σελ.1 lim ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2 ΘΕΜΑ 3 z -1)=f( z ) είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "σελ.1 lim ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2 ΘΕΜΑ 3 z -1)=f( z ) είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα."

Transcript

1 ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει: f(f(χ))=9χ-8, για κάθε χr Δείξτε ότι: α) Η f είναι -, β) f()=, γ) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση: f( z -)=f( z ) είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα ΘΕΜΑ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=i + και η συνάρτηση f(χ)=χ χ - z, χr α) Δείξτε ότι f(χ)=χ χ, β) Να βρεθούν η μονοτονία και τα ακρότατα της f, γ) Είναι η f αντιστρέψιμη στο διάστημα (,+); Δικαιολογήστε την απάντησή σας, δ) Δείξτε ότι η f δεν έχει πλάγιες-οριζόντιες ασύμπτωτες στο +, ε) Δείξτε ότι η εξίσωση f(χ)= έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (,), στ) Να υπολογίσετε το ΘΕΜΑ 3 lim ( f ( t) t ) dt ( ) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=lnχ+χ-, χ> α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τις ασύμπτωτες, β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(χ)=, γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση: ln z =- z, δ) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ= και χ=λ (<λ<), E( ) ε) Να βρεθούν τα όρια lim E( ) και lim σελ

2 ΘΕΜΑ 4 Α) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β) με g(χ) g (χ), για κάθε χ(α,β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς w=f(α)-ig(β) και z=g(α)-if(β) ώστε w+ z = w -z Να αποδείξετε ότι υπάρχει χο(α,β): f ( o ) f ( o ) g( o ) g( o ) Β) Δίνεται ο μιγαδικός z ώστε να ισχύει: R( z) [ ( z z ) z 4] Im( z) α) Να βρεθεί η συνάρτηση που δίνει τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, β) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, την εφαπτομένη του στο σημείο χο= και τον άξονα Οχ ΘΕΜΑ 5 α) Να λυθεί το σύστημα: z 3i z i z i z β) Να υπολογισθεί η τιμή f() της συνάρτησης f η οποία είναι συνεχής στο [,] και ικανοποιεί τη σχέση f ( ) d f ( ) ln d γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση: z-i+f() =R(zo), όπου zo η λύση του παραπάνω συστήματος ΘΕΜΑ 6 Α) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α,β] α) Αν z=f(α)++if(β), z= z +z-f(α) και ισχύουν οι σχέσεις f (α)+ f (β)=3,f(β)>, και z <, να δείξετε ότι υπάρχει ένα χο(α,β): f(χο)=, β) Αν z=+if(α), z=+if(β) με z = z και f(α)+ f(β), να δείξετε ότι υπάρχει ένα χο(α,β): f (χο)= Β) α) Να δείξετε ότι: z + z = z-z R( z z )=, β) Έστω η συνάρτηση f συνεχής και ορισμένη στο [α,β] και οι μιγαδικοί z=α +if(α), w= f(β)+iβ Αν ισχύει w + z = w-z να δείξετε ότι η εξίσωση f(χ)= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α,β] ΘΕΜΑ 7 Α) Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Bρείτε τη συνάρτηση f, ( ) t t dt, R σελ

3 β) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα σημεία καμπής και τις ασύμπτωτες, γ) Yπολογίστε το όριο lim f ( ) Β) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z αν ισχύει η σχέση: z i z z i ΘΕΜΑ 8 ln t Α) Δίνεται η συνάρτηση F(χ)= ( ) dt, χ t α) Να βρείτε τον αριθμό λ=f (), β) Δείξτε ότι η F είναι - στο [,+), γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 5 6 d f ( ) B) Έστω η συνάρτηση f(χ)=, λ Αν ισχύει lim λ Για την τιμή του λ που βρήκατε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d f ( ) να βρείτε το ΘΕΜΑ 9 ln Α) Δίνεται η συνάρτηση f ( ), > α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής, β) Αποδείξτε ότι ( ), για κάθε α>, γ) Αποδείξτε ότι π > π, Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( +) + + = έχει μοναδική πραγματική ρίζα ΘΕΜΑ Α) Έστω οι z = i και z = + i ln, > Aν z = z z, να δειχτεί ότι : α) Υπάρχει μοναδικό >, το οποίο και να βρεθεί, ώστε ο z να είναι πραγματικός, β) Υπάρχει μοναδικό >, το οποίο και να βρεθεί, ώστε ο z να είναι φανταστικός, γ) Η εικόνα του z δεν ανήκει στη διχοτόμο του ου και 3 ου τεταρτημορίου Β) Nα προσδιορίσετε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(z) των μιγαδικών z όταν τα παρακάτω όρια υπάρχουν στο R z i 3 6 z i z (5 5) α) lim, β) lim σελ3

4 ΘΕΜΑ Α) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β] παραγωγίσιμη στο (α,β) και οι μιγαδικοί z = α β f (α) + 3i και w = -f(β) i Αν ισχύει R(z- w ) = f(β), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον o(α,β) τέτοιο ώστε να ισχύει f (o) + f (o) = Β) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) Εάν ισχύει f(α)> και η εξίσωση f(α) z [f(α)+ f(β)] z + f (α) = έχει λύση το i 5, να αποδείξετε ότι υπάρχει θ(α,β) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(θ,f(θ)) να είναι παράλληλη στον ΘΕΜΑ A) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:rr με f()= και Να αποδείξετε ότι α+=β lim f ( t) dt B) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ για τους οποίους η συνάρτηση f(χ)=α lnχ+β χ +γ χ- έχει τοπικό ακρότατο στο, το f()=, και παρουσιάζει καμπή στο Στη συνέχεια να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας και κυρτότητας της f και να βρείτε το lim f ( ) ΘΕΜΑ 3 Α) Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο f ( ) για την οποία ισχύουν: lim f ( ) και lim Θεωρούμε τους μιγαδικούς z f ( ) f ( ) if ( ) f ( ), χ Αν ισχύει z, για κάθε χr, δείξτε ότι: α) f()=, β) f ()=, γ) f ()= (χρησιμοποιήστε το θεώρημα Frmat για κατάλληλη συνάρτηση) Β) Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [,3] και παραγωγίσιμη στο (,3) με την ιδιότητα f(3)=5+f() Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ξ στο διάστημα (,3) τέτοιο ώστε f (ξ)=ξ ΘΕΜΑ 4 Α) Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f,g για τις οποίες ισχύει: f ( ) g( ) g( ), για κάθε χ και f()=g()= g( ) α) Να δείξετε ότι f ( ), σελ4

5 β) Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την ευθεία ψ=χ-, να δείξετε ότι g( ) lim / g( ) Β) Να βρείτε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς α,β,γ για τους οποίους η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= a έχει ασύμπτωτη στο + μια ευθεία παράλληλη προς την ευθεία ψ=χ- ψ=- ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) a και στο - οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία α) Να προσδιοριστεί ο αr, ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει στο σημείο (, f ()) εφαπτομένη παράλληλη προς την ευθεία ( ) : y 7, β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, γ) Να αποδειχθεί ότι η ευθεία y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +, δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν Ε(λ) του καμπυλόγραμμου χωρίου, που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία y = και τις ευθείες = και = λ (λ>), lim ( ε) Να βρεθεί το ) ΘΕΜΑ 6 Α) Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο R με f()= Αν g(χ)=+ (ln t ) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ξ στο R τέτοιο ώστε g (ξ)= ln t Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση h(χ)=(χ-) dt, χ> t α) Να αποδείξετε ότι η h είναι παραγωγίσιμη στο (,+), β) Δείξτε ότι μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα Roll για την h στο διάστημα [,], ln t γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,) τέτοιο ώστε να ισχύει ln dt t ΘΕΜΑ 7 f ( t) dt, A) Έστω f :(, +) R συνεχής για την οποία υποθέτουμε ότι lnt f(t) t, για κάθε t> Nα αποδείξετε ότι: σελ5

6 f ( t) dt α) f () =, β) lim ( ) γ) Η εξίσωση + f ( t) dt ln έχει ακριβώς μια ρίζα στο (,) Β) Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και οι μιγαδικοί αριθμοί z=α+βi, z=α+f(α)i και z=β+f(β)i, για τους οποίους ισχύει ότι: 3( z z ) 4iz z 4 ir( z z ) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τον άξονα χ χ ΘΕΜΑ 8 A) Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] για την οποία ισχύει f ( ) d βf(β) -αf(α) Να αποδείξετε ότι : α) Η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα [α,β], β) Για την συνάρτηση g() = f ( t) dt ισχύει το ΘRoll στο [α,β], γ) Υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε f ( t) dt f ( ) a Β) Δίνεται η συνάρτηση f : [,]R για την οποία ισχύει f ( ) d α + β α Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την γραφική παράσταση της g, με g() = α + β, σε τουλάχιστον ένα σημείο στο διάστημα (,) ΘΕΜΑ 9, Α) Έστω ο μιγαδικός αριθμός z Θεωρούμε τη συνάρτηση: z, f ( ) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού z όταν ( z ), υπάρχει το f ( ) είναι ο κύκλος κέντρου Ο(,) και ακτίνας lim Β) Έστω f,g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο (,+) με f ( ) g ( ), για κάθε χ> Αν f()=g() και f()-g()=, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g και τις ευθείες χ=, χ= ΘΕΜΑ σελ6

7 A) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,+) α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε χ> υπάρχει ξ(,χ) τέτοιο ώστε f(χ)=χ f (ξ), f ( ) β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση h(χ)= είναι - στο (,+), γ) Αν h(χ)= χ +χ 5 +χ, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= f ( ) d B) Έστω f() = (3t 4t ) dt α) Nα βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f, β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την = -3 ΘΕΜΑ A) Για μια συνάρτηση f :RR ισχύει: f (χ)=6 3, για κάθε R Αν f()=f ()=, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f ( ) d B) Δίνεται η συνάρτηση g dt, IR t α) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g τον άξονα ' και τις ευθείες και ΘΕΜΑ u A) Για μια συνεχή συνάρτηση f :RR ισχύει f() = + f ( u) du για κάθε R α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f, β) Να εξετάσετε αν η f έχει ασύμπτωτες και τη μονοτονία της, γ) Να εξετάσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής, δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα και τις ευθείες = -3, = σχεδιάζοντας πρώτα τη γραφική παράσταση της f 4 B) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει f ( ) 3 ( ), για κάθε R ΘΕΜΑ 3, να βρεθεί το f() A) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής ορισμένη στο R για την οποία ισχύει: σελ7

8 / f ( ) d Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ R f ( ) B) Θεωρούμε την συνεχής συνάρτηση f :, (, ) f ( t) dt έχει μια ακριβώς λύση στο (,) τέτοιο ώστε: Να δειχθεί ότι η εξίσωση ΘΕΜΑ 4 t A) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει f ( ) dt f ( t) α) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R, β) Να βρεθεί ο τύπος της f, γ) Υπάρχει ρr ώστε να ισχύει f(ρ)=; B) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R Να βρεθεί το lim f ( ) f '( ) τη μονοτονία, αν ισχύει f (ln 3) 3, f(χ)> και f ( ) ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η συνάρτηση f με τοπικό μέγιστο και στο σημείο = καμπή α) Να δειχθεί ότι μ = -6λ, κ = 9λ,, τότε: και να μελετηθεί η f ως προς, για κάθε R 3 f ( ) που παρουσιάζει στο σημείο = β) Για ποια τιμή του λ το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται μεταξύ του γραφήματος της f και του άξονα είναι 7; lim ( ) γ) Να δειχθεί ότι ΘΕΜΑ 6 Α) Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f 3 f 3, f R Αν lim =λ, να προσδιορίσετε το λ Β) Μια συνάρτηση : IR IR f είναι παραγωγίσιμη στο 3 f f f, για κάθε R f lim είναι πραγματικός αριθμός, ' α) Να αποδείξετε ότι το β) Να βρείτε τον αριθμό ΘΕΜΑ 7 f για κάθε και ικανοποιεί τη σχέση σελ8

9 Α) Δίνεται η συνάρτηση f στο με την ιδιότητα: f ( ) ( fof )( ), για κάθε R και f()=9 Να δείξετε ότι η f δεν είναι - Β) Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση g στο R η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(5,9) και Β(3,) α) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, β) να λύσετε την εξίσωση: g(+g - (χ +χ))=9 Γ) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g παραγωγίσιμες στο R και επιπλέον η f είναι - Αν οι συναρτήσεις f και fog παρουσιάζουν ακρότατο στο και είναι g (χ) για κάθε R, να αποδείξετε ότι g()= ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη f στο R με f () > για κάθε R Έστω g() = 5 f ( t) dt, R Nα αποδείξετε : α) Η g είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει g (+) = g (-), 5 β) Η εξίσωση f(+) + f(5-) = f ( t) dt έχει λύση στο (,), γ) Η γραφική παράσταση της g έχει ένα μόνο σημείο καμπής το οποίο και να βρείτε ΘΕΜΑ 9 Α) Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: (,+)R, η οποία είναι συνεχής και ισχύει f f ( ), για κάθε (,+) f ( t) α) Nα μελετήσετε την g: (,+)R, g() = dt t ως προς τη μονοτονία, β) Αποδείξτε ότι g()= g( ), για κάθε (,+) f ( ) Β) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει lim 7 Να δείξετε ότι f()=, f ()=9 και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()) ΘΕΜΑ 3 Α) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ικανοποιεί τη σχέση: f ( t) dt a, για κάθε χr Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α σελ9

10 4 5 Β) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ικανοποιεί τη σχέση: f t) dt (, για κάθε χr Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(,4) Γ) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ικανοποιεί τη σχέση: χr Δείξτε ότι f()= ΘΕΜΑ 3 f ( t) dt, για κάθε Α) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g παραγωγίσιμες στο R ώστε να ισχύει f () = g (), για κάθε χr, και οι γραφικές παραστάσεις των f,g διέρχονται από τα σημεία Α(-,), Β(-,3) αντίστοιχα Θεωρούμε τους μιγαδικούς z = + if() και w= + ig() Να βρεθεί ο μιγαδικός z w Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g στο R καθώς και οι μιγαδικοί z = + ig() Eαν επιπλέον ισχύει zz Rz( i) α) Η g δεν παρουσιάζει ακρότατο, β) Η g είναι - και να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση g - ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η συνάρτηση f() = + 3 α) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, β) Να λύσετε την εξίσωση 3 =, για κάθε χr, δείξτε ότι: 9 (3 3 γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= παραπάνω εξίσωσης ΘΕΜΑ 33 3 Α) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=+ln-, > α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία της, 9) 3 ( d ) 3,, όπου ρ < ρ είναι οι ρίζες της β) Να διατάξετε τους αριθμούς f(), f(π) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι -π π π > Β) α) Να αποδείξετε ότι ln+>, για κάθε χ>, ln β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση h ( ), γ) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α που ικανοποιεί τη σχέση: (α +α+) ln(α +5) =(α +4) ln(α +α+) σελ

11 ΘΕΜΑ 34 Α) Έστω η παραγωγίσιμη f : RR για την οποία ισχύουν : ( + +) f () +(+)f()=, για κάθε R και f() = α) Nα βρείτε τον τύπο της f, β) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, Να αποδείξετε ότι ισχύει μέγιστο της f y f ( y ) d f ( ) d όπου M B) Έστω f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει + f() = +f Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ημξ συνξ + ΘΕΜΑ 35 f ( ) d y το τοπικό, τέτοιο ώστε να είναι: Α) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=αχ 3 +βχ+γ Αν η f είναι περιττή, παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χο= και f ( ) d, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ Β) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και g πολυωνυμική συνάρτηση τέτοια ώστε g()= και ΘΕΜΑ 36 f ( ) d g() Δείξτε ότι υπάρχει ξ(,) τέτοιο ώστε f(ξ)=g (ξ) Δίνεται η f() = ( -+3) α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δειχθεί ότι f() >, για κάθε R, β) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει ΘΕΜΑ 37 zi f ( ) d z Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f που ικανοποιεί τη σχέση: 3 f ( ) f '( ) (t ) dt, για κάθε R α) Να βρεθεί ο τύπος της f, σελ

12 β) Αποδείξτε ότι f ()=/ και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο Α(,f()), γ) Αποδείξτε ότι ΘΕΜΑ 38 t f ( t) dt lim σελ Α) Έστω f : RR δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο τέτοια ώστε να ισχύει f ( 3 +) = 4 για κάθε R Aν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε : α) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο Α(,f()), β) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z= α i 5 +i f (α 3 +α) να ανήκει στην παραπάνω εφαπτομένη, γ) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= f ( ) d Β) Έστω zc, z-, και ο μιγαδικός z w z i Αν w R, δείξτε ότι η εικόνα του μιγαδικού z κινείται επί της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g(χ)=- χ ln(+)- στο σημείο Μ(,g()) ΘΕΜΑ 39 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει f () + f () = για κάθε R α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g() = f ( ) g( ) lim β) Βρείτε την συνάρτηση g εάν, γ) Να βρείτε τη συνάρτηση f, είναι σταθερή στο R,, δ) Δείξτε ότι υπάρχει ξ(,) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα, ε) Δείξτε ότι η παραπάνω εφαπτομένη είναι μοναδική ΘΕΜΑ 4 tf ( t ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο (,+ ), με f() = dt, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+), β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(χ)=χ f(χ)-lnχ είναι σταθερή (,+), γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f, δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f,

13 ε) Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =, = και τον άξονα ΘΕΜΑ 4 Α) Aν zo = α + βi, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(z) για τους οποίους z ισχύουν R( z ) Im( z), όπου α = f(), για κάθε (-,) ( lim ) και β = f () με Β) Δίνονται δυο μιγαδικοί αριθμοί z, w καθώς και η συνάρτηση f με τύπο 3 f () = z w z w Να αποδείξετε με τη βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι η εξίσωση f () = έχει τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα [-,] ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η συνεχής στο διάστημα, συνάρτηση f Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f ( t) dt, ) f (), ( α) Η g είναι συνεχής στο σημείο Να δειχθεί ότι:, β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ΘΕΜΑ 43 Α) Θεωρούμε τη συνάρτηση ασύμπτωτες τις ευθείες ψ= και χ=- α) Να αποδείξετε ότι ι τύπος της f είναι, τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο, ( ) 6 f ( ), με χ>- (α,βr) η οποία έχει 6 f ( ), χ>-, β) Να βρείτε συνάρτηση g τέτοια ώστε να ισχύει g (χ)=f(χ), για κάθε χ>-, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(,), g( ) γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης h(χ)=,χ>- Β) Έστω f,g:rr συναρτήσεις, τέτοιες ώστε να ισχύει f(χ)-g(χ)=χ-4, για κάθε χr Αν η ευθεία ψ=3χ-7 είναι ασύμπτωτη της f στο +, να αποδείξετε ότι g( ) g( ) 3 5 lim, lim f ( ) 3 7 ΘΕΜΑ 44 Α) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=χ-ημχ, χ[,π] σελ3

14 α) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f στο [,π], β) Να δειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το σύνολο τιμών της, γ) Να λυθεί η εξίσωση f (χ)=χ, δ) Αποδείξτε ότι f ( ) d t t t Β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση h()= dt dt έπειτα να βρείτε τον τύπο της ΘΕΜΑ 45 σελ4 είναι σταθερή στο R και Α) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R, με την f συνεχή στο R Αν η f παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία χ=5 και χ=8 και ισχύει f ( ) d, δείξτε ότι υπάρχει ξ(5,8) τέτοιο ώστε f (ξ)= ln Β) Δίνεται η συνάρτηση f α) Να μελετήσετε τα ακρότατα και τη μονοτονία της f, β) Να δειχθεί ότι ln, γ) Δείξτε ότι f d ΘΕΜΑ 46 για κάθε χ>, 4 = Α) Δίνεται η συνάρτηση f ), β= lim( ) ln a ( όπου α = 8 5 lim και Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονας χ χ, ψ ψ και την ευθεία χ= Β) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f t) dt f () (, για κάθε R Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα o(,) τέτοιο ώστε να ισχύει f (o) = ΘΕΜΑ 47 Α) Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα, με f d α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g f t dt,, β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f g,

15 Β) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [,] και ισχύει: 99 f d Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f Γ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο για την οποία ισχύει: f d Να αποδείξετε ότι υπάρχει ΘΕΜΑ 48 τέτοιο, ώστε f ln Θεωρούμε συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, ώστε να ισχύει 3 f ( t) dt 3, για κάθε χr α) Να αποδείξετε ότι f(-)=f()=f(), β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία με τετμημένες ξ, ξ (-,) στα οποία οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλες στον άξονα χ χ, γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ξ(-,) τέτοιο ώστε f (ξ)=, δ) Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει καμπή στο σημείο Α(ξ,f(ξ)); ΘΕΜΑ 49 Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f,g τέτοιες ώστε να ισχύει f ( t) dt g( t) dt, για κάθε χ Έστω ότι η εξίσωση f(χ)= έχει δύο λύσεις ρ, ρ με ρ<<ρ α)να αποδείξετε ότι: i) η εξίσωση g(χ)= έχει τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα (ρ,ρ), ii) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(ρ,ρ) τέτοιο ώστε g (ξ)=-, β)δείξτε ότι αν η συνάρτηση g είναι κυρτή στο R τότε και η f είναι κυρτή στο R, γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g και τον άξονα ψ ψ ΘΕΜΑ 5 A) Δίνεται ο μιγαδικός z = yi φανταστικός αριθμός α) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του, με, y R και y > ώστε ο z να είναι σελ5

16 β) Αν η παραπάνω συνάρτηση είναι y : R R τότε να δείξετε ότι η y() αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη y -, Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α,β] R και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α + z f(α)i, z = β + f(β)i Aν R, να δείξετε ότι z α) Ισχύει z iz z iz, β) Ισχύει το ΘRoll για την συνάρτηση g() = f ( ) στο διάστημα [α,β], γ) Υπάρχει o (α,β) έτσι ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(o,f(o)) να διέρχεται από το Ο(,), f ( t) δ) Αν lim dt, να δείξετε ότι η f () = έχει λύση στο (α,β) a ( a) t ΘΕΜΑ 5 A) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το για την οποία ισχύει : f()+f(4-)= -, για κάθε α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g()= f ( ) ln Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=+ α) Να βρεθεί ο τύπος της f, β) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο R, γ) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y ΘΕΜΑ 5 Α) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] 3 = - f(), α>,για κάθε α) Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή και μάλιστα αρνητική, β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g()= f ( ) Β) Έστω η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση g και η συνάρτηση f()= g ( t) dt α) Να δείξετε ότι : f ()+f ()=[g(-)+g (-)], για κάθε β) Αν η γραφική παράσταση της g βρίσκεται πάνω από τον άξονα και η g είναι σελ6

17 γνησίως αύξουσα στο R, να δείξετε ότι η συνάρτηση h()= f () +f() είναι γνησίως αύξουσα στο R ΘΕΜΑ 53 Α) α) Αν f είναι μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση και η εξίσωση f () = έχει το πολύ ν διακεκριμένες πραγματικές ρίζες (νν), τότε η εξίσωση f() = έχει το πολύ ν+ διακεκριμένες πραγματικές ρίζες β) Να λυθεί η εξίσωση : 4 = + 5 Β) α) Έστω f μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [α, β] Να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει λύση στο (α, β) αν και μόνο αν f(α)f(β) < β) Να δείξετε ότι η εξίσωση λ = έχει λύση στο (-, ) αν και μόνο αν λ(- 4, 4) ΘΕΜΑ 54 Α) α) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [α, β] Αν η f είναι αντιστρέψιμη και έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο [α, β], να δείξετε ότι : f ( ) f ( ) d + f ( ) d = βf(β) αf(α) f ( ) β) Δίνεται η συνάρτηση f() = + 5 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε f() = ( vt) f ( t) dt, νν *, για κάθε α) f() = και f () = Να δείξετε ότι : β) f () = ( ν)f() + ( ν)f (), για κάθε γ) f() =, για κάθε, αν ν = ή ν = ΘΕΜΑ 55 f ( ) d Α) α) Αν f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] με f(), για κάθε χ [α,β] και f ( ) d να δείξετε ότι f()=, για κάθε χ [α,β] β) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ], τέτοια ώστε f() > για κάθε [, ], σελ7

18 και ln 4 f ( ) d = ( ln f ( ) ) d β) Να δείξετε ότι f() =, για κάθε [, ] f ( ) β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Ι= f ( ) f ( ) Β) Έστω η συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, τέτοια ώστε : f (5) + f () = f (35) + f () α) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, 35) με ξ < ξ τέτοια ώστε f ( ξ) = f ( ξ) β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, 35) τέτοιο ώστε f (3) (ξ) = d ΘΕΜΑ 56 Α) Δίνεται η συνάρτηση f() = 5 α +6 β +7 γ με f() 3, για κάθε Αποδείξτε ότι : α) η f έχει ελάχιστο το 3, β) 5 α 6 β 7 γ = Β) Να λυθεί στο R η εξίσωση : ( + +) ( +) 7 +( + +) 7 ( +) = ΘΕΜΑ 57 Α) Η συνάρτηση f : RR είναι συνεχής στο R και ισχύει τον τύπο της συνάρτησης f Είναι η f - ; Β) Δίνεται η συνάρτηση α) να αποδείξετε ότι β) να βρείτε το ολοκλήρωμα Ι= Γ) Έστω η συνάρτηση f ( ), R f ( ) f ( ), R f ( ) d t f ( t) f ( ) t dt ln t f ( ) dt, χ> α) να βρείτε το ολοκλήρωμα I t β) να βρείτε τη συνάρτηση g με τύπο g()=f()+f( ), >, να βρείτε ln d ΘΕΜΑ 58 A) Η συνάρτηση f : [-π,π]r είναι συνεχής με την ιδιότητα f ( ) κάθε χ[-π,π] Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-π,π), για σελ8

19 B) Δίνεται η συνάρτηση f με την ιδιότητα f ( ) f ( ), για κάθε χ> Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f με συντελεστή διεύθυνσης Γ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f( ), για κάθε R f ( ) af ( ), για κάθε R και f()=, να βρείτε το α Αν ισχύει ΘΕΜΑ 59 A) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)= g( ), όπου g παραγωγίσιμη στο (,+), και οι μιγαδικοί αριθμοί z i, w g( ) i τέτοιοι ώστε να ισχύει, για κάθε χ> wz wz Αν g()= να δείξετε ότι α) η f παρουσιάζει ελάχιστο στο χο= β) g ()= - B) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (α,f(α)) σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 6 ο και στο σημείο (β,f(β)) γωνία 45 ο Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= f ( ) d Γ) Αν f( ) lim 3 3, να υπολογίσετε το όριο f ( ) 3 lim 3 3 ΘΕΜΑ 6 dt 4 4 A) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=, χ Να αποδείξετε ότι f(7) f(5) t 5 B) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g στο [,] με f ( ) g( ), για κάθε χ στο [,] Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ [,] : f ( t) dt g( t) dt Γ) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:[,+ )R με f(χ)> f () t dt, για κάθε χ Να αποδείξετε ότι α) η συνάρτηση g(χ)= β) f(χ)>, για κάθε χ ΘΕΜΑ 6 f () t dt είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) A) Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [,+) σελ9

20 α) Αν f(3)=6, f(5)= να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα χο(3,5) τέτοιο ώστε η γραφική παράσταση της f στο σημείο Α(χο,f(χο)) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) να αποδείξετε ότι o f ( ) d f () B) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:[,+ )R και παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f (χ)>, για κάθε χ> α) να δείξετε ότι f(χ) χ+f(), για κάθε χ β) αν f()< δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό χο>: f(χο)= Γ) Έστω συνάρτηση g:[α,β]r δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει g( ) g( ) g( ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β): g (ξ)= ΘΕΜΑ 6 A) Έστω η συνάρτηση f(χ)=χ 4 -χ +α (αr) α) Αν Α(χ,f(χ)), Β(χ,f(χ)), Γ(χ3,f(χ3)) είναι τα τοπικά ακρότατα της f με χ<χ<χ3, να αποδείξετε ότι β) Αν <α< να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ)= έχει μοναδική λύση στο (-,) B) Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με f (χ) και g( ) f ( ) f ( ), για κάθε χr, όπου g παραγωγίσιμη συνάρτηση Αν η γραφική παράσταση της f έχει σημείο καμπής το Α(χο,f(χο)) να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Α είναι παράλληλη της ευθείας ψ-χ+5= Γ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ασύμπτωτη στο + την ευθεία ψ=+5χ, f ( ) 3 να βρείτε το όριο lim 3 f ( ) 5 ΘΕΜΑ 63 A) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : RR με f(χ)>- και κάθε χr () α) να δείξετε ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση β) να βρείτε την f f ( ) f ( ), για B) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:rr με f()=g() και (fg) ()=f ()f()+g ()g(), για κάθε χr Να δείξετε ότι f=g Γ) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f(α)=f(β)= και f (χ)<, για κάθε χr, να δείξετε ότι f(χ)>, για κάθε χ(α,β) σελ

21 ΘΕΜΑ 64 ln Δίνονται οι συναρτήσεις g(χ)=χ 3 -χ-lnχ+ και f(χ)=, χ> α) να βρεθεί η συνάρτηση g β) να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) να βρεθεί το σύνολο τιμών της g δ) να δείξετε ότι lim f( ) g ( ) ε) να δείξετε ότι f (χ)= 3 ζ) δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό ξ> : f(ξ)=ξ, για κάθε χ> η) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τις κατακόρυφες ασύμπτωτες ΘΕΜΑ 65 ( a) ( ) lim A) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β ώστε το όριο 3 να υπάρχει στο R B) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) a 4 3, χr Αν η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει καμπή σε δύο διαφορετικά σημεία, να δειχθεί ότι 3α >8β Γ) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z,z3 ισχύει z z z a, να υπολογίσετε zz zz3 zz3 d το ολοκλήρωμα Ι= z z z3 ΘΕΜΑ 66 3 A) α) Έστω f:[α,β]r δύο φορές παραγωγίσιμη, κυρτή συνάρτηση Δείξτε ότι f ( a) f ( ) f ( ) β) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln(ln ), > Δείξτε ότι είναι κυρτή στο (,+ ) και ότι για a α,β> ισχύει ln( ) ln a ln B) Έστω f :ΔR δύο φορές παραγωγίσιμη με f(χ)>, για κάθε χδ Να αποδείξετε ότι η f ( ) f ( ) f ( ) συνάρτηση g(χ)=ln(f()) είναι κυρτή στο Δ, για κάθε χδ ΘΕΜΑ 67 A) Έστω f:[α,β]r συνεχής συνάρτηση με f(χ), για κάθε χ[α,β] Δίνεται επιπλέον μιγαδικός z με z f ( a), z f ( ) και Im(z) Να αποδείξετε ότι z z σελ

22 α) η εξίσωση β) z 3 f a γ) f ( ) f ( a) ( ) f ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,) B) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R με f()= και f () lim f ( ) Αν μιγαδικός z με την ιδιότητα z f ( ), για κάθε χr, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού z ΘΕΜΑ 68 A) Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο R με f(χ)> και έστω g(χ)=t f ( t) dt (t,χr) Να αποδείξετε ότι α) g(χ)= ( ), t f t dt για κάθε χ β) η g είναι συνεχής στο μηδέν γ) g( ) f ( t) dt, για κάθε χ> δ) Αν f t) dt 3 g(ξ)=f(ξ) t ( t f ( t) dt, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(,) τέτοιο ώστε B) Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z,z και οι συναρτήσεις f,g με, f ( ) tz z dt χ g( ) z z Γ) Αν η εφαπτομένη της συνάρτησης, χ Να αποδείξετε ότι f(χ) g(χ), για κάθε, όπου z,wc με z w, f ( ) z w στο σημείο Α(,f()) είναι κάθετη στην ευθεία ψ=-χ+, να βρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 69 A) Έστω f:[-,]r παραγωγίσιμη συνάρτηση με f(-)=-, f()= Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (-,): f( ) f( ) B) Έστω f στο συνεχής [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α)=α, f(β)=β Να αποδείξετε ότι α) υπάρχει γ(α,β): f(γ)=α+β-γ β) υπάρχουν ξ,ξ (α,β) με : f( ) f( ) σελ

23 Γ) Έστω f παραγωγίσιμη στο [,3] με f()=f(3) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν α,β,γ(,3) : f ( a) f ( ) f ( ) ΘΕΜΑ 7 A) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f ( ) f ( ) 4 f ( ) σελ3, για κάθε χr Δείξτε ότι η f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R και ότι ισχύει f ( ) 8 f ( ), για κάθε χr B) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[,]r για την οποία ισχύει f () f () f( ) για κάθε [,] Nα βρεθούν οι αριθμοί f() και f() Γ) Aν για την συνάρτηση f:[,+)r, με f() = ισχύει f () > για κάθε (,+) f ( ) να αποδείξετε ότι f () >, > ΘΕΜΑ 7 A) Έστω f:[-,]r παραγωγίσιμη συνάρτηση με f()= και [-,] Να αποδείξετε ότι α) f()= β) υπάρχει χο(,) : f(χο)= χο γ) υπάρχει ξ(,) : f () t dt B) Έστω f: R R συνάρτηση για την οποία ισχύει α) να βρείτε τον τύπο της f β) να βρείτε το σύνολο τιμών της f f () t dt, για κάθε f ( ) f ( ), για κάθε χr γ) να αποδείξετε ότι f ( a) f ( ) a, για κάθε α,βr με a δ) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ΘΕΜΑ 7 f ( ) d A) Έστω f:[,]r παραγωγίσιμη συνάρτηση με f συνεχής, για την οποία ισχύει f d f ( ) () 4 α) να δείξετε ότι υπάρχει χο(,) : f(χο)= o β) να δείξετε ότι υπάρχει χ(,χο): f ( ) f ( ) o

24 γ) αν επιπλέον ισχύει f ( ) d να βρείτε τον τύπο της f B) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:(,+ )R με f(χ) για κάθε χ> και f ( ) f ( t) f ( t) dt Να αποδείξετε ότι t t α) f( ), για κάθε χ> β) η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ) γ) f(χ)=χ, για κάθε χ> ΘΕΜΑ 73 A) Έστω η συνάρτηση f ( ) f (), g ( ) f(), συνάρτηση με f συνεχής στο R Δείξτε ότι, όπου η f είναι μια παραγωγίσιμη στο R g( ) f ( t) dt B) Δίνεται ο μιγαδικός και μη πραγματικός αριθμός z με z = Έστω η συνάρτηση f: R R με f ( ) z z α) να βρείτε τους αριθμούς f() και f () β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της f στο Α(,f()) γ) να δείξετε ότι η f είναι κυρτή δ) να βρείτε την ασύμπτωτη στης γραφικής παράστασης της f στο + ΘΕΜΑ 74 A) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: R R για τις οποίες ισχύει f()=, g()= και f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ), για κάθε χr Να αποδείξετε ότι α) οι συναρτήσεις f,g είναι σταθερές β) 4 g ( ) g ( ) d 4 γ) ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει _ g( ) z z6 g( ) if ( ) είναι κύκλος, ο οποίος και να βρεθεί B) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) aln 3, χ> και το σημείο Α(,f()) Αν η ευθεία ψ=χ+4 είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α, να βρείτε τους αριθμούς α,β ΘΕΜΑ 75 σελ4

25 A) Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ )R για την οποία ισχύουν 3 f ( ), για κάθε χ>, f()= και f ()= α) να βρείτε τον τύπο της f β) να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) να αποδείξετε ότι σελ5, για κάθε χ> δ) να αποδείξετε ότι f()+f()>f() B) Έστω f: RR παραγωγίσιμη στο [,] συνάρτηση και - με f () f ( ) d f ( ) d Να αποδείξετε ότι υπάρχει χο(,): f () ΘΕΜΑ 76 A) Δίνεται η συνάρτηση α) είναι η f συνεχής; f ( ) ( t) dt, [, ) β) να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία γ) αν a δείξτε ότι f ( ) ln, χ> B) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) f ( ) α) να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χ χ β) να δειχθεί ότι ln, για κάθε χ> γ) να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ= και χ=χο, όπου χο είναι το σημείο στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο ΘΕΜΑ 77 A) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln, χ> α) να βρείτε τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της f β) δείξτε ότι για κάθε κr η εξίσωση f ( ) k έχει μοναδική ρίζα γ) να λυθεί η εξίσωση f ( ) δ) να βρείτε τις τιμές του λr για τις οποίες ισχύει η ισότητα ln( ) ln( ) B) Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση με f(8)=6 και f ( ) f ( f ( )), για κάθε χr Να βρεθεί ο αριθμός f()

26 ΘΕΜΑ 78 A) Αν η συνάρτηση f :[,] (, ) έχει συνεχή παράγωγο και f()=, f()=, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I f( ) d ( ) ( ) f f B) Αν f:r R συνεχής συνάρτηση f()=, f ()= να βρεθεί το όριο Γ) Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση f:r R με την ιδιότητα για κάθε χr ΘΕΜΑ 79 A) Να αποδείξετε ότι ln t dt t B) Να αποδείξετε ότι lim, για κάθε χ> lim f () t dt f () t dt, Γ) Να βρεθεί το αr ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης ( a) a να είναι ελάχιστο ΘΕΜΑ 8 A) Αν η συνάρτηση 3 f ( ) a παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα διαφορετικού είδους τα οποία βρίσκονται πάνω σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, δείξτε ότι αβ=9γ B) Έστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τέτοια, ώστε για κάθε χr να ισχύει καμπής ΘΕΜΑ 8 f f f ( ) ( ) 5 ( ) Δείξτε ότι το διάγραμμα της f δεν παρουσιάζει σημείο A) Δίνεται η συνάρτηση 3 f( ) ( ) α) δείξτε ότι η f έχει μοναδικό σημείο καμπής (χο,f(χο)) β) αν ισχύει α +3>3β να δείξετε ότι η f παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα στις θέσεις χ,χ και ισχύει χ+χ=χο σελ6

27 B) Δίνεται η συνάρτηση f( ) βρεθεί το όριο 4 lim, ( λ<) Αν χ,χ οι ρίζες της f( ) να Γ) Αν η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει σημεία καμπής, δείξτε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην καμπύλη ΘΕΜΑ 8 A) Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ )R με f()= και 3 κάθε χ> Αν f(χ) για κάθε χ>, τότε α) δείξτε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (,+ ) β) δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ) γ) να βρεθεί ο τύπος της f B) Αν f: R R δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με χr, να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή ΘΕΜΑ 83 A) Δίνεται η συνάρτηση a, f( ) ( ) 6, α) να βρεθούν τα α,βr ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη β) δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R γ) να λυθεί η εξίσωση f(χ)=6 δ) να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής f ( ) f ( ), για f f ( ) ( ), για κάθε B) Αν η συνάρτηση f:r R ικανοποιεί τη σχέση f ( ) f ( ) f ( ),για κάθε χ,ψr και είναι παραγωγίσιμη στο με f ()=, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στον άξονα χ χ στην αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ 84 A) Αν η συνάρτηση f:rr είναι παραγωγίσιμη στο χο= με f () και f ( ) 4 α) η f () β) το όριο για κάθε χr, να βρεθεί L f (3 ) f ( ) lim f ( ) f ( ) σελ7

28 B) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 6 5, χ [, ] α) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα β) να λυθεί η εξίσωση 8 4 3( ), χ ΘΕΜΑ 85 f ( ) A) Αν η συνάρτηση f:r R είναι συνεχής στο χο= και lim 4 αποδείξετε ότι α) η f είναι παραγωγίσιμη στο χο β) f ( ) lim 8 B) Έστω f:[,]r παραγωγίσιμη συνάρτηση με f()=, f()= Να δειχθεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Γ) Ένας κύκλος (Ο,R) τέμνει τη γραφική παράσταση μια συνάρτησης f:(,+)r στα σημεία Α(α,f(α)), Β(β,f(β)) Να δειχθεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάποιο σημείο της Μ η οποία είναι κάθετη στην ΟΜ ΘΕΜΑ 86, να A) Να βρεθεί η θετική παραγωγίσιμη συνάρτηση f:rr με την ιδιότητα f ( ) ln( f( )), για κάθε χr B) Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R με την ιδιότητα για κάθε χr Γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f 3 f ( ) χr, μα βρεθεί το όριο L lim ΘΕΜΑ 87 3 ( ) f ( ) 3 ln f ( t) dt,, για κάθε A) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: RR για τις οποίες ισχύει f(3)=g(3)= και f ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) g( ), για κάθε χr Να αποδείξετε ότι f=g B) Αν είναι <α<β, να αποδείξετε ότι Γ) Να λυθεί η εξίσωση ΘΕΜΑ 88 ln a ln, χ (, ) σελ8

29 A) Έστω ότι για τη συνάρτηση g:rr ισχύουν g() g() Αν g ( ), f( ), να βρεθεί η f (), B) Έστω ότι για τις παραγωγίσιμες στο χο= συναρτήσεις f,g:rr ισχύει ( ) ( ) 4 f g, για κάθε χr Να αποδείξετε ότι f() g() Γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (ln ) δειχθεί ότι f() ΘΕΜΑ 89 Α) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=α+βi-, όπου a Επίσης δίνεται η συνάρτηση α) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία β) να λυθεί η εξίσωση ln ( ) ln( ) γ) να βρεθεί το σύνολο τιμών της f δ) να λυθεί η εξίσωση f lim, ln ( ) f ( ) ln( ), χ>- z ( () ) () f, χ>, για κάθε χ, να lim B) Δίνεται η συνάρτηση f: R R συνεχής στο χο= με την ιδιότητα 7 f ( ) f ( ), για κάθε χr α) να δείξετε ότι η f είναι - και να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση f - β) δείξτε ότι f () γ) αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R δείξτε ότι δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα ΘΕΜΑ 9 A) Έστω f: RR τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με f ( ) ( f ( )), για κάθε χr Δείξτε ότι η f είναι σταθερή B) Να βρείτε συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύουν f() f(), f(χ)> και 3 f ( ) f ( ) f ( ),για κάθε χ> Γ) Αν για κάθε χr ισχύει f ( ) f ( ) να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή ΘΕΜΑ 9 A) Δίνονται οι συναρτήσεις f :(, ] R με f ( ) 3 και χr Να βρείτε τη συνάρτηση f og και το σύνολο τιμών της g ( ), σελ9

30 B) Αν για τη συνεχή συνάρτηση f: RR ισχύουν οι σχέσεις κάθε χr και f(-)<, να βρείτε α) τον τύπο της f β) το lim f( ) ΘΕΜΑ 9 γ) τις ασύμπτωτες της f f ( ) f ( ), για A) α) Δίνεται f: R R περιττή συνάρτηση Δείξτε ότι lim f ( ) lim f ( ) β) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( ) β) δείξτε ότι η f είναι ορισμένη στο R και συνεχής β) δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β3) δείξτε ότι η f είναι περιττή β4) να βρεθούν τα όρια lim f( ), lim f( ) β5) και να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση f - B) Δίνεται η συνάρτηση ( ) μην έχει σημεία καμπής ΘΕΜΑ 93 A) Δίνεται η συνάρτηση f a με αr Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η f να f ( ) ln, χ> α) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) δείξτε ότι ln, για κάθε χ> γ) δείξτε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής δ) να βρεθεί το σύνολο τιμών της f ε) να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f 3 4 ζ) δείξτε ότι για κάθε χr ισχύει ln a B) Δείξτε ότι lim ΘΕΜΑ 94 a (με α,β>) A) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f ( ) Να αποδείξετε ότι α) η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R β) g()<, για κάθε χ> και g( ) ( )ln( ) σελ3

31 γ) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,+ ) B) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α) να βρεθεί η f (χ) β) να δείξετε ότι f(χ)=χ+ημχ t t dt t, χ[,π] γ) να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f :[, ] [, ] δ) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των f,f - και των ευθειών χ=, χ=π είναι ίσο με 4 τμ ΘΕΜΑ 95 f( ) A) Δίνεται η συνάρτηση, χr α) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) να βρεθεί το σύνολο τιμών της f γ) να λυθεί η ανισότητα δ) να βρεθεί το όριο 6 3 tf () t t L lim dt ε) δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία ψ= Β) Να βρεθεί το α, ΘΕΜΑ 96 Α) Δίνεται η συνάρτηση για κάθε χ,ψ R a d αν ισχύει ότι f : R R * με f ()= και f ( ) f ( ) f ( ) 3, α) να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R g( ) f ( ) 3 3 είναι σταθερή στο R β) να δείξετε ότι η συνάρτηση γ) να βρεθεί ο τύπος της f δ) να βρεθούν τα όρια lim f( ) Β) Αποδείξτε ότι d d 9 9, f( ) lim ΘΕΜΑ 97 ln f( ),χ> Α) Δίνεται η συνάρτηση σελ3

32 α) να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f β) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα aln γ) να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε η συνάρτηση να είναι μια αρχική της f δ) να βρείτε το lim Ek ( ), όπου Ε(κ) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη k γραφική παράσταση της f, τις ευθείες χ=, χ=κ (κ>) και τον άξονα χ χ f ( ) Β) Δίνεται η συνάρτηση,χr Να δειχθεί ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()) δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την γραφική παράσταση της f ΘΕΜΑ 98 Α) Έστω οι συναρτήσεις f ( ) 5 και 5 5 g( ) k α) αν η g είναι παράγουσα της f να βρεθούν οι αριθμοί κ,λ β) να λυθεί η εξίσωση ( 4 ) ( 4) (κ,λr) γ) αν χ<χ οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες χ=χ+ και χ=χ+ Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει f (χ)<χ, R Δείξτε ότι f(4) f() 6 για κάθε χ ΘΕΜΑ 99 f ( ) Α) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με lim 3 και f(3)=4 α) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο (,f()) β) αν η f είναι κυρτή στο R να δείξετε ότι f(χ)-5χ+6 γ) να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,3) στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο Β) Έστω η συνάρτηση f:(,+ )R για την οποία ισχύουν f ()= και f ( ) f ( ) f ( ), για κάθε χ,ψ> α) δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) β) να βρεθεί ο τύπος της f γ) να βρεθεί το όριο f( ) L lim f ( ) δ) δείξτε ότι η εξίσωση f(χ)=χ- έχει μοναδική ρίζα ΘΕΜΑ a t Α) Να βρεθεί το όριο L lim dt 3, για τις διάφορες τιμές του αr t σελ3

33 , Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ), α) να βρεθεί το λ ώστε η f να είναι συνεχής στο R β) να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) να δείξετε ότι οι μόνοι θετικοί ακέραιοι α,β για τους οποίους ισχύει a a είναι οι α=, β= , 3, 4, 5 δ) να συγκρίνετε τους αριθμούς ε) να λύσετε την εξίσωση f( ) στο διάστημα (,] 7 ΘΕΜΑ Α) Έστω z,z,z3c οι εικόνες των οποίων στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος χ +ψ = α) να αποδείξετε ότι 3 β) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα z z z z z z 3 σελ33 zz zz3 zz3 I d z z z3 Β) Έστω η συνάρτηση f:rr με f ( ) f ( ) f ( ), για κάθε χr της οποίας η γραφική παράσταση της f έχει στο σημείο Α(,f()) εφαπτομένη κάθετη στην ευθεία (ε):ψ=-+3 α) να βρεθεί ο τύπος της f β) να αποδείξετε ότι δεν μπορεί η ευθεία (ε) να έχει με τη γραφική παράσταση της f δύο κοινά σημεία γ) αν g( ) g( ) f ( t) dt, χ, να βρεθεί το όριο lim δ) να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ=, χ=α> ΘΕΜΑ Α) Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο χο R με f ( ) 3 lim Να αποδείξετε ότι η o ευθεία (ε): ψ=χ-3 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο Α(χο,f(χο)) Β) Έστω η συνάρτηση f: RR παραγωγίσιμη με f ()=, f ( ) f ( ) f ( ) και f( ), για κάθε χ,ψ R Να αποδείξετε ότι α) f()= και f ( ) ( ) f ( ) o

34 g ( ) β) η συνάρτηση f( ) είναι σταθερή στο R γ) να βρεθεί ο τύπος της f δ) δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει ασύμπτωτες ΘΕΜΑ 3 Α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ )R Αν μιγαδικοί z=f(β)+iβ, w=α+if(α) (α,β>) g( ) α) να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) και να βρεθεί η g (χ) β) αν g( ) d δείξτε ότι ο μιγαδικός zw είναι φανταστικός γ) αν a f ( ) ln d g( ) d και η g είναι κυρτή στο (,+ ) δείξτε ότι γ) f()= γ) g( ) g( ), για κάθε χ> Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:rr και για κάθε χr ισχύει όπου k 6lim ΘΕΜΑ , να βρείτε τις τιμές f () και f (7) Α) Έστω ότι για τη συνάρτηση f: R * R ισχύει f ( ) f ( ) χ,ψ R * α) δείξτε ότι η συνάρτηση β) να βρεθεί ο τύπος της f g ( ) f( ), χ, είναι σταθερή Β) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R με τις ιδιότητες f(χ)>, για κάθε χr f()= f γνησίως φθίνουσα στο R f[lnf()], για κάθε χr f ( ) u du, χ> και οι u 3 4 f ( ) 3 k,, για κάθε Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο A(,f()) ΘΕΜΑ 5 σελ34

35 Α) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με, για κάθε χr Αν η ευθεία ψ=χ- είναι εφαπτομένη ( ) f ( ) 4 f ( ) f ( ) της γραφικής παράστασης της f στο A(,f()) α) να βρεθεί ο τύπος της f 4 4 β) να βρεθεί το όριο L lim f ( ) γ) να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f δ) δείξτε ότι η f δεν έχει σημείο καμπής στο σημείο A(,f()) Β) Να βρεθεί το όριο L lim 3 a 3 για τις διάφορες τιμές του αr ΘΕΜΑ 6 a Α) Να βρεθούν οι αριθμοί α,β για τους οποίους ισχύει lim a Στη συνέχεια να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Β) Δίνεται συνάρτηση : f R R I a με την ιδιότητα f ()= και d a f ( a ) f ( ) f ( a), για κάθε α,βr f( ) α) δείξτε ότι lim β) να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f ( ) f ( ), για κάθε χr δ) να βρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 7 Α) Αν f συνεχής και f() για κάθε R και f() = τότε να βρείτε το όριο L= lim f 4 3 () 4 f( ) Β) Αν η f είναι συνεχής στο R με f(3) = -4 και f(), για κάθε R 5 4 f ( a) Nα δείξετε ότι L= lim 3 f ( a) 9, όπου αr Γ) Αν α,β,γ είναι θετικοί και για κάθε R είναι (αβ) + β - +(βγ) 3β, να αποδειχθεί ότι οι α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ΘΕΜΑ 8 5, Α) Θεωρούμε τη συνεχή f στο R με σύνολο τιμών f(r) = σελ35

36 f Έστω η g ορισμένη στο R\{} με g()= πραγματικός αριθμός να βρείτε το f() ( ) 5 f ( ) 6 Aν το lim g( ) Β) Aν για τις f,g ισχύει f () + ln + = f() g () + g()ln, για κάθε g( ) > να δείξετε ότι οι f, g είναι συνεχείς στο (, +) και να βρείτε τα lim f ( ) lim f( ) g ( ) και ( fog )( ) d y Γ) Δίνεται η συνάρτηση f() = lim, R y y 3 α) να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια β) να υπολογίσετε το f ( ) a lim όταν < γ) είναι η f παραγωγίσιμη στο μηδέν; ΘΕΜΑ 9 a είναι Α) Έστω η συνεχής f: RR η οποία είναι και γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι υπάρχει f () f () f ( ) ακριβώς ένα or ώστε f ( ), ν γνωστός ακέραιος Β) α) Να αποδειχθεί ότι lnθ < θ + 4 για κάθε θ > β) Δίνεται η εξίσωση + y + (lnθ )lnθ + 4y + lnθ θ =, θ>να αποδειχθεί ότι για κάθε θ > η εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί η ακτίνα και το κέντρο γ) να βρεθεί η τιμή του θ για την οποία η ακτίνα γίνεται ελάχιστη ΘΕΜΑ Α) α) Να αποδειχθεί ότι, για κάθε R β) να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: RR με την ιδιότητα γ) να βρείτε τη συνάρτηση g για την οποία ισχύει g( ) g( ) Β) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = - και g() = α) Αποδείξτε ότι το σημείο Μ(ημθ,συν θ), θ, εξίσωση της εφαπτομένης της Cg στο Μ f ( ) f ( ), για κάθε R ανήκει στη Cg και να βρείτε την β) Αν η εφαπτομένη τέμνει τη Cf στα σημεία Α(,y) και Β(,y) να υπολογίσετε τα, +, y + y γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης, σελ36

37 φ(θ) = y + y, θ, ΘΕΜΑ Α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση Αν η εξίσωση f ( ) έχει δύο ρίζες, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R Β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση με f(χ)>, για κάθε R Αν f()= και η f είναι συνεχής στο χο=, να βρεθεί το όριο L= Γ) α) Δείξτε ότι για κάθε R ισχύει σελ37 lim β) να βρείτε το σημείο του διαγράμματος της f ( ) f( ) δυνατή απόσταση από την ευθεία ψ=χ Ποια είναι η απόσταση αυτή; ΘΕΜΑ Α) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα και lim το οποίο απέχει την ελάχιστη 4 I d αν είναι γνωστό ότι Β) Αν α,β,γr και ισχύει ( ) ( ) ( ), για κάθε R να αποδειχθεί ότι α=β+γ Γ) Δίνεται συνάρτηση f:[,π]r με την ιδιότητα f ( ), για κάθε [,π] α) να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο β) να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) 3 γ) να υπολογίσετε το όριο ΘΕΜΑ 3 3 f ( ) f ( ) 3 lim f( ) 3 Α) Δίνεται η συνάρτηση f ( ), R α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία ψ=χ, τον άξονα ψ ψ και την ευθεία χ=λ (λ>) β) να βρεθεί το lim E( ) 7 γ) να βρεθεί η τιμή του λ αν ισχύει E( ) 6

38 Β) α) Να αποδείξετε ότι 3, για κάθε χ 6 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(χ)=ημχ, g(χ)= ΘΕΜΑ 4 Α) Δίνεται η συνάρτηση F(χ)= dt 8 t 3 και τις ευθείες χ= και χ= 6, R α) να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία β) να δείξετε ότι η F είναι περιττή γ) να δείξετε ότι lim F( ) Β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f :[, ] R με f(χ)= 4 στο πεδίο ορισμού της ( t) dt t είναι γνησίως αύξουσα ΘΕΜΑ 5 Α) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R(,+ ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) t f () t dt f () t dt, χ> α) είναι γνησίως αύξουσα β) δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη 4 Β) Δίνεται η συνάρτηση f: R * R με f ( ), R * α) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής β) να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f γ) αν Ε(t) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία ψ= και τις ευθείες χ=, χ=t (t>), να βρεθούν τα όρια lim Et ( ) lim Et ( ) t ΘΕΜΑ 6 Α) Αν z,w μιγαδικοί με w και γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z t, lim Et ( ) t R( z) Im( w) z, τότε να βρείτε τον Im( z) R( w), σελ38

39 Β) Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f()=f(3) και f f 3 ( ) (3 ) κάθε χr Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (χ)= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,3) Γ)α)Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( )( ) και g( ) ( )( )( 3) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο Α(,) β) Αν h( ) f ( ) g( ), να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,4) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της h στο Μ(ξ,h(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ γ) Να λυθεί (ως προς χ) η εξίσωση ΘΕΜΑ 7 4 h( t) dt (ν=,, ) Α) Αν το f() = α +β+γ, α, έχει δύο άνισες ρίζες ρ,ρ, να αποδείξετε ότι:, για i) f ( ρ)+ f ( ρ) = ii) f ( ρ)f ( ρ) iii ) ρ/f ( ρ)+ ρ/f ( ρ) = /α Β) Για τη συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ισχύουν: f (-) = και η f είναι περιττή, g() = f()συν f(συν), R Να υπολογίσετε τον αριθμό g () και το ολοκλήρωμα a ln g () f () g () t t Γ) Με τη βοήθεια το ΘΜΤ να αποδείξετε ότι: a, για κάθε α,βr ΘΕΜΑ 8 Α) Αν f() πολυώνυμο βαθμού ν, να αποδειχθεί ότι: α) f() = (-ρ) π() f(ρ) = f (ρ) = (δηλαδή το (-ρ) είναι παράγοντας του f() f(ρ) = f (ρ) = ) β) Να αποδείξετε ότι το (χ-) είναι παράγοντας του πολυωνύμου f() =νχ ν+ -χ ν- -(ν +)χ+ν -ν+ με ν γ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες το πολυώνυμο (-) είναι παράγοντας του πολυωνύμου f() = α 8 + β 3 +4 Β) Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερό εμβαδόν 9m να βρεθεί αυτό που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα και στη συνέχεια να υπολογισθούν και οι άλλες πλευρές του Γ) Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει: [f()] = (-), για κάθε (α,β) Να δείξετε ότι η f δεν έχει σημείο καμπής t t dt ΘΕΜΑ 9 σελ39

40 Α) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε f()= Αν για κάθε R, ισχύει: 3 g() z f (t)dt 3 z ( ) όπου z=α+βic, με α,βr *, τότε: z α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε τη g β) Nα αποδείξετε ότι z z z γ) Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος β) να αποδείξετε ότι R(z ) = δ) Aν επιπλέον f()=α>, f(3)=β και α>β, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,3) τέτοιο ώστε f()= Β) α) Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ Αν α,β,γδ και α β γ να δείξετε ότι: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) β) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f() = ln είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της γ)αν α β γ και α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι: ΘΕΜΑ Α) Έστω f:r R παραγωγίσιμη συνάρτηση με f 3 ()+4f()=4, για κάθε R α) δείξτε ότι f()=, f(-4)=- και f ()= β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της γ)να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο (,) και να αποδείξτε ότι f(χ)<χ χ> Στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση f( --)+ - Β) Αν η f:[-,] είναι συνεχής με f(-) = -, f() = και f () για κάθε (-,), να υπολογίσετε τον f() Στη συνέχεια να βρείτε τον αριθμό R ( )) d i f () i Γ) Σε ένα σφαιρικό μπαλόνι διοχετεύεται αέριο με ρυθμό εισροής cm 3 /min Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του, τη χρονική στιγμή t που η ακτίνα είναι ίση με 3cm; Ποιος είναι ο ρυθμός αύξησης της επιφάνειας του την ίδια χρονική στιγμή t; σελ4

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑo ΑAν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. ηµ x συν. f(x) = xe, x < 0 είναι παραγωγίσιµη στο - 33 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση στο o = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση o = ηµ συν, f() = είναι παραγωγίσιµη, = f() = e, < είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2) - 4 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ () ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ενός σώµατος που κινείται πάνω σε άξονα είναι η επιτάχυνσή του.. Η συνάρτηση f()= 006 έχει διαφορετική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 211 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα