1 Γραμμικές συναρτήσεις

Transcript

1 Γραμμικές συναρτήσεις Άσκηση. είξτε ότι η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(x, y, z) =(x y + z,x z), για κάθε (x, y, z) R, είναι μια γραμμική συνάρτηση, και να βρεθεί ο πυρήνας της. Απόδειξη. Θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 6... f (λ (x, y, z)+μ (a, b, c)) = f ((λx, λy, λz)+(μa, μb, μc)) = f ((λx + μa, λy + μb, λz + μc)) = = ((λx + μa) (λy + μb)+(λz + μc), (λx + μa) (λz + μc)) = = ((λx λy + λz)+(μa μb + μc), (λx λz)+(μa μc)) = = ((λx λy + λz), (λx λz)) + ((μa μb + μc), (μa μc)) = = λ(x y + z,x z)+μ(a b + c, a c) = = λf (x, y, z)+μf (a, b, c), για κάθε (x, y, z), (a, b, c) R, και κάθε λ, μ R. Επομένως η συνάρτηση αυτή είναι γραμμική. Οπυρήναςτηςf θα είναι δηλαδή Ker f =span, 5,. Ker f = (x, y, z) R /f(x, y, z) =(0, 0, 0) ª = = (x, y, z) R /(x y + z, x z) =(0, 0, 0) ª = = (x, y, z) R /x y + z =0, x z =0 ª = = (x, y, z) R /x y + z =0,z = xª = = (x, y, z) R /y = 5 x, z = xª = = x, 5 x, x /x R ª =, 5, ª x/x R, Άσκηση. είξτε ότι η συνάρτηση f : R [x] R [x], που ορίζεται με τη σχέση f(ax + bx + c) =(a b)x +(b + c)x +(a + c), για κάθε ax + bx + c R [x], είναι μια γραμμική συνάρτηση. Να βρεθεί ο πυρήνας Ker f της f, και να εξεταστεί αν η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη. Απόδειξη. Θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 6... Αν ax + bx + c και kx + mx + n είναι δύο στοιχεία του χώρου R [x], και λ, μ R θα έχουμε f λ ax + bx + c + μ kx + mx + n = f (λa + μk)x +(λb + μm)x +(λc + μn) = = ([(λa + μk) (λb + μm)] x + +[(λb + μm)+(λc + μn)] x +[(λa + μk)+(λc + μn)]) = ( (λa λb)x +(λb + λc)x +(λa + λc) + + (μk μm)x +(μm + μn)x +(μk + μn) ) = (λ (a b)x +(b + c)x +(a + c) + +μ (k m)x +(m + n)x +(k + n) ) = λf ax + bx + c + μf kx + mx + n,

2 επομένως η συνάρτηση f είναι γραμμική. Ο πυρήνας της θα είναι Ker f = ax + bx + c R [x]/f(ax + bx + c) =0 ª = = ax + bx + c R [x]/(a b)x +(b + c)x +(a + c) =0 ª = = ax + bx + c R [x]/a b =0,b+ c =0,a+ c =0 ª = = ax + bx + c R [x]/a = b, c = b ª = = bx + bx b/b R ª = x + x b/b R ª, δηλαδή έχουμε Ker f =span x + x. Ησυνάρτησηf δεν είναι αμφιμονότιμη, διότι ο πυρήνας της δεν είναι μηδέν. Άσκηση. Να προσδιοριστεί η γραμμική συνάρτηση f : R R 4, η οποία απεικονίζει τη βάση e =(, 0, 0), e =(0,, 0), e =(0, 0, ) του R στα διανύσματα a =(,, 0, ), a =(, 0,, ), και a =(, 0,, 0) του χώρου R 4. Απόδειξη. Από τις συνθήκες που δίνονται προκύπτουν οι σχέσεις f(e )=a, f(e )=a και f(e )=a. Ως προς τη συνήθη βάση ισχύει (x, y, z) =xe + ye + ze, οπότε θα έχουμε f (x, y, z) = f (xe + ye + ze )=xf (e )+yf (e )+zf (e )= = xa + ya + za = x(,, 0, ) + y(, 0,, ) + z(, 0,, 0) = = (x + y + z, x, y +z, x +y), που είναι η ζητούμενη συνάρτηση. Άσκηση.4 Να προσδιοριστεί η γραμμική συνάρτηση f : R R, η οποία απεικονίζει τη βάση ε = (,, ), ε = (,, 0), ε = (, 0, 0) στα διανύσματα a = (,, 0), a = (,, 0), και a =(, 0, ) του χώρου R. Απόδειξη. Από τις συνθήκες που δίνονται προκύπτουν οι σχέσεις f(ε )=a, f(ε )=a και f(ε )=a. Ως προς τη συνήθη βάση ισχύει (x, y, z) =xe + ye + ze, οπότε θα έχουμε f (x, y, z) =f (xe + ye + ze )=xf (e )+yf (e )+zf (e ) () Γιαναβρούμετιςτιμέςf (e ), f (e ), και f (e ) που χρειαζόμαστε, πρέπει να εκφράσουμε τα διανύσματα e, e, e, σαν γραμμικούς συνδυσαμούς των διανυσμάτων ε, ε, ε, των οποίων τις τιμές γνωρίζουμε. Έτσι, έχουμε e = aε + bε + cε (, 0, 0) = a(,, ) + b(,, 0) + c(, 0, 0) (, 0, 0) = (a + b + c, a + b, a) = a + b + c 0 = a + b 0 = a τουοποίουηλύσηείναιa =0, b =0, c =. Δηλαδή ισχύει e =0ε +0ε +ε. Επίσης, έχουμε e = aε + bε + cε (0,, 0) = a(,, ) + b(,, 0) + c(, 0, 0) (0,, 0) = (a + b + c, a + b, a)

3 0 = a + b + c = a + b 0 = a τουοποίουηλύσηείναιa =0, b =, c =. Δηλαδή ισχύει e =0ε +ε ε. Τέλος, έχουμε e = aε + bε + cε (0, 0, ) = a(,, ) + b(,, 0) + c(, 0, 0) (0, 0, ) = (a + b + c, a + b, a) 0 = a + b + c 0 = a + b = a τουοποίουηλύσηείναιa =, b =, c =0. Δηλαδή ισχύει e =ε ε +0ε. Επομένως, από τη σχέση () προκύπτει f (x, y, z) = xf (e )+yf (e )+zf (e )= = xf (0ε +0ε +ε )+yf (0ε +ε ε )+zf (ε ε +0ε )= = xf (ε )+yf (ε ε )+zf (ε ε )=xf (ε )+y[f (ε ) f(ε )] + z[f (ε ) f(ε )] = = xa + y[a a ]+z[a a ]=x(, 0, ) + y[(,, 0) (, 0, )] + z[(,, 0) (, 0, )] = = x(, 0, ) + y(0,, ) + z(0,, ), δηλαδή η συνάρτηση είναι f (x, y, z) =(x, y +z, x y z). Άσκηση.5 Θεωρούμε τους υποχώρους V = {(x, y, z) R /x y =0} και W = {(x, y, z) R /x y +z =0} του R. Να προσδιοριστεί ένας γραμμικός τελεστής ϕ του R, του οποίου ο πυρήνας να είναι ο υποχώρος V. Επίσης, να προσδιοριστεί ένας γραμμικός τελεστής ψ του R, του οποίου η εικόνα να είναι ο υποχώρος W. Απόδειξη. Θα βρούμε μια βάση του χώρου V. V = (x, y, z) R /x y =0 ª = (x, y, z) R /y =x ª = = {(x, x, z) /x, z R} = {(x, x, 0) + (0, 0,z) /x, z R} = = {(,, 0) x +(0, 0, ) z/x,z R} =span((,, 0), (0, 0, )). Άρα μια βάση του V είναι {(,, 0), (0, 0, )}. Επεκτείνουμε σε μια βάση του R. Μια τέτοι επέκταση είναι ε =(,, 0), ε =(0, 0, ), ε =(0,, 0). Γιαναπροσδιοριστείοτελεστήςϕ θα πρέπει να οριστούν οι τιμές του ϕ σε μια βάση του χώρου. Άρα πρέπει να δώσουμε κάποιες τιμές στα διανύσματα ϕ(ε ), ϕ(ε ), και ϕ(ε ). Επειδή θέλουμε ο χώρος V να είναι ο πυρήνας του ϕ, και τα διανύσματα ε, ε αποτελούν μια βάση του V, πρέπει να θέσουμε ϕ(ε )=(0, 0, 0) και ϕ(ε )=(0, 0, 0). Ητιμήϕ(ε ) μπορεί να είναι οποιοδήποτε μη μηδενικό

4 διάνυσμα, π.χ. ϕ(ε )=(,, ). Οι τιμές ϕ(ε )=(0, 0, 0), ϕ(ε )=(0, 0, 0) και ϕ(ε )=(,, ) προσδιορίζουν τον τελεστή ϕ, τουοποίουοπυρήναςείναιοχώροςv. Επαλήθευση: Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της προηγούμενης άσκησης, μπορούμε να βρούμε ότι ισχύουν οι σχέσεις e = ε +0ε ε e = 0ε +0ε +ε e = 0ε +ε +0ε όπου {e, e, e } η συνήθης βάση του R. Οπότε ο τελεστής ϕ θα δίνεται από τη σχέση ϕ (x, y, z) = ϕ (xe + ye + ze )=xϕ(e )+yϕ(e )+zϕ(e )= = xϕ (ε +0ε ε )+yϕ (0ε +0ε +ε )+zϕ (0ε +ε +0ε )= = xϕ (ε ε )+yϕ (ε )+zϕ(ε )= = x (ϕ(ε ) ϕ(ε )) + yϕ (ε )+zϕ(ε )= = x ((0, 0, 0) (,, )) + y (,, ) + z (0, 0, 0) = = ( x + y, x + y, x + y) Ο πυρήνας του τελεστή ϕ είναι Ker ϕ = (x, y, z) R /ϕ (x, y, z) =(0, 0, 0) ª = = (x, y, z) R / ( x + y, x + y, x + y) =(0, 0, 0) ª = = (x, y, z) R / x + y =0 ª, και όπως βλέπουμε είναι ο υποχώρος V. Θα βρούμε μια βάση του χώρου W. W = (x, y, z) R /x y + z =0 ª = (x, y, z) R /y = x + z ª = = {(x, x + z,z) /x, z R} = {(x, x, 0) + (0,z,z)/x, z R} = = {(,, 0) x +(0,, ) z/x,z R} =span((,, 0), (0,, )). Άρα μια βάση του W είναι {(,, 0), (0,, )}. Γιαναπροσδιοριστείοτελεστήςψ θα πρέπει να οριστούν οι τιμές του ψ σε μια βάση του χώρου. Άρα πρέπει να δώσουμε κάποιες τιμές στα διανύσματα ψ(e ), ψ(e ), και ψ(e ), όπου {e, e, e } είναι η συνήθης βάση του R. Επειδή θέλουμε ο χώρος W να είναι η εικόνα του ψ, και τα διανύσματα (,, 0), (0,, ) αποτελούν μια βάση του W, πρέπει να θέσουμε ψ(e ) = (,, 0) και ψ(e ) = (0,, ). Ητιμήψ(e ) πρέπει να είναι το μηδενικό διάνυσμα, διότι διαφορετικά θα αλλάξει η εικόνα του ψ. Οι τιμέςψ(e )=(,, 0), ψ(e )=(0,, ) και ψ(e )=(0, 0, 0) προσδιορίζουν τον τελεστή ψ, τουοποίουηεικόναείναιοχώροςw. Επαλήθευση: Οτελεστήςψ θα δίνεται από τη σχέση ψ (x, y, z) = ψ (xe + ye + ze )=xψ(e )+yψ(e )+zψ(e )= = x (,, 0) + y (0,, ) + z (0, 0, 0) = = (x, x + y, y) Η εικόνα του τελεστή ψ είναι Im ψ = = ψ R = ψ (x, y, z) / (x, y, z) R ª = (x, x + y, y) / (x, y, z) R ª = = {(x, x, 0) + (0,y,y)/x, y R} = = {(,, 0) x +(0,, ) y/x, y R} = = span((,, 0), (0,, )), 4

5 και όπως βλέπουμε είναι ο υποχώρος W. Άσκηση.6 Θεωρούμε τη γραμμική συνάρτηση ϕ : R R, που ορίζεται με τη σχέση ϕ(x, y, z) = (x +z,y z), για κάθε (x, y, z) R. Να βρεθούν μια βάση και η διάσταση του πυρήνα και της εικόνας της ϕ. Απόδειξη. Ο πυρήνας της ϕ δίνεται με τη σχέση Ker ϕ = (x, y, z) R /ϕ (x, y, z) =(0, 0) ª = = (x, y, z) R /(x +z,y z) =(0, 0) ª = = (x, y, z) R /x +z =0,y z =0 ª = = (x, y, z) R /x = z, y =z ª = = {( z, z, z) /z R} = {(,, ) z/z R} = = span(,, ). Επομένως το διάνυσμα (,, ) αποτελεί μια βάση του πυρήνα, και ισχύει dim (Ker ϕ) =. Για την εικόνα της ϕ θα έχουμε Im ϕ = ϕ R = ϕ (x, y, z) / (x, y, z) R ª = = (x +z,y z)/ (x, y, z) R ª = = {(x, 0) + (0,y)+(z, z) /x, y, z R} = = {(, 0) x +(0, ) y +(, ) z/x, y, z R} = = span ((, 0), (0, ), (, )). Βλέπουμε ότι η εικόνα παράγεται από διανύσματα. Για να βρούμε μια βάση της εικόνας, πρέπει να βρούμε ποια διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άραταδιανύσματα{(, 0), (0, )} αποτελούν μια βάση της εικόνας (δηλαδή έχουμε Im ϕ = R ), και ισχύει dim (Im ϕ) =. Πίνακας μετασχηματισμού Άσκηση. ίνεται ο ενδομορφισμός f του R, ο οποίος απεικονίζει τη συνήθη βάση του R στα διανύσματα {a =(,, ), a =(, 0, 0), a =(,, )}. Να βρεθεί ο πίνακας του ενδομορφισμού f ως προς τη βάση {ε =(, 0, 0), ε =(,, 0), ε =(,, )}. Απόδειξη. Αν {e =(, 0, 0), e =(0,, 0), e =(0, 0, )} είναι η συνήθης βάση του R, από τα δεδομένα του προβλήματος θα έχουμε f(e )=a =(,, ), f(e )=a =(, 0, 0), f(e )=a =(,, ). Επομένως ο ενδομορφισμός f θα δίνεται από τη σχέση f (x, y, z) = f (xe + ye + ze )=xf(e )+yf(e )+zf(e )= = x(,, ) + y(, 0, 0) + z(,, ) = = (x +y + z, x + z, x +z), 5

6 για κάθε x, y, z R. Για βρούμε τον πίνακα του f στη βάση {ε, ε, ε } πρέπει να εκφράσουμε τις τιμές f(ε ), f(ε ), f(ε ) σαν γραμμικούς συνδυσαμούς των διανυσμάτων {ε, ε, ε }. Θα έχουμε f(ε ) = aε + bε + cε f(, 0, 0) = a(, 0, 0) + b(,, 0) + c(,, ) (,, ) = (a + b + c, b + c, c) a + b + c = b + c = c = τουοποίουηλύσηείναιc =, b =, και a =, δηλαδή έχουμε τη σχέση Επίσης, έχουμε f(ε )=ε ε +ε. f(ε ) = aε + bε + cε f(,, 0) = a(, 0, 0) + b(,, 0) + c(,, ) (,, ) = (a + b + c, b + c, c) a + b + c = b + c = c = τουοποίουηλύσηείναιc =, b =, και a =4, δηλαδή έχουμε τη σχέση Τέλος, έχουμε f(ε )=4ε ε +ε. f(ε ) = aε + bε + cε f(,, ) = a(, 0, 0) + b(,, 0) + c(,, ) (4, 0, ) = (a + b + c, b + c, c) a + b + c = 4 b + c = 0 c = τουοποίουηλύσηείναιc =, b =, και a =4, δηλαδή έχουμε τη σχέση f(ε )=4ε ε +ε. 6

7 Επομένως, ο πίνακας του f στη βάση {ε, ε, ε } είναι 4 4 M(f) = ος τρόπος Ο πίνακας του f στησυνήθηβάσητουr βρίσκεται εύκολα και είναι ο A = 0 0 (η κάθε γραμμή του προκύπτει από τους συντελεστές που ορίζουν τον ενδομορφισμό f.) Ο πίνακας μετάβασης από τη συνήθη βάση στη βάση {ε, ε, ε } βρίσκεταιεπίσηςεύκολακαιείναιο P = (η κάθε στήλη του είναι οι συντεταγμένες των δια νυσμάτων ε, ε, ε, αντίστοιχα. Επομένως από το Θεώρημα 6..7 προκύπτει ότι ο πίνακας του f στη βάση {ε, ε, ε } είναι B = P AP = = και όπως βλέπουμε είναι ίδιος με αυτόν που ήδη βρήκαμε = = 4 4 Άσκηση. ίνεται η γραμμική συνάρτηση f : R R, η οποία απεικονίζει τη βάση {ε = (,, ), ε =(,, ), ε =(,, )} του R στα διανύσματα {a =(, 0), a =(0, ), a =(, 0)}. Να βρεθεί ο πίνακας της f ως προς τις συνήθεις βάσεις των χώρων R και R. Απόδειξη. Από τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτουν οι σχέσεις f (ε )=a, f (ε )=a, f (ε )=a. Ως προς τη συνήθη βάση του R έχουμε (x, y, z) =xe + ye + ze, όπου {e, e, e } η συνήθης βάση. Άρα θα ισχύει f (x, y, z) =f (xe + ye + ze )=xf (e )+yf (e )+zf (e ). Επομένως για να βρούμε την f πρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές f (e ), f (e ), f (e ), και για να γίνειαυτόπρέπειναεκφράσουμεταe, e, e σαν γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων {ε, ε, ε }. Θα έχουμε e = aε + bε + cε (, 0, 0) = a(,, ) + b(,, ) + c(,, ) (, 0, 0) = (a +b + c, a + b +c, a + b + c) 7

8 = a +b + c 0 = a + b +c 0 = a + b + c τουοποίουηλύσηείναιa = 4,b= 4,c= 4, δηλαδή έχουμε τη σχέση e = 4 ε + 4 ε 4 ε. Επίσης, έχουμε e = aε + bε + cε (0,, 0) = a(,, ) + b(,, ) + c(,, ) (0,, 0) = (a +b + c, a + b +c, a + b + c) 0 = a +b + c = a + b +c 0 = a + b + c τουοποίουηλύσηείναιa = 4,b= 4,c= 4, δηλαδή έχουμε τη σχέση e = 4 ε 4 ε + 4 ε. Τέλος, έχουμε e = aε + bε + cε (0, 0, ) = a(,, ) + b(,, ) + c(,, ) (0, 0, ) = (a +b + c, a + b +c, a + b + c) 0 = a +b + c 0 = a + b +c = a + b + c τουοποίουηλύσηείναιa = 4,b = 4,c = 4, δηλαδή έχουμε τη σχέση e = 4 ε 4 ε 4 ε. Επομένως, ησυνάρτησηf θα δίνεται από τη σχέση f (x, y, z) = xf (e )+yf (e )+zf (e )= = xf 4 ε + 4 ε 4 ε + yf 4 ε 4 ε + 4 ε + +zf 4 ε 4 ε 4 ε = x 4 f (ε )+ 4 f (ε ) 4 f (ε ) + y 4 f (ε ) 4 f (ε )+ 4 f (ε ) + +z 4 f (ε ) 4 f (ε ) 4 f (ε ) = x 4 (, 0) + 4 (0, ) 4 (, 0) + y 4 (, 0) 4 (0, ) + 4 (, 0) + +z 4 (, 0) 4 (0, ) 4 (, 0) = x, 4 + y, 4 + z, 4 = x + y + z, 4 x 4 y 4 z. Από τη μορφή που έχει η f προκύπτει ότι ο πίνακας που ζητάμε είναι M(f) =µ 4 4, 4 ωςπροςτιςσυνήθειςβάσειςτωνχώρωνr και R. 8

9 Άσκηση. ίνεται η γραμμική συνάρτηση f : R R, τηςοποίαςοπίνακαςωςπροςτησυνήθη βάση του R είναι ο A =. Να βρεθεί ο ενδομορφισμός f, καθώς και η διάσταση του πυρήνα Ker f και της εικόνας Im f του f. Απόδειξη. Αν {e, e, e } είναι η συνήθης βάση του R, από τα δεδομένα του προβλήματος θα έχουμε f (e )=e +e +e, f (e )=e e +e, και f (e )=e e +e, δηλαδή θα ισχύουν οι σχέσεις Επομένως θα έχουμε Οπυρήναςτουf θα είναι f (, 0, 0) = (,, ), f (0,, 0) = (,, ), και f (0, 0, ) = (,, ). f (x, y, z) = f (xe + ye + ze )=xf (e )+yf (e )+zf (e )= = x (,, ) + y (,, ) + z (,, ) = = (x +y +z,x y z,x +y + z). Ker f = (x, y, z) R /f (x, y, z) =(0, 0, 0) ª = = (x, y, z) R / (x +y +z, x y z,x +y + z) =(0, 0, 0) ª = = (x, y, z) R /x +y +z =0, x y z =0, x +y + z =0 ª = = (x, y, z) R /x = 7 z, y = 5 7 zª = = 7, 5 7, z/z R ª =span 7z, 5 7 z,z /z Rª = 7, 5 7, Άρα το διάνυσμα 7, 5 7, αποτελεί μια βάση του πυρήνα, οπότε ισχύει dim (Ker f) =. Τέλος, η διάσταση της εικόνας μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση διάστασης δηλαδή έχουμε dim (Im f) =. dim R = dim (Ker f)+dim(imf) = +dim(imf), Άσκηση.4 ίνεται ο ενδομορφισμός f του R, τουοποίουοπίνακαςωςπροςτησυνήθηβάσητου R είναι ο A = 0. 0 Να βρεθεί ο πίνακας B του f ως προς τη βάση {ε =(, 0, ), ε =(,, 0), ε =(0,, )}. 9

10 Απόδειξη. Αν {e, e, e } είναι η συνήθης βάση του R, από τα δεδομένα του προβλήματος θα έχουμε f (e )=e +0e +e, f (e )=e +e +e, και f (e )=e +e +0e, δηλαδή θα ισχύουν οι σχέσεις Επομένως f (, 0, 0) = (, 0, ), f (0,, 0) = (,, ), και f (0, 0, ) = (,, 0). f (x, y, z) = f (xe + ye + ze )=xf (e )+yf (e )+zf (e )= = x (, 0, ) + y (,, ) + z (,, 0) = = (x +y +z,y + z,x + y) Για να βρούμε τον πίνακα της f ως προς τη βάση {ε, ε, ε } πρέπει να εκφράσουμε τις τιμές f (ε ), f (ε ), f (ε ) σαν γραμμικούς συνδυσαμούς της βάσης {ε, ε, ε }. Έχουμε f (ε ) = aε + bε + cε (4,, ) = a(, 0, ) + b(,, 0) + c(0,, ) (4,, ) = (a + b, b + c, a + c) 4 = a + b = b + c = a + c τουοποίουηλύσηείναιa =,b =,c =0, δηλαδή έχουμε τη σχέση f (ε )=ε +ε +0ε. Επίσης, θα έχουμε f (ε ) = aε + bε + cε (,, 4) = a(, 0, ) + b(,, 0) + c(0,, ) (,, 4) = (a + b, b + c, a + c) = a + b = b + c 4 = a + c τουοποίουηλύσηείναιa = 5,b =,c =, δηλαδή έχουμε τη σχέση f (ε )= 5 ε + ε + ε. Τέλος, θα έχουμε f (ε ) = aε + bε + cε (5,, ) = a(, 0, ) + b(,, 0) + c(0,, ) (5,, ) = (a + b, b + c, a + c) 0

11 5 = a + b = b + c = a + c τουοποίουηλύσηείναιa =,b= 7,c=, δηλαδή έχουμε τη σχέση f (ε )= ε + 7 ε ε. Άρα ο πίνακας B του f ως προς τη βάση {ε =(, 0, ), ε =(,, 0), ε =(0,, )} είναι ος τρόπος Έχουμε το εξής σχήμα B = f : R R A {e,e,e } {e,e,e } B {ε, ε, ε } {ε, ε, ε } Επομένως ο πίνακας B θα δίνεται από τη σχέση B = P AP, όπου P ο πίνακας μετάβασης από τη συνή β ση στη βάση {ε, ε, ε }. Ο πίνακας αυτός, όπως ξέρουμε, έχει σαν στήλες τις συντεταγμένες των ε, ε, ε, άρα είναι 0 P = 0. 0 Έτσι, θα έχουμε B = P AP = = = 5 7, και όπως βλέπουμε είναι ίδιος με αυτόν που βρήκαμε = = Άσκηση.5 ίνεται η γραμμική συνάρτηση f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(x, y, z) =(x y, y + z, z x), για κάθε (x, y, z) R. Να βρεθεί ο πίνακας της f ως προς τις βάσεις {ε =(, 0, ), ε =(,, 0), ε =(0,, )}, και {η =(, 0, ), η =(,, 0), η =(0,, )} του R, και να εξεταστεί αν είναι ισομορφισμός. Να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση αν υπάρχει.

12 Απόδειξη. Εδώ έχουμε το σχήμα f : R R {ε, ε, ε } {η, η, η } Άρα για να βρούμε τον πίνακα της f ως προς τις βάσεις {ε, ε, ε } και {η, η, η } πρέπει να εκφράσουμε τις τιμές f (ε ), f (ε ), f (ε ) σαν γραμμικούς συνδυσαμούς της βάσης {η, η, η }. Έχουμε f (ε ) = aη + bη + cη (,, ) = a(, 0, ) + b(,, 0) + c(0,, ) (,, ) = (a + b, b + c, a +c) a + b = b + c = a +c = τουοποίουηλύσηείναιa =,b =,c =, δηλαδή έχουμε τη σχέση f (ε )= η + η + η. Επίσης, έχουμε f (ε ) = aη + bη + cη (0,, ) = a(, 0, ) + b(,, 0) + c(0,, ) (0,, ) = (a + b, b + c, a +c) a + b = 0 b + c = a +c = τουοποίουηλύσηείναιa = 9,b= 9,c= 5 9, δηλαδή έχουμε τη σχέση f (ε )= 9 η 9 η 5 9 η. Τέλος, έχουμε f (ε ) = aη + bη + cη (, 0, ) = a(, 0, ) + b(,, 0) + c(0,, ) (, 0, ) = (a + b, b + c, a +c) a + b = b + c = 0 a +c = τουοποίουηλύσηείναιa =,b=,c=, δηλαδή έχουμε τη σχέση f (ε )= η η + η. Επομένως ο πίνακας που ζητάμε είναι B = 9.

13 Είναι γνωστό ότι ένας ενδομορφισμός είναι αντιστρέψιμος αν και μονον αν ο πίνακάς του σε οποιαδήποτε βάση είναι αντιστρέψιμος, και μάλιστα ισχύει M(f )=M(f). Ο πίνακας του f στησυνήθηβάσηείναι 0 A = 0. 0 Επειδή det(a) =0, ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος, οπότε ούτε ο ενδομορφισμός f είναι αντιστρέψιμος. Άσκηση.6 ίνεται ο ενδομορφισμός f του R, του οποίου ο πίνακας ως προς τη βάση {ε = (,, ), ε =(,, ), ε =(,, )} του R είναι ο A = Να βρεθεί ο πίνακας B του f ως προς τη συνήθη βάση του R. αντιστρέψιμος, και να υπολογιστεί η αντίστροφη συνάρτηση f. είξτε, επίσης, ότι ο f είναι Απόδειξη. Από τα δεδομένα του προβλήματος θα έχουμε τις σχέσεις δηλαδή f (ε ) = ε +0ε +0ε, f (ε ) = ε ε +0ε, f (ε ) = ε +ε +ε, f (ε ) = (,, ), f (ε ) = (,, ) (,, ) = (4, 4, ), f (ε ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (, 4, 0). Ως προς τη συνήθη βάση {e, e, e } θα έχουμε f (x, y, z) =f (xe + ye + ze )=xf (e )+yf (e )+zf (e ), οπότε για να βρούμε την f πρέπει να εκφράσουμε τα e, e, e σαν γραμμικούς συνδυασμούς των ε, ε, ε. Άρα e = aε + bε + cε (, 0, 0) = a (,, ) + b (,, ) + c (,, ) (, 0, 0) = (a b + c, a + b + c, a + b c) = a b + c 0 = a + b + c 0 = a + b c

14 τουοποίουηλύσηείναιa =,b=0,c=, δηλαδή ισχύει e = ε +0ε + ε. Επίσης, θα έχουμε e = aε + bε + cε (0,, 0) = a (,, ) + b (,, ) + c (,, ) (0,, 0) = (a b + c, a + b + c, a + b c) 0 = a b + c = a + b + c 0 = a + b c του οποίου η λύση είναι a =0,b=,c=, δηλαδή ισχύει e =0ε + ε + ε. Τέλος, θα έχουμε e = aε + bε + cε (0, 0, ) = a (,, ) + b (,, ) + c (,, ) (0, 0, ) = (a b + c, a + b + c, a + b c) 0 = a b + c 0 = a + b + c = a + b c τουοποίουηλύσηείναιa =,b=,c=0, δηλαδή ισχύει e = ε + ε +0ε. Επομένως η f θα δίνεατι με τη σχέση f (x, y, z) = xf (e )+yf (e )+zf (e )= = x f ε +0ε + ε + y f 0ε + ε + ε + z f ε + ε +0ε = = x [f (ε )+f (ε )] + y [f (ε )+f (ε )] + z [f (ε )+f (ε )] = = x ((,, ) + (, 4, 0)) + y ((4, 4, ) + (, 4, 0)) + z ((,, ) + (4, 4, )) = = y x + 5 z, x 5 z, x + y + z. Γνωρίζοντας την f μπορούμε να βρούμε έυκολα τον πίνακα B ως προς τη συνήθη βάση. 5 B = 0 5. Ο αντίστροφος του πίνακα αυτού είναι B = οπότε η αντίστροφη συνάρτηση θα δίνεται από τη σχέση M(f )=M(f), δηλαδή M(f )= B. Άρα f (x, y, z) = (0x +y +5z, 4x + y +5z,6x 5y +z). Αφήνεται σαν άσκηση η επαλήθευση f f = I. 5 5, 4