Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић

Transcript

1 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Интервали поверења Тачкасте оцене параметара основног скупа могу се сматрати као приликом обраде узорка. Њихов недостатак је да је непознато са којом тачношћу оцењују параметар. Ако је узорак великог обима тачкаста оцена параметра је довољна, а ли за узорке мањег обима питање тачности тачкасте оцене параметра је веома важно. Уведимо појма интервалне оцене непознатог параметра основног скупа (или случајне променљиве Х, одређене на основном скупу објеката. Означимо тај параметар са Δ. На основу узорка одређујемо по одређеним правилима бројеве Δ 1 и Δ, тако да важи услов: P(Δ 1 < Δ< Δ ) =P (Δ (Δ 1 ; Δ )) = γ Бројеви Δ 1 и Δ се називају границама интервала, интервал (Δ 1, Δ ) интервалом поверења за параметар Δ. Број γ је ниво поузданости оцене параметра. Прво се задаје поузданост. Обычно обично је то 0.95, 0.99 или Тада је вероватноћа да параметар буде у интервалу (Δ 1, Δ ) довољно висока. Број (Δ 1 + Δ ) / средина интервала поверења биће вредност параметра Δ са тачношћу (Δ Δ 1 ) /, што представља половину дужине интервала поверења. Границе Δ 1 и Δ се одређују на основу података из узорка данных и они су функције случајне вредности 1,,..., n, а самим тим и случајне променљиве. Отуда интервал поверења (Δ 1, Δ ) је такође случајан. Он може покрити параметар Δ или не. У том смислу је потребно поимање случајног догађаја који се састоји од тога да интервал поверења покрије број Δ.. Интервал поверења за математичко очекивање нормалне расподеле ако је позната дисперзија Нека је дата случајна променљива Х (можемо сматрати да је дат основни скуп) која има нормалан распоред код кога је позната дисперзија DХ= σ (σ > 0). Из основног скупа (на скупу објеката на коме је дефинисана случајна променљива) узимамо узорак обима n. Изорак 1,,..., n посматрамо као скуп n независних случајних величина, са истим распореддом као и Х. Тада важе следеће једнакости: M 1 = M =... = M n = MХ D 1 = D =... = D n = DХ; M = MХ; D= DХ/n; Случајна променљива има нормалну расподелу. Означимо непознату величину MХ са a и изаберимо за задату поузданост γ број d > 0 тако да важи услов: P( a < d) = γ (1) Како је случајна променљива са нормалним распоредом са математичким очекивањем M = MХ= a и дисперзијом D = DХ /n = σ /n, добијамо: P( a < d) =P(a d < < a + d) = = a + d a a d a Φ = Φ d n Φ σ σ σ n n Остаје да се изабере d тако да важи d n Φ = γ или d n γ Φ =. σ σ За сваки γ [0;1] можемо у таблици одредити такав број t, да важи Φ( t )= γ /. Понекад се тај број назива кватил. d n σt Сада из једнакости = t, одређујемо вредност d: d =. σ n Завршни резултат је представљање формуле (1) у облику: σt σt P < a < + = γ. n n Смисао последње формуле је следећи: са поузданошћу интервал поверења 1

2 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић σt σt ; + покрива непознати параметар a = MХ основног скупа. Можемо рећи: тачкаста n n оцена одређује вредност параметра MХ са тачношћу d=σ t / n и поузданошћу γ. Задатак. Нека је неки основни скуп са нормалном расподелом и дисперзијом једнаком 6,5. Узет је узорак обима n = 7 и добијена је узорачка средина = 1. Одреди интервал поверења, који покрива непознато математичко очекивање основног скупа са поузданошћу γ =0,99. Решење. Прво у таблици Лапласове функције одредимо t из једнакости Φ (t) = γ / = 0,495. За добијену вредност t =,58 одредимо тачност оцене (или половину дужине интервала поверења) d: d =,5,58 / 7 1,4. Одатле добијамо тражени интервал поверења: (10,76; 13,4). Интервал поверења за математичко очекивање нормалне расподеле ако је непозната дисперзија Нека је Х случајна променљива која има нормалан распоред са непознатим математичким очекивањем MХ који означавамо са a. Изаберимо случајан узорак обима n. Одредимо узорачку средину скупа и исправљену узорачку дисперзију s по познатим формулама. Случајна променљива ( a) n t = s има Студентов распоред са n 1 степени слободе. Задатак се састоји у томе, да за дату поузданост γ и и за дати број степени слободе n 1 одредити број t γ, да би важила једнакост ( ) a n P < t = γ γ () s или еквивалента једнакост s s P tγ < a < + tγ = γ. (3) n n Ово значи да непознати параметар a припада неком интервалу, који је поуздан. Његове границе зависе од γ, а а такође и од параметара узорка и s. Да би одредили вредност t γ на основу γ, једнакост () запишимо у виду: ( a) n P t = γ γ 1 s Сада из табеле случајне променљиве t, која има Студентову расподелу, за вероватноћу 1 γ и и број степени слободе n 1 одређујемо t γ. Формула (3) даје одговор на постављен Задатак. Задатак. На контролним испитивањима 0-ти електролампи средње време њиховог рада је 000 часова при средње квадратном одступању (израчунато као корен из исправљене узорачке дисперзије), једнаким 11 сати. Познато је да је дужина трајања рада лампи, са нормалним распоредом. Одреди са поузданошћу 0,95 интервал поверења за математичко очекивање случајне променљиве. Решење. Вредност 1 γ у нашем случају је 0,05. У таблици Студентове расподеле, за 19 степени слободе, налазимо: t γ =,093. Израчунајмо тачност оцене:,093 11/ интервал поверања: (1943,4; 056,6). 0 = 56,6. коначно добијамо Интервал поверења за дисперзију нормалног расподреда Нека случајна величина Х има нормалу расподелу за коју је дисперзија DХ непозната. Узимамо узорак обима n. Из узорка одређујемо исправљену узорачку дисперзију s. Случајна променљива χ = ( n ) s Dξ 1 има Пирсонову χ расподелу са n 1 степени слободе. За поузданост γ можемо одредити границе χ 1 и χ интервала, тако да је ( χ < χ < χ ) = γ Ð (*) 1 Одредимо χ 1 и χ из следећих услова: P(χ χ 1 ) = (1 γ )/ (**) P(χ χ ) = (1 γ )/ (***)

3 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Очигледно је да при испуњењу два последња услова, важи и (*). У табели χ расподеле се даје решење једначине P(χ χ q ) = q. Из такве таблице за задато q и за n 1 степени слободе је могуће одредити χ q. На исти начин налазимо χ у формули (***). За одређивање χ 1 преформулишимо (**): P(χ χ 1 ) = 1 (1 γ )/ = (1 + γ )/ Добијена једнакост омогућује да се одреди из таблице вредност χ 1. Када су одређени χ 1 и χ, представимо једнакост (*) у облику ( ) n 1 s P χ < < χ = γ 1. DX Последња једнакост се може записати у облику интервала поузданости за DХ: ( ) ( ) n 1 s n 1 s P < DX < = γ. χ χ1 Отсюда легко получить формулу, по которой находится доверительный интервал для стандартного отклонения: ( ) ( ) n 1 s n 1 s P = γ < Dξ < (****) χ χ1 Задатак. Сматра се да је бука у кабини једног типа хеликоптера у одређеном ређиму рада мотора случајна променљива са нормалним распоредому. На случајан начин је изабрано 0 хеликоптера. Исправљена узорачка дисперзија је,5. Одреди интервал поверења, који покрива стандардно одступање величине шума у кабини хеликоптера датог типа са поузданошћу 98%. Решење. Број степени слободе је 19, а за вероватноћу (1 0,98)/ = 0,01 налазимо у Табели χ расподеле вредност χ = 36,. На исти начин за вероватноћу (1 + 0,98)/ = 0,99 добијамо χ 1 = 7,63. Користећи формулу (****), добијамо интервал поверења: (3,44; 7,49). 3

4 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Линеарна регресија Циљ регресионе анализе је оцена функционалне зависности (Y) од фактора ( 1,,, n ), које се изражава функцијом: Y = f( 1,,, n ). Користе се следећи типови зависности: - линеарна ˆ = a + a ; Y хиперболичка Yˆ 1 = a0 + a1 ; - експоненцијална Yˆ = a0 + a1 ; - параболичка Y ˆ = a0 + a1 + a ; - степена ˆ a Y = a0 + a1. Линеарна регресија: ˆ = a + a Y 0 1 За одређивање параметара a 0 и а 1 користи се метода најмањих квадрата. Вредности параметара a 0 и а 1 налазимо као систем нормалних једначина: na0 + a1 = Y, где је n обим узорка. a0 + a1 = Y У једначини регресије слободни члан регресије коефицијент a 0 показује утицај на на резултат који не зависи од промене фактора; параметар а 1 коефицијент регресије показује, колико се мења у средњем вредност при повећању факт за јединичну вредност. Општи облик линеарне регресије: yˆ = a + b Оцене непознатих коефицијената: Стандардна грешка регресије: ( y yˆ ) s = e n Коефицијент корелације: r = y n y n y n y b = s y n y, a = y b n e = y a y b n y Пример. На основу следећих података, сматрајући да је зависност и Y линеарна, одреди вредности коефицијената a 0 и а 1 : х Y Решење. За одређивање a 0 и а 1 потребно је израчунати следеће вредности: х, Y, Y, х. Препоручљиво је вршити рачунања у Ecel и записати их у облику табеле: х Y х Y Yˆ , , , , , , ,03 Свега ,36 Систем нормалних једначина је: 7a0 + 77a1 = a а1 =

5 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић графички: Решавајући систем методом Гауса, добијамо: a 0 =0,876, а 1 =1,84. Коначно, Како је а 1 >0, веза између аргумената је директна. Повећањем х за јединицу, Yˆ Y=0,876+1,84 =0,876+1,84х. Yˆ - се повећа за 1,84. Линеарни модел је погодно представити и Једнофакторски параболички модел другог степена - параболичка регресија се примењује, ако при факторском повећању аритметички резултати се увећавају значајно брже. У том случају једначина регресије има облик: Y ˆ = a0 + a1 + a ; У датом случају Задатак се своди на одређивање непознатих параметара: а 0, а 1,. Вредности параметара a 0, а 1 и а налазимо као решење система нормалних једначина: na0 + a1 + a = Y 3 a0 + a1 + a = Y, 3 4 a + + = 0 a1 a Y Пример. На основу датих података, сматрајући зависнос и Y параболичком, одредити вредност коефицијената a 0, а 1 и а : х Y Решење. За одређивање параметара a 0, а 1 и а потребно је израчунати следеће вредности: х, Y, Y, х, х 3, 4, х Y. Препоручљиво је вршити рачунања у Ecel и записати их у облику табеле: х Y Y х х Y х 3 4 Yˆ Δ= Y - Yˆ ,098-1, ,488-0, ,903 1, ,344 0, ,809 0, ,815 0, ,51 0, ,13-1, ,36-0, ,5 0,5 Свега Систем нормалних једначина је: 10a0 + 86a а = a а а = а а а = Решавањем система методом Гауса, добијамо: a 0 =0,734, а 1 =1,35, а =0,016. Коначно једначина регресије је облика: Yˆ =0,734+1,35х+0,016х. Из табеле је видљиво да израчунате вредности из једначине регресије Y ˆ се незнатно разликују од емпиријских. 5

6 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић Оцена индиректне зависности између Y и, може се извести на основу једначине хиперболе: Yˆ 1 = a0 + a1 Вредности параметара a 0 и а 1 одређујемо из система нормалних једначина: 1 na0 + a1 = Y, 1 1 Y a0 + a1 = Пример. На основу података, сматрајући зависност и Y изражену индиректно хиперболом одредити вредности коефицијената a 0 и а 1 : х Y Решење. Препоручљиво је вршити рачунања величина a 0 и а 1 у Ecel и записати их у облику табеле: х Y 1/х Y/х 1/х Yˆ Δ ,73 4, ,33 3,67 0,11 9,6 1, ,5,75 0,06 9,0 1, ,67 1,5 0,08 9,13-0, ,14 1,14 0,0 9,1-1, ,11 0,78 0,01 9,10 -, ,10 0,5 0,01 9,09-4,09 Свега 40 65,6 4,34 1,4 64,63 Систем нормалних једначина: 7a0 +,6a1 = 65,6a0 + 1,4а1 = 4,34 Решавањем датог система једначина методом Гауса, добијамо вредности: a 0 =9,0, а 1 =0,71. Коначно, једначина регресије је облика: =9,0+0,71/х. Yˆ Напомена: Студенти раде из ове области ону варијанту задатака чији се број добија када број индекса поделе са 0. Ако је број индекса дељив са 0, онда студент ради варијанту са редним бројем 0. Много среће у раду! 6

7 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић За дати узорак 1) уредити статистичку серију података; ) нацртати хистограм; 3) израчунати узорачку средину; 4) израчунати узорачку дисперзију. Задатак. Користећи метода најмањих квадрата, одреди параметра зависности и y = f(х)=f(a + b): а) под претпоставком да је зависност линеарна; б) под претпоставком да је зависност нелинеарна, изабрати највероватнији облик. У одговору указати на: 1) коефицијенте a и b за линеарну зависност; ) форму нелинеарне зависности; 3) коефицијенте a и b за нелинеарну зависност; 4) величину средњеквадратног одступања за линеарни и нелинеарни случај. На основу датог узорка, који има нормалну расподелу, израчуна: 1) узорачку средину; ) исправљено узорачко одступање; 3) интервал поверења за математичко очекивање за дати праг значајности γ; 4) интервал поверења за средњеквадратно одступање за исти праг значаности γ. На основу узорка, који има нормалну расподелу са средњеквадратним одступањем s, израчуна 1) узорачку средину; ) интервал поверења за математичко очекивање за ниво значајности γ. На основу узорка дводимензионе случајне променљиве одредити: 1) узорачки коефицијент корелације; ) узорачку једначину линеарне регресије Y облика Y = ax + b. 7

8 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 9, γ = ( 41., 116.5) (48.1, 14.6) ( 53., 153.9) ( 39.1, 99.0) ( 50., 191.6) ( 39.0, 94.9) ( 39.4, 100.) ( 50., 178.6) ( 48.3, 118.7) ( 39.6, 117.0) ( 41.3, 81.7) ( 35., 88.0) ( 47.9, 159.4) ( 34.6, 14.4) ( 33., 103.4) (35.7, 94.9) ( 36.8, 90.8) ( 50.8, 180.5) ( 44.5, 15.0) ( 46.3, 167.6) ( 34.8, 84.6) ( 39., 14.5) ( 36.8, 131.7) ( 46.0, 99.8) ( 40.4, 144.8) ( 41.5, 10.6) ( 44.5, 109.7) ( 38.9, 93.5) ( 49.8, 136.8) ( 45.6, 107.6) ( 33.0, 10.9) (47.6, 10.9) (3.5, 116.7) ( 4.0, 134.0) ( 54.1, 157.9) ( 35.4, 109.1) ( 37.9, 9.4) ( 38.6, 10.7) ( 35.6, 96.1) ( 33.6, 73.) ( 7.7, 61.5) ( 47.1, 95.0) ( 9.9, 8.8) ( 50.1, 110.5) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 7, γ = ( 50.0, -9.8) ( 7.4, -49.5) ( 47.7,-105.8) ( 35.1, -67.0) ( 30.5, -55.7) ( 39.5, -67.3) ( 54.8, -89.1) ( 57.3,-134.) (43.0,-109.1) ( 43.7, -68.7) ( 34.6, -74.6) ( 47.,-105.6) ( 4.4,-106.) ( 57.6,-164.1) ( 38.8, -59.7) ( 37.3, -81.7) (35.5, -67.) ( 41.9,-119.3) ( 3.0, -64.) ( 45.3, -96.5) ( 51.5,-148.9) ( 50.9,-118.5) (58.6,-151.8) ( 33.6, -65.7) ( 31., -83.0) ( 35.3, -68.9) ( 49.8, -87.0) ( 38.5, -58.9) ( 3.9, -71.8) ( 54.4,-103.4) ( 39.3, -58.7) ( 46.0,-107.7) ( 5.0, -43.4) ( 31.6, -70.0) ( 9.0, -76.4) ( 7.4, -56.9) ( 46.4,-111.0) ( 35.0, -71.5) ( 39.5,-104.4) ( 7.1, -47.6) 8

9 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 6, γ = ( 6.1, -89.) (17.3, -40.6) ( 36.8, -81.4) ( 31.3, -50.0) ( 33.7, -56.3) ( 36.0, -49.6) ( 48.5, -65.) ( 16.3, -.) (.3, -47.) ( 3., -70.4) ( 48.0, -87.9) ( 7.0, -45.5) ( 36.1, -49.7) ( 35.6, -65.8) ( 39.7, -84.) ( 3.9, -53.5) ( 49., -83.7) (.4, -7.8) ( 3.4, -51.7) (35.7, -83.6) ( 46.0,-101.) ( 5.4,-109.1) ( 43.9,-106.1) ( 44.5, -68.3) ( 8.0, -47.8) ( 5.3, -7.5) ( 7.7, -63.7) ( 30.8, -41.7) ( 38.5, -75.4) ( 44., -55.9) ( 1.5, -49.9) ( 3.3, -71.8) ( 81.7,-110.) ( 31.1, -5.8) ( 48.0, -63.8) ( 34.1, -8.) ( 41.6, -58.1) ( 41.1, -73.4) ( 34.5, -65.4) ( 5.3, -78.1) ( 51.5,-11.0) ( 7.5, -58.8) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 6, γ = ( 40.,-135.8) (48.5,-145.) (56.4,-18.6) (53.3,-119.6) (44.1,-134.1) ( 46.4,-19.0) ( 4.9,-19.7) (47.1,-13.1) (57.5,-153.4) (50.5,-153.6) ( 40.4, -77.5) ( 43.,-14.7) ( 59.6,-148.4) (54.8,-159.3) (45., -88.) (39.4,-109.7) ( 37.9,-13.5) ( 45.4,-165.9) ( 41.5, -85.9) ( 34.3,-109.3) (47.6,-19.4) (47.6,-167.8) ( 57.1,-0.7) ( 35.0, -66.6) ( 35.6, -69.1) (53.5,-147.7) (47.7,-171.0) (41.3,-13.0) ( 53.4,-134.8) ( 47.0,-13.3) (39.7, -74.7) ( 36.7,-10.6) ( 48.6, -91.7) ( 43.6,-10.1) ( 38.8,-135.7) ( 39.8, -90.6) ( 43.,-156.7) ( 39.5, -80.0) ( 4.0,-105.3) ( 51.7,-177.1) 9

10 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 5, γ = (5.0, 101.1) ( 46.4, 13.7) ( 44.8, 131.) ( 40.7, 143.4) (17.5, 59.9) ( 7.8, 96.8) ( 35.0, 71.) ( 37.1, 99.0) (47.1, 135.5) ( 3., 63.7) ( 38.8, 85.4) ( 9., 105.4) (39.8, 131.1) ( 34.9, 115.1) ( 59.1, 149.8) ( 30.9, 6.9) (38.3, 150.5) ( 38.8, 151.8) ( 58.1, 05.8) (50.9, 110.8) ( 65.7, 53.4) ( 35.3, 111.3) ( 49.8, 16.4) ( 3.3, 83.1) ( 31.6, 16.7) ( 37.9, 91.8) ( 6.1, 67.9) ( 37.3, 108.7) (31.5, 96.9) ( 66.0, 134.9) ( 41.4, 164.0) ( 46.9, 10.0) ( 45., 93.4) ( 50.3, 155.0) ( 6.1, 7.9) ( 46.8, 96.8) ( 41.5, 103.5) ( 8.9, 110.6) ( 0.5, 51.4) ( 35.9, 87.9) ( 8.8, 10.4) ( 45.0, 118.9) ( 47.3, 176.6) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 8, γ = ( 8.4, 45.3) ( 19.4, 6.3) ( 36., 58.9) ( 9., 59.6) ( 9.8, 64.8) ( 31.0, 47.6) ( 41.0, 8.3) ( 1.9, 6.8) ( 3., 64.8) ( 39.0, 81.) ( 4.6, 35.1) (.7, 3.7) ( 6.0, 41.8) ( 39.1, 53.4) ( 40.4, 64.5) ( 38.6, 75.) ( 33.7, 46.6) (41.6, 64.1) ( 33.6, 79.6) ( 17.8, 8.6) ( 35., 64.3) ( 39.1, 7.8) ( 39.0, 59.9) ( 30.9, 58.7) ( 1.4, 4.5) ( 48.1, 98.5) ( 9.4, 56.8) (.1, 35.6) ( 8.1, 61.0) ( 38.3, 78.0) ( 9.7, 55.1) ( 6., 110.4) ( 39.6, 73.1) ( 7.1, 58.3) ( 40.0, 73.3) ( 30., 47.) ( 17.4,.6) ( 36., 49.7) ( 8.1, 38.3) ( 30., 53.5) ( 19.5, 43.7) ( 31.1, 73.7) 10

11 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 6, γ = ( 43.0,-1.1) (61.7,-03.7) (36.9,-11.6) (6.5,-134.8) ( 40.9,-117.7) ( 38., -78.0) (47.5,-138.) (6.8,-137.8) ( 4.1, -81.5) ( 67.,-143.9) ( 4.7, -85.) ( 48.,-110.3) (35.1, -91.5) ( 47.3,-165.1) ( 38.0,-13.0) ( 37.1, -95.) ( 39.3, -96.9) ( 54.4,-148.5) (3.8,-108.4) (51.3,-118.6) (44.8,-110.5) (5.4,-15.5) ( 76.,-4.1) ( 57.0,-180.0) (44., -91.3) (46.8,-18.0) (61.6,-163.5) ( 5.8,-114.0) ( 63.9,-195.8) ( 43.7,-114.5) (67.4,-4.4) (44.0,-103.8) (54.1,-105.8) ( 39.4,-135.4) ( 5.6,-155.6) ( 51.5, -95.1) (54.6,-153.7) (55.8,-145.3) (5.5,-173.9) ( 74.4,-195.9) ( 34.5, -97.5) ( 57.,-179.3) ( 46.1,-145.1) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 7, γ = (38.4,-115.7) (5.6,-113.5) ( 38.8,-16.5) ( 1.1, -34.6) ( 44.9,-164.8) ( 1.4, -51.1) ( 6.0, -85.3) ( 4.9, -84.7) ( 34.7, -91.3) ( 35.3,-14.1) ( 17.5, -36.6) ( 5.0, -7.3) ( 15.4, -47.6) ( 31.6, -68.4) ( 35.3, -71.9) ( 19.6, -63.7) ( 41.5,-110.4) ( 47.0,-108.3) (36.,-18.4) (5.5, -9.9) ( 39.9,-136.0) ( 33.7, -91.1) ( 34.8,-114.5) ( 9.8,-100.4) ( 7.9, -65.7) ( 36.5, -71.4) ( 19.3, -37.8) ( 13.6, -38.6) ( 3.,-117.6) (.6, -8.4) ( 33.4, -79.5) ( 16.0, -39.0) ( 3.6, -63.8) ( 35.8, -94.1) ( 33., -80.0) ( 36.4,-101.8) ( 34.3,-117.3) ( 44.7,-170.) ( 51.0,-143.3) ( -0.7, 7.9) ( 19.9, -41.) ( 4.8, -79.7) ( 9.0, -75.3) ( 43.8,-166.4) 11

12 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 5, γ = (30.5, -68.6) ( 37.7,-103.) ( 39.6,-136.6) ( 36.7,-10.7) ( 38.6, -9.5) ( 8., -87.6) ( 37.4, -95.6) ( 8.3, -83.1) ( 40.0,-133.4) ( 31.9, -58.6) ( 7.3, -6.8) ( 5.7, -81.) ( 30.8, -65.7) ( 38.3, -70.1) ( 34.8,-113.6) ( 6.3, -86.7) ( 35.7, -89.5) ( 40.,-18.0) ( 9.6, -9.4) ( 30.9, -94.7) ( 39.7,-13.5) ( 38.8, -87.3) ( 30.1, -61.1) ( 35.4, -89.0) (38., -75.5) ( 44.4,-116.1) ( 34., -99.5) ( 41.3,-14.5) ( 36.4,-14.5) ( 30., -66.1) ( 35.9, -93.3) ( 34.1, -96.5) ( 30.0,-101.6) ( 9.3, -8.6) ( 3.,-111.9) ( 38.7, -77.9) (35.5,-109.5) ( 40.5,-130.4) ( 33.9, -96.1) ( 33.5, -58.8) ( 36.7, -96.8) ( 38.6,-130.) ( 37.0,-109.1) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 7, γ = ( 43.7, 91.4) ( 38.0, 80.3) ( 1.7, 57.5) ( 46.0, 144.) ( 63.3, 13.6) ( 6.9, 83.) ( 17.6, 48.5) ( 40.7, 13.5) (., 47.5) ( 1.9, 4.) ( 1.6, 56.3) ( 40.4, 11.7) ( 31.9, 63.7) ( 13.4, 3.5) ( 0.8, 63.) ( 5.5, 67.5) ( 9.5, 96.6) ( 1.7, 68.0) ( 59.6, 130.9) ( 46.9, 113.4) ( 37.0, 80.3) ( 36.5, 83.4) ( 41.6, 81.) ( 18.9, 55.7) ( 45., 11.0) ( 49., 130.9) ( 7.6, 1.4) ( 6.1, 7.5) ( 10.3, 0.3) ( 45.0, 93.1) ( 10.5, 3.7) ( 6., 163.8) ( 44.7, 119.3) ( 47.3, 84.5) ( 9.9,.4) ( 31.9, 97.8) ( 19.9, 55.7) ( 37., 101.4) ( 38.3, 116.1) ( 3.1, 53.0) ( 19.3, 56.6) ( 6.8, 50.) ( 37.3, 74.7) 1

13 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 8, γ = ( 67.0,-151.5) ( 33.1, -71.3) ( 30.1, -56.8) ( 8.6, -96.0) ( 9.9, -80.4) ( 45.7,-17.) ( 6.1, -79.5) ( 15.1, -30.7) ( 41.9, -99.4) ( 6., -1.8) ( 11.7, -6.8) ( 3.6, -47.) (46.0,-147.5) ( 47.1,-107.7) ( 46., -93.8) ( 8.4,-105.4) ( 17.4, -40.8) ( 7.3, -60.) ( 41., -96.) ( 31.8, -91.0) ( 59.1,-179.8) ( 8.0, -84.3) ( 18.8, -4.0) ( 38.9,-118.0) ( 38., -85.0) ( 3.1, -8.4) ( 35.9,-115.6) ( 7.0, -68.4) ( 37.3, -88.0) ( 36.6,-117.7) (3.4,-109.3) ( 31.9, -91.) ( 7.1, -67.0) ( 37.9, -99.8) ( 43.6,-16.8) ( 37.0,-11.) ( 9.4, -91.3) ( 35.,-108.1) ( 35.3,-18.) ( 46.1,-130.1) ( 68.8,-58.0) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 5, γ = (36.1, -95.9) (49.8,-14.4) ( 61.,-118.9) ( 11.1, -3.9) ( 56.4,-153.6) ( 48.4,-136.) ( 66.1,-160.1) ( 5.0, -38.8) ( 38.3,-103.1) ( 3.6, -83.5) ( 45.6, -8.3) ( 34.0, -63.9) ( 4.1,-111.5) ( 31.4, -74.4) ( 9.0, -55.0) ( 16.9, -31.9) ( 43.1, -63.4) ( 40.0, -59.1) ( 40.4, -98.1) ( 34., -58.4) ( 7.4, -54.) ( 34.6, -96.1) ( 31.9, -83.1) ( 1.6, -53.7) ( 65.4,-184.8) ( 31.7, -85.8) ( 4.6, -49.) ( 34.9, -83.) ( 9.0, -5.3) ( 35., -6.3) ( 3.8, -9.4) ( 43.7, -95.7) ( 4.7, -73.9) ( 51.3,-133.4) ( 34.0, -8.9) ( 31.3, -56.6) (6., -45.) (.0, -55.4) ( 51.0,-16.4) ( 19.0, -45.8) ( 68.4,-136.3) ( 46.6,-108.1) 13

14 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 6, γ = (56.1,-179.9) (44.9,-16.9) (54.5,-108.3) ( 45.6, -98.) ( 59.,-171.) ( 38.0,-101.3) (60.9,-176.6) (37.3,-133.8) (49.4,-101.7) (43.7,-146.4) ( 46.0,-101.1) ( 41.0,-148.9) (56.9,-133.) (57.3,-131.) (41.9,-103.9) (41.6,-100.4) ( 56.,-107.6) ( 47.1,-17.7) (39.7,-13.1) (46.5,-16.) (54.1,-177.6) (5.1,-13.6) ( 67.6,-187.7) ( 60.3,-14.7) ( 53.0,-133.0) (4.4,-14.0) (51.7,-11.3) (5.4,-101.5) (51.8,-114.7) ( 48.1,-116.7) (38.1, -98.8) (31.8, -68.0) ( 46.5,-164.7) ( 44.,-149.6) ( 56.4,-105.6) ( 51.3,-115.7) ( 6.3,-17.3) ( 9.8, -74.1) ( 55.1,-104.1) ( 33.7, -68.0) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 7, γ = ( 49.5,-16.1) ( 44.6,-118.7) ( 31.6, -61.8) ( 33.8, -91.7) ( 30., -73.0) ( 35.3, -76.3) ( 53.1, -8.9) ( 33.8, -65.1) ( 16., -34.6) ( 35.3, -75.) ( 38.4, -78.6) ( 49.1, -73.5) ( 4.9,-104.6) ( 9.7, -57.8) ( 35.4, -90.3) (6.3, -63.4) ( 36.9, -79.8) ( 49.3, -71.3) ( 5.3, -56.4) (3.5, -35.9) ( 45., -80.4) ( 35.6, -89.8) ( 54.6,-15.0) ( 37.1,-103.8) ( 5.0, -80.1) ( 36.4, -7.3) ( 3., -81.4) ( 46.5, -7.3) ( 57.6,-155.9) ( 3., -76.0) ( 36.9, -59.5) ( 44.6,-116.4) ( 31.5, -47.9) ( 39.4,-111.) ( 31.9, -46.) ( 8.9, -44.0) ( 34.0, -68.) ( 33.7, -73.3) ( 45.5, -83.3) ( 18.1, -47.1) ( 43.6,-111.7) ( 38.8, -8.0) 14

15 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 6, γ = ( 37.9, -77.6) ( 43.1, -94.9) ( 64.0,-14.) ( 16.0, -37.7) ( 3.6, -69.1) ( 0.8, -34.8) (64.0,-10.0) ( 48.,-139.5) (.3, -6.) ( 36.1, -63.1) ( 53.6,-116.5) ( 31.3, -9.6) ( 0.0, -44.) ( 34.8, -89.8) ( 6.7, -57.6) (.0, -39.1) ( 51.4, -90.0) ( 37.4, -99.3) ( 46.3, -77.6) ( 46.4, -81.5) ( 38., -99.7) ( 41.1, -73.7) ( 56.8,-178.0) ( 0.1, -39.4) ( 0.9, -34.5) ( 43.,-1.3) ( 4.6, -83.) ( 19.4, -37.7) ( 19.3, -53.4) ( 51.9,-167.5) ( 60.8,-110.7) ( 1.4, -63.3) ( 38.9, -9.7) ( 8.1, -60.5) ( 1.6, -61.3) (6.5,-188.1) ( 31., -69.6) ( 53.6,-163.9) ( 40.6, -97.6) ( 3.7,-101.4) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 7, γ = (45.5,-1.9) (34.7,-114.0) ( 34.9,-11.8) ( 41.6,-14.9) ( 38.3, -96.3) ( 38., -81.6) (37.7,-118.3) (37.4,-118.1) (41.3,-146.) (43.8,-139.6) ( 47.8,-13.7) ( 36.8,-103.3) (47.1,-115.0) (37.3, -96.9) ( 40.4,-13.7) ( 33.9, -64.3) ( 44.6,-10.3) ( 37.1,-14.6) (34.8, -96.1) ( 47.8,-19.0) ( 53.0,-178.6) ( 9.0, -89.) ( 50.1,-11.8) ( 36.6, -77.0) (36.7,-18.0) ( 39.1, -97.8) ( 33.1, -84.4) ( 37.7, -97.0) ( 48.,-119.4) ( 40.7,-116.) (38.6,-117.7) ( 38.9, -81.8) ( 4.8, -8.3) ( 43.4,-100.) ( 33.9, -96.5) ( 37.4,-10.9) ( 33.6, -66.) ( 39.4,-14.7) ( 31.5, -67.) ( 36.6,-11.7) 15

16 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 9, γ = ( 39.7, 99.) ( 31.4, 69.3) ( 36.7, 50.) ( 6.6, 5.3) ( 4.4, 59.1) ( 18.7, 35.7) ( 6.8, 53.3) ( 36.9, 80.4) ( 36.0, 7.5) ( 39.9, 8.7) ( 3.3, 50.4) ( 41.0, 60.9) ( 34.0, 51.8) ( 0.3, 31.9) ( 30., 71.1) ( 44.3, 85.9) ( 44.7, 98.0) ( 40.3, 56.8) ( 44.5, 114.9) ( 34.0, 45.1) ( 40.3, 65.0) ( 3.3, 50.8) ( 3., 57.4) ( 38.0, 78.9) ( 9.8, 47.0) ( 34.0, 64.8) ( 31.5, 71.9) ( 30.7, 45.1) ( 17.9, 3.6) ( 41.1, 8.7) ( 5.3, 65.5) ( 18.5, 43.6) ( 0.3, 50.4) ( 34.0, 53.6) ( 33.6, 85.9) ( 18.8, 6.5) ( 5.5, 51.8) ( 4., 84.) ( 38.0, 64.5) ( 8.9, 44.6) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 6, γ = ( 40.6, -93.3) ( 14.3, -30.0) ( 9.6, -60.) ( 16.7, -4.8) ( 15.5, -53.8) ( 8.7,-105.9) (50.,-187.4) ( 60.8,-166.7) ( 31.9, -80.8) ( 6.8, -75.0) ( 40.6,-153.3) ( 37.1, -74.) (45.5,-138.4) ( 30.4, -68.4) ( 34.4, -95.1) ( 5.7,-186.6) ( 55.8,-11.3) ( 8.3, -96.6) (30.5, -63.0) ( 65.7,-33.6) ( 36.5, -81.6) ( 43.7,-119.8) ( 3.1, -75.6) ( 44.4,-135.6) (35.9,-113.6) ( 3.7, -46.4) ( 8.1, -6.1) ( 47.5,-117.5) ( 5.0, -6.6) ( 47.4,-11.4) (5.4, -90.0) (38.0,-115.8) ( 51.4,-166.1) ( 8.3, -78.5) ( 47.6,-144.1) ( 54.4,-11.) ( 0.5, -68.7) (.4, -46.3) ( 7.1, -80.3) ( 45.9, -90.1) 16

17 Математика Интервали поверења и линеарна регресија предавач: др Мићо Милетић ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 6, γ = ( 9.7, 6.6) ( 48.1, 15.0) ( 4.9, 117.3) ( 47.5, 140.1) ( 40.3, 76.5) ( 35.1, 74.8) ( 17.7, 6.1) (51.0, 134.5) ( 44.7, 116.) ( 7.9, 59.8) (3.6, 44.6) ( 16.3, 34.0) ( 35.8, 99.) ( 38., 109.9) ( 55.3, 135.3) ( 30.4, 79.3) ( 1.9, 7.5) ( 39.0, 98.7) ( 30.8, 89.4) ( 38.6, 93.4) ( 74.6, 55.7) ( 5.0, 168.7) ( 18.3, 43.7) ( 44., 107.7) (46.9, 141.7) ( 6.4, 156.1) ( 43., 19.0) ( 46.4, 87.3) ( 4.3, 13.7) ( 5.0, 166.4) ( 1.7, 50.7) ( 50., 93.8) ( 51.4, 106.8) ( 45.0, 113.0) ( 19.0, 65.4) ( 41.1, 77.0) ( 51.9, 139.9) ( 8.7, 73.7) ( 4.6, 63.6) ( 30.6, 74.) ( 50.4, 158.3) ( 6.0, 03.7) ( 44.4, 149.4) ( 6.3, 79.6) ВАРИЈАНТА Задатак. X Y γ = s = 6, γ = ( 9.6, 60.8) ( 30.3, 64.8) ( 45.1, 11.0) ( 31.6, 65.1) ( 6.6, 71.4) ( 33.3, 67.0) ( 15.4, 3.7) ( 45.6, 75.8) ( 9.5, 51.0) ( 46.3, 108.1) ( 9.8, 73.) ( 17.7, 3.9) ( 31.4, 71.6) ( 31., 4.9) ( 6.8, 47.7) ( 33., 55.3) ( 9.8, 80.7) ( 30.8, 66.3) ( 35.5, 53.4) ( 3., 51.5) ( 16., 41.9) ( 5., 61.8) ( 9.5, 48.5) ( 39., 83.7) ( 3.4, 45.) ( 43.5, 6.) ( 3.8, 81.8) ( 35., 76.9) ( 1., 51.5) ( 36.8, 68.1) ( 45.9, 6.6) ( 34.7, 64.5) ( 43.5, 63.6) ( 31.6, 80.3) ( 6.7, 44.7) ( 4.3, 6.) ( 9.5, 5.7) ( 5.5, 13.5) ( 4.8, 38.3) ( 5.4, 63.8) ( 6.1, 56.8) ( 35.0, 58.) ( 0.8, 30.0) ( 31.1, 78.7) 17