ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ. Εξισώσεις Maxwell Όπως έχουµε, ήδη, αναφέει, ένα ηλεκτοστατικό πεδίο E µποεί να υφίσταται ανεξάτητα από την παουσία ή όχι µαγνητικού πεδίου H, όπως για παάδειγµα συµβαίνει στο πεδίο πυκνωτή φοτισµένου µε στατικό φοτίο Q. Επίσης, ένα µαγνητοστατικό πεδίο H, π.χ. το πεδίο αγωγού που διαέεται από σταθεό εύµα I, µποεί να υφίσταται ανεξάτητα από την παουσία ή όχι ηλεκτικού πεδίου E. Στο χονικά, όµως, µεταβαλλόµενο πεδίο, όπως απέδειξαν οι πειαµατικές εγασίες των Faraday Hertz η θεωητική ανάλυση του Maxwell, η συνύπαξη ηλεκτικού µαγνητικού πεδίου είναι αναπόφευκτη. Οι διαφοικές εξισώσεις D H = J +, (.) t B E =, (.) t D =, (.3) 533

2 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ B =, (.4) που είναι γνωστές ως εξισώσεις Maxwell, µαζί µε τις σχετικές οιακές συνθήκες, πειγάφουν πλήως οποιοδήποτε χονικά µεταβαλλόµενο πεδίο. Οι εξισώσεις Maxwell, αποτελούν τη βάση για τη θεωητική θεµελίωση ολοκλήωσης της ηλεκτοµαγνητικής θεωίας, αφού από αυτές µποούν να εξαχθούν όλοι οι νόµοι του ηλεκτοµαγνητικού πεδίου. Ας σηµειώσουµε, επίσης, ότι οι πιο πάνω εξισώσεις αποτελούν εναλλακτικές διατυπώσεις (υπό διαφοική µοφή), γνωστών ήδη, νόµων (υπό ολοκληωτική µοφή). Έτσι, η (.) αποτελεί εναλλακτική διατύπωση του νόµου του Ampère d = D H l J+ d C S S, (.5) όταν ληφθεί υπόψη το εύµα µετατόπισης D /, η (.) αναφέεται στο νόµο του Faraday Φ Ε = d = B E l d = C S S, (.6) η (.3) στο νόµο του Gauss D ds = dv (.7) S η (.4) στην ανυπαξία µεµονωµένων µαγνητικών πόλων V d S = (.8) B S. Οιακές συνθήκες Από τις εξισώσεις του Maxwell (συνήθως υπό ολοκληωτική µοφή), ποκύπτουν, εύκολα, οι οιακές συνθήκες που ικανοποιούν τα µεγέθη του ηλεκτοµαγνητικού πεδίου στη διαχωιστική επιφάνεια δύο µέσων µε διαφοετικά ηλεκτικά χαακτηιστικά. Στο σχήµα - φαίνονται τα τία, κάθετα µεταξύ τους, µοναδιαία διανύσµατα n, t, κ. Το διάνυσµα n είναι κάθετο στη διαχωιστική επιφάνεια κατευθύνεται από το µέσο πος το µέσο, ενώ τα διανύσµατα t κ βίσκονται στο εφαπτοµενικό επίπεδο στο θεωούµενο σηµείο της διαχωιστικής επιφάνειας. 534

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ n t µ, ε, σ E E H D H D B B κ µ, ε, σ Σχήµα - Οι οιακές συνθήκες που πέπει να ικανοποιούν τα πεδιακά µεγέθη ενός χονικά µεταβαλλόµενου πεδίου στη διαχωιστική επιφάνεια είναι οι ακόλουθες: ή ή ή α) Συνέχεια εφαπτοµενικής συνιστώσας ηλεκτικής πεδιακής έντασης: n ( E E ) =, (.9) β) Συνέχεια κάθετης συνιστώσας µαγνητικής επαγωγής: E t = E (.) t n ( B B ) =, (.) γ) Ασυνέχεια κάθετης συνιστώσας διηλεκτικής µετατόπισης: B n = B (.) n n ( D D ) = s, (.3) Dn Dn = s, (.4) όπου s είναι η πυκνότητα των επιφανειακών φοτίων της διαχωιστικής επιφάνειας. στην Αν, όπως συνήθως συµβαίνει, δεν υπάχουν επιφανειακά φοτία, η (.4) καταλήγει D n = D ( = ), (.5) n που εκφάζει συνέχεια των καθέτων συνιστωσών της ηλεκτικής πεδιακής έντασης. s 535

4 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ ή δ) Ασυνέχεια εφαπτοµενικής συνιστώσας µαγνητικής πεδιακής έντασης: n ( H H ) = K, (.6) H H = K κ (.7) t t όπου K (ή J s ) είναι το διάνυσµα της πυκνότητας επιφανειακού εύµατος (A/m). Η συνθήκη αυτή, στη συνήθη πείπτωση απουσίας επιφανειακών ευµάτων, γάφεται H t = H ( K = ) (.8) t εκφάζει συνέχεια των εφαπτοµενικών συνιστωσών της µαγνητικής πεδιακής έντασης..3 Μιγαδική µοφή εξισώσεων Maxwell Όταν τα µεγέθη ενός ηλεκτοµαγνητικού πεδίου εµφανίζουν ηµιτονοειδή χονική µεταβολή, η όλη ανάλυση διευκολύνεται σηµαντικά (όπως στην αντίστοιχη πείπτωση των ηλεκτικών κυκλωµάτων εναλλασσόµενου εύµατος) µε τη χησιµοποίηση µιγαδικών µεγεθών. Έστω, λοιπόν, ότι G(,,,) xyzt G(,) r t είναι η στιγµιαία τιµή (στο τυχόν σηµείο παατήησης P (,, xyz) που οίζεται από το διάνυσµα θέσης r = xx + yy + zz ) οποιουδήποτε διανυσµατικού πεδιακού µεγέθους G (π.χ. E, H, D, B, J, κ.λ.π.), που οι συνιστώσες του G (,) r t, G (,) r t, G (,) r t εµφανίζουν την ηµιτονοειδή χονική µεταβολή της µοφής x y z G (,) r t = G ()cos( r ωt + ϕ ), (.9) x x x G (,) r t = G ()cos( r ωt + ϕ ), (.) y y y G (,) r t = G ()cos( r ωt + ϕ ), (.) z z z όπου G x, G y, G z, είναι οι µέγιστες τιµές (πλάτη) των συνιστωσών x, ϕx, ϕy, ϕ z οι αντίστοιχες φασικές αποκλίσεις. Οι στιγµιαίες αυτές εκφάσεις γάφονται ως { x r } { y r } G G y G z G (,) r t = Re G () e jωt, (.) x G (,) r t = Re G () e jωt, (.3) y 536

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ { z r } G (,) r t = Re G () e jωt, (.4) z x y z όπου το σύµβολο Re υποδηλώνει το παγµατικό µέος της µιγαδικής παάστασης που βίσκεται µέσα στις αγκύλες, ενώ G, G, G είναι οι ακόλουθοι µιγάδες (στεφόµενα διανύσµατα στην σχετική κυκλωµατική ανάλυση) G () r = G j x () re ϕ (.5) x x j y G () r = G () re ϕ, (.6) y y j z G () r = G () re ϕ (.7) z z Όπως είναι φανεό η τελεία πάνω από τα σύµβολα των διαφόων µεγεθών αναφέεται στο µιγαδικό συµβολισµό των αντίστοιχων µεγεθών. Από τους µιγάδες αυτούς, ποκύπτει ο µιγαδικός συµβολισµός του διανυσµατικού µεγέθους G Gr () = G () rx + G () ry + G () rz (.8) x y z Η στιγµιαία τιµή Gr (,) t, όπως, αµέσως, φαίνεται από τις ποηγούµενες σχέσεις, υ- πολογίζεται από την { Gre ω } Gr (,) t = Re () j t (.9) Με εισαγωγή του µιγαδικού συµβολισµού στις εξισώσεις Maxwell, αυτές γάφονται ως: H = J + jωd, (.3) E = jωb, (.3) B =, (.3) D = (.33) Η (.3) µε εισαγωγή της µιγαδικής διηλεκτικής σταθεάς ε c από τη σχέση εc = ε j σ, (.34) ω γάφεται ως H = jωε c E (.35) 537

6 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ.4 Η γενική εξίσωση κύµατος Στην πείπτωση ενός πεδίου που εκτείνεται σ ένα µέσο στο οποίο δεν υπάχουν χωικά φοτία ( = ), από την (.), έχουµε B E = t (.36) ή, αν λάβουµε υπόψη τη διανυσµατική εξίσωση (.8) την καταστατική εξίσωση (6.) ( E) E = µ ( H ) (.37) Η (.37), λόγω των (5.8), (6.) (.), µποεί να γαφεί µε τη µοφή ή, για απουσία χωικών φοτίων ( = ), E E E, (.38) ε µε µσ = την E E E (.39) µε µσ = Με παόµοιο τόπο ποκύπτει ότι η ένταση του µαγνητικού πεδίου, ικανοποιεί H H H (.4) µε µσ = Οι (.39) (.4) παιστούν τις γενικές µοφές των εξισώσεων κύµατος για τα διανύσµατα E H αντίστοιχα. Στη συνέχεια διακίνουµε τις ακόλουθες δύο πειπτώσεις όπου το µέσο στο οποίο ε- κτείνεται το πεδίο εµφανίζει αγώγιµα ή µονωτικά χαακτηιστικά..4. Μεταβαλλόµενο πεδίο σε καλά αγώγιµα µέσα Εξίσωση διάχυσης Στην πείπτωση όπου το πεδίο εκτείνεται σ ένα αγώγιµο µέσο, αν ( xyz,, ) είναι η τιµή της πυκνότητας (,,,) xyzt των χωικών φοτίων κατά την αχική χονική στιγµή t =, η πυκνότητα φθίνει, σύµφωνα µε την (5.7), εκθετικά κατά τη σχέση t T = e, (.4) 538

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ όπου Τ = ε/ σ είναι η χονική σταθεά χαλάωσης του µέσου. εδοµένου ότι η τυπική αγωγιµότητα των µετάλλων είναι της τάξης των 7 S/m η διηλεκτική τους σταθεά ε της τάξης των - F/m, η χονική σταθεά Τ σε καλά αγώγιµα µέσα όπως τα µέταλλα είναι πάα πολύ µική, της τάξης των -8 sec, δηλαδή το φοτίο, στα µέσα αυτά, διαχέεται ακαιαία πος την επιφάνειά τους. Έτσι, στην εξίσωση (.38) ο όος / ε µποεί, πακτικά, να θεωηθεί µηδενικός. Αν, στη συνέχεια, θεωήσουµε ότι τα µεγέθη του εξεταζόµενου πεδίου εµφανίζουν ηµιτονοειδή χονική µεταβολή µε κυκλική συχνότητα ω, η (.39), κατά τα γνωστά, γάφεται E + µεω E + jµσωe =, (.4) ή jσ E + + µεω = εω E, (.43) Επειδή, όµως, ο όος σ/( εω ) σε καλά αγώγιµα µέσα είναι πολύ µεγαλύτεος από τη µονάδα, ακόµα για την πειοχή των υπευψηλών αδιοσυχνοτήτων, είναι ποφανές ότι ο όος E / στην (.3) µποεί να πααληφθεί, οπότε ισχύει η εξίσωση µσ E E = (.44) ή, για ηµιτονοειδή χονική µεταβολή, η E jωµσe = (.45) Είναι πολύ εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι παόµοιες εξισώσεις ποκύπτουν για τα µεγέθη J, H B. Η εξίσωση (.44) (ή, η (.45)) ονοµάζεται εξίσωση διάχυσης διαδαµατίζει ιδιαίτεα σηµαντικό όλο στη µελέτη ακετών πεδιακών ποβληµάτων..4. Μεταβαλλόµενο πεδίο σε καλά διηλεκτικά µέσα Εξίσωση κύµατος Όταν η χονική σταθεά χαλάωσης ενός µέσου Τ είναι πολύ µεγαλύτεη από την πείοδο τ = π/ ω της ηµιτονοειδούς χονικής µεταβολής (µονωτικά υλικά), τότε ο φα- 539

8 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ νταστικός όος της (.43) µποεί να πααληφθεί ( σ/ ωε ) οι (.39) (.43) καταλήγουν, αντίστοιχα, στις µε E E (.45) = (.46) E+ µεω E = Η εξίσωση (.45) εκφάζει τη γνωστή εξίσωση κύµατος, για ένα µέσο χωίς χωικά φοτία µε πολύ µική αγωγιµότητα (µονωτικό µέσο) σ. Από την εξίσωση διάχυσης (.44) την εξίσωση κύµατος (.45), εύκολα παατηούµε ότι στη µεν πώτη αγνοούµε το εύµα µετατόπισης J = D / λαµβάνου- µε υπόψη µόνο το εύµα αγωγιµότητας Jc = σe, ενώ στη δεύτεη αγνοούµε το εύµα αγωγιµότητας J c λαµβάνουµε υπόψη µόνο το εύµα µετατόπισης J d. Η εξίσωση (.45), η οποία, ποφανώς, ισχύει αν το E αντικατασταθεί από τα διανύσµατα H B, µποεί επίσης να γαφεί ως d όπου E E, (.47) υ = υ =, (.48) µε είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος στο θεωούµενο µέσο. Για τον ελεύθεο φοτίων ευµάτων κενό χώο ( J =, = ), οι (.47) (.48) καταλήγουν, αντίστοιχα, στις c E E (.49) c = µ ε 8 = 3 m/s (.5) όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό. 54

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.5 Ηλεκτοµαγνητικά δυναµικά Είναι πολύ εύκολο να παατηήσει κανείς ότι οι εξισώσεις Maxwell (.) (.4) ικανοποιούνται αυτόµατα όταν η µαγνητική επαγωγή B η ηλεκτική πεδιακή ένταση E θεωηθεί ότι ποκύπτουν από τις συνατήσεις του διανυσµατικού δυναµικού A του βαθµωτού ηλεκτικού δυναµικού φ, µέσω των σχέσεων B = µ H = A (.5) A E = φ (.5) Αντικατάσταση των (.5) (.5) στις (.) (.3) δίνει φ ε A A + + ε = µ J (.53) A ε φ+ ε = (.54) Αν θεωήσουµε ότι η διαπεατότητα µ η διηλεκτική σταθεά ε έχουν σταθεή τιµή, από τις (.53) (.54) ποκύπτουν οι A φ A µε A µε µ J (.55) + = φ φ φ µε + µε + = A ε (.56) Από τα ποηγούµενα, είναι φανεό ότι υφίσταται ελευθεία εκλογής των A φ. Έτσι, αν ψ είναι µια οποιαδήποτε αυθαίετη συνάτηση, τότε τα δυναµικά A φ που ποκύπτουν από τις σχέσεις (µετασχηµατισµός gauge) A = A ψ (.57) ψ φ = φ+ (.58) t 54

10 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ παάγουν ακιβώς τα ίδια πεδία µε τα δυναµικά A φ. Σύµφωνα, όµως, µε το θεώη- µα του Helmholtz για την πειγαφή του πεδίου εκτός από την στοφή A θα πέπει να οίζεται η απόκλιση A. Επειδή, λοιπόν, υπάχει ελευθεία επιλογής της απόκλισης A αν τα A φ εκλεγούν έτσι, ώστε να ικανοποιούν τη συνθήκη Lorenz A + µε φ =, (.59) τότε, από τις (.7) (.8) ποκύπτουν οι γνωστές µη οµογενείς εξισώσεις Helmholtz µε A A µ J (.6) = φ φ µε ε = / (.6) Είναι φανεό ότι για την ικανοποίηση της συνθήκης Lorenz, ακεί η συνάτηση ψ να εκλεγεί έτσι, ώστε να ικανοποιεί την ψ µε ψ = (.6) z J( r, t) ( r, t) R = r-r P(x,y,z) O r r y x Σχήµα - 54

