ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1: ΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΟΤ ΚΑΙ ΓΙΑΚΡΙΣΟΤ ΥΡΟΝΟΤ

Transcript

1 Γεληθά ΚΔΦΑΛΑΙΟ : ΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΟΤ ΚΑΙ ΓΙΑΚΡΙΣΟΤ ΥΡΟΝΟΤ Α. ΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΟΤ ΥΡΟΝΟΤ Όπσο είπακε ζηελ Δηζαγσγή, ζήκα ζπλερνύο ρξόλνπ είλαη κηα ζπλάξηεζε ηνπ ζπλερνύο ρξόλνπ t, δει. είλαη κηα αληηζηνίρηζε ησλ ηηκώλ ηνπ ρξόλνπ t ζηηο ηηκέο ελόο θπζηθνύ κεγέζνπο. Έλαο ηξόπνο θαζνξηζκνύ ελόο ζήκαηνο x(t) είλαη λα δνζεί ε καζεκαηηθή ηνπ έθθξαζε σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ. Σέηνηα παξαδείγκαηα είλαη ηα ζήκαηα x(t)=t +3t+, y(t)=e t ζπλ3t θαη z(t)=/(+t ). Με ην ζύκβνιν e παξηζηάλεηαη ε βάζε ησλ Νεπεξείσλ ή θπζηθώλ ινγαξίζκσλ πνπ έρεη ηηκή,78. Έλα ζήκα κπνξεί λα έρεη άιιε καζεκαηηθή έθθξαζε, γηα θάπνην ή θάπνηα ρξνληθά δηαζηήκαηα, θαη άιιε, γηα ηα ππόινηπα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Παξαδείγκαηα ηέηνηνπ ζήκαηνο είλαη ην ζήκα w(t) πνπ είλαη ίζν κε e t, όηαλ είλαη <t<+, θαη ίζν κε e t, όηαλ είλαη t<, θαη ην ζήκα u(t) πνπ είλαη ίζν κε, γηα αξλεηηθά t, θαη ίζν κε +, γηα κε αξλεηηθά t (γηα t ζεηηθά ή ). Έλα ζήκα, ην νπνίν ζπλίζηαηαη από κηα πιήξσο θαη ζαθώο νξηζκέλε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ ρξόλνπ t, νλνκάδεηαη ληεηεξκηληζηηθό ή λνκνηειεηαθό ζήκα. Βέβαηα, έλα ληεηεξκηληζηηθό ζήκα δελ είλαη θαζόινπ ξεαιηζηηθό κνληέιν γηα έλα ζήκα ηεο πξάμεο. Γηα έλα ζήκα ηεο πξάμεο, ε ύπαξμε θαη γλώζε ελόο καζεκαηηθνύ ηύπνπ πνπ ην παξέρεη ζεκαίλεη όηη κπνξνύκε άκεζα κε καζεκαηηθέο πξάμεηο λα βξνύκε όιεο ηηο ηηκέο ηνπ, παξειζνύζεο θαη κειινληηθέο. Όκσο, ην ζήκα ηεο θσλήο θάπνηνπ πξνζώπνπ πνπ θζάλεη ζηα απηηά καο δελ κπνξεί λα παξαζηαζεί κε έλαλ καζεκαηηθό ηύπν, γηαηί ηόηε ζα μέξακε ηη ζα καο πεη ην ελ ιόγσ πξόζσπν θαη ζηηο κειινληηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο ή ηη καο έρεη πεη νπνηαδήπνηε παξειζνύζα ρξνληθή ζηηγκή. ήκαηα ζαλ απηά ηεο θσλήο ή ηεο εηθόλαο έρνπλ ελζσκαησκέλε κέζα ηνπο κηα αβεβαηόηεηα κε πξνβιεςηκόηεηα, αλαθνξηθά κε ηηο ηηκέο ηνπο. Γηα ηε καζεκαηηθή παξάζηαζε θαη κειέηε ηέηνησλ ζεκάησλ ρξεζηκνπνηείηαη ε ζεσξία ησλ πηζαλνηήησλ. Σα ζήκαηα απηνύ ηνπ είδνπο νλνκάδνληαη ηπραία ή ζηνραζηηθά ζήκαηα. Παξ όια ηα παξαπάλσ, γηα λα εμνηθεησζνύκε κε ην αληηθείκελν ησλ ζεκάησλ θαη ησλ ζπζηεκάησλ, πνιύ ζπρλά ζα κηιάκε γηα ή ζα ελλννύκε ζήκαηα ηα νπνία ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζα έρνπλ ζπγθεθξηκέλεο καζεκαηηθέο εθθξάζεηο σο ζπλαξηήζεηο ηνπ ρξόλνπ t, δει. γηα ζήκαηα πνπ είλαη ληεηεξκηληζηηθά. Πνιύ ζπρλά, γηα έλα ζήκα x(t), ζρεδηάδνπκε ηε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ. Πξνο ηνύην, ρξεζηκνπνηνύκε έλα ζύζηεκα θαξηεζηαλώλ ζπληεηαγκέλσλ (νξζνγσλίσλ αμόλσλ), ζην νπνίν ν νξηδόληηνο άμνλαο (άμνλαο ησλ ηεηκεκέλσλ) είλαη ν άμνλαο ησλ ρξόλσλ t θαη ν θαηαθόξπθνο άμνλαο (άμνλαο ησλ ηεηαγκέλσλ) είλαη ν άμνλαο ησλ ηηκώλ ηνπ ζήκαηνο x(t). Γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή t, ζεκεηώλνπκε ζην επίπεδν ησλ αμόλσλ ην ζεκείν πνπ έρεη ηεηκεκέλε t θαη ηεηαγκέλε x(t), δει. ζεκεηώλνπκε ην ζεκείν (t, x(t)). Απηά ηα ζεκεία ζρεκαηίδνπλ κηα θακπύιε, ε νπνία είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ t. Αλ ζε.

2 έλα ζεκείν ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t θέξνπκε επζεία θάζεηε ζε απηόλ ηνλ άμνλα θαη ηελ πξνεθηείλνπκε κέρξηο απηή λα θόςεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο, ην πξνζεκαζκέλν κήθνο ηνπ θάζεηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο, πνπ νξίδεηαη από ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ θαη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο, είλαη ίζν κε ηελ ηηκή ηνπ ζήκαηνο x(t) ηε ρξνληθή ζηηγκή t. Γηα παξάδεηγκα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t)=t, t ζε sec, είλαη: x(t)=t +, ,5 t(sec) ρ.. H γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t)=t. ην παξαπάλσ παξάδεηγκα, δελ αλαθέξακε ηηο κνλάδεο πνπ παίξλεη ην ζήκα x(t), γηαηί απηό, πξνο ην παξόλ, δελ καο ελδηαθέξεη. Βέβαηα, ζε κηα εθαξκνγή ηεο πξάμεο έρεη ζεκαζία λα γλσξίδνπκε θαη λα γξάθνπκε ηηο δηαζηάζεηο θαη ηηο κνλάδεο κέηξεζεο ησλ δηαθόξσλ κεγεζώλ θαη ζεκάησλ πνπ εκπιέθνληαη ή ζπκκεηέρνπλ ζηελ εθαξκνγή. Δπίζεο, ζπρλά, δελ αλαθέξνπκε νύηε ηηο κνλάδεο κέηξεζεο ηνπ ρξόλνπ (εηδηθά ζηα ζήκαηα δηαθξηηνύ ρξόλνπ). Απηά ζπκβαίλνπλ γηαηί ζηα ήκαηα θαη πζηήκαηα θύξηα ζεκαζία έρνπλ νη κεηαβνιέο ελόο ζήκαηνο σο πξνο ηνλ ρξόλν θαη ηα ραξαθηεξηζηηθά απηώλ ησλ κεηαβνιώλ θαη όρη νη κνλάδεο κέηξεζεο ή ε ζηάζκε ησλ ηηκώλ ησλ ζεκάησλ απηώλ θαζ εαπηώλ. ε κηα ηέηνηα πεξίπησζε, γηα ην ζήκα x(t)=t ζα ιέκε όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή t= ρξνληθέο κνλάδεο απηό ην ζήκα είλαη ίζν κε =4 κνλάδεο ηηκώλ ή, απιά, ηε ρξνληθή ζηηγκή ην ζήκα έρεη ηηκή 4. ηνηρεηώδεηο επεκβάζεηο - πξάμεηο ζε έλα ζήκα: α) Πξόζζεζε ελόο ζήκαηνο κε κηα ζηαζεξά. Από ην ζήκα x(t) δεκηνπξγνύκε ην ζήκα y(t)=x(t)+a, πξνζζέηνληαο ζηηο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο x(t) ηελ πξαγκαηηθή ζηαζεξά a. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) απμάλνληαο ηηο ηεηαγκέλεο όισλ ησλ ζεκείσλ ηεο θαηά a. Έηζη, ην ζεκείν πνπ έρεη ηεηκεκέλε t θαη ηεηαγκέλε x(t), δει. ην ζεκείν (t, x(t)) πεγαίλεη ζηε ζέζε (t, x(t)+a). Σα ζεκεία (t, x(t)+a), γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, ζρεκαηίδνπλ ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t). ην ζρήκα. πνπ.

3 αθνινπζεί θαίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=x(t)+, καδί κε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t), όπνπ x(t) είλαη ην ζήκα t. y(t)=x(t)+ y(t)=t + + x(t)=t t(sec) ρ.. H γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=t +. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=x(t)+a ιακβάλεηαη «αλεβάδνληαο» θαηά a ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t). Αλ ε ζηαζεξά a είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ x(t) «θαηεβαίλεη» θαηά ηελ απόιπηε ηηκή ηνπ a. β) Πνιιαπιαζηαζκόο επί κηα ζηαζεξά. Από ην ζήκα x(t) δεκηνπξγνύκε ην ζήκα y(t)=ax(t), πνιιαπιαζηάδνληαο ηηο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο x(t) επί ηελ πξαγκαηηθή ζηαζεξά a. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t), αλ γηα θάζε ζεκείν απηήο πνιιαπιαζηάζνπκε ηελ ηεηαγκέλε ηνπ x(t) επί a θαη ζην θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ζεκεηώζνπκε ην ζεκείν πνπ έρεη ηεηκεκέλε t θαη ηεηαγκέλε ax(t), δει. ην ζεκείν (t, ax(t)). Σα ζεκεία (t, ax(t)), γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, ζρεκαηίδνπλ ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=ax(t). ην ζρήκα.3 πνπ αθνινπζεί, θαίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=x(t), όπνπ είλαη x(t)=t, καδί κε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t)..3

4 y(t)=t y(t)=t + + x(t)=t + t(sec) ρ..3 H γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=t. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=αx(t), α>, ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) κε δηαζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ (άμνλα ησλ ηηκώλ) κε ζπληειεζηή-θιίκαθα α. Αλ είλαη α<, ζπκβαίλεη δηαζηνιή κε θιίκαθα θαη αλαζηξνθή ηεο πξνθύπηνπζαο γξαθηθήο παξάζηαζεο γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ t. Έηζη, γηα έλα ζήκα x(t), ην ζήκα αx(t) δελ αιιάδεη κνξθή. Αλ από έλαλ ηόπν Α ζηέιλεηαη έλα ζήκα x(t) θαη ζε έλαλ άιινλ ηόπν Β ιακβάλεηαη ην ζήκα αx(t), ε κεηάδνζε ζεσξείηαη ηέιεηα. ηνλ ηόπν πξννξηζκνύ, ν ζπληειεζηήο α κπνξεί λα αιιάμεη κε ηε ρξήζε κηαο δηάηαμεο ελίζρπζεο ή κηαο δηάηαμεο απόζβεζεο. γ) Υξνληθή κεηαηόπηζε. Σώξα ζα δνύκε θαη κηα άιιε «επέκβαζε» ζε έλα ζήκα, ε νπνία δελ αιιάδεη ηε κνξθή ηνπ. Αο ζπγθξίλνπκε ηα ζήκαηα x(t) θαη y(t)=x(t t ), κε t >. Οη ηηκέο πνπ παίξλεη ην ζήκα x(t) ζηελ πεξηνρή ηνπ, δει. γηα t θνληά ζην, ηηο παίξλεη θαη ην ζήκα y(t), αιιά γηα εθείλεο ηηο ηηκέο ηνπ t πνπ θάλνπλ ην όξηζκα t t λα βξίζθεηαη θνληά ζην. Απηέο νη ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t είλαη, θπζηθά, νη ηηκέο γύξσ από ην t. Έηζη, ην ζήκα y(t) ζηελ πεξηνρή ηνπ t είλαη ίδην κε ην ζήκα x(t) ζηελ πεξηνρή ηνπ. Σν ίδην ζπκβαίλεη θαη γηα ηηο άιιεο ηηκέο ηνπ t. Ζ ηηκή πνπ έρεη ην x(t) κηα ρξνληθή ζηηγκή, έζησ t*, είλαη ίδηα κε ηελ ηηκή πνπ έρεη ην y(t) ηε ρξνληθή ζηηγκή t*+t, δηόηη είλαη y(t*+t )=x[(t*+t ) t ]=x(t*). Δπνκέλσο, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=x(t t ) είλαη απηή ηνπ ζήκαηνο x(t) κεηαηνπηζκέλε δεμηά θαηά t. Αθνύ ό,ηη ζπκβαίλεη ζην ζήκα x(t) ζπκβαίλεη θαη ζην ζήκα y(t), αιιά κεηά από ρξόλν t, ην ζήκα y(t) πξνθύπηεη από ην ζήκα x(t) κε θαζπζηέξεζε θαηά ρξόλν t. Έηζη, ε επηβνιή θαζπζηέξεζεο t ζε έλα ζήκα είλαη ηαπηόζεκε κε κεηαθίλεζε ηεο γξαθηθήο ηνπ παξάζηαζεο δεμηά θαηά ρξόλν ίζν κε ηελ θαζπζηέξεζε απηή, ην νπνίν είλαη ηζνδύλακν κε ην λα βάινπκε ζηε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ x(t) ην t t ζηε ζέζε ηνπ t. ην ζήκα z(t)=x(t+t ) κηιάκε γηα ρξνληθή πξνήγεζε ηνπ ζήκαηνο x(t) θαηά t θαη ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε κεηαηνπίδεηαη αξηζηεξά θαηά t. Απηά θαίλνληαη θαη ζην ζρήκα.4 πνπ αθνινπζεί:.4

5 x(t) y(t)=x(t ) z(t)=x(t+5) A A A t 3 4 t t (α) ήκα x(t) (β) Σν ίδην ζήκα x(t) κε θαζπζηέξεζε (γ) Σν ίδην ζήκα x(t) κε πξνήγεζε θαηά ρξνληθέο κνλάδεο θαηά 5 ρξνληθέο κνλάδεο ρ..4 Υξνληθή θαζπζηέξεζε θαη ρξνληθή πξνήγεζε ζήκαηνο. πκπεξαζκαηηθά, αλ από θάπνπ (από ηνλ πνκπό) ζηέιλεηαη ζήκα x(t) θαη θάπνπ αιινύ (ζηνλ δέθηε) ιακβάλεηαη ην ζήκα ax(t t ), ιέκε όηη ε κεηάδνζε γίλεηαη ηέιεηα. ε πξώηε θάζε, δελ καο ελδηαθέξνπλ νη ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο ησλ a θαη t, νύηε θαη νη κνλάδεο-δηαζηάζεηο ηνπο. δ) Υξνληθή αλαζηξνθή. Αο εμεηάζνπκε ηα ζήκαηα x(t) θαη y(t)=x( t). Όπνηα ηηκή παίξλεη ην ζήκα x(t) κηα ρξνληθή ζηηγκή t, ηελ παίξλεη θαη ην ζήκα y(t) αιιά ηελ αληίζεηε ρξνληθή ζηηγκή. Σα αληίζηνηρα ζεκεία ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) είλαη ζπκκεηξηθά σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ (ηνλ άμνλα ησλ ηηκώλ). Έηζη, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) είλαη ζπκκεηξηθή ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο x(t) σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ. Με άιια ιόγηα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=x( t) ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) κε θαηνπηξηζκό ηεο σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ηηκώλ. Καηνπηξηζκόο ζεκαίλεη λα πάξνπκε ην ζπκκεηξηθό ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο x(t) σο πξνο άμνλα ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ. Δίλαη ζαλ λα αιιάδνπκε θνξά ζηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ t. Έλα παξάδεηγκα θαίλεηαη ζην ζρήκα.5 πνπ αθνινπζεί: x( t) A x(t) 3 3 t ρ..5 Υξνληθή αλαζηξνθή ζήκαηνο. ε) πζηνιή / δηαζηνιή θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ. Δίδακε πξνεγνπκέλσο ηη παζαίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ελόο ζήκαηνο x(t), αλ απηό ην πνιιαπιαζηάζνπκε επί κηα πξαγκαηηθή ζηαζεξά a. Γει. είδακε πώο, από ηε γξαθηθή.5

6 παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t), πξνθύπηεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο ax(t). Σώξα ζα δνύκε πώο, από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t), ζα πξνθύςεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t)=x(at), όπνπ a είλαη κία πξαγκαηηθή ζηαζεξά. Γει. είλαη ζαλ λα ιέκε όηη ηώξα ηε ζηαζεξά a από «κπξνζηά» από ην x(t), πνπ ήηαλ ζην ζήκα ax(t), ηελ πεξλάκε κέζα ζηελ παξέλζεζε, «κπξνζηά» από ηε κεηαβιεηή t, θαη ςάρλνπκε λα βξνύκε ηη ζεκαίλεη ε παξνπζία ηεο ζηαζεξάο a σο ζπληειεζηή ηεο ρξνληθήο κεηαβιεηήο t. Ξεθηλάκε ππνζέηνληαο όηη είλαη a>. Σα ζήκαηα x(t) θαη y(t)=x(at) παίξλνπλ ίδηεο ηηκέο, κόλν πνπ ηηο παίξλνπλ ζε δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο. Αθνύ είλαη y(t/a)=x[a (t/a)]=x(t), ηε ρξνληθή ζηηγκή t/a ην ζήκα y(t) παίξλεη ηηκή απηήλ πνπ παίξλεη ην ζήκα x(t) ηε ρξνληθή ζηηγκή t. Απηό ζπκβαίλεη γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ t. Γηα παξάδεηγκα, κε a=, ην ζήκα y(t) παίξλεη ηηκή ίζε κε x(t) ηε ρξνληθή ζηηγκή t/, δει. ζηα κηζά ηνπ ρξόλνπ. Απηά έρνπλ σο απνηέιεζκα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) λα ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) κε ζπζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε ζπληειεζηή a (ππό θιίκαθα a). Έλα παξάδεηγκα δίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα.6: x(t) x(3t) A A 6 t /3 t (α) ήκα x(t) (β) Σν ζήκα y(t)=x(3t) ρ..6 πζηνιή ζήκαηνο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε ζπληειεζηή 3. Σώξα, αο εμεηάζνπκε ην ζήκα z(t)=x(t/a), κε a>. Απηό ην ζήκα παίξλεη ίδηεο ηηκέο κε ην ζήκα x(t) αιιά ζε δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο. Αθνύ είλαη z(at)=x[a (t/a)]=x(t), ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο at ην ζήκα z(t) παίξλεη σο ηηκέο ηηο ηηκέο πνπ παίξλεη ην ζήκα x(t) ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t. Γηα παξάδεηγκα, κε a=, ην ζήκα z(t) παίξλεη ηηκή ίζε κε x(t) ηε ρξνληθή ζηηγκή t, δει. ζηo δηπιάζην ηνπ ρξόλνπ t. Απηά έρνπλ σο απνηέιεζκα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) λα ιακβάλεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) κε δηαζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε ζπληειεζηή a (ππό θιίκαθα a). Έλα παξάδεηγκα δίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα.7:.6

7 x(t) x(t/3) A A /3 t 6 t (α) ήκα x(t) (β) Σν ζήκα y(t)=x(t/3) ρ..7 Γηαζηνιή ζήκαηνο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε ζπληειεζηή 3. Αλ ζην ζήκα x(at) είλαη <a<, απηό ην γξάθνπκε θαη σο x(at)=x[t/(/a)]. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x[t/(/a)] ιακβάλεηαη από απηήλ ηνπ ζήκαηνο x(t) κε δηαζηνιή ηεο θαηά ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε ζπληειεζηή-θιίκαθα b=/a>. Γηα παξάδεηγκα, ην ζήκα x(.5t) γξάθεηαη θαη σο x[t/(/.5)]=x(t/4), νπόηε ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε ιακβάλεηαη από απηήλ ηνπ ζήκαηνο x(t) κε δηαζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα 4. Οκνίσο, αλ ζην ζήκα x(t/a) είλαη <a<, απηό ην «βιέπνπκε» θαη σο x[(/a)t], ηνπ νπνίνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε πξνθύπηεη από απηήλ ηνπ ζήκαηνο x(t) κε ζπζηνιή ηεο θαηά ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε ζπληειεζηήθιίκαθα b=/a>. Γηα παξάδεηγκα, ην ζήκα x(t/.5) γξάθεηαη θαη σο x[t (/.5)]=x(4t), νπόηε ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε ιακβάλεηαη από απηήλ ηνπ ζήκαηνο x(t) κε ζπζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα 4. Παξάδεηγκα: Αλ x(t) είλαη ην πξώην ζήκα πνπ δίλεηαη ζην επόκελν ζρήκα, ζα ζρεδηάζνπκε, ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, ηα εμήο ζήκαηα: y(t)=x( t), z(t)=x(t+), w(t)=x( t+) θαη r(t)=x(.5t+). ) ήκα y(t): To ζήκα x( t) γξάθεηαη σο x[ (t)]. Πξώηα δεκηνπξγνύκε ην ζήκα s(t)=x( t). Σν κπξνζηά από ην t αλαζηξέθεη ην ζήκα x(t) σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ (δεκηνπξγεί ην θαηνπηξηθό ηνπ σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ηηκώλ). Σώξα έρνπκε: x[ (t)]=s(t). Σν κπξνζηά από ην t ζην s(t) έρεη σο απνηέιεζκα ηε ζπζηνιή ηνπ ζήκαηνο s(t) θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα. Γει., ην ζήκα y(t) ιακβάλεηαη από ην ζήκα x(t), πξώηα κε αλαζηξνθή ηνπ γύξσ από ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα (δεκηνπξγία ηνπ ζήκαηνο s(t)=x( t)) θαη ύζηεξα κε ζπζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ησλ ζεκάησλ x(t), s(t) θαη y(t), ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, αθνινπζεί:.7

8 x(t) s(t)=x( t) y(t)=s(t) A A A 3/ 3 t 3 t / t Θα κπνξνύζακε λα δνύκε ηελ «παξαγσγή» ηνπ ζήκαηνο y(t) από ην ζήκα x(t) θαη σο εμήο: To ζήκα x( t) γξάθεηαη σο x[( t)]. Πξώηα δεκηνπξγνύκε ην ζήκα p(t)=x(t). Σν κπξνζηά από ην t έρεη σο απνηέιεζκα ηε ζπζηνιή ηνπ ζήκαηνο x(t) θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα. Έηζη, είλαη y(t)=p( t). Σν κπξνζηά από ην t αλαζηξέθεη ην ζήκα p(t) σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ (δεκηνπξγεί ην θαηνπηξηθό ηνπ σο πξνο ηνλ άμνλα ησλ ηηκώλ). Έηζη, ηώξα, ην ζήκα y(t) ιακβάλεηαη από ην ζήκα x(t) πξώηα κε ζπζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα (δεκηνπξγία ηνπ ζήκαηνο p(t)) θαη, ζηε ζπλέρεηα, κε αλαζηξνθή ηνπ γύξσ από ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα. Φπζηθά, θαη νη δύν δηαδηθαζίεο πνπ πεξηγξάςακε θαηαιήγνπλ ζην ίδην απνηέιεζκα. ) ήκα z(t): To ζήκα z(t)=x(t+) γξάθεηαη σο x[(t+/)]. Σν +/ κεηά ην t ζπλεπάγεηαη ρξνληθή πξνήγεζε ηνπ ζήκαηνο x(t) θαηά /, άξα κεηαθίλεζε ηεο γξαθηθήο ηνπ παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο x(t) αξηζηεξά θαηά /. Σν ζήκα x(t) ιακβάλεηαη από ην ζήκα x(t) κε ζπζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα. Απηό ην ζήκα αο ην πνύκε s(t), δει. s(t)=x(t). ηε ζπλέρεηα, από ην ζήκα s(t) παίξλνπκε ην ζήκα z(t) κε κεηαθίλεζή ηνπ πξνο ηα αξηζηεξά θαηά /. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ησλ ζεκάησλ x(t), s(t) θαη z(t), ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, αθνινπζεί: x(t) s(t)=x(t) z(t)=x(t+) A A A 3 t / 3/ t / t Ξαλά, ζα κπνξνύζακε λα δνύκε ηελ «παξαγσγή» ηνπ ζήκαηνο z(t) από ην ζήκα x(t) θαη σο εμήο: Θέηνπκε p(t)=x(t+). To + ζην ζήκα x(t+) κεηαθηλεί ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) αξηζηεξά θαηά. Δίλαη z(t)=p(t). Δπνκέλσο, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) ιακβάλεηαη από απηήλ ηνπ ζήκαηνο p(t) κε ζπζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα. Έηζη, ην ζήκα z(t) ιακβάλεηαη από ην ζήκα x(t) πξώηα κε κεηαηόπηζή ηνπ αξηζηεξά θαηά θαη, ζηε.8

9 ζπλέρεηα, κε ζπζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα. Κάληε εζείο ηα ζρήκαηα γηα λα ηα δείηε. Βιέπνπκε παξαπάλσ όηη κπνξνύκε λα ζρεδηάζνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) είηε πξώηα κε ζπζηνιή θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα θαη κεηά κε κεηαθίλεζε πξνο ηα αξηζηεξά θαηά /, είηε πξώηα κε κεηαθίλεζε πξνο ηα αξηζηεξά θαηά θαη ύζηεξα κε ζπζηνιή θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα. 3) ήκα w(t): To ζήκα w(t)=x( t+) ιακβάλεηαη από ην ζήκα z(t) αλ ζηε ζέζε ηνπ t βάινπκε t, δει. αλ ην αλαζηξέςνπκε γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ηηκώλ. Έηζη, παίξλνπκε ηελ παξαθάησ εηθόλα ηνπ ζήκαηνο w(t): A w(t)=x( t+) / t Θα κπνξνύζακε λα ζρεδηάζνπκε ην ζήκα w(t) μεθηλώληαο από ηελ αξρή κε ην ζήκα x(t), ρσξίο λα έρνπκε ππ όςε καο ην ζήκα z(t), σο εμήο: Σν ζήκα w(t)=x( t+) γξάθεηαη σο w(t)=x{[( t)]+}. Κηλνύκελνη κέζα ζηηο παξελζέζεηο από «έμσ πξνο ηα κέζα», πξώηα ζπλαληάκε ην +. Έηζη, από ην αξρηθό ζήκα x(t) πξνθύπηεη ην ζήκα p(t)=x(t+) πνπ έρεη γξαθηθή παξάζηαζε απηήλ ηνπ ζήκαηνο x(t) κεηαηνπηζκέλε αξηζηεξά θαηά. ηε ζπλέρεηα, βάδνληαο t ζηε ζέζε ηνπ t, παίξλνπκε ην ζήκα q(t)=p(t)=x(t+), ηνπ νπνίνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε βξίζθεηαη από απηήλ ηνπ ζήκαηνο p(t) κε ζπζηνιή ηεο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα. Σέινο, βάδνληαο t ζηε ζέζε ηνπ t, παίξλνπκε ην ζήκα q( t)=x( t+), ηνπ νπνίνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε βξίζθεηαη από απηήλ ηνπ ζήκαηνο q(t) κε αλαζηξνθή (θαηνπηξηζκό) γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ (ησλ ηηκώλ). Έηζη, παίξλνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο w(t). H παξαπάλσ δηαδνρή κεηαηξνπώλ ησλ ζεκάησλ, πνπ από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) δίλεη ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο w(t), δελ είλαη κνλνζήκαληε. Μπνξνύκε λα βξνύκε θαη άιιε ή άιιεο δηαδνρέο κεηαηξνπώλ πνπ καο νδεγνύλ από ην ζήκα x(t) ζην ζήκα w(t), αλάινγα κε ην πώο ζα ζεσξήζνπκε όηη από ην t παίξλνπκε ην t+. Παξαπάλσ γξάςακε t+=[( t)]+. Μπνξνύζακε λα γξάςνπκε θαη t+= [(t /)]. Πεγαίλνληαο πάιη από «έμσ πξνο ηα κέζα» ζηελ έθθξαζε [(t /)], πξώηα ζπλαληάκε ην, πνπ ζπλεπάγεηαη αλαζηξνθή γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ, κεηά ζπλαληάκε ην, πνπ ζπλεπάγεηαη ζπζηνιή θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα θαη κεηά ην /, πνπ ζπλεπάγεηαη ρξνληθή θαζπζηέξεζε θαηά /, άξα κεηαθίλεζε δεμηά θαηά /. Ωο άζθεζε, ζρεδηάζηε ηα ζήκαηα, ζηα νπνία νδεγνύλ απηέο νη κεηαηξνπέο (δει. πξώηα ε αλαζηξνθή γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ, κεηά ε ζπζηνιή θαη κεηά ε δεμηά.9

10 κεηαθίλεζε) θαη δείηε όηη έηζη θζάλνπκε ζηελ ίδηα κε πξνεγνπκέλσο γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο w(t). 4) ήκα r(t): Μηα ιύζε είλαη ε εμήο: To ζήκα r(t)=x(.5t+) ην γξάθνπκε σο r(t)=x{[( t)/]+}. Έηζη, μεθηλάκε κε αξηζηεξή κεηαηόπηζε ηνπ ζήκαηνο x(t) θαηά (παίξλνπκε ην ζήκα x{t+}), ζπλερίδνπκε κε δηαζηνιή ηνπ πξνθύπηνληνο ζήκαηνο θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε θιίκαθα (παίξλνπκε ην ζήκα x{[t/]+}) θαη ηειεηώλνπκε θάλνληαο ζην ζήκα πνπ πξνθύπηεη αλαζηξνθή γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ (παίξλνπκε ην ζήκα x{[( t)/]+}=r(t). ρεδηάζηε εζείο ην ζήκα r(t) ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ. ζη) Φαιηδηζκόο: Τπάξρνπλ δηαηάμεηο (θπξίσο ειεθηξνληθέο), νη νπνίεο δέρνληαη ζηελ είζνδό ηνπο έλα ζήκα x(t) θαη ζηελ έμνδό ηνπο δίλνπλ έλα ζήκα y(t), ην νπνίν πξνθύπηεη από ην ζήκα x(t) σο εμήο: Αλ, κηα ρξνληθή ζηηγκή t, ην ζήκα x(t) έρεη ηηκή ηέηνηα ώζηε λα είλαη Β x(t) Α, όπνπ Α θαη Β είλαη πξνθαζνξηζκέλεο ηηκέοζηάζκεο, ηόηε είλαη y(t)=x(t). Αλ είλαη x(t)>α, ηόηε είλαη y(t)=a θαη, αλ είλαη x(t)<b, ηόηε είλαη y(t)=b. Γει. ε δηάηαμή καο πεξλάεη ζηελ έμνδό ηεο άζηθηεο όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ πνπ είλαη κεηαμύ Α θαη Β, όζεο ηηκέο είλαη πάλσ από Α, ηηο αληηθαζηζηά κε ηελ ηηκή Α θαη, όζεο ηηκέο είλαη θάησ από Β, ηηο αληηθαζηζηά κε ηελ ηηκή Β. Οη ηηκέο Α θαη Β απνηεινύλ ηηο ζηάζκεο ςαιηδηζκνύ. Δλδερνκέλσο, θάπνηα από ηηο ζηάζκεο ςαιηδηζκνύ Α θαη Β λα είλαη κεδεληθή. Σν παξαθάησ ζρήκα.8 δείρλεη ηε δηαδηθαζία ςαιηδηζκνύ ελόο πξηνλσηνύ ζήκαηνο. α t x(t) t β t t Αξρηθό ζήκα x(t) y(t) α A Β β t ρ..8 Σν ζήκα x(t) ςαιηδηζκέλν ζηηο ζηάζκεο Α θαη Β..

11 δ) Αλόξζσζε: Τπάξρεη ε απιή αλόξζσζε (εκηαλόξζσζε) θαη ε πιήξεο αλόξζσζε. ηελ απιή αλόξζσζε, όζεο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ κηαο δηάηαμεο, πνπ θάλεη απιή αλόξζσζε, είλαη ζεηηθέο, πεξλάλε άζηθηεο ζηελ έμνδν ηεο δηάηαμεο θαη, όζεο ηηκέο είλαη αξλεηηθέο, κεδελίδνληαη («θόβνληαη»). Δίλαη ζαλ νη ζεηηθέο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ λα πνιιαπιαζηάδνληαη επί + θαη νη αξλεηηθέο επί θαη λα δίλνπλ ην εκηαλνξζσκέλν ζήκα y(t).. Μηα δηάηαμε απιήο αλόξζσζεο ηζνδπλακεί κε κηα δηάηαμε ςαιηδηζκνύ κε ζηάζκεο ςαιηδηζκνύ ηηο Α=+ θαη Β=. ηελ πιήξε αλόξζσζε, νη ζεηηθέο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ ηεο δηάηαμεο πιήξνπο αλόξζσζεο πεξλάλε άζηθηεο ζηελ έμνδό ηεο θαη, γηα ηηο αξλεηηθέο ηηκέο, πεξλάλε ζηελ έμνδν νη αληίζηνηρεο ζεηηθέο, δει. ζηελ έμνδν πεξλάλε νη απόιπηεο ηηκέο ησλ ηηκώλ ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ. Δίλαη ζαλ νη ζεηηθέο ηηκέο ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ λα πνιιαπιαζηάδνληαη επί + θαη νη αξλεηηθέο επί. Γει., ην πιήξσο αλνξζσκέλν ζήκα z(t) ηζνύηαη κε ηελ απόιπηε ηηκή ηνπ. ην παξαθάησ ζρήκα.9 θαίλεηαη ην πξηνλσηό ζήκα x(t) ηεο πξνεγνύκελεο παξαγξάθνπ θαη ην ίδην ζήκα, αθνύ απηό ππνζηεί απιή θαη πιήξε αλόξζσζε. α x(t) t β (α) Αξρηθό ζήκα x(t) y(t) α β t (β) Σν ζήκα x(t) κε απιή αλόξζσζε (ζπλερήο γξακκή).

12 z(t) α β t (γ) Σν ζήκα x(t) κε πιήξε αλόξζσζε (ζπλερήο γξακκή) ρ..9 Ζ απιή (β) θαη ε πιήξεο αλόξζσζε (γ) ηνπ ζήκαηνο (α). ε) Παξαγώγηζε: Αλ έρνπκε έλα ζήκα x(t), από απηό κπνξνύκε λα δεκηνπξγήζνπκε έλα άιιν ζήκα y(t) παξαγσγίδνληάο ην, δει. κπνξνύκε λα δεκηνπξγήζνπκε ην ζήκα Κάζε ρξνληθή ζηηγκή t, ην ζήκα y(t) έρεη σο ηηκή ηελ ηηκή ηεο παξαγώγνπ ηνπ ζήκαηνο x(t) ηελ ελ ιόγσ ρξνληθή ζηηγκή. ην Παξάξηεκα «Παξάξηεκα Α. Υξήζηκεο γλώζεηο από ηα Μαζεκαηηθά» γίλεηαη κηα αξθεηά εθηελήο αλαζθόπεζε ηνπ αληηθεηκέλνπ όισλ ησλ Μαζεκαηηθώλ πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζην βηβιίν, κεηαμύ ησλ νπνίσλ θαη ησλ παξαγώγσλ ησλ ζπλαξηήζεσλ. αο ζπληζηνύκε, πξηλ πξνρσξήζεηε παξαθάησ, λα κειεηήζεηε ην ελ ιόγσ Παξάξηεκα. Αλ ην ζήκα x(t) είλαη ίζν κε 3e t, ην ζήκα y(t)= είλαη ίζν κε 3 e t =6e t, αλ ην ζήκα x(t) είλαη ίζν κε εκ(π5t+π/3), ην ζήκα y(t) είλαη ίζν κε π5ζπλ(π5t+π/3)=πζπλ(π5t+π/3) θ.ιπ. Γηα εθζεηηθά θαη γηα εκηηνληθά ζήκαηα κηιάκε ζηε ζπλέρεηα ηνπ παξόληνο Κεθαιαίνπ. Δίλαη γλσζηό από ηα Μαζεκαηηθά όηη ε παξάγσγνο κηαο ζπλάξηεζεο ζε κηα ζέζε (δει. γηα κηα ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο) είλαη ίζε κε ηελ θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπο ζπλάξηεζεο ζηελ ελ ιόγσ ζέζε. Έηζη, αλ έρνπκε κόλν ηε γξαθηθή παξάζηαζε ελόο ζήκαηνο θαη όρη ηε καζεκαηηθή ηνπ έθθξαζε ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ t, κπνξνύκε ρνλδξηθά λα ζρεδηάζνπκε ηελ παξάγσγό ηνπ σο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ, αλ, γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή, ππνινγίζνπκε γξαθηθά ηελ θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο, ηελ ελ ιόγσ ρξνληθή ζηηγκή. αο ππελζπκίδνπκε όηη, εδώ πνπ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή είλαη ν ρξόλνο t, ε θιίζε κηαο επζείαο είλαη ε εθαπηνκέλε ηεο γσλίαο θαηά ηελ νπνία πξέπεη λα ζηξαθεί ν ζεηηθόο εκηάμνλαο ησλ ρξόλσλ t, κέρξηο απηόο λα πέζεη πάλσ ζηελ επζεία ή λα γίλεη παξάιιεινο κε ηελ επζεία. Ζ παξάγσγνο ελόο ζηαζεξνύ κε ηνλ ρξόλν ζήκαηνο είλαη ίζε κε (κεδεληθό ζήκα), ελόο ζήκαηνο ηεο κνξθήο αt+β (ζήκαηνο πνπ κεηαβάιιεηαη γξακκηθά κε ηνλ ρξόλν) είλαη ίζε κε α (ζηαζεξό ζήκα), ελόο ζήκαηνο ηεο κνξθήο αt +βt+γ (ζήκαηνο πνπ κεηαβάιιεηαη παξαβνιηθά κε ηνλ ρξόλν) είλαη ίζε κε αt+β (ζήκα πνπ κεηαβάιιεηαη γξακκηθά κε ηνλ ρξόλν) θ.ιπ. Ζ παξάγσγνο ελόο εκηηνληθνύ ζήκαηνο.

13 ηεο κνξθήο αεκ(πft+θ) είλαη επίζεο εκηηνληθό ζήκα (είλαη ην ζήκα παfζπλ(πft+θ)), ε παξάγσγνο ελόο εθζεηηθνύ ζήκαηνο ηεο κνξθήο αe βt είλαη επίζεο εθζεηηθό ζήκα ίδηαο κνξθήο (είλαη ην ζήκα αβe βt ) θ.ιπ. ην παξαθάησ ζρήκα δίλνπκε δύν ζήκαηα θαη ηα ζήκαηα-παξαγώγνπο απηώλ. y(t)=t x(t) t t (α) (β) y (t)=t x (t) t t (γ) (δ) ρ.. Γύν ζήκαηα x(t) θαη y(t) θαη νη παξάγσγνη απηώλ. Σν ζήκα x(t), πνπ θαίλεηαη ζην ζρήκα.(α), ζηα δηαζηήκαηα t<, <t< θαη t> παίξλεη ζηαζεξέο ηηκέο (, θαη, αληίζηνηρα). Δπνκέλσο, ζε απηά ηα δηαζηήκαηα, ε παξάγσγόο ηνπ έρεη κεδεληθή ηηκή. ην δηάζηεκα <t< ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) είλαη επζεία γξακκή πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνλ ζεηηθό εκηάμνλα ησλ ρξόλσλ γσλία π/4 (45 ν ) θαη ζην δηάζηεκα <t< ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) είλαη επζεία γξακκή πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνλ ζεηηθό εκηάμνλα ησλ ρξόλσλ γσλία π/4 ( 45 ν ). Ζ εθαπηνκέλε ζε κηα επζεία είλαη ε ίδηα ε επζεία. Έηζη, ε παξάγσγνο ηνπ ζήκαηνο x(t) ζην δηάζηεκα <t< είλαη ίζε κε εθ(π/4)= θαη ζην δηάζηεκα <t< είλαη ίζε κε εθ( π/4)=. Από απηά πξνθύπηεη ακέζσο ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x (t) πνπ δίλεηαη ζην ζρ..(γ). Γηα ην ζήκα y(t)=t, πνπ θαίλεηαη ζην ζρήκα.(β), ε παξάγσγόο ηνπ είλαη ίζε κε t θαη απηήο ε γξαθηθή παξάζηαζε δίλεηαη ζην ζρήκα.(δ). Απηή είλαη.3

14 επζεία γξακκή πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη έρεη θιίζε ίζε κε ηνλ ζπληειεζηή ηνπ t. ζ) Οινθιήξσζε: Αλ έρνπκε έλα ζήκα x(t), από απηό κπνξνύκε λα δεκηνπξγήζνπκε έλα άιιν ζήκα y(t), νινθιεξώλνληάο ην. Δδώ πξέπεη λα είκαζηε πξνζεθηηθνί. Όπσο ιέκε θαη ζην Παξάξηεκα Α, αόξηζην νινθιήξσκα κηαο ζπλάξηεζεο f(t) είλαη κηα άιιε ζπλάξηεζε F(t), ηεο νπνίαο ε παξάγσγνο είλαη ίζε κε f(t), δει. είλαη F (t)=f(t). Ο ζρεηηθόο ζπκβνιηζκόο είλαη F(t)=. Παξάγσγν ίζε κε f(t) έρεη θαη ε ζπλάξηεζε F(t)+c, όπνπ c είλαη κηα ζηαζεξά, αθνύ ε παξάγσγνο κηαο ζηαζεξάο έρεη κεδεληθή ηηκή. Έηζη, ζε αληίζεζε κε ηελ παξάγσγν, ην νινθιήξσκα κηαο ζπλάξηεζεο δελ είλαη κνλνζήκαληα νξηζκέλν, αθνύ, όπνηα ηηκή θαη λα δώζνπκε ζηε ζηαζεξά c, ε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο F(t)+c είλαη πάληα ίζε κε f(t). Αλ καο δίλεηαη ή γλσξίδνπκε ηελ ηηκή A ηνπ αόξηζηνπ νινθιεξώκαηνο F(t)+c γηα θάπνην t=t, δει. αλ είλαη Α=F(t )+c, έρνπκε c=α F(t ). Έηζη, ηόηε, ην αόξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο f(t) είλαη ίζν κε F(t)+Α F(t ). ηα ζήκαηα νξίδνπκε ην ζήκα-νινθιήξσκα ελόο ζήκαηνο x(t) ιίγν δηαθνξεηηθά, κέζσ ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκαηνο. Οξηζκέλν νινθιήξσκα ελόο ζήκαηνο x(t) ζην δηάζηεκα (α, β) είλαη ε ηηκή ηνπ πξνζεκαζκέλνπ εκβαδνύ Δ ηνπ επηπέδνπ ρσξίνπ πνπ δεκηνπξγεί ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) κε ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ t, από ηε ζέζε t=α κέρξη ηε ζέζε t=β. Ο αληίζηνηρνο ζπκβνιηζκόο είλαη Δ=. Όπσο ιέκε θαη ζην Παξάξηεκα Α, αλ X(t) είλαη (έλα) αόξηζην νινθιήξσκα ηνπ ζήκαηνο x(t), ηζρύεη ε ζρέζε X(β) X(α)=. Δδώ, αλ αιιάμνπκε ηνλ ζπκβνιηζκό θαη βάινπκε η ζηε ζέζε ηνπ t θαη t ζηε ζέζε ηνπ β, ζα πάξνπκε X(t) X(α)=, ήηνη X(t)= +Υ(α). Καη απηόλ ηνλ ηξόπν, εθθξάζακε ην αόξηζην νινθιήξσκα X(t) ηνπ ζήκαηνο x(t) ζπλαξηήζεη ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκαηνο θαη ηνπ Υ(α). ην Υ(α) κπνξνύκε λα δώζνπκε νπνηαδήπνηε ηηκή ζέινπκε, κηαο θαη ζην X(t) κπνξνύκε λα πξνζζέζνπκε κηα ηπραία ζηαζεξά c. Δκείο, σο ζήκα-νινθιήξσκα ηνπ ζήκαηνο x(t) ζα ζεσξνύκε ην ζήκα. Ωο ζεκείν α έλαξμεο ηεο νινθιήξσζεο κπνξεί λα ιεθζεί νπνηνδήπνηε ζεκείν ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ. Γηα ηα ζήκαηα πνπ ηείλνπλ ζην, θαζώο ν ρξόλνο t ηείλεη ζην, θαηάιιειν ζεκείν α είλαη ην. Γει. ην ζήκανινθιήξσκα ελόο ηέηνηνπ ζήκαηνο x(t) είλαη ην ζήκα. Ζ ηηκή ηνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t είλαη ίζε κε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(η) κε ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ ζην δηάζηεκα από η=, κέρξη η=t. ην ζρήκα πνπ αθνινπζεί, δίλνπκε δύν ζήκαηα x(t) θαη y(t) θαη ηα ζήκαηανινθιεξώκαηα απηώλ z(t)= θαη w(t)=..4

15 x(t) y(t) t t (α) (β) z(t) w(t) t t (γ) (δ) ρ.. Γύν ζήκαηα x(t) θαη y(t) θαη ηα νινθιεξώκαηα απηώλ z(t)= θαη w(t)=. Σν ζήκα x(t), πνπ θαίλεηαη ζην ζρήκα.(α), είλαη ζπλερήο ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t, δει., θαζώο απηό κεηαβάιιεηαη κε ηνλ ρξόλν, δελ εκθαλίδεη άικαηα ζηηο ηηκέο πνπ παίξλεη. ηo δηάζηεκα t θαη ζην δηάζηεκα t, παίξλεη κεδεληθή ηηκή. ην δηάζηεκα t, κεηαβάιιεηαη γξακκηθά κε ηνλ ρξόλν, επνκέλσο έρεη καζεκαηηθή έθθξαζε ηεο κνξθήο x(t)=αt+β. Από ηηο ζπλζήθεο x( )= θαη x( )=, δει. από ηηο ζρέζεηο α+β= θαη α+β=, πξνθύπηεη όηη είλαη α= θαη β=. Έηζη, ζην δηάζηεκα t έρνπκε x(t)=t+. ην δηάζηεκα t, έρνπκε x(t)=. Σέινο, ζην δηάζηεκα t, ην ζήκα x(t) κεηαβάιιεηαη πάιη γξακκηθά κε ηνλ ρξόλν. Έρεη εμίζσζε ηεο κνξθήο x(t)=αt+β θαη, από ηηο ζπλζήθεο x()= θαη x()=, δει. ηηο ζρέζεηο α+β= θαη α+β=, πξνθύπηεη όηη είλαη α= θαη β=. Έηζη, ζην δηάζηεκα t, έρνπκε x(t)= t+. Γηα ηα δηαρσξηζηηθά ζεκεία κεηαμύ δύν γεηηνληθώλ δηαζηεκάησλ, κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα ην x(t) όπνηα ζέινπκε από ηηο εθθξάζεηο πνπ απηό έρεη ζηα δύν γεηηνληθά δηαζηήκαηα..5

16 Αθνύ ην ζήκα x(t), ζηo δηάζηεκα t, παίξλεη κεδεληθή ηηκή, ην ζήκα z(t)= παίξλεη επίζεο κεδεληθή ηηκή (δελ ππάξρεη εκβαδόλ ρσξίνπ αλάκεζα ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) θαη ζηνλ άμνλα ησλ t, από ηνλ ρξόλν κέρξη ηνλ ρξόλν t). ην δηάζηεκα (, ), έρνπκε x(t)=t+, νπόηε είλαη z(t)= +c = =t /+t+c. Γλσξίδνπκε όηη είλαη z( )=, νπόηε έρνπκε θαη ( ) /+( )+c=, ήηνη c=. Έηζη, ζην δηάζηεκα (, ) είλαη z(t)=t /+t+ θαη ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε είλαη παξαβνιή πνπ ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα πάλσ. Ξεθηλάεη από ην ζεκείν (, ) θαη θαηαιήγεη ζην ζεκείν (,.5), αθνύ είλαη z( )=( ) /+( )+=.5. ην δηάζηεκα (, ), έρνπκε x(t)=, νπόηε είλαη z(t)= +c=t+c. Γλσξίδνπκε όηη είλαη z( )=.5, νπόηε έρνπκε θαη +c=.5, ήηνη c=.5. Έηζη, ζην δηάζηεκα (, ), είλαη z(t)=t+.5 θαη ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε είλαη επζεία γξακκή πνπ μεθηλάεη από ην ζεκείν (,.5) θαη θαηαιήγεη ζην ζεκείν (,.5), αθνύ είλαη z()=+.5=.5. Δπίζεο, ζηo δηάζηεκα t, έρνπκε x(t)= t+, νπόηε είλαη z(t)= +c= + + = t /+t+c. Γλσξίδνπκε όηη είλαη z()=.5, νπόηε έρνπκε θαη /+ +c=.5, ήηνη c=. Έηζη, ζην δηάζηεκα (, ), είλαη z(t)= t /+t+ θαη ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε είλαη παξαβνιή πνπ ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα θάησ. Ξεθηλάεη από ην ζεκείν (,.5) θαη θαηαιήγεη ζην ζεκείν (, 3), αθνύ είλαη z()= /+ +=3. Σέινο, ζην δηάζηεκα t, είλαη x(t)=, νπόηε ην ζήκα z(t) είλαη ζηαζεξό, κε ηηκή απηήλ πνπ παίξλεη γηα t= θαη πνπ βξήθακε όηη είλαη ίζε κε 3. Δπνκέλσο, ζε απηό ην δηάζηεκα, είλαη z(t)=3. Ύζηεξα από ηα παξαπάλσ, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t)= είλαη εύθνιν λα ζρεδηαζηεί θαη θαίλεηαη ζην ζρήκα.(γ). w(t)= Σν ζήκα y(t) έρεη κεδεληθή ηηκή, γηα t<, θαη ηηκή, γηα t. Γηα t<, είλαη =, αθνύ ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) θαη ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ, από ηνλ ρξόλν κέρξη ηνλ ρξόλν t, είλαη κεδεληθό. Γηα t, είλαη y(t)=, νπόηε έρνπκε w(t)= +c=t+c. Γλσξίδνπκε όηη είλαη w()=, νπόηε έρνπκε θαη +c=, ήηνη c=. Έηζη, ζην δηάζηεκα t, είλαη w(t)=t θαη ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε είλαη επζεία κε θιίζε 45 ν. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο w(t) είλαη εύθνιν λα γίλεη θαη θαίλεηαη ζην ζρήκα.(δ). η) Πξάμεηο κεηαμύ δύν ή πεξηζζόηεξσλ ζεκάησλ: η) Πξόζζεζε δύν ζεκάησλ: Σν ζήκα z(t)=x(t)+y(t) έρεη, θάζε ρξνληθή ζηηγκή t, ηηκή ίζε κε ην άζξνηζκα ησλ ηηκώλ ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t). Γηα λα ζρεκαηίζνπκε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) ζην πεδίν ηνπ ρξόλνπ, ζε θάζε ζεκείν ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t ζεκεηώλνπκε ην ζεκείν πνπ έρεη ηεηαγκέλε ίζε.6

17 κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηαγκέλσλ ησλ αληίζηνηρσλ ζεκείσλ ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t). Γει., πξνζζέηνπκε ηα πξνζεκαζκέλα «ύςε» ησλ αληίζηνηρσλ ζεκείσλ ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) θαη ζην ζεκείν t παίξλνπκε «ύςνο» ίζν κε ην πξνζεκαζκέλν άζξνηζκά ηνπο. Καη απηόλ ηνλ ηξόπν, πξνθύπηεη έλα ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο x(t)+y(t). ην παξαθάησ ζρήκα., δείρλνπκε ην άζξνηζκα δύν ζεκάησλ, νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ νπνίσλ απνηεινύληαη, γηα δηθή καο δηεπθόιπλζε, από επζύγξακκα ηκήκαηα. x(t) 3 4 t y(t) 3 t z(t)=x(t)+y(t) 4 3, t ρ.. Πξόζζεζε δύν ζεκάησλ. Αο εμεγήζνπκε πώο πξνέθπςε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t)=x(t)+y(t): Γηα t< θαη γηα t>4, θαη ηα δύν ζήκαηα x(t) θαη y(t) είλαη κεδεληθά, νπόηε είλαη θαη z(t)=. Γηα t ζην δηάζηεκα (, ), ην ζήκα y(t) έρεη ζηαζεξή ηηκή, ίζε κε. Απηή πξνζηίζεηαη ζην ζήκα x(t) θαη «αλεβάδεη» ηε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε.7

18 θαηά. Έηζη, ζε απηό ην δηάζηεκα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) είλαη κηα επζεία γξακκή πνπ ζπλδέεη ηα ζεκεία (, ) θαη (, 3). Γηα t ζην δηάζηεκα (, ), ην ζήκα x(t) έρεη ζηαζεξή ηηκή, ίζε κε, ε νπνία πξνζηίζεηαη ζην ζήκα y(t) θαη «αλεβάδεη» ηελ ηηκή ηνπ θαηά. Έηζη, ζε απηό ην δηάζηεκα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) είλαη επζεία γξακκή, ε νπνία μεθηλάεη από ην ζεκείν (, 3) θαη θαηαιήγεη ζην ζεκείν (, 4). Γηα t ζην δηάζηεκα (, 3), θαλέλα από ηα ζήκαηα x(t) θαη y(t) δελ έρεη ζηαζεξή ηηκή. Όκσο, θαη ησλ δύν ζεκάησλ νη καζεκαηηθέο εθθξάζεηο είλαη ζπλαξηήζεηο πξώηνπ βαζκνύ σο πξνο t, αθνύ νη γξαθηθέο ηνπο παξαζηάζεηο είλαη επζείεο γξακκέο. πλάξηεζε πξώηνπ βαζκνύ ζα είλαη θαη ε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ ζήκαηνο-αζξνίζκαηνο z(t). Δπνκέλσο, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) είλαη επζεία γξακκή πνπ μεθηλάεη από ην ζεκείν (, 4). Γηα λα βξνύκε ην ζεκείν, ζην νπνίν θαηαιήγεη, πξέπεη πξνεγνπκέλσο λα βξνύκε ηελ ηηκή ηνπ ζήκαηνο x(t) ηε ρξνληθή ζηηγκή t=3, δει. λα βξνύκε ην x(3). Απηό ην θάλνπκε «γεσκεηξηθά» αμηνπνηώληαο ηελ νκνηόηεηα θάπνησλ ηξηγώλσλ ή, θαιύηεξα, κε ην λα βξνύκε πξώηα ηε καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) γηα t κεηαμύ θαη 4. Δπεηδή ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο x(t) ζε απηό ην δηάζηεκα είλαη επζεία γξακκή, ε δεηνύκελε καζεκαηηθή έθθξαζε είλαη ζπλάξηεζε πξώηνπ βαζκνύ σο πξνο t, ήηνη είλαη x(t)=αt+β. Αθνύ απηή ε επζεία πεξλάεη από ην ζεκείν (, ), είλαη =α +β. Δπίζεο, αθνύ απηή ε επζεία πεξλάεη από ην ζεκείν (4, ), είλαη =α 4+β. Λύλνπκε ην ζύζηεκα ησλ δύν εμηζώζεσλ θαη βξίζθνπκε α= /3 θαη β=8/3. Δπνκέλσο, είλαη x(t)=( /3)t+(8/3), νπόηε έρνπκε x(3)=( /3)3+(8/3)=/3,67 θαη z(3)=,67+=,67. Έηζη, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) πεξλάεη από ην ζεκείν (3,.67). Σέινο, ζην δηάζηεκα (3, 4) ην ζήκα y(t) έρεη κεδεληθή ηηκή, νπόηε, ζε απηό ην δηάζηεκα, είλαη z(t)=x(t)+=x(t). Δίλαη x(4)=, νπόηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) θαηαιήγεη ζην ζεκείν (4, ). πλδπαζκόο ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ ελόο ζήκαηνο επί κηα ζηαζεξά θαη ηεο πξόζζεζεο δύν ζεκάησλ είλαη ε δεκηνπξγία θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t)=αx(t)+βy(t). To ζήκα z(t) νλνκάδεηαη γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t). Μπνξνύκε λα δεκηνπξγήζνπκε ηνλ γξακκηθό ζπλδπαζκό ηξηώλ ή πεξηζζόηεξσλ ζεκάησλ, πνιιαπιαζηάδνληαο θαζέλα από ηα ζήκαηα επί κηα αληίζηνηρε ζηαζεξά θαη πξνζζέηνληαο ηα γηλόκελα. Οη ζηαζεξέο είλαη, γεληθά, δηαθνξεηηθέο κεηαμύ ηνπο. η) Πνιιαπιαζηαζκόο δύν ζεκάησλ: Σν ζήκα z(t)=x(t) y(t) έρεη θάζε ρξνληθή ζηηγκή t ηηκή ίζε κε ην γηλόκελν ησλ ηηκώλ ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t). Δδώ, ή ζεσξνύκε όηη νη ηηκέο ησλ ζεκάησλ καο είλαη θαζαξνί αξηζκνί ή αγλννύκε ην δήηεκα ηεο ζπλέπεηαο ησλ κνλάδσλ κέηξεζεο ησλ ζεκάησλ κεηαμύ ηνπο. Γηα παξάδεηγκα, αλ ηα ζήκαηα x(t) θαη y(t) είλαη ζήκαηα ηάζεο, ε δηάηαμε πνπ ηα πνιιαπιαζηάδεη κπνξεί λα δίλεη ζηελ έμνδό ηεο ζήκα ηάζεο. Γει., ην ζήκα z(t) ζα είλαη ζήκα ηάζεο, ελώ ην γηλόκελν ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) πξέπεη λα είλαη ζήκα ηάζεο ζην ηεηξάγσλν. Γηα ηνπο παξαπάλσ ιόγνπο, ζην ππόινηπν ηνπ βηβιίνπ ζα αγλννύκε ην δήηεκα ησλ.8

19 δηαζηάζεσλ θαη ησλ κνλάδσλ κέηξεζεο ησλ ζεκάησλ (εθηόο, θπζηθά, αλ από ην πξόβιεκά καο επηβάιιεηαη λα κελ αγλνεζεί ην ελ ιόγσ δήηεκα, νπόηε ζα πξέπεη λα είκαζηε πνιύ πξνζεθηηθνί). Δηδηθή πεξίπησζε ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ δύν ζεκάησλ είλαη ε ύςσζε ελόο ζήκαηνο ζην ηεηξάγσλν, νπόηε παίξλνπκε ην ζήκα y(t)=x (t), θαη, γεληθά-επαγσγηθά, ε ύςσζε ελόο ζήκαηνο ζε νπνηαδήπνηε αθέξαηε ζεηηθή δύλακε. Ωο παξάδεηγκα πνιιαπιαζηαζκνύ δύν ζεκάησλ, δίλνπκε ζην επόκελν ζρήκα ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ γηλνκέλνπ z(t)=x(t) y(t) ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) ηνπ πξνεγνύκελνπ παξαδείγκαηνο. x(t) 3 4 t y(t) 3 t z(t)=x(t)y(t) 4 3 t ρ..3 Πνιιαπιαζηαζκόο δύν ζεκάησλ. Δμήγεζε ηνπ ζρήκαηνο:.9

20 Γηα t< θαη γηα t>3, έλα ή θαη ηα δύν ζήκαηα είλαη κεδεληθά, νπόηε είλαη θαη z(t)=. Γηα t ζην δηάζηεκα (, ), ην ζήκα y(t) έρεη ζηαζεξή ηηκή, ίζε κε. Δπνκέλσο, ζε απηό ην δηάζηεκα, είλαη z(t)=x(t) θαη έηζη, ζε απηό ην δηάζηεκα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) είλαη επζεία γξακκή πνπ ζπλδέεη ηα ζεκεία (, ) θαη (,). Γηα t ζην δηάζηεκα (, ), ην ζήκα x(t) έρεη ζηαζεξή ηηκή, ίζε κε, ε νπνία πνιιαπιαζηάδεη ην ζήκα y(t) θαη δίλεη z(t)=y(t). Έηζη, ζε απηό ην δηάζηεκα, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) είλαη επζεία γξακκή, ε νπνία μεθηλάεη από ην ζεκείν (, ) θαη θαηαιήγεη ζην ζεκείν (, 4). Δπεηδή απηό ην ηκήκα ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο z(t) θαη ην ακέζσο πξνεγνύκελό ηνπ έρνπλ ίδηα θιίζε (ίζε κε :=), απηά ηα δύν ηκήκαηα ζπληζηνύλ έλα εληαίν επζύγξακκν ηκήκα πνπ μεθηλά από ην ζεκείν (, ) θαη θαηαιήγεη ζην ζεκείν (, 4). Γηα t ζην δηάζηεκα (, 3), θαλέλα από ηα ζήκαηα x(t) θαη y(t) δελ έρεη ζηαζεξή ηηκή. Όκσο, θαη ησλ δύν ζεκάησλ νη καζεκαηηθέο εθθξάζεηο είλαη ζπλαξηήζεηο πξώηνπ βαζκνύ σο πξνο t, αθνύ νη γξαθηθέο ηνπο παξαζηάζεηο είλαη επζείεο γξακκέο. Δπνκέλσο, ην ζήκα-γηλόκελν z(t) ζα είλαη ζπλάξηεζε δεπηέξνπ βαζκνύ σο πξνο t, νπόηε ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε ζα είλαη παξαβνιή. Απηή ζα μεθηλάεη από ην ζεκείν (, 4) θαη ζα θαηαιήγεη ζην ζεκείν (3, ). Μέλεη λα δνύκε αλ απηή ζα ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα πάλσ ή πξνο ηα θάησ. ην δηάζηεκα (, 3) νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο θαη ησλ δύν ζεκάησλ x(t) θαη y(t) έρνπλ αξλεηηθή θιίζε, νπόηε ν ζπληειεζηήο ηνπ t ζηηο καζεκαηηθέο ηνπο εθθξάζεηο είλαη αξλεηηθόο. Σν ζεηηθό γηλόκελν απηώλ ησλ δύν ζπληειεζηώλ είλαη ν ζπληειεζηήο ηνπ t ζην γηλόκελν ησλ x(t) θαη y(t), ήηνη ζην ζήκα z(t). Ωο εθ ηνύηνπ, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) ζα ζηξέθεη ηα θνίια πξνο ηα πάλσ. Ύζηεξα από ηα παξαπάλσ, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t) ζρεδηάδεηαη εύθνια θαη θαίλεηαη ζην παξαπάλσ ζρήκα.3. Αλ ζέιεηε, βξείηε αλαιπηηθά ηηο καζεκαηηθέο εθθξάζεηο ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) ζην δηάζηεκα (, 3) (ηε κία ηελ έρνπκε ήδε βξεη), πνιιαπιαζηάζηε ηεο θαη θάλεηε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ γηλνκέλνπ ηνπο πνπ, όπσο είπακε, ζα είλαη παξαβνιή κε ηα θνίια πξνο ηα πάλσ. η3) Γηαίξεζε δύν ζεκάησλ: Αλ θαη πνιύ πην ζπάληα από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό δύν ζεκάησλ, κπνξεί λα πξνθύςεη ε αλάγθε δεκηνπξγίαο ηνπ ζήκαηνο-πειίθνπ x(t)/y(t) δύν ζεκάησλ. Φπζηθά, πξέπεη λα είλαη y(t). Πην ζπρλή είλαη ε αλάγθε δεκηνπξγίαο ηνπ αληηζηξόθνπ ελόο ζήκαηνο, y(t)=/x(t), κε x(t). Δπίζεο, αξθεηά ζπρλή είλαη ε ύςσζε ελόο ζήκαηνο ζε κηα κε αθέξαηε δύλακε, ξεηή ή άξξεηε, ζεηηθή ή αξλεηηθή. Σν αληίζηνηρν ζήκα είλαη y(t)=x α (t). Σώξα πνπ ν εθζέηεο είλαη, ελ γέλεη, πξαγκαηηθόο αξηζκόο, ην ζήκα x(t) πξέπεη λα έρεη ζεηηθέο ηηκέο, γηα λα κπνξεί απηό λα πςσζεί ζηνλ πξαγκαηηθό εθζέηε α. Πνιύ ζπλεζηζκέλε είλαη ε πεξίπησζε a=/, δει. ε εύξεζε ηεο ηεηξαγσληθήο ξίδαο ηνπ (ζεηηθνύ) ζήκαηνο x(t)..

21 η4) πλέιημε δύν ζεκάησλ: Ζ ζπλέιημε δύν ζεκάησλ x(t) θαη y(t) ζπκβνιίδεηαη κε x(t) y(t) θαη νξίδεηαη σο εμήο: x(t) y(t)= Ζ κεηαβιεηή η είλαη κεηαβιεηή νινθιήξσζεο θαη δελ εκθαλίδεηαη ζην ηειηθό απνηέιεζκα. Αληίζεηα, ε κεηαβιεηή t είλαη «παξάκεηξνο» γηα ην νξηζκέλν νινθιήξσκα, νπόηε ην ηειηθό απνηέιεζκα είλαη κηα καζεκαηηθή έθθξαζε ηνπ t, άξα κηα ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t, όπσο πεξηκέλακε. Δύθνια απνδεηθλύεηαη όηη γηα ηε ζπλέιημε ηζρύεη θαη ν καζεκαηηθόο ηύπνο x(t) y(t)=. Αο θάλνπκε ηελ (εύθνιε) απόδεημε: ηνλ νξηζκό ηεο ζπλέιημεο ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) πνπ δώζακε παξαπάλσ, ζέηνπκε ζ=t η η=t ζ. Γηα η= έρνπκε ζ=+ θαη γηα η=+ έρνπκε ζ=. Δπίζεο, είλαη dη=d(t ζ)=dt dζ= dζ= dζ, δηόηη ηώξα ην t είλαη «παξάκεηξνο» ή «ζηαζεξά». Έηζη, ε ζπλέιημε ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) γξάθεηαη σο x(t) y(t)= = =. Δδώ κπνξνύκε λα αιιάμνπκε ζπκβνιηζκό θαη λα γξάςνπκε η αληί γηα ζ, νπόηε ζα πάξνπκε x(t) y(t)=. Σειηθά, βιέπνπκε όηη ηε ζπλέιημε ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) κπνξνύκε λα ηε γξάςνπκε σο x(t) y(t)= ή σο x(t) y(t)= =. Αλ ηα ζήκαηα x(t) θαη y(t) είλαη αηηηνθξαηηθά, δει. αλ είλαη x(t)=y(t)=, γηα t<, ηόηε είλαη y(η)=, γηα η<, θαη x(t η)=, γηα η>t. Δπνκέλσο, ηώξα, ην νινθιήξσκα ηεο ζπλέιημεο παίξλεη ηε κνξθή x(t) y(t)= =. Ο κεραληζκόο εύξεζεο ηεο ζπλέιημεο ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) έρεη σο εμήο: Γξάθνπκε ην ζήκα x(t) κε κεηαβιεηή η θαη από ην ζήκα x(η) δεκηνπξγνύκε ην ζήκα x( η) (ρξνληθή αλαζηξνθή, ήηνη ιήςε ηνπ ζπκκεηξηθνύ ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο x(η) σο πξνο άμνλα ηνλ άμνλα ησλ ηηκώλ). ηε ζπλέρεηα, ζην ζήκα x( η) επηβάιινπκε ρξνληθή θαζπζηέξεζε θαηά t (δεκηνπξγία ηνπ ζήκαηνο x[ (η t)]=x(t η) πνπ αληηζηνηρεί ζε κεηαθίλεζε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο x( η) δεμηά θαηά t). Πνιιαπιαζηάδνπκε απηό ην ζήκα επί ην ζήκα y(η) θαη νινθιεξώλνπκε ην γηλόκελν ζε όινλ ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ. Έηζη παίξλνπκε ηελ ηηκή ηεο ζπλέιημεο ησλ δύν ζεκάησλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t. Απηό ην θάλνπκε γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t. Αο θάλνπκε δύν παξαδείγκαηα: Παξάδεηγκα : Θα βξνύκε ηε ζπλέιημε y(t) ελόο νξζνγσληθνύ παικνύ x(t), πνπ έρεη ύςνο Α θαη δηαξθεί από ηνλ ρξόλν Σ/ κέρξη ηνλ ρξόλν Σ/, κε ηνλ εαπηό ηνπ. Αλ είλαη Σ=, δει. αλ ν νξζνγσληθόο παικόο δηαξθεί από ηε ρξνληθή ζηηγκή / κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή / θαη έρεη ύςνο, o παικόο νλνκάδεηαη κνλαδηαίνο ή ηππνπνηεκέλνο νξζνγσληθόο παικόο θαη ζπκβνιίδεηαη κε Π(t). Γηα ην ζήκα x(t), πνπ έρεη ύςνο Α θαη δηάξθεηα Σ, έρνπκε x(t)=aπ, κηαο θαη ην ζήκα x(t) ιακβάλεηαη από ηνλ παικό Π(t) κε δηαζηνιή ηνπ θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ησλ ρξόλσλ t κε θιίκαθα.

22 Σ θαη πνιιαπιαζηαζκό επί Α. Δπεηδή ην ζήκα x(η) είλαη άξηην, ην ζήκα x( η) είλαη ηαπηόζεκν κε ην ζήκα x(η). Έηζη, ην ζήκα x(t η)=x[ (η t)], ιακβάλεηαη από ην ζήκα x(η) κε κεηαθίλεζή ηνπ δεμηά θαηά t. ην επόκελν ζρήκα.4 δείρλνπκε ην ζήκα x(η) θαη ην ζήκα x(t η) γηα t>. x(τ) A x(t τ)=x(τ t) Τ/ Τ/+t t Τ/ Τ/+t τ ρ..4 Σα ζήκαηα x(η) θαη x(t η) γηα t> Σνλίδνπκε όηη ζην ζήκα x(t η) κεηαβιεηή είλαη ην η, ελώ ην t είλαη παξάκεηξνο. Σν γηλόκελν x(t η)x(η) έρεη ηηκή Α, γηα εθείλεο ηηο ηηκέο ηνπ η γηα ηηο νπνίεο ζπκβαίλεη ππεξθάιπςε ησλ παικώλ x(η) θαη x(t η), θαη ηηκή, γηα ηηο ππόινηπεο, δηόηη, γηα ηηο ππόινηπεο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ η, ηνπιάρηζηνλ έλαο από ηνπο δύν παικνύο x(η) θαη x(t η) έρεη κεδεληθή ηηκή. Μάιηζηα, γξάθνπκε θαη y(t)=x(t) x(t)= =, δηόηη, γηα η έμσ από ην δηάζηεκα ( Σ/, Σ/), είλαη x(η)=. Σν y(t)= είλαη ίζν κε ην γηλόκελν ηνπ Α επί ην κήθνο ηνπ δηαζηήκαηνο ππεξθάιπςεο ησλ δύν παικώλ. Αλ είλαη Σ/+t< Σ/ t< Σ, ν παικόο x(t η) βξίζθεηαη νιόθιεξνο ζηα αξηζηεξά ηνπ παικνύ x(η), νπόηε ζπκβαίλεη κεδεληθή ππεξθάιπςε κεηαμύ ησλ δύν παικώλ θαη είλαη y(t)=. Αλ είλαη Σ/<Σ/+t<Σ/ Σ<t<, ν παικόο x(t η) βξίζθεηαη αξηζηεξόηεξα ηνπ παικνύ x(η) θαη νη δύν παικνί ππεξθαιύπηνληαη θαηά ην δηάζηεκα [ Σ/, Σ/+t], πνπ έρεη κήθνο Σ/+t ( Σ/)=Σ+t. Κάληε ην ζρήκα γηα λα ην δείηε θαιύηεξα. Σόηε έρνπκε y(t)=α (Σ+t). Αλ είλαη Σ/< Σ/+t<Σ/ <t<σ, ν παικόο x(t η) βξίζθεηαη δεμηόηεξα ηνπ παικνύ x(η) θαη νη δύν παικνί ππεξθαιύπηνληαη θαηά ην δηάζηεκα [ Σ/+t, Σ/], πνπ έρεη κήθνο Σ/ ( Σ/+t)=Σ t. Σόηε έρνπκε y(t)=α (Σ t). Αλ είλαη Σ/< Σ/+t t>t, ν παικόο x(t η) βξίζθεηαη νιόθιεξνο ζηα δεμηά ηνπ παικνύ x(η), νπόηε ζπκβαίλεη κεδεληθή ππεξθάιπςε κεηαμύ ησλ δύν παικώλ θαη έρνπκε y(t)=. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο y(t) δίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα.5. Σν ζήκα y(t) είλαη έλαο ακθίπιεπξνο ηξηγσληθόο παικόο πνπ εθηείλεηαη από ην ζεκείν Σ κέρξη ην ζεκείν Σ θαη έρεη ύςνο Α T. Ώζηε, ε ζπλέιημε ελόο νξζνγσληθνύ.

23 παικνύ κε ηνλ εαπηό ηνπ δίλεη έλαλ ηξηγσληθό παικό πνπ εθηείλεηαη ζε δηπιάζην ρξνληθό δηάζηεκα από ηνλ νξζνγσληθό παικό. y(t) A T Τ Τ t ρ..5 To ζήκα y(t)=x(t) x(t), όπνπ είλαη x(t)=απ. Αλ ζηνλ παξαπάλσ ηξηγσληθό παικό είλαη Σ= θαη Α=, ν παικόο νλνκάδεηαη κνλαδηαίνο ή ηππνπνηεκέλνο ηξηγσληθόο παικόο θαη ζπκβνιίδεηαη κε Λ(t). Δπεηδή ν ηξηγσληθόο παικόο y(t) πξνθύπηεη από ηνλ Λ(t) κε δηαζηνιή ηνπ θαηά ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ κε παξάγνληα-θιίκαθα Σ θαη πνιιαπιαζηαζκό ησλ ηηκώλ ηνπ επί Α, ηζρύεη ε ζρέζε y(t)=a Λ. Παξάδεηγκα : Θα ππνινγίζνπκε ηε ζπλέιημε ηνπ ζήκαηνο x(t), ην νπνίν είλαη νξζνγσληθόο παικόο ύςνπο θαη δηάξθεηαο από t= κέρξη t=, κε ην ζήκα y(t)=e t u(t). Θπκόκαζηε όηη ν ηππνπνηεκέλνο νξζνγσληθόο παικόο ζπκβνιίδεηαη κε Π(t), νπόηε ην ζήκα x(t) είλαη ίζν κε Π(t/). Με u(t) ζπκβνιίδνπκε ηε βεκαηηθή ζπλάξηεζε, ε νπνία έρεη ηηκή, γηα t, θαη ηηκή, γηα t<. Πεξηζζόηεξα γηα απηή ηε ζπλάξηεζε ζα γλσξίζνπκε ζε επόκελεο Δλόηεηεο. Έηζη, γηα t<, έρνπκε y(t)= θαη, γηα t, έρνπκε y(t)=e t. Δίλαη z(t)=x(t) y(t)= =. Αθνύ ην η είλαη κεηαβιεηή νινθιήξσζεο ζην δηάζηεκα [, ], έρνπκε η η t t η t+. α) Από ηελ ηειεπηαία ζρέζε πξνθύπηεη όηη, αλ είλαη t+<, δει. αλ είλαη t<, έρνπκε θαη t η< u(t η)= γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ η ζην δηάζηεκα νινθιήξσζεο, νπόηε είλαη z(t)=. β) Έζησ όηη είλαη t+< t<. Γηα ηηο ηηκέο ηνπ η πνπ βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα [, t], δει. γηα η t, έρνπκε t η u(t η)= θαη γηα ηηο ππόινηπεο ηηκέο ηνπ η, δει. γηα η ζην δηάζηεκα [t, ], ήηνη t<η, έρνπκε t η< u(t η)=. Έηζη, έρνπκε z(t)= + = = =..3

24 γ) Αλ είλαη t, έρνπκε t η γηα όια ηα η ζην δηάζηεκα νινθιήξσζεο [, ]. Άξα, εθεί έρνπκε θαη u(t η)=, νπόηε είλαη z(t)= = = = +. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ ζήκαηνο z(t)=x(t).6(ε). y(t) θαίλεηαη ζην ζρήκα ην παξόλ παξάδεηγκα, καο βνήζεζε πνιύ ζηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλέιημεο ησλ ζεκάησλ x(t) θαη y(t) ην γεγνλόο όηη ην ζήκα y(t) είρε εθζεηηθή κνξθή. ην ζπλειηθηηθό νινθιήξσκα εκθαλίζηεθε ν όξνο e t, o νπνίνο βγήθε έμσ από ην νινθιήξσκα, πξάγκα πνπ βνήζεζε πνιύ ηνλ ππνινγηζκό απηνύ ηνπ νινθιεξώκαηνο. Αο δνύκε ην ππνινγηζκό ηνπ ζήκαηνο z(t)=x(t) y(t) θαη κε ηνλ «επνπηηθό» κεραληζκό πνπ πεξηγξάςακε πξνεγνπκέλσο. to επόκελν ζρήκα.6 ζρεδηάδνπκε ηα ζήκαηα x(η), y(η), y( η) θαη y[ (η t)]=y(t η): x(τ) y(τ) τ τ (α) (β) y( τ) y(t τ)=e (t η) u(t η) x(τ) τ t τ (γ) (δ) z(t)=x(t) y(t) e t (ε) ρ..6 Τπνινγηζκόο ηεο ζπλέιημεο ησλ ζεκάησλ x(t)=π(t/) θαη y(t)=e t u(t)..4

25 Από ην ζρήκα.6(δ) πξνθύπηνπλ ηα εμήο: Αλ είλαη t<, νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζεκάησλ x(η) θαη y(t η) δελ εκθαλίδνπλ δηάζηεκα επηθάιπςεο. Δπνκέλσο, είλαη z(t)=. Αλ είλαη t<, νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζεκάησλ x(η) θαη y(t η) επηθαιύπηνληαη θαηά ην δηάζηεκα [, t). ε απηό ην δηάζηεκα ην γηλόκελό ηνπο είλαη ίζν κε y(t η)=e (t η) =e t e η θαη ην νινθιήξσκά ηνπ είλαη ίζν κε = = =. Δπνκέλσο, είλαη z(t)= e t. Αλ είλαη t, νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζεκάησλ x(η) θαη y(t η) επηθαιύπηνληαη ζε νιόθιεξν ην δηάζηεκα [, ]. ε απηό ην δηάζηεκα ην γηλόκελό ηνπο είλαη ίζν κε y(t η)=e (t η) =e t e η θαη ην νινθιήξσκά ηνπ είλαη ίζν κε =e t+ e t. = =. Δπνκέλσο, είλαη z(t)= Ηζρύεη ην εμήο γεληθόηεξν απνηέιεζκα: Αλ ην ζήκα x(t) έρεη δηάξθεηα από t=t κέρξη t=t, δει. αλ, γηα t έμσ από ην δηάζηεκα (t, t ), ην ζήκα x(t) έρεη κεδεληθή ηηκή, θαη, αλ ην ζήκα y(t) έρεη δηάξθεηα από t=t 3 κέρξη t=t 4, δει. αλ, γηα t έμσ από ην δηάζηεκα (t 3, t 4 ), ην ζήκα y(t) έρεη κεδεληθή ηηκή, ηόηε ε ζπλέιημε x(t) y(t) έρεη δηάξθεηα από t=t +t 3 κέρξη t=t +t 4, δει., γηα t έμσ από ην δηάζηεκα (t +t 3, t +t 4 ), ην ζήκα x(t) y(t) έρεη κεδεληθή ηηκή. Αο θάλνπκε ηελ απόδεημε: Έρνπκε x(t) y(t)= =. Αλ είλαη t<t +t 3, γηα η ζην δηάζηεκα νινθιήξσζεο, έρνπκε t η< t +t 3 η=t 3 (η t )<t 3 y(t η)= ζε όιν ην δηάζηεκα νινθιήξσζεο, νπόηε είλαη z(t)=. Αλ είλαη t>t +t 4, γηα η ζην δηάζηεκα νινθιήξσζεο, έρνπκε t η>t +t 4 η>t 4 y(t η)= ζε όιν ην δηάζηεκα νινθιήξσζεο, νπόηε είλαη πάιη z(t)=. Ώζηε, γηα t έμσ από ην δηάζηεκα (t +t 3, t +t 4 ) ην ζήκα x(t) y(t) έρεη κεδεληθή ηηκή. ην παξαπάλσ απνηέιεζκα, ηα t θαη t 3 κπνξεί λα είλαη ίζα θαη κε θαη ηα t θαη t 4 κπνξεί λα είλαη ίζα θαη κε +. Κιείλνπκε, γξάθνληαο ηελ ηδηόηεηα ηεο γξακκηθόηεηαο ηεο ζπλέιημεο. Απηή ιέεη όηη ηζρύεη ε ζρέζε f(t) [αg(t)+βh(t)]=α[f(t) g(t)]+β[f(t) h(t)], γηα όιεο ηηο ηηκέο ησλ ζηαζεξώλ α θαη β θαη όια ηα ζήκαηα f(t), g(t) θαη h(t). Με ιόγηα, ε ζπλέιημε ελόο ζήκαηνο κε ηνλ γξακκηθό ζπλδπαζκό δύν άιισλ ζεκάησλ είλαη ίζε κε ηνλ ίδην γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ ζπλειίμεσλ ηνπ πξώηνπ ζήκαηνο κε ηα άιια δύν ζήκαηα. Υξήζηκεο εηδηθέο πεξηπηώζεηο είλαη ε β=, πνπ ιέεη όηη ηζρύεη ε ζρέζε f(t) [αg(t)]=α[f(t) g(t)], θαη ε α=β=, πνπ ιέεη όηη ηζρύεη ε ζρέζε f(t) [g(t)+h(t)]=[f(t) g(t)]+[f(t) h(t)] (επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα ηεο ζπλέιημεο σο πξνο ηελ πξόζζεζε). H απόδεημε ηεο ηδηόηεηαο ηεο γξακκηθόηεηαο ηεο ζπλέιημεο είλαη εύθνιε θαη αθήλεηαη σο άζθεζε.. Τπάξρνπλ θαη άιιεο πξάμεηο πνπ κπνξνύλ λα εθαξκνζηνύλ ζε έλα ή πεξηζζόηεξα ζήκαηα, αιιά αο κελ επεθηαζνύκε εδώ..5

26 Καηεγνξηνπνηήζεηο ησλ ζεκάησλ Σα ζήκαηα θαηαηάζζνληαη ζε δηάθνξεο θαηεγνξίεο, αλάινγα κε ην ρξεζηκνπνηνύκελν, θάζε θνξά, θξηηήξην. Μεξηθέο θαηεγνξηνπνηήζεηο ησλ ζεκάησλ είλαη: α) Αηηηνθξαηηθά θαη κε αηηηνθξαηηθά ζήκαηα: Πνιύ ζπρλά, ζεσξνύκε όηη ν «θόζκνο» καο αξρίδεη ηε ρξνληθή ζηηγκή t=. Έηζη, έλα ζήκα ζεσξνύκε όηη δελ ππάξρεη, δει. έρεη κεδεληθή ηηκή, γηα αξλεηηθέο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t. Αληίζεηα, άιιεο θνξέο, ζεσξνύκε όηη ηα ζήκαηά καο έρνπλ κε κεδεληθέο ηηκέο θαη γηα αξλεηηθέο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t. Έλα ζήκα πνπ έρεη κεδεληθή ηηκή γηα όιεο ηηο αξλεηηθέο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t νλνκάδεηαη αηηηνθξαηηθό. Φπζηθά, έλα ζήκα πνπ έρεη κε κεδεληθέο ηηκέο γηα θάπνηεο ή γηα όιεο ηηο αξλεηηθέο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t νλνκάδεηαη κε αηηηνθξαηηθό. Έλα παξάδεηγκα αηηηνθξαηηθνύ θαη έλα παξάδεηγκα κε αηηηνθξαηηθνύ ζήκαηνο θαίλνληαη ζην ακέζσο παξαθάησ ζρήκα.7: x(t) y(t) t t ρ..7 Αηηηνθξαηηθό ζήκα x(t) θαη κε αηηηνθξαηηθό ζήκα y(t) β) Άξηηα θαη πεξηηηά ζήκαηα: Έλα ζήκα x(t) νλνκάδεηαη άξηην, αλ, γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, ηζρύεη ε ζρέζε x( t)=x(t), δει. αλ, γηα αληίζεηεο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, ην ζήκα x(t) παίξλεη ίζεο ηηκέο. πλέπεηα απηνύ είλαη ε γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε λα έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ. ε ρξνληθά ζεκεία πνπ ηζαπέρνπλ από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, ηα «ύςε» ηνπ ζήκαηνο είλαη ίζα. Αλ ην αξηζηεξό εκηεπίπεδν πνπ νξίδεη ν άμνλαο ησλ ηεηαγκέλσλ ην πεξηζηξέςνπκε θαηά 8 ν γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ ηεηαγκέλσλ, ν θιάδνο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ άξηηνπ ζήκαηνο, ν νπνίνο βξίζθεηαη ζην αξηζηεξό εκηεπίπεδν, ζα πέζεη πάλσ θαη ζα ηαπηηζηεί κε ηνλ θιάδν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ζήκαηνο, ν νπνίνο βξίζθεηαη ζην δεμηό εκηεπίπεδν. Έλα ζήκα x(t) νλνκάδεηαη πεξηηηό, αλ, γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, ηζρύεη ε ζρέζε x( t)= x(t), δει. αλ, γηα αληίζεηεο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, ην ζήκα παίξλεη αληίζεηεο ηηκέο. Ζ γξαθηθή παξάζηαζή ηνπ έρεη θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. ε ρξνληθά ζεκεία πνπ ηζαπέρνπλ από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, ηα «ύςε» ηνπ ζήκαηνο είλαη αληίζεηα (έρνπλ ίζα κήθε αιιά αληίζεηα πξόζεκα). Αλ ηπρόληνο ζεκείνπ ελόο θιάδνπ ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ πεξηηηνύ ζήκαηνο πάξνπκε ην.6

27 ζπκκεηξηθό ηνπ σο πξνο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ (δει. αλ ζπλδέζνπκε απηό ην ζεκείν κε ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη επεθηείλνπκε άιιν ηόζν), απηό ζα πέζει πάλσ ζηνλ άιιν θιάδν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Δλαιιαθηηθά, αλ ηνλ έλα θιάδν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ελόο πεξηηηνύ ζήκαηνο ηνλ πεξηζηξέςνπκε, πάλσ ζην επίπεδν ησλ θαξηεζηαλώλ ζπληεηαγκέλσλ t θαη x(t), θαηά 8 ν γύξσ από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ, απηόο ν θιάδνο ζα πέζεη πάλσ θαη ζα ηαπηηζηεί κε ηνλ άιιν θιάδν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Ζ εηθόλα ελόο άξηηνπ θαη ε εηθόλα ελόο πεξηηηνύ ζήκαηνο θαίλνληαη ζην επόκελν ζρήκα.8. x(t) y(t) t t (α) Άξηην ζήκα (β) Πεξηηηό ζήκα ρ..8 Δηθόλεο ελόο άξηηνπ θαη ελόο πεξηηηνύ ζήκαηνο. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηνπ παξαπάλσ πεξηηηνύ ζήκαηνο πεξλάεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Απηό είλαη γεληθό, αθνύ, γηα νπνηνδήπνηε πεξηηηό ζήκα x(t), έρνπκε x()=. Όλησο, αθνύ ην ζήκα x(t) είλαη πεξηηηό, ηζρύεη ε ζρέζε x( t)= x(t) γηα θάζε ηηκή ηνπ ρξόλνπ t. Δθαξκόδνληαο απηή ηε ζρέζε γηα t=, παίξλνπκε x( )= x() x()= x() x()= x()=. Έλα ζήκα κπνξεί λα είλαη άξηην ή πεξηηηό, αιιά κπνξεί λα κελ είλαη θαη ηίπνηα από ηα δύν. Ακέζσο παξαθάησ δείρλνπκε όηη νπνηνδήπνηε ζήκα x(t) κπνξεί λα γξαθεί σο άζξνηζκα ελόο άξηηνπ θαη ελόο πεξηηηνύ ζήκαηνο. Γει., νπνηνδήπνηε ζήκα x(t) απνηειείηαη από έλα άξηην θαη από έλα πεξηηηό κέξνο. Αο δνύκε πώο βξίζθνπκε ην άξηην θαη ην πεξηηηό κέξνο ελόο ζήκαηνο x(t). Οξίδνπκε ην ζήκα x e (t)=[x(t)+x( t)]/ θαη ην ζήκα x ν (t)=[x(t) x( t)]/. Γηα ην ζήκα x e (t) έρνπκε x e ( t)={x( t)+x[ ( t)]}/=[x( t)+x(t)]/=x e (t). Αθνύ απηή ε ηζόηεηα ηζρύεη γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, ζήκα x e (t) είλαη άξηην ζήκα. Δπίζεο, γηα ην ζήκα x ν (t) έρνπκε x ν ( t)={x( t) x[ ( t)]}/=[x( t) x(t)]/= [x(t) x( t)]/= x ν (t). Αθνύ απηή ε ηζόηεηα ηζρύεη γηα όιεο ηηο ηηκέο ηνπ ρξόλνπ t, ζήκα x ν (t) είλαη πεξηηηό ζήκα. Σν άζξνηζκα ησλ ζεκάησλ x e (t) θαη x ν (t) είλαη ίζν κε x e (t)+x ν (t)= [x(t)+x( t)]/+[x(t) x( t)]/=x(t). Δπνκέλσο, ην ηπρόλ ζήκα x(t) κπνξεί λα αλαιπζεί ζε άζξνηζκα ελόο άξηηνπ θαη ελόο πεξηηηνύ ζήκαηνο. Ο δείθηεο e, γηα ην άξηην ζήκα x e (t), πξνέξρεηαη από ηελ αγγιηθή ιέμε eve=άξηηνο θαη ν δείθηεο ν, γηα ην πεξηηηό ζήκα x ν (t), πξνέξρεηαη από ηελ αγγιηθή ιέμε odd=πεξηηηόο..7