Δρ Χρήστου Νικολαϊδη

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Δρ Χρήστου Νικοαϊδη εκέµβριος

2

3 Περιεχόµενα Κεφάαιο : ΠΙΝΑΚΕΣ σε. Τι είναι ένας πίνακας. Απές πράξεις πινάκων. Ποαπασιασµός πινάκων. Ο ανάστροφος ενός πίνακα. Μια εφαρµογή: Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων.6 Ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος. Τετραγωνικοί πίνακες.8 Αντιστρέψιµοι πίνακες.9 Πως βρίσκουµε τον αντίστροφο ενός πίνακα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κεφάαιο : ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ σε 9. Εισαγωγή. Ορίζουσες ης και ης τάξης. Σύστηµα Crmer. Ορίζουσα ης τάξης. Ιδιότητες οριζουσών.6 Αντίστροφος πίνακα. Σύστηµα Crmer.8 Ορίζουσα τάξης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κεφάαιο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ σε 9. Η έννοια της πράξης. ιανυσµατικός χώρος. ιανυσµατικοί υποχώροι. Γραµµικός συνδυασµός χώρος παραγόµενος από διανύσµατα. Γραµµική εξάρτηση και ανεξαρτησία διανυσµάτων.6 ιάσταση και βάση διανυσµατικού χώρου. Άθροισµα και ευθύ άθροισµα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κεφάαιο : Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ σε. Ορισµοί. Πως βρίσκουµε τον ιδιοχώρο. ιαγωνιοποίηση πίνακα. Πουώνυµα σε πίνακες Θεώρηµα Cle-Hmilto ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κεφάαιο : ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ σε 8. Ορισµοί. Ο πυρήνας και η εικόνα µιας γραµµικής απεικόνισης

4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΝΑΚΕΣ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας είναι απά µια ορθογώνια διάταξη στοιχείων της µορφής M m M m O M m Εδώ θα θεωρήσουµε ότι τα στοιχεία του πίνακα ανήκουν στο σώµα των πραγµατικών αριθµών R. Λέµε ότι ο πίνακας έχει m γραµµές και στήες είτε ότι είναι ένας m πίνακας είτε ότι έχει διαστάσεις m. Προσέξτε ότι ο συµβοισµός ij παριστάνει το στοιχείο που βρίσκεται στην i-γραµµή και j-στήη. Ο παραπάνω πίνακας συµβοίζεται ποές φορές και ( ij όπου ij παριστάνει το γενικό στοιχείο του πίνακα. Οι πίνακες θα συµβοίζονται µε κεφααία γράµµατα Α Β κπ ενώ τα στοιχεία τους µε µικρά α κπ. Ας δούµε τον επόµενο ορισµό ύο πίνακες Α( ij και Β ( ij θα έµε ότι είναι ίσοι και θα γράφουµε ΑΒ εάν καταρχάς οι δύο πίνακες έχουν τις ίδιες διαστάσεις και επιπέον τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα µε άα όγια αν ij ij για όα τα ij Τα πράγµατα είναι πιο απά αν τα δούµε µέσα από ένα παράδειγµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω οι πίνακες Α και Β. Μπορεί να ανήκουν και στο σώµα των µιγαδικών αριθµών C είτε σε οποιοδήποτε άο σώµα F. Εάν δεν γνωρίζετε τι είναι σώµα δεν υπάρχει όγος ανησυχίας. Το γεγονός ότι θεωρούµε στοιχεία του R για τους πίνακές µας εξυπηρετεί µια χαρά το σκοπό µας.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Το στοιχείο του πίνακα Α είναι το ενώ το στοιχείο είναι το. Η ισότητα ΑΒ των δύο πινάκων ανάγεται ουσιαστικά σε έξι εξισώσεις: - Ένας πίνακας έχει τη µορφή ( και θα ονοµάζεται πίνακας-γραµµή. Επίσης ένας πίνακας m έχει τη µορφή M m και θα ονοµάζεται πίνακας-στήη. Τέος υπάρχει και η περίπτωση να έχουµε έναν πίνακα-στοιχείο δηαδή έναν πίνακα όπως είναι οι πίνακες ( (- κπ.. ΑΠΛΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πρόσθεση πινάκων Μπορούµε να προσθέτουµε δύο πίνακες Α και Β αρκεί να έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Απά προσθέτουµε τα αντίστοιχα στοιχεία και το αποτέεσµα που έχει επίσης τις ίδιες διαστάσεις το συµβοίζουµε ΑΒ. ηαδή Για τους m πίνακες Α( ij και Β( ij ορίζουµε ΑΒ ( ij όπου ij ij ij για όα τα ij. Πιο πρακτικά ας δούµε το ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν Α και Β

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ τότε ΑΒ ή και απευθείας. Ποαπασιασµός αριθµού µε πίνακα (βαθµωτός ποαπασιασµός Μπορούµε να ποαπασιάσουµε έναν αριθµό µε έναν πίνακα Α ποαπασιάζοντας απά τον αριθµό µε κάθε στοιχείο του πίνακα. Το αποτέεσµα έχει προφανώς τις ίδιες διαστάσεις µε τον Α και συµβοίζεται Α. Με άα όγια Εάν R και Α είναι ένας m πίνακας Α( ij τότε ορίζουµε Α ( ij όπου ij ij για όα τα ij. Επίσης συµβοίζουµε µε Α τον πίνακα ( Α οπότε µπορούµε να µιάµε και για αφαίρεση πινάκων αν ορίσουµε Α - Β Α (-Β. Πιο πρακτικά ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Για τους πίνακες Α και Β του προηγούµενου παραδείγµατος Α -Β -Β - ενώ Α-Β - 8 6

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Ανάµεσα στους m πίνακες ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο µηδενικός πίνακας δηαδή ο πίνακας που έχει όα τα στοιχεία του ίσα µε. Τον συµβοίζουµε O. Π.χ. ο µηδενικός πίνακας είναι ο O. Είναι εύκοο να διαπιστώσουµε ότι ο µηδενικός πίνακας συµπεριφέρεται όπως και το στους αριθµούς δηαδή ΑΟ Α ΟΑ Η γενική µορφή Α( ij βοηθάει να αποδεικνύουµε τέτοιου είδους ιδιότητες καθώς µας επιτρέπει να «περνάµε» από πράξεις πινάκων σε πράξεις αριθµών. Πράγµατι για το πρώτο σκέος της παραπάνω ιδιότητας έχουµε ΑΟ ( ij [από τον ορισµό του αθροίσµατος πινάκων] ( ij [από την ιδιότητα του αριθµού ] Α Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να αποδείξουµε τις επόµενες ιδιότητες για οποιουσδήποτε m πίνακες B C και αριθµούς µ R.. (BC (BC [προσεταιριστική ιδιότητα]. O [ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου]. (- O [ύπαρξη αντίθετου στοιχείου]. B B [αντιµεταθετική ιδιότητα]. (ΑΒ ΑΒ [επιµεριστική ιδιότητα ] 6. (µα Αµ [επιµεριστική ιδιότητα ]. (µα (µα 8. Α Α Η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση.. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Η χρησιµότητα των πινάκων οφείεται στον ιδιόµορφο τρόπο µε τον οποίο ποαπασιάζουµε πίνακες. Μετά από όσα είπαµε θα περίµενε κανείς να ορίσουµε τον ποαπασιασµό πινάκων κατά ανάογο τρόπο µε την πρόσθεση δηαδή σε δύο πίνακες ίδιων διαστάσεων να ποαπασιάζουµε τα αντίστοιχα στοιχεία. Αν ήταν έτσι οι πίνακες θα αποτεούσαν απά «αποθήκες» στοιχείων χωρίς ουσιαστικό όγο ύπαρξης καθώς δεν θα έκαναν τίποτα περισσότερο από το να οµαδοποιούν πράξεις συµβοίζεται έτσι ανεξάρτητα από τις διαστάσεις του υπονοώντας κάθε φορά ότι έχει τις κατάηες διαστάσεις αυτές τις 8 ιδιότητες θα τις συναντήσουµε αργότερα σε µια γενικότερη παρουσίαση όταν θα µιήσουµε για διανυσµατικούς χώρους βαθµωτού ποαπασιασµού ως προς την πρόσθεση πινάκων βαθµωτού ποαπασιασµού ως προς την πρόσθεση αριθµών

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ µεταξύ αριθµών. Ο ορισµός του ποαπασιασµού πινάκων είναι ίγο πιο περίποκος. Για να βοηθηθούµε ας ορίσουµε πρώτα το γινόµενο ενός πίνακα-γραµµή µε έναν πίνακα-στήη. Ορίζεται όπως το γνωστό µας εσωτερικό γινόµενο: ( s M s ss kk Όπως κατααβαίνουµε οι δύο αρχικοί πίνακες πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθµό στοιχείων. Αιώς δεν γίνεται αυτός ο ποαπασιασµός. Τώρα είµαστε έτοιµοι να ορίσουµε τον ποαπασιασµό δύο πινάκων Α και Β. Η προϋπόθεση εδώ είναι ότι όσες στήες έχει ο πίνακας Α τόσες γραµµές έχει ο πίνακας Β. Με άα όγια αν ο Α έχει διαστάσεις m s o B πρέπει να έχει διαστάσεις s. Τότε το γινόµενο έχει διαστάσεις m. Σχηµατικά θα έγαµε για τις διαστάσεις (m s Χ (s (m s k Όσον αφορά την πράξη για να βρούµε το στοιχείο ij του γινοµένου ΑΒ ποαπασιάζουµε την i-γραµµή του πίνακα Α µε την j-στήη του πίνακα Β. Πιο αυστηρά Εάν Α( ij είναι ένας m s πίνακας και Β( ij είναι ένας s πίνακας τότε ορίζουµε ως γινόµενό τους τον m πίνακα ΑΒ ( ij όπου για όα τα ij. ij i j i j is sj ikkj Πρέπει να πούµε ότι το γινόµενο «αδικείται» από τον ορισµό του. Στην πράξη είναι πιο από απ ότι φαίνεται. s k ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ α β γ δ ε ζ α β γ δ ε ζ α β γ 6 δ ε ζ 6 α β8 γ 9 δ ε8 ζ 9 α β γ δ ε ζ ( ( (

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ 6 Ποαπασιάζουµε δηαδή την πρώτη γραµµή (α β γ του πίνακα Α διαδοχικά και µε τις στήες του πίνακα Β. Έτσι προκύπτει η πρώτη γραµµή του ΑΒ. Στη συνέχεια επανααµβάνουµε την ίδια διαδικασία µε τη δεύτερη γραµµή (δ ε ζ. Έτσι π.χ. για να βρούµε το στοιχείο ( του ΑΒ ποαπασιάζουµε την η γραµµή του Α µε την η στήη του Β. Ένα καθαρά αριθµητικό παράδειγµα ίσως βοηθήσει περισσότερο Παρατηρήστε ότι ο ποαπασιασµός των δύο πινάκων δεν γίνεται αντίστροφα καθώς ο δεύτερος πίνακας έχει διαστάσεις ενώ ο δεύτερος Αν πάρουµε έναν πίνακα Α και έναν πίνακα Β ώστε να µπορούµε να τους ποαπασιάσουµε και µε τους δύο τρόπους τότε ο ΑΒ έχει διαστάσεις ενώ ο ΒΑ έχει διαστάσεις. Γενικά οιπόν ΑΒ ΒΑ. Ας πάρουµε δύο πίνακες έστω και B Τότε µπορούµε εύκοα να βρούµε ότι B ενώ B Και πάι οιπόν ΑΒ ΒΑ. Αυτό σηµαίνει ότι στον ποαπασιασµό πινάκων δεν ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα. Υπάρχουν βέβαια περιπτώσεις (πιο σπάνιες όπου δύο πίνακες αντιµετατίθενται. Ας πάρουµε π.χ. τους πίνακες και B 6. Τότε B B Μπορεί η αντιµεταθετική ιδιότητα να µην ισχύει στον ποαπασιασµό πινάκων άα όες οι άες ιδιότητες που δεν εµπέκουν αντιµετάθεση πινάκων ισχύουν. Έχουµε οιπόν τις ιδιότητες:

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ. (BC (BC [προσεταιριστική ιδιότητα]. (BC BC [επιµεριστική ιδιότητα (από αριστερά]. (BC B C [επιµεριστική ιδιότητα (από δεξιά]. (B (ΑΒ Α(Β. ΟΑ Ο 6. ΒΟ Ο Η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση.. Ο ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ο ανάστροφος ενός πίνακα Α προκύπτει εάν διατάξουµε τις γραµµές του Α ως στήες µε την ίδια σειρά (οπότε αυτόµατα οι στήες γίνονται γραµµές. Συµβοίζεται Α Τ. Έτσι το στοιχείο που βρίσκεται στη θέση ij στον ανάστροφο θα πάρει τη θέση ji. Πιο αυστηρά Εάν Α( ij είναι ένας m πίνακας τότε ο ανάστροφος Α Τ ( ij είναι ο m πίνακας όπου ij ji για όα τα ij ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν Α T τότε Εύκοα µπορούµε να αποδείξουµε τις ιδιότητες. (ΑΒ Τ Α Τ Β Τ. (Α Τ Τ Α. (Α Τ Α Τ. (ΑΒ Τ Β Τ Α Τ (προσέξτε εδώ ότι αάζει η σειρά των ΑΒ Ας δείξουµε την ιδιότητα που είναι και η πιο δύσκοη. Έστω Α( ij Β( ij ΑΒ ( ij ένας m s πίνακας ένας s πίνακας το m γινόµενό τους όπου ij (ΑΒ Τ ( ij ο m ανάστροφος πίνακας του ΑΒ. Β T ( ij ο s ανάστροφος πίνακας του Β Α T ( ij ο s m ανάστροφος πίνακας του Α s k ik kj

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Για τον m πίνακα B T T ( d ij έχουµε οιπόν οπότε d ij s k ik kj s k ki jk Β Τ Α Τ (ΑΒ Τ s k jk ki ji ij. ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ας θεωρήσουµε το σύστηµα Αν ονοµάσουµε Α Χ Β τον πίνακα των συντεεστών τον πίνακα στήη των αγνώστων τον πίνακα στήη των σταθερών το σύστηµά µας γράφεται µε τη χρήση πινάκων ΑΧΒ Πράγµατι ΑΧ Β. Γενικά ένα σύστηµα m γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους... m m m m µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου ΑΧΒ 8

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Α M m M m O M m Χ M και Β M m Παρατήρηση: Προσέξτε ότι οι διαστάσεις των πινάκων είναι m και m αντίστοιχα. Η αποποιηµένη µορφή X B είναι αρκετά βοική για τη µεέτη γραµµικών συστηµάτων. Με τη µορφή αυτή για παράδειγµα θα δούµε πότε ένα σύστηµα έχει µοναδική ύση. Ας δώσουµε µια πρώτη γεύση: η µορφή ΑΧΒ µας θυµίζει την εξίσωση πρώτου βαθµού Αν α κάνοντας απαοιφή του α από αριστερά θα τη ύναµε διαδοχικά ως εξής: - ( - ( Εάν καταφέρουµε οιπόν (έστω και κάτω από κάποιες προϋποθέσεις να ακοουθήσουµε µια ανάογη διαδικασία και στους πίνακες απαείφοντας τον Α αντιαµβανόµαστε τη χρησιµότητα αυτής της µορφής. Θα οδηγηθούµε σε µια µοναδική ύση Χ του συστήµατος. Θα δούµε την περίπτωση αυτή αργότερα. Με τη µορφή X B για παράδειγµα µπορούµε εύκοα να δείξουµε πως αν οι πίνακες-στήη S και S αποτεούν δύο διαφορετικές ύσεις του συστήµατος (δηαδή S B και S B τότε ο πίνακας-στήη S S S είναι επίσης ύση του συστήµατος. Πράγµατι S S S S S B B Σαν συµπέρασµα προκύπτει πως αν ένα σύστηµα έχει περισσότερες από µια ύσεις τότε θα έχει άπειρες. Γνωρίζουµε επίσης συστήµατα που δεν έχουν ύση. Ένα από τέτοιο σύστηµα είναι το του οποίου οι δύο εξισώσεις αντιφάσκουν. B 9

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Έτσι οιπόν για ένα σύστηµα µπορεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω. να έχει µία και µοναδική ύση. να µην έχει καµία ύση (τότε θα έγεται αδύνατο. να έχει άπειρες ύσεις (τότε θα έγεται αόριστο Πριν κείσουµε την παράγραφο ας συζητήσουµε ίγο ακόµη τα αόριστα συστήµατα γραµµικών εξισώσεων και το πώς εκφράζουµε τις ύσεις τους µέσα από απά παραδείγµατα. Το σύστηµα ανάγεται προφανώς σε µια απή εξίσωση. Οι ύσεις είναι προφανώς όα τα ζεύγη µε και R Θα µπορούσαµε να πούµε ότι είναι όα τα ζεύγη όπου R Εναακτικά έµε ότι το σύνοο ύσεων είναι S { R} Η µεταβητή είναι όπως έµε εεύθερη ενώ η δεσµευµένη διότι εξαρτάται από την. Αν βέβαια θεωρήσουµε την ως εεύθερη µεταβητή τότε το σύνοο ύσεων γράφεται { S } / R Οµοίως το σύστηµα ανάγεται σε µία εξίσωση και αν ύσουµε ως προς θεωρώντας τις µεταβητές εεύθερες έχει ως σύνοο ύσεων το S { R}

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Τέος το σύστηµα ανάγεται σε δύο εξισώσεις και ύνοντας την πρώτη ως προς και τη δεύτερη ως προς έχουµε Θεωρώντας οιπόν τη µεταβητή ως εεύθερη το σύνοο ύσεων είναι S { R} Οι περιπτώσεις αυτές βέβαια δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερη δυσκοία. Όσο όµως αυξάνεται το πήθος των αγνώστων και των εξισώσεων καθώς και η πουποκότητα των εξισώσεων τα πράγµατα δυσκοεύουν. Λύνοντας µία εξίσωση και αντικαθιστώντας αυθαίρετα σε µια άη υπάρχει κίνδυνος να «χάσουµε» στην πορεία εξισώσεις σηµαντικές ή να κρατήσουµε εξισώσεις που θα µπορούσαν να απαειφθούν διότι προκύπτουν από άες. Στην επόµενη παράγραφο θα παρουσιάσουµε έναν συστηµατικό τρόπο επίυσης γραµµικών συστηµάτων ώστε να οδηγούµαστε σίγουρα στη σωστή ύση..6 Ο ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Θεωρούµε και πάι το σύστηµα των m γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους : :... m: m m (το i παριστάνει την i στη σειρά εξίσωση Λύση του συστήµατος είναι κάθε -άδα 6 ( u u K u που επαηθεύει όες τις εξισώσεις του συστήµατος. Όταν δεν υπάρχει τέτοια ύση έχουµε πει ήδη πως το σύστηµα έγεται αδύνατο. m m 6 σύµφωνα µε όσα αναφέραµε στην προηγούµενη παράγραφο η ύση είναι πίνακας-στήη. Χωρίς τον κίνδυνο σύγχυσης θα περιγράφουµε τις ύσεις πότε ως διανύσµατα και πότε ως πίνακες-στήη. u u u θέτοντας K

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Μια ειδική περίπτωση έχουµε όταν οι σταθεροί όροι K m είναι όοι. Τότε το σύστηµα έγεται οµογενές και είµαστε σίγουροι ότι έχει τουάχιστον µία ύση την µηδενική ( K (... Οπότε σύµφωνα µε προηγούµενη παρατήρηση το σύστηµα είτε έχει µόνο την µηδενική ύση είτε έχει άπειρες ύσεις Εδώ θα περιγράψουµε το σύστηµα µε έναν άον πίνακα που περιέχει τους συντεεστές των αγνώστων αά και τους σταθερούς όρους. Τον ονοµάζουµε επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος και είναι ο πίνακας M m M m O M m M m Ας θυµηθούµε πως ύνουµε ένα γραµµικό σύστηµα. Συνήθως το µετατρέπουµε µε κατάηες ενέργειες πάνω στις εξισώσεις σε ένα άο ισοδύναµο σύστηµα που έχει προφανείς ύσεις (καθώς στην πορεία απαείφονται κάποιοι άγνωστοι. Οι πράξεις αυτές είναι Αντιµεταθέτουµε δύο εξισώσεις του συστήµατος (i j Ποαπασιάζουµε µια εξίσωση επί (i i (* Προσθέτουµε σε µια εξίσωση µ φορές µια άη εξίσωση (i iµj Οι δύο τεευταίες πράξεις βέβαια µπορούν να γίνουν σε ένα βήµα (i iµj αρκεί να είναι. Να ποαπασιάσουµε δηαδή δύο εξισώσεις µε κατάηους συντεεστές και µετά να τις προσθέσουµε έτσι ώστε να απαειφθεί ένας άγνωστος. Έτσι π.χ. το σύστηµα γίνεται (αρχικά µε (- (- µετά µετά 8 (8

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ( µετά Μπορούµε βέβαια να συνεχίσουµε (απαείφοντας το από τη δεύτερη εξίσωση και τα από την πρώτη αά το τεευταίο σύστηµα είναι ήδη βοικό ώστε µε αντικατάσταση «προς τα πίσω» να πάρουµε -. Οπότε η ύση είναι ( ( Αν προσέξουµε τη διαδικασία θα διαπιστώσουµε ότι οι άγνωστοι δεν έπαιξαν σηµαντικό ρόο. Τα βήµατα καθορίστηκαν από τους συντεεστές των αγνώστων και από τους σταθερούς όρους. Σχηµατίζουµε οιπόν τον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος και εφαρµόζουµε τις παραπάνω πράξεις στις γραµµές του πίνακα. Οι τρεις πράξεις (* που περιγράψαµε πιο πάνω εφαρµοζόµενες σε γραµµές πίνακα θα έγονται στοιχειώδεις πράξεις. ύο πίνακες Α και Β θα έγονται ισοδύναµοι όταν ο ένας προκύπτει από τον άον µε µια σειρά από στοιχειώδεις πράξεις 8. Η ισοδυναµία αυτή θα συµβοίζεται Α~Β. Με διαδοχικές οιπόν ισοδυναµίες παίρνουµε ( ( ( ( 8 8 ( ( ( ( ( 8 Προκύπτει εύκοα ότι πρόκειται για σχέση ισοδυναµίας.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ που αντιστοιχεί στο σύστηµα - Εποµένως η µοναδική ύση 9 του συστήµατος είναι (. Ας ονοµάσουµε για ευκοία το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο κάθε γραµµής του πίνακα ηγετικό στοιχείο της γραµµής. Ο σκοπός µας οιπόν είναι να αναγάγουµε τον επαυξηµένο πίνακα σε έναν ισοδύναµο πίνακα όπου σε πρώτη φάση Όες οι µηδενικές γραµµές (αν υπάρχουν να βρίσκονται στη βάση του πίνακα Το ηγετικό στοιχείο κάθε γραµµής να βρίσκεται στα δεξιά του ηγετικού στοιχείου της προηγούµενης γραµµής Εάν σε κάποιον πίνακα εµφανιστεί µια γραµµή της µορφής (... µε τότε το σύστηµα είναι αδύνατο διότι αυτή η γραµµή αντιστοιχεί στην εξίσωση Εάν εµφανιστεί µια γραµµή της µορφής (... τη διαγράφουµε και συνεχίζουµε µε τις υπόοιπες διότι αυτή αντιστοιχεί στην εξίσωση Αν αποφανθούµε ότι υπάρχει ύση τότε συνεχίζουµε µε την αναζήτηση ενός ισοδύναµου πίνακα όπου σε σε δεύτερη φάση Το ηγετικό στοιχείο κάθε γραµµής να είναι και να αποτεεί το µοναδικό µη µηδενικό στοιχείο στη στήη του. 9 Η οποία υπενθυµίζουµε ότι µπορεί να γραφεί και ως πίνακας-στήη

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Η τεευταία µορφή του επαυξηµένου που ικανοποιεί και τις τρεις ιδιότητες που αναφέραµε ονοµάζεται κανονική µορφή. Μένει να διαπιστώσουµε αν από µια τέτοια µορφή προκύπτει µία και µοναδική ύση ή άπειρες ύσεις. Παρατηρούµε ότι ανάµεσα στις στήες ενός επαυξηµένου πίνακα σε κανονική µορφή εµφανίζονται οι στήες του µοναδιαίου πίνακα. Στο παράδειγµα µας πιο πάνω φτάσαµε στην κανονική µορφή Πριν τη διακεκοµµένη γραµµή εµφανίζεται ακριβώς ο µοναδιαίος πίνακας και το γεγονός αυτό αντιστοιχεί σε µια και µοναδική ύση. Υπάρχει βέβαια η περίπτωση να εµφανίζονται και άες στήες εκτός από αυτές του µοναδιαίου. Για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι σε ένα σύστηµα µε αγνώστους ( t s µετά από διαδοχικές ισοδυναµίες φτάνουµε στον επαυξηµένο πίνακα Ο πίνακας αυτός βρίσκεται επίσης σε κανονική µορφή και φανερώνει ότι υπάρχουν άπειρες ύσεις. Οι µεταβητές και t που δεν αντιστοιχούν σε στήες του µοναδιαίου πίνακα θα αποτεέσουν τις εεύθερες µεταβητές της ύσης του συστήµατος που σηµαίνει ότι η τεική ύση θα εκφραστεί βάσει αυτών. Οι εξισώσεις που προκύπτουν από τον πίνακα είναι t s t οι οποίες δίνουν την τεική ύση t s t µε R t Μια διαφορετική έκφραση της απάντησης θα ήταν ότι το σύνοο ύσεων του συστήµατος είναι } {( R t t t t S ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Να υθεί το σύστηµα w w w

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ 6 Έχουµε διαδοχικά ~ ~ Άρα το σύστηµα δεν έχει ύση. Να υθεί το σύστηµα t t t Έχουµε διαδοχικά ~ ~ ~ ~ 9 Ο τεευταίος πίνακας είναι σε κανονική µορφή µε τον µοναδιαίο πίνακα να εµφανίζεται στις στήες του και του. Οι εεύθερες µεταβητές είναι οιπόν οι t. Η ύση του συστήµατος είναι t t 9 µε R t Με άα όγια το σύνοο ύσεων είναι } 9 {( R t t t t S Να υθεί το σύστηµα Έχουµε διαδοχικά ~ 8 ~

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ~ 8 8 ~ ~ ~ Άρα η µοναδική ύση του συστήµατος είναι ( (. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Στην παράγραφο αυτή θα ασχοηθούµε µε πίνακες. Επειδή έχουν τον ίδιο αριθµό γραµµών και στηών τους ονοµάζουµε τετραγωνικούς πίνακες τάξης. Εδώ έχουµε το πεονέκτηµα να εφαρµόζουµε ανάµεσα σε πίνακες όες τις πράξεις που µάθαµε ως τώρα όπως την πρόσθεση τον ποαπασιασµό αριθµού µε πίνακα τον ποαπασιασµό πινάκων τον ανάστροφο ενός πίνακα και να παίρνουµε και πάι πίνακες. Σε έναν τετραγωνικό πίνακα τάξης Α M M O M τα στοιχεία K έµε ότι αποτεούν την (κύρια διαγώνιο του πίνακα. Το άθροισµά τους ονοµάζεται ίχνος του πίνακα (tre και συµβοίζεται tr Για το ίχνος ισχύουν οι ιδιότητες. tr ( B tr trb. tr( tr. tr ( B tr( B Οι αποδείξεις αφήνονται ως άσκηση. ii Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι τετραγωνικοί πίνακες που έχουν µηδενικά είτε παντού επάνω είτε παντού κάτω από την κύρια διαγώνιο. i

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ M M O M M M O M M M O M Ένας πίνακας της πρώτης µορφής θα έγεται άνω τριγωνικός. Σε έναν τέτοιο πίνακα ισχύει προφανώς όποτε i> j. ij Ένας πίνακας της δεύτερης µορφής θα έγεται κάτω τριγωνικός. Σε έναν τέτοιο πίνακα ισχύει προφανώς όποτε i< j. ij Τέος ένας πίνακας της τρίτης µορφής δηαδή µε µηδενικά στοιχεία οπουδήποτε αού πέρα από την κύρια διαγώνιο θα έγεται διαγώνιος πίνακας. Σε έναν τέτοιο πίνακα ισχύει προφανώς όποτε i j. ij Σηµείωση: Προσέξτε ότι κάποιο από τα υπόοιπα στοιχεία στον κάθε ορισµό µπορεί να είναι επίσης. ij που εµφανίζονται Ξεχωρίζουµε τον διαγώνιο πίνακα που στην κύρια διαγώνιό του έχει παντού. Ονοµάζεται µοναδιαίος και συµβοίζεται Ι ή απά Ι (όταν δεν υπάρχει πρόβηµα σύγχυσης στις διαστάσεις του πίνακα. Είναι δηαδή όπου δij Ι (δij αν αν i j i j (το σύµβοο αυτό είναι γνωστό ως δέτα του Kroeker. Η ονοµασία του µοναδιαίου πίνακα είναι δικαιοογηµένη αν παρατηρήσουµε ότι ΑΙ Α ΙΑ Α για κάθε τετραγωνικό πίνακα Α (ουσιαστικά ισχύει ακόµη και όταν ο Α δεν είναι τετραγωνικός αρκεί βέβαια να ορίζεται ο ποαπασιασµός. Πράγµατι για την πρώτη σχέση αν Α( ij και ΑΙ ( ij τότε s ij ikδ kj k ij δjj ij (διότι το δkj µηδενίζεται πάντοτε εκτός από την µοναδική περίπτωση όπου kj. Συνεπώς ΑΙ Α. Όµοια δείχνεται και η δεύτερη σχέση. Με µερικά παραδείγµατα µπορούµε να καταάβουµε πιο εύκοα γιατί συµβαίνει αυτό. Ας δούµε ένα. 8

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ 9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω ο τετραγωνικός πίνακας Εάν σχηµατίσουµε τον αντίστοιχο άνω τριγωνικό κάτω τριγωνικό και διαγώνιο θα πάρουµε Έχουµε επίσης 9 tr Τέος I Α και I Α Οι δυνάµεις πινάκων (µε εκθέτη φυσικό αριθµό ορίζονται όπως και στους πραγµατικούς αριθµούς δηαδή Α ΑΑ Α Α Α... Α Α ενώ ορίζουµε επίσης Ι. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας υποογίσουµε όες τις δυνάµεις του τετραγωνικού πίνακα B

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Έχουµε Ι και Ο οπότε Ο για. Για τον δεύτερο πίνακα Β Ι Β Β και B B B B 6 6 B B B υστυχώς τα πράγµατα δεν είναι τόσο βοικά όσο στην προηγούµενη περίπτωση. Εδώ σκεπτόµενοι πως σχηµατίζονται οι διάφορες δυνάµεις µπορούµε να υποψιαστούµε ότι B ( (* ευεπιστώντας ότι µε επαγωγή η υποψία µας θα αποδειχτεί βάσιµη. Για η (* επαηθεύεται. Έστω ότι ισχύει για. Θα δείξουµε ότι ισχύει και για δηαδή ότι

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ B ( ( ( Πράγµατι B B B ( ( ( ( ( όπως θέαµε. Ένας εναακτικός και έξυπνος τρόπος για τον δεύτερο πίνακα είναι να βασιστούµε στο πρώτο αποτέεσµα καθώς I B και στην ταυτότητα ( που ισχύει και για πίνακες Α Β όταν αυτοί αντιµετατίθενται (γιατί;. Είναι I B ( I ( I διότι οι µεγαύτερες δυνάµεις του Α µηδενίζονται. Τεικά B ( (.8 ΑΝΤΙΣΤΡΕΨΙΜΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ένας τετραγωνικός πίνακας Α θα έγεται αντιστρέψιµος αν υπάρχει πίνακας Β τέτοιος ώστε B I B Εάν υπάρχει τέτοιος πίνακας τότε είναι µοναδικός. Πράγµατι ας υποθέσουµε ότι υπάρχει και άος πίνακας B που έχει την ίδια ιδιότητα δηαδή B I B. Σκεφτείτε κατ αναογία ότι στο R κάθε µη µηδενικός αριθµός α είναι αντιστρέψιµος γιατί υπάρχει ο α - τέτοιος ώστε αα - α - α.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Τότε ο B συµπίπτει µε τον Β καθώς B IB B B B B B I B ( (. Επειδή είναι µοναδικός τον ονοµάζουµε αντίστροφο του Α και τον συµβοίζουµε Α -. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Έστω οι πίνακες και B Έχουµε B I και B I. Συνεπώς οι δύο πίνακες είναι αντιστρέψιµοι και µάιστα ο ένας είναι αντίστροφος του άου δηαδή B και B Υπάρχουν πίνακες που δεν είναι αντιστρέψιµοι. Π.χ. ο πίνακας 6. Πράγµατι ας υποθέσουµε αντίθετα ότι έχει ως αντίστροφο τον πίνακα d B. Τότε έχουµε διαδοχικά I B 6 d d d 6 6 οπότε η πρώτη στήη δίνει 6 το οποίο είναι άτοπο. Άρα δεν ορίζεται ο. Ωραία οιπόν όταν µας δίνουν τον Β µπορούµε να εέγξουµε αν είναι πράγµατι ο αντίστροφος του Α. Το ερώτηµα είναι «όταν µας δίνουν µόνο τον πίνακα Α πως βρίσκουµε τον αντίστροφο του;».

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ.9 ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΤΟΥ Α (ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ Όταν µας δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας Α τάξης ο επόµενος αγόριθµος είτε αποφαίνεται ότι ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος είτε βρίσκει τον αντίστροφο. ΒΗΜΑ : BHM : ΒΗΜΑ : Σχηµατίζουµε τον ( πίνακα M( I Προσπαθούµε να αναγάγουµε τον Μ σε κανονική µορφή. Εάν στην πρώτη φάση εµφανιστεί µηδενική γραµµή στο πρώτο µισό του πίνακα σταµατάµε. Ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιµος. Αν όχι συνεχίζουµε στη δεύτερη φάση. Βρίσκουµε την κανονική µορφή M (Ι Β. ΒΗΜΑ : Είναι B Σκαρίφηµα απόδειξης: Η εφαρµογή µιας στοιχειώδους πράξης σε έναν πίνακα σηµαίνει ουσιαστικά ποαπασιασµό µε έναν πίνακα Ε από αριστερά ο οποίος µάιστα είναι αντιστρέψιµος (βέπε ασκήσεις **. Εάν ξεκινήσουµε από τον πίνακα M ( I και µετά από διαδοχικές ισοδυναµίες που αντιστοιχούν στους πίνακες E E K E m καταήξουµε στον πίνακα Μ (Ι Β τότε E m EEM M ' και κατά συνέπεια στα δύο µέρη-υποπίνακες των πινάκων έχουµε E m EE I καθώς και E E E I B. m Τότε και τεικά B I Ο Β είναι αντιστρέψιµος ως γινόµενο αντιστρέψιµων πινάκων και άρα έχουµε διαδοχικά B ( B B I B B B B m που σηµαίνει ότι και B I. Τεικά παίρνουµε Εάν αντίθετα µετά από διαδοχικές ισοδυναµίες καταήξουµε σε ένα πίνακα που περιέχει στο πρώτο µέρος έναν υποπίνακα C µε µηδενική γραµµή τότε E m EE C Επειδή ο C δεν είναι αντιστρέψιµος δε µπορεί να είναι αντιστρέψιµος ούτε ο Α. B ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ίνεται ο πίνακας. 8 Να εξεταστεί αν είναι αντιστρέψιµος και αν είναι να βρεθεί ο αντίστροφος.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Έχουµε διαδοχικά Μ 8 ( I Άρα 6 (Βεβαιωθείτε ότι ΑΑ - Ι Α - Α Οµοίως για τον πίνακα. Έχουµε Μ 6 Εφόσον εµφανίζεται µηδενική γραµµή στο πρώτο µισό του πίνακα ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος.

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Να βρεθεί η τιµή των w σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις (i w w w (ii w w w. Να υθεί η εξίσωση X X όπου X είναι ένας πίνακας.. Να εκτεέσετε τις πράξεις όπου είναι δυνατόν (i ( ( ( 6 (ii ( 9 ( ( (iii 6 (iv (v (vi ( (vii ( (viii d (i d ( d

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ 6. ίνονται οι πίνακες 6 και B Να δείξετε ότι για κάθε R είναι B B. ίνεται ο πίνακας. Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι πίνακες της µορφής w X που αντιµετατίθενται µε τον Α δη. τέτοιοι ώστε X X 6. Να αποδείξετε τις 8 ιδιότητες της παραγράφου. (σε.. Να αποδείξετε τις 6 ιδιότητες της παραγράφου. (σε. 8. Να αποδείξετε τις ιδιότητες της παραγράφου. (σε. 9. Έστω ( e ( e ( e και Να υποογίσετε τους πίνακες e e e. Τι συµπέρασµα βγάζετε; ιατυπώστε ανάογο συµπέρασµα χρησιµοποιώντας κατάηους πίνακες στήες E E E E. Να εκφράσετε µε πίνακες τα συστήµατα (i w w (ii (iii. ίνεται το σύστηµα B X όπου και B Πόσες ύσεις έχει το σύστηµα;

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ. ίνονται οι πίνακες 6 και Να προσδιοριστεί η τιµή του Στη συνέχεια να ύσετε τα συστήµατα (i 6 (ii B R ώστε να ισχύει 6 B B I. ίνεται το σύστηµα X B. Υποθέστε ότι υπάρχει ένας πίνακας C τέτοιος ώστε C I (όπου I ο µοναδιαίος πίνακας. Πόσες ύσεις έχει το σύστηµα και ποιες;. ίνεται το σύστηµα X B και δύο διαφορετικές ύσεις του οι X S και X S (δη. οι S S είναι πίνακες-στήη τέτοιοι ώστε S B S B. είξτε ότι (i ο πίνακας X S S είναι επίσης ύση του συστήµατος (ιι γενικά ο πίνακας X S S µε είναι επίσης ύση του συστήµατος. Πόσες ύσεις έχει το σύστηµα;. Τι συµπέρασµα βγάζετε για το πήθος των ύσεων ενός γραµµικού συστήµατος από τις ασκήσεις ; (βέπε σχετική παρατήρηση στην παράγραφο. 6. Να υθούν τα συστήµατα (α (β w t wt w t 6 Λύσεις: S / (Αδύνατο S { w t w t w t w t w t R}. Να υθεί το σύστηµα k k k για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου Λύση: Για αδύνατο. k R k αόριστο µε ύσεις ( όπου R. Για k Για k µοναδική ύση: k

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚΕΣ 8. ίνεται το σύστηµα X B ( µε µια συγκεκριµένη ύση του S και το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα X O ( είξτε ότι το σύνοο ύσεων του συστήµατος ( είναι { S S S ύση του (} Με άα όγια όταν το S διατρέχει τις ύσεις του ( τότε το διατρέχει τις ύσεις του ( και αντίστροφα. S S 9. Να δείξετε ότι αν B I τότε οι πίνακες ΑΒ αντιµετατίθενται.. Έστω ότι εφαρµόζουµε τη στοιχειώδη πράξη (p q (αντιµετάθεση γραµµών p και q στο µοναδιαίο πίνακα Ι και προκύπτει ο E. είξτε ότι αν εφαρµόσουµε την ίδια στοιχειώδη πράξη σε έναν πίνακα Α θα προκύψει ο E.. Έστω ότι εφαρµόζουµε τη στοιχειώδη πράξη (i iµj µε στο µοναδιαίο πίνακα Ι και προκύπτει ο E. είξτε ότι αν εφαρµόσουµε την ίδια στοιχειώδη πράξη σε έναν πίνακα Α θα προκύψει ο E.. Να βρεθούν (αν υπάρχουν οι αντίστροφοι πίνακες των B C 6. Έστω Α και Β αντιστρέψιµοι πίνακες. Να δείξετε ότι και ο ΑΒ είναι αντιστρέψιµος και µάιστα ( B B Να δείξετε επίσης ότι και ο ανάστροφος του Α είναι αντιστρέψιµος και µάιστα T T ( (. Αν κάποια δύναµη του Α είναι ο µηδενικός πίνακας τότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος. (Υπόδειξη: Υποθέστε ότι είναι ο εάχιστος φυσικός για τον οποίο Ο και καταήξτε σε άτοπο 8

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα τάξης θα αντιστοιχίσουµε έναν πραγµατικό ( ij αριθµό τον οποίο θα ονοµάσουµε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συµβοίζεται det ή Α ή Αρχικά η ορίζουσα εµφανίζεται στη µεέτη συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων αά η χρησιµότητά της επεκτείνεται και σε ποές άες εφαρµογές όχι µόνο της Άγεβρας άα και άων κάδων των Μαθηµατικών όπως η Μαθηµατική Ανάυση η Αναυτική Γεωµετρία κ.α. Θα ορίσουµε πρώτα τις ορίζουσες ης ης και ης τάξης και στη συνέχεια τις ορίζουσες οποιασδήποτε τάξης. Αν θεωρήσουµε το σύστηµα X B όπως το περιγράψαµε στην παράγραφο. θα δούµε ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες O Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος det Το σύστηµα ΑΧ Β έχει µοναδική ύση. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ης ΚΑΙ ης ΤΑΞΗΣ Η περίπτωση ης τάξης είναι τετριµµένη. Αν ( τότε det. Εάν ο Α είναι ένα πίνακας µε τότε η ορίζουσα det ορίζεται ως εξής: d d d Εφόσον τα στοιχεία του πίνακα ανήκουν στο R 9

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Προφανώς det( det(. Επίσης ( 6( 88 9 Η επόµενη πρόταση συνδέει τον αντίστροφο ενός πίνακα µε την ορίζουσά του. ΘΕΩΡΗΜΑ: Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και d µόνο αν det. Τότε ο αντίστροφος του Α είναι d det Απόδειξη: Έστω ότι ο Α είναι αντιστρέψιµος µε I d w. Τότε w w d dw w d dw (. ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: d d Έστω ότι. Η τρίτη εξίσωση δίνει και η πρώτη γίνεται ( ή ισοδύναµα ( d. Συνεπώς det d. Έστω. Η τέταρτη εξίσωση δίνει d η τρίτη και η πρώτη. Άρα και πάι det d d. Αντίστροφα έστω ότι D det. Τότε για τον πίνακα B διαπιστώνουµε ότι d D B D d d D d d d d D D Ι D

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ καθώς επίσης (µε όµοιο τρόπο και ότι B I. Άρα ο Α είναι αντιστρέψιµος. Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι ο αντίστροφος του Α είναι ο d det.. ΣΥΣΤΗΜΑ CRMER Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα µε δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους: (. Οι παρακάτω ορίζουσες θα µας φανούν χρήσιµες D det D D (Προσέξτε ότι οι στήη µε τους σταθερούς όρους. D D αµβάνονται από την D αντικαθιστώντας την αντίστοιχη Είναι D D D Τώρα αν θέσουµε X B το σύστηµα γράφεται X B. Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος ποαπασιάζουµε και τα δύο µέη µε αριστερά και έχουµε διαδοχικά από ( ( X X IX B X B B B δηαδή το σύστηµα έχει µοναδική ύση. Σύµφωνα µε το θεώρηµα της προηγούµενης παραγράφου είναι D det και η ύση του συστήµατος είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ B det D D D D δηαδή D D D D Καταήξαµε οιπόν στο ακόουθο ΘΕΩΡΗΜΑ: Όταν η ορίζουσα του συστήµατος (. είναι D το σύστηµα έχει τη µοναδική ύση D D D D Στην περίπτωση αυτή το σύστηµα έγεται σύστηµα Crmer. Θα δούµε παρακάτω ότι ανάογο αποτέεσµα ισχύει για οποιοδήποτε σύστηµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Έστω το σύστηµα Επειδή D και D 6 D το σύστηµα έχει τη µοναδική ύση D 6 D D D Να υθεί το σύστηµα ( ( ( Είναι ( D ( ( ( ( ( ιακρίνουµε περιπτώσεις Αν και τότε D και έχουµε σύστηµα Crmer.

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έχουµε D D ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( και το σύστηµα έχει τη µοναδική ύση D D D D Αν το σύστηµα γίνεται και προφανώς είναι αδύνατο. Αν το σύστηµα γίνεται Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναµες οπότε παίρνουµε τις άπειρες ύσεις ( ( όπου R. ΟΡΙΖΟΥΣΑ ης ΤΑΞΗΣ Η ορίζουσα ης τάξης ορίζεται ως εξής Για να προάβουµε οποιαδήποτε δυσάρεστη έκπηξη να πούµε ότι δεν χρειάζεται αποµνηµόνευση του τύπου αυτού διότι πρακτικά ο υποογισµός γίνεται πιο εύκοα. Ειδικά για την ορίζουσα ης τάξης υπάρχει ένας πρακτικός κανόνας γνωστός ως κανόνας του Srrus. Γράφουµε ξανά τις δύο πρώτες στήες δίπα στην ορίζουσα και υποογίζουµε τα έξι γινόµενα του ορισµού σύµφωνα µε το σχήµα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θα υποογίσουµε την ορίζουσα D Με τον κανόνα του Srrus έχουµε D 6 Ή ορίζουσα τάξης µπορεί να υποογιστεί και µε τη βοήθεια της ορίζουσας τάξης. Συµβοίζουµε µε ij την ορίζουσα τάξης που προκύπτει αν διαγράψουµε την i- γραµµή και την j-στήη. Η ορίζουσα αυτή έγεται εάσσων ορίζουσα του στοιχείου. Τότε µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι ij D Αρκεί να κάνουµε τις πράξεις στο ο µέος: ( ( D (

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ο υποογισµός αυτός έγεται ανάπτυγµα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της ης γραµµής. Το ίδιο αποτέεσµα βρίσκουµε και µε αναπτύγµατα κατά της στοιχεία των άων γραµµών. Έτσι έχουµε D. Τέος το ίδιο αποτέεσµα βρίσκουµε και µε αναπτύγµατα κατά τα στοιχεία στηών. Έτσι D ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θα υποογίσουµε πάι την ορίζουσα D Με ανάπτυγµα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της ης γραµµής έχουµε D 8 ( ( όπως είχαµε βρει και στο προηγούµενο παράδειγµα. Συµφέρει ωστόσο να υποογίσουµε την ορίζουσα µε το ανάπτυγµα κατά τα στοιχεία της πρώτης στήης διότι εκεί υπάρχει στοιχείο : D 8 ( Θα υποογίσουµε την ορίζουσα D Συµφέρει να την υποογίσουµε κατά τα στοιχεία της ης στήης: D ( 6

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Η ορίζουσα ενός άνω τριγωνικού πίνακα υποογίζεται εύκοα. Ποαπασιάζουµε απώς τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου. Πράγµατι Έτσι π.χ. d f e D e 8 ( Προφανώς το ίδιο ισχύει και για έναν κάτω τριγωνικό πίνακα.. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Ο υποογισµός µιας ορίζουσας µπορεί να γίνει ακόµη πιο εύκοος αν χρησιµοποιήσουµε κατάηα τις παρακάτω ιδιότητες των οριζουσών. det det T ηαδή η ορίζουσα δεν µεταβάεται αν οι γραµµές γίνουν στήες. Αυτό είναι φανερό εφόσον το ανάπτυγµα µιας ορίζουσας είτε ως προς µια γραµµή είτε ως προς µια στήη δίνει το ίδιο αποτέεσµα.. Αν εναάξουµε δυο γραµµές (ή δυο στήες η ορίζουσα αάζει πρόσηµο. Π.χ. είχνεται εύκοα µε πράξεις. Αν δύο γραµµές (ή δυο στήες είναι ίδιες η ορίζουσα είναι. Πράγµατι εάν εναάξουµε τις ίδιες γραµµές (ή στήες παίρνουµε την ίδια ορίζουσα οπότε σύµφωνα µε την προηγούµενη ιδιότητα det det det det. Αν ποαπασιάσουµε τα στοιχεία µιας γραµµής (ή µιας στήης µε τον αριθµό τότε η ορίζουσα ποαπασιάζεται µε το. 6

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Π.χ. ( Έτσι οιπόν κατά τον υποογισµό µιας ορίζουσας µπορούµε να βγάζουµε κοινό παράγοντα από µια γραµµή ή µια στήη.. Αν µια γραµµή (ή µια στήη είναι ποαπάσιο µιας άης γραµµής (ή στήης τότε η ορίζουσα είναι. Προκύπτει από τον συνδυασµό των ιδιοτήτων και. Π.χ. α α α α α α 6. Αν κάθε στοιχείο µιας γραµµής (ή στήης είναι άθροισµα δύο αριθµών τότε η ορίζουσα ανάγεται σε άθροισµα δύο οριζουσών ως εξής d d d d d d είχνεται εύκοα µε πράξεις. Αν προσθέσουµε σε µια γραµµή (η µια στήη το ποαπάσιο µιας άης γραµµής (ή στήης η ορίζουσα παραµένει ίδια. Π.χ. α α α Η ιδιότητα αυτή χρησιµοποιείται πού συχνά για να µηδενίζουµε στοιχεία σε µια γραµµή ή µια στήη ώστε το αντίστοιχο ανάπτυγµα να γίνεται πιο από. Μπορούµε ακόµη να φέρουµε την ορίζουσα σε (άνω ή κάτω τριγωνική µορφή ώστε να πάρουµε αµέσως το αποτέεσµα σύµφωνα µε το Παράδειγµα της προηγούµενης παραγράφου.

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 8 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ D. Αφαιρούµε την η στήη από τις άες δύο (ιδιότητα D και τώρα παίρνουµε το ανάπτυγµα κατά τα στοιχεία της ης γραµµής D 8 6 D 9 6 [κοινό παράγοντα από την η στήη] [προσθέσαµε τη η στήη στην η ] [δυο στήες ίδιες] D [προσθέσαµε η και η στήη στην η ] ( [κοινό παράγοντα από την η στήη] ( [αφαιρέσαµε η γραµµή από η & η ]

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ( ( ( [άνω τριγωνική µορφή] ( (.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Έστω ο πίνακας Συµβοίζουµε µε ij την εάσσονα ορίζουσα ης τάξης που προκύπτει αν διαγράψουµε την i-γραµµή και την j-στήη του πίνακα Α. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν D det τότε ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφός του είναι ο πίνακας D Απόδειξη: Έστω Τότε B B D D Στην κύρια διαγώνιο του γινοµένου των δύο πινάκων θα πάρουµε αναπτύγµατα της ορίζουσας D. Σε κάθε άη θέση θα πάρουµε. Ουσιαστικά θα πάρουµε τα ίδια αναπτύγµατα όπου όµως θα έχει αντικατασταθεί µια γραµµή της D µε µια άη γραµµή: π.χ. το γινόµενο της ης γραµµής µε τη η στήη δίνει (πήραµε το ανάπτυγµα ως προς την η γραµµή. Προσέξτε ότι οι εάσσονες ορίζουσες των στοιχείων µιας γραµµής µπαίνουν στην αντίστοιχη στήη. 9

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Άρα D B D I D D Όµοια παίρνουµε και B I οπότε προκύπτει το αποτέεσµα. Σηµείωση: Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήµατος οπότε ένας πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν η ορίζουσά του είναι διάφορη του. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο κεφάαιο (παράγραφος.9 υποογίσαµε τον αντίστροφο του πίνακα και βρήκαµε 6 8 Θα υποογίσουµε πάι τον αντίστροφο µε τη βοήθεια του προηγούµενου θεωρήµατος. Βρίσκουµε πρώτα την ορίζουσα του πίνακα det 8 και στη συνέχεια τις εάσσονες ορίζουσες Εποµένως 6 D ( ( (6 ( ( ( ( ( ( 6 όπως αναµέναµε.

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Σηµείωση: Όπως βέπουµε ο υποογισµός µε τον τρόπο αυτό είναι πιο επίπονος. Πρακτικά χρησιµοποιούµε τη µέθοδο του κεφααίου. Ωστόσο το αποτέεσµα αυτής της παραγράφου έχει µεγάη θεωρητική αξία.. ΣΥΣΤΗΜΑ CRMER Έστω το σύστηµα Όπως στην περίπτωση του συστήµατος (παράγραφος. έτσι κι εδώ θέτουµε ενώ Τότε D D D D ΘΕΩΡΗΜΑ: Όταν η ορίζουσα του συστήµατος είναι D το σύστηµα έγεται σύστηµα Crmer και έχει τη µοναδική ύση D D D D D D Η απόδειξη είναι παρόµοια µε αυτήν της παραγράφου.. Σηµείωση: Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήµατος δηαδή το σύστηµα έχει µοναδική ύση αν και µόνο αν D. Συνεπώς όταν D το σύστηµα είτε είναι αδύνατο είτε έχει άπειρες ύσεις. Στην περίπτωση αυτή το ύνουµε µε κάποιον από τους γνωστούς τρόπους (µε επαυξηµένο πίνακα µε αντικατάσταση κπ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στην παράγραφο.6 ύσαµε το σύστηµα

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ και βρήκαµε ( (. Εδώ θα το ύσουµε µε τη µέθοδο των οριζουσών. Έχουµε D - Πρόκειται οιπόν για σύστηµα Crmer. Έχουµε επίσης D - D D - άρα D D D D D D όπως αναµέναµε..8 ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΤΑΞΗΣ Στην παράγραφο. υποογίσαµε την ορίζουσα ης τάξης µε την βοήθεια οριζουσών ης τάξης χρησιµοποιώντας αναπτύγµατα ως προς κάποια γραµµή ή κάποια στήη. Μπορούµε να επεκτείνουµε επαγωγικά τον ορισµό της ορίζουσας για τετραγωνικούς πίνακες οποιασδήποτε τάξης. Ορίζουµε οιπόν O ( όπου µε ij συµβοίζουµε την εάσσονα ορίζουσα τάξης - που προκύπτει αν διαγράψουµε την i-γραµµή και την j-στήη.

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Αποδεικνύεται και πάι ότι το ανάπτυγµα ως προς τα στοιχεία οποιασδήποτε γραµµής ή στήης δίνει το ίδιο αποτέεσµα. Τα πρόσηµα στο αντίστοιχο ανάπτυγµα µπαίνουν εναάξ σύµφωνα µε το σχήµα O M M M Οι ιδιότητες των οριζουσών που περιγράψαµε στην παράγραφο. ισχύουν και εδώ. Τέος τα αποτεέσµατα των παραγράφων.6 και. επεκτείνονται και για τον αντίστροφο ενός πίνακα και για το σύστηµα Crmer. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ διότι η πρώτη και η τρίτη ορίζουσα έχουν από δύο ίδιες γραµµές ενώ η δεύτερη έχει δύο γραµµές ανάογες. Να υθεί η εξίσωση Έχουµε (

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ( ( ( ή

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Να υποογιστεί µε τον κανόνα του Srrus καθώς και µε τα έξι αναπτύγµατα η ορίζουσα 6 8 (Απ. -. Να υποογιστούν οι ορίζουσες D D D l l (Απ D D D. Να υθεί το σύστηµα (Απ. Για k ( k ( k k k k k k k 8 k ( ( Για k k k αδύνατο. Να δείξετε µε τις ιδιότητες των οριζουσών ότι. Να δείξετε ότι α ( ( (

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 6 β ( ( ( γ ( 6. Να βρεθούν οι αντίστροφοι των πινάκων 8 B α µε τη µέθοδο των πράξεων σε γραµµές του κεφααίου β µε τη βοήθεια του τύπου των οριζουσών. Να υθεί µε ορίζουσες το σύστηµα 6 (Απ. Crmer µε ύση 8. Να υθεί το σύστηµα 9. α είξτε ότι D ] ( ( [( ( β Να υθεί το σύστηµα αν (Απ. Αν D ( ( Αν D τότε και έχουµε άπειρες ύσεις ( µε R

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Να υποογιστεί η ορίζουσα 6 D (Απ -. Να υθούν οι εξισώσεις α β γ δ ( (Απ. α β 6 γ R δ. Πότε είναι αντίστροφος ο πίνακας d και ποιος είναι ο αντίστροφός του;. ίνεται το πουώνυµο ( p όπου ανά δύο διαφορετικοί µεταξύ τους. α Ποιος είναι ο βαθµός του; β Ποιος είναι ο συντεεστής του µεγιστοβάθµιου όρου; γ Ποιος είναι ο σταθερός όρος; δ Ποιες είναι οι ρίζες του πουωνύµου; ε Να γραφεί το πουώνυµο στη µορφή ( ( ( ( p ρ ρ ρ όπου ρ ρ ρ K οι ρίζες του πουωνύµου.

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Να υθεί η εξίσωση (Υπόδειξη: δε χρειάζεται να υποογίσετε την ορίζουσα σκεφτείτε όπως στην προηγούµενη άσκηση. Να δείξετε ότι M M M O M ( 6. ίνεται η ορίζουσα τάξης D M M M O O O (έχει - στην κύρια διαγώνιο στην αµέσως επόµενη και αµέσως προηγούµενη διαγώνιο και παντού αού α Αναπτύσσοντας κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής να εκφράσετε την D συναρτήσει των D και D β Να δείξετε µε επαγωγή ότι D ( ( 8

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ Ας θεωρήσουµε δύο σύνοα Α και Β. Από αυτά µπορούµε να δηµιουργήσουµε ένα νέο σύνοο τα καρτεσιανό γινόµενο B που αποτεείται από όα τα διατεταγµένα ζεύγη ( όπου και B. Πιο αυστηρά Αν γράφουµε B {( B}. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω { } και B { }. Τότε B {( ( ( ( ( ( } B {( ( ( ( ( ( } {( ( ( (} B {( ( ( ( ( ( ( ( ( } Γνωρίζουµε ότι οι πραγµατικές συναρτήσεις µε µια πραγµατική µεταβητή εκφράζονται ως εξής f : R R και όταν θέουµε να δηώσουµε ότι η µεταβητή απεικονίζεται στην γράφουµε f ( Πχ µια τέτοια συνάρτηση είναι η f ( Ανάογα µια πραγµατική συνάρτηση µε δύο µεταβητές (πχ αν θέουµε να εκφράσουµε ότι ένα µέγεθος εξαρτάται όχι από έναν αά από δύο παράγοντες χρησιµοποιούµε µια τέτοια συνάρτηση εκφράζεται f : R R R και όταν θέουµε να δηώσουµε ότι το ζεύγος ( απεικονίζεται στο γράφουµε Όταν έµε διατεταγµένο εννοούµε ότι παίζει ρόο η σειρά ότι δηαδή το ζεύγος ( είναι γενικά διαφορετικό από το (. 9

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ f ( Πχ µια τέτοια συνάρτηση είναι η f ( όπου για παράδειγµα f ( (ζεύγος πραγµατικών αριθµών απεικονίζεται σε πραγµατικό αριθµό. Μια συνάρτηση µε f : B C f( (που αντιστοιχίζει δηαδή σε κάθε ζεύγος ( του να χαρακτηριστεί και ως πράξη. Εσωτερική πράξη σε ένα σύνοο Α είναι µια συνάρτηση : B ένα στοιχείο C µπορεί Εξωτερική πράξη στο Α (µε συντεεστές στο Κ είναι µια συνάρτηση : K Όταν αναφερόµαστε σε πράξεις και στις δύο περιπτώσεις αντί για ( συνηθίζουµε να γράφουµε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η πρόσθεση και ο ποαπασιασµός στο σύνοο R των πραγµατικών αριθµών είναι εσωτερικές πράξεις. Αντιστοιχίζουν σε ένα κάθε ζεύγος ( πραγµατικών αριθµών έναν νέο πραγµατικό αριθµό το άθροισµά τους και γινόµενό τους αντίστοιχα. Στο σύνοο M των τετραγωνικών πινάκων η πρόσθεση και ο ποαπασιασµός πινάκων είναι πράξεις εσωτερικές διότι από δύο πίνακες παράγεται ένας νέος πίνακας ενώ ο ποαπασιασµός αριθµού µε πίνακα είναι πράξη εξωτερική (από το R M στο M.

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Στη συνέχεια του κεφααίου αυτού θα θεωρούµε µια εσωτερική πράξη που καταχρηστικά θα ονοµάζουµε «πρόσθεση» και µια εξωτερική πράξη που θα ονοµάζουµε «εξωτερικό ποαπασιασµό» ή «βαθµωτό ποαπασιασµό». ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ Έστω V ένα µη κενό σύνοο εφοδιασµένο µε δύο πράξεις µια εσωτερική και µία εξωτερική: (πρόσθεση (βαθµωτός ποαπασιασµός µε συντεεστές στο R ηαδή ισχύουν (i V / (ii για κάθε u v V u v V (ή όπως αιώς έµε το V είναι κειστό ως προς την πρόσθεση (iii για κάθε R u V u V (ή όπως αιώς έµε το V είναι κειστό ως προς τον βαθµωτό ποαπασιασµό Το σύνοο V θα έγεται διανυσµατικός χώρος (στο R αν ισχύουν οι επόµενες οκτώ ιδιότητες Ως προς την πρόσθεση: Α. για κάθε u v V u v v u (αντιµεταθετική ιδιότητα Α. για κάθε u v w V ( u v w u ( v w (προσεταιριστική ιδιότητα Α. υπάρχει ένα στοιχείο V τέτοιο ώστε για κάθε u V u u u Το έγεται ουδέτερο στοιχείο του V.. για κάθε u V υπάρχει ένα στοιχείο u V τέτοιο ώστε u u u u. Το u ονοµάζεται συµµετρικό στοιχείο του u και συµβοίζεται u. Ως προς τον βαθµωτό ποαπασιαµό: για κάθε µ R και u v V Β. ( u v u v Β. ( µ u u µ u Β. ( µ u ( µ u Β. u u Τα στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου θα έγονται και διανύσµατα.

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Σηµείωση: όταν σε ένα µη κενό σύνοο V µε µια εσωτερική πράξη ισχύουν οι ιδιότητες Α-Α έµε ότι το σύνοο αποτεεί οµάδα. Εάν επιπέον ισχύει και η ιδιότητα έµε ότι αποτεεί αντιµεταθετική οµάδα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Το σύνοο V M όων των πινάκων µε τις συνηθισµένες πράξεις (πρόσθεση πινάκων και (ποαπασιασµός αριθµού µε πίνακα είναι διανυσµατικός χώρος. Προφανώς το σύνοο V είναι µη κενό και κειστό ως προς τις δύο πράξεις. Τις ιδιότητες Α-Α και Β-Β τις έχουµε δει στο Κεφάαιο. Το ουδέτερο στοιχείο είναι ο µηδενικός πίνακας. Έστω V M το σύνοο όων των πινάκων στο R. Αν Α είναι ένας πίνακας και Β ένας πίνακας 9 τότε δεν ορίζεται το άθροισµα ΑΒ δηαδή το Μ δεν είναι κειστό ως προς την πρόσθεση πινάκων. Συνεπώς το Μ µε τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθµωτού ποαπασιασµού δεν αποτεεί διανυσµατικό χώρο. Έστω V R R R R {( / R} µε τις συνήθεις πράξεις ( ( ( ( ( Εύκοα διαπιστώνουµε ότι αποτεεί διανυσµατικό χώρο µε ουδέτερο στοιχείο το µηδενικό διάνυσµα (. Σηµείωση: Γενικά το σύνοο R όων των -άδων πραγµατικών αριθµών µε τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθµωτού ποαπασιασµού αποτεεί διανυσµατικό χώρο. Έστω VΖ Ζ Ζ Ζ {( / Z} µε τις συνήθεις πράξεις ( ( ( ( ( Το σύνοο είναι µη κενό διότι ( Z είναι κειστό ως προς την πρόσθεση αά όχι ως προς τον βαθµωτό ποαπασιασµό διότι π.χ. αν και u ( Z τότε u ( Συνεπώς το σύνοο VΖ δεν αποτεεί διανυσµατικό χώρο. Z. Με P συµβοίζουµε το σύνοο όων των πουωνύµων µε πραγµατικούς συντεεστές δηαδή το σύνοο που περιέχει στοιχεία p ( της µορφής

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ p( Έστω V P ενώ το άθροισµα πουωνύµων και το γινόµενο πραγµατικού αριθµού µε πουώνυµο ορίζονται µε τον συνήθη τρόπο δηαδή αν R και p( q( P µε p( και m τότε m m m m q( m p ( q( ( ( ( P ( m m (θεωρώντας τους τυχόν επιπέον συντεεστές K ίσους µε p( m α P Εύκοα δείχνεται ότι ισχύουν οι ιδιότητες Α-Α και Β-Β ενώ το ουδέτερο στοιχείο είναι το µηδενικό πουώνυµο ( 6 Έστω VR {( / R}. Ορίζουµε δύο πράξεις και o ως εξής: ( ( ( o ( ( Ορίσαµε δηαδή το άθροισµα ως συνήθως ενώ για τον βαθµωτό ποαπασιασµό επινοήσαµε έναν «ιδιότροπο» ορισµό. Ισχύουν όες οι ιδιότητες του διανυσµατικού χώρου εκτός από την ιδιότητα Β (δη. u u διότι π.χ. αν u ( τότε o u o ( ( u. Συνεπώς το σύνοο R µε τις παραπάνω πράξεις δεν αποτεεί διανυσµατικό χώρο. Έχει σηµασία οιπόν να αναφέρουµε όχι µόνο το σύνοο αά και τις πράξεις που το συνοδεύουν. Σε έναν διανυσµατικό χώρο ισχύουν τα εξής: το ουδέτερο στοιχείο είναι µοναδικό για κάθε u V υπάρχει µοναδικό συµµετρικό στοιχείο u u για κάθε u V για κάθε R Αν u όπου R και u V τότε ή u ( u ( u u για κάθε R και u V Αποδεικνύουµε το πρώτο και το τρίτο και αφήνουµε τα υπόοιπα ως άσκηση.

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Έστω ότι εκτός από το υπάρχει και άο ουδέτερο στοιχείο το θ. Τότε σύµφωνα µε την ιδιότητα Α θ (διότι το θ είναι ουδέτερο από δεξιά θ θ (διότι το είναι ουδέτερο από αριστερά Άρα θ και συνεπώς το ουδέτερο στοιχείο είναι µοναδικό. Επίσης για κάθε διάνυσµα u V u u (από ιδιότητα Β ( u (πρόκειται απά για πράξη στο R u u (από ιδιότητα Β u u (από ιδιότητα Β ηαδή το u είναι το ουδέτερο στοιχείο κι επειδή όπως είδαµε αυτό είναι µοναδικό u όπως θέαµε. Με παρόµοια τεχνάσµατα αποδεικνύονται και τα υπόοιπα.. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος και W V. Το W θα έγεται διανυσµατικός υποχώρος του V εάν είναι και το ίδιο διανυσµατικός χώρος ως προς τις ίδιες πράξεις. Το παρακάτω θεώρηµα µας απαάσσει από τις 8 ιδιότητες του ορισµού για να αποφανθούµε ότι έχουµε διανυσµατικό χώρο. ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος και διανυσµατικός υποχώρος του V εάν και µόνο εάν W V. Το W είναι (i (ii (iii W Το W είναι κειστό ως προς την πρόσθεση Το W είναι κειστό ως προς τον βαθµωτό ποαπασιασµό Εύκοα µπορεί να διαπιστωθεί ότι ισχύουν οι οκτώ ιδιότητες του ορισµού του διανυσµατικού χώρου. Σηµείωση: Για κάθε διανυσµατικό χώρο V υπάρχουν δύο «στοιχειώδεις» υποχώροι. Το ίδιο το V και το {}. Το πρώτο είναι προφανές διότι το V είναι υποσύνοο του εαυτού του και είναι διανυσµατικός χώρος. Για το δεύτερο έχουµε

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ (i {} (ii Αν u v {} τότε u v οπότε u v {} δηαδή το {} είναι κειστό ως προς την πρόσθεση (iii Αν R και u {} τότε u οπότε u {} δηαδή το {} είναι κειστό ως προς τον βαθµωτό ποαπασιασµό. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Έστω του V R {( R}. Θα εξετάσουµε αν τα παρακάτω υποσύνοα R είναι διανυσµατικοί υποχώροι: {( R {( R {( R} {( {( R {( R W } W } W } W } W } Το υποσύνοo W είναι διανυσµατικός υποχώρος του R διότι (i ( W (για (ii είναι κειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για u v W µε u ( και v ( ισχύει u v ( W (iii είναι κειστό ως προς τον βαθµωτό ποαπασιασµό καθώς για R και u W µε u ( ισχύει u ( W Το υποσύνοo W δεν είναι διανυσµατικός υποχώρος του ( W R διότι Το υποσύνοo W δεν είναι διανυσµατικός υποχώρος του R διότι παρόο που ( W το σύνοο δεν είναι κειστό ως προς την πρόσθεση (ούτε ως προς τον ποαπασιασµό. Πράγµατι αν u ( και v ( τότε u v ( W Το υποσύνοo W είναι διανυσµατικός υποχώρος του R διότι (i ( W (για (ii είναι κειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για u v W µε u ( και v ( ισχύει u v ( W

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 6 (iii είναι κειστό ως προς τον βαθµωτό ποαπασιασµό καθώς για R και W u µε ( u ισχύει ( W u Το υποσύνοo W είναι διανυσµατικός υποχώρος του R διότι (i ( W (για (ii είναι κειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για W v u µε ( u και ( v ισχύει v u ( ( ( ( W (iii είναι κειστό ως προς τον βαθµωτό ποαπασιασµό καθώς για R και W u µε ( u ισχύει u ( ( ( ( W Έστω M V ο διανυσµατικός χώρος των πινάκων στο R. Θα εξετάσουµε αν το υποσύνοο των άνω τριγωνικών πινάκων } { R f e d f e d W είναι διανυσµατικός υποχώρος: (i W (για def Έστω R και W v u µε f e d u και f e d v Τότε (ii u v f e d f e d f f e e d d W (iii u f e d W Συνεπώς το W είναι διανυσµατικός υποχώρος του V.

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Σηµείωση: Όµοια δείχνουµε ότι το σύνοο των κάτω τριγωνικών πινάκων είναι διανυσµατικός υποχώρος του M. Το αποτέεσµα γενικεύεται φανερά για τον διανυσµατικό χώρο M. Έστω V P ο διανυσµατικός χώρος των πουωνύµων στο R. Θα εξετάσουµε αν το υποσύνοό του P που αποτεείται από όα τα πουώνυµα βαθµού το πού (συµπεριαµβανοµένου του µηδενικού πουωνύµου που χαρακτηρίζεται συχνά ως αδιαβάθµητο είναι διανυσµατικός υποχώρος του V. (i Το µηδενικό πουώνυµο ( ανήκει στο P. Έστω R και p( q( P. (ii To πουώνυµο p ( q( έχει βαθµό µικρότερο ή ίσο του (είτε είναι το µηδενικό πουώνυµο άρα ανήκει στο P. (iii To πουώνυµο p( έχει βαθµό µικρότερο ή ίσο του (είτε είναι το µηδενικό πουώνυµο άρα ανήκει στο P. Συνεπώς το P είναι διανυσµατικός υποχώρος του P. ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος και W W δύο υποχώροι του V. Το υποσύνοο W W W είναι επίσης διανυσµατικός υποχώρος του V. Απόδειξη: Θα δείξουµε τις τρεις ιδιότητες του υποχώρου για το W: (i Εφόσον W και W ισχύει W W W. (ii Έστω u v W W W. Τότε W W είναι υποχώροι του V θα ισχύει Άρα u v W W W. u v W και u v W και u v W. u v W. Εφόσον τα υποσύνοα (iii Έστω R και u W W W. Τότε u W και υποσύνοα W W είναι υποχώροι του V θα ισχύει u W. Εφόσον τα u W και u W. Άρα u W W W. Συνεπώς το W είναι διανυσµατικός υποχώρος του V.

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Σηµείωση: Το υποσύνοο W W δεν είναι απαραίτητα διανυσµατικός υποχώρος. Για παράδειγµα έστω V R και W {( } W {( } R R Εύκοα διαπιστώνουµε ότι τα υποσύνοα W W είναι υποχώροι του V. Ωστόσο τo W W δεν είναι υποχώρος διότι δεν είναι κειστό ως προς την πρόσθεση. Πράγµατι για u ( και v ( u W W και v W W ενώ u v ( W W. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΣ ΧΩΡΟΣ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟΣ ΑΠΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος και u u... u V. Κάθε διάνυσµα της µορφής u u... u όπου... R έγεται γραµµικός συνδυασµός των u u... u. Το σύνοο αυτών των γραµµικών συνδυασµών συµβοίζεται u u... u και αποτεεί διανυσµατικό υποχώρο του V. Λέµε ότι είναι ο χώρος που παράγεται από τα u u... u Σηµείωση: Αν S { u u... u} τότε γράφουµε και S αντί για u u... u Ας αποδείξουµε τον ισχυρισµό µας.. ΘΕΩΡΗΜΑ: Το σύνοο W u... u u είναι διανυσµατικός υποχώρος του V. Απόδειξη: Θα δείξουµε τις τρεις ιδιότητες του υποχώρου: (i u u... u W Έστω R και u v W µε Τότε (ii u u u... u και v u u u... u v ( u u... u ( u u... u ( u u ( u u... ( u u 8

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ( u ( u... ( u W (iii u ( u u... u ( u ( u... ( u ( u ( u... ( u W ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑT Έστω V R {( R} και u ( u (. Ο χώρος που παράγουν τα δύο διανύσµατα είναι u u { u u R} { ( ( R} {( ( R} {( R} Ο υποχώρος µπορεί να γραφεί και u u { ( R}. Σηµείωση: Παραστατικά ο αρχικός διανυσµατικός χώρος είναι ο γνωστός µας τρισδιάστατος χώρος R τα u u είναι τα µοναδιαία διανύσµατα στους άξονες Ο και Ο αντίστοιχα ενώ ο υποχώρος που παράγουν είναι το επίπεδο Ο. Πράγµατι κάθε διάνυσµα του επιπέδου Ο γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των u u (ουσιαστικά θα µπορούσαµε να πούµε ότι ο υποχώρος είναι ο δισδιάστατος χώρος R. u u Έστω και πάι V R {( R} και u ( u ( u (. Ο χώρος που παράγουν τα τρία διανύσµατα περιέχει τους γραµµικούς συνδυασµούς 9

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Είναι u u u όπου R u u u ( ( ( ( ( ( ( (* Ουσιαστικά παίρνουµε και πάι όα τα διανύσµατα της µορφής ( µε R Πράγµατι το ερώτηµα ανάγεται στο αν κάθε τέτοιο διάνυσµα ( γράφεται µε τη µορφή (* µε άα όγια αν υπάρχουν R τέτοια ώστε ή ισοδύναµα ( ( Το σύστηµα αυτό έχει ύση ως προς : R Πχ. ας επιέξουµε το διάνυσµα (. Αυτό γράφεται ως ή ως κπ. Έτσι και πάι u u (αν πάρουµε και u u u (αν πάρουµε και u u u u { ( R}. Αν το καοσκεφτούµε στο τεευταίο παράδειγµα θα µπορούσαµε να αγνοήσουµε το διάνυσµα u διότι και τα u ( u ( από µόνα τους τον ίδιο χώρο παράγουν. Αυτό γιατί και το ίδιο το u µπορεί να παραχθεί από τα άα δύο είναι u u u Θα έγαµε οιπόν διαισθητικά ότι όσα διανύσµατα µεταξύ των u u... u «εξαρτώνται» από κάποια άα θα µπορούσαν να αγνοηθούν κατά το «χτίσιµο» του παραγόµενου χώρου u u... u. Την έννοια αυτή της εξάρτησης θα εισαγάγουµε επίσηµα στην επόµενη παράγραφο. 6