Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Transcript

1 Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται σε άλλου τύου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το αρόν εκαιδευτικό υλικό έχει ανατυχθεί στα λαίσια του εκαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανειστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοοιείται στο λαίσιο του Ειχειρησιακού Προγράµµατος «Εκαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται αό την Ευρωαϊκή Ενωση (Ευρωαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και αό εθνικούς όρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 5 Σειρές Fourier - Ασκήσεις 4 5. Οµάδα Α Οµάδα Β Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 5 Σειρές Fourier - Ασκήσεις 5. Οµάδα Α. Εστω T (x) ν + n (ν συν x + µ ημ x) τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. είξτε ότι: (α) Αν το T είναι εριττή συνάρτηση, τότε ν για κάθε,,..., n. (ϐ) Αν το T είναι άρτια συνάρτηση, τότε µ για κάθε,..., n. Υόδειξη. (α) Γνωρίζουµε ότι, για κάθε,..., n, Αφού το T είναι εριττή συνάρτηση, έχουµε ν T (x) συν x dλ(x). T (x) συν x dλ(x) T ( y) συν( y) dλ(y) [ T (y) συν y] dλ(y) T (y) συν y dλ(y) ν. Αό την ν ν έεται ότι ν. Για γράφουµε ν άρα, ν. (ϐ) Γνωρίζουµε ότι, για κάθε,..., n, Αφού το T είναι άρτια συνάρτηση, έχουµε T (x) dλ(x) T (y) dλ(y) ν, µ T (x) ημ x dλ(x). T ( y) dλ(y) T (x) ημ x dλ(x) T ( y) ημ( y) dλ(y) [T (y)( ημ y)] dλ(y) T (y) ημ y dλ(y) µ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Αό την µ µ έεται ότι µ. 2. είξτε ότι: για κάθε N υάρχει ολυώνυµο p(t) ϐαθµού 2 ώστε ημ 2 x p(συν x) για κάθε x R. Υόδειξη. Με εαγωγή ως ρος. Εχουµε ημ 2 x συν 2 x p (συν x), όου p (t) t 2, ολυώνυµο ϐαθµού 2. Υοθέτουµε ότι υάρχει ολυώνυµο p (t) ϐαθµού 2 ώστε ημ 2 x p (συν x). Τότε, Παρατηρήστε ότι το ολυώνυµο έχει ϐαθµό και ημ 2+2 x p + (συν x). ημ 2+2 x ημ 2 x ημ 2 x p (συν x)p (συν x). p + (t) p (t)p (t) p (t)( t 2 ) 3. (α) είξτε ότι το σύνολο {e i x : Z} είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητο. (ϐ) ίνονται οι ραγµατικοί αριθµοί < µ < µ 2 < < µ n. είξτε ότι οι συναρτήσεις e iµ x, e iµ 2x,..., e iµ n x είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητες. Χρειάζεται η υόθεση ότι όλοι οι µ j είναι ϑετικοί; Υόδειξη. (α) Θεωρούµε < 2 < < n Z και υοθέτουµε ότι για κάοιους t,..., t n C ισχύει t e ix + + t n e i n x. Τότε, για κάθε s,..., n έχουµε e i s x j t s, n t j e i j x dλ(x) n t j j e i( j s )x dλ(x) διότι e i( j s )x dλ(x) αν j s και αν j s. Εεται ότι t t n. Αυτό δείχνει ότι το σύνολο {e i x : Z} είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητο. (ϐ) Χρησιµοοιούµε µόνο το γεγονός ότι οι µ,..., µ n είναι διακεκριµένοι. Υοθέτουµε ότι για κάοιους t,..., t n ισχύει t e iµ x + t 2 e iµ 2x + + t n e iµ n x. Παραγωγίζοντας n ϕορές ως ρος x και ϑέτοντας x αίρνουµε το σύστηµα t + t t n µ t + µ 2 t µ n t n µ 2 t + µ 2 2 t µ 2 nt n µ n t + µ n 2 t µ n n t n. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Η ορίζουσα του συστήµατος είναι µη µηδενική (εξηγήστε γιατί). Συνεώς, t t 2 t n. 4. Εστω f L (T). είξτε ότι: για κάθε a < b στο R, και b a f (x) dλ(x) b+ a+ f (x + a) dλ(x) f (x) dλ(x) f (x) dλ(x) b a +a +a f (x) dλ(x), f (x) dλ(x). Υόδειξη. Κάνοντας την αντικατάσταση y x + αίρνουµε b a f (x) dλ(x) b+ a+ f (y ) dλ(y) b+ a+ f (y) dλ(y) b+ a+ f (x) dλ(x), διότι f (y ) f (y) για κάθε y R. Κάνοντας την αντικατάσταση y x αίρνουµε b a f (x) dλ(x) b a διότι f (y + ) f (y) για κάθε y R. f (y + ) dλ(y) Κάνοντας την αντικατάσταση y x + a αίρνουµε διότι f (x + a) dλ(x) +a +a +a αό την -εριοδικότητα της f, άρα +a +a f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) +a +a b a +a f (y) dλ(y) + f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) +a f (y) dλ(y) + f (y) dλ(y). +a b a f (y) dλ(y) f (y) dλ(y) f (x) dλ(x), f (x) dλ(x), 5. Εστω f L (T). είξτε ότι lim t f (x + t) f (x) 2 dλ(x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Υόδειξη. Εστω ε >. Γνωρίζουµε ότι υάρχει συνεχής -εριοδική συνάρτηση g : R R ώστε f (x) g(x) 2 dλ(x) < ε 2 /3. Τότε, για κάθε t R, f (x + t) f (x) 2 dλ(x) / < f (x + t) g(x + t) 2 dλ(x) g(x + t) g(x) 2 dλ(x) g(x) f (x) 2 dλ(x) /2 g(x + t) g(x) 2 dλ(x) g(x) f (x) 2 dλ(x) /2 g(x + t) g(x) 2 dλ(x) /2 /2 /2 /2 + 2ε 3, όου χρησιµοοιήσαµε το γεγονός ότι, λόγω της -εριοδικότητας της f g, f (x + t) g(x + t) 2 dλ(x) f (x) g(x) 2 dλ(x) για κάθε t R. Η g είναι συνεχής και -εριοδική, άρα είναι οµοιόµορφα συνεχής. Υάρχει λοιόν t > ώστε: αν t < t τότε g(x + t) g(x) < ε 3 για κάθε x R. Τότε, αν t < t έχουµε g(x + t) g(x) 2 dλ(x) /2 ε 2 /2 9 dλ(x) ε 3. Εεται ότι f (x + t) f (x) 2 dλ(x) /2 < ε για κάθε t < t. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Αρα, δηλαδή το Ϲητούµενο. 6. Εστω f L (T). είξτε ότι: lim t f (x + t) f (x) 2 dλ(x) /2, (α) Αν η f είναι άρτια, τότε f ( ) f () για κάθε Z και η S( f ) είναι σειρά συνηµιτόνων. (ϐ) Αν η f είναι εριττή, τότε f ( ) f () για κάθε Z και η S( f ) είναι σειρά ηµιτόνων. (γ) Αν f (x + ) f (x) για κάθε x R τότε f () για κάθε εριττό ακέραιο. (δ) Αν η f αίρνει ραγµατικές τιµές τότε f ˆ() f ˆ( ) για κάθε Z. Αν, ειλέον, υοθέσουµε ότι η f είναι συνεχής, τότε ισχύει και το αντίστροφο. Υόδειξη. (α) Κάνοντας την αντικατάσταση y x αίρνουµε f ( ) f (x)e i( )x dλ(x) f (y)e iy dλ(y) f (). f ( y)e iy dλ(y) (ϐ) Κάνοντας την αντικατάσταση y x αίρνουµε f ( ) f (x)e i( )x dλ(x) ( f (y))e iy dλ(y) f (). f ( y)e iy dλ(y) (γ) Γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) + f (x)e i x dλ(x) f (y )e i(y) dλ(y) + f (x)e i x dλ(x) e i f (y)e iy dλ(y) + f (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) + f (x)e i x dλ(x), Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 διότι f (y ) f (y) για κάθε y R αό την υόθεση, και e i αν ο είναι εριττός. (δ) Γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) f (x)e i( )x dλ(x) f ( ). Αντίστροφα, αν υοθέσουµε ότι η f είναι συνεχής και f () f ( ) για κάθε Z, τότε αό την f () f (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) f ( ) f () ϐλέουµε ότι η συνεχής συνάρτηση g f f έχει συντελεστές Fourier ĝ() f () f () f () f (), συνεώς g. Εεται ότι f f, άρα f (x) R για κάθε x R. 7. Εστω f L (T). Για κάθε a R ορίζουµε τ a (x) f (x a). Περιγράψτε το γράφηµα της τ a σε σχέση µε αυτό της f. Είναι η τ a εριοδική; Εκφράστε τους συντελεστές Fourier της τ a συναρτήσει των συντελεστών Fourier της f. Υόδειξη. Το γράφηµα της τ a είναι µεταφορά του γραφήµατος της f κατά a. Το σηµείο (x, f (x)) µεταφέρεται στο (x + a, τ a (x + a)) (x + a, f (x)). Εχουµε για κάθε x R, άρα η τ a είναι -εριοδική. Τέλος, τ a (x + ) f (x a + ) f (x a) τ a (x) τ a () e ia f (x a)e i x dλ(x) e ia f (x)e i x dλ(x) e ia f (). f (x a)e i(x a) dλ(x) 8. Εστω f L (T). Για κάθε m N ορίζουµε g m (x) f (mx). Περιγράψτε το γράφηµα της g m σε σχέση µε αυτό της f. Είναι η g m εριοδική; Εκφράστε τους συντελεστές Fourier της g m συναρτήσει των συντελεστών Fourier της f. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Υόδειξη. Η g m έχει ερίοδο /m (άρα και ) και το γράφηµά της είναι το γράφηµα της f συµιεσµένο: σε ένα διάστηµα µήκους «εαναλαµβάνεται» m-ϕορές. Αν m, χρησιµοοιώντας το γεγονός ότι η f (y)e iy/m είναι -εριοδική, γράφουµε ĝ m () f (mx)e i x dλ(x) m m m f (y)e i(/m)y dλ(y) f (/m). f (y)e iy/m dλ(y) Αν ο m δεν διαιρεί τον, τότε χρησιµοοιώντας το γεγονός ότι η f (my)e iy είναι -εριοδική γράφουµε ĝ m () e i2/m e i2/m f (mx)e i x dλ(x) /m /m e i2/m ĝ m (). /m /m f (my)e iy dλ(y) f (my)e iy dλ(y) Αφού ο m δεν διαιρεί τον, έχουµε e i2/m, άρα ĝ m (). f (my + )e i(y+/m) dλ(y) 9. Εστω f, f n L (T) (n N) συναρτήσεις οι οοίες ικανοοιούν την lim n f (x) f n (x) dλ(x). είξτε ότι f n () f () όταν n, οµοιόµορφα ως ρος. ηλαδή, για κάθε ε > υάρχει n N ώστε για κάθε n n και για κάθε Z, f n () f () < ε. Υόδειξη. Εστω ε >. Αό την υόθεση, υάρχει n N ώστε για κάθε n n, f n (x) f (x) dλ(x) < ε. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

11 Τότε, για κάθε n n και για κάθε Z, f n () f () f n (x)e i x dλ(x) f (x)e i x dλ(x) ( f n (x) f (x))e i x dλ(x) f n (x) f (x) e i x dλ(x) f n (x) f (x) dλ(x) < ε.. Ορίζουµε f (x) x αν < x <, f () f (), και εεκτείνουµε την f σε µια -εριοδική συνάρτηση στο R. είξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S( f, x) 2 ημ x. Υόδειξη. Είναι ιο ϐολικό να ϑεωρήσουµε την f στο [, ]. Εχουµε f (x) x αν < x < και f (x) f (x + ) x αν < x <. Παρατηρήστε ότι f ( x) + x ( x) f (x) για κάθε < x <, δηλαδή η f είναι εριττή στο [, ]. Συνεώς, a ( f ) f (x) συν x dλ(x) για κάθε N. Οµοίως, a ( f ). Υολογίζουµε τους συντελεστές b ( f ): αφού η f (x) ημ x είναι άρτια, έχουµε b ( f ) f (x) ημ x dλ(x) 2 [ ( x) συν x [ 2 ημ x 2 ] ] + 2 ( x) ημ x dλ(x) συν x dλ(x) Εεται ότι S( f, x) a ( f ) + (a ( f ) συν x + b ( f ) ημ x) 2 ημ x. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

12 . Θεωρούµε τη συνάρτηση f (x) ( x) 2 στο [, ] και την εεκτείνουµε σε µια -εριοδική συνάρτηση ορισµένη στο R. είξτε ότι Χρησιµοοιώντας το αραάνω, δείξτε ότι S( f, x) συν x 2. Υόδειξη. Παρατηρήστε ότι f () f (), άρα η f εεκτείνεται σε συνεχή -εριοδική συνάρτηση. Είναι ιο ϐολικό να ϑεωρήσουµε την f στο [, ]. Εχουµε f (x) ( x) 2 αν < x < και f (x) f (x + ) ( x) 2 ( + x) 2 αν < x <. Παρατηρήστε ότι f ( x) ( x) 2 f (x) για κάθε < x <, δηλαδή η f είναι άρτια στο [, ]. Συνεώς, b ( f ) f (x) ημ x dλ(x) για κάθε N. Για τον a ( f ) γράφουµε a ( f ) ( x) 2 dλ(x) [ ( x) 3 6 ] Υολογίζουµε τους συντελεστές a ( f ), : αφού η f (x) συν x είναι άρτια, έχουµε a ( f ) f (x) συν x dλ(x) 2 [ 2( x) 2 ημ x 4 ] ( x) ημ x [ 4( x) συν x dλ(x) ] 4 ( x) 2 συν x dλ(x) 2( x) ημ x συν x 2 dλ(x) Εεται ότι S( f, x) a ( f ) + (a ( f ) συν x + b ( f ) ημ x) συν x 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

