Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L p (T) Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Transcript

1 Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L () Απόστοος Γιαννόπουος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υικό έχει αναπτυχθεί στα παίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υικού. Το έργο υοποιείται στο παίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα

3 Περιεχόµενα ενότητας Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L () 4. Το ϑεώρηµα παρεµβοής του Marcinkiewicz ιάσπαση Calderón-Zygmund Υπαρξη του µετασχηµατισµού Hilbert για οοκηρώσιµες συναρτήσεις Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L () Η κάση L lnl του Zygmund Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 3

4 Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L () Σε αυτό το Κεφάαιο ϑα δούµε ότι για κάθε < < και για κάθε f L (), f s n ( f ) καθώς το n. Για το σκοπό αυτό ϑα δείξουµε ότι ο µετασχηµατισµός Hilbert H f (x) = lim H ε f (x) = lim f (x t) ε ε π εφ(t/) dt ε< t <π ορίζεται καά για κάθε f L () και ότι για κάθε < < υπάρχει σταθερά C > τέτοια ώστε, για κάθε f L (), H f C f και f = H f. Αυτό δείχνει ότι έχουµε συζυγία στον L () και κατόπι µπορούµε να εφαρµόσουµε τις αναγωγές του προηγούµενου Κεφααίου. Βασικό ϱόο στην απόδειξη των παραπάνω ϑα παίξουν το ϑεώρηµα παρεµβοής του Marcinkiewicz (το οποίο συζητάµε στην Παράγραφο.), η διάσπαση Calderón-Zygmund µιας οοκηρώσιµης συνάρτησης (την οποία περιγράφουµε στην Παράγραφο.) και ο µεγιστικός τεεστής f M f = f, όπου f είναι η µεγιστική συνάρτηση της f που έχουµε συζητήσει στην Ενότητα 3.. Το θεώρηµα παρεµβοής του Marcinkiewicz Εχουµε δεί ότι αν f L (R n ) τότε η µεγιστική συνάρτηση M f = f της f δεν είναι γενικά οοκηρώσιµη, ικανοποιεί όµως την εξής ανισότητα ασθενούς τύπου: για κάθε >, (...) m({x : M f (x) > }) c f, όπου c > απόυτη σταθερά (ανεξάρτητη από την f και την τιµή του ). Είναι επίσης εύκοο να δούµε ότι ο µεγιστικός τεεστής f M f απεικονίζει τον L (R n ) στον L (R n ). Πράγµατι, για κάθε ανοικτή µπάα B µε x B έχουµε συνεπώς m(b) B f (y) dy (...) M f (x) = su x B Επεται ότι m(b) B m(b) B (...3) M f f. f dy = f, f (y) dy f. Ενα ερώτηµα που προκύπτει είναι τι µπορούµε να πούµε για την συµπεριφορά της M f αν υποθέσουµε ότι f L (R n ) για κάποιο < <. Θα µεετήσουµε αυτό το πρόβηµα στο γενικότερο παίσιο των υπογραµµικών τεεστών. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 4

5 Ορισµός... Εστω (X, A, µ) χώρος µέτρου. Ενας τεεστής f f έγεται υπογραµµικός αν για κάθε f και f για τις οποίες οι f και f ορίζονται καά, οι ( f + f ) και (a f ), a K, ορίζονται καά και ικανοποιούν τις (...4) ( f + f )(x) f (x) + f (x) σχεδόν παντού και (...5) (a f )(x) a f (x) σχεδόν παντού Λέµε ότι ένας υπογραµµικός τεεστής είναι (ισχυρού) τύπου (, ) για κάποιο αν ορίζεται καά σαν τεεστής από τον L (µ) στον L (µ) και υπάρχει σταθερά A > ώστε (...6) f A f για κάθε f L (µ). Οµοια, έµε ότι ένας υπογραµµικός τεεστής είναι ασθενούς τύπου (, ) για κάποιο < αν ορίζεται καά για κάθε f L (µ) και υπάρχει σταθερά A > ώστε (...7) m({x : f (x) > }) A f για κάθε f L (µ) και για κάθε >. Συνήθως, ϑα ϑεωρούµε τεεστές οι οποίοι ορίζονται ϕυσιοογικά σε ένα Ϲεύγος χώρων L (µ) και L (µ). Είναι ϐοικό να ϑεωρήσουµε τον χώρο L (µ) + L (µ) όων των συναρτήσεων f οι οποίες γράφονται στη µορφή f = f + f για κάποιες f L (µ) και f L (µ). Ο L (µ) + L (µ) γίνεται χώρος Banach µε νόρµα την (...8) f L +L = inf{ f + f : f i L i, f = f + f }. Το ϐασικό αποτέεσµα αυτής της παραγράφου είναι το ϑεώρηµα παρεµβοής του Marcinkiewicz. Με L(µ) συµβοίζουµε τις µετρήσιµες συναρτήσεις. Θεώρηµα.. (Marcinkiewicz). Εστω < < και έστω : L (µ) + L (µ) L(µ) υπογραµµικός τεεστής, ο οποίος είναι ασθενούς τύπου (, ) µε σταθερά A και ισχυρού τύπου (, ) µε σταθερά A. Τότε, για κάθε < < ο είναι ισχυρού τύπου (, ) µε σταθερά αν <, και αν =. ( A = + ) / A ( ) / A = A A A Απόδειξη. Εξετάζουµε χωριστά τις περιπτώσεις < και =. (α) Η περίπτωση < < < <. Εστω f L (µ) και δ > το οποίο ϑα επιεγεί αργότερα. Για κάθε > ορίζουµε { f f (x) αν f (x) > δ (x) = αιώς και { f f (x) αν f (x) δ (x) = αιώς. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 5

6 Παρατηρούµε ότι f L (µ), f L (µ) και f = f + f. Για τον πρώτο ισχυρισµό, παρατηρούµε ότι < και γράφουµε f (...9) = f (x) f (x) dµ (δ) f (x) dµ {x: f (x) >δ} (δ) f <. {x: f (x) >δ} Για τον δεύτερο ισχυρισµό, αφού >, έχουµε f (...) = f (x) f (x) dx (δ) {x : f (x) δ} f (x) dµ {x: f (x) δ} (δ) f <. Τέος, από τον ορισµό των f και f είναι ϕανερό ότι f = f + f. Στη συνέχεια, για ευκοία στον συµβοισµό ϑέτουµε m g (s) = m({x : g(x) > s}). Από την υπογραµµικότητα του έχουµε f f + f σχεδόν παντού, άρα και αυτό µας δίνει {x : f (x) > } {x : f (x) > /} {x : f (x) > /}, (...) m f () m f (/) + m f (/). Από τις υποθέσεις µας έχουµε (...) m f (/) A ( ) {x: f (x) >δ f (x) dx και (...3) m f (/) A ( ) f = A ( ) {x: f (x) δ f (x) dx. Τώρα, γράφουµε (...4) f = m f () d m f (/) d + m f (/) d, και χρησιµοποιούµε τις (...) και (...) για να ϕράξουµε τα δύο οοκηρώµατα. Εχουµε (...5) m f (/) d (A ) = (A ) f (x) f (x) dx {x: f (x) >δ} f (x) /δ d dx Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 6

7 και m f (/) d (A ) = = = (A ) (A ) δ (A ) δ f (x) f f (x) dx {x: f (x) δ} f (x) /δ (A ) = δ f (x) dx (A ) = δ f. f (x) dx d dx Συνεπώς, (...6) f ( (A ) δ + (A ) ) / δ f για κάθε δ >. Επιέγουµε το δ να ικανοποιεί την δ = (A ) (A ), και αντικαθιστώντας στην προηγούµενη σχέση έχουµε το συµπέρασµα. (ϐ) Η περίπτωση < < =. Εστω f L (µ). Επιέγουµε από την αρχή δ = A. Για κάθε > ορίζουµε τις f και f προηγούµενη περίπτωση. Παρατηρήστε ότι όπως και στην (...7) f A f A δ = /. Συνεπώς, από την {x : f (x) > } {x : f (x) > /} {x : f (x) > /}, παίρνουµε (...8) m f () m f (/) + m f (/) = m f (/). Από τις υποθέσεις µας έχουµε (...9) m f (/) A ( ) {x: f (x) >δ f (x) dx. Αρα, χρησιµοποιώντας και την A = /δ, έχουµε (...) f m f (/) d Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 7

8 Επεται ότι (A ) = (A ) ηαδή, ο είναι (ισχυρού) τύπου (, ). f (x) {x: f (x) >δ} f (x) /δ (A ) = δ f (x) dx (A ) = δ f = (A ) (A ) f. ( ) / f A A f (x) dx d dx f. Ειδικότερα, στην περίπτωση = και = το Θεώρηµα.. παίρνει την εξής απούστερη µορφή. Θεώρηµα..3. Εστω : L (µ) + L (µ) L(µ) υπογραµµικός τεεστής, ο οποίος είναι ασθενούς τύπου (, ) µε σταθερά A και ισχυρού τύπου (, ) µε σταθερά B. Τότε, για κάθε < < ο είναι ισχυρού τύπου (, ) µε σταθερά ( A = ) / A B. Το Θεώρηµα..3 εφαρµόζεται για τον µεγιστικό τεεστή f M f. Οπως είδαµε στην εισαγωγή αυτής της παραγράφου, ο M είναι ασθενούς τύπου (, ) µε σταθερά c και ισχυρού τύπου (, ) µε σταθερά. Από τον ορισµό του M ϐέπουµε εύκοα ότι είναι υπογραµµικός τεεστής. Συνεπώς, από το Θεώρηµα..3 παίρνουµε αµέσως το εξής. Θεώρηµα..4. Εστω < <. Για κάθε f L (R n ) έχουµε M f L (R n ) και ( ) / M f Cn f, όπου C n = 3 n. Παρατηρήστε ότι καθώς το +. ( ) / Cn ( ) = O. ιάσπαση Calderón-Zygmund Εστω f : C οοκηρώσιµη συνάρτηση. Συµβοίζουµε µε f τη µέση τιµή της f : f = f (y) dy. π Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 8

9 Θεωρούµε έναν > τέτοιον ώστε f = π f (y) dy <. Θα δουέψουµε µε τα εγόµενα ανοικτά δυαδικά διαστήµατα του. Αυτά είναι τα ανοικτά διαστήµατα που προκύπτουν όταν διαιρούµε διαδοχικά το σε ανοικτά διαστήµατα µε το ίδιο µήκος. Στο πρώτο ϐήµα οιπόν χωρίζουµε το στα ανοικτά διαστήµατα = ( π, ) και = (, π). Παρατηρήστε ότι f + f = f (y) dy + π π f (y) dy = f <, άρα τουάχιστον µία από τις µέσες τιµές f και f είναι µικρότερη από. Επίσης, για i =, έχουµε f i f <. Συνεχίζουµε την διαδικασία ως εξής: αν η µέση τιµή της f σε κάποιο υποδιάστηµα είναι µικρότερη ή ίση από τότε διαιρούµε αυτό το διάστηµα σε δύο ανοικτά διαστήµατα ίσου µήκους. Αν η µέση τιµή της f σε κάποιο υποδιάστηµα είναι µεγαύτερη από τότε κρατάµε αυτό το διάστηµα και το ονοµάζουµε (αν είναι το -οστό διάστηµα που προέκυψε κατ αυτόν τον τρόπο). Τότε, < f (y) dy = f I <. m( ) Ας υποθέσουµε ότι, µετά από k ϐήµατα, έχουµε κρατήσει τα I,..., I n. Οα τα διαστήµατα I που δεν έχουν κρατηθεί έχουν την ιδιότητα ότι f I <. Χωρίζουµε καθένα από αυτά τα διαστήµατα σε δύο ανοικτά διαστήµατα ίσου µήκους. Η µέση τιµή της f σε καθένα από αυτά είναι µικρότερη ή ίση από και υπάρχει τουάχιστον ένα από αυτά στο οποίο η µέση τιµή της f είναι µικρότερη από. Εκείνα τα διαστήµατα στα οποία η µέση τιµή της f είναι µεταξύ και τα µετονοµάζουµε σε I n+,..., I m και τα κρατάµε. Αυτά είναι τα διαστήµατα που προκύπτουν στο (k + )-οστό ϐήµα. Συνεχίζοντας αυτήν την διαδικασία παίρνουµε µια οικογένεια { } από ξένα ανοικτά δυαδικά υποδιαστήµατα του µε τις εξής ιδιότητες: (i) Για κάθε ισχύει (...) < f (y) dy <, m( ) συνεπώς, (...) m( ) f (y) dy f (y) dy. (ii) Αν Ω = τότε σχεδόν για κάθε x \ Ω υπάρχει µια ϕθίνουσα ακοουθία {J s (x)} δυαδικών διαστηµάτων, η οποία συγκίνει στο x, µε την ιδιότητα: για κάθε s, (...3) f (y) dy <. m(j s ) J s Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 9

10 Η (...3) ισχύει σχεδόν παντού στο \ Ω, διότι δεν µπορούµε να ισχυριστούµε ότι ισχύει απα- ϱαίτητα στα άκρα των δυαδικών υποδιαστηµάτων του. Αν, επιπέον, υποθέσουµε ότι x Leb( f ), τότε (...4) f (x) = lim s m(j s ) Συνεπώς, f (x) σχεδόν παντού στο \ Ω. J s f (y) dy. Η οικογένεια { } που προκύπτει µε την παραπάνω διαδικασία ονοµάζεται διάσπαση Calderón-Zygmund της f στο επίπεδο. Με ϐάση αυτήν την διάσπαση ορίζουµε (...5) g (x) := g(x) = f (x) χ \K (x) + m(i ) και (...6) b (x) := b(x) = f (x) g(x) = f (x) m(i ) Παρατηρήστε ότι, για κάθε x Ω έχουµε x για κάποιο, και (...7) g(x) f (y) dy. m( ) Αφού g(x) = f (x) σχεδόν παντού στο \ Ω, έπεται ότι (...8) g. Για την b έχουµε b(x) = για κάθε x \ Ω. Επίσης, εύκοα εέγχουµε ότι (...9) b(x) dx = f (x) dx m( ) f (y) dy = m( ) f (y) dy χ I (x) f (y) dy χ I (x). για κάθε, και (...3) b(x) dx = m( ) m( ) m( ) f (x) m( ) f (y) dy 4 f (y) dy dx για κάθε. Το επόµενο ϑεώρηµα συνοψίζει την κατασκευή που περιγράψαµε. Θεώρηµα.. (διάσπαση Calderón-Zygmund στο επίπεδο ). Εστω f L () και έστω > µε f (y) dy <. π Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα

11 Υπάρχει ακοουθία { } ξένων ανοικτών δυαδικών υποδιαστηµάτων του τέτοια ώστε: (...3) f (x) σχεδόν για κάθε x \ και (...3) m( ) f (y) dy για κάθε. Αν Ω = τότε (...33) m(ω) Ω f (y) dy π f. Επιπέον, αν ορίσουµε (...34) g(x) = f (x) χ \Ω (x) + m(i ) και f (y) dy χ I (x) (...35) b(x) = f (x) m(i ) f (y) dy χ I (x), τότε f (x) = g(x) + b(x), και οι συναρτήσεις g και b έχουν τις εξής ιδιότητες: (...36) g(x) σχεδόν για κάθε x, (...37) g () f για κάθε <, και (...38) b(y) dy =, m( ) b(y) dy m( ) f (y) dy και (...39) b f. Απόδειξη. Το µόνο που µένει να εέγξουµε είναι η (...37), η οποία είναι απή συνέπεια της g. Εχουµε g(x) dx g g(x) dx () g(x) dx () f (x) dx. για κάθε. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα

12 .3 Υπαρξη του µετασχηµατισµού Hilbert για οοκηρώσιµες συναρτήσεις Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε την ύπαρξη του µετασχηµατισµού Hilbert για κάθε οοκηρώσιµη συνάρτηση. Θεώρηµα.3. (ύπαρξη και ορισµός του µετασχηµατισµού Hilbert). Εστω f L (). Το όριο (.3..4) lim H ε f (x) = lim f (x t) ε ε π εφ(t/) dt ε< t <π υπάρχει σχεδόν για κάθε x. Ορίζουµε f (x t) (.3..4) H f (x) =.v. dt := lim εφ(t/) ε π ε< t <π Η καά ορισµένη συνάρτηση H f είναι ο µετασχηµατισµός Hilbert της f. f (x t) εφ(t/) dt. Απόδειξη. Για κάθε > f ϑεωρούµε την διάσπαση Calserón-Zygmund της f στο επίπεδο k. Στη συνέχεια ϑα γράφουµε g = g k, f = f k και = (x L /, x + L /). Ορίζουµε επίσης := (x L, x + L ) και Ω =. Παρατηρήστε ότι (.3..4) m(ω ) m( ) = m( ) = m(ω) f (y) dy. Για κάθε < ε < π έχουµε H ε f = H ε g + H ε b και αφού g L () γνωρίζουµε ότι ορίζεται η (.3..43) g(x) = lim ε H ε g(x) και g C g. Ο ϐασικός ισχυρισµός είναι ο εξής: Ισχυρισµός. Το lim ε H ε b(x) υπάρχει σχεδόν παντού στο \ Ω. Εχοντας αποδείξει τον Ισχυρισµό για κάθε > f µπορούµε να οοκηρώσουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος ως εξής. Θεωρούµε µια γνησίως αύξουσα ακοουθία ( k ) µε k > f και k. Για κάθε k υπάρχει το lim H ε f (x) = g k (x) + lim H ε b k (x) ε ε για όα τα x \Ω. Αρα, το k lim H ε f (x) υπάρχει για όα τα x \ Ω ε. Οµως, από την (.3..4), k k για κάθε n έχουµε (.3..44) m Ω k m(ω n ) f (y) dy k n ( ) καθώς το n. Αρα, m Ω k στο. k = και αυτό αποδεικνύει ότι το lim ε H ε f (x) υπάρχει σχεδόν παντού Για την απόδειξη του Ισχυρισµού αρκεί να δείξουµε ότι σχεδόν παντού στο \ Ω τότε η {H ε b(x)} ε> είναι Cauchy, δηαδή ότι (.3..45) lim ε,η H εb(x) H η b(x) =. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα

13 Αρχικά ϑα δείξουµε κάτι ασθενέστερο: Ισχυρισµός. Σχεδόν παντού στο \ Ω ισχύει (.3..46) lim su H ε b(x) H η b(x) <. ε,η Απόδειξη του Ισχυρισµού. Θεωρούµε < η < ε < π και γράφουµε (.3..47) H ε b(x) H η b(x) = π x η x ε b(t) εφ x t dt π x+ε x+η b(t) εφ x t dt. Θα ϕράξουµε απούτως το x+ε x+η b(t) εφ x t dt. Οµοια δουεύουµε µε το άο οοκήρωµα. Παρατηρήστε ότι x για κάθε και ότι b(t) = b(t) χ I (t) για κάθε t. Συνεπώς, (.3..48) x+ε x+η b(t) εφ x t dt = { :(x+η,x+ε) } (x+η,x+ε) b(t) εφ x t dt. Παρατηρήστε επίσης ότι αν (x + η, x + ε) τότε συµβαίνει ένα από τα εξής: (α) x + η, (ϐ) x + ε ή (γ) [x + η, x + ε]. Επίσης, καθένα από τα (α) ή (ϐ) µπορεί να συµβαίνει για µία (το πού) τιµή του διότι τα είναι ξένα. Εξετάζουµε τις τρείς αυτές περιπτώσεις χωριστά: (α) x + η : Θυµηθείτε ότι = (x L, x + L ). Αφού x, έχουµε x x L. Επίσης, αφού x + η έχουµε x + η x < L /. Συνεπώς, Επεται ότι η = η x x x + η x > L L = L. (x + η, x + ε) (x + η, x + η + L ) (x + η, x + η + 3η) = (x + η, x + 3η). Υποθέτουµε επιπέον ότι x Leb( f ). Παίρνοντας υπ όψιν και την b(x) =, έχουµε (x+η,x+ε) b(t) εφ x t dt = x+3η x+η 3η η 3c 3η b(t) εφ x t dt b(x + t) b(x) εφ t dt c η 3η 3η b(x + t) b(x) dt = o() η b(x + t) b(x) dt Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 3

14 καθώς το η. ηαδή, σχεδόν παντού στο \ Ω έχουµε (.3..49) καθώς το η. (x+η,x+ε) (ϐ) x + ε : Το ίδιο επιχείρηµα δείχνει ότι b(t) εφ x t dt = o() (.3..5) καθώς το ε. (x+η,x+ε) b(t) εφ x t dt = o() (γ) [x + η, x + ε]: Χρησιµοποιώντας την b(t) dt = γράφουµε (.3..5) (x+η,x+ε) b(t) εφ x t dt = = = b(t) εφ x t b(t) dt εφ x t b(t)k(t, x, x ) dt, εφ x x dt όπου x είναι το µέσο του και (.3..5) k(t, x, x ) = εφ x t εφ x x = ημ t x ημ x t ημ x x. Παρατηρούµε ότι, αφού x, για κάθε t έχουµε min{ x x, x t } L /, άρα και x t x x + x t x x + L / x x x x x t + t x x t + L / x t. Επειδή οι ποσότητες x t, x x, x t είναι µικρές όταν τα η, ε είναι µικρά (όγω της [x+η, x+ε]) µπορούµε να αντικαταστήσουµε τα ηµίτονα µε τα ορίσµατά τους, και έτσι καταήγουµε στο ϕράγµα k(t, x, x ) c x t x t x x αφού t x L / για κάθε t και x t x x. L c (x x ), Τεικά, (.3..53) (x+η,x+ε) b(t) εφ x t dt b(t) k(t, x, x ) dt Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 4

15 L c 3 (x x ) L c 3 (x x ) b(t) dt f (t) dt. Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουµε: σχεδόν για κάθε x \ Ω και καθώς τα η, ε, c 3 L (.3..54) H ε b(x) H η b(x) (x x ) f (t) dt + { : [x ε,x η]} { : [x+η,x+ε]} c 3 ( f, x) + o(), c 3 L (x x ) f (t) dto() όπου (.3..55) L ( f, x) = (x x ) f (t) dt, x \ Ω. Αν δείξουµε ότι (.3..56) τότε ϑα συµπεράνουµε ότι \Ω ( f, x) dx < +, (.3..57) lim su H ε b(x) H η b(x) < +, ε,η σχεδόν παντού στο \ Ω, δηαδή τον Ισχυρισµό. Πράγµατι, αρκεί να παρατηρήσουµε ότι αν x \ Ω τότε x για κάθε, άρα x x L. Επεται ότι L (x x ) dx L (x x ) dx L ds s =, L άρα \Ω \ L (.3..58) ( f, x) dx = f (t) dt L L (x x \Ω ) dx \Ω f (t) dt L L f (t) dt f (t) dt 4π f. Ω Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 5

16 Ετσι, η απόδειξη του Ισχυρισµού είναι πήρης. Απόδειξη του Ισχυρισµού. Εστω x \ Ω για το οποίο ( f, x) < +. Θεωρούµε τυχόν N N. Για ε, η > αρκετά µικρά, έχουµε (x ε, x η) = και (x + η, x + ε) = για κάθε =,..., N. Αρα, c 3 L (.3..59) H ε b(x) H η b(x) (x x ) f (t) dt + { : [x ε,x η]} { : [x+η,x+ε]} =N+ L (x x ) c 3 L (x x ) f (t) dt. f (t) dto() Αφού ( f, x) < +, έχουµε lim N =N+ L (x x ) f (t) dt =. Αρα, και η απόδειξη του Ισχυρισµού είναι πήρης. ϑεώρηµα. lim su H ε b(x) H η b(x) =, ε,η Με δεδοµένο τον Ισχυρισµό, έχουµε αποδείξει το Παρατηρήσεις.3.. (α) Από την (.3..58) και την ανισότητα του Markov ϐέπουµε ότι, για κάθε >, (.3..6) m({x \ Ω : ( f, x) > }) c f (t) dt. Ω (ϐ) Εστω > f και b = b. Παίρνοντας ε π και εξετάζοντας προσεκτικά την παραπάνω απόδειξη ϐέπουµε ότι, σχεδόν παντού στο \ Ω έχουµε (.3..6) H η b(x) c ( f, x) + c η x+3η x+η C ( ( f, x) + Mb(x) ) b(t) dt + c η x η x 3η b(t) dt για κάθε < η < π. Αφήνοντας το η + ϐέπουµε επίσης ότι, σχεδόν παντού στο \ Ω έχουµε (.3..6) Hb(x) C ( f, x). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 6

17 .4 Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L () Στην προηγούµενη παράγραφο δείξαµε ότι ο µετασχηµατισµός Hilbert H f ορίζεται καά για κάθε f L (). Το επόµενο παράδειγµα δείχνει ότι δεν είναι, γενικά, οοκηρώσιµη συνάρτηση: ϑεωρούµε µια µη αρνητική συνάρτηση f L () η οποία µηδενίζεται έξω από το [, π/). Τότε, για κάθε x [ π/, ) έχουµε H f (x) = lim ε + H ε f (x) = π π/ f (t) εφ((x t)/) dt. Στο παραπάνω οοκήρωµα έχουµε x < και t >, άρα εφ((x t)/) = εφ(( x + t)/). Συνεπώς, (.4..63) H f (x) = π Αν τώρα επιέξουµε d(t) = d dt οοκηρώσιµη (άσκηση). c x ( π/ x ln(/t) f (t) εφ(( x + t)/) dt π f (t) dt. x f (t) εφ( x /) dt ) µπορούµε να εέγξουµε ότι f, f L () και η H f δεν είναι Οπως όµως συµβαίνει και µε την µεγιστική συνάρτηση, έχουµε την εξής ανισότητα ασθενούς τύπου: Θεώρηµα.4.. Υπάρχει σταθερά C > ώστε, για κάθε f L () και για κάθε < ε < π και >, (.4..64) m({x : H ε f (x) > }) C f. Απόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι > f. Πράγµατι, αν f µπορούµε να γράψουµε (.4..65) m({x : H ε f (x) > }) π π f. Θεωρούµε οιπόν > f και την διάσπαση Calderón-Zygmund f = g + b της f στο επίπεδο. Αφού (.4..66) {x : H ε f (x) > } Ω {x \ Ω : H ε f (x) > }, αρκεί να εκτιµήσουµε τα m(ω ) και m({x \ Ω : H ε f (x) > }). Θυµηθείτε ότι m(ω ) m( ) = m( ) (.4..67) f (y) dy 4π f. Για το δεύτερο σύνοο, για κάθε x \ Ω γράφουµε (.4..68) H ε f (x) = H ε g(x) + H ε b(x). Αρα, (.4..69) {x \ Ω : H ε f (x) > } {x \ Ω : H εg(x) > /} {x \ Ω : H εb(x) > /}. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 7

18 Γνωρίζουµε ότι g L (), άρα H ε g L () και H ε g c g. Από την ανισότητα του Markov, (.4..7) 4 m({x \ Ω : H εg(x) > /}) H ε g(x) dx c g(x) dx Αρα, c (.4..7) m({x \ Ω : H εg(x) > /}) 4c 3 f. Για το δεύτερο σύνοο στην (.4..69) χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι (.4..7) H ε b(x) c 4 ( ( f, x) + Mb(x)) για κάθε x \ Ω. Αρα, (.4..73) {x \ Ω : H εb(x) > /} g(x) dx c 3 f. {x \ Ω : ( f, x) > /(4c 4)} {x \ Ω : Mb(x) > /(4c 4)}. Οµως, (.4..74) άρα \Ω ( f, x) dx c 5 f, (.4..75) m({x \ Ω : ( f, x) > /(4c 4)}) c 6 f. Επίσης, για την µεγιστική συνάρτηση Mb της b γνωρίζουµε ότι (.4..76) m({x \ Ω : Mb(x) > /(4c 4)}) c 7 b c 8 f. Συνδυάζοντας όες αυτές τις εκτιµήσεις έχουµε το συµπέρασµα. Θεώρηµα.4.. Για κάθε < < υπάρχει σταθερά C = O ( H f L () και ) ώστε για κάθε f L () η (.4..77) H f C f. Επιπέον, H f (x) = f (x) σχεδόν παντού στο. Συνεπώς, έχουµε συζυγία στον L (). Απόδειξη. Εχουµε δει ότι για κάθε f L () ισχύει H f c f. ηαδή, ο H είναι ισχυρού τύπου (, ). Από το Θεώρηµα.4., για κάθε f L () και για κάθε > έχουµε m({x : H f (x) > }) c f. Συνεπώς, ο H είναι ασθενούς τύπου (, ). Από το ϑεώρηµα του Marcinkiewicz, για κάθε < < ο H είναι ισχυρού τύπου (, ) µε σταθερά C = O ( ). ηαδή, για κάθε f L (), < <, (.4..78) H f C f. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 8

19 Μένει να δείξουµε ότι H f (x) = f (x) σχεδόν παντού. Για κάθε n N ϑεωρούµε την f (x) σ n ( f, x). Αφού σ n ( f ) L () και Hσ n ( f ) = σ n ( f ), έχουµε (.4..79) H( f σ ( f ))(x) = H f (x) σ n ( f, x) σχεδόν παντού. Από την (.4..78) παίρνουµε (.4..8) H f σ n ( f ) C f σ n ( f ). Από το ϑεώρηµα του Feér έχουµε f σ n ( f ), άρα H f σ n ( f ). Ειδικότερα, H f σ n ( f ), άρα (.4..8) lim n c k ( σ n ( f )) = c k (H f ) για κάθε k Z. Οµως, σ n ( f, x) = n k= n ( k ) ( i)(sign k)c k ( f )e ik x, n + άρα, για n > k έχουµε (.4..8) c k ( σ n ( f )) = ( k ) ( i)(sign k)c k ( f ) ( i)(sign k)c k ( f ) n + καθώς το n. Επεται ότι c k (H f ) = ( i)(sign k)c k ( f ) για κάθε k Z, άρα f = H f L () και f = H f C f. Συνδυάζοντας το Θεώρηµα.4. µε τα αποτεέσµατα της Παραγράφου 6. έχουµε άµεσα το εξής. Θεώρηµα.4.3. Για κάθε < < και για κάθε f L (), (.4..83) f s n ( f ) καθώς το n. Περνάµε τώρα στην περίπτωση < <. Θεώρηµα.4.4. Για κάθε < < υπάρχει σταθερά C = O() ώστε για κάθε f L () η H f L () και (.4..84) H f C f. Επιπέον, H f (x) = f (x) σχεδόν παντού στο. Συνεπώς, έχουµε συζυγία στον L (). Απόδειξη. Αφού > έχουµε L () L (). Συνεπώς, για κάθε f L () έχουµε f = H f L (). Μένει οιπόν να δείξουµε ότι H f L () και ότι H f C f. Θυµηθείτε ότι, για τον σκοπό αυτό, αρκεί να δείξουµε ότι (.4..85) σ n ( f ) C f Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 9

20 για κάθε n N. Θεωρούµε τον συζυγή εκθέτη q του και δείχνουµε ότι, για κάθε g L q () µε g q ισχύει (.4..86) σ n ( f ), g = π σ n ( f, t)g(t) dt C f. Λόγω της πυκνότητας των τριγωνοµετρικών πουωνύµων στον L q () µπορούµε να υποθέσουµε ότι η g είναι τριγωνοµετρικό πουώνυµο. Τότε, σ n ( f ), g L (), οπότε η ταυτότητα του Parseval µας δίνει n ( σ n ( f ), g = k ) (.4..87) ( i)(sign k)c k ( f )c k (g) n + k= n n ( = c k ( f ) k ) ( i)(sign k)c k (g) n + k= n = f (t)σ n ( g, t) dt π = f, σ n ( g). Χρησιµοποιώντας την ανισότητα Hölder και την σ n ( g) q g q παίρνουµε (.4..88) σ n ( f ), g σ n ( g) q f g q f C q g q f όπου C q = O ( q ) = O ( q ) = O() καθώς το q (δηαδή, καθώς το ). Επεται ότι (.4..89) σ n ( f ) = su { σ n ( f ), g : g q } C f. Το ϑεώρηµα είναι τώρα άµεση συνέπεια της (.4..84). Συνδυάζοντας το Θεώρηµα.4.4 µε τα αποτεέσµατα της Παραγράφου 6. έχουµε το εξής. Θεώρηµα.4.5. Για κάθε < < και για κάθε f L (), (.4..9) f s n ( f ) καθώς το n..5 Η κάση L lnl του Zygmund Στην τεευταία παράγραφο αυτού του Κεφααίου κοιτάζουµε πιο προσεκτικά τους υπογραµµικούς τεεστές που είναι ταυτόχρονα ασθενούς τύπου (, ) και ισχυρού τύπου (, ). Η επόµενη πρόταση µας δίνει έναν από χαρακτηρισµό τους. Πρόταση.5.. Ενας υπογραµµικός τεεστής ορισµένος στον L () + L () είναι ταυτόχρονα ασθενούς τύπου (, ) και ισχυρού τύπου (, ) αν και µόνο αν υπάρχουν σταθερές c, c > τέτοιες ώστε, για κάθε >, (.5..9) m({x : f (x) > }) c /c m({x : f (x) > t}) dt. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα

21 Απόδειξη. Για την απόδειξη της (.5..9) επανααµβάνουµε µέρος της απόδειξης του ϑεωρήµατος του Marcinkiewicz στην ειδική περίπτωση = και =. Επιέγουµε από την αρχή δ = A, όπου A είναι η σταθερά στην ανισότητα ισχυρού τύπου (, ). Για κάθε > ορίζουµε και Παρατηρήστε ότι { f f (x) αν f (x) > /A (x) = αιώς { f f (x) αν f (x) /A (x) = αιώς. (.5..9) f A f /. Συνεπώς, από την παίρνουµε {x : f (x) > } {x : f (x) > /} {x : f (x) > /}, (.5..93) m({x : f (x) > }) m({x : f (x) > /}) + m({x : f (x) > /}) = m({x : f (x) > /}). Από την ανισότητα ασθενούς τύπου (, ) έχουµε (.5..94) m({x : f (x) > /}) c c {x: f (x) >/c f (x) dx. Με ααγή µεταβητής και των σταθερών c, c έχουµε την (.5..9). Αντίστροφα, αν δεχτούµε την (.5..9) τότε, για κάθε f L () παίρνουµε την ανισότητα ασθενούς τύπου (, ) αντικαθιστώντας το /c µε. Επίσης, για κάθε f L () παρατηρούµε ότι m({x : f (x) > s}) = αν s f, άρα το οοκήρωµα µηδενίζεται αν c f. Συνεπώς, έχουµε m({x : f (x) > }) = αν c f, και έπεται ότι f c f. Η ανισότητα (.5..9) δίνει αρκετές πηροφορίες για την οοκηρωσιµότητα της f. Για παράδειγµα, αν f > L () τότε µπορούµε να συµπεράνουµε ότι f L (). Οµως, αυτό δεν είναι το ϐέτιστο αποτέεσµα. Η κατάηη κάση για το ερώτηµα είναι η κάση L lnl του Zygmund, την οποία ορίζουµε στη συνέχεια. Ορισµός.5. (η κάση L lnl του Zygmund). Λέµε ότι µια µετρήσιµη συνάρτηση f ανήκει στην κάση L lnl() αν f (x) ln + f (x) dx = m({x : f (x) > }) d( ln+ ) <, d όπου ln + t = lnt αν t και ln + t = αιώς. Θεώρηµα.5.3. Εστω ένας υπογραµµικός τεεστής, ορισµένος στον L () + L (), ο οποίος είναι ταυτόχρονα ασθενούς τύπου (, ) και ισχυρού τύπου (, ). Τότε, ο απεικονίζει τον L lnl() στον L (), και (.5..95) f c + c f (x) ln + f (x) dx, όπου c > είναι µια απόυτη σταθερά. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα

22 Απόδειξη. Αφού m({x : f (x) }) π, αρκεί να δείξουµε ότι (.5..96) I := f (x) dx c f (x) ln + f (x) dx { f >} για κάποια απόυτη σταθερά c >. Χρησιµοποιώντας την (.5..9) και το ϑεώρηµα onelli γράφουµε I = = c = c m({x : f (x) > }) d c c m({x : f (x) > s}) s/c d ds m({x : f (x) > s}) ln + (s/c) ds, c c m({x : f (x) > s}) ds d απ όπου έπεται το συµπέρασµα. Το συµπέρασµα του Θεωρήµατος.5.3 είναι ϐέτιστο, όπως ϕαίνεται από το επόµενο ϑεώρηµα σχετικά µε τον µεγιστικό τεεστή Hardy-Littlewood. Θεώρηµα.5.4. Εστω f L () τέτοια ώστε M f L (). Τότε, f L lnl(). Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι, για κάθε < f, (.5..97) f (x) dx m({x : M f (x) > }). { f >} Πράγµατι, αν ϑεωρήσουµε την διάσπαση Calderón-Zygmund της f στο επίπεδο, για κάθε έχουµε (.5..98) < m( ) f (x) dx και (.5..99) f (x) σχεδόν παντού στο \. Από την αριστερή ανισότητα στην (.5..98) ϐέπουµε ότι {x : M f (x) > }, ενώ από την δεξιά ανισότητα έχουµε (.5..) f (x) dx m I m({x : M f (x) > }). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα

23 Επιπέον, αφού από την (.5..99) έχουµε {x : f (x) > }, από την (.5..) παίρνουµε αµέσως την (.5..97). Οοκηρώνοντας αυτήν την ανισότητα ϐέπουµε ότι f { f >} f (x) dx d = {x: f (x) > f } f (x) f (x) f d dx m({x : M f (x) > }) d, απ όπου έπεται το συµπέρασµα του ϑεωρήµατος. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Εηνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σείδα 3