σελ.1 lim ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2 ΘΕΜΑ 3 z -1)=f( z ) είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Transcript

1 ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει: f(f(χ))=9χ-8, για κάθε χr Δείξτε ότι: α) Η f είναι -, β) f()=, γ) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση: f( z -)=f( z ) είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα ΘΕΜΑ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=i + και η συνάρτηση f(χ)=χ χ - z, χr α) Δείξτε ότι f(χ)=χ χ, β) Να βρεθούν η μονοτονία και τα ακρότατα της f, γ) Είναι η f αντιστρέψιμη στο διάστημα (,+); Δικαιολογήστε την απάντησή σας, δ) Δείξτε ότι η f δεν έχει πλάγιες-οριζόντιες ασύμπτωτες στο +, ε) Δείξτε ότι η εξίσωση f(χ)= έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (,), στ) Να υπολογίσετε το ΘΕΜΑ 3 lim ( f ( t) t ) dt ( ) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=lnχ+χ-, χ> α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τις ασύμπτωτες, β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(χ)=, γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση: ln z =- z, δ) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ= και χ=λ (<λ<), E( ) ε) Να βρεθούν τα όρια lim E( ) και lim σελ

2 ΘΕΜΑ 4 Α) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β) με g(χ) g (χ), για κάθε χ(α,β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς w=f(α)-ig(β) και z=g(α)-if(β) ώστε w+ z = w -z Να αποδείξετε ότι υπάρχει χο(α,β): f ( o ) f ( o ) g( o ) g( o ) Β) Δίνεται ο μιγαδικός z ώστε να ισχύει: R( z) [ ( z z ) z 4] Im( z) α) Να βρεθεί η συνάρτηση που δίνει τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, β) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, την εφαπτομένη του στο σημείο χο= και τον άξονα Οχ ΘΕΜΑ 5 α) Να λυθεί το σύστημα: z 3i z i z i z β) Να υπολογισθεί η τιμή f() της συνάρτησης f η οποία είναι συνεχής στο [,] και ικανοποιεί τη σχέση f ( ) d f ( ) ln d γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση: z-i+f() =R(zo), όπου zo η λύση του παραπάνω συστήματος ΘΕΜΑ 6 Α) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β] α) Αν z=f(α)++if(β), z= z +z-f(α) και ισχύουν οι σχέσεις f (α)+ f (β)=3,f(β)>, και z <, να δείξετε ότι υπάρχει ένα χο(α,β): f(χο)=, β) Αν z=+if(α), z=+if(β) με z = z και f(α)+ f(β), να δείξετε ότι υπάρχει ένα χο(α,β): f (χο)= Β) α) Να δείξετε ότι: z + z = z-z R( z z )=, β) Έστω η συνάρτηση f συνεχής και ορισμένη στο [α,β] και οι μιγαδικοί z=α +if(α), w= f(β)+iβ Αν ισχύει w + z = w-z να δείξετε ότι η εξίσωση f(χ)= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α,β] ΘΕΜΑ 7 Α) Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Bρείτε τη συνάρτηση f, ( ) t t dt, R σελ

3 β) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα σημεία καμπής και τις ασύμπτωτες, γ) Yπολογίστε το όριο lim f ( ) Β) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z αν ισχύει η σχέση: z i z z i ΘΕΜΑ 8 ln t Α) Δίνεται η συνάρτηση F(χ)= ( ) dt, χ t α) Να βρείτε τον αριθμό λ=f (), β) Δείξτε ότι η F είναι - στο [,+), γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 5 6 d f ( ) B) Έστω η συνάρτηση f(χ)=, λ Αν ισχύει lim λ Για την τιμή του λ που βρήκατε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d f ( ) να βρείτε το ΘΕΜΑ 9 ln Α) Δίνεται η συνάρτηση f ( ), > α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής, β) Αποδείξτε ότι ( ), για κάθε α>, γ) Αποδείξτε ότι π > π, Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( +) + + = έχει μοναδική πραγματική ρίζα ΘΕΜΑ Α) Έστω οι z = i και z = + i ln, > Aν z = z z, να δειχτεί ότι : α) Υπάρχει μοναδικό >, το οποίο και να βρεθεί, ώστε ο z να είναι πραγματικός, β) Υπάρχει μοναδικό >, το οποίο και να βρεθεί, ώστε ο z να είναι φανταστικός, γ) Η εικόνα του z δεν ανήκει στη διχοτόμο του ου και 3 ου τεταρτημορίου Β) Nα προσδιορίσετε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(z) των μιγαδικών z όταν τα παρακάτω όρια υπάρχουν στο R z i 3 6 z i z (5 5) α) lim, β) lim σελ3

4 ΘΕΜΑ Α) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β] παραγωγίσιμη στο (α,β) και οι μιγαδικοί z = α β f (α) + 3i και w = -f(β) i Αν ισχύει R(z- w ) = f(β), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον o(α,β) τέτοιο ώστε να ισχύει f (o) + f (o) = Β) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) Εάν ισχύει f(α)> και η εξίσωση f(α) z [f(α)+ f(β)] z + f (α) = έχει λύση το i 5, να αποδείξετε ότι υπάρχει θ(α,β) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(θ,f(θ)) να είναι παράλληλη στον ΘΕΜΑ A) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:rr με f()= και Να αποδείξετε ότι α+=β lim f ( t) dt B) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ για τους οποίους η συνάρτηση f(χ)=α lnχ+β χ +γ χ- έχει τοπικό ακρότατο στο, το f()=, και παρουσιάζει καμπή στο Στη συνέχεια να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας και κυρτότητας της f και να βρείτε το lim f ( ) ΘΕΜΑ 3 Α) Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο f ( ) για την οποία ισχύουν: lim f ( ) και lim Θεωρούμε τους μιγαδικούς z f ( ) f ( ) if ( ) f ( ), χ Αν ισχύει z, για κάθε χr, δείξτε ότι: α) f()=, β) f ()=, γ) f ()= (χρησιμοποιήστε το θεώρημα Frmat για κατάλληλη συνάρτηση) Β) Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [,3] και παραγωγίσιμη στο (,3) με την ιδιότητα f(3)=5+f() Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ξ στο διάστημα (,3) τέτοιο ώστε f (ξ)=ξ ΘΕΜΑ 4 Α) Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f,g για τις οποίες ισχύει: f ( ) g( ) g( ), για κάθε χ και f()=g()= g( ) α) Να δείξετε ότι f ( ), σελ4

5 β) Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την ευθεία ψ=χ-, να δείξετε ότι g( ) lim / g( ) Β) Να βρείτε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς α,β,γ για τους οποίους η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= a έχει ασύμπτωτη στο + μια ευθεία παράλληλη προς την ευθεία ψ=χ- ψ=- ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) a και στο - οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία α) Να προσδιοριστεί ο αr, ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει στο σημείο (, f ()) εφαπτομένη παράλληλη προς την ευθεία ( ) : y 7, β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, γ) Να αποδειχθεί ότι η ευθεία y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +, δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε(λ) του καμπυλόγραμμου χωρίου, που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία y = και τις ευθείες = και = λ (λ>), lim ( ε) Να βρεθεί το ) ΘΕΜΑ 6 Α) Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο R με f()= Αν g(χ)=+ (ln t ) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ξ στο R τέτοιο ώστε g (ξ)= ln t Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση h(χ)=(χ-) dt, χ> t α) Να αποδείξετε ότι η h είναι παραγωγίσιμη στο (,+), β) Δείξτε ότι μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα Roll για την h στο διάστημα [,], ln t γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,) τέτοιο ώστε να ισχύει ln dt t ΘΕΜΑ 7 f ( t) dt, A) Έστω f :(, +) R συνεχής για την οποία υποθέτουμε ότι lnt f(t) t, για κάθε t> Nα αποδείξετε ότι: σελ5

6 f ( t) dt α) f () =, β) lim ( ) γ) Η εξίσωση + f ( t) dt ln έχει ακριβώς μια ρίζα στο (,) Β) Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και οι μιγαδικοί αριθμοί z=α+βi, z=α+f(α)i και z=β+f(β)i, για τους οποίους ισχύει ότι: 3( z z ) 4iz z 4 ir( z z ) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τον άξονα χ χ ΘΕΜΑ 8 A) Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] για την οποία ισχύει f ( ) d βf(β) -αf(α) Να αποδείξετε ότι : α) Η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα [α,β], β) Για την συνάρτηση g() = f ( t) dt ισχύει το ΘRoll στο [α,β], γ) Υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε f ( t) dt f ( ) a Β) Δίνεται η συνάρτηση f : [,]R για την οποία ισχύει f ( ) d α + β α Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την γραφική παράσταση της g, με g() = α + β, σε τουλάχιστον ένα σημείο στο διάστημα (,) ΘΕΜΑ 9, Α) Έστω ο μιγαδικός αριθμός z Θεωρούμε τη συνάρτηση: z, f ( ) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού z όταν ( z ), υπάρχει το f ( ) είναι ο κύκλος κέντρου Ο(,) και ακτίνας lim Β) Έστω f,g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο (,+) με f ( ) g ( ), για κάθε χ> Αν f()=g() και f()-g()=, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g και τις ευθείες χ=, χ= ΘΕΜΑ σελ6

7 A) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,+) α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε χ> υπάρχει ξ(,χ) τέτοιο ώστε f(χ)=χ f (ξ), f ( ) β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση h(χ)= είναι - στο (,+), γ) Αν h(χ)= χ +χ 5 +χ, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= f ( ) d B) Έστω f() = (3t 4t ) dt α) Nα βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f, β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την = -3 ΘΕΜΑ A) Για μια συνάρτηση f :RR ισχύει: f (χ)=6 3, για κάθε R Αν f()=f ()=, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f ( ) d B) Δίνεται η συνάρτηση g dt, IR t α) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g τον άξονα ' και τις ευθείες και ΘΕΜΑ u A) Για μια συνεχή συνάρτηση f :RR ισχύει f() = + f ( u) du για κάθε R α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f, β) Να εξετάσετε αν η f έχει ασύμπτωτες και τη μονοτονία της, γ) Να εξετάσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής, δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα και τις ευθείες = -3, = σχεδιάζοντας πρώτα τη γραφική παράσταση της f 4 B) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει f ( ) 3 ( ), για κάθε R ΘΕΜΑ 3, να βρεθεί το f() A) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής ορισμένη στο R για την οποία ισχύει: σελ7

8 / f ( ) d Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ R f ( ) B) Θεωρούμε την συνεχής συνάρτηση f :, (, ) f ( t) dt έχει μια ακριβώς λύση στο (,) τέτοιο ώστε: Να δειχθεί ότι η εξίσωση ΘΕΜΑ 4 t A) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει f ( ) dt f ( t) α) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R, β) Να βρεθεί ο τύπος της f, γ) Υπάρχει ρr ώστε να ισχύει f(ρ)=; B) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R Να βρεθεί το lim f ( ) f '( ) τη μονοτονία, αν ισχύει f (ln 3) 3, f(χ)> και f ( ) ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η συνάρτηση f με τοπικό μέγιστο και στο σημείο = καμπή α) Να δειχθεί ότι μ = -6λ, κ = 9λ,, τότε: και να μελετηθεί η f ως προς, για κάθε R 3 f ( ) που παρουσιάζει στο σημείο = β) Για ποια τιμή του λ το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται μεταξύ του γραφήματος της f και του άξονα είναι 7; lim ( ) γ) Να δειχθεί ότι ΘΕΜΑ 6 Α) Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f 3 f 3, f R Αν lim =λ, να προσδιορίσετε το λ Β) Μια συνάρτηση : IR IR f είναι παραγωγίσιμη στο 3 f f f, για κάθε R f lim είναι πραγματικός αριθμός, ' α) Να αποδείξετε ότι το β) Να βρείτε τον αριθμό ΘΕΜΑ 7 f για κάθε και ικανοποιεί τη σχέση σελ8

9 Α) Δίνεται η συνάρτηση f στο με την ιδιότητα: f ( ) ( fof )( ), για κάθε R και f()=9 Να δείξετε ότι η f δεν είναι - Β) Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση g στο R η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(5,9) και Β(3,) α) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, β) να λύσετε την εξίσωση: g(+g - (χ +χ))=9 Γ) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g παραγωγίσιμες στο R και επιπλέον η f είναι - Αν οι συναρτήσεις f και fog παρουσιάζουν ακρότατο στο και είναι g (χ) για κάθε R, να αποδείξετε ότι g()= ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη f στο R με f () > για κάθε R Έστω g() = 5 f ( t) dt, R Nα αποδείξετε : α) Η g είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει g (+) = g (-), 5 β) Η εξίσωση f(+) + f(5-) = f ( t) dt έχει λύση στο (,), γ) Η γραφική παράσταση της g έχει ένα μόνο σημείο καμπής το οποίο και να βρείτε ΘΕΜΑ 9 Α) Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: (,+)R, η οποία είναι συνεχής και ισχύει f f ( ), για κάθε (,+) f ( t) α) Nα μελετήσετε την g: (,+)R, g() = dt t ως προς τη μονοτονία, β) Αποδείξτε ότι g()= g( ), για κάθε (,+) f ( ) Β) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει lim 7 Να δείξετε ότι f()=, f ()=9 και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()) ΘΕΜΑ 3 Α) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ικανοποιεί τη σχέση: f ( t) dt a, για κάθε χr Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α σελ9

10 4 5 Β) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ικανοποιεί τη σχέση: f t) dt (, για κάθε χr Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(,4) Γ) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ικανοποιεί τη σχέση: χr Δείξτε ότι f()= ΘΕΜΑ 3 f ( t) dt, για κάθε Α) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g παραγωγίσιμες στο R ώστε να ισχύει f () = g (), για κάθε χr, και οι γραφικές παραστάσεις των f,g διέρχονται από τα σημεία Α(-,), Β(-,3) αντίστοιχα Θεωρούμε τους μιγαδικούς z = + if() και w= + ig() Να βρεθεί ο μιγαδικός z w Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g στο R καθώς και οι μιγαδικοί z = + ig() Eαν επιπλέον ισχύει zz Rz( i) α) Η g δεν παρουσιάζει ακρότατο, β) Η g είναι - και να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση g - ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η συνάρτηση f() = + 3 α) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, β) Να λύσετε την εξίσωση 3 =, για κάθε χr, δείξτε ότι: 9 (3 3 γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= παραπάνω εξίσωσης ΘΕΜΑ 33 3 Α) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=+ln-, > α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία της, 9) 3 ( d ) 3,, όπου ρ < ρ είναι οι ρίζες της β) Να διατάξετε τους αριθμούς f(), f(π) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι -π π π > Β) α) Να αποδείξετε ότι ln+>, για κάθε χ>, ln β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση h ( ), γ) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α που ικανοποιεί τη σχέση: (α +α+) ln(α +5) =(α +4) ln(α +α+) σελ

11 ΘΕΜΑ 34 Α) Έστω η παραγωγίσιμη f : RR για την οποία ισχύουν : ( + +) f () +(+)f()=, για κάθε R και f() = α) Nα βρείτε τον τύπο της f, β) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, Να αποδείξετε ότι ισχύει μέγιστο της f y f ( y ) d f ( ) d όπου M B) Έστω f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει + f() = +f Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ημξ συνξ + ΘΕΜΑ 35 f ( ) d y το τοπικό, τέτοιο ώστε να είναι: Α) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=αχ 3 +βχ+γ Αν η f είναι περιττή, παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χο= και f ( ) d, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ Β) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και g πολυωνυμική συνάρτηση τέτοια ώστε g()= και ΘΕΜΑ 36 f ( ) d g() Δείξτε ότι υπάρχει ξ(,) τέτοιο ώστε f(ξ)=g (ξ) Δίνεται η f() = ( -+3) α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δειχθεί ότι f() >, για κάθε R, β) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει ΘΕΜΑ 37 zi f ( ) d z Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f που ικανοποιεί τη σχέση: 3 f ( ) f '( ) (t ) dt, για κάθε R α) Να βρεθεί ο τύπος της f, σελ

12 β) Αποδείξτε ότι f ()=/ και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο Α(,f()), γ) Αποδείξτε ότι ΘΕΜΑ 38 t f ( t) dt lim σελ Α) Έστω f : RR δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο τέτοια ώστε να ισχύει f ( 3 +) = 4 για κάθε R Aν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε : α) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο Α(,f()), β) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z= α i 5 +i f (α 3 +α) να ανήκει στην παραπάνω εφαπτομένη, γ) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= f ( ) d Β) Έστω zc, z-, και ο μιγαδικός z w z i Αν w R, δείξτε ότι η εικόνα του μιγαδικού z κινείται επί της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g(χ)=- χ ln(+)- στο σημείο Μ(,g()) ΘΕΜΑ 39 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει f () + f () = για κάθε R α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g() = f ( ) g( ) lim β) Βρείτε την συνάρτηση g εάν, γ) Να βρείτε τη συνάρτηση f, είναι σταθερή στο R,, δ) Δείξτε ότι υπάρχει ξ(,) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα, ε) Δείξτε ότι η παραπάνω εφαπτομένη είναι μοναδική ΘΕΜΑ 4 tf ( t ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο (,+ ), με f() = dt, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+), β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(χ)=χ f(χ)-lnχ είναι σταθερή (,+), γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f, δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f,

13 ε) Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =, = και τον άξονα ΘΕΜΑ 4 Α) Aν zo = α + βi, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(z) για τους οποίους z ισχύουν R( z ) Im( z), όπου α = f(), για κάθε (-,) ( lim ) και β = f () με Β) Δίνονται δυο μιγαδικοί αριθμοί z, w καθώς και η συνάρτηση f με τύπο 3 f () = z w z w Να αποδείξετε με τη βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι η εξίσωση f () = έχει τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα [-,] ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η συνεχής στο διάστημα, συνάρτηση f Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f ( t) dt, ) f (), ( α) Η g είναι συνεχής στο σημείο Να δειχθεί ότι:, β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ΘΕΜΑ 43 Α) Θεωρούμε τη συνάρτηση ασύμπτωτες τις ευθείες ψ= και χ=- α) Να αποδείξετε ότι ι τύπος της f είναι, τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο, ( ) 6 f ( ), με χ>- (α,βr) η οποία έχει 6 f ( ), χ>-, β) Να βρείτε συνάρτηση g τέτοια ώστε να ισχύει g (χ)=f(χ), για κάθε χ>-, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(,), g( ) γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης h(χ)=,χ>- Β) Έστω f,g:rr συναρτήσεις, τέτοιες ώστε να ισχύει f(χ)-g(χ)=χ-4, για κάθε χr Αν η ευθεία ψ=3χ-7 είναι ασύμπτωτη της f στο +, να αποδείξετε ότι g( ) g( ) 3 5 lim, lim f ( ) 3 7 ΘΕΜΑ 44 Α) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=χ-ημχ, χ[,π] σελ3

14 α) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f στο [,π], β) Να δειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το σύνολο τιμών της, γ) Να λυθεί η εξίσωση f (χ)=χ, δ) Αποδείξτε ότι f ( ) d t t t Β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση h()= dt dt έπειτα να βρείτε τον τύπο της ΘΕΜΑ 45 σελ4 είναι σταθερή στο R και Α) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R, με την f συνεχή στο R Αν η f παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία χ=5 και χ=8 και ισχύει f ( ) d, δείξτε ότι υπάρχει ξ(5,8) τέτοιο ώστε f (ξ)= ln Β) Δίνεται η συνάρτηση f α) Να μελετήσετε τα ακρότατα και τη μονοτονία της f, β) Να δειχθεί ότι ln, γ) Δείξτε ότι f d ΘΕΜΑ 46 για κάθε χ>, 4 = Α) Δίνεται η συνάρτηση f ), β= lim( ) ln a ( όπου α = 8 5 lim και Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονας χ χ, ψ ψ και την ευθεία χ= Β) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f t) dt f () (, για κάθε R Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα o(,) τέτοιο ώστε να ισχύει f (o) = ΘΕΜΑ 47 Α) Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα, με f d α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g f t dt,, β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f g,

15 Β) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [,] και ισχύει: 99 f d Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f Γ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο για την οποία ισχύει: f d Να αποδείξετε ότι υπάρχει ΘΕΜΑ 48 τέτοιο, ώστε f ln Θεωρούμε συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, ώστε να ισχύει 3 f ( t) dt 3, για κάθε χr α) Να αποδείξετε ότι f(-)=f()=f(), β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία με τετμημένες ξ, ξ (-,) στα οποία οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλες στον άξονα χ χ, γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ξ(-,) τέτοιο ώστε f (ξ)=, δ) Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει καμπή στο σημείο Α(ξ,f(ξ)); ΘΕΜΑ 49 Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f,g τέτοιες ώστε να ισχύει f ( t) dt g( t) dt, για κάθε χ Έστω ότι η εξίσωση f(χ)= έχει δύο λύσεις ρ, ρ με ρ<<ρ α)να αποδείξετε ότι: i) η εξίσωση g(χ)= έχει τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα (ρ,ρ), ii) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(ρ,ρ) τέτοιο ώστε g (ξ)=-, β)δείξτε ότι αν η συνάρτηση g είναι κυρτή στο R τότε και η f είναι κυρτή στο R, γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g και τον άξονα ψ ψ ΘΕΜΑ 5 A) Δίνεται ο μιγαδικός z = yi φανταστικός αριθμός α) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του, με, y R και y > ώστε ο z να είναι σελ5

16 β) Αν η παραπάνω συνάρτηση είναι y : R R τότε να δείξετε ότι η y() αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη y -, Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α,β] R και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α + z f(α)i, z = β + f(β)i Aν R, να δείξετε ότι z α) Ισχύει z iz z iz, β) Ισχύει το ΘRoll για την συνάρτηση g() = f ( ) στο διάστημα [α,β], γ) Υπάρχει o (α,β) έτσι ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(o,f(o)) να διέρχεται από το Ο(,), f ( t) δ) Αν lim dt, να δείξετε ότι η f () = έχει λύση στο (α,β) a ( a) t ΘΕΜΑ 5 A) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το για την οποία ισχύει : f()+f(4-)= -, για κάθε α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g()= f ( ) ln Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=+ α) Να βρεθεί ο τύπος της f, β) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο R, γ) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y ΘΕΜΑ 5 Α) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] 3 = - f(), α>,για κάθε α) Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή και μάλιστα αρνητική, β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g()= f ( ) Β) Έστω η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση g και η συνάρτηση f()= g ( t) dt α) Να δείξετε ότι : f ()+f ()=[g(-)+g (-)], για κάθε β) Αν η γραφική παράσταση της g βρίσκεται πάνω από τον άξονα και η g είναι σελ6

17 γνησίως αύξουσα στο R, να δείξετε ότι η συνάρτηση h()= f () +f() είναι γνησίως αύξουσα στο R ΘΕΜΑ 53 Α) α) Αν f είναι μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση και η εξίσωση f () = έχει το πολύ ν διακεκριμένες πραγματικές ρίζες (νν), τότε η εξίσωση f() = έχει το πολύ ν+ διακεκριμένες πραγματικές ρίζες β) Να λυθεί η εξίσωση : 4 = + 5 Β) α) Έστω f μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [α, β] Να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει λύση στο (α, β) αν και μόνο αν f(α)f(β) < β) Να δείξετε ότι η εξίσωση λ = έχει λύση στο (-, ) αν και μόνο αν λ(- 4, 4) ΘΕΜΑ 54 Α) α) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [α, β] Αν η f είναι αντιστρέψιμη και έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο [α, β], να δείξετε ότι : f ( ) f ( ) d + f ( ) d = βf(β) αf(α) f ( ) β) Δίνεται η συνάρτηση f() = + 5 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε f() = ( vt) f ( t) dt, νν *, για κάθε α) f() = και f () = Να δείξετε ότι : β) f () = ( ν)f() + ( ν)f (), για κάθε γ) f() =, για κάθε, αν ν = ή ν = ΘΕΜΑ 55 f ( ) d Α) α) Αν f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] με f(), για κάθε χ [α,β] και f ( ) d να δείξετε ότι f()=, για κάθε χ [α,β] β) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ], τέτοια ώστε f() > για κάθε [, ], σελ7

18 και ln 4 f ( ) d = ( ln f ( ) ) d β) Να δείξετε ότι f() =, για κάθε [, ] f ( ) β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Ι= f ( ) f ( ) Β) Έστω η συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, τέτοια ώστε : f (5) + f () = f (35) + f () α) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, 35) με ξ < ξ τέτοια ώστε f ( ξ) = f ( ξ) β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, 35) τέτοιο ώστε f (3) (ξ) = d ΘΕΜΑ 56 Α) Δίνεται η συνάρτηση f() = 5 α +6 β +7 γ με f() 3, για κάθε Αποδείξτε ότι : α) η f έχει ελάχιστο το 3, β) 5 α 6 β 7 γ = Β) Να λυθεί στο R η εξίσωση : ( + +) ( +) 7 +( + +) 7 ( +) = ΘΕΜΑ 57 Α) Η συνάρτηση f : RR είναι συνεχής στο R και ισχύει τον τύπο της συνάρτησης f Είναι η f - ; Β) Δίνεται η συνάρτηση α) να αποδείξετε ότι β) να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι= Γ) Έστω η συνάρτηση f ( ), R f ( ) f ( ), R f ( ) d t f ( t) f ( ) t dt ln t f ( ) dt, χ> α) να βρείτε το ολοκλήρωμα I t β) να βρείτε τη συνάρτηση g με τύπο g()=f()+f( ), >, να βρείτε ln d ΘΕΜΑ 58 A) Η συνάρτηση f : [-π,π]r είναι συνεχής με την ιδιότητα f ( ) κάθε χ[-π,π] Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-π,π), για σελ8

19 B) Δίνεται η συνάρτηση f με την ιδιότητα f ( ) f ( ), για κάθε χ> Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f με συντελεστή διεύθυνσης Γ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f( ), για κάθε R f ( ) af ( ), για κάθε R και f()=, να βρείτε το α Αν ισχύει ΘΕΜΑ 59 A) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)= g( ), όπου g παραγωγίσιμη στο (,+), και οι μιγαδικοί αριθμοί z i, w g( ) i τέτοιοι ώστε να ισχύει, για κάθε χ> wz wz Αν g()= να δείξετε ότι α) η f παρουσιάζει ελάχιστο στο χο= β) g ()= - B) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (α,f(α)) σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 6 ο και στο σημείο (β,f(β)) γωνία 45 ο Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= f ( ) d Γ) Αν f( ) lim 3 3, να υπολογίσετε το όριο f ( ) 3 lim 3 3 ΘΕΜΑ 6 dt 4 4 A) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=, χ Να αποδείξετε ότι f(7) f(5) t 5 B) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g στο [,] με f ( ) g( ), για κάθε χ στο [,] Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ [,] : f ( t) dt g( t) dt Γ) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:[,+ )R με f(χ)> f () t dt, για κάθε χ Να αποδείξετε ότι α) η συνάρτηση g(χ)= β) f(χ)>, για κάθε χ ΘΕΜΑ 6 f () t dt είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) A) Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [,+) σελ9

20 α) Αν f(3)=6, f(5)= να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα χο(3,5) τέτοιο ώστε η γραφική παράσταση της f στο σημείο Α(χο,f(χο)) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) να αποδείξετε ότι o f ( ) d f () B) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:[,+ )R και παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f (χ)>, για κάθε χ> α) να δείξετε ότι f(χ) χ+f(), για κάθε χ β) αν f()< δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό χο>: f(χο)= Γ) Έστω συνάρτηση g:[α,β]r δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει g( ) g( ) g( ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β): g (ξ)= ΘΕΜΑ 6 A) Έστω η συνάρτηση f(χ)=χ 4 -χ +α (αr) α) Αν Α(χ,f(χ)), Β(χ,f(χ)), Γ(χ3,f(χ3)) είναι τα τοπικά ακρότατα της f με χ<χ<χ3, να αποδείξετε ότι β) Αν <α< να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ)= έχει μοναδική λύση στο (-,) B) Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με f (χ) και g( ) f ( ) f ( ), για κάθε χr, όπου g παραγωγίσιμη συνάρτηση Αν η γραφική παράσταση της f έχει σημείο καμπής το Α(χο,f(χο)) να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Α είναι παράλληλη της ευθείας ψ-χ+5= Γ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ασύμπτωτη στο + την ευθεία ψ=+5χ, f ( ) 3 να βρείτε το όριο lim 3 f ( ) 5 ΘΕΜΑ 63 A) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : RR με f(χ)>- και κάθε χr () α) να δείξετε ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση β) να βρείτε την f f ( ) f ( ), για B) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:rr με f()=g() και (fg) ()=f ()f()+g ()g(), για κάθε χr Να δείξετε ότι f=g Γ) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f(α)=f(β)= και f (χ)<, για κάθε χr, να δείξετε ότι f(χ)>, για κάθε χ(α,β) σελ

21 ΘΕΜΑ 64 ln Δίνονται οι συναρτήσεις g(χ)=χ 3 -χ-lnχ+ και f(χ)=, χ> α) να βρεθεί η συνάρτηση g β) να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) να βρεθεί το σύνολο τιμών της g δ) να δείξετε ότι lim f( ) g ( ) ε) να δείξετε ότι f (χ)= 3 ζ) δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό ξ> : f(ξ)=ξ, για κάθε χ> η) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τις κατακόρυφες ασύμπτωτες ΘΕΜΑ 65 ( a) ( ) lim A) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β ώστε το όριο 3 να υπάρχει στο R B) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) a 4 3, χr Αν η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει καμπή σε δύο διαφορετικά σημεία, να δειχθεί ότι 3α >8β Γ) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z,z3 ισχύει z z z a, να υπολογίσετε zz zz3 zz3 d το ολοκλήρωμα Ι= z z z3 ΘΕΜΑ 66 3 A) α) Έστω f:[α,β]r δύο φορές παραγωγίσιμη, κυρτή συνάρτηση Δείξτε ότι f ( a) f ( ) f ( ) β) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln(ln ), > Δείξτε ότι είναι κυρτή στο (,+ ) και ότι για a α,β> ισχύει ln( ) ln a ln B) Έστω f :ΔR δύο φορές παραγωγίσιμη με f(χ)>, για κάθε χδ Να αποδείξετε ότι η f ( ) f ( ) f ( ) συνάρτηση g(χ)=ln(f()) είναι κυρτή στο Δ, για κάθε χδ ΘΕΜΑ 67 A) Έστω f:[α,β]r συνεχής συνάρτηση με f(χ), για κάθε χ[α,β] Δίνεται επιπλέον μιγαδικός z με z f ( a), z f ( ) και Im(z) Να αποδείξετε ότι z z σελ

22 α) η εξίσωση β) z 3 f a γ) f ( ) f ( a) ( ) f ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,) B) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R με f()= και f () lim f ( ) Αν μιγαδικός z με την ιδιότητα z f ( ), για κάθε χr, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού z ΘΕΜΑ 68 A) Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο R με f(χ)> και έστω g(χ)=t f ( t) dt (t,χr) Να αποδείξετε ότι α) g(χ)= ( ), t f t dt για κάθε χ β) η g είναι συνεχής στο μηδέν γ) g( ) f ( t) dt, για κάθε χ> δ) Αν f t) dt 3 g(ξ)=f(ξ) t ( t f ( t) dt, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(,) τέτοιο ώστε B) Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z,z και οι συναρτήσεις f,g με, f ( ) tz z dt χ g( ) z z Γ) Αν η εφαπτομένη της συνάρτησης, χ Να αποδείξετε ότι f(χ) g(χ), για κάθε, όπου z,wc με z w, f ( ) z w στο σημείο Α(,f()) είναι κάθετη στην ευθεία ψ=-χ+, να βρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 69 A) Έστω f:[-,]r παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(-)=-, f()= Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (-,): f( ) f( ) B) Έστω f στο συνεχής [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α)=α, f(β)=β Να αποδείξετε ότι α) υπάρχει γ(α,β): f(γ)=α+β-γ β) υπάρχουν ξ,ξ (α,β) με : f( ) f( ) σελ

23 Γ) Έστω f παραγωγίσιμη στο [,3] με f()=f(3) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν α,β,γ(,3) : f ( a) f ( ) f ( ) ΘΕΜΑ 7 A) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f ( ) f ( ) 4 f ( ) σελ3, για κάθε χr Δείξτε ότι η f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R και ότι ισχύει f ( ) 8 f ( ), για κάθε χr B) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[,]r για την οποία ισχύει f () f () f( ) για κάθε [,] Nα βρεθούν οι αριθμοί f() και f() Γ) Aν για την συνάρτηση f:[,+)r, με f() = ισχύει f () > για κάθε (,+) f ( ) να αποδείξετε ότι f () >, > ΘΕΜΑ 7 A) Έστω f:[-,]r παραγωγίσιμη συνάρτηση με f()= και [-,] Να αποδείξετε ότι α) f()= β) υπάρχει χο(,) : f(χο)= χο γ) υπάρχει ξ(,) : f () t dt B) Έστω f: R R συνάρτηση για την οποία ισχύει α) να βρείτε τον τύπο της f β) να βρείτε το σύνολο τιμών της f f () t dt, για κάθε f ( ) f ( ), για κάθε χr γ) να αποδείξετε ότι f ( a) f ( ) a, για κάθε α,βr με a δ) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ΘΕΜΑ 7 f ( ) d A) Έστω f:[,]r παραγωγίσιμη συνάρτηση με f συνεχής, για την οποία ισχύει f d f ( ) () 4 α) να δείξετε ότι υπάρχει χο(,) : f(χο)= o β) να δείξετε ότι υπάρχει χ(,χο): f ( ) f ( ) o

24 γ) αν επιπλέον ισχύει f ( ) d να βρείτε τον τύπο της f B) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:(,+ )R με f(χ) για κάθε χ> και f ( ) f ( t) f ( t) dt Να αποδείξετε ότι t t α) f( ), για κάθε χ> β) η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ) γ) f(χ)=χ, για κάθε χ> ΘΕΜΑ 73 A) Έστω η συνάρτηση f ( ) f (), g ( ) f(), συνάρτηση με f συνεχής στο R Δείξτε ότι, όπου η f είναι μια παραγωγίσιμη στο R g( ) f ( t) dt B) Δίνεται ο μιγαδικός και μη πραγματικός αριθμός z με z = Έστω η συνάρτηση f: R R με f ( ) z z α) να βρείτε τους αριθμούς f() και f () β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της f στο Α(,f()) γ) να δείξετε ότι η f είναι κυρτή δ) να βρείτε την ασύμπτωτη στης γραφικής παράστασης της f στο + ΘΕΜΑ 74 A) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: R R για τις οποίες ισχύει f()=, g()= και f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ), για κάθε χr Να αποδείξετε ότι α) οι συναρτήσεις f,g είναι σταθερές β) 4 g ( ) g ( ) d 4 γ) ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει _ g( ) z z6 g( ) if ( ) είναι κύκλος, ο οποίος και να βρεθεί B) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) aln 3, χ> και το σημείο Α(,f()) Αν η ευθεία ψ=χ+4 είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α, να βρείτε τους αριθμούς α,β ΘΕΜΑ 75 σελ4

25 A) Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ )R για την οποία ισχύουν 3 f ( ), για κάθε χ>, f()= και f ()= α) να βρείτε τον τύπο της f β) να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) να αποδείξετε ότι σελ5, για κάθε χ> δ) να αποδείξετε ότι f()+f()>f() B) Έστω f: RR παραγωγίσιμη στο [,] συνάρτηση και - με f () f ( ) d f ( ) d Να αποδείξετε ότι υπάρχει χο(,): f () ΘΕΜΑ 76 A) Δίνεται η συνάρτηση α) είναι η f συνεχής; f ( ) ( t) dt, [, ) β) να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία γ) αν a δείξτε ότι f ( ) ln, χ> B) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) f ( ) α) να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χ χ β) να δειχθεί ότι ln, για κάθε χ> γ) να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ= και χ=χο, όπου χο είναι το σημείο στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο ΘΕΜΑ 77 A) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln, χ> α) να βρείτε τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της f β) δείξτε ότι για κάθε κr η εξίσωση f ( ) k έχει μοναδική ρίζα γ) να λυθεί η εξίσωση f ( ) δ) να βρείτε τις τιμές του λr για τις οποίες ισχύει η ισότητα ln( ) ln( ) B) Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση με f(8)=6 και f ( ) f ( f ( )), για κάθε χr Να βρεθεί ο αριθμός f()

26 ΘΕΜΑ 78 A) Αν η συνάρτηση f :[,] (, ) έχει συνεχή παράγωγο και f()=, f()=, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I f( ) d ( ) ( ) f f B) Αν f:r R συνεχής συνάρτηση f()=, f ()= να βρεθεί το όριο Γ) Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση f:r R με την ιδιότητα για κάθε χr ΘΕΜΑ 79 A) Να αποδείξετε ότι ln t dt t B) Να αποδείξετε ότι lim, για κάθε χ> lim f () t dt f () t dt, Γ) Να βρεθεί το αr ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης ( a) a να είναι ελάχιστο ΘΕΜΑ 8 A) Αν η συνάρτηση 3 f ( ) a παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα διαφορετικού είδους τα οποία βρίσκονται πάνω σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, δείξτε ότι αβ=9γ B) Έστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τέτοια, ώστε για κάθε χr να ισχύει καμπής ΘΕΜΑ 8 f f f ( ) ( ) 5 ( ) Δείξτε ότι το διάγραμμα της f δεν παρουσιάζει σημείο A) Δίνεται η συνάρτηση 3 f( ) ( ) α) δείξτε ότι η f έχει μοναδικό σημείο καμπής (χο,f(χο)) β) αν ισχύει α +3>3β να δείξετε ότι η f παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα στις θέσεις χ,χ και ισχύει χ+χ=χο σελ6

27 B) Δίνεται η συνάρτηση f( ) βρεθεί το όριο 4 lim, ( λ<) Αν χ,χ οι ρίζες της f( ) να Γ) Αν η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει σημεία καμπής, δείξτε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην καμπύλη ΘΕΜΑ 8 A) Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ )R με f()= και 3 κάθε χ> Αν f(χ) για κάθε χ>, τότε α) δείξτε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (,+ ) β) δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ) γ) να βρεθεί ο τύπος της f B) Αν f: R R δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με χr, να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή ΘΕΜΑ 83 A) Δίνεται η συνάρτηση a, f( ) ( ) 6, α) να βρεθούν τα α,βr ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη β) δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R γ) να λυθεί η εξίσωση f(χ)=6 δ) να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής f ( ) f ( ), για f f ( ) ( ), για κάθε B) Αν η συνάρτηση f:r R ικανοποιεί τη σχέση f ( ) f ( ) f ( ),για κάθε χ,ψr και είναι παραγωγίσιμη στο με f ()=, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στον άξονα χ χ στην αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ 84 A) Αν η συνάρτηση f:rr είναι παραγωγίσιμη στο χο= με f () και f ( ) 4 α) η f () β) το όριο για κάθε χr, να βρεθεί L f (3 ) f ( ) lim f ( ) f ( ) σελ7

28 B) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 6 5, χ [, ] α) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα β) να λυθεί η εξίσωση 8 4 3( ), χ ΘΕΜΑ 85 f ( ) A) Αν η συνάρτηση f:r R είναι συνεχής στο χο= και lim 4 αποδείξετε ότι α) η f είναι παραγωγίσιμη στο χο β) f ( ) lim 8 B) Έστω f:[,]r παραγωγίσιμη συνάρτηση με f()=, f()= Να δειχθεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Γ) Ένας κύκλος (Ο,R) τέμνει τη γραφική παράσταση μια συνάρτησης f:(,+)r στα σημεία Α(α,f(α)), Β(β,f(β)) Να δειχθεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάποιο σημείο της Μ η οποία είναι κάθετη στην ΟΜ ΘΕΜΑ 86, να A) Να βρεθεί η θετική παραγωγίσιμη συνάρτηση f:rr με την ιδιότητα f ( ) ln( f( )), για κάθε χr B) Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R με την ιδιότητα για κάθε χr Γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f 3 f ( ) χr, μα βρεθεί το όριο L lim ΘΕΜΑ 87 3 ( ) f ( ) 3 ln f ( t) dt,, για κάθε A) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: RR για τις οποίες ισχύει f(3)=g(3)= και f ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) g( ), για κάθε χr Να αποδείξετε ότι f=g B) Αν είναι <α<β, να αποδείξετε ότι Γ) Να λυθεί η εξίσωση ΘΕΜΑ 88 ln a ln, χ (, ) σελ8

29 A) Έστω ότι για τη συνάρτηση g:rr ισχύουν g() g() Αν g ( ), f( ), να βρεθεί η f (), B) Έστω ότι για τις παραγωγίσιμες στο χο= συναρτήσεις f,g:rr ισχύει ( ) ( ) 4 f g, για κάθε χr Να αποδείξετε ότι f() g() Γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (ln ) δειχθεί ότι f() ΘΕΜΑ 89 Α) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=α+βi-, όπου a Επίσης δίνεται η συνάρτηση α) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία β) να λυθεί η εξίσωση ln ( ) ln( ) γ) να βρεθεί το σύνολο τιμών της f δ) να λυθεί η εξίσωση f lim, ln ( ) f ( ) ln( ), χ>- z ( () ) () f, χ>, για κάθε χ, να lim B) Δίνεται η συνάρτηση f: R R συνεχής στο χο= με την ιδιότητα 7 f ( ) f ( ), για κάθε χr α) να δείξετε ότι η f είναι - και να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση f - β) δείξτε ότι f () γ) αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R δείξτε ότι δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα ΘΕΜΑ 9 A) Έστω f: RR τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f ( ) ( f ( )), για κάθε χr Δείξτε ότι η f είναι σταθερή B) Να βρείτε συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύουν f() f(), f(χ)> και 3 f ( ) f ( ) f ( ),για κάθε χ> Γ) Αν για κάθε χr ισχύει f ( ) f ( ) να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή ΘΕΜΑ 9 A) Δίνονται οι συναρτήσεις f :(, ] R με f ( ) 3 και χr Να βρείτε τη συνάρτηση f og και το σύνολο τιμών της g ( ), σελ9

30 B) Αν για τη συνεχή συνάρτηση f: RR ισχύουν οι σχέσεις κάθε χr και f(-)<, να βρείτε α) τον τύπο της f β) το lim f( ) ΘΕΜΑ 9 γ) τις ασύμπτωτες της f f ( ) f ( ), για A) α) Δίνεται f: R R περιττή συνάρτηση Δείξτε ότι lim f ( ) lim f ( ) β) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( ) β) δείξτε ότι η f είναι ορισμένη στο R και συνεχής β) δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β3) δείξτε ότι η f είναι περιττή β4) να βρεθούν τα όρια lim f( ), lim f( ) β5) και να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση f - B) Δίνεται η συνάρτηση ( ) μην έχει σημεία καμπής ΘΕΜΑ 93 A) Δίνεται η συνάρτηση f a με αr Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η f να f ( ) ln, χ> α) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) δείξτε ότι ln, για κάθε χ> γ) δείξτε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής δ) να βρεθεί το σύνολο τιμών της f ε) να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f 3 4 ζ) δείξτε ότι για κάθε χr ισχύει ln a B) Δείξτε ότι lim ΘΕΜΑ 94 a (με α,β>) A) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f ( ) Να αποδείξετε ότι α) η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R β) g()<, για κάθε χ> και g( ) ( )ln( ) σελ3

31 γ) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,+ ) B) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α) να βρεθεί η f (χ) β) να δείξετε ότι f(χ)=χ+ημχ t t dt t, χ[,π] γ) να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f :[, ] [, ] δ) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των f,f - και των ευθειών χ=, χ=π είναι ίσο με 4 τμ ΘΕΜΑ 95 f( ) A) Δίνεται η συνάρτηση, χr α) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) να βρεθεί το σύνολο τιμών της f γ) να λυθεί η ανισότητα δ) να βρεθεί το όριο 6 3 tf () t t L lim dt ε) δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία ψ= Β) Να βρεθεί το α, ΘΕΜΑ 96 Α) Δίνεται η συνάρτηση για κάθε χ,ψ R a d αν ισχύει ότι f : R R * με f ()= και f ( ) f ( ) f ( ) 3, α) να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R g( ) f ( ) 3 3 είναι σταθερή στο R β) να δείξετε ότι η συνάρτηση γ) να βρεθεί ο τύπος της f δ) να βρεθούν τα όρια lim f( ) Β) Αποδείξτε ότι d d 9 9, f( ) lim ΘΕΜΑ 97 ln f( ),χ> Α) Δίνεται η συνάρτηση σελ3

32 α) να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f β) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα aln γ) να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε η συνάρτηση να είναι μια αρχική της f δ) να βρείτε το lim Ek ( ), όπου Ε(κ) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη k γραφική παράσταση της f, τις ευθείες χ=, χ=κ (κ>) και τον άξονα χ χ f ( ) Β) Δίνεται η συνάρτηση,χr Να δειχθεί ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()) δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την γραφική παράσταση της f ΘΕΜΑ 98 Α) Έστω οι συναρτήσεις f ( ) 5 και 5 5 g( ) k α) αν η g είναι παράγουσα της f να βρεθούν οι αριθμοί κ,λ β) να λυθεί η εξίσωση ( 4 ) ( 4) (κ,λr) γ) αν χ<χ οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες χ=χ+ και χ=χ+ Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει f (χ)<χ, R Δείξτε ότι f(4) f() 6 για κάθε χ ΘΕΜΑ 99 f ( ) Α) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με lim 3 και f(3)=4 α) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο (,f()) β) αν η f είναι κυρτή στο R να δείξετε ότι f(χ)-5χ+6 γ) να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,3) στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο Β) Έστω η συνάρτηση f:(,+ )R για την οποία ισχύουν f ()= και f ( ) f ( ) f ( ), για κάθε χ,ψ> α) δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) β) να βρεθεί ο τύπος της f γ) να βρεθεί το όριο f( ) L lim f ( ) δ) δείξτε ότι η εξίσωση f(χ)=χ- έχει μοναδική ρίζα ΘΕΜΑ a t Α) Να βρεθεί το όριο L lim dt 3, για τις διάφορες τιμές του αr t σελ3

33 , Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ), α) να βρεθεί το λ ώστε η f να είναι συνεχής στο R β) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) να δείξετε ότι οι μόνοι θετικοί ακέραιοι α,β για τους οποίους ισχύει a a είναι οι α=, β= , 3, 4, 5 δ) να συγκρίνετε τους αριθμούς ε) να λύσετε την εξίσωση f( ) στο διάστημα (,] 7 ΘΕΜΑ Α) Έστω z,z,z3c οι εικόνες των οποίων στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος χ +ψ = α) να αποδείξετε ότι 3 β) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα z z z z z z 3 σελ33 zz zz3 zz3 I d z z z3 Β) Έστω η συνάρτηση f:rr με f ( ) f ( ) f ( ), για κάθε χr της οποίας η γραφική παράσταση της f έχει στο σημείο Α(,f()) εφαπτομένη κάθετη στην ευθεία (ε):ψ=-+3 α) να βρεθεί ο τύπος της f β) να αποδείξετε ότι δεν μπορεί η ευθεία (ε) να έχει με τη γραφική παράσταση της f δύο κοινά σημεία γ) αν g( ) g( ) f ( t) dt, χ, να βρεθεί το όριο lim δ) να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ=, χ=α> ΘΕΜΑ Α) Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο χο R με f ( ) 3 lim Να αποδείξετε ότι η o ευθεία (ε): ψ=χ-3 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο Α(χο,f(χο)) Β) Έστω η συνάρτηση f: RR παραγωγίσιμη με f ()=, f ( ) f ( ) f ( ) και f( ), για κάθε χ,ψ R Να αποδείξετε ότι α) f()= και f ( ) ( ) f ( ) o

34 g ( ) β) η συνάρτηση f( ) είναι σταθερή στο R γ) να βρεθεί ο τύπος της f δ) δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει ασύμπτωτες ΘΕΜΑ 3 Α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ )R Αν μιγαδικοί z=f(β)+iβ, w=α+if(α) (α,β>) g( ) α) να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) και να βρεθεί η g (χ) β) αν g( ) d δείξτε ότι ο μιγαδικός zw είναι φανταστικός γ) αν a f ( ) ln d g( ) d και η g είναι κυρτή στο (,+ ) δείξτε ότι γ) f()= γ) g( ) g( ), για κάθε χ> Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:rr και για κάθε χr ισχύει όπου k 6lim ΘΕΜΑ , να βρείτε τις τιμές f () και f (7) Α) Έστω ότι για τη συνάρτηση f: R * R ισχύει f ( ) f ( ) χ,ψ R * α) δείξτε ότι η συνάρτηση β) να βρεθεί ο τύπος της f g ( ) f( ), χ, είναι σταθερή Β) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R με τις ιδιότητες f(χ)>, για κάθε χr f()= f γνησίως φθίνουσα στο R f[lnf()], για κάθε χr f ( ) u du, χ> και οι u 3 4 f ( ) 3 k,, για κάθε Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο A(,f()) ΘΕΜΑ 5 σελ34

35 Α) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με, για κάθε χr Αν η ευθεία ψ=χ- είναι εφαπτομένη ( ) f ( ) 4 f ( ) f ( ) της γραφικής παράστασης της f στο A(,f()) α) να βρεθεί ο τύπος της f 4 4 β) να βρεθεί το όριο L lim f ( ) γ) να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f δ) δείξτε ότι η f δεν έχει σημείο καμπής στο σημείο A(,f()) Β) Να βρεθεί το όριο L lim 3 a 3 για τις διάφορες τιμές του αr ΘΕΜΑ 6 a Α) Να βρεθούν οι αριθμοί α,β για τους οποίους ισχύει lim a Στη συνέχεια να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Β) Δίνεται συνάρτηση : f R R I a με την ιδιότητα f ()= και d a f ( a ) f ( ) f ( a), για κάθε α,βr f( ) α) δείξτε ότι lim β) να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f ( ) f ( ), για κάθε χr δ) να βρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 7 Α) Αν f συνεχής και f() για κάθε R και f() = τότε να βρείτε το όριο L= lim f 4 3 () 4 f( ) Β) Αν η f είναι συνεχής στο R με f(3) = -4 και f(), για κάθε R 5 4 f ( a) Nα δείξετε ότι L= lim 3 f ( a) 9, όπου αr Γ) Αν α,β,γ είναι θετικοί και για κάθε R είναι (αβ) + β - +(βγ) 3β, να αποδειχθεί ότι οι α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ΘΕΜΑ 8 5, Α) Θεωρούμε τη συνεχή f στο R με σύνολο τιμών f(r) = σελ35

36 f Έστω η g ορισμένη στο R\{} με g()= πραγματικός αριθμός να βρείτε το f() ( ) 5 f ( ) 6 Aν το lim g( ) Β) Aν για τις f,g ισχύει f () + ln + = f() g () + g()ln, για κάθε g( ) > να δείξετε ότι οι f, g είναι συνεχείς στο (, +) και να βρείτε τα lim f ( ) lim f( ) g ( ) και ( fog )( ) d y Γ) Δίνεται η συνάρτηση f() = lim, R y y 3 α) να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια β) να υπολογίσετε το f ( ) a lim όταν < γ) είναι η f παραγωγίσιμη στο μηδέν; ΘΕΜΑ 9 a είναι Α) Έστω η συνεχής f: RR η οποία είναι και γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι υπάρχει f () f () f ( ) ακριβώς ένα or ώστε f ( ), ν γνωστός ακέραιος Β) α) Να αποδειχθεί ότι lnθ < θ + 4 για κάθε θ > β) Δίνεται η εξίσωση + y + (lnθ )lnθ + 4y + lnθ θ =, θ>να αποδειχθεί ότι για κάθε θ > η εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί η ακτίνα και το κέντρο γ) να βρεθεί η τιμή του θ για την οποία η ακτίνα γίνεται ελάχιστη ΘΕΜΑ Α) α) Να αποδειχθεί ότι, για κάθε R β) να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: RR με την ιδιότητα γ) να βρείτε τη συνάρτηση g για την οποία ισχύει g( ) g( ) Β) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = - και g() = α) Αποδείξτε ότι το σημείο Μ(ημθ,συν θ), θ, εξίσωση της εφαπτομένης της Cg στο Μ f ( ) f ( ), για κάθε R ανήκει στη Cg και να βρείτε την β) Αν η εφαπτομένη τέμνει τη Cf στα σημεία Α(,y) και Β(,y) να υπολογίσετε τα, +, y + y γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης, σελ36

37 φ(θ) = y + y, θ, ΘΕΜΑ Α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση Αν η εξίσωση f ( ) έχει δύο ρίζες, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R Β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση με f(χ)>, για κάθε R Αν f()= και η f είναι συνεχής στο χο=, να βρεθεί το όριο L= Γ) α) Δείξτε ότι για κάθε R ισχύει σελ37 lim β) να βρείτε το σημείο του διαγράμματος της f ( ) f( ) δυνατή απόσταση από την ευθεία ψ=χ Ποια είναι η απόσταση αυτή; ΘΕΜΑ Α) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα και lim το οποίο απέχει την ελάχιστη 4 I d αν είναι γνωστό ότι Β) Αν α,β,γr και ισχύει ( ) ( ) ( ), για κάθε R να αποδειχθεί ότι α=β+γ Γ) Δίνεται συνάρτηση f:[,π]r με την ιδιότητα f ( ), για κάθε [,π] α) να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο β) να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) 3 γ) να υπολογίσετε το όριο ΘΕΜΑ 3 3 f ( ) f ( ) 3 lim f( ) 3 Α) Δίνεται η συνάρτηση f ( ), R α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία ψ=χ, τον άξονα ψ ψ και την ευθεία χ=λ (λ>) β) να βρεθεί το lim E( ) 7 γ) να βρεθεί η τιμή του λ αν ισχύει E( ) 6

38 Β) α) Να αποδείξετε ότι 3, για κάθε χ 6 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(χ)=ημχ, g(χ)= ΘΕΜΑ 4 Α) Δίνεται η συνάρτηση F(χ)= dt 8 t 3 και τις ευθείες χ= και χ= 6, R α) να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία β) να δείξετε ότι η F είναι περιττή γ) να δείξετε ότι lim F( ) Β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f :[, ] R με f(χ)= 4 στο πεδίο ορισμού της ( t) dt t είναι γνησίως αύξουσα ΘΕΜΑ 5 Α) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R(,+ ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) t f () t dt f () t dt, χ> α) είναι γνησίως αύξουσα β) δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη 4 Β) Δίνεται η συνάρτηση f: R * R με f ( ), R * α) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής β) να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f γ) αν Ε(t) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία ψ= και τις ευθείες χ=, χ=t (t>), να βρεθούν τα όρια lim Et ( ) lim Et ( ) t ΘΕΜΑ 6 Α) Αν z,w μιγαδικοί με w και γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z t, lim Et ( ) t R( z) Im( w) z, τότε να βρείτε τον Im( z) R( w), σελ38

39 Β) Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f()=f(3) και f f 3 ( ) (3 ) κάθε χr Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (χ)= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,3) Γ)α)Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( )( ) και g( ) ( )( )( 3) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο Α(,) β) Αν h( ) f ( ) g( ), να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,4) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της h στο Μ(ξ,h(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ γ) Να λυθεί (ως προς χ) η εξίσωση ΘΕΜΑ 7 4 h( t) dt (ν=,, ) Α) Αν το f() = α +β+γ, α, έχει δύο άνισες ρίζες ρ,ρ, να αποδείξετε ότι:, για i) f ( ρ)+ f ( ρ) = ii) f ( ρ)f ( ρ) iii ) ρ/f ( ρ)+ ρ/f ( ρ) = /α Β) Για τη συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ισχύουν: f (-) = και η f είναι περιττή, g() = f()συν f(συν), R Να υπολογίσετε τον αριθμό g () και το ολοκλήρωμα a ln g () f () g () t t Γ) Με τη βοήθεια το ΘΜΤ να αποδείξετε ότι: a, για κάθε α,βr ΘΕΜΑ 8 Α) Αν f() πολυώνυμο βαθμού ν, να αποδειχθεί ότι: α) f() = (-ρ) π() f(ρ) = f (ρ) = (δηλαδή το (-ρ) είναι παράγοντας του f() f(ρ) = f (ρ) = ) β) Να αποδείξετε ότι το (χ-) είναι παράγοντας του πολυωνύμου f() =νχ ν+ -χ ν- -(ν +)χ+ν -ν+ με ν γ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες το πολυώνυμο (-) είναι παράγοντας του πολυωνύμου f() = α 8 + β 3 +4 Β) Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερό εμβαδόν 9m να βρεθεί αυτό που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα και στη συνέχεια να υπολογισθούν και οι άλλες πλευρές του Γ) Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει: [f()] = (-), για κάθε (α,β) Να δείξετε ότι η f δεν έχει σημείο καμπής t t dt ΘΕΜΑ 9 σελ39

40 Α) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε f()= Αν για κάθε R, ισχύει: 3 g() z f (t)dt 3 z ( ) όπου z=α+βic, με α,βr *, τότε: z α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε τη g β) Nα αποδείξετε ότι z z z γ) Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος β) να αποδείξετε ότι R(z ) = δ) Aν επιπλέον f()=α>, f(3)=β και α>β, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,3) τέτοιο ώστε f()= Β) α) Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ Αν α,β,γδ και α β γ να δείξετε ότι: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) β) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f() = ln είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της γ)αν α β γ και α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι: ΘΕΜΑ Α) Έστω f:r R παραγωγίσιμη συνάρτηση με f 3 ()+4f()=4, για κάθε R α) δείξτε ότι f()=, f(-4)=- και f ()= β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της γ)να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο (,) και να αποδείξτε ότι f(χ)<χ χ> Στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση f( --)+ - Β) Αν η f:[-,] είναι συνεχής με f(-) = -, f() = και f () για κάθε (-,), να υπολογίσετε τον f() Στη συνέχεια να βρείτε τον αριθμό R ( )) d i f () i Γ) Σε ένα σφαιρικό μπαλόνι διοχετεύεται αέριο με ρυθμό εισροής cm 3 /min Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του, τη χρονική στιγμή t που η ακτίνα είναι ίση με 3cm; Ποιος είναι ο ρυθμός αύξησης της επιφάνειας του την ίδια χρονική στιγμή t; σελ4