ΧΡΗΣΗ CAMENISCH- LYSYANSKAYA ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΑ

Transcript

1 ΧΡΗΣΗ CAMENISCH- LYSYANSKAYA ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΑ του Θεόφιλου Κανακάρη Μεταπτυχιακό Μάθημα : Διπλωματική Εργασία Επιβλέποντες Καθηγητές : Ιωάννης Σταματίου, Κωνσταντίνος Λαμπρινουδάκης Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών : Ασφάλεια Ψηφιακών Συστημάτων Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Πειραιά

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ενότητα Σελίδα Εισαγωγή 5 Πιστοποιητικό και Χρήση του σε Συναλλαγές 5 3 Μαθηματικά Εργαλεία 7 4 Σχήμα CL Ψηφιακών Υπογραφών 38 4 Φάση Δημιουργίας Παραμέτρων 38 4 Φάση Κωδικοποίησης 4 43 Φάση Υπογραφής 4 44 Φάση Επιβεβαίωσης 44 5 Αποδεικτικά Πρωτόκολλα Μηδενικής Γνώσης 46 5 Z Πρωτόκολλο Γνώσης Διακριτών Λογαρίθμων 48 5 Z Πρωτόκολλο Γνώσης Διακριτών Λογαρίθμων oduo Πρώτο Αριθμό Z Πρωτόκολλο Ισότητας Διακριτών Λογαρίθμων Z Πρωτόκολλο Εγκυρότητας Πιστοποιητικού Z Πρωτόκολλο Πεδίου με Τιμή Ίση με μια Δεδομένη Τιμή Z Πρωτόκολλο Πεδίων με Τιμές Ίσες με κάποιες Δεδομένες Τιμές Πρώτο Z Πρωτόκολλο Πεδίου με Τιμή Διαφορετική από μια Δεδομένη Τιμή Πρώτο Z Πρωτόκολλο Πεδίων με Τιμές Διαφορετικές από κάποιες Δεδομένες Τιμές 83

4 57 Δεύτερο Z Πρωτόκολλο Πεδίου με Τιμή Διαφορετική από μια Δεδομένη Τιμή Δεύτερο Z Πρωτόκολλο Πεδίων με Τιμές Διαφορετικές από κάποιες Δεδομένες Τιμές 9 58 Z Πρωτόκολλο Πεδίου με Τιμή από ένα Δεδομένο Σύνολο Τιμών 93 Αναφορές 8

5 Εισαγωγή Η συγκεκριμένη εργασία γράφτηκε στα πλαίσια του μαθήματος με τίτλο Διπλωματική Εργασία του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών με τίτλο Ασφάλεια Ψηφιακών Συστημάτων του Τμήματος Ψηφιακών Συστημάτων του Πανεπιστημίου Πειραιά Προσωπικά θα ήθελα να ευχαριστήσω τους δύο επιβλέποντες καθηγητές, τους κυρίους Ιωάννη Σταματίου, Επίκουρο Καθηγητή στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων και Κωνσταντίνο Λαμπρινουδάκη, Αναπληρωτή Καθηγητή στο Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων του Πανεπιστημίου Πειραιά Ιδιαίτερα τον πρώτο για την ανάθεση του θέματος αυτής της εργασίας σε εμένα, τη γνωστοποίηση των επιστημονικών πηγών στις οποίες βασίστηκα σε πολύ σημαντικό βαθμό για να συγγράψω την εργασία, καθώς και για τη διόρθωσή της Η συγκεκριμένη εργασία αφορά την χρήση των Caesch-Lysyasaya (CL) Ψηφιακών Υπογραφών και των Αποδεικτικών Πρωτοκόλλων Μηδενικής Γνώσης (Zero Kowedge Proof (z) Protocos) σε Ψηφιακά Πιστοποιητικά Συγκεκριμένα μελετάται ο τρόπος με τον οποίο εφαρμόζεται το προηγούμενο σχήμα υπογραφών σε ηλεκτρονικά πιστοποιητικά, από μια αρμόδια Αρχή που τα εκδίδει Αυτά χρησιμοποιούνται σε ηλεκτρονικές συναλλαγές των νομίμων κατόχων τους με διάφορους φορείς Επίσης περιγράφονται αναλυτικά διάφορα z πρωτόκολλα που εκτελούνται σε τέτοιες ηλεκτρονικές συναλλαγές και αποδεικνύουν την ισχύ προτάσεων σχετικών με το περιεχόμενο των παραπάνω πιστοποιητικών, χωρίς όμως το τελευταίο να αποκαλύπτεται Στην ενότητα παρουσιάζεται η έννοια του πιστοποιητικού, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο συμμετέχει σε συναλλαγές του νομίμου κατόχου του Στην ενότητα 3 αναφέρονται σχολαστικά διάφορα μαθηματικά εργαλεία που είναι απαραίτητα για τη θεμελίωση των CL υπογραφών και των z πρωτοκόλλων που θα χρησιμοποιηθούν Στην ενότητα 4 αναλύεται αυτό το σχήμα ψηφιακών υπογραφών και τέλος στην πέμπτη ενότητα περιγράφονται διεξοδικά τα παραπάνω z πρωτόκολλα Πιστοποιητικό και Χρήση του σε Συναλλαγές Πιστοποιητικό είναι ένα έγγραφο [] εκδιδόμενο από μια επίσημη Αρχή του οποίου το περιεχόμενο τεκμηριώνει κάποια στοιχεία για τον νόμιμο ιδιοκτήτη του Ο τελευταίος μπορεί να είναι ένα άτομο ή ένας οργανισμός Το πιστοποιητικό μπορεί να τεκμηριώνει μια ιδιότητα όπως μια εργασιακή θέση κάποιου, για παράδειγμα προϊστάμενος, υπάλληλος, ή έναν τύπο εταιρείας, για παράδειγμα ανώνυμη, εταιρεία τροφίμων Επίσης το πιστοποιητικό μπορεί να αποδεικνύει μια κατάσταση, όπως ατομικά στοιχεία κάποιου, ένα προσόν, για παράδειγμα πτυχίο, ένα προνόμιο, όπως βεβαίωση φοροαπαλλαγής, ή ένα δικαίωμα, όπως δίπλωμα οδήγησης Το περιεχόμενό του αποτελείται από πληροφορίες που αφορούν τον νόμιμο ιδιοκτήτη του και είναι κατηγοριοποιημένες ως τιμές σε διάφορα πεδία του πιστοποιητικού Τέτοια είναι για παράδειγμα, το όνομα του νόμιμου κατόχου, η ημερομηνία ισχύος σε ένα δίπλωμα οδήγησης, ο αριθμός τέκνων σε ένα πιστοποιητικό οικογενειακής κατάστασης, το χρώμα των ματιών και το ύψος σε μια αστυνομική ταυτότητα Οι παραπάνω πληροφορίες έχουν χαρακτήρα προσωπικών δεδομένων από τη στιγμή που αφορούν τον νόμιμο ιδιοκτήτη του πιστοποιητικού και για αυτόν τον λόγο η Αρχή που το εκδίδει το αποστέλλει μονάχα σε αυτόν δίχως να το κοινοποιεί δημόσια Για τον ίδιο λόγο επίσης, ο νόμιμος κάτοχός του θεωρείται ότι ακολουθεί την ίδια πολιτική [] Όταν εκδίδεται ένα πιστοποιητικό από την Αρχή, αυτή το υπογράφει - 5 -

6 προκειμένου να καθίσταται δυνατή μια μελλοντική επιβεβαίωση της εγκυρότητάς του Με βάση τις τιμές κάποιων από τα πεδία ενός πιστοποιητικού, είναι δυνατή ή μη η εκχώρηση δικαιωμάτων στον νόμιμο κάτοχο, ή η πρόσβασή του σε υπηρεσίες Για παράδειγμα, αν η τιμή του πεδίου της ημερομηνίας ισχύος στο δίπλωμα οδήγησης είναι μεταγενέστερη της τωρινής ημερομηνίας, τότε ο ιδιοκτήτης του μπορεί να οδηγήσει, διαφορετικά όχι Αν πάλι ο αριθμός τέκνων που αναγράφεται σε ένα πιστοποιητικό οικογενειακής κατάστασης είναι μεγαλύτερος από μια προκαθορισμένη τιμή, τότε ο νόμιμος κάτοχός του μπορεί να αποκτήσει το δικαίωμα φορολογικής ελάφρυνσης και μόνο τότε Τέλος, αν η πρόσβαση σε υπηρεσίες ενός δήμου επιτρέπεται μόνο στους δημότες του, τότε κάποιος πολίτης μπορεί να έχει πρόσβαση σε αυτές μόνο εφόσον στο πιστοποιητικό εντοπιότητάς του αναγράφεται ο συγκεκριμένος δήμος Το πιστοποιητικό ελέγχεται ως προς τις τιμές συγκεκριμένων πεδίων από έναν αρμόδιο φορέα, όπως η Αστυνομία και η εφορία στην περίπτωση του διπλώματος οδήγησης και πιστοποιητικού οικογενειακής κατάστασης αντίστοιχα, εφόσον προηγούμενα επιβεβαιωθεί η εγκυρότητά του από την υπογραφή της Αρχής που το εξέδωσε Αν αυτές οι τιμές ικανοποιούν τα κριτήρια που έχουν τεθεί, τότε και μόνο τότε ο ιδιοκτήτης αποκτάει το αντίστοιχο δικαίωμα, ή του επιτρέπεται η πρόσβαση σε υπηρεσίες Προκειμένου ο φορέας να επιβεβαιώσει την εγκυρότητα και να κάνει μετά τον έλεγχο, έχει πρόσβαση στο πιστοποιητικό, δηλαδή στις τιμές των υπό εξέταση πεδίων του καθώς και σε εκείνες όλων των άλλων των υπολοίπων πεδίων του Με τον τρόπο αυτό όμως εγείρεται θέμα ασφάλειας αφού παραβιάζεται η ιδιωτικότητα των τιμών όλων των πεδίων Μάλιστα το πρόβλημα εντείνεται όταν κάποιες από αυτές τις τιμές εκτός από προσωπικά έχουν και χαρακτήρα ευαίσθητων δεδομένων Για παράδειγμα, ο αριθμός τέκνων, το χρώμα των ματιών και το βάρος είναι προσωπικά δεδομένα τα οποία πρέπει να μένουν εμπιστευτικά, το ίδιο όμως ισχύει σε μεγαλύτερο βαθμό για ευαίσθητα δεδομένα όπως το ονοματεπώνυμο, τα αποτελέσματα ιατρικών εξετάσεων, ή το ποινικό ιστορικό Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται στην περίπτωση που το πιστοποιητικό είναι ηλεκτρονικό έγγραφο, οπότε και λέγεται ψηφιακό ή ηλεκτρονικό πιστοποιητικό Δηλαδή ένας φορέας μπορεί να επιβεβαιώσει την εγκυρότητα ενός ψηφιακού πιστοποιητικού και να ελέγξει αν ικανοποιούνται τα προκαθορισμένα κριτήρια από τις τιμές συγκεκριμένων πεδίων του, χωρίς να έχει πρόσβαση σε αυτό Έτσι από τη στιγμή που δεν μπορεί να έχει πρόσβαση σε καμία τιμή των πεδίων του πιστοποιητικού, τότε το παραπάνω πρόβλημα ασφάλειας λύνεται και η ιδιωτικότητα των τιμών όλων των πεδίων τηρείται Παρόλο που ο φορέας δεν έχει πλέον πρόσβαση στις τιμές των υπό εξέταση πεδίων, ο έλεγχος σχετικά με το αν τηρούν τα κριτήρια μπορεί να διενεργηθεί με την χρήση z πρωτοκόλλων Με την εκτέλεση των τελευταίων, μεταξύ του νομίμου κατόχου και του φορέα, ελέγχεται αν οι προηγούμενες τιμές ικανοποιούν τα προκαθορισμένα κριτήρια εξασφαλίζοντας παράλληλα την ιδιωτικότητά τους αλλά και την ιδιωτικότητα των τιμών των υπολοίπων πεδίων Πριν από αυτόν τον έλεγχο εξετάζεται επίσης μέσω της εκτέλεσης των z πρωτοκόλλων η εγκυρότητα του ψηφιακού πιστοποιητικού [] Για παράδειγμα, αν το κριτήριο για φορολογική ελάφρυνση είναι η ύπαρξη τουλάχιστον τριών τέκνων, τότε ένας που έχει τέσσερα τέκνα θα εκτελέσει με τον φορέα το αντίστοιχο z πρωτόκολλο ώστε να του αποδείξει την εγκυρότητα του πιστοποιητικού του και μετά ένα άλλο z πρωτόκολλο για να του αποδείξει πως η τιμή που αναγράφεται στο πεδίο του αριθμού τέκνων είναι μεγαλύτερη ή ίση του 3 Ο φορέας δε θα μάθει ότι η τιμή σε αυτό το πεδίο είναι ίση με 4, άλλωστε δεν το - 6 -

7 χρειάζεται Αυτό που τον νοιάζει είναι αν αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη ή ίση του 3, προκειμένου να εκχωρήσει το δικαίωμα της φορολογικής ελάφρυνσης στον συγκεκριμένο πολίτη, ή μικρότερή του για να του το αρνηθεί Παρόλο που τα ψηφιακά πιστοποιητικά είναι απόρρητα σε όλους εκτός από τους νομίμους κατόχους τους και την εκδότρια Αρχή, η ιδιωτικότητα αυτή αναγκαστικά καταστρατηγείται στην περίπτωση που τα κριτήρια ελέγχου απαιτούν από κάποια πεδία του πιστοποιητικού να έχουν κάποιες δεδομένες τιμές Αν το πιστοποιητικό ενός πολίτη τηρεί αυτήν την απαίτηση, τότε με την χρήση του αντίστοιχου z πρωτοκόλλου αποδεικνύεται στον φορέα πως τα υπό εξέταση πεδία του συγκεκριμένου πιστοποιητικού έχουν όντως αυτές τις δεδομένες τιμές Έτσι όμως παραβιάζεται η ιδιωτικότητα των τιμών που έχουν αυτά τα πεδία Από την άλλη τηρείται η ιδιωτικότητα των τιμών των υπολοίπων πεδίων από τη στιγμή που ο φορέας δεν έχει πρόσβαση στο πιστοποιητικό και η εκτέλεση του z πρωτοκόλλου δεν αποκαλύπτει καμιά από αυτές Για παράδειγμα, αν ένα επίδομα δίνεται μόνο στους δημοσίους υπαλλήλους με πανεπιστημιακή μόρφωση, τότε κάποιος εργαζόμενος του δημοσίου τομέα που τηρεί αυτό το κριτήριο θα κληθεί να αποδείξει στον φορέα με την χρήση ενός z πρωτοκόλλου ότι το αντίστοιχο πιστοποιητικό του είναι έγκυρο και με ένα άλλο z πρωτόκολλο ότι στο πεδίο που αφορά το επίπεδο μόρφωσης αναγράφεται η ένδειξη Πανεπιστήμιο Ο φορέας θα πειστεί και θα κινήσει τις διαδικασίες για την παροχή του επιδόματος στο συγκεκριμένο δημόσιο υπάλληλο, ταυτόχρονα όμως θα γνωρίζει και το επίπεδο μόρφωσής του παραβιάζοντας την ιδιωτικότητα της τιμής Πανεπιστήμιο η οποία περιέχεται στο πεδίο που σχετίζεται με την μόρφωση Περισσότερα σχετικά με τον ορισμό και την χρήση των z πρωτοκόλλων στις ηλεκτρονικές συναλλαγές των ψηφιακών πιστοποιητικών αναφέρονται στην ενότητα 5 3 Μαθηματικά Εργαλεία Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται μαθηματικά εργαλεία, όπως ορισμοί, προτάσεις, θεωρήματα και ισχυρισμοί, τα οποία είναι απαραίτητα για την οικοδόμηση του σχήματος των CL υπογραφών και των z πρωτοκόλλων που αναπτύσσονται στις επόμενες ενότητες Σχεδόν για όλες τις προτάσεις παρατίθενται και οι αποδείξεις τους Τα μαθηματικά εργαλεία είναι τα εξής []: Ορισμός Πρώτος αριθμός είναι ο φυσικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος του και οι διαιρέτες του είναι ο εαυτός του και το Δύο αριθμοί είναι μεταξύ τους πρώτοι όταν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι το Πρόταση Έστω πρώτος αριθμός και, τότε αν οι, είναι πρώτοι μεταξύ τους, το δεν είναι διαιρέτης του και αντιστρόφως Απόδειξη Έστω η περίπτωση που οι, είναι πρώτοι μεταξύ τους Τίθεται ο ισχυρισμός ότι το είναι διαιρέτης του Αυτό σημαίνει πως ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των, είναι το, το οποίο ως πρώτος αριθμός, λόγω της πρότασης του Ορισμού, είναι μεγαλύτερο από το και άρα διαφορετικό του Δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των,, διαφέρει από το Το συμπέρασμα αυτό όμως καταλήγει σε άτοπο, καθώς - 7 -

8 τα, ως πρώτοι που είναι μεταξύ τους, θα έχουν ως μέγιστο κοινό τους διαιρέτη το σύμφωνα με την πρόταση του Ορισμού Επομένως το δε διαιρεί το Αντίστροφα, έστω η περίπτωση που το δεν είναι διαιρέτης του Τότε το δεν είναι κοινός διαιρέτης των, Το είναι κοινός τους διαιρέτης και επειδή δεν υπάρχει άλλος διαιρέτης του εκτός από τους και, το θα είναι και ο μοναδικός κοινός τους διαιρέτης, άρα και ο μέγιστος κοινός τους Επομένως σύμφωνα με την πρόταση του Ορισμού, οι, είναι πρώτοι μεταξύ τους Πρόταση Αν q, πρώτοι αριθμοί με q, τότε είναι πρώτοι μεταξύ τους Απόδειξη Οι διαιρέτες του πρώτου αριθμού είναι το και το ίδιο το Σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει q και λόγω της πρότασης του Ορισμού θα είναι q και άρα q Δηλαδή το q διαφέρει από όλους τους διαιρέτες του και συνεπώς δεν το διαιρεί Λόγω του τελευταίου συμπεράσματος και του γεγονότος ότι το q είναι πρώτος, τα q, είναι πρώτοι μεταξύ τους σύμφωνα με την Πρόταση Πρόταση 3 Έστω ab,, τότε αν οι ab, είναι πρώτοι μεταξύ τους y, ώστε a b y και αντιστρόφως Όταν τα ab, είναι πρώτοι μεταξύ τους και δοθούν ως είσοδοι στον επεκτεινόμενο Ευκλείδειο αλγόριθμο, τότε υπολογίζονται από αυτόν y, που ικανοποιούν την προηγούμενη εξίσωση Πρόταση 4 Αν πρώτος αριθμός, ab, και το διαιρεί το γινόμενο ab, τότε το διαιρεί το a ή το b Απόδειξη Έστω ότι το δε διαιρεί κανένα από τα ab, Τότε, μια και το είναι πρώτος, σύμφωνα με την Πρόταση τα a, είναι πρώτοι μεταξύ τους, όπως επίσης και τα b, Επομένως λόγω της Πρότασης 3, y,, y ώστε a y b y Από αυτό το σύστημα εξισώσεων συνεπάγεται πως a y a y b y b y aby y aby y () Έστω τότε 3, y3 y y, z y z και η () γίνεται ab y z ab y z

9 Έτσι για τα ab,, y, z 3 ώστε να ισχύει η τελευταία εξίσωση Αυτό σύμφωνα με την Πρόταση 3 σημαίνει ότι τα a b, είναι πρώτοι μεταξύ τους και επειδή το είναι πρώτος αριθμός, τότε σύμφωνα με την Πρόταση δε διαιρεί το ab Το τελευταίο συμπέρασμα καταλήγει σε άτοπο αφού έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι το διαιρεί το ab Επομένως το διαιρεί το a ή το b Πρόταση 5 Έστω b,, c με, Αν,, και,, a Τότε ισχύουν τα εξής: το a είναι πρώτος με το b, τότε το b είναι πρώτος με το γινόμενο a και αντιστρόφως Αν το c είναι πρώτος με το b, τότε το b είναι πρώτος με το Απόδειξη το a είναι πρώτος με το b Ισχύει με, οπότε για τα a, a είναι το καθένα πρώτος με το b Έτσι σύμφωνα με την Πρόταση 3,, y, y ώστε a b y a b y Από αυτό το σύστημα εξισώσεων συνεπάγεται πως a b y a b y a a a b y b y a b y b y a a b a y y a y b y () Έστω η περίπτωση που,, Έστω τότε 3, z και η () γίνεται Έτσι για τα a a, b, 3, 3 z a y y a y b y, c a a 3 b z z ώστε να ισχύει η τελευταία εξίσωση Αυτό σύμφωνα με την Πρόταση 3 σημαίνει ότι τα a, a b είναι πρώτοι μεταξύ τους Έστω 3, τότε θα δειχτεί με τέλεια επαγωγή ότι,, τα a, b είναι πρώτοι μεταξύ τους Για η απόδειξη είναι η ίδια όπως και προηγουμένως Έστω ότι για κάποιο,, ότι και τα a τα a, b είναι πρώτοι μεταξύ τους Θα δειχτεί a, b είναι πρώτοι μεταξύ τους Λόγω της παραπάνω υπόθεσης τα, b είναι πρώτοι μεταξύ τους Εφόσον τα a, a είναι το καθένα πρώτος με το - 9 -

10 b, τότε αποδεικνύεται παρόμοια όπως και προηγουμένως ότι τα μεταξύ τους Άρα,, είναι πρώτος με a Έστω η περίπτωση που το γινόμενο την Πρόταση 3 y, ώστε, το b είναι πρώτος με το a b y,, η τελευταία εξίσωση γίνεται Έστω ότι,, τότε z και η (3) γίνεται Έτσι,, a a a b y (3), z a a a, b είναι πρώτοι και επομένως για είναι πρώτος με το b Τότε σύμφωνα με,, a z b y, για τα a, b, z, y ώστε να ισχύει η τελευταία εξίσωση Αυτό σύμφωνα με την Πρόταση 3 σημαίνει ότι τα a, b είναι πρώτοι μεταξύ τους Συνεπώς,, το a είναι πρώτος με το b Έστω, τότε σύμφωνα με την υπόθεση το b είναι πρώτος με το c, δηλαδή με το c c Έστω Αν τεθούν και,, a c, τότε,, το a θα είναι πρώτος με το b και έτσι σύμφωνα με την Πρόταση 5 το b είναι πρώτος με το γινόμενο a c c c Πρόταση 6 Έστω q, πρώτοι αριθμοί με q και a, τότε αν καθένα από τα q, διαιρεί το a, αυτό διαιρείται επίσης και από το γινόμενο q και αντιστρόφως Απόδειξη Έστω η περίπτωση που καθένα από τα q, διαιρεί το a Τότε d, d ώστε a d (4) a q d Από αυτό το σύστημα εξισώσεων προκύπτει πως d q d - 0 -

11 Η τελευταία εξίσωση δηλώνει πως ο πρώτος αριθμός διαιρεί το γινόμενο qd και άρα λόγω της Πρότασης 4 θα διαιρεί το q ή το d Επειδή το q είναι πρώτος όπως και το με q, τότε λόγω της Πρότασης τα q, είναι πρώτοι μεταξύ τους και άρα σύμφωνα με την Πρόταση ο πρώτος δε διαιρεί το q Επομένως το διαιρεί το d και έτσι d3 ώστε d d3 Λόγω της τελευταίας σχέσης, η δεύτερη εξίσωση της (4) γίνεται a q d a q d 3 3 Από την τελευταία σχέση προκύπτει πως το γινόμενο q διαιρεί το a Έστω η περίπτωση που το γινόμενο q διαιρεί το a Τότε d ώστε a q d και επομένως a q d a q d Από την πρώτη και δεύτερη εξίσωση του τελευταίου συστήματος, προκύπτει πως τα q, αντίστοιχα διαιρούν το a Ορισμός Αν είναι η συνάρτηση φι του Euer της οποίας η τιμή είναι ίση με το πλήθος όλων των φυσικών αριθμών από το σύνολο,,, που είναι πρώτοι με το, Αν με, το είναι το σύνολο που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς από το σύνολο,,, οι οποίοι είναι πρώτοι με το Πρόταση 7 Αν πρώτος αριθμός, τότε,, Απόδειξη Όλοι οι αριθμοί του συνόλου,, είναι μικρότεροι ή ίσοι από το και συνεπώς μικρότεροι από το Από το τελευταίο συμπέρασμα προκύπτει πως κανένας τους δεν το έχει ως διαιρέτη του Επομένως, σύμφωνα με την Πρόταση, μια και το είναι πρώτος αριθμός, ο κάθε αριθμός του,, είναι πρώτος με το Άρα Ορισμός 3,, Αν ab, και, τα adv, aod είναι αντίστοιχα το πηλίκο και το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσης του a με το Η σχέση a bod λέγεται ισοδυναμία και δηλώνει πως τα ab, είναι ισοϋπόλοιπα ως προς, δηλαδή η ακέραια διαίρεση καθενός από αυτά με το το παράγει το ίδιο υπόλοιπο - -

12 Πρόταση 8 Αν a, b, c, d, a od 0,,, τότε ισχύουν τα εξής: Αν a bod, τότε a bod 3 Αν a 0od, τότε το a είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του a od od a od 4 a b od aod bod od 5 ab od aod bod od 6 7 Αν a bod, τότε: Ορισμός 4 a b 0od ac b cod 3 Αν c d od, τότε od ac b d Αν με και a, το a είναι ο αντίστροφος oduo του a όπου aa od Πρόταση 9 Αν με και a, τότε υπάρχει ο αντίστροφος του a, είναι μοναδικός και υπολογίζεται από τον επεκτεινόμενο Ευκλείδειο αλγόριθμο Ορισμός 5 Αν με, a και Πρόταση 0 Αν με, a, b, c,,, τότε a od a od Αν a bod, τότε a b od, τότε ισχύουν τα εξής: Αν a a b c od, τότε od 3 Αν od a b c a b c a b c, τότε od od 4 Αν a b c, τότε od 5 Αν od a b c a b c, τότε b a cod Πρόταση Αν ab,, με a bod - -

13 και οι b, είναι πρώτοι αριθμοί μεταξύ τους, τότε και οι a, είναι επίσης πρώτοι μεταξύ τους Απόδειξη Επειδή a bod, τότε σύμφωνα με την Πρόταση 87 θα ισχύει a b 0od και συνεπώς λόγω της Πρότασης 83, το a b είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του Δηλαδή d ώστε a b d (5) Εφόσον οι b, είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε σύμφωνα με την Πρόταση 3 y, ώστε b y Η τελευταία εξίσωση συνεπάγεται ότι b y (6) Από την (5) προκύπτει ότι a b d a b d a d b (6) a y d (7) a d y a d y a d y Έστω z y d, τότε z και λόγω της (7) θα ισχύει a z Έτσι για τα a,, z, ώστε να ισχύει η τελευταία εξίσωση Αυτό σύμφωνα με την Πρόταση 3 σημαίνει ότι τα a, είναι πρώτοι μεταξύ τους Κινέζικο θεώρημα των υπολοίπων Αν με,,, δύο πρώτοι μεταξύ τους και ισχύει a,, με, οι είναι ανά τότε 0,, μοναδικό στο σύνολο 0,,, έτσι ώστε,, ισχύει Έστω ότι,, είναι a od N, τότε M όπου N M od Η τιμή του θα δίνεται από τη σχέση a N M od να - 3 -

14 Πρόταση Αν q, είναι πρώτοι αριθμοί με q, a, b q και q, τότε μοναδικό στο σύνολο, έτσι ώστε να ισχύει a od b od q Απόδειξη Επειδή τα q, είναι πρώτοι αριθμοί με q, τότε λόγω της Πρότασης αυτά θα είναι και πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί Άρα τηρούνται οι προϋποθέσεις του 0,, μοναδικό στο σύνολο προηγούμενου θεωρήματος και για αυτό 0,, ώστε να ισχύουν οι δύο ισοδυναμίες της παρούσας Πρότασης Θα δειχτεί ότι Επειδή a, τότε οι a, είναι πρώτοι μεταξύ τους Επιπλέον ισχύει ότι a od και άρα σύμφωνα με την Πρόταση και οι, θα είναι πρώτοι μεταξύ τους Παρόμοια, επειδή b, τότε οι bq, είναι πρώτοι μεταξύ τους Επιπλέον ισχύει ότι q bod q και άρα σύμφωνα με την Πρόταση και οι q, θα είναι πρώτοι μεταξύ τους Επομένως λόγω της Πρότασης 5 το θα είναι πρώτος με το γινόμενο q των q, εφόσον είναι πρώτος με το καθένα από αυτά Για αυτόν τον λόγο, το 0,, θα ανήκει συγκεκριμένα στο 0,, θα είναι και μοναδικό στο Ορισμός 6 Αν με και a για το οποίο ώστε a od, τότε το a λέγεται τετραγωνικό υπόλοιπο oduo Το περιέχει όλα τα τετραγωνικά υπόλοιπα oduo Πρόταση 3 [3] Αν, είναι περιττοί πρώτοι αριθμοί με, τότε το πλήθος του QR είναι ίσο με Απόδειξη Εφόσον πρώτος, τότε σύμφωνα με την Πρόταση 7 είναι,, και επειδή είναι μοναδικό στο QR είναι το σύνολο που Επειδή το μάλιστα είναι και περιττός θα ισχύει 3, μια και το 3 είναι ο μικρότερος περιττός πρώτος αριθμός Θα δειχτεί αρχικά πως QR Ισχύει και επίσης od, αφού 3 Δηλαδή για το ώστε - 4 -

15 od Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι Συνεπώς το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο oduo Αυτό σημαίνει πως το QR έχει τουλάχιστον ένα στοιχείο και άρα QR Ισχύει (8) Ισχύει λόγω και της (8) ότι (9) και επομένως,, Στη συνέχεια θα δειχτεί ότι τα τετραγωνικά υπόλοιπα oduo που προκύπτουν από τα στοιχεία του υποσυνόλου,, του είναι διαφορετικά μεταξύ τους, δηλαδή, y,, με y ισχύει ότι od y od Έστω πως αυτή η υπόθεση δεν ευσταθεί και, y,, με y ώστε od y od Τότε σύμφωνα με την Πρόταση 87, συνεπάγεται από την τελευταία εξίσωση πως y od y 0od y y 0od, δηλαδή ο πρώτος αριθμός διαιρεί το γινόμενο y y και άρα λόγω της Πρότασης 4 θα ισχύει η διάζευξη: το διαιρεί το y ή το y Θα δειχτεί πως το δε διαιρεί το y, y,, θα ισχύει και λόγω Επειδή της (8) ότι y y 0 y 0 y 0 y Από την τελευταία διπλή ανισότητα προκύπτει πως το y βρίσκεται μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων πολλαπλασίων του χωρίς να ισούται με κανένα από αυτά Άρα το y δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του και συνεπώς δε διαιρείται από αυτό Αυτό σημαίνει πως εφόσον ισχύει η παραπάνω διάζευξη, το θα διαιρεί το y, δηλαδή το y είναι πολλαπλάσιο του Εξαιτίας και της (8) ισχύει ότι y y y y y y y (0) Ισχύει ότι () Από τις (0), () συνεπάγεται πως y y - 5 -

16 Επειδή το y είναι πολλαπλάσιο του, ώστε y και για αυτό από την τελευταία διπλή ανισότητα και το γεγονός πως 0 συνεπάγεται ότι Επειδή, τότε από την τελευταία διπλή ανσότητα προκύπτει πως 0 Άρα y 0 0 y, που καταλήγει σε άτοπο αφού y, y,, με y ώστε και άρα, y,, Επομένως δεν od y od με y ισχύει ότι od y od Αυτό σημαίνει πως τα τετραγωνικά υπόλοιπα oduo που προκύπτουν από τα στοιχεία του συνόλου,, είναι διαφορετικά μεταξύ τους Λόγω της (9) υπάρχει το σύνολο,, και συγκεκριμένα,, Αυτό το υποσύνολο έχει στοιχεία Θα δειχτεί ότι τα τετραγωνικά υπόλοιπα oduo που προκύπτουν από τα στοιχεία του συνόλου,,, ανήκουν στο σύνολο εκείνων που προκύπτουν από τα στοιχεία του συνόλου,,,,, ισχύει λόγω και της (8) ότι,, () [4],, ισχύει σύμφωνα και με την Πρόταση 85 ότι od od od od Όμως od 0 και άρα λόγω και των Προτάσεων 84, 0 θα συνεπάγεται από την τελευταία εξίσωση ότι od 0 od od od od od od od od od od Από την τελευταία σχέση και την () αποδεικνύεται πως,,, το τετραγωνικό υπόλοιπο oduo που προκύπτει από το είναι ίδιο με αυτό που προκύπτει από κάποιο στοιχείο του,,, δηλαδή είναι ένα από τα - 6 -

17 διαφορετικά τετραγωνικά υπόλοιπα oduo που αναφέρθηκαν παραπάνω Επομένως τα τετραγωνικά υπόλοιπα oduo που προκύπτουν από τα στοιχεία του συνόλου,,, ανήκουν στο σύνολο των διαφορετικών τετραγωνικών υπολοίπων oduo που προκύπτουν από τα στοιχεία του,, Συνεπώς αυτά τα διαφορετικά τετραγωνικά υπόλοιπα oduo, είναι όλα όσα προκύπτουν από τα στοιχεία του συνόλου,,,, και άρα όλα όσα αποτελούν το είναι ίσο με Θεώρημα Euer Αν με και a, τότε Μικρό θεώρημα του Ferat QR Το τελευταίο σημαίνει πως το πλήθος του a od Αν a, είναι πρώτος αριθμός και οι a, πρώτοι μεταξύ τους, τότε Ορισμός 7 a od QR Αν με και a, τάξη του a ως προς είναι ο ελάχιστος μη μηδενικός φυσικός αριθμός για τον οποίο ισχύει a od Πρόταση 4 Αν με και a, υπάρχει η τάξη του a ως προς Στην περίπτωση που 3 και a, η τάξη αυτή είναι μεγαλύτερη ή ίση με Απόδειξη Εξαιτίας του θεωρήματος του Euer και του γεγονότος πως όπου, για το οποίο ισχύει,, a od Δηλαδή το σύνολο των μη μηδενικών φυσικών αριθμών για τους οποίους ισχύει αυτή η ισοδυναμία είναι μη κενό και άρα έχει ελάχιστο στοιχείο το οποίο είναι η τάξη του a ως προς Επομένως η τελευταία υπάρχει Έστω 3 και a Εφόσον 3 τότε, οπότε,, Άρα a,, με a Θα δειχτεί ότι για την τάξη t του a ως προς ισχύει t Έστω πως t, δηλαδή t μια και το t ως τάξη που είναι, είναι μεγαλύτερο του 0 Τότε θα ισχύει t a od a od a od (3) Επειδή 3, θα είναι od (4) Επίσης αφού - 7 -

18 a,,, θα ισχύει a a aod a (5) Λόγω των (4) και (5) προκύπτει από την (3) ότι a Η τελευταία ισότητα καταλήγει σε άτοπο, αφού από την υπόθεση είναι a και άρα a Συνεπώς για την τάξη t του a θα ισχύει t Πρόταση 5 Αν t, με 3, a με a,, και t η τάξη του a ως προς, τότε ισχύουν τα εξής: Αν a od, τότε 0od t Αν a a od 3 Αν 3 Απόδειξη Έστω t, τότε 0od t, τότε,,, t με, ισχύει a od a od v od t (6) και d dvt, τότε t d v και λόγω των Προτάσεων 0, 86, 04 θα ισχύει ότι od td v od td v od td od v a a a a a a od od od t d od v a a a od od (7) Επειδή το t είναι η τάξη του a ως προς, τότε t a od και επομένως λόγω της Πρότασης 0 θα ισχύει ότι t d a od Λόγω της τελευταίας ισοδυναμίας η (7) συνεπάγεται ότι v v v a od a od od a od od a od a od (8) Όμως από την υπόθεση ισχύει πως a od και συνεπώς λόγω της (8) θα είναι v a od (9) Λόγω της (6) και της Πρότασης 8 θα ισχύει 0 v t t 0 v t Επειδή 3 και a, σύμφωνα με την Πρόταση 4 θα ισχύει για την τάξη t του a ως προς ότι t Έστω 0 v t, τότε το v θα είναι μη μηδενικός φυσικός αριθμός, μικρότερος από την τάξη t του a ως προς και θα ικανοποιεί την (9) Αυτό είναι άτοπο καθώς το t είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός r διάφορος του μηδέν, για τον οποίο ισχύει r a od Συνεπώς v 0 και πράγματι η (9) γίνεται a 0 od od, - 8 -

19 αφού 3 Η (6) λοιπόν συνεπάγεται ότι od t 0 0od t Επειδή a, τότε λόγω των Προτάσεων 05, 0 και 5 θα ισχύει a a od a a od a od 0 od t 3 Όπως αναφέρθηκε στην απόδειξη της Πρότασης 5, είναι t Αν συγκεκριμένα είναι t 3, τότε,, t στο οποίο t και επομένως υπάρχει το σύνολο υπάρχουν τουλάχιστον δύο αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους Έστω ότι η υπόθεση,,, t, με, ώστε να ισχύει δεν αληθεύει και a a od Τότε λόγω της Πρότασης 5 θα ισχύει t 0od και άρα εξαιτίας της Πρότασης 83 θα d ώστε t d (0),,, t θα ισχύει Επειδή t t t t t t t t t t t t t () Ισχύει t t t t t t t t d t d, () (0) εφόσον t 0 Επειδή d, τότε από την τελευταία διπλή ανισότητα προκύπτει πως d 0 και συνεπώς η (0) συνεπάγεται ότι t 0 0 Η τελευταία ισότητα καταλήγει σε άτοπο, αφού Επομένως η υπόθεση,,, t, με, ισχύει αληθεύει και άρα a od a od Πρόταση 6 Αν, είναι περιττοί πρώτοι αριθμοί με, τότε η τάξη ως προς κάθε στοιχείου, διαφορετικού του, του Απόδειξη Έστω a QR με a, δηλαδή a Τότε ώστε QR είναι ίση με a od Ισχύει ότι a od a od od od a od od Ισχύει ότι a od a od a od () - 9 -

20 και λόγω της τελευταίας ισότητας η () γίνεται a od (3) Επειδή, το είναι πρώτος αριθμός και οι, πρώτοι μεταξύ τους, αφού, τότε πληρούνται οι προϋποθέσεις του μικρού θεωρήματος του Ferat και επομένως θα ισχύει od Έτσι η (3) συνεπάγεται ότι a od (4) Επειδή το είναι περριτός πρώτος αριθμός θα ισχύει 3 0, μια και το 3 είναι ο μικρότερος περιττός πρώτος Δηλαδή το είναι μη μηδενικός φυσικός αριθμός Επιπλέον είναι και ένας από τους μη μηδενικούς φυσικούς οι οποίοι ικανοποιούν την ισοδυναμία a od Άρα αν t η τάξη του a ως προς, τότε θα ισχύει t, αφού το t είναι ο μικρότερος που ικανοποιεί την ισοδυναμία a od Έστω πως η τάξη t δεν είναι ίση με, δηλαδή t Το όπως και το είναι περιττός πρώτος αριθμός, άρα 3 0 Ισχύουν t, με 3, a, μια και a QR, όπου a όπως αναφέρθηκε στην αρχή της απόδειξης, και η σχέση (4) Τότε πληρούνται οι προϋποθέσεις της Πρότασης 5 και για αυτό θα είναι 0od t Δηλαδή d ώστε t d Επομένως το t διαιρεί το, το οποίο ως πρώτος αριθμός έχει ως μοναδικούς διαιρέτες τα, Άρα το t που είναι διαιρέτης του, θα ισούται με ή Επειδή όμως σύμφωνα με τον προηγούμενο ισχυρισμό είναι t, θα ισχύει t Η τελευταία ισότητα καταλήγει σε άτοπο, καθώς 3 και a και επομένως σύμφωνα με την Πρόταση 4 θα ισχύει για την τάξη t του a ως προς, ότι t και άρα t Συνεπώς t είναι ίση με Ορισμός 8 και έτσι a QR με a, η τάξη του a ως προς Αν με 3, a QR με a και QR ώστε a od, τότε το a παράγει το QR και λέγεται γεννήτοράς του Πρόταση 7 Αν, είναι περιττοί πρώτοι αριθμοί με, τότε το QR παράγεται από κάθε στοιχείο του που είναι διαφορετικό του - 0 -

21 Απόδειξη Έστω a QR με a, δηλαδή a Τότε σύμφωνα με την Πρόταση 6 η τάξη του a ως προς είναι ίση με, όπου 3 Με βάση το τελευταίο, λόγω της Πρότασης 53 θα ισχύει ότι,,,, με, a od a od Δηλαδή οι το πλήθος αριθμοί a od, a od,, a od είναι διαφορετικοί μεταξύ τους Επειδή είναι η τάξη του a ως προς, το είναι ο ελάχιστος μη μηδενικός φυσικός αριθμός r για τον οποίο r r a od, δηλαδή a od Αυτό σημαίνει πως αφού,, μια και 3 a od Άρα και με βάση το προηγούμενο συμπέρασμα ότι τα a od, a od,, a od είναι διαφορετικά μεταξύ τους, οι το πλήθος αριθμοί, a od, a od,, a od θα είναι και αυτοί διαφορετικοί μεταξύ τους Επειδή a QR ώστε και συνεπώς,, a od είναι, θα ισχύει θα ισχύει λόγω των Προτάσεων 8, 0 και 04 ότι a od a od a od od a od (5) Έστω y od, τότε λόγω της Πρότασης 8 θα είναι y od (6) Από την τελευταία ισοδυναμία θα συνεπάγεται ότι Εφόσον Θα δειχτεί ότι (5) y od a y od a od y od (7) y od, τότε λόγω της Πρότασης 8 y Επειδή y 0,,, το είναι πρώτος με το Συνεπώς, μια και, λόγω της Πρότασης 5 τα, είναι πρώτοι μεταξύ τους Επιπλέον ισχύει και η (6), οπότε σύμφωνα με την Πρόταση το y είναι πρώτος με το και επειδή y 0,, Αν, τότε το y θα ανήκει συγκεκριμένα στο,, z a od, - -

22 τότε λόγω των Προτάσεων 8 και 8 θα ισχύουν αντίστοιχα ότι z 0,, και z a od (8) Θα δειχτεί ότι z Επειδή a, αφού a QR, το a είναι πρώτος με το Συνεπώς, μια και, λόγω της Πρότασης 5 τα a, είναι πρώτοι μεταξύ τους Επιπλέον ισχύει και η (8), οπότε σύμφωνα με την Πρόταση το z είναι z 0,,, τότε το z θα ανήκει συγκεκριμένα στο πρώτος με το και επειδή Έτσι,, y,,, για τον αριθμό z a od ο οποίος ανήκει στο, ώστε να ισχύει η (7) Αυτό σημαίνει πως το υπόλοιπο oduo, δηλαδή Επιπλέον και άρα οι αριθμοί QR a od QR a od είναι τετραγωνικό, a od, a od,, a od, εκτός από διαφορετικοί μεταξύ τους, είναι και τετραγωνικά υπόλοιπα oduo Δηλαδή αποτελούν το πλήθος διαφορετικά τετραγωνικά υπόλοιπα oduo Όμως λόγω της Πρότασης 3 το πλήθος του QR διαφορετικά τετραγωνικά υπόλοιπα είναι όλα όσα απαρτίζουν το και επειδή τότε Αυτό σημαίνει πως δηλαδή το a a παράγει το, od, od,, QR a a a od a od, od, od,, QR a a a od, a od είναι και επομένως αυτά τα QR ώστε a od, QR αποτελεί γεννήτορα του QR QR Επομένως Πρόταση 8 Αν,, q, q είναι περιττοί πρώτοι αριθμοί με q, q,, q q, QR Δηλαδή a QR με a, το a QR με a, b QR q με b, q και ο μοναδικός αριθμός στο για τον οποίο a od, b od q τότε ισχύουν τα εξής: Η τάξη του ως προς είναι ίση με q Το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο oduo 3 Το είναι γεννήτορας του QR - -

23 και το πλήθος του QR είναι ίσο με q 4 od,, q QR od 5 Η τάξη ως προς κάθε στοιχείου, διαφορετικού του, του QR είναι ίση με ή q ή q 6 c QR q ισχύει c od Απόδειξη Επειδή a QR και b QR q, θα είναι a και b q Επίσης τα q, είναι πρώτοι αριθμοί με q Συνεπώς πληρούνται οι προϋποθέσεις της Πρότασης και για αυτό μοναδικό στο σύνολο, ώστε να ισχύει το σύστημα ισοδυναμιών της υπόθεσης Επειδή a και b q, θα ισχύει a και b q Από τις δύο τελευταίες ανισότητες προκύπτει πως a od a b od q b Θα δειχτεί πως Έστω, τότε από το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών προκύπτει πως od a a, od q b b που καταλήγει σε άτοπο αφού από την υπόθεση είναι a και b Επομένως, δηλαδή Επίσης q, περιττοί πρώτοι αριθμοί και για αυτό ισχύει 3 και q 3 Συνεπώς q 33 9 Επειδή a QR με a και b QR με b, τότε οι τάξεις των a ως προς και b ως προς q είναι ίσες με και q αντίστοιχα Άρα θα ισχύει q q q od a od q a a od q q b od q q (9) b od q b od q Επίσης q q q q a od a od 0od (9) od q q q b od q q b od q od q 0 od q Οι q, είναι πρώτοι αριθμοί με q και λόγω της Πρότασης 6, το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών συνεπάγεται ότι q q 0od q od (30) Έστω t η τάξη του ως προς Επειδή 9 3 και, τότε λόγω της Πρότασης 5 η (30) συνεπάγεται πως q 0od t, δηλαδή d ώστε q t d (3) Λόγω του ότι το t είναι η τάξη του ως προς, θα ισχύει t t t od 0od 0od q - 3 -

24 και επειδή οι q, είναι πρώτοι αριθμοί με q, σύμφωνα με την Πρόταση 6 η τελευταία ισοδυναμία συνεπάγεται ότι t 0od t od t t 0od q od q Εξαιτίας του τελευταίου συστήματος ισοδυναμιών θα ισχύει ότι t t t a od a od a od t t t b od q b od q b od q Επειδή 3 και q 3 αφού τα q, είναι περιττοί πρώτοι αριθμοί, a αφού a, b αφού b και οι τάξεις των a ως προς και b ως προς q είναι ίσες με και q αντίστοιχα, το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών λόγω της Πρότασης 5 συνεπάγεται ότι t 0od t 0od q Οι, q είναι πρώτοι αριθμοί με q, άρα εξαιτίας της Πρότασης 6 το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών θα συνεπάγεται ότι t 0od q Από την τελευταία ισοδυναμία προκύπτει πως d ώστε t q d Η (3) λόγω της τελευταίας σχέσης και του γεγονότος πως 0 και q 0, συνεπάγεται ότι q q dd dd Επειδή dd,, από την τελευταία εξίσωση προκύπτει πως d d ή d d Όμως 0, q 0 και t 0, άρα από την (3) συνεπάγεται πως d 0 Έτσι από την τελευταία διάζευξη των συστημάτων ισοδυναμιών, προκύπτει πως d και συνεπώς από την (3) συνεπάγεται πως q t t q Επομένως τάξη t του ως προς είναι ίση με q Επειδή a QR και b QR q, και q, ώστε a od (3) b od q Επίσης σύμφωνα με την Πρόταση, για τα και q στο ώστε y od y od q Από το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών συνεπάγεται πως y od (3) a y od (33) y od q b y od q y μοναδικό - 4 -

25 Επειδή τότε λόγω της (33) θα ισχύει a od, b od q y od y od y od q y od q Επειδή οι q, είναι πρώτοι αριθμοί με q, τότε λόγω της Πρότασης 6 το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών συνεπάγεται ότι y 0od q y 0od y od Έτσι για το y ώστε να ισχύει η τελευταία ισοδυναμία και συνεπώς το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο oduo 3 Θα δειχτεί αρχικά πως QR Ισχύει και επίσης od, αφού 9 Δηλαδή για το ώστε od Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι Συνεπώς το είναι τετραγωνικό υπόλοιπο oduo Αυτό σημαίνει πως το QR έχει τουλάχιστον ένα στοιχείο και άρα QR Έστω c QR και c c od (34) c c od q Θα δειχτεί πως c QR και c QR q Επειδή c QR, τότε z ώστε c z od Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι c z 0od c z od q c z 0od q c z 0od q Έστω Τότε θα ισχύει c z od c z od q (35) v z od (36) v z od q και v q v 0,, 0,, Επειδή z, τότε οι z, είναι πρώτοι μεταξύ τους και εφόσον το είναι το γινόμενο των q,, λόγω της Πρότασης 5 το z είναι επίσης πρώτο με καθένα από τα q, Από την (36) προκύπτει ότι - 5 -

26 v z od v z od q και εφόσον τα z, είναι πρώτοι μεταξύ τους όπως και τα zq,, τότε λόγω της Πρότασης και του τελευταίου συστήματος ισοδυναμιών συνεπάγεται πως τα v, είναι πρώτοι μεταξύ τους όπως και τα v, q Δηλαδή v αφού v και v q και v q, 0,, 0,, Από το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών προκύπτει πως v z od (35) v c od (37) v z od q v c od q Επειδή c QR, τότε c Όπως αποδείχτηκε πριν στην περίπτωση του z και των εξισώσεων της (36), ότι v και v q, έτσι και στην περίπτωση του c και των παρόμοιων εξισώσεων της (34), αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο πως c και c q Από τις (34), (37) συνεπάγεται πως c v od c v od q Λόγω του τελευταίου συστήματος των εξισώσεων και του γεγονότος πως v, c, v c, q, συμπεραίνεται ότι c QR και c QR q Εφόσον τα,, q, q είναι περιττοί πρώτοι αριθμοί με, q q, τότε σύμφωνα με την Πρόταση 7 καθένα από τα στοιχεία του εκτός του Έτσι, αφού για τα τότε αυτά αποτελούν γεννήτορες των c QR, c QR q, ώστε QR, a QR, QR q QR, b QR q QR q παράγεται από όλα τα ισχύει a, b, αντίστοιχα Επομένως για τα c a od c b od q Από το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών και την (34) συνεπάγεται ότι c a od (38) c b od q Επειδή τα, q είναι πρώτοι αριθμοί με q, τότε λόγω της Πρότασης θα είναι πρώτοι μεταξύ τους Οπότε σύμφωνα με το Κινέζικο θεώρημα των υπολοίπων 0,, q 0,, q, έτσι ώστε μοναδικό στο σύνολο od od q Το τελευταίο σύστημα ισοδυναμιών συνεπάγεται ότι - 6 -

27 od od q και επομένως d, d ώστε d d (39) qd qd Επειδή a od, b od q τότε λόγω της (39) θα ισχύει d d a od a od a a od q d od qd b q b od q b b od q d qd a od a od od (40) b od q b od q od q Επειδή οι τάξεις των a ως προς και b ως προς q είναι ίσες με και q αντίστοιχα, θα ισχύει d d od od a d a a od q d q d b od q q b d od od q b q Από την (40) συνεπάγεται λόγω του τελευταίου συστήματος ισοδυναμιών ότι a od od a od od b od qod q b od qod q a od 0od (38) c od c b od q c od q c 0od q c 0od q c od c od (4), αφού c, οπότε c Συμπεραίνεται λοιπόν πως για το c QR 0,, q, ώστε να ισχύει η (4) Στην περίπτωση που 0, τότε προκύπτει από αυτήν πως 0 q c od c od c od, αφού σύμφωνα με την Πρόταση 8 η τάξη του ως προς είναι ίση με q Επομένως μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα πως για το c QR,, q ώστε να ισχύει η (4) Έτσι c QR,, q ώστε c od, ενώ QR και, όπως αποδείχτηκε στις αποδείξεις των Προτάσεων 8 και 8 αντίστοιχα Συνεπώς το είναι γεννήτορας του QR - 7 -

28 4 Σύμφωνα με την Πρόταση 8, η τάξη του ως προς είναι ίση με q Επειδή, q περιττοί πρώτοι αριθμοί, ισχύει 3 και q 3 Συνεπώς q 33 q 9 3 q 3 Άρα η τάξη του ως προς είναι μεγαλύτερη από 3 και για αυτό λόγω της,,, q με, είναι Πρότασης 53 θα ισχύει ότι od od Δηλαδή οι q το πλήθος αριθμοί q od, od,, od είναι διαφορετικοί μεταξύ τους Επειδή q είναι η τάξη του ως προς, το q είναι ο ελάχιστος μη μηδενικός φυσικός αριθμός r για τον οποίο μια και 9 r r od, δηλαδή od,, q είναι q, θα Αυτό σημαίνει πως αφού ισχύει od Άρα και με βάση το προηγούμενο συμπέρασμα ότι τα q od, od,, od είναι διαφορετικά μεταξύ τους, οι q q το πλήθος αριθμοί od, od,, q q od, od θα είναι και αυτοί διαφορετικοί μεταξύ τους Όπως αποδείχτηκε στο τέλος της απόδειξης της Πρότασης 83,,, q ώστε και επομένως Έστω τότε,, q ώστε Θα δειχτεί ότι ώστε και άρα θα συνεπάγεται ότι z c od QR od,, q od (4) q z od,, od, z od (43) QR Σύμφωνα με την Πρόταση 8 y od c QR QR, οπότε y (43) z y od (44) y od y od y od y od Από την (43) προκύπτει πως z 0,, - 8 -

29 Θα δειχτεί ότι z Επειδή, το είναι πρώτος με το που είναι το γινόμενο των q,, οπότε σύμφωνα με την Πρόταση 5 το θα είναι και πρώτος με καθένα από τα q, Συνεπώς, μια και, λόγω της Πρότασης 5 το είναι πρώτος με καθένα από τα q, και εξαιτίας της Πρότασης 5 το θα είναι και πρώτος με το γινόμενό τους Λόγω της (43) ισχύει z od, οπότε σύμφωνα με την Πρόταση το z είναι πρώτος με το και επειδή z 0,,, τότε το z θα ανήκει συγκεκριμένα στο Αν τότε όπως αποδείχτηκε προηγουμένως ότι h, μια και y Ισχύει,, h y od, z (44), έτσι αποδεικνύεται παρόμοια πως h y od h y od z h od Έτσι για το z, h ώστε να ισχύει η τελευταία εξίσωση και επομένως το z είναι τετραγωνικό υπόλοιπο oduo, δηλαδή z QR Συνεπώς q od,, od QR και έτσι λόγω της (4) θα ισχύει od,, q QR od Επειδή το πλήθος του συνόλου q od,, od είναι ίσο με q, τότε και το πλήθος του QR είναι ίσο με q 5 Σύμφωνα με την Πρόταση 84 είναι QR od,, q od Έστω Τότε το A είναι υποσύνολο του q A od, od,, od QR και περιέχει q στοιχεία Εφόσον q q od A και od, τότε A Έστω c QR με c A Επειδή A θα είναι c και άρα c Επίσης,, q ώστε Αυτή η εξίσωση συνεπάγεται c od q q q q q c od od c od (45) Σύμφωνα με την Πρόταση 8, η τάξη του ως προς είναι ίση με q και άρα ισχύει (45) q q q q od od od c od (46) Έστω t η τάξη του c ως προς Επειδή 3 και c, σύμφωνα με την Πρόταση 5 η (46) συνεπάγεται ότι - 9 -

30 q 0od t, δηλαδή d ώστε q t d Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι το t είναι διαιρέτης του q το οποίο ως πρώτος αριθμός έχει δύο μη αρνητικούς διαιρέτες, τα, q Επειδή 3 και c, τότε σύμφωνα με την Πρόταση 4 θα είναι t Έτσι t και επειδή το t είναι μη αρνητικός διαιρέτης του q θα ισχύει t q Επομένως η τάξη κάθε στοιχείου του A είναι ίση με q Έστω Τότε το B είναι υποσύνολο του q q q B od, od,, od QR και περιέχει στοιχεία Εφόσον q q od B και od, τότε B Έστω c QR με c B Επειδή B θα είναι c και άρα c Επίσης,, ώστε Αυτή η εξίσωση συνεπάγεται Ισχύει επίσης q c od q q q c od od c od (47) (47) q q q od od od c od (48) Έστω t η τάξη του c ως προς Επειδή 3 και c, σύμφωνα με την Πρόταση 5 η (48) συνεπάγεται ότι 0od t, δηλαδή d ώστε t d Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι το t είναι διαιρέτης του το οποίο ως πρώτος αριθμός έχει δύο μη αρνητικούς διαιρέτες, τα, Επειδή 3 και c, τότε σύμφωνα με την Πρόταση 4 θα είναι t Έτσι t και επειδή το t είναι μη αρνητικός διαιρέτης του θα ισχύει t Επομένως η τάξη κάθε στοιχείου του B είναι ίση με Έστω C QR A B Τότε το C είναι υποσύνολο του QR και το πλήθος των στοιχείων του είναι ίσο με q q q q q 0 και άρα C Έστω c QR με c C Επειδή C θα είναι c και άρα c c,, q Επειδή c QR με ώστε Αυτή η εξίσωση συνεπάγεται Ισχύει επίσης c od (49) q q q q q c od od c od (50) (50) q q q q od od od c od (5)

31 Έστω t η τάξη του c ως προς Επειδή 3 και c, σύμφωνα με την Πρόταση 5 η (5) συνεπάγεται ότι q 0od t, δηλαδή d ώστε q t d Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι το t είναι διαιρέτης του q το οποίο ως γινόμενο των δύο πρώτων αριθμών, q, έχει ως μη αρνητικούς διαιρέτες του τα,, q, q Επειδή 3 και c, τότε σύμφωνα με την Πρόταση 4 θα είναι t Έτσι t και επειδή το t είναι μη αρνητικός διαιρέτης του q θα είναι ίσο με ή q ή q Εφόσον το t είναι η τάξη του c ως προς θα ισχύει t c od (5) Η (49) λόγω και του ότι το q είναι η τάξη του ως προς συνεπάγεται ότι t (5) od od 0 od t t c t q Δηλαδή d ώστε t q d (53) Έστω t Τότε η (53) συνεπάγεται ότι t qd qd q d (54) Επίσης,, q Επειδή d, όποτε λόγω της (54) θα ισχύει qd q q qd q d, από την τελευταία ανισότητα συνεπάγεται ότι d (55) Επίσης επειδή 0 και q 0 θα είναι λόγω της (54) και d 0 και άρα d Λόγω της τελευταίας ανισότητας και της (55) θα ισχύει d και επομένως από την (54) προκύπτει πως το είναι ένα από τα πρώτα θετικά πολλαπλάσια του q Έτσι αφού λόγω της (49) είναι τελευταίο συμπέρασμα καταλήγει σε άτοπο γιατί c C και C B, αφού C QR A B Επομένως είναι t Έστω t q Τότε η (53) συνεπάγεται ότι t qd q qd d (56) Επίσης,, q Επειδή d, όποτε λόγω της (56) θα ισχύει d q q d q d q, από την τελευταία ανισότητα συνεπάγεται ότι d q (57) c od, τότε c B Το Επίσης επειδή 0 και 0 θα είναι λόγω της (56) και d 0 και άρα d Λόγω της τελευταίας ανισότητας και της (57) θα ισχύει d q και επομένως από την (56) προκύπτει πως το είναι ένα από τα πρώτα q θετικά πολλαπλάσια του Έτσι αφού λόγω της (49) είναι τελευταίο συμπέρασμα καταλήγει σε άτοπο γιατί c od, τότε c A Το - 3 -

32 c C και C A, αφού C QR A B Επομένως είναι και t q Άρα t q Έτσι η τάξη ως προς κάθε στοιχείου του C είναι ίση με q Από τα παραπάνω συμπεραίνεται πως είναι ίση με ή q ή q 6 c QR με c, η τάξη του c ως προς Έστω c QR με c Τότε σύμφωνα με την Πρόταση 85 η τάξη του c ως προς ως προς είναι ίση με ή q ή q Αν είναι ίση με, τότε ισχύει Αν είναι ίση με q, τότε ισχύει Αν είναι ίση με q, τότε ισχύει q q q c od c od c od q q q c od c od c od q c od Τέλος, αν c θα ισχύει q q q c od od od c od Επομένως c QR ισχύει Πρόταση 9 c q od Αν με και a QR, τότε a QR Απόδειξη Επειδή Επίσης Επειδή a QR θα είναι και a ώστε Εφόσον, οπότε σύμφωνα με την Πρόταση 9 a od, το είναι πρώτος με το λόγω της Πρότασης 5 θα είναι πρώτος και με το Έστω b od (58) Τότε αφού b od, λόγω της Πρότασης το b θα είναι πρώτος με το Εξαιτίας της (58) ισχύει b 0,, και άρα Είναι b οπότε ισχύει ότι Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις συνεπάγεται ότι od ab ab od (59) od, (59) od ab od ab od, a και άρα - 3 -

33 αφού Έτσι λόγω της τελευταίας εξίσωσης το b είναι ο αντίστροφος του a, δηλαδή a b Επομένως η (58) γίνεται Δηλαδή για το τελευταία εξίσωση Επομένως Πρόταση 0 a od a υπάρχει στοιχείο του a QR Έστω με, με και r Αν,, a QR Αν a QR r, τότε od 3 Αν,, Απόδειξη a QR, το, έτσι ώστε να ισχύει η Τότε ισχύουν τα εξής:, τότε aod QR a QR και r r, τότε a od QR Ισχύει με, οπότε για a, a QR Έτσι, ώστε a od a od Από αυτό το σύστημα εξισώσεων προκύπτει πως od a a a a od (60) Εφόσον,, το είναι πρώτος με καθένα από τα,, άρα σύμφωνα με την Πρόταση 5 θα είναι πρώτος και με το γινόμενό τους Έστω y od Τότε ισχύει y0,, και y od (6) Αφού τα, είναι πρώτοι μεταξύ τους, σύμφωνα με την Πρόταση από την (6) προκύπτει πως το y είναι πρώτος με το και επειδή y 0,, θα ανήκει συγκεκριμένα στο Η (6) συνεπάγεται ότι (60), τότε το y y od a a y od a a od y od (6) Έστω Τότε ισχύει z z a a od 0,, και z a a od (63) Αφού a, a QR θα ισχύει a, a Έτσι το είναι πρώτος με καθένα από τα a, a, άρα σύμφωνα με την Πρόταση 5 θα είναι πρώτος και με το γινόμενό τους a a Επομένως σύμφωνα με την Πρόταση από την (63) προκύπτει πως το z

34 είναι πρώτος με το και επειδή z 0,, στο Άρα, τότε το z θα ανήκει συγκεκριμένα aa od λόγω της (63) Δηλαδή για το aa od υπάρχει στοιχείο του, το y, έτσι ώστε να ισχύει η (6) Αυτό σημαίνει πως a a QR Έστω 3 od, τότε θα δειχτεί με τέλεια επαγωγή ότι,, aod QR Για η απόδειξη είναι η ίδια όπως και προηγουμένως Έστω ότι για κάποιο,, aod QR Θα δειχτεί ότι και aod QR Λόγω της παραπάνω υπόθεσης είναι a QR, οπότε αποδεικνύεται παρόμοια όπως και προηγουμένως ότι το a aod od ανήκει στο QR Επειδή a QR θα είναι και a, δηλαδή a και άρα a od a Λόγω της τελευταίας εξίσωσης και της Πρότασης 86 θα ισχύει ότι a od a a od a od a od od a od a a od od Όπως προαναφέρθηκε το a aod od ανήκει στο QR, οπότε λόγω της τελευταίας ισότητας Άρα,,, και επομένως για aod QR aod QR

35 Έστω r Τότε αν r θα ισχύει aod QR r r a od a od aod a od a, αφού a QR και άρα a, οπότε a Εφόσον a QR, τότε από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι r a od QR Έστω r Αν τεθούν r και,, a a,, a QR και έτσι σύμφωνα με την Πρόταση 0 aod QR Ισχύει ότι r r a od aod a od a od a od a od και άρα r a od QR Έστω r Τότε σύμφωνα με τον Ορισμό 5 ισχύει r r a od a od, τότε Εφόσον με και a QR, τότε λόγω της Πρότασης 9 θα ισχύει a QR Επομένως αφού r, τότε σύμφωνα με την προηγούμενη απόδειξη θα ισχύει ότι r a od QR και άρα λόγω της τελευταίας εξίσωσης r a od QR 3 Έστω ότι,, είναι Τότε εφόσον a QR και r r b a od, σύμφωνα με την Πρόταση 0 θα ισχύει ότι r a od QR και άρα b QR Ισχύει r b a od r r b a od b od a od r b a od,, b QR, τότε σύμφωνα με την Πρόταση 0 θα ισχύει Επειδή bod QR

36 και συνεπώς λόγω της τελευταίας εξίσωσης θα είναι r a od QR Ισχυρισμός Παραγοντοποίησης σε Πρώτους Αριθμούς [3] Αν,, q, q είναι περιττοί πρώτοι αριθμοί με q, q,, q q, q και οι δυαδικές αναπαραστάσεις των q, έχουν το ίδιο πλήθος από bts, τότε το πρόβλημα της παραγοντοποίησης του στους πρώτους παράγοντές του q, θεωρείται ότι είναι πάρα πολύ δύσκολο να λυθεί Πρώτος Ισχυρισμός Διακριτού Λογαρίθμου [5] Αν, h, g με και god, τότε θεωρείται ότι είναι πάρα πολύ δύσκολο ή και αδύνατο να λυθεί το πρόβλημα εύρεσης διακριτού λογαρίθμου του h ως προς τη βάση g, όπου h g od Η αδυναμία επίλυσης εντοπίζεται στην περίπτωση που δεν υπάρχει που να ικανοποιεί αυτήν την ισοδυναμία, διαφορετικά αν υπάρχει τουλάχιστο ένα τότε είναι πάρα πολύ δύσκολο να βρεθεί Δεύτερος Ισχυρισμός Διακριτού Λογαρίθμου [5] Αν h,, με, g με g od, τότε θεωρείται ότι είναι πάρα πολύ δύσκολο ή και αδύνατο να λυθεί το πρόβλημα εύρεσης διακριτών λογαρίθμων του h ως προς τις βάσεις g, όπου και,,,,,,, 0,,0 και h g od Η αδυναμία επίλυσης εντοπίζεται στην περίπτωση που δεν υπάρχουν πλειάδες,, με,, 0,,0 που να ικανοποιούν αυτήν την ισοδυναμία, διαφορετικά αν υπάρχει τουλάχιστο μία τέτοια τότε είναι πάρα πολύ δύσκολο να βρεθούν τα στοιχεία της Τρίτος Ισχυρισμός Διακριτού Λογαρίθμου [5] Αν,, με g με g od, τότε θεωρείται ότι είναι πάρα πολύ δύσκολο ή και αδύνατο να λυθεί το πρόβλημα εύρεσης διακριτών λογαρίθμων του ως προς τις βάσεις g, όπου και,,,,,,, 0,,0 και g od Η αδυναμία επίλυσης εντοπίζεται στην περίπτωση που δεν υπάρχουν πλειάδες,, με,, 0,,0 που να ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση, διαφορετικά αν υπάρχει τουλάχιστο μία τέτοια τότε είναι πάρα πολύ δύσκολο να βρεθούν τα στοιχεία της

37 Πρόταση Αν,, q, q είναι περιττοί πρώτοι αριθμοί με q, q,, q q, q, με,,, g QR και είναι γνωστά τα, q, τότε είναι εφικτή η λύση του προβλήματος εύρεσης διακριτών λογαρίθμων του ως προς τις βάσεις g, όπου,,,,, 0,,0 και g od Αν τα, q είναι άγνωστα, τότε είναι πάρα πολύ δύσκολο να λυθεί το συγκεκριμένο πρόβλημα Απόδειξη Έστω ότι είναι γνωστά τα, q Τότε θα μπορούσε να υπολογιστεί το γινόμενο q Σύμφωνα με την Πρόταση 85 η τάξη ως προς κάθε στοιχείου, διαφορετικού του, του ισχύει g QR QR, το είναι ίση με ή q ή q g είναι στοιχείο του QR Επειδή,, διαφορετικό του και άρα η τάξη του ως προς, έστω t, θα είναι ίση με ή q ή q Εφόσον t g od, τότε από τη στιγμή που τα, q, q είναι γνωστά, είναι δυνατό να υπολογιστούν τα od, q g g od, g q od και να εξεταστεί ποιο από τα τρία τελευταία είναι ίσο με, βρίσκοντας την τάξη t του g Ισχύει λόγω της Πρότασης 873 ότι t g od t t g od g od t g od Επειδή,, είναι t 0, αφού το t είναι ίσο με ένα από τα, q, q, τότε από την τελευταία εξίσωση συμπεραίνεται πως βρίσκοντας τις τάξεις t,, t των g,, g αντίστοιχα, βρίσκεται ταυτόχρονα μια πλειάδα,, διακριτών λογαρίθμων του ως προς τις βάσεις g, όπου,, 0,,0 Έτσι το πρόβλημα που αναφέρεται στην παρούσα Πρόταση είναι εφικτό να λυθεί Η διαδικασία επίλυσής του βασίζεται στη γνώση των, q, οπότε σε περίπτωση που αυτά είναι άγνωστα αυτή η διαδικασία δεν μπορεί να λάβει χώρα και επομένως λόγω του Τρίτου Ισχυρισμού Διακριτού Λογαρίθμου το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι πάρα πολύ δύσκολο να λυθεί

38 4 Σχήμα CL Ψηφιακών Υπογραφών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται το σχήμα των CL ψηφιακών υπογραφών που εφαρμόζεται σε ψηφιακά πιστοποιητικά από την Αρχή που τα εκδίδει Η υλοποίηση του σχήματος χωρίζεται σε τέσσερις φάσεις, αυτές της δημιουργίας παραμέτρων, της κωδικοποίησης, της υπογραφής και της επιβεβαίωσης 4 Φάση Δημιουργίας Παραμέτρων Η φάση αυτή προηγείται από τις άλλες τρεις και κατά τη διάρκειά της η Αρχή δημιουργεί παραμέτρους του ιδιωτικού και δημοσίου κλειδιού της, καθώς και άλλες που θα χρησιμοποιηθούν κατά την εκτέλεση z πρωτοκόλλων στα πλαίσια ηλεκτρονικών συναλλαγών που θα έχουν με φορείς νόμιμοι κάτοχοι πιστοποιητικών, τα οποία θα είναι υπογεγραμμένα από την εκδότρια Αρχή σύμφωνα με το σχήμα των CL ψηφιακών υπογραφών Συγκεκριμένα δημιουργείται ένα μέρος των παραμέτρων που απαρτίζουν το ιδιωτικό της κλειδί, που θα χρησιμοποιεί για να υπογράφει, αλλά και όλες οι παράμετροι που συνθέτουν το δημόσιο κλειδί της το οποίο θα χρησιμοποιηθεί από τους μελλοντικούς νόμιμους κατόχους των πιστοποιητικών που θα εκδόσει η Αρχή, για να επιβεβαιώσουν τις CL ψηφιακές υπογραφές της σε αυτά Το τμήμα του ιδιωτικού κλειδιού που δημιουργείται στην παρούσα φάση αποτελείται από σταθερές παραμέτρους που θα συμμετέχουν κάθε φορά που η Αρχή θα υπογράφει ένα πιστοποιητικό Επίσης το δημόσιο κλειδί απαρτίζεται μόνο από σταθερές παραμέτρους που θα συμμετέχουν στην επιβεβαίωση της υπογραφής της Αρχής στο κάθε πιστοποιητικό που θα εκδίδει Συγκεκριμένα η Αρχή [6] επιλέγει δύο περιττούς πρώτους αριθμούς, q με q, έτσι ώστε οι αριθμοί q, με και q q να είναι επίσης πρώτοι και οι δυαδικές τους αναπαραστάσεις να έχουν το ίδιο πλήθος από bts, έστω q, Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει πως οι q, είναι περιττοί με q, εφόσον q Η Αρχή υπολογίζει τα γινόμενα q, q και κρατάει μυστικά τα, q,, q, q Η δυαδική αναπαράσταση του έχει πλήθος από bts ίσο με, όπου, αφού το πλήθος των bts της δυαδικής αναπαράστασης του γινομένου δύο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα των bts των δυαδικών τους αναπαραστάσεων Για τα,, q, q, τηρούνται οι προϋποθέσεις του Ισχυρισμού Παραγοντοποίησης σε Πρώτους Αριθμούς και για αυτό είναι πάρα πολύ δύσκολο να υπολογιστούν οι πρώτοι παράγοντες q, του Το τελευταίο είναι εξαιρετικά μεγάλο και [7] μια ενδεικτική τιμή για το είναι το 04, οπότε μπορεί να είναι Έτσι το διάστημα, περιέχει ενδεικτικές τιμές για το Ύστερα επιλέγει τυχαία έναν αριθμό S από το σύνολο και έναν S από το q, έτσι ώστε S QR με S και S QR q με S Σύμφωνα με τις Προτάσεις 7 και 3, τα πλήθη των,, QR, QR είναι, q,, q αντίστοιχα Δηλαδή τα q q, q