του Χριστόφορου Κουνιάκη

Transcript

1 του Χριστόφορου Κουνιάκη 1

2 1. Φυσικοί Αριθµοί Φυσικοί αριθµοί είναι οι 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... και συµβολίζονται µε το γράµµα Ν. Άρα, το Ν = {0,1,,3,4,...} είναι το σύνολο των Φυσικών Αριθµών. (Τα άγκιστρα { } συµβολίζουν το σύνολο).. Ακέραιοι Αριθµοί Οι φυσικοί αριθµοί πολλές φορές δεν επαρκούν να περιγράψουµε κάποια µεγέθη. Για παράδειγµα όταν λέµε η θερµοκρασία είναι 10 βαθµοί Κελσίου πρέπει να αποσαφηνίσουµε αν είναι επάνω ή κάτω από το µηδέν, ή όταν λέµε ότι απέχουµε 50 µέτρα από την επιφάνεια της θάλασσας θα πρέπει να διευκρινίσουµε αν είµαστε επάνω ή κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. Οπότε, για να είµαστε πιο σαφείς, εφοδιάσαµε τους φυσικούς αριθµούς µε ένα πρόσηµο (θετικό ή αρνητικό) και έτσι δηµιουργήσαµε τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθµούς οι οποίοι, µαζί µε το 0, ονοµάζονται ακέραιοι αριθµοί. Οι αριθµοί 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... δηλαδή, οι φυσικοί εκτός του µηδενός, ονοµάζονται θετικοί ακέραιοι αριθµοί. Συνήθως µπροστά τους βάζουµε το πρόσηµο +, αλλά η παράληψή του δεν είναι λάθος και το προτιµάµε συνήθως. Οι αριθµοί , -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -, -1 δηλαδή, οι φυσικοί εκτός του µηδενός που έχουν µπροστά τους το πρόσηµο -, ονοµάζονται αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί. Το σύνολο των Ακεραίων Αριθµών συµβολίζεται µε το γράµµα Ζ και αποτελείται από τους αρνητικούς ακέραιους, το µηδέν και τους θετικούς ακέραιους. Άρα, Ζ = {...-4,-3,-,-1, 0, +1,+,+3,+4,...} Γενικά δεχόµαστε ότι οι αρνητικοί ακέραιοι αριθµοί εκφράζουν το αντίθετο από ότι εκφράζουν οι θετικοί ακέραιοι αριθµοί Ρητοί Αριθµοί Ρητοί λέγονται οι αριθµοί που µπορούν να γραφούν µε τη µορφή κλάσµατος, όπου ο αριθµητής και ο παρανοµαστής είναι ακέραιοι αριθµοί και µε τον παρανοµαστή διάφορο του µηδενός. Το σύνολο των Ρητών Αριθµών συµβολίζεται µε το γράµµα Q. ηλαδή, Q={ µ/ν, όπου µ, ν ακέραιοι αριθµοί και ν 0} Παραδείγµατα: 9, 1, ΕΡΩΤΗΣΗ : Ένας ακέραιος αριθµός µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ρητός αριθµός; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Ναι. Γιατί ένας ακέραιος αριθµός ν, µπορεί να γραφεί και µε τη µορφή κλάσµατος θέτοντας παρανοµαστή τη µονάδα δηλ., να γραφεί και ως ν/1.

3 4. Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού Απόλυτη τιµή ή µέτρον ενός ρητού αριθµού είναι ο ίδιος ο αριθµός, χωρίς το πρόσηµο. Η απόλυτος τιµή ενός ρητού αριθµού α συµβολίζεται µε α, δηλαδή µε δύο κατακόρυφες γραµµές που µέσα τους περικλείεται ο αριθµός. Παραδείγµατα: +3 =3, -3 =3,,34 =,34, -,34 =,34, -/3 =/3, 0 =0 Από τα παραδείγµατα παρατηρούµε: 1. Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού είναι ο ίδιος ο αριθµός.. Η απόλυτη τιµή ενός αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετος του αριθµός. 3. Η απόλυτη τιµή του µηδενός είναι το µηδέν. Με απλά λόγια η απόλυτη τιµή κάθε ρητού αριθµού είναι πάντα θετικός αριθµός. Την απόλυτη τιµή ενός αριθµού την ονοµάζουµε και µέτρο, γιατί βρίσκεται από το µέτρηµα της απόστασής του από το µηδέν. 5. Οµόσηµοι - Ετερόσηµοι αριθµοί ύο ή περισσότεροι αριθµοί µε το ίδιο πρόσηµο λέγονται οµόσηµοι. π.χ. 3, +3, 8, 1/3, +15 ή -6, -4/5, -1, -1 Μόνο δύο αριθµοί µε διαφορετικό πρόσηµο λέγονται ετερόσηµοι. π.χ. 5, -8 ή -3/8, + ή 1,-1 3

4 6. Πράξεις µε τους ρητούς αριθµούς Πρόσθεση Οµόσηµοι ρητοί Ετερόσηµοι ρητοί Ιδιότητες Το άθροισµα οµόσηµων ρητών ισούται µε το άθροισµα των απόλυτων τιµών τους και είναι οµόσηµο µε αυτούς. π.χ. (+5) + (11) + (+) = +18 (-16) + (-) + (-18) = -36 Το άθροισµα ετερόσηµων ρητών ισούται µε τη διαφορά των απόλυτων τιµών τους και έχει το πρόσηµο του ρητού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. π.χ. (+5) + (-8) = -3 (-37) + (+47) = +10 Αντιµεταθετική: α + β = β + α Προσεταιριστική: (α + β) + γ = α + (β + γ) Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το 0. ηλαδή, προστιθέµενος ένας ρητός αριθµός µε το 0, αυτός δε µεταβάλλεται. α + 0 = 0 + α = α. υο ρητοί αριθµοί λέγονται αντίθετοι όταν από το άθροισµά τους προκύπτει το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. α + (-α) = (-α) + α = 0 Οι αντίθετοι αριθµοί έχουν την ίδια απόλυτη τιµή αλλά είναι ετερόσηµοι. Αφαίρεση Για να αφαιρέσουµε ένα ρητό αριθµό β (αφαιρετέος) από τον α (µειωτέος), αρκεί να πάρουµε τον αντίθετο του β και να τον προσθέσουµε στον α. Έτσι, µε αυτό τον τρόπο, η αφαίρεση ανάγεται σε πρόσθεση. α - (β) = α + (-β) π.χ. 8 (+16) = 8 + (-16) = +1 (-1) (+4) = (-1) + (-4) = -5, (/5) (1/5) = (/5) + (-1/5) = 1/5 Πολλαπλασιασµός Οµόσηµοι ρητοί Ετερόσηµοι ρητοί Ιδιότητες Το γινόµενο δύο οµόσηµων ρητών ισούται µε τον γινόµενο των απόλυτων τιµών τους και το πρόσηµο του γινοµένου είναι θετικό. π.χ. 5 (+11) = +55 (-16) (-) = +3 (,5) () = 5 Το γινόµενο δύο ετερόσηµων ρητών ισούται µε το γινόµενο των απόλυτων τιµών τους και το πρόσηµο του γινοµένου είναι αρνητικό. π.χ. (-13) (+5) = -65 (+3) (-4) = -1 0,5 (-8) = -4 Αντιµεταθετική: α β = β α Προσεταιριστική: (α β) γ = α (β γ) Επιµεριστική: α (β + γ) = α β + α γ Το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασια- µού είναι το 1. ηλαδή, πολλαπλασιαζόµενος ένας ρητός αριθµός µε το 1, αυτός δε µεταβάλλεται: α 1 = 1 α = α υο ρητοί αριθµοί λέγονται αντίστροφοι όταν από το γινόµενό τους προκύπτει το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού: π.χ. ο 7 και ο 1/7 είναι αντίστροφοι. 4

5 Το γινόµενο ενός ρητού αριθµού επί το 0 ισούται µε 0: α 0 = 0 α = 0 Το γινόµενο πολλών παραγόντων (οι οποίοι είναι διάφοροι του µηδενός) ισούται µε το γινόµενο των απόλυτων τιµών τους. Το πρόσηµο του γινοµένου πολλών παραγόντων εξαρτάται από: αν όλοι οι παράγοντες είναι θετικοί ή το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο, τότε το πρόσηµο του γινοµένου είναι πάντοτε θετικό αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό, τότε το πρόσηµο του γινοµένου είναι πάντοτε αρνητικό π.χ. (+3) (+1) (+8) (+5) = +10 (όλοι οι παράγοντες θετικοί) (+) (-4) (-1) (+6) = + 48 (δύο αρνητικοί παράγοντες) (+10) (-5) (-6) (-1) = (τρεις αρνητικοί παράγοντες) ιαίρεση Οµόσηµοι ρητοί Το πηλίκο δύο οµόσηµων ρητών ισούται µε τη διαίρεση των απόλυτων τιµών τους και το πρόσηµο του πηλίκου είναι θετικό. π.χ = = Ετερόσηµοι ρητοί Το πηλίκο δύο ετερόσηµων ρητών ισούται µε τη διαίρεση των απόλυτων τιµών τους και το πρόσηµο του πηλίκου είναι αρνητικό. π.χ = = 5 6 Ένας άλλος τρόπος για να εκτελέσουµε τη διαίρεση δυο ρητών α και β, είναι να πάρουµε τον αντίστροφο του β (διαιρέτης) και να τον πολλαπλασιάσουµε µε τον α (διαιρετέος): α 1 = α β β Συνήθως αυτό το εφαρµόζουµε όταν έχουµε να διαιρέσουµε δυο ρητούς, οι οποίοι είναι σε µορφή κλάσµατος π.χ. = = = = Το πηλίκο της διαίρεσης β α λέγεται και λόγος του αριθµού α προς τον αριθµό β και ορίζεται ως ένας µοναδικός αριθµός χ, ο οποίος πολλαπλασιαζόµενος µε τον β µας δίνει τον α. Με άλλα λόγια, το πηλίκο ορίζεται ως η µοναδική λύση χ της εξίσωσης β χ= α. 1 Για παράδειγµα, το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο αριθµός χ=3, διότι 7 3=1. 7 Από τα παραπάνω καταλαβαίνουµε ότι αν σε µια διαίρεση ο α (διαιρετέος) είναι 0, τότε το πηλίκο είναι ο αριθµός 0, ενώ αν ο β (διαιρέτης) είναι µηδέν, τότε η διαίρεση δεν ορίζεται. 0 9 Για παράδειγµα, η διαίρεση ισούται µε 0, διότι 9 0=0, ενώ η διαίρεση δεν ορίζεται, διότι δεν 9 0 υπάρχει αριθµός χ, ώστε 0 χ=9. 5

6 Ερωτήσεις στους ρητούς αριθµούς 1 Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις εκφράζει την αντιµεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης; (5 α+γ)+3 δ=5 α+(γ+3 δ) α X=X α 3 ζ+4 ω=4 ω+3 ζ 8 (α+β)=8 α+8 β Αν χ=-5, γ=+1 και ω=-10 τότε χ+γ+ω ίσο µε: Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις εκφράζει την επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού; α β = β α 3 (α+β) = 3 α 5 (α+β) = 10 α+ 5 β 4 (α 3β) = 4 α 1 β 4 Το πρόσηµο του πηλίκου δύο ετερόσηµων ρητών είναι : Πάντα θετικό Οµόσηµο µε το πρόσηµο του µεγαλύτερου ρητού της διαίρεσης Οµόσηµο µε το πρόσηµο του διαιρετέου Πάντα αρνητικό 5 Η ισότητα (χ+ψ)+ω=χ+(ψ+ω) εκφράζει µια ιδιότητα της πρόσθεσης που λέγεται: Επιµεριστική Αντιµεταθετική Ουδέτερο στοιχείο Προσεταιριστική 6 Αν δύο ρητοί αριθµοί χ και ψ είναι ετερόσηµοι και χ > ψ, τότε το άθροισµα χ+ψ θα έχει το ίδιο πρόσηµο µε: Τον χ Τον ψ Θα είναι 0 (µηδέν) εν µπορούµε να το βρούµε 7 Αφαιρούµε τις απόλυτες τιµές και βάζουµε το πρόσηµο του απόλυτα µεγαλύτερου αριθµού όταν: Προσθέτουµε οµόσηµους αριθµούς Άφαιρούµε οµόσηµους Προσθέτουµε ετερόσηµους Σε καµία περίπτωση 6

7 8 Το 1 ονοµάζεται Απορροφητικό στοιχείο της πρόσθεσης Ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού Ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης Τίποτα από τα παραπάνω 9 Αν χ+ω=0 τότε: Οι χ και ω είναι αντίθετοι χ=ω=0 Οι χ και ω είναι οµόσηµοι Οι χ και ω είναι ετερόσηµοι 10 Αν χ ψ=1 τότε: Οι χ και ψ είναι αντίθετοι χ = ψ = 1 Οι χ και ψ είναι αντίστροφοι Ο χ είναι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης 11 Να υπολογιστούν οι παρακάτω παραστάσεις: α) [ ( 3) ( ) ( 9)] : [0,5 ( 10) ( ) ( 6)]+7 = β) [( 8) ( ) ( 4):( 8)] ( 8) + ( 7) : (- ) = 8 8 (-) ( 5) 1 γ) - = Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) ( 3-) χ = 75 β) ( ) χ = -1-4 γ) χ = 3 6 δ) -3,8 +7, + ψ = 0 7

8 Λυµένα παραδείγµατα υπολογισµού παραστάσεων 1. (- 1) + (-10) = -. (- 8) - (+ 1) = (- 8) + (- 1) = - 0 η αφαίρεση ανάγεται σε πρόσθεση, παίρνοντας τον αντίθετο του αφαιρετέου =+ = = =+ =+ = , + 3, 1 = -,1 6. ( ) ( ) = (- 9) (- 4) = = = 0 8. (- 3) (- 5) - (+ 10) : (- ) = (+ 15) - (- 5) = (+ 15) + (+ 5) = (- 5) (+ 3) + (- 8) : (- ) = (- 15) + (+ 4) = = (- 7-8) (- ) + (- 1) = (- 15) (- ) + (- 1) = 30 1 = (0-5 ) 3-1 = (0-10) 3-1 = = 30-1 = (- 3). (- 5). (+ ). (- 1) = - 30 (περιττός αριθµός αρνητικών ρητών, άρα πρόσηµο γινοµένου - ) (- 5) = = (- 9-4) + [13 - ( )] - [- 8 - (3-6) + 4] = (-13) + [13 (-1)] [ -8 (-3) +4] = = 13 +(13 +1) (-8+3+4)= (-1) = = ( ) -( 9) = = =+ + -8= ( ) - [- 1 - ( ) - 3] - (- 18) : (+ 6) = -(- 6) [ -1 (+3) -3] (-3) = = 6 ( 1 3-3) + 3= 6 (-18) + 3 = = ( 14) ( + 7) 0+ (-) + 18 = = = -6 (-9)-(-6)

9 1. Να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή της παράστασης:, αν = - 3, y = + 4 και Λύση. Να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή της παράστασης: + 3y ω B= y+ y αν = - 5, y = - και Λύση 1 (-5) + 3( ) B= = = = = (-5)(-) + (-) Να δείξετε ότι η παράσταση: A = -[-(+ y) + + ] (-y + 3-) + [ -(3+ )] είναι ανεξάρτητη του και y. Λύση Απλοποιώ την παράσταση: Α = -[- ( + y) + + ] (-y +3 ) + [ (3 + )] = = - (- y + + ) + +3 y +3 + ( -3 ) = = + +y y = = 1 Η παράσταση ισούται µε ένα σταθερό αριθµό (τη µονάδα), άρα δεν εξαρτάται από τις τιµές του και y. αντίθετοι ρητοί, άρα µηδενίζεται το άθροισµά τους 9

10 Παρακάτω δίνονται κάποια χρήσιµα και βοηθητικά στοιχεία τα οποία, µπορούν να χρησιµεύσουν για την ευκολότερη λύση των ασκήσεων που αφορούν πράξεις µε ρητούς αριθµούς. 1. Όταν σε µια παράσταση υπάρχουν πολλοί θετικοί και αρνητικοί ρητοί αριθµοί που πρέπει να προσθαφαιρέσουµε, τότε µας βολεύει να προσθέσουµε αρχικά όλους τους θετικούς αριθµούς θέτοντας στο άθροισµα το πρόσηµο +, κατόπιν να προσθέσουµε όλους τους αρνητικούς αριθµούς θέτοντας στο άθροισµα το πρόσηµο - και τέλος, µεταξύ των δυο ετερόσηµων αριθµών που θα προκύψουν, να εκτελέσω µια πρόσθεση. π.χ = ( ) + ( 3 8 9) = +4 + (-) = + µαζεύω όλους τους θετικούς αριθµούς της παράστασης και τους προσθέτω µαζεύω όλους τους αρνητικούς αριθµούς της παράστασης και τους προσθέτω. Για την απαλοιφή παρενθέσεων ισχύει ο εξής κανόνας: αν µια παρένθεση έχει µπροστά της το πρόσηµο +, τότε όταν την απαλείφουµε, γράφουµε τους ρητούς αριθµούς που περιέχει η παρένθεση µε τα ίδια πρόσηµά τους. π.χ. +( ) = αν µια παρένθεση έχει µπροστά της το πρόσηµο -, τότε όταν την απαλείφουµε, γράφουµε τους ρητούς αριθµούς που περιέχει η παρένθεση µε τα αντίθετα πρόσηµα. π.χ. -( ) = Να θυµόµαστε ότι: προηγούνται οι πράξεις µέσα στις αγκύλες και στις παρενθέσεις προηγούνται οι πράξεις του πολλαπλασιασµού και διαίρεσης από τις πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης όταν έχουµε να διαιρέσουµε δύο κλάσµατα, µας εξυπηρετεί καλύτερα να εκτελέσουµε πολλαπλασιασµό αντί διαίρεση, αντιστρέφοντας το διαιρέτη. π.χ. = = = η αφαίρεση δυο ρητών αριθµών, µπορεί να µετατραπεί σε πρόσθεση παίρνοντας τον αντίθετο του αφαιρετέου π.χ. (8) (-0) = (8) + (+0) = 8 10

11 Ερωτήσεις Ασκήσεις υπολογισµού παραστάσεων 1. Αν η διαφορά δυο ρητών είναι αρνητικός αριθµός, τότε και οι δυο ρητοί είναι πάντοτε αρνητικοί αριθµοί. Σ Λ. Ισχύει στην αφαίρεση η µεταθετική ιδιότητα: α - β = β - α Σ Λ 3. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: 5 ( 7)+( 8) (- +1)= () ( 4) ( 3 ) ( 3) ( 1) = +5 ( 15) + 3 (1-7)= ( 1) ( 10) ( 3 ) (+3) ( ) = [- 5 (- )] + ( ) = ( 1) ( 6) ( 7 ) ( 7) ( ) = ( 3 +5) ( 15) (-1+6)= ( 1) ( 10) ( 5 ) ( 5) ( 1) = ( 6 +9) ( 11+1) + (-1-7)= ( ) ( 5) ( 3 ) ( 3) ( ) = (-8 ) = (+ 8 9 ) = (+ 1 ) = [- (+3) ( ) ( 9)] : [3 ( 10) ( ) (5)]+7 = [( 8) ( ) + ( 5-3):( 8)] +(-8) ( ) = [ 9 (- ) (-7 5-4):( 8)] +(-6) ( ) = 3 3 [(6 ) 3 4] + (- +10 ):(-6) [(-5) (-4) + (-9-5):(7)] : (7 1) = - 7 ( ( ( 3 3 ):( 1 ) = 3 5 ):( 3 ) = 10 1 ):( ) = 3 ( ):( 1 ) = ( ):( 1 ) (-7)= 7 3 = 4 11

12 Ασκήσεις µε παρενθέσεις και αγκύλες Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: { ( ) 5 ( ) } ( 5 ) Α= = { ( ) } ( ) B= = 3. Αν α+β=3 να βρείτε την τιµή της παράστασης: { ( 3) 7 ( ) } A= a+ β+ + + γ γ + = 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: ( ) B= + = A= ( ) ( 10) ( 5) + + = 5. ίνεται η παράσταση: A 3( 5) 1 6( 9) όταν α) = -1/3 και β) = - = + + να βρείτε την τιµή της 6. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( ω) ( ω) A= 5 + y y y όταν = 0, y = -1, ω = 0, 7. Αν A= 5( y) και 5 ( 3) B= y a + a να δείξετε ότι Α=. 1

13 7. υνάµεις ύναµη ενός ρητού αριθµού α είναι ένας φυσικός αριθµός n, ο οποίος ορίζει το πλήθος που ο α πολλαπλασιάζεται µε τον εαυτό του. Συµβολίζεται ως α n, διαβάζεται ως α στη n-οστή δύναµη και ουσιαστικά είναι το γινόµενο n παραγόντων α: (ο α λέγεται βάση και ο εκθέτης n λέγεται δύναµη) Κάποιοι εκθέτες έχουν ιδιαιτερότητες στην ανάγνωση όπως: για την έκφραση α = α α δε λέµε α στη η δύναµη, αλλά α στο τετράγωνο ή τετράγωνο του α. Αυτό προέκυψε επειδή η επιφάνεια ενός τετραγώνου µε πλευρά α ισούται µε α. για την έκφραση α 3 = α α α δε λέµε α στην 3 η δύναµη, αλλά α στον κύβο. Αυτό προέκυψε επειδή ο όγκος κύβου πλευράς α ισούται µε α 3. Είναι προφανές ότι α 1 = α, επίσης ισχύει : α 0 = 1, µε α 0. Ιδιότητες δυνάµεων ρητών αριθµών (α µ ) ν = α µ ν, α µ α ν = α µ+ν, α α µ v µ ν = α, ν α β α = β ν ν 13

14 8. Το τετράγωνο και η τετραγωνική ρίζα ενός αριθµού Πριν ορίσουµε τι είναι τετραγωνική ρίζα, ας δούµε πρώτα τι είναι το τετράγωνο ενός αριθµού και πως το βρίσκουµε. Κατόπιν, είναι εύκολο να ορίσουµε την τετραγωνική ρίζα Για να βρούµε το τετράγωνο ενός αριθµού, απλά πολλαπλασιάζουµε µε τον εαυτό του. Παράδειγµα: Ποιο είναι το τετράγωνο του αριθµού 3; Το τετράγωνο του αριθµού 3 είναι o αριθµός 9, διότι 3 3 = 9 Συνήθως, το τετράγωνο ενός αριθµού το δηλώνουµε θέτοντας στον αριθµό τον εκθέτη (λέµε ότι ο αριθµός υψώθηκε στο τετράγωνο). Έτσι, στο παραπάνω παράδειγµα µπορούµε αντί για 3 3 = 9, να γράψουµε 3 = 9. Αυτό σηµαίνει το τετράγωνο του αριθµού 3. Ουσιαστικά δηλώνει ότι δυο φορές εµφανίζεται ο αριθµός 3 στον πολλαπλασιασµό Τετράγωνα των αριθµών από 1 µέχρι το 6: Το τετράγωνο του 1 ισούται µε: 1 = 1 1 = 1 Το τετράγωνο του ισούται µε: = = 4 Το τετράγωνο του 3 ισούται µε: 3 = 3 3 = 9 Το τετράγωνο του 4 ισούται µε: 4 = 4 4 = 16 Το τετράγωνο του 5 ισούται µε: 5 = 5 5 = 5 Το τετράγωνο του 6 ισούται µε: 6 = 6 6 = 36 Ας δούµε τώρα τι γίνεται µε το τετράγωνο ενός αρνητικού αριθµού. Για παράδειγµα, ποιο είναι το τετράγωνο του αριθµού -5; Απάντηση: (-5) (-5) = +5 (το πρόσηµο του 5 είναι θετικό διότι πολ/ζω δυο οµόσηµους αριθµούς) Όπως παρατηρείτε, το τετράγωνο ενός αριθµού είναι πάντοτε θετικό, ανεξάρτητα αν ο αριθµός είναι θετικός ή αρνητικός. Ίδιο αποτέλεσµα Τώρα είµαστε έτοιµοι να δούµε τι είναι η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού και πως τι βρίσκουµε. Για να βρούµε την τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού ακολουθούµε τον αντίθετο δρόµο από αυτόν που ακολουθήσαµε για να βρούµε το τετράγωνο το αριθµού. 14

15 Παράδειγµα: Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 9; Η τετραγωνική ρίζα του 9 είναι ο αριθµός 3, γιατί όταν πολλαπλασιαστεί µε τον εαυτό του, µας δίνει το 9. Με άλλα λόγια, για να βρούµε την τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α, αρκεί να βρούµε έναν αριθµό β, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί µε τον εαυτό του (δηλαδή, όταν υψωθεί στο τετράγωνο), µας δίνει τον α. Την τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α τη συµβολίζουµε µε: Τετράγωνα των αριθµών από 1 µέχρι το 6 και τετραγωνικές ρίζες των τετραγώνων τους. 1 = 1 τότε 1 = 1 = 1 = 4 τότε 4 = = 3 = 9 τότε 9 = 3 = 3 4 =16 τότε 16 = 4 = 4 5 =5 τότε 5 = 5 = 5 6 =36 τότε 36 = 6 = 6 Για τον αριθµό 0, επειδή 0 = 0, ορίζουµε 0= 0 Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας α β = α β µε α,β 0 π.χ. = µε α,β 0 π.χ. Αν β= α τότε β =α α = β => α = β, α = α µε α,β 0 Τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθµού δεν υπάρχει διότι, όπως αναφέραµε παραπάνω, όποιος αριθµός υψωθεί στο τετράγωνο δίνει πάντα θετικό αριθµό. Για παράδειγµα, ο 16 δεν υπάρχει. Γνωρίζοντας τώρα τι είναι τετράγωνο και τι τετραγωνική ρίζα ενός αριθµού, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις γνώσεις αυτές στη γεωµετρία όπως στα παρακάτω προβλήµατα: 15

16 α. Να υπολογιστεί το εµβαδόν ενός τετραγώνου όταν δίνεται το µήκος της πλευράς του. Έστω το τετράγωνο του παρακάτω σχήµατος, µε µήκος πλευρά 3 m. Τότε, το εµβαδόν ισούται µε το τετράγωνο της πλευράς του. ηλαδή: Ε τετρ = 3 = 3 3 = 9 m β. Να υπολογιστεί το µήκος της πλευράς ενός τετραγώνου όταν δίνεται το εµβαδόν του. Έστω ότι το τετράγωνο του παραπάνω σχήµατος, έχει εµβαδόν 9 m. Για να το µήκος της πλευράς του ακολουθούµε τον αντίθετο δρόµο από ότι ακολουθήσαµε στο α ερώτηµα. Η πλευρά του τετραγώνου ισούται µε την τετραγωνική ρίζα του εµβαδού του. ηλαδή: α = 9 = 3 = 3 m γ. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογιστεί η υποτείνουσά του (η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία), όταν γνωρίζουµε το µήκος των δύο κάθετων πλευρών του. Έστω το παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ µε την Α ορθή γωνία (90 ο ) και τα µήκη των Α και ΑΓ να είναι 4 m και 3 m, αντίστοιχα. Τότε, σύµφωνα µε το Πυθαγόρειο θεώρηµα, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Γ =Α +ΑΓ => Γ = Γ = => Γ = 5 => Γ = 5 Γ = 5 => Γ = 5 Ένας περίεργος αριθµός Μέχρι τώρα ασχοληθήκαµε µε τις τετραγωνικές ρίζες αριθµών τέλειων τετραγώνων δηλαδή, αριθµών που ισούνται µε το τετράγωνο ενός µικρότερου αριθµού (το 49 για παράδειγµα, ισούται µε το τετράγωνο του 7, άρα η τετραγωνική του ρίζα του 49 είναι το 7). Αν προσπαθήσουµε όµως να βρούµε την τετραγωνική ρίζα του δηλαδή, το, θα διαπιστώσουµε ότι µας είναι αδύνατον να την υπολογίσουµε. Με άλλα λόγια δεν υπάρχει αριθµός, ο οποίος πολλαπλασιαζόµενος µε τον εαυτό του να µας δίνει το. Έτσι, το το υπολογίζουµε κατά προσέγγιση και περίπου ισούται µε 1, Αυτός ο αριθµός δεν είναι δυνατόν να εκφραστεί µε τη µορφή κλάσµατος δυο ακεραίων αριθµών και γι αυτό το λόγο ονοµάζεται άρρητος αριθµός. 16

17 9. Εξισώσεις 1 ου βαθµού Εξίσωση είναι µια ισότητα που περιέχει αριθµούς, εκ των οποίων τουλάχιστον ένας εξ αυτών είναι άγνωστος. Συνήθως αυτόν τον άγνωστο, τον συµβολίζουµε µε το γράµµα χ. π.χ. 1+χ = 18, χ+6 = 10, 1 : χ - 4= 0, -χ + 3 =1 Το ζητούµενο είναι να βρεθεί ένας αριθµός, ο οποίος όταν αντικαταστήσει το χ της εξίσωσης να επαληθεύεται η ισότητα. Αυτός ο αριθµός ονοµάζεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης. Έτσι, για τα παραπάνω παραδείγµατα έχουµε: η λύση της εξίσωσης 1+χ = 18 είναι ο αριθµός 6 η λύση της εξίσωσης χ+6 = 10 είναι ο αριθµός η λύση της εξίσωσης 1 : χ - 4= 0 είναι ο αριθµός 3 η λύση της εξίσωσης -χ + 3 =1 είναι ο αριθµός -9 Μια εξίσωση µπορεί να έχει περισσότερες από µια λύσεις. Εµείς, προς το παρόν, θα ασχοληθούµε µε τις εξισώσεις που έχουν µια και µοναδική λύση. Οι εξισώσεις αυτές ονοµάζονται εξισώσεις 1 ου βαθµού. Μια εξίσωση της µορφής Α χ=, όπου Α και είναι γνωστοί ρητοί αριθµοί και χ ο άγνωστος ρητός αριθµός, η µοναδική της λύση υπολογίζεται διαιρώντας το δια του Α, δηλ. χ=/α. Στην περίπτωση που τα Α και είναι παραστάσεις από ρητούς αριθµούς, τότε υπολογίζουµε τις παραστάσεις και κατόπιν εκτελούµε τη διαίρεση. Παρατήρηση 1: Μια εξίσωση είναι πιθανό να µην έχει καµία λύση. Τότε λέµε ότι εξίσωση αυτή είναι αδύνατη. Αν στην εξίσωση της µορφής Α χ=, το Α ισούται µε 0, τότε η λύση χ=/α, της εξίσωσης είναι αδύνατη. Άρα, απαραίτητη προϋπόθεση για να λυθεί η εξίσωση Α χ=, είναι Α 0. Παράδειγµα 1: Έστω η εξίσωση: 5 χ = 15. Η λύση της είναι: χ= = +3 Παράδειγµα : Έστω η εξίσωση: (+1-3) χ =. εν υπάρχει λύση, διότι η παράσταση +1-3 = 0. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση λέγεται αδύνατη. Παρατήρηση : Μια εξίσωση είναι πιθανό να έχει άπειρες λύσεις δηλ., όποιο αριθµό (ενός συνόλου) θέσω στον άγνωστο Χ, να λύνει την εξίσωση. Τότε η εξίσωση αυτή, ονοµάζεται αόριστη ή ταυτότητα. Παράδειγµα: Έστω η εξίσωση: 5 χ + 3 = 15 χ χ -. Όποιο αριθµό θέσω στον άγνωστο χ, θα µας δώσει και στα δυο µέλη της εξίσωσης το ίδιο αποτέλεσµα. Όπως θα έχετε παρατηρήσει, κάθε εξίσωση αποτελείται από δύο µέλη, το πρώτο και το δεύτερο µέλος. Το πρώτο µέλος της εξίσωσης είναι η παράσταση που βρίσκεται αριστερά από το ίσον, ενώ το δεύτερο µέλος βρίσκεται δεξιά. 5 χ - = 8 1 ο µέλος ο µέλος Ένας όρος της εξίσωσης µπορεί να µεταφερθεί από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντας όµως το πρόσηµό του (γιατί;). Για παράδειγµα, στην παραπάνω εξίσωση όταν µεταφέρουµε τον αριθµό από το πρώτο µέλος στο δεύτερο, το πρόσηµό του από θα γίνει +. π.χ χ- = 8 => 5 χ = 8+ => 5 χ = 10 => χ= => = 5 17

18 Μεθοδολογία λύσης εξισώσεων χωρίς κλάσµατα Εφαρµόζοντας τη µεταφορά των όρων µιας εξίσωσης από το ένα µέλος στο άλλο, µπορούµε να λύνουµε εύκολα πολύπλοκες εξισώσεις στις οποίες, ο άγνωστος αριθµός χ εµφανίζεται και στα δύο µέλη. Π.χ.: -3 (χ+) + 10 = 7 χ - 16 Παρακάτω θα λύσουµε την εξίσωση -3 (χ+) + 10 = 7 χ 16 παρουσιάζοντας µια µεθοδολογία, τα βήµατα της οποίας, θα πρέπει να τα εφαρµόζετε στις περισσότερες περιπτώσεις για τη λύση των εξισώσεων. 1ο βήµα ο βήµα Απαλοιφή παρενθέσεων-απλοποίηση. Εάν στα δυο µέλη της εξίσωσης υπάρχουν παραστάσεις µε παρενθέσεις, κάνουµε απαλοιφή παρενθέσεων και αν υπάρχουν αριθµητικές πράξεις τότε τις εκτελούµε, εφαρµόζοντας τις ιδιότητες των πράξεων (προσεταιριστική, επιµεριστική) Στο παράδειγµά µας έχουµε: -3 (χ+)+10 = 7 χ 16 => -3 χ 6+10 = 7 χ 16 => -3 χ+4 = 7 χ 16 Χωρισµός των γνωστών από τους αγνώστους όρους. Γνωστοί όροι µιας εξίσωσης είναι οι αριθµοί, ενώ άγνωστοι είναι αυτοί που έχουν τον άγνωστο χ. Ο χωρισµός γίνεται µεταφέροντας τους όρους από το ένα µέλος στο άλλο µε την εξής τακτική: Στο 1 ο µέλος της εξίσωσης (αριστερά του ίσον) µεταφέρουµε όλους τους άγνωστους όρους, ενώ στο ο µέλος (δεξιά του ίσον) µεταφέρουµε όλους τους γνωστούς όρους. ε ξεχνάµε κατά τη µεταφορά των ορών να αλλάζουµε πάντα το πρόσηµό τους. Έτσι, αριστερά του ίσον µαζεύουµε όλους τους άγνωστους όρους της εξίσωσης, ενώ δεξιά του ίσον όλους τους γνωστούς. Στο παράδειγµά µας, µεταφέρουµε τον άγνωστο όρο 7 χ, από το ο µέλος στο 1 ο µέλος, αλλάζοντας το πρόσηµο σε -. Επίσης, µεταφέρουµε τον αριθµό 4 (γνωστός όρος), από το 1 ο µέλος στο ο µέλος, αλλάζοντας το πρόσηµο σε -. Στο παράδειγµά µας έχουµε: -3 χ + 4 = 7 χ 16 => -3 χ 7 χ = ο βήµα Αναγωγή οµοίων όρων. Κάνουµε τις πράξεις µεταξύ των αγνώστων όρων και το αποτέλεσµα το γράφουµε στο 1 ο µέλος (αριστερό) της εξίσωσης. Οµοίως, κάνουµε τις πράξεις µεταξύ των γνωστών όρων και το αποτέλεσµα το γράφουµε στο ο µέλος (δεξιό) της εξίσωσης. Στο παράδειγµά µας, στο 1 ο µέλος προσθέτουµε τον άγνωστο όρο -3 χ µε τον άγνωστο όρο -7 χ (οµόσηµοι) και γράφουµε το αποτέλεσµα. Στο ο µέλος πραγµατοποιούµε και εκεί τις πράξεις µεταξύ των γνωστών όρων και γράφουµε το αποτέλεσµα. Στο παράδειγµά µας έχουµε: -3 χ 7 χ = 4 16 => 10 χ = 0 4ο βήµα ιαίρεση µε το συντελεστή του αγνώστου. Τώρα, η εξίσωση βρίσκεται στη µορφή Α χ=, οπότε διαιρώντας µε το συντελεστή του αγνώστου (τον Α), βρίσκουµε τη λύση χ=/α (µε τη προϋπόθεση ότι το Α 0). Στο παράδειγµά µας έχουµε: = 0 = = =

19 19 Μεθοδολογία λύσης εξισώσεων µε κλάσµατα Στην περίπτωση που η εξίσωση περιέχει κλάσµατα που δε µπορούν να απλοποιηθούν, τότε στην παραπάνω µεθοδολογία θα πρέπει να προσθέσουµε ένα ακόµη βήµα, το οποίο εκτελείται αρχικά. Το βήµα αυτό αφορά την απαλοιφή παρανοµαστών των κλασµάτων. Ας πάρουµε για παράδειγµα, την εξίσωση ( ) = και να προσπαθήσουµε να τη λύσουµε µε τη µεθοδολογία που παρουσιάσαµε, προσθέτοντας και το βήµα απαλοιφής παρανοµαστών. 1 βήµα Απαλοιφή παρανοµαστών. Εάν υπάρχουν κλάσµατα στην εξίσωση, τότε απαλείφουµε τους παρανοµαστές τους µε τον εξής τρόπο: βρίσκουµε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρανοµαστών και πολλαπλασιάζουµε µε αυτό και τα δυο µέλη της εξίσωσης, Στο παράδειγµά µας, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι ο αριθµός 6. Πολλαπλασιάζουµε µε αυτόν τον αριθµό και τα δύο µέλη. ηλαδή έχουµε: ( ) ) ( ) ( = βήµα Απαλοιφή παρενθέσεων-απλοποίηση ( ) = + = = = ) ( ) ( ) ( ) ( 3 βήµα Χωρισµός των γνωστών από τους αγνώστους όρους = + = + 4 βήµα Αναγωγή οµοίων όρων = = + 5 βήµα ιαίρεση µε το συντελεστή του αγνώστου = = = =

20 Ασκήσεις µε εξισώσεις (µέρος Α ) 1. ( 3 -) χ = 5. ( +1) χ = χ = 4 4. (5-1) χ = (-8-1) χ = ( +1) χ = 1 + (+7) ( 4) χ = χ = χ+1 = (7+) χ = χ + (χ-) = χ χ - (χ-) = - (χ-10) (t -) + t - = - (t-10) = = = = 5 3 (=19/3) 0

21 Ερωτήσεις και επεξηγήσεις στην επίλυση εξισώσεων 1. Η εξίσωση 5 (+)=5 +10 είναι Αόριστη Αδύνατη Έχει µοναδική ρίζα το 0 εν ισχύει τίποτα από τα παραπάνω επιµεριστική ιδιότητα Επεξήγηση: Λύνω την εξίσωση µε τη γνωστή µεθοδολογία: 5 (+)=5 +10 => 5 +5 =5 +10 => =>5 +10=5 +10 => 5 5 = => 0 =0 Από το αποτέλεσµα συµπεραίνω ότι οποιονδήποτε αριθµό θέσω στο η ισότητα θα επαληθεύεται, δηλαδή η εξίσωση δεν έχει µια συγκεκριµµένη λύση, αλλά άπειρες. Τότε η εξίσωση θεωρείται ότι είναι αόριστη. Αυτού του είδους των εξισώσεων ονοµάζονται επίσης και ταυτότητες.. Η εξίσωση λ χ=5 είναι αδύνατη αν λ=1 λ=-1 λ=0 Τίποτα από τα παραπάνω δεν είναι σωστό Επεξήγηση: Εάν στην εξίσωση λ χ=5 το λ ισούται µε 0, δηλαδή η εξίσωση θα γίνει: 0 χ=5 => 5 χ= 0 εν υπάρχει όµως κανείς αριθµός χ, ο οποίος πολλαπλασιαζόµενος µε το 0 να δίνει το 5 δηλαδή, να δίνει έναν αριθµό διάφορο του µηδενός. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Έτσι εξηγείται γιατί σε ένα κλάσµα ο παρανοµαστής πρέπει να είναι διάφορος του µηδενός 3. Η εξίσωση (κ+1) χ=λ- είναι ταυτότητα για κ=1 και λ= κ=-1 και λ= κ=-1 και λ=- κ=1 και λ=- Επεξήγηση: Αντικαθιστούµε στην εξίσωση: (κ+1) χ = λ-, κ=-1 και λ= και κάνουµε τις πράξεις: (κ+1) χ = λ- => (-1+1) χ = - => 0 χ=0. Άρα η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα. 4. Ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες των ισοτήτων ισχύουν: Αν α=β τότε α γ=β γ Αν α=β τότε α+γ=β+γ Αν α=β τότε α:γ=β:γ µε γ διάφορο του 0 Αν α=β τότε α-γ=β-γ Επεξήγηση: Ισχύουν και οι τέσσερεις παραπάνω ιδιότητες διότι είναι προφανές ότι αν στα δύο µέλη µιας εξίσωσης, πολλαπλασιάσω, προσθέσω, διαιρέσω (όχι µε 0) και αφαιρέσω τον ίδιο αριθµό, η ισότητα της εξίσωσης εξακολουθεί να ισχύει. Προσοχή: Εφαρµόζοντας την 4 η ιδιότητα, εξηγείται γιατί αλλάζει πάντα το πρόσηµό ενός όρου µιας εξίσωσης όταν γίνεται η µεταφορά του από το ένα µέλος της εξίσωσης στο άλλο. Οι εξισώσεις είναι ένα καλό εργαλείο για να επιλύουµε διάφορα πολύπλοκα αριθµητικά προβλήµατα που πολλές φορές αντιµετωπίζουµε στην καθηµερινότητα. Για την επίλυση προβληµάτων, µε τη βοήθεια των εξισώσεων, ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: 1

22 Ασκήσεις µε εξισώσεις (µέρος )

23 Ακολούθως, θα παρουσιάσουµε κάποια προβλήµατα, τα οποία επιλύονται µε τη χρήση εξισώσεων. Πρώτα όµως, ας διαβάσουµε τις οδηγίες που δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πρόβληµα 1 Να βρείτε τον αριθµό που το διπλάσιό του, αν το αυξήσουµε κατά 5, ισούται µε το τριπλάσιό του µειωµένο κατά 19. Λύση. Έστω ο ζητούµενος αριθµός. Τότε το διπλάσιό του θα είναι ο και το τριπλάσιο 3. Σύµφωνα µε την εκφώνηση του προβλήµατος, το διπλάσιο του αριθµού αυξηµένο κατά 5, δηλ. το +5, ισούται µε το τριπλάσιο του αριθµού µειωµένο κατά 19, δηλ. µε το Άρα η εξίσωσή µας είναι: +5=3 19. Λύνοντας την εξίσωση, σύµφωνα µε τη µεθοδολογία, έχουµε: +5=3 19 => 3 = 5 19 => 1 = 4 => =4. Εύκολα επιβεβαιώνεται ότι ο 4 είναι ο ζητούµενος αριθµός. Πρόβληµα Να βρείτε έναν αριθµό που το τριπλάσιο του, αν το µειώσουµε κατά 8, δίνει τον αριθµό αυξηµένο κατά 4. Απάντηση: 6 Πρόβληµα 3 Σε µια συγκέντρωση οι άνδρες ήταν διπλάσιοι από τις γυναίκες. Όταν έφυγαν 6 άνδρες µε τις συζύγους τους, έµειναν τριπλάσιοι άνδρες από τις γυναίκες. Πόσοι ήταν οι άνδρες και πόσες οι γυναίκες στην αρχή της συγκέντρωσης; Απάντηση: 4 άνδρες 1 γυναίκες Πρόβληµα 4 Ένας πατέρας είναι 3 ετών και έχει µια κόρη 11 ετών µετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία της κόρης. Απάντηση: 10 χρ. Πρόβληµα 5 Έχουµε 13 κέρµατα των 0 και 50 λεπτών που κάνουν 5. Πόσα κέρµατα έχουµε από το κάθε είδος; Απάντηση: 5 των 0 λ. και 8 των 50 λ. Πρόβληµα 6 Έχω 30 χαρτονοµίσµατα των 5 και 10. Αν τα χρήµατα µου είναι συνολικά 190, να βρείτε πόσα χαρτονοµίσµατα των 5 και πόσα των 10 έχω. Απάντηση: των 5 και 8 των 10 3

24 Πρόβληµα 7 Τρεις φίλοι µοιράσθηκαν ένα χρηµατικό ποσό για µια δουλειά που έκαναν. Ο πρώτος έλαβε το 1 του ποσού πλην, ο δεύτερος το 1 αυτού και ο τρίτος το µισό αυτού πλην 3. Να 3 4 ευρεθεί πόσο ήταν το ποσό και τι µερίδιο πήρε ο καθένας. Λύση. Έστω το χρηµατικό ποσό που µοιράσθηκε στους τρεις φίλους. Τότε ο πρώτος έλαβε το 1 του πλην, δηλαδή 1. Ο δεύτερος έλαβε 1 και ο τρίτος Σύµφωνα µε την εκφώνηση του προβλήµατος, πρέπει το άθροισµα των τριών µεριδίων να ισούται µε το χρηµατικό ποσό. Άρα η εξίσωσή µας είναι: =. 3 4 Λύνοντας την εξίσωση, σύµφωνα µε τη µεθοδολογία, έχουµε: Ε.Κ.Π. των κλασµάτων είναι το 1, οπότε: 1 ( ) = 1 => Αν α=β τότε α γ=β γ => = 1 => = 1 => 3 4 => = => 1 = 60 => =60 Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουµε ότι το χρηµατικό ποσό ήταν 60, οπότε το µερίδιο του 1 ου φίλου είναι =18, του δεύτερου = 15 και του τρίτου = 7 Πρόβληµα 8 υο φίλοι των οποίων οι κατοικίες των απέχουν 18 χλµ., ξεκινούν ταυτόχρονα, ο ένας κατευθυνόµενος προς την οικία του άλλου, µε σκοπό να συναντηθούν. Ο πρώτος βαδίζει µε ταχύτητα 5 χλµ την ώρα και ο δεύτερος µε 4 χλµ. την ώρα. Να ευρεθεί µετά από πόσες ώρες θα συναντηθούν. Λύση. Έστω ότι θα συναντηθούν µετά από ώρες. Σύµφωνα µε την εκφώνηση του προβλήµατος, εφόσον ο πρώτος βαδίζει µε ταχύτητα 5 χλµ σε µια ώρα, τότε µετά από ώρες θα έχει βαδίσει 5 χλµ, ενώ ο δεύτερος θα έχει βαδίζει 4 χλµ. Επειδή βαδίζουν αντίθετα όταν συναντηθούν, θα έχουν διανύσει όλη την απόσταση των 18 χλµ, η οποία χωρίζει τας κατοικίας των. Εποµένως θα έχουµε την εξίσωση: =18. Λύνοντας την εξίσωση έχουµε: =18 => 9 =18 => = Άρα, οι δυο φίλοι θα συναντηθούν µετά από ώρες και ο πρώτος θα έχει διανύσει 10 χλµ., ενώ ο δεύτερος 8 χλµ. Πρόβληµα 9 Το άθροισµα πέντε διαδοχικών φυσικών αριθµών είναι 110.Να βρεις ποιος είναι ο µικρότερος από τους αριθµούς αυτούς. Απάντηση: 0 Πρόβληµα 10 Ένα ξενοδοχείο έχει 40 δωµάτια (δίκλινα και τρίκλινα) Αν το πλήθος των κρεβατιών είναι 110 να βρείτε πόσα από τα δωµάτια είναι δίκλινα και πόσα τρίκλινα. Απάντηση: 10 δικλ. 30 τρικλ. 4

25 Πρόβληµα 11 Για να καλυφθούν τα έξοδα µιας εκδροµής ενός τµήµατος κάθε µαθητής θα πληρώσει. Επειδή όµως 8 µαθητές δεν µπορούσαν να συµµετάσχουν, οι υπόλοιποι πλήρωσαν 3. Πόσους µαθητές έχει το τµήµα; Απάντηση: 4 µαθ. Πρόβληµα 1 Ένας ορειβάτης χρειάστηκε 6 ώρες για την άνοδο και την κάθοδο ενός βουνού. Αν στην άνοδο διανύει 300m/h και στην κάθοδο 600 m/h να βρείτε πόσα µέτρα ανέβηκε ο ορειβάτης. Απάντηση: 100 µ. Πρόβληµα 13 Τρία άτοµα Α, και Γ έχουν συνολικά 75. Ο Γ έχει 5 περισσότερα από τον και ο Α διπλάσια από τον Γ. Πόσα χρήµατα έχει ο καθένας; Απάντηση: Α-40, -15, Γ-0 Πρόβληµα 14 Ένα τετράγωνο δωµάτιο έχει πλευρά α=5 µέτρα. Θέλουµε να τοποθετήσουµε στο πάτωµα του δωµατίου τετράγωνες πλάκες οι οποίες έχουν πλευρά β=0,5 µέτρο. Πόσες πλάκες χρειαζόµαστε για να καλύψουµε όλο το πάτωµα; Λύση. Έστω ότι χρειαζόµαστε πλάκες. Εφόσον οι πλάκες θα καλύψουν όλο το πάτωµα, τότε αν Ε πλ είναι το εµβαδόν κάθε πλάκας και Ε δωµ το εµβαδόν του δωµατίου, θα ισχύει: Ε πλ =Ε δωµ. Γνωρίζουµε όµως ότι το εµβαδόν ενός τετραγώνου ισούται µε το τετράγωνο της πλευράς του, οπότε Ε δωµ =α και Ε πλ = β, όπου α η πλευρά του δωµατίου και β η πλευρά της πλάκας. Αντικαθιστώντας τα α και β µε τις τιµές που δίνονται στην εκφώνηση, έχουµε: Ε δωµ = =5 και Ε πλ =( ) = = 4. Έχουµε: Ε πλ =Ε δωµ => 1 = 5 => = 5: 1 => = 5 4 => = 5 4 => = Άρα θα χρειαστούµε 100 πλάκες για να καλύψουµε όλο το πάτωµα. Πρόβληµα 15 Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής είναι κατά 4º µικρότερη των γωνιών της βάσης. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. Απάντηση: 68º, 68º, 44º Λύση. Γνωρίζουµε ότι στο ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες της βάσης είναι ίσες. Έστω º είναι η κάθε γωνία της βάσης. Τότε, σύµφωνα µε την εκφώνηση της άσκησης, η γωνία της κορυφής θα είναι -4 µοίρες. Επίσης, γνωρίζουµε ότι για κάθε τρίγωνο το άθροισµα των τριών γωνιών του, ισούται µε 180º. Άρα, καταλήγουµε στην εξίσωση: + + (-4) = 180 => 3 4 = 180 => 3 = => 3 = 04 => = 04 / 3 => = 68 Οπότε οι γωνίες της βάσης είναι 68º και η γωνία της κορυφής είναι 68º-4º = 44º 5

26 Οι εξισώσεις και µερικά γεωµετρικά προβλήµατα Οι εξισώσεις (και οι ανισώσεις) είναι ένα εργαλείο το οποίο χρησιµοποιείται σε όλους τους επιστηµονικούς κλάδους, όπως για παράδειγµα στη Φυσική, στη Χηµεία, στην Αρχιτεκτονική, στη Γεωµετρία, ακόµη και στην πρόγνωση του καιρού (Μετεωρολογία). Έτσι, µε τη βοήθεια των εξισώσεων, εκτός από αλγεβρικά προβλήµατα, µπορούµε να λύσουµε και προβλήµατα Φυσικής, προβλήµατα που ανακύπτουν στην κατασκευή κτιρίων στην Αρχιτεκτονική, προβλήµατα που αφορούν τις χηµικές ενώσεις στη Χηµεία κ.λ.π. Παρακάτω δίνονται µερικά γεωµετρικά προβλήµατα, τα οποία θα τα λύσουµε µε τη χρήση εξισώσεων. Θεωρούµε ότι είναι γνωστές οι έννοιες του τετραγώνου και της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθµού, ότι το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται πάντα µε 180 ο, και το Πυθαγόρειο Θεώρηµα που εφαρµόζεται στα ορθογώνια τρίγωνα. 1. ίνεται ένα τρίγωνο ΑΓ του οποίου, η γωνία είναι διπλάσια της Α και η γωνία Γ είναι το ένα τρίτο της Α, όπως το παρακάτω σχήµα. Να υπολογισθούν οι γωνίες του τριγώνου. Απάντηση: Α=54 ο, =108 ο, Γ=18 ο Α Γ. Σε ένα τρίγωνο ΑΓ η γωνία Α=11+, η γωνία =3-6 και η γωνία Γ=9, όπου είναι ένας ακέραιος αριθµός (άγνωστος). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Υπόδειξη: ρείτε =8 και υπολογίστε τη γωνία Α Α 9 Γ 3. Σε ένα τρίγωνο ΑΓ η πλευρά α είναι ίση µε10 cm και η πλευρά β ίση µε 6 cm, όπως στο παρακάτω σχήµα. Πόσο πρέπει να είναι η πλευρά γ, ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο στη γωνία Α. Υπόδειξη: Χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρηµα υπολογίζετε γ = 8 cm γ = ; α=10 Α β=6 Γ 6

27 Μερικά ακόµη ενδιαφέροντα προβλήµατα στις εξισώσεις Ο ΙΟΣ ΤΟΥ ΙΟΦΑΝΤΟΥ Στον τύµβο του µαθηµατικού ιόφαντου υπάρχει ένα κείµενο, το οποίο περιγράφει όλη του τη ζωή. Αυτό έχει ως εξής: έµεινε παιδί κατά το ένα έκτο της ζωής του µετά από ένα άλλο δωδέκατο της ζωής του, τα µάγουλά του σκεπάστηκαν µε γένια µετά από ένα έβδοµο της ζωής του, άναψε τη λαµπάδα του γάµου του ύστερα από πέντε χρόνια γεννήθηκε ο γιος του δυστυχώς όµως, ο γιος του πέθανε µόλις έφθασε στο µισό της ηλικίας που έφθασε ο πατέρας του έπειτα έζησε ακόµη τέσσερα χρόνια, κάνοντας έρευνες στην επιστήµη των αριθµών. Πόσα χρόνια έζησε ο ιόφαντος; Απάντηση: 84 χρόνια ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΤΑΞΙ ΙΟΥ ύο φίλοι διαθέτουν ένα µόνο ποδήλατο και θέλουν να κάνουν µια διαδροµή 5 Km. Ο πρώτος ξεκινάει µε το ποδήλατο και κινείται µε ταχύτητα 15 Km/h. Την ίδια στιγµή ξεκινάει και ο δεύτερος µε τα πόδια, µε ταχύτητα 4 Km/h. Μετά από µια ορισµένη διαδροµή, ο πρώτος αφήνει το ποδήλατο και κινείται µέχρι το τέλος της διαδροµής µε τα πόδια, µε ταχύτητα 5 Km/h. Ο δεύτερος βρίσκει το ποδήλατο και κινούµενος µε ταχύτητα 1 Km/h φθάνει στο τέλος της διαδροµής ταυτόχρονα µε τον πρώτο. Να υπολογιστεί η απόσταση από το σηµείο αναχώρησης µέχρι το σηµείο όπου εγκαταλείφθηκε το ποδήλατο από τον πρώτο φίλο. Απάντηση: περίπου 9,7 Km ΤΟ ΠΑΙΧΝΙ Ι ύο παίκτες Α και παίζοντας ένα παιχνίδι συµφώνησαν τα εξής: εκείνος που θα χάσει στο παιχνίδι, θα δώσει στον άλλον τα µισά των χρηµάτων, που κατέχει εκείνη τη στιγµή συν 1 ακόµη. Άρχισαν το παιχνίδι κατέχοντας ο καθένας το ίδιο ποσό χρηµάτων. Στην πρώτη παρτίδα του παιχνιδιού έχασε ο παίκτης, στη δεύτερη έχασε ο Α παίκτης. Όταν τελείωσε το παιχνίδι ο παίκτης κατείχε διπλάσια χρήµατα από τον Α παίκτη. Πόσα χρήµατα είχαν αρχικά οι δύο παίκτες; Απάντηση: 6 ΤΟ ΜΟΙΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΜΗΛΩΝ Ένας πατέρας θέλει να µοιράσει µια ποσότητα µήλων στους τρεις υιούς του. Στον πρώτο δίνει τα µισά µήλα από όσα είχε και µισό µήλο. Στο δεύτερο δίνει τα µισά µήλα από αυτά που του έµειναν και µισό µήλο. Στον τρίτο δίνει και σε αυτόν τα µισά µήλα από αυτά που του έµειναν και µισό µήλο. Στο τέλος, του πατέρα του περίσσεψε ένα µήλο. Πόσα µήλα είχε αρχικά; Απάντηση: 15 µήλα Αν δεν του περίσσευε κανένα µήλο, πόσα θα είχε αρχικά; Απάντηση: 7 µήλα 7

28 10. Ανισώσεις 1 ου βαθµού Στα µαθηµατικά δεν έχουµε παντού ισότητα. Πολλές φορές, µια ποσότητα ή ένα µέγεθος δε γνωρίζουµε πόσο ακριβώς είναι, αλλά ξέρουµε ότι είναι µεγαλύτερο ή µικρότερο από κάτι άλλο. Για παράδειγµα, σε ένα αγώνα δρόµου µεταξύ του Αλέκου και του ασίλη, γνωρίζουµε ότι ο ασίλης κέρδισε. ε γνωρίζουµε ακριβώς τι χρόνο έκανε ή πόσο γρήγορα έτρεξε ο ασίλης (ισότητα), αλλά καταλαβαίνουµε ότι ο ασίλης ήταν ταχύτερος από τον Αλέκο. Μπορούµε τότε να γράψουµε τη σχέση: > Α όπου το γράµµα "" συµβολίζει την ταχύτητα του ασίλη, το σύµβολο ">" σηµαίνει "µεγαλύτερο από", και το γράµµα "Α" συµβολίζει την ταχύτητα του Αλέκου. Σχέσεις όπως την παραπάνω, τις ονοµάζουµε ανισώσεις (καθώς δεν υπάρχει ισότητα). Οι πιο κοινές ανισώσεις που χρησιµοποιούνται είναι: Σύµβολο Σηµασία Παράδειγµα > µεγαλύτερο από 5 > < µικρότερο από 7 < 9 Για να µη µπερδευόµαστε ποιο σύµβολο θα πρέπει κάθε φορά να χρησιµοποιούµε, αρκεί να θυµόµαστε το εξής: η "µύτη" του συµβόλου δείχνει πάντοτε προς το µικρότερο αριθµό, όπως το παρακάτω σχήµα: Σύµβολο «µεγαλύτερο από»: ΜΕΓΑΛΟ > µικρό Παράδειγµα: Ο Αλέκος είναι µικρότερος από 15 ετών. Ποια είναι η ηλικία του Αλέξη; Στο παράδειγµα αυτό, δεν γνωρίζουµε ακριβώς την ηλικία του Αλέξη, γιατί δεν αναφέρεται η λέξη "ίσον", αλλά ξέρουµε ότι είναι µικρότερη από 15 ετών, οπότε µπορούµε να γράψουµε: Ηλικία < 15 Η µύτη" του συµβόλου δείχνει στην "Ηλικία" καθώς η ηλικία είναι µικρότερη από 15. Πολλές φορές οι ανισώσεις περιέχουν και το "ίσον", όπως: Σύµβολο Σηµασία Παράδειγµα µεγαλύτερο από ή ίσον µε 1 µικρότερο από ή ίσον µε y 3 Παράδειγµα: Πρέπει να είσαι 13 ετών ή µεγαλύτερος για να παρακολουθήσεις αυτή την ταινία. Η ηλικία, στο παραπάνω παράδειγµα, πρέπει να είναι µεγαλύτερη από 13 ετών, αλλά µπορεί να είναι και ίση µε 13. Άρα, µπορούµε να πούµε ότι η ηλικία πρέπει να είναι "µεγαλύτερη από ή ίση µε 13", οπότε µπορούµε να γράψουµε: Ηλικία 13 8

29 Να λυθούν οι ανισώσεις 1. - > 3 ( -) 7. 4 ( -) - 3 < < (3-5) ( - ) - (3 - ) < Να βρείτε τις κοινές λύσεις στα παρακάτω συστήµατα ανισώσεων:. + 3 < < ( - ) < ( -1) ( - 3) > < ( +1) - > ( - ) < 3 (8 + )

30 11. Συναρτήσεις Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ. εξαρτάται από κάτι άλλο. Και στα µαθηµατικά ο όρος συνάρτηση έχει παρόµοια σηµασία. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθεία γραµµή µε σταθερή ταχύτητα 10m/sec. Κατά την εκκίνηση του αυτοκινήτου το ρολόι µας δείχνει χρόνο t = 0. Αν συµβολίσουµε µε s το διάστηµα που διανύει το αυτοκίνητο σε χρόνο t, τότε θα έχουµε τη σχέση: s =10 t. Στη σχέση αυτή παρατηρούµε ότι όταν κινούµαστε µε σταθερή ταχύτητα 10m/sec, το διάστηµα s που θα διανύσουµε είναι ανάλογο του χρόνου t που κινούµαστε, άρα η σχέση µας δίνει το διάστηµα s ως συνάρτηση του χρόνου t. ηλαδή, αν ξέρουµε πόσος χρόνος πέρασε από την εκκίνηση του αυτοκινήτου µπορούµε να υπολογίσουµε το αντίστοιχο διάστηµα που το αυτοκίνητο διένυσε. ηλ., σε χρόνο sec το αυτοκίνητο διανύει διάστηµα 0m, σε χρόνο 7sec το αυτοκίνητο διανύει διάστηµα 70m κ.ο.κ. Τις τιµές αυτές µπορούµε να τις γράψουµε ως ζεύγη : (,0), (7,70) κ.ο.κ. Με τη βοήθεια αυτών των ζευγών, µπορούµε µια συνάρτηση, να την απεικονίσουµε γραφικά σε ένα ορθοκανονικό (ή καρτεσιανό) σύστηµα συντεταγµένων, για να την κατανοήσουµε και να τη µελετήσουµε καλύτερα. Ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων, είναι ένα επίπεδο πάνω στο οποίο βρίσκονται δύο άξονες, ο ένας οριζόντιος και ο άλλος κάθετος, οι οποίοι τέµνονται στο σηµείο 0. Στον οριζόντιο άξονα, που συνήθως τον ονοµάζουµε χχ, τοποθετούµε τις τιµές από το ένα µέγεθος της συνάρτησης (τετµηµένες) και στον κάθετο, που τον ονοµάζουµε yy, τοποθετούµε τις τιµές από το άλλο µέγεθος της συνάρτησης (τεταγµένες). Στο παράδειγµά µας µε το αυτοκίνητο, στον οριζόντιο άξονα τοποθετούµε τις τιµές που σχετίζονται µε το χρόνο που κινείται το αυτοκίνητο και στον κάθετο άξονα, τις τιµές που σχετίζονται µε το διάστηµα που διανύει το αυτοκίνητο. Ακολούθως, βρίσκοµαι και σηµειώνουµε, πάνω στο επίπεδο, τα σηµεία που σχηµατίζονται από τα ζεύγη (χρόνος-διάστηµα) ή (t, s) για τις διάφορες τιµές του t. Τέλος, ενώνουµε τα σηµεία αυτά και παίρνουµε µια ευθεία γραµµή. Η ευθεία αυτή αποτελεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο s =10 t. Στο παράδειγµά µας, η ευθεία γραµµή ξεκινά από την αρχή των αξόνων καθώς ο χρόνος t δεν µπορεί να είναι αρνητικός και αν δεχτούµε ότι το αυτοκίνητο έχει άπειρη ποσότητα βενζίνης (!!!), τότε µπορεί να πάρει τιµές από 0 έως + άπειρο. Λέµε λοιπόν ότι το πεδίο ορισµού της συνάρτησής µας είναι το διάστηµα [0, + ). 30

31 Από την εξίσωση µιας συνάρτησης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης Όπως έχουµε αναφέρει ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ. εξαρτάται από κάτι άλλο. Για παράδειγµα, η απόσταση που διανύουµε µια χρονική στιγµή µε ένα αµάξι, εξαρτάται από την ταχύτητα του αµαξιού αλλά και από το πόσο χρόνο κινούµαστε. ηλαδή, η απόσταση s που διανύουµε, είναι ανάλογη της ταχύτητας u του αµαξιού και του χρόνου t που κινούµαστε. Οπότε µπορούµε να γράψουµε ένα γενικό τύπο της συνάρτησης όπου σχετίζονται µεταξύ τους η απόσταση, η ταχύτητα και ο χρόνος: s=u t O γενικός αυτός τύπος τον ονοµάζουµε συνήθως εξίσωση της συνάρτησης. Από την εξίσωση µιας συνάρτησης, µπορούµε να σχεδιάσουµε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης µας βοηθάει να κατανοήσουµε πολύ πιο εύκολα τη συνάρτησή και να βγάλουµε κάποια συµπεράσµατα για αυτήν. Πως γίνεται όµως η σχεδίαση της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης όταν γνωρίζουµε την εξίσωσή της; Πριν προχωρήσουµε στον τρόπο σχεδίασης της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης θα πρέπει να τονίσουµε ότι προς το παρόν θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις των οποίων η γραφική παράστασή τους είναι ευθεία, και γι αυτό τις συναρτήσεις αυτές τις ονοµάζουµε και γραµµικές συναρτήσεις. Η γενική µορφή της εξίσωσης της ευθείας των γραµµικών συναρτήσεων, είναι η εξής: y = α χ + β, όπου τα α και β είναι γνωστοί αριθµοί και y και είναι τα µεγέθη όπου το ένα εξαρτάται από το άλλο, π.χ: y = 3 χ +. Στην περίπτωση που ο αριθµός β ισούται µε το 0, τότε η συνάρτησή µας είναι της µορφής: y = α Για να σχεδιάσουµε µια ευθεία, αρκεί να γνωρίζουµε δυο σηµεία της ευθείας. Αυτά τα δύο σηµεία µπορούµε εύκολα να τα υπολογίσουµε ως εξής: θέτουµε δύο αριθµούς στο χ (τετµηµένες των σηµείων) και υπολογίζουµε από την εξίσωση της συνάρτησης, τους αντίστοιχους αριθµούς y (τεταγµένες των σηµείων). Ακολούθως, βρίσκουµε τα σηµεία αυτά που σχηµατίζονται από τα ζεύγη (χ,y), επάνω στους άξονες των συντεταγµένων και σχεδιάζουµε την ευθεία που διέρχεται από αυτά. Παράδειγµα: Έστω η συνάρτηση : y = 3 χ +. Να σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση. Εύρεση 1 ου σηµείου: Για χ=1, έχουµε y=3 1 + = 5. Άρα, οι συντεταγµένες του 1ου σηµείου είναι το ζεύγος (1,5) Εύρεση ου σηµείου: Για χ=, έχουµε y=3 + = 8. Άρα, οι συντεταγµένες του ου σηµείου είναι το ζεύγος (,8) Ακολούθως, βρίσκουµε τα σηµεία αυτά επάνω στους άξονες συντεταγµένων και σχεδιάζουµε την ευθεία της συγκεκριµένης συνάρτησης, η οποία διέρχεται από τα δύο αυτά σηµεία. Τα δύο σηµεία που βρήκαµε για τη συγκεκριµένη συνάρτηση, είναι εντελώς τυχαία, γιατί επιλέξαµε δύο τυχαία χ και υπολογίσαµε τα αντίστοιχα y. Μπορούµε όµως να βρούµε δυο πιο συγκεκριµένα σηµεία, όπως αυτά όπου η ευθεία 31

32 τέµνει τους άξονες των συντεταγµένων. Πως θα τα βρούµε αυτά; Ας το εξετάσουµε παρακάτω. 1. Σκεφθείτε ότι όλα τα σηµεία που βρίσκονται επάνω στον κάθετο άξονα yy έχουν τετµηµένη ίση µε το 0 δηλ., το χ=0. Άρα, αν στην εξίσωση y= α χ + β θέσουµε χ=0, τότε υπολογίζουµε y= α 0 + β = β. Συνεπώς, όταν µας δίνεται η εξίσωση µιας γραµµικής συνάρτησης y= α χ + β, τότε η ευθεία της συνάρτησης τέµνει τον κάθετο άξονα y y στο σηµείο του οποίου, οι συντεταγµένες είναι το ζεύγος (0,β). Με άλλα λόγια, η ευθεία µιας γραµµικής συνάρτησης y= α χ + β, τέµνει τον κάθετο άξονα yy στο σηµείο β.. Σκεφτείτε επίσης, ότι όλα τα σηµεία που βρίσκονται επάνω στον οριζόντιο άξονα χχ, έχουν τεταγµένη ίση µε το 0 δηλ., το y=0. Άρα, αν στην εξίσωση y= α χ + β θέσουµε y=0, τότε υπολογίζουµε 0= α χ + β => χ = -β/α. Συνεπώς, όταν µας δίνεται η εξίσωση µιας γραµµικής συνάρτησης y= α χ + β, τότε η ευθεία της συνάρτησης τέµνει τον οριζόντιο άξονα χχ στο σηµείο του οποίου, οι συντεταγµένες είναι το ζεύγος (-β/α,0). Με άλλα λόγια, η ευθεία µιας γραµµικής συνάρτησης y= α χ + β, τέµνει τον οριζόντιο άξονα χχ στο σηµείο β/α. Για παράδειγµα, ας θεωρήσουµε πάλι τη γραµµική συνάρτηση y = 3 χ +, που δόθηκε προηγουµένως, και να σχεδιάσουµε τη γραφική της παράσταση, βρίσκοντας τώρα όχι δύο τυχαία σηµεία αλλά τα σηµεία όπου η ευθεία της συνάρτησης τέµνει του άξονες των συντεταγµένων. Στη συνάρτηση παρατηρούµε ότι β =. Άρα, η ευθεία τέµνει τον άξονα yy στο σηµείο. Οι συντεταγµένες του σηµείου αυτού είναι το ζεύγος (0,). Θέτοντας y=0 έχουµε: 0 = 3 χ + => 3 χ = - => χ = -/3 => χ = - 0,66. Άρα, η ευθεία τέµνει τον άξονα χχ στο σηµείο -0,66. Οι συντεταγµένες του σηµείου αυτού είναι το ζεύγος (-0,66,0). Ακολούθως, βρίσκουµε τα σηµεία αυτά επάνω στους άξονες συντεταγµένων και σχεδιάζουµε την ευθεία της συγκεκριµένης συνάρτησης, η οποία διέρχεται από τα δύο αυτά σηµεία. Εύκολα τώρα, µπορούµε να καταλάβουµε ότι αν το β ισούται µε 0 δηλαδή, η εξίσωση της γραµµικής συνάρτησης είναι της µορφής: y=α χ, τότε η ευθεία της συνάρτησης τέµνει τον κάθετο άξονα y y και τον οριζόντιο άξονα χχ στο σηµείο 0, το οποίο είναι η αρχή των αξόνων. Με άλλα λόγια, η ευθεία της γραµµικής συνάρτησης y=α χ, διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 3

33 Από τα σηµεία της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης στην εξίσωση της συνάρτησης Αν µας δίνονται οι συντεταγµένες δυο τυχαίων σηµείων της ευθείας µιας συνάρτησης της µορφής: y= α χ + β, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε την εξίσωση της συνάρτησης. Και όταν λέµε να υπολογίσουµε την εξίσωση της συνάρτησης, εννοούµε να υπολογίσουµε το α και το β. Η µέθοδος είναι η εξής: Παίρνουµε το γενικό τύπο της εξίσωσης της ευθείας: y= α χ + β και θέτουµε όπου χ και y τις συντεταγµένες των δυο δοθέντων σηµείων. Έτσι, προκύπτει ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους (το α και το β). Λύνοντας το σύστηµα υπολογίζουµε τα α και β. Για παράδειγµα, έστω ότι δίνονται οι συντεταγµένες δύο σηµείων: (1,5) και (,8). Τότε έχουµε: Για το 1 ο σηµείο (1,5) : y= α χ + β => 5 = α 1 + β => 5 = α + β Για το ο σηµείο (,8) : y= α χ + β => 8 = α + β Προκύπτει ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους, το α και το β. Λύνω το σύστηµα: 1. Λύνω την πρώτη εξίσωση ως προς τον άγνωστο α: 5 = α + β => α = 5 β. Αυτό που βρήκα το αντικαθιστώ στη δεύτερη εξίσωση: 8 = α + β => 8 =(5 - β) + β =>8 = 10 - β+ β => 8 = 10 - β => β = 3. Θέτω τώρα, στην εξίσωση α = 5 β, του πρώτου βήµατος, όπου β = και βρίσκω α = 3 Άρα η εξίσωση της συνάρτησης, της οποίας η ευθεία περνάει από τα σηµεία (1,5) και (,8) είναι: y= 3 χ + Η κλίση της ευθείας µιας συνάρτησης y= α χ + β Όταν λέµε κλίση της ευθείας µιας συνάρτησης y= α χ + β, εννοούµε τη γωνία που σχηµατίζει η ευθεία της συνάρτησης µε τον οριζόντιο άξονα χ χ. Αυτό καθορίζεται από τον αριθµό α. Για παράδειγµα, έστω δύο συναρτήσεις: y= 5 χ + και y= χ +3, τότε η κλίση της πρώτης είναι πέντε φορές µεγαλύτερη από τη δεύτερη. Αν ο αριθµός α είναι ίδιος σε δύο ή περισσότερες συναρτήσεις, τότε αυτές έχουν ίδια κλίση ή µε άλλα λόγια είναι παράλληλες (υποτίθεται το β είναι διαφορετικό). Για παράδειγµα, οι ευθείες των συναρτήσεων: y= 5 χ, y= 5 χ +3 και y= 5 χ - 4, είναι παράλληλες µεταξύ τους. Εύρεση σηµείου τοµής των ευθειών δύο συναρτήσεων της µορφής y= α χ + β Αν µας δίνονται δυο συναρτήσεις της µορφής y= α χ + β και δούµε ότι έχουν διαφορετικό αριθµό α, τότε αυτές δεν είναι παράλληλες, άρα τέµνονται. Το σηµείο τοµής βρίσκεται εύκολα, αρκεί να σκεφθούµε ότι το σηµείο αυτό είναι κοινό και για τις δύο συναρτήσεις, οπότε στο σηµείο αυτό οι συναρτήσεις θα είναι ίσες µεταξύ τους. Άρα, αρκεί να τις εξισώσουµε και να υπολογίσουµε την τετµηµένη του κοινού σηµείου χ και ακολούθως την τεταγµένη y. Παράδειγµα: Έστω οι συναρτήσεις: y=3 χ+ και y= χ+1. Να βρεθεί το σηµείο τοµής των ευθειών. Τα α είναι διαφορετικό (3 και ), άρα τέµνονται. Εξισώνω τις συναρτήσεις και λύνω ως προς χ: 3 χ+ = χ+1 => 3 χ - χ = 1 => χ = -1. Θέτω τώρα σε µια συνάρτηση όπου χ = -1 και υπολογίζω το y: y=3 χ+ =>y=3 (-1)+ =>y=-3+ =>y=-1. Άρα το σηµείο τοµής είναι το (-1,-1) 33

34 Γενικές ασκήσεις στις συναρτήσεις 1. ίνεται η συνάρτηση ψ = χ + β. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης τέµνει τον άξονα ψ ψ (τεταγµένη) στο σηµείο (0, 4). α) Να υπολογίσετε την τιµή του β. β) Να βρείτε το σηµείο όπου η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης τέµνει τον άξονα χ χ (τετµηµένη).. ίνεται η συνάρτηση ψ = α χ + β για την οποία γνωρίζουµε ότι για χ = 0 το ψ = 4 και για χ = 1 το ψ = -. α) Να υπολογίσετε τις τιµές των α, β β) Να παραστήσετε σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3. ίνεται η συνάρτηση ψ = χ 1 α) Να υπολογίσετε την τιµή της συνάρτησης για χ = 0 και για χ = 1. β) Να υπολογίσετε την τιµή του χ για την οποία η τιµή της συνάρτησης είναι 7. γ) Να παραστήσετε σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 4. Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 80 Km/h. α) Συµπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Σε χρόνο h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστηµα s = Km. Σε χρόνο 3 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστηµα s = Km β) Σε ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του s ως προς τον χρόνο t. Η γραµµή που θα προκύψει πρέπει να είναι µια ηµι-ευθεία η οποία έχει αρχή την αρχή των αξόνων. Στη γραφική παράσταση να γράψετε και τον τύπο της εξίσωσης της ηµι-ευθείας. γ) Ποια είναι η κλίση της ηµι-ευθείας ως προς τον χ χ; Πότε αυτή η κλίση θα ήταν µεγαλύτερη και πότε µικρότερη; 5. ίνονται οι συναρτήσεις ψ = 3χ+1 και ψ = -χ + 6. α) Σε ποιο από τα παρακάτω σηµεία τέµνονται οι ευθείες που παριστάνουν γραφικά αυτές οι συναρτήσεις; Α. (0, 1). (0, 3) Γ. (1, ). (1, 4) (Επιλέξτε την σωστή απάντηση) β) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες τοποθετώντας στους άξονες το σηµείο τοµής τους και τα σηµεία στα οποία αυτές τέµνουν τον ψ ψ. 6. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις και ακολούθως να σχεδιάσετε τις ευθείες των συναρτήσεων των παραδειγµάτων: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι µια ευθεία η οποία τέµνει τον άξονα ψ ψ στο σηµείο (.,.). Για παράδειγµα, σχεδιάσετε τις ευθείες στους άξονες συντεταγµένων των συναρτήσεων: ψ = 3χ-5 ψ = -9χ+3 β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι µια ευθεία η οποία τέµνει τον άξονα χ χ στο σηµείο (.,.), το οποίο ουσιαστικά είναι η λύση της εξίσωσης αχ +β = 0. Για παράδειγµα, σχεδιάσετε τις ευθείες στους άξονες συντεταγµένων των συναρτήσεων: ψ = -3χ+9 και ψ = 4χ 4 34

35 7. ίνεται η συνάρτηση ψ = χ - 1. α) Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτής της συνάρτησης στους άξονες συντεταγµένων. β) Να ορίσετε την περιοχή όπου ισχύει η ανισότητα ψ χ ίνεται η συνάρτηση ψ = χ. Να παραστήσετε σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 9. ίνονται οι συναρτήσεις ψ = χ 4 και ψ = -χ + οι οποίες τέµνονται στο σηµείο (α, β). α) Να γράψετε τις δύο ισότητες που επαληθεύουν τα α και β και ακολούθως να υπολογίσετε τις τιµές των α, β. β) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες τοποθετώντας στους άξονες συντεταγµένων το σηµείο τοµής τους 10. ίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β. Έστω ότι η ευθεία που παριστάνει γραφικά αυτή η συνάρτηση τέµνει τον χ χ στο σηµείο (1,0) και τον ψ ψ στο σηµείο (0,1). α) Να υπολογίσετε τις τιµές των α, β. β) Να σχεδιάσετε την ευθεία ψ = αχ + β. γ) Να βρείτε το σηµείο τοµής της ευθείας αυτής µε την ευθεία που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = -χ α) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία: (-,8) και (1,-1). β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία περνάει από την αρχή των αξόνων και είναι παράλληλη στην ευθεία του (α) ερωτήµατος. 1. Για ποια τιµή του λ η ευθεία µε εξίσωση y = (λ-3)χ + 5 είναι παράλληλη µε τον άξονα χ χ; 13. Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει µε τους άξονες συντεταγµένων η ευθεία µε εξίσωση y = χ Αν µια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι : (i) y = λχ (ii) y = χ + λ (επιλέξτε το σωστό). 15. Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η ευθεία µε εξίσωση: y = λχ + 3λ 6 διέρχεται από: (i) την αρχή των αξόνων (ii) το σηµείο Α(-1,). 35

36 16. Η θερµοκρασία του αέρα µειώνεται όρο 6,5 βαθµούς Κελσίου, κατά µέσο, ανά 1000 m ύψος από την επιφάνεια της γης (µε υγρή ατµόσφαιρα), α) Αν η θερµοκρασία στην επιφάνεια του εδάφους είναι 10 ο C, συµπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Σε ύψος h=1 Km η θερµοκρασία θα είναι t=. Σε ύψος h= Km η θερµοκρασία θα είναι t=. β) Σε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ύψους h ως προς τη θερµοκρασία t. Η γραµµή που θα προκύψει πρέπει να είναι µια ηµι-ευθεία, εφόσον δεν υπάρχει αρνητικό υψόµετρο. υσκολότερες ασκήσεις στις συναρτήσεις 1. ίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά χ. Έστω ψ το ύψος του τριγώνου. Με τη βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήµατος, να εκφράσετε το ύψος του τριγώνου σε συνάρτηση µε την πλευρά του χ.. ύο φίλοι ξεκινούν ταυτόχρονα από τις πόλεις που µένουν και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Ο 1 ος ξεκινάει από την πόλη Α και κινείται µε ταχύτητα 40 Km/h. Ο ος ξεκινάει από την πόλη, η οποία βρίσκεται 60 Km πιο µπροστά από την πόλη Α, και κινείται µε ταχύτητα 0 Km/h. Σε ποια απόσταση από την πόλη A θα συναντηθούν και µετά από πόση ώρα, από τη στιγµή που ξεκίνησαν; Να λυθεί η άσκηση µε δύο τρόπους: µε χρήση εξισώσεων και µε χρήση συναρτήσεων. 40 Km/h 0 Km/h Α 60 Km Λύση: 10 Km, 3 ώρες 3. ίνονται οι παρακάτω τρεις συναρτήσεις: y = χ + 1 y = -χ + 9 y = α) Αιτιολογήστε αν οι εξισώσεις των ευθειών των παραπάνω συναρτήσεων είναι παράλληλες ή όχι. β) Αν δεν είναι παράλληλες να βρείτε τα σηµεία τοµής των ευθειών. γ) Τι σχήµα σχηµατίζεται; Να βρείτε το εµβαδόν του σχήµατος. 36

37 1. Γεωµετρία Εµβαδά βασικών σχηµάτων Τετράγωνο Ορθογώνιο Παραλληλόγραµµο Τρίγωνο Τραπέζιο α α α υ υ υ α β β β β Ε τετρ = α Ε ορθ = α β Ε παρ = υ β Ε τρι = β υ Ε τρα = (α+β) υ Πυθαγόρειο Θεώρηµα β γ α υποτείνουσα α = β + γ Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών. Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήµατος Ασκήσεις 1. Ένα ορθογώνιο έχει µήκος 10 m, και πλάτος 6 m. Αν αυξήσουµε το µήκος κατά 5 m., πόσο πρέπει να αυξηθεί το πλάτος, ώστε το νέο ορθογώνιο να έχει διπλάσιο εµβαδόν του πρώτου; Υπόδειξη: Χρησιµοποιώντας εξίσωση, υπολογίζετε β=8 m. α 1 = 10 m α = 15 m β 1 =6 m α 1 = 10 m β 1 = 6 m β = ; α = 15 m β = ;. Ένας ορθογώνιος κήπος το πλάτος του είναι τα 4/5 του µήκους του και το εµβαδόν του είναι κατά.400 m περισσότερο από έναν άλλο κήπο, του οποίου το µήκος του είναι κατά 40 m µεγαλύτερο του µήκους του πρώτου και το πλάτος του είναι κατά 40m µικρότερο του πλάτους του πρώτου. Να υπολογιστούν τα εµβαδά των δύο κήπων. Υπόδειξη: Υπολογίστε µε εξισώσεις το µήκος του 1 ου κήπου που είναι 100 m. Κατόπιν, εύκολα βρίσκετε τα εµβαδά των κήπων, τα οποία είναι m και m. 37

38 3. Αν δ1 και δ είναι οι διαγώνιες ενός ρόµβου, να υπολογίσετε το εµβαδόν του ρόµβου συναρτήσει των διαγωνίων του. δ1 δ 4. Σε ένα ρόµβο ΑΓ, τα µήκη των διαγωνίων του είναι 4 cm και 10 cm. Από την κορυφή Α φέρνουµε την κάθετο ΑΜ, στην πλευρά Γ. Να υπολογίσετε το µήκος αυτής της καθέτου. Υπόδειξη: Υπολογίστε πρώτα την πλευρά του ρόµβου εφαρµόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Κατόπιν, χρησιµοποιώντας τα εµβαδά του τριγώνου Α Γ και του ρόµβου βρείτε την ΑΜ, η οποία είναι περίπου 9, cm. 4 Α 10 Γ Μ 5. Σε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ γνωρίζουµε ότι το µήκος της υποτείνουσας Γ, ισούται µε 10 m. Αν Μ είναι το µέσον της πλευράς ΑΓ, να υπολογισθεί το µήκος της διαµέσου Μ. Υπόδειξη: Να γίνει χρήση του Πυθαγορείου θεωρήµατος και χρήση της τετραγωνικής ρίζας α = 10 m µ = ; Α Μ Γ 38

39 6. ίδεται ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΓ µε βάσεις Α και Γ και ύψος Ζ. Να αποδειχθεί ότι το εµβαδόν του τραπεζίου αυτού είναι διπλάσιο του εµβαδού του ορθογωνίου τριγώνου Ζ. Α Ζ Γ 7. Έστω ο ρόµβος ΑΓ και ΑΓ η µια διαγώνιός του. Από την κορυφή Α, φέρνουµε την κάθετο ΑΜ στην πλευρά Γ. Αν το µήκος αυτής της καθέτου είναι 9 cm και η γωνία ΑΓ=60 ο, να υπολογίσετε το εµβαδόν του ρόµβου. Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι το τρίγωνο Α Γ είναι ισόπλευρο, οπότε µπορείτε να υπολογίσετε την πλευρά του µε τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήµατος. Κατόπιν, εύκολα υπολογίζετε το εµβαδόν του ρόµβου, το οποίο είναι περίπου 93,5 cm. Α 60 ο 9 Μ Γ 8. Έστω το παραλληλόγραµµο ΑΓ και ΑΓ η µια διαγώνιός του. Από ένα τυχαίο σηµείο Ο της διαγωνίου, φέρνουµε τις ευθείες ΕΗ και ΖΘ, οι οποίες είναι παράλληλες προς τις πλευρές του παραλληλογράµµου. Να αποδείξετε ότι τα παραλληλόγραµµα ΕΖΟ και ΘΟΗ που σχηµατίζονται, έχουν το ίδιο εµβαδόν. Υπόδειξη: Τα τρίγωνα ΑΓ και Α Γ έχουν ίδιο εµβαδό. Τα παραλληλόγραµµα ΕΖΟ και ΘΟΗ περιέχονται µέσα σε αυτά τα τρίγωνα. Ζ Γ Α Ε Ο Θ Η 39

40 9. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά α, να αποδειχθεί ότι το εµβαδόν του ισούται µε: Ε= α 3 4 Υπόδειξη: Υπολογίστε το ύψος µιας πλευράς του τριγώνου µε τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήµατος και ακολούθως βρείτε το εµβαδόν του, α 10. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΓ µε βάσεις α και β, συνδέουµε τα µέσα Ε, Ζ, Η,Θ των πλευρών Α, Γ, Γ και Α. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόµβος και να βρεθεί το εµβαδόν, συναρτήσει του εµβαδού του τραπεζίου. Υπόδειξη: Υπολογίστε τα εµβαδά των σκιασµένων τριγώνων και αφαιρέστε τα από το εµβαδόν του τραπεζίου α Ε Θ Ζ Η Γ β 11. ίνεται ένα τετράγωνο ΑΓ πλευράς α και ένα σηµείο Ε που βρίσκεται έξω από το τετράγωνο, τέτοιο ώστε, το τρίγωνο ΕΑ έχει το ίδιο εµβαδόν µε το τετράγωνο ΑΓ. Από το Ε φέρουµε την κάθετη προς στην Γ (ή στην προέκτασή της Γ), έστω ΕΖ. Να υπολογιστεί το µήκος της ΕΖ, συναρτήσει της πλευράς α του τετραγώνου. Ε Α α α Γ Ζ 40

41 1. ίνεται ένα τετράγωνο ΑΓ µε πλευρά α. Με βάση το τετράγωνο αυτό, θα κατασκευάσουµε το Χρυσό Ορθογώνιο ως εξής: 1. ρίσκουµε το µέσο µιας πλευράς του τετραγώνου. Για παράδειγµα, έστω Ε το µέσο της πλευράς Α.. Ενώνουµε το σηµείο αυτό, µε µια από τις απέναντι κορυφές του τετραγώνου, έστω την κορυφή Γ. 3. Με κέντρο το σηµείο Ε και ακτίνα το ΕΓ, χαράσσουµε τόξο, το οποίο συναντά την προέκταση της πλευράς Α στο σηµείο Ζ. 4. Από το σηµείο Ζ φέρουµε, την ΖΗ, ίση και παράλληλη µε την πλευρά Α και σχηµατίζουµε το Χρυσό Ορθογώνιο ΑΖΗ. Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΖ του ορθογωνίου συναρτήσει της πλευράς α. Απάντηση: α ( 5+1)/ α Γ Η α Α Ε Ζ Σηµείωση: Η µεγάλη πλευρά του Χρυσού Ορθογωνίου είναι περίπου 1,618 φορές µεγαλύτερη από τη µικρή πλευρά του. Η σχέση αυτή αποτελεί για το µάτι την πιο αρµονική γεωµετρική µορφή. Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν τη σχέση αυτή, βάσει της οποίας κατασκεύασαν τον Παρθενώνα. Επίσης, ο Λεονάρντο Ντα ίντσι χρησιµοποιούσε στους πίνακές του ορθογώνια, που πλησίαζαν τις «χρυσές αναλογίες». 41

42 13. Τριγωνοµετρία Από τους παραπάνω ορισµούς παρατηρούµε ότι ο παρανοµαστής στα κλάσµατα είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου και ο αριθµητής είναι µια κάθετη πλευρά, η οποία είναι µικρότερη από την υποτείνουσα. Άρα, τα κλάσµατα είναι πάντοτε µικρότερα της µονάδας. Επίσης, τα κλάσµατα είναι πάντοτε µεγαλύτερα του µηδενός, καθώς ο αριθµητής τους (οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου) είναι πάντοτε µεγαλύτερος του µηδενός. Συνεπώς, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αν είναι µια οξεία γωνία του, ισχύει το εξής: Από τους παραπάνω ορισµούς, εύκολα µπορούν να αποδειχθούν τα εξής : 4

43 Εφαρµόζοντας τους ορισµούς του ηµιτόνου και του συνηµίτονου σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, µπορούµε να υπολογίσουµε το ηµίτονο και το συνηµίτονο των 30 ο και 60 ο. Α α 30 ο α 60 ο α/ α/ Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓ µε πλευρά α φέρνουµε το ύψος Α από την κορυφή Α (το οποίο είναι και διάµεσος και διχοτόµος) και υπολογίζουµε, µε τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, το µέτρο του, το οποίο είναι α\/3/. Ακολούθως, εφαρµόζουµε τον ορισµό του ηµίτονου και του συνηµίτονου για τη γωνία και βρίσκουµε: Γ,,, Οµοίως, εφαρµόζοντας τους ορισµούς του ηµιτόνου και του συνηµίτονου σε ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΓ µε κάθετες πλευρές α, µπορούµε να υπολογίσουµε το ηµίτονο και το συνηµίτονο των 45 ο. Αρχικά, υπολογίζουµε, µε τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, το µέτρο της υποτείνουσας, το οποίο είναι α\/. Ακολούθως, εφαρµόζουµε τον ορισµό του ηµίτονου και του συνηµίτονου για τη γωνία και βρίσκουµε :, Γ 45 ο α Α α 45 ο 43

44 Ασκήσεις τριγωνοµετρίας 1. Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων να σχεδιάσατε µια ευθεία, η οποία να σχηµατίζει µε τον άξονα ΧΧ γωνία ω, τέτοια ώστε εφω =.. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓ µε πλευρά α, να υπολογίσετε τις γωνίες του συναρτήσει της πλευράς α. Α α α α Γ 3. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΓ µε βάσεις 10 cm και 14 cm, και εµβαδόν 7 cm αντίστοιχα, φέρουµε τη διαγώνιο. Να υπολογιστεί η γωνία ω µε τη βοήθεια της εφαπτοµένης και ακολούθως το ηµίτονο και συνηµίτονο της γωνίας. 10 Α ω Γ Στο παρακάτω σχήµα είναι : Α= 10 cm =3cm, ΑΜ =8 cm και ΑΓ=6.Να υπολογιστεί το Γ και τα ηµίτονα και συνηµίτονα των γωνιών ω και φ. Α 10 6 Γ 8 ω Μ φ 3 44

45 Ένα τρίγωνο ΑΓ έχει = 30, Γ= 45 και ύψος Α = 10 cm. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου. 6. Ένα τρίγωνο ΑΓ έχει ΑΓ = 10 cm, BΓ = 15 cm, και υπολογίσετε : α) την πλευρά Α β) το ύψος Α γ) το εµβαδόν του τριγώνου 0 Γ= 30. Να 7. Στο τρίγωνο του παρακάτω σχήµατος, η πλευρά ΑΓ=5, το Α είναι το ύψος στη πλευρά Γ, το Γ=0 και η γωνία =30 ο. Να υπολογισθούν τα χ, ψ, z. z ψ Α 0 5 Γ 8. Να υπολογισθεί η παράσταση : ηµ 60 + συν 45 3ηµ 30 ηµ 45 + =

46 1. Μέτρηση ύψους ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Έστω η κορυφή Κ του παρακάτω σχήµατος. Λαµβάνουµε δυο σηµεία Α και επί του οριζοντίου εδάφους τα οποία απέχουν µεταξύ τους απόσταση 800 µ. Ακολούθως, από τα σηµεία Α και, µετρούµε µε γωνιόµετρο τις γωνίες που σχηµατίζονται από το οριζόντιο επίπεδο και τις νοητές γραµµές ΑΚ και Κ και βρίσκουµε 30 ο και 45 ο, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το ύψος Υ της κορυφής Κ. Κ Υ Α 30 o 800 µ. 45 o (Απάντηση: Υ = 109 µ.). Η διάσχιση του ποταµού (σύνθεση κινήσεων) Οι όχθες του ποταµού, στο παρακάτω σχήµα, απέχουν µεταξύ τους 90 µ. και το νερό κινείται µε ταχύτητα υ 1 = m/s. Στο σηµείο Α επιβιβαζόµαστε σε ένα πλοιάριο µε σκοπό να περάσουµε στην απέναντι όχθη. Το πλοιάριο διασχίζει κάθετα τον ποταµό και κινείται µε ταχύτητα υ = 3 m/s. Σε ποιο σηµείο της απέναντι όχθης θα αποβιβαστούµε; (Απάντηση: 60 µ. πιο δεξιά από το σηµείο της επιβίβασης) 46

47 3. Η ταχύτητα του πλοίου Ο πλοίαρχος ενός πλοίου, το οποίο πλέει µε κατεύθυνση προς ορρά, ανακαλύπτει ότι το όργανο που δείχνει την ταχύτητα του πλοίου έπαψε να λειτουργεί, λόγω κάποιας βλάβης. Καθώς όµως είναι ζωτικής σηµασίας να γνωρίζει ο πλοίαρχος την ταχύτητα του πλοίου, αποφασίζει να χρησιµοποιήσει ότι εργαλεία έχει στη διάθεσή του για να υπολογίσει την ταχύτητα. Και τα εργαλεία αυτά είναι το ρολόι του, για να µετρήσει το χρόνο, µια πυξίδα για να µετρήσει γωνίες σε σχέση µε τον άξονα Νότο-ορρά και έναν ναυτικό χάρτη, ο οποίος περιέχει διάφορες πληροφορίες, όπως τα σηµεία που βρίσκονται οι φάροι, οι αποστάσεις µεταξύ τους κ.λ.π. Τη στιγµή που το πλοίο βρίσκεται στο σηµείο Α, ο πλοίαρχος βλέπει δυτικά τους φάρους Φ 1 και Φ στην ίδια ευθεία ΑΦ Φ 1 (κοίτα το παρακάτω σχήµα). Μετά από πάροδο µιας ώρας οι δύο φάροι φαίνονται από το σηµείο, ο µεν Φ 1 προς Νότιο- υτικά, ο δε Φ προς Νότια - Νότιο- υτικά. Μετρώντας µε την πυξίδα του ο πλοίαρχος, υπολογίζει τη γωνία ΑΦ 1 = 45 ο και τη γωνία ΑΦ = 1 ο. Κατόπιν, κοιτώντας και το ναυτικό χάρτη του, βλέπει ότι οι δύο φάροι απέχουν µεταξύ τους 8 km. Τέλος, χρησιµοποιώντας λίγες γνώσεις τριγωνοµετρίας υπολογίζει την ταχύτητα του πλοίου του. Μπορείτε εσείς να την υπολογίσετε; (Απάντηση: Περίπου 13 Km/h) 47

48 Ασκήσεις αξιολόγησης τριγωνοµετρίας 1. ίνεται το παρακάτω σχήµα: Α Ε φ Γ i. Να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις ακόλουθες σχέσεις: ΓΕ α) ηµϕ =, Ε Ε Α Α Α ηµϕ =, ηµϕ =, ηµϕ =, ηµϕ = Γ ΑΓ Γ Γ ΓΕ Γ Γ ΓΕ ΑΓ β) συνϕ =, συνϕ =, συνϕ =, συνϕ =, συνϕ = Ε ΓΑ ΓΕ Γ Γ Α Α Ε Α Α γ) εφϕ =, εφϕ =, εφϕ =, εφϕ =, εφϕ = Γ ΑΓ ΓΕ Γ Ε ii. Αν η γωνία φ=30 ο, να βρείτε την εξίσωση του ευθύγραµµου τµήµατος Α.. Να αποδείξετε ότι: α) ηµ 30ο 60ο= 0 β) συν ηµ 60ο συν 60ο = 1 γ) συν 30ο+ συν 60ο = 1 δ) συν 60ο ηµ 45ο = 0 ε) ηµ ο 60 + συν 60ο = στ) ηµ 30ο+ ο 30 + ηµ 45ο συν = 3 3 ζ) ηµ 30ο+ ηµ 45ο+ ηµ 60ο = η) συν 30ο+ ηµ 45ο + συν 60ο = 3 θ) ηµ 30ο+ ηµ 45ο ηµ 60ο = 4 ι) ηµ 30ο ηµ 45ο + συν 60ο = 0 κ) 4 ηµ 60ο ηµ 30ο 3 εφ 45ο =

49 Κύκλος, τόξα και γωνίες στον κύκλο Επίκεντρη γωνία ονοµάζεται µια γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου και οι πλευρές της είναι ακτίνες του κύκλου. Εγγεγραµµένη γωνία ονοµάζεται µια γωνία όταν η κορυφή της βρίσκεται επάνω στην περιφέρεια ενός κύκλου και οι πλευρές της είναι χορδές του κύκλου. ω Ο φ Α Ο Α Χρήσιµες παρατηρήσεις 1. Κάθε εγγεγραµµένη γωνία ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο µε την εγγεγραµµένη. Επίσης, η επίκεντρη γωνία έχει µέτρο ίσο µε αυτό του αντίστοιχου τόξου. ω/ Ο ω Α. Οι εγγεγραµµένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα, είναι ίσες µεταξύ τους και έχουν µέτρο ίσο µε το µισό του αντίστοιχου τόξου. ω ω Ο Α 3. Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή. Α 90 ο ιάµετρος Ο 49

50 Εµβαδόν κύκλου και κυκλικού τοµέα Το εµβαδόν ενός κύκλου (O,r) είναι ανάλογο του τετραγώνου της ακτίνας του. Αν r είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε το εµβαδόν του, δίνεται από τον τύπο: Ε κ = π r όπου π είναι ο γνωστός άρρητος αριθµός 3, Ο r Κυκλικός τοµέας ονοµάζεται το τµήµα ενός κύκλου (O,r) που περικλείεται από τις πλευρές µιας επίκεντρης γωνίας και του τόξου που βαίνει η γωνία. Το εµβαδόν ενός κυκλικού τοµέα είναι ανάλογο της επίκεντρου γωνίας φ και του εµβαδού του κύκλου και δίνεται από τον o o ϕ ϕ τύπο: E = E = πr KT K o 360 o 360 Ο φ r Α Μήκος του κύκλου και τόξου Το µήκος (της περιφέρειας) ενός κύκλου (O,r) είναι ανάλογο του διπλάσιου της ακτίνας του (ή ανάλογο της διαµέτρου d). Αν r είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε το µήκος (της περιφέρειας) του κύκλου, δίνεται από τον τύπο: L κ = πr = πd (όπου d η διάµετρος του κύκλου η οποία ισούται µε r και π είναι ο γνωστός άρρητος αριθµός 3,14159 ) Το µήκος ενός τόξου είναι ανάλογο προς την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία φ και την ακτίνα r του κύκλου, στον οποίο ανήκει το τόξο. Το µήκος ενός τόξου δίνεται από τον τύπο: o o ϕ ϕ L = πr T L = K o o Ο r Ο φ r Α Lτ 50

51 Ασκήσεις 1. ίνεται ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΓ µε µήκος υποτείνουσας α cm, το οποίο είναι εγγεγραµµένο σε ένα κύκλο (O 1, r 1 ). Με κέντρο την κορυφή Α του ακτίνα Α του τριγώνου γράφουµε κύκλο (O, r ). Να υπολογισθεί το εµβαδόν του µηνίσκου που σχηµατίζεται από τους δύο κύκλους. (Απάντηση: α cm ). Σε ένα κύκλο (Ο,r) φέρουµε δυο ίσες χορδές Ζ και ΓΕ, οποίες δεν είναι παράλληλες µεταξύ τους. Ακολούθως, τις προεκτείνουµε µέχρι το σηµείο τοµής τους Α. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΓ είναι ισοσκελές. Γ Ε Ο Α Ζ 3. ίνεται ένα ορθογώνιο ΑΓ µε µήκος πλευράς α cm, το οποίο είναι εγγεγραµµένο σε ένα κύκλο (O,r). Να υπολογισθεί το µήκος L της περιφέρειας του κύκλου και το εµβαδόν E του κύκλου. (Απάντηση: L=πα cm & Ε=πα / cm ) α Γ Ο Α 51

52 4. Σε έναν κύκλο θεωρούµαι τρία διαδοχικά τόξα: Α=68 ο, Γ=80 ο και Γ =106 ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετράπλευρου ΑΓ. 5

53 Μονάδες µέτρησης γωνίας Πλήρης περιστροφή (ολόκληρος κύκλος) ισούται µε 360 ο Μοίρες Μισή περιστροφή (ευθεία) ισούται µε 180 ο Εν τέταρτο πλήρους περιστροφής (κάθετος γωνία) ισούται µε 90 ο 90 0 Πλήρης περιστροφή (ολόκληρος κύκλος) ισούται µε π π Ακτίνια Μισή περιστροφή (ευθεία) ισούται µε π π Εν τέταρτο πλήρους περιστροφής (κάθετος γωνία) ισούται µε π/ π/ Πολύγωνα Ένα πολύγωνο έχει που έχει ν κορυφές (και ν πλευρές) ονοµάζεται ν-γωνο, π.χ. πεντάγωνο, επτάγωνο, οκτάγωνο κ.λ.π. Αν οι κορυφές του πολυγώνου είναι τέσσερεις, τότε αυτό ονοµάζεται τετράπλευρο. Ερώτηση: γιατί ένα πολύγωνο µε τέσσερεις κορυφές δε λέγεται τετράγωνο; Αν οι πλευρές ενός πολύγωνου είναι ίσες µεταξύ τους, τότε αυτό πολύγωνο ονοµάζεται κανονικό πολύγωνο. Εύκολα αποδεικνύεται ότι και οι γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες µεταξύ τους. Άρα, ένα κανονικό πολύγωνο µε τρεις κορυφές είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, ενώ ένα κανονικό πολύγωνο µε τέσσερεις κορυφές είναι το τετράγωνο (η απάντηση στην παραπάνω ερώτηση). Επίσης, κάθε κανονικό πολύγωνο µπορεί να είναι εγγεγραµµένο σε ένα κύκλο. Άσκηση Ένα κανονικό οκτάγωνο είναι εγγεγραµµένο σε ένα κύκλο (O,r). Να υπολογίσετε την γωνία του οκτάγωνου (γωνία φ), την κεντρική γωνία του οκταγώνου (γωνία ω) και τη σχέση µεταξύ των δυο αυτών γωνιών. φ ω 53

54 15. Γεωµετρικά Στερεά Μέχρι τώρα ασχοληθήκαµε µε τη γεωµετρία στο επίπεδο δηλαδή, µε µετρήσεις επίπεδων σχηµάτων (επιπεδοµετρία). Τώρα θα ασχοληθούµε µε τη γεωµετρία στο χώρο δηλαδή, µε µετρήσεις στερεών σχηµάτων (στερεοµετρία). Αυτό σηµαίνει ότι εκτός από τη µέτρηση των εµβαδών των στερεών σχηµάτων, θα µετράµε και τους όγκους των. Παρακάτω αναλύουµε 5 διαφορετικές κατηγορίες στερεών σχηµάτων. Α. Πρίσµα Ένα πρίσµα αποτελείται από δυο ίσα και παράλληλα πολύγωνα, που είναι οι βάσεις του πρίσµατος και από τις παράπλευρες επιφάνειες, οι οποίες είναι ορθογώνια παραλληλόγραµµα. Το πλήθος των ορθογώνιων παραλληλογράµµων της παράπλευρης επιφάνειας είναι τόσο, όσο και το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου της βάσης. Η απόσταση των δύο πολυγώνων λέγεται ύψος του πρίσµατος (στα σχήµατα συµβολίζεται µε υ). Το όνοµα του πρίσµατος είναι ανάλογο µε το σχήµα του πολυγώνου της βάσης του. Για παράδειγµα, αν η βάση του πρίσµατος είναι πεντάγωνο, τότε αυτό ονοµάζεται πενταγωνικό κ.ο.κ. Κύβος Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Τριγωνικό πρίσµα Εξαγωνικό πρίσµα α α α α γ β άση: Τετράγωνο άση: Ορθογώνιο άση: Τρίγωνο άση: Εξάγωνο Ε = 6 α Ε = (α β+ β γ + γ α) Ε = Ε τριγ + Ε παρ = Ε τριγ + (α+β+γ) υ Ε = Ε εξαγ + Ε παρ = Ε εξαγ +(περίµ. βάσης) υ V = α 3 V = α β γ V = Ε τριγώνου υ V = Ε εξαγώνου υ α γ β υ υ. Κύλινδρος Κύλινδρος r υ Ένας κύλινδρος αποτελείται από δυο ίσους και παράλληλους κύκλους (O,r), που είναι οι βάσεις του κυλίνδρου και από την παράπλευρη επιφάνεια, την οποία αν την ξετυλίξουµε σχηµατίζει ορθογώνιο. Η απόσταση των δύο κύκλων λέγεται ύψος του πρίσµατος (στo σχήµα συµβολίζεται µε υ). άση: Kύκλος Ε = Ε κυκλ + Ε παρ = πr + πr υ = πr(r+υ) V = Ε κυκλ υ = πr υ 54

55 Γ. Πυραµίδα Μια πυραµίδα αποτελείται από ένα πολύγωνο, που είναι η βάση της πυραµίδας και από την παράπλευρη επιφάνεια, την οποία την αποτελούν τρίγωνα µε κοινή κορυφή. Το πλήθος των τριγώνων της παράπλευρης επιφάνειας είναι τόσο, όσο και το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου της βάσης. Το όνοµα της πυραµίδας είναι ανάλογο µε το σχήµα του πολυγώνου της βάσης της. Για παράδειγµα, αν η βάση της πυραµίδας είναι πεντάγωνο, τότε αυτή ονοµάζεται πενταγωνική κ.ο.κ. Τετραπλευρική πυραµίδα άση: Τετράπλευρο Ε = Ε βάσης + Ε παρ Στην περίπτωση που βάση της πυραµίδας είναι κανονικό πολύγωνο, τότε η πυραµίδα λέγεται κανονική πυραµίδα. Όταν η πυραµίδα είναι κανονική, τότε τα τρίγωνα που αποτελούν την παράπλευρη επιφάνεια είναι ισοσκελή και ίσα µεταξύ τους (εφόσον έχουν ίσες βάσεις). Το ύψος κάθε τριγώνου προς τη βάση, ονοµάζεται απόστηµα (στα σχήµατα συµβολίζεται µε υ). Το ύψος της πυραµίδας είναι η κάθετος από την κορυφή στη βάση της πυραµίδας (στα σχήµατα συµβολίζεται µε Υ) Τετραγωνική πυραµίδα Εξαγωνική πυραµίδα υ Υ α άση: Τετράγωνο Ε = Ε βάσης + Ε παρ = α + 4 ( α υ/) = α (α+ υ) άση: Εξάγωνο Ε = Ε βάσης + Ε παρ = Ε εξαγώνου + 6 (α υ/) = 3 α 3/ + 6 (α υ/) V = (Ε βάσης Υ) / 3 = (α Υ) /3 V=(Ε βάσης Υ)/3 = (3 α 3/ Υ) /3= (α 3 Υ) / 55

56 . Κώνος Ένας κώνος αποτελείται από έναν κύκλο (Ο,r), που είναι η βάση του κώνου και από την παράπλευρη επιφάνεια, η οποία είναι ένας κυκλικός τοµέας που έχει ακτίνα τη γενέτειρα του κώνου (στο σχήµα συµβολίζεται µε λ) και µήκος τόξου το µήκος του κύκλου της βάσης του κώνου. Το ύψος της πυραµίδας είναι η κάθετος από την κορυφή στη βάση της πυραµίδας (στα σχήµατα συµβολίζεται µε υ) Κώνος r υ λ άση: Kύκλος Ε = Ε κυκλ + Ε παρ = π r + π r λ = π r (r+λ) V = π r υ/3 Ε. Σφαίρα Η επιφάνεια µιας σφαίρας παράγεται όταν περιστρέψουµε έναν κύκλο (Ο,r), γύρω από µια διάµετρό του. Κύκλος O r Ε = 4 π r V = 4/3 π r 3 56