α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x"

Transcript

1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την AB και σκόευσαν άνω σ αυτ σημείο Γ έτσι ώστε: η γωνία ΒΑΓ = 5. Στη συνέχεια διάνυσαν άνω στη διεύθυνση ΒΑ μια αόσταση ΑΔ = 50 m και μέτρησαν τη γωνία ΑΔΓ = 0. Μ αυτές τις μετρσεις ου σημειώνονται στο αρακάτω σχμα, βρκαν ότι το λάτος ΑΒ του Νείλου είναι, m. α) Βρείτε τους συλλογισμούς με τους οοίους οι μηχανικοί υολόγισαν το λάτος του Νείλου. β) Κλειδί των συλλογισμών αυτών είναι η γωνία των 5. Γιατί εέλεξαν οι μηχανικοί η γωνία ΒΑΓ να είναι 5 ; α) Αν ονομάσουμε x το λάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ5 o = = ΒΓ = x x x Αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓΒ έχουμε εφ0 o = 50 x = x 50 x () Αό την τελευταία σχέση () λύνοντας ως ρος x βρίσκουμε ότι x = 50, β) Η ειλογ γωνίας 5 μοιρών βοηθάει στους αλγεβρικούς συλλογισμούς γιατί εφ5 ο =

2 ΑΣΚΗΣΗ η Να αοδείξετε ότι: x x x x x x x x x x Έχουμε: x x x x x x x x x x x x Και x x ( x) ( x) ( x x)( x x) ( x x) x x Εομένως είναι: x x x x ΑΣΚΗΣΗ η Αν εφx και x να βρείτε την τιμ της αράστασης : 5 ημx συνx y εφx σφx Αό την σχέση < x < ροκύτει ότι συνx > 0 ενώ όλοι οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί θα είναι αρνητικοί. Είναι Άρα και εφ x συν x = = = = = 5 συνx =, 5 σφx = = - εφx Τέλος για την αράσταση y έχουμε : 5 ημ x = - συν x = - = = ημx = y = =... =

3 ΑΣΚΗΣΗ η Για κάθε τόξο x για το οοίο είναι συνx 0, να αοδείξετε ότι ισχύει: συν x + συν x Αρκεί να αοδείξουμε ότι: x x x x x αρκεί x x αρκεί x x 0 αρκεί (συν x ) 0 ου ισχύει. (συν x >0) Σημείωση: Το ίσον ισχύει όταν συν x = ( συνx = συνx = - ) (x = k x = k + ) όου k ακέραιος ΑΣΚΗΣΗ 5 η Αν εφα + ημα = x και εφα ημα = y, όου 0 < α < / να αοδείξετε ότι: x y xy Αν ροσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις ου δόθηκαν αίρνουμε εφα + ημα + εφα ημα = x + y x + y = εφα αν τις αφαιρέσουμε κατά μέλη αίρνουμε εφα + ημα εφα + ημα = x y x y = ημα αό τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε: x y = (x + y)(x y) = εφαημα = () και άλι αό τις αρχικές ροκύτει: xy = = ( )( ) =

4 = ( ) () εφόσον το α ανκει στο ρώτο τεταρτημόριο. Τέλος αό τις σχέσεις () και () ροκύτει ότι: x y xy ΑΣΚΗΣΗ η Nα αοδείξετε ότι: Έχουμε = = ΑΣΚΗΣΗ 7 η Αν ισχύει ημx +συνx = να βρείτε την εφx Είναι συνx 0 γιατί αν διαφορετικά ταν συνx = 0 θα είχαμε ημx = (αό την βασικ τριγωνομετρικ ταυτότητα και η σχέση για τις αραάνω τιμές θα έδινε +0 = = ου είναι ψευδς) Αφού λοιόν συνx 0 η σχέση ισοδύναμα γράφεται: ημx +συνx = x x = x x x εφx + = x οότε υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: (εφx +) = 9 x (εφx +) =9(+εφ x) (γιατί = + εφ x ) x εφ x + εφx + 9 = 9 + 9εφ x 7εφ x + εφx = 0 εφx(7εφx + ) = 0

5 αό όου βρίσκουμε ότι η εφx έχει δύο τιμές τις εφx = 0, εφx = 7 ΑΣΚΗΣΗ 8η Να λύσετε την εξίσωση x. Γνωρίζουμε ότι μια τριγωνομετρικ εξίσωση έχει άειρες λύσεις, για να λύσουμε μια τριγωνομετρικ εξίσωση αρκεί να βρούμε μια λύση της εξίσωσης, δηλαδ αρκεί να βρούμε μια γωνία ου εαληθεύει η εξίσωση (συνθως στο ρώτο τεταρτημόριο) και στη συνέχεια να κάνουμε χρση των τύων είλυσης των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Στην συγκεκριμένη άσκηση η γωνία συνεώς θ = εαληθεύει την εξίσωση εφόσον ημ = x = κ +, κ Z x = κ +, κ Z () ημx = ημ 5 x = κ + -, κ Z x = κ +, κ Z Παρατρηση Αν αραλείψουμε να γράψουμε ότι το κ είναι ακέραιος η λύση είναι λάθος. Γιατί; ΑΣΚΗΣΗ 9 η Να λύσετε την εξίσωση συνx = - Γνωρίζουμε ότι για μια γωνία θ ου ανκει στο ο τεταρτημόριο ισχύει ότι: ημθ = ημ( θ) συνθ = συν( θ) εφθ = εφ( θ) σφθ = σφ( θ) Συνεώς η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

6 x = κ +, κ Z () συνx = -συν συνx = συν - συνx = συν x = κ -, κ Z ΑΣΚΗΣΗ 0 η Να λύσετε την εξίσωση εφx = σφ. Γνωρίζουμε ότι για μια γωνία θ ου ανκει στο ο τεταρτημόριο (δηλαδ 0 ) ισχύει ότι: ημθ = συν - θ συνθ = ημ - θ εφθ = σφ -θ σφθ = εφ -θ Συνεώς, για να λύσουμε μια τριγωνομετρικ εξίσωση της αραάνω μορφς αρκεί με τον κατάλληλο μετασχηματισμό να μετατρέψουμε τη σφ σε εφατομένη. Ισχύει ότι σφ = εφ - = εφ,συνεώς () εφx = εφ x = κ +, κ Ä ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε την εξίσωση συν x - = (). Παρατηρούμε ότι συν = συνεώς

7 x,κ,κ,κ x x () x x, κ x,κ x,κ ΑΣΚΗΣΗ η Να λύσετε την εξίσωση x x =0(). : Θέτω x όου τότε με Δ = 5 > 0 άρα και αορρίτεται γιατί. () 0 Συνεώς, x,κ x... 5 x,κ ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση : συν x ημ x + συνx = 0 Ισοδύναμα, η εξίσωση γράφεται : (συν x + ημ x)(συν x ημ x) + συν x = 0 συν x ημ x + συν x = 0 συν x ( συν x) + συν x = 0 συν x + συν x + συν x = 0 συν x + συνx = 0 () Η εξίσωση () είναι δευτέρου βαθμού με άγνωστο το συνx, άρα έχει Δ = 9 και συνx = συνx = άρα δηλαδ οι λύσεις τους είναι :,

8 ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση συνx ημx = συνx - ημx Έχουμε : άρα οι λύσεις είναι,. ΑΣΚΗΣΗ 5η Να λυθεί η εξίσωση εφx + ημx εφx = 0, στο διάστημα, Είναι δηλαδ, Εειδ Έχουμε άρα οότε x. Είσης, δεν υάρχει. άλι δεν υάρχει. Τέλος, Άρα μια λύση υάρχει μόνο,.

9 ΑΣΚΗΣΗ η Nα λυθεί η εξίσωση ημx συνx Αν είναι συν x = 0, τότε θα είναι και ημ x = 0 ου είναι άτοο, αφού συν x ημ x =, εομένως είναι συν x 0 και η εξίσωση γράφεται: 7 7 ημ x συν x = ημ x = συν x 7 7 εφ x = x = k +, k Ä 7 8 ΑΣΚΗΣΗ 7η Να λυθεί η εξίσωση (ημx συνx) = (ημx συνx ημxσυνx) (ημx συνx) = (ημx συνx ημxσυνx) ημ x ημxσυνx+συν x=ημx συνx ημxσυνx ημ x ημx + + συν x + συνx + = 0 (ημx ) + (συνx + ) = 0, οότε: ημx = και συνx = όμως ημ x + συν x = + ( ) = άτοο εομένως η εξίσωση είναι αδύνατη.

10 ΑΣΚΗΣΗ 8 η Να λύσετε την εξίσωση : συν x - - συν x + = 0 (). () συν x - - συν x + συν x - + συν x + = 0 συν x - - συν x + = 0 () συν x - + συν x + = 0 () (Λύνω τις (), () ξεχωριστά: ) x - = κ + x +, κ Z x = κ +, κ Z ()Ûσυν x - = συν x +... x - = κ - x +, κ Z x = κ, κ Z () συν x - = -συν x + συν x - = συν - x + x - = κ + -x -, κ Z x = κ -, κ Z 9... x = (κ +), κ Z x - = κ - -x -, κ Z Άρα, x x x x ( ), 9 ΑΣΚΗΣΗ 9 η x Να λύσετε την εξίσωση x (). x x Όταν σε μια εξίσωση εμφανίζονται οι συναρτσεις x x τότε ρέει να εξαιρέσουμε αό τις λύσεις τις τιμές εκείνες του x για τις οοίες δεν ορίζονται, δηλαδ ρέει να θέσουμε (ειλέον) τους εριορισμούς

11 συνx 0x k+,k Z και μx 0 x k,k Z Πρέει: x 0 x, (εφόσον εμφανίζεται x ) και x 0 x 0 x k, k x x x x x x x x x x x x 0 x x x x x 0 0 Αό όου ροκύτουν οι εξισώσεις: ημx = () εφx = () () x,κ () x, γιατί αό τους εριορισμούς έχουμε ότι x,. Άρα, x = κ +, κ Z ΑΣΚΗΣΗ 0 η Να λύσετε την εξίσωση x () στο (5,8]. : Αρχικά λύνουμε την εξίσωση σε όλο το αό όου εύκολα έχουμε την αρακάτω λύση: () x, Ααιτούμε τα x ου βρκαμε να ανκουν στο διάστημα στο διάστημα στο οοίο ορίζεται η εξίσωση : 9 7 x (5,8 ] Συνεώς, εειδ το κ είναι ακέραιος και 9,8, 7 7,8 έχουμε ότι κ = 5 κ = κ = 7, άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι x 5 x x 7

12 ΑΣΚΗΣΗ η Αν για την γωνία x ισχύει 0 < x < να λυθεί η εξίσωση: x x x x Πρέει και αρκεί συνx 0 x k και ημx 0 x k Eειδ είναι x x x x, η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: x x ( x ) x x x εφ x εφx + = 0 (εφx ) = 0 εφx = x = κ +, κ Η αραάνω τιμ δεν αντίκειται στους εριορισμούς και είναι δεκτ. Όμως είναι: 0 x 0 k k Εειδ δε o k είναι ακέραιος έχουμε ότι k = 0, oότε έχουμε x = 0 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται η συνάρτηση f(x) = συν(αx)- α με α>0. Αν η f έχει ελάχιστη τιμ το - 8, τότε: α) Να δείξετε ότι α =. β) Να βρεθεί η ερίοδος και η μέγιστη τιμ της συνάρτησης f. γ) Να βρεθούν τα σημεία τομς της γραφικς αράστασης της f με τον x x καθώς και οι θέσεις μέγιστου και ελάχιστου στο διάστημα [0, ]. α) Η συνάρτηση f (x) = συν(αx) έχει ελάχιστη τιμ ίση με -, οότε η ελάχιστη τιμ της f είναι ίση με - α. Άρα α 8 α. β) Για α = έχουμε f(x) συνx. Ισχύει ότι η ερίοδος είναι T Τ και η μέγιστη τιμ είναι fmax 0.

13 γ) Τα σημεία τομς με τον x x στο [0, ] είναι οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = 0 στο [0, ]. Άρα f(x) 0 συνx 0 συνx συνx συν0 x κ x κ, κζ. Όμως x [0, ] δηλαδ 0 x 0 κ 0 κ. Εειδ όμως κζ έχουμε: κ = 0 κ =. Εομένως x = 0 x =. Άρα τα σημεία τομς με τον x x είναι τα Ο(0, 0) και Α(, 0). Η μέγιστη τιμ της είναι: f max = - = 0, ου σύμφωνα με τα αραάνω βρίσκεται για x = 0 x =. Η ελάχιστη τιμ της είναι: f 8 συνx 8 συνx συνx συν x κ min x κ, κ. Όμως x[0, ] άρα x. ΑΣΚΗΣΗ η Το βάθος του νερού κάτω αό την γέφυρα του Ευρίου κατά την διάρκεια της ημέρας δίνεται αό την συνάρτηση t f ( t) 0 όου t σε ώρες με 0 t. α. Να βρεθεί η ερίοδος της αραάνω συνάρτησης. β. Ποιο είναι το μέγιστο και οιο το ελάχιστο βάθος του νερού; γ. Ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 8 μέτρα. δ. Αν το ύψος της γέφυρας αό το υθμένα είναι 0 μέτρα να ελεγχθεί αν ένα σκάφος ύψους 8 μέτρων άνω αό την ειφάνεια του νερού μορεί να εράσει κάτω αό την γέφυρα στις το ρωί; α. H συνάρτηση γράφεται : f(t) = 0 + συν t και έχει ερίοδο : T h. β. H συνάρτηση g( t) t έχει ελάχιστο και μέγιστο άρα το ελάχιστο βάθος είναι : f min = 0 - = m και το μέγιστο βάθος είναι : f max = 0 + = m. γ. Έχουμε : f(t) = συν t = 8 συν t = - συν t = συν t k t k t k, k.

14 Όμως, 0 t άρα έχουμε : k 0 k k k {0,,,} και t {,8,, 0} 0 k k k k {,,, } και t {,0,, }. δ. Αφού η αόσταση του βυθού αό τη γέφυρα είναι 0m, η αόσταση της γέφυρας αό την ειφάνεια είναι a(t ) 0 f (t ). Τη χρονικ στιγμ t, έχουμε αόσταση : a() 0 f () 0 0 ( ) m άρα το σκάφος δε μορεί να εράσει. ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση: εφx ημx + = 0 Αν συνx 0, τότε είναι Εομένως η εξίσωση γράφεται : εφ x ω εφ x ω () ω ω 0 ω ω ω,. (Δεκτές τιμές γιατί;)

15 ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να λυθεί η εξίσωση: ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x = ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x = ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x= (ημ x+συν x) ημ x ( )ημxσυνx συν x = 0. () Διακρίνουμε τις εριτώσεις: Aν συνx = 0, τότε ημx = ημx =. Και στις δύο εριτώσεις η () δεν εαληθεύεται. Αν συνx 0, δηλαδ x κ+, κ, τότε: ημ x ημx συνx () ( ) 0 συν x συν x εφ x ( )εφx =0 εφx εφx εφx εφ εφx εφ( ) x κ x κ, όου κ,δεκτές τιμές (γιατί;) ΑΣΚΗΣΗ η Να λυθεί η εξίσωση: ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x = ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x = ημ x ( ) ημxσυνx συν x+συν x= (ημ x+συν x) ημ x ( )ημxσυνx συν x = 0. () Διακρίνουμε τις εριτώσεις: Aν συνx = 0, τότε ημx = ημx =. Και στις δύο εριτώσεις η () δεν εαληθεύεται. Αν συνx 0, δηλαδ x κ+, κ, τότε: ημ x ημx συνx () ( ) 0 συν x συν x εφ x ( )εφx =0 εφx εφx x κ x κ, όου κ,δεκτές τιμές (γιατί;) εφx εφ εφx εφ( )

16 ΑΣΚΗΣΗ 7 η H αξία της μετοχς μιας εισηγμένης εταιρείας στο Χρηματιστριο Αξιών Αθηνών δίνεται σε ευρώ αό τη t συνάρτηση : f(t) = 0 για 0 t (όου t o χρόνος σε μνες) Να βρεθεί : α) Πότε ρέει να ουλσει κάοιος ου κατέχει την αραάνω μετοχ για ρώτη φορά ώστε να έχει το μεγαλύτερο εριθώριο κέρδους. β) Ποιά είναι η μεγαλύτερη ζημιά ου μορεί να έχει κάοιος ανά μετοχ. γ) Θα έχει κέρδος ζημιά κάοιος αν αγοράσει 000 μετοχές της αραάνω εταιρείας τον μνα του ρώτου έτους και τις ουλσει τον μνα του ίδιου έτους. α) Προφανώς θα ρέει κάοιος να ουλσει όταν η μετοχ έχει την μεγαλύτερη τιμ και να αγοράσει στην μικρότερη τιμ της.. Η συνάρτηση έχει μορφ f(t) = α + ρημ(ωt) και έχει ερίοδο Τ = αρουσιάζει ελάχιστη τιμ για t = T 9 ου είναι f(9) = ( ) και μέγιστη τιμ για t = T ου είναι f() = t Αναζητούμε λοιόν τις τιμές ώστε η συνάρτηση f(x) = 0 για 0 t, να αίρνει την μεγαλύτερη τιμ της ( ευρώ) και την μικρότερη τιμ της ( ευρώ). Εομένως t t t f(x) = 0 = = k t = k + με κ Άρα για k = 0 έχουμε t =, εομένως ρέει να ουλσει μετά αό μνες. t t t f(x) = 0 = = k t = k με κ Άρα για k = έχουμε t = 9, εομένως ρέει να αγοράσει μετά αό 9 μνες. ΣΧΟΛΙΟ Αντιμετωίζοντας το θέμα κατασκευαστικά έχουμε ότι t t t t 0 Η τελευταία όμως διλ ανισότητα δεν ροϋοθέτει ότι η ελάχιστη τιμ της συνάρτησης είναι και η

17 μέγιστη. β) Μεγαλύτερη ζημιά έχει κάοιος αν αγοράσει μετά αό μνες και ουλσει μετά αό 9 μνες, η δε ζημιά είναι f max f min = = 8 ευρώ, ανά μετοχ. γ) Το κέρδος η ζημιά ανά μετοχ είναι: 7 f () f (7) Άρα δεν έχουμε ούτε ζημιά ούτε κέρδος. ΑΣΚΗΣΗ 8 η Nα λυθεί η εξίσωση ημ(συνx) = H εξίσωση ισοδύναμα γράφεται ημ(συνx) = συνx = k συνx = k εειδ ο αριθμός k είναι ακέραιος η μοναδικ τιμ ου μορεί να λάβει είναι k = 0 γιατί διαφορετικά ροκύτει εξίσωση αδύνατη, εομένως για k ίσο με μηδέν η εξίσωση γράφεται συνx = συνx = συν x x, όου λ ακέραιος Για την ειβεβαίωση των ανωτέρω αραθέτουμε την γραφικ αράσταση της συνάρτησης f(x)=ημ(συνx)- όου φαίνονται οι αραάνω τιμές ου είναι ρίζες της εξίσωσης

18 ΑΣΚΗΣΗ 9 η Να διατάξετε αό τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αρακάτω αριθμούς 7,,,,, 7 8 Έχουμε:, 0,, Όμως είναι: και εειδ το ημίτονο είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα 0,, θα είναι Εομένως η σειρά αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο είναι: ΑΣΚΗΣΗ 0 η Στο αρακάτω σχμα δίνεται η γραφικ αράσταση της συνάρτησης f (x) ( x) όου, ραγματικοί αριθμοί.

19 α. Με βάση τα δεδομένα του σχματος να βρείτε τα,. β. Για και, να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομς της συνάρτησης f με την ευθεία y. γ. Να βρεθεί η τετμημένη σε ακτίνια του ρώτου και του δεύτερου σημείου τομς της αραάνω ευθείας με την συνάρτηση ου βρίσκονται στον θετικό ημιάξονα Οx. α. Αό τα δεδομένα του σχματος έχουμε ότι η ερίοδος της συνάρτησης είναι, εομένως T Τότε η συνάρτηση έχει μορφ f (x) x και αό τα δεδομένα άλι του σχματος έχουμε στην θέση x ακρότατο, άρα: f ( ) β. Για και, η συνάρτηση γράφεται: f (x) x και οι τετμημένες της συνάρτησης με την ευθεία y δίνονται αό την λύση της εξίσωσης: x x x Που έχει ως λύση x k ( ) x k με k Z 7 x k ( ) x k γ. Για να ροσδιορίσουμε την τετμημένη σε ακτίνια του ρώτου και του δεύτερου σημείου τομς της αραάνω ευθείας με την συνάρτηση στον θετικό ημιάξονα Οx αρκεί να βρούμε τις λύσεις της αραάνω εξίσωσης στο διάστημα (0, ) Εομένως έχουμε: x (0, ) 0 x 0 k k Εειδ δε k ακέραιος είναι k 0 και η τετμημένη του ρώτου σημείου τομς της ευθείας και της συνάρτησης στο θετικό ημιάξονα Οx είναι: 7 7 x 0 Ανάλογα έχουμε: x (0, ) 0 x 0 k k Εειδ δε k ακέραιος είναι k και η τετμημένη του δεύτερου σημείου τομς της ευθείας και της συνάρτησης στο θετικό ημιάξονα Οx είναι: x

20 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνονται οι συναρτσεις f (x) x x και g(x) ( x) x i) Να αλοοισετε τους τύους των συναρτσεων f, g. ii) Να βρείτε σε οια σημεία τέμνονται οι συναρτσεις f, g όταν x [0, ] i) Με τους τύους της αναγωγς στο α τεταρτημόριο οι συναρτσεις γράφονται: f (x) x x x x και g(x) ( x) x x x x x ii) Οι τετμημένες των σημείων τομς των συναρτσεων f, g είναι οι ρίζες της εξίσωσης, f (x) g(x) ου είναι: f (x) g(x) x x x x x x x x 0 x(x ) (x ) 0 (x )( x ) 0 Η τελευταία εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις x 0 x x x x ου έχει ως λύση x k x k με k Ä και x 0 x ου έχει ως λύση την x k με k Ä Αναζητάμε τις λύσεις των αραάνω εξισώσεων ου ανκουν στο διάστημα [0, ], εομένως έχουμε: 0 x 0 k k

21 0 k 0 k 5 k εειδ δε k Ä έχουμε ότι k 0, οότε: Για k 0 έχουμε: x 0 8 Για k έχουμε: x Άρα οι συναρτσεις f, g στο διάστημα [0, ] τέμνονται στα σημεία:,f, και 8 8 8,f, Όμοια βρίσκουμε αό τις άλλες τιμές των x ( x k, x k ) τις συντεταγμένες των σημείων τομς των f, g στο διάστημα [0, ] ΑΣΚΗΣΗ η 7 Εάν α + β = και συνασυνβ 0 τότε να δειχθεί ότι : ( εφα)( εφβ) =. 7 Αφού α + β = 7 θα έχουμε: α= β οότε 7 εφ εφβ 7 εφα = εφ( β) = εφβ εφβ. () 7 εφ εφβ εφβ εφβ Καθόσον συνασυνβ0 και: 7 εφ = εφ( ) = εφ( ) =. Άρα αό την () αίρνουμε: εφβ εφβ εφβ ( εφα)( εφβ) = (+ ) ( εφβ) = ( )( εφβ) ( )( εφβ). εφβ εφβ εφβ ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται ότι οι εφα, εφβ είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: x x = 0. Να υολογισθεί η τιμ της αράστασης : Α = ημ (α + β) ημ(α + β)συν(α + β) συν (α + β).

22 Αφού οι εφα, εφβ είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας x x = 0 τότε λόγω των τύων Vieta θα έχουμε: εφα + εφβ = και εφαεφβ =. Άρα : ημα ημβ ημα ημβ και οότε συνα συνβ συνα συνβ ημασυνβ + ημβσυνα = συνασυνβ και ημαημβ = συνασυνβ (). Άρα ημ(α + β) =συνασυνβ ενώ συν(α + β) = συνασυνβ ημαημβ και λόγω της () αίρνουμε: συν(α + β) = συνασυνβ. Τότε : Α = συν ασυν β συν ασυν β συν ασυν β = 0. ΑΣΚΗΣΗ η i) Να δειχθεί ότι: ημ(x+y)ημ(x y) = ημ x-ημ y. ii) Εάν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου τέτοιες ώστε ημ Α = ημ Β+ημ Γ να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. i) Έχουμε: ημ(x + y)ημ(x y) = = (ημxσυνy + ημyσυνx)(ημxσυνy ημyσυνx) = = ημ xσυν y ημ yσυν x = = ημ x( ημ y) ημ y( ημ x) = = ημ x ημ xημ y ημ y + ημ xημ y = ημ x ημ y. ii) Έχουμε: ημ Α = ημ Β+ημ Γ ημ Α ημ Β = ημ Γ i ημ(α + Β)ημ(Α Β) = ημ Γ (). Όμως Α + Β + Γ = Α + Β = Γ ημ(α + Β) = ημ( Γ) = ημγ. Άρα () ημγημ(α Β) = ημ Γ ημγ(ημ(α Β) ημγ)=0 ημγ(ημ(α Β) ημ(α + Β)) = 0 ημγ( ημβσυνα) = 0 ημβημγσυνα = 0 συνα = 0 Α = 90 ο. Αφού Β, Γ γωνίες τριγώνου ημβημγ 0. β τρόος

23 ημ Α = ημ Β+ημ α β γ Γ α β γ Α 90 R R R ο ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να δειχθεί ότι : εφ x+σφ x = συνx όταν ημx 0. συνx Παρατηρούμε ότι: ημx 0 ημxσυx 0 Υάρχει το Α μέλος. Είσης ημx 0 συν x συν x συν x συνx Υάρχει το Β μέλος οότε Α =εφ x+σφ συνx συνx x= συνx συνx ( συνx) ( συνx) ( συν x) ( συνx)( συνx) συν x συνx ( ) συνx B συνx συνx ΑΣΚΗΣΗ η Δίνονται οι ισότητες ημα συνα = κ () και ημα=λ κ () με κ,λ. Να δειχθεί ότι λ= και κ. ()ημ α ημασυνα+συν α=κ ημα=κ λ+κ =κ λ=. Εξάλου () ημα= κ κ κ κ. ΑΣΚΗΣΗ 7 η Για τα τόξα α,β [0, ] δίνεται ότι : συνα συνβ συνα. (). Να δειχθεί ότι: i) ημα+ημβ=συνα. ii) ημα συνβ=.

24 i) () ημ α ημ β συν α (ημα+ημβ)= συνα ημα+ημβ=συνα (αφού α,β [0, ] ημα,ημβ,συνα 0). ii) ημα συνβ=ημασυνα συνβ i ημα(ημα+ημβ) ( ημ β)= =ημ α+ημαημβ +ημ β= =ημ α+ημ α+ημαημβ+ημ β = =ημ α+(ημ α+ημαημβ+ημ β) = =ημ α+(ημα + ημβ) =ημ α+συν α = =(ημ α+συν α) = =. ΑΣΚΗΣΗ 8 η Άν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: +συνα+συνβ+συνγ=συνβσυνγ (), τότε να υολογισθούν οι γωνίες του τριγώνου. Χρησιμοοιώντας τύους αοτετραγωνισμού έχουμε : ()+συν Α +συν Β +συν Γ =συνβσυνγ συν Α+συν Β+συν Γ συνβσυνγ=0 συν Α+(συνΒ συνγ) =0 συνα=0 και συνβ=συνγ Α=90 ο και Β=Γ=5 ο, αφού Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 9 η Έστω η συνάρτηση : f(x)= συν(x) συν(x). i) Nα βρεθεί το εδίο ορισμού της. ii) Να δειχθεί ότι f(x)= ( συνx ημx ). iii) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=. i) Έχουμε: συν(x) συν(x) 0, συν(x) 0 για κάθε x. Άρα η f x έχει εδίο ορισμού το ii) Λόγω των τύων αοτετραγωνισμού έχουμε:

25 f(x)= συν(x) συν(x) = συν x ημ x συνx ημx = ( συνx ημx ). iii) f(x)= ii ( συνx ημx ) συνx ημx συνx ημx συνx συνx ημx=0 x=κ, κ (αφού ισχύει και: συνx ). Προφανώς για x=κ, κ εαληθεύεται η f x οότε τελικά f x x κ, κ. ΑΣΚΗΣΗ 0 η Εάν ο αριθμός ρ = συν(x+y) είναι ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης κ +(συνx)κ+=0 () τότε να δειχθεί ότι συνx+συνy=0. Αφού η εξίσωση () έχει ραγματικ ρίζα την ρ=συν(x+y) θα είναι Δ 0. Όμως Δ 0συν x 0 συν x συν x συνx= συνx= (αφού ισχύει και: συν x ). Αν συνx= τότε () κ +κ+=0 (κ+) =0 κ= συν(x+y)= συνxσυνy ημxημy= συνy 0ημy = συνy= (αφού συνx=ημx=0). Άρα: συνx+συνy=+( )=0 Αν συνx= τότε συνy= (ομοίως), οότε συνx+συνy= +=0 ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται η συνάρτηση α) Να αοδειχθεί ότι: (x) = ημx. f (x) συν x συν x με x [0, ]. β) Να γίνει η γραφικ αράσταση της συνάρτησης. γ) Να βρεθούν τα σημεία τομς του γραφματος της με την ευθεία y. δ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f και f

26 α) Έχουμε f (x) συν x συν x συν x συν x. συν x συνx = συνxσυν ημxημ συνxσυν ημxημ συνxσυν ημxημ συνxσυν ημxημ = = συνx ημx ημxσυνx = = ημx, άρα f (x) ημx, x[0, ]. β) Η έχει μέγιστο f max, ελάχιστο f min και ερίοδο T. γ) Οι τετμημένες των σημείων τομς είναι οι λύσεις της εξίσωσης f ( x), x[0,] x κ x κ Άρα ημx ημx ημx ημ,κζ 5 5 x κ x κ 5 Όμως x [0, ] οότε για κ = 0 οι λύσεις είναι x x. 5 Άρα τα σημεία τομς είναι: Α, και Β,. δ) Οι αριθμοί 000 αύξουσα, οότε: 000 και ανκουν στο διάστημα 0, στο οοίο η f είναι γνησίως f f ΑΣΚΗΣΗ η x x Έστω η συνάρτηση f (x) συνx ημ συν. α) Να δειχθεί ότι f (x) ημ x. β) Να βρεθεί η ερίοδος της και τα ακρότατα της. γ) Να λυθεί η εξίσωση f (x) f (x) 0 με x 0,.

27 α) Πεδίο ορισμού της είναι Α =. x Έχουμε f (x) συνx ημ συν x συνx ημ x x συνx συνx ημ συν συνx ημ x συνx συνx συνx συν x συν x ημ x. συνx β) Έχουμε f (x) ημ x συνx. Οότε η ερίοδος της συνάρτησης είναι: T. Η συνάρτηση f (x) συνx έχει μέγιστο και ελάχιστο, οότε η μέγιστη τιμ της είναι f max και η ελάχιστη f min 0. γ) Ισχύει f (x) f(x) 0 ημ x ημ x 0 ημ x ημx 0 Όμως x 0, άρα 0 x 0 x οότε ημx 0. Στην εξίσωση ημ x ημx 0, θέτουμε ημx = ω οότε γίνεται ω ω 0, με ρίζες ω =, ω = -. Αν ω ημx ημx ημ x κ x κ, κζ Όμως x 0, άρα για κ = 0 η λύση είναι x. Αν ω ημx αδύνατη, αφού ημx. x συν x ΑΣΚΗΣΗ η α) Να δείξετε ότι ο αριθμός x είναι ρίζα της εξίσωσης συνx ημx. 0 β) Να δείξετε ότι συνx συν x συνx γ) Να δείξετε ότι συνx ημx συνx(-ημ x ημx ) δ) Να δείξετε ότι ο αριθμός ημ είναι μια ρίζα της εξίσωσης x x 0 0 ε) Να υολογίσετε τα ημ9, ημ. α) Αρκεί να αοδείξουμε ότι συν ημ. Ισχύει , δηλαδ οι γωνίες είναι

28 συμληρωματικές άρα συν ημ. 0 5 β) Έχουμε συνx συν(x x) συνxσυνx ημxημx (συν συν x )συνx ημxσυνxημx συν x συνx ( συν x)συνx συν x συνx ημ xσυνx x συνx συνx συν x συν x συνx. (β) γ) A συνx ημx συν x συνx ημxσυνx συνx(συν x ημx) ( ημ x) ημx συνx( ημ x ημx ) συνx. δ) Αρκεί να δείξουμε ότι ημ ημ 0. Θεωρώντας ότι ισχύει ολλαλασιάζουμε και 0 0 τα δύο μέλη της με συν 0. Οότε ισοδύναμα έχουμε: 0 συν ημ ημ 0 συν ημ ημ 0. () Αό το ερώτημα (γ) για x η () γίνεται: συν ημ 0 συν ημ το οοίο ισχύει αό το (α) ε) Αό το (δ) το ημ ημ8 είναι μια λύση της εξίσωσης x x Η διακρίνουσα είναι Δ=0 άρα οι ρίζες της είναι x, x 5 5 Δηλαδ 8 >0 αφού 0. Είσης ημ συν 8 0 = συν 8 συν 8 και αφού συν8 0 τότε συν Αό τον τύο ημ α συνα για α= 9 έχουμε ημ 9 9 και αφού ημ9 0 8 τότε: 0 5 ημ9. Στον τύο ημα=ημασυνα για α = 8 ισχύει ( 5) 0 5 ημ ημ8συν8. 8 συν8 ημ 9

29 ΑΣΚΗΣΗ η α) Να αοδείξετε ότι ημ x συν x ημ x συν x 5 β) Να λύσετε την εξίσωση ημ x συν x 8 γ) Να υολογίσετε την τιμ της αράστασης ημ συν δ) Να βρεθούν η ερίοδος, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμ της συνάρτησης f (x) ημ x συν x α) ημ x συν x (ημ x) (συν x) ημ x συν xημ x ημ xσυν x συν x ημ x συν x ημ xσυν x ημ x συν x ημ xσυν x ημ xσυν x ημ xσυν x συν x συν x. ημxσυνx ημx ημ x (α) 5 5 β) ημ x συν x ημ x ημ x ημ x Αν Αν ημx ημx ημx x κ x κ 8 ημx ημ, κ Z x κ x κ 8 x κ x κ 8 ημx ημ(- ), κ Z 5 x κ x κ 8 γ) ημ συν (α) ημ ημ (α) συνx 5 δ) f(x) ημ x συνx συνx Οότε η ερίοδος είναι: T. Η μέγιστη τιμ της είναι f max και η ελάχιστη f min. 8 8

30 ΑΣΚΗΣΗ 5 η α β α) Να δείξετε ότι ημ συνασυνβ ημαημβ α β β) Να δείξετε ότι ημαημβ ημ γ) Να δείξετε ότι ημαημ99α ημ 00α δ) Αν 0<α,β<, ημαημβ και 0 α β ημ, συν(α β), εφ(α β), εφα και εφβ. εφαεφβ, να υολογίσετε τους αριθμούς: α β συν(α β) α) Ισχύει ημ συν(α β) συνασυνβ ημαημβ (α) α β α β β) Έστω ότι ισχύει: ημαημβ ημ ημαημβ ημ ημαημβ συνασυνβ ημαημβ συνασυνβ ημαημβ συν(α β). γ) Αό το (β) ερώτημα αντικαθιστώντας όου β το 99α έχουμε: α 99α ημαημ99α ημ ημαημ99α ημ 00α. δ) Έχουμε εφαεφβ Αό το (α) ερώτημα ισχύει: ημα συνα ημ ημβ συνβ α 0 συνασυνβ συνασυνβ β συνασυνβ ημαημβ 5 α β α β 5 7 α β 5 7 ημ ημ. Άρα ημ α β α β Εειδ ημ 0 αφού 0 α και 0 β δηλαδ 0. Το Ισχύει συν(α β) συνασυνβ ημαημβ συν(α β) ημ (α β) συν (α β) ημ (α β) 5 0 ημ συν(α β) (α β), άρα ημ(α συν(α β) ημ(α β), αφού ημ(α+β)>0 εειδ 0 α β. Άρα εφ(α β). β)..

31 Έχουμε εφα εφβ x 5 εφα εφβ εφα εφβ εφ(α β) εφα εφβ εφαεφβ 5 και εφαεφβ x 0. Λύνοντας: 5. Άρα, δηλαδ οι αριθμοί εφα και εφβ είναι οι ρίζες της εξίσωσης: εφα και εφβ εφα και εφβ ΑΣΚΗΣΗ η α) Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: σφασφβ σφβσφγ σφγσφα β) Αν σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει σφ Α σφ Β σφ Γ, να αοδείξετε: i) σφα σφβ σφγ ii) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόλευρο. ^ ^ ^ α) Αφού οι A, B, Γ είναι γωνίες τριγώνου ισχύει Α + Β + Γ = Α + Β = Γ. Άρα σφασφβ σφ(α Β) σφ( Γ) σφγ σφασφβ σφβσγγ σφασφγ σφβ σφα σφασφβ σφβσφγ σφγσφα. β) i) σφα σφβ σφγ σφ Α σφ Β σφ Γ σφασφβ σφβσφγ σφγσφα σφασφβ σφβσφγ σφγσφα (α) Όμως σφα, σφβ, σφγ > 0 αφού το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, άρα σφα σφβ σφγ. ii) Ισχύουν σφασφβ σφβσφγ σφγσφα και σφ Α σφ Β σφ Γ άρα: σφασφβ σφβσφγ σφγσφα σφ Α σφ Β σφ Γ σφ Α σφ Β σφ Γ σφασφβ σφβσφγ σφγσφα 0 σφα σφβ σφβ σφγ σφγ σφα 0. Οότε σφα-σφβ = 0 και σφβ σφγ = 0 και σφγ σφα = 0. Άρα σφα = σφβ = σφγ και αφού είναι γωνίες τριγώνου ισχύει Α = Β = Γ δηλαδ το τρίγωνο είναι ισόλευρο.

32 ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να βρεθούν οι τιμές των ραγματικών αριθμών α και β ώστε να ισχύει για κάθε γωνία x κ, κ η ισότητα: ημα ημx... για ν. ν ημα ημα ημ α x ασφ βσφx. Ακολούθως να υολογισθεί το άθροισμα: S = α Η ισότητα ου δίνεται γίνεται: x συν x ημ x x ημ συν ημx x + βσυνx = ασυν x συν x συνx ασφ βσφx α ημx β ημx = x ημx ημ συνx + βσυνx = α + βσυνx = α +ασυνx + βσυνx (α + β)συνx + (α ) = 0.() Εειδ η () ισχύει για μη εερασμένες τιμές του x τότε ρέει και αρκεί: Εομένως S = ημα.. + σφ ν- α σφ ν α = σφ α - σφ ν α. α β 0 α 0 α. β α... = σφ ν - σφα + σφα σφα + σφα σφα +. ημα ημα ημ α ΑΣΚΗΣΗ 8 η Να αοδείξετε ότι για οοιαδοτε γωνία x κ, με κ ισχύουν: σφ x α) σφx. σφx β) εφx σφx σφx γ) εφx εφx εφx 8σφ8x σφx. x x x x x δ) εφ εφ εφ... εφ σφ σφx. ν ν ν ν 8 8

33 α) Είναι: σφxσφx σφ x σφx σφ(x x). σφx σφx σφx σφ x σφ x σφ x β) σφx - σφx σφx εφx. σφx σφx σφx γ) Αό (α) ερώτημα ισχύει: εφx σφx σφx για οοιαδοτε γωνία x. Θέτοντας για x την γωνία x έχουμε: εφx σφx σφx. Για x = x έχουμε: εφx σφx σφ8x. Άρα: εφx εφx εφx 8σφ8x σφx - σφx σφx - σφx σφx - 8σφ8x 8σφ8x σφx. x x x δ) Αό το (α) ερώτημα για x την γωνία έχουμε εφ σφ σφx. x x x x x x x x x Οότε φ σφ σφ, εφ σφ σφ,..., εφ σφ σφ ν ν ν 8 8 x x x x Άρα: εφ εφ εφ... εφ ν ν 8 8 x x x x x x x σφ σφx σφ σφ σφ σφ... σφ σφ ν ν ν ν 8 8 x σφ σφx. ν ν ΑΣΚΗΣΗ 9 η Αν ισχύει ημx +συνx = να βρείτε την εφx Είναι συνx 0 γιατί αν διαφορετικά ταν συνx = 0 θα είχαμε ημx = (αό την βασικ τριγωνομετρικ ταυτότητα και η σχέση για τις αραάνω τιμές θα έδινε +0= = ου είναι ψευδές) Αφού λοιόν συνx 0 η σχέση γράφεται: x x ημx +συνx = = εφx + = x x x οότε υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: (εφx +) =9 (εφx +) =9(+εφ x) (γιατί x εφ x + εφx + 9 = 9 + 9εφ x 7εφ x + εφx = 0 εφx(7εφx + ) = 0 x αό όου βρίσκουμε ότι η εφx έχει δύο τιμές τις εφx = 0, εφx = ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ x 7 = + εφ x )

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία)

1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) 1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) ΒΑΘ/ΓΙΑ ΘΕΜΑ 1ο µονάδες 1 Κάθε στοιχείο της στήλης Α είναι ίσο µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών στήλη Α συν (y

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. g x α β συν α β x, α,β 0. Αν οι. π π Α f g 3 4. α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f.

Ασκήσεις. g x α β συν α β x, α,β 0. Αν οι. π π Α f g 3 4. α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f. wwwaskisopolisgr Ασκήσεις 1 Δίνεται η συνάρτηση fx ημ x 5συνx 1 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να λύσετε την εξίσωση f x συν x 8 f

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 015 Περιεχόµενα 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ................................................

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Για να λύσουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση θα πρέπει να την φέρουμε σε μια από τις παρακάτω μορφές: Μορφή Εξίσωσης Τύποι Λύσεων ημx = ημα

Για να λύσουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση θα πρέπει να την φέρουμε σε μια από τις παρακάτω μορφές: Μορφή Εξίσωσης Τύποι Λύσεων ημx = ημα . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τριγωομετρικές εξισώσεις λέγοται οι εξισώσεις στις οοίες ο άγωστος x εμφαίζεται σε κάοιο τριγωομετρικό αριμό(ημίτοο, συημίτοο, εφατομέη ή συεφατομέη). Για α λύσουμε μια τριγωομετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΡΑ. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: α) χ+ψ=7 β)3κ+λ=4 γ) +y= δ)χ+ψ= χ-ψ=- 5κ=+3λ -y-y =7 4χψ=3.Να γίνουν οι πράξεις: α)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα.

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα. ΘΕΜΑ ο Α α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα γ) Να δώσετε τον ορισµό της - συνάρτησης Β Σε καθεµιά αό τις αρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου

Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικός, M. Ed. Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 014 (B ΕΚΔΟΣΗ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με τις σημειώσεις αυτές ροσαθώ να αοτυώσω τη δική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ . Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα