1. Θετικές δυνάµεις: 3. Εκθετική: exp xή. e 4. Λογαριθµική: ln x ή. 5. Αλλαγή βάσης. ln x. lnx. x α> x α> 0 2. Αρνητικές δυνάµεις: Ιδιότητες: e e e +

Transcript

1 A. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(), = f(), = (), F(, ) = c}.θετικές δυνάµεις.αρνητικές δυνάµεις 3.Εκθετική 4.Λογριθµική 5.Αλλγή βάσης 6.Πολυωνυµικές 7.Ρητές 8.Περιοδικές συνρτήσεις-τριγωνοµετρικές 9.Τµηµτικά ορισµένες.μετσχηµτισµοί συνρτήσεων.σύνθεση.ασυνέχειες 3.Μονοτονί 4.Μηδενικά 5.Πλεγµένες 6.Αντίστροφη συνάρτηση 7.Πρµετρικές εξισώσεις 8.Ευθύγρµµο τµήµ 9.Ανισότητες ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.Κυρτή.Κωνικές τοµές.αντίστροφες Τριγωνοµετρικές 3.Μετσχηµτισµοί εξισώσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θετικές δυνάµεις:. Αρνητικές δυνάµεις: = = = < = < 3. Εκθετική: ep ή e 4. Λογριθµική: ln ή e log e ln e ln Ιδιότητες: β β e = / e, β γ β γ e e e + β γ βγ =, (e ) = e, e =, e = β ln(βγ) = lnβ+ ln γ, ln lnβ lnγ γ =, ln lnβ β =, γ ln(β ) = γlnβ, ln=, ln Το εκθετικό κι ο λογάριθµος είνι ντίστροφες ράξεις, µε την ρκάτω έννοι: β {= e β= ln}, { e ln =, lne = } /h Πρτήρηση. Ο νεέριος ριθµός e ορίζετι ως το όριο: e= lim + = lim = (+ h) =.7 c + + c h 5. Αλλγή βάσης Γενικότερ, η εκθετική κι η λογριθµική ορίζοντι ως ρος οιδήοτε βάση : β : εκθετική µε βάση, log : λογριθµική µε βάση, όου: {γ= β= log γ} Οι συνρτήσεις υτές µεττρέοντι σε νεέρι βάση e, ως εξής: ln ln ln ln. = e όδειξη: = e = (e ) = e ln log ln. log = όδειξη: ln = ln( ) = (log )(ln ) log = ln ln Ο λογάριθµος µε βάση e κλείτι κι φυσικός λογάριθµος (logarithm naturel, ln ). Σε ολλές εριτώσεις χρησιµοοιούντι οι βάσεις: (δυδικός), (δεκδικός) Πρτήρηση. Η συνάρτηση δύνµη µορεί είσης ν εκφρστεί µέσω της εκθετικής: ln ln = (e ) = e c

2 6. Πολυωνυµικές: n n P() = n + n,, βθµού: degp= n=,,,... Το γράφηµ ολυωνύµου βθµού(degree) n οτελείτι ό n µονότον τµήµτ, λλά µορεί ν έχει λιγότερ: n, n 4,.... ίνουµε τ γρφήµτ των ολυωνύµων βθµού n=,,3, 4, µε > + β + β+ γ 3 + β + γ+ δ β + γ + δ+ ε γρµµικές: n= ρβολικές: n= κυβικές: n= 3 n= 4 7. Ρητές: P() R() = = Q() β β... β n n n m m m, όου: n= degp, m= degq. Τ µηδενικά του ρονοµστή Q() οτελούν κτκόρυφες σύµτωτες.. Στο όριο ± όλες οι ρητές συνρτήσεις τείνουν συµτωτικά ως εξής: ) Αν degp< degq, τότε τείνει στο. β) Αν degp degq, τότε διιρώντς τ ολυώνυµ µορούµε ν τη φέρουµε στη µορφή: Y() Q() = Π() +, όου: Q() Π() : ολυώνυµο ηλίκο µε degπ= degp drgq= n m Y() : ολυώνυµο υόλοιο µε deg Y< degq Τώρ τείνει ρος το ολυώνυµο ηλίκο: R() Π(), (διότι Υ() / Q() όως στο ) Πράδειγµ = + = + + = + Στο κάθε σχήµ ριστάνουµε το ολυώνυµο ηλίκο µε δικεκοµµένη γρµµή. Πράδειγµ διίρεσης ολυωνύµων ( + / ) / + / / 4 P() = + / + = ( / + / 4) Q() = 3 / 4 3 / 4

3 8. Περιοδικές συνρτήσεις-τριγωνοµετρικές µε ερίοδο Στο διάστηµ: / είνι τ συνηθισµέν τριγωνοµετρικά µεγέθη, µε τις γωνίες εκφρσµένες σε κτίνι (radian) sin = ηµ cos = συν tan = εφ ηµίτονο (sine) συνηµίτονο (cosine) εφτοµένη (tangent) κτίνι µοίρες = Τµηµτικά ορισµένες βηµτική ολυγωνική σφηνοειδής ma{, } min{, } Η βηµτική οτελείτι ό οριζόντι τµήµτ, η ολυγωνική ό ευθύγρµµ, κι η σφηνοειδής ό ρβολικά. Π.χ. τµηµτικά ορισµένες είνι οι συνρτήσεις ma (min ) µις συλλογής συνρτήσεων ου σχηµτίζετι ίρνοντς σε κάθε την µεγλύτερη (µικρότερη) τιµή των συνρτήσεων της συλλογής. Κλούντι είσης άνω (κάτω ) εριβάλλουσ των συνρτήσεων. Πράδειγµ. Τ δύο τελευτί σχήµτ ράνω είνι οι εριβάλλουσες των εξής δύο συνρτήσεων στο θετικό διάστηµ : ν ( ) ν ( ) ma{, } =, min{, } = ν ( ) ν ( ).Μετσχηµτισµοί συνρτήσεων άθροισµ/διφορά: f() ± g(), σε κάθε ροσθέτουµε/φιρούµε τ δύο ύψη διστολή-συστολή: f() κτκόρυφ, f() οριζόντι ντνάκλση: f() ως ρος τον οριζόντιο άξον, f( ) ως ρος τον κτκόρυφο οριζόντι µεττόιση: f( ), όου το γράφηµ της f() µεττοίζετι οριζοντίως κτά, διότι η τιµή της νές συνάρτησης στο δίνετι ό την τιµή της ρχικής στο. Έτσι, η µεττόιση είνι ρος δεξιά ν, ρος ριστερά ν < άθροισµ, κτκόρυφη διστολή, οριζόντι συστολή, µεττόιση, µεττόιση + = ( ) +, sin.5 sin, sin sin, +, 3

4 . Σύνθεση {f(),g()} f g() = f(g()) Συνήθως εκφράζουµε την σύνθεση συνρτήσεων χρησιµοοιώντς τις ντίστοιχες µετβλητές: {Αν = f(z) κι z= g(), τότε = f(g()) } ή {Αν = (z) κι z= z(), τότε = () } ηλδή: ν το είνι συνάρτηση του z κι το z είνι συνάρτηση του, τότε το είνι είσης συνάρτηση του, κι ροκύτει ίρνοντς την σύνθεσή τους. Πράδειγµ. f() = κι g() = f(g()) = ( ). Η h() = e είνι σύνθεση της f() 3. Η 4. Αν = e είνι σύνθεση της = z κι z =, τότε = e µε την z = e µε την = ( ) z= g() =. Ασυνέχειες. Θεωρούµε τις ρκάτω δύο µορφές συνέχεις: Άειρη συνέχει στο ν έχει όριο f() ± ότν, ό την µι ή ό µφότερες τις λευρές. Βηµτική συνέχει στο, µε βήµ συνέχεις 4 = limf( ) limf( ) + άειρη συνέχει βηµτική συνέχει βηµτική συνέχει Πράδειγµ. Όως φίνετι στο τρίτο γράφηµ ράνω, η τµηµτικά ορισµένη συνάρτηση: ότν = = + ότν > έχει βηµτική συνέχει βήµτος στο σηµείο =. 3. Μονοτονί. Μι συνάρτηση κλείτι: Μονότονη, κι ειδικότερ: ύξουσ ν > συνεάγετι f( ) f( ) φθίνουσ ν > συνεάγετι f( ) f( ) Γνήσι µονότονη, κι ειδικότερ: γνήσι ύξουσ ν > συνεάγετι f( ) > f( ) γνήσι φθίνουσ ν > συνεάγετι f( ) < f( ) ύξουσ γνήσι ύξουσ Τ σηµεί στ οοί η µονοτονί λλάζει γνήσι κλούντι γνήσι τοικά κρόττ. Πράδειγµ. Έν ολυώνυµο βθµού n, έχει το ολύ n διστήµτ γνήσις µονοτονίς κι εοµένως το ολύ n γνήσι τοικά κρόττ. 4. Μηδενικά: f() = Θεώρηµ ενδιµέσου τιµής. Αν µι συνεχής συνάρτηση έχει γνήσι ντίθετο ρόσηµο σε δύο σηµεί τότε σε κάοιο γνήσι ενδιάµεσο σηµείο θ µηδενίζετι. Συµερίνουµε ειδικά ότι:. Μι γνήσι µονότονη συνάρτηση µορεί ν έχει το ολύ έν µηδενικό.. Τ µηδενικά µις συνεχούς συνάρτησης χωρίζουν το εδίο ορισµού της σε χωριστά υοδιστήµτ, όου σε κθέν ό υτά η συνάρτηση έχει µόνο έν γνήσιο ρόσηµο. Πράδειγµ. Η f() = = ( ) έχει τ µηδενικά: =, =. Έχει γνήσι θετικές τιµές γι < <, γνήσι ρνητικές γι < ή >.. Η f() = ln γι >, έχει µηδενικό στο =, µε γνήσι ρνητικές τιµές στο διάστηµ < < κι γνήσι θετικές στο διάστηµ >. (Γι την τιµή της ότν δες το εόµενο κεφάλιο) 3 3. Η f() = + + έχει τιµές: f() =, f() = 3. Εοµένως θ έχει τουλάχιστον έν γνήσι ενδιάµεσο µηδενικό: < < µε f() =. 4. Έν ολυώνυµο βθµού n έχει το ολύ n (διφορετικά) µηδενικά, λλά µορεί ν έχει κι λιγότερ.

5 Πράδειγµ. Η (τετργωνική) ρβολική συνάρτηση: f() = + β+ γ,, µε δικρίνουσ: = β 4γ, έχει:. ύο διφορετικά µηδενικά ν >, µε διφορετικό γνήσιο ρόσηµο εντός κι εκτός.. Μόνο έν µηδενικό ν =, µε το ίδιο γνήσιο ρόσηµο εκτέρωθεν. 3. Κνέν µηδενικό ν <, µε όλες τις τιµές γνήσι θετικές ν, γνήσι ρνητικές ν <. > = < ρβολές µε Πρτήρηση. Συνήθως θ χρησιµοοιούµε συµβτικά την ρκάτω ορολογί: θετικό σηµίνει µεγλύτερο ή ίσο µε το µηδέν: γνήσι θετικό σηµίνει θετικό µη µηδενικό: Αντίστοιχ γι {(γνήσι) ρνητικό},{ (γνήσι) µεγλύτερο},{ (γνήσι) µικρότερο} 5. Πλεγµένες κλούντι οι συνρτήσεις (συνήθως ολυσήµντες) ου ορίζοντι µέσω εξισώσεων: F(, ) = c {= ()} ή {= ()} Πράδειγµ. =±, δύο. + = =±, δύο =±, δύο =±, δύο 4. + = (,), σηµείο. = 3. = =±, δύο = +, µι 5. + =, κενό β Πράδειγµ. { = c,, } µε c, ορίζει λεγµέν συνάρτηση δύνµη, ρνητική ν τ {,β} έχουν το ίδιο ρόσηµο, θετική ν έχουν ντίθετο ρόσηµο. Π.χ. β /β /β / 3/4 3/4 / / 4/3 4/3 /3 { = c = c }, { = = = ( ) = } Πρτήρηση. Στην εξίσωση οι µετβλητές δεν δικρίνοντι κτρχήν σε εξρτηµένη κι νεξάρτητη. 6.Αντίστροφη συνάρτηση. Κάθε συνάρτηση γράφετι κι ως εξίσωση: = f() F(,) = f() = Λύνοντς ως ρος βρίσκουµε συνάρτηση (γενικά ολυσήµντη) την οοί κλούµε ντίστροφη της f : = f () Μορούµε ν την κάνουµε µονοσήµντη εριορίζοντς το εδίο ορισµού της f ώστε ν είνι µονότονη: Aν η f είνι γνήσι µονότονη, τότε η f είνι µονοσήµντη κι γνήσι µονότονη είσης. Μι συνάρτηση = f() κι η ντίστροφή της = f () εκφράζουν την ίδι σχέση µετξύ των µετβλητών (,) κι εοµένως έχουν το ίδιο γράφηµ στο είεδο O. Αν όµως γι την ντίστροφη θέλουµε την νεξάρτητη µετβλητή στον οριζόντιο άξον, τότε το γράφηµ της = f () είνι το συµµετρικό της f ως ρος την διγώνιο του συστήµτος. Πρτήρηση. Αν µετονοµάσουµε κι τους άξονες ώστε η µετβλητή στον οριζόντιο άξον ν είνι η, βρίσκουµε το γράφηµ της ντίστροφης στη µορφή: = f () Πρτήρηση. Αν η ρχική συνάρτηση εκφράζετι στη γενική µορφή: = (), τότε κι η ντίστροφη εκφράζετι στη γενική µορφή: = (). 5

6 Πράδειγµ. Θ βρούµε τις ρκάτω ντίστροφες:. f() = e = e = ln = f () ln. = µε = f() = e f () = ln = = = = 7.Πρµετρικές εξισώσεις: {= (t), = (t)} µε ράµετρο t Κθώς το t µετβάλλετι, το σηµείο (,) κινείτι στο είεδο σχηµτίζοντς µι κµύλη, της οοίς τ σηµεί κθορίζοντι ό τις ντίστοιχες τιµές της ρµέτρου t. Κλείτι ρµετρική κµύλη, ενώ οι δύο εξισώσεις ου την ορίζουν κλούντι ρµετρικές εξισώσεις. Συνήθως µορούµε ν βρούµε την εξίσωσή της κµύλης λείφοντς το t,.χ. µε ντικτάστση ό την µί εξίσωση στην άλλη: {= (t), = (t)} F(, ) = c Θετική φορά κλείτι η κτεύθυνση ύξησης των τιµών της ρµέτρου στ σηµεί της κµύλης. Το γράφηµ της κµύλης µζί µε τη ένδειξη της θετικής φοράς κλείτι τροχιά. Στο γράφηµ της τροχιάς ίρνουµε υόψη κι το διάστηµ ορισµού της ρµέτρου. Η ίδι τροχιά µορεί ν εριγρφεί ρµετρικά µε ολλές διφορετικές ρµετρικές εξισώσεις κάνοντς λλγή ρµέτρου. Πράδειγµ. {= t, = t, t } {= t, = t+ } {= cos t, = sin t, t / } = / 4, = 5 + =,, Πρτήρηση. ιιστώσµε ότι έχουµε τρεις διφορετικού τύου ρστάσεις γι κµύλες στο είεδο: εξίσωση: F(,) = c, συνάρτηση: = () ή = (), ρµετρικές εξισώσεις: { = (t),= (t)} 8. Ευθύγρµµο τµήµ. ύο σηµεί {(, ), (, )}, ορίζουν µι ευθεί, η οοί µορεί ν εκφρστεί µε διάφορους τρόους, ως εξής:. Ως γρµµική εξίσωση: = ή =. Ως γρµµική συνάρτηση, γράφοντς την ρώτη εξίσωση στη µορφή: = + m( ), όου m= είνι η κλίση της ευθείς. Γεωµετρικά, η κλίση ισούτι µε την τριγωνοµετρική εφτοµένη της γωνίς θ ου σχηµτίζει η ευθεί µε τον θετικό ηµιάξον, όως φίνετι στο γράφηµ. 3. Ως ρµετρική ευθεί, ριστάνοντς στην δεύτερη εξίσωση τον κοινό λόγο µε t : = + ( )t = ( t) + t = = t = + ( )t = ( t) + t Η ράµετρος t µετράει την ροσηµσµένη όστση του (,) ό το (, ), ως οσοστό της συνολικής όστσης µετξύ των ρχικών σηµείων. Έτσι όσο µικρότερο είνι το t τόσο ιο κοντά βρισκόµστε στο σηµείο (, ) Τ ρχικά σηµεί ντιστοιχούν στις τιµές: t = {,}. Ενδιάµεσ κλούντι τ σηµεί στο ευθύγρµµο τµήµ ου συνδέει τ δύο ρχικά. Προκύτουν γι τιµές της ρµέτρου: t Αντικθιστώντς κι s= t, βρίσκουµε γι τ ενδιάµεσ σηµεί την ενλλκτική ράστση: = s + t, = s + t µε s, t, s+ t= { } t= θ t= t 6

7 Οι συντελεστές {s,t} είνι θετικοί µε άθροισµ κι οτελούν τ βάρη µε τ οοί συνδυάζοντι τ ρχικά σηµεί γι ν ροκύψουν τ ενδιάµεσ. Όσο µεγλύτερο είνι έν βάρος τόσο λησιέστερ βρισκόµστε στο ντίστοιχο κρίο σηµείο. Τ ενδιάµεσ σηµεί κλούντι κι κυρτοί συνδυσµοί των δύο ρχικών σηµείων. Πράδειγµ. Στο είεδο των (, ) θεωρούµε τ σηµεί A : ( =, = ), A : (= 3, = 8). Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς ου διέρχετι ό τ δύο σηµεί. Ν βρεθούν οι συντετγµένες του σηµείου στο /3 της όστσης ό το A στο A 8 Η εξίσωση της ευθείς είνι: = = = 3( ) 3 = 3 Το σηµείο στο /3 της όστσης ό το A στο A, θ είνι κυρτός συνδυσµός µε συντελεστές: (s= / 3, t= / 3) Εοµένως θ έχει τις συντετγµένες: 5 /3= s+ t= + 3=, /3 = s + t= + 8= = Ελέγχουµε ότι ικνοοιούν κι την εξίσωση Πρτήρηση. Γι τ βάρη χρησιµοοιούµε κι τον ενλλκτικό συµβολισµό: (s,t) (t,t ) οότε ο κυρτός συνδυσµός δύο σηµείων θ γράφετι: { = t + t, = t + t} µε t, t, t + t= Έτσι (t,t ) είνι τ βάρη στ σηµεί {P,P } ντίστοιχ. Όσο µεγλύτερο έν βάρος τόσο λησιέστερ βρισκόµστε στο ντίστοιχο σηµείο. Συτή την µορφή η έννοι γενικεύετι άµεσ στον κυρτό συνδυσµό ερισσότερων σηµείων. 9. Ανισότητες. Κάθε εξίσωση, εκτός ό µι κµύλη κθορίζει γεωµετρικά κι δύο εριοχές εκτέρωθεν της κµύλης, όου οι συντετγµένες των σηµείων τους ικνοοιούν ντίστοιχες νισότητες. Π.χ. σε ντιστοιχί µε τις τρεις µορφές γι τις εξισώσεις κµύλων, βρίσκουµε τις εριοχές: /4 3/4 + ( ) + 4. f(,) = c {f(,) c, f(,) c} 4/3 /3 ( ) / 4. = f() { f(), f()} {άνω, κάτω} = f() { f(), f()} {δεξιά, ριστερά} 4 Περιοχές ου ορίζοντι µε γρµµικές νισότητες, όως στο ρώτο γράφηµ ράνω κλούντι ηµιείεδ. Είσης, µι εριοχή κλείτι: κλειστή ν εριέχει την κµύλη του συνόρου όως ράνω, οότε γράφουµε: {f(,) c, f(,) c} νοικτή ν δεν την εριέχει όοτε εκφράζετι µε γνήσι νισότητ: {f(,) > c, f(,) < c} 7

8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Κυρτή κλείτι µι εριοχή ν εριέχει όλους τους κυρτούς συνδυσµούς των σηµείων της, δηλδή ολόκληρο το ευθύγρµµο τµήµ ου τ ενώνει. Π.χ. κυρτές εριοχές είνι τ ηµιείεδ + β c ή + β c κυρτή µη κυρτή κυρτή κθώς κι τ κυρτά ολύγων ου ροκύτουν ως τοµές ηµιειέδων κι ορίζοντι µε ερισσότερες τέτοιες νισότητες, όως στο τελευτίο σχήµ ράνω. Γενικότερ, διιστώνουµε ότι: Η τοµή κυρτών εριοχών είνι είσης κυρτή εριοχή, κι εκφράζετι µε το σύνολο των νισοτήτων Σε ολλές εφρµογές, ν µι εριοχή δεν είνι κυρτή την κάνουµε κυρτή διευρύνοντάς την ώστε ν εριέχει όλους τους κυρτούς συνδυσµούς των σηµείων της. Η διδικσί υτή κλείτι κυρτοοίηση. Η µικρότερη τέτοι διεύρυνση κλείτι κυρτό κέλυφος. ιιστώνουµε ότι: Το κυρτό κέλυφος ενός συνόλου σηµείων είνι το σύνολο των κυρτών συνδυσµών όλων των σηµείων του. Π.χ.. Το κυρτό κέλυφος δύο σηµείων είνι το ευθύγρµµο τµήµ ου τ ενώνει.. Το κυρτό κέλυφος τριών σηµείων είνι η τριγωνική εριοχή ου τ έχει ως κορυφές. 3. Η εριοχή ου βρίσκετι στη θετική εριοχή εκτός του µονδιίου κύκλου δεν είνι κυρτή. Γι την κυρτοοίησή της ρκεί ν συµεριλάβουµε κι το τµήµ εντός του κύκλου ου ορίζετι ό την χορδή.. Κωνικές τοµές. Εφρµόζοντς την γνωστή διδικσί συµλήρωσης τετργώνων ου συγχωνεύει κάθε γρµµικό όρο µε τον ντίστοιχο τετργωνικό, διιστώνουµε ότι κάθε τετργωνική εξίσωση δύο µετβλητών χωρίς µεικτό όρο, της µορφής: + γ + δ+ ε= c, όου τ {,γ} δεν είνι µφότερ µηδενικά, εριγράφει µι ό τις ρκάτω κµύλες, µεττοισµένη ώστε το κέντρο της ν βρίσκετι σε κάοιο σηµείο (, ) : ξ ζ ξ ξ ζ ξ ζ ζ Έλλειψη: + = Υερβολή: = ± Πρβολή: = η,= ξ ξ ζ ξ ζ Κλούντι κωνικές τοµές. Ειδικότερ, η εξίσωση ριστάνει:. Έλλειψη (ή σηµείο ή κενό) ν τ {,γ} έχουν γνήσι το ίδιο ρόσηµο: γ>. Υερβολή (ή τεµνόµενες ευθείες) ν τ {, γ} έχουν γνήσι ντίθετο ρόσηµο: γ< 3. Πρβολή (ή ράλληλες ευθείες) ν το έν ό τ {, γ} µηδενίζετι: γ= Πράδειγµ. + + = c ( + + / 4 / 4) + = c (+ / ) + = c+ / 4, ριστάνει:. κύκλο µε κέντρο ( = /, = ) ν c> / 4, σηµείο ν c= / 4, κενό ν c< / = ( + + ) + 4 = (+ ) (+ ) + 4 = 3 + =, ριστάνει: 3 3 / 4 έλλειψη, µε κέντρο: (+ =, = ) ( =, = ) κι κτίνες: {ξ= 3,ζ= 3 / } 8

9 Πρτήρηση. Η γενική τετργωνική εξίσωση εριλµβάνει κι µεικτό όρο : + β+ γ + δ+ ε= c, όου τ {,β,γ} δεν είνι όλ µηδενικά Πριστάνει είσης κωνική τοµή, λλά τώρ εκτός ό µεττόιση έχουµε κι εριστροφή. Π.χ. = είνι εριεστρµµένη υερβολή. Το µέγεθος = γ β κλείτι δικρίνουσ της τετργωνικής εξίσωσης. Πρβλέοντς τις θολογικές εριτώσεις, οδεικνύετι ότι η εξίσωση ριστάνει: έλλειψη ν = γ β >, υερβολή ν = γ β <, ρβολή ν = γ β =. Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές. Οι τριγωνοµετρικές συνρτήσεις ριστάνοντι γεωµετρικά µε το ρκάτω διάγρµµ στον µονδιίο κύκλο, όου είνι το ροσηµσµένο µήκος τόξου σε εριφέρει κύκλου κτίνς µετρηµένη σε κτίνι (radian): κτίνι µοίρες = 36 Έτσι η συντετγµένη στον οριζόντιο άξον είνι το ηµίτονο του τόξου : sin, κλ. sin = ηµ cos = συν tan = εφ ηµίτονο (sine) συνηµίτονο (cosine) εφτοµένη (tangent) / sin cos 3 / tan Οι ντίστροφες τριγωνοµετρικές είνι ολυσήµντες: sin, cos, tan Αν όµως εριορίσουµε τις τριγωνοµετρικές στ µονότον τµήµτά τους, τότε βρίσκουµε µονοσήµντες ντίστροφες τριγωνοµετρικές. Συνήθως χρησιµοοιούµε τους ρκάτω συµβολισµούς:. Αντίστροφη ηµιτόνου: arcsin sin = = τοξηµ ηµ µε {, / / } ηλδή, είνι το τόξο (arc) ου έχει ηµίτονο (sine) κι βρίσκετι στο ράνω διάστηµ µονοτονίς. Π.χ. arcsin=, arcsin(/ ) = / 6, arcsin(/ ) = / 4, arcsin() = / / sin / / arcsin. Αντίστροφη εφτοµένης: arctan tan = = τοξεφ εφ µε { < <+, / < < / } ηλδή, είνι το τόξο (arc) ου έχει εφτοµένη (tan) κι βρίσκετι στο ράνω διάστηµ µονοτονίς. Π.χ. arctan=, arctan() = / 4, arctan( + ) = / / tan / / arctan 9

10 3. Μετσχηµτισµοί εξισώσεων F(, ) = c. Αντνάκλση ως ρος τους άξονες: ή. Μεττόιση:,, οριζοντίως κτά κι κτκόρυφ κτά. 3. Αλλγή κλίµκς, διστολή-συστολή:, β / / 3 = = c () + = + = / / 3 = ( ) (+ ) = 4 ( / ) + = ντνάκλση µεττόιση λλγή κλίµκς / /3 / /3 Πράδειγµ. Η εξίσωση ( ) = c, ροκύτει ό την = c, µε τους ρκάτω διδοχικούς µετσχηµτισµούς: / /3 ): = c οριζόντι µεττόιση κτά β): / /3 (+ ) = c οριζόντι ντνάκλση / /3 γ): ( + ) = c β γ

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν γίνουν τ γρφήµτ των ρκάτω συνρτήσεων, χωρίς ειδική µελέτη: = +, + = +, = +,,ln(+ ), 3 / 3 ( ), (+ ) 3 /, min{, }, +, 4 = / 4, sin, cos( / ), cos( / ), +, /. Ν βρεθούν οι θετικές λύσεις {,} των ρκάτω εξισώσεων κι συστηµάτων, όου οι ράµετροι {,β} είνι θετικές: / 4 / 4 /3 { = }, = { β= }, 3 / 4 / 4 β= 3. Ν βρεθούν στον άξον τ γρφήµτ των ρκάτω νισοτήτων: +, 4+ 3, 6 4. Γι κάθε µι ό τις συνρτήσεις: 3 f() : + 3, + 3+, +, ν γίνει το γράφηµ γι, κι στη συνέχει ν βρεθεί νλυτικά κι γρφικά το γράφηµ της g() = f() / 5. Ν βρεθεί η ντίστροφη f () της συνάρτησης f() = στο θετικό διάστηµ, κι ν γίνουν τ γρφήµτά τους στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων. Ν γίνει το ίδιο γι τη συνάρτηση f() = 6. Ν βρεθούν τ γρφήµτ των ρκάτω εξισώσεων: /4 3/4 / = 8, + 4= 4, =, ( + ) = 3, + = 3, + =, + = 7. Ν γίνουν τ γρφήµτ των ρκάτω νισοτήτων στη θετική εριοχή, κι ν διερευνηθεί ν οι εριοχές είνι κυρτές. /4 3/4 + 4,, + ln, Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς ου διέρχετι ό τ σηµεί A : (,4) κι B : (,). Είσης ν βρεθούν τ ενδιάµεσ σηµεί ου βρίσκοντι στο / κι στο / 4 της όστσης ό το A στο B 9. Ν γίνει το γράφηµ κι ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς ου διέρχετι ό το σηµείο (,3), κι έχει κλίση.. Ν βρεθούν τ γρφήµτ των τροχιών: {= t, = 4t}, {= 3 t, = t + }. Ν γίνουν τ γρφήµτ των + = 7, + 7. Γι το κθέν ό τ ρκάτω ζεύγη εξισώσεων ν γίνουν τ γρφήµτ στο ίδιο σύστηµ συντετγµένων, χρησιµοοιώντς µεττοίσεις. Σε κάθε ερίτωση ν βρεθούν οι τοµές µε τους άξονες. { ln =, = ln(+ )}, = 4, ( )( + 3) = 4 { }