ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

Transcript

1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο στοιχείο (-)0. ( 0) Συµµετρικό στοιχείο. Α κι γδ Συέπειες του ορισµού τω πράξεω γ δ.γ.δ (Πρόσθεση κι πολλπλσισµός ισοτήτω κτά µέλη). Α γγ Ατίστροφ: γγ (Ιδιότητ διγρφής) Α.γ.γ Ατίστροφ: Α γγ (γ 0) (Ιδιότητ διγρφής) ή 0 4. (-)- (-).-. (-)(-). (Κός προσήµω) 5. -()-- (Απλοιφή πρεθέσεω) 6. Λογισµός µε κλσµτικές πρστάσεις (Ιδιότητες λογιώ).. ± γ γ γ γ δ± γ. ± δ δ γ γ γ.. δ δ γ δ δ δ. :. δ γ γ ε.. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. υάµεις Ορίζω:... φορές έχοµι ότι: 0 Ιδιότητες δυάµεω. κ. λ κλ. κ λ κ λ. ( κ ) λ κ.λ 4. κ. κ (.) κ 5. κ κ a 6.. κ -... Τυτότητες. (). (-) -. ()(-) - 4. (γ) γ γγ 5. () 6. ()( - ) 7. - (-)( ) 8. ()() () 9. γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] (Τυτότητ Euler). 0. Α γ0 ή γ, τότε: γ γ (Τυτότητ Euler µε συθήκη) Γεικές τυτότητες. ()( ) ( µόο είι περιττός). - (-)( ) (γι κάθε φυσικό ριθµό )..4. Εξίσωση θµού ιερεύηση 0 (Ε) Α 0, η (Ε) έχει µί µόο λύση Α 0 κι 0, η (Ε) είι δύτη Α 0 κι 0, η (Ε) είι τυτότητ (δηλδή ληθεύει γι κάθε πργµτικό ριθµό ). Γι τη λύση της εξίσωσης θµού κολουθώ τ ήµτ: I. Απλοιφή προµστώ ( υπάρχου). II. Απλοιφή πρεθέσεω ( υπάρχου). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

3 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ III. Χωρισµός γωστώ γώστω. IV. Αγωγή οµοίω όρω. V. ιίρεση µε το συτελεστή του γώστου υτός είι διάφορος του 0. Πράδειγµ. 4 (ΕΚΠ0) 5 Λύση (-4)-5(-)5() Ν λυθεί η (πρµετρική) εξίσωση: (λ -5)λ 5λ Λύση (λ -5)λ 5λ (λ5)(λ-5)λ(λ5) (Ε) λ(λ 5) I. Α λ ±5 η (Ε) έχει µί λύση: (λ 5)(λ 5) II. Α λ5 η (Ε) 050 είι δύτη III. Α λ-5 η (Ε) 00, είι τυτότητ λ λ 5.5. ιάτξη πργµτικώ ριθµώ Αισώσεις θµού Έστω δύο ριθµοί κι (πργµτικοί). Λέµε ότι ο είι µεγλύτερος του κι γράφω > ότ η διφορά - είι θετική. Πιο σύτοµ > ->0 Ιδιότητες. ιάτξη κι πράξεις > κι >γ >γ (µεττική ιδιότητ) > γ>γ Α γ>0 τότε: > γ>γ Α γ<0 τότε: > γ<γ Α > κι γ>δ γ>δ Γι θετικούς ριθµούς ισχύει: Α > κι γ>δ γ>δ. ιάτξη κι δυάµεις - >0 > > > (Εοείτι ότι οι, είι θετικοί ριθµοί κι φυσικός 0) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αισώσεις θµού >0 ή <0 Πίκς διερεύησης της >0 (Α) >0 Η (Α) έχει λύσεις > <0 Η (Α) έχει λύσεις < 0 >0 η (Α) είι τυτότητ 0 η (Α) είι δύτη.6. Απόλυτη τιµή πργµτικού ριθµού, 0 Ορισµός:, < 0 Συέπειες του ορισµού: 0 κι - ή - Ιδιότητες I... II. III. ± IV. Α θ>0 τότε <θ -θ<<θ V. Α θ>0 τότε <θ <-θ ή >θ Απόδειξη τω Ι κι ΙΙ Έχω διδοχικά:. (. ). (). που ισχύει Όµοι ποδεικύετι κι η ΙΙ. Απόδειξη της ΙΙΙ Έχω διδοχικά: ( ) ().... που ισχύει Απόδειξη της IV <θ <θ <θ -θ <0 (-θ)(θ)<0 θ, -θ ετερόσηµοι οπότε θ είι: θ>0 κι -θ<0 (γιτί θ>-θ) Άρ >-θ κι <θ ή -θ<<θ Απόδειξη της V Η >θ ληθεύει γι εκεί τ που δε ληθεύει η θ -θ θ τότε: >θ <-θ ή >θ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

5 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ.7. Ρίζες πργµτικώ ριθµώ Νιοστή ρίζ Ορισµός: Α 0 κι Συέπειες του ορισµού: Α 0 τότε: Ιδιότητες ριζώ Α, 0, τότε: I. II. III. IV... µ µ ρ µρ µ ( ) κι. Απόδειξη της I κι ΙΙ Υψώω τ µέλη της Ι στη -οστή κι έχω: (. ) (. ) ( ).( ). που ισχύει Όµοι ποδεικύετι κι η ΙΙ. Απόδειξη της IΙΙ ( µ ) µ [( µ ) µ ] ( ) () ( µ ) µ () Από () κι () µ µ Απόδειξη της IV Έχω διδοχικά: ρ µρ ρ µ ρ ( ) µ Ορισµός δύµης µε ρητό εκθέτη µ µ (Ισχύου οι ιδιότητες τω δυάµεω που φέρθηκ πρπάω) Η εξίσωση (Ε) Γι τη (Ε) ισχύει ο πρκάτω πίκς διερεύησης Α Ρίζες της (Ε) 0 0 >0 άρτιος κι - περιττός <0 άρτιος κµί περιττός - - Μεττροπή κλάσµτος σε ισοδύµο µε ρητό προοµστή Μορφή Ι: Κλάσµ της µορφής, * IR, µ, ΙΝ µ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

6 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μεττροπή: Μορφή ΙΙ: ± µ γ ή Μεττροπή (π.χ. της Μορφή ΙΙΙ: Μεττροπή ± -µ -µ -µ.... -µ µ -µ µ γ ± -µ ± δ γ γ ):,,γ IR * γ ( γ ) ( γ )( ( γ δ) γ δ ( γ δ)( γ δ) ( γ ) γ ) ( γ ) (π.χ.της ( γ ) γ ( γ δ) ( γ δ) (ξά συζυγή πράστση) ( γ ) ( δ) ( γ δ) γ ( γ ( γ δ) δ )( γ δ - 4γ γ ) γ ): δ Ασκήσεις ου Κεφλίου Πράξεις στο σύολο τω πργµτικώ ριθµώ. Ν υπολογιστεί η τιµή τω πρστάσεω: ), ), γ).. Ν ρείτε τις τιµές τω πρστάσεω: ) [(-4ψ)(-)-(ψ5)][(ψ-7)-(6ψ0)] ότ ψ. ) [(45ψ-)-(ψ-)]-[(-ψ-4)-(-5ψ7)] ότ ψ--0.. N γίου οι πράξεις: ) ( ) ( ) ) 0 - [ - (4 - )] ( ψ) -ψ δ) - - ( -ψ) -[ - ( -ψ)] γ) { [ ]} { } ε) γ - γ 4. Ν ρείτε τις τιµές του γι τις οποίες ορίζοτι οι πρστάσεις: 4 - ), ), γ), δ) -. ( - )( ) (- )( - 5) - ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

7 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Ν ρείτε τις τιµές του γι τις οποίες ορίζοτι οι πρστάσεις κι κτόπι γράψετε τις πρστάσεις υτές σε πιο πλή µορφή: - - ), ), γ), δ). - - Αλογίες 5 ψ 6. Α, υπολογιστεί η τιµή της πράστσης:. ψ 4 ψ ψ z 7. Α κι ( γ)(γ )( -) 0, ποδείξετε ότι: -ψz0. γ γ - γ γψ 8. A, δ 0, ποδείξετε ότι: ( δψ 0). δ δψ 9. Α, ψ 4 ρεθεί η τιµή τω πρστάσεω: ψ ψ ), ). ψ 4 ψ Θεωρί ριθµώ 0. Ν ποδείξετε ότι: i) To άθροισµ άρτιου κι περιττού είι περιττός. ii) To άθροισµ κι η διφορά δύο περιττώ είι άρτιος. iii) Το τετράγωο εός άρτιου είι άρτιος. iv) To τετράγωο εός περιττού είι περιττός.. Ν ποδείξετε ότι: i) To γιόµεο δύο διδοχικώ κερίω είι άρτιος ριθµός. ii) Tο γιόµεο τεσσάρω διδοχικώ κερίω διιρείτι: ) µε το 4, ) µε το 8. iii) Το άθροισµ τω τετργώω δύο διδοχικώ περιττώ είι άρτιος. υάµεις- τυτότητες. Ν ρείτε τη ριθµητική τιµή της πράστσης: [ ] γι 6 κι ψ Α( ψ ) ψ ( ψ ). Ν ρείτε τη ριθµητική τιµή της πράστσης: γ γ - - : γ, 0, 0,0, γ - 6 γ γ 4. Ν γίου οι πράξεις: 0 Α ( ). 5 4 ) y ω y ω ( yω ) ) (-5 y ω )(-y ω)(- 4 y) γ) (5 4y)(y- ) δ) (-) () ε) (-84) -(-7) ζ) (5γ) -(γ-δ) η) (y) (-y) θ) ( yω ) -.( y ω) -.(yω ) - ι) y (-yω ) y 4 κ) (- 6 y 7 ω 4 ):[(-4 y ω).(-y )] ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

8 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ) [(- 6 y 7 ω 4 ) (-4 y ω)].(-y ) µ) () -(-) ) (59) -(5-9) 5. Ν δειχθού οι ισότητες: ) -5(-5)( 55) y y ) y γ) ( y ) 4y( -y )( -y y) δ) (-) (-) ()() () (-)8 ε) 6 ( )( )(- ) η) ( γ δ ) -( -γ -δ ) 4(γδ) 4(γ-δ) θ) ( yy ) -4y( y )( -yy ) ι) 4 -y 4 -(-y) (y)y( -y ) 6. Ν ποδειχθού οι τυτότητες: ) γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] ) ( ) -() ( - ) γ) () (-) ( ) δ) (-) (-) (-)() γ τ 7. Α γτ, δείξετε ότι:. γ γ τ γ γ ( γ ) 8. Α γ0, δείξετε ότι η πράστση: γ εξάρτητη τω,, γ. 9. Α -ψ, δείξετε ότι: ψ. -ψ ψ 0. Α -, δείξετε ότι: (-) ().. ) Α ψ5 κι ψ 7, υπολογίσετε τη πράστση ψ. ) Α ψ κι ψ 40, υπολογίσετε τη πράστση: -ψ.. Α, Rµε, κι, ποδείξετε ότι: ( ).. Ν πργοτοποιήσετε τις πρστάσεις: ) γ 9 γ 5 γ, ) ψ 6 ψ, γ) 05-9ψ, δ) -85, ε) ψ-ψ-, ε) -5, στ) ( -γ ) -4, ζ) Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: 4 4 ψ 9 7 ), ), γ ), ψ ψ 9 δ) ( ) 4 ( ) ( 4 4 ), ε) ( ). είι ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

9 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εξισώσεις θµού-ρητές εξισώσεις 5. Ν λυθού οι εξισώσεις: ) (-) -(-5) (7-4) -(-4) ) (-8)(-) (6) (-5) γ) 4 δ) ( 4)(5 ) ( ) 6 5 ε) ( 7) ζ) η) θ) ι) κ) Πρµετρικές εξισώσεις ( 4) 6. Ν λυθού οι πρµετρικές εξισώσεις: ) (λ -64)λ 8λ ) 7(λ)584(λ6) γ) (λ -49)λ(λ7)(λ5) δ) (λ4)6(λ)(-4)λ ε) () -(-λ) λ(5-λ-)5 ζ) 9λ-0λλ(λ9)-0λ η) λ (-)-λ 7. Ν προσδιοριστεί ο µ ώστε η εξίσωση 4µ -µ είι τυτότητ. 8. Ν προσδιοριστεί ο µ ώστε η εξίσωση µ (-)-7µ(µ5) είι δύτη. 9. Ν προσδιοριστεί ο µ ώστε η εξίσωση µ έχει µοδική λύση. 0. Η εξίσωση (λ-) -(µ-) (µ)5 έχει λύση το κι η εξίσωση 6 είι δύτη. Ν ρεθού τ λ κι µ. λ µ λµ λ Αισωτικές σχέσεις. A κι οµόσηµοι, ποδείξετε ότι: < >. a. Ν ποδειχθού οι ισότητες: ) ( ψ ) (ψ) ) (ψ) 4ψ γ) 5 () δ) γ --γ-γ. Α <<, συγκριθού οι ριθµοί: κι Α, 0 κι, δείξετε ότι:. ψ 5. Α, ψ οµόσηµοι, ποδείξετε ότι:. ψ ψ 6. Α, ψ ετερόσηµοι, ποδείξετε ότι:. ψ 7. Α >0 κι -, ποδείξετε ότι:. ` ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

10 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Α 0<<, συγκρίετε τους ριθµούς: ( ) κι Α <, ποδείξετε ότι: < <. 40. Α,>0 κι <, ποδείξετε ότι: < <. 4. Α, >0, ποδείξετε ότι: Ν ποδείξετε ότι: ) (). ) γ (γ). 4. Ν ποδείξετε ότι: ( )( ψ ) (ψ). 44. Α << κι <ψ<5, ρείτε µετξύ ποιώ ριθµώ ρίσκοτι οι πρστάσεις: ) ψ, ) ψ-5, γ) ψ ψ, δ). ψ Ν λυθού οι ισώσεις: ) < 6 4 Αισώσεις θµού ) > Ν λυθού οι ισώσεις:. (-)(-4)<()(-5). (-)(-)(-)> (-6) 47. Ν ρεθού οι τιµές του γι τις οποίες συληθεύου οι ισώσεις:. ()-()> κι 4(-)<(4-9)5. > 4 κι γ. (5)-(-)> 8 κι 48. Ν λυθού οι πρµετρικές ισώσεις: ) γ) λ λ - < 4 λ - λ λ < > 4 5 < ) δ) -λ 4 λ -λ λ Απόλυτες τιµές 49. Ν πλοποιηθεί η πράστση: Α, B λ - < 6 λ > Ν πλοποιηθεί η πράστση: Α, B. 5. Ν γίει πλοιφή πολύτω τιµώ στη πράστση: Α - - 6, ότ IR. 5. Α κι y δείξτε: y. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

11 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ, < 5. Α ΙR κι Α, δειχθεί ότι: Α., > 54. Α <y<z, πλοποιηθεί η πράστση: Α -y 5 y-z -7 z Α 8, υπολογιστεί η τιµή της πράστσης: Α Α, y 8 κι z 9, δειχθεί ότι: -9 yz Ν πλοποιηθεί η πράστση: Α 58. Α IR κι, δείξτε ότι: Α,y IR, δείξτε ότι: y- y > y- y. 60. Ν ποδειχθεί ότι: ( ) ) ( ) γ γ ) γ. γ γ 6. Α, y γ γ 6. Α,y IR *, δείξτε ότι:, z γ y y. y y 6. Α,y IR, δειχθεί η ισοδυµί: - y y y 0.., δείξτε ότι: > 6. y z 64. Ν λυθού οι εξισώσεις: ) 6-50 ) 5 9 γ) 5- - δ) ε) ζ) η) ( )(6 -)( 5)(9 -) θ) 9-4. ι) κ) λ) -4 8 µ) Ν λυθού οι εξισώσεις: ) 6 ) Α ο ριθµός ισπέχει πό τους ριθµούς 5 κι ρεθεί ο. 67. N ρεθεί ο ριθµός ο οποίος πέχει πό το 5 λιγότερο πό 4 µοάδες. 68. Τ σηµεί Α κι Β πριστάου τους ριθµούς κι 4. ) Ν το σηµείο Μ το οποίο ισπέχει πό τ Α κι Β. ) Ν ρείτε τ σηµεί Μ, τω οποίω η πόστση πό τη ρχή Ο του άξο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

12 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ είι το πολύ 4 µοάδες, εώ η πόστσή τους πό το σηµείο Α είι µεγλύτερη πό µοάδες. 69. Ν λυθού οι ισώσεις: 4 5 ) < ) γ) 5 4 δ) 5 < 70. Ν λυθού οι ισώσεις: ) 5 < ) > γ) < δ) < Ν λυθού οι ισώσεις: ) ) > 7 γ) > δ) > 0 ε) 4 0 ζ) Ν υπολογιστού οι τιµές του ώστε ισχύει: ) d(,)> ) <d(.,-)<5 γ) d(, )d(, )6 δ) d(, -)<5 ε) d(, )<7 ζ) d(, -5)d(4, -) 7. Α γι το πργµτικό ριθµό ισχύει ότι d(, 0)<, ποδείξετε ότι: ) d( )> ) d, <. 74. Έστω κι δύο µη µηδεικοί πργµτικοί ριθµοί. Α οι κι ισπέχου πό τους κι τίστοιχ, ποδείξετε ότι οι κι ισπέχου πό το µηδέ. 75. Ν λυθού οι ισώσεις: ) -4 >(-) ) 5(4-)< - γ) - δ) 4 0 (5 )( ) Ν λυθεί το σύστηµ: A κι ψ ρεθεί η µέγιστη κι η ελάχιστη τιµή της πράστσης: Α ψ. 78. είξτε ότι ισχύου: -. >. < Ρίζες πργµτικώ ριθµώ 79. A 4, υπολογίσετε το. 80. A κι ψ υπολογιστεί η τιµή της πράστσης: Α 4 ψ ψ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

13 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ν υπολογιστού τ ριζικά: γ. 8. Ν ρεθού οι τιµές τω πρστάσεω ( IR). A γ. Γ B δ. 4 9γ γ (-) (7 ) 4 8. Ν ρείτε τ πρκάτω εξγόµε: i) 50 8, ii ) , iii) (4 6)( 5 ) iv) ( 0 5)( ) v) Ν πλοποιηθού οι πρστάσεις: ) 4 6 7, 0 ) γ) ( ) ( 4, 0, δ), 0,. 85. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ) ) ) γ) 5 5 δ ) Ν γράψετε τις πρστάσεις µε τη οήθει µίς µόο ρίζς: 5 4 ), ), γ ). ( ) ( ) 87. Ν ρεθεί η τιµή της πράστσης: Α Ν γίου οι πράξεις: ) ) γ) 4 δ) 5 ε) y : 5 4 : 4 5 y ζ) : : 4 η) 4 6 θ) 7 4 ι) κ) 89. Ν γίου οι πράξεις: ) (54-7 )(54 7 ) ) ( - 7)( -7) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

14 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ γ) δ) ε) ( 7 ) 9 ( 7) 9 7 y y Ν τρπού σε ισοδύµ µε ρητό προµστή τ πρκάτω κλάσµτ: ) γ) ε) είξτε ότι: ) δ) ζ) ( ) ( ), IR *, -<<. 9. Α, δείξτε ότι: 4 9. Ν πλοποιηθού οι πρστάσεις:. (7 / - / ).(7 / / ).( / ).( / -). (5. / 5 / ) -(5. / -5 / ) γ. ( /4. /4.)( /4. /4.)-6 /4.( - ) /. δ. ( - / y /4-5/ y / y / ):( / -y / ) 94. Ν λυθού οι εξισώσεις: ) 6-0 ) 4 0 γ) 5 60 δ) Ν λυθού οι εξισώσεις: ) ) γ) 6 - δ) Ν δειχθεί ότι: ) ) γ) ( 5) 4 ( ) 4 (5 ) ( 5) 4 5 < Α,, γ, δείξτε ότι:..γ 98. είξτε ότι:, > ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4, < 99. είξτε ότι: Σ ( ) Κτόπι υπολογιστεί το άθροισµ: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

15 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ν δειχθεί ότι η πράστση: Α 6 6 είι ρητός ριθµός Ν δειχθεί ότι: 0. είξτε ότι η τιµή της πράστσης Α ( ) ( ) είι ίση µε Ερωτήσεις τύπου «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ» Πράξεις- τυτότητες. ψ (ψ) Σ Λ. ( ) 6 Σ Λ. 5 Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6. A ψ τότε ψ Σ Λ 7. Α ψ τότε ψ. Σ Λ 8. Α ψ τότε ψ Σ Λ 9. (--) () Σ Λ 0. (--) -() Σ Λ. () - Σ Λ. (-) Σ Λ. () -() Σ Λ Εξισώσεις- ισώσεις 4. Η εξίσωση 0 είι δύτη. Σ Λ 5. Η εξίσωση 00 έχει µοδική λύση 0 Σ Λ 6. Η εξίσωση 4 είι δύτη. Σ Λ 7. Η εξίσωση (λ-)λ είι τυτότητ γι λ. Σ Λ 8. Η εξίσωση (λ -λ)λ(λ-) έχει µοδική λύση γι λ 0κι. Σ Λ 9. Η εξίσωση (λ -λ)λ(λ-) είι όριστη γι λ0. Σ Λ 0. Η ίσωση 0< είι δύτη Σ Λ. Η ίσωση 0 0 ληθεύει γι κάθε πργµτικό ριθµό. Σ Λ. H ίσωση 0<0 είι τυτότητ. Σ Λ. Γι κάθε, ψ ισχύει ψ ψ Σ Λ 4. Γι κάθε, ψ ισχύει ψ -ψ. Σ Λ 5. Ισχύει >0 γι κάθε πργµτικό ριθµό. Σ Λ 6. Η ισοδυµί <ψ > ισχύει γι κάθε ζεύγος πργµτικώ ψ ριθµώ διάφορω του µηδεός. Σ Λ Απόλυτες τιµές 7. Ισχύει. Σ Λ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

16 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ισχύει: γι κάθε πργµτικό ριθµό. Σ Λ 9. Ισχύει µόο γι 0. Σ Λ 0. Ισχύει µόο ότ 0. Σ Λ. A ψ 0 τότε 0 ή ψ0 Σ Λ. A ψ 0 τότε 0 κι ψ0 Σ Λ. Η ισότητ ληθεύει γι κάθε πργµτικό ριθµό. Σ Λ 4. H ισότητ ληθεύει γι κάθε πργµτικό ριθµό. Σ Λ 5. Η ισότητ 0ληθεύει γι µόο. Σ Λ 6. Α d(, 4)<, τότε: -<<7. Σ Λ 7. Α 7 τότε 7 7. Σ Λ 8. A d(, ) 0, τότε 5. Σ Λ Ρίζες πργµτικώ ριθµώ 9. Σ Λ 40. ( ) a a Σ Λ 4. ( ) Σ Λ 4. Ισχύει γι κάθε, πργµτικούς. Σ Λ 4. Α,ψ 0 τότε: ψ ψ. Σ Λ 44. Α <0 τότε:. Σ Λ 45. Ο τίστροφος του είι ο. Σ Λ 46. Οι λύσεις της εξίσωσης 5-5 είι 0 κι 5. Σ Λ 47. H πράστση είι ίση µε 6. Σ Λ 48. Η πράστση 4 8 ισούτι µε 4. Σ Λ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

17 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 49. Η δε ορίζετι γι κµιά πργµτική τιµή του. Σ Λ 50. A a τότε ή -. Σ Λ Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 5. Α κ περιττός, τότε η τιµή της πράστσης: Α κ κ (-) κ (-) κ (-) κ4 είι: Α: 0, Β:, Γ: : Ε: 5. v 4 5. Α, τότε η τιµή του είι: v Α:, Β:0, Γ:4, :7, Ε:5. 5. Η εξίσωση (λ )λ0 έχει µοδική λύση: Α: γι λ, Β: γι λ0, Γ: γι κάθε λ R, : γι λ. 54. Η εξίσωση (λ-)-λ0 µοδική ρίζ το : Α : Γι λ, Β: γι κάθε λ R, Γ: γι λ-, : γι λ Α <<, τότε: Α: -<-<, B: -<-<-, Γ: -<-<, : -<-< A 6<-<6, τότε: Α: <<-, B: -<<, Γ: -< <, : 0<<. 57. A << κι -<ψ<, τότε: Α: -<-ψ<, Β: -<-ψ<0, Γ: 0<-ψ<, : -<-ψ<. 58. Α <0, τότε η πράστση ισούτι µε: Α:, Β: -, Γ:, :, Ε:. 59. Α >0, τότε η πράστση ισούτι µε: Α:, Β: -, Γ:, :, Ε:. 60. Α d(, )<, τότε: Α: -<<, Β: -<<, Γ: -<<, : <<, E: -<<-. 6. A d(,)<, 0, τότε λάθος είι το: Α: >0, B: <0, Γ: <, : 0<<, Ε: >0. 6. Ο τίστροφος του ριθµού είι ο ριθµός: Α:, B :, Γ :, :. 6 6 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ:

18 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Ο τίστροφος του ριθµού 5 είι ο ριθµός: Α: 5 5 5, Β : 5, Γ :, : Ο τίστροφος του ριθµού, µε 0 < <, είιο ριθµ ός : Α:, Β :, Γ :, :. 65. Α >>0, κι Κ µ, τότε Κ : Α:, Β : ( ), Γ :, :, Ε : 4. ********************** ************* ***** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ: