TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. V. Väinaste. Kehade pöördliikumine

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. V. Väinaste. Kehade pöördliikumine"

Transcript

1 TARTU ÜLIKOOL Teaduskool V. Väinaste Kehade pöördliikumine TARTU 009 1

2

3 Kehade pöördliikumine Mehaanikas eristatakse kehade liikumise kahte põhiliiki: a) kulgliikumine b) pöördliikumine Kulgliikumise korral liiguvad kõik keha punktid ühtviisi. Gümnaasiumi füüsika kursuses õpitakse seda liikumise liiki võrdlemisi põhjalikult. Hoopis vähe on aga õpiku lehekülgedel ruumi jäetud teise põhilise liikumise liigi iseloomustamiseks. Samal ajal kohtame pöördliikumist igapäevases elus ja tehnikas mitte harvemini kui kulgliikumist. Looduses sooritavad pöördliikumist näiteks Päike, Maa ning teised planeedid, tehnikas on sellega tegemist mitmesuguste hammas- ja rihmülekannete puhul. Pöördliikumiseks nimetatakse sellist liikumist, mille puhul keha kõik punktid liiguvad mööda ringjooni, kusjuures nende ringjoonte keskpunktid asuvad ühel sirgel pöörlemisteljel. Pöörlemiseks nimetame sellist pöördliikumist, mille puhul pöörlemistelg läbib pöördliikumises olevat keha. Nagu selgub, on pöördliikumise korral keha punktide liikumise joonkiirused ja joonkiirendused erinevad. Et iseloomustada pöördliikumises oleva keha liikumist, tuleb leida selline füüsikaline suurus, mis kirjeldaks kogu keha liikumist. Pole raske näha, et selliseks suuruseks võib võtta keha pöördenurga nurga, mille võrra pöördub keha mingist punktist pöörlemisteljele tõmmatud ristsirge. Valinud nii pöördliikumist iseloomustava suuruse, näeme, et pöördliikumisega seotud põhiülesandeks on osata määrata keha pöördenurka mistahes ajamomendil. Selleks on vaja teada pöördenurka ajamomendil t 0 ning pöördenurga muutumise sõltuvust ajast. Viimast iseloomustab nurkkiirus ω, mis mõõdab pöördenurga ϕ muutust ajaühikus (SI-süsteemis mõõtühikuks 1 rad/s ). Sellest lähtudes ϕ ϕ ω 0, millest t ϕ ϕ 0 + ωt. Saadud seos võimaldabki määrata pöördenurka mistahes ajamomendil, kuid ainult juhul, kui ω const (ühtlane pöördliikumine). Kui ω const, siis nimetatakse sellist pöördliikumist mitteühtlaseks. Sellisel juhul on põhiülesande lahendamiseks vaja teada nurkkiiruse muutumise seadust. Vaatleme alljärgnevalt lihtsamat mitteühtlase pöördliikumise juhtumit, kus ω konst t s.o. ühtlaselt muutuvat pöördliikumist. Suurust, mis mõõdab nurkkiiruse muutumist ajaühikus, nimetatakse nurkkiirenduseks: 3

4 ω ε t ω 0 SI-süsteemis mõõtühikuks 1 rad/s. Analoogiliselt kulgliikumisega võib pöörlemine olla ühtlaselt kiirenev ( ε > 0) või ühtlaselt aeglustuv ( ε < 0). Nende pöördliikumise liikide korral keskmine nurkkiirus Seni on juttu olnud pöördliikumist iseloomustavate vektoriaalsete põhisuuruste ϕ, ω, ε arvuliste väärtuste leidmisest. Nende suuruste suuna määrab ära keha pöörlemise suund. Pöördenurga ja nurkkiiruse vektorite siht langeb ühte pöörlemistelje sihiga ning suund määratakse nn kruvireegliga. Kui kruvi pea pöörlemissuund ühtib keha pöörlemissuunaga, siis kruvi liikumise suund määrab ϕ ja ω suuna (vt. joonis 1). ω k ω + ω 0 ning pöördenurk asendamist ϕ ( ω + ω ) ϕ ω k t. Pärast 0 t ning edasi teisendades ω0 + ω0 + εt εt ϕ ω0t + Joonis 1 Samuti langeb nurkkiirenduse vektori siht ühte pöörlemistelje sihiga, kuid suund oleneb sellest kas ε > 0 või ε < 0 (vt. joonis 1). saame: εt ϕ ω0t +. Sellest on näha, et pöördliikumise kinemaatika valemid on sarnased kulgliikumisel kehtivate valemitega, kus teatud suurused on asendunud teistega (läbitud tee s on asendunud pöördenurga ϕ-ga, joonkiirus v ω -ga ning a ε -ga). Joonis Seega taandub ühtlaselt muutuva pöördliikumise korral pöördenurga määramine nurkkiirenduse leidmisele. Järgnevalt vaatleme võimalusi, kuidas saaks määrata nurkkiirendust. Lähtume sellest, et iga pöördliikumises oleva keha punkti võib vaadelda kui ringjoonel liikuvat masspunkti (vt. joon. ). Selle masspunkti joonkiirendus a v/ t. Kuna v ωr, siis 4

