2 Variabile aleatoare

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 Variabile aleatoare"

Transcript

1 Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este o variabilă aleatoare. În general, în experimente în care numărăm (maşini aflate pe şosea, aruncări ale unui zar până la obţinerea unui şase, piese defecte, etc) variabilele aleatore obţinute sunt variabile aleatore discrete, iar în experimentele în care măsurăm (voltajul electric, cantitatea de apă de ploaie, duritatea unui anumit material, etc), variabilele aleatoare obţinute sunt variabile aleatoare continue. Definiţia matematică precisă este următoarea. Definiţia. (Variabilă aleatoare)ovariabilăaleatoarerealăpespaţiul de probabilitate (Ω F) este o funcţie : Ω R măsurabilă înraportcu-algebrele corespunzătoare (F pe Ω, respectiv-algebra Boreliană B pe R), adică cu proprietatea că () { Ω : () } F pentru orice mulţime Boreliană B. Pentru a calcula diverse caracteristice numerice asociate variabilei aleatoare, introducem funcţia de distribuţie corespunzătoare, după cum urmează. Definiţia. (Funcţia de distribuţie) Funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare este funcţia : R R definită prin () ( ) R (9) Observaţia.3 Folosind funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare putem spre exemplu determina probabilitatea ca variabila să ia valori într-un anumit interval ( ]: ( ( ]) ( ) () () (0) Această egalitate are loc deoarece evenimentele { } şi { } sunt disjuncte, şi verifică { } { } { }, şi deci din Definiţia.aprobabilităţii obţinem de unde prin scăderea lui () se obţine relaţia (0). Are loc următoarea. () ( ) ( )+ ( ) ()+ ( ) Propoziţia.4 (De caracterizare a funcţiei de distribuţie) Funcţia de distribuţie : R R auneivariabile aleatoare are următoarele proprietăţi.. Este nedescrescătoare, adică () () oricare ar fi R cu.. lim () 0şi lim (). 3. Este continuă la dreapta în orice punct, adică lim &0 () ( 0 ). 4. Are limită lastângaînoricepunct,şi are loc ( 0 ) : lim %0 () ( 0 ). 5. ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) Reciproc, se poate arăta că dacăofuncţie : R R verifică proprietăţile ) - 3) de mai sus, atunci există o variabilă aleatoare (pe un anumit spaţiu de probabilitate) având ca funcţie de distribuţie. Demonstraţie. Implicaţia directă - exerciţiu. Pentru a demonstra afirmaţia reciprocă, considerăm spre exemplu spaţiul de probabilitate (Ω F) cu Ω (0 ), F B (0 ) -algebra mulţimilor Boreliene pe (0 ), -măsura Lebesgue, şi arătăm că variabila aleatoare : Ω R definită de () sup{ R : () } Ω 7

2 are proprietăţile cerute. Pentru aceasta, arătăm mai întâi că are loc egalitatea { Ω : () } { Ω : ()} () Dacă (), dindefiniţia variabilei aleatoare (şi faptul că este nedescrescătoare), rezultă că (). Pentru a demonstra incluziunea contrară, dacă (), folosind continuitatea la dreapta a lui rezultă căexistă 0 astfel încât ( + ), şi folosind din nou definiţia variabilei aleatoare obţinem () +, ceea ce demonstrează incluziunea contrară. Folosind egalitatea (), obţinem ({ Ω : () }) ({ Ω : ()}) ((0 ()]) ((0 ()]) () deoarece este măsura Lebesgue pe intervalul (0 ), relaţiecearatăcă este funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare.. Variabile aleatoare discrete Definiţia.5 Ovariabilăaleatoare : Ω R se numeşte discretă dacă eapoateluanumaiunnumăr cel mult numărabil de valori. Dacă 3 sunt valorile posibile (distincte) ale lui şi ( ), ( ) 3 ( 3 ) sunt probabilităţile cu care variabila aleatoare ia aceste valori, reprezentăm variabila aleatoare discretă sub forma 3 () 3 Observaţia. Dacă este o variabilă aleatoarediscretăceiavalorile 3 cu probabilităţile 3, atunci au loc următoarele.. Dacă este un interval ce nu conţine nici una din valorile posibile ale variabilei aleatoare discrete, atunci ( ) 0 (3). Probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un interval ( ] este dată de ( ) X (4) adică esteegalăcusumaprobabilităţilor corespunzătoare valorilor posibile pentru care. 3. Suma tuturor probabilităţilor corespunzătoare valorilor este egală cu, adică X (5) Motivul este următorul: X X ( ) ( { 3 }) (Ω) Dacă este o variabilă aleatoare discretă, vom spune că funcţia de distribuţie corespunzătoare este o funcţie de distribuţie discretă (sau că are o distribuţie discretă). Definiţia.7 (Funcţie de densitate de probabilitate) Pentru o variabilă aleatoare discretă ce ia valorile 3 cu probabilităţile 3 definim funcţia de probabilitate avariabileialeatoare prin ½ dacă () ( 3) 0 în rest

3 f(x) F (x) Figure : Graficul funcţiei de probabilitate () şi a funcţiei de distribuţie () a variabilei aleatoare reprezentând rezultatul aruncării unui zar. Cunoscând funcţia de probabilitate a unei variabile aleatoare (sau valorile posibile şi probabilităţile respective), putem determina funcţia de distribuţie corespunzătoare astfel: () X ( ) X () Graficuluneidistribuţii discrete este o funcţie în scară, cu salturi egale cu în punctele ( 3), ca în următoarele două exemple. Exemplul. Să considerăm variabila aleatoare reprezentând rezultatul aruncării unui zar. Atunci are ca valori posibile cu probabilităţi fiecare, şi deci este o variabilă aleatoare discretă Funcţia de probabilitate corespunzătoare este ½ () dacă { } 0 în rest iar funcţia de distribuţie corespunzătoare este 0 dacă dacă dacă 3 3 () dacă dacă dacă 5 dacă De observat legătura între graficele funcţiei de probabilitate () şi a funcţiei de distribuţie () din Figura. Exemplul.9 Să considerăm variabila aleatoare reprezentând numărul de feţe stemă obţinute la aruncarea a 3 monede. În acest caz variabila aleatoare ia valorile 0 3 cu probabilităţile 3 3, deci putem reprezenta variabila aleatoare sub forma 0 3 Graficul funcţiei de probabilitate () şi a funcţiei de distribuţie () este indicat în Figura

4 f(x) F (x) 3 Figure : Graficul funcţiei de probabilitate () şi a funcţiei de distribuţie () a variabilei aleatoare reprezentând numărul de steme obţinute la aruncarea a două monede. Exemplul.0 (Problema aşteptării - spaţiu numărabil de evenimente ) Se aruncă înmodrepetat omo- nedă şi se consideră variabila aleatoare reprezentând numărul de încercări efectuate până laprimaapariţie a stemei. În acest caz variabila aleatoare poate lua valorile 3 (un număr infinit, numărabil, de valori posibile), cu probabilităţile ( ) (), ( ) () 4, ( 3) (), şamd. Avem deci 3 4 De observat că relaţia (5) este verificată în acest caz: folosind formula seriei progresiei geometrice, obţinem: X X Variabile aleatoare continue Variabilele aleatoare continue apar în practică atunci când într-un anumit experiment măsurăm o anumită cantitate, spre exemplu lungimea unui şurub, voltajul într-un circuit electric, timpul dintre două aterizări, etc. Reamintim că în general funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare este o funcţie continuă la stânga în orice punct. Dacă variabila aleatoare este o variabilă aleatoare discretă, ce ia valorile distincte 3 cu probabilităţile 3, atunci funcţia de distribuţie () ( ) corespunzătoare este o funcţie în scară, ce are salturi egale cu în punctele de discontinuitate, 3. Prin contrast cu variabilele aleatoare discrete, definim variabilele aleatoare continue, după cum urmează. Definiţia. (Variabilă aleatoare continuă şi absolut continuă) Spunem că variabila aleatoare este o variabilă aleatoarecontinuă dacă funcţia de distribuţie corespunzătoare : R R este o funcţie continuă pe R. Dacă înplusfuncţia de distribuţie esteabsolutcontinuăînraportcumăsura Lebesgue pe R, adicădacăexistă ofuncţie : R [0 ) integrabilă per astfel încât () Z spunem că este o variabilă aleatoare absolut continuă. () R, (7) Observaţia. Variabilele aleatoare continue ce apar în practică sunt în general şi absolut continue. Din acest motiv, în continuare ne vom referi la variabile aleatoare continue înţelegând prin aceasta că ele sunt şi absolut continue. 0

5 Observaţia.3 Spre deosebire de variabilele aleatoare discrete, în cazul variabilelor aleatoare continue avem oricare ar fi R. Motivul este următorul: din continuitatea măsurii de probabilitate avem ( ) 0 () ( ) lim ( ) % & lim ( ) ( ) % & lim () () % & Z lim % 0 & Z () () Din relaţia () rezultă că spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete, în cazul unei variabile aleatoare continue următoarele probabilităţi sunt egale ( ) ( ) ( ) ( ) () () Z () (9) toate fiind egale cu R () (aria de sub graficul funcţiei de densitate () între şi ). Mai general, pentru orice interval R avem Z ( ) () (0) Observaţia.4 (Legătura între funcţia de densitate şi cea de distribuţie) Dacă este o variabilăaleatoare continuă având densitatea atunci relaţia (7) permite calculul funcţiei de distribuţie: () Z () R Reciproc, dacă funcţia de densitate este o funcţie continuă (eventual cu excepţia unui număr finit de puncte), din relaţia (7) rezultă căfuncţia de distribuţie a unei variabile aleatoare continue este o funcţie continuă, şi mai mult, că esteofuncţie derivabilă (eventual cu excepţia punctelor de discontinuitate ale funcţiei de densitate ()). Derivând relaţia (7) în raport cu obţinem 0 () () () pentru orice R pentru care funcţia () este continuă. Această relaţienepermitesădeterminăm funcţia de densitate () atunci când cunoaştem funcţia de distribuţie (). Observaţia.5 Dacă este o variabilă aleatoarecontinuă având funcţia de densitate (), atunciaulocurmătoarele.. Dacă este un interval de numere reale, atunci Z ( ) () (). Probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un interval ( ] este dată de ( ) () () adică esteegalăcuariadesubgraficul densităţii () între şi (vezi Figura 3). Z () (3)

6 Figure 3: Probabilitatea ( ) este egală cuariadesubgraficul densităţii () între şi. 3. Integrala densităţii () este egală cu, adică Motivul este următorul: () (4) () ( ) (Ω) Exemplul. Să considerăm variabila aleatoare continuă având funcţia de densitate dată de () 075 pentru [ ] şi 0 în rest. Să se determine funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare şi să secalculeze probabilităţile şi 4.Careestevaloarealui pentru care ( ) 05? Folosind relaţia (7) distingem următoarele cazuri. i) Dacă, atunci Z Z () () 0 0 ii) Dacă atunci () Z iii) Dacă atunci () Z () Z () Z Am obţinut deci 0 () Pentru a calcula probabilităţile cerute, folosim relaţia (53): Z () 075 Alternativ, putem folosi relaţia (3), adică Z deoarece pentru o variabilă aleatoarecontinuăavem conform relaţiei (9). În mod similar, avem 4 Z 4 () 075 Z

7 sau alternativ 4 () Pentru a determina valoarea lui pentru care are loc egalitatea ( ) 05, săobservăm că deoarece ( ) (), relaţia dată semaipoatescriesubforma () 05. Obţinem deci , sau echivalent 3 0,cusoluţiile 0, 3 şi 3 3. Cum numai soluţia 0convine (de ce?), avem 0. Exerciţii Exerciţiul. Desenaţi graficul funcţiei de probabilitate şi a funcţiei de distribuţie corespunzătoare. () ½ 4 { 3} 0 în rest Exerciţiul. Considerăm funcţia de probabilitate () 3 pentru {0 3} şi 0 în rest. Să sedetermine valoarea constantei, şi să se reprezinte grafic funcţia şi funcţia de distribuţie corespunzătoare. Exerciţiul.3 Să sereprezintegrafic funcţiile şi în cazul (0) (3), () () 3.Poatefuncţia avea alte valori nenule? Exerciţiul.4 Fie variabila aleatoare reprezentând numărul de ani înainte ca o anumită piesăsăsedefecteze. Presupunem că are funcţia de probabilitate () 3 pentru {0 3 4} şi 0 în rest. Să sereprezinte grafic funcţia şi funcţia de distribuţie corespunzătoare. Exerciţiul.5 Dacă variabila aleatoare are funcţia de probabilitate ()! pentru N şi 0 în rest, să se determine valoarea constantei şi probabilitatea ( 3). Exerciţiul. Să sereprezintegrafic funcţia de densitate () 4 pentru ( ) şi 0 în rest, precum şi funcţia de densitate corespunzătoare. Să se determine probabilităţile ( 4) şi ( 3). Exerciţiul.7 În exerciţiul anterior, să se determine valoarea lui astfel încât: a) ( ) 90% b) ( ) c) ( ) 5% Exerciţiul. Funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare este dată de () 0dacă 0 şi () 0 dacă 0. Să se reprezinte grafic şi funcţia de densitate. Să se determine valoarea lui astfel încât ( ) 95%. Exerciţiul.9 Fie grosimea (în milimetri) a unei garnituri produse de o anumită maşină. Presupunem că variabila aleatoare are funcţia de densitate () dacă 09 şi 0 în rest. Să sedetermine. Care este probabilitatea ca o garnitură produsăvaaveaogrosimeîntre095 şi 05 mm? Exerciţiul.0 Două şuruburi sunt alese la întâmplare fără înlocuire dintr-o cutie ce conţine 7 şuruburi cu filet pe dreapta şi 3 şuruburi cu filet pe stânga. Fie variabila aleatoare reprezentând numărul de şuruburi extrase având filetul pe partea stângă. Să sedetermine ( 0), ( ), ( ), ( ) şi (05 5). Exerciţiul. Să se determine probabilitatea ca nici unul din cele trei becuri ale unui semafor să nutrebuiască schimbat în primeleh500 oredefuncţionare dacă duratadeviaţă aunuibecesteovariabilă aleatoare având densitatea () 05 ( 5) i pentru şi 0 în rest, unde este măsurat în multiplii de 000 ore. Exerciţiul. Dacă diametrul al unei bare este o variabilă aleatoare având densitatea () pentru 99 0 şi 0 în rest, aproximativ câte bare vor fi defecte într-un lot de 500 bare, dacă obarăeste considerată defectă când diametrul ei este mai mic decât 99 sau mai mare decât 009? 3

8 Exerciţiul.3 Dacă duratadeviaţă a unui rulment este o variabilă aleatoare cu densitatea () 0 pentru 0 0 şi 0 în rest, care este valoarea lui? Careesteprobabilitatea ( 5)? Exerciţiul.4 Să se determine funcţia de probabilitate a variabilei aleatoare reprezentând numărul de aruncări ale unui zar până laapariţia feţei. Săseverifice că arelocrelaţia (5). Exerciţiul.5 Presupunem că anumiteşuruburi au o lungime 400+ mm, unde este o variabilă aleatoare având densitatea () 3 4 pentru şi 0 în rest. Să se determine valoarea lui astfel încât cu probabilitate de 95% un şurubvaaveaolungimecuprinsăîntre400 şi Exerciţiul. Presupunem că într-un proces automatizat de umplere a conservelor cu ulei, conţinutul unei conserve (în litri) este 00+, unde este o variabilă aleatoare având densitatea () pentru şi 0 pentru. Săsereprezintegrafic şi funcţia de distribuţie corespunzătoare. Într-un lot de 000 conserve, aproximativ câte conserve vor conţine 00 de litri de ulei sau mai mult? Care este probabilitatea ca o conservă să conţină mai puţin de 99.5 litri ulei? Dar mai puţin de 99 litri ulei? Exerciţiul.7 Fie funcţia de densitate dată de () dacă 0 şi 0 în rest. Să sedetermine valoarea constantei. Să se determine constantele şi astfel încât ( )0 şi ( )09. Exerciţiul. Fie raportul vanzărilor la profit pentruoanumită firmă. Presupunem că are funcţia de distribuţie dată de 0 () Să sedetermineşi să se reprezinte grafic funcţia de densitate corespunzătoare.careesteprobabilitateaca să fie cuprins între 5 (40% profit) şi 5 (0% profit)? Exerciţiul.9 Fie ovariabilă aleatoare ce poate lua orice valoare reală. Care sunt complementarele evenimentelor { }, { }, { }, { }, { }, { }? Exerciţiul.0 Arătaţi că dacă atunci ( ) ( )..3 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia Media unei variabile aleatoare, notată (), (),,, sau (), caracterizează tendinţa centrală avalorilor acesteia, iar dispersia variabilei aleatoare, notată (),, sau (), caracterizează împrăştierea valorilor lui. Media () a variabilei aleatoare se defineşte prin ½ P () ( ) dacă este o v.a. discretă (5) () dacă este o v.a. continuă R iar dispersia () a variabilei aleatoare se defineşte prin ( P () ( ) ( ) dacă este o v.a. discretă R ( ) () dacă este o v.a. continuă () unde prin am notat funcţia de probabilitate a lui în cazul în care este o variabilă aleatoare discretă, respectiv funcţia de densitate a lui în cazul în care este o variabilă aleatoare continuă. Abaterea pătratică medie () a variabilei aleatoare se defineşte ca fiind radicalul dispersiei, adică () p (). Media () a unei variabile aleatoare se mai numeşte valoarea aşteptată /aşteptarea lui, deoarece ea este egală cu valoarea medie a lui atunci când se efectuează multeîncercări. Cantităţi precum () (media) sau () (dispersia) care indică anumiteproprietăţi ale distribuţiei în cauză se numesc parametrii ai distribuţiei. Media şi dispersia sunt cei mai importanţi parametrii ai unei distribuţii. Observăm că în general (cu excepţia cazului unei variabile aleatoare discrete având o singură valoare posibilă), avem () 0. În continuare vom presupune că () şi () există (şi sunt finite), ca în majoritatea cazurilor ce apar în probleme practice. 4

9 b a f(x) F (x) a b a b Figure 4: Graficul funcţiilor de densitate şi de distribuţie în cazul distribuţiei uniforme pe intervalul ( ). Exemplul.7 Fie variabila aleatoare reprezentând numărul de feţe stemă obţinut la aruncarea unei monede. În acest caz variabila aleatoare este dată de 0 şi deci obţinem media şi dispersia () Exemplul. (Distribuţia uniformă peintervalul( )) Distribuţia având funcţia de densitate ½ () ( ) 0 în rest se numeşte distribuţie uniformă pe intervalul ( ). Media şi dispersia sunt date în acest caz de respectiv () () + () () Z Z ( ) ( ) ( ) ( ) Figura 4 indică graficele funcţiei de densitate şi a funcţiei de distribuţie corespunzătoare distribuţiei uniforme pe intervalul ( ). Dacă o distribuţie este simetrică (adicăgraficul funcţiei de probabilitate/densitate este simetruic faţă deo dreaptă ), atunci putem calcula media a distribuţiei folosind următoarea. Teorema.9 Dacă funcţia (de probabilitate sau de densitate) a unei distribuţii este simetrică faţă dedreapta, atunci media distribuţiei este (). Demonstraţie. În cazul unei distribuţii continue având densitatea, conformdefiniţiei mediei avem: () () Z () + () 5

10 Folosind substituţia în prima integrală, respectiv substituţia + în a doua integrală, şi faptul că funcţia este simetrică faţă dedreapta (adică ( ) ( + )), obţinem: () ( ) ( ) + ( + + ) ( + ) ( + ) () 0 ( + ) ( + ) deoarece R şi deci R R (funcţia fiind simetrică faţă de ). Demonstraţia este similară în cazul unei distribuţii discrete..4 Transformarea mediei şi dispersiei În practică, deseori cunoaştem media () şi dispersia () a variabilei aleatoare,şi dorim să calculăm media şi dispersia unei variabile aleatoare +, unde R sunt constante. Răspunsul este dat de următoarea. Teorema.0 (Transformarea mediei şi dispersiei) Dacă ovariabilăaleatoare are medie () şi dispersie (),atuncimediaşi dispersia variabilei aleatoare + ( 0, R) sunt date de ( ) + şi ( ) (7) În particular, variabila aleatoare standardizată corespunzătoare lui, datăde () are medie () 0şi dispersie (). Demonstraţie. Vom da demonstraţia numai în cazul unei variabile aleatoare discrete. Să arătăm mai întâi că dacă densitatea variabilei aleatoare este, atunci densitatea variabilei aleatoare este +. Reamintim că densitatea a variabilei aleatoare afostdefinită cafuncţia cu proprietatea că sau echivalent () Z ( ) Z () () Pentru a determina densitatea a variabilei aleatoare,încercăm să scriem probabilitatea ( ) ca o integrală dela la (densitatea este atunci funcţia care apare sub integrală). Folosind faptul că 0 şi faptul că este densitatea variabilei aleatoare, avem: ( ) ( + ) Folosind substituţia,obţinem: ( ) Z Z ()

11 şi deci funcţia de densitate a variabilei aleatoare este () Putem deci calcula media variabilei aleatoare conform definiţiei Folosind substituţia ( ) () (sau echivalent + ), obţinem ( ) + ( + ) () ( + ) () () + () conform definiţiei medie alui şi deoarece R (funcţia fiind o funcţie de densitate). În mod similar putem calcula dispersia variabilei aleatoare ( ) ( ) () ( ) ( + ) () ( ) () conform definiţiei dispersie () alui. Pentruademonstraultimaparteademonstraţiei, considerând şi obţinem că variabila aleatoare standardizată are medie () 0 în demonstraţia anterioară, şi dispersie încheiând demonstraţia. ().5 Medie şi momente Media (sau aşteptarea) a unei variabile aleatoare reprezintă valoarea medie aşteptată alui,şi se mai notează () sau (). Mai general, dacă : R R este o funcţie continuă, atunci () este de asemenea o variabilă aleatoare. Media (sau aşteptarea) ( ()) reprezintă valoarea medie aşteptată a variabilei () şi se defineşte în mod similar formulei (5) prin ½ P ( ()) ( ) ( ) dacă este o v.a. discretă (9) () () dacă este o v.a. continuă R unde reprezintă funcţia de probabilitate a lui (în cazul unei variabile discrete) sau funcţia de densitate a lui (în cazul unei variabile aleatoare continue). 7

12 Încazulparticularalalegeriifuncţiei () se obţine momentul de ordin al variabilei aleatoare X ( ) sau () (30) iar în cazul alegerii funcţiei () ( ) se obţine momentul centrat de ordin al variabilei aleatoare ³( ) X ( ) ( ) sau ( ) () (3) Observăm că momentuldeordin ( în formula (30)) coincide cu media a variabilei aleatoare () şi că momentul centrat de ordin ( în formula (3)) coincide cu dispersia a variabilei aleatoare ³( ). Exerciţii Să se determine media şi dispersia variabilei aleatoare în următoarele cazuri ( reprezintă funcţia de probabilitate sau de densitate a variabilei aleatoare ). Exerciţiul. () 3, {0 3} şi 0 în rest. Exerciţiul. reprezintă rezultatul aruncării unui zar. Exerciţiul.3 () pentru 0 şi 0 în rest. Exerciţiul.4 () pentru 0 şi 0 în rest. Exerciţiul.5 4, unde este variabila aleatoare din anterior. Exerciţiul. este variabila aleatoare uniformă pe[0 0]. Exerciţiul.7 Dacă diametrul (în centimetri) al unor şuruburi are densitatea () ( 09) ( ) pentru 09 şi 0 în rest, să sedetermine şi.să se reprezinte grafic densitatea. Exerciţiul. Dacă în exerciţiul anterior un şurub este considerat defect atunci când diametrul său diferă cu mai mult de 00 cm faţă de cm,careesteprobabilitateacaunşurub să fie defect? Exerciţiul.9 În exerciţiul anterior, care este valoarea maximă posibilă a deviaţiei faţă de cm pentru care probabilitatea ca un şurub să fie defect este de 0%? Exerciţiul.30 Care este valoarea aşteptată a sumei la aruncarea de 0 de ori a unui zar? Comparaţi valoarea obţinută cu valoarea experimentală(efectuaţi experimentul de un număr de ori şi înregistraţi valorile obţinute). Exerciţiul.3 Ostaţiedebenzinăestealimentatăînfiecare Sâmbătă. Presupunem că volumul de benzină vândută (în zeci de mii de litri) este o variabilă aleatoare având densitatea () ( ) pentru 0 şi 0 în rest. Să se determine media, dispersia şi variabila aleatoare standardizată corespunzătoare lui. Exerciţiul.3 Ce capacitate trebuie să aibă rezervorul din problema anterioară, dacă probabilitatea ca rezervorul să fie golit într-o anumită săptămână este de 5%? Exerciţiul.33 Dacă duratadeviaţă a unor cauciucuri (în mii de kilometri) are densitatea () pentru 0 şi 0 în rest, ce kilometraj sunteţi aşteptat să obţineţi cu acest tip de cauciucuri? Pentru 005, determinaţi probabilitatea ca un cauciuc va avea o durată de viaţă mai de cel puţin km. Exerciţiul.34 La aruncarea unui zar, o persoană câştigă atâţia lei câţi indică zarul. Cât ar trebui să plătească persoana pentru un joc, pentru ca jocul să fie cinstit (echitabil)? Exerciţiul.35 Care este valoarea aşteptată aprofitului zilnic al unui magazin care vinde curcanipezicu probabilităţile (5) 0, () 03, (7) 04 şi () 0, dacăprofitul pentru un curcan vândut este de 35 lei?

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată [Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată Statistică Aplicată (C1) 1 Elemente de Statistic teoretic (C1) Populaµie statistic O populaµie (colectivitate) statistic este o mulµime de elemente ce posed o trasatur

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: LiviuStelian Begu și Smaranda Cimpoeru Proiect realizat de?, grupa?, seria? FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE, BUCUREȘTI 2015 CUPRINS Înregistrați

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE 5.1. Analiza conceptuală a termenilor de fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM ANEXA Prezentare model actuarial GLM INTRODUCERE Societățile de asigurare folosesc metode actuariale pentru a determina aceste variabile utilizându-se în general o modelare de tipul generalized linear

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Statistica descriptivă

Statistica descriptivă Statistica descriptivă Indicatori sintetici ai distribuţiilor statistice M. Popa Statistica descriptivă - obiective Cum se prezintă valorile unei distribuţii? Cât de apropiate sunt unele de altele? Cât

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc

Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc Producator: BIANCHI F.LLI srl - Italia Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc Model : Articol 447 / B de la ½ la 2 Cod Romstal: 40180447, 40184471, 40184472, 40184473, 40184474,

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA 2 REDRESOARE ŞI MULTIPLICATOARE DE TENSIUNE

LUCRAREA 2 REDRESOARE ŞI MULTIPLICATOARE DE TENSIUNE CRAREA REDRESOARE ŞI MTIPICATOARE DE TENSINE 1 Prezentare teoretică 1.1 Redresoare Prin redresare înţelegem transformarea curentului alternativ în curent continuu. Prin alimentarea circuitelor electronice

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice ÎNDRUMĂTOR DE PROIECTARE A MAŞINII ASINCRONE Pentru uz intern La baza acestui îndrumător stă un material elaborat de domnul dr.ing. Madescu

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN 4. TRANZISTORUL BIPOLAR 4.1. GENERALITĂŢI PRIVIND TRANZISTORUL BIPOLAR STRUCTURA ŞI SIMBOLUL TRANZISTORULUI BIPOLAR ÎNCAPSULAREA ŞI IDENTIFICAREA TERMINALELOR FAMILII UZUALE DE TRANZISTOARE BIPOLARE FUNCŢIONAREA

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

TEHNOLOGIA ŞI PROIECTAREA TRANSFORMATORULUI DE REŢEA MONOFAZIC DE MICĂ PUTERE - Ghid pentru tema de casă CCP-

TEHNOLOGIA ŞI PROIECTAREA TRANSFORMATORULUI DE REŢEA MONOFAZIC DE MICĂ PUTERE - Ghid pentru tema de casă CCP- TEHNOLOGIA ŞI PROIECTAREA TRANSFORMATORULUI DE REŢEA MONOFAZIC DE MICĂ PUTERE - Ghid pentru tema de casă CCP- 1. Generalităţi Prezentarea de faţă are ca scop cunoaşterea structurii constructive, a tehnologiei

Διαβάστε περισσότερα

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ SPRING User s Manual Air Purifier with Ionizer Εγχειρίδιο Χρήστη Ιονιστής/Καθαριστής αέρα Σας ευχαριστούµε για την επιλογή ηλεκτρικών συσκευών INVENTOR. Για την σωστή

Διαβάστε περισσότερα

PROIECT. NORMATIV PENTRU EVALUAREA IN-SITU A REZISTENŢEI BETONULUI DIN CONSTRUCŢIILE EXISTENTE, indicativ NP

PROIECT. NORMATIV PENTRU EVALUAREA IN-SITU A REZISTENŢEI BETONULUI DIN CONSTRUCŢIILE EXISTENTE, indicativ NP PROIECT NORMATIV PENTRU EVALUAREA IN-SITU A REZISTENŢEI BETONULUI DIN CONSTRUCŢIILE EXISTENTE, indicativ NP 137-2014 1 1. OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE 2. DOCUMENTE DE REFERINŢĂ 3. TERMENI ŞI DEFINIŢII

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE AMPLIFICATORL C CIRCIT ACORDAT DERIVATIE 4 M IN OT OT Analizor spectru IN Fiura 6 (). Comutatorul K este pe poziţia de R mare. Comutatorul K scurtcircuitează rezistenţa R a. Cunoscând valoarea L a bobinei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 22. Lagare cu alunecare hidrodinamice si hidrostatice

Capitolul 22. Lagare cu alunecare hidrodinamice si hidrostatice Capitolul 22 Lagare cu alunecare hidrodinamice si hidrostatice T.22.1. Cum influenteaza presiunea de alimentare distributia de presiuni din filmul de lubrifiant al unui lagar radial hidrodinamic? a) presiunea

Διαβάστε περισσότερα

Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VIII-a» Attempt 1. Continue

Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VIII-a» Attempt 1. Continue Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VIII-a 1 of 2 4/14/2008 12:19 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VIII-a» Attempt 1 1 Un pahar cu inaltimea h = 20cm si raza bazei r = 5cm, este plin

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

10. PROTECTIA INSTALATIILOR ELECTRICE IMPOTRIVA SUPRATENSIUNIILOR ATMOSFERICE

10. PROTECTIA INSTALATIILOR ELECTRICE IMPOTRIVA SUPRATENSIUNIILOR ATMOSFERICE 10. PROTECTIA INSTALATIILOR ELECTRICE IMPOTRIVA SUPRATENSIUNIILOR ATMOSFERICE 10.1 Protecţia liniilor electrice aeriene împotriva supratensiunilor de trăsnet 10.1.1. Prevederi generale privind protecţia

Διαβάστε περισσότερα

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu CUPRINS CAPITOLUL 1 - OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE...2 CAPITOLUL 2 -

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα