Äy t. -y t-1. =(1-L)y t. =y t
|
|
- Βαριησού Λούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 56 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ 2.9 ÔåëåóôÞò ÕóôÝñçóçò Óôçí áíüëõóç ôùí ñïíïëïãéêþí óåéñþí ñçóéìïðïéåßôáé óõ íü ï ôåëåóôþò õóôýñçóçò (lag operator) ï ïðïßïò äéåõêïëýíåé ôá ìýãéóôá ôç äéåîáãùãþ ôùí áëãåâñéêþí ðñüîåùí. Áõôüò óõìâïëßæåôáé ìå ôï ãñüììá L êáé ìåôáôïðßæåé ñïíéêü ðñïò ôá ðßóù ôç ìåôáâëçôþ ðïõ ðïëëáðëáóéüæåé, äçëáäþ /\ \ ÊáôÜ ôïí ßäéï ôñüðï /\ //\ /\ \ êáé ãåíéêü M /\ \ M j0,1,2... (2.22) Ðáñüìïéá ïé ðñþôåò äéáöïñýò ôçò y t ìðïñïýí íá ãñáöïýí ùò Äy t y t -y t-1 (1-L)y t Ìå ôïí ôåëåóôþ õóôýñçóçò ìðïñïýìå íá åêôåëýóïõìå êáíïíéêü üëåò ôéò áëãåâñéêýò ðñüîåéò. Ãéá ðáñüäåéãìá, ôï õðüäåéãìá $5ðïõ ïñßóáìå óôçí (2.16) ãñüöåôáé ùò Þ i/ \ n \ i/ n i/ n 1 6 (2.22á) óôçí ïðïßá, ãéá i <, ï üñïò (1-áL) -1 ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò ôï üñéï ìéáò ãåùìåôñéêþò ðñïüäïõ áðåßñïõ ôüîåùò, ïðüôå êáé Üñá 1 i/ 6 + i/ + i / + M M \ i/n M M M in M (2.22â)
2 ÓÕÃ ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 57 Ç ó Ýóç áõôþ åßíáé ßäéá ìå ôç (2.17á) êáé áðïôåëåß ìéá ìïñöþ êéíçôþí ìýóùí (ÌÁ) ôïõ AR(1) õðïäåßãìáôïò, üðùò èá äïýìå ðéï äéåîïäéêü óå åðüìåíç åíüôçôá Áõôïðáëßíäñïìï Õðüäåéãìá ÄåõôÝñáò ÔÜîåùò, AR(2) H ãåíéêþ ìïñöþ ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò åßíáé óýìöùíá ìå ôç (2.13): l+ i + i + n (2.23) Þ ãéá ñïíïëïãéêþ óåéñü y t ìå ìýóï ìçäýí: \ i \ + i \ + n (2.23á) üðïõ ôá ìéêñü ãñüììáôá y t äçëþíïõí áðïêëßóåéò áðü ôï ìýóï. Áêïëïõèþíôáò ôçí ßäéá äéáäéêáóßá üðùò ðñïçãïýìåíá ãéá ôï AR(1), âñßóêïõìå üôé ï ìýóïò åßíáé: u l i i (2.24á) Ãéá íá åßíáé ðåðåñáóìýíïò ï ìýóïò ì, ç ó Ýóç (2.24á) óõíåðüãåôáé üôé èá ðñýðåé á 1 +á 2 <1 ÁõôÞ áðïôåëåß êáé ìéá ðñþôç óõíèþêç ãéá ôçí óôáóéìüôçôá ôçò óåéñüò y t. Ãéá ôç äéáêýìáíóç èá Ý ïõìå: m ( \ ( \ i \ + i \ + n im + i m y n (2.24â) Ïw}\ < uripy n ( n ðïõ ðñïýêõøå áðü áíôéêáôüóôáóç ôïõ y t óôçí áíáìåíüìåíç ôéìþ c \n (n. ñçóéìïðïéþíôáò ôïí ïñéóìü ôïõ
3 58 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ ôåëåóôþ õóôýñçóçò (2.22), ôï AR(2) õðüäåéãìá ãñüöåôáé ùò i/ i / \ n (2.25) Þ ïñßæïíôáò ôï ðïëõþíõìï ôïõ L óôçí ðáñýíèåóç ùò Á(L), ç (2.25) ëáìâüíåé ôç óõíïðôéêþ ìïñöþ: 16 $/\ n Áí åîéóþóïõìå ôï áñéóôåñü ìýëïò ìå ôï ìçäýí ôüôå Ý ïõìå ôçí ïìïãåíþ ìïñöþ ôçò åîßóùóçò äéáöïñþí (difference equation) ðïõ ïñßæåé ç (2.25). Ç ëýóç ôçò åîßóùóçò áõôþò åîáñôüôáé áðü ôéò ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò (characteristic equation): ; i ; i (2.25á) ÁõôÞ åßíáé ìéá äåõôåñïâüèìéá åîßóùóç ïé ñßæåò ôéò ïðïßáò, Ýóôù s êáé s, éêáíïðïéïýí ôç óõíèþêç: (X - ë 1 ) ( - ë 2 ) 0 êáé óõíäýïíôáé ìå ôéò ðáñáìýôñïõò á ùò åîþò: ë 1 + ë 2 á 1 êáé ë 1 ë 2 - á 2 Ïé ñßæåò ôçò äåõôåñïâüèìéáò åîßóùóçò (2.25á) õðïëïãßæïíôáé áðü ôïí ãíùóôü ôýðï: 4 9 (2.25â) s s i ± i + i Ïé ñßæåò áõôýò ìðïñåß íá åßíáé åßôå ðñáãìáôéêýò åßôå ìéãáäéêýò áíüëïãá ìå ôï áí ç äéáêñßíïõóá (ç ðïóüôçôá êüôù áðü ôï ñéæéêü) åßíáé èåôéêþ Þ áñíçôéêþ áíôßóôïé á. Áðïäåéêíýåôáé üôé ãéá ôçí ýðáñîç óôáóéìüôçôáò ôçò ñïíïëïãéêþò óåéñüò ïé ñßæåò (2.25â) ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò (2.25á) èá ðñýðåé íá
4 ÓÕà ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 59 åßíáé ñßæåò ìéêñüôåñåò ôçò ìïíüäáò óå áðüëõôåò ôéìýò ë 1 <1 êáé ë 2 <1 (2.25ã) Ïé óõíèþêåò áõôýò ðñïêýðôïõí êáô áíáëïãßá ðñïò ôá AR(1) õðïäåßãìáôá. Ãéá íá ôï äåßîïõìå áõôü ðñïâáßíïõìå ðñþôá óå ðáñáãïíôïðïßçóç ôïõ ðïëõùíýìïõ A(L) ôçò 2.25: $/ i/ i/ s/ s/ (2.25ä) üðïõ ë 1 êáé ë 2 åßíáé ïé ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò (2.25á). ÅíáëëáêôéêÜ ç (2.25ä) ðñïêýðôåé áí èýóïõìå óôç (2.25á) üðïõ 1/L êáé ðïëëáðëáóéüóïõìå êáôü ìýëç ìå L 2. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò êáôü ìýëç ôç (2.25) ìå ôï áíôßóôñïöï ðïëõþíõìï A(L) -1 ëáìâüíïõìå: \ $ / n 16 s/ s / n u s/ n Y s/ n üðïõ ì - ë 1 /(ë 2 - ë 1 ) êáé v ë 2 /(ë 2 - ë 1 ). Óõãêñßíïíôáò ôçí ôåëåõôáßá ó Ýóç ìå ôçí áíôßóôïé ç (2.22á) ôïõ AR(1) õðïäåßãìáôïò, óõìðåñáßíïõìå üôé ãéá ôç óôáóéìüôçôá ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò áðáéôïýíôáé ïé óõíèþêåò (2.25ã), äçëáäþ üôé ïé ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò íá åßíáé ìéêñüôåñåò ôçò ìïíüäáò óå áðüëõôåò ôéìýò Þ üðùò óõíçèßæåôáé íá ëýãåôáé èá ðñýðåé íá âñßóêïíôáé åíôüò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ (within the unit circle). ÌåñéêÝò öïñýò ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò äéáôõðþíïíôáé óå ó Ýóç ìå ôï ðïëõþíõìï (2.25ä). ÅðåéäÞ ïé ñßæåò ôïõ ðïëõùíýìïõ áõôïý åßíáé 1/ë 1, 1/ë 2 êáé áöïý ç óôáóéìüôçôá åðéâüëëåé s < s < ìðïñïýìå åíáëëáêôéêü íá ëýìå üôé ïé ñßæåò ôïõ Á(L) èá ðñýðåé íá âñßóêïíôáé åêôüò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ (outside the unit circle).
5 60 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ Ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò (2.25ã) óõíåðüãïíôáé ôïõò åîþò ðåñéïñéóìïýò ãéá ôéò ôéìýò ôùí ðáñáìýôñùí á 1 êáé á 2 ðïõ õðåéóýñ ïíôáé óôïí õðïëïãéóìü ôùí ñéæþí ë 1 êáé ë 2 : á 1 + á 2 <1 á 2 - á 1 <1 (2.26) á 2 <1 Ïé óõíèþêåò (2.26) áðïôåëïýí ôéò óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò. ÅíáëëáêôéêÜ ïé åðéôñåðüìåíåò ôéìýò ôùí á 1 êáé á 2 êáèïñßæïíôáé áðü ôïí ãåùìåôñéêü ôüðï üëùí ôùí óçìåßùí ðïõ âñßóêïíôáé ìýóá óôï ôñßãùíï Áàôïõ ðáñáêüôù ó Þìáôïò. ÄéÜãñáììá 2.6 ÓõíèÞêåò Óôáóéìüôçôáò AR(2) Õðïäåßãìáôïò i $ i % Ôï ôüîï ÁÆ åßíáé ôï üñéï ðïõ äéá ùñßæåé ôçí ðåñéï Þ üðïõ ïé ñßæåò åßíáé ðñáãìáôéêýò áðü áõôþí ôùí öáíôáóôéêþí. ôóé üëá ôá óçìåßá ðüíù óôï ôüîï ÁÆ áíôéóôïé ïýí óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç äéáêñßíïõóá b i + i åßíáé ìçäýí (Ä0), ç ðåñéï Þ ðüíù áðü ôï ôüîï êáé ìýóá óôï üñéï ðïõ êáèïñßæïõí ïé åõèåßåò Áà êáé àáíôéóôïé åß óôçí ðåñßðôùóç ôùí ðñáãìáôéêþí ñéæþí (Ä>0). ÔÝëïò, ç ðåñéï Þ êüôù áðü ôï ôüîï êáé ðüíù áðü ôï åõèýãñáììï ôìþìá Á áíôéóôïé åß óôçí ðåñßðôùóç ôùí ìéãáäéêþí ñéæþí (Ä<0).
6 ÓÕÃ ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 61 Óõíïøßæïíôáò, ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò å- ðéâüëëïõí ðåñéïñéóìïýò óôéò ðáñáìýôñïõò i êáé i ôïõ áõôïðáëßíäñïìïõ õðïäåßãìáôïò ïé ïðïßïé äéáóöáëßæïíôáé üôáí ïé ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ áíôéóôïé åß óôï AR(2) åßíáé üëåò åíôüò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ, äçëáäþ ìýóá óôïí ôñéãùíéêü þñï ÁÃÂ Áõôïðáëßíäñïìï Õðüäåéãìá AR(p) ÔÜîåùò Ç ãåíéêþ ìïñöþ åíüò áõôïðáëßíäñïìïõ õðïäåßãìáôïò p ôüîåùò ïñßóôçêå óôç (2.13) êáé ìðïñåß íá åêöñáóôåß óå üñïõò ôïõ ôåëåóôþ õóôýñçóçò (2.22) ùò åîþò: S i/ i / \ n üðïõ ôï \ åêöñüæåôáé óå áðïêëßóåéò áðü ôïõò ìýóïõò, äçëáäþ \ ( u l i i is ìå âüóç ôçí (2.24á). Ðáñüìïéá ìå ôï AR(2) õðüäåéãìá, ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò ãéá ôï ÁR(p) õðüäåéãìá ðñïóäéïñßæïíôáé áðü ôéò ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò S S S ; i ; i (2.27) ôóé ãéá íá åßíáé óôüóéìï Ýíá AR(p) õðüäåéãìá èá ðñýðåé ïé ñßæåò ôçò ðáñáðüíù áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò íá åßíáé üëåò ìéêñüôåñåò ôçò ìïíüäáò óå áðüëõôåò ôéìýò Þ áëëéþò íá âñßóêïíôáé üëåò ìýóá óôï ìïíáäéáßï êýêëï 4. Óôç âéâëéïãñáößá õðüñ åé êáé Ýíáò åíáëëáêôéêüò ôñüðïò ðñïóäéïñéóìïý ôùí óõíèçêþí óôáóéìüôçôáò. Áõôüò âáóßæåôáé óôï ðïëõþíõìï ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôï (2.27) áí áíôéêáôáóôþóïõìå ôï ìå 1/L êáé ìåôü ðïëëáðëáóéüóïõìå êáôü ìýëç ôçí åîßóùóç ìå / S ïðüôå ëáìâüíïõìå ôï ðïëõþíõìï: S S i/ i / (2.27á) S 4 Ãéá ðåñéóóüôåñåò ëåðôïìýñåéåò óôï èýìá ôùí óõíèçêþí óôáóéìüôçôáò ôùí AR(p) õðïäåéãìüôùí âëýðå Box, Jenkins and Reinsel (1994), Hamilton (1994), Enders (1995) ê.á.
7 62 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ Ãéá ôç óôáóéìüôçôá ôïõ AR(p) õðïäåßãìáôïò óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èá ðñýðåé íá éó ýåé ç áíôßóôñïöç ôçò ðñïçãïýìåíçò óõíèþêçò, äçëáäþ ïé ñßæåò ôïõ ðïëõùíýìïõ (2.27á) íá åßíáé üëåò ìåãáëýôåñåò ôçò ìïíüäáò óå áðüëõôåò ôéìýò Þ áëëéþò íá âñßóêïíôáé Ýîù áðü ôï ìïíáäéáßï êýêëï. ÅðïìÝíùò ñåéüæåôáé ðñïóï Þ óå ó Ýóç ìå ôï ðïéü ìïñöþ ðïëõþíõìïõ [(2.27) Þ (2.27á)] åðéëýãåé êáíåßò ðñïêåéìýíïõ íá äéáôõðþóåé ôéò óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò ÓõíáñôÞóåéò Áõôïóõó Ýôéóçò ãéá Õðïäåßãìáôá ÌïñöÞò AR Ç óõíüñôçóç áõôïóõó Ýôéóçò ãéá ôï AR(1) õðüäåéãìá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç (2. 21á). Ãéá ôï AR(2) õðüäåéãìá ïé áõôïóõó åôßóåéò õðïëïãßæïíôáé åýêïëá áêïëïõèþíôáò ôçí åîþò äéáäéêáóßá. Áðü ôï õðüäåéãìá (2.23á) ðïëëáðëáóéüæïíôáò ìå \, \ Þ ãåíéêü \ N êáé ðáßñíïíôáò áíáìåíüìåíåò ôéìýò ðñïêýðôïõí ïé óõíäéáêõìüíóåéò: m ( \ \ N N (\ i\ + i \ + n N im + i m 1 6 N N êáèüóïí ìå âüóç ôçí (2.19á) (\ Nn mpi N (2.28) Äéáéñþíôáò ìå ã 0 ëáìâüíïõìå ôç óõíüñôçóç áõôïóõó Ýôéóçò ùò óõíüñôçóç ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò: x i x + i x N (2.29) N N N ôóé ãéá k1,2 ëáìâüíïõìå ôéò äýï ðñþôåò áõôïóõó åôßóåéò ñ 1 êáé ñ 2 : x i + i x x i x + i
8 ÓÕà ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 63 ïðüôå ëýíïíôáò ùò ðñïò ñ 1 êáé ñ 2 Ý ïõìå åêöñüóåé ôïõò óõíôåëåóôýò áõôïóõó Ýôéóçò óå üñïõò ôùí áõôïðáëéíäñïìéêþí óõíôåëåóôþí á 1 êáé á 2 : x i i i êáé x i + (2.29á) i Oé õðüëïéðïé óõíôåëåóôýò áõôïóõó Ýôéóçò ñ k, k>2 õðïëïãßæïíôáé ìå âüóç ôç ó Ýóç (2.28) ñçóéìïðïéþíôáò ôéò ôéìýò ôùí ñ 1 êáé ñ 2 áðü ôçí (2.29á). Ðáñüìïéá ìå ôá ÁR(2) õðïäåßãìáôá, ìðïñïýìå íá åêöñüóïõìå ôïõò óõíôåëåóôýò áõôïóõó Ýôéóçò xn N S åíüò AR(p) õðïäåßãìáôïò óå üñïõò ôùí áõôïðáëéíäñïìéêþí óõíôåëåóôþí ill S. Ïé ó Ýóåéò áõôýò åßíáé ãíùóôýò ùò åîéóþóåéò ôùí Yule-alker êáé, üðùò áðïäåéêíýåôáé óôï ÐáñÜñôçìá Á ðïõ ðáñáôßèåôáé óôï ôýëïò ôïõ âéâëßïõ, ðñïêýðôïõí ëýíïíôáò ôï óýóôçìá ôùí åîéóþóåùí: xn ixn + ixn + + isxn SN S (2.30) ÅðïìÝíùò ç ìïñöþ ôçò óõíüñôçóçò áõôïóõó Ýôéóçò åíüò AR(p) õ- ðïäåßãìáôïò åîáñôüôáé áðü ôéò ôéìýò ðïõ ëáìâüíïõí ïé ðáñüìåôñïé ôïõ áõôïðáëßíäñïìïõ õðïäåßãìáôïò á 1, á 2,...,á p. ¼ðùò Ý åé äåé èåß ãéá ôï AR(2) õðüäåéãìá áí ïé ðáñüìåôñïé ðëçñïýí ôéò óõíèþêåò (2.26) ôüôå ç óåéñü Y t åßíáé óôüóéìç. Ïé óõíèþêåò áõôýò äéáóöáëßæïõí êáé ôçí ðïñåßá ôùí ñ ê. ÐñÜãìáôé ç åîßóùóç (2.29) [Þ ãåíéêü ç (2.30] áðïôåëåß ìéá åîßóùóç äéáöïñþí, ç ãåíéêþ ëýóç ôçò ïðïßáò åîáñôüôáé áðü ôéò ñßæåò ôçò áñáêôçñéóôéêþò åîßóùóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ Á(L): (1 -á 1 L - á 2 L 2 ) ñ ê A (L)ñ ê 0 Ôï ðïëõþíõìï üìùò áõôü åßíáé ßäéï ìå áõôü ôçò åîßóùóçò (2.25) êáé Üñá ïé ñßæåò ôïõ, ðïõ åßíáé óõíüñôçóç ôùí á 1 êáé á 2, ðñïóäéïñßæïõí êáé ôéò ôéìýò ôùí ñ k, k1,2,... Ãéá óôüóéìç óåéñü áõôýò èá êåßíôáé åíôüò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ êáé åðïìýíùò ç áêïëïõèßá ôéìþí ôçò ñ k èá óõãêëßíåé åßôå ãåùìåôñéêü áí ïé ñßæåò åßíáé ðñáãìáôéêýò, åßôå ìå êõìáôïåéäþ (çìéôïíïåéäþ) ôñüðï áí áõôýò åßíáé ìéãáäéêýò. ôóé áí i + i, ïé ñßæåò åßíáé ðñáãìáôéêýò êáé ç ñ k Ý åé ìéá ìïñöþ öèßíïõóáò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò. Åéäéêü-
9 64 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ ôåñá óôçí ðåñéï Þ 2 ôïõ ôñéãþíïõ Áàóôï ÄéÜãñáììá 2.6 äåóðüæåé ç èåôéêþ ñßæá êáé Ýôóé ç ñ k ðáñáìýíåé èåôéêþ üðùò êáé ç ö kk, åíþ óôçí ðåñéï Þ 1 äåóðüæåé ç áñíçôéêþ ìå áðïôýëåóìá ïé ñ k êáé ö íá åíáëëüóóïõí ðñüóçìá. kk Áí ôï i + i <, ïé ñßæåò åßíáé ìéãáäéêýò êáé öèßíïõí ìå êõìáôïåéäþ ìïñöþ. Éäéáßôåñá óôçí ðåñéï Þ 4 ôïõ ôñéãþíïõ Áàç ñ k öèßíåé îåêéíþíôáò ìå èåôéêþ ôéìþ, åíþ óôçí ðåñéï Þ 3 áëëüæåé ðñüóçìï áðü ôï ñ 0 óôï ñ 1. Ïé ðåñéðôþóåéò áõôýò ðáñïõóéüæïíôáé óôï ÄéÜãñáììá 2.6á êáôü ðåñéï Þ. Ãåíéêåýïíôáò ç óõíüñôçóç áõôïóõó Ýôéóçò ñ k åíüò áõôïðáëßíäñïìïõ õðïäåßãìáôïò äåõôýñáò Þ áíùôýñáò ôüîçò èá öèßíåé óôáäéáêü ðñïò ôï ìçäýí êáèþò ôï k ìåãáëþíåé åöüóïí ðëçñïýíôáé ïé óõíèþêåò óôáóéìüôçôáò. Ç óõíüñôçóç áõôþ èá áðïôåëåß ìéá ãåùìåôñéêü öèßíïõóá êáìðýëç Þ Ýíá óýíïëï êáìðõëþí ìå öèßíïõóá ðïñåßá äçëáäþ èá Ý åé ìéá çìéôïíïåéäþ ìïñöþ (âëýðå ÄéÜãñáììá 2.7 óôçí åíüôçôá 2.18 ðáñáêüôù). Oé óõíôåëåóôýò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò ö kk, k1,2... ìðïñïýí íá åêôéìçèïýí áðü áõôïðáëßíäñïìá õðïäåßãìáôá áýîïõóáò ôüîåùò üðùò åëý èç ðñïçãïýìåíá [(âëýðå ó Ýóç 2.9)]. ôóé ãéá ðáñüäåéãìá, ãéá íá åêôéìþóïõìå ôïí óõíôåëåóôþ p ôüîåùò, ö pp, åêôéìïýìå Ýíá AR(p) õðüäåéãìá êáé åîéóþíïõìå ôçí åêôßìçóç ôïõ óõíôåëåóôþ á p ôçò õóôýñçóçò ôïõ Y t-p ìå ôïí óõíôåëåóôþ áõôü. Óôçí ðñüîç üìùò äéåõêïëýíåé íá õðïëïãßæïõìå ôïõò óõíôåëåóôýò ϕ NN óå üñïõò ôùí óõíôåëåóôþí áõôïóõó Ýôéóçò x N åðéëýïíôáò ôï ðáñáðüíù óýóôçìá (2.30) ôùí Yule-alker åîéóþóåùí äéáäï éêü ãéá k1,2,..,p. ÐñÜãìáôé, îåêéíþíôáò áðü ôï k1, ï ðñþôïò óõíôåëåóôþò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò ö 11 äåí åßíáé Üëëïò áðü ôï óõíôåëåóôþ ñ 1 áöïý äåí ðáñåìâüëëïíôáé Üëëåò õóôåñþóåéò ìåôáîý Õ t êáé Õ t-1. ñá: ö 11 á 1 ñ 1 Ãéá ôçí åêôßìçóç ôïõ ö 22 ëýíïõìå ôï óýóôçìá ôùí åîéóþóåùí (2.30) ãéá k1,2. Ëýíïíôáò ùò ðñïò á 2 ôï óýóôçìá ôùí äýï áõôþí åîéóþóåùí ëáìâüíïõìå ôï æçôïýìåíï óõíôåëåóôþ: i x x x (2.31) Ãéá ôï ö 33 ëýíïõìå ôï óýóôçìá ôùí Yule-alker åîéóþóåùí ãéá k1,2
10 ÓÕà ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 65 ÄéÜãñáììá 2.6á ÓõíáñôÞóåéò Áõôïóõó Ýôéóçò êáé ÌåñéêÞò Áõôïóõó Ýôéóçò ôïõ AR(2) õlp ove õlp ove Ýk kk Ýk kk õlp ove õlp ove Ýk kk Ýk kk
11 66 ÓÏÖÉÁ ÄÇÌÅËÇ êáé 3, ïðüôå ç ëýóç ùò ðñïò á 3 äßíåé ôïí óõíôåëåóôþ ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò ôñßôçò ôüîåùò. Ìå áíüëïãï ôñüðï õðïëïãßæïõìå êáé ôïõò õðüëïéðïõò óõíôåëåóôýò, üðùò ðåñéãñüöåôáé óôï ÐáñÜñôçìá Á ðïõ ðáñáôßèåôáé óôï ôýëïò ôïõ âéâëßïõ. Åäþ èá ðñýðåé íá ðáñáôçñþóïõìå ôá åîþò. Áí ôï ðñáãìáôéêü õðüäåéãìá åßíáé, Ýóôù AR(2), ôüôå åßíáé ðñïöáíýò üôé ïé áëçèéíïß óõíôåëåóôýò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò áðü ôçí ôñßôç ôüîç êáé ðüíù èá åßíáé ìçäýí äçëáäþ, êáé ãåíéêü NN ãéá k>2. Ðáñüìïéá ãéá Ýíá AR(3) õðüäåéãìá, ïé óõíôåëåóôýò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò èá ìçäåíßæïíôáé ãéá ôüîç ìåãáëýôåñç áðü ôñßá, ôçí ôüîç ôïõ õðïäåßãìáôïò. Âåâáßùò èá ðñýðåé íá åðéóçìüíïõìå êáé ðüëé üôé áõôü éó ýïõí óôïí ðëçèõóìü êáé Üñá ïé äåéãìáôéêýò ôéìýò ôùí ö kk äåí ðñüêåéôáé íá ëáìâüíïõí ðïôý áêñéâþò ôçí ìçäåíéêþ ôéìþ. ÁíáìÝíïõìå üìùò üôé ïé ôéìýò áõôýò, äåí èá äéáöýñïõí óôáôéóôéêü óçìáíôéêü áðü ôï ìçäýí ãéá k>p, ôçí ôüîç ôïõ áëçèéíïý AR(p) õðïäåßãìáôïò óôïí ðëçèõóìü. ÔÝëïò, åßíáé óçìáíôéêü íá ãßíåé óáöþò ç äéüêñéóç ìåôáîý ôùí óõíôåëåóôþí áõôïóõó Ýôéóçò êáé ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò. Ãéá ðáñüäåéãìá, óå Ýíá AR(2) õðüäåéãìá ãßíåôáé óõó Ýôéóç ôçò Y t ìå ôéò äýï ðñþôåò õóôåñþóåéò ôçò Y t-1 êáé Y t-2. Aõôü äåí óçìáßíåé üôé ç Y t äåí óõó åôßæåôáé ìå ôçí Y t-3 Þ ôéò åðüìåíåò õóôåñþóåéò, åðåéäþ äåí õðåéóýñ ïíôáé Üìåóá óôçí åîßóùóç (2.23) ôïõ AR(2) õðïäåßãìáôïò. ÌÜëéóôá ï óõíôåëåóôþò áõôïóõó Ýôéóçò ìåôáîý Y t êáé Y t-3 äçëáäþ óôçí ðñïêåéìýíç ðåñßðôùóç ï ñ 3 éóïýôáé ìå âüóç ôçí (2.28) ìå ñ 3 á 1 ñ 2 + á 2 ñ 1 Ç ìåñéêþ üìùò óõó Ýôéóç ìåôáîý Õ t êáé Y t-3 (ëáìâüíïíôáò äçëáäþ õ- ðüøç êáé ôéò åíäéüìåóåò óõó åôßóåéò ìå Y t-1 êáé Y t-2 ), èá åßíáé ìçäýí. Ôï ßäéï óõìâáßíåé êáé ìå üëåò ôéò ìåñéêýò óõó åôßóåéò ìåôáîý Y t êáé õóôåñþóåùí ôïõ Õ t ôüîçò ìåãáëýôåñçò ôïõ äýï. Ãé áõôü êáé óôá AR(p) õðïäåßãìáôá, üðùò äåßîáìå, ïé óõíôåëåóôýò áõôïóõó Ýôéóçò ñ k öèßíïõí áëëü ðïôý äåí ìçäåíßæïíôáé ãéá k>p, óå áíôßèåóç ìå ôïõò ö kk ïé ïðïßïé ëáìâüíïõí ìçäåíéêþ ôéìþ ìåôü ôçí ôüîç p ôïõ õðïäåßãìáôïò.
12 ÓÕà ÑÏÍÅÓ ÌÅÈÏÄÏÉ ÁÍÁËÕÓÇÓ ÑÏÍÏËÏÃÉÊÙÍ ÓÅÉÑÙÍ 67 ÅðïìÝíùò, óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá, ãéá ìéá äéáäéêáóßá AR(p) ïé áõôïóõó åôßóåéò x M öèßíïõí ãåùìåôñéêü Þ êõìáôéóôü áðü ôï x S, åíþ ïé óõíôåëåóôýò ìåñéêþò áõôïóõó Ýôéóçò åßíáé ìçäýí ìåôü ôï ϕ SS üðùò óõíïøßæåôáé êáé óôïí Ðßíáêá 2.4 ðáñáêüôù Õðïäåßãìáôá Êéíçôþí ÌÝóùí, MA H ãåíéêþ ìïñöþ åíüò õðïäåßãìáôïò êéíçôþí ìýóùí åßíáé ç åîþò: < u+ n q n q n (2.32) T T üðïõ ôá è åßíáé óôáèåñïß ðáñüìåôñïé êáé å t åßíáé ëåõêüò èüñõâïò. Óôï õðüäåéãìá áõôü õðïèýôïõìå üôé ç ñïíïëïãéêþ óåéñü Y t äçìéïõñãåßôáé ùò Ýíáò óôáèìéêüò ìýóïò ôùí ôõ áßùí óöáëìüôùí ôùí q ðñïçãïýìåíùí ðåñéüäùí êáé ïíïìüæåôáé õðüäåéãìá êéíçôþí ìýóùí (moving average) ôüîåùò q, óõìâïëéæüìåíï ùò MA(q). Óçìåéþóôå üôé ï üñïò êéíçôüò ìýóïò äåí áíôáðïêñßíåôáé óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, ãéáôß ïé óôáèìßóåéò äåí Ý ïõí Üèñïéóìá ôç ìïíüäá. Ðáßñíïíôáò ôçí áíáìåíüìåíç ôéìþ ôçò (2.32) âñßóêïõìå üôé ï ìýóïò ôçò Y t éóïýôáé ìå ì áöïý, ìå âüóç ôéò éäéüôçôåò ôïõ ëåõêïý èïñýâïõ, (n (n (n T Ãé áõôü ôï ÌÁ(q) õðüäåéãìá ãñüöåôáé êáé ùò \ < u n q n q Tn T (2.33) Ç äéáêýìáíóç ôçò Õ t õðïëïãßæåôáé åýêïëá ùò T T 1 6 n3 T8 m YDU< ( < u ( n + q (n + + q (n q cnn (2.34) y + q + + q
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότεραÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï
ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï Óôï ìüèçìá áõôü èá áó ïëçèïýìå ìå ôñßá áíôéêåßìåíá. Ðñþôïí, èá ðáñïõóéüóïõìå åðß ôñï Üäçí ìåñéêü âáóéêü ìáèçìáôéêü åñãáëåßá ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá êáôü ôçí áíüëõóç ôùí áëãïñßèìùí.
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότερα6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ
ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ
ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç
Διαβάστε περισσότεραËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç
8 ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç Ðåñéå üìåíá Êåöáëáßïõ 8.1 ÅéóáãùãÞ......................... 162 8.2 ÂáóéêÝò ííïéåò ÃñáììéêÞò ëãåâñáò........ 163 8.2.1 Ðßíáêåò êáé Äéáíýóìáôá................ 163 8.2.2
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότεραÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå Äåéãìáôïëçøßá
ÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå Äåéãìáôïëçøßá óêçóç.0 (Åêôüò Âéâëßïõ) óôù x n cos(π k mn) üðïõ k êáé m ðñþôïé ìåôáîý ôïõò. Íá âñåèåß ç óõíèþêç ðïõ åîáóöáëßæåé ôçí ðåñéïäéêüôçôá ôïõ óþìáôïò x n. Ëýóç: Åßíáé ãíùóôü üôé
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότεραÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò
ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραÅñãáóôçñéáêÞ óêçóç ÔïðïèÝôçóç ðüëùí
ÅñãáóôçñéáêÞ óêçóç ÔïðïèÝôçóç ðüëùí Ðåñéå üìåíá 1 ÅéóáãùãÞ i 1.1 Óêïðüò................ i 1.2 ÐåéñáìáôéêÞ ÄéÜôáîç......... i 1.3 Äéáäéêáóßá ôçò ÅñãáóôçñéáêÞò óêçóçò................ i 2 ÂáóéêÝò Ýííïéåò
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head
Διαβάστε περισσότεραÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ
ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
Διαβάστε περισσότεραÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Διαβάστε περισσότεραÊÅÖÁËÁÉÏ 4 ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 4 ÅËÅÃ ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ 4.1 ÃÅÍÉÊÁ Ìå ôïí ôßôëï "Ýëåã ïò êáëþò ðñïóáñìïãþò" (goodness-of-fit) åííïïýìå ôçí äéáäéêáóßá (Þ ôéò äéáäéêáóßåò) åêåßíåò ìå ôéò ïðïßåò ìðïñïýìå íá åëýãîïõìå áí ôá
Διαβάστε περισσότερα