5 Kuna aga millest ωr a. t ε ω / t, siis a εr, ε a/ R. Saadud seos võimaldabki määrata nurkkiirendust. Joonisel 3 on kujutatud katseseade, mille abil on võimalik saadud seose põhjal leida ε. Plokile keeratud nööri ühte otsa on kinnitatud koormis, mis liigub alla jääva kiirendusega a. Sama kiirendusega liiguvad kõik plokiratta punktid, mis asetsevad keskpunktist raadiuse kaugusel. Eespool toodud seoses ε a/ R võime asendada a H / t (kulgliikumise vale- mist H at / ). εt ϕ ϕ0 + ω0t + põhjal. Taoline nurkkiirenduse määramine ei ole alati võimalik. Kuidas siis toimida? Vastuse leidmiseks on vaja põhjalikumalt tundma õppida pöördliikumise seaduspärasusi, täpsemini öeldes, uurida tingimusi, mis määravad nurkkiirenduse väärtuse. Sellele annab vastuse pöördliikumise dünaamika. Taolist uurimist võib lihtsamal juhul teostada joonisel 3 kujutatud katseseadmega. Muutes koormuse massi ja nööri kaugust keskpunktist selgub, et nende muutmisel muutub ka nurkkiirendus. Üheks pöördliikumist iseloomustavaks suuruseks on valitud korrutis FR, mida nimetatakse jõumomendiks (M). Rakendades kettale erinevaid jõumomente ning mõõtes neile vastavad nurkkiirendused selgub, et nende vastavate väärtuste suhe on antud ketta korral jääv suurus. M ε 1 M M n 1 ε n konst. ε Joonis 3 Kuna H, R, ja t on mõõdetavad, siis saamegi seosest ε H / Rt Suhte M / ε jäävus ei ole juhuslik, vaid peab iseloomustama pöördliikumises oleva keha mingit üldist omadust. Kui vaadeldav suurus on määratud ja leitud võimalus selle mõõtmiseks, siis on ka ε leidmise küsimus lahendatud. Suhet M / ε, mis iseloomustab keha inertsust pöördliikumisel, nimetatakse keha inertsimomendiks (J). leida nurkkiirenduse väärtuse. Pöördenurga leiame valemi Seega M / ε J ning 5

6 M Jε. Saadud seost nimetatakse pöördliikumise dünaamika põhivõrrandiks. Nimetatud võrrandi põhjal on võimalik katseandmete põhjal määrata keha inertsimomenti. Taolised mõõtmised näitavad, et keha inertsimoment sõltub keha massist, mõõtmetest ja massi jaotusest pöörlemistelje suhtes. Joonisel 3 kujutatud katseseadme abil, mõõtes ε ja M väärtusi, saab leida põhivõrrandi kaudu keha inertsimomendi. Sellist eksperimentaalset meetodit ei ole aga alati võimalik kasutada. Järgnevalt vaatleme, kuidas saab inertsimomenti lihtsamatel juhtudel leida arvutuste teel. i i M m r ε. i Analoogiliselt avalduvad mistahes teistele massielementidele mõjuvad jõumomendid: 1 1r1 M m ε, r M m ε, M m Summeerides saame: M M ε n nrn ( m r + m r + + m r ) M 1 ε + + M Sulgavaldis kujutabki antud keha inertsimomenti, milline üldkujul avaldub järgmiselt: n n n n i 1 i J m i r. Saadud seost saame rakendada järgmiste lihtsamate kehade inertsimomentide leidmiseks: Joonis 4 Olgu m i pöörleva keha massielement ja r i selle kaugus pöörlemisteljest (vt. joon. 4, kus tähistab joonise tasandiga risti olevat lugeja poole suunatud vektorit). Newtoni II seaduse põhjal massielemendile mõjuv jõud F i miai, kus ai εri. Asendades Fi miεri ning korrutades saadud võrduse mõlemaid pooli ri -ga, saame F iri miri ε ehk a) peenikese varda otsa kinnitatud masspunkt tiirleb ringjoonel raadiusega r. Üldisest seosest J mr. b) peenike rõngas, mille mass on m, raadius r. ( m + m + + m ) r mr J m r + m r + + m r n n n Teiste kehade (ketas, varras, kera jne.) inertsimomentide leidmine elementaarmatemaatika põhjal ei ole 6

7 võimalik, vaid tuleb rakendada integraalarvutust. juhul võimaldab inertsimomenti määrata Steineri teoreem. Joonis 6 Esitame selle ilma tõestuseta: Joonis 5 Olgu siin lisatud mõnede kehade inertsimomendid ilma arvutusteta (vt. joon. 5): 1) ketas (mass m, raadius r): 1 J mr, ) kera (mass m, raadius r): J mr, 5 3) ühtlane varras (mass m, pikkus l): 1 J ml. 1 Need valemid kehtivad ainult sel juhul, kui pöörlemistelg läbib massikeset. Kui pöörlemistelje asend muutub, siis omab ka keha inertsimoment erineva väärtuse. Sellisel Keha inertsimoment meelevaldselt valitud punkti O 1 läbiva telje suhtes võrdub sama keha inertsimomendiga J 0 massikeset läbiva ja esimese teljega paralleelse telje suhtes, millele on liidetud korrutis mb, kus m on pöörleva keha mass ja b massikeskme kaugus pöörlemisteljest (vt. joonis 6). Toodud pika sõnastusega teoreem avaldub valemi kujul järgmiselt: J J 0 + mb. Rakendame Steineri teoreemi varda inertsimomendi leidmiseks, kui pöörlemistelg läbib varda otspunkti ning on risti varda teljega: 1 1 J J ml 0 l + m ml ml. 7

8 Eeltooduga aga ei piirdu pöördliikumise seaduspärasused. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrandist M Jε saame, asendades ω ω ε 0, et t ( ω ω ) J 0 Jω Jω. t t M 0 Korrutist J ω nimetatakse keha impulssmomendiks (ka liikumishulga moment). Sellise nimetuse põhjuseks on asjaolu, et lihtsamal juhul v Jω mr mrv ( mv) r. r Seega Jω ( mv) r, kus mv masspunkti impulss ja r masspunkti kaugus pöörlemisteljest. Korrutise J ω kasutuselevõtmine pöördliikumise iseloomustamiseks ei ole juhuslik, sest selle kaudu on võimalik väljendada üht tähtsat seaduspärasust pöördliikumises olevate kehade puhul: Jω Jω0 Kui seoses M M 0, t siis J ω Jω 0 0 ning J ω Jω0. Viimasest võrdusest järeldub, et juhul, kui kehale mõjuvate väliste jõumomentide summa on null, siis keha impulssmoment on jääv. Saadud tulemus on aga üks looduses kehtivatest põhilistest jäävusseadustest impulssmomendi jäävuse seadus. Igapäevases elus tuleb selle jäävuse seadusega eelkõige arvestada balletitantsijail, iluuisutajail, akrobaatidel jne. Selleks, et iluuisutaja saaks muuta pöörlemiskiirust, muudab ta käte ja jalgade asendi muutmisega keha inertsimomenti. Kui võrduses J ω konst J väheneb, siis peab sama arv korda ω suurenema (iluuisutaja toob sel juhul käed kehale lähemale). Seni oli juttu ainult impulssmomendi arvulisest väärtusest. Nii nagu keha impulss on vektoriaalne suurus, on ka impulssmoment vektor, mille suund langeb ühte nurkkiiruse vektori suunaga. Impulssmomendi jäävuse seadust tuleb mõista üldisemal kujul kui väliste jõumomentide summa on null, jääb impulssmomendi suund samaks. Selle seaduspärasuse kehtivus ilmneb mitmete pöörlevate kehade juures (vurr, Maa pöörlemine jt.). Heaks näiteks on kettaheide, kus ketta pöörlemisega on võimalik anda kettale lennul vajalik suund. Impulssmoment osutub sobivaks suuruseks ka aatomites toimuvate protsesside iseloomustamiseks a. esitas Taani füüsik Niels Bohr vesiniku aatomi mudeli, mille kohaselt elektron liigub ümber tuuma ringorbiidil, kus elektroni impulssmoment võib omada ainult teatud kindlaid väärtusi. Valemi kaudu oleks ülaltoodu esitatud järgmiselt: mvr n, kus ћ konstant ja n mistahes täisarv (1,, 3, 4 jne.). Sellega oli kasutusele võetud kvantteooria põhimõtted aatomi kirjeldamisel. Klassikalise füüsika seisukohalt võiks mvr omada mistahes väärtusi. Kaa- 8

9 saja füüsika seisukohalt on aatom siiski keerukam süsteem, kui seda Bohr ette kujutas. Vaatamata sellele oli Bohri aatomimudel suur samm edasi keeruka mikrosüsteemi uurimisel. Huvitavatele järeldustele Bohri teooria põhjal jõuame lihtsate arvutuste teel. Olgu joonisel 7 kujutatud vesiniku aatomi mudel Bohri järgi, kus elektron (laeng q) liigub ümber tuuma (laeng + q ) ringorbiidil raadiusega R. + q Elektroni kesktõmbekiirendus a n v / R q ning Newtoni II seaduse põhjal a F m, n e / kus F e elektriline tõmbejõud elektroni ja tuuma vahel. Katsed näitavad, et elektriline jõud F e on pöördvõrdeline kauguse ruuduga s.t. kus k konstant. F kq / R e, Asendamisel saame, et v kq kq ehk v R mr mr. Bohri poolt esitatud seose põhjal: n v. mr Kahe viimase seose kaudu saame: kq n mr m R ning pärast lihtsustamist n R, kus konst. kmq km Tähistades saadud konstantse suuruse R 0,5 10 cm, saame, 8 et 0 R n R 0. Sellest järeldub, et elektron võib vesiniku aatomis liikuda ainult teatud orbiitidel: R 0, 4R 0, 9R jne. 0 Tehnikas kasutatakse laialdaselt pöörlevate kehade kineetilist energiat, eelkõige mitmete seadmete hoorataste juures. Pöörleva keha kineetilise energia saab lihtsamal juhul (massipunkt m tiirleb pöörlemisteljest kaugusel r) leida järgmiselt: mv mω r Jω K. Saadud valem kehtib ka teiste pöördliikumises olevate kehade kohta. Nii näiteks avaldub horisontaalsel pinnal veereva ketta kineetiline energia järgmiselt: ( 1 K K 1 + K K kulg- ja K pöördliikumise kineetiline energia). Pärast asendamist saame: mv K Jω mv + + 9

10 + ( 1/) mr ω mv 3mv K. 4 mr v + 4r Avaldades pöördliikumise kineetilise energia muutuse, saame ( Jω ) J ( ω ω0 ) K J ( ω + ω0) ( ω ω ) 0 J ( ω + ω0) ( ω ω ) t 0 t J ( ω + ω0) εt ; Kulgliikumine ; K Jωk εt Jεϕ Mϕ. Analoogiliselt kulgliikumisega kujutab saadud valem töö arvutamise eeskirja pöördliikumisel, seega A Mϕ. Lõpuks vaatleme ülevaatlikku tabeli, kus saame võrrelda kulg- ja pöördliikumise tähtsamaid valemeid; paneme sealjuures tähele analoogiat kulg- ja pöördliikumise vastavate valemite vahel. Et saada kulgliikumise valemitest vastavaid pöördliikumise valemeid, tuleb asendada joonkiirus v nurkkiirusega ω, kiirendus a nurkkiirendusega ε, mass m inertsimomendiga J, jõud F jõumomendiga M. Pöördliikumine läbitud tee ühtlasel liikumisel s vt pöördenurk ühtlasel pöörlemisel ϕ ωt kiirendus a ( v v )/ t nurkkiirendus ( )/ t 0 ε ω ω 0 läbitud tee ühtlaselt muutuval liikumisel s v0t + at / pöördenurk ühtlaselt muutuval 0 t pöörlemisel ϕ ω t + ε / dünaamika põhivõrrand F ma dünaamika põhivõrrand M Jε kineetiline energia K mv / kineetiline energia K Jω / töö A Fs töö A Mϕ Märkus: Pöördenurga mõõtmise ühikuks SI-süsteemis on teatavasti rad/s ja nurkkiirenduse mõõtmise ühikuks rad/s. Olgu märgitud, et SI-süsteemis radiaan on tegelikult dimensioonita suurus ning korrektne kirjaviis oleks vastavalt 1/s ja 1/s. Seda tuleks eriti silmas pidada ülesannete lahendamisel. (Näiteülesandest lehekülgedel 11 võime näha, mis juhtuks, kui nurkkiiruse dimensiooniks kirjutaksime mitte 1/s vaid rad/s ). 10

11 Kehade liikumise kirjeldamine pöördliikumist sooritavates süsteemides Seni me ei pööranud tähelepanu taustsüsteemi valikule, sest kõigi vaadeldud juhtumite korral kirjeldaksime pöördliikumist Maaga seotud taustsüsteemi suhtes. Selline valik on enamikel juhtudel õigustatud, sest meie igapäevane elu ja tegevus on seotud orienteerumisega Maa suhtes. Taustsüsteemi valiku küsimus tekib tavaliselt siis, kui on vaja kirjeldada mingi keha liikumist juhul, kui see asub pöörleval kehal (näiteks klots, mis liigub pöörleval kettal). Sellisel juhul osutub lihtsamaks antud keha liikumist kirjeldada nii, et paigalseisev taustsüsteem seotakse pöörleva kehaga (näiteks, kettaga). Niiviisi saadud võrrandid on sageli palju lihtsamad. Kuid ka siin tekivad omamoodi raskused. See tuleb ilmseks lihtsa katse juures, kus kettale tuleb asetada klots ning ketas panna pöörlema. Teatud pöörlemissageduse korral lendab klots kettalt ära. Selle katse tulemus ei ole aga kooskõlas Newtoni seadustega. Klots ei tohiks liikuma hakata, kuna talle mõjuvate jõudude summa on null! Kuidas saab antud katse tulemust esitada? Vastus on siin lihtne: Newtoni seadused kehtivad ainult inertsiaalsüsteemides. Antud juhtumil on tegemist mitteinertsiaalse süsteemiga. Selleks, et antud klotsi käitumist viia kooskõlla Newtoni seadustega, võetakse kasutusele eriliiki jõud inertsjõud ( ) i F. Pöörlevates süsteemides nimetatakse seda jõudu tsentrifugaalinertsjõuks. See jõud on suunatud raadiuse sihis tsentrist eemale ning avaldub valemiga: F i ma ehk F i v m Mω R. R Võttes kasutusele inertsijõu, võime klotsi olekut kettal kirjeldada järgmiselt (vt. joon. 8): klots püsib paigal seni, kuni tsentrifugaalinertsijõud ületab maksimaalse paigaloleku hõõrdejõu: F, kus F h µ mg. i F h Joonis 8 Asendades inertsijõu, saame m ω R µ mg. Siit avaldub klotsi paigaloleku tingimus: ω µg/ R. Märkus: Gümnaasiumi füüsika kursuses taoline ülesanne lahendatakse tavaliselt Maaga seotud taustsüsteemi suhtes. 11

12 Analoogiliselt võime lahendada ka teisi ülesandeid, kus võtame kasutusele tsentrifugaalinertsijõu. Vaatleme ühte ülesannet, milline oli esitatud lahendamiseks füüsika olümpiaadi lõppvoorus 9. kl aastal. Joonis 9 Õõnes poolkera raadiusega R m pöörleb ühtlaselt ümber oma sümmeetriatelje sagedusega 30 p/min. Poolkera sees, selle siledal pinnal, asub kuulike. Leida kõrguse h, mis vastab kuulikese tasakaaluasendile poolkera suhtes. R h r mg mω r ning pärast lihtsustamist: g g R h h R ; ω ω 9,8 h 1 m. ( π 0,5) Tsentrifugaaljõuga on tegemist ka maakeral. Olgu siin lisatud, et maakera väikese nurkkiiruse tõttu on inertsijõud väike ning loeme Maaga seotud taustsüsteemi tavaliselt inertsiaalsüsteemiks. Kuid mitmetel juhtudel on inertsijõu mõju vajalik arvestada. Tsentrifugaalinertsijõu mõjuga on seletatav keha kaalu vähenemine sõltuvalt geograafilisest laiusest. Keha kaal sõltub peale selle ka keha kaugusest Maa keskpunktist. Loeme paigalseisvaks poolsfääri. Sel juhul mõjuksid kuulile kolm jõudu: raskusjõud mg (mõjub alla), pinna elastsusjõud N (mõjub poolkera keskpunkti suunas) ja tsentrifugaalinertsjiõud F i (joonisel mõjub vasakule). Kuna kuulike on paigal, siis peab kehtima seos N + mg + Fi 0 R mg m F i N Olgu r kuulikese kaugus poolkera pöörlemisteljest. Sarnastest kolmnurkadest saame, et kus F i R h r mω r, siis mg F i, Joonis 10 Vaatleme keha kaalu arvutamist lihtsamal juhul Maa ekvaatoril. Joonisel 10 on kujutatud kehale massiga 1

13 m mõjuvad jõud: raskusjõud mg, pinna elastsusjõud N ja tsentrifugaalinertsijõud F i, kus F i mω R. Keha kaal ekvaatoril: P mg Fi mg mω R ; ( g ω R) P m. ω R P ϕ mg 1 cos ϕ. g Tegelikult kehtib siin pisut teistsugune valem, kus on arvestatud ka Maa lapikust ning 1 P ϕ mg 1 cos ϕ. 191 Vaatleme järgnevalt keha kaalu arvutamist mingil laiuskraadil ϕ. Sellisel juhul keha kaalu vektori suund ei lange ühte raskusjõu suunaga (vt. joon. 11). Joonis 1 Joonis 11 Jooniselt nähtub, et mω r ja r Rcosϕ. Keha kaal avaldub: Pϕ Fi + mg. Lahutades inertsijõu kaheks komponendiks, saame pärast mõningaid teisendusi (selle teisenduse läbiviimist on soovitav õpilastel endil proovida) järgmise seose kaalu arvestamiseks: F i Seni vaadeldud näidete puhul oli tegemist pöörlevas süsteemis paigalseisvate kehadega. Mis aga ilmneb siis, kui keha antud süsteemi suhtes liiguks? Vaatleme siin juhtumit, kus kehale antakse pöörlevas süsteemis normaalsuunaline (tsentrist eemale) algkiirus. Võtame vaatluse alla jälle pöörleva ketta (vt. joon. 1). Kui ketas ei pöörle, siis rennilt eemaldunud kuulike liigub mööda sirgjoonelist trajektoori OA. Paneme ketta pöörlema nurkkiirusega ω. Sel juhul kuulikene liigub hoopis mööda kõverjoonelist trajektoori OB. Kuulikese kõrvalekaldumine ei ole jällegi seletatav Newtoni seadustega. Analoogiliselt eelnevaga võtame kasutusele inertsijõu F i, mis mõjub kuulikese kiirusega ristsihis vastupi- 13

14 diselt pöörlemissuunale. Seda inertsijõudu nimetatakse Coriolisi jõuks. Coriolisi jõud sõltub võrdeliselt keha massist ja kiirusest antud pöörlevas süsteemis. Osutub, et nimetatud jõudu tuleb arvestada ka maakera suhteliselt väikese nurkkiiruse korral. Nii ilmneb, et Maa põhjapoolkeral on jõgede parempoolsed kaldad rohkem uhutud. Samasuguse efektiga on seotud raudteedel rööpmete kulumine. Tuntud on ekvatoriaalpiirkondadele lähedastel aladel tekkivad passaattuuled, millede kõrvalekaldumine lõuna-põhja sihist on tingitud liikuvatele õhumassidele mõjuvast Coriolisi jõust. Üks katsetest, mis kinnitab maakera pöörlemist, on vabalt langevate kehade kõrvalekaldumine vertikaalasendist ida suunas. Ka siin põhjustab kõrvalekalde kehale mõjuv Coriolisi jõud. Harjutusülesandeid 1. Näidata, et pöörleva keha kõigi punktide nurkkiirused on samad (teha joonis!). Milline on erinevus mõistete pöördliikumine ja pöörlemine vahel?. Näidata, et pöördliikumist teostava keha kõigi punktide nurkkiirused on samad (teha joonis!). Vaadelda juhtu, kus pöörlemistelg asub väljaspool keha. Kas on tegemist pöörlemisega? 3. Leida maakera inertsimoment pöörlemistelje suhtes, kui keskmine raadius on 6400 km ja kesk-mine 3 tihedus 5,5 g/cm. 4. Ketas kaaluga 0 N veereb ilma libisemata horisontaalsel pinnal kiirusega 4 m/s. Leida ketta kineetiline energia. 5. Ventilaator pöörleb sagedusega 900 p/min. Pärast mootori väljalülitamist pöörleb ventilaator ühtlaselt aeglustavalt ning peatub 10 s pärast. Mitu täispööret sooritas ventilaator peatumiseni? 6. Hooratas, mille inertsimoment on 45 kg m, pöörleb sagedusega 0 p/s. Kui pöörlemist tekitava jõumomendi mõju lakkab, siis pöörleb ketas jääva nurkkiirendusega ja peatub 1 minuti pärast. Leida hõõrdejõumoment ja täispöörete arv, mis hooratas sooritab peatumiseni. 7. Homogeenne kera massiga m lükatakse algkiirusega v 0 libisema horisontaalsel pinnal. Kera ja pinna vaheline hõõrdetegur libisemisel on µ. Millise vahemaa s läbib kera, kuni lakkab libisemine? Milline on selleks momendiks kera kiirus? 8. Kaldpinna kaldenurk on α. Milline peab olema hõõrdetegur µ, et homogeenne silinder liiguks mööda kaldpinda alla libisemata? 9. Milline jääv jõumoment tuleks rakendada maakerale, et pöörlemine 8 lakkaks 10 aasta pärast? 10. Horisontaalasendis pöörleva ketta (raadius R, inertsimoment J) serval seisab inimene massiga m. 14

15 Ketta pöörlemissagedus on n. Kuidas muutub pöörlemissagedus, kui inimene liigub ketta servalt tsentrisse? 11. Hooratas pöörleb sagedusega 5 p/s. Kui rakendada kettale jääva suurusega pidurdav moment 9800 N m, siis hooratas peatub 0 sekundiga. Milline on hooratta inertsimoment? 1. Kass ronides mööda puuoksa, jalad ülespidi, kukub alla 8 m kõrguselt. Kui kiiresti ta peab tiirutama oma saba, et ta maanduks jalgadele? 13. Vertikaalne varras pikkusega m ja kaaluga 1 kg võib pöörelda ümber horisontaalse telje, mis läbib varda ülemist otsa. Horisonaalsuunas liikuv kuul massiga 10 g ja kiirusega 800 m/s tabab varda keskpunkti ning peatub selles. Millise nurkkiirusega alustab varras pöörlemist? 14. Poiss veeretab horisontaalsel teel rõngast kiirusega 7, km/h. Kui pika tee läbib rõngas oma kineetilise energia arvel mööda kaldteed üles, mille kaldenurk on 6? 15. Vasest kera raadiusega 10 cm pöörleb sagedusega p/s ümber keskpunkti läbiva telje. Kui palju tuleb teha tööd, et nurkkiirust suurendada kaks korda? 16. Inimene massiga 60 kg seisab liikumatul horisontaalsel kettal, mille mass on 100 kg, raadius 10 m. Millise pöörlemissageduse omandab ketas, kui inimene hakkab liikuma jääva kiirusega 4 km/h ringjoont mööda nii, et ta kaugus pöörlemisteljest on 5 m? 17. Koormised massidega m 1 ja m on omavahel ühendatud peenikese niidiga, mis on asetatud üle liikumatu ploki. Plokiratta inertsimoment on J, raadius R. Leida ühendusniidile mõjuvad jõud (vt. joon. 3). 18. Maanteel kurvi kaldenurk on α ja kõverraadius R. Kurvis liigub jalgrattur sellise kiirusega, et jalgratast läbiv tasapind on risti maanteega. Jalgratturi mass on m ning hõõrdetegur kummide ja tee vahel µ. Määrata jalgratturi kiirus ja toereaktsioon. 19. Vagun liigub kiirusega 7 km/h kurvis, mille kõverusraadius on 400 m. Milline on vedrukaalu otsa riputatud 10 kg koormise kaal? 0. Pöörleval kettal 50 cm kaugusel tsentrist asetseb koormis. Maksimaalne paigaloleku hõõrdetegur on 0,05. Millise ketta pöörlemissageduse korral lendab koormis kettalt ära? 1. 6,8 cm pikkune kett moodustab rõnga, mis on paigutatud puust kettale. Keti mass on 40 g. Leida ketis tekkiv elastsusjõud, kui ketas panna pöörlema sagedusega 1 p/min.. Homogeenne varras, mille pikkus on l ja mass m, pöörleb jääva nurkkiirusega ümber varda ühte otsa läbiva pöörlemistelje. Leida vardas tekkiv elastsusjõud kaugusel x pöörlemisteljest. 15

16 Kontrolltöödeks lahendamisele kuuluvate ülesannete variante: I variant:, 3, 4, 5, 8, 1, 13, 16, 18, 19,. II variant: 1, 3,,4, 6, 9, 10, 1, 14, 17, 18, 0. III variant:, 3, 4, 7, 8, 11, 1, 15, 18, 1,. Teil tuleb järgmiseks kontrolltööks lahendada variant. Tähtaeg:. 16

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge

Füüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge 9.09.017 Füüsika Mehaanika alused Absoluutselt elastne tsentraalpõrge Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Kui seejuures ei teki jääkdeformatsioone, nimetatakse

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika täiendusõpe YFR0080

Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsikainstituut Marek Vilipuu marek.vilipuu@ttu.ee Füüsika täiendusõpe [6.loeng] 1 Tehiskaaslaste liikumine (1) Kui Maa pinna lähedal, kõrgusel kus atmosfäär on piisavalt hõre,

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika täiendusõpe YFR0080

Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsikainstituut Marek Vilipuu marek.vilipuu@ttu.ee Füüsika täiendusõpe [4. loeng] 1 Loengu kava Dünaamika Inerts Newtoni I seadus Inertsiaalne taustsüsteem Keha mass, aine

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

M E H A A N I K A KINEMAATIKA Sirgjooneline liikumine

M E H A A N I K A KINEMAATIKA Sirgjooneline liikumine M E H A A N I K A KINEMAATIKA Sirgjooneline liikumine 1. Auto sõitis Tallinnast Tartusse. Esimese poole teest läbis ta kiirusega 80 km/h ja teise poole kiirusega 120 km/h. Tagasiteel liikus auto poole

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere DÜNAAMIKA Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP Tallinn 2003/2004/2005 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud

Διαβάστε περισσότερα

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga

Διαβάστε περισσότερα

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele) 3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA 3. Impulss Impulss, impulsi jääus Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Mehaanikas nimetatakse

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise.

Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise. KOOLIÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). DÜNAAMIKA. Newtoni seadused. Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu avutada keha liikumise. Newtoni

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

Kineetiline ja potentsiaalne energia

Kineetiline ja potentsiaalne energia Kineetiline ja potentsiaalne energia Koostanud: Janno Puks Kui keha on võimeline tegema tööd, siis ta omab energiat. Seetõttu energiaks nimetatakse keha võimet teha tööd. Keha poolt tehtud töö ongi energia

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinn 2004/2005 1 Eessõna Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks eeskätt Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika. teemad 1-8. Karli Klaas

Füüsika. teemad 1-8. Karli Klaas Füüsika teemad 1-8 Karli Klaas SI-süsteem SI-süsteem ehk rahvusvaheline mõõtühikute süsteem tunnistati eelistatud mõõtühikute süsteemiks oktoobris 1960 Pariisis NSV Liidus kehtis SI-süsteem aastast 1963.

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus. Kinemaatika

Sissejuhatus. Kinemaatika Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika täiendusõpe YFR0080

Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsikainstituut Marek Vilipuu marek.vilipuu@ttu.ee Füüsika täiendusõpe [10.loeng] 1 Arvestustöö Arvestustöö sooritamiseks on vaja 50p (kes on kohal käinud piisab 40p) (maksimaalselt

Διαβάστε περισσότερα

Põhivara aines Füüsika ja tehnika

Põhivara aines Füüsika ja tehnika Põhivara aines Füüsika ja tehnika Maailmapilt on maailmavaateliste teadmiste süsteem, mille abil inimene tunnetab ümbritsevat maailma ja suhestab end sellega. Kui inimindiviid kasutab iseenda kohta mõistet

Διαβάστε περισσότερα

MEHAANIKA. s t. kogu. kogu. s t

MEHAANIKA. s t. kogu. kogu. s t MLR 700 Üldfüüsika süvakursus: Katrin Teras Ettevalmistus Üldfüüsika eksamiks Aine kood: MLR 700 Eksami aeg: 05.0.006 Kell:.00 Ruum: P-5 Konsultatsiooni aeg: 04.0.006 Kell:.00 Ruum: P-5. Ainepunkti mõiste.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.

Διαβάστε περισσότερα

Põhivara aines LOFY Füüsika ja tehnika

Põhivara aines LOFY Füüsika ja tehnika Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond. Looduses toimuvaid

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

FÜÜSIKA I PÕHIVARA. Põhivara on mõeldud üliõpilastele kasutamiseks õppeprotsessis aines FÜÜSIKA I. Koostas õppejõud P.Otsnik

FÜÜSIKA I PÕHIVARA. Põhivara on mõeldud üliõpilastele kasutamiseks õppeprotsessis aines FÜÜSIKA I. Koostas õppejõud P.Otsnik FÜÜSIKA I PÕHIVARA Põhivara on mõeldud üliõpilastele kasutamiseks õppeprotsessis aines FÜÜSIKA I. Koostas õppejõud P.Otsnik Tallinn 2003 2 1. SISSEJUHATUS. Mõõtühikud moodustavad ühikute süsteemi. Meie

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

Ülesannete lahendamise metoodika

Ülesannete lahendamise metoodika Ülesannete lahendamise metoodika Füüsika ülesannete lahendamisel pole eesmärgiks vastuse leidmine, vaid lahendamise õppimine ja harjutamine. Ülesannete lahendamine ei ole "sobivate tähtedega" valemite

Διαβάστε περισσότερα

Põhivara aines LOFY Füüsikaline maailmapilt

Põhivara aines LOFY Füüsikaline maailmapilt Põhivara aines LOFY.01.002 Füüsikaline maailmapilt Maailmapilt on teadmiste süsteem, mille abil inimene tunnetab ümbritsevat maailma ja suhestab end sellega. Kui inimindiviid kasutab iseenda kohta mõistet

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα

Põhivara aines LOFY Füüsika ja tehnika

Põhivara aines LOFY Füüsika ja tehnika Põhivara aines LOFY.01.121 Füüsika ja tehnika Maailm on keskkond, mis jääb väljapoole inimese mina-tunnetuse piire. Loodus (lad natura) on inimest ümbritsev ja inimesest sõltumatult eksisteeriv keskkond.

Διαβάστε περισσότερα

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor. 30. märts a. Keskkooli ülesannete lahendused

Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor. 30. märts a. Keskkooli ülesannete lahendused Eesti koolinoorte 50. täppisteaduste olümpiaad 1. ülesanne Füüsika lõppvoor. 30. märts 2003. a. Keskkooli ülesannete lahendused Läheme kiirusega v/2 liikuvasse süsteemi. Seal on olukord sümmeetriline,

Διαβάστε περισσότερα

Staatika ja kinemaatika

Staatika ja kinemaatika Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.

Διαβάστε περισσότερα

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse

NÄIDE KODUTÖÖ TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL. Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. AAR0030 Sissejuhatus robotitehnikasse TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR000 Sissejuhatus robotitehnikasse KODUTÖÖ Teemal: Tööstusroboti Mitsubishi RV-6SD kinemaatika ja juhtimine Tudeng: Aleksei Tepljakov

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Deformatsioon ja olekuvõrrandid

Deformatsioon ja olekuvõrrandid Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanded aines Füüsikaline maailmapilt

Ülesanded aines Füüsikaline maailmapilt Ülesanded aines Füüsikaline maailmapilt 1. Maa diameetri ja ümbermõõdu määras teadaolevalt esimesena Eratosthenes ca 235.a. e.m.a. Ta mõõtis suvise pööripäeva keskpäeval Aleksandrias vertikaalse vaia ning

Διαβάστε περισσότερα

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD 4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD Arvatavasti oled sa oma elus kogenud, et kõik mõjud on vastastikused. Teiste sõnadega: igale mõjule on olemas vastumõju. Ega füüsikaski teisiti ole. Füüsikas on kehade vastastikuse

Διαβάστε περισσότερα

; y ) vektori lõpppunkt, siis

; y ) vektori lõpppunkt, siis III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

I tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt?

I tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt? I tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt? (Sündmused tekitavad signaale, mida me oma meeleorganitega aistingutena

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP)

LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) LOFY.01.087 Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) Sissejuhatus... 1 1. Füüsika kui loodusteadus... 2 1.1. Loodus... 2 1.2. Füüsika... 3 1.3. Teaduse meetod... 4 2. Universumiõpetus... 7 3. Liikumine

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 22. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 22. füüsika lahtine võistlus Eesti koolinoorte. füüsika lahtine võistlus 6. november 011. a. Noorema rühma lahendused 1. (POSTID) Posti pikkus on pärast soojushulga andmist: l = l algne(1 + a)q cm Sellest saab arvutad, kui pikaks

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. Võnkumised ja lained. Koostanud Henn Voolaid

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. Võnkumised ja lained. Koostanud Henn Voolaid TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Võnkumised ja lained Koostanud Henn Voolaid Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria tasandülesanne

Elastsusteooria tasandülesanne Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus 28. november 2015. a. Noorema rühma ülesannete lahendused 1. (KLAAS VEEGA) Võtame klaasi põhja pindalaks S = π ( d tiheduseks ρ. Klaasile mõjuvad jõud: raskusjõud

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Kosmoloogia Lühikonspekt

Kosmoloogia Lühikonspekt Tallinna Ülikool Loodus- ja terviseteaduste instituut Kosmoloogia Lühikonspekt Liisi Räim, Romi Mankin, Tõnu Laas 016 1 Sisukord 1 Sissejuhatus...4 1.1 Mis on kosmoloogia? Kosmoloogia ajaloost kuni Newtonini...

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.

Διαβάστε περισσότερα

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.

Διαβάστε περισσότερα

2 tähendab siin ühikuid siduvat

2 tähendab siin ühikuid siduvat 5. Eneia 5.1. Eneia ja eneia jäävuse seadus Eneia (k. k. eneos: aktiivne) on füüsika keskne mõiste, mis ühendab kõiki füüsika valdkondi. Tänu Newtoni autoiteedile oli sellel väljapaistval positsioonil

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte 5 täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor 7 märts 2004 a Põhikooli ülesannete lahendused ülesanne (KLAASTORU) Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Tehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA

Tehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA Tehniline Mehaanika I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STTIK 1.1. Põhimõisted Staatika on jäikade kehade tasakaaluõpetus. Ta uurib tingimus,

Διαβάστε περισσότερα

Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus

Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti

Διαβάστε περισσότερα

LOFY Füüsika kui loodusteadus (2 EAP)

LOFY Füüsika kui loodusteadus (2 EAP) LOFY.01.108 Füüsika kui loodusteadus (2 EAP) 1. Sissejuhatus... 1 I. Teoreetilised alused... 4 2. Mõtlemisviisid... 4 3. Teaduslik mõtlemisviis... 5 4. Loodusteadusliku mõtlemisviisi kujundamine... 6 Kirjandus...

Διαβάστε περισσότερα

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria põhivõrrandid,

Elastsusteooria põhivõrrandid, Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika. I kursus Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumise kinemaatika. 1. Sissejuhatus füüsikasse. Õppesisu

Füüsika. I kursus Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumise kinemaatika. 1. Sissejuhatus füüsikasse. Õppesisu Füüsika Gümnaasiumi 10. klassi füüsikaõpe koosneb kolmest kursusest Esimese kursuse Füüsikalise looduskäsitluse alused põhifunktsioon on selgitada, mis füüsika on, mida ta suudab ja mille poolest eristub

Διαβάστε περισσότερα