13 Αφού ( a ( f ) + b ( f ) ) < +, η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. ηλαδή, f (x) συν x 2 για κάθε x R. Ειδικότερα, α όου αίρνουµε f () , 2 4 ) ( Εστω < α και έστω f : R R, -εριοδική συνάρτηση. Υοθέτουµε ότι υάρχει M > ώστε f (x) f (y) M x y α για κάθε x, y R. είξτε ότι: υάρχει σταθερά C > ώστε, για κάθε, a ( f ) C α και b ( f ) C α. Υόδειξη. Εστω N. Κάνοντας την αντικατάσταση y x + /, έχουµε a ( f ) f (x) συν( x) dλ(x) +/ +/ +/ +/ f (x /) συν( x) dλ(x) λόγω της -εριοδικότητας της f. Τότε, µορούµε να γράψουµε a ( f ) και χρησιµοοιώντας την υόθεση αίρνουµε f (x /) συν( x ) dλ(x) [ f (x) f (x /)] συν( x) dλ(x), f (x /) συν( x) dλ(x), a ( f ) f (x) f (x /) συν( x) dλ(x) M / α dλ(x) C α, όου C M α. Με τον ίδιο τρόο δείχνουµε ότι b ( f ) C/ α. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

14 3. Θεωρούµε την εριττή -εριοδική συνάρτηση f : R R ου στο [, ] ορίζεται αό την f (x) x( x). Σχεδιάστε την γραφική αράσταση της f, υολογίστε τους συντελεστές Fourier της f και δείξτε ότι f (x) 8 ημ[(2 + )x] (2 + ) 3. Υόδειξη. Αφού η f είναι εριττή, έχουµε f (). Για γράφουµε f () i i ( ) i ( ) f (x)e i x dλ(x) i [ x συν( x) + i ημ( x) 2 [ x 2 συν( x) i ( ) 2i[( ) ] 3. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η 2i[( ) ] 3 e i x διότι ( ) αν ο είναι άρτιος, και + 2i ] ] + 2i x( x) ημ( x) dλ(x) + i [ x ημ( x) + 2i[( ) ] 3 e i x x 2 ημ( x) dλ(x) x συν( x) dλ(x) ] συν( x) 2 2i[( ) ] 3 (e i x e i x ) 8 ημ((2 + )x), (2 + ) 3 2i[( ) ] 3 e i x 2i[( ) ](e i(2+)x e i(2+)x ) 4i(2i ημ((2 + )x)) 8 ημ((2 + )x). 4. Εστω < δ <. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : [, ] R µε { x f (x) δ αν x δ αν δ x Σχεδιάστε τη γραφική αράσταση της f και δείξτε ότι f (x) δ + 2 συν δ 2 δ συν x. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

15 Υόδειξη. Παρατηρήστε ότι Για γράφουµε f () f () δ δ f (x) dλ(x) f (x)e i x dλ(x) δ δ δ ( x ) συν( x) dλ(x) δ [ ημ( x) ημ(δ) x ημ( x) δ δ ημ(δ) δ συν(δ) δ 2. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αφού S( f, x) δ + δ + 2 έχουµε f (x) S( f, x) για κάθε x R. ] δ συν( x) δ 2 + συν(δ) δ 2 ( x ) dλ(x) δ δ. ( x ) e i x dλ(x) δ δ ( x ) συν( x) dλ(x) δ συν(δ) δ 2 e i x δ + συν(δ) δ 2 (e i x + e i x ) συν(δ) δ 2 συν( x). f () δ + 2 συν(δ) δ 2 < +, 5. Θεωρούµε την -εριοδική συνάρτηση f : R R ου στο [, ] ορίζεται αό την f (x) x. Σχεδιάστε την γραφική αράσταση της f, υολογίστε τους συντελεστές Fourier της f και δείξτε ότι f () /2 και + ( ) f () 2,. Γράψτε τη σειρά Fourier S( f ) της f σαν σειρά συνηµιτόνων και ηµιτόνων. Θέτοντας x δείξτε ότι (2 + ) 2 2 και Υόδειξη. Παρατηρήστε ότι f () x dλ(x) xdλ(x) 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

16 Για γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) x συν( x) dλ(x) [ ] x ημ( x) συν( x) + 2 ( ) 2. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αφού 2 + x e i x dλ(x) x συν( x) dλ(x) ( ) 2 e i x 2 + ( ) 2 (e i x + e i x ) f () έχουµε f (x) S( f, x) για κάθε x R. Ειδικότερα, f () 2 4 2[( ) ] 2 συν( x) συν((2 + )x). (2 + ) 2 2 (2 + ) 2 < +, (2 + ) 2, δηλαδή Τότε, α όου έεται ότι 2 (2 + ) (2 + ) (2) , 6. Εστω f L (T). (α) είξτε ότι lim t f (x + t) f (x) dλ(x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

17 (ϐ) (Λήµµα Riemann-Lebesgue). είξτε ότι, για κάθε n N, f (x) ημ nx dλ(x) f ( x + n ) ημ nx dλ(x). και συµεράνατε ότι lim f (x) ημ nx dλ(x). n Υόδειξη. (α). Υοθέτουµε ρώτα ότι η f είναι συνεχής. Εφόσον, είναι και -εριοδική ϑα είναι οµοιόµορφα συνεχής στο R. Αν ε > τυχόν, υάρχει δ δ(ε) > ώστε αν t < δ τότε f (x + t) f (x) < ε για κάθε x R. Εοµένως, αν < t < δ τότε, f (x + t) f (t) dλ(x) < ε dt ε. Αυτό αοδεικνύει το Ϲητούµενο στην ερίτωση ου η f είναι συνεχής. Στην γενική ερίτωση, ϑεωρούµε τυχόν ε > και f ε συνεχή -εριοδική ώστε f f ε < ε. Τότε, µε χρήση της τριγωνικής ανισότητας αίρνουµε: f (x + t) f (x) dλ(x) f (x + t) f ε (x + t) dλ(x) + f ε (x + t) f ε (x) dλ(x) + f ε (x) f (x) dλ(x) 2 f (x) f ε (x) dλ(x) + f ε (x + t) f ε (x) dλ(x). Εεται ότι, lim sup t f (x + t) f (x) dλ(x) 2ε + lim sup f ε (x + t) f ε (x) dλ(x) 2ε. t Καθώς, το ε > ήταν τυχόν το Ϲητούµενο έεται. (ϐ) Με την αλλαγή µεταβλητής x y + /n έχουµε: f (x) ημ(nx) dλ(x) n f ( y + ) ημ( + ny) dλ(y) n n f ( x + ) ημ(nx) dλ(x). n Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

18 Εοµένως, µορούµε να γράψουµε: f (x) ημ(nx) dλ(x) 2 Τώρα, το συµέρασµα έεται αό το (α) για t /n. (x f (x) f + ) dλ(x). n 7. (α) Θεωρώντας την εριττή εέκταση της συν x αό το (, ) στο (, ) \ {} δείξτε ότι συν x 8 ημ(2 x) 4 2 για κάθε < x <. (ϐ) Θεωρώντας την άρτια εέκταση της ημ x αό το (, ) στο (, ) δείξτε ότι ημ x 2 4 συν(2 x) 4 2 για κάθε < x <. συν x, < x Υόδειξη. (α) Εεκτείνουµε την f : [, ] R µε f (x), x,, συν x, < x < συνάρτηση σ όλο το R. Εοµένως, είναι a ( f ), αφού f εριττή και σε µια -εριοδική b ( f ) 2 f (x) ημ x dλ(x) συν x ημ x dλ(x) [ημ( )x + ημ( + )x] dλ(x). Αν ο είναι εριττός, τότε ϐλέουµε εύκολα ότι b ενώ αν ο 2s τότε Συµεραίνουµε ότι b 2s ( f ) 8 S( f, x) 8 s 4s 2. ημ(2 x) 4 2. Αφού η σειρά S( f ) συγκλίνει οµοιόµορφα και η f (,) είναι συνεχής, έεται (εξηγήστε γιατί) ότι αν < x < τότε συν x f (,) (x) S( f, x) 8 ημ(2 x) 4 2. Για το (ϐ) δουλεύουµε ανάλογα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

19 5.2 Οµάδα Β 8. (α) Για κάθε N ϑέτουµε A (x) ημ jx. j είξτε ότι: αν > m τότε για κάθε < x <. A (x) A m (x) ημ(x/2) (ϐ) Αν λ λ 2 λ n, δείξτε ότι jm+ για κάθε n > m και για κάθε < x <. λ j ημ jx λ m+ ημ(x/2) Υόδειξη. (α) Εστω > m. Γράφουµε A (x) A m (x) Αό την συν t έεται ότι jm+ 2 ημ(x/2) 2 ημ(x/2) ημ( jx) A (x) A m (x) jm+ ημ(x/2) jm+ ημ(x/2) ημ( jx) [ συν ( j /2 ) x συν ( j + /2 ) x ] [ συν ( m + /2 ) x συν ( + /2 ) x ]. 2 2 ημ(x/2) ημ(x/2). (ϐ) Χρησιµοοιούµε άθροιση κατά µέρη: είναι jm+ λ j ημ( j x) jm+ λ j (A j (x) A j (x)) λ A (x) λ m+ A m (x) + λ (A (x) A m (x)) + jm+ jm+ (λ j λ j+ )A j (x) (λ j λ j+ )(A j (x) A m (x)), διότι λ m+ A m (x) λ + jm+ (λ j λ j+ ) A m (x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

20 Τότε, jm+ λ j ημ( j x) λ A (x) A m (x) + ημ(x/2) λ m+ ημ(x/2). λ + jm+ jm+ (λ j λ j+ ) A j (x) A m (x) (λ j λ j+ ) 9. Εστω n N και M >. Αν λ λ 2 λ n και λ M για κάθε,..., n, δείξτε ότι n λ ημ x ( + )M για κάθε x R. Υόδειξη. Μορούµε να υοθέσουµε ότι < x < (εξηγήστε γιατί). Γράφουµε n λ ημ x m n λ ημ x + λ ημ x, m+ όου m min{n, /x }. Για το ρώτο άθροισµα έχουµε m λ ημ( x) m M ημ x m Mx Mmx M. Για το δεύτερο άθροισµα χρησιµοοιούµε την ροηγούµενη άσκηση: είναι n m+ λ ημ x λ m+ ημ(x/2) M (m + ) ημ(x/2) M, διότι m + > /x, άρα αό την ημ y 2y, y /2. (m + ) ημ(x/2) x 2x 2. (Λήµµα του Stečin). Εστω f (x) λ + n (λ συν x + µ ημ x) τριγωνοµετρικό ολυώνυµο και έστω x R µε την ιδιότητα είξτε ότι: αν t n τότε f (x ) f max{ f (x) : x R}. f (x + t) f συν(nt). Υόδειξη. Θέτουµε A f και ορίζουµε g(t) f (x + t) A συν(nt). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

21 Αν υοθέσουµε ότι το Ϲητούµενο δεν ισχύει, τότε υάρχει < s n της γενικότητας υοθέτουµε ότι < t < n. Για κάθε,,..., 2n ϑέτουµε t n g(t ) f (x + t ) A συν(). ώστε g(s) <. Χωρίς εριορισµό και έχουµε Παρατηρούµε ότι f (t ) f (x ), f (s) < και για κάθε,..., 2n έχουµε g(t ) αν ο είναι εριττός και g(t ) αν ο είναι άρτιος. Εεται ότι η g(y) έχει τουλάχιστον 2n + ϱίζες στο διάστηµα [, ). Αυτό είναι άτοο: ένα τριγωνοµετρικό ολυώνυµο ϐαθµού n έχει το ολύ 2n ϱίζες στο [, ) (εξηγήστε γιατί: η διάσταση του χώρου αυτών των ολυωνύµων είναι 2n + ). 2. (Ανισότητα του Bernstein). Εστω f (x) λ + n (λ συν x + µ ημ x) τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. είξτε ότι f n f. Υόδειξη. Παίρνοντας αν χρειαστεί το f στη ϑέση του f, ϑεωρούµε x τέτοιο ώστε f (x ) f. Παρατηρήστε ότι f (x ). Αό την ροηγούµενη άσκηση, για κάθε t n έχουµε f (x + t) f συν(nt). Αρα, Εεται ότι f ( x + ) f 2n ( x ) 2n f n 2 2n 2n f (x + t)dλ(t) f f [ ημ(nt) n ( f ] 2n ( x + 2n ) + f n 2 2 f n f. 2n 2n 2n 2 n f. ( x ) ) 2n συν(nt)dλ(t) 22. Εστω [a, b] κλειστό διάστηµα ου εριέχεται στο εσωτερικό του [, ]. Θεωρούµε την f (x) χ [a,b] (x) ου ορίζεται στο [, ] αό τις f (x) αν x [a, b] και f (x) αλλιώς, και την εεκτείνουµε -εριοδικά στο R. είξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S( f, x) b a + e ia e ib e i x. i είξτε ότι η S( f ) δεν συγκλίνει αολύτως για κανένα x R. Βρείτε τα x R για τα οοία η S( f, x) συγκλίνει. Υόδειξη. Παρατηρούµε ότι f () f (x) dλ(x) b dλ(x) b a. a Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

22 Αν, έχουµε Εεται ότι f () b a S( f, x) f () + e i x dλ(x) e ia e ib. i f ()e i x b a + e ia e ib e i x. i Η S( f, x) δεν συγκλίνει αολύτως για κανένα x R. Θα έρεε να συγκλίνει η σειρά b a + e ia e ib b a + e i(b a). Η σειρά αυτή αοκλίνει: αν ο b a είναι ϱητός τότε η ακολουθία {ei(b a) } αίρνει εερασµένες το λήθος τιµές, όλες διαφορετικές αό, ενώ αν ο b a είναι άρρητος τότε η ακολουθία {ei(b a) } είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στη µοναδιαία εριφέρεια, και αυτό συνεάγεται ότι το λήθος των N για τους οοίους e i(b a) 2 είναι µεγαλύτερο αό c N για κάοια σταθερά c >, άρα N N e i(b a) c 2 logn. 23. Εστω T (x) n c e i x τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. Υοθέτουµε ότι το T αίρνει ϑετικές ραγµατικές n τιµές. είξτε ότι υάρχει τριγωνοµετρικό ολυώνυµο Q ώστε T (x) Q(x) 2 για κάθε x R. Υόδειξη. Χωρίς εριορισµό της γενικότητας υοθέτουµε ότι c n. Παρατηρήστε ότι c c για κάθε,,..., n και ότι c T (x) dλ(x) >. Θεωρούµε το µιγαδικό ολυώνυµο n P(z) z n c z c n + c n z + + c n z 2n. n Παρατηρούµε ότι n n P(/z c z n c z n n n c z n n n n c m z m n z 2n c m z m+n n m n m n z 2n P(z). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 22

23 Εεται ότι P(z) αν και µόνο αν P(/z). Είσης, P() και P(w) για κάθε w T, διότι αν w e ix τότε P(w) e inx T (x) αό την υόθεση ότι το T δεν µηδενίζεται. Αρα, οι ϱίζες του P είναι n Ϲεύγη z, /z µε < z <. (,..., n). ηλαδή, υάρχει a C ώστε P(z) a n (z z ) n ) (z z. Θέτουµε P (z) n (z z ) και αρατηρούµε ότι n ) P 2 (z) : (z z z z n ( )n z n n ( ) z z z n z z ( )n z n ( ) P. z z n z n z ( z ) z Αρα, αν z έχουµε P 2 (z) P 2 (z) ( ) n z n z z n P ( z ) P (z) z z n. Τώρα γράφουµε T (x) T (x) e inx P(e ix ) ap (e ix )P 2 (e ix ) a P (e ix ) P (e ix ) z z n, και αν ορίσουµε έχουµε ( ) /2 a Q(x) P (e ix ) z z n T (x) Q(x) 2, x R. 24. (α) Εστω < δ <. είξτε ότι, για κάθε x [δ, δ], n 2 + συν x 2 ημ δ 2 και n ημ x ημ δ. 2 (ϐ) Εστω (t ) ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών ραγµατικών αριθµών µε t. είξτε ότι οι σειρές t συν x και t ημ x συγκλίνουν κατά σηµείο στο (, ) και οµοιόµορφα σε κάθε διάστηµα [δ, δ], όου < δ <. Συµεράνατε ότι ορίζουν συνεχείς συναρτήσεις στο (, ). Υόδειξη. (α) Γράφουµε A n (x) 2 + n συν x και χρησιµοοιούµε την ταυτότητα 2 ημ a συν b ημ(a b) + ημ(a + b) ως εξής: 2 ημ(x/2) A n (x) ημ(x/2) + n [ ( x ) ( x )] ( ημ 2 x + ημ 2 + x ημ n + ) x. 2 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 23

24 Για κάθε x (, ) είναι ημ(x/2) >, άρα A n (x) ημ ( ) n + 2 x. 2 ημ(x/2) Αν < δ < τότε για κάθε x [δ, δ] ισχύει ημ(x/2) ημ(δ/2). Εοµένως, έχουµε A n (x) Για το άλλο άθροισµα χρησιµοοιούµε την ταυτότητα 2 ημ a ημ b συν(a b) συν(a+b) και εργαζόµαστε ανάλογα. (ϐ) Για να δείξουµε την κατά σηµείο και οµοιόµορφη σύγκλιση ϑα χρησιµοοιήσουµε το κριτήριο του Cauchy για σειρές ραγµατικών αριθµών και συναρτήσεων αντίστοιχα. Θα χρησιµοοιήσουµε το κριτήριο Dirichlet: Αν (ε n ) είναι ϕθίνουσα ακολουθία µη αρνητικών όρων µε ε n και u n σειρά ραγµατικών αριθµών n µε ϕραγµένα µερικά αθροίσµατα, δηλαδή υάρχει σταθερά M > ώστε u + + u n M για κάθε n N, τότε η σειρά ε n u n συγκλίνει. n Τώρα, το γεγονός ότι η σειρά t συν x είναι συγκλίνουσα είναι άµεση συνέεια του (α) σε συνδυασµό µε το κριτήριο Dirichlet. Για την οµοιόµορφη σύγκλιση αρκεί να αρατηρήσει κανείς ότι η υόθεση των οµοιόµορφα ϕραγµένων αθροισµάτων ως ρος n αρκεί να αντικατασταθεί αό την υόθεση των οµοιόµορφα ϕραγµένων αθροισµάτων ως ρος n και ως ρος x [δ, δ]. Μια άλλη, ιο άµεση αόδειξη (η οοία όµως ακολουθεί την ίδια ιδέα) ϑα ήταν η εξής: Εστω x (, ) τυχόν αλλά σταθερό. Θεωρούµε την σειρά αριθµών t συν x. Παρατηρήστε αό το (α) ότι συν x A () A (x) µε A (x) 2. Τότε, αν n < m µορούµε να γράψουµε: m n+ t συν x m t (A (x) A (x)) n+ m t n+ A n (x) + (t t + ) A (x) + t m A m (x) n+ m t n+ A n (x) + (t t + ) A (x) + t m A m (x) 2t n+ n+ max A (x) t n+ n+ m ημ(x/2), αό το (α). Καθώς, t έεται αό το κριτήριο του Cauchy ότι η σειρά t συν x συγκλίνει. Παρατηρήστε ότι αν x [δ, δ], τότε m n+ t συν x t n ημ(δ/2), οµοιόµορφα ως ρος x, εοµένως η σειρά t συν x συγκλίνει οµοιόµορφα στο [δ, δ]. Αφού έχουµε σειρά συνεχών συναρτήσεων, έεται ότι άθροισµά της είναι συνεχής συνάρτηση στο [δ, δ]. Εειδή το δ (, ) ήταν τυχόν, έχουµε ότι η συνάρτηση f : (, ) R µε f (x) t συν x είναι συνεχής. Για την άλλη σειρά εργαζόµαστε ανάλογα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 24 ημ δ 2.

25 25. Εστω f L (T) και g L (T). είξτε ότι lim f (x)g(nx) dλ(x) f ()ĝ(). n T Υόδειξη. Αρκεί να δείξουµε το Ϲητούµενο στην ερίτωση ου η f είναι τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. Τότε, ολοκληρώνουµε την αόδειξη ως εξής: αν f L (T) και ε >, ϐρίσκουµε τριγωνοµετρικό ολυώνυµο p ε τέτοιο ώστε f p ε ε και γράφουµε T f (x)g(nx)dλ(x) f ()ĝ() f (x) p ε (x) g(x) dλ(x) T + p ε (x)g(nx)dλ(x) p ε ()ĝ() + p ε () f () ĝ() T f p ε g + p ε (x)g(nx)dλ(x) p ε ()ĝ() + p ε f ĝ() T ε( g + ĝ() ) + p ε (x)g(nx)dλ(x) p ε ()ĝ(), και αφήνοντας το n αίρνουµε lim sup n Αφού το ε > ήταν τυχόν, έεται ότι T lim n T f (x)g(nx)dλ(x) f ()ĝ() ε( g + ĝ() ). T f (x)g(nx)dλ(x) f ()ĝ(). Υοθέτουµε λοιόν ότι η f είναι τριγωνοµετρικό ολυώνυµο, και λόγω γραµµικότητας του Ϲητούµενου ως ρος f µορούµε να υοθέσουµε ότι f (x) e i x για κάοιον Z. Αν είναι ϕανερό ότι T g(nx)dλ(x) n T n n g(y)dλ(y) n n T g(y)dλ(y) ĝ() g(y)dλ(y) για κάθε n N, λόγω της εριοδικότητας της g. Μένει να δείξουµε ότι, για κάθε, ( ) lim e i x g(nx)dλ(x). n T Παρόµοιο ειχείρηµα µε το αρχικό δείχνει ότι µορούµε να υοθέσουµε ότι η g είναι τριγωνοµετρικό ολυώνυµο. Σε αυτήν την ερίτωση ελέγχουµε την ( ) µε αλές ράξεις. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 25