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Οι λύσεις των (.6) (.6), όταν θεωούµε διάδοση από τις πηγές, που πειοίζονται σ έναν όγκο V, πος το άπειο, είναι της µοφής µ (, t ) (,) t = J r Ar dv (.63) 4π V R (, t ) φ(,) t = r r dv, (.64) 4πε V R όπου τα τονούµενα µεγέθη αναφέονται στο χώο των πηγών R t = t υ (.65) είναι ο χόνος καθυστέησης του κύµατος κατά τη διάδοσή του µε ταχύτητα υ = / µε σε απόσταση R = r r (.66) Τα δυναµικά A φ που ποκύπτουν από τις (.63) (.64), αντίστοιχα, ονο- µάζονται καθυστεηµένα δυναµικά (ή δυναµικά καθυστέησης). Στην πείπτωση ηµιτονοειδούς χονικής µεταβολής από τις (.59), (.63) (.64) ποκύπτουν οι ακόλουθες µιγαδικές εκφάσεις της συνθήκης Lorentz των δυναµικών καθυστέησης όπου A + jωµεφ =, (.67) µ ( ) jβr = J r A e dv, 4π R (.68) V ( ) jβr φ = r e dv, (.69) 4πε R V β = ω/ υ = ω µε = π/ λ (.7) Στην πείπτωση αυτή οι εντάσεις H E εκφάζονται συνατήσει µόνον του A δίνονται από τις σχέσεις H = A, (.7) µ 543

12 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ j E = A jωa (.7) ωµε Εκτός από τα δυναµικά πώτης τάξης A φ, η πειγαφή του πεδίου µποεί να γίνει µε την εισαγωγή ενός µόνο δυναµικού. Μια τέτοια δυνατότητα παέχει το διανυσµατικό µέγεθος Π (ονοµάζεται διάνυσµα Hertz ή δυναµικό πόλωσης) που συνδέεται µε τα A φ µε τις σχέσεις A = υ Π (.73) φ = Π, (.74) οπότε η συνθήκη Lorenz (.59) ικανοποιείται αυτόµατα, ενώ οι εξισώσεις (.6) (.6) γάφονται, αντίστοιχα, 3 Π Π µ = 4 3 υ J, (.75) υ ( Π) Π = (.76) υ ε Τα διανύσµατα E B δίνονται συνατήσει του Π από τις σχέσεις Π E = ( Π ) (.77) υ Π B =, (.78) υ t ενώ σ έναν ελεύθεο πηγών χώο ( J =, = ), οι (.75) (.76) ικανοποιούνται ταυτόχονα αν το διάνυσµα Π ικανοποιεί την κυµατική εξίσωση Π Π (.79) υ = 544

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.6 Το θεώηµα του Poynting Στην πείπτωση ενός πεδίου που εκτείνεται σ ένα οµογενές, γαµµικό ισότοπο µέσο, από τις εξισώσεις Maxwell (.), (.), (.3), (.4), τις καταστατικές σχέσεις (6.), (6.) τη διανυσµατική εξίσωση (.8), έχουµε διαδοχικά t ε µ D B E + H = E + H = E ( H J) H ( E) = ( E H) E J (.8) Με ολοκλήωση της (.8) σ έναν οποιοδήποτε όγκο V του µέσου, ποκύπτει η ε E + µ H dv + ( ) dv + dv = E H V E J (.8) V V Η (.8), αν ο δεύτεος όος του πώτου µέλους, µετασχηµατιστεί στο ισοδύναµο επιφανειακό ολοκλήωµα, σύµφωνα µε το θεώηµα του Gauss, γάφεται ε E + µ H dv + ( ) d + dv = E H S S E J, (.8) V V όπου S είναι η επιφάνεια που πεικλείει τον όγκο V. Στην (.8), ο πώτος όος εκφάζει την ταχύτητα µεταβολής της ενέγειας του η- λεκτικού του µαγνητικού πεδίου ενώ ο τίτος όος το ποσό της ενέγειας του ηλεκτοµαγνητικού πεδίου που µετατέπεται σε θεµότητα στη µονάδα του χόνου (ισχύς απωλειών Joule). Σύµφωνα, λοιπόν, µε την αχή διατήησης της ενέγειας, ο δεύτεος ό- ος αντιποσωπεύει την ενέγεια που διέχεται, δια της επιφάνειας S, στη µονάδα του χόνου (ακτινοβολούµενη ισχύς). Η εξίσωση (.8) αποτελεί τη µαθηµατική διατύπωση του θεωήµατος του Poynting υπό ολοκληωτική µοφή. Η ανά µονάδα επιφάνειας ακτινοβολούµενη ισχύς εκφάζεται από το παγµατικό διάνυσµα Poynting P = E H (.83) Στην πείπτωση που τα µεγέθη του εξεταζόµενου πεδίου µεταβάλλονται ηµιτονοειδώς µε το χόνο, χησιµοποιούνται, όπως ήδη αναφέθηκε, οι αντίστοιχοι µιγαδικοί συµ- 545

14 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ βολισµοί. Στην πείπτωση αυτή, αν µε E H παίστανται τα µιγαδικά διανύσµατα των E H, ισχύουν ποφανώς, οι σχέσεις jωt jωt jωt E = Re{ E e } = ( E e + E e ) (.84) jωt jωt jωt H = Re{ H e } = ( H e + H e ), (.85) όπου το σύµβολο χησιµοποιείται για τον συζυγή µιγάδα. Το διάνυσµα Sc = ( E H ), (.86) ονοµάζεται µιγαδικό διάνυσµα του Poynting. Το παγµατικό διάνυσµα Poynting P, µε αντικατάσταση των (.84), (.85) στην (.83) γάφεται ως j t P = Re{ E H } + Re{ E H e ω }, (.87) ή j t P = Re{ Sc } + Re{ E H e ω } (.88) Όπως εύκολα διαπιστώνεται, ο πώτος όος στην (.53) είναι ανεξάτητος του χόνου ενώ ο δεύτεος µεταβάλλεται ηµιτονοειδώς (µέση χονική τιµή µηδέν) µε διπλάσια κυκλική συχνότητα ω. Αν, στη συνέχεια, πάουµε την απόκλιση στα δύο µέλη της (.86), σύµφωνα µε την (.8) έχουµε Sc = ( E H ) = ( H E E H ) (.89) Από την (.89) τις εξισώσεις Maxwell E = jωb (.9) H J jωd, (.9) * = 546

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ποκύπτει ( E H ) = S c = E J jωh B + jωe D (.9) που αποτελεί τη διαφοική διατύπωση του θεωήµατος του Poynting υπό µιγαδική µοφή. Με ολοκλήωση της (.9) σ έναν όγκο V, εφαµογή του θεωήµατος του Gauss, ποκύπτει η αντίστοιχη ολοκληωτική διατύπωση του θεωήµατος του Poynting υπό µιγαδική µοφή Sc ds= ( ) S E H ds= dv S E J V (.93) + jω H B dv jω dv V E D V 547

16 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ.7 Πααδείγµατα. Να δειχτεί ότι η πυκνότητα J της έντασης του εύµατος σ ένα βαδέως µεταβαλλό- µενο ηλεκτοµαγνητικό πεδίο, ικανοποιεί την εξίσωση της διάχυσης J J, = µσ όπου µ σ είναι, αντίστοιχα, η µαγνητική διαπεατότητα η ειδική αγωγιµότητα του οµογενούς γαµµικού µέσου στο οποίο εκτείνεται το πεδίο. Η πώτη εξίσωση (.) του Maxwell, επειδή στο βαδέως µεταβαλλόµενο πεδίο το εύµα µετατόπισης θεωείται αµελητέο ως πος το εύµα αγωγιµότητας, καταλήγει στην H = J () Επίσης, αν πάουµε τη στοφή στα δύο µέλη της δεύτεης εξίσωσης (.) του Maxwell έχουµε ή B E = () E = B (3) Από την (3), επειδή ισχύουν οι καταστατικές σχέσεις J = σe, B = µ H, το µέσο είναι οµογενές γαµµικό, ποκύπτει η J = µσ H (4) Το πώτο µέλος της (4), αν λάβουµε υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα (.8) την (), γάφεται = = J ( J) J ( H) J (5) ή, επειδή ο πώτος όος στο δεξιό µέλος της (5) είναι ίσος µε µηδέν J = J (6) 548

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τελικά η (4), αν λάβουµε υπόψη την () την (6) οδηγεί στη ζητούµενη εξίσωση διάχυσης J J (7) = µσ. Να δειχτεί ότι αν ένα ηλεκτοµαγνητικό πεδίο ( E, H ), ικανοποιεί τις εξισώσεις Maxwell σ ένα οµογενές γαµµικό µέσο στο οποίο δεν υπάχουν εύµατα αγωγιµότητας ( J = ), ούτε χωικά ηλεκτικά φοτία ( = ), τότε, το δυαδικό πεδίο ( E, H ) που οίζεται από τις σχέσεις µ ε ικανοποιεί, επίσης, τις εξισώσεις Maxwell. ε H E, µ E = H, = Οι εξισώσεις Maxwell (.), (.), (.3) (.4), για το πεδίο ( E, H ) επειδή J = =, D = εe B = µ H, γάφονται αντίστοιχα ε E = t H, () µ H = t E, () E =, (3) H = (4) ή, µε αντικατάσταση των H E από τις σχέσεις ε H = E (5) µ µ E = H, (6) ε ε µ H = µ ε E ε, (7) 549

18 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ µ ε E = + ε µ H µ, (8) µ H = (9) ε ε = µ E () Από τις (7), (8), (9) (), αν λάβουµε υπόψη τις καταστατικές σχέσεις B = µ H () D = εe, () µποούµε να συµπεάνουµε ότι το δυαδικό πεδίο ( E, H ) ικανοποιεί τις εξισώσεις Maxwell. Πάγµατι, η (8), λόγω της (), γάφεται η (7), λόγω της (), η (), λόγω της (), η (9), λόγω της (), D = t H, (3) B = t E, (4) D =, (5) B = (6) Οι εξισώσεις (3), (4), (5) (6) αντιστοιχούν, ποφανώς, στις εξισώσεις Maxwell (.), (.), (.3) (.4), σ ένα µέσο χωίς εύµατα αγωγιµότητας ( J = ) χωικά ηλεκτικά φοτία ( = ). 55

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.3 Πυκνωτής πααλλήλων πλακών αποτελείται από δύο κυκλικές πλάκες εµβαδού S. Αν το φοτίο των πλακών µεταβάλλεται πειοδικά κατά τη σχέση Q = Q cos ωt, ζητείται ο ποσδιοισµός της ηλεκτικής πεδιακής έντασης E, της µαγνητικής πεδιακής έ- ντασης H του παγµατικού διανύσµατος Poynting P, στο χώο µεταξύ των πλακών στον οποίο θεωείται ότι πειοίζεται το πεδίο. ίνεται ότι ο µεταξύ των πλακών χώος έχει διηλεκτική σταθεά ε ειδική αγωγιµότητα σ =. Αγνοώντας τα φαινόµενα των άκων, από τα γεωµετικά φυσικά χαακτηιστικά του ποβλήµατος, θεωούµε ότι το ηλεκτικό πεδίο είναι παντού οµοιόµοφο ότι το µαγνητικό πεδίο εµφανίζει κυλινδική συµµετία πεί τον άξονα z. z () l S ϕ O y S x Σχήµα -3 Αν s είναι η πυκνότητα των επιφανειακών φοτίων της κάτω πλάκας του πυκνωτή, από τη γενική οιακή συνθήκη του πεδίου = D, () s 55

20 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ έχουµε Q Q D= sz = z = cos ωtz, () S S οπότε η ηλεκτική πεδιακή ένταση δίνεται από τη σχέση D = = Q E cos ωtz, (3) ε εs όπου z είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την κάθετη στις πλάκες διεύθυνση. Η πυκνότητα του εύµατος J στον µεταξύ των πλακών χώο, όπου η ειδική αγωγι- µότητα σ έχει µηδενική τιµή, είναι J = σe = (4) Έτσι, η πώτη εξίσωση Maxwell, στο χώο αυτό, γάφεται D H = (5) t Στη συνέχεια, θεωούµε έναν επίπεδο κυκλικό δίσκο ακτίνας, παάλληλο πος τις πλάκες µε το κέντο του στον άξονα z. Με εφαµογή του θεωήµατος του Stokes, έ- χουµε S H ds = H dl, (6) όπου S είναι η επιφάνεια του δίσκου (l ) το πείγαµµά του. Αν () l H = H( ) ϕ, (7) είναι η ένταση του µαγνητικού πεδίου σε µια ακτινική απόσταση από τον άξονα z, ό- που ϕ είναι το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα στο πείγαµµα του δίσκου, η (6), λόγω των (5) (7), γάφεται π = = S D d S H( ) dϕ( ϕ ϕ ) πh( ) (8) Με αντικατάσταση της διηλεκτικής µετατόπισης D από την () στην (8) έχουµε ή Q S z z, ωsin ωt ( ) ds πh( ) = S Q sin ω ω π π ( ) t H S = (9) 55

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ δηλαδή, Q H = H( ) ϕ = ωsinωtϕ () S Τέλος, µε αντικατάσταση των εκφάσεων των εντάσεων E H από τις (3) () στη σχέση P = E H, () ποκύπτει η ζητούµενη έκφαση του παγµατικού διανύσµατος Poynting ή Q Q P cos t sin t ( z ϕ ), = ω ω ω εs S Qω P = sin ωt, () 4ε S όπου είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την ακτινική διεύθυνση..4 Πυκνωτής πααλλήλων πλακών, αποτελείται από δύο πλάκες εµβαδού S τοποθετη- µένες σε απόσταση d. Ο µεταξύ των πλακών χώος πληούται µε διηλεκτικό διηλεκτικής σταθεάς ε µηδενικής ειδικής αγωγιµότητας. Παάλληλα πος τον πυκνωτή έχει συνδεθεί πηγή συνεχούς τάσης V ωµική αντίσταση R. Τη χονική στιγµή t =, ανοίγει ο διακόπτης δ η πηγή τίθεται εκτός του συστήµατος. Ζητείται ο υπολογισµός του συνολικού εύµατος µετατόπισης σε κάθε χονική στιγµή t. Τι θα συνέβαινε αν το µεταξύ των πλακών µέσο είχε ειδική αγωγιµότητα σ ; (Να αγνοηθούν τα φαινόµενα των άκων). Θεωούµε, πάλι, ότι το πεδίο εκτείνεται µόνο στον χώο µεταξύ των πλακών ότι είναι οµοιόµοφο. Αν Qt () είναι το φοτίο του πυκνωτή It () το εύµα εκφότισής του τη χονική στιγµή t ( t > ), τότε, επειδή dq() t It () =, () dt 553

22 V ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ d S εσ, R c R δ Σχήµα -4 ισχύει, ποφανώς, η όπου είναι η χωητικότητα του πυκνωτή. είναι η πυκνωτή dq Q R + =, () dt C S C = ε, (3) d Η λύση της διαφοικής εξίσωσης () επειδή, για t =, έχουµε την αχική συνθήκη Q() Qt () CVe = CV, (4) t/ RC = (5) Από την (5) ποκύπτει η πυκνότητα s των επιφανειακών φοτίων στις πλάκες του Qt () C t/ RC s Ve = = (6) S S 554

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Από τη διηλεκτική µετατόπιση D, που λόγω των (3) (6), δίνεται από την ε D d ποκύπτει η πυκνότητα του εύµατος µετατόπισης D V V JD = = e = e RCd RS Το συνολικό, συνεπώς, εύµα µετατόπισης είναι t/ RC = s = Ve, (7) ε t/ RC t/ RC D V t/ RC ID = S = e (9) R Εύκολα διαπιστώνεται ότι το αποτέλεσµα αυτό είναι ίσο αντίθετο µε το εύµα It () που υπολογίζεται µε αντικατάσταση του Qt () από την (5) στην (): dq() t V t/ RC It () = = e () dt R Στην πείπτωση όπου το µέσο του πυκνωτή έχει αγωγιµότητα σ, ο πυκνωτής είναι ισοδύναµος πος τη χωητικότητα C συνδεδεµένη παάλληλα πος την αντίσταση d Rc = () σs Έτσι, το πόβληµά µας καταλήγει σ εκείνο του αχικού πυκνωτή όταν αντί της αντίστασης R υφίσταται ο συνδυασµός των δύο παάλληλα συνδεδεµένων αντιστάσεων R R c. Αυτό, συνεπώς, που χειάζεται να κάνουµε είναι να θεωήσουµε αντί της R την ισοδύναµη αντίσταση RRc R = R + R () των δύο αντιστάσεων R R c. Το ζητούµενο εύµα µετατόπισης I D, στην πείπτωση αυτή, που υπολογίζεται από την (9) µε αντικατάσταση της R από την R, δίνεται από την c (8) t σs V t/ R C σs + C R d ID = e = V + e R R d (3) 555

24 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ.5 Η στιγµιαία τιµή του διανύσµατος A του µαγνητικού διανυσµατικού δυναµικού (Μ ) σε κάποια θέση ενός ηλεκτοµαγνητικού πεδίου δίνεται από τη σχέση A = Az = Az = ( 3cosωt 4sinωt) z z όπου z το κατά τη θετική διεύθυνση του άξονα z µοναδιαίο διάνυσµα. Ζητείται, µε τη βοήθεια του µιγαδικού συµβολισµού του πιο πάνω µεγέθους, ο ποσδιοισµός των σταθεών A, A, θ, θ στις δύο πειπτώσεις όπου η πιο πάνω στιγµιαία τιµή του Μ εκφάζεται ε- ναλλακτικά ως: α) A = A cos( ωt + θ ) z, β) A = A sin( ωt + θ ) z. Αν η συνάτηση φ του βαθµωτού ηλεκτικού δυναµικού θεωηθεί παντού σταθεή, να ποσδιοισθεί η στιγµιαία η µιγαδική έκφαση της ηλεκτικής πεδιακής έντασης στο θεωούµενο σηµείο. Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η υπενθύµιση στον αναγνώστη απλών εννοιών µετατοπών, γνωστών από τη θεµελιώδη ανάλυση των κυκλωµάτων εναλλασσόµενου εύ- µατος. Σύµφωνα, λοιπόν, µε τη σχετική ανάλυση της θεωίας των κυκλωµάτων για την ε- πίλυση του ποβλήµατος ενδείκνυται η χησιµοποίηση στεφόµενων διανυσµάτων. α) Για να εκφασθεί η παάσταση 3cosωt 4sinωt ως A cos( ωt + θ), χησιµοποιούµε το συνήθη µιγαδικό συµβολισµό µε αναφοά στο cos ω t (παγµατικό µέος), ο- π πότε, επειδή sin ωt = cos( ωt ), η στιγµιαία τιµή του Μ γάφεται διαδοχικά Συνεπώς, π At () = 3cosωt 4sinωt= 3cosωt 4cos( ωt ) j( t π ) j π jωt ω { } ( ) jωt { } = Re 3e 4e = Re 3 4e e jωt j53, jωt = Re {( 3 + j4) e } = Re { 5e e } = 5 cos( ωt + 53, ) A = 5 θ = 53, =, 97 rad () Ο αντίστοιχος µιγαδικός συµβολισµός είναι ποφανώς ο j 53, A = 3+ j4 = 5e = 5 53, () 556

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ β) Στη δεύτεη πείπτωση, ο µιγαδικός συµβολισµός, για ευκολία, αναφέεται στο π sin ω t (φανταστικό µέος), οπότε, επειδή cos ωt = sin( ωt + ), έχουµε διαδοχικά ηλαδή π At () = 3 cos ωt 4 sin ωt= 3 sin( ωt+ ) 4 sin ωt j( ωt+ π ) j π jωt jωt { e e } ( e ) e { } = Im 3 4 = Im 3 4 jωt j43, jωt = Im {( j3 4) e } = Im { 5e e } = 5 sin( ωt + 43, ) A = 5 θ = 43, =, 5 rad (3) Ποκειµένου, στη συνέχεια, να ποσδιοίσουµε την ηλεκτική πεδιακή ένταση, από τη (.5), επειδή φ = const, έχουµε A E =, (4) t ενώ η αντίστοιχη µιγαδική έκφαση είναι, ποφανώς, η E = jωa (5) Από τις (), (), (4) (5) ποκύπτουν οι ζητούµενες εκφάσεις E() t = ω( 3sinωt + 4cosωt) z = 5ωsin( ωt + 53, ) z = 5ωcos( ωt + 43, ) z, j53, j( , ) j43, E = jω5e = 5ωe = 5ωe = 5ω 43, = 5ω 36,9 (7) (6).6 Οι εκφάσεις των στιγµιαίων τιµών των εντάσεων E H ενός ηλεκτοµαγνητικού πεδίου στον κενό χώο, σ ένα σύστηµα κυλινδικών συντεταγµένων ϕ,,z, δίνονται, αντίστοιχα, από τις 5 cos t z 6 ( β 6 E = + ) ϕ V/m, H = cos( t + βz) H A/m Να γαφούν οι, αντίστοιχες, εκφάσεις των µιγαδικών (στεφόµενων) διανυσµάτων E H, να ποσδιοιστούν οι σταθεές H β έτσι, ώστε να ικανοποιούνται οι εξισώσεις Maxwell. 557

26 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ Τα στεφόµενα µιγαδικά διανύσµατα E H, αφού οι στιγµιαίες τιµές E H δίνονται από τις j t = Re{ e ω } E E j t, = Re{ e ω } H H () όπου 6 ω = s -, έχουν, ποφανώς, τις εκφάσεις 5 e j β z H E = ϕ, e jβz H = () Στον ελεύθεο κενό χώο, όπου ν =, σ =, ε = ε, µ = µ, οι εξισώσεις Maxwell, µε χησιµοποίηση µιγαδικών µεγεθών, γάφονται D E H = J+ = σe+ ε H = jωεe (3) B H E = = µ E = jωµ H (4) D= ε E = E = (5) B = µ H = H = (6) Με αντικατάσταση των εκφάσεων των E H, από τις (), στη σχέση που δίνει την απόκλιση µιας διανυσµατικής συνάτησης σε κυλινδικές συντεταγµένες, φαίνεται, αµέσως, ότι E ϕ 5 jβz E = = e = ϕ ϕ (7) j z = ( H ) ( He β = ) = (8) δηλαδή οι δύο από τις τέσσεις εξισώσεις του Maxwell ικανοποιούνται αυτόµατα. Παόµοια, µε αντικατάσταση των E H, από τις (), στη σχέση που δίνει την στοφή µιας διανυσµατικής συνάτησης σε κυλινδικές συντεταγµένες, έχουµε διαδοχικά j z H β H jβz jβhe H = e = = ϕ ϕ (9) z 558

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( E ϕ ) 5 E j z ϕ E β ϕ 5 jβz E = e ϕ = + = = jβ e z () z z Για να ικανοποιείται, συνεπώς, η (3) πέπει, λόγω των () (9), να ισχύει η δηλαδή, η δηλαδή, η jβh j z 5 e β j z j e β ϕ = ωε ϕ βh = 5ωε () Επίσης, για να ικανοποιείται η (4), πέπει, λόγω των () (), να ισχύει η H jβ e jωµ e 5 j β z j β z = H 5 = () β ωµ Με, κατά µέλη, πολλαπλασιασµό διαίεση των () () ποκύπτουν, για τις ζητούµενες σταθεές H, β οι εκφάσεις H =±,36 η =± µ ε =± π =± A (3) 6 ω 3 β =± ω µ ε =± =± =± 3, 33 rad/m (4) 8 c 3 Από τα δεξιά, όµως, µέλη των () () που είναι θετικές ποσότητες φαίνεται, αµέσως, ότι οι σταθεές β H πέπει να είναι οµόσηµες. Συνεπώς, η ισχύς των δύο πώτων εξισώσεων (3) (4) του Maxwell διασφαλίζεται όταν οι τιµές των σταθεών β H είναι, αντίστοιχα: H =,36 A. β 3 = 3, 33 rad/m,,36 H = A, ή β 3 = 3, 33 rad/m, 559

28 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ.7 Ηλεκτοµαγνητική κοιλότητα συνίσταται από τµήµα οµοαξονικής γαµµής µήκους l που πειοίζεται στα δύο άκα της z = z = l από δύο υπεαγώγιµα επίπεδα. Οι α- κτίνες a b του εσωτεικού του εξωτεικού αγωγού της κοιλότητας είναι, αντίστοιχα, a = 5 mm b = mm. Ο µεταξύ των αγωγών χώος της κοιλότητας πληούται µε µη αγώγιµο ( σ = ) διηλεκτικό υλικό σχετικής διηλεκτικής σταθεάς ε r µαγνητικής διαπεατότητας µ (σχήµα -5). Η στιγµιαία τιµή της µαγνητικής πεδιακής έντασης στο ελεύθεο πηγών διηλεκτικό µέσο δίνεται από την π cos cos 8 H = z ( 4 π t ) l ϕ A/m Ζητείται ο υπολογισµός: α) Της ηλεκτικής πεδιακής έντασης E στο διηλεκτικό µέσο β) Της πυκνότητας επιφανειακού εύµατος J s (ή K ) στις επιφάνειες αγωγών της γαµµής = a = b των γ) Της πυκνότητας J d του εύµατος µετατόπισης στα σηµεία του διηλεκτικού υλικού δ) Το συνολικό εύµα µετατόπισης I d που διέχεται από την κυλινδική επιφάνεια της κοιλότητας z a b z = l Σχήµα -5 Αν H είναι ο µιγαδικός συµβολισµός της µαγνητικής πεδιακής έντασης, τότε, επειδή η δοθείσα στιγµιαία έκφαση της έντασης H γάφεται π cos cos ( ) Re jωt H = z ωt = { e } l ϕ H () 56

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ όπου ω 8 = 4π s -, έχουµε H π = H ϕ ϕ = cos z l ϕ () α) Από την πώτη εξίσωση Maxwell, σε µιγαδική µοφή, επειδή J =, H = jωε ε E, ποκύπτει, αµέσως, η ζητούµενη ηλεκτική πεδιακή ένταση σε µιγαδική µοφή ϕ ωεrε ωεrε z ωεrε l l r H j H j π π E = E = j = = sin z, (3) οπότε, η στιγµιαία της τιµή δίνεται από την ωεr ε l l jωt π π E = E = Re{ E e } = sin z sin( ωt) (4) β) Η πυκνότητα J s του επιφανειακού εύµατος υπολογίζεται από τη γνωστή οιακή συνθήκη J = n s ( H H ) (5) όπου n το µοναδιαίο, κάθετο στη διαχωιστική επιφάνεια, διάνυσµα µε φοά από το µέσο πος το µέσο. Έτσι, για = a, επειδή το πεδίο στο αγώγιµο υλικό είναι µηδενικό ( H = ), από τις () (5) έχουµε J π cos cos( ) π s = H = z ωt cos z cos( ωt) = a = a = a l ϕ a l z (6) Παόµοια, για = b, επειδή H =, έχουµε J ( ) π cos cos( ) π S = H = z ωt cos z cos( ωt) = b = b = b l ϕ b l z (7) γ) Η πυκνότητα J d του εύµατος µετατόπισης δίνεται από τη σχέση D E J d = = εε r, (8) οπότε, µε αντικατάσταση της (4) στην (8), έχουµε J π π d = sin z cos( ωt ) l l (9) 56

30 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ δ) Το συνολικό εύµα µετατόπισης I d υπολογίζεται από την ολοκλήωση της πυκνότητας του εύµατος µετατόπισης ακτίνας (a b) J d σε µια οποιαδήποτε κυλινδική επιφάνεια µήκους l ή δηλαδή l π l π l π d d d d I = J ds= ( J ) ϕ d dz = J ϕ d dz, l π l π π π l π Id = sin z cos( ωt) dϕdz π cos z cos( ωt) l = l l π l, Id = 8πcosωt ().8 Απέαντη διηλεκτική πλάκα πάχους h, διηλεκτικής σταθεάς ε =, 56ε, µαγνητικής διαπεατότητας µ = µ, βίσκεται στον ελεύθεο χώο (σχήµα -6). Αν η στιγµιαία τιµή της ηλεκτικής πεδιακής έντασης E στο εσωτεικό της πλάκας δίνεται από τη σχέση E = ( 5y + z ) cos( ωt βx) V/m όπου β = ω µ ε, ζητείται να βεθούν: α) Η στιγµιαία τιµή της µαγνητικής πεδιακής έντασης H στη διηλεκτική πλάκα. β) Οι στιγµιαίες τιµές των εντάσεων E H στην πάνω (y = h + ) κάτω (y = h ) όψη της πάνω επιφάνειας της πλάκας. Να θεωηθεί ότι στις δύο διαχωιστικές επιφάνειες y =± h δεν υφίστανται διανεµηµένα επιφανειακά φοτία εύµατα. γ) Το παγµατικό το µιγαδικό διάνυσµα Poynting. όπου Αν υιοθετήσουµε µιγαδικούς συµβολισµούς, από τη δοθείσα σχέση, έχουµε j ωt βx jωt { } { } ( ) E = ( 5y + z ) cos( ωt βx) = Re ( 5y + z ) e = Re E e j x E = ( 5y + z ) e β () 56

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ y h h ε, µ ε =, 56ε µ x z ε, µ Σχήµα -6 α) Από τη µιγαδική διαφοική διατύπωση του νόµου της επαγωγής του Faraday ( η εξίσωση Maxwell) E = jωb = jωµ H, () λόγω της (), ποκύπτει η µιγαδική τιµή της µαγνητικής πεδιακής έντασης ή E z E y H = E = + jωµ jωµ y z, x x Συνεπώς, η στιγµιαία τιµή της δίνεται από την 3 j x H = 4, 44 ( y + 5z ) e β A/m (3) jωt 3 { e } ( ) ( ωt βx) H = Re H = 4, 44 y + 5z cos Α/m (4) β) Η απάντηση στο δεύτεο εώτηµα ποκύπτει από την απαίτηση ικανοποίησης των οιακών συνθηκών στις δύο διαχωιστικές επιφάνειες y = h + y = h. Οι συνθήκες αυτές, ως γνωστόν, αναφέονται στη συνέχεια των εφαπτοµενικών συνιστωσών της ηλεκτικής έντασης E ( Et = Et ) της έντασης H ( Ht = Ht, εφόσον J S = ), καθώς 563

32 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ επίσης στη συνέχεια των καθέτων συνιστωσών της µαγνητικής επαγωγής B ( Bn = Bn ) της διηλεκτικής µετατόπισης D ( Dn = Dn, εφόσον s = ). ή δηλαδή, δηλαδή Έτσι, από τη συνέχεια των συνιστωσών του ηλεκτικού πεδίου, έχουµε z + ( ) ( ) cos( ω β ) E y = h = E y = h = t z, (5) z ( + ) ( ) ε ( + ) ε ε ( ) D y = h = D y = h E y = h = E y = h, y y y r y ( + ) ε ( ),56 5 cos( ω β ), 8 cos( ω β ) E y = h = E y = h = t x = t x, (6) y r y + E( y = h ) = (, 8y + z ) cos( ωt βz) (7) Επίσης, από τη συνέχεια των συνιστωσών του µαγνητικού πεδίου, έχουµε z + 3 ( ) ( ) 4, 44 5 cos ( ω β ) H y = h = H y = h = t x (8) z + + ( ) ( ) µ ( ) µ ( ) B y = h = B y = h H y = h = H y = h, y y y y y + 3 ( ) ( ) 4, 44 ( ) cos ( ω β ) H y = h = H y = h = t x, (9) y + H( y = h ) = 4, 44 3 ( y + 5z ) cos ( ωt βx) () Κατά παόµοιο τόπο στην κάτω επιφάνεια της πλάκας, βίσκουµε + E( y = h ) = (, 8y + z ) cos( ωt βz) () H( y = h ) = 4, 44 3 ( y + 5z ) cos ( ωt βx) () γ) Από τη δοθείσα έκφαση της στιγµιαίας τιµής της ηλεκτικής πεδιακής έντασης τις (), (3) κα (4) υπολογίζονται, εύκολα, το παγµατικό διάνυσµα Poynting P το µιγαδικό διάνυσµα Poynting S c : P= E H = ( 5 ) ( ) 3 + cos ωt βx 4, 44 ( + 5 ) cos( ωt βx) y z y z, ή P =,535 cos ( ωt βx) x =,655[ + cos ( ωt βx) ] x (3) 564

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ή * 3 ( 5 jβx ) 4,44 ( 5 jβx Sc = E H = y + e + ) e z y z, Sc =,655x (4).9 Από τη σχέση που δίνει το µιγαδικό µαγνητικό διανυσµατικό δυναµικό καθυστέησης A συνατήσει της ευµατικής κατανοµής J ( r ), να βεθεί η έκφαση της µαγνητικής πεδιακής έντασης H συνατήσει της ευµατικής πυκνότητας εύµατος J ( r ). Στη συνέχεια, από την έκφαση της έντασης H, να βεθεί η σχέση που δίνει την ηλεκτική πεδιακή ένταση E συνατήσει, επίσης, της ευµατικής κατανοµής J ( r ). Η µαγνητική πεδιακή ένταση H, λόγω των (.68) (.7), δίνεται από την jβr jβr H µ e e = ( ) dv ( ) dv µ A = = µ 4π Jr V R 4π Jr () R V Με τη βοήθεια της διανυσµατικής ταυτότητας ( fa) = f A A f, () λαµβάνοντας υπόψη ότι η ευµατική πυκνότητα J( r ) δεν είναι συνάτηση της απόστασης r, η () γάφεται ως jβr e H = J ( r ) dv 4π R (3) V Επειδή η αγωγιµότητα σ του µέσου θεωείται µηδενική, από την πώτη εξίσωση Maxwell την (3) έχουµε ή jβr e E = H = ( ) dv J r jωε j4πωε R, V jβr j e E = J ( r ) dv 4πωε R (4) V 565

34 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ Η (4), µε τη βοήθεια της διανυσµατικής ταυτότητας γάφεται ( A B) = A B B A+ ( B ) A ( A ) B, (5) jβr jβr j e e E = J ( r ) ( ) 4πωε R R J r V jβr jβr e e + ( ) ( ) dv R Jr Jr R Αν λάβουµε υπόψη ότι η J ( r ) είναι ανεξάτητη της r, ο δεύτεος τίτος όος στο ολοκλήωµα του δεξιού µέλους της (6) είναι ίσοι µε µηδέν, οπότε η (6) καταλήγει στην jβr jβr j e e E = J ( r ) ( ) dv 4πωε R J r R (7) V Επειδή, όµως, µε χησιµοποίηση σφαιικών συντεταγµένων, έχουµε (6) e e e = = R R R R R R jβr jβr jβr R β η ζητούµενη έκφαση της έντασης E είναι, τελικά, η, (8) jβr j e E = β ( ) + ( ) dv 4πωε J r J r (9) R V. Σε έναν ελεύθεο πηγών χώο ( =, J = ) η συνάτηση του µαγνητικού διανυσµατικού δυναµικού A δίνεται, σε σφαιικές συντεταγµένες, από τη σχέση ωr µ j A = ( cos θr sin θθ) e c 4π όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Να δειχθεί ότι η συνάτηση αυτή του Μ ικανοποιεί την εξίσωση κύµατος. Να βεθούν, επίσης, οι µιγαδικές εκφάσεις του βαθµωτού ηλεκτικού δυναµικού φ των πεδιακών εντάσεων E H. Ας ζητήσουµε, αχικά, να αποδείξουµε ότι η δοθείσα διανυσµατική συνάτηση ικανοποιεί την κυµατική εξίσωση 566

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ µ ε A A A = A = () c ή, µε χησιµοποίηση µιγαδικών µεγεθών, την οµογενή διανυσµατική εξίσωση Helmholtz ω A + ω µ εa = A + A = () c Από τη γνωστή διανυσµατική ταυτότητα ( ) A A A (3) = τις εκφάσεις των τελεστών, σε σφαιικές συντεταγµένες, έχουµε ( ) ( sin ) ωr rar θ A θ µ j jω c A = + = e cos θ + r r r sin θ θ 4π r cr (4) µ ω ω ω 4π cr c r r r cr (5) ωr j c j j A = e cos θ + r + sin θ + 3 θ ( ra ) A ωr j r c e sin j θ µ ω A = θ r r θ ϕ = + 4π cr r ϕ (6) µ ω ω ω 4π cr r c r cr r (7) ωr j c j j A = e cos θ + r + sin θ + + θ 3 Η (), λόγω των (5) (7), γάφεται ωr ω µ j A = ( cos θr sin θθ) e c (8) 4πcr ή, αν λάβουµε υπόψη τη δοθείσα έκφαση του A, ω A + A = (9) c Το βαθµωτό ηλεκτικό δυναµικό φ, αφού το µαγνητικό διανυσµατικό δυναµικό A ικανοποιεί την κυµατική εξίσωση, υπολογίζεται από τη συνθήκη Lorentz A + µ ε φ = () ή, σε µιγαδικό συµβολισµό, jω A + jωµ εφ = A+ φ = () c από την οποία, λόγω της (4), ποκύπτει 567

36 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ ωr cos θ j c φ = e + 4πε cr jωr (3) Η µαγνητική πεδιακή ένταση H υπολογίζεται, αµέσως, από την (6) ωr B A j c jω H = = = e sin θ + µ µ 4π cr r ϕ (4) Η ηλεκτική πεδιακή ένταση δίνεται από την A E = φ, t ή, σε µιγαδικό συµβολισµό, από την E = φ jωa, (5) η οποία, λόγω της συνθήκης Lorentz (), γάφεται j jc E = ( ) jω jω ωµε A A = ω A A (6) Αντικατάσταση της δοθείσας έκφασης του Μ A της A (από την (5)) στην (6), δίνει τη ζητούµενη έκφαση της ηλεκτικής πεδιακής έντασης ωr jc µ j c jω ω jω E = e cos θ sin θ 3 4πω cr r r c r cr r θ (7) Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε από τη σχέση αν λάβουµε υπόψη την (7). c E = jωε H = jωε µ B = jω A, 568

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.8 Ασκήσεις H z των εντάσεων E H ενός ηλεκτοµαγνη- / Οι συνιστώσες E y, τικού πεδίου είναι µηδενικές. E z H x, (α) Πώς απλουστεύονται οι εξισώσεις Maxwell στην πείπτωση αυτή; ίνεται ότι η πυκνότητα των χωικών φοτίων είναι παντού µηδενική. (β) Αν η στιγµιαία τιµή της συνιστώσας τη χονική ηµιτονοειδή µεταβολή E x της ηλεκτικής πεδιακής έντασης εµφανίζει E = E sin( ωt βz) x µε συχνότητα 5 MHz το πεδίο εκτείνεται σ ένα οµογενές µέσο στο οποίο οι τιµές της σχετικής διηλεκτικής σταθεάς ε r, της σχετικής µαγνητικής διαπεατότητας µ r της 5 ειδικής ηλεκτικής αγωγιµότητας σ είναι, αντίστοιχα, ε r = 6, µ r = σ = S/m, να βεθεί ποια πεαιτέω απλούστευση των εξισώσεων Maxwell είναι δυνατή, διολογούµενη από τα πααπάνω αιθµητικά δεδοµένα. (γ) Για τα πιο πάνω δεδοµένα να ποσδιοιστεί η σταθεά β της ποηγούµενης σχέσης η ένταση H του µαγνητικού πεδίου. / Οι εντάσεις E H ενός ηλεκτοµαγνητικού πεδίου που εκτείνεται στο χώο x a δίνονται από τις σχέσεις E = E y y, H = Hxx + Hzz, όπου a πx Ey = H µω sin sin( kz ωt) π a, a πx Hx = Hk sin sin( kz ωt) π a, πx Hz = H cos cos( kz ωt) a ω µε = k + ( π/ a) 569

38 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ Ζητούνται: (α) Να επαληθευτεί, µε αντικατάσταση, ότι τα διανύσµατα E H ικανοποιούν τις ε- ξισώσεις Maxwell, εάν ο χώος δεν έχει χωικά εύµατα φοτία. (β) Να βεθεί το εύµα µετατόπισης. (γ) Να υπολογιστεί το διάνυσµα Poynting. (δ) Αν ο χώος x < x > a είναι τελείως αγώγιµος, να επαληθευτούν οι οιακές συνθήκες στις διαχωιστικές επιφάνειες x = x = a να βεθούν τα τυχόν επιφανειακά εύµατα φοτία. /3 Η ηλεκτική η µαγνητική πεδιακή ένταση ενός ηλεκτοµαγνητικού πεδίου, που εκτείνεται στον άπειο κενό χώο, εµφανίζουν ηµιτονοειδή χονική µεταβολή κυκλικής συχνότητας ω. Οι συνιστώσες της ηλεκτικής πεδιακής έντασης δίνονται από τις σχέσεις όπου k E σταθεές. Ζητείται: (α) Να υπολογιστεί η σταθεά k. Ex = E sin( ωt kz), E =, E z =, (β) Να πειγαφεί ο τόπος µε τον οποίο διαδίδεται η ενέγεια. y (γ) Να βεθεί η µέση τιµή της πυκνότητας ενέγειας σε κάθε σηµείο του χώου. 3 /4 Αν E() t = cos( 8 t x + 6 ) x είναι η έκφαση της στιγµιαίας τιµής της ηλεκτικής πεδιακής έντασης B = ( / j) x + exp{ j πx } y η έκφαση της µαγνητικής επαγωγής σε µιγαδικό συµβολισµό, ζητείται ο ποσδιοισµός του µιγαδικού διανύσµατος E του στιγµιαίου διανύσµατος B () t. /5 Η ηλεκτική πεδιακή ένταση E ενός ηλεκτοµαγνητικού πεδίου που εκτείνεται στον κενό χώο δίνεται, για τα αποµακυσµένα σηµεία του χώου, σε σφαιικές συντεταγµένες r, θϕ,, από τη σχέση 57

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ sin θ 7 E = cos ( 6 t β r ) ϕ V/m r Να υπολογισθεί η τιµή της σταθεάς β, να βεθεί η έκφαση της στιγµιαίας τιµής της µαγνητικής πεδιακής έντασης H. /6 Οµοαξονική γαµµή µεταφοάς εσωτεικής ακτίνας a εξωτεικής ακτίνας b πληούται µε οµογενές διηλεκτικό µέσο σχετικής διηλεκτικής σταθεάς ε r, µαγνητικής διαπεατότητας µ = µ ειδικής αγωγιµότητας σ =. Η στιγµιαία τιµή της ηλεκτικής πεδιακής έντασης E στο ελεύθεο πηγών διηλεκτικό µέσο της γαµµής δίνεται από τη σχέση 8 E = cos ( t βz ) όπου β σταθεά, η κυλινδική ακτινική απόσταση από τον άξονα τα γαµµής (που ταυτίζεται µε τον άξονα z ) το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Ζητείται ο ποσδιοισµός: (α) της στιγµιαίας τιµής της µαγνητικής πεδιακής έντασης H, (β) της (φασικής) σταθεάς β, (γ) της πυκνότητας του εύµατος µετατόπισης J d, (δ) του παγµατικού διανύσµατος Poynting P. /7 (α) Να δειχτεί ότι οι διανυσµατικές συνατήσεις a πx E = Aµω sin sin( kz ωt) π a y H a πx πx = Ak sin sin( kz ωt) Acos cos( kz ωt) π + a x a z, 57

40 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ όπου k = ω µε ( π/ a) Aa,, ω σταθεές, µποούν να εκφάζουν την ηλεκτική µαγνητική ένταση, αντίστοιχα, ηλεκτοµαγνητικού πεδίου, που εκτείνεται σ ένα ελεύθεο πηγών ( =, J = ) οµογενές, γαµµικό ισότοπο µέσο διηλεκτικής σταθεάς ε µαγνητικής διαπεατότητας µ. (β) Να ποσδιοιστεί το παγµατικό µιγαδικό διάνυσµα Poynting η µέση χονική ισχύς που διέχεται από την επιφάνεια ενός τεταγώνου κάθετου στη διεύθυνση του άξονα z µε συντεταγµένες των κουφών του: (, aa, ), (,,a ), ( a,, a ) ( aaa,, ). (γ) Να γίνει επαλήθευση του γενικευµένου νόµου του Ampère για το πείγαµµα του πιο πάνω τεταγώνου. /8 Να αποδειχτεί ότι η επίλυση των εξισώσεων Maxwell σ ένα πεδίο που εκτείνεται στον κενό χώο ( µ = µ, ε = ε, σ = = ), µποεί να γίνει µέσω των σχέσεων E = A ε A H = V, t όπου η διανυσµατική συνάτηση A η βαθµωτή συνάτηση V ικανοποιούν τις κυµατικές εξισώσεις: τη συνθήκη Lorentz µ ε A A, = µ ε V V = V A + µ ε = /9 Από τη σχέση που δίνει την ηλεκτική πεδιακή ένταση E συνατήσει του µαγνητικού διανυσµατικού δυναµικού A, όταν τα δυναµικά ϕ A ικανοποιούν τη συνθήκη 57

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Lorentz, να βεθεί η έκφαση της ηλεκτικής πεδιακής έντασης E συνατήσει της ευµατικής πυκνότητας J ( r ). Να παατηήσετε ότι η έκφαση αυτή είναι η ίδια µε την αντίστοιχη που ποέκυψε στην άσκηση.9. / Με επιλογή της συνθήκης Lorentz A + µε ϕ =, να επαληθευτεί η εξίσω- ση της συνέχειας J + =. (Υπόδειξη: να γίνει χήση της ταυτότητας ( ) ( ) A = A ). / Απέαντη λεπτή ταινία βίσκεται στο επίπεδο των αξόνων y z ενός κατεσιανού συστήµατος συντεταγµένων. Η ταινία διαέεται από εύµα γαµµικής πυκνότητας I cos βycos ω t (A/m), παάλληλα πος τον άξονα z. ίνεται ότι το βαθµωτό δυναµικό φ του ηλεκτοµαγνητικού πεδίου είναι παντού µηδέν, ενώ η µιγαδική έκφαση του διανυσµατικού µαγνητικού δυναµικού A για x > δίνεται από τη σχέση όταν m >, ή τη σχέση όταν m <, όπου m A = A z = A cos βye z, jmx z A = A z = A cos βye z, mx z ( ω/ c) = β, για την πώτη από τις δυο ποηγούµενες m = β ( ω/ c) c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό A, A ποσδιοιστέες σταθεές. Ζητούνται: (α) Να ποσδιοιστούν οι τιµές των σταθεών A A. (β) Να υπολογιστούν τα διανύσµατα E H του πεδίου, για x >. (γ) Το µιγαδικό διάνυσµα Poynting η µέση χονική τιµή της ακτινοβολούµενης ενέγειας ανά µονάδα επιφάνειας. / Κατά την εφαµογή της µεθόδου Lagrange οι εξισώσεις της κίνησης δίνονται από τις 573

42 ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΠΕ ΙΟ L L L L L =, qi q i x ( qi / x) y ( qi / y) z ( qi / z) ( i =,,, n), όπου q i είναι οι γενικευµένες συντεταγµένες του συστήµατος, q i οι γενικευµένες ταχύτητες L η πυκνότητα Lagrange. Για το ηλεκτοµαγνητικό πεδίο στον ελεύθεο κενό χώο η πυκνότητα Lagrange δίνεται από την ( A) L A = = + V µ H εe ε µ Αν αχικά εκλεγεί η V στη συνέχεια η A σαν γενικευµένη συντεταγµένη του συστήµατος, να αποδειχτούν οι σχέσεις ε E = ε E H = t 574