Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1

Transcript

1 Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών) Κφάλαιο

2 Σύνθτα υλικά: ποιά ίναι και πώς ίναι.. Στο πλαίιο της ανάλυης µηχανικής υµπριφοράς υνθέτων υλικών, θα πριοριθούµ την θώρηη δοµικών τοιχίων που χρηιµοποιούνται µορφή λπτών τρώων από πολυµρή πλατικά νιχυµένα µ µακριές υνχίς ίνς. Η υνήθως ορθότροπη τρώη lamina) ινώδους υνθέτου υλικού, η οποία µπορί να ίναι πίπδη ή καµπύλη, αποτλίται από υνχίς ίνς παράλληλς ή κατάλληλα διατταγµένς µταξύ τους και υγκρατούµνς δια του υνδτικού υλικού µήτρα). tructural composites /

3 Μακροκοπική µηχανική υµπριφορά τρώως ινώδους υνθέτου υλικού Τυπική διάταξη ινών διατοµή τρώης ΙΣΥ πάχος: µm Στρώη πολυµρούς νιχυµένου µ υνχίς ίνς lamina) Διακριτές φάις: ίνα µήτρα µm /

4 Στρώις υαλοϋφαµάτων ή µ ίνς carbon, aramid, κτλ. Plain weave up, down) glass fabric ) Filling yarn, running the width of a woven fabric at right angles to the warp weft direction ) warp direction ) Eight-harness satin weave up, 7 down) ) In the fabric industry, those fibers or threads in a woven fabric which run lengthwise, or which are parallel to the selvedge /

5 Πολύτρωτς διατάξις από UD τρώις EM photograph of a typical composite after exposure to water at K for one day c.9) subjected to of its UT [O. Gillat, L.J. Broutman, TP 8 978)] /

6 Στις πολύτρωτς διατάξις από UD τρώις η ανοµοιογένια του υνθέτου παίζι κυρίαρχο ρόλο τους παρατηρούµνους τρόπους ατοχίας Intraply crack matrix crack) Interply crack delamination) /

7 Και για µία τρώη UD, η ανοµοιογένια του υνθέτου πίπδο ίνας-µήτρας) παίζι κυρίαρχο ρόλο τους παρατηρούµνους µικροµηχανιµούς ατοχίας /

8 Typical microstructures of fractured specimens [A.G.Miller, A.L.Wingert, TP 9 979)] 7/

9 µακροκοπική υµπριφορά: το ύνολο των µέων φαινοµένων µηχανικών ιδιοτήτων της ορθοτρόπου τρώως ή του πολυτρώτου κλύφους αντιτοίχως Άρα, η τρώη θα θωρίται µακροκοπικώς ως οµογνές ανιότροπο υλικό υπόθη που πιραµατικώς υποτηρίζται ικανοποιητικά όον αφορά µγέθη γνικών µηχανικών ιδιοτήτων όπως οι τχνικές λατικές ταθρές ή οι τάις ατοχίας ) Οον αφορά την κατατατική χέη τάων-παραµορφώων του ανιότροπου ινώδους υνθέτου υλικού, αυτό θα θωρίται γραµµικώς λατικό µέο έως της ατοχίας του Νόµος Hooke: αξίωµα; η ιχύς του τηρίζται νργιακές αρχές; µπιρική χέη; 8/

10 Robert Hooke -7) De Potentia restitutivâ or Of pring 78) EIIINOTTUV E I I I N O T T U V UT TENIO I VI Η ηµρινή µορφή του νόµου Hooke καθώς και η έννοια του τανυτού τάης, ξιώις ιορροπίας, κ.τ.λ οφίλονται: Augustin auchy ) 9/

11 Ανιότροπο γραµµικώς λατικό µέο: Γνικυµένος νόµος Hooke:, i, j,k,l,..., kl kl, : υµµτρικοί τανυτές ης τάξης ji, όπου: ji u i,j u j,i ) u: διάνυµα µτατόπιης kl : ης τάξως τανυτής δυκαµψίας stiffness tensor) του µέου ανξάρτητς υνιτώς) Λόγω της υµµτρίας των τανυτών, : Η υµµτρία των τανυτών νδόως και δυκαµψίας υνπάγται πραιτέρω Αρα το πλήθος των ανξαρτήτων kl πριορίζται µίωη των ανξαρτήτων υνιτωών τους: Για το γραµµικώς λατικό µέο που θωρούµ υπάρχι βαθµωτή υνάρτηη δυναµικού, W λατικό δυναµικό ή πυκνότης νργίας παραµορφώων) η οποία ίναι θτικά οριµένη, δηλ. W> πάντοτ: lk jilk kl jikl kl : υµµτρικός - : υµµτρικός: klkl W kl : ης τάξως τανυτής νδόως compliance tensor) kl kl kl kl /

12 Ανιότροπο γραµµικώς λατικό µέο: Γνικυµένος νόµος Hooke: kl kl ή kl kl Πυκνότης νργίας παραµορφώων strain energy density): W W klkl kl kl Λόγω της υµµτρίας όλων των τανυτών, χρηιµοποιούνται υνιτώς µ υτολή δικτών και όλς οι ανωτέρω χέις γράφονται µητρωϊκή µορφή: i i j j, i, j,...,, ji ji ΠΡΟΣΟΧΗ.. τούς δίκτς /

13 Αναπτύοντας τον νόµο Hooke µητρωϊκή γραφή: ) *, - Η αντιτοιχία µταξύ φυικών δικτών και αυτών της υτολής: όχι τανυτικές υνιτώς, αλλά τχνικές διατµητικές παραµορφώις. Π.χ. γ /

14 ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Γωµτρική ρµηνία υνιτωών τανυτού τάης x x x /

15 ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Γωµτρική ρµηνία υνιτωών τανυτού µικρών παραµορφώων x L ζ/ h x δ, L ζ h δ/ x β γ π β, β rad) x /

16 Νόµος Hooke γιά το γνικώς ανιότροπο γραµµικό λατικό µέο: ) *, - ) *, - ή ανξάρτητς λατικές ταθρές: καµµία λατική υµµτρία: Τρικλινές λατικό µέο Αντιτοιχία υνιτωών λατικών µητρώων και τανυτών: m,n m,n όταν m XOR n όταν m,n όταν kl mn kl mn kl mn kl mn > > Υπνθύµιη: /

17 Τανυτικός νόµος: kl kl Παραµένι αναλλοίωτος kl kl Οι υνιτώς όµως των τανυτών αλλάζουν βάι του νόµου τανυτικού µταχηµατιµού: x x x α i kl kl α α x im im α α j α α im im jn jn α α jn jn mn mn α α kp kp α α lq lq mnpq mnpq i, j, k, l, m, n, p, q,, x όπου: α cos i, j), i, j,..., x Γιά τα υνηµίτονα κατύθυνης ιχύι ότι: α α ik jk δ x x Kronecker δέλτα: δ if if i i j j /

18 Εποµένως: Οταν ίναι γνωτές οι λατικές ταθρές κάποιου µέου, ως προς κάποιο ύτηµα υντταγµένων, τότ µπορούν ύκολα να υπολογιθούν µέω του τανυτικού µταχηµατιµού και γιά οποιοδήποτ άλλο Επίης: Οι χέις µταχηµατιµού τανυτικών υνιτωών ύκολα µτατρέπονται αντίτοιχς γιά τις µητρωϊκές υνιτώς ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ: Ετω ότι λατικό µέο αναφέρται ως προς ύτηµα υντταγµένων x, x, x ) και ως προς το x x, x ), υµµτρικό ως προς το πρώτο η υµµτρία των δύο υτηµάτων αναφοράς θα ίναι ίδια µ αυτήν που παρατηρίται την δοµή του µέου). Οι διυθύνις των αξόνων x, x, x και x x, x, θα ίναι ιοδύναµς από πλυράς λατικών ιδιοτήτων και άρα ο γνικυµένος νόµος Ηooke θα ίναι ο ίδιος για τα δύο υµµτρικά υτήµατα το µητρώο ή θα έχι δηλ. τις ίδις υνιτώς ως προς τα δύο υτήµατα υντταγµένων). Υπάρχουν φυικά ξύλο, οτά, ιτοί) και ύνθτα υλικά FRP, knitted PM s) που παρουιάζουν µγάλη ποικιλία τύπων ανιοτροπίας. Οον αφορά τα Ι.Σ.Υ. που µλτούµ, µγαλύτρο νδιαφέρον παρουιάζουν τα µονοκλινή, ορθότροπα, γκαρίως ιότροπα και ιότροπα λατικά µέα 7/

19 Μονοκλινές µέο Ετω λατικό ανιότροπο µέο από κάθ ηµίο του οποίου πρνά πίπδο µ την ιδιότητα: διυθύνις υµµτρικές ως προς αυτό ίναι λατικώς ιοδύναµς. Το ανωτέρω πίπδο ίναι πίπδο λατικής υµµτρίας. x Ετω πίπδο λατ.υµ. παράλληλο το x -x ) µπορί τότ να αποδιχθί ότι ο γνικυµένος νόµος Hooke παίρνι την µορφή: -, * ) x και άρα ο αριθµός των ανξαρτήτων µιώνται τα ίδια ακριβώς ιχύουν και για τις υνιτώς ) x ΠΡΟΣΟΧΗ.. Η υγκκριµµένη µορφή του µητρώου οφίλται το ότι πλέγη το πίπδο x-x) ως λατικό πίπδο υµµτρίας 8/

20 Ορθότροπο µέο Ετω λατικό ανιότροπο µέο από κάθ ηµίο του οποίου πρνούν δύο κάθτα µταξύ τους πίπδα λατικής υµµτρίας. Μπορί να αποδιχθί τότ ότι υπάρχι και τρίτο πίπδο λατικής υµµτρίας, κάθτο προς τα δύο προηγούµνα. Το τριορθογώνιο ύτηµα αξόνων που ορίζται από την τοµή των πιπέδων λατικής υµµτρίας ονοµάζται κύριο ύτηµα αξόνων ή ύτηµα υµµτρίας του µέου. ) *, - Ο αριθµός των ανξαρτήτων µιώνται 9 τα ίδια ακριβώς ιχύουν και για τις υνιτώς ) ΠΡΟΣΟΧΗ.. Η υγκκριµµένη µορφή του µητρώου ιχύι γιά το κύριο ύτηµα αξόνων x x x 9/

21 Τυπικό παράδιγµα ορθοτρόπου µέου : woven fabric Κύριο ύτηµα αξόνων ή υµµτρίας του µέου x x x /

22 Εγκαρίως ιότροπο µέο Το λατικό µέο µ ένα άξονα απίρου λατικής υµµτρίας: Αυτός για τον οποίο όλς οι κάθτς διυθύνις ίναι λατικά ιοδύναµς και άρα κάθ κάθτο αυτόν πίπδο έχι ιότροπς ιδιότητς άξονας απίρου λατικής υµµτρίας ) ) *, - Ο αριθµός των ανξαρτήτων µιώνται τα ίδια ακριβώς ιχύουν και για τις υνιτώς ) ΠΡΟΣΟΧΗ.. Η υγκκριµµένη µορφή του µητρώου ιχύι γιά το κύριο ύτηµα αξόνων x x x x x x θ θ /

23 Τυπικό παράδιγµα γκαρίως ιοτρόπου µέου x άξονας απίρου λατικής υµµτρίας x x x x x /

24 x x Ιότροπο πίπδο γκαρίως ιοτρόπου µέου x x θ ) ) /

25 Ιότροπο µέο / το λατικό µέο του οποίου όλς οι διυθύνις ίναι λατικά) ιοδύναµς. Εναλλακτικά, ιότροπο καλίται το µέο γιά το οποίο ο οποιοδήποτ τυχαίος µταχηµατιµός του υτήµατος υντταγµένων αφήνι αναλλοίωτς τις υνιτώς των λατικών µητρώων x x ) ) ) x x kl kl Κύριο ύτηµα αξόνων; x kl kl x

26 Συνοψίζοντας: ) ) ) τρικλινές, µονοκλινές, ορθότροπο, 9 γκαρίως ιότροπο, ιότροπο, τα ίδια ακριβώς ιχύουν και για τις υνιτώς / - ) ) /