Основи системске биофизике. Предиспитне обавезе: Први колоквијум (предавања): Други колоквијум (предавања): Писмени испит (вежбе):

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Основи системске биофизике. Предиспитне обавезе: Први колоквијум (предавања): Други колоквијум (предавања): Писмени испит (вежбе):"

Transcript

1 Обавезни предмет Шести семестар Молекуларна биологија и физиологија Наставник: др Мирослав Живић Структура испитних обавеза: Основи системске биофизике Предиспитне обавезе: Први колоквијум (предавања): Други колоквијум (предавања): Писмени испит (вежбе): Укупно: Усмени испит: 20 бодова 20 бодова 30 бодова 70 бодова 30 бодова Литература: Анђус, Р.К. (2006). Општа физиологија и биофизика. Модул 12: Принципи системске анализе, стр Највећи део предавања биће директно преузет из ове књиге, са свега неколико допуна и додатних појашњења од којих ће већина бити дата на овом, уводном предавању, док ће се касније сводити пре свега на додатне биолошке примере којима ћемо поткрепљивати усвојене теоријске моделе. Због чега је потребно дати мало шире уводно излагање него у књизи? Иако је ова књига објављена највећим делом је настајала током осамдесетих и деведесетих година прошлог века. И заиста, системска анализа је у то време била тек један од приступа у биолошким истраживањима, који су биолози, због сложеног математичког формализма у његовој основи, невољно користили, док се овај приступ значајно више користио и развијао у техничким наукама. Имајући ово у виду, наслов уџбеника: Основи системске анализе без биолошке одреднице у себи је био више него примерен. Међутим, прелаз између миленијума је донео коперникански обрт у односу биолога према системском приступу. Његово коришћење у решавању биолошких проблема се до те мере увећало да се као неминовност наметнуло дефинисање нове биолошке дисциплине Системске биологије, коју, иако веома млада, карактерише вероватно најексплозивнији развој међу биолошким дисциплинама. Имајући у виду овако важна дешавања, која су један готово егзотични приступ биологији учинила широко прихваћеним и употребљаваним, неопходно је, пре него почнемо са изучавањем проблематике системске анализе у биологији, садржај уџбеника, па и овог предмета поставити у тренутни контекст Системске биологије. Наравно, када се упознајемо са било којим појмом увек је најбоље поћи од његове дефиниције. Свакако најједноставнија од њих је да је системска биологија биолошка дисциплина која има за циљ да омогући разумевање биолошких система на системском нивоу. Свакако она је тачна, али је и веома неинформативна, али као свака таква дефиниција одмах намеће нова питања, у овом случају шта је то системски ниво, односно шта је то систем? Парадоксално, иако је системска биологија вероватно најмлађа биолошка дисциплина, појам система, па самим тим и системског приступа у свом најелементарнијем облику, веома je прецизно дефинисан још пре готово

2 година, на самом исходишту биологије као науке, у Аристотеловом делу Физика. Ту Аристотел за систем каже да представља целовитост која може бити издељена на делове, али чије кључне особине не могу бити у потпуности објашњене само помоћу познавања тих делова. Оваквој дефиницији система ни данас се не би могло ништа додати нити одузети и њен упрошћени облик да је систем више од збира својих делова, представља већ вековима парадигму холистичког начина размишљања. Речено мање сликовито, ова Аристотелова дефиниција би се могла свести на данас често коришћену, а знатно једноставнију дефиницију да је систем скуп објеката и односа између њих, где ови односи представљају онај додатни квалитет који систем чини целином која се не може спознати простим познавањем њених делова. Међутим, како год га дефинисали било је потребно више од два миленијума да овај теоретски концепт почне да добија своју експерименатлну материјализацију у биологији. Први корак на том путу је учинио амерички физиолог Кенон (Walter Bradford Cannon, ) који, користећи за основу концепт унутрашње средине који је 68 година раније увео велики физиолог Клод Бернар, дефинише појам хомеостазе у свом делу The wisdom of the body, 1933 године. Овде се организам посматра као целовит систем који има способност да у одређеном опсегу промена услова спољашње средине одржи константним услове унутрашње средине кроз интеракцију низа контролних физиолошких механизама, који се називају хомеостатски механизми. Кроз појам хомеостазе у биологију су на велика врата ушли контролни механизми типа позитивне или негативне повратне спреге, за које ћемо видети да представљају важне компоненте савремене системске биологије. Међутим, хомеостаза је физиолошки концепт који се заснива на међусобној повезаности и усклађености функција неког организма, он није, нити је могао да ову целовитост функције повеже са основом структуре датог организма система, што је основни циљ системске биологије. Није могао јер, једноставно у то време структура живих система на молекуларном нивоу (протеини, ДНК, мембране) није била позната. Следећи важан корак ка системској биологији је учинио амерички математичар Норберт Винер (Norbert Wiener ) дефинишући кибернетику, као нову интердисциплинарну науку у свом делу Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine из Најсажетије кибернетика је интердисциплинарно изучавање регулаторних система. Она је значајан корак у развоју системске биологије, јер је у описивању биолошких система увела елементе теорије система и њихове контроле, које су се до тада развијале потпуно независно од биологије пре свега у окриљу математичко техничких наука (машинство, електротехника итд.), а које представљају саму срж савремене системске биологије. Али баш као и у случају хомеостазе недостатак познавања молекуларне структуре биолошких система је и овај пут ограничио истраживаче на анализу живих система на физиолошком функционалном нивоу. До кључног обрта у развоју системске биологије долази по откривању структуре ДНК од стране Вотсона и Крика Ово откриће је револуционализовало биологију као науку јер омогућило утемељење биолошких феномена попут наслеђа, развића, еволуције и др. на молекуларном нивоу, па тиме и њихово описивање на чврстој теоријској подлози, што је све биологију учинило делом универзалне мреже знања засноване на основним законима физике. 2

3 У наредне четири деценије системски приступ биологији ce јављао повремено, углавном без значајнијег одјека у научној јавности те стога нећемо залазити у историјске детаље. Разлози за то леже пре свега у недовољној количини знања из структуре и функције живих организама на молекуларном нивоу, недовољном степену развића науке о системима, нарочито оног дела који се тиче динамике нелинеарних система и извесних области физике попут неравнотежне термодинамике да би се описали сложени биолошки системи и недовољног развоја рачунарске технике која је неопходан услов за практичну реализацију сложених симулација живих система. Деведесете године прошлог века су довеле до огромних помака у сваком од ових сегмената. На првом месту развој нових експерименталних техника попут real time PCR, аутоматског секвенцирања и др. је омогућио праву експлозију знања из молекуларне биологије и као круну свега секвенцирање људског, али и низа генома других живих бића. Овакво накупљање огромне количине података о генима, протеинима, њиховој функцији, регулацији о сигналним путевима и др. је наметнуло као императив потребу да се то знање организује у систем који ће нам омогућити нови квалитет спознавања живих система. Нагли развој рачунарске технике је дао техничку могућност за стварање математичких модела који би такав ниво систематизације омогућили. Као последица свега тога створена је системска биологија. Пример: Посматрамо 4 система чија нам је структура и функција потпуно позната, постоје експериментални подаци или теоријски разлози да сматрамо да су они функционално повезани и да чине систем чијим радом се остварује нека сложена физиолошка функција. Системска биологија нам омогућује Да сачинимо модел који ће претпоставити везе између ових подсистема и предвидети одговор новог сложеног система. Уколико ссе моделовани одговор слаже са експерименталним подацима системски приступ нам је омогућио проницање у до тада непознат механизам датог физиолошког процеса. Наравно, системску биологију не треба сматрати искључиво синтетичком дисциплином, јер су и њене аналитичке способности значајне. На пример, да би се моделовао структурно и/или функционално недовољно познат систем морају се начинити претпоставке о неким његовим непознатим деловима, односно непознатим интеракцијама између делова, које, уколико нађу потврду у слагању одговара модела и живог система, омогућавају лакшу експерименталну идентификацију нових компоненти, односно интеракција. Али, императив настанка системске биологије није био само фундаментална потреба за организовањем знања на квалитативно вишем нивоу, већ и чисто прагматична потреба да се нађе начин који ће огромна улагања у биомедицинске науке оправдати кроз повећање ефикасности решавања основних здравствених проблема савременог човечанства. Наиме, упркос хиљадама истраживања која су дефинисале појединачне узроке најважнијих обољења савременог човека, попут канцера, дијабетеса, кардио-васкуларних и неуродегенеративних обољења, човечанство није ништа ближе њиховом ефикасном и потпуном излечењу, јер лекови који се користе су углавном емпиријски и често неефикасни. Наиме, када је редукционистички приступ који се заснивао на тражењу узрока ових обољења у поремећајима структуре и функције појединих гена или група гена, односно протеина, а који су заступале савремена молекуларна биологија и биохемија, само показао да се не може издвојити један доминантни узрок, већ да је њих мноштво и да су изразито нелинеарни, односно да су ефекти једног 3

4 фактора одређени снагом осталих, постало је јасно да ова обољења имају системске узроке и да се њиховом решењу мора прићи на системском нивоу. Логичан одговор на ову потребу је развој системске биологије. Овакав закључак се лако може и квантификовати, наиме ако се упореди пораст улагања у биомедицинска истраживања са бројем одобрених нових активних супстанци (new chemical entity) може се уочити, да иако су улагања у 1993 у истраживања и развој била 12, а у 2003 чак 32 милијарде долара број нових активних супстанци не да није порастао већ се унеколико и смањио. Дакле, јасно је да је дотадашњи редукционистички приступ медицинским истраживањима достигао свој плато и да се излаз мора тражити у новом холистичком системском приступу. Слика 1. Сада када смо образложили изворе и разлоге развоја системске биологије време је и да дамо њену мало конкретнију дефиницију. Системска биологија је наука која показује како интеракције између макромолекула условљавају функционалне особине организама у целини. Другим речима системска биологија повезује савремену молекуларну биологију, биохемију и биофизику које проучавају биолошке макромолекуле и њихове интеракције са класичном физиологијом која се бави изучавањем функција организма у целини. При томе основни појам у системској биологији није структура већ је процес, односно гледиште да из динамике система израста његова функција. Да би смо истакли овај суштински принцип, напустићемо мало сувопарни говор науке и навести само неколико мисли великих научника и филозофа које јасно говоре у његову корист. Физичар Ервин Шредингер: Живот је пре појавна него припадајућа или својствена особина материје. Иако произилази из материјалног света он не може бити сведен на њега. 4

5 Биолог Линус Паулинг: Живот је однос између молекула, а не особина било којег од њих. Хенри Поинкаре. Наука је сачињена од чињеница, баш као што је кућа сачињена од камена. Али скуп чињеница је онолико наука колико је и хрпа камења кућа. или Циљ науке нису ствари по себи већ односи између њих, изван тих односа нема стварног сазнања. Сада се поставља питање који је основни циљ системске биологије. Може се рећи да је то такозвана силиконска ћелија или силиконски организам. Односно компјутерска симулација реплика читавог организма са свим његовим структурним јединицама (макромолекули) и функционалним карактеристикама. Остваривање овог циља би имало тројаки значај: Обједињавање свих знања о датом организму у једну функционалну целину у којој би молекулски механизми свих физиолошких функција датог организма били јасно квантитативно утврђени (математички моделовани). Могућност предвиђања свих аспеката дејства до тада неиспитаних стимулуса (нових лекова нпр.) на дати систем у целини без потребе или уз редуковану потребу за стварним експериментима и то само оним који потврђу критичне тачке дејства. Јасан путоказ за мењање постојећих живих система у складу са потребама човека, односно циљана и знатно ефикаснија биотехнолошка истраживања. Као леп пример другог навода може се дати шема која јасно повезује фундаменталне аспекте системске биологије са примењеним аспектима проналажења нових лекова (Слика 2). Слика 2. Ако би желели да прикажемо дефиницију системске биологије на системски начин онда би се она могла приказати једноставном шемом у којој се улазне величине система представљене резултатима молекуларне биологије, биохемије 5

6 и биофизике помоћу механизама системске биологије трансформишу у излазне величине представљене физиолошким и бихевиоралним одговорима читавог система. Сада се поставља питање шта је то у основи механизма овакве трансформације. Као што смо то већ напоменули и што сасвим логично следи из имена ове научне дисциплине основне полуге механизма су представљене достигнућима науке о системима. Наука о системима представља скуп знања и техника које омогућују квантитативну дескрипцију, предвиђање и математичко формулисање функционалних одлика (перформанси) датог система. У том процесу се у великој мери апстрахује конкретна природа компоненти система који се анализира да би се дошло до општих принципа на којима почива функционална организација комплексних целина, било да се ради о физиолошким регулационим системима или о сложеним комуникационим системима у техници. У најпростијем случају, компоненте система примају улазне сигнале и продукују излазне одговоре на начин који омогућује да се улазно-излазни однос адекватно опише одговарајућим математичким моделом (види сличност са шемом системске биологије). Дакле, једнако како је теорија система у основи механизма рада системске биологије тако је и математичко моделовање основни алат науке о системима. Сада се поставља питање шта је то математички модел. Дефиниције математичких модела су многе и карактерише их различити степен сложености. Ми ћемо ради потпунијег схватања појма навести неколико њих: Описни приступ: Математички модел је представљање (опис) понашања неког реалног система помоћу математичких термина (скупа математичких једначина). Математички модел је апстрактни приказ неких особина природног система којег посматрамо. Математички модел је апстрактна, упрошћена, математичка творевина која описује део стварности, а створена за тачно одређену сврху или ти: Сви модели су у суштини погрешни али су неки корисни. Практични приступ: Модел је приказ посматраног система којег је посматрач сачинио тако да би олакшао даље разумевање и контролу посматраног система. Или мало замршеније али исто то: Посматрачу Б, објекат А' је модел објекта А у оном степену у којем Б може користити А' да одговори на питања која га код А интересују. Формално- логички приступ: Математички модел је тројство (С, П и М) где је С систем, П питање у вези са С, а М математичке тврдње М={ 1, 2,.., n } које могу бити коришћене да би се дао одговор на П. Мноштво дефиниција на изглед веома различитих, али свака од њих нам говори по нешто о самом моделовању. Шта је то? Па сасвим разумљиво математички модел описује природни систем математичким језиком, али у том опису он не тежи да опише читаву, готово бескрајну сложеност неког природног система, већ да продре кроз ту сложеност, схвати суштину која је кључна за разумевање датог система и њу математички опише и на тај начин омогући лакше разумевање, али и контролу датог система, користећи у том процесу јасно дефинисан след логичких корака. 6

7 Како су живи системи веома разноврсни и сложени тако њихово адекватно моделирање подразумева да и модели морају да буду веома разноврсни, при чему се та разноврсност не осликава само при моделовању различитих система већ и различитих аспеката једног истог система. Сада ћемо само укратко и информативно указати на део те разноврсности. Тако ако модел описује понашање система у времену онда говоримо о динамичким системима, а ако не онда су у питању статички системи. У физиологији статички системи су релативно ретки јер су ретки и живи системи који се налазе у термодинамичкој равнотежи, а које овакви модели описују. Наравно статички модели описују и нпр. промене у популацији организама дуж неког просторног трансеката у истом временском тренутку. Дакле у физиологији, па и у нашем дељем раду сретаћемо се углавном са динамичким системима. Зато се у нашем случају и може рећи да решити системски проблем значи дефинисати временски ток ("временску трајекторију", "временски профил") променљивих величина система после наметања било које промене на улазу, или на некој унутрашњој тачки система. Анализа се, дакле, своди на успостављање диференцијалне једначине која повезује улаз са излазом и која омогућује да се њеним решавањем, за одређену улазну временску функцију изнађе одговарајућа временска функција излазне величине. Међутим, у динамичким системима, промене стања система могу бити праћене континуално у времену, односно време може имати било коју бројну вредност (3.3s, нпр.), тада говоримо у континуалним моделима, који се описују системима диференцијалних једначина и чији је пример праћење протока крви кроз крвни суд, нпр. Међутим, стање система се може мењати и скоковито, само у одређеним временским интервалима, када га описујемо дискретним моделима који су представљени системима диферентних једначина, у којима време може имати само целобројне вредности, а пример за то би био моделовање откуцаја срца у времену, или репродуктивне активности животиња које се паре само у одређеном периоду године итд. Без обзира на улогу времена модели се могу разликовати и по степену своје одређености. Ако вредности улазних величина система једнозначно одређују излазне величине, односно за исте улазне величине модел система продукује увек исте излазне величине онда га називамо детерминистичким или одређеним и такав модел карактеришу константни параметри. Уколико једне исте вредности улазних величина могу резултовати у различитим излазним величинама онда говоримо о стохастичким или случајним моделима који дају расподелу вероватноћа да ће дати улазни величина дати одговарајуће излазне величине. Детерминистички модели се користе у случајевима када имамо велики број елемената система (молекула нпр.), те стохастичке варијације можемо занемарити, тада број елемената система обично изражавамо у виду концентрације, њене промене дефинишемо диференцијаним или диферентним једначинама, а неки од многобројних примера оваквих модела би био нпр. модел за праћење промена концентрације гвожђа у крви под дејством различитих фактора. Стохастички модели се морају узети у обзир када се систем састоји од малог броја елемената, на пример код вирусних инфекција, када је само један вирус довољан да изазове инфекцију, те ће он то некада успети, а некада неће, без обзира на то што су услови за његов успех идентични. Ови модели користе далеко комплексније математичке изразе са своје описивање, попут стохастичких диференцијалних једначина, Марковљевих процеса, Петријевих мрежа и др. Модели се могу разликовати и по својој димензионалности. Већ смо говорили о динамичким моделима код којих 7

8 пратимо промене стања система само у једној димензији, у функцији времена. Међутим веома често за описивање стања система се морају узети и просторне координате његових елемената. Тако на пример за описивање процеса дифузије, поред времена мора се узети у обзир и једна димензија простора. Поред тога стање система може зависити и од притиска, температуре, или узраста-старости. У свим овим случајевима, за разлику од динамичких континуалних система који се описују обичним диференцијалним једначинама, морамо користити парцијалне диференцијалне једначине, чије је решавање значајно комплексније. На крају, могу се разликовати и линеарни и неалинеарни модели. Да би модел био линеаран он мора задовољити два критеријума. Први је да је излаз увек пропорционалан улазу, односно ако улаз x у изазива излаз x и, улаз 2x у изазиваће излаз 2x и. Други је такозвано правило суперпозиције према којем ако улаз x изазива излаз y, а улаз w излаз z, улаз x+w изазиваће излаз y+z. Сви модели који не испуњавају ова два услова су нелинеарни. Један од сигурних услова нелинеарности је на пример иреверзибилност одговарајућег процеса. У реалности, физички системи нису идеално линеарни. У великом броју случајева, међутим, они су ипак линеарни у одређеном опсегу услова. Системи се понекад подвргавају линеарној анализи под претпоставком да су линеарни. Чак и када та претпоставка није потпуно оправдана, линеарна анализа може дати корисне индикације о битним понашајним одликама система, у случајевима када би примена нелинеарне анализе била далеко тежа, или чак неостварљива. Примена линеарне анализе на биолошке системе доводи до успостављања модела који су подложни аналитичкој обради. Са гледишта циља који се жели постићи, линеарне апроксимације могу бити довољне. Имајући све речено у виду, као и чињеницу да ћемо се у оквиру овог предмета бавити самим основама системске биологије, ми ћемо ове основне принципе приказати на примеру, математички најједноставнијих система, који су релевантни са физиолошке процесе, а то су динамички, просторно хомогени, континуални, детерминистички линеарни системи које ћемо описивати системима линеарних диференцијалних једначина са константним коефицијентима. Без обзира на тип модела и његову сложеност, процес настанка модела, односно моделовање, је представљенo низом истоветних и тачно дефинисаних поступака. Ми нећемо улазити у детаље овог процеса јер је он сложен те би његов детаљан опис захтевало превише времена, већ ћемо навести само три основна процеса карактеристична за свако моделовање. Први је формирање модела. Оно обухвата одабир система који ће се моделовати, потом дефинисање свих његових елемената релевантних за дати модел и дефинисање хипотезе о процесима који повезују дефинисане елементе. На крају се тој хипотези даје математички облик и тиме је модел дефинисан. Други важан корак је симулација модела, односно процес у којем се математичке једначине које чине модел решавају на основу познатих улазних параметара дајући као резултат излазне параметре. Другим речима, симулација није ништа друго него вршење експеримента над моделом. Симулације модела система су у данашње време најчешће компјутерске, а у случају да се једначине модела не могу аналитички решити, већ је неопходно њихово нумеричко решавање, компјутерска симулација нема алтернативу. Дакле решавање било ког системског проблема се у основи своди на симулацију решавање одговарајућег му математичког модела. Следећи корак је вредновање датог модела. Наиме, резултати виртуелног експеримента симулације се пореде са резултатима 8

9 лабораторијских експеримената над тим системом и проверава се њихово слагање. Уколико је слагање задовољавајуће, тада је и модел добар и почиње његово коришћење. У основи, дакле, модел је хипотеза која се предлаже за интерпретацију емпиријских (експерименталних) података и која је подложна проверавању (тестирању). Почетни модел се подешава (модификује) све док се не постигне да он, у жељеној мери, репродукује (опонаша, симулира) експерименталне резултате. Дакле исправно постављање полазне хипотезе модела је од изузетног значаја. Да би се овај важан процес олакшао и повећала његова успешност често се користе комбинације физичких компоненти система (подсистеми) чије су особине познате и прецизно дефинисане, без обзира на њихову физичку природу. Такву комбинацију могу представљати, на пример, елементи електричног кола (отпорници, кондензатори, батерије), који су без икакве физичке сличности са компонентама система који се моделира. Електричним колом може се, на пример, моделирати хемијска реакција, или одређени рефлексни лук, при чему се очигледно не ради о физичкој сличности са системом који се моделира. Како смо у овој уводној дискусији доста користили примере из кардиоваскуларног система и овде ћемо дати пример еквивалентног електричног кола које предстаља основну јединицу крадиоваскуларног система (Слика 3). Слика 3. Приказ хемодинамичке шеме крвног суда и еквивалентног електричног кола. Одговарајућим комбиновањем мноштва ових елемената појединачних крвних судова и њихових делова добија се еквивалентна шема читавог крвног система човека (Слика 4). 9

10 Слика 4. При томе се ради само о модел систему који адекватно одражава математички однос улаза и излаза у конкретном систему који се испитује. Упознавање, пак, одлика улазно-излазног односа омогућује предвиђање излаза (реакције, одговора) при сваком улазу (стимулусу, пертурбацији, поремећају), тј. понашање испитиваног система у различитим условима (Слика 5). Слика 5. Поступак, дакле, омогућује увид у битне понашајне особине испитиваног система чак и онда када су структурни детаљи тога система недовољно познати у морфолошком и физиолошком смислу. Шта више, поступак отвара могућност да се, на основу понашајних особина система који се моделира, предвиди учешће у њему и оних структурних компоненти које раније нису биле познате, 10

11 доприносећи тиме њиховом откривању и физичкој идентификацији. Међутим, ту треба бити опрезан јер и када се постигне да модел верно репродукује експериментално утврђену кинетику збивања у систему који се испитује, модел не информише директно о природи тих збивања: иста кинетика може се односити на врло различите процесе. Дакле, видели смо да процес моделовања система говори два језика, један је језик математике, који нам даје квантитативни опис система, а други је графички језик представљен одговарајућим еквивалентним структурним или блок шемама који нам квалитативно и сликовито представља систем омогућујући његово боље разумевање и лакши и тачнији математички опис, кроз дефинисање кључних елемената система и веза између њих. С тога, пре него што се упустимо у савладавање апстрактнијег математичког језика, кратко ћемо се упознати са овим очигледнијим графичким, поредећи га, ради лакшег схватања, са морфо-физиолошким шемама, са којима сте се ви већ више пута сретали током студија. Шематки приказ у системској анализи Почећемо са вероватно најједноставнијом морфо-физиолошком шемом, а то је шема једноставног рефлексног лука, у овом случају рефлекса флексије, са којом сте се срели вероватно још у оквиру основношколског градива биологије. Аферентна компонента рефлексног лука представљена је сензитивним неуроном са неуронским телом у спиналној ганглији. Еферентни пут чини моторни неурон са неуронским телом у вентралном стубу сиве масе кичмене мождине са исте стране тела. Он инервише ефекторни попречно-пругасти мишић у ипсилатералном екстремитету. Тиме је описан рефлексни лук којим се остварује савијање (флексија) екстремитета у одговор на болни стимулус. Једноставној морфофизиолошкој шеми одговара и једноставна блок шема. Тако блок-шема организације рефлекса има свега три компоненте: рецепторску (R), централну (C) и ефекторску (Е), представљене серијски повезаним блоковима. Шема је "отворена", јер не постоји директна веза између R и Е којом би било остварено коло (затворен систем) и самим тим не пружа могућност регулације система, која је једна од основних компонети системског приступа, те се у том смислу и не може сматрати комплетном системском блок-шемом. Да би се пак упознали са комплетном системском блок шемом рефлекса као затвореног система, приказаћемо прво морфо-физиолошку шему сложенијег фотомоторног рефлекса, а потом ћемо је трансформисати у еквивалентну блок-шему. Од фоторецептора у ретини, сигнал се простире влакнима оптичког живца, кроз оптичку хијазму и Corpus geniculatum laterale (жуљевито тело), до претекталног једра у мезенцефалону (пупиларни центар). Интернеуронима се сигнал даље преноси до Вестфал-Едингеровог једра (окуломоторни центар), где је неуронско тело преганглијског неурона еферентног парасимпатичног пута. Постганглијско влакно потиче од неуронског тела у цилијарној ганглији (Ganglion ciliare), а завршава се у ефекторном пупиларном мишићу, Musculus sphincter pupillae. Тиме је описан рефлексни лук којим се остварује контракција пупиларног сфинктера, тј. сужење зенице, у одговор на фотостимулацију ретиналних рецептора, тј. осветљавање ока. Сложенијој морфо-физиолошкој шеми одговара и сложенија блок-шема коју чине следећи саставни елементи (карике, блокови): 11

12 (1) сензорски блок (рецептори), (2) регулациони блок (нервни центри), (3) подешавачки блок (ефектори), као и (4) блок који представља подручје регулације (очно дно у случају фотомоторног рефлекса). Величине система су (X) регулисана (излазна) величина, обележава се алтернативно са x i, или y (у случају фотомоторног рефлекса ради се о степену осветљености очног дна); (Y) подешавана величина (отвор зенице); (Z) реметећа (улазна) величина, обележава се алтернативно и са x у или просто x (светлост); и, евентуално, (W) задата величина (оптимални степен осветљености ретине). Смисао дејства са гледишта ефекта на нивоу подручја регулације означен је знацима "+" и "-" (дејство Z је "+" јер тежи да повећа осветљеност очног дна; дејство Y је "-" јер смањењем отвора зенице тежи да смањи осветљеност ретине), а квалификује се као негативно повратно дејство, јер се супротставља реметећем дејству улазне величине; стрелице означавају смер дејстава. Исти систем може бити представљен и у сажетијем виду, где регулатор (R) подразумева елементе 1, 2 и 4 из претходне шеме и где је P подручје регулације (као елеменат 4 у претходној шеми); кружић симболизује нов елемент, компаратор (врши поређење величина на своме улазу и остварује излаз као њихову резултанту). Из поређења анатомо-физиолошких шема са системском блок-шемом видљиво је да за разлику од конкретизације структурних детаља којој теже прве шеме, системски се приступ карактерише тежњом ка генерализацији, уз одређени степен апстраховања структурних детаља и нагласак на организацији система. При томе се та организација дефинише са гледишта њеног функционалног смисла ("циља" који се њоме постиже, "сврхе" њеног функционисања). За дефинисање организације система у функционалном смислу, поред смера одговарајућег дејства једног елемента система на други, које се дефинише положајем врха стрелице, од кључног је значаја и смисао таквог усмереног дејства који се обележева позитивним или негативним знаком, као што је то показано на системској шеми фотомоторног рефлекса. Овакво обележавање карактерише и физиолошке шеме, али иако користи исте симболе, његова суштина у ова два типа шема је различита, те им с тога и значење код описивања истих биолошких система може бити супротно. Наиме, у физиолошким шемама ови знакови дефинишу непосредни механизам дејства једног елемента шеме на други, те знак ''+'' обележава активирајуће (динамогено), а знак '' '' инхибирајуће дејство, без обзира на смисао тих дејстава са гледишта њихове функционалне улоге у систему као целини, што је случај код системских шема. Шта то значи у случају конкретног биолошког система видећемо ако се вратимо шемама које описују фотомоторни рефлекс. На физиолошкој шеми можемо уочити само позитивне знаке јер, фоторецептор активира пупиларни центар у средњем мозгу, овај окуломоторни центар, који опет актвира пупиларни сфинктер који се грчи. Међутим, на системској шеми постоји и један знак минус, који говори да контракција пупиларног мишића, односно сужавање зенице, има за последицу смањење осветљености очног дна, 12

13 односно оно се супротставља дејству светлости. Дакле, овде знак усмереног дејства не осликава његов механизам, већ последице тог дејства у односу на посматрани систем. Наравно, упркос различитој суштини, знакови код ове две врсте шема могу бити и истоветни. Добар пример за то је повратна ихибиција моторног неурона. - моторни неурон, активиран преко завршетака аферентног пута (+), огранком свога неурита активира Renshaw-ов интернеурон (+) чији завршеци, отпуштајући инхибиторни медијатор (трансмитер), инхибирају исти моторни неурон (-). Функционални смисао система (атенуација активности моторног неурона) је само имплицитан, ознаке се тичу механизма дејстава (динамогених и инхибиторних). С десне стране на истој слици је одговарајућа системска шема: знаци + (на улазу -моторног и Реншоовог неурона) и знак "-" (негативно повратно дејство на -моторни неурон) подударају се са истим знацима на физиолошкој шеми с леве стране. Знак "-" не значи, међутим, да се ради о отпуштању инхибиторног трансмитера, већ да се дотично дејство супротставља дејству на улазу моторног неурона. Дакле, сачињавање системских шема неког биолошког система је од изузетног значаја, јер кроз тај процес ми идентификујемо компонете система, њихове међусобне односе и значај тих односа за функционисање система у целини, односно, оне нам помажу да формулишемо хипотезу у основи математичког модела, који потом формирамо замењивањем сваког од елемената дате шеме са одговарајућим једначинама. Другим речима, стварање шеме нам помаже да схватимо логику функционисања датог система коју потом треба да изразимо одговарајућим математичким језиком. Предавање 2 Математички модели Већ смо видели да је у зависности од система тај језик веома разноврстан и различитог нивоа сложености. С тога пре но што почнемо да моделујемо неки систем, морамо се определити, у зависности од природе система и онога шта желимо постићи моделовањем, који тип модела, односно коју врсту језика ћемо користити. Како се у овом курсу бавити пре свега системском биологијом физиолошких процеса, то ће, наши системи, баш као и огромна већина физиолошких процеса бити динамички односно зависиће одвијаће се у времену. При томе, опет као и већина физиолошких процеса и наши системи ће се непрекидно-континуално одвијати у времену. Ако имамо динамички и континуални систем онда се он увек описује диференцијалним једначинама. Зашто? Ако знамо да је диференцијална једначина она која у себи садржи изводе, а да извод неке функције по одговарајућој променљивој представља вредност те функције за бесконачно малу промену дате променљиве, односно када та променљива, у нашем случају време тежи нули, онда је јасно зашто континуалне динамичке системе описујемо диференцијаним једначинама. До сада смо тип модела бирали у складу са природом система, без неког посебног упрошћавања, али од овог тренутка крећемо са упрошћавањима. Прво занемарићемо случајне процесе и посматрати детерминистичке системе у којима дате вредности улазних параметара увек дају исте вредности на излазу и тако се решити компликација које доносе Марковљеви процеси и статистичке диференцијалне једначине. Потом, промене у нашим системима ћемо 13

14 посматрати само у једној димензији времену, а апстраховаћемо њихову зависност од положаја у простору или од неких других параметара какви су притисак запремина и сл. На тај начин избегавамо коришћење парцијаних диференцијаних једначина које описују системе чије понашање зависи од више променљивих, већ можемо користити за решавање значајно једноставније обичне диференцијане једначине које описују системе чије понашање зависи само од једне променљиве, у нашем случају времена. Ту није крај, јер ћемо се ограничити само на линеарне системе што ће нам омогућити да у моделовању користимо линеарне диференцијалне једначине са константним коефицијентима, чија је особина да се могу аналитички решити, што је за један основни курс од изузетног значаја, јер омогућује да студент буде упознат са процесом моделовања у свим његовим детаљима, што у случају потребе за нумеричким решавањем диференцијалних једначина, које би захтевало употребу рачунара, на нивоу овог курса не би било могуће. При томе, упркос значајном упрошћавању реалних физиолошких процеса видећемо да многе од њих и таквим моделима можемо довољно верно описати, да би смо из тог описа спознали систем и евентуално открили неке његове до тада непознате особине и елементе. Наиме, као што смо већ рекли моделовање система се заснива на успостављању одговарајућих једначина тако да оне дефинишу однос излазне према улазној величини, односно, однос реакције према стимулусу. Поред потврђивања претпостављене хипотезе о функционисању датог система до које смо дошли на основу постојећих експерименталних података, модел нам може указати на постојање и природу елемената система којих до тада нисмо били свесни, јер може да предвиди "излаз" при датом "улазу", чак и када је конкретна структура система у морфофизиолошком смислу недовољно позната. За разлику од упознавања са графичким језиком за које смо користили конкретне биолошке системе, упознавање са математичким језиком, односно са процесом моделoвања ћемо, пошто нам је готово у потпуности непознат, почети на најопштијем нивоу. Дакле општи облик линеарне диференцијалне једначине са константним коефицијентима је: n1 2 n d y t d y t d y t dy t an... a n n 1 2 a 2 1 a0y t f t (1.1) dt dt dt dt Ово је линеарна диференцијална једначина ентог реда. Ред неке диференцијалне једначине одређује извод највишег реда, те ако је то шести извод, онда ће она бити једначина шестог реда. Наравно, што је диференцијална једначина вишег реда то она има више параметара те може неки процес боље описати. Међутим, истовремено се значајно комликује њено решавање, што уколико се има у виду да су биолошки системе комплексни и да је за описивање свих процеса у њима потребно много оваквих једначина, може представљати тешко решив или чак нерешив проблем. Поред тога што је већи број параметара то им је теже одредити физиолошки смисао, односно њихове вредности приписати смисленим биолошким величинама. С тога је основно правило моделовања да се систем увек опише најједноставнијом једначином која даје одговарајуће резултате, одбносно довољно добро описује дати систем или одговарајући процес у њему. Искуство је показало да у неким случајевима то може бити већ диференцијална једначина првог реда, а да је у многим случајевима то једначина другог реда. Имајући у виду да је ово основни курс ми ћемо се задржати на примени само диференцијалних једначина првог и другог 14

15 реда. С тога ћемо општу једначину (1.1) редуковати до линеарне диференцијалне једначине са константним коефицијентима другог (1.2), односно првог реда (1.3): ay ay ayax (1.2) ay ay ax (1.3) Примећујете да смо приликом редукције реда једначине извршили и неке додатне претпоставке. Изводе излазне величине (y) по времену смо приказали на алтернативан начин, ради лакоће писања. Поред тога функцију са десне стране једнакости смо сасвим разумљиво прогласили улазном величином, претпоставили смо да је независна од времена и да има исти коефицијент као и нулти извод излазне величине. Потреба за ове две последње измене ће нам ускоро бити јасна. Међутим, ове две једначине иако значајно једноставније су још увек исувише опште да би нам било шта могле рећи о било ком реалном систему. Оно што једначини даје физички смисао јесу коефицијенти. Они нам тренутно показују само за који од извода су везани. С тога ћемо их преуредити и да би смо им дали одговарајући физички смисао. Једначину првог реда ћемо поделити са а 0, а количник уз први извод (а 1 /а 0 ) ћемо означити као временску константу (), и на тај начин ћемо добити стандардни облик диференцијалне једначине првог реда: y y x (1.4) Једначину другог реда ћемо трансформисати дефинисањем две нове величине: n ("природна кружна фреквенција", са значењем квадратног корена количника а о /а 2 ) и ("зета"), са значењем "количника пригушења", тј. израза a1/2 a0a 2 те ће она прећи у стандардни облик диференцијалне једначине другог реда: y y y x (1.5) 2 2 2n n n, Да ова три нова коефицијента заиста имају значења која одговарају њиховим именима видећемо веома ускоро када будемо решавали ове две једначине односно када будемо симулирали моделе које оне представљају. Као што ћемо ускоро видети коефицијентима је дат физички смисао, али још увек они не представљају величине које се могу експериментално измерити, већ ће се морати израчунавати из експериментално мерљивих величина. Коначни ниво конкретизације, нашег почетног општег математичког модела ћемо добити када коефицијенте диференцијалних једначина првог и другог реда изразимо преко експериментално мерљивих величина. Да би то учинили морамо их искористити за моделовање неког реалног система. То ће бити електрично коло. Оно, а не живи систем је одабрано из два разлога. Први је да је електрично коло далеко једноставније за моделовање, те ће нам на самом почетку упознавања са процесом моделовања омогућити усвајање неопходних основних знања. Други је да се врло често електрична кола користе као еквивалентни системи за моделовање биолошких процеса, као што смо већ навели на претходном предавању, а са чиме сте се сусрели и у оквиру предмета БООФ, тако да ћемо 15

16 добијени модел моћи да применимо и приликом каснијег моделовања биолошких система. Слика 6. Електрично коло које ћемо моделовати (Слика 6) се састоји од следећих елемената: батерије електромоторне силе Е, калема индуктивности L, отпорника отпора R и кондензатора капацитета С. Наравно кроз коло протиче наелектрисање q. На вежбама ћете се упознати са поступком настајања математичког модела који описује понашање овог струјног кола у времену, а сада ћемо представити само крајњи резултат тог процеса диференцијалну једначину другог реда: 1 Lq Rq q E (1.6) C Наравно први извод наелектрисања по времену представља јачину електричне струје. Као што смо већ видели у случају приказивања модела васкуларног система човека еквивалентно електрично коло са овим елементима се често користи у описивању биолошких система. Међутим, у извесним случајевима га можемо додатно упростити. То се чини одстрањивањем калема, услед чега се губи индуктивност, L=0, па тиме и други извод, те се такво коло може описати диференцијалном једначином првог степена: 1 Rq q E (1.7) C И са таквим колом сте се већ срели и оно се користи као еквивалентно коло у моделовању пасивних својстава ћелијске мембране нервног влакна. Дакле за разлику од крвног суда чије се понашање моделује диференцијалном једначином другог реда, пасивна својства биолошких мембрана се могу моделовати диференцијалном једначином првог реда. Ако коло и даље упростимо, избацивањем отпорника, R=0, добијено струјно коло се описује само алгебарским изразом: 1 q E q CE C (1.8) Овакво коло је исувише једноставно да би се користило у описивању биолошких система, али ће нам ипак дати веома важну информацију, а то је шта је улазна величина нашег модела. Наравно излазна величина, као што је она која се мења у времену, дакле количина наелектрисања, те из једначине нултог реда 16

17 следи дефиниција улазне величине, као производа електромоторне силе и капацитета кондензатора. Имајући то у виду преуредићемо једначину 1.6. ознаку у за излазну, а х за улазну величину: 1 1 Ly Ry y x (1.9) C C Ако ову једначину упоредимо са општим обликом диференцијалне једначине другог реда (1.2) постаје нам јасно зашто смо приликом њеног извођења из опште линеарне диференцијалне једначине са константним коефицијентима, нултом изводу излазне величине и улазној величини придружили идентичне коефицијенте. Из поређења ове две једначине и дефиниција количника пригушења и природне кружне фреквенције у стању смо да ове два параметра дефинишемо преко физички мерљивих величина, те имамо: R (1.10) L 2 C 1 n (1.11) CL Дакле дефинисали смо моделе на различитим нивоима општости. Сада је дошао тренутак да пређемо на следећи ниво моделовања, а то је решавање модела, односно његову симулација. Међутим, симулација модела се не своди само на прост математички поступак решавања одговарајуће једначине, јер ми не посматрамо једначину као математички проблем по себи, већ као начин да опишемо понашање система од интереса. А ако смо до сада нешто научили о системима, онда је то да сваки од њих карактеришу улазне и излазне величине и да решење дате једначине има циљ да успостави везу између њих. При томе улазне величине су познате творцу модела, заправо он их одабира и задаје систему да би видео какав ће одговор дати на излазу. Дакле на почетку треба да одаберемо стимулус одређених карактеристика за улазну величину. И као и до сада одабраћемо најједноставнији облик стимулуса који се означава као правоугаони стимулус. Он се дефинише као скоковита промена улазне величине или математички речено: x 0, t 0 x, t 0 Иако је једноставан он се, као што ћемо ускоро видети, у различитим облицима изузетно често користи у физиолошким истраживањима. Која је његова основна карактеристика, која га чини погодним за илустровање првог корака у упознавању са системском анализом. Правоугли стимулус је независан од времена, односно он се не мења у времену, јер за све вредности времена веће од нуле он има исту вредност. Сада нам је јасно оправдање да у нашем општем облику линеарне диференцијалне једначине другог реда са константним коефицијентима функцију са десне стране коју смо дефинисали као улазну величину прикажемо као независну од времена. 17

18 Пошто смо дефинисали улазну величину шта су нам следећи кораци у симулацији модела? Пратићемо временски ток или профил излазне величине док под утицајем скоковите промене на улазу, прелази из претходне (почетне) у нову (крајњу) вредност, односно пратићемо је у току прелазног режима до успостављања новог стационарног стања. Потом ћемо из понашања излазне величине током прелазног режима изводити закључке о особинама система и поредити то понашање са понашањем познатих система. Понашање система у прелазном режиму се добија решавањем његове карактеристичне диференцијалне једначине. Поступак решавања ћемо прво приказати на примеру релативно једноставног система првог реда. Полазећи од карактеристичне диференцијалне једначине првог реда (и дефиниције улазне величине добијемо: y t y t (1.12) Решавање ћемо обавити у неколико корака. Први је увек дефинисање почетних услова. За улазну величину смо то већ учинили и ради једноставности и за излазну величину и њен први извод ћемо претпоставити да су на почетку, за t=0 нуле, y(t)=0, y (t)=0. Претпоставка оваквих почетних услова, поред поједностављења процеса решавања ће се показати веома значајном приликом увођења преносних функција о којима ћемо говорити на наредном часу. Решавање диференцијаних једначина се може вршити на помоћу неколико метода. Ми смо се определили за методу Лапласове трансформације. О овој методи и начину њене примене више ћете чути на вежбама сада ћемо само рећи да се њоме временска променљива t претвара у нову променљиву, s, таквих особина које омогућавају да се одговарајућа линеарна диференцијална једначина преведе у линеарну алгебарску једначину и да се даље решава користећи далеко једноставније алгебарске поступке. Дакле један од разлога коришћења ове методе је поједностављивање математичког поступка решавања диференцијалне једначине, али он није једини, а ни најважнији, веома важан разлог коришћења баш Лапласове трансформације у решавању системских диференцијалних једначина ћемо уочити када будемо уводили појам преносних функција. Али вратимо се решавању. За поступак трансформације, који се означава великим словом L, се користе табличне вредности за одговарајуће функције у овом једноставном случају y(t)=y(s), y (t)=sy(s) и 1= 1, те добијамо: s sy s y s (1.13) s Даље се оваква једначина решава алгебарским методама које обухватају изражавање y(s), потом фракционицање и на крају одређивање константи уведених у поступку фракционисања. Овим методама се нећемо бавити на предавањима, већ ћемо само навести њихов коначни резултат: y s 1 1 s s1 (1.14) 18

19 Потом применом обратне Лапласове трансформације (L -1 ), поново враћамо временску променљиву добијајући тиме решење наше системске једначине. Наравно, у овом поступку опет користимо табличне вредности које овог пута гласе: t 1 1 s и 1 1 e, тако да решење системске једначине првог реда постаје: s 1 t y t 1e (1.15) Графички приказ ово решења је дат на слици 7. Са слике се може уочити да на правоугаони улазни стимулус систем првог реда одговара експоненцијалним излазом који достиже завршни ниво - асимптоту са вредношћу Θ. Дакле, у прелазном режиму систем првог реда карактерише експоненцијално кашњење излаза за скоковитим улазом. Временска константа има смисао мере тог кашњења, пошто представља време за које се оствари 63% промене на излазу, што је она већа и кашњење одговора система на улазни стимулус је веће. Алтернативно временска константа се може дефинисати и као време за које би одговор система достигао вредност асимптоте када би се промена одвијала непрекидно почетном брзином (v, испрекидана линија). Слика 7. Наравно вредност временске константе се може изразити и преко физички мерљивих величина еквивалентног електричног RC кола. Уколико упоредимо једначине 1.4 и 1.7. добијамо: RC (1.16) Сасвим очекивано одговор система на скоковити стимулус ће то више каснити што су вредности отпора кола и капацитета кондензатора који се супротстављају протицању струје веће, односно ове две величине и одговарајући им коефицијенти (параметри) у општем облику једначине (јед 1.3.) 19

20 се могу схватити као препреке којима се систем супротставља промени на улазу. Као што постоје механички и електрични системи чије се понашање у прелазном режиму може описати моделовати и симулисати линеарном диференцијалном једначином првог реда са константним коефицијентима, тако се такви системи могу наћи и међу физиолошким процесима. Са једним од њих сте се већ срели на курсу Биофизичке основе опште физиологије, а то је пример промене потенцијала мембране нервног влакна на месту стимулације под дејством правоуглог потпражног стимулуса (Модул 2 стр ). Овај систем је описан једначином: t V rme i 1e (1.17) коју уколико упоредимо са општим решењем понашања оваквог система у прелазном режиму (јед. 1.15) можемо закључити да је потенцијал мембране излазна величина, док вредност асимптоте, односно потенцијала када време тежи бесконачности, представљена производом отпора мембране и јачине струје правоуглог стимулуса. При томе је временска константа једнака производу отпора и капацитета мембране. Више о овом примеру прочитаћете у књизи. I (pa) V (mv) Слика 8. Други пример биолошког система чије се понашање у прелазном режиму може описати линеарном диференцијалном једначином првог реда са константним коефицијентима је волтажно-зависна активација појединачног јонског канала. Као пример ће нам послужити мали анјонски канал на ћелијској мембрани гљиве Phycomyces blakesleeanus. Активност овог канала зависи од потенцијала мембране, односно, она је волтажно зависна јер његова струјно напонска крива није права линија (Слика 8). Као што видимо струја канала на позитивним потенцијалима је далеко већа од оне на негативним, односно он се понаша као исправљач. Како је позитивна - излазна струја већа, то ће и сам канал представљати излазни исправљач, а његову струјно-напонску криву ће карактерисати излазна ректификација. 20

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

8.5 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 5 Задатак вежбе: PI регулација брзине напонски управљаним микромотором једносмерне струје

8.5 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 5 Задатак вежбе: PI регулација брзине напонски управљаним микромотором једносмерне струје Регулација електромоторних погона 8.5 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 5 Задатак вежбе: регулација брзине напонски управљаним микромотором једносмерне струје Увод Simulik модел На основу упрошћеног блок дијаграма

Διαβάστε περισσότερα

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016.

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 2 (13Е013ЕП2) октобар 2016. ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ (3Е03ЕП) октобар 06.. Батерија напона B = 00 пуни се преко трофазног полууправљивог мосног исправљача, који је повезан на мрежу 3x380, 50 Hz преко трансформатора у спрези y, са преносним

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

( ) sin ( ) Предавање 6 (0.1) d dt (0.3) Фреквенцијска анализа

( ) sin ( ) Предавање 6 (0.1) d dt (0.3) Фреквенцијска анализа Предавање 6 Фреквенцијска анализа До сада смо се упознали са реаговањем различитих система на апериодичне стимулусе какви су правоугаони стимулус, импулс и рампа стимулус. Како смо већ доста тога научили

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation)

Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Студија случаја D-Sight Консултантске услуге за Изградња брзе пруге

Διαβάστε περισσότερα

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 07. Вишефазне електричне системе је патентирао српски истраживач Никола Тесла

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БЕОГРАДУ КАТЕДРА ЗА ЕЛЕКТРОНИКУ АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ВЕЖБА БРОЈ 2 ПОЈАЧАВАЧ СНАГЕ У КЛАСИ Б 1. 2. ИМЕ И ПРЕЗИМЕ БР. ИНДЕКСА ГРУПА ОЦЕНА ДАТУМ ВРЕМЕ ДЕЖУРНИ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Осцилације система са једним степеном слободе кретања

Осцилације система са једним степеном слободе кретања 03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Метода коначних елемената

Писмени испит из Метода коначних елемената Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q

Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q Разлика потенцијала Разлика потенцијала између тачака A и B се дефинише као промена потенцијалне енергије (крајња минус почетна вредност) када се наелектрисање q помера из тачке A утачку B подељена са

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ДВАДЕСЕТ ДРУГО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x)

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x) Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања.

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба

Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање. 1. вежба Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Предмет: Паркирање ОРГАНИЗАЦИЈА ПАРКИРАЛИШТА 1. вежба Место за паркирање (паркинг место) Део простора намењен, технички опремљен и уређен за паркирање једног

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1 Ако се са RFe отпорника, онда су ова два температурно зависна отпорника везана на ред, па је укупна отпорност,

Слика 1 Ако се са RFe отпорника, онда су ова два температурно зависна отпорника везана на ред, па је укупна отпорност, Температурно стабилан отпорник састоји се од два једнака цилиндрична дела начињена од различитих материјала (гвожђе и графит) У ком односу стоје отпорности ова два дела отпорника ако се претпостави да

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

ВЕЖБЕ ИЗ ОСНОВА РАЧУНАРСКЕ ТЕХНИКЕ 1

ВЕЖБЕ ИЗ ОСНОВА РАЧУНАРСКЕ ТЕХНИКЕ 1 ВЕЖБЕ ИЗ ОСНОВА РАЧУНАРСКЕ ТЕХНИКЕ ВЕРЗИЈА. Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике АНАЛИЗА И СИНТЕЗА КОМБИНАЦИОНИХ ПРЕКИДАЧКИХ МРЕЖА Анализа комбинационих мрежа је поступак

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Анализа ризика

Теорија одлучивања. Анализа ризика Теорија одлучивања Анализа ризика Циљеви предавања Упознавање са процесом анализе ризика Моделовање ризика Монте-Карло Симулација Предности и недостаци анализе ризика 2 Дефиниција ризика (квалитативни

Διαβάστε περισσότερα

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје)

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) i L u=? За коло са слике кроз калем ппзнате позната простопериодична струја: индуктивности L претпоставићемо да протиче i=i m sin(ωt + ψ). Услед променљиве

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004

РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 2004 РЈЕШЕЊА ЗАДАТАКА СА ТАКМИЧЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИНА Електријада 004 ТРАНСФОРМАТОРИ Tрофазни енергетски трансформатор 100 VA има напон и реактансу кратког споја u 4% и x % респективно При номиналном оптерећењу

Διαβάστε περισσότερα

Школска 2010/2011 ДОКТОРСКЕ АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ

Школска 2010/2011 ДОКТОРСКЕ АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ Школска 2010/2011 ДОКТОРСКЕ АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ Прва година ИНФОРМАТИЧКЕ МЕТОДЕ У БИОМЕДИЦИНСКИМ ИСТРАЖИВАЊИМА Г1: ИНФОРМАТИЧКЕ МЕТОДЕ У БИОМЕДИЦИНСКИМ ИСТРАЖИВАЊИМА 10 ЕСПБ бодова. Недељно има 20 часова

Διαβάστε περισσότερα

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12 Cook-Levin: SAT је NP-комплетан Теодор Најдан Трифунов 305M/12 1 Основни појмови Недетерминистичка Тјурингова машина (НТМ) је уређена седморка M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q коначан скуп стања контролног механизма

Διαβάστε περισσότερα

I Наставни план - ЗЛАТАР

I Наставни план - ЗЛАТАР I Наставни план - ЗЛААР I РАЗРЕД II РАЗРЕД III РАЗРЕД УКУО недељно годишње недељно годишње недељно годишње годишње Σ А1: ОАЕЗНИ ОПШЕОРАЗОНИ ПРЕДМЕИ 2 5 25 5 2 1. Српски језик и књижевност 2 2 4 2 2 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група

ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ I група ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ФИЗИКЕ ПРВИ КОЛОКВИЈУМ 21.11.2009. I група Име и презиме студента: Број индекса: Термин у ком студент ради вежбе: Напомена: Бира се и одговара ИСКЉУЧИВО на шест питања заокруживањем

Διαβάστε περισσότερα

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић

Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Интервали поверења Тачкасте оцене параметара основног скупа могу се сматрати као приликом обраде узорка. Њихов недостатак је

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Катедра за електронику, Основи електронике

Катедра за електронику, Основи електронике Лабораторијске вежбе из основа електронике, 13. 7. 215. Презиме, име и број индекса. Трајање испита: 12 минута Тест за лабораторијске вежбе 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 5 1 5 1 5 5 2 3 5 1

Διαβάστε περισσότερα

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F

Διαβάστε περισσότερα

1. Моделирање и модели, врсте модела. 2. Неформални и формални модели

1. Моделирање и модели, врсте модела. 2. Неформални и формални модели . Моделирање и модели, врсте модела Моделирање представља један од основних процеса људскога ума. Оно се најчешће посматра као најзначајније концептуално средство које човеку стоји на располагању. У најширем

Διαβάστε περισσότερα