Κεφάλαιο 3 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Transcript

1 Κεφάλαιο ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Προαπαιτούμενη γνώση Ευθύ και ανάστροφο πλέγμα, πλεγματικά επίπεδα, δείκτες Miller, νόμος Brgg, συνθήκη von Lue, ατομικός και γεωμετρικός παράγοντας δομής. Πρόβλημα Δείξτε, ότι το ανάστροφο πλέγμα του αναστρόφου πλέγματος είναι το αρχικό ευθύ πλέγμα. Τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος ορίζονται από τις π g = ( ) VC π g = ( ) VC π g = ( ). VC όπου V C = ( ) ο όγκος της θεμελιώδους κυψελίδας του ευθέος πλέγματος. Αν θεωρήσουμε τα παραπάνω διανύσματα ως διανύσματα ευθέος πλέγματος, τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος που αντιστοιχούν στο παραπάνω πλέγμα είναι g = g = g = g g π g ( g g ), g g π g ( g g ),,, g g π g ( g g ). Αρχικώς, θα υπολογίσουμε τους παρονομαστές g ( g g ) των παραπάνω εκφράσεων, π g g = ( )( ) ( ) V C και βασιζόμενοι στη διανυσματική ταυτότητα έχουμε ( ) ( ) ( A B) ( C D) = A B D C A B C D 45

2 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = = = V C. Επομένως, ( π ) g g =. V C Ο όγκος Ω της θεμελιώδους κυψελίδας του αναστρόφου πλέγματος, δηλαδή της ης ζώνης Brillouin (ZB) δίνεται από ( ) ( ) ( π ) π ( π) ( π) Ω= g ( g g ) = = [ ] =. Επομένως, το g γράφεται VC VC VC VC g g π ( π ) V ( π ) g. C = π = ( ) = π = g ( g g) Ω VC ( π ) VC Ακολουθώντας αντίστοιχα βήματα για τα g, g βρίσκουμε, τελικώς, ότι g =, g =, δηλαδή, το ανάστροφο πλέγμα του αναστρόφου πλέγματος είναι το αρχικό ευθύ πλέγμα. Πρόβλημα Υπολογίστε τις εντάσεις των περιθλώμενων δεσμών από ένα Δ ορθογώνιο πλέγμα με διανύσματα του ευθέος πλέγματος, τα οποία δίνονται από την r ˆ ˆ n = nx + my και βάση ατόμων στα σημεία (,) και (, ρ ). Σε ποιες περιπτώσεις εξαφανίζονται οι δέσμες περίθλασης; Έστω ˆ = x και ˆ = y τα θεμελιώδη διανύσματα του ευθέος πλέγματος, έτσι, ώστε ένα τυχόν σημείο του ορθογώνιου πλέγματος Brvis να δίνεται από την rn = n+ m. Τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος δίνονται από την G= hb + lb, όπου, εξ ορισμού, b = πδ. Προκύπτει, ότι i j ij π π b ˆ ˆ = x, b = y, 46

3 ενώ ένα τυχόν διάνυσμα του αναστρόφου πλέγματος γράφεται ως π G = ( hxˆ+ lyˆ). Από τον ορισμό του παράγοντα δομής έχουμε S = fα exp( ig α), α =, όπου α, α =, τα διανύσματα βάσης, δηλαδή ˆ ˆ = x+ y x ˆ ρ y ˆ = +. Με βάση τα παραπάνω διανύσματα, ο παράγοντας δομής γράφεται p exp ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ S = f + i hx + ly x + ρ y, h = f + exp ip + lρ όπου υποθέσαμε ότι στις θέσεις, βρίσκονται όμοια άτομα (με ίδιο ατομικό παράγοντα σκέδασης f ). Η ένταση της περιθλώμενης δέσμης h h = = + exp[ p ( + ρ )] + exp[ p ( + ρ )] h h = f + exp[ pi( + ρl)] + exp[ pi( + ρl)] + = f + h+ l * I S S f i l i l { p ρ } cos[ ( ). Εκλιπούσες δέσμες περίθλασης έχουμε όταν μηδενίζεται ο παράγοντας δομής και άρα, η ένταση Ι της περιθλώμενης δέσμης. Στην παραπάνω μορφή του παράγοντα δομής, η περιθλώμενη δέσμη εξαφανίζεται, όταν ( h+ ρl) = περιττός ακέραιος. Πρόβλημα Υπολογίστε την ένταση της σκεδαζόμενης δέσμης ακτίνων Χ η οποία προσπίπτει σε μια γραμμική περιοδική αλυσίδα ατόμων, οργανωμένων σε τομείς των Ν ατόμων. Υποθέστε, ότι δεν υπάρχει συσχέτιση φάσης μεταξύ των ατόμων, σε διαφορετικούς τομείς. Έστω ότι υπάρχουν M τομείς, ο καθένας από τους οποίους περιέχει Ν άτομα. Η ολική ένταση της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας είναι 47

4 o M n, n= I = I = MI όπου I είναι η ένταση της σκεδαζόμενης δέσμης από έναν τομέα, δηλαδή από μία αλυσίδα Ν ατόμων. Το γεγονός, ότι μπορούμε να προσθέσουμε τις εντάσεις από όλους τους τομείς, προκύπτει από την έλλειψη συσχέτισης μεταξύ των φάσεων των σκεδαζόμενων δεσμών, από κάθε τομέα. Σε διαφορετική περίπτωση, αν υπήρχε συσχέτιση μεταξύ των φάσεων των σκεδαζόμενων δεσμών από κάθε τομέα, θα έπρεπε να αθροίζουμε τα σκεδαζόμενα ηλεκτρικά πεδία από κάθε τομέα και κατόπιν να λαμβάναμε το τετράγωνο του αθροίσματος των πεδίων. Η περίπτωση αυτή είναι παρόμοια με τη διαφορά στην εκπομπή ακτινοβολίας από σύμφωνες και ασύμφωνες πηγές. Ο παράγοντας δομής για έναν τομέα (μία αλυσίδα από Ν άτομα) γράφεται N S = fmexp( ig m), m= όπου το G συμβολίζει τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος της γραμμικής περιοδικής αλυσίδας (η οποία περιέχει M N άτομα). Έστω, ότι οι θέσεις των ατόμων στον τομέα δίνονται από τα Δ διανύσματα βάσης = m, όπου m ακέραιος. Αν τα άτομα είναι όλα ίδια ( f f ) m =, τότε ο παράγοντας δομής γίνεται m N N N mexp( m ) exp( ) [ exp( )] S = f ir G= f img = f ig. m= m= m= Χρησιμοποιώντας την παρακάτω ταυτότητα της γεωμετρικής προόδου m όπου x = exp( ig, ) θα έχουμε N N n x x =, x n= S = exp( ing ) f exp( ig ). Η έντασης της σκεδαζόμενης δέσμης από κάθε τομέα (αλυσίδα Ν ατόμων) γράφεται I = SS = f * = f = f sin ( ) sin ( ) [ exp( ing )] [ exp( ing )] [ exp( ig )] [ exp( ig )] cos( NG ) cos( G ) NG. G Η ολική σκεδαζόμενη ένταση από όλους τους Μ τομείς γράφεται 48

5 I o = M f NG. G sin ( ) sin ( ) Πρόβλημα 4 Το υδρογόνο περιέχει ένα ηλεκτρόνιο s στη στοιβάδα Κ του οποίου το μέτρο της κυματοσυνάρτησης (πυκνότητα πιθανότητας) δίνεται από την έκφραση, Z Z ψs( r) = exp r, p r r όπου Z o ατομικός αριθμός και r η ακτίνα Bohr. (α) Σχεδιάστε την ακτινική συνάρτηση κατανομής για το ηλεκτρόνιο s. (β) Υπολογίστε τον ατομικό παράγοντα σκέδασης fh για το άτομο του υδρογόνου. Δίνεται, ότι η κυματοσυνάρτηση ψ () r ικανοποιεί τη σχέση s 4 πr ψ s() r dr =. (α) Η ακτινική συνάρτηση κατανομής για το ηλεκτρόνιο s γράφεται, και απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα Z Z ψs( ) = exp p r r r r r r, r ψ () s r.8.4. r ( - m) Ο ατομικός παράγοντας σκέδασης γράφεται στη γενική περίπτωση, Z 4 π r j () j= ( Qr) sin f = r r dr, () Qr 49

6 όπου το άθροισμα περιλαμβάνει όλα τα Z ηλεκτρόνια του ατόμου. Προφανώς, για το άτομο του υδρογόνου το οποίο έχει ένα ηλεκτρόνιο s j = και 4 π rs() ( Qr) sin fh = r r dr, () Qr όπου s s r () r = ψ () r. Αντικαθιστώντας την ψ () r στην Εξ.() έχουμε s όπου Z r fh = 4 r exp r sin ( Qr) dr Q, () =. Το παραπάνω ολοκλήρωμα έχει τη γενική μορφή ( α ) sin ( β ) I = x exp x x dx, (4) όπου α =, β = Q. Πριν τον υπολογισμό του ολοκληρώματος της Εξ.(4), θα υπολογίσουμε πρώτα το παρακάτω ολοκλήρωμα, Εκτελώντας παραγοντική ολοκλήρωση, λαμβάνουμε ( ) sin ( β ) I = exp x x dx = ( x) exp( x) ( ) ( β ) ( ) ( ) exp = β cos( β x) dx I = exp αx sin βx dx, α >. (5) ( x) + β ( x) β exp exp = ( ) + cos ( βx) β sin ( βx) α α α α (6) β β = ( ) I β I = exp x sin x dx =. Για την παραγωγή της παραπάνω σχέσης χρησιμοποιήσαμε το όριο lim exp ( αx) sin ( βx) = για α>. Τα ολοκληρώματα I, I συνδέονται με τη σχέση x 5

7 I di d β αβ = = = dα dα α + β α + β ( ). (6) Εφαρμόζοντας την Εξ.(6) στην Εξ.(), βρίσκουμε τον ατομικό παράγοντα σκέδασης για το υδρογόνο f H Z 6 r = Z r 4 + Q. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ο ατομικός παράγοντας σκέδασης για το υδρογόνο, ως συνάρτηση του κυματανύσματος Q. 4 f H Πρόβλημα Μία δέσμη νετρονίων με μήκος κύματος λ =.5 Å προσπίπτει κάθετα στην επιφάνεια κύβου, στην κατεύθυνση [], σε μονατομικό κρύσταλλο με απλό κυβικό (sc) πλέγμα και = 4.5 Å. Κάποια νετρόνια σκεδάζονται, σε διαδικασία ενός φωνονίου, και βγαίνουν από τον κρύσταλλο στην κατεύθυνση [], με μήκος κύματος λ =. Å. Να βρείτε την κυκλική συχνότητα ω και το κυματάνυσμα q φων του φωνονίου που εκπέμπεται από τη διαδικασία. Τα νετρόνια απορρόφησαν ή εξέπεμψαν φωνόνια; Η ενέργεια ενός νετρονίου δίνεται από την Q E νετρ π =, m λ ν όπου m ν η μάζα του νετρονίου. Υπολογίζουμε την ενέργεια των εισερχόμενων και εξερχόμενων νετρονίων 5

8 E E in ou π π n λin mn = = = m.5 π π n λou mn.57 J = = = m..86 J. Η συχνότητα του φωνονίου θα είναι ω φωn Eou Ein = = ( π).55 rd/sec. = mn λou λin Βρίσκουμε τα κυματανύσματα της εισερχόμενης και εξερχόμενης δέσμης νετρονίων (βλέπε και παρακάτω σχήμα) Για τα εισερχόμενα νετρόνια π ˆ.795 ˆ (m - kin = x = x ). λ in Τα εξερχόμενα νετρόνια εξέρχονται στη διεύθυνση [] του απλού κυβικού (βλέπε παραπάνω σχήμα) π xˆ + yˆ + zˆ k.557 ( ˆ ˆ ˆ) (m - ou = = + + ) λ x y z. ou Η διαφορά στα κυματανύσματα εισερχομένων και εξερχομένων νετρονίων η οποία είναι ίση με ( ) = - = - ˆ + ˆ + ˆ 9 - k kou kin.79 x.557 y z (m ), k = qφων + G 5

9 όπου q φων το κυματάνυσμα του φωνονίου και G το διάνυσμα του αναστρόφου πλέγματος που εμπλέκεται στην περίθλαση. Καθώς το πλέγμα είναι απλό κυβικό, το ελάχιστο μέτρο μιας οποιασδήποτε συνιστώσας ενός διανύσματος του αναστρόφου θα είναι π G i = = i= xyz min.478 m,,,. Αν δεν συμμετείχε φωνόνιο στη σκέδαση των νετρονίων, αυτά θα υφίσταντο περίθλαση από το πλέγμα και, ως εκ τούτου, η σκέδαση θα ήταν ελαστική. Καθώς η εισερχόμενη δέσμη είναι στη διεύθυνση x, τα πλεγματικά επίπεδα, τα οποία είναι κάθετα σε αυτή, θα αντιστοιχούν σε διανύσματα του αναστρόφου G χωρίς συνιστώσα x. Στην περίπτωσή μας θεωρούμε Άρα, π G= G ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ).478 ( ˆ ˆ i y+ z = y+ z = y+ z ). min ( ) q k G x ˆ y ˆ z ˆ. = = 9 8 φων Η ενέργεια των εξερχόμενων νετρονίων είναι μεγαλύτερη από την ενέργεια των εισερχόμενων. Επομένως, τα νετρόνια απορροφούν ένα φωνόνιο. Πρόβλημα 6 Ακτίνες Χ με μήκος κύματος λ προσπίπτουν σε κρύσταλλο με απλό κυβικό (sc) πλέγμα, με κατεύθυνση [] και υφίστανται έντονη σκέδαση Brgg (συμβολή πρώτης τάξης) στην κατεύθυνση [4]. (α) Από ποια οικογένεια επιπέδων λαμβάνει χώρα η σκέδαση; Να βρείτε τους δείκτες Miller αυτών των επιπέδων, ως προς το απλό κυβικό πλέγμα. Να σχεδιάσετε ένα τέτοιο επίπεδο. (β) Ποια είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών επιπέδων που βρήκατε στο (α); (γ) Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο πλησιέστερων γειτόνων στον κρύσταλλο ως συνάρτηση του λ. (α) Τα κυματανύσματα της εισερχόμενης και της εξερχόμενης δέσμης ακτίνων Χ γράφονται ως ( ) k = xˆ, k = xˆ + 4y ˆ. () in Στην περίθλαση Brgg η ενέργεια διατηρείται (ελαστική σκέδαση) και επομένως, ou k k. () in = ou = + 4 = 5 Το εσωτερικό τους γινόμενο σχετίζεται με τη γωνία Brgg θ ( ) kin kou = kin k ou cos θ. () Συνδυάζοντας τις Εξ.(), () και (), μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία Brgg 5

10 Από την τριγωνομετρική ταυτότητα x x+ y = =. 5 5 ( ˆ) ( ˆ 4 ˆ) cos( θ) cos( θ) 4 cos( θ) = cos θ cos θ = + cos( θ) = 5 θ = θ = 5 sin cos. Έχοντας υπολογίσει τη γωνία Brgg θ, βρίσκουμε την απόσταση d μεταξύ των επιπέδων, τα οποία προκαλούν την περίθλαση, μέσω της συνθήκης Brgg πρώτης τάξης λ 5 λ = dsinθ d = d = λ. (4) sinθ Από τη συνθήκη von Lue μπορούμε να βρούμε την οικογένεια των επιπέδων που υπεισέρχονται στην περίθλαση μέσω του διανύσματος G του αναστρόφου το οποίο είναι κάθετο στα επίπεδα (βλέπε παρακάτω σχήμα) G= k ( ˆ ˆ ou kin = x+ y ). (5) 5 Άρα, η διεύθυνση του G είναι η ( xˆ + ˆ) y δηλαδή η περίθλαση θα λαμβάνει από τα επίπεδα () του απλού κυβικού (βλέπε παραπάνω σχήμα). Επίσης, το G, ως διάνυσμα του αναστρόφου θα γράφεται π G= ( xˆ + y ˆ). (6) Η απόσταση μεταξύ των επιπέδων ορίζεται, μέσω του G, από τη σχέση 54

11 d π π = = d =. (7) G π 5 5 Από τις Εξ.(4) και (7) βρίσκουμε, τελικώς, 5 5 λ = = λ. 5 Πρόβλημα 7 Δείξτε, ότι στην περίπτωση του απλού κυβικού (sc) πλέγματος, η συνθήκη ανάκλασης Brgg παίρνει τη μορφή, l sin θ = 4 n h k l ( + + ) όπου hkl,, οι δείκτες Miller των επιπέδων, από τα οποία προέρχεται η ανάκλαση, και η πλεγματική σταθερά. Η απόσταση μεταξύ διαδοχικών πλεγματικών επιπέδων είναι, d hkl π π = = G hb + kb + lb. () hkl Στο απλό κυβικό (sc) τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος γράφονται b = π xb ˆ, ˆ ˆ = π yb, π = z. () Αντικαθιστώντας τις Εξ.() στην Εξ.() λαμβάνουμε d hkl π = = π hxˆ + kyˆ + lzˆ h + k + l. () Η συνθήκη περίθλασης Brgg Αντικαθιστώντας την Εξ.() στην Εξ.(4), έχουμε h + k + l d sinθ = nl. (4) hkl sinθ = nl l sin θ = 4 n h k l ( + + ). 55

12 Πρόβλημα 8 Υπολογίστε το γεωμετρικό παράγοντα δομής για κρυστάλλους δομής (α) εδροκεντρωμένου κυβικού (fcc) και (β) αδάμαντα. Βρείτε, σε ποιες περιπτώσεις ο παράγοντας δομής (και άρα η ανακλώμενη δέσμη) μηδενίζεται και σε ποιες μεγιστοποιείται. (α) Ο γεωμετρικός παράγοντας δομής δίνεται από τη σχέση v S = fα exp( ig α), () α = όπου α είναι τα διανύσματα θέσης των ατόμων βάσης (v το πλήθος), G τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος του απλού κυβικού (sc) b = π xb ˆ, ˆ ˆ = π yb, π = z () και η πλεγματική σταθερά του απλού κυβικού. Ένα πλέγμα fcc μπορεί να θεωρηθεί, ως ένα απλό κυβικό με 4 (όμοια) άτομα βάσης, στις θέσεις (βλέπε παραπάνω σχήμα) = xˆ+ yˆ + zˆ 4 ˆ ˆ = x+ y ˆ = x+ zˆ yˆ = + zˆ. () Αντικαθιστώντας τις Εξ.() και () στην Εξ.(), λαμβάνουμε 56

13 p ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ p exp ˆ exp ( ˆ ˆ S ˆ) ˆ fcc = f + i hx+ ky+ lz x+ y + i hx+ ky+ lz x+ zˆ p ( ˆ ˆ exp i hx ky lzˆ) yˆ zˆ { p( ) p( ) p( ) } Sfcc = f + exp i h+ k + exp i h+ l + exp i k + l. Δεδομένου ότι, exp ( ip n) +, για n άρτιο =,, για n περιττό ο παράγοντας δομής για το fcc μηδενίζεται ( S fcc = ), όταν από τους ακέραιους αριθμούς ( h+ k),( h+ l),( k + l) είναι περιττοί και ο τρίτος είναι άρτιος. Αν οι ακέραιοι h, k, l είναι όλοι τους άρτιοι ή όλοι τους περιττοί, τότε ο παράγοντας δομής γίνεται μέγιστος S = 4 f. (β) Ένα πλέγμα αδάμαντα μπορεί να ειδωθεί, ως ένα απλό κυβικό με 8 (όμοια) άτομα βάσης (βλέπε παρακάτω σχήμα), όπου οι 4 πρώτες θέσεις δίνονται από τα διανύσματα της θέσης της Εξ.(), ενώ τα υπόλοιπα 4 δίνονται από τα διανύσματα fcc (4) ˆ ˆ = x+ y+ zˆ ˆ ˆ = x+ y+ zˆ xˆ yˆ = + + zˆ xˆ yˆ = + + zˆ (5) Αντικαθιστώντας τις Εξ.() και (5) στην Εξ.(), λαμβάνουμε 57

14 p ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ p exp ˆ exp ( ˆ ˆ ˆ) ˆ Sdim = f + i hx+ ky+ lz x+ y i hx ky lz x zˆ p exp i ( hxˆ kyˆ p lzˆ) yˆ zˆ exp i ( hxˆ kyˆ lzˆ) xˆ yˆ zˆ p + exp i hxˆ+ kyˆ ( + ) ˆ ˆ p ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ lzˆ x + y + zˆ exp ˆ ˆ i hx + ky + lz x + y + z p exp i ( hxˆ kyˆ lzˆ) xˆ yˆ zˆ ip Sdim = f + exp ip( h+ k) + exp ip( h+ l) + exp ip( k + l) + exp ( h+ k + l) ip ip ip + exp ( h+ k + l) + exp ( h+ k + l) + exp ( h+ k + l). (5) και, ύστερα από αλγεβρικές πράξεις, ip Sdim = f + exp ( h+ k + l) { + exp ip( h+ k) + exp ip( h+ l) + exp ip( k + l) }. (6) Η δεύτερη αγκύλη βρίσκεται στον παράγοντα δομής του fcc [βλέπε Εξ.(4) παραπάνω] και ο S dim =, όταν από τους ακέραιους αριθμούς ( h+ k),( h+ l),( k + l) είναι περιττοί και ο τρίτος είναι άρτιος. Αν οι ακέραιοι h, k, l είναι όλοι τους άρτιοι ή όλοι τους περιττοί διακρίνουμε τις περιπτώσεις: (i) Αν h, k, l είναι όλοι περιττοί, τότε ο ( h+ k + l) είναι περιττός και ο παράγοντας δομής [ ] S = 4f ± i, με μέτρο (που είναι η ποσότητα που μετριέται πειραματικά) dim Sdim = f. (ii) Αν h, k, l είναι όλοι άρτιοι, τότε Αν ( h+ k + l)/ είναι περιττός, τότε η πρώτη αγκύλη της Εξ.(6) μηδενίζεται και επομένως S dim =. Αν ( h+ k + l)/ είναι άρτιος, τότε Sdim = 8 f. Πρόβλημα 9 Τρία μη ταυτοποιημένα μεταλλικά δείγματα για τα οποία είναι γνωστό ότι κρυσταλλώνονται σε απλό κυβικό (sc), σε εδροκεντρωμένο κυβικό (fcc) και σε πλέγμα αδάμαντα, υποβάλλονται σε περίθλαση ακτίνων Χ σκόνης. Τα δεδομένα περίθλασης ακτίνων Χ (μέγιστες κορυφές ανάκλασης) από τα τρία δείγματα εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα. Βρείτε, ποιο είδος πλέγματος αντιστοιχεί σε κάθε δείγμα. 58

15 Γωνία Brgg Δείγμα Α Δείγμα Β Δείγμα Γ θ.8 ο.7 ο. ο θ 5. ο 5.9 ο 7.7 ο θ 8.9 ο.8 ο 45.8 ο θ 4. ο 7. ο 59.8 ο θ ο 8. ο 7.4 ο Ο παράγοντας δομής μεγιστοποιείται για τις πιθανές δομές, στις παρακάτω περιπτώσεις Δομή sc fcc αδάμας Κανόνας μέγιστης ανάκλασης Οποιαδήποτε τριάδα h, k, l h, k, l όλα άρτια h, k, l όλα περιττά h, k, l όλα περιττά h, k, l όλα άρτια και ( h+ k + l) = 4n Από προηγούμενο πρόβλημα, έχουμε δείξει ότι η γωνία Brgg συνδέεται με τους δείκτες Miller, σύμφωνα με τη σχέση sin l θ = ( h + k + l ). () 4 Η παραπάνω σχέση αποδείχθηκε για το απλό κυβικό (sc). Καθώς, όμως, στον υπολογισμό του γεωμετρικού παράγοντα δομής όλα τα κυβικά πλέγματα, ακόμη και τα πλέγματα Brvis, θεωρούνται ως απλά κυβικά συν μια βάση ατόμων, η Εξ.() είναι γενική για τα κυβικά πλέγματα. Θέτοντας υπολογίζουμε τα παρακάτω πηλίκα = h + k + l, sin θi sin θ = i και κατασκευάζουμε τους παρακάτω πίνακες για κάθε δείγμα Δείγμα Α sin θ = sin θ θ i i i ( hkl ).8 ο () 5. ο () 8.9 ο (). ο 4 4 () 4.7 ο 5 5 () 59

16 Δείγμα Β sin θ = sin θ θ i i i ( hkl ).7 ο () 5.9 ο 4/ 4 ().8 ο 8/ 8 () 7. ο / () 8. ο / () Δείγμα Γ sin θ = sin θ θ i i i ( hkl ). ο () 7.7 ο 8/ 8 () 45.8 ο / () 59.8 ο 6/ 6 (4) 7.4 ο 9/ 9 () Σημειώνουμε ότι η τρίτη στήλη, η οποία περιέχει τις τιμές των i προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη στήλη με τον κοινό παρονομαστή της στήλης αυτής, ώστε να προκύπτει ακέραια τιμή για τα i και να προσδιορίσουμε έτσι τους δείκτες Miller, οι οποίοι δίνουν το συγκεκριμένο i. Συγκρίνοντας τους παραπάνω πίνακες με τον πίνακα που περιέχει τους κανόνες μέγιστης ανάκλασης για κάθε τύπο πλέγματος, εύκολα καταλαβαίνουμε ότι το Δείγμα Α είναι το απλό κυβικό (sc), διότι περιέχει τριάδες δεικτών Miller ( hkl ), όπου τα h, k, l μπορεί να μην είναι όλα μαζί άρτια ή όλα μαζί περιττά. Το Δείγμα Β έχει τη δομή fcc, διότι οι δείκτες Miller h, k, l, είναι όλοι μαζί άρτιοι ή περιττοί. Τέλος, το Δείγμα Γ έχει τη δομή αδάμαντα, διότι ενώ οι δείκτες Miller h, k, l είναι όλοι μαζί άρτιοι ή περιττοί, λείπουν κάποιες ανακλάσεις, π.χ., οι () και () που υπάρχουν στο δείγμα Β για τις οποίες ναι μεν τα h, k, l είναι όλα άρτια, όμως ( h+ k + l) 4n. Συνοψίζοντας, Δείγμα Α Β Γ Δομή sc fcc αδάμας Πρόβλημα Σε μια φωτογραφία από πείραμα περίθλασης ακτίνων Χ Cu Κα ( λ =.54 Å) από σκόνη δείγματος, με κυβική δομή, προέκυψαν οι παρακάτω γωνίες Brgg Γωνία Brgg. o 4. o. o 4. o 5. o 9. o. o. o 6

17 Βρείτε από ποιες οικογένειες επιπέδων προέρχονται οι παραπάνω κορυφές περίθλασης. Αποφασίστε, κατά πόσο, ο κρύσταλλος είναι δομής απλού κυβικού (sc), εδροκεντρωμένου κυβικού (fcc), ή χωροκεντρωμένου κυβικού (bcc) και βρείτε την αντίστοιχη πλεγματική σταθερά. Η πυκνότητα του δείγματος είναι 8. g cm - και το μοριακό βάρος. Βρείτε τον αριθμό των μορίων Z σε μια μοναδιαία κυβική κυψελίδα V. Η ατομική μονάδα μάζας είναι 4 ίση με.66 g. Είδαμε, προηγούμενα, ότι η γωνία Brgg συνδέεται με τους δείκτες Miller σύμφωνα με τη σχέση Θέτοντας υπολογίζουμε τα παρακάτω πηλίκα sin l θ = ( h + k + l ). () 4 = h + k + l, sin θi sin θ = i και κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα θ i sin θ = i sin θ i ( hkl ). o () 4. o 4/ 4 (). o 8/ 8 () 4. o / () 5. o / () 9. o 6/ 6 (4). o 9/ 9 (). o / (4) Αντικαθιστώντας κάποια από τις τριάδες ( hkl ) του παραπάνω πίνακα μαζί με την αντίστοιχη γωνία Brgg στην Εξ.(), και δεδομένου του μήκους κύματος των ακτίνων Χ, λ =.54 Å, μπορούμε να υπολογίσουμε την πλεγματική σταθερά l.54 = 6.7 ο sin h + k + θ l = + + sin(. ) = Å. Η πυκνότητα δίνεται από τη σχέση ZM ZM ρ ρ = = Z = 4. V M 6

18 Εφόσον η μοναδιαία κυψελίδα περιέχει 4 άτομα, το δείγμα είναι δομής fcc. Αυτό φαίνεται και από τις τριάδες ( hkl ), όπου τα h, k, l είναι όλα άρτια ή όλα περιττά (συνθήκη μέγιστης ανάκλασης σε δομή fcc). Πρόβλημα Το χλωριούχο νάτριο (NCl) είναι ένα κυβικό πλέγμα όπου περιέχονται 4 κατιόντα N + και 4 ανιόντα Cl στη μοναδιαία κυψελίδα. Τα ανιόντα Cl καταλαμβάνουν τις κορυφές της μοναδιαίας κυψελίδας καθώς και τα μέσα των πλευρών. Τα κατιόντα N + καταλαμβάνουν το κέντρο της κυψελίδας και τα μέσα των ακμών. Υπολογίστε το γεωμετρικό παράγοντα δομής για το NCl. Βρείτε σε ποιες περιπτώσεις ο παράγοντας δομής μηδενίζεται (ελάχιστη ανάκλαση) και σε ποιες μεγιστοποιείται. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η μοναδιαία κυψελίδα του NCl: Η δομή του NCl μπορεί να θεωρηθεί ως απλό κυβικό με 8 διανύσματα βάσης, 4 για τα N + και άλλα 4 για τα Cl Cl : = xˆ+ yˆ + zˆ 4 ˆ ˆ = x+ y xˆ = + zˆ yˆ = + zˆ + N : ˆ = x ˆ = y = z ˆ ˆ ˆ 4 = x+ y+ zˆ Αν με fn, f Cl συμβολίζουμε τους ατομικούς παράγοντες σκέδασης των ιόντων N + και Cl αντίστοιχα, ο γεωμετρικός παράγοντας δομής του NCl δίνεται από τη σχέση 6

19 NCl 8 S = f exp( ig ) = p NCl Cl ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ p exp ˆ exp ( ˆ ˆ ˆ) ˆ S = f + i hx+ ky+ lz x+ y i hx ky lz x zˆ p exp i ( hxˆ kyˆ lzˆ) yˆ zˆ p exp ( ˆ ˆ f i hx ky lzˆ ) xˆ p ( ˆ ˆ exp i hx ky lzˆ ) yˆ N + + p ( ˆ ˆ p exp ˆ) ˆ exp ( ˆ ˆ i hx ky lz z i hx ky lzˆ) xˆ yˆ zˆ { p( ) p( ) p( ) } p( ) { } SNCl = + exp i h+ k + exp i h+ l + exp i k + l fn + fcl exp i h+ k + l. Η πρώτη παρένθεση υπάρχει αυτούσια και στον παράγοντα δομής του fcc (βλέπε προηγούμενο πρόβλημα). Επομένως, θα δίνει τις ίδιες εκλιπούσες ανακλάσεις με το fcc, δηλαδή ο παράγοντας δομής για το NCl μηδενίζεται ( S NCl = ), όταν από τους ακέραιους αριθμούς ( h+ k),( h+ l),( k + l) είναι περιττοί και ο τρίτος είναι άρτιος. Σημειώνουμε, ότι η δεύτερη αγκύλη στον παράγοντα δομής S NCl δεν μπορεί να μηδενιστεί, διότι οι ατομικοί παράγοντες σκέδασης fn, f Cl δεν ταυτίζονται. Αν οι ακέραιοι h, k, l είναι όλοι τους άρτιοι ή όλοι τους περιττοί, τότε η πρώτη αγκύλη του SNCl ισούται με 4. Σε αυτή την περίπτωση, διακρίνουμε τις περιπτώσεις: (i) Αν ο ( h+ k + l) είναι περιττός, τότε ( ) ( ) NCl = 4 N Cl NCl = 6 N Cl S f f S f f και η ανακλώμενη δέσμη (που είναι ανάλογη του διαφοράς ( f f ) N. Cl (ii) Αν ο ( h+ k + l) είναι άρτιος, τότε S NCl ) εμφανίζεται μειωμένη, λόγω της ( ) ( ) NCl = 4 N + Cl NCl = 6 N + Cl S f f S f f και η ανακλώμενη δέσμη εμφανίζεται αυξημένη, λόγω του αθροίσματος των ατομικών f + f. παραγόντων σκέδασης ( ) N Cl Πρόβλημα Παρατηρώντας την εικόνα περίθλασης ακτίνων Χ από δείγμα σκόνης MgO με ακτινοβολία Cu-Kα ( λ =.54 Å), επαληθεύουμε την ύπαρξη κορυφών στις γωνίες σκέδασης (θ) θ 6.9 ο 4.9 ο 6. ο ο 6

20 78.64 ο 94.6 ο 5.75 ο 9.78 ο 7.9 ο 4.77 ο Το MgO έχει την ίδια δομή με το NCl. Βρείτε την πλεγματική σταθερά, καθώς και τους δείκτες Miller ( hkl ) που αντιστοιχούν σε κάθε γωνία. Η γωνία Brgg θ συνδέεται με τους δείκτες Miller, σύμφωνα με τη σχέση Θέτοντας υπολογίζουμε τα παρακάτω πηλίκα sin l θ = ( h + k + l ). () 4 = h + k + l, sin θi sin θ = i και κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα θ i sin θ = i sin θ i ( hkl ) (Å) 8.48 o () o 4/ 4 () o 8/ 8 () o / () o / () o 6/ 6 (4) o 9/ 9 () o / (4) ο 4/ 4 (4) ο 7/ 7 (5) 4.4 Εφόσον το NCl είναι ένα κυβικό πλέγμα, η πλεγματική του σταθερά μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση l h k l sinθ = + +. Μέσω αυτής της έκφρασης συμπληρώθηκε η τελευταία στήλη του παραπάνω πίνακα, η οποία περιέχει την πρόβλεψη της πλεγματικής σταθεράς για τις διάφορες οικογένειες επιπέδων. Λαμβάνοντας το μέσο όρο των στοιχείων της τελευταίας στήλης, βρίσκουμε, τελικώς, ότι = 4.5Å. 64

21 Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H. Ibch και H. Lüh, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ). [] C. Kiel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, 979). [] N. W. Ashcrof και N. D. Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, ). [4] R. Levy, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, 968). [5] Ε. Ν. Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997). [6] Ε. Ν. Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ). [7] Α. Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994). [8] Σ. Η. Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα, 4). [9] Π. Βαρώτσος και Κ. Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995). [] Κ. Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (Ε.Μ.Π., Αθήνα, ). Ξενόγλωσσα: [] M. P. Mrder, Condensed Mer Physics, (Wiley, New Jersey, ). [] H. E. Hll, Solid Se Physics, (Wiley, Brisol, 974). [] J. M. Zimn, Principles of he Theory of Solids, (Cmbridge, Cmbridge, 964). [4] H. J. Goldsmid, (ed.), Problems in Solid Se Physics, (Pion Limied, London, 968). [5] V. M. Agrnovich nd A. A. Mrdudin (eds.), Modern Problems in Condensed Mer Sciences, (Elsevier, Amserdm, 989). [6] A. L. Ivnov nd S. G. Tikhodeev (eds.), Problems of Condensed Mer Physics, (Oxford, Oxford, 8). [7] Y. Wsed, W. Msubr, nd K. Shinod, -Ry Diffrcion Crysllogrphy, (Springer, Heidelberg, ). [8] W. Borchrd-O nd R. O Gould, Crysllogrphy: An Inroducion, (Springer, Berlin, ). [9] M. De Gref nd E. McHenry, Srucure of Merils: An Inroducion o Crysllogrphy, Diffrcion nd Symmery, (Cmbridge, Cmbridge, ). Λέξεις-κλειδιά ακτίνα Bohr ακτίνα Χ ανάστροφο πλέγμα ατομικός παράγοντας δομής ατομικός παράγοντας σκέδασης γεωμετρικός παράγοντας δομής δείκτες Miller δέσμη περίθλασης ευθύ πλέγμα κυματάνυσμα μέτρο κυματοσυνάρτησης νετρόνιο νόμος Brgg ολική σκεδαζόμενη ένταση πλέγμα Brvis πλεγματικά επίπεδα πυκνότητα πιθανότητας σκεδαζόμενη δέσμη ακτίνων Χ σκέδαση σκεδάζω συνθήκη von Lue φωνόνιο 65