Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται σε άλλου τύου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το αρόν εκαιδευτικό υλικό έχει ανατυχθεί στα λαίσια του εκαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανειστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοοιείται στο λαίσιο του Ειχειρησιακού Προγράµµατος «Εκαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται αό την Ευρωαϊκή Ενωση (Ευρωαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και αό εθνικούς όρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 5 Σειρές Fourier - Ασκήσεις 4 5. Οµάδα Α Οµάδα Β Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 5 Σειρές Fourier - Ασκήσεις 5. Οµάδα Α. Εστω T (x) ν + n (ν συν x + µ ημ x) τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. είξτε ότι: (α) Αν το T είναι εριττή συνάρτηση, τότε ν για κάθε,,..., n. (ϐ) Αν το T είναι άρτια συνάρτηση, τότε µ για κάθε,..., n. Υόδειξη. (α) Γνωρίζουµε ότι, για κάθε,..., n, Αφού το T είναι εριττή συνάρτηση, έχουµε ν T (x) συν x dλ(x). T (x) συν x dλ(x) T ( y) συν( y) dλ(y) [ T (y) συν y] dλ(y) T (y) συν y dλ(y) ν. Αό την ν ν έεται ότι ν. Για γράφουµε ν άρα, ν. (ϐ) Γνωρίζουµε ότι, για κάθε,..., n, Αφού το T είναι άρτια συνάρτηση, έχουµε T (x) dλ(x) T (y) dλ(y) ν, µ T (x) ημ x dλ(x). T ( y) dλ(y) T (x) ημ x dλ(x) T ( y) ημ( y) dλ(y) [T (y)( ημ y)] dλ(y) T (y) ημ y dλ(y) µ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Αό την µ µ έεται ότι µ. 2. είξτε ότι: για κάθε N υάρχει ολυώνυµο p(t) ϐαθµού 2 ώστε ημ 2 x p(συν x) για κάθε x R. Υόδειξη. Με εαγωγή ως ρος. Εχουµε ημ 2 x συν 2 x p (συν x), όου p (t) t 2, ολυώνυµο ϐαθµού 2. Υοθέτουµε ότι υάρχει ολυώνυµο p (t) ϐαθµού 2 ώστε ημ 2 x p (συν x). Τότε, Παρατηρήστε ότι το ολυώνυµο έχει ϐαθµό και ημ 2+2 x p + (συν x). ημ 2+2 x ημ 2 x ημ 2 x p (συν x)p (συν x). p + (t) p (t)p (t) p (t)( t 2 ) 3. (α) είξτε ότι το σύνολο {e i x : Z} είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητο. (ϐ) ίνονται οι ραγµατικοί αριθµοί < µ < µ 2 < < µ n. είξτε ότι οι συναρτήσεις e iµ x, e iµ 2x,..., e iµ n x είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητες. Χρειάζεται η υόθεση ότι όλοι οι µ j είναι ϑετικοί; Υόδειξη. (α) Θεωρούµε < 2 < < n Z και υοθέτουµε ότι για κάοιους t,..., t n C ισχύει t e ix + + t n e i n x. Τότε, για κάθε s,..., n έχουµε e i s x j t s, n t j e i j x dλ(x) n t j j e i( j s )x dλ(x) διότι e i( j s )x dλ(x) αν j s και αν j s. Εεται ότι t t n. Αυτό δείχνει ότι το σύνολο {e i x : Z} είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητο. (ϐ) Χρησιµοοιούµε µόνο το γεγονός ότι οι µ,..., µ n είναι διακεκριµένοι. Υοθέτουµε ότι για κάοιους t,..., t n ισχύει t e iµ x + t 2 e iµ 2x + + t n e iµ n x. Παραγωγίζοντας n ϕορές ως ρος x και ϑέτοντας x αίρνουµε το σύστηµα t + t t n µ t + µ 2 t µ n t n µ 2 t + µ 2 2 t µ 2 nt n µ n t + µ n 2 t µ n n t n. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι µη µηδενική (εξηγήστε γιατί). Συνεώς, t t 2 t n. 4. Εστω f L (T). είξτε ότι: για κάθε a < b στο R, και b a f (x) dλ(x) b+ a+ f (x + a) dλ(x) f (x) dλ(x) f (x) dλ(x) b a +a +a f (x) dλ(x), f (x) dλ(x). Υόδειξη. Κάνοντας την αντικατάσταση y x + αίρνουµε b a f (x) dλ(x) b+ a+ f (y ) dλ(y) b+ a+ f (y) dλ(y) b+ a+ f (x) dλ(x), διότι f (y ) f (y) για κάθε y R. Κάνοντας την αντικατάσταση y x αίρνουµε b a f (x) dλ(x) b a διότι f (y + ) f (y) για κάθε y R. f (y + ) dλ(y) Κάνοντας την αντικατάσταση y x + a αίρνουµε διότι f (x + a) dλ(x) +a +a +a αό την -εριοδικότητα της f, άρα +a +a f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) +a +a b a +a f (y) dλ(y) + f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) +a f (y) dλ(y) + f (y) dλ(y). +a b a f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) f (x) dλ(x), f (x) dλ(x), 5. Εστω f L (T). είξτε ότι lim t f (x + t) f (x) 2 dλ(x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Υόδειξη. Εστω ε >. Γνωρίζουµε ότι υάρχει συνεχής -εριοδική συνάρτηση g : R R ώστε f (x) g(x) 2 dλ(x) < ε 2 /3. Τότε, για κάθε t R, f (x + t) f (x) 2 dλ(x) / < f (x + t) g(x + t) 2 dλ(x) g(x + t) g(x) 2 dλ(x) g(x) f (x) 2 dλ(x) /2 g(x + t) g(x) 2 dλ(x) g(x) f (x) 2 dλ(x) /2 g(x + t) g(x) 2 dλ(x) /2 /2 /2 /2 + 2ε 3, όου χρησιµοοιήσαµε το γεγονός ότι, λόγω της -εριοδικότητας της f g, f (x + t) g(x + t) 2 dλ(x) f (x) g(x) 2 dλ(x) για κάθε t R. Η g είναι συνεχής και -εριοδική, άρα είναι οµοιόµορφα συνεχής. Υάρχει λοιόν t > ώστε: αν t < t τότε g(x + t) g(x) < ε 3 για κάθε x R. Τότε, αν t < t έχουµε g(x + t) g(x) 2 dλ(x) /2 ε 2 /2 9 dλ(x) ε 3. Εεται ότι f (x + t) f (x) 2 dλ(x) /2 < ε για κάθε t < t. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Αρα, δηλαδή το Ϲητούµενο. 6. Εστω f L (T). είξτε ότι: lim t f (x + t) f (x) 2 dλ(x) /2, (α) Αν η f είναι άρτια, τότε f ( ) f () για κάθε Z και η S( f ) είναι σειρά συνηµιτόνων. (ϐ) Αν η f είναι εριττή, τότε f ( ) f () για κάθε Z και η S( f ) είναι σειρά ηµιτόνων. (γ) Αν f (x + ) f (x) για κάθε x R τότε f () για κάθε εριττό ακέραιο. (δ) Αν η f αίρνει ραγµατικές τιµές τότε f ˆ() f ˆ( ) για κάθε Z. Αν, ειλέον, υοθέσουµε ότι η f είναι συνεχής, τότε ισχύει και το αντίστροφο. Υόδειξη. (α) Κάνοντας την αντικατάσταση y x αίρνουµε f ( ) f (x)e i( )x dλ(x) f (y)e iy dλ(y) f (). f ( y)e iy dλ(y) (ϐ) Κάνοντας την αντικατάσταση y x αίρνουµε f ( ) f (x)e i( )x dλ(x) ( f (y))e iy dλ(y) f (). f ( y)e iy dλ(y) (γ) Γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) + f (x)e i x dλ(x) f (y )e i(y) dλ(y) + f (x)e i x dλ(x) e i f (y)e iy dλ(y) + f (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) + f (x)e i x dλ(x), Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 διότι f (y ) f (y) για κάθε y R αό την υόθεση, και e i αν ο είναι εριττός. (δ) Γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) f (x)e i( )x dλ(x) f ( ). Αντίστροφα, αν υοθέσουµε ότι η f είναι συνεχής και f () f ( ) για κάθε Z, τότε αό την f () f (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) f ( ) f () ϐλέουµε ότι η συνεχής συνάρτηση g f f έχει συντελεστές Fourier ĝ() f () f () f () f (), συνεώς g. Εεται ότι f f, άρα f (x) R για κάθε x R. 7. Εστω f L (T). Για κάθε a R ορίζουµε τ a (x) f (x a). Περιγράψτε το γράφηµα της τ a σε σχέση µε αυτό της f. Είναι η τ a εριοδική; Εκφράστε τους συντελεστές Fourier της τ a συναρτήσει των συντελεστών Fourier της f. Υόδειξη. Το γράφηµα της τ a είναι µεταφορά του γραφήµατος της f κατά a. Το σηµείο (x, f (x)) µεταφέρεται στο (x + a, τ a (x + a)) (x + a, f (x)). Εχουµε για κάθε x R, άρα η τ a είναι -εριοδική. Τέλος, τ a (x + ) f (x a + ) f (x a) τ a (x) τ a () e ia f (x a)e i x dλ(x) e ia f (x)e i x dλ(x) e ia f (). f (x a)e i(x a) dλ(x) 8. Εστω f L (T). Για κάθε m N ορίζουµε g m (x) f (mx). Περιγράψτε το γράφηµα της g m σε σχέση µε αυτό της f. Είναι η g m εριοδική; Εκφράστε τους συντελεστές Fourier της g m συναρτήσει των συντελεστών Fourier της f. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Υόδειξη. Η g m έχει ερίοδο /m (άρα και ) και το γράφηµά της είναι το γράφηµα της f συµιεσµένο: σε ένα διάστηµα µήκους «εαναλαµβάνεται» m-ϕορές. Αν m, χρησιµοοιώντας το γεγονός ότι η f (y)e iy/m είναι -εριοδική, γράφουµε ĝ m () f (mx)e i x dλ(x) m m m f (y)e i(/m)y dλ(y) f (/m). f (y)e iy/m dλ(y) Αν ο m δεν διαιρεί τον, τότε χρησιµοοιώντας το γεγονός ότι η f (my)e iy είναι -εριοδική γράφουµε ĝ m () e i2/m e i2/m f (mx)e i x dλ(x) /m /m e i2/m ĝ m (). /m /m f (my)e iy dλ(y) f (my)e iy dλ(y) Αφού ο m δεν διαιρεί τον, έχουµε e i2/m, άρα ĝ m (). f (my + )e i(y+/m) dλ(y) 9. Εστω f, f n L (T) (n N) συναρτήσεις οι οοίες ικανοοιούν την lim n f (x) f n (x) dλ(x). είξτε ότι f n () f () όταν n, οµοιόµορφα ως ρος. ηλαδή, για κάθε ε > υάρχει n N ώστε για κάθε n n και για κάθε Z, f n () f () < ε. Υόδειξη. Εστω ε >. Αό την υόθεση, υάρχει n N ώστε για κάθε n n, f n (x) f (x) dλ(x) < ε. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

11 Τότε, για κάθε n n και για κάθε Z, f n () f () f n (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) ( f n (x) f (x))e i x dλ(x) f n (x) f (x) e i x dλ(x) f n (x) f (x) dλ(x) < ε.. Ορίζουµε f (x) x αν < x <, f () f (), και εεκτείνουµε την f σε µια -εριοδική συνάρτηση στο R. είξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S( f, x) 2 ημ x. Υόδειξη. Είναι ιο ϐολικό να ϑεωρήσουµε την f στο [, ]. Εχουµε f (x) x αν < x < και f (x) f (x + ) x αν < x <. Παρατηρήστε ότι f ( x) + x ( x) f (x) για κάθε < x <, δηλαδή η f είναι εριττή στο [, ]. Συνεώς, a ( f ) f (x) συν x dλ(x) για κάθε N. Οµοίως, a ( f ). Υολογίζουµε τους συντελεστές b ( f ): αφού η f (x) ημ x είναι άρτια, έχουµε b ( f ) f (x) ημ x dλ(x) 2 [ ( x) συν x [ 2 ημ x 2 ] ] + 2 ( x) ημ x dλ(x) συν x dλ(x) Εεται ότι S( f, x) a ( f ) + (a ( f ) συν x + b ( f ) ημ x) 2 ημ x. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

12 . Θεωρούµε τη συνάρτηση f (x) ( x) 2 στο [, ] και την εεκτείνουµε σε µια -εριοδική συνάρτηση ορισµένη στο R. είξτε ότι Χρησιµοοιώντας το αραάνω, δείξτε ότι S( f, x) συν x 2. Υόδειξη. Παρατηρήστε ότι f () f (), άρα η f εεκτείνεται σε συνεχή -εριοδική συνάρτηση. Είναι ιο ϐολικό να ϑεωρήσουµε την f στο [, ]. Εχουµε f (x) ( x) 2 αν < x < και f (x) f (x + ) ( x) 2 ( + x) 2 αν < x <. Παρατηρήστε ότι f ( x) ( x) 2 f (x) για κάθε < x <, δηλαδή η f είναι άρτια στο [, ]. Συνεώς, b ( f ) f (x) ημ x dλ(x) για κάθε N. Για τον a ( f ) γράφουµε a ( f ) ( x) 2 dλ(x) [ ( x) 3 6 ] Υολογίζουµε τους συντελεστές a ( f ), : αφού η f (x) συν x είναι άρτια, έχουµε a ( f ) f (x) συν x dλ(x) 2 [ 2( x) 2 ημ x 4 ] ( x) ημ x [ 4( x) συν x dλ(x) ] 4 ( x) 2 συν x dλ(x) 2( x) ημ x συν x 2 dλ(x) Εεται ότι S( f, x) a ( f ) + (a ( f ) συν x + b ( f ) ημ x) συν x 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

13 Αφού ( a ( f ) + b ( f ) ) < +, η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. ηλαδή, f (x) συν x 2 για κάθε x R. Ειδικότερα, α όου αίρνουµε f () , 2 4 ) ( Εστω < α και έστω f : R R, -εριοδική συνάρτηση. Υοθέτουµε ότι υάρχει M > ώστε f (x) f (y) M x y α για κάθε x, y R. είξτε ότι: υάρχει σταθερά C > ώστε, για κάθε, a ( f ) C α και b ( f ) C α. Υόδειξη. Εστω N. Κάνοντας την αντικατάσταση y x + /, έχουµε a ( f ) f (x) συν( x) dλ(x) +/ +/ +/ +/ f (x /) συν( x) dλ(x) λόγω της -εριοδικότητας της f. Τότε, µορούµε να γράψουµε a ( f ) και χρησιµοοιώντας την υόθεση αίρνουµε f (x /) συν( x ) dλ(x) [ f (x) f (x /)] συν( x) dλ(x), f (x /) συν( x) dλ(x), a ( f ) f (x) f (x /) συν( x) dλ(x) M / α dλ(x) C α, όου C M α. Με τον ίδιο τρόο δείχνουµε ότι b ( f ) C/ α. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

14 3. Θεωρούµε την εριττή -εριοδική συνάρτηση f : R R ου στο [, ] ορίζεται αό την f (x) x( x). Σχεδιάστε την γραφική αράσταση της f, υολογίστε τους συντελεστές Fourier της f και δείξτε ότι f (x) 8 ημ[(2 + )x] (2 + ) 3. Υόδειξη. Αφού η f είναι εριττή, έχουµε f (). Για γράφουµε f () i i ( ) i ( ) f (x)e i x dλ(x) i [ x συν( x) + i ημ( x) 2 [ x 2 συν( x) i ( ) 2i[( ) ] 3. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η 2i[( ) ] 3 e i x διότι ( ) αν ο είναι άρτιος, και + 2i ] ] + 2i x( x) ημ( x) dλ(x) + i [ x ημ( x) + 2i[( ) ] 3 e i x x 2 ημ( x) dλ(x) x συν( x) dλ(x) ] συν( x) 2 2i[( ) ] 3 (e i x e i x ) 8 ημ((2 + )x), (2 + ) 3 2i[( ) ] 3 e i x 2i[( ) ](e i(2+)x e i(2+)x ) 4i(2i ημ((2 + )x)) 8 ημ((2 + )x). 4. Εστω < δ <. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : [, ] R µε { x f (x) δ αν x δ αν δ x Σχεδιάστε τη γραφική αράσταση της f και δείξτε ότι f (x) δ + 2 συν δ 2 δ συν x. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

15 Υόδειξη. Παρατηρήστε ότι Για γράφουµε f () f () δ δ f (x) dλ(x) f (x)e i x dλ(x) δ δ δ ( x ) συν( x) dλ(x) δ [ ημ( x) ημ(δ) x ημ( x) δ δ ημ(δ) δ συν(δ) δ 2. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αφού S( f, x) δ + δ + 2 έχουµε f (x) S( f, x) για κάθε x R. ] δ συν( x) δ 2 + συν(δ) δ 2 ( x ) dλ(x) δ δ. ( x ) e i x dλ(x) δ δ ( x ) συν( x) dλ(x) δ συν(δ) δ 2 e i x δ + συν(δ) δ 2 (e i x + e i x ) συν(δ) δ 2 συν( x). f () δ + 2 συν(δ) δ 2 < +, 5. Θεωρούµε την -εριοδική συνάρτηση f : R R ου στο [, ] ορίζεται αό την f (x) x. Σχεδιάστε την γραφική αράσταση της f, υολογίστε τους συντελεστές Fourier της f και δείξτε ότι f () /2 και + ( ) f () 2,. Γράψτε τη σειρά Fourier S( f ) της f σαν σειρά συνηµιτόνων και ηµιτόνων. Θέτοντας x δείξτε ότι (2 + ) 2 2 και Υόδειξη. Παρατηρήστε ότι f () x dλ(x) xdλ(x) 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

16 Για γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) x συν( x) dλ(x) [ ] x ημ( x) συν( x) + 2 ( ) 2. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αφού 2 + x e i x dλ(x) x συν( x) dλ(x) ( ) 2 e i x 2 + ( ) 2 (e i x + e i x ) f () έχουµε f (x) S( f, x) για κάθε x R. Ειδικότερα, f () 2 4 2[( ) ] 2 συν( x) συν((2 + )x). (2 + ) 2 2 (2 + ) 2 < +, (2 + ) 2, δηλαδή Τότε, α όου έεται ότι 2 (2 + ) (2 + ) (2) , 6. Εστω f L (T). (α) είξτε ότι lim t f (x + t) f (x) dλ(x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

17 (ϐ) (Λήµµα Riemann-Lebesgue). είξτε ότι, για κάθε n N, f (x) ημ nx dλ(x) f ( x + n ) ημ nx dλ(x). και συµεράνατε ότι lim f (x) ημ nx dλ(x). n Υόδειξη. (α). Υοθέτουµε ρώτα ότι η f είναι συνεχής. Εφόσον, είναι και -εριοδική ϑα είναι οµοιόµορφα συνεχής στο R. Αν ε > τυχόν, υάρχει δ δ(ε) > ώστε αν t < δ τότε f (x + t) f (x) < ε για κάθε x R. Εοµένως, αν < t < δ τότε, f (x + t) f (t) dλ(x) < ε dt ε. Αυτό αοδεικνύει το Ϲητούµενο στην ερίτωση ου η f είναι συνεχής. Στην γενική ερίτωση, ϑεωρούµε τυχόν ε > και f ε συνεχή -εριοδική ώστε f f ε < ε. Τότε, µε χρήση της τριγωνικής ανισότητας αίρνουµε: f (x + t) f (x) dλ(x) f (x + t) f ε (x + t) dλ(x) + f ε (x + t) f ε (x) dλ(x) + f ε (x) f (x) dλ(x) 2 f (x) f ε (x) dλ(x) + f ε (x + t) f ε (x) dλ(x). Εεται ότι, lim sup t f (x + t) f (x) dλ(x) 2ε + lim sup f ε (x + t) f ε (x) dλ(x) 2ε. t Καθώς, το ε > ήταν τυχόν το Ϲητούµενο έεται. (ϐ) Με την αλλαγή µεταβλητής x y + /n έχουµε: f (x) ημ(nx) dλ(x) n f ( y + ) ημ( + ny) dλ(y) n n f ( x + ) ημ(nx) dλ(x). n Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

18 Εοµένως, µορούµε να γράψουµε: f (x) ημ(nx) dλ(x) 2 Τώρα, το συµέρασµα έεται αό το (α) για t /n. (x f (x) f + ) dλ(x). n 7. (α) Θεωρώντας την εριττή εέκταση της συν x αό το (, ) στο (, ) \ {} δείξτε ότι συν x 8 ημ(2 x) 4 2 για κάθε < x <. (ϐ) Θεωρώντας την άρτια εέκταση της ημ x αό το (, ) στο (, ) δείξτε ότι ημ x 2 4 συν(2 x) 4 2 για κάθε < x <. συν x, < x Υόδειξη. (α) Εεκτείνουµε την f : [, ] R µε f (x), x,, συν x, < x < συνάρτηση σ όλο το R. Εοµένως, είναι a ( f ), αφού f εριττή και σε µια -εριοδική b ( f ) 2 f (x) ημ x dλ(x) συν x ημ x dλ(x) [ημ( )x + ημ( + )x] dλ(x). Αν ο είναι εριττός, τότε ϐλέουµε εύκολα ότι b ενώ αν ο 2s τότε Συµεραίνουµε ότι b 2s ( f ) 8 S( f, x) 8 s 4s 2. ημ(2 x) 4 2. Αφού η σειρά S( f ) συγκλίνει οµοιόµορφα και η f (,) είναι συνεχής, έεται (εξηγήστε γιατί) ότι αν < x < τότε συν x f (,) (x) S( f, x) 8 ημ(2 x) 4 2. Για το (ϐ) δουλεύουµε ανάλογα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

19 5.2 Οµάδα Β 8. (α) Για κάθε N ϑέτουµε A (x) ημ jx. j είξτε ότι: αν > m τότε για κάθε < x <. A (x) A m (x) ημ(x/2) (ϐ) Αν λ λ 2 λ n, δείξτε ότι jm+ για κάθε n > m και για κάθε < x <. λ j ημ jx λ m+ ημ(x/2) Υόδειξη. (α) Εστω > m. Γράφουµε A (x) A m (x) Αό την συν t έεται ότι jm+ 2 ημ(x/2) 2 ημ(x/2) ημ( jx) A (x) A m (x) jm+ ημ(x/2) jm+ ημ(x/2) ημ( jx) [ συν ( j /2 ) x συν ( j + /2 ) x ] [ συν ( m + /2 ) x συν ( + /2 ) x ]. 2 2 ημ(x/2) ημ(x/2). (ϐ) Χρησιµοοιούµε άθροιση κατά µέρη: είναι jm+ λ j ημ( j x) jm+ λ j (A j (x) A j (x)) λ A (x) λ m+ A m (x) + λ (A (x) A m (x)) + jm+ jm+ (λ j λ j+ )A j (x) (λ j λ j+ )(A j (x) A m (x)), διότι λ m+ A m (x) λ + jm+ (λ j λ j+ ) A m (x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

20 Τότε, jm+ λ j ημ( j x) λ A (x) A m (x) + ημ(x/2) λ m+ ημ(x/2). λ + jm+ jm+ (λ j λ j+ ) A j (x) A m (x) (λ j λ j+ ) 9. Εστω n N και M >. Αν λ λ 2 λ n και λ M για κάθε,..., n, δείξτε ότι n λ ημ x ( + )M για κάθε x R. Υόδειξη. Μορούµε να υοθέσουµε ότι < x < (εξηγήστε γιατί). Γράφουµε n λ ημ x m n λ ημ x + λ ημ x, m+ όου m min{n, /x }. Για το ρώτο άθροισµα έχουµε m λ ημ( x) m M ημ x m Mx Mmx M. Για το δεύτερο άθροισµα χρησιµοοιούµε την ροηγούµενη άσκηση: είναι n m+ λ ημ x λ m+ ημ(x/2) M (m + ) ημ(x/2) M, διότι m + > /x, άρα αό την ημ y 2y, y /2. (m + ) ημ(x/2) x 2x 2. (Λήµµα του Stečin). Εστω f (x) λ + n (λ συν x + µ ημ x) τριγωνοµετρικό ολυώνυµο και έστω x R µε την ιδιότητα είξτε ότι: αν t n τότε f (x ) f max{ f (x) : x R}. f (x + t) f συν(nt). Υόδειξη. Θέτουµε A f και ορίζουµε g(t) f (x + t) A συν(nt). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

21 Αν υοθέσουµε ότι το Ϲητούµενο δεν ισχύει, τότε υάρχει < s n της γενικότητας υοθέτουµε ότι < t < n. Για κάθε,,..., 2n ϑέτουµε t n g(t ) f (x + t ) A συν(). ώστε g(s) <. Χωρίς εριορισµό και έχουµε Παρατηρούµε ότι f (t ) f (x ), f (s) < και για κάθε,..., 2n έχουµε g(t ) αν ο είναι εριττός και g(t ) αν ο είναι άρτιος. Εεται ότι η g(y) έχει τουλάχιστον 2n + ϱίζες στο διάστηµα [, ). Αυτό είναι άτοο: ένα τριγωνοµετρικό ολυώνυµο ϐαθµού n έχει το ολύ 2n ϱίζες στο [, ) (εξηγήστε γιατί: η διάσταση του χώρου αυτών των ολυωνύµων είναι 2n + ). 2. (Ανισότητα του Bernstein). Εστω f (x) λ + n (λ συν x + µ ημ x) τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. είξτε ότι f n f. Υόδειξη. Παίρνοντας αν χρειαστεί το f στη ϑέση του f, ϑεωρούµε x τέτοιο ώστε f (x ) f. Παρατηρήστε ότι f (x ). Αό την ροηγούµενη άσκηση, για κάθε t n έχουµε f (x + t) f συν(nt). Αρα, Εεται ότι f ( x + ) f 2n ( x ) 2n f n 2 2n 2n f (x + t)dλ(t) f f [ ημ(nt) n ( f ] 2n ( x + 2n ) + f n 2 2 f n f. 2n 2n 2n 2 n f. ( x ) ) 2n συν(nt)dλ(t) 22. Εστω [a, b] κλειστό διάστηµα ου εριέχεται στο εσωτερικό του [, ]. Θεωρούµε την f (x) χ [a,b] (x) ου ορίζεται στο [, ] αό τις f (x) αν x [a, b] και f (x) αλλιώς, και την εεκτείνουµε -εριοδικά στο R. είξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S( f, x) b a + e ia e ib e i x. i είξτε ότι η S( f ) δεν συγκλίνει αολύτως για κανένα x R. Βρείτε τα x R για τα οοία η S( f, x) συγκλίνει. Υόδειξη. Παρατηρούµε ότι f () f (x) dλ(x) b dλ(x) b a. a Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

22 Αν, έχουµε Εεται ότι f () b a S( f, x) f () + e i x dλ(x) e ia e ib. i f ()e i x b a + e ia e ib e i x. i Η S( f, x) δεν συγκλίνει αολύτως για κανένα x R. Θα έρεε να συγκλίνει η σειρά b a + e ia e ib b a + e i(b a). Η σειρά αυτή αοκλίνει: αν ο b a είναι ϱητός τότε η ακολουθία {ei(b a) } αίρνει εερασµένες το λήθος τιµές, όλες διαφορετικές αό, ενώ αν ο b a είναι άρρητος τότε η ακολουθία {ei(b a) } είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στη µοναδιαία εριφέρεια, και αυτό συνεάγεται ότι το λήθος των N για τους οοίους e i(b a) 2 είναι µεγαλύτερο αό c N για κάοια σταθερά c >, άρα N N e i(b a) c 2 logn. 23. Εστω T (x) n c e i x τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. Υοθέτουµε ότι το T αίρνει ϑετικές ραγµατικές n τιµές. είξτε ότι υάρχει τριγωνοµετρικό ολυώνυµο Q ώστε T (x) Q(x) 2 για κάθε x R. Υόδειξη. Χωρίς εριορισµό της γενικότητας υοθέτουµε ότι c n. Παρατηρήστε ότι c c για κάθε,,..., n και ότι c T (x) dλ(x) >. Θεωρούµε το µιγαδικό ολυώνυµο n P(z) z n c z c n + c n z + + c n z 2n. n Παρατηρούµε ότι n n P(/z c z n c z n n n c z n n n n c m z m n z 2n c m z m+n n m n m n z 2n P(z). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 22

23 Εεται ότι P(z) αν και µόνο αν P(/z). Είσης, P() και P(w) για κάθε w T, διότι αν w e ix τότε P(w) e inx T (x) αό την υόθεση ότι το T δεν µηδενίζεται. Αρα, οι ϱίζες του P είναι n Ϲεύγη z, /z µε < z <. (,..., n). ηλαδή, υάρχει a C ώστε P(z) a n (z z ) n ) (z z. Θέτουµε P (z) n (z z ) και αρατηρούµε ότι n ) P 2 (z) : (z z z z n ( )n z n n ( ) z z z n z z ( )n z n ( ) P. z z n z n z ( z ) z Αρα, αν z έχουµε P 2 (z) P 2 (z) ( ) n z n z z n P ( z ) P (z) z z n. Τώρα γράφουµε T (x) T (x) e inx P(e ix ) ap (e ix )P 2 (e ix ) a P (e ix ) P (e ix ) z z n, και αν ορίσουµε έχουµε ( ) /2 a Q(x) P (e ix ) z z n T (x) Q(x) 2, x R. 24. (α) Εστω < δ <. είξτε ότι, για κάθε x [δ, δ], n 2 + συν x 2 ημ δ 2 και n ημ x ημ δ. 2 (ϐ) Εστω (t ) ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών ραγµατικών αριθµών µε t. είξτε ότι οι σειρές t συν x και t ημ x συγκλίνουν κατά σηµείο στο (, ) και οµοιόµορφα σε κάθε διάστηµα [δ, δ], όου < δ <. Συµεράνατε ότι ορίζουν συνεχείς συναρτήσεις στο (, ). Υόδειξη. (α) Γράφουµε A n (x) 2 + n συν x και χρησιµοοιούµε την ταυτότητα 2 ημ a συν b ημ(a b) + ημ(a + b) ως εξής: 2 ημ(x/2) A n (x) ημ(x/2) + n [ ( x ) ( x )] ( ημ 2 x + ημ 2 + x ημ n + ) x. 2 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 23

24 Για κάθε x (, ) είναι ημ(x/2) >, άρα A n (x) ημ ( ) n + 2 x. 2 ημ(x/2) Αν < δ < τότε για κάθε x [δ, δ] ισχύει ημ(x/2) ημ(δ/2). Εοµένως, έχουµε A n (x) Για το άλλο άθροισµα χρησιµοοιούµε την ταυτότητα 2 ημ a ημ b συν(a b) συν(a+b) και εργαζόµαστε ανάλογα. (ϐ) Για να δείξουµε την κατά σηµείο και οµοιόµορφη σύγκλιση ϑα χρησιµοοιήσουµε το κριτήριο του Cauchy για σειρές ραγµατικών αριθµών και συναρτήσεων αντίστοιχα. Θα χρησιµοοιήσουµε το κριτήριο Dirichlet: Αν (ε n ) είναι ϕθίνουσα ακολουθία µη αρνητικών όρων µε ε n και u n σειρά ραγµατικών αριθµών n µε ϕραγµένα µερικά αθροίσµατα, δηλαδή υάρχει σταθερά M > ώστε u + + u n M για κάθε n N, τότε η σειρά ε n u n συγκλίνει. n Τώρα, το γεγονός ότι η σειρά t συν x είναι συγκλίνουσα είναι άµεση συνέεια του (α) σε συνδυασµό µε το κριτήριο Dirichlet. Για την οµοιόµορφη σύγκλιση αρκεί να αρατηρήσει κανείς ότι η υόθεση των οµοιόµορφα ϕραγµένων αθροισµάτων ως ρος n αρκεί να αντικατασταθεί αό την υόθεση των οµοιόµορφα ϕραγµένων αθροισµάτων ως ρος n και ως ρος x [δ, δ]. Μια άλλη, ιο άµεση αόδειξη (η οοία όµως ακολουθεί την ίδια ιδέα) ϑα ήταν η εξής: Εστω x (, ) τυχόν αλλά σταθερό. Θεωρούµε την σειρά αριθµών t συν x. Παρατηρήστε αό το (α) ότι συν x A () A (x) µε A (x) 2. Τότε, αν n < m µορούµε να γράψουµε: m n+ t συν x m t (A (x) A (x)) n+ m t n+ A n (x) + (t t + ) A (x) + t m A m (x) n+ m t n+ A n (x) + (t t + ) A (x) + t m A m (x) 2t n+ n+ max A (x) t n+ n+ m ημ(x/2), αό το (α). Καθώς, t έεται αό το κριτήριο του Cauchy ότι η σειρά t συν x συγκλίνει. Παρατηρήστε ότι αν x [δ, δ], τότε m n+ t συν x t n ημ(δ/2), οµοιόµορφα ως ρος x, εοµένως η σειρά t συν x συγκλίνει οµοιόµορφα στο [δ, δ]. Αφού έχουµε σειρά συνεχών συναρτήσεων, έεται ότι άθροισµά της είναι συνεχής συνάρτηση στο [δ, δ]. Εειδή το δ (, ) ήταν τυχόν, έχουµε ότι η συνάρτηση f : (, ) R µε f (x) t συν x είναι συνεχής. Για την άλλη σειρά εργαζόµαστε ανάλογα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 24 ημ δ 2.

25 25. Εστω f L (T) και g L (T). είξτε ότι lim f (x)g(nx) dλ(x) f ()ĝ(). n T Υόδειξη. Αρκεί να δείξουµε το Ϲητούµενο στην ερίτωση ου η f είναι τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. Τότε, ολοκληρώνουµε την αόδειξη ως εξής: αν f L (T) και ε >, ϐρίσκουµε τριγωνοµετρικό ολυώνυµο p ε τέτοιο ώστε f p ε ε και γράφουµε T f (x)g(nx)dλ(x) f ()ĝ() f (x) p ε (x) g(x) dλ(x) T + p ε (x)g(nx)dλ(x) p ε ()ĝ() + p ε () f () ĝ() T f p ε g + p ε (x)g(nx)dλ(x) p ε ()ĝ() + p ε f ĝ() T ε( g + ĝ() ) + p ε (x)g(nx)dλ(x) p ε ()ĝ(), και αφήνοντας το n αίρνουµε lim sup n Αφού το ε > ήταν τυχόν, έεται ότι T lim n T f (x)g(nx)dλ(x) f ()ĝ() ε( g + ĝ() ). T f (x)g(nx)dλ(x) f ()ĝ(). Υοθέτουµε λοιόν ότι η f είναι τριγωνοµετρικό ολυώνυµο, και λόγω γραµµικότητας του Ϲητούµενου ως ρος f µορούµε να υοθέσουµε ότι f (x) e i x για κάοιον Z. Αν είναι ϕανερό ότι T g(nx)dλ(x) n T n n g(y)dλ(y) n n T g(y)dλ(y) ĝ() g(y)dλ(y) για κάθε n N, λόγω της εριοδικότητας της g. Μένει να δείξουµε ότι, για κάθε, ( ) lim e i x g(nx)dλ(x). n T Παρόµοιο ειχείρηµα µε το αρχικό δείχνει ότι µορούµε να υοθέσουµε ότι η g είναι τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. Σε αυτήν την ερίτωση ελέγχουµε την ( ) µε αλές ράξεις. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 25

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή

Διαβάστε περισσότερα

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 9 Mαίου 7 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: Ιουνίου 7 Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Συναρτήσεις Bessel ρώτου και δευτέρου είδους Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

f p = lim (1 a n ) < n=0

f p = lim (1 a n ) < n=0 Πανειστήμιο Κρήτης Τμήμα Μαθηματικών Συντελεστές Taylor συναρτήσεων σε χώρους Hardy Καλλιόη Παολίνα Κουτσάκη Ειβλέων Καθηγητής: Μιχαήλ Πααδημητράκης Ειτροή: Μιχαήλ Κολουντζάκης, Θεμιστοκλής Μήτσης και

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier 61 Εισαγωγή Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις Σειρές Fourier Είναι γνωστό αό τα Μαθηµατικά Ι ότι το ανάτυγµα Τaylor µιας αναλυτικής συνάρτησης σ ένα διάστηµα της ραγµατικής ευθείας I = ( x R, x + R) κέντρου x και

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα Έστω το ακόλουθο εριοδικό σήµα f ( f

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων 8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 6 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Βρείτε όλους τους

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &

F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 & Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα.

ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα. ΘΕΜΑ ο Α α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα γ) Να δώσετε τον ορισµό της - συνάρτησης Β Σε καθεµιά αό τις αρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Ασκηση 1. 1) είξτε ότι η

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz Η κυματομορφή, στην γενική της μορφή θα είναι : V 0 2 3 ωt -V Η κυματομορφή είναι εριττή Η κυματομορφή, όως φαίνεται εύκολα αό το σχήμα, έχει μέση τιμή μηδενική,

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Να διαβάσετε τις σελίδες 8-1 του σχολικού βιβλίου. Να ροσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 1.1, 1.3 και 1.4 καθώς και τους ορισµούς της αρχικής φάσης και της φάσης της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων Τα κύµατα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όως για διδακτικούς λόγους κάνουµε 1. Η διάδοση ενός αλµού. Έστω ότι έχουµε ένα ελαστικό µέσο,.χ. µια τεντωµένη οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20

Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες... Διαφορικές εξισώσεις... Συμβολισμοί... Λύσεις... Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών... Κεφάλαιο Ταξινόμηση τν διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα