçò (5.34) óôçí ïðïßá èá äéáôçñïýìå üñïõò ìý ñé êáé äåýôåñçò ôüîçò åßíáé éêáíïðïéçôéêþ. ÄçëáäÞ ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôçí W ùò ìéá ôåôñáãùíéêþ óõíüñôçóç ôçò ôñïðþò W (e) = c 0 + c 1 e + c 2 2 e2 : (5.35) Áí åðéêáëåóôïõìå ôþñá ôçí (5.33â) ðñïêýðôåé ç áêüëïõèç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ôüóçò{ôñïðþò ô(e) = c 1 + c 2 e: (5.36) Aí åðéðëýïí èåùñþóïõìå üôé óôçí áðáñüìïñöùôç êáôüóôáóç ç åíýñãåéá ðáñáìüñöùóçò êáèþò êáé ç ôüóç åßíáé ìçäåíéêýò, äçëáäþ éó ýåé W (0) = 0 êáé ô(0) = 0; (5.37) ôüôå ðñïêýðôåé áìýóùò üôé ïé óôáèåñýò c 0 êáé c 1 ìçäåíßæïíôáé êáôü óõíýðåéá ïé ó Ýóåéò (5.35) êáé (5.36) ãßíïíôáé W (e) = c 2 e2 êáé ô(e) = ce; (5.38) üðïõ ãáé ëüãïõò áðëüôçôáò áíôéêáôáóôþóáìå ôçí óôáèåñü c 2 ìå ôçí c. ÊáôáëÞãïõìå Ýôóé óå ìéá ðáñáâïëéêþ ìïñöþ ãéá ôç óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò åíýñãåéáò ðáñáìüñöùóçò êáé óå ìéá ãñáììéêþ óõíüñôçóç ãéá ôçí ôüóç, üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 5.2. Óõíïøßæïõìå ëïéðüí ôï âáóéêü ìáò óõìðýñáóìá óôçí áêüëïõèç äéáôýðùóç: ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

16 120 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò Ó Þìá 5.2. ÃñáöéêÞ áðåéêüíéóç ôçò W (e) êáé ôçò ô(e). Áí õðïèýóïõìå üôé óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò ðáñáìüñöùóçò åßíáé ôåôñáãùíéêþ ôüôå ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ãéá ôá õðåñåëáóôéêü õëéêü èá åßíáé ãñáììéêþ. ÊÜíïíôáò ñþóç ôçò ó Ýóçò (5.38â), ç óõíüñôçóç åíýñãåéáò ðáñáìüñöùóçò ãñüöåôáé W (e) = c 2 e2 = 1 2 ce e W (e) = 1 ôe: (5.39) 2 ÊáôáëÞãïõìå Ýôóé óôï óõìðýñáóìá üôé üôáí ç åíýñãåéá ðáñáìüñöùóçò åßíáé ôåôñáãùíéêþ ùò ðñïò ôçí ôñïðþ èá ðáßñíåé ôçí êïìøþ ìïñöþ ôçò (5.39), äçëáäþ èá åßíáé ôï Þìéóõ ôïõ ãéíïìýíïõ ôçò ôüóçò åðß ôçí ôñïðþ. Ç (5.39) áíáöýñåôáé óõ íü ùò ôýðïò ôïõ Clapeyron Ä ðåñßðôùóç Ç áíüëõóç ôçò ðñïçãïýìåíçò ðáñáãñüöïõ ãåíéêåýïíôáé åõèýùò óôçí ôñéóäéüóôáôç ðåñßðôùóç üðïõ ðëýïí ôüóï ï ôáíõóôþò ôüóçò üóï êáé ï ôáíõóôþò ôñïðþò Ý ïõí áðü Ýîé áíåîüñôçôåò óõíéóôþóåò ç êáèýíáò. ôóé ç óõíüñôçóç åíýñãåéáò ðáñáìüñöùóçò êáé ï ôáíõóôþò ôüóçò èá ãñüöïíôáé W = W (e ij ) êáé ô ij : (5.40) Áí ðåñéïñéóôïýìå êáé ðüëé óå ìéá ôåôñáãùíéêþ Ýêöñáóç ãéá ôçí åíýñãåéá ðáñáìüñöùóçò èá Ý ïõìå W (e ij ) = c 0 + c ij e ij c ijkle ij e kl : (5.41) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

17 5.3 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá óôåñåü 121 ÏõóéáóôéêÜ ç ó Ýóç (5.41) áðïôåëåß ôç ãåíßêåõóç ôçò (5.35) óôéò ôñåéò äéáóôüóåéò. ¼ðùò ðáñáðüíù, áí èåùñþóïõìå üôé óôçí áðáñáìüñöùôç êáôüóôáóç üôé ôüóï Þ åíýñãåéá üóï êáé ïé ôüóåéò ìçäåíßæïíôáé, êáôáëþãïõìå óå ìéá Ýêöñáóç ðïõ ðåñéý åé áðïêëåéóôéêü üñïõò äåýôåñçò ôüîçò W (e ij ) = 1 2 c ijkle ij e kl : (5.42) Ï ôáíõóôþò ôüóçò ìå ôç óåéñü ôïõ, ëüãù ôçò (5.40â), ðáßñíåé ôç ìïñöþ ô ij = c ijkl e kl : (5.43) ÌåôÜ ôçí (5.43) åðéóôñýöïõìå óôçí (5.42) ôçí ïðïßá ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ùò áêïëïýèùò W = 1 2 ô ije ij ; (5.44) ðïõ äåí åßíáé ôßðïôá Üëëï áðü ôïí ôýðï ôïõ Clapeyron ãéá ôçí ôñéóäéüóôáôç ðåñßðôùóç. ÐñïóÝîôå üôé ç ó Ýóç (5.43) ðïõ áöïñü ôá ãñáììéêü õðåñåëáóôéêü õëéêü åßíáé ßäéá ìå ôç ó Ýóç (5.8) ðïõ éó ýåé ãåíéêü ãéá ôá ãñáììéêü åëáóôéêü. Ðñïöáíþò êáé óôçí ðåñßðôùóç ôùí õðåñåëáóôéêþí õëéêþí éó ýïõí ïé óõììåôñßåò ðïõ äßíïíôáé áðü ôéò ó Ýóåéò (5.9), åðïìýíùò óýìöùíá ìå ôçí áíüëõóç ôçò ÐáñáãñÜöïõ ï c ijkl èá Ý åé 36 áíîüñôçôåò óõíéóôþóåò. ÐñÝðåé üìùò íá óçìåéþóïõìå üôé ãéá ôá õðåñåëáóôéêü õëéêü éó ýåé, åðéðëýïí, ç ó Ýóç (5.44). Ç ôåëåõôáßá Ý åé óõíýðåéåò óôïí áñéèìü ôùí áíåîüñôçôùí óõíéóôùóþí ôïõ ôáíõóôþ c ijkl. ÐñÜãìáôé, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå W = 1 2 c ijkle ij e kl = 1 2 c ijkle kl e ij = 1 2 c klije ij e kl 1 2 (c ijkl c klij ) e ij e kl = 0: (5.45) Ç åîßóùóç (5.45) ðñýðåé íá éó ýåé ãéá ïðïéáäþðïôå ôñïðþ êáé áí áíáðôõ èåß óå Ýíá õëéêü, åíþ ï ôáíõóôþò c ijkl ãéá áõôü ôï õëéêü èá ðáñáìýíåé óôáèåñüò. Áõôü óçìáßíåé üôé ìðïñïýìå íá ôçí îáíáãñüøïõìå Ç Üìåóç óõíýðåéá ôçò (5.46) åßíáé (c ijkl c klij ) e ij e kl = 0; e ij ; e kl (5.46) c ijkl c klij = 0 c ijkl = c klij : (5.47) ÓõíÜãïõìå ëïéðüí ôï óõìðåñüóìá üôé ï ôáíõóôþò ôùí åëáóôéêþí óôáèåñþí ãéá ôá ãñáììéêü õðåñåëáóôéêü õëéêü ðëçñïß õðï ñåùôéêü, åêôüò áðü ôéò óõììåôñéýò (5.9), êáé ôç óììåôñßá ðïõ äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç (5.47). ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

18 122 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò Ç ó Ýóç (5.47) óçìáßíåé üôé ôï 6 6 ìçôñþï ôçò ó Ýóçò (5.10) åßíáé óõììåôñéêü, äçëáäþ ç ó Ýóç (5.10) èá ãñüöåôáé ô 1 c 11 c 21 c 31 c 41 c 51 c 61 e 1 ô 2 c 21 c 22 c 32 c 42 c 52 c 62 e 2 ô 3 ô 4 = c 31 c 32 c 33 c 43 c 53 c 63 e 3 c 41 c 42 c 43 c 44 c 54 c 64 e 4 ; (5.48) ô 5 c 51 c 52 c 53 c 54 c 55 c 65 e 5 ô 6 c 61 c 62 c 63 c 64 c 65 c 66 e 6 óõíåðþò ï áñéèìüò ôùí áíåîüñôçôùí åëáóôéêþí óôáèåñþí ãéá Ýíá ðëþñùò áíéóïôñïðéêü ãñáììéêü õðåñåëáóôéêü õëéêü åßíáé 21 áíôß ãéá 36. Ãéá ôïí ßäéï ëüãï ôï ìçôñþï ôùí óõíôåëåóôþí ãéá Ýíá ïñèïôñïðéêü ãñáììéêü õðåñåëáóôéêü õëéêü èá ðüñåé ôç ìïñöþ c 11 c 21 c c 21 c 22 c c 31 c 32 c c ; (5.49) c c 66 äçëáäþ èá Ý åé 9 áíåîüñôçôåò óôáèåñýò áíôß ãéá 12. Óôçí ðåñßðôùóç ôçò ðëþñïõò éóïôñïðßáò äåí õðüñ åé êáìéü äéáöïñü ìåôáîý ôùí åëáóôéêþí êáé õðåñåëáóôéêþí õëéêþí êáé ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç (5.18). ÐáñÜäåéãìá Ç ðõêíüôçôá åíýñãåéáò ðáñáìüñöùóçò ãéá ôá ãñáììéêü éóüôñïðá õëéêü. Èá îåêéíþóïõìå áðü ôçí (5.18) ðïõ áðïôåëåß ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ãéá ôá ãñáììéêü éóüôñïðá õëéêü ôçí ïðïßá èá åéóüãïõìå óôçí (5.44) W = 1 2 ô ije ij = 1 2 (ëe kkä ij + 2ìe ij ) e ij = 1 2 ëe kkä ij e ij + ìe ij e ij = 1 2 ëe kke jj + ìe ij e ij W = 1 2 ëe2 kk + ìe ij e ij (5.50) Ç ó Ýóç (5.50) ãñüöåôáé åðßóçò ìå ôï óõìâïëéóìü ôçò äéáíõóìáôéêþò áíüëõóçò W = 1 2 ë(tr e)2 + ìe 2 (5.51) ÁóêÞóåéò Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

19 5.4 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá ñåõóôü Íá áðïäåé èåß ç ó Ýóç Íá áðïäåé èåß üôé ï ôáíõóôþò Á ij = kä ij ; k IR, åßíáé éóïôñïðéêüò 3. Íá äåßîåôå üôé ôï ìçôñþï ôùí åëáóôéêþí óôáèåñþí ãéá ôá ãñáììéêü, éóïôñïðéêü êáé åëáóôéêü õëéêü Ý åé ôç ìïñöþ: ë + 2ì ë ë ë ë + 2ì ë ë ë ë + 2ì ì 0 0 : ì ì 5.4 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá ñåõóôü Ç õðüèåóç ôçò áóõìðéåóôüôçôáò Ìéá êáôáóôáôéêþ õðüèåóç ãéá ôá ñåõóôü ðïõ ðñïóéäéüæåé éäéáôýñùò óôá õãñü åßíáé üôé áõôü åßíáé ðñáêôéêü áóõìðßåóôá. Óýìöùíá ìå ôçí õðüèåóç ôçò áóõìðéåóôüôçôáò, ï üãêïò åíüò ôõ áßïõ ôìþìáôïò ôïõ ñåõóôïý ðñéí êáé ìåôü ôçí ðáñáìüñöùóç ðáñáìýíåé ï ßäéïò. Áò óõìâïëßóïõìå vol(p t ) = dv (5.52) p t ôïí üãêï ôïõ ôìþìáôïò P t ôïõ ñåõóôïý. Óýìöùíá ìå ôçí õðüèåóç ôçò áóõìðéåóôüôçôáò èá éó ýåé Þ éóïäýíáìá, vol(p 0 ) = vol(p t ); t; (5.53) d dt (vol(p t)) = 0: (5.54) Áðü ôçí ôåëåõôáßá ó Ýóç, ìå ôç âïþèåéá ôùí åî. (3.44) êáé (3.45), ðáßñíïõìå d D dv = 0 dt p t Dt (dv) = v i;i dv = 0: (5.55) p t p t Ç åîßóùóç (5.55) éó ýåé ãéá êüèå ôìþìá P t ôïõ óþìáôïò, êáôü óõíýðåéá èá ðñýðåé ç õðü ïëïêëþñùóç ðïóüôçôá íá ìçäåíßæåôáé ðáíôïý óôï óþìá, äçëáäþ éó ýåé v i;i = 0; Þ div v = 0; x B t : (5.56) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

20 124 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò Ì' Üëëá ëüãéá, óå êüèå áóõìðßåóôï ñåõóôü, ç áðüêëéóç ôçò ôá ýôçôáò èá åßíáé õðï ñåùôéêü ìçäýí. ¼ìùò, ç ó Ýóç (5.56) äåí åßíáé ç ìïíáäéêþ óõíýðåéá ôçò áóõìðéåóôüôçôáò. Áðü ôçí êéíçìáôéêþ ôùí óõíå þí ìýóùí éó ýåé ç ó Ýóç 6 DJ Dt = Jv i;i; (5.57) ç ïðïßá óå óõíäõáóìü ìå ôçí åî. (5.56) ìáò äßíåé üôé ãéá ôá áóõìðßåóôá ñåõóôü éó ýåé åðßóçò DJ Dt = Jv i;i = 0 J = óôáè. (5.58) Áò õðåíèõìßóïõìå üìùò üôé ôï J åßíáé ç ïñßæïõóá ôçò êëßóçò ôçò ðáñáìüñöùóçò (J = det F) ç ïðïßá ãéá ôçí ôáõôïôéêþ ðáñáìüñöùóç ðáßñíåé ôçí ôéìþ 1. ñá, êáôáëþãïõìå óôï óõìðýñáóìá üôé ãéá ôá áóõìðßåóôá ñåõóôü ôï J åßíáé ðüíôá ßóï ìå ôçí ìïíüäá. Áí åðéêáëåóôïýìå ôçí áñ Þ äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò üðùò äßíåôá áðü ôçí åî. (4.11), óõíüãïõìå üôé ñ(x(x; t); t) = ñ 0 (X): (5.59) Ðñïêýðôåé äçëáäþ üôé ç ðõêíüôçôá ü é ìüíï óôï ó çìáôéóìü áíáöïñüò, áëëü êáé óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü åßíáé áíåîüñôçôç ôïõ ñüíïõ. Ìðïñïýìå äçëáäþ íá ãñüöïõìå ñ(x) = ñ 0 (X): (5.60) ¼ìùò, ãéá Ýíá áóõìðßåóôï ñåõóôü (üðùò ãéá ðáñüäåéãìá ôï íåñü) åßíáé åýëïãï íá õðïèýóïõìå åðéðëýïí üôé ç ðõêíüôçôá óôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò åßíáé ïìïãåíþò, = 0 ñ 0 = óôáè. (5.61) Ì' Üëëá ëüãéá, ôï ñ 0 äåí åîáñôüôáé ïýôå áðü ôç èýóç X. ôóé, áðü ôçí (5.61) êáôáëþãïõìå óôï ôåëéêü óõìðýñáóìá üôé êáé ôï ñ åßíáé åðßóçò ìéá óôáèåñü. ÄçëáäÞ Ýíá ñåõóôü ðïõ ðëçñïß ôéò êáôáóôáôéêýò õðïèýóåéò (5.53) êáé (5.61) èá ëýìå üôé åßíáé áóõìðßåóôï êáé Ý åé óôáèåñþ ðõêíüôçôá, Ýíá óõìðýñáóìá ðïõ ôáéñßáæåé ìå ôçí êáèçìåñéíþ ìáò åìðåéñßá ãéá ôá ðåñéóóüôåñá õãñü. Ó' áõôþ ôçí ðåñßðôùóç, ç ðõêíüôçôá äåí èá åßíáé ðëýïí êáôáóôáôéêþ ìåôáâëçôþ áëëü èá áðïôåëåß ìéá óôáèåñü ôïõ õëéêïý. Óôï åîþò ëïéðüí üôáí éó ýïõí ïé ðáñáðüíù ðñïûðïèýóåéò, Èá áíáöåñüìáóôå óôçí õëéêþ óôáèåñü ñ 0 ùò ôçí ðõêíüôçôá ôïõ ìýóïõ ÉäáíéêÜ ñåõóôü Áò èåùñþóïõìå ôþñá Ýíá ñåõóôü ôï ïðïßï õðü ôçí åðßäñáóç åîùôåñéêþí äõíüìåùí âñßóêåôáé óå çñåìßá (éóïññïðßá) êáé áò ðüñïõìå Ýíá õëéêü óçìåßï P óôï åóùôåñéêü ôïõ. Ãéá íá 6 Ãéá ôçí áðüäåéîç âëýðå "Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò Èåùñßáò Åëáóôéêüôçôáò", Â. Êáëðáêßäç, ÉùÜííéíá, 1999, óåë. 52. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

21 5.4 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá ñåõóôü 125 áíáëýóïõìå ôçí åíôáôéêþ ôïõ êáôüóôáóç óôï óõãêåêñéìýíï óçìåßï èá áêïëïõèþóïõìå ôçí áíüëõóç ôçò ÐáñáãñÜöïõ 4.4. Óýìöùíá ìå üóá Ý ïõìå ðåé ðáñáðüíù, ïé äéáôìçôéêýò ôüóåéò ðñýðåé íá ìçäåíßæïíôáé, áëëéþò ôï ñåõóôü èá åôßèåôï óå êßíçóç. Åßíáé ëïãéêü ëïéðüí íá õðïèýóïõìå üôé ôï äéüíõóìá ôüóçò t n åðß ïðïéáóäþðïôå åðéöüíåéáò ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï P åßíáé óõãñáììéêü ìå ôï äéüíõìá n. Åßíáé ñþóéìï ó' áõôü ôï óçìåßï, íá äéåõêñéíßóïõìå ôç äéáöïñü ìå ôï ðñüâëçìá ðïõ ðåñéãñüöåôáé óôçí ÐáñáãñÜöï 4.5 üðïõ äéåñùôüìáóôå áí õðüñ åé ìéá óõãêåêñéìýíç åðéöüíåéá ðïõ íá Ý åé áõôþ ôçí éäéüôçôá. Åí ðñïêåéìýíù áðáéôïýìå íá éó ýåé ãéá êüèå åðéöüíåéá ðïõ äéýñ åôáé áðü ôï P. Ìðïñåß íá áðïäåé ôåß 7 üôé ãéá íá éó ýåé ç ðáñáðüíù õðüèåóç èá ðñýðåé ï ôáíõóôþò ôüóçò íá åßíáé éóïôñïðéêüò, äçëáäþ íá Ý åé ôç ìïñöþ ô ij = ðä ij ; (5.62) üðïõ ð åßíáé ìéá óôáèåñü êáé áíáöýñåôáé ùò õäñïóôáôéêþ ðßåóç. ÐñïóÝîôå üôé ç ðáñáðüíù ó Ýóç åîáóöáëßæåé üôé üëåò { êáé ïé Ýîé { äéáôìçôéêýò óõíéóôþóåò ôïõ ôáíõóôþ ôüóçò åßíáé ìçäåíéêýò. Áí éó ýåé ç ó Ýóç (5.62), ôüôå ôï äéüíõóìá ôüóçò ìå ôç âþèåéá ôïõ ôýðïõ ôïõ Cauchy ãßíåôáé t n i = ô ij n j = ðä ij n j = ðn i (5.63) Þ, éóïäýíáìá t n = ðn: (5.64) ÊáôÜ óõíýðåéá, ðñüãìáôé, ç åî. (5.64) ìáò äåß íåé üôé ôï äéüíõóìá ôüóçò åßíáé óõãñáììéêü ðñïò ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá n. Ì' áëëü ëüãéá, ïýôå ôï äéüíõóìá ôüóçò Ý åé äéáôìçôéêþ óõíéóôþóá. Ç ìïíáäéêþ ìç{ìçäåíéêþ óõíéóôþóá ôïõ äéáíýóìáôïò ôüóçò åßíáé ç ïñèþ, äçëáäþ ç ðßåóç. Ðñïöáíþò, ç ðßåóç óå Ýíá ñåõóôü ðïõ âñßóêåôáé óå éóïññïðßá ðñýðåé íá êáôåõèýíåôáé ðüíôá ðñïò ôï åóùôåñéêü ôïõ (áëëéþò ôï ñåõóôü èá êéíçèåß). ÅðïìÝíùò, ç óôáèåñü ð ðñýðåé íá åßíáé èåôéêþ Ýôóé þóôå ôï äéüíõóìá ôüóçò íá Ý åé äéåýèõíóç ðüíôïôå ðñïò ôï åóùôåñéêü ôçò åðéöüíåéáò. Ç ó Ýóç (5.62) áñáêôçñßæåé üëá ôá ñåõóôü ðïõ åßíáé óå éóïññïðßá. Áí Ýíá áóõìðßåóôï ñåõóôü áíåîáñôþôùò áí åßíáé óå éóïññïðßá Þ óå êßíçóç ðëçñïß ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.62), äçëáäþ áí äåí åßíáé åöéêôþ ç åìöüíéóç äéáôìçôéêþí äõíüìåùí óôï ìýóï, èá ôï áðïêáëïýìå éäáíéêü (ìþ{éîþäåò) ñåõóôü. ÕðÜñ ïõí üìùò êáé Üëëá ñåõóôü ðïõ äåí åßíáé áóõìðßåóôá, äçëáäþ ç ðõêíüôçôá ôïõò ìåôáâüëëåôáé êáé ôáõôï ñüíùò åßíáé ìç{éîþäç, äçëáäþ äåí áíáðôýóïõí äéáôìçôéêýò äõíüìåéò. 8 Áöïý ç ðõêíüôçôá ëïéðüí ìåôüâáëëåôáé åßíáé öáíåñü üôé ç ðßåóç èá åîáñôüôáé áðü ôçí ðõêíüôçôá, äçëáäþ ð = ð(ñ): (5.65) Ó'áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç, ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.62) ðáßñíåé ôç ìïñöþ ô ij = ð(ñ)ä ij (5.66) 7 ÂëÝðå ãéá ðáñüäåéãìá "Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics", J.H. Heinbocker. 8 Åßíáé öáíåñü üôé ôýôïéåò éäéüôçôåò ðñïóéäéüæïõí êáëýôåñá óôá áýñéá. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

22 126 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò êáé üðïéá ñåõóôü äéýðïíôáé áðü ìéá ôýôïéïõ åßäïõò êáôáóôáôéêþ ó Ýóç áíáöýñïíôáé ùò åëáóôéêü ñåõóôá Éîþäç ÑåõóôÜ Áò äïýìå ôþñá ôé óõìâáßíåé üôáí óå Ýíá ñåõóôü åßíáé äõíáôüí íá åìöáíßæïíôáé äéáôìçôéêýò ôüóåéò. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ðïõ áíáöýñáìå óôçí áñ Þ áõôþò ôçò ðáñáãñüöïõ, ç ðáñïõóßá äéáôìçôéêþí äõíüìåùí èá ðñïêáëåß ôçí ñïþ ôïõ ñåõóôïý. Óôçí ðåñßðôùóç ëïéðüí ôçò êßíçóçò (õäñïäõíáìéêþ) èá ìðïñïýóáìå íá ãåíéêåýóïõìå ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.62) êáé íá õðïèýóïõìå üôé ðáßñíåé ôçí ìïñöþ ô ij = ðä ij + ó ij ; (5.67) üðïõ ó ij åßíáé ç åðéðëýïí ôüóç ðïõ ïöåßëåôáé óôï ãåãïíüò üôé ôï ñåõóôü äåí åßíáé óå éóïññïðßá êáé ïíïìüæåôáé éîþäçò ôüóç. Ãéá íá êáôáíïþóïõìå êáëýôåñá ðùò áíáðôýóóåôáé ç äéáôìçôéêþ ôüóç óå Ýíá ñåõóôü êáé ìå ðïéåò ðïóüôçôåò óõó åôßæåôáé èá åðéêáëåóôïýìå Ýíá êëáóóéêü ðåßñáìá ôçò ÕäñïäõíáìéêÞò. Áò èåùñþóïõìå Ýíá ñåõáôü ôïðïèåôçìýíï ìåôáîþ ôùí äýï ðëáêþí ôïõ Ó Þìáôïò 5.2, ïé ïðïßåò åßíáé ôïðïèåôçìýíåò ðáñüëëçëá ìåôáîý ôïõò óå áðüóôáóç l. Êñáôïýìå ôçí êüôù ðëüêá óôáèåñþ êáé êéíïýíå ôçí Üíù ðëüêá, ç ïðïßá Ý åé åìâáäüí Á, ðñïò ôá äåîéü üðùò öáßíåôáé óôï ó Þìá. Áóêïýìå ìéá äýíáìç F óôçí Üíù ðëüêá Ýôóé þóôå íá Ý åé óôáèåñþ ôá ýôçôá V. Ôï ñåõóôü åîáíáãêáóìýíï áðü ôçí Üíù ðëüêá èá êéíçèåß åðßóçò, áëëü ü é ìå óôáèåñþ ôá ýôçôá. Ç ôá ýôçôá ôïõ êüèå óçìåßï ôïõ ñåõóôïý èá åîáñôüôáé áðü ôçí áðüóôáóç ôïõ áðü ôéò ðëüêåò. Óôï ó Þìá öáßíåôáé ôï ðñïößë ôçò ôá ýôçôáò êáèþò êéíïýìáóôå êüèåôá ðñïò ôéò ðëüêåò. Ðáñáôçñïýìå üôé ç ôá ýôçôá ìåéþíåôáé êáèþò êéíïýìáóôå ðñïò ôá êüôù. Èåùñïýìå üôé ôá õëéêü óçìåßá ôïõ ñåõóôïý ðïõ åöüðôïíôáé ìå ôéò ðëüêåò Ý ïõí ôçí ôá ýôçôá ôùí ðëáêþí, äçëáäþ óôçí Üíù ðëüêá ç ôá ýôçôá ôïõ ñåõóôïý åßíáé V, óôçí êüôù ðëüêá åßíáé ìçäýí êáé üëá ôá åíäéüìåóá óçìåßá ðüéñíïõí üëåò ôéò åíäéüìåóåò ôéìýò ôçò ôá ýôçôáò ìå ãñáììéêü ôñüðü. Áí ìåôáâüëëïõìå ôéò ðáñáìýôñïýò ôïõ ðåéñüìáôïò, èá äéáðéóôþóïõìå üôé ç äýíáìç F åßíáé áíüëïãç ìå ôçí ôá ýôçôá V, êáé ôï åìâáäüí ôçò Üíù ðëüêáò Á êáé áíôéóôñüöùò áíüëïãç ôçò áðüóôáóçò l. ÄçëáäÞ èá éó ýåé F = ì AV l ; (5.68) üðïõ ôï ì åßíáé ìéá óôáèåñü áíáëïãßáò ðïõ åîáñôüôáé áðü ôï óõãêåêñéìýíï ñåõóôü, äçëáäþ åßíáé ìéá óôáèåñü ôïõ õëéêïý ðïõ èá ôçí áðïêáëïýìå éîþäåò ôïõ ñåõóôïý. Ðñïöáíþò, üóï ìåãáëýôåñï éîþäåò Ý åé Ýíá ñåõóôü ôüóï ðåñéóóüôåñï áíôéóôýêåôáé óôç äéüôìçóç Þ éóïäýíáìá, ôüóï ìåãáëýôåñåò äéáôìçôéêýò ôüóåéò ìðïñïýí íá áíáðôõ èïýí óå áõôü. Ç åî. (5.68) ãñüöåôáé åðßóçò F A = ì V l : (5.69) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

23 5.4 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá ñåõóôü 127 Ó Þìá 5.3. Ñåõóôü ôïðïèåôçìýíï ìåôáîý äýï ðëáêþí ÐáñáôçñÞóôå üôé óôï áñéóôåñü ìýñïò ôçò (5.69) Ý åé äéáóôüóåéò ôüóçò (äýíáìç áíü ìïíüäá åðéöüíåéáò). Ðñïöáíþò ðñüêåéôáé ãéá ôç äéáôìçôéêþ ôüóç ðïõ áéóèüíåôáé êüèå óçìåßï ôïõ ñåõóôïý ðïõ åöüðôåôáé óôçí Üíù ðëüêá. ñá ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôçí ðáñáðüíù Ýêöñáóç ùò ó = ì V l : (5.70) Ôá Üëëá óçìåßá ôïõ ñåõóôïý ðïõ âñßóêïíôáé ìáêñéü áðü ôçí êéíïýìåíç ðëüêá èá áéóèüíïíôáé ìéêñüôåñç äéáôìçôéêþ ôüóç. Ãéá ðáñüäåéãìá, ç ôüóç óå Ýíá óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé óôï Üíù ìýñïò ôçò ìéêñþò ëùñßäáò Äy (âë. Ó Þìá 5.2) èá äßíåôáé áðü ôçí Ýêöñáóç: ó = ì V 1 V 2 Äy = ì ÄV Äy : (5.71) Áí ìéêñýíïõìå ðüñá ðïëý ôï ðëüôïò ôçò ëùñßäáò Ýôóé þóôå ôï Äy íá ôåßíåé óôï ìçäýí èá ðüñïõìå ó = ì dv dy : (5.72) Áðü ôçí åî. (5.72) ðñïêýðôåé üôé ç äéáôìçôéêþ ôüóç åßíáé áíüëïãç ðñïò ôçí ðáñüãùãï ôçò ôá ýôçôáò. Ìðïñïýìå ëïéðüí íá ãåíéêåýóïõìå èåùñþíôáò üôé ç éîþäçò ôüóç åßíáé áíüëïãç ðñïò ôçí êëßóç ôçò ôá ýôçôáò: ó ij = C ijkl v k;l ; (5.73) üðïõ ïé óõíéóôþóåò ôïõ C ijkl áðïôåëïýí õëéêýò óôáèåñýò ôïõ ñåõóôïý. ÌåôÜ ôçí (5.73), ç ó Ýóç (5.67) ãßíåôáé ô ij = ðä ij + C ijkl v k;l : (5.74) Ç ó Ýóç (5.74) áñáêôçñßæåé ìéá åõñåßá êëüóç ñåõóôþí ôá ïðïßá èá ôá áíáöýñïõìå ùò Íåõôþíåéá ñåõóôü. Áò óçìåéþóïõìå ôçí "áíáëïãßá" ìå ôá ãñáììéêü åëáóôéêü ìýóá. Ç ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

24 128 ÊáôáóôáôéêÝò Ó Ýóåéò äéáöïñü Ýãêåéôáé óôï ãåãïíüò üôé óôá Íåõôþíåéá ñåõóôü ç ôüóç åîáñôüôáé ãñáììéêü áðü ôçí êëßóç ôçò ôá ýôçôáò, åíþ óôá ãñáììéêü åëáóôéêü ìýóá ç ôüóç åîáñôüôáé ãñáììéêü áðü ôçí êëßóç ôçò ìåôáôüðéóçò. Áí Ýíá Íåõôþíåéï ñåõóôü åßíáé åðéðëýïí êáé éóïôñïðéêü 9, ôüôå ï áñéèìüò ôùí õëéêþí óôáèåñþí ìåéþíåôáé äñáìáôéêü êáé ãßíïíôáé ìüíï äýï. Óôçí ðåñßðôùóç ôçò éóïôñïðßáò ï C ijkl ãßíåôáé C ijkl = ëä ij ä kl + ì(ä ik ä jl + ä il ä jk ): (5.75) ôóé ó' áõôþ ôçí ðïëý óõíçèéóìýíç óôçí ðñüîç ðåñßðôùóç, óôçí ïðïßá åðéêåíôñþíïíôáé ôá ðåñéóóüôåñá âéâëßá ñåõóôïìç áíéêþò, ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç èá ðüñåé ôçí ìïñöþ ô ij = ðä ij + ëd kk ä ij + 2ìD ij ; (5.76) üðïõ ì êáé ë äýï áíåîüñôçôåò ðáñüìåôñïé ðïõ áñáêôçñßæïõí ôï éîþäåò ôïõ ñåõóôïý êáé áíáöýñïíôáé áíôßóôïé á ùò ðñþôïò êáé äåýôåñïò óõíôåëåóôþò éîþäïõò. Åðßóçò ï D ij äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç D ij = 1 ) j : (5.77) i ÐñïóÝîôå üôé ïôé ï ôáíõóôþò D ij äåí åßíáé ôßðïôá Üëëï áðü ôï ñõèìü ìåôáâïëþò (ôç ñïíéêþ ðáñüãùãï) ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí D ij = ė ij : (5.78) Ôï áñáêôçñéóôéêü ôùí Íåõôþíåéùí ñåõóôþí åßíáé üôé åîáñôþíôáé ãñáììéêü áðü ôïí ôáíõóôþ D ij. Óçìåéþíïõìå üôé õðüñ ïõí éîþäç ñåõóôü üðùò ãéá ðáñüäåéãìá ôï ìýëé êáé ç ðßóá ðïõ äåí åîáñôþíôáé ãñáììéêü áðü ôïí ñõèìü ìåôáâïëþò ôçò ôñïðþò. Óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ç ãåíéêþ ó Ýóç (5.67) ðáßñíåé ôç ìïñöþ ô ij = ðä ij + f ij (D kl ); (5.79) üðïõ f ij ìéá ìç{ãñáììéêþ ôáíõóôéêþ óõíüñôçóç. ¼óá ñåõóôü áñáêôçñßæïíôáé áðü ìéá êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ôïõ ôýðïõ (5.79) èá áíáöýñïíôáé ùò ìç{íåõôþíåéá ñåõóôü. ÁóêÞóåéò 1. Íá åéóüãåôå ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (5.76) óôçí åîßóùóç éóïññïðßáò (4.70) þóôå íá ðáñá èåß ç åîßóùóç éóïññïðßáò ãéá ôá Íåõôþíåéá ñåõóôü. 2. íá ìç{éîþäåò ñåõóôü âñßóêåôáé óå éóïññïðßá õðü ôçí åðßäñáóç ôïõ ïìïéüìïñöïõ âáñõíôéêïý ðåäßïõ ðïõ äñá óôçí 3 {äéåýèõíóç. Íá áðïäåßîåôá üôé ç ðßåóç ð ìåôáâüëëåôáé ãñáììéêü ùò ðñïò ôç 3 {äéåýèõíóç. Õðüäåéîç: ñçóéìïðïéþóôå ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ãéá ôá ìç{éîþäç ñåõóôü (5.62) êáé ôçí åîßóùóç éóïññïðßáò (4.70) ãéá íá äéáôõðþóåôå ôçí äéáöïñéêþ åîßóùóç ðïõ äéýðåé ôçí ðßåóç. 9 ÄçëáäÞ ïé éäéüôçôýò ôïõ äåí åîáñôþíôáé áðü ôç äéåýèõíóç. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

25 5.4 ÊáôáóôáôéêÝò õðïèýóåéò ãéá ôá ñåõóôü Äßíåôáé Ýíá Íåõôþíåéï ñåõóôü, íá áðïäåßîåôå üôé ç óõíïëéêþ åðéöáíåéáêþ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óå ìéá ôõ áßá åðéöüíåéá S ðïõ ðåñéêëåßåé ôï ùñßï Ù éóïýôáé ìå ôï ôñéðëü ïëïêëþñùìá ( ð + (ë + ì) ( v) + ì 2 v ) dv Ù ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

26

27 Τέλος Ενότητας

28 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

29 Σημειώματα

30 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. id=1296.

31 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης. «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου. Καταστατικές Σχέσεις». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=1296.

32 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] by-sa/4.0/.