ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí

Transcript

1 165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò ìåôñéêýò d(m,n= d(m,n= ( - +( -, (Åõêëåßäåéï ìýôñï 1 1 d(m,n=ma( 1 -, 1 -, üðïõ Ì=( 1, 1, N(, äõï óçìåßá ôïõ R. ÁíÜëïãá ïñßæåôáé ôï ìýôñï êáé óôïõò þñïõò R v * ÐñáãìáôéêÞ óõíüñôçóç äõï ìåôáâëçôþí åßíáé ìéá áðåéêüíéóç, ç ïðïßá, óå êüèå æåýãïò ðáñáãìáôéêþí áñéèìþí, áíôéóôïé åß Ýíá áñéèìü, äçë. f : A R R (, =f(, Êáëïýìå óõíüñôçóç f ïñéóìýíç óôï Ù ÁÂR ìå ôéìýò åíôüò ôïõ à R,ìéá äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßá óå êüèå äéáôåôáãìýíï æåýãïò (, Ù áíôéóôïé åßôáé Ýíá óôïé åßï Ã. Ôï óôïé åßï, áíôßóôïé ï ôïõ æåýãïõò (,, ôï óõìâïëßæïõìå f(,, äçë. =f(,. Åöüóïí ïé, åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, ï áñéèìüò ëýìå üôé åßíáé óõíüñôçóç ôùí,. Eöüóïí ôá, äéáôñý ïõí ôï Ù, ôï Ì(,, ãñüöåé êáôü êáíüíá ìéá åðéöüíåéá ôïõ þñïõ ôùí ôñéþí äéáóôüóåùí (ó Þìá. Óõ íü ëýìå üôé ôï åßíáé óõíüñôçóç ôïõ óçìåßïõ Ì êáé ãñüöïõìå =f(ì. * Ðåäßï ïñéóìïý ÓõãêåêñéìÝíá ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíüñôçóçò êáèïñßæåôáé, óôéò áðëïýóôåñåò ðåñéðôþóåéò, üôáí á. ïé õðüññéæåò ðáñáóôüóåéò äåí ãßíïíôáé áñíçôéêýò, Óõ íü óõìâïëßæïõìå ôï ìýôñï ìå ôï óýìâïëï ÐïëõùíõìéêÞ óõíüñôçóç äõï ìåôáâëçôþí åßíáé ìéá óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò i j = áij, ïðïõ i+j=v. i, j=0,1,,,v ÑçôÞ óõíüñôçóç äõï ìåôáâëçôþí P(, Q(, üðïõ P(,, Q(, åßíáé ðïëõþíõìá äõï ìåôáâëçôþí Ó Þìá M =f(, ä Ù ã m(, á â 165

2 166 Ìáèçìáôéêü Åãêüëðéï Éäéüôçôåò á. Ôï üñéï ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ðñáãìáôéêýò ìåôáâëçôýò ïñßæåôáé ìïíüôéìá. â. Ôï üñéï ôïõ áèñïßóìáôïò äõï óõíáñôþóåùí åßíáé ßóï ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ïñßùí ôùí äýï óõíáñôþóåùí, åöüóïí õðüñ- ïõí ôá üñéá áõôü. Óçìåéþíåôáé üôé åßíáé äõíáôü ôï üñéï ôïõ áèñïßóìáôïò äõï óõíáñôþóåùí íá õðüñ åé ùñßò õðï ñåùôéêü íá õðüñ ïõí êáé ôá üñéá ôùí äýï ðñïóèåôýùí óõíáñôþóåùí. ã. ÁíÜëïãï óõìðýñáóìá éó ýåé êáé ãéá ôï ãéíüìåíï äõï Þ ðåñéóóüôåñùí óõíáñôþóåùí. â. ïé õðü ëïãáñßèìéóç ðáñáóôüóåéò êáèßóôáíôáé èåôéêýò, ã. ïé âüóåéò åêèåôéêþí óõíáñôþóåùí åßíáé èåôéêýò, ä. ïé ðáñïíïìáóôýò ñçôþí óõíáñôþóåùí äåí ìçäåíßæïíôáé. * ¼ñéï óõíüñôçóçò äõï ìåôáâëçôþí ËÝìå üôé ç óõíüñôçóç f Ý åé üñéï ôïí áñéèìü (óõãêëßíåé ðñïò ôïí áñéèìü, üôáí ôï óçìåßï Ì ôåßíåé ðñïò ôï Ì ï, áí 0, 0.. ( o, o f (, Áõôü óçìáßíåé üôé 0, 0.. ( ( f (, Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãñüöïõìå lim f (,. * Áí (, ( o, o o o lim g( u 0 u0 êáé ãéá êüèå æåýãïò (, óôçí ðåñéï Þ ôïõ (0, 0 éó ýåé ôüôå * ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò Ç óõíüñôçóç f (, g( (,, lim f (, 0. (, ( 0, 0 f : R R (, f (, åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï Ì( o, o, áí á. ôï óçìåßï Ì( o, o åßíáé óçìåßï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò f, â. ôï üñéï lim f (, (, ( o, o õðüñ åé, üôáí ôï Ì(, ôåßíåé êáè' ïéïíäþðïôå ôñüðï ðñïò ôï Ì( o, o êáé ã. éó ýåé lim f (, f (, (, ( o, o o o

3 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 167 O ïñéóìüò áõôüò óçìáßíåé üôé 0, 0.. ( ( f (, f (, o o o o Åýêïëá ìðïñïýìå íá äéáðéóôþóïõìå üôé, áí ç f åßíáé óõíå Þò óôï óçìåßï Á(á, â, ôüôå êáé ïé óõíáñôþóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò f(, â, f(á, åßíáé óõíå åßò óôï óçìåßï =á êáé =â áíôßóôïé á. Óçìåéþíåôáé üôé ç áíôßóôñïöç ðñüôáóç ôçò ðñïçãïýìåíçò äåí åßíáé áëçèþò ðüíôïôå. Åßíáé äçë. äõíáôü íá åßíáé óõíå åßò ïé óõíáñôþóåéò f(, â, f(á, óôï óçìåßï =á, =â áíôßóôïé á, ùñßò íá åßíáé óõíå Þò ç óõíáñôçóç f óôï óçìåßï Á(á, â. * Éäéüôçôåò óõíå þí óõíáñôþóåùí äõï ìåôáâëçôþí Èá áíáöýñïõìå ôéò óðïõäáéüôåñåò éäéüôçôåò óõíå þí óõíáñôþóåùí ðïëëþí ìåôáâëçôþí, ïñéóìýíùí óå Ýíá ùñßï Ä R ôçò ìïñöþò I J, üðïõ É êáé J äéáóôþìáôá ôïõ R. á. Áí ç f åßíáé óõíüñôçóç (äõï ìåôáâëçôþí óõíå Þò óôï ïñèïãþíéï I J, ôüôå ç åéêïíá f(ä åßíáé Ýíá äéüóôçìá ôïõ R. â Áí åéäéêüôåñá ôï Ä åßíáé Ýíá êëåéóôü ïñèïãþíéï, ôüôå ç åéêïíá f(ä åßíáé Ýíá êëåéóôü äéüóôçìá ôïõ R. ã. Ìéá óõíå Þò óõíüñôçóç óôï êëåéóôü ùñßï Ä I JR ðáßñíåé üëåò ôéò ôéìýò ôïõ äéáóôþìáôïò [m, M], üðïõ m, M ôï åëü éóôï êáé ìýãéóôï ôçò f óôï êáé Ä. ä. Åéäéêüôåñá áí f ( 1, 1 f (, 0, ( i, i, i 1, êáé ç f åßíáé óõíå Þò óôï Ä, ôüôå õüñ åé Ýíá ôïõëü éóôï óçìåßï ( o, o [ 1, ][ 1, ] ôýôïéï, þóôå f( o, o Ìéá óõíüñôçóç ìç óõíå Þò óôï ùñßï Ä, åßíáé äõíáôü íá åßíáé óõíå- Þò óå õðïóýíïëá ôïõ Ä. óôù f, g äõï óõíáñôþóåéò äõï ìåôáâëçôþí, óõíå åßò óôï Ä. Ôüôå á. ç f+g åßíáé óõíå Þò óôï Ä, â. ç fg åßíáé óõíå Þò óôï Ä, f ã. ç åßíáé óõíå Þò óå êüèå óçìåßï ôïõ Ä ðïõ äåí ìçäåíßæåôáé ç g. g Äå üìáóôå ùñßò áðüäåéîç üôé: á. êüèå ìïíùíõìéêþ óõíüñôçóç äõï ìåôáâëçôþí (äçë. á â ôçò ìïñöþò ë åßíáé óõíå Þò óôï R, â. êüèå ðïëõùíõìéêþ óõíüñôçóç á,â ë áâ á åßíáé óõíå Þò óôï R, â ã. êüèå óõíüñôçóç ðïõ ðåñéãñüöåôáé ìå áðëü ôýðï åßíáé óõíå Þò óôï óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

4 168 Ìáèçìáôéêü Åãêüëðéï. Ðáñáãþãéóç êáé äéáöüñéóç óõíáñôþóåùí ðïëëþí ìåôáâëçôþí * Ïñéóìüò ìåñéêþò ðáñáãþãïõ T Z B A E P O M Á Ó Þìá 14 È Ã H Ä óôù ç óõíüñôçóç =f(,,ïñéóìýíç ôï ùñßï ÙR êáé Á( o, o Ýíá óçìåßï ôïõ Ù. Áí èåùñþóïõìå üôé ôï o äéáôçñåßôáé óôáèåñü, ðáßñíïõìå ìéá óõíüñôçóç g(=f(, o ìéáò ìåôáâëçôþò. Áí ç óõíüñôçóç g åßíáé ðáñáãùãßóéìç óôï óçìåßï o, ôüôå ç ðáñüãùãïò g( 0 ôçò g ëýãåôáé ìåñéêþ ðáñüãùãïò ôçò f ùò ðñïò óôï óçìåßï Á êáé óçìåéþíåôáé f (,, Þ f (, óôå åî ïñéóìïý f (, f (, f (, f (, lim 0 Ìå áíüëïãï ôñüðï ïñßæåôáé êáé ç ìåñéêþ ðáñüãùãïò ôçò f ùò ðñïò óôï óçìåßï Á. ÓõãêåêñéìÝíá f (, f (, f (, f (, lim 0 Óõ íü áíôß ãéá ôïõò ðñïçãïýìåíïõò ôýðïõò ñçóéìïðïéïýìå ôïõò åðüìåíïõò f (, f (, f ( f lim, (, Ä0 f f f (, f (, (, (, lim 0 Óôïõò ôýðïõò áõôïýò ôï óçìåßï Á(,, óôï ïðïßï õðïëïãßæïíôáé ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé, èåùñåßôáé óôáèåñü. Áí ç f äý åôáé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óå êüèå óçìåßï Á åíüò ùñßïõ ÙR, ôüôå ïñßæïíôáé óôï Ù äõï íýåò óõíáñôþóåéò, ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé f, f ôçò f ùò ðñïò êáé. * Ôá óõìðåñüóìáôá áõôü åðåêôåßíïíôáé êáé óå óõíáñôþóåéò ìå ðåñéóóüôåñåò ìåôáâëçôýò. ÓõãêåêñéìÝíá, áí u f (,, åßíáé ìéá óõíüñôçóç ôñéùí ìåôáâëçôþí, ïé ìåñéêýò ôçò ðáñüãùãïé åßíáé 0 0

5 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 169 f u f u f u f u, f u, f u * ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôçò ìåñéêþò ðáñáãþãïõ óôù ç óõíüñôçóç =f(,, ðïõ ðáñéóôüíåé ôçí åðéöüíåéá (ó. 14 ÁÂÃÄ. Ç ôïìþ ôçò ìå ôï åðßðåäï = 0 åßíáé ç ãñáììþ ÇÅÆ. Ç åöáðôïìýíç ÅÔ ôçò ãñáììþò áõôþò óôï óçìåßï Å( 0, 0 Ý åé óõíôåëåóôþ äéåýèõíóçò ßóç ìå ôçí ìåñéêþ ðáñüãùãï f (,. 0 0 Ç ôïìþ ôçò ìå ôï åðßðåäï = o åßíáé ç ãñáììþ ÈÅË, ôçò ïðïßáò ç åöáðôïìýíç ÅÑ Ý åé óõíôåëåóôþ äéåýèõíóçò ôçí ìåñéêþ ðáñüãùãï f (, ôçò f óôï óçìåßï Å( 0 0 0, 0. * Äéáöïñßóéìç óõíüñôçóç Ç óõíüñôçóç f(,, åßíáé äéáöïñßóéìç óôï óçìåßï (,, üôáí ïñßæåôáé óôçí ðåñéï Þ ôïõ óçìåßïõ (,, êáé ãéá êüèå èåôéêü áñéèìü å õðüñ åé Ýíáò èåôéêüò áñéèìüò ç êáé ôñåéò ðåðåñáóìýíïé áñéèìïß Á, Â, à ôýôïéïé, þóôå f f ( h, k, l f (,, h k l ( h k l üðïõ, êáé h k l. * H ðïóüôçôá Áh+Âk+Ãl ëýãåôáé äéáöïñéêü ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé df. Áí f(,,=, ôüôå df=d=h. Ïìïßùò âñßóêïõìå d=k, d=l. Äçë. df d d d * Áí ç óõíüñôçóç f(,, åßíáé äéáöïñßóéìç, ôüôå åßíáé óõíå Þò, äý åôáé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò,, êáé f f f (,,, (,,, (,, * ÁëëáãÞ ìåôáâëçôþí óôù =f(, ìéá óõíüñôçóç äõï ìåôáâëçôþí,, ïé ïðïßåò åßíáé óõíáñôþóåéò ôçò ìåôáâëçôþò t: =g(t, =h(t. ÕðïèÝôïõìå üôé ïé óõíáñôþóåéò g, h åßíáé ðáñáãùãßóéìåò ùò ðñïò t êáé ç f Ý åé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò, óõíå åßò. Ç ðáñüãùãïò ôçò óõíüñôçóçò u u( t f ( g( t, h( t åßíáé Óçìåéþíïìå üôé, áí ãíùñßæïõìå üôé ìéá óõíüñôçóç, ð.. ç f(,, åßíáé óõíå Þò êáé äý åôáé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò äåí åßíáé õðï ñåùôéêü êáé äéáöïñßóéìç. Áí ç óõíüñôçóç f(, äý- åôáé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óõíå åßò, ôüôå åßíáé äéáöïñßóéìç. Ç ýðáñîêç ìåñéêþí ðáñáãþãùí f, f óå Ýíá óçìåßï äåí óõíåðüãåôáé ôç óõíý åéá ôçò óõíüñôçóçò f(, óôï óçìåßï áõôü. A E T Z P O B M Á Ó Þìá 14 È Ã H Ä

6 170 Ìáèçìáôéêü Åãêüëðéï du d d f(, f(, dt dt dt Èåùñïýìå ôçí áëëáãþ ìåôáâëçôþí =t êáé =h(t êáé åöáñìüæïíôáò ôçí ðñïçãïýìåíç ó Ýóç ðáßñíïõìå du d df du u f df f f d d d * Óýíèåôåò óõíáñôþóåéò óôù üôé Ý ïõìå ôç óõíüñôçóç =f(,, üðïõ, åßíáé óõíáñôþóåéò ôùí u, v: =g(u, v, =h(u,v. ÕðïèÝôïõìå üôé ç f Ý åé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò êáé óõíå åßò êáé ïé g, h äý ïíôáé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò u, v. Eêôåëþíôáò ôçí áíôéêáôüóôáóç ðáßñíïõìå =f(g(u,v, h(u,v=f(u,v Ç ìåñéêþ ðáñüãùãïò ôçò ùò ðñïò u åßíáé u Fu f u f u Ïìïßùò âñßóêïõìå v Fv f v f v * Äéáöïñéêü óýíèåôçò óõíüñôçóçò óôù ç óõíüñôçóç =f(,, üðïõ g( t, h( t. Áí ïé óõíáñôþóåéò g, h åßíáé äéáöïñßóéìåò óôï óçìåßï t, ôüôå ç óýíèåôç óõíüñôçóç u u( t f ( g( t, h( t åßíáé äéáöïñßóéìç êáé ìüëéóôá du d d f(, f(, du f(, d f(, d dt dt dt * Áí ïé óõíáñôþóåéò g, h åßíáé äéáöïñßóéìåò óôï óçìåßï (u, v êáé ç f(, äéáöïñßóéìç óôï áíôßóôïé ï óçìåßï (,, ôüôå ç óõíüñôçóç F(u,,v åßíáé äéáöïñßóéìç êáé ìüëéóôá df fd fd üðïõ d, d åßíáé ôá áíôßóôïé á äéáöïñéêü ôùí óõíáñôþóåùí g, h, äçë. d gu du gv dv, d hu du hv dv * ÐåðëåãìÝíåò óõíáñôþóåéò óôù f(,, ìéá óõíüñôçóç ôùí ìåôáâëçôþí,, ðïõ éêáíïðïéåß ôéò åðüìåíåò óõíèþêåò:

7 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 171 á. åßíáé óõíå Þò êáé äý åôáé ìåñéêþ ðáñüãùãï f óôçí ðåñéï Þ åíüò óõóôþìáôïò ôéìþí o, o, o, â. ç f( o, o, o ìçäåíßæåôáé, åíþ ç f ( o, o, o åßíáé äéüöïñç ôïõ ìçäåíüò. Ìå ôéò õðïèýóåéò áõôýò, ç åîßóùóç f (,, 0 äý åôáé ìéá ìïíáäéêþ ñßæá, ðïõ ôåßíåé óôï o, üôáí ïé, ôåßíïõí óôï ðñïò ôá o, o áíôßóôïé á. * ÏëéêÞ ðáñüãùãïò Èåùñïýìå ôç óõíüñôçóç f(, =0, üðïõ =g( (õðü ðåðëåãìýíç ìïñöþ. Áðü ôçí f(, =0 ðáßñíïõìå d f f 0 d Ëýíïíôáò ôçí éóüôçôá áõôþ ùò ðñïò d d ðáßñíïõìå d f d f * Áí ç ìåôáâëçôþ åßíáé ðåðëåãìýíç óõíüñôçóç ôùí, ïñßæüìåíç áðü ôçí åîßóùóç f(,, =0 êáé åñãáóèïýìå üðùò ðñïçãïõìýíùò ðáßñíïõìå f f, f f * ÐáñÜãùãïé áíùôýñáò ôüîåùò óôù f(, ìéá óõíüñôçóç äõï ìåôáâëçôþí, ç ïðïßá äý åôáé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óôï ùñßï Ä R. Áíôéëáìâáíüìáóôå üôé êüèå ìßá áðü ôéò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò f, f åßíáé ãåíéêü óõíüñôçóç ôùí ìåôáâëçôþí êáé. Óõíåðþò åßíáé äõíáôüí íá õðüñ ïõí ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé ùò ðñïò êáé ôùí óõíáñôþóåùí f, f óå óçìåßï Þ óå ïëüêëçñï ôï Ä. ôóé ïñßæïõìå ôéò ðáñáãþãïõò äåõôýñáò ôüîåùò ôçò f(, : f f f ( f f f, (,

8 17 Ìáèçìáôéêü Åãêüëðéï óôù óõíüñôçóç f(, ãéá ôçí ïðïßá äå üìáóôå üôé Ý åé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò äåõôýñáò ôáîåùò ùò ðñïò êáé. Åöáñìüæïõìå ôçí áëëáãþ ìåôáâëçôþí róõíè, rçìè Aíôéêáèéóôþíôáò ôéò ôéìýò ôùí, óôçí f ðáßñíïõìå ìéá íýá óõíüñôçóç =F(r,è. Ðáßñíïõìå r,, r r r,, r, r r ïðüôå ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé ðñþôçò ôüîåùò ôçò óýíèåôçò óõíüñôçóçò =F(r,è ùò ðñïò êáé åßíáé F r F r r çìè Fróõíè F r óõíè Frçìè F r f f f ( f f f, ( * Èåþñçìá ôïõ Schwar: Áí ïé f, f ïñßæïíôáé óôçí ðåñéï Þ åíüò óçìåßïõ (, êáé åßíáé óõíå- åßò óôï óçìåßï áõôü, ôüôå f (, f (, * Ç ó Ýóç áõôþ åðåêôåßíåôáé óå óõíáñôþóåéò ìå ðåñéóóüôåñåò ìåôáâëçôýò êáé ðáñáãùãßóåéò áíùôýñáò ôçò äåõôýñáò ôüîåùò, áñêåß íá éó ýåé ç óõíèþêç ôçò ýðáñîçò êáé óõíå åéáò ôùí áíôßóôïé þí ìåñéêþí ðáñáãþãùí. ôóé ð.. Ý ïõìå f f f. * ÐáñÜãùãïé áíùôýñáò ôüîåùò óõíèýôùí óõíáñôþóåùí óôù ç óõíüñôçóç f (,, üðïõ ( t, ( t. (ÅðéëÝîáìå íá ñçóéìïðïéïýìå ôï ßäéï óýìâïëï, Þ, ãéá íá ðáñáóôþóïõìå êáé ôç óõíüñôçóç áõôþ êáè åáõôþí êáé ôçí ôéìþ ôçò, áíôßóôïé ç ôçò ìåôáâëçôþò t. ÕðïèÝôïõìå üôé ïé óõíáñôþóåéò, åßíáé äõï öïñýò ðáñáãùãßóéìåò ùò ðñïò t êáé ç f Ý åé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò, óõíå- åßò. Ôüôå d f d f d d f dt dt dt dt d f d d dt dt dt f d f d dt dt ( d d f d f d f dt dt (, dt dt üðïõ ìå ôï óýìâïëï (... ( åííïïýìå áíüðôõãìá óôï ôåôñüãùíï ôçò ðáñüóôáóçò ðïõ åßíáé åíôüò ðáñåíèýóåùò,. * óôù ç óõíüñôçóç f (,, üðïõ ( u, v, ( u, v. ÕðïèÝôïõìå üôé ïé óõíáñôþóåéò, åßíáé äõï öïñýò ðáñáãùãßóéìåò ùò ðñïò u êáé v êáé ç f Ý åé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò, óõíå åßò. Eñãáæüìåíïé üðùò êáé óôçí ðåñßðôùóç ìéáò ìåôáâëçôþò âñßóêïõìå

9 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 173 ôýðïõò áíüëïãïõò ôïõ ðñïçãïýìåíïõ ôýðïõ (á. ÓõãêåêñéìÝíá âñßóêïõìå ðñïêåéìýíïõ ãéá ôéò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò äåõôýñáò ôüîåùò ùò ðñïò u êáé ùò ðñïò v u u u ( ( f f f (, u u f f f v v v (, v v Ç äåõôýñá ðáñüãùãïò ùò ðñïò u êáé v åßíáé uv f u v f u v v u f f f u v uv uv. * Èåþñçìá ðåðåñáóìýíùí áõîþóåùí óôù ç óõíüñôçóç u=f(,, ãéá ôçí ïðïßá õðïèýôïõìå üôé åßíáé óõíå Þò êáé Ý åé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò óõíå åßò óôï Ù. óôù Á(,, êáé B(+h, +k, +l äõï óçìåßá. Ôüôå ðáßñíïõìå ôï èåþñçìá ôùí ðåðåñáóìýíùí áõîþóåùí f ( h, k, l f (,, h f ( h, k, l k f ( h, k, l l f ( h, k, l * Ôýðïò ôïõ Talor ãéá óõíáñôþóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí óôù ç óõíüñôçóç f(,, ðïõ äý åôáé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò,, ìý ñé n ôüîåùò. Åöáñìüæïõìå ôï áíüðôõãìá Talor ãéá ôç óõí- Üñôçóç F ( t f ( ht, kt, lt ìåôáîý 0 êáé ( n1 1 ( F ( 1 F ( 0 F ( 0 F ( 0 F ( 0 F n ( 1!! ( n 1! n! üðïõ è(0, 1. ¼ðùò åßíáé ãíùóôü ôï áíüðôõãìá áõôü ïñßæåôáé åöüóïí ( n1 ïé ðáñüãùãïé F ( t, F ( t, F ( t,, F ( t ïñßæïíôáé êáé åßíáé óõíå- ( n åßò óôï [0, 1], åíþ ç F ( t oñßæåôáé óôï (0, 1. Áí ëçöèåß õðüøç üôé

10 174 Ìáèçìáôéêü Åãêüëðéï ( k F ( t h k k f ( ht, kt, lt ï ðñïçãïýìåíïò ôýðïò ðáßñíåé ôç ìïñöþ f ( h, k, l f (,, n1 1 h k l í! í1 ( n ( í ( k f (,, 1 h k l n! f ( h, k, l * Áêñüôáôá óõíüñôçóçò ðïëëþí ìåôáâëçôþí Ï ôýðïò Talor ðáßñíåé ôç ìïñö f ( h, k, l f (,, (á n1 1 h k l í! í1 f (,, 1 h k l n! f ( h, k, l * Áðü ôçí éóüôçôá áõôþ óõìðåñáßíïõìå üôé ç óõíüñôçóç f(,, ðáñïõóéüæåé áêñüôáôï óôï óçìåßï (,, áí ôï ðñþôï ìýëïò ôçò äéáôçñåß óôáèåñü ðñüóçìï. Áõôü óçìáßíåé üôé êáé ôï äåýôåñï ìýëïò ôçò ðñýðåé íá äéáôçñåß óôáèåñü ðñüóçìï. Ìéá óõíèþêç áíáãêáßá ãéá íá åßíáé óôáèåñü ôï äåýôåñï ìýëïò ôçò ó Ýóçò áõôþò, åðïìýíùò êáé ãéá íá õðüñ åé áêñüôáôï, åßíáé ç f h f f k l 0 ðïõ èá ðñýðåé íá éó ýåé ãéá ïðïéåóäþðïôå, ïóïäþðïôå ìéêñýò ôéìýò ôùí h, k êáé l, äçë. ðñýðåé íá éó ýïõí ïé éóüôçôåò f(,, 0, f(,, 0, f(,, 0 õðü ôçí ðñïûðüèåóç üôé ï ðñþôïò ìç ìçäåíéæüìåíïò üñïò óôï ðñïçãïýìåíï Üèñïéóìá åßíáé óôáèåñü èåôéêïý ðñïóþìïõ. Tïíßæåôáé üôé ïé ðñïçãïýìåíåò éóüôçôåò äåí áðïôåëïýí óõíèþêç ( n ( í