Ε. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)

Transcript

1 Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός τύπος (νοικτή πρότση) σε έν σύνολο Β, λέγετι η δήλωση που περιέει μί ή περισσότερες μετβλητές κι η οποί μπορεί ν γίνει λογική πρότση, ν η μετβλητή ή οι μετβλητές ντικτστθούν με τυί στοιεί πό το σύνολο Β. Π.. (γι R γίνετι άλλοτε ληθής κι άλλοτε ψευδής, είνι προτσικός τύπος στο R) Όλοι οι προτσικοί τύποι με τους οποίους θ σοληθούμε στην Α κι στη Β Λυκείου, νφέροντι στο σύνολο R των πργμτικών ριθμών, εκτός κι ν τονίζετι κάτι διφορετικό. Τ σύμβολ κι ρησιμοποιούντι νάμεσ σε δύο προτάσεις (σέσεις). Οι σέσεις στ Μθημτικά πριστάνοντι συνήθως με τ σύμβολ :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (πγκόσμι σύμβολ) Π.. 0 Η σέση Α Ω διβάζετι : Α συνεπάγετι Ω ή ν Α τότε Ω, (η Ω είνι νγκί συνθήκη γι την Α ή η Α είνι ικνή συνθήκη γι την Ω), δηλδή ν ισύει η σέση Α τότε ισύει κι η Ω. Προσοή ν ισύει η σέση Ω τότε δεν ισύει η σέση Α. Π.. β 0 0β Ισύει 0 0β β Δεν Ισύει Ένς μθητής λύνοντς την άσκηση : «Ν πλοποιηθεί η πράστση ( )( ),ν έγρψε : υτό είνι λάθος. Γιτί ριστερά κι δεξιά του δεν υπάρουν σέσεις. Ποιο είνι το σωστό;» Γι ν ποδείξω μι σέση της μορφής Α Ω, έω δύο τρόπους : ) Ξεκινάω πό τη σέση Α (Υπόθεση) κι κάνοντς πράξεις, επιμεριστικές ιδιότητες, πργοντοποιήσεις κι εφρμόζοντς τυτότητες, τύπους κι τ δεδομέν της άσκησης κτλήγω στη σέση Ω (Συμπέρσμ). (Ευθεί Απόδειξη) β) Υποθέτω ότι η σέση Ω που μου ζητούν ν ποδείξω είνι λνθσμένη, δεν ισύει. Κάνοντς διάφορους συλλογισμούς κι εφρμόζοντς γνωστές ιδιότητες κι πράξεις κτλήγω στο ότι κι η σέση Α είνι λνθσμένη, πράγμ που είνι δύντο. Άτοπο (Άλογο, Πράλογο). (Απγωγή σε Άτοπο) Η σέση Α Ω διβάζετι : Α ισοδυνμεί Ω ή Α ν κι μόνο ν Ω ή ν Α τότε κι μόνο τότε Ω, δηλδή ν ισύει η σέση Α τότε ισύει κι η Ω κι ντιστρόφως ν ισύει η Ω τότε ισύει κι η Α. Αν ληθεύει η σέση τότε οι προτάσεις Α κι Ω λέγοντι ισοδύνμες, Π.. β β Το σύμβολο το ρησιμοποιούμε οπωσδήποτε ότν λύνουμε εξισώσεις ή νισώσεις. ΣΕΛ.

2 Γι ν ποδείξω μι σέση της μορφής Α Ω, έω δύο τρόπους : ) Ξεκινάω πό τη σέση Α (Υπόθεση) κι κάνοντς πράξεις, επιμεριστικές ιδιότητες, πργοντοποιήσεις κι εφρμόζοντς τυτότητες, τύπους κι τ δεδομέν της άσκησης κτλήγω στη σέση Ω (Συμπέρσμ), κι στη συνέει πίρνω τη σέση Ω κι κτλήγω στην Α. Δηλδή : Α Β Γ Ω δηλδή Α Ω () κι Ω Ψ Χ Α δηλδή Ω Α () Αφού ισύουν οι σέσεις () κι (), άρ Α Ω β) Συνήθως όμως ξεκινάω πό τη σέση Α κι προωρώντς με ισοδυνμίες (), δηλδή προσέοντς τ βήμτ που κάνω ν είνι ντιστρέψιμ, κτλήγω στη σέση Ω. Ένς κθηγητής κάποτε έγρψε :. Ποιο είνι το λάθος;. Διάζευξη (P ή Q) Η Διάζευξη ληθεύει ν μί πό τις δύο προτάσεις ή κι οι δύο μζί είνι ληθείς (δηλδή ληθεύει ν τουλάιστον μί πό τις προτάσεις είνι ληθής). Στον Προγρμμτισμό των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών ντιστοιεί στον λογικό τελεστή OR. Δεν πρέπει ν συγέετι με την ποκλειστική διάζευξη όπου μόνο μί πό τις δύο προτάσεις είνι ληθής ( ή P ή Q ). Στον Προγρμμτισμό των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών ντιστοιεί στον λογικό τελεστή XOR. Στ Αρί Ελληνικά γι τη διάζευξη ρησιμοποιούσν το είτε ( P είτε Q ) κι γι την ποκλειστική διάζευξη το ή ( P ή Q ). Σύζευξη (P κι Q) Η Σύζευξη ληθεύει ν κι οι δύο προτάσεις είνι ληθείς. Στον Προγρμμτισμό των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών ντιστοιεί στον λογικό τελεστή AND. Οι πίνκες ληθείς γι τους λογικούς τελεστές είνι : P Q P ή Q P Q P κι Q Α Α Α Α Α Α Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ. Άρνηση (όι P, δεν ισύει η P) Η Άρνηση ληθεύει ότν δεν ληθεύει η πρότση κι ντιστρόφως. Στον Προγρμμτισμό των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών ντιστοιεί στον λογικό τελεστή NOT. Ο πίνκς ληθείς είνι : P Α Ψ όι P Ψ Α. Αντιθετοντιστροφή (όι Q όι P) (P Q) Γι ν ποδείξω τη πρότση Ρ Q, ρκεί ν ποδείξω την ντιθετοντίστροφή της, δηλδή τη πρότση : όι Q όι Ρ. Αυτές οι δύο προτάσεις είνι ισοδύνμες. β 0 0 ή β 0 0 κι β 0 β 0 π.. Δηλδή στον Προγρμμτισμό των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών οι δύο πρκάτω εντολές εκτελούν if (P and Q) then K if (not P or not Q) then L την ίδι εργσί : ή ισοδύνμ else L else Κ Η διάζευξη, η σύζευξη, η άρνηση, η συνεπγωγή κι η ισοδυνμί προέροντι πό τη Λογική του Αριστοτέλη, που ρησιμοποιείτι τόφι στ Μθημτικά κι τους Υπολογιστές. ΣΕΛ.

3 Ε. Σύνολ. Αριθμοσύνολ ) Φυσικοί ριθμοί Ν 0,,,,..., ν, ν, ν,... ) Ακέριοι ριθμοί Ζ..., ν, ν, ν,...,,,,0,,,,..., ν, ν, ν,... + * Ζ Ν,,,..., ν, ν, ν,... Ζ,,,..., ν, ν, ν,... μ ) Ρητοί ριθμοί Q /, μ, ν Z, ν 0 ν ) Πργμτικοί ριθμοί R { / 0 ή 0 ή 0} ) Άρρητοι ριθμοί R Q Q c Q Q { / R κι Q } π Π..,, RQ ) Πρτηρήσεις : ) N Z Q R β) ( R Q) R γ) Q( RQ ) δ) Q( RQ) R. Άρτιοι Περιττοί Διδοικοί Ακέριοι ) Άρτιοι : λέγοντι οι ριθμοί,,, 8,... είνι της μορφής λ ή μ (λ, μ Ζ) ) Περιττοί : λέγοντι οι ριθμοί,,, 7,... είνι της μορφής λ ή λ ) Διδοικοί : ν οι ριθμοί, β,γ με τη σειρά που δίνοντι είνι διδοικοί κέριοι τότε : β, γ β, γ β β γβ. Ιδιότητες Πράξεων Συνόλων : Τομή : AΩΑ AΒΒΑ AΑΑ AΒΑ, AΒΒ AΒ AΒΑ Ένωση : ΑΩΩ ΑΒΒΑ ΑΑΑ Α ΑΒ, Β ΑΒ ΑΒ ΑΒΒ Συμπλήρωμ : (Α)Α ΑΑ ΑΑΩ ΑΒ ΒΑ Διφορά του Β πό το Α : ΑΒ ΑΒ (ΑΒ)Α ΑΒ (ΑΒ)(ΑΒ) Α (ΑΒ)Β ΑΒ (ΑΒ) Α Νόμοι του De Morgan : (AB) Α Β (AB) Α Β Επιμεριστικοί Νόμοι : Α(ΒΓ) (ΑΒ)(ΑΓ) Α(ΒΓ) (ΑΒ)(ΑΓ) Διάφορες Ιδιότητες : Α(ΑΒ) ΑΒ (ΑΒ)Β ΑΒ ΑΒ ΑΒ ΣΕΛ.

4 Πρδείγμτ. Ν ποδείξετε ότι, ν ο φυσικός ριθμός είνι άρτιος, τότε κι ο είνι άρτιος. Λύση : Αφού άρτιος άρ θ είνι της μορφής : λ. Τότε : (λ) λ (λ ) μ Συνεπώς κι ο ριθμός είνι άρτιος γιτί είνι της μορφής μ.. Ν ποδείξετε ότι, ν ο είνι άρτιος ( * ), τότε κι ο είνι άρτιος. Λύση : Θ κολουθήσω τη μέθοδο της εις Άτοπο Απγωγής : Έστω ότι ο δεν είνι άρτιος. Τότε ο θ είνι περιττός, δηλδή της μορφής λ. Τότε : (λ ) λ λ (λ λ) μ Συνεπώς κι ο ριθμός είνι περιττός γιτί είνι της μορφής μ. ΑΤΟΠΟ. Γιτί πό την υπόθεση γνωρίζουμε ότι άρτιος. Άρ ο είνι άρτιος.. Δίνετι μι ζυγριά (ζυγός) κι διάφορ βάρη που νφέροντι στην ίδι μονάδ (Kg). ) Ν ωρίσετε τ βάρη :,,, 8, 0, ώστε η ζυγριά ν ισορροπεί. β) Ποι είνι η νγκί συνθήκη γι τ βάρη ώστε ν ισορροπεί η ζυγριά; γ) Ν ωρίσετε τ βάρη :,, 9,,, 8 ώστε η ζυγριά ν ισορροπεί. δ) Η συνθήκη που βρήκτε στο ερώτημ (β) είνι ικνή; ε) Ποι είνι η νγκί κι ικνή συνθήκη γι ν μπορούμε ν ωρίσουμε κάποι βάρη ώστε ν ισορροπεί η ζυγριά; Λύση : ) Τ δοθέντ βάρη (μάζες) δεν μπορούν ν ωριστούν ώστε ν ισορροπεί η ζυγριά. β) Η νγκί συνθήκη που πρέπει ν ισύει ώστε μπορούν ν ωριστούν στη ζυγριά είνι : «Το άθροισμ των βρών πρέπει ν είνι άρτιος ριθμός». γ) Ούτε τ νέ βάρη μπορούν ν ωριστούν ώστε ν ισορροπεί η ζυγριά. δ) Το άθροισμ των νέων βρών είνι άρτιος ριθμός, λλά η συνθήκη υτή (του ερωτήμτος (β) ) δεν είνι ικνή γι ν μπορούμε ν ωρίσουμε τ βάρη ώστε ν ισορροπεί η ζυγριά. ε) Άσκηση γι το σπίτι. Ασκήσεις. Διθέτουμε κουβάδες που ο ένς ωράει λίτρ κι ο άλλος λίτρ. Πως θ μετφέρουμε κριβώς λίτρ νερό πό μι βρύση;. Ένς γλτάς στο ωριό μοιράζει γάλ πό έν βρέλι κι διθέτει δοεί που το έν ωράει λίτρ κι τ άλλο λίτρ. Πως θ μπορέσει ν μετρήσει κριβώς λίτρο γάλκτος;. Σε έν τουρνουά τένις συμμετέουν πίτες. Οι πίτες ωρίζοντι με κλήρωση σε ζευγάρι κι πίζουν τ πινίδι τους, ενώ υτός που περισσεύει πρμερίζετι. Στον επόμενο γύρο πίζουν μόνο οι νικητές του προηγούμενου γύρου κι υτός που πρμερίστηκε κι η διδικσί προωράει με υτό τον τρόπο. Τελικά μένουν μόνο δύο πίτες κι ο νικητής είνι ο πρωτθλητής. Πόσ πινίδι πίτηκν συνολικά;. Ένς άνθρωπος σε μι βάρκ μπορεί ν μετφέρει στην άλλη πλευρά ενός ποτμού μόνο έν πό τ : πρόβτο, λύκο, κφάσι όρτ. Ότν ο άνθρωπος δεν είνι πρών ο λύκος τρώει το πρόβτο κι το πρόβτο τρώει τ όρτ στο κφάσι. Με ποιο τρόπο θ τ μετφέρει στην πένντι όθη κι τ νέπφ.. Γι ν δισίσουν έν ποτμό ιερπόστολοι κι κνίβλοι διθέτουν μι βάρκ που ωράει μόνο άτομ. Αν οι κνίβλοι είνι περισσότεροι πό τους ιερπόστολους τότε τους τρώνε. Με ποιο τρόπο θ περάσουν πένντι ωρίς κμί πώλει; ΣΕΛ.

5 . Περνώντς μέσ πό μί ζούγκλ κυνηγοί φτάνουν στην όθη ενός ποτμού με μεγάλο πλάτος κι βάθος. Ο ποτμός είνι γεμάτος πό πεινσμένους κροκόδειλους, λλά στην πένντι όθη δικρίνουν ιθγενείς με μί βάρκ. Όμως η βάρκ μπορεί ν μετφέρει ή κυνηγό με το όπλο κι το σκίδιό του ή μόνο τους ιθγενείς. Πως μπορούν οι ιθγενείς ν βοηθήσουν τους κυνηγούς ν δισίσουν τον ποτμό με όλο τον εξοπλισμό τους; 7. Μι οικογένει τόμων θέλει ν δισίσει μι γέφυρ, η οποί όμως ντέει το βάρος μόνο τόμων. Είνι νύτ κι διθέτουν έν φκό που η μπτρί του έει διάρκει ζωής 9 min. Οι ρόνοι που κάθε άτομο μπορεί ν δισίσει τη γέφυρ είνι,,, 8, min ντίστοι. Με ποιο τρόπο η οικογένει μπορεί ν περάσει τη γέφυρ; 8. Η μγεί των μθημτικών : Δύο φίλοι ο Δημήτρης κι ο Κώστς συνντιόντι έξω πό το σπίτι του Κώστ κι κολουθεί ο πρκάτω διάλογος : Δημήτρης : «Κώστ πόσων ετών είνι οι κόρες σου;» Κώστς : «Το γινόμενο των ηλικιών τους είνι» Δημήτρης : «Δώσε μου άλλο έν στοιείο» Κώστς : «Το άθροισμ των ηλικιών τους είνι το νούμερο του σπιτιού μου» Δημήτρης : «Πρέπει ν μου δώσεις άλλο έν στοιείο» Κώστς : «Η μικρή είνι ξνθιά!!!» Δημήτρης : «Α!, ωρί. Τώρ ξέρω πόσων ρονών είνι οι κόρες σου» Πόσων ετών είνι οι κόρες του Κώστ ; 9. (Προτεινόμενο Θέμ γι εισγωγή στ Πρότυπ Λύκει) Οι λάμπες πυράκτωσης κοστίζουν 0, η μί κι έουν μέση διάρκει ζωής.00 ώρες. Οι λάμπες φωτισμού νέου τύπου (LED) κοστίζουν η μί κι έουν μέση διάρκει ζωής ώρες. Ποιου τύπου λάμπες σς συμφέρει ν προτιμήσετε; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. 0. Τ μηνήμτ υτόμτης νάληψης των τρπεζών (ΑΤΜ) ως γνωστόν δίνουν ρτονομίσμτ των 0 κι των 0. Ποι ποσά πολλπλάσι των 0 κι μέρι του ποσού των 00 δεν μπορούμε ν κάνουμε νάληψη πό έν ΑΤΜ;. Ένς μνάβης έει μι ζυγριά κι στθμά, με τ οποί μπορεί ν ζυγίσει σώμτ οποιουδήποτε κερίου ριθμού κιλών πό μέρι 0. Τι στθμά έει ο μνάβης στη διάθεσή του κι πως κτορθώνει ν ζυγίζει τ προϊόντ του.. Ν βρείτε τις ντίθετες (ρνήσεις) των πρκάτω προτάσεων : ) Ο είνι ρνητικός ) Ο είνι άρτιος (R) ) ) κι (N) ) ή (N) ) R ώστε 0 7) R ισύει 0 8) 0 κι 0. Ν ντιστοιίσετε κάθε στοιείο της στήλης (Α) με έν μόνο στοιείο της στήλης (Β) στήλη (Α) στήλη (Β). Το σύνολο των κερίων ριθμών Απάντηση : Α. Q. Το σύνολο των φυσικών ριθμών Β.. Το σύνολο των άρτιων ριθμών Γ. R. Το σύνολο των πργμτικών ριθμών Δ. Z. Το σύνολο των ρητών ριθμών. Το σύνολο των περιττών ριθμών. Αν Α{,,} κι Β{,,}, τότε το σύνολο Α Β είνι ίσο με : Α. {,,} Β. {,,,,} Γ. {,,,,,} Δ. {,} Ε. {,,,} Α Β Γ Δ ΣΕΛ.

6 . Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ρησιμοποιώντς τ σύμβολ ή όπως στο πράδειγμ της πρώτης γρμμής. Φυσικοί Αριθμός Ν Ακέριοι R Ρητοί Q Άρρητοι Q Πργμτικοί R,, π 0,999, 8, 7. Με βάση το πρκάτω σήμ συμπληρώστε τον πίνκ που κολουθεί (Α, Β υποσύνολ του συνόλου Ω) Γρφή σε γλώσσ συνόλων Γρφή σε φυσική γλώσσ Μέρος του σήμτος Α Β Α τομή Β ΙΙ Β Α Β Α Α Β Β Α Α Β Α Β 7. Το σύνολο των ψηφίων του ριθμού είνι το : Α. {,,} Β. {,} Γ. {,} Δ. {9,} Ε. {,} 8. Αν Α κι Β δύο σύνολ το Α Β συμβολίζει : Α. την τομή των συνόλων Β. το συμπληρωμτικό του Α Γ. το βσικό σύνολο Δ. το συμπληρωμτικό του Β Ε. την ένωση των συνόλων ΣΕΛ.

7 9. Οι σέσεις () μέρι () νφέροντι στο πρκάτω διάγρμμ του Venn. Βάλτε σε κύκλο το γράμμ (Σ) ή (Λ) ντίστοι ν η σέση είνι σωστή ή λάθος. ) ΑΒ Σ Λ ) ΒΑ Σ Λ ) ΓΒ Σ Λ ) ΔΓ Σ Λ ) ΓΔ Α Σ Λ ) ΓΔ Β Σ Λ 7) ΓΔ Α Σ Λ 8) ΒΓ Α Σ Λ 9) ΒΓΔ Α Σ Λ 0) ΑΒ Β Σ Λ ) ΑΒ Β Σ Λ ) (ΓΔ)Α Α Σ Λ ) (ΓΔ) Α Β Σ Λ ) ΒΔ Δ Σ Λ ) (ΓΒ) Α Γ Σ Λ 0. Συμπληρώστε τον πίνκ βάζοντς στη στήλη Β τον ρκτηρισμό Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος). Όπου βάλτε Λ (Λάθος) συμπληρώστε στη στήλη Γ τη σωστή σέση. Α Β Γ ΑΑ Α Α Α ΑΑ Λ ΑΑ Α Α Α Α Α Ω Α Α Ω Ω (Α ) Ω ΑΒ ΒΑ ΑΒ ΒΑ Ω Αν ΑΒ τότε ΑΒ Β Α Α Ω Α Α (Α ) Α Αν ΑΒ τότε ΑΒ Α. Αν τ σύνολ Α, Β κι Α Β έουν ντίστοι, κι ν στοιεί, τότε : Α. ν8 Β. ν Γ. ν Δ. ν Ε. ν8. Αν τ σύνολ Α, Β κι Α Β έουν ντίστοι, κι μ στοιεί, τότε : Α. μ Β. μ Γ. μ Δ. μ Ε. 0μ. Έστω το βσικό σύνολο Ω,,,...,0 κι τ υποσύνολά του Α,,,8,0 Β,,0. κι ) Ν πρστήσετε τ πρπάνω σύνολ με διάγρμμ Venn. β) Ν γράψετε το σύνολο Α με περιγρφή των στοιείων του. γ) Ν ρκτηρίσετε κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις ν είνι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Α Σ Λ ) Α Σ Λ ) ΒΩ Σ Λ ) ΒΑ Σ Λ ) ΑΒ Σ Λ ) ΑΒ{0} Σ Λ 7) ΑΒΩ Σ Λ 8) Β Σ Λ ΣΕΛ. 7

8 . Αν κάθε στοιείο ενός συνόλου Β είνι κι στοιείο ενός συνόλου Α, τότε το Β λέγετι... του Α. Ο σετικός συμβολισμός είνι Β..Α.. Το σύνολο που έει ως στοιεί του τ κοινά στοιεί δύο συνόλων Α κι Β κι μόνο υτά ονομάζετι.. των Α κι Β κι συμβολίζετι με... Από τις πρκάτω ισότητες σωστή είνι η Α. ΑΑ Β. Α ΑΩ Γ. ΑΒΑΒ Δ. Ω Ω Ε. (Α ) Α 7. Αν Κ {0,, }, Λ {0}, Μ {, }, Ν {, } τότε είνι : Α. Κ Λ Β. Λ Μ Γ. Μ Λ Δ. Ν Κ Ε. Ν Λ 8. Από τις πρκάτω ισότητες σωστή είνι η : Α. ΑΑ Β. Α ΑΩ Γ. ΑΒΑΒ Δ. Ω Ω Ε. (Α ) Α 9. Ν ρκτηρίσετε κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις ν είνι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Ο ριθμός είνι φυσικός. Σ Λ.,,,,, * /, vn v Σ Λ. Το κενό σύνολο συμβολίζετι : {0}. Σ Λ. Οι άρρητοι ριθμοί νήκουν στο σύνολο R. Σ Λ. Η σέση είνι ισοδύνμη με τη σέση. Σ Λ. Η ντίθετη της σέσης είνι η σέση. Σ Λ 7. Ισύει :,. Σ Λ 8. Είνι ληθής η πρότση : «Αν τότε 7». Σ Λ 9. Ο ριθμός ν, νν* είνι άρτιος. Σ Λ 0. Ισύει :. Σ Λ. Ο μπορεί ν γρφεί στη μορφή νάγωγου κλάσμτος μ, μ,ν Z, ν 0. Σ Λ ν. Ο ριθμός 7ν, νν* μπορεί ν είνι άρτιος. Σ Λ. Ισύει :,7. Σ Λ. Ο ριθμός 9 είνι φυσικός. Σ Λ. Αν β είνι περιττός (, β*), τότε οι κι β είνι περιττοί Σ Λ 0. Δίνοντι τ σύνολ Α R κι Β άρτιος τρόπο γι γράψετε τ σύνολ ΑΒ, ΑΒ.. Ν γράψετε με περιγρφή το σύνολο Α,,,..., 99.. Ν βρείτε τον κτλληλότερο. Ν γράψετε με νγρφή των στοιείων τους τ σύνολ : Α / διιρέτης του Β κ Ν / κ πολλπλάσιο του κι 0 κ ) Ζ β) γ) Γ (, y) /,y Ν κι y.. Γι το σύνολο Ω,,,..., ν γνωρίζουμε ότι το πλήθος των στοιείων του είνι ν. Ν βρείτε : ) την τιμή του ν β) το σύνολο Ω.. Αν Α, Β υποσύνολ ενός συνόλου Ω, ν δείξετε με διγράμμτ του Venn ότι : ) Α(ΑΒ)Α ) Α(ΑΒ)Α ) (ΑΒ)Β ) (ΑΒ)(ΑΒ)Α ) Α(ΒΑ)Α ) (ΑΒ)(ΑΒ) 7) ισύουν οι νόμοι του De Morgan. ΣΕΛ. 8

9 . Αν Α, Β υποσύνολ του βσικού συνόλου Ω,,,,,, 7, 8 γι τ οποί ισύουν : ΑΒ,,,,,, ΑΒ,, κι Α Β,. Ν βρείτε τ Α, Β.. Ν ποδείξετε ότι, ν ο είνι περιττός (), τότε κι ο είνι περιττός. 7. Αν ν* κι ν περιττός, δείξτε ότι οι ριθμοί ν κι ν ν διιρούντι με το. 8. Δείξτε ότι το άθροισμ δύο περιττών φυσικών ριθμών είνι άρτιος ριθμός. 9. Αν ν* δείξτε ότι ο ν ν είνι άρτιος. 0. Αποδείξτε ότι το τετράγωνο ενός περιττού φυσικού ριθμού ν μειωθεί κτά είνι πολλπλάσιο του 8.. Ν βρείτε τις τιμές των, β ώστε τ σύνολ Α 0,,, Β 0, β, σύνολο Ρ που έει γι στοιεί του τ υποσύνολ του Β. ν είνι ίσ κι το. Δείξτε με πίνκ ληθείς ότι η πρότση όι (P ή Q) είνι ισοδύνμη με την (όι P) κι (όι Q).. Δίνοντι τ σύνολ : Α ν Ν/ ν κ, κν, Β ν / ν κ, κ Γ ν Ν/ ν κ, κν, Δ ν Ν/ ν κ, κν ) Ν γράψετε με νγρφή των στοιείων τους τ σύνολ Α, Β, Γ, Δ. β) Ποιο είνι το σύνολο ΑΒΓ Δ. Ν Ν, ΣΕΛ. 9

10 . Οι Πργμτικοί Αριθμοί. Οι Πράξεις κι οι ιδιότητές τους. Ιδιότητες Πρόσθεσης κι Πολλπλσισμού ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Αντιμετθετική β β β β Προσετιριστική (βγ) (β)γ (βγ) (β)γ Ουδέτερο Στοιείο 0 Συμμετρικό Στοιείο () 0, 0 Επιμεριστική (βγ) βγ 7. Αντίθετοι Αντίστροφοι Αριθμοί Αντίθετοι λέγοντι οι ριθμοί κι, δηλδή οι ριθμοί που έουν άθροισμ 0. Αντίστροφοι λέγοντι οι ριθμοί κι / (0), δηλδή οι ριθμοί που έουν γινόμενο. Ο ριθμός 0 (μηδέν) δεν έει ντίστροφο. 8. Αφίρεση Διίρεση β ( β) :β β β (β0) Προσοή : Επειδή διίρεση με το 0 δεν ορίζετι, ν σε σκήσεις δεν μς δίνετι ότι β0, θ πρέπει ν το επισημίνουμε, δηλδή θ υποθέτουμε ότι όλοι οι προνομστές είνι διάφοροι του μηδενός. 9. Χρήσιμες Ιδιότητες ) β γ β γ Μπορούμε ν προσθέσουμε κι στ δύο μέλη μις ισότητς τον ίδιο ριθμό κι επίσης μπορούμε πό τ μέλη μις ισότητς ν διγράψουμε (ν φιρέσουμε) τον ίδιο ριθμό. Άρ : β γ β γ γ0 ) β γ βγ Μπορούμε ν πολλπλσιάσουμε κι τ δύο μέλη μις ισότητς τον ίδιο ριθμό κι επίσης μπορούμε πό τ μέλη μις ισότητς ν διγράψουμε (ν διιρέσουμε με) τον ίδιο μη μηδενικό πράγοντ. β γ0 β γ γ Προσοή : στην ισότητ 0 β0 δεν μπορώ ν διγράψω το 0. Διότι 0 0 Ισύει, ενώ 00 ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ β ) γ δ γ β δ Μπορούμε ν προσθέσουμε δύο ισότητες κτά μέλη β ) γ δ γ βδ Μπορούμε ν πολλπλσιάσουμε δύο ισότητες κτά μέλη ) β 0 0 ή β 0 Αν έν γινόμενο είνι 0 τότε ένς ή περισσότεροι πράγοντες είνι 0 ΣΕΛ. 0

11 ) 0 β 0 β 0 Τ σύμβολ { κι } συνδέουν δύο ή περισσότερες σέσεις που ισύουν (ληθεύουν) τυτόρον (σύζευξη). Δηλδή ντί ν γράψω κι β, μπορώ ν γράψω β Αν ληθεύει (ισύει) μόνο μί (ή τουλάιστον μί) πό τις σέσεις, τότε βάζω ή νάμεσ τους. Π.. ή Προσοή η σέση δεν ισύει (είνι δύντο) 0. Ιδιότητες Ανλογιών Λέμε ότι οι ριθμοί, γ είνι νάλογοι των ριθμών β, δ ότν ισύει γ που λέγετι νλογί β δ γ βγ δ δ βγ δ ) δ β γ β γ δ β δ δ γ β βγ β γδ β γδ γ γ β β δ β δ β γδ β γδ γ δ γ βδ γ βδ β β γ δ γ δ γ βδ γ βδ β δ δ γ β βγ γ δ βγ βγ β δ γ δ δ βγ δ β δ β δ β γδ β γδ γ δ β γδ β γδ γ γ β γ δ γ δ γ βδ γ βδ γ βδ γ βδ β β Υπενθύμιση : β β (Πάντ υποθέτουμε ότι όλοι οι προνομστές είνι διάφοροι του 0) γ ε γ ε... )... β δ ζ y β δ ζ... y. Μέθοδος επίλυσης νλογιών Γι ν λύσω οποιδήποτε άσκηση με νλογίες θέτω τον λόγο της νλογίς ίσο με λ κι έω : λ β λ β γ ε γ λ λ γ λδ () β δ ζ δ ε λζ ε λ ζ Χρησιμοποιώντς τις σέσεις () ποδεικνύετι η άσκηση. (Βλέπε πρκάτω πράδειγμ). Πρόσθεση Αφίρεση Κλσμάτων γ γ β β β γ δ βγ β δ βδ γ δ βγ β δ βδ ΣΕΛ.

12 Πρδείγμτ. Αν z ν ποδείξετε ότι : z y y φ y φ, yφ(y φ) 0 Λύση : Ονομάζω τον λόγο της νλογίς λ κι έω : λ z y λy λy λy λ y yφ z z λ(y φ) λy z λy λφ z λφ λ y φ Πίρνω το δεύτερο μέλος της ισότητς που θέλω ν ποδείξω κι έω : z () λφ λ φ φ y () ος Τρόπος : Η σέση () μς δίνει : () λ y z z y φ λ φ Ασκήσεις. Στ πρκάτω ζευγάρι ν συμπληρώσετε τ κενά με έν πό τ σύμβολ ή , , Ν γίνουν οι πράξεις : ΣΕΛ.

13 Ν γίνουν οι πράξεις : ΣΕΛ.

14 Δίνοντι οι ριθμοί 7,,, 7,. Ν βρείτε όλ τ ζευγάρι πό τους ριθμούς υτούς που έουν άθροισμ πάλι ένν πό τους πρπάνω ριθμούς. 8. Γράψτε σε κάθε τετργωνάκι το κτάλληλο πρόσημο ώστε ν προκύψουν ληθείς ισότητες Ποιόν ριθμό πρέπει ν προσθέσουμε ) στον γι ν βρούμε άθροισμ 9 β) στον γι ν βρούμε άθροισμ γ) στον γι ν βρούμε άθροισμ δ) στον 0 γι ν βρούμε άθροισμ 0. Ν βρείτε τ θροίσμτ :. () (7). (9,) (9,) (,). () (9). (7) (9,). ()(). (7)() 7. () 8. (,) ()(). ()(7). ()(9). ( ). ( ). (). ()(7) 7. ()(9) 8. (8)() 9. () () 0. (9,) (,). () (8) 7. (,). (,). (,). (9) (,7). (,)(,) 7. (9,)(,) 8. (9)(7) 9. (7)(9) 0. (9)(7). ()(). ()(9). ()(9). (7)(8). (9)(8). (7)() 7. (7)() 8. ()(9) 9. ()(7) 0. ()(9). (9)(8). (7)(8). ()(7). (8)(). (8)(). (9)(8) 7. ()() 8. (9)(8) 9. (7)(8) 0. (7)(). (8)() ΣΕΛ.

15 .... (7)(). ()(7) 7. (7)(8) ()(7). (8)(). (9,)(,) (9,)(,) 87. (9,)(,). Ν γίνουν οι πράξεις : ΣΕΛ.

16 . Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις :. () (9). (7)(8). ()(8). ()(). ()(). (7)() 7. (7)() 8. 0() 9. ()(8) 0. (0)(0). ()(7). ()(7). ()(). ()(). ()(). (9)() 7. (9)() 8. (9)() 9. 0() 0. 0(). () ()(9). ()() 7. ()(7) Ν λυθούν οι εξισώσεις :.. (7). (). () , Ν υπολογιστούν τ γινόμεν :. ()(). ()(). ()(). 8. ()(). ()() 7. ()() 8. ()() 9. ()() 0. (7)(). (9)(). (8)(7). ()(). ()(). ()(). ()() 7. ()() 8. ()() 9. ()() 0. ()(). ()(). ()(8). (8)(9). ()(9). ()(). ()() 7. ()() 8. ()() 9. ()() 0. (9)(). ()(). ()(). ()(7). ()(9). (7)(). ()(8) 7. ()(9) 8. ()() 9. ()(9) 0. (7)(9). ()(). ()(). ()(7). ()(). ()(). (9)(() 7. ()() 8. (9)(7) 9. ()(7) 0. (7)(). ()(). ()(8). (8)(). (9)(). ()(). (9)(9) 7. (8)() 8. ()() 9. ()() 0. ()(). ()(). ()(7). ()(8). ()(). ()(7). ()() 7. ()() 8. ()() 9. (8)(8) 70. (7)(7) 7. ()(8) 7. ()() ΣΕΛ.

17 Ν συμπληρωθούν τ ποτελέσμτ των διιρέσεων :. ():(). (0):(). ():(). (8):(). ():(). ():() 7. ():() 8. ():() 9. ():() 0. ():(). (8):(). ():(). ():(8). ():(). ():(). ():(7) 7. ():() 8. (8):() 9. (0):() 0. ():(). (9):(). (8):(). ():(). ():(). ():(). (8):() 7. ():() 8. (7):(9) 9. ():() 0. (9):(). ():(). (0):(). (0):(). ():(). (8):(). ():() 7. ():() 8. ():() 9. (7):() 0. ():(). (8):(). ():(). ():(). ():(). ():(7). (0):() 7. (0):() 8. (8):() 9. ():() 0. (9):(). ():(). ():(). (7):(9). (8):(). ():(). ():() 7. (0):() 8. (7):(9) 9. (0):() 0. (9):(). ():(). ():(). (8):(9). ():(8). ():(). (0):() 7. ():() 8. (7):(9) 9. ():() 70. (8):() 7. ():() 7. ():() 7. (0):() 7. ():() 7. ():() 7. ():() 77. ():(8) 78. ():(8) 79. (0):() 80. (8):(). Ν συμπληρωθούν τ ποτελέσμτ των διιρέσεων :. ():(). ():(8). (0):(). ():(8). ():(). ():() 7. ():() 8. (8):() 9. (8):() 0. ():(7). ():(7). ():(). ():(). (8):(9). ():(). ():() 7. ():() 8. ():() 9. (8):(9) 0. (0):(). ():(). ():(). ():(). (8):(). ():(7). ():() 7. ():() 8. ():(8) 9. (8):() 0. (7):(). ():(). ():(). ():(). ():(). ():(). ():(7) 7. (0):() 8. ():() 9. ():() 0. (8):(). ():(). ():(8). ():(). (8):(). (8):(). (8):(7) 7. ():() 8. ():() 9. ():() 0. (8):(). (0):(). (8):(). (8):(9). ():(). (8):(). (7):() 7. ():() 8. ():() 9. ():(8) 0. (0):(). (8):(). ():(). ():(). ():(9). ():(7). ():() 7. ():() 8. (8):() 9. ():() 70. (8):() 7. ():() 7. ():() ΣΕΛ. 7

18 7. Ν συμπληρωθούν τ ποτελέσμτ των διιρέσεων :. (0):(). ():(). ():(). ():(). ():(). ():() 7. (8):() 8. ():() 9. (0):() 0. (0):(). ():(). (8):(7). ():(8). ():(). ():(). ():() 7. ():() 8. ():() 9. ():(7) 0. ():(). (8):(). ():(). ():(). (0):(). ():(). ():() 7. ():() 8. ():() 9. ():() 0. (0):(). ():(). ():(7). ():(). ():(). (8):(7). (8):() 7. ():() 8. ():() 9. (0):() 0. ():(8). ():(). ():(). (8):(). ():(9). ():(). ():() 7. ():(8) 8. ():() 9. ():() 0. ():(). (0):(). (8):(). ():(). (0):(). ():(). ():() 7. ():() 8. (0):() 9. ():() 0. (0):(). (8):(). ():(). ():(). ():(9). ():(). (8):(7) 7. (8):() 8. ():(9) 9. (0):() 70. ():(9) 7. ():() 7. ():() 7. (8):() 7. ():(9) 7. ():() 7. ():() 77. ():(9) 78. ():() 79. (0):() 80. ():() 8. Ν συμπληρωθούν τ ποτελέσμτ των διιρέσεων :. (0):(8). ():(). ():(). ():(). (0):(). ():(9) 7. (0):() 8. ():(7) 9. ():() 0. ():(7). (0):(8). ():(). ():(7). ():(). ():(7). (0):(8) 7. ():() 8. (0):() 9. (0):() 0. ():(). (0):(8). (8):(). ():(). (8):(). ():(). ():() 7. ():() 8. ():(7) 9. (0):() 0. (8):(8). ():(). ():(9). ():(). ():(). ():(7). ():() 7. ():(7) 8. (9):(7) 9. (0):() 0. ():(). ():(8). ():(7). (8):(). (8):(8). (8):(). ():(9) 7. (7):(9) 8. (8):(9) 9. (9):(7) 0. ():(7). (8):(8). ():(). (7):(8). (7):(8). ():(9). (7):(8) 7. (8):(8) 8. ():() 9. ():(8) 0. ():(9). (7):(9). (8):(9). (9):(7). ():(8). (9):(7). ():(8) 7. (7):(9) 8. ():(7) 9. (8):(9) 70. ():(7) 7. ():(8) 7. (7):(9) 7. ():(8) 7. (8):(9) 7. ():() 7. ():(8) 77. (7):(9) 78. (7):(8) 79. ():(8) 80. (8):(9) 9. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις : ΣΕΛ. 8

19 : : 8 0. Ν βρεθούν τ γινόμεν :. ()(8).. 0 (7,) ( ) 0 ( ) 7 ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. (,8) () (7)(9 9). (,) (,7) () ( ) 8. Σύμφων με την επιμεριστική ιδιότητ, ν γίνουν με τον πιο σύντομο τρόπο οι πράξεις :., (),8().. ( 0,7).. Ν βρεθεί η τιμή των πρστάσεων :. 0 9 (). 0 [9 ()]. (0 9) (). (0 9 )(). 0 ( 9 )(). 7 (8) 7. [7 (8)] 8. ( 7) (8) 9. ( 7 ) (8) 0. (7 )(8). 8 : (). 8[ : ()]. (8 ) : (). [8 ( )] : (). 8[( ) : ()]. 0 :() 7. (0 ):() 8. (0 ):() ΣΕΛ. 9

20 . Ν λυθούν οι εξισώσεις : ( ). :( ) 7.. : ( ). ( ). Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: 7. Α 78 ( ) ( ) 9. Β + : ( ):. Γ. Δ : 7. Ε 8 7 Απντήσεις:. Α. Β. Γ. Δ. Ε. Ν ποδείξετε ότι ν γ γ γ τοτε β δ βδ βδ.. Αν (β)(γ) κι y βγ(), ν ποδειθεί ότι οι κι y είνι ντίθετοι ριθμοί. 7. Μι ομάδ μθητών έει νλάβει ν μετφέρει στην ποθήκη του σολείου ορισμέν κτεστρμμέν θρνί. Την πρώτη μέρ μετέφερν το των θρνίων, τη δεύτερη τ των υπολοίπων. Ποιο μέρος υπολείπετι γι ν τελειώσουν; 8. Αν οι ριθμοί, β είνι ντίστροφοι, ν ποδείξετε ότι : ) β β β) Οι ριθμοί ( )β κι y ( β) είνι ντίθετοι. 9. Αν, ν υπολογίσετε τις πρστάσεις : β β Α, β β Β β (Απ: Α, Β) ΣΕΛ. 0

21 . Β Δυνάμεις Τυτότητες Πργοντοποίηση. Δυνάμεις κι Ιδιότητές τους Ορισμοί: ) ν (ν φορε ς) β) 0 ( 0) Ιδιότητες: μ ν μ ν ν ν ν β β ν k+ k+ k : περριτος ν μ μ ν μν μ : ν ν ν β β ν ν ν β β ν ν ν μν k k k: ρτιος ν ν β β (Προσοή δεν ισύει το ντίστροφο) ν μ Πρτήρηση: Το μόνο που μπορώ ν κάνω στην πράστση είνι πργοντοποίηση. ν μ ν ν μν ν μν Έστω ν μ τότε έω : Προσοή: ν ν ν β β. Πρτήρηση: Προσοή ότν υψώνετι το πρόσημο () σε δύνμη. Π.. () 9 9 Στο δεύτερο πράδειγμ το () δεν υψώνετι στο τετράγωνο.. Πολλπλάσι κι Υποπολλπλάσι Υποπολλπλάσι d (deci) c (centi) m (mili) μ (micro) n (nano) p (pico) f (femto) a (atto) 0 da (deka) 0 h (hecto) 0 k (kilo) 0 M (mega) 9 0 G (giga) 0 T (tera) 0 P (peta) 8 0 E (exa) Πολλπλάσι Δυνάμεις Αριθμών : ΣΕΛ.

22 Προτεριότητ Πράξεων Προηγούντι οι πράξεις μέσ στις πρενθέσεις, κολουθούν οι δυνάμεις, ο πολλπλσισμός κι η διίρεση κι μετά η πρόσθεση κι η φίρεση. Ότν έουμε πολλές πρενθέσεις ξεκινάμε τις πράξεις πό τη εσωτερική πρένθεση. Π.. :8 :8 ( ) : ( ) ( ) : ( ) : ( ). Τυτότητες. ( β) β β. ( β) β β. ( β)( β) β. β ( β) β ( β) β. ( β) ββ β. ( β) ββ β 7. ( β) β β( β) 8. ( β) β β( β) 9. β (β) β β 0. β (β) β β.. ( β γ) β γ β βγ γ. ( β γ) β γ β βγ γ. ( β γ) β γ β βγ γ ( β γ) β γ ( β)(β γ)(γ ). ( )( β) ( β) β. ( )( β) ( β) β 7. ( )( β)( γ) ( β γ) (β βγ γ) βγ 8. ( )( β)( γ) ( β γ) (β βγ γ) βγ ν ν ν ν ν ν ν ν 9. β (β) β β β... β β ν ν ν ν ν ν ν ν 0. β (β) β β β... β β ν ν k (περιττός). Euler: β γ βγ ( β γ) ( β) (β γ) (γ ) (β γ) β γ β βγ γ ΣΕΛ.

23 . β γ β βγ γ ( β) (β γ) (γ ). Αν βγ0 ή β γ τότε.. β β β β γ βγ (Fermat) β y ( βy) (y β) (Lagrange) 7. Κνόνες Πργοντοποίησης. μ μβ μγ μ( β γ). μ μβ ν νβ μ( β) ν( β) ( β)(μ ν) (μ ν) β(μ ν) (μ ν)( β)... β ( β)( β) β β ( β) β β ( β). β (β) β β 7. β (β) β β ( β) β ( )( β) ( β) β ( )( β) Προσοή : Η πργοντοποίηση είνι η ντίστροφη διδικσί των Τυτοτήτων κι της Επιμεριστικής ιδιότητς. 8. Επίλυση Τύπων ) Ότν ένς πράγοντς μις ισότητς λλάζει μέλος τότε λλάζει η πράξη (όι το πρόσημο) (πρόσθεση φίρεση, πολλπλσισμός διίρεση) : γ Ν επιλυθεί ο τύπος : κ ως προς, β, γ, δ, κ. β δ β γ γ γβ γβκβδ κ β βκβ κβ ή β δ β δ δ δ γ γ κδ β δ δ κ β ή β δ β δ γ κδ γ κδ γ γ κβ γ ( κβ)δ κ κ γ ή β δ β δ β δ β γ γ κβ γ β δ βγ κ κ δ ή β δ β δ β δ κβ γ κβ γ γ δ βγ κ κ κ β δ β δ βδ ) Ο τύπος που μεττρέπει τους βθμούς Κελσίου (Celsius) C σε βθμούς Φρενάιτ (Fahrenheit) F είνι : C 9C 0 9C (F ) 9C F 0 9C 0 F F F 9 F 0 9C F 0 F 9C 0 F 9C 0 0 F 0 9C C 9 ΣΕΛ.

24 9. Τρίγωνο Pascal Το νάπτυγμ της τυτότητς (β) ν είνι δύσκολο πό την άποψη ότι οι συντελεστές του κάθε όρου υπολογίζοντι δύσκολ. Οι συντελεστές των πρώτων νπτυγμάτων μπορούν ν βρεθούν με το τρίγωνο του Pascal ως εξής : ν0 ν ν ν ν ν 0 0 ν 0 ν7 7 7 ν το οποίο σημτίζετι βάζοντς στ άκρ κι κάθε όρος σημτίζετι προσθέτοντς τον κριβώς πό πάνω του κι τον προηγούμενο του πό πάνω του. Στην τελευτί γρμμή (ν8) είνι οι συντελεστές του ( β) 8. Υπενθυμίζουμε ότι οι δυνάμεις του είνι κτιούσες, ενώ του β νιούσες. Δηλδή : ( β) β 8 β 8 β β 70 β β 8 β 8β β Η μόνη διφορά με το ( β) 8 είνι ότι το πρόσημο του κάθε όρου είνι ενλλάξ θετικό ή ρνητικό. Πρδείγμτ. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις ) κι β) Λύση : ) Ανζητούμε δύο ριθμούς που έουν γινόμενο κι άθροισμ. Αυτοί είνι οι κι. Συνεπώς : ()() β) Ανζητούμε δύο ριθμούς που έουν γινόμενο κι άθροισμ. Αυτοί είνι οι κι. Συνεπώς : () () Ασκήσεις 70. Αντιστοιίστε κάθε ισότητ της στήλης (Α) με το ντίστοιο της στήλης (Β). στήλη (Α) στήλη (Β) ισότητ τιμή του κ. Α. ( ) κ 8 -k Β. = β Γ. [(β) κ ] (β) Απάντηση : Α Β Γ Δ Δ. ( κ ). 7. ΣΕΛ.

25 7. Ν ντιστοιίσετε κάθε τυτότητ της στήλης (Α) με το νάπτυγμά της στη στήλη (Β). Στήλη (Α) Στήλη (Β) τυτότητ Α. Β. Γ. ( ) Δ. νάπτυγμ. ( ) ( ).. ( ) ( ) Απάντηση : 7. Αν ισύει , τότε ο ισούτι με : Α. 0 Β. 000 Γ. έν εκτομμύριο Δ Ε Αν y, ( 0), τότε : y Α. y Β. 0, yr Γ. 0, y0 Δ. ή 0 Ε., y 7. Αν κ περιττός κέριος ριθμός, τότε η πράστση ( β) κ (β ) κ ισούτι με: Α. κ Β. κ Γ. 0 Δ. κ β κ Ε. β κ 7. Αν κ άρτιος κέριος ριθμός, τότε η τιμή της πράστσης κ ( ) κ κ ( ) κ είνι: Α. Β. Γ. Δ. 0 Ε. 7. Αν 0,0 κι y 0,000, τότε η τιμή της πράστσης y είνι: Α. 0 8 Β. Γ. 00 Δ. 8 Ε. 0 ν Αν ισύει ν + 7, τότε η τιμή του φυσικού ριθμού ν είνι: Α. Β. Γ. Δ. Ε Ν ρκτηρίσετε κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις ν είνι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Ισύει () 9. Σ Λ. Είνι ν 0. Σ Λ. Αν β, τότε β β. Σ Λ. Γι,βR, οι ριθμοί β κι β είνι ντίθετοι. Σ Λ. Αν R {, } τότε ισύει η ισότητ: Σ Λ. Γι κάθε πργμτικό ριθμό 0 ισύει: [( ) ] 0. Σ Λ 7. Γι κάθε πργμτικό ριθμό 0 ισύει: [( ) ]. Σ Λ 8. [( ) ] [( ) ]. Σ Λ 9. Αν, βr είνι ίσοι, τότε: κ β κ, γι κάθε κέριο ριθμό κ. Σ Λ 0. Αν κ β κ κι β 0, τότε ισύει πάντ : β. Σ Λ. Αν β 0, τότε ισύει : [(β) ν ] [(β) ] ν. Σ Λ Α Β Γ Δ ΣΕΛ.

26 β. Αν β 0 κι ν φυσικός ριθμός, τότε: β. Σ Λ. Αν κ περιττός ριθμός με 0 κι, τότε : κ κ. Σ Λ. Αν κ άρτιος ριθμός κι 0, τότε : κ ( ) κ. Σ Λ. Το γινόμενο (0,0 )(0,0 )(0,0 ) ισούτι με τρί δισεκτομμύρι. Σ Λ. Αν ( κ ) (β ) κ κι β 0, τότε β. Σ Λ 7.. Σ Λ 8. ( ). Σ Λ 9. (β) β. Σ Λ 0. y (y)(y). Σ Λ. 9 ()(). Σ Λ. y. y Σ Λ. (). Σ Λ. (). Σ Λ. ( 9) ()(). Σ Λ. Αν β τότε β β. Σ Λ 7. Αν β τότε β β. Σ Λ 8. Ισύει : (β ) ( β) Σ Λ 9. Ο μονδικός ριθμός που είνι ίσος με τον ντίστροφό του είνι το. Σ Λ 0. ( β) ( β). Σ Λ. (β ) ( β). Σ Λ. Αν οι ριθμοί, β είνι ντίθετοι τότε : (β ) 0. Σ Λ. ( β) β ( 0 ή β 0) Σ Λ 79. Ποιος είνι ο μεγλύτερος πό τους ριθμούς : ν ν,,,, 80. Ν βρείτε το πρόσημο των ριθμών :. (). () 8. (7) (). 7. () ((())) 0. () 8. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις :. ().. ().. (). 7. () () 0.. ().... () ().. ().. () Ν υπολογίσετε την τιμή των πρστάσεων :.. : 7. :.. [() ]. 7. () () (0,) 0 0. (0) :. 0. ( ) ( ). ( 0 7 ):. [(0) ]. (0,) (). 7 7 ΣΕΛ.

27 7. : 8. : 9. : 7 0. [() ]. (0) :. (8,) : (,8).,. (0,) : (,) () () () () 8. () 9. () 0. () () () () ( 8) ( ) ( ) ,,, , 7, 7, ( ) 0 ( 7) ( 0) () :[() () 9 ()]. () :[() 9 () () 8 ] 8. Ν γρφτούν οι πρκάτω πρστάσεις με μορφή μις δύνμης.. () ().. () () (). 8. () () () () () 7 9. ( 9 ) : () : [() () 9 () ]. [(,7) (,7) ] : [(,7) (,7) ]. ( ) : 8. () 7 : [() () () 8 () ] 7. [(,) 7 (,) ] : [(,) (,) ] 8. ( ) : 9. (7 7 ) 7 0. [ () () ] : () 8. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις : β γ... βγ 7. β 8. β γ... β γ 9. β γ y y β γ 0. βγ 8. Ν δείξετε ότι οι ριθμοί Α κι 7 Β είνι ντίστροφοι ΣΕΛ. 7

28 8. Ν βρείτε σε μονάδες του S. I. το ζητούμενο μέγεθος : Τύπος Ζητούμενο m d V m 0,kg V 00 cm d σε g/ cm m d V d 0,9 g/ cm m 8kg V m d V d, g/ cm V 00 cm m υ t 08km t h υ υ t υ 7 km/ h t sec υ t υ km/ h 0m t υ υ0 t υ km/ h m/ s t sec υ 0 υ υ0 t υ 8 km/ h υ0 km/ h t 0 sec υ υ0 t υ km/ h υ0 km/ h m/ s t υ0t t υ0 7 km/ h m/ s t 0 sec υ0t t 7km υ0 0 m/ s t 0 sec υ0t t 7km m/ s t 0 sec υ 0 t,8m 0 m/ s t F m F N, m/ s m F m F, N m 0,0 kgr s gt s 0,8 m g 0 m/ s t s gt g 0 m/ s t 0, sec s F F F F N F N F F F F F N F 87. Ν βρεθεί η τιμή των πρστάσεων γι. y y : : y y : : y. N F 00, y : 00. y : y y y : : y. 88. Ν υπολογιστεί η τιμή των πρστάσεων : 0. Α ( ) ( ) ( 07). Β ( ) ( ) ( ). Γ γι (Απ: 0) (Απ: 0) (Απ: ) ΣΕΛ. 8

29 89. Ν κάνετε πράξεις: y ω. y ω yω. y ω yω y 90. Ν λύσετε τις εξισώσεις : ) 7 β) γ). 9. Αν κ άρτιος ριθμός, ν δείξετε ότι: κ ( ) κ κ ( ) κ 0 δ) 9. Γι ποι τιμή του κ η πράστση κ β κ γράφετι με μορφή δύνμης με βάση (β); 9. Αν ( β) = β τι συμπέρσμ βγάζετε γι τους ριθμούς κι β; 9. Ν υπολογιστεί η πράστση : Β ν ν ν (Υπόδειξη: Βγάζω κοινό πράγοντ στον ριθμητή το ν ) (Απ: Β) 9. Αν βγ ν υπολογιστεί η τιμή της πράστσης: 9. Αν = A β β γ γ (Απ: Α) y ν βρεθεί η τιμή της πράστσης B y y y y y 97. Ν βρεθούν τ νπτύγμτ των τυτοτήτων :. (μ ν). ( ) ( β). (μ ν) 8. ( β).. y. (β ). ( 8) 9. y. ( 7y). ( ) ( ) (y ) ( y) ( ). β 7. β 8. βγ μ y 0. y β (9 ). β γ... y. β y. 7. y 9. β γ 0. β. y ω. 8βy (Απ: Β) β γ ΣΕΛ. 9

30 7. 8. y 9. y β 0.. β. 98. Ν βρεθούν τ γινόμεν :.. β β βγ β γ. y y. β β. yy β β 9. μ ν μ ν. y y. βy βy 0... β β... y y β γ β γ ()( ) 0. (7 )( 7). ( )( ). ( )( ). ( )( ). ( )( ). 8. ( )( ). ( )( )( ) 9. ( )( ) 7. ( )( )( ) 0. ( )( ) ( y)(y )( y ) β 9β β 9. y y y 0. β γ β γ.. y z y z. β γβ γ.. y β y β. y y. β8 β 8 7. y y y y 8. β β 9. β γ δ β γ δ 0. β y β y. y y y y.. y z y z. y βγy β γ. y y y y. y y y 7. β γ β γ 8. y z y z 0. z y z y Ν λυθεί η εξίσωση : 00. Ν βρεθούν τ νπτύγμτ :.. (Απ: ).. μ ν.. ΣΕΛ. 0

31 7. y y y y. y y. y. βy. 7.. y. ω 8. y y 0. Ν βρεθούν τ νπτύγμτ :. ( )( ) ( )( ). ( y )( y y ). ( )( 9) 8. ( y )(9 y y ) 0. ( )( 9). ( )( 9). ( y)( y y ). ( )( ) 8. ( )( 9) 0. ( y)( y y ) ( y)( y y ) ( )( 9) ( )(9 ) ( )(9 ) 0 ( y )( y y ) ( )( 9) ( )( ) ( )( ) ( )( 9) 0. Ν βρεθούν τ νπτύγμτ :.. β. β γ. β γ. β. 7. β 8. y z 9. y 0. Ν βρείτε ποιων διωνύμων τέλει τετράγων είνι τ τριώνυμ :. μ μν ν μ ν 8μν. y y ( ) ( ) 8. 0 β 9β 9 8 ( ) ( ) 9 0. Ν συμπληρωθούν τ κενά: ΣΕΛ.

32 9... (. )(.. ) (......).... (..)..... (......).... (......).... (......).... (......) β 7. (......) μ 8μ (......) 9... y (......) β.... (... y ) (......) 9 β.... (......).... (......) y 0yω.... (......) μ.... (......) β y y (......) β β (...) β. (......) β.... (......) 0 β.... (... βγ )... 0 βγ (......) (...) β 8. (... y )... y (......) β (... y)... y Ν γίνουν οι πράξεις :... β β β β μ ν μ ν μ ν μ ν μν Απ: μ ν (Απ: 9) Απ: 7β. y y y y Απ: y y. Απ : (Απ: ) 7. (Απ: ) ΣΕΛ.

33 8. ν ν (Απ: ) 9. Απ : (Απ: 0).. ( ) ( ) ( )( ) 9 8 (Απ: ) ( β) ( β) ( β)( β) 7( β) β 9β (Απ: β). ( ) ( ) ( )( ) ( ) Απ:. ( )( ) ( )( ) (Απ: 0). ( y) (y ) ( y) ( y) Απ: y. 7. ( y) 8( y) y(0 y) y (Απ: 0) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (Απ: 0) 8. ω ω ω ( ω) Απ: 8 ω 9. ( ) ( ) ( )( ) Απ: 0.. ( ) ( ) ( )( )( ) (Απ: 0) Απ: 8 ( β) ( β) ( β)( β) ( β)( β) 0. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις : ) γ) β) δ) Απ: ) β) 07. Αν κι y, δείξτε ότι : ()(y). 08. Ν ποδειθεί ότι : β y ( βy) (y β) (Lagrange) 09. Αν (), y() κι ω8 ν ποδείξετε ότι : yω(). 0. (Προτεινόμενο Θέμ γι εισγωγή στ Πρότυπ Λύκει) Δίνετι η λγεβρική πράστση Α ( y)( y) ( y) ( y) xy. Ν ποδείξετε ότι η πρπάνω λγεβρική πράστση είνι τέλειο τετράγωνο ενός πολυωνύμου πρώτου βθμού.. Αν κι y, με 0, δείξτε ότι : ) β) y. Αν, β, γr με βγ0 κι 0 ν ποδειθεί ότι : β γ ( β γ) β γ. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις :. β γ.. y. y y y. 7. β γ βγ β γ βγ. β γ β γ. y 9y 9. 9μ ν 7μν. 0y 0ω μ y νy μνy β γ β γ 0 β γ β β 8 β. ( y) β( y) ΣΕΛ.

34 . ( β) y(β ) 7. ( β) ( β)y 8. β(y ω) (y ω) 9. (β γ)ω (β γ)ω 0. ( β) ( β). (y ω) β(y ω). ( ). ( y) (y ). ( β)( y) ( y). ( y ) ( y ). ( )( β) ( ) 7. ( )(y ) ( )(y ) 8. ( y) β( y) 9. ( y) ( y) 0. ( )(β ) ( )(β ). ( β)( β γ) (β )( β γ). ( y)( β) ( β)(y ). ( y) ( y) ( y). ( )( ) ( )( ) ( ). ( )( ) ( ). ( )( ) ()( ) 7. ( y)( y) y 8. ( )( ω) (ω ) ( ω)( ). Ν νλυθούν σε γινόμεν πργόντων τ πολυώνυμ:. y y. y y y 8ω yω β y βy.. y βy ω βω.. 8y y 7y γ γδ βγ βδ y y βγ γ β 0.. ββ β 0 γ γ yω y ω y y. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις :. 9. ω β γ. 9β 9β 8. y. γ. y 7. ( β) γ 0. ( β) β.. μ μ 9. y. β. y 7β 8. y. 80ω. ( y) 7. ( β) ( β) 0. ( y) ( y). 9( β) ( β). ( y) 0( y) 9. y y. 8 β β 9β. 9β 9. 9 y. 9γ ( y). ( β) ( β). β 7β 7. ( y) ( β) ( y) 0. y. y 7y. 8 β 7 0 γ 9. 8ω. 7 β β. 9 ( y) 8. ( y). ( ) ( ). ( y) ( y) 7. 8( β) 7(β ) 0. y 9y 9. y 9ω y 9 ( y) ( y) ( y) y 0y ( ) ( ) ( ) 0 (β γ) 00 ( β) (μ ν) (μ ν) ( y) ( y) ( β) 7( β) ( β γ) ( β γ) y 8 8 ΣΕΛ.

35 β.. μ 9 y 8. ν ν ν ( β ) β 7. y y 9. ( y z ) y 7. ( β ) ( β)( β) 7. ( )( ) ( ) 7. ( 0)( ) ( 0) 78. ( ) ( ) 80. y β βy ( ) ( y)( β) ( y ) ( y)( β) ( y) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ). Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις :. μ μν ν. β β β βγ γ 8. β β γ.. y y y. ( β ) 9. ( ) ( ).. y y 9 9. y. β β 8. 9( y) y( y) y 8... ( ) 7. β 9β 0. ω βω β. 9 y y y y ( β) ( β) y y ( β γ ) β β β y y 9 ( β ) β 8 y y ( ) ( ) 7. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις : β ω y 7. 7 y yβ 0. β β β.. (β γ). y β β 7 9. y ω. β βγ. 8. ( β) ( β). β 7 ( β) ( β) β β ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( )( ) 7. β β ( ) 8. ( ) ( ) β(β ) 8y Ν νλυθούν σε γινόμεν πργόντων τ τριώνυμ : y y ΣΕΛ.

36 y y ( β) ( β) y y y y 0.. ( β) ( β). 9β 8β 9β 0β β 8 β 9. Ν νλυθούν σε γινόμενο πργόντων τ πολυώνυμ:. y y. y y μ μ ν 9ν. 9 β β 8. y 9y y y. 9. y y. 9. y y β β β β y y β β 7 y 9y y 7 y β β. y y y Ν γίνουν γινόμεν οι πρστάσεις :. β β.. β β β (Sophie Germain). β β y z y z 8 (ω ) (ω 0)(ω ). Αν Α 8 πρστάσεις : ) A B κι β) AB κι B 8, ν υπολογίσετε τις Απ: ) 8 β). Αν Α ΑΒ ( )( ) 8( ) 77 κι B : ν ποδείξετε ότι. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις : β β ( ) ( ).. β β.. y y y y ( ) : : y y y y ( ) ΣΕΛ.. : 8 ( 9) ( )( ). ( )( ) 9 7. β β β β β 9

37 8. Απντήσεις:. β. 7. /9 8. : : 9. ω 8 ω ω 9ω 7 ( ). / ω. Ν γίνουν οι πράξεις :.. ( β)( γ) (β γ)(β ) (γ )(γ β) y y. : y y y y. y ω y ω y ω yω ( ) y y. : y y y y. ( ) y ( y) y y ( ) 7. : y 8. : y : 0. : 7 8 β 0. : β β β. : β 8 y y. y : : y y y y y Απντήσεις: / /. /. /. y. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις : : :( ) β β β 8. β β.. 9. β β β β β β 9. β β β β : β β β β. Απντήσεις :.. 0. β β. ΣΕΛ. 7

38 . Αν β κι β, ν υπολογιστούν οι πρστάσεις :. β. β. β. β β β β β 7. Αν, 0, ν βρεθεί η τιμή των πρστάσεων : Ν ποδείξετε ότι : y y β β β y β y β ν ν ν ν ν ν ν ν 9. Χρησιμοποιώντς την τυτότητ β ( β) β β β... β β ποδείξτε ότι : ) ο ριθμός β) ο ριθμός, διιρείτι με το διιρείτι με το 0. Αν βγ0 κι β, βγ, γ, δείξτε ότι : β βγ β γ γ γ β 0 β β γ γ (Υπόδειξη : προσθέστε κι φιρέστε στον ριθμητή του πρώτου κλάσμτος το γ κ.ο.κ.) β β. Αν, β R* κι ισύει η σέση (), ποδείξτε ότι. β β 7 ( Υπόδειξη : Υψώστε τη σέση () στην τρίτη δύνμη κι μετά πολλπλσιάστε με β). Αν, y R* κι ισύει η σέση y (), ποδείξτε ότι y 8 y.. Ένς τηλεφωνικός κτάλογος περιέει 9.99 ονόμτ σε λιγότερες πό 00 σελίδες. Υποθέτουμε επίσης ότι περιέει τον ίδιο ριθμό ονομάτων σε κάθε σελίδ. Πόσες σελίδες έει ο κτάλογος κι πόσ ονόμτ νά σελίδ;. Ν Ν. Είνι δυντόν; (ν ) ν ν Η γνωστή μς τυτότητ (ν ) (ν ) ν Απομονώνουμε το ν (ν ) ν(ν ) (ν ) ν ν(ν ) Αφιρούμε κι πό τ δύο μέλη ν(ν ) (ν ) (ν )(ν ) ν ν(ν ) Πργοντοποίηση στο ο μέλος (ν ) (ν )(ν ) (ν ) ν ν(ν ) (ν ) Προσθέτουμε κι στ δύο μέλη (ν ) (ν ) (ν ) ν (ν ) Είνι τυτότητες της μορφής ( β) (ν ) (ν ) ν (ν ) Αποτετργωνίζουμε (ν ) ν Απλείφουμε τους ίσους πράγοντες (ν ) ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΛΑΘΟΣ ; ΣΕΛ. 8

39 .Γ Πράξεις (σκήσεις με πράξεις γι εξάσκηση) Οι πρκάτω σκήσεις είνι πό διάφορ βιβλί Φυσικής, Χημείς, Βιολογίς κι Αρών Οικονομικής Θεωρίς. Πρδείγμτ. Ν γίνουν οι πράξεις ωρίς τη ρήση υπολογιστή : ) 0: β) γ) 0,8 7,8 δ) Λύση : ) : ( 0 ) 0, ,9 ε) ( 0,) (00 0 ) β) γ) δ) ε) ( 0 ) (βγάζω κοινό πράγοντ το 00) ( 0 ) ,..., ,8, ( 0 ) 0 0, , , ( 0,) Ασκήσεις. Ν γίνουν οι πράξεις ωρίς τη ρήση υπολογιστή : 0,,7., , 0, ΣΕΛ. 9

40 , 0, ,9,8 8 0, 7, 0,8,,,,,8 0,,, 0, 0,, 0,8 0 9, % y y y ( 0,) ( ) 0,7 0,8 0, 0, ,09 0,09 0, ,8, 0,9, 9. 0,8 8,.,,,, , , 0,7 0, , 0,9 7.,, (0, 0,8) 0, 8.,7,,8 (, 7,9) 0.,,8 8, 0, (, ) 0, 7,. 0 90%. ( 0,) 00 ( 0,) , , , ΣΕΛ , , 7 0,0, 0, π 0, π, 0 0, 8,8 0, ,0 8 0., 0,8 0 0, , 8 0, 8 0, , , 0,

41 ( ) ,,8,8 0 0,8 0, π 0 π , 9 0 0, , 7. 0, 00 Απντήσεις:. 0, , , 0. 0, 0. 0, , , , , , 0. 0,8. 0,. 8,. 0,..., 7., ,.,. 0,.,. 0,. 0. 0, , , 7., 8. 0,0 9., , , , ΣΕΛ.

42 . Διάτξη Πργμτικών Αριθμών Διστήμτ. Ιδιότητες Ανισοτήτων ) Γι κάθε, y R έω : y ή y ή y ) Προσοή : ) η σέση y είνι ίδι με τη σέση y β) το ντίθετο της σέσης y είνι y ) β β 0 ) β β 0 ) 0 β 0,β ομόσημοι β ) 0 β 0,β ετερόσημοι β 7) 0 β 8) γ β γ 9) β γ β γ γ0 0) β γβγ γ0 ) β γβγ β ) γ β δ γ δ ) β δ β γ γ δ β ) Αν, β, γ, δ 0 ισύει : γ β δ γ δ γ ) Αν, β, γ, δ 0 ισύει : δ β γ β δ ) Αν, β 0 κι ν ισύει : ) Αν, β 0 κι ν ισύει :. Απόδειξη Ανισοτήτων β β ν ν β ν β Γι ν ποδείξουμε μι νισότητ συνήθως ξεκινάμε πό τη σέση που μς ζητούν ν ποδείξουμε προωράμε με ισοδυνμίες κι κτλήγουμε σε κάτι που ισύει ( 0, ( 7) 0, 0) Πράδειγμ : Ν ποδείξετε ότι ν 0 τότε Απόδειξη : 0 0 ( ) 0 Ισύει. Πρτηρήσεις Σε μι νισότητ που εμφνίζετι έν γινόμενο πργόντων μεγλύτερο ή μικρότερο του 0 (π.. βγ 0), μπορώ ν εξλείψω τους θετικούς πράγοντες ωρίς ν λλάξει φορά η νισότητ, ενώ ν εξλείψω τους ρνητικούς θ λλάξει η φορά της νισότητς. Π.. ) ( ) 0 0 ) ( ) 0 0 ) ( )( ) 0 0 φού 0 ν ΣΕΛ.

43 ) ( )( ) 0 0 φού 0. Διστήμτ ) [, β] β κλειστό, β ) (, β) β νοικτό, β ) [, β) β κλειστό, νοικτό β ) (, β] β νοικτό, κλειστό β ) [, ) κλειστό, ) (, ) νοικτό, 7) (, ], κλειστό 8) (, ), νοικτό 9) (, ) R Ασκήσεις. Ν συμπληρωθεί ο πρκάτω πίνκς, όπως φίνετι στην πρώτη γρμμή: Ανισότητ που ικνοποιεί Διάστημ στο οποίο νήκει ο πργμτικός ριθμός ο πργμτικός ριθμός (, ] 8 [, ) [7, ] 0 (, ) (, ) (, ) 0 0 [, ) [, ] (, ) [, ] ΣΕΛ.

44 7. Δίνοντι οι πργμτικοί ριθμοί, y γι τους οποίους ισύει y. Ν γράψετε σε μί σειρά πό τον μικρότερο προς τον μεγλύτερο τους ριθμούς:, ( ), y, (y ). 8. Γι τους πργμτικούς ριθμούς, y ισύει ότι 0 y. Ν γράψετε σε μί σειρά πό τον μικρότερο προς τον μεγλύτερο τους ριθμούς:, y,, y,. 9. Γι τους πργμτικούς ριθμούς, β ισύουν :,, κι, β,. Κάθε πράστση της πρώτης στήλης νήκει σε έν μόνο διάστημ της δεύτερης στήλης. Στήλη (Α) Στήλη (Β) Πράστση Α. β Β. β Γ. Δ. β Διάστημ. [, 9]. (, 9). (, ). (, ). (0, ). [ 0, ] Απάντηση : 0. Ν ρκτηρίσετε κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις ν είνι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Είνι. Σ Λ. Αν y 0, τότε y. Σ Λ. Αν y, τότε y 0. Σ Λ. Αν y, τότε y y 0. Σ Λ. Αν, τότε. Σ Λ. Αν, τότε. Σ Λ 7. Αν 0 y, τότε. y Σ Λ 8. Αν 0 κι κ λ (κ, λ φυσικοί), τότε κ λ. Σ Λ 9. Αν κι y, τότε y 0. Σ Λ 0. Αν 0 y τότε 0 y. Σ Λ. Αν τότε. Σ Λ. Αν 0 τότε 0. Σ Λ. Αν y τότε y. Σ Λ. Αν y τότε y. Σ Λ. Υπάρει R ώστε 0. Σ Λ. Ισύει : β γ δ δ β γ. Σ Λ 7. Αν R τότε : 0. Σ Λ 8. Αν R με, τότε. Σ Λ 9. Αν R με, τότε. Σ Λ 0. Αν R με, τότε 7. Σ Λ. Ισύει : 89. Σ Λ. Ισύει :. Σ Λ. Αν 0 9 τότε 0. Σ Λ. Αν τότε 0. Σ Λ Α Β Γ Δ ΣΕΛ.

45 . Αν 0 ν διτάξετε πό το μικρότερο προς το μεγλύτερο τους ριθμούς :,, 0,,,.. Αν, β κι γβ, τότε : Α. β γ Β. β γ Γ. γ β Δ. γ β Ε. β γ. Αν, ποι πό τις κόλουθες νισώσεις είνι λνθσμένη: Α. Β. Γ. Δ. Ε.. Αν β γ κι 0, ποιο πό τ πρκάτω είνι πάντ σωστό : Α. β 0 Β. β 0 Γ. γ 0 Δ. γβ 0 Ε. β 0. Δίνοντι τ σύνολ Α R κι Β διστήμτος ή ένωσης διστημάτων τ σύνολ Α, Β, ΑΒ, ΑΒ. R. Ν γράψετε με μορφή. Γι τ σύνολ Α R ή 8 κι Β ή μορφή διστήμτος ή ένωσης διστημάτων τ σύνολ Α, Β, ΑΒ, ΑΒ. 7. ) Γι κάθε 0 ν ποδειθεί ότι :. Πότε ισύει το ; β) Ν ποδείξετε ότι :. Πότε ισύει το ; R, ν γράψετε με 8. Ν ποδειθεί ότι ισύουν : ) β 0 β β β β) 0 β κι 0 γ δ δ γ 9. Αν βρείτε μετξύ ποιων ριθμών βρίσκοντι οι πρστάσεις : ) β) γ) δ) ε) στ) ζ) 0. Αν (, ) βρείτε μετξύ ποιων ριθμών βρίσκοντι οι πρστάσεις : ) β) γ) δ) ε) στ) ζ). Αν κι y βρείτε μετξύ ποιων ριθμών βρίσκοντι οι πρστάσεις : ) y β)y γ) y. Αν, β, θετικοί ριθμοί κι β ν ποδείξετε ότι : β β.. Ν ποδειθούν οι πρκάτω νισότητες :. β β. ( y) y... β ( β). 7. β ( ) ( 9β ) ( β). β( β). β γ (β γ) ( β) β β 8 ( β) β γ β γ βγ. Ν ποδείξετε τις πρκάτω νισότητες :. Αν 0 κι y 0 τότε y y y. ΣΕΛ.

46 . Αν τότε.. Αν y τότε y y 0.. Αν z κι 0 y ω τότε z y ω.. Αν ν ποδειθεί ότι :.. Αν 0 κι y 0 τότε ( y). y 7. Αν y τότε y y y. β β 8. Αν, β θετικοί ριθμοί τότε β β.. Ν ποδειθεί ότι : β γ β βγ γ. (Υπόδειξη : Πολλπλσιάστε με το ). Αν κι β 8 ν ποδείξετε ότι : 9. 8 β 7. Αν, β, γ ομόσημοι ριθμοί, δείξτε ότι : ) β β) β β γ γ β γ β 8. Αν κι β είνι θετικοί ριθμοί κι β (), ν ποδειθούν οι πρκάτω σέσεις : ) ε) β β) 9 γ) β β δ) β 8 β ΣΕΛ.

47 . Απόλυτη Τιμή Πργμτικού Αριθμού. Ορισμός, ν 0, ν 0 Η ιδιοτροπί του ορισμού βρίσκετι στο. Αφού 0 0. Δηλδή ν ο είνι ένς ριθμός της μορφής :, /, τότε η ντίστοιη πόλυτη τιμή δηλδή :, /, είνι : (), (/), Συνεπώς 0 R Γεωμετρικά, φού οι πργμτικοί ριθμοί μπορούν ν πρστθούν σε μι ευθεί γρμμή, η πόλυτη τιμή ενός ριθμού είνι η πόστση του πό το 0. Ως γνωστόν η πόστση είνι πάντ θετική ή μάλλον μη ρνητική.. Ιδιότητες ν ν νz ν 0 τότε k k κι γενικά y y 0. ν 0 τότε k = k k k. y y. ν ν y. με y0. y ή y y y. y y y.... ν... ν 7. θ θ θ, με θ Πρτήρηση β γ, ν β γ 0 β γ β γ γ β, ν β γ 0 β γ διοτι (β γ) γ β. Απόδειξη της ιδιότητς y y θ θ ή, με θ 0 θ y y y y y ( y) y y y y y y y y xy y y y το οποίο ισύει λόγω της ιδιότητς ( ) Όμοι ποδεικνύοντι κι τ υπόλοιπ μέρη της ιδιότητς y y y Ερώτηση: Πότε y y ; Απάντηση: y y y y y 0, y ομόσημοι Ερώτηση: Πότε y y ; ΣΕΛ. 7

48 Απάντηση: y y y y y 0, y ετερόσημοι. Πρτηρήσεις. 0 0 β (Πρέπει β0) γ. γ (β0) β β. 0 β 0 ομόσημοι β (β0). 0 β 0 ετερόσημοι β (β0) β β ή β ίσοι ή.. β β ή β ίσοι ή ντίθετοι ντίθετοι 7. (β) 0 β0 β ντίθετοι 8. β 0 β0 9. β 0 β0 β ντίθετοι 0. β 0 β0. (β) (β). β β. β (β) Οι πρστάσεις β κι β είνι ντίθετες. β γ (βγ). y z 0 0 κι y0 κι z0. yz 0 0 ή y0 ή z0 7. y z 0 0 κι y0 κι z0 8. yz 0 0 κι y0 κι z0 9. y z 0 0 ή y0 ή z0 Πρδείγμτ. Αν (, ) ν πλοποιηθεί η πράστση Α Λύση : Αφού (,). Τώρ έουμε : άρ 0 0 άρ 0 ( ) 7 άρ 0 ( ) ( ) 0 άρ 0, οπότε : Α ()()()() Ασκήσεις 9. Η πόλυτη τιμή ενός πργμτικού ριθμού, συμβολίζετι με... κι είνι μη... ριθμός. 0. Αν ισύει β β, τότε οι πργμτικοί ριθμοί, β είνι..... Η πόστση δύο ριθμών κι β συμβολίζετι με... κι είνι ίση με..... Ισύει, ν..., ν.... Οι πόλυτες τιμές δύο ντίστροφων ριθμών είνι Α. ίσες Β. ντίθετες Γ. ετερόσημες Δ. ντίστροφες Ε. μηδέν. Οι πόλυτες τιμές δύο ντίθετων ριθμών είνι Α. ίσες Β. ντίθετες Γ. ετερόσημες Δ. ντίστροφες Ε. μηδέν ΣΕΛ. 8

49 . Ν ντιστοιίσετε σε κάθε νίσωση της στήλης Α, τη λύση της που βρίσκετι στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β. ή Απάντηση : Α. Α. Β. Β. ή Γ Γ.. ή. Ν ντιστοιίσετε κάθε στοιείο της στήλης (Α) με το ντίστοιο της στήλης (Β). στήλη (Α) Στήλη (Β) σέση που ικνοποιεί ο R Α. Β. d (, ) Γ. d(,) Δ. τιμές του Απάντηση :.... ή.. ή 7 7. Ν ντιστοιίσετε κάθε πράστση της στήλης (Α) με την ριθμητική της τιμή στη στήλη (Β). Στήλη (Α) Στήλη (Β) πράστση του με ( ) Α Β 7 Γ Δ 0 ριθμητική τιμή πράστσης Α Β Γ Δ Απάντηση : 8. Ν ντιστοιίσετε κάθε νίσωση της στήλης (Α) με τις λύσεις της που βρίσκοντι στη στήλη (Β) Στήλη (Α) Στήλη (Β) Ανίσωση Α. Β. d (, ) Γ. Δ. d (,) Λύσεις. Αληθεύει γι κάθε R... Α Β Γ Δ Απάντηση : Α Β Γ Δ Ε Ε.. ή ΣΕΛ. 9

50 9. Αν 0 κι β 0 ποι πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι ρνητικός ριθμός Α. β Β. β Γ. β Δ. β Ε. β y y 70. Αν, τότε y Α. y 0 Β. 0y Γ. 0 ή y0 Δ. 0 κι y0 Ε. 0 κι y0 7. Ν ντιστοιίσετε κάθε σέση της στήλης (Α) με την ισοδύνμή της που βρίσκετι στη στήλη (Β) Στήλη (Α) Στήλη (Β) Α. β 0. β Απάντηση : Β. β β Γ. β Δ. β β., β ετερόσημοι. β 0., β ομόσημοι Α Β Γ Δ Ε Ε. β β., β 0 7. Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ : Απόλυτη τιμή Απόστση Διάστημ ή ένωση διστημάτων d,,, d, d, d, d,,,,,,,,,,, 0,, 7,,, ΣΕΛ. 0

51 7. Αν β η τιμή της πράστσης β β είνι Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. 7. Αν 0 τότε Α. 0 Β. 0 Γ. Δ. Ε Αν τότε η πράστση : ισούτι με : Α. Β. Γ. Δ. Ε Ν ρκτηρίσετε κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις ν είνι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Δύο ντίθετοι ριθμοί έουν ίσες πόλυτες τιμές. Σ Λ.. Σ Λ.. Σ Λ.. Σ Λ. Αν τότε ή. Σ Λ. Αν τότε. Σ Λ 7. Αν τότε ή. Σ Λ 8. Σ Λ 9. Σ Λ 0. Αν κι β είνι ντίθετοι ριθμοί τότε β Σ Λ. Σ Λ. Σ Λ.. Σ Λ. Αν, τότε. Σ Λ. Αν τότε. Σ Λ.. Σ Λ 7.. Σ Λ 8. Αν 0 0. Σ Λ 9. Αν 0 τότε. Σ Λ 0.. Σ Λ. Αν κι. Σ Λ. Σ Λ. Αν τότε. Σ Λ. Αν τότε 0. Σ Λ. Η εξίσωση 0 είνι δύντη. Σ Λ. y y. Σ Λ 7. ή. Σ Λ 8.. Σ Λ 9. d(,). Σ Λ 0. d(,). Σ Λ. y z yz yz. Σ Λ. y 0 y. Σ Λ. Αν β τότε β. Σ Λ. β β γι κάθε, β R. Σ Λ. 0. Σ Λ. Αν τότε 0 Σ Λ ΣΕΛ.

52 77. ) Αν β γ ν πλοποιηθεί η πράστση : Α β βγ γ. (Απ: βγ) ) Ν υπολογιστεί η πράστση Β ν. (Απ: Β) ) Αν ν πλοποιήσετε την πράστση Γ. (Απ: Γ7) ) Αν (, ), ν υπολογιστεί η τιμή της πράστσης Δ (Απ: Δ8) ) Αν ν πλοποιηθεί η πράστση : Ε 0. ) Αν (, ), ν πλοποιηθεί η πράστση : ΣΤ. 7) Αν β γ ν πλοποιηθεί η πράστση : Ζ β γ β γ (Απ: Ζ0) 78. Αν, ν βρείτε μετξύ ποιών ριθμών βρίσκετι η τιμή της πράστσης Α. Στη συνέει ν λυθεί η νίσωση Α. 79. Ν ποδειθεί ότι : y y y y y y. β β 80. Αν β 0 κι ισύει 0 ν δειθεί ότι, β ομόσημοι. y z 8. Αν yz0, ν ποδειθεί ότι : y z 8. ) Αν. Υπόδειξη : 9 ν δείξετε ότι. β) Αν, δείξτε ότι :. γ) Αποδείξτε ότι. δ) Αν 9 τότε. 8. ) Ν ποδειθεί ότι : κ μ κ λ λ μ. β) Αν y κι yz, ν ποδειθεί ότι : z. 8. Ν ποδείξετε ότι : ) y y β) y y 8. Αν, β R κι ν δείξετε ότι : β β β β. 8. Αν, y,, β R* ν δείξετε ότι : y ) β) γ) y δ) β y y β 87. Αν, y R* κι y ν δείξετε ότι : ) y y y β) y y y y 88. ) Αν, βr* κι β, δείξτε ότι : β) Αν, βr* κι β β, δείξτε ότι : 0β β. β β. β β 89. Αν, βr* με β, δείξτε ότι, β ομόσημοι. 90. Αν ο ριθμός δεν νήκει στο διάστημ [, β], ν πλοποιηθεί η πράστση β ΣΕΛ.

53 9. Θεωρούμε έν ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές κι ) Χρησιμοποιώντς το Πυθγόρειο θεώρημ ν υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσς. β) Ν ποδείξετε λγεβρικά κι γεωμετρικά ότι :. 9. Αν, β, γr,, y, zr* με β, β γ y κι γ z, δείξτε ότι : Υπόδειξη: θ θ θ β γ y z 9. Αν, βr, δείξτε ότι : β β β. β β β ΣΕΛ.

54 . Ρίζες Πργμτικών Αριθμών Δυνάμεις με Ρητό Εκθέτη. Ορισμός ν = ν = ( 0, ν Ν *),( 0, 0) Υπενθυμίζουμε ότι οι ριθμοί που έουν κέρι τετργωνική ρίζ είνι οι :,, 9,,,, 9,, 8, 00,,, 9, 9,,,..., 00,...,,..., 900 κ. λ. π Ιδιότητες (όλες οι υπόριζες ποσότητες είνι μη ρνητικές) ν. 0 γικθε 0. k k γι κθε κι γενικ. R (k: άρτιος ριθμός). ν ν ν. ν ν β β (,β 0) ν. ν 0 7. ν 8. ν ν νβ ν β 9. ν ν β β 0. μ ν μν. k ν k ν.., νρ μρ ν μ ν ν β ν β ν μ μ ν. Συζυγείς Πρστάσεις Αν σε μι λγεβρική πράστση υπάρουν ριζικά στον προνομστή γι ν τον μεττρέψω σε ρητό τον πολλπλσιάζω με τη συζυγή του πράστση (κι φυσικά πολλπλσιάζω κι τον ριθμητή) :.. β β. β β.. ν μ ν ν-μ β β β β ν β β ν ν ν- ν- ν- ν- ν- ν- β ν ν ν ν ν β β β... β β ΣΕΛ.