Α. ΤΝΑΡΣΗΔΙ ΠΔΡΙΟΣΔΡΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΩΝ.

Transcript

1 Α. ΤΝΑΡΣΗΔΙ ΠΔΡΙΟΣΔΡΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΩΝ. Α.. Γεληθά. Αμίδεη λα ζπκίζνπκε πσο ε ζπλάξηεζεο κηαο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο είλαη κηα κνλνζήκαληε αληηζηνηρία ελόο ζπλόινπ Α (ππνζπλόινπ ηνπ R - ΑR ) ζε έλα ζύλνιν Β (BR). Με ηνλ ηξόπν απηό ν κεραληζκόο ηεο ζπλάξηεζεο αληηζηνηρίδεη ζε θάπνην ζηνηρείν ηνπ ζπλόινπ Α (πεδίνπ νξηζκνύ) έλα ζηνηρείν ηνπ ζπλόινπ Β (ζπλόινπ εηθόλσλ ή πεδίνπ ηηκώλ) =() Α Β α * * β α * * β.. α λ * ρ. Α..... * β κ Οη ζπλαξηήζεηο πεξηζζνηέξσλ κεηαβιεηώλ είλαη κηα γελίθεπζε ηεο έλλνηαο ησλ ζπλαξηήζεσλ κηαο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο. Ζ κνξθή κηαο ζπλάξηεζεο λ- κεηαβιεηώλ δηαηππώλεηαη από ηε ζρέζε: = (,,,, λ ) όπνπ,,,, λ είλαη νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο, ελώ είλαη ε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο (ή όπσο ζπρλά ιέγεηαη: ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή). Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε γηα λα ιεηηνπξγήζεη ρξεηάδεηαη κηα δηαηεηαγκέλε () λ-άδα δεδνκέλσλ. Δπνκέλσο ην ζύλνιν νξηζκνύ ηεο ζα έρεη ζαλ ζηνηρεία δηαηεηαγκέλεο λ-άδεο, ζα είλαη δειαδή έλα Καξηεζηαλό γηλόκελν ηεο κνξθήο: Α A A λ όπνπ ηα Α ζα είλαη ππνζύλνια ηνπ R (A R) A.. πλαξηήζεηο δύν πξαγκαηηθώλ κεηαβιεηώλ. Τπελζύκηζε: Ολνκάδνπκε Καξηεζηαλό γηλόκελν δύν ζπλόισλ Α θαη Β, έλα ζύλνιν δηαηεηαγκέλσλ δεπγώλ, όπνπ ην πξώην ζηνηρείν ηνπ θάζε δεύγνπο αλήθεη ζην Α θαη ην δεύηεξν ζην Β. Γειαδή: () Ολνκάδνπκε ηε δπάδα (,,,, λ ) δηαηεηαγκέλε δηόηη ηα ζηνηρεία ηεο έρνπλ απζηεξώο πξνθαζνξηζκέλε ζεηξά, ε νπνία δελ επηηξέπεηαη λα κεηαβιεζεί. Απηό ζπκβαίλεη δηόηη εάλ αληηκεηαζέζνπκε ακνηβαία δύν ζηνηρεία (π.ρ. ην θαη ην ) κπνξεί ε λα κελ ιεηηνπξγεί. Γηα παξάδεηγκα ε ζπλάξηεζε δύν κεηαβιεηώλ: (,)=ln ιεηηνπξγεί γηα ηε δπάδα (,-) αιιά όρη γηα ηελ (-,)

2 AB = {(,) όπνπ A θαη Β} Δάλ, γηα παξάδεηγκα, έρνπκε ηα ζύλνια Α={,} θαη Β={5,6}, ηόηε AB = {(,5),(,6),(,5),(,6)} Αμίδεη λα παξαηεξήζνπκε πσο ην ζύλνιν AB έρεη ζαλ ζηνηρεία δπάδεο, είλαη δειαδή έλα ζύλνιν ηειείσο δηαθνξεηηθό από ηα ζύλνια Α θαη Β. Με όκνην ηξόπν νξίδνπκε ην Καξηεζηαλό γηλόκελν πεξηζζνηέξσλ ζπλόισλ: A Α A λ = {(,,, λ ) όπνπ A, A,, λ A λ } Έλα πνιύ ρξήζηκν Καξηεζηαλό γηλόκελν ζπλόισλ είλαη ην R λ. Καη από ηα γηλόκελα απηά ηα πην γλσζηά είλαη ην R (ην γλσζηό επίπεδν Ο) θαη ην R (ν γλσζηόο ρώξνο ησλ ηξηώλ δηαζηάζεσλ Oz) R z R o ν z o o ( o, o,z o ) O o Ο o o ( o, o ) ρ. Α... Σν επίπεδν O θαη ν ρώξνο ησλ ηξηώλ δηαζηάζεσλ Oz Σν Καξηεζηαλό γηλόκελν R πεξηέρεη ζαλ ζηνηρεία ηα ζεκεία ελόο επηπέδνπ, ζην νπνίν νξίζηεθε ην Καξηεζηαλό ζύζηεκα Ο. Σν θάζε ζεκείν αληηζηνηρεί ζε κηα δηαηεηαγκέλε δπάδα πξαγκαηηθώλ (;). Αληίζηνηρα ην Καξηεζηαλό γηλόκελν R πεξηέρεη ηα ζεκεία ηνπ ρώξνπ ησλ ηξηώλ δηαζηάζεσλ, ζηνλ νπνίν έρεη νξηζζεί ην γλσζηό Καξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Oz. Σν θάζε ζεκείν ηνπ ρώξνπ αληηζηνηρεί ζε κηα δηαηεηαγκέλε ηξηάδα (,,z) Ξαλαγπξλώληαο ζηηο ζπλαξηήζεηο Δπεθηείλνληαο ηώξα ηελ ινγηθή κε ηελ νπνία «νξίζακε» ηε ζπλάξηεζε κηα κεηαβιεηήο [=()], ζα ιέγακε πσο κία ζπλάξηεζε δύν πξαγκαηηθώλ κεηαβιεηώλ είλαη κηα ιεηηνπξγία, πνπ γηα λα «ιεηηνπξγήζεη» ρξεηάδεηαη δύν δεδνκέλα (π.ρ. ην θαη ην ) έηζη ώζηε λα δώζεη έλα ηειηθό απνηέιεζκα z: z = (,).

3 Δύθνια αληηιακβάλεηαη θαλείο πσο ην ζύλνιν (πεδίν) νξηζκνύ κηαο ζπλάξηεζεο δύν κεηαβιεηώλ είλαη έλα Καξηεζηαλό γηλόκελν δύν ππνζπλόισλ ηνπ R πνπ ζπρλά θαιείηαη θαη Σόπνο Οξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο (Σ). Δίλαη δειαδή ην πεδίν νξηζκνύ έλα ππνζύλνιν ηνπ RR=R, έλα ππνζύλνιν δειαδή ηνπ πξαγκαηηθνύ επηπέδνπ Ο. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο z = (,) απαηηεί έλα ηξηζδηάζηαην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ, ζαλ ην Καξηεζηαλό ηξηζνξζνγώλην Oz. Πάλσ ζην «νξηδόληην» επίπεδν O αλαπαξηζηάηαη ν ηόπνο νξηζκνύ (Σ) ηεο ζπλάξηεζεο, ε νπνία αληηζηνηρίδεη ζε θάζε ζεκείν ( o, o ) ηνπ Σ, κία ηηκή z o = ( o, o ). Σνπνζεηώληαο ηελ ηηκή z o ζηνλ αληίζηνηρν άμνλα νξίδνπκε ηε ζέζε ελόο ζεκείνπ ζην ρώξν, ηνπ ( o, o,z o ). Δπνκέλσο ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ ηνπ ηόπνπ Σ αληηζηνηρίδεηαη ζηα ζεκεία κηαο επηθάλεηαο Δ ζαλ θη απηή πνπ θαίλεηαη ζην επόκελν ζρεδηάγξακκα. Δίλαη πξνθαλέο πσο ηκήκαηα ηεο επηθάλεηαο Δ κπνξεί λα βξίζθνληαη θάησ από ην επίπεδν O, όηαλ βέβαηα νη ηηκέο z ηεο ζπλάξηεζεο είλαη αξλεηηθέο. z z o Δ ( o, o,z o ) Ο o o ( o, o ) Σ ρ. Α... ην παξάδεηγκα απηό ε επηθάλεηα ζπκίδεη έλαλ «ηξνύιν» πνπ «ζθεπάδεη» ηνλ ηόπν Σ. Ο ηόπνο Σ νξίδεηαη είηε από ηηο «αλάγθεο» ηεο ζπλάξηεζεο, είηε από ηηο πξνζσπηθέο καο επηινγέο: Γηα παξάδεηγκα ζο ππνινγίζνπκε ην Πεδίν Οξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο: z = (,) = ln() +

4 Ηζρύνπλ νη πεξηνξηζκνί: > - γηα λα νξίδεηαη ην ln γηα λα νξίδεηαη ζαλ πξαγκαηηθόο αξηζκόο ην ξηδηθό. Άξα ην πεδίν νξηζκνύ είλαη ην θαξηεζηαλό γηλόκελν ησλ πξνεγνπκέλσλ δηαζηεκάησλ: Π.Ο. = {(,) όπνπ (, ) θαη [-,]} Αληίζεηα, ε ζπλάξηεζε: z (, ) νξίδεηαη ζε νιόθιεξν ην R, δηόηη ε κπνξεί λα «ιεηηνπξγήζεη» γηα νπνηαδήπνηε δπάδα πξαγκαηηθώλ. πρλά, όκσο, νξίδεηαη ζ έλα ζπγθεθξηκέλν πεδίν νξηζκνύ, αλάινγα κε ην πξόβιεκα πνπ καο απαζρνιεί θάζε θνξά. Έηζη, ε ελ ιόγσ ζπλάξηεζε, νξηζκέλε ζε έλαλ θύθιν κε θέληξν ην Ο θαη αθηίλα r, νξίδεη ηνλ θώλν ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο. z r ρ. Α... Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο z (, ), όπνπ ζαλ ηόπν Σ επηιέμακε ηνλ θύθιν κε θέληξν ην Ο θαη αθηίλα r. 4

5 Α.. Μεξηθέο παξάγωγνη. Α... Τπελζπκίζεηο. Όπσο ήδε γλσξίδνπκε, ε πξώηε παξάγσγνο κηαο ζπλάξηεζεο κίαο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο =(), δίλεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο () όηαλ κεηαβάιιεηαη ε αλεμάξηεηε (). Γηα ηελ πξώηε παξάγσγν ρξεζηκνπνηήζακε επίζεο ηηο εθθξάζεηο «ηαρύηεηα κεηαβνιήο ηεο ηηκήο ηεο» θαη «θιίζε» ηεο ζπλάξηεζεο. ην δηπιαλό γξάθεκα παξαηεξνύκε ηελ θακπύιε κηαο ζπλάξηεζεο (), θαη ηελ επζεία ε ν ε νπνία εθάπηεηαη ζην γξάθεκα ηεο ζην ζεκείν o. Γλσξίδνπκε πσο ε ζπλάξηεζε πνπ δίλεη ηηο θιίζεηο ηεο είλαη ε παξάγσγόο ηεο. Έρνπκε ινηπόλ: 7 5 =() ε ν Κιίζε ηεο () ζην o = θιίζε ηεο επζείαο ε ν ζην o = = εθ(θ ν ) = ( o ) θ ν o Να ηνλίζνπκε πωο ε θιίζε κηαο ζπλάξηεζεο ζε θάπνην ζπγθεθξηκέλν ζεκείν ιέγεηαη παξάγωγνο αξηζκόο ηεο, ελώ ε ζπλάξηεζε πνπ δίλεη ηηο θιίζεηο ηεο θαιείηαη παξάγωγνο ζπλάξηεζε. Έηζη ε ζπλάξηεζε () = -5 έρεη παξάγσγν ζπλάξηεζε ηελ () =, ελώ ε θιίζε ηεο ζπλάξηεζεο ζην = ηζνύηαη κε 6 ( () = 6). - Παξάδεηγκα: Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε = () = Να ππνινγηζζεί ε θιίζε ηεο ζην ζεκείν =,5, θαζώο θαη ε εμίζσζε ηεο επζείαο ε ν πνπ εθάπηεηαη ζηελ θακπύιε ζην ίδην ζεκείν. Λύζε: ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε : = α + β ε παξάκεηξνο α ηζνύηαη κε ηελ θιίζε ηεο. Δπεηδή ε επζεία ε εθάπηεηαη ζηελ θακπύιε ηεο, ζην ζεκείν (,5,(,5)) ε θιίζε ηεο ζα ηαπηίδεηαη κε ηελ ηηκή ηεο παξαγώγνπ ηεο : α = (,5) = [ ] =,5 = = [ 8 ] =,5 = -4,5 ελώ ν ζηαζεξόο όξνο β δίλεηαη από ηε ζρέζε: 5

6 β = o α = 4,75 όπνπ ν = (,5) =,65 ην επόκελν γξάθεκα εκθαλίδεηαη ε ζπλάξηεζε θαη ε επζεία πνπ εθάπηεηαη ζ απηήλ ζην ζεκείν =,5. 8 () Εφαπτομένη Α... Φπζηθή εξκελεία ηωλ κεξηθώλ παξαγώγωλ. Τπνζέηνπκε πσο ην απηνθίλεηό καο έρεη θαηά ηνηο ηειεπηαίεο εβδνκάδεο ςειή θαηαλάισζε θαπζίκνπ. Ο κεραληθόο ηνπ ζπλεξγείνπ όπνπ ην ζπληεξώ κνπ ιέεη: Σν πξόβιεκα ηεο θαηαλάισζεο ζα βειηησζεί εάλ: επαλαιάβσ ηηο εξγαζίεο ζπληήξεζεο, απμήζσ θαηά % ηελ πίεζε ζηα ιάζηηρα εάλ ειαηηώζσ δξακαηηθά ηελ πίεζε ζην γθάδη. Οπζηαζηηθά ν κεραληθόο, καο όξηζε ην πνζό ηεο θαηαλάισζεο πνπ μεπεξλά ηα θπζηνινγηθά όξηα θαηαλάισζεο, ζαλ κηα ζπλάξηεζε κεηαβιεηώλ. Δάλ πινπνηήζνπκε ηαπηόρξνλα θαη ηηο ηξεηο ζπκβνπιέο ηνπ δελ ζα κπνξέζνπκε λα αληηιεθζνύκε ηε ζπλεηζθνξά ηεο θάζε κηαο παξακέηξνπ ζηελ ηειηθή κείσζε ηεο θαηαλάισζεο. Γηα ην ιόγν απηό θξαηνύκε ζηαζεξέο ηηο ηηκέο ησλ δύν παξακέηξσλ θαη κεηαβάιινπκε ηελ ηξίηε. Με ηνλ ηξόπν απηό ππνινγίδνπκε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θαηαλάισζεο όηαλ κεηαβάιινπκε ζηαδηαθά ηνλ ηξόπν νδήγεζήο καο. Σελ ίδηα ινγηθή εθαξκόδνπκε θαη ζηηο ζπλαξηήζεηο πεξηζζνηέξσλ κεηαβιεηώλ. Γηαηεξνύκε ζηαζεξέο ηηο ηηκέο όισλ ησλ κεηαβιεηώλ ηεο ζπλάξηεζεο, εθηόο από κία, ηελ νπνία κεηαβάιινπκε (ζεσξώληαο κόλνλ απηή ζαλ κεηαβιεηή). Έζησ γηα παξάδεηγκα ε ζπλάξηεζε: z = (,) θαη έλα ζεκείν ( o, o ) ηνπ ηόπνπ Σ, όπνπ νξίδεηαη. Ο ξπζκόο (ε ηαρύηεηα) κε ηελ νπνία κεηαβάιιεηαη ε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο z, όηαλ κεηαβάιιεηαη κόλν ην (παξακέλνληαο ζηελ πεξηνρή ηνπ o ) ελώ ην παξακέλεη ζηαζεξά ίζν o, νλνκάδεηαη κεξηθή παξάγσγνο ηεο ζην ζεκείν ( o, o ). 6

7 A... Γεωκεηξηθή εξκελεία ηωλ κεξηθώλ παξαγώγωλ. Ξαλαγπξλνύκε ζηε ζρήκα Α... όπνπ εκθαλίδεηαη ην «γξάθεκα» κηαο ζπλάξηεζεο κεηαβιεηώλ, ηεο (,), πνπ νξίδεηαη πάλσ ζηνλ ηόπν Σ ηνπ επηπέδνπ O. Θεσξνύκε επίζεο ην ζεκείν ( o, o ) ηνπ Σ θαη ηελ εηθόλα ηνπ κέζσ ηεο, (ηελ ηηκή ηεο z o = ( o, o )), κε ηελ νπνία θαζνξίδεηαη ην ζεκείν ( o, o,z o ) ηνπ ηξηζδηάζηαηνπ ρώξνπ. Όπσο εμεγήζακε ην ζύλνιν απηό ησλ εηθόλσλ δεκηνπξγεί ηελ επηθάλεηα Δ πνπ είλαη ην γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο. Μεηαθεξόκαζηε ηώξα ζην ζρήκα Α... Θα ζεσξήζνπκε όια ηα ζεκεία ηνπ ηόπνπ Σ ησλ νπνίσλ ε ζπληεηαγκέλε είλαη ζηαζεξά ίζε κε ην o, ελώ ην ηνπο κεηαβάιιεηαη. Ζ εηθόλα ησλ ζεκείσλ απηώλ ηνπ Σ επάλσ ζηελ επηθάλεηα Δ δεκηνπξγεί ηελ θόθθηλε γξακκή, πνπ είλαη «παξάιιειε» κε ην επίπεδν Oz. Όκνηα ζεσξνύκε όια ηα ζεκεία ηνπ ηόπνπ Σ ησλ νπνίσλ ε ζπληεηαγκέλε είλαη ζηαζεξά ίζε κε ην o ελώ ην ηνπο κεηαβάιιεηαη. Ζ εηθόλα ησλ ζεκείσλ απηώλ ηνπ Σ επάλσ ζηελ επηθάλεηα Δ δεκηνπξγεί ηελ κπιε γξακκή, πνπ είλαη «παξάιιειε» κε ην επίπεδν Oz. ύκθσλα κε ηα όζα είπακε πξνεγνπκέλσο ε κεξηθή παξάγσγνο ηεο σο πξνο (ζεσξώληαο ην ζηαζεξό ίζν κε o ) είλαη ε θιίζε ηεο επζείαο ε πνπ εθάπηεηαη ζηελ θόθθηλε θακπύιε (ηελ παξάιιειε πξνο ην επίπεδν Oz). Αληίζεηα, ε κεξηθή παξάγσγνο ηεο σο πξνο (ζεσξώληαο ην ζηαζεξό ίζν κε o ) είλαη ε θιίζε ηεο επζείαο ε πνπ εθάπηεηαη ζηελ κπιε θακπύιε (ηελ παξάιιειε πξνο ην επίπεδν Oz). z z o ε Δ ε O o o ρ.α... Γεσκεηξηθή εξκελεία ησλ κεξηθώλ παξαγώγσλ. T 7

8 Α..4. Τπνινγηζκόο ηωλ κεξηθώλ παξαγώγωλ. πκβνιηζκνί. Ο ππνινγηζκόο ησλ κεξηθώλ παξαγώγσλ κηαο ζπλάξηεζεο πεξηζζνηέξσλ κεηαβιεηώλ πξνθύπηεη εύθνια από ηα πξνεγνύκελα. Παξαγσγίδνπκε ηε ζπλάξηεζε κεξηθά σο πξνο κία κεηαβιεηή ηεο, ζεσξώληαο ζηαζεξέο όιεο ηηο ππόινηπεο. Ζ κεξηθή παξάγσγνο κηαο ζπλάξηεζεο ζπκβνιίδεηαη κε έλα ζύκβνιν πνπ είλαη παξαθζνξά ηνπ θιαζζηθνύ d ηεο πιήξνπο παξαγώγηζεο: Δάλ ζέιακε λα νξίζνπκε θαη ζεσξεηηθά ηηο κεξηθέο παξαγώγνπο ζα γξάθακε ηηο γλσζηέο ζρέζεηο παξαγώγηζεο: (, ) ' lm (, ) ' lm ( (,, ) (, ) (, ) ) Όινη νη θαλόλεο παξαγώγηζεο (παξαγώγηζε αζξνίζκαηνο, γηλνκέλνπ, πειίθνπ, θαζώο θαη νη παξάγσγνη ησλ γλσζηώλ ζπλαξηήζεσλ θαη ησλ ζύλζεησλ ζπλαξηήζεσλ) ηζρύνπλ όπσο ηνπο γλσξίζακε ζηηο παξαγώγνπο ησλ ζπλαξηήζεσλ κηαο κεηαβιεηήο. ν παξάδεηγκα: Έζησ ε ζπλάξηεζε: z = (,) = ln(). Τπνινγίδνπκε ηηο κεξηθέο παξαγώγνπο. [ ln()] = ln() ( ) = ln() [ ln()] = () = Πξόθεηηαη γηα δύν ζπλαξηήζεηο πνπ δίλνπλ ηελ θιίζε ηεο επηθάλεηαο πνπ έρεη εμίζσζε z = (,), όηαλ κεηαβάιιεηαη κόλν ην ε πξώηε θαη κόλν ην ε δεύηεξε. Οη ζπλαξηήζεηο απηέο δίλνπλ κηα ζπγθεθξηκέλε ηηκή γηα ηελ θιίζε ηεο επηθάλεηαο, όηαλ ηνπο δνζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ελόο ζπγθεθξηκέλνπ ζεκείνπ ( o, o ). Δάλ ινηπόλ αλαδεηνύκε ηηο δύν απηέο θιίζεηο ζην ζεκείν (.5, ) έρνπκε: (.5,) [ ln() ] =,5, = = (.5,) [ ] =,5, = =,75 8

9 ν παξάδεηγκα: Όκνηα ππνινγίδνπκε ηηο κεξηθέο παξαγώγνπο ησλ ζπλαξηήζεσλ πεξηζζόηεξσλ κεηαβιεηώλ. Έηζη, κηα ζπλάξηεζε λ-κεηαβιεηώλ ζα έρεη λ- κεξηθέο παξαγώγνπο πξώηεο ηάμεο. Αο παξαγσγίζνπκε ινηπόλ ηε ζπλάξηεζε: z = (,,t) = + t 4 - tln( ) [ + t 4 - tln( )] = t [ + t 4 - tln( )] = 6 + t 4 - t [ + t 4 - tln( )] = t ln( ) t Δάλ ινηπόλ αλαδεηνύκε ηελ κεξηθή παξάγσγν ηεο σο πξνο ζην ζεκείν (,,), ζα έρνπκε: t (,,) = [ 6 + t 4 - ](,,) = + 4 = 5 Α..5. Παξαγώγηζε ζύλζεηωλ ζπλαξηήζεωλ. Τπελζύκηζε: Σελ παξαγώγηζε ζύλζεηεο ζπλάξηεζεο ηελ ζπλαληήζακε θαη ζηηο ζπλαξηήζεηο κηαο κεηαβιεηήο. Γηα παξάδεηγκα ζύλζεηε ζπλάξηεζε είλαη ε: (u) = εκ(u) όπνπ u=4 ηελ νπνία πξνηηκνύζακε λα γξάθνπκε ππό ηε κνξθή: () = εκ(4 ) κε παξάγσγν ηελ: () = ζπλ(4 )*( 4 ) = ζπλ(4 ) Ζ παξαγώγηζε απηή ζεσξεηηθά πεξηγξάθνληαλ από ηε ζρέζε: () = d d du d du d Σώξα ζεσξνύκε κία ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο: z = (u,v) όπνπ u = u(,) v = v(,) ε νπνία ιέγεηαη ζύλζεηε ζπλάξηεζε ησλ κεηαβιεηώλ θαη κε ελδηάκεζεο κεηαβιεηέο ηηο u θαη v. Δίλαη θαλεξό πσο εάλ αληηθαηαζηήζνπκε ζηελ ηηο u θαη v κε ηα ίζα ηνπο ζα πξνθύςεη κηα θαλνληθή ζπλάξηεζε κεηαβιεηώλ, ησλ θαη. Ζ 9

10 παξαγώγηζή ηεο γίλεηαη κε ηνλ ίδην ηξόπν πνπ γηλόηαλ θαη ζηηο ζπλαξηήζεηο κηαο κεηαβιεηήο: (u, v) (u(, ), v(, )) (u(, ), v(, )) lm (u(, lm ), v(, )) (u(, u(, ) u(, ) ), v(, )) u(, ) u(, ) (u(, ), v(, )) (u(, ), v(, )) v(, ) v(, ) v(, ) v(, ) () (u, v) (u, v) u u (u, v) v v Α..5 όκνηα πξνθύπηεη θαη ε αληίζηνηρε παξάγσγνο σο πξνο : (u, v) (u(, ), v(, )) (u(, ), v(, )) lm (u(, ), v(, )) (u(, ), v(, )) lm u(, ) u(, ) u(, ) u(, ) (u(, ), v(, )) (u(, ), v(, )) v(, ) v(, ) v(, ) v(, ) (u, v) (u, v) u u (u, v) v v Α..5 Οη ηύπνη Α..5 δίλνπλ ηειηθά ηηο δύν κεξηθέο παξαγώγνπο ηεο σο πξνο ηηο βαζηθέο κεηαβιεηέο, κέζσ ησλ ελδηάκεζσλ u(,) θαη v(,). Σειηθά ε πξαθηηθή εθαξκνγή είλαη πνιύ απινύζηεξε από ηελ απόδεημε. Οπζηαζηηθά απνηειεί κηα επέθηαζε ηεο ζύλζεηεο παξαγώγηζεο ησλ ζπλαξηήζεσλ κηαο κεηαβιεηήο. () Όπνπ πξνζζαθαηξέζεθε ε πνζόηεηα (u(, ), v(, )), ρσξίζηεθε ην θιάζκα ζε δύν θιάζκαηα θαη ην ν πνιιαπιαζηάζηεθε θαη δηαηξέζεθε κε ην [ u(, ) u(, ) ], ελώ ην ν κε ην: [ v(, ) v(, ) ].

11 Παξάδεηγκα: Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε: (u,v) = u v u(,) = εκ(-), όπνπ v(,) = ζπλ(+) λα ππνινγηζζνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη: / θαη /. θαη (u,v) (u,v) u u (u,v) v v u (u v ) [ ( )] v (u v ) [ ( )] θαη = uζπλ(-) + v εκ(+) (u, v) (u, v) u (u, v) v u v (u v ) [ ( )] (u v u v = -uζπλ(-) + v εκ(+) ) [ ( )] Παξαηεξνύκε πσο ζα βξίζθακε αθξηβώο ηα ίδηα εάλ αληηθαζηζηνύζακε ηηο ζπλαξηήζεηο u θαη v ζηελ θαη παξαγσγίδακε θαηά ηα γλσζηά: (,) = εκ (-) ζπλ (+) νπόηε [ εκ (-) ζπλ (+) ] = εκ(-)ζπλ(-) + ζπλ (+)εκ(+) [ εκ (-) ζπλ (+) ] = -εκ(-)ζπλ(-) + ζπλ (+)εκ(+) Σα απνηειέζκαηα είλαη πξνθαλώο ίδηα Α..6. Πεπιεγκέλε παξαγώγηζε. Ολνκάδνπκε πεπιεγκέλεο ζπλαξηήζεηο απηέο πνπ δελ είλαη ιπκέλεο σο πξνο ηελ εμαξηεκέλε κεηαβιεηή ηνπο. Ζ κνξθή κηαο πεπιεγκέλεο ζπλάξηεζεο κηαο κεηαβιεηήο είλαη ε: F(,) = θη αλ ιπλόηαλ σο πξνο = ()

12 Σε ζπλάξηεζε απηή ηελ παξαγσγίδακε αθνινπζώληαο έλα «κεραληθό» θαλόλα πνπ έιεγε πσο παξαγσγίδνπκε ηελ F θαλνληθά σο πξνο θαη σο πξνο, ζαλ λα ήηαλ ε κηα αθόκε κεηαβιεηή. Σειεηώλνληαο όκσο ηελ θάζε παξαγώγηζε σο πξνο, ζπκόκαζηαλ πσο ε είλαη ζπλάξηεζε () θαη πνιιαπιαζηάδακε κε ην! Παξάδεηγκα: Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε F(,) = + + ln= Παξαγσγίδνληαο ζύκθσλα κε ηνλ πξνεγνύκελν θαλόλα έρνπκε: ln ' = + ln = ( - 6 ) ' ln 6 Σώξα, γλσξίδνληαο λα παξαγσγίδνπκε κεξηθά, ζα αληηκεησπίζνπκε ην αξηζηεξό κέινο ηεο ζρέζεο F(,) = ζαλ ζπλάξηεζε δύν κεηαβιεηώλ, όπνπ όκσο ε είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ( = ()). Αο παξαγσγίζνπκε ινηπόλ κεξηθά σο πξνο ηελ ηζόηεηα F(,) =, θαηά κέιε: F F d F(,) = d όπνπ ζηελ ηειεπηαία ζρέζε γξάςακε ηελ παξάγσγν ηνπ σο πξνο κε ην ζύκβνιν d αληί ηνπ, δηόηη ε είλαη ζπλάξηεζε κηαο κεηαβιεηήο θαη δελ έρεη κεξηθή παξάγσγν αιιά νιηθή. Σέινο από ηελ ηειεπηαία ζρέζε βγαίλεη θαη ν ηύπνο ηεο πεπιεγκέλεο παξαγώγνπ πνπ (νπζηαζηηθά) ρξεζηκνπνηήζακε ζην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα. d d F F Αο εθαξκόζνπκε ηε ζρέζε απηή ζην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα: F(,) = + + ln= [ d d [ - ln] - ln] ln 6

13 Α.4. Σν νιηθό δηαθνξηθό. Α.4.. Σν δηαθνξηθό ζηηο ζπλαξηήζεηο κηαο κεηαβιεηήο. Έζησ ε ζπλάξηεζε =(). Τπνινγίδνπκε ηελ παξάγσγό ηεο ζην ζεκείν o θαη ραξάδνπκε ηελ επζεία ε πνπ εθάπηεηαη ζηελ () ζην ζεκείν ( o,( o )) θη έρεη θιίζε θ = ( o ). Υαξάδνπκε ηώξα έλα λέν ζύζηεκα αμόλσλ κε θέληξν ην ζεκείν ( o,( o )), κε ηνλ άμνλα d παξάιιειν κ απηόλ ησλ θαη ηνλ άμνλα d παξάιιειν κε ηνλ αληίζηνηρν ησλ. Ζ εμίζσζε ηεο επζείαο ε ζην λέν ζύζηεκα γξάθεηαη: d = θd = ( o )d () όπνπ ζηνλ άμνλα d κεηξηέηαη ε κεηαβνιή ζηα (κε θέληξν ην o ), ελώ ζηνλ d ε κεηαβνιή ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο (κε θέληξν ην o ). o () ε d d o o +d Γελ κπνξνύκε λα κελ παξαηεξήζνπκε πσο ε εμίζσζε απηή ζπλδέεηαη κε ηε γλσζηή γξαθή ηεο πξώηεο παξαγώγνπ: d d = ( o )d θαη '( o) d Δξκελεύνληαο αιγεβξηθά θαη γεσκεηξηθά ηε ζρέζε απηή ζα ιέγακε πσο: Σν δηαθνξηθό επηρεηξεί λα ππνινγίζεη ηελ κεηαβνιή ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο (), όηαλ πεξλνύκε από ην ζεκείν o ζε θάπνην δηπιαλό, ην o +d. Μόλν πνπ ηε κεηαβνιή ηεο ηηκήο δελ ηελ ππνινγίδεη από ηελ θακπύιε ηεο ζπλάξηεζεο, αιιά από ηελ επζεία πνπ εθάπηεηαη ζην ζεκείν ( o, o ) [όπνπ o = ( o )]. Πξνθαλώο ν ππνινγηζκόο απηόο είλαη πξνζεγγηζηηθόο θαη ηζρύεη γηα κηθξό d. Έηζη ε ζρέζε ηνπ δηαθνξηθνύ «δηαβάδεηαη»: () Τε ζρέζε απηή ζπλαληνύκε θάζε θνξά πνπ αληηκεησπίδνπκε θιίζεηο, Γηα παξάδεηγκα έρνπκε ην δηπιαλό θεθιηκέλν επίπεδν κε θιίζε θ% θαη δεηνύκε ηε δηαθνξά πςνκέηξνπ h, πνπ αληηζηνηρεί ζε νξηδόληηα κεηαηόπηζε : ι = εθθ = h/ = θ/ h = εθθ = ι θ h

14 Η κεηαβνιή ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο (d) δίλεηαη, πξνζεγγηζηηθά, από ην γηλόκελν ηεο παξαγώγνπ ηεο (ζην θεληξηθό ζεκείν) κε ην πνζό θαηά ην νπνίν κεηαβάιιεηαη ε ηηκή ηνπ (d). Δίλαη θαλεξό πσο εάλ δεηείηαη ε λέα ηηκή ζην ζεκείν o +d, απηή ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ηεο παιηάο ηηκήο κε ηε δηαθνξά d: ( o +d) = ( o ) + d = ( o ) + ( o )d Παξάδεηγκα: Να ππνινγηζζεί πξνζεγγηζηηθά, κε ηε βνήζεηα ηνπ δηαθνξηθνύ ε ηηκή t = 6, 8. Λύζε: Ζ κνξθή ηεο παξάζηαζεο, καο νδεγεί ζηε ζπλάξηεζε: =()=. Σν δηαθνξηθό ηεο γξάθεηαη: d [ ]'d [ ]'d d d Σν θεληξηθό ζεκείν ζην νπνίν ζα θαζνξίζνπκε ηελ ηηκή ηεο παξαγώγνπ, είλαη έλα ζεκείν βνιηθό γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ηηκήο ησλ ξηδηθώλ θαη ηαπηόρξνλα πνιύ θνληά ζην πνπ καο ελδηαθέξεη: 6,8. Πξνθαλώο πξόθεηηαη γηα ην ζεκείν o =7: d d d 7 7 Ζ ηηκή ηνπ d ηζνύηαη κε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ =6,8 θαη ηνπ θεληξηθνύ ζεκείνπ o = 7: d = 6,8 7 = -,8 νπόηε d =,8, 7 Αμίδεη λα παξαηεξήζνπκε πσο ε ηηκή ηεο κεηαβνιήο d κπνξεί λα είλαη θαη αξλεηηθή. Πξνθαλώο ε ηηκή ηνπ t = 6, 8 ππνινγίδεηαη εάλ ζηελ ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ζην θεληξηθό ζεκείν ( o =7) πξνζηεζεί ε κεηαβνιή ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο d. Έρνπκε ινηπόλ: t = 6, 8 = (6,8) = (7) + d =,66667 =,99 αληί ηνπ αθξηβνύο t = 6, 8 =,998 Άζθεζε: Έζησ ε ζπλάξηεζε = () = εκ. Να ππνινγηζζεί ε ηηκή ηνπ εκ(,4 rad) κε ηε βνήζεηα ηεο ζρέζεο ηνπ δηαθνξηθνύ. 4

15 Α.4.. Σν νιηθό δηαθνξηθό κηαο ζπλάξηεζεο z = (,) Έζησ ε ζπλάξηεζε z = (,), νξηζκέλε ζ έλαλ ηόπν Σ, νη δύν κεξηθέο παξάγσγνί ηεο πξώηεο ηάμεο (, ) θη έλα ζεκείν ( o, o ) ηνπ ηόπνπ Σ. ύκθσλα κε ηε γεσκεηξηθή εξκελεία ησλ κεξηθώλ παξαγώγσλ πνπ. παξνπζηάζηεθε ζηελ παξάγξαθν Α.., νη δύν λέεο απηέο ζπλαξηήζεηο παξέρνπλ ηελ θιίζε ηεο όηαλ κεηαβάιιεηαη κόλν ην (ε πξώηε) θαη κόλν ην (ε δεύηεξε). Ζ επόκελε παξάζηαζε θαιείηαη νιηθό δηαθνξηθό ηεο : dz d d d Δξκελεύνληαο γεσκεηξηθά ηε ζρέζε ηνπ νιηθνύ δηαθνξηθνύ, ηελ νξίδνπκε ζην ζεκείν ( o, o ) ηνπ ηόπνπ Σ. dz d (, ) (, d ) d Παξαηεξνύκε πσο ην νιηθό δηαθνξηθό είλαη ην άζξνηζκα δύν πνζνηήησλ: ηεο h = (, ) d θαη ηεο h = (, ) d Ζ πνζόηεηα h πξνζεγγίδεη ηε δηαθνξά ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο, όηαλ πεξλνύκε από ην ζεκείν ( o, o ) ζην ζεκείν ( o +d, o ), ελώ ε πνζόηεηα h πξνζεγγίδεη ηε δηαθνξά ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο, όηαλ πεξλνύκε από ην ζεκείν ( o, o ) ζην ζεκείν ( o, o +d). Σν νιηθό δηαθνξηθό, ζαλ ην άζξνηζκά ηνπο, πξνζεγγίδεη ηε δηαθνξά ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο, όηαλ πεξλνύκε από ην ζεκείν ( o, o ) ζην ζεκείν ( o +d, o +d). ( o, o +d) ( o +d, o +d) ( o, o ) ( o +d, o ) Δλώ δειαδή ην δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο κηαο κεηαβιεηήο πξνζεγγίδεη ηελ θακπύιε ηεο ζπλάξηεζεο κε ηελ επζεία πνπ εθάπηεηαη ζηελ θακπύιε ζην «θεληξηθό» ζεκείν o, ην νιηθό δηαθνξηθό πξνζεγγίδεη ηελ επηθάλεηα πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζπλάξηεζε (,), κε ην εθαπηόκελν επίπεδν ηεο επηθάλεηαο, ζην «θεληξηθό» ζεκείν ( o, o ). Παξάδεηγκα: Να ππνινγηζζεί πξνζεγγηζηηθά ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο: θ = 4,,95. 5

16 Λύζε: Ζ κνξθή ηεο παξάζηαζεο παξαπέκπεη ζηε ζπλάξηεζε: z = (,) = ελώ ζαλ θεληξηθό ζεκείν επηιέγνπκε ην (4,), γηα ην νπνίν έρνπκε κεηαβνιή ζηα θαη ζηα, d=, θαη d=-,5. Έηζη ην νιηθό δηαθνξηθό ηεο ζην ζεκείν απηό γίλεηαη: dz d d d d d = 4 d d,8,,5 5 5 Άξα έρνπκε γηα ηελ ηηκή ηεο θ: θ = (4,) + d = 5 +,5 = 5,5 Οιηθό δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο z=(,,t). Όκνηα νξίδεηαη θαη ην νιηθό δηαθνξηθό κηαο ζπλάξηεζεο πεξηζζνηέξσλ κεηαβιεηώλ. Γηα παξάδεηγκα ην νιηθό δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο z = (,,t) δίλεηαη από ηε ζρέζε: dz d d d t dt Α.5. Μεξηθέο παξάγωγνη αλώηεξεο ηάμεο. Όπσο έρνπκε δηαπηζηώζεη, νη κεξηθέο παξάγσγνη κηαο ζπλάξηεζεο (,) είλαη επίζεο ζπλαξηήζεηο ησλ ίδησλ κεηαβιεηώλ κε ηε ζπλάξηεζε. Άξα κπνξνύλ λα παξαγσγηζζνύλ θαη επαλάιεςε. Έηζη πξνθύπηνπλ νη κεξηθέο παξάγσγνη αλώηεξεο ηάμεο,. Κάζε παξάγσγνο κπνξεί λα παξαγσγηζζεί κεξηθά σο πξνο νπνηαδήπνηε κεηαβιεηή ηεο. Ηζρύνπλ νη ζπκβνιηζκνί: παξαγσγίδνπκε ηελ δύν θνξέο σο πξνο. παξαγσγίδνπκε σο πξνο ηελ κεξηθή παξάγσγν ηεο σο πξνο (παξαγσγίδνπκε ηελ πξώηα σο πξνο θαη ζηε ζπλέρεηα σο πξνο. Πξνθύπηεη δειαδή έλα δέλδξν ηεο κνξθήο 6

17 7 (,)... θ.ι.π. Θεώξεκα: Έζησ ε ζπλάξηεζε (,) νξηζκέλε ζε έλαλ ηόπν Σ, ζην εζσηεξηθό ηνπ νπνίνπ ε έρεη ζπλερείο κεξηθέο παξαγώγνπο εο ηάμεο. Σόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα: = Σν ζεώξεκα απηό γεληθεύεηαη όπσο δείρλεη ε επόκελε ηζόηεηα: πξάγκα πνπ ζεκαίλεη πσο εάλ πξέπεη λα παξαγσγίζνπκε 5 θνξέο ηελ ζπλάξηεζε, θνξέο σο πξνο θαη θνξέο σο πξνο, κπνξνύκε λα ην θάλνπκε κε νπνηαδήπνηε ζεηξά. Σν απνηέιεζκα ζα είλαη ην ίδην. Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε (,) έρεη ηξεηο κεξηθέο παξαγώγνπο εο ηάμεο. Θεωξεηηθή άζθεζε: Να δεηρζεί πσο ε παξάζηαζε: A = P(,)d + Q(,)d είλαη νιηθό δηαθνξηθό κηαο ζπλάξηεζεο όηαλ ηζρύεη ε ηζόηεηα: Q P Λύζε: Δάλ ε παξάζηαζε Α είλαη νιηθό δηαθνξηθό θάπνηαο ζπλάξηεζεο,ζα ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:

18 νπόηε ζα έρνπκε: P(,) θαη Q(,) θαη P Q όπνπ επεηδή ηα δεύηεξα κέιε είλαη ίζα (ιόγσ ηνπ πξνεγνπκέλνπ Θεσξήκαηνο) θαη ηα πξώηα κέιε ζα είλαη ίζα. ν παξάδεηγκα: Να ππνινγηζζνύλ όιεο νη κεξηθέο παξάγσγνη δεύηεξεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο z = (,) = εκ() +. Λύζε: () () () () () () () () () () () = () () () () () () () () () () () () () 6 () () 6 ν παξάδεηγκα: Γίλεηαη ε παξάζηαζε: ln( ) d d A Δίλαη ην νιηθό δηαθνξηθό θάπνηαο ζπλάξηεζεο (,); Λύζε: Γηα λα είλαη νιηθό δηαθνξηθό ε παξάζηαζε Α ζα πξέπεη γηα ηηο ζπλαξηήζεηο Ρ(,) = ln( ) θαη Q(,) =, λα ηζρύεη ε ηζόηεηα: 8

19 P Q P ln( ) Q Οπόηε ε ηζρύο ηεο πξνεγνύκελεο ζρέζεο καξηπξά πσο ε παξάζηαζε Α είλαη ην νιηθό δηαθνξηθό κηαο ζπλάξηεζεο (,) Α.6. Μειέηε αθξόηαηωλ ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο (,). A.6.. Τπελζπκίζεηο: ηηο ζπλαξηήζεηο κηαο κεηαβιεηήο έρνπκε πηζαλό ηνπηθό αθξόηαην ζηα ζεκεία όπνπ ε πξώηε παξάγσγνο κεδελίδεηαη: (ξ) = όπνπ δειαδή ε θιίζε ηνπ γξαθήκαηνο ηεο ζπλάξηεζεο ηζνύηαη κε ην κεδέλ. Δάλ αξηζηεξά από κηα ξίδα ξ ηεο παξαγώγνπ, ην πξόζεκν ηεο είλαη ζεηηθό, ελώ δεμηά ηεο ην πξόζεκν ηεο είλαη αξλεηηθό, ηόηε ζην ζεκείν =ξ ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην. Δάλ, αληίζεηα, αξηζηεξά ηεο ξ ην πξόζεκν ηεο είλαη αξλεηηθό θαη δεμηά ζεηηθό ηόηε ε παξνπζηάδεη ηνπηθό ειάρηζην Στ.Α.6.. Τοπικά ακρόηαηα ζσνάρηηζης μιας μεηαβληηής Δπνκέλσο, γηα λα έρνπκε ηνπηθό κέγηζην ζε θάπνην ζεκείν =ξ ζα πξέπεη ζηελ πεξηνρή ηνπ ξ ε ζπλάξηεζε λα ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα θάησ (ζα πξέπεη δειαδή ε παξάγσγνο λα είλαη θζίλνπζα ζπλάξηεζε νπόηε ε θιίζε ηεο ζα κεηώλεηαη δηαξθώο ζηελ πεξηνρή ηνπ ξ). Όκσο απηό ζα ζπκβαίλεη όηαλ ε ε παξάγσγνο ηεο ( ε ) ζα είλαη αξλεηηθή (). () Να κελ μερλνύκε πσο ε ε παξάγσγνο είλαη ε παξάγσγνο ηεο εο παξαγώγνπ. Άξα όηαλ ε είλαη ζεηηθή, ε ζα είλαη αύμνπζα. Κη επεηδή ε δίλεη ηηο θιίζεηο ηεο, ε ζα έρεη θιίζε δηαξθώο αύμνπζα, δειαδή ζα ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα άλσ. 9

20 Αληίζεηα, ζα έρνπκε ηνπηθό ειάρηζην όηαλ ε ζα ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα άλσ, όηαλ δειαδή ε θιίζε ηεο ζα απμάλεη, όηαλ δειαδή ε ε παξάγσγνο ζα είλαη ζεηηθή. Όια ηα παξαπάλσ θαίλνληαη ζρεκαηηθά σο εμήο: Έζησ πσο ( o ) =. Δάλ ( o ) > ( o ) αύμνπζα Ζ ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα άλσ θαη παξνπζηάδεη ζην ν ηνπηθό ειάρηζην Δάλ ( o ) < ( o ) θζίλνπζα Ζ ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα θάησ θαη παξνπζηάδεη ζην ν ηνπηθό κέγηζην Σέινο ππάξρεη θαη ε δπλαηόηεηα λα κεδελίδεηαη ε ηηκή ηεο παξαγώγνπ ζε θάπνην =ξ, ρσξίο όκσο ε ζπλάξηεζε λα παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην (όπσο ζην δηπιαλό γξάθεκα). Απηό ζπκβαίλεη όηαλ ην πξόζεκν ηεο παξαγώγνπ δελ αιιάδεη εθαηέξσζελ ηεο ξίδαο ξ, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη πσο ε ξίδα ξ είλαη ξίδα άξηηαο ηάμεο ηεο παξαγώγνπ (δηπιή ξίδα, ηεηξαπιή θ.ι.π.). ηελ πεξίπησζε απηή ε ε παξάγσγνο κεδελίδεηαη ζην ξ θαη ε ε παξάγσγνο παξνπζηάδεη αθξόηαην (ελώ ε παξνπζηάδεη ζεκείν θακπήο). ην δηπιαλό γξάθεκα γηα παξάδεηγκα ε θιίζε παξνπζηάδεη ζην ξ= ειάρηζην (ε θιίζε ήηαλ ζεηηθή, κεηώζεθε ζην κεδέλ γηα ξ= ειάρηζην- θαη ζηε ζπλέρεηα άξρηζε θαη πάιη λα απμάλεη) Στ.Α.6.. Ενώ '() =, δεν σπάρτει ηοπικό ακρόηαηο αλλά ζημείο καμπής. Α.6.. Σνπηθά αθξόηαηα ζηηο ζπλαξηήζεηο δύν κεηαβιεηώλ. Έζησ ε ζπλάξηεζε z = (,), ε νπνία έρεη ζπλερείο παξαγώγνπο ζηνλ ηόπν Σ όπνπ έρεη νξηζζεί. θεπηόκελνη όπσο θαη ζηηο ζπλαξηήζεηο κηαο κεηαβιεηήο, αληηιακβαλόκαζηε πσο γηα λα παξνπζηάδεη ε ηνπηθό αθξόηαην ζε θάπνην ζεκείν ( o, o ) ηνπ Σ, ζα πξέπεη ην εθαπηόκελν επίπεδν ηεο επηθάλεηαο ζην ζεκείν απηό λα έρεη κεδεληθή θιίζε (λα είλαη παξάιιειν κν ην επίπεδν Ο). Γειαδή ζα πξέπεη λα κεδελίδνληαη θαη νη δύν κεξηθέο παξάγσγνη: θαη

21 Σα ζεκεία ηνπ ηόπνπ Σ γηα ηα νπνία ηζρύνπλ θαη νη δύν πξνεγνύκελεο ηζόηεηεο νλνκάδνληαη ζεκεία ζηάζεο θαη είλαη πηζαλά ζεκεία όπνπ ε παξνπζηάδεη ηνπηθά αθξόηαηα. Γηα λα ππάξρεη ηνπηθό αθξόηαην όκσο ζα πξέπεη θαη νη δύν θακπύιεο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο ζπλαξηήζεηο z()=(, o ) θαη z()=( o,), πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν ( o, o ) θαη είλαη παξάιιειεο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ε πξώηε θαη ησλ ε δεύηεξε, λα ζηξέθνπλ ηα θνίια πξνο ηα θάησ θαη νη δύν, νπόηε ζα έρνπκε ηνπηθό κέγηζην, ή ηα θνίια πξνο ηα άλσ (πάιη θαη νη δύν), νπόηε ζα έρνπκε ηνπηθό ειάρηζην. Θα πξέπεη δειαδή νη δεύηεξεο παξάγσγνη (βι. επόκελν δηάγξακκα) λα είλαη θαη νη δύν είηε ηαπηόρξνλα αξλεηηθέο ή ηαπηόρξνλα ζεηηθέο. Αληίζεηα εάλ νη δύν παξάγσγνη είλαη εηεξόζεκεο, ηόηε ε δελ παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην. Γειαδή: Δάλ νη παξάγσγνη θαη είλαη νκόζεκεο Ζ παξνπζηάδεη αθξόηαην: κέγηζην εάλ είλαη αξλεηηθέο ή ειάρηζην εάλ είλαη ζεηηθέο z z o ε Δ ε O o o T ρ.α.6.. Γεσκεηξηθή εξκελεία ηνπ ζεκείνπ ζηάζεο. Οη επζείεο ε θαη ε έρνπλ θιίζε ίζε κε ην κεδέλ. Δπεηδή κάιηζηα νη δύν θακπύιεο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο ζπλαξηήζεηο z()=(, o ) θαη z()=( o,) ζηξέθνπλ ηα θνίια πξνο ηα θάησ, ε παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζην ( o, o ).

22 Α.6.. Θεωξεηηθή άζθεζε: Η επζεία ηωλ ειαρίζηωλ ηεηξαγώλωλ (Δ.Δ.Σ.) Γίλνληαη λ-ζεκεία ηνπ επηπέδνπ O, κε ζπληεηαγκέλεο (, ), I=,,,λ. Δπεηδή δελ ππάξρεη κηα ζπλάξηεζε πνπ λα ζπλδέεη ηηο ηηκέο Υ κε ηηο αληίζηνηρεο Τ, ην γξάθεκα ζα έρεη ηε δηπιαλή κνξθή ελόο λέθνπο ζεκείσλ. Γηαγξάκκαηα απηήο ηεο κνξθήο ζπλαληηνύληαη πνιύ ζπρλά ζε επηζηήκεο όπσο ε Οηθνλνκία, ε Βηνινγία θ.ι.π.. Σν κέγεζνο Υ θαιείηαη αλεμάξηεηε κεηαβιεηή ελώ ην Τ εμαξηεκέλε. Παξαδείγκαηα ηέηνησλ δπάδσλ κπνξεί λα ζπλαληήζεη θάπνηνο πάξα πνιιά, ζε θαζεκεξηλή βάζε Τα δεδομένα (Χ,Y) 5 5 ρ.α.6.4. Σν λέθνο ησλ δεδνκέλσλ Υ ην ύςνο θαη Τ ην βάξνο ησλ αλζξώπσλ, Υ ην επελδπκέλν θεθάιαην θαη Τ ην θέξδνο ησλ επηρεηξήζεσλ, Υ ν θπβηζκόο ηνπ θηλεηήξα θαη Τ ε θαηαλάισζε ηνπ απηνθηλήηνπ, θ.ι.π. Γηα ηα δεδνκέλα Υ θαη Τ νλνκάδνπκε παιηλδξόκεζε, ηελ πξνζαξκνγή κηαο καζεκαηηθήο θακπύιεο πάλσ ζην λέθνο ησλ δεδνκέλσλ, ελώ νλνκάδνπκε επζύγξακκε παιηλδξόκεζε, ηελ πξνζαξκνγή κηαο επζείαο (ε:=α+β) πάλσ ζην λέθνο ησλ δεδνκέλσλ. ηε ζπλέρεηα ζα πξνζπαζήζνπκε λα ππνινγίζνπκε ηηο παξακέηξνπο α θαη β έηζη ώζηε ε επζεία ε λα είλαη ε θαιύηεξα πξνζαξκνζκέλε επζεία ζην λέθνο ησλ δεδνκέλσλ. αλ ηέηνηα επζεία επηιέγνπκε ηελ επζεία ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ (Δ.Δ.Σ.). Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο Δ.Δ.Σ. νξίδνπκε ηηο απνζηάζεηο (d ) ησλ ζεκείσλ ηνπ λέθνπο από ηελ επζεία ε παξάιιεια πξνο ηνλ άμνλα ησλ (όπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρ.α.6.5.), αληίζεηα απ όηη ζα πεξίκελε θαλείο (θάζεηα πξνο ηελ ε). Ο βαζηθόηεξνο ιόγνο έρεη λα θάλεη κε ηελ αλεμαξηεζία ηεο κεηαβιεηήο Υ. Δάλ δειαδή ην λέθνο ησλ δεδνκέλσλ πξνέξρεηαη από ηε δπάδα (Ύςνο Βάξνο) θαη ζεσξήζνπκε πσο ε πξνζαξκνζκέλε επζεία ζπκβνιίδεη έλα κέζν όξν γηα ην βάξνο αλάινγα κε ην ύςνο (ηηο ηέιεηεο αλαινγίεο θαηά θάπνην ηξόπν, αλεμάξηεηα κε ην ύςνο), ζα ήηαλ άηνπν ε νπνηαδήπνηε δηόξζσζε λα αθνξνύζε θαη ην ύςνο, εθηόο από ην βάξνο. Έζησ ινηπόλ πσο ε εμίζσζε ηεο Δ.Δ.Σ. είλαη ε: ε: = α + β. Οξίδνπκε ηελ πνζόηεηα Α ε νπνία ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ «απνζηάζεσλ» ηνπ θάζε ζεκείνπ ηνπ λέθνπο από ηελ ε. Έρνπκε:

23 7 Δπζεία ειαρίζηωλ ηεηξαγώλωλ 6 5 d v 4 d d 5 d d 6 d ρ. Α.6.5. Σν λέθνο ησλ δεδνκέλσλ ( ; ), ε Δ.Δ.Σ. θαη νη «απνζηάζεηο» d ησλ ζεκείσλ ηνπ λέθνπο από ηελ ε (παξάιιεια κε ηνλ άμνλα ησλ ). Α(α,β) = [ (α + β)] + [ (α + β)] + + [ λ (α λ + β)] = = ( ) Ζ παξάζηαζε Α είλαη κηα ζπλάξηεζε ησλ α θαη β. Εεηνύκε ηώξα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ηηκήο ησλ α θαη β, έηζη ώζηε ε ηηκή ηεο Α λα γίλεηαη ειάρηζηε. Εεηνύκε δειαδή ην ηνπηθό ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο Α(α,β). Σα ζεκεία ζηάζεο πξνθύπηνπλ από ηηο δύν εμηζώζεηο: A θαη A ( ) ) ) ( ) () () () Εθαξκόζακε ηε βαζηθή ηδηόηεηα ησλ παξαγώγσλ ζύκθσλα κε ηελ νπνία ε παξάγσγνο αζξνίζκαηνο είλαη ίζε κε ην άζξνηζκα ησλ παξαγώγσλ. () Σηε ζπλέρεηα ζα εθαξκόζνπκε ηελ ηδηόηεηα ηεο αληηκεηάζεζεο ησλ πξνζζεηέσλ: Σ( + ) = ( + )+( + )+.. +( v + v ) = ( v ) + ( v ) = = Σ + Σ

24 4 (Α.6..) ) ( A ) ( ) (Α.6..) Οη εμηζώζεηο Α.6.. θαη Α.6.. απνηεινύλ έλα ζύζηεκα εμηζώζεσλ κε δύν αγλώζηνπο, ηα α θαη β. Δπηιύλνληαο ην ζύζηεκα απηό έρνπκε γηα ηα α θαη β: θαη Παξαγσγίδνληαο γηα δεύηεξε θνξά έρνπκε: A > A >

25 Βάρος (Kgr) Δπεηδή νη δύν απηέο παξάγσγνη είλαη ζεηηθέο, ζπκπεξαίλνπκε πσο ην ζεκείν ζηάζεο πνπ κόιηο ππνινγίζακε αληηζηνηρεί ζην κνλαδηθό ηνπηθό ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο Α(α,β). Άξα γηα ηηο πην πάλσ ηηκέο ησλ α θαη β ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ «απνζηάζεσλ» ησλ ζεκείσλ ηνπ λέθνπο από ηελ επζεία ειαρηζηνπνηνύληαη (εμ νπ θαη επζεία ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ). Αξηζκεηηθό παξάδεηγκα: Γίλνληαη νη ηηκέο (, ), =,,, (Ύςνο θαη βάξνο αηόκσλ). ηνλ παξαθάησ πίλαθα ππνινγίδνπκε ηηο ηηκέο ησλ αζξνηζκάησλ ( ), ( ), ( ) θαη ( ) () X Y X XY Αζξνίζκαηα Με ηα αζξνίζκαηα ηνπ δηπιαλνύ πίλαθα κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηηο παξακέηξνπο α θαη β ηεο Δ.Δ.Σ.: 78 * 78 *89 78 *76 78,4 *78,4 8,5 Εσθύγραμμη παλινδρόμηζη EET Ύυος (cm) () Αο πξνζερζεί πσο νη πνζόηεηεο (Σ ) θαη (Σ ) είλαη ηειείσο δηαθνξεηηθέο. Εάλ γηα παξάδεηγκα =, = θαη = ηόηε (Σ ) = (++) = 6 (Σ ) = + + = 4 5

26 Α.7. Γηαλπζκαηηθή Αλάιπζε. Α.7.. Τπελζπκίζεηο. ην επίπεδν Ο, νξίδνπκε ηηο δηαλπζκαηηθέο κνλάδεο θαη j, ζηνπο άμνλεο ησλ θαη, αληίζηνηρα. Μία ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο: r(t) (t) (t) j όπνπ ην t είλαη ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή (ζπλήζσο ν ρξόλνο) ιέγεηαη δηαλπζκαηηθή ζπλάξηεζε θαη νξίδεη ηε ζέζε ελόο δηαλύζκαηνο r () ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ t. Ζ δηαλπζκαηηθή ζπλάξηεζε r (ζαλ δηαλπζκαηηθή αθηίλα) κε ηε ζεηξά ηεο νξίδεη κία θακπύιε c ηνπ επηπέδνπ. Ο ηξόπνο απηόο νξηζκνύ κηαο θακπύιεο ζην επίπεδν, ζαλ ζπλάξηεζεο ηνπ t είλαη ηδηαίηεξα βνιηθόο ζηελ πεξηγξαθή κηαο θίλεζεο ζην επίπεδν απηό. Δύθνια δηαπηζηώλνπκε πσο κε ηνλ ίδην ηξόπν κπνξεί λα νξηζηεί κηα θακπύιε ζην ρώξν ησλ ηξηώλ δηαζηάζεσλ, κε ηε κνξθή: r(t) (t) (t) j z(t)k όπνπ k είλαη ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ζηνλ άμνλα z. Ζ απόζηαζε ελόο ζεκείνπ ηεο θακπύιεο c από ην θέληξν Ο δίλεηαη από ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο r (δει. από ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα): j r(t) c r(t t) ρ. Α.7.. r r (t) (t) ηα Μαζεκαηηθά Η ππνινγίζακε ηηο παξαγώγνπο ηεο ζπλάξηεζεο απηήο: dr r dt t r lm lm t t t [(t t) (t)] [(t t) j (t)] j lm t (t t) (t t) j (t) (t) j t lm j t t t () Γηα ιόγνπο επθνιίαο γξαθήο αο καο επηηξέςεη ν αλαγλώζηεο λα δειώλνπκε έλα δηάλπζκα κε ηελ έληνλε γξαθή, ρσξίο ην θιαζζηθό βειάθη από πάλσ: r = r 6

27 r dr dt (t) (t) j όπνπ ε ηειεία ζπκβνιίδεη ηελ παξαγώγηζε σο πξνο ην ρξόλν (όπσο ν ηόλνο ηελ παξάγσγν σο πξνο ). Ξαλαγπξλώληαο ζην ζρήκα Α.7.. θαη ζθεπηόκελνη πσο ε παξάγσγνο ηεο δηαλπζκαηηθήο ζπλάξηεζεο r(t) πξνθύπηεη από ην όξην dr dt r lm t t αληηιακβαλόκαζηε πσο ε παξάγσγνο απηή είλαη έλα δηάλπζκα παξάιιειν θαη νκόξξνπν ηνπ δηαλύζκαηνο Γr, δειαδή έλα δηάλπζκα πνπ εθάπηεηαη ζηελ θακπύιε c πνπ νξίδεηαη από ηελ δηαλπζκαηηθή αθηίλα r(t). Μπνξνύκε ινηπόλ λα θαηαιήμνπκε ζηα παξαθάησ ζπκπεξάζκαηα: Ζ δηαλπζκαηηθή αθηίλα r(t) «ραξάζζεη» ζην επίπεδν Ο κηα θακπύιε c, ζαλ ζπλάξηεζε ηεο κεηαβιεηήο t, πνπ ζα κπνξνύζε λα πεξηγξάθεη ηελ θίλεζε ελόο ζεκείνπ πάλσ ζην επίπεδν απηό. Ζ παξάγσγνο ηεο r(t) είλαη κηα δηαλπζκαηηθή ζπλάξηεζε ε νπνία δίλεη ηελ ηαρύηεηα κε ηελ νπνία κεηαηνπίδεηαη ην ζεκείν πάλσ ζηελ θακπύιε c. Σν δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο εθάπηεηαη ζηελ θακπύιε c. Γειαδή ην δηάλπζκα (t ) εθάπηεηαη ζηελ θακπύιε c, ζην ζεκείν: (t ) r r Με όκνηα κέζνδν ππνινγίδεηαη ε δεύηεξε παξάγσγνο (ε παξάγσγνο ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο δηαλπζκαηηθήο ηαρύηεηαο): d r r dt (t) (t) j Ζ δεύηεξε παξάγσγνο πεξηγξάθεη ηελ επηηάρπλζε κε ηεο θίλεζεο ηεο νπνίαο ε δηαλπζκαηηθή ζπλάξηεζε r(t) απνηειεί ηε ζπλάξηεζε ζέζεο. Ηζρύνπλ δειαδή νη ζρέζεηο: πλάξηεζε ζέζεο: πλάξηεζε ηαρύηεηαο: πλάξηεζε επηηάρπλζεο: r(t) (t) (t) j r(t) (t) (t) j r(t) (t) (t) j 7

28 αλ παξάδεηγκα κπνξνύκε λα πάξνπκε ηε ζπλάξηεζε: r(t) (t) (t) j () ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε εκθαλίδεηαη ζην δηπιαλό γξάθεκα, όηαλ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή t νξίδεηαη ζην δηάζηεκα: [,,7π] r(t)=ημ(t) + ζσν(t) j,5 - -,5,5 -,5 - ηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ηελ πξώηε παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο απηήο: dr(t) / dt (t) (t) j ηεο νπνίαο ε γξαθηθή παξάζηαζε εκθαλίδεηαη δίπια θαη ελώ ζπκίδεη ηελ πξνεγνύκελε, μεθηλά θαη ηειεηώλεη ζε άιιν ζεκείν. dr/dt = ζσν(t) - ημ(t) j - -,5 -,5 - - Γωληαθή ηαρύηεηα. Πνιύ ρξήζηκν είλαη ην λα θαζνξίδεηαη ε γσληαθή ηαρύηεηα (σ) κε ηελ νπνία «γξάθεηαη» ε θακπύιε c, από ηελ επηβαηηθή αθηίλα r(t). Πξόθεηηαη γηα ηε γσλία ζ πνπ «γξάθεηαη» από ηελ επηβαηηθή αθηίλα ζηε κνλάδα ηνπ ρξόλνπ. πρλά ε γσληαθή ηαρύηεηα κεηαβάιιεηαη κε ηνλ ρξόλν, νπόηε είλαη ζπλάξηεζε ηνπ t (σ=σ(t)). Έηζη ε γσλία ζ ζηελ ηπραία ρξνληθή ζηηγκή t, δίλεηαη από ην άζξνηζκα ηεο αξρηθήο γσλίαο (ζ ) κε ην γηλόκελν ηνπ ρξόλνπ επί ηελ γσληαθή ηαρύηεηα: r(t) ζ ζ c ζ(t) = tσ(t) + ζ () Οη ζπλαξηήζεηο απηέο δίλνπλ ηα γλσζηά ζρήκαηα Lssajous. Οη θακπύιεο απηέο είλαη θιεηζηέο όηαλ ην θιάζκα ησλ θπθιηθώλ ζπρλνηήησλ ησλ δύν εκηηνλνεηδώλ ζπλαξηήζεσλ είλαη ξεηόο αξηζκόο. Αληίζεηα, εάλ ην θιάζκα απηό είλαη άξξεην, ηόηε ε θακπύιε απηή δελ «θιείλε»η πνηέ. 8

29 Παξάδεηγκα: Οκαιή θπθιηθή θίλεζε. Έλα πιηθό ζεκείν πνπ δηαγξάθεη ηελ πεξηθέξεηα ελόο θύθινπ, κε ζηαζεξή γσληαθή ηαρύηεηα (σ=ζη.), εθηειεί νκαιή θπθιηθή θίλεζε. Άξα ε γσλία ηεο επηβαηηθήο αθηίλαο δίλεηαη από ηε ζρέζε: ζ(t) = σt + ζ = σt (εάλ ζ =) Δάλ ινηπόλ R είλαη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ, ηόηε νη πξνβνιέο ζηνπο άμνλεο ησλ θαη, ηεο δηαλπζκαηηθήο αθηίλαο δίλνπλ ηελ δηαλπζκαηηθή εμίζσζε ηεο θίλεζεο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ: (t) r(t) ζ(t) (t) r(t) R[ ( t) ( t) j] () Ζ παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο απηήο, καο δίλεη ηελ δηαλπζκαηηθή ζπλάξηεζε πνπ πεξηγξάθεη ην δηάλπζκα ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο ελόο ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ θύθινπ: v(t) dr(t) / dt R[ ( t) ( t) j] R[ ( t) ( t) j] () R[ ( t ) ( t ) j] ηεο νπνίαο ην κέηξν ηζνύηαη κε v = σr, κε θαηεύζπλζε ε νπνία είλαη θάζεηε ζηελ θαηεύζπλζε ηεο δηαλπζκαηηθήο αθηίλαο r(t). Ζ θνξά ηεο εμαξηάηαη από ην πξόζεκν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο σ (). () Αμίδεη λα παξαηεξήζνπκε πσο ε πνζόηεηα [ ( t) ( t) j], είλαη ε έθθξαζε ηνπ κνλαδηαίνπ δηαλύζκαηνο ζηελ θαηεύζπλζε ζ=σt (πξάγκαηη είλαη δηάλπζκα ζηελ θαηεύζπλζε απηή ελώ ην κέηξν ηνπ είλαη ίζν κε ηε κνλάδα). () Φξεζηκνπνηήζεθαλ νη γλσζηέο ζρέζεηο ηεο Τξηγσλνκεηξίαο: εκζ = ζπλ(ζ-π/) θαη ζπλζ = -εκ(ζ-π/) () Υπνζέηνπκε πσο σ>, θαη ζ=σt. Τόηε ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο ζέζεο r(t) ζα είλαη ην e(ζ). Τν κνλαδηαίν ζηελ θαηεύζπλζε ζ-π/ είλαη ην: e(θ π ) συν(θ π ) ημ(θ π )j Τν κνλαδηαίν ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο ηεο ηαρύηεηαο είλαη ην δηάλπζκα e (ιόγσ ηνπ ζην ζπλεκίηνλν) e e( ) e( ) 9

30 Παξαγσγίδνληαο γηα δεύηεξε θνξά ηελ δηαλπζκαηηθή ζπλάξηεζε ζέζεο, ππνινγίδεηαη ε δηαλπζκαηηθή έθθξαζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο θίλεζεο: (t) d r(t) / dt R[ ( t) ( t) j] R [ ( t) ( t) j] ηεο νπνίαο ην κέηξν ηζνύηαη κε α = σ R, κε θαηεύζπλζε ε νπνία είλαη αληίζεηε ηεο θαηεύζπλζεο ηεο δηαλπζκαηηθήο αθηίλαο r(t), έρεη δειαδή θαηεύζπλζε πξνο ην θέληξν ηνπ θύθινπ θαη γη απηό θαιείηαη θεληξνκόινο επηηάρπλζε. Α.7.. Μήθνο ηόμνπ θακπύιεο (ππελζπκίζεωλ ζπλέρεηα ) () Η θακπύιε νξίδεηαη κε ηε βνήζεηα ηεο ζπλάξηεζεο =(). Σν ζηνηρεηώδεο κήθνο θακπύιεο ds δίλεηαη από ηε ζρέζε (Ππζαγόξεην Θ.): d () ds ds = d d d d d νπόηε ην κήθνο ηεο θακπύιεο c από ην a έσο ην b δίλεηαη από ην άζξνηζκα ησλ ds, δειαδή από ην νινθιήξσκα: a d b s b d d d ds a b a b a '() d () Η θακπύιε νξίδεηαη παξακεηξηθά. ηελ πεξίπησζε απηή ε θακπύιε νξίδεηαη κε ηε βνήζεηα ηεο δηαλπζκαηηθήο αθηίλαο: r(t) (t) (t) j c r(t ) ds r(t) Σώξα ην ζηνηρεηώδεο κήθνο ds, πνπ νξίδεηαη από ηηο δηαλπζκαηηθέο αθηίλεο: r(t) θαη r(t t)

31 ds r(t t) - r(t ) = (t t) (t) (t t) (t) j (t) (t) jdt Σν κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο ds: ds (t) (t) dt νπόηε ην ζπλνιηθό κήθνο ηεο θακπύιεο s ππνινγίδεηαη κε νινθιήξσζε: s t t ds t t (t) (t) dt Με όκνην αθξηβώο ηξόπν πξνθύπηεη θαη ην κήθνο θακπύιεο ζην ρώξν ησλ ηξηώλ δηαζηάζεσλ, ε νπνία νξίδεηαη από ηε δηαλπζκαηηθή αθηίλα: r(t) (t) (t) j z(t)k s t t (t) (t) z(t) dt Παξάδεηγκα: Να ππνινγηζζεί ην κήθνο ηνπ εκηθπθιίνπ ηνπ δηπιαλνύ γξαθήκαηνο.. () Με ηε ρξήζε ηεο εμίζωζεο ηνπ θύθινπ: Ωο γλσζηόλ ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ, αθηίλαο R είλαη ε: + = R O R θαη επεηδή καο ελδηαθέξεη ην άλσ ηκήκα ηνπ θύθινπ, γξάθνπκε: κε παξάγσγν: () R

32 '() R (R )' R R νπόηε ην νινθιήξσκα πνπ δίλεη ην κήθνο ηνπ ηόμνπ απηνύ γξάθεηαη: s R R '() d R R R d R R R R d R R R d R R du R (u) () R R u () ( ) R R () Με ηε ρξήζε ηεο δηαλπζκαηηθήο εμίζωζεο ηνπ θύθινπ: Δίδακε ήδε ηελ δηαλπζκαηηθή εμίζσζε ηνπ θύθινπ: νπόηε: s (t) r(t) (t) R (t) (t) j t[,π] dt R (t) R (t)dt R (t) (t)dt R dt R () Από ηε ζηηγκή πνπ αληηθαζηζηνύκε ηε κεηαβιεηή, ε νπνία παίξλεη ηηκέο από ην R έσο ην R, κε ηελ κεηαβιεηή u=/r, κεηαβάιινπκε θαη ηα όξηα αλάινγα. Πξάγκαηη ην u θπκαίλεηαη από ην έσο ην. Επίζεο ρξεζηκνπνηήζεθε ην γλσζηό αόξηζην νινθιήξσκα: d Τοξημ c