Τάξη: A' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Αθήνα των ριζών αυτών, = =

Transcript

1 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Αθήνα Θέμα ο Α. Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης α + β+ γ = 0 με α 0 Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα + των ριζών αυτών, τότε να αποδείξετε ότι: S Απόδειξη: β = Μονάδες 8 α Στην περίπτωση που η εξίσωση α + β+ γ = 0, α 0 έχει πραγματικές ρίζες,, έχουμε: β + β β + β β β S = + = + = = = α α α α α Β. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Να αποδείξετε ότι: Αν A B, τότε P(A) P(B) Μονάδες 7 Απόδειξη: Επειδή A B προφανώς ισχύει: Ν( Α) Ν( Β ) διαιρούμε κατά μέλη με N(Ω)>0 Ν Α Ν Ω Ν Β Ν Ω P( B) P A κλασσικός άορισμός πιθανότητας Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr

2 Γ. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Iσχύει α + β... για κάθε αβ,. β. Αν θ>0 τότε ισχύει = θ... ή... γ. Αν η διακρίνουσα Δ είναι ίση με το 0, τότε το τριώνυμο α + β+ γ με α 0 έχει μια διπλή ρίζα την =... δ. Αν η διακρίνουσα Δ είναι μεγαλύτερη από το 0, τότε το τριώνυμο α + β+ γ με α 0 παραγοντοποιείται και γίνεται... όπου, oι ρίζες του τριωνύμου ε. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τοους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: Απάντηση: P( Α Β ) =... Μονάδες 5=0 α. Iσχύει α + β α + β για κάθε αβ,. β. Αν θ>0 τότε ισχύει = θ = θ ή = θ. γ. Αν η διακρίνουσα Δ είναι ίση με το 0, τότε το τριώνυμο α + β+ γ με α 0 έχει μια διπλή ρίζα την β =. α δ. Αν η διακρίνουσα Δ είναι μεγαλύτερη από το 0, τότε το τριώνυμο α + β+ γ με α 0 παραγοντοποιείται και γίνεται ( )( ) α. όπου, oι ρίζες του τριωνύμου. ε. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τοους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: P P Α Β = Α + P Β. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr

3 Θέμα ο Η εμφάνιση μιας ομάδας μπάσκετ αποτελείται από φανέλα, σορτσάκι και κάλτσες. Η φανέλα μπορεί να είναι άσπρη (Α) ή κίτρινη (Κ) ή πράσινη (Π). Το σορτσάκι μπορεί να είναι γκρί (Γ) ή θαλασσί (Θ). Οι κάλτσες μπορεί να είναι μονόχρωμες (Μ) ή ριγέ (Ρ). α. Να κάνετε το δεντροδιάγραμμα του παραπάνω πειράματος τύχης. Μονάδες 5 β. Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. Μονάδες 5 γ. Να βρείτε τα ενδεχόμενα Κ={η φανέλα είναι κίτρινη} και Μ={οι κάλτσες είναι μονόχρωμες} Μονάδες 6 δ. Αν όλα τα απλά ενδεχόμενα του πειράματος είναι ισοπίθανα, να βρείτε τις πιθανότητες P( Κ Μ ) και P( Μ Κ ). Μονάδες 4+5=9 Λύση: α. β. Ω={ΑΓΜ, ΑΓΡ, ΑΘΜ,ΑΘΡ, ΚΓΜ, ΚΓΡ, ΚΘΜ, ΚΘΡ, ΠΓΜ, ΠΓΡ, ΠΘΜ, ΠΘΡ} γ. Κ={ ΚΓΜ, ΚΓΡ, ΚΘΜ, ΚΘΡ } Μ={ΑΓΜ, ΑΘΜ, ΚΓΜ, ΚΘΜ, ΠΓΜ, ΠΘΜ} δ. Κ Μ= { ΚΓΜ, ΚΘΜ } { ΑΓΜ, ΑΘΜ, ΠΓΜ, } Μ Κ = ΠΘΜ Αφου τα απλά ενδεχόμενα του πειράματος είναι ισοπίθανα, ισχύει ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας.ετσι: Ν( Ω) Ν Κ Μ P( Κ Μ ) = = = 6 και P Ν( Ω) Ν Μ Κ 4 Μ Κ = = = 3 Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3

4 Θέμα 3 ο Δίνεται η εξίσωση µ + 3+ µ µ = 0 όπου µ. i. Να λυθεί η εξίσωση για μ=. Μονάδες 5 ii. Αν µ να δείξετε ότι = 0µ + 9 (Δ : διακρίνουσα) Μονάδες 7 iii. Για ποιές τιμές του µ η εξίσωση δεν έχει ρίζες πραγματικές; Μονάδες 5 iv. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης, τότε για ποιά τιμή του µ ισχύει Λύση: 3 = ; Μονάδες 8 i. Για μ= η εξίσωση γίνεται: + 3+ = = (μηδενίζεται ο δευτεροβάθμιος όρος και καταλήγουμε σε μια εξίσωση ου βαθμού) 7 = 0 7 = =. 7 ii. β 4αγ ( 3 µ ) 4 ( µ )( µ ) 3 3µ ( µ ) 4( µ µ ) = = + = = 9 + µ + 4µ + 8µ 4µ = 0µ + 9 iii. Δεν έχει ρίζες πραγματικές όταν : µ µ 0 µ µ < µ, < 0 0µ + 9 < 0 µ < Σημείωση: Nα υπενθυμίσουμε ότι η θεωρία για τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις α + β+ γ = 0 έχει ως προυπόθεση α 0. γ µ µ iv. Γνωρίζουμε ότι = = = α µ µ Αρα: µ 6 = 3 = 3 µ = 3( µ ) µ = 3µ 6 µ 3µ = 6 µ = 6 µ = 6 µ = = 3 µ Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4

5 Θέμα 4 ο Δίνεται το τριώνυμο λ i. Να δείξετε ότι + λ = 0, λ 0. = 4 4λ (Δ: διακρίνουσα) Μονάδες 5 ii.να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες έχουμε < 0. Μονάδες 5 iii.να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση λ + λ 0, λ 0 αληθεύει για κάθε. Μονάδες 5 iv. Για ποιές τιμές του λ η εξίσωση λ v. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης λ + λ = 0, λ 0 έχει ρίζες πραγματικές; Μονάδες 5 + λ = 0, λ 0 τότε για ποιές τιμές του λ ισχύει: 0 4 = Μονάδες 5 Λύση: i. α = λ, β =, γ = λ = β 4αγ = 4λλ = 4 4λ ii. < λ < λ < Το τριώνυμο λ (είναι τριώνυμο με μηδενικό μέσο όρο) έχει ρίζες - και και ο συντελεστής α του δευτεροβάθμιου όρου (συντελεστής του λ ) είναι α= <0.Εμείς αναζητούμε τα λ για τα οποία το τριώνυμο γίνεται αρνητικό δηλαδή ομόσημο του α.από την θεωρία γνωρίζουμε ότι αυτό συμβαίνει για τα λ εκτός των ριζών.αρα: < 0 λ < ή λ> λ,, + iii. Θέλουμε το τριώνυμο να γίνεται για κάθε αρνητικό ή 0.Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο γίνεται ομόσημο του α ή 0 για κάθε, όταν 0.Από το ii. συμπεραίνω ότι ( ] [ ) 0 λ ή λ λ,, + () Επειδή εμείς θέλουμε ειδικά να είναι αρνητικό ή 0 πρέπει επιπλέον το α<0 δηλαδή α < 0 λ < 0 (). Η συναλήθευση των () και () δίνει ως απάντηση λ (, ]. iv. λ 0 λ 0 λ 0 λ 0 λ 0 λ 0 λ 0 4 4λ 0 λ 0 λ 0 λ 0 λ Σημείωση: H ανίσωση λ 0 λύνεται είτε με βάση το πρόσημο τριωνύμου ή ως εξής: λ 0 λ λ λ λ λ [, 0) ( 0,] Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5

6 v. Για την εξίσωση λ + λ = 0 με α = λ, β =, γ = λ έχουμε: = 4 4λ, + β = α = λ, = γ λ α = λ = Αρα: λ 4 = 4( ) 4 ( 4 4λ ) = λ = 4 4λ = 0λ 4 + λ 4λ = 0λ 4 λ 5λ+ = 0 α =, β = 5, γ = = β αγ = = = λ, β ± 5± 9 5± 3 = = = α λ = = = λ = = = 4 4 Επειδή όπως δείξαμε στο iv πραγματικές ρίζες έχουμε μόνο για λ [, 0) ( 0,], δεκτή λύση είναι μόνο το λ =. Ο Διευθυντής Χαράλαμπος Καρούσος Οι εισηγητές Νίκος Καρακάσης Δημήτρης Αθανασίου Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6