Póly a nuly prenosových funkcií systémov
|
|
- Σάββας Αλεξάνδρου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kapitola 5 Póly a nuly prenosových funkcií systémov Cieľom cvičenia je zoznámiť sa s vplyvom pólov a núl na dynamiku systémov. 5. Prehľad pojmov Póly korene menovateľa prenosu. Nuly korene čitateľa prenosu. Rád dynamického systému stupeň polynómu v menovateli prenosu. Stabilita dynamický systém je stabilný, ak všetky jeho póly majú zápornú reálnu časť. Systém je na hranici stability, ak má alebo jeden reálny pól nulový alebo dvojicu komplexných pólov s nulovou reálnou časťou(a ostatné póly so zápornou reálnou časťou). Systém je nestabilný, ak má aspoň jeden pól s kladnou reálnou časťou. Stabilná nula(pól) nula(pól) so zápornou reálnou časťou. Fázovosť systém je minimálne fázový, ak všetky jeho nuly majú zápornú reálnu časť. V opačnom prípade je neminimálne fázový. Ak je v čitateli prenosu len konštanta, potom je dynamický systém minimálne fázový. Periodicita systém je periodický(kmitavý), ak má komplexné póly. Ak má systém len reálne póly, potom je aperiodický(nekmitavý). Prenos všeobecnýtvarprenosusystémusvstupomavýstupomje G(s)= B(s) A(s) = b ms m + +b s+b a n s n + +a s+a (5.) Statickézosilnenie jedefinovanéako b /a (počítasaprestabilnésystémy). Prenosvtvarepólovanúl jeopísanýnasledovne G(s)= B(s) A(s) = k(s s c)(s s c2 )...(s s cm ) (s s )(s s 2 )...(s s n ) kde s,..., s n súpólyas c,..., s cm súnuly. (5.2) 6
2 KAPITOLA 5. PÓLY A NULY PRENOSOVÝCH FUNKCIÍ SYSTÉMOV Charakteristická rovnica je to rovnica A(s) =. Jednotkový impulz impulz nekonečnej výšky a nulovej šírky s jednotkovou plochou. Impulzná funkcia odozva systému na jednotkový impulz. Impulzná funkcia je deriváciou prechodovej funkcie. Impulzná charakteristika graf impulznej funkcie. Impulzná charakteristika je deriváciou prechodovej charakteristiky. 5.2 Súvislosti medzi prechodovými charakteristikami a umiestnením pólov a núl Na základe analýzy dynamických vlastností systémov môžeme vysloviť nasledovné tvrdenia: Ak sa prechodová charakteristika ustaľuje na nejakej nenulovej hodnote Z, systém jestabilný(všetkypólymajúzápornúreálnučasť)ajehozosilneniejez.vopačnom prípade je systém na hranici stability alebo nestabilný a niektoré póly majú nulovú alebo kladnú reálnu časť. Zosilnenie systému sa dá vypočítať z prenosu, ak dosadíme za argument Laplaceovej transformácie s =. Ak sa prechodová charakteristika ustaľuje na nulovej hodnote, systém obsahuje včitateliaspoňjednunulu s c =,máderivačnévlastnosti. Ak prechodová charakteristika kmitá, systém obsahuje aj komplexne združené póly. Opačné tvrdenie však nemusí platiť. Ak sa prechodová charakteristika najprv vychýli na opačnú stranu, ako sa nakoniec ustáli,včitateliprenosusystémusavyskytujenestabilnánula s c >.Vprípade,že prechodová charakteristika sa vychýli viackrát na opačnú stranu, počet vychýlení udáva počet nestabilných núl. Ak potrebujeme priradiť viacerým prechodovým charakteristikám prenosy, tak si všímame tieto vlastnosti: stabilná nestabilná, minimálne neminimálne fázová, aperiodická(nekmitavá) periodická(kmitavá). To isté aplikujeme na prenosy. Takto sa nám výrazne zjednoduší ich následné priradenie. Polynóm prvého a druhého rádu má záporné korene(je stabilný), ak má iba kladné koeficienty. Ak má polynóm vyššieho rádu niektoré koeficienty záporné, potom má aj kladné korene(je nestabilný). Pre výpočet začiatočných alebo konečných hodnôt výstupu dynamického systému, prípadne jeho derivácií používame vety o začiatočnej a konečnej hodnote na základe obrazu výstupu Y(s). Pri výpočte konečnej hodnoty musí byť dynamický systém stabilný. 62
3 5.3. RIEŠENÉ PRÍKLADY 5.3 Riešené príklady Príklad 5.3.: Majme dynamický systém opísaný prenosom G(s)= s s 2 +3s+2. Určte jeho póly a nuly a posúďte stabilitu, periodicitu a fázovosť. 2.Vypočítajteitnéhodnotyvýstupuzosystému y(), y (), y( ), y ( ),akje na jeho vstupe jednotkový skok. 3. Vykreslite na počítači prechodovú charakteristiku a porovnajte jej itné hodnoty s vypočítanými..póly:s = 2,s 2 =,nulys c =.Systémjestabilný,aperiodický(nekmitavý) a neminimálne fázový. 2. Limitné hodnoty pri jednotkovom skoku vstupnej veličiny U(s) = /s: s Y(s) = G(s)U(s)= s 2 +3s+2s y(t) = sy(s)= G(s)= t s s s /s /s 2 = s +3/s+2/s 2= t y (t) = s s2 Y(s)= sg(s)= s s /s = s +3/s+2/s 2= s s 2 +3s+2 s 2 s s 2 +3s+2 y(t) = sy(s)= G(s)= s t s s s s 2 +3s+2 =,5 t y (t) = s 2 Y(s)= sg(s)= s s Z vypočítaných hodnôt môžeme dedukovať, že PCH začína v nule stúpajúc(hodnotaderivácievnulejekladná)akončínahodnote,5.vnekonečnejeustálená, pretože hodnota derivácie výstupu je nulová. 3. Overenie správnosti riešenia na počítači: Póly:roots([32]), Grafpólovanúl:pzmap([-], [ 3 2]), Prechodová charakteristika: step([-], [ 3 2]). Výsledky získané pomocou MATLABu sú znázornené na obr. 5.. Príklad 5.3.2: Majme dynamický systém opísaný prenosom G(s)= s+.určtepólyanuly. 2. Určte stabilitu, fázovosť a kmitavosť systému. 63
4 KAPITOLA 5. PÓLY A NULY PRENOSOVÝCH FUNKCIÍ SYSTÉMOV Pole zero map.2 Step Response From: U()..5 Imag Axis To: Y() Real Axis Time (sec.) Obr. 5. Poloha pólov a núl (vľavo), prechodová charakteristika (vpravo) pre príklad5.3..pólysúoznačenéxanulyo. 3. Nakreslite približnú prechodovú charakteristiku. Na počítači ju skontrolujte a zároveň vykreslite aj impulznú charakteristiku..póly: s =,nulyniesú. 2. Systém je stabilný, pretože má pól so zápornou reálnou časťou. Je nekmitavý, pretože pól je reálny a je minimálne fázový, pretože nemá žiadne nuly. 3. Keďže je systém stabilný, na približné určenie jeho PCH použijeme vetu o počiatočnejakoncovejhodnotevýstupu Y(s),akdosystémuvchádzavstup U(s)= /s. Platí: Y(s) = G(s)U(s)= s(s+) y(t) = sy(s)= G(s)= t s s t y (t) = s s2 Y(s)= sg(s)= s t y(t) = s sy(s)= s G(s)= t y (t) = s 2 Y(s)= sg(s)= s s Z vypočítaných hodnôt môžeme dedukovať, že PCH začína v nule so stúpaním (smernicou)avčase t saustaľuje(jekonštantná)nahodnote.keďže systém má iba záporný reálny pól, je PCH aperiodická. Keďže je systém prvého rádu, nemá PCH inflexný bod. Ak by ani tieto údaje nestačili na konštrukciu PCH, potom je potrebné spätnou Laplaceovou transformáciou Y(s) získať časový priebeh y(t). Pre náš prípad by výsledok bol y(t)= e t Do tohto vzťahu môžme dosadiť rôzne hodnoty t a získať tak hodnoty výstupu v príslušných časoch. Overenie správnosti na počítači: Póly:roots([]), 64
5 5.3. RIEŠENÉ PRÍKLADY Grafpólovanúl:pzmap([],[ ]), Prechodová charakteristika: step([],[ ]), Impulzná charakteristika: impulse([],[ ]). Výsledky sú znázornené na obr Pole zero map.9 Step Response From: U() Imag Axis To: Y() Real Axis Impulse Response From: U() Time (sec.) To: Y() Time (sec.) Obr. 5.2 Poloha pólov a núl(vľavo hore), prechodová charakteristika(vpravo hore) a impulzná charakteristika(dole) pre príklad Póly sú označené x a nuly o. Príklad 5.3.3: Majme systém s prenosom G(s)= s s+2.určtepólyanuly. 2.Určteitnéhodnotyvýstupuzosystému y(), y (), y( ), y ( ),akjena vstupe jednotkový skok. 3. Vykreslite na počítači prechodovú a impulznú charakteristiku a porovnajte itné hodnoty s vypočítanými..póly: s = 2,nuly s c =.Systémjestabilný,aperiodický(nekmitavý)a neminimálne fázový. 65
6 KAPITOLA 5. PÓLY A NULY PRENOSOVÝCH FUNKCIÍ SYSTÉMOV 2.Limitnéhodnotyprijednotkovomskoku U(s)=/s: Y(s) = G(s)U(s)= s s+2s y(t) = sy(s)= G(s)= t s s s s 2 s t y (t) = s s2 Y(s)= sg(s)= s s s s+2 = /s s +2/s = s+2 = s /s /s+2/s 2= y(t) = sy(s)= G(s)= s t s s s s+2 =,5 t y (t) = s 2 Y(s)= sg(s)= s s Z vypočítaných hodnôt môžeme dedukovať, že PCH začína v jednotke a končí na hodnote,5. V nekonečne je ustálená, pretože hodnota derivácie výstupu je nulová. Hodnoty derivované charakterizujú impulznú charakteristiku, ktorá by malazačínaťvnekonečneaustaľovaťsananule. 3. Overenie správnosti na počítači: Póly:roots([2]), Grafpólovanúl:pzmap([-], [ 2]), Prechodová charakteristika: step([-], [ 2]). Impulzná charakteristika: impulse([-], [ 2]). Výsledky sú znázornené na obr Z impulznej charakteristiky vidíme, že je určitý rozpor medzi vypočítanou a simulovanou hodnotou derivácie v čase nula. Dôvodomjeskutočnosť,ževýstupnáveličina y(t)včase t=niejespojitá.do času nula bola jej hodnota na základe definície Laplaceovej transformácie nulová avčasenulasaskokovozmenilanahodnotu.pretojederivácianespojitá, t.j.inázľavaainásprava.hodnotuderiváciezľava y ( )vypočítamezvety opočiatočnejhodnote y ().Hodnotuderiváciesprava y ( + )získametak,že vypočítame prechodovú funkciu, zderivujeme ju a dosadíme t =. To, že graf prechodovej charakteristiky bude nespojitý v čase nula, zistíme na základe tvaru prenosu, v ktorom je stupeň čitateľa rovný stupňu menovateľa. Príklad 5.3.4: MajmesystémsprenosomG(s)sovstupomU(s)avýstupomY(s)uktoréhopoznáme umiestnenie pólov a núl(obr. 5.4 vľavo) a jeho prechodovú charakteristiku(obr. 5.4 vpravo). Na základe týchto informácií určite:. stabilitu systému, fázovosť, 2. prenos G(s), 3.hodnotu y ()naprechodovejcharakteristike. Zgrafupólovanúlzistímepóly s =, s 2,3 =,5±,5ianuly s c =, s c2 =2.. Keďže všetky póly majú zápornú reálnu časť, systém je stabilný. Tomu nasvedčovalaajprechodovácharakteristika,ktorásaustaľujenahodnote t y(t)=2. Keďže má systém dve nestabilné nuly, je neminimálne fázový, čo vidíme aj z prechodovej charakteristiky. Táto sa prvýkrát vychýli do kladných hodnôt a druhýkrát do záporných, aby sa nakoniec ustálila na kladnej hodnote 2. 66
7 5.3. RIEŠENÉ PRÍKLADY Pole zero map Step Response From: U().5.5 Imag Axis To: Y() Real Axis Impulse Response From: U() Time (sec.).5 To: Y() Time (sec.) Obr. 5.3 Poloha pólov a núl(vľavo hore), prechodová charakteristika(vpravo hore) a impulzná charakteristika(dole) pre príklad Pole zero map 2 Step Response From: U().5.5 Imag Axis.5 To: Y() Real Axis Time (sec.) Obr. 5.4 Systém opísaný polohou pólov a núl(vľavo) a prechodovou charakteristikou (vpravo) 67
8 KAPITOLA 5. PÓLY A NULY PRENOSOVÝCH FUNKCIÍ SYSTÉMOV 2. Prenos zapísaný pomocou pólov a núl je podľa rovnice(5.2): (s )(s 2) G(s)=k (s+)(s+,5+,5i)(s+,5,5i) = k (s )(s 2) (s+)(s 2 +3s+4,5) prevýpočet kpoužijemegrafprechodovejcharakteristikya t y(t).platí Y(s) = G(s)U(s)=G(s) s y(t) = sy(s)= G(s)=k( )( 2) =2 k=4,5 t s s 4,5 Hľadaný prenos má tvar 4,5s 2 3,5s+9 G(s) = s 3 +4s 2 +7,5s+4,5 Výsledok si môžeme overiť na počítači príkazmi: cit=[ ] men=[ ] pzmap(cit, men) step(cit, men) 3. Hodnotu derivácie prechodovej charakteristiky v počiatku vypočítame na základe vety o počiatočnej hodnote t y (t)= s s2 Y(s)= sg(s)=4,5 s ZtejtohodnotymôžemeajbezznalostitvaruPCHurčiť,ževčase t=pch stúpa. Príklad 5.3.5: Priraďte prechodovým charakteristikám na obr. 5.5 prenosy. Vysvetlite svoje závery Obr. 5.5 Prechodové charakteristiky pre príklad Návod: Pre každú PCH posúďte, či je stabilná, na hranici stability alebo nestabilná; či je minimálne alebo neminimálne fázová; či je kmitavá alebo nie. Potom 68
9 5.4. ÚLOHY odhadnite itné hodnoty y( ) z grafu a porovnajte s itnými hodnotami vypočítanými pomocou prenosov. a) G(s)= s+, b) G(s)= s s 2 +2s+, c) G(s)= s 2 +6s+4, d) G(s)= s 5 s 2, e) G(s)=, f) G(s)= + s s 2 +, g) G(s)= s(s 2 +), h) G(s)= s 2 +,2s+3. Na základe PCH môžeme o dynamických systémoch tvrdiť nasledovné: vlastnosti y( ) stabilný, aperiodický, neminimálne fázový 2 nestabilný, aperiodický 3 stabilný, kmitavý,33 Z prenosov určíme nasledovné vlastnosti. Komplexné korene majú prenosy d), f), g)ah),aled),f),g)súnahranicistability,pretožereálnečastikoreňovsúnulové. TobyviedloknestabilnýmPCH.Ztohovyplýva,žeprenosuh)patríPCHvgrafe3. Neminimálnefázovýjeprenosb)ad).Výstup y( )prenosud)saaleustaľujena nule, takže prenosu b) patrí PCH v grafe. Nestabilné, alebo na hranici stability sú prenosyd),e),f)ag).keďžed),f),g)majúkomplexnékorene,malibykmitavý priebeh.prenosue)tedapatrípchvgrafe2. Výpočet itných hodnôt y( ) u nájdených prenosov iba potvrdí naše zistenia. 5.4 Úlohy Oboznámte sa so vzťahom medzi pólmi a nulami, prenosmi a prechodovými charakteristikami základných typov dynamických systémov: systém prvého rádu: G(s)= Z Ts+ (5.3) systém druhého rádu: G(s)= Z T 2 s 2 +2ζTs+ preprípady: ζ=,5; ζ=; ζ=,4; ζ=; ζ=,4; ζ=,5. systém s integračnými vlastnosťami: G(s)= Ts (5.4) (5.5) neminimálne fázový systém(nestabilná nula): G(s) = b s+ T 2 s 2 +2Ts+, b > (5.6) 69
10 KAPITOLA 5. PÓLY A NULY PRENOSOVÝCH FUNKCIÍ SYSTÉMOV Prevšetkyvšeobecneuvedenéprenosyaprezadanéhodnotyparametrov: Z, T, b zostavte tabuľku obsahujúcu:. konkrétne prenosy, 2. číselnéhodnotypólovanúlpredanéprenosy, 3. určenie stability, periodicity a fázovosti dynamických systémov opísaných danými prenosmi, 4. itné hodnoty výstupov y( ) za predpokladu jednotkových skokových funkcií na vstupoch dynamických systémov, 5. približný tvar prechodovej charakteristiky každého dynamického systému. 5.5 Neriešené príklady Príklad 5.5.: Prenos systému s prechodovou charakteristikou na obrázku 5.6 je 3s+6. G(s)= 8s 2 +27s+7 3s 6 2. G(s)= 8s 2 +27s+7 3s+7 3. G(s)= 8s 2 +27s+6 3s 7 4. G(s)= 8s 2 +27s+6 5. žiadna z predošlých odpovedí nie je správna Time (secs) Obr. 5.6 Prechodová charakteristika pre príklad Príklad 5.5.2: Prenos systému s prechodovou charakteristikou na obrázku 5.7 je 7
11 5.5. NERIEŠENÉ PRÍKLADY 3s+5. G(s)= 8s 2 +27s+7 3s 5 2. G(s)= 8s 2 +27s+7 3s+7 3. G(s)= 8s 2 +27s+7 3s 7 4. G(s)= 8s 2 +27s+7 5. žiadna z predošlých odpovedí nie je správna Time (secs) Obr. 5.7 Prechodová charakteristika pre príklad Príklad 5.5.3: Priraďte prenosom zodpovedajúce prechodové charakteristiky z obr a) G(s)= a, b 2 s(s+),b) G(s)= s s 2 +,5s+. Príklad 5.5.4: Priraďte prechodovým charakteristikám na obr. 5.9 prenosy. a) G(s)=s, b) G(s)=, c) G(s)= s s 2 +, d) G(s)= c, 2 e, 3 b. s 2, e) G(s)= +s+ s+. 7
12 KAPITOLA 5. PÓLY A NULY PRENOSOVÝCH FUNKCIÍ SYSTÉMOV Obr. 5.8 Prechodové charakteristiky pre príklad Obr. 5.9 Prechodové charakteristiky pre príklad
13 5.6. MATLAB: PRÍKAZY K PROBLEMATIKE 5.6 MATLAB: príkazy k problematike Označenie: premenné nula, pol sú vektory, premenné p, citatel, menovatel sú polynómy. korene polynómu roots(p), grafpólovanúl -pzmap(citatel,menovatel),pólyvgrafesúoznačenéxanulyo, prechodová charakteristika step(citatel, menovatel), impulzná charakteristika impulse(citatel, menovatel), transformácia prenosu[cit,men]=zp2tf(nula,pol,k)- z tvaru pólov a núl do polynómov B(s), A(s)(viď(5.2)),[nula,pol,k]=tf2zp(cit,men)- naopak. V MATLABe 5 sa na základe vytvorenia systému(prenosu) konštrukciami tf,zpk zjednodušujú ostatné príkazy. vytvorenie systému(prenosu) sys=tf(num,den) pomocou čitateľa a menovateľa, sys=zpk(nula,pol,k) pomocou pólov a núl, graf pólov a núl pzmap(sys), prechodová charakteristika step(sys), impulzná charakteristika impulse(sys). 5.7 MILAB: príkazy k problematike Operácie MILABu k problematike tejto kapitoly sú súčasťou základných operácií(viď kapitola A.3): výpočet koreňov polynómov, prechodové a impulzné charakteristiky, grafpólovanúl, transformácia prenosu ZP2TF a TF2ZP. 73
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραAutomatická regulácia Otázky ku skúške 3B031
Automatická regulácia Otázky ku skúške 3B031 Otázky 1. Pojem regulácie; základná bloková schéma regulačného obvodu, opis veličín a prvkov regulačného obvodu. 2. Druhy regulácií - delenie podľa typov úloh,
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραVlastnosti regulátorov pri spätnoväzbovom riadení procesov
Kapitola 8 Vlastnosti regulátorov pri spätnoväzbovom riadení procesov Cieľom cvičenia je sledovať vplyv P, I a D zložky PID regulátora na dynamické vlastnosti uzavretého regulačného obvodu (URO). 8. Prehľad
Διαβάστε περισσότεραOtáčky jednosmerného motora
Otáčky jednosmerného motora ZADANIE: Uvažujte fyzikálno - matematický model dynamického systému, ktorý je popísaný lineárnou diferenciálnou rovnicou (LDR) 2. a vyššieho rádu. ÚLOHA: Navrhnite m-file v
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραM8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"
M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatizácie
Monika Bakošová Miroslav Fikar Ľuboš Čirka Základy automatizácie Laboratórne cvičenia zo základov automatizácie STU v Bratislava, 2003 Online verzia: 12. marca 2006 c doc. Ing. Monika Bakošová, CSc., doc.
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραRiadenie zásobníkov kvapaliny
Kapitola 9 Riadenie zásobníkov kvapaliny Cieľom cvičenia je zvládnuť návrh (syntézu) regulátorov výpočtovými (analytickými) metódami Naslinovou metódou a metódou umiestnenia pólov. Navrhnuté regulátory
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 6 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Prednáška 1 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 8 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότερα8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC
8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC V geodetickej pra je častou úlohou zmeniť súradnice bodov bez toho aby sa zmenila ich poloha na zemskom povrchu. Zmenu súradníc označujeme pojmom transformácia. Transformácia
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραURČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA
54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραME 365: SYSTEMS, MEASUREMENTS, AND CONTROL (SMAC) I
ME 365: SYSTEMS, MEASUREMENTS, AND CONTROL SMAC) I Dynamicresponseof 2 nd ordersystem Prof.SongZhangMEG088) Solutions to ODEs Forann@thorderLTIsystem a n yn) + a n 1 y n 1) ++ a 1 "y + a 0 y = b m u m)
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραModul pružnosti betónu
f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie
Διαβάστε περισσότεραMatematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom
Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραModel redistribúcie krvi
.xlsx/pracovný postup Cieľ: Vyhodnoťte redistribúciu krvi na začiatku cirkulačného šoku pomocou modelu založeného na analógii s elektrickým obvodom. Úlohy: 1. Simulujte redistribúciu krvi v ľudskom tele
Διαβάστε περισσότεραMeranie na jednofázovom transformátore
Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραIIR filtrov. Metóda. Metódy návrhu. 2. pretransform. 4. transformáciat. diskrétny). frekvenciu =
Metódy návrhu IIR filtrov Nepriame metódy návrhu Nepriame metódy návrhu digitálnychh filtrov vychádzajú z návrhu analógových filtrov, ktoré sa potom pretransformujú na digitálne filtre. Všeobecný postup
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií tangens a kotangens
Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότεραPríklady k Matematike 1
Príklady k Matematike 1 1. Definícia derivácie 1. Nájdite deriváciu y = + 1) 2 tak, že prejdete od k t = + 1. 2. Zistite z definície, čomu sa rovnajú derivácie funkcií y = 3, y = 1/ 2 a y =. Návod k tretej
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραΣτα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop
Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος Αριθμός Μητρώου Ονοματεπώνυμο
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 9 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